---
title: "परिमित विमा"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension
---

# अध्याय 19 — परिमित विमा

परिमित कितने सदिशों से [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) एक सुपरिभाषित *विमा* धारण करती है — अर्थात् उसके सभी आधारों का उभयनिष्ठ आकार। नीचे की सारी उपपत्तियाँ एक ही संचयात्मक यंत्र से बहती हैं, विनिमय प्रमेयिका: कोई [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) किसी जनक कुल से बड़ा कभी नहीं हो सकता। विमा के साथ वे औज़ार आते हैं जो आगे सर्वत्र काम आते हैं: अपूर्ण [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) प्रमेय, किसी कुल की [कोटि](#def-b1-findim-rank), ग्रासमान का सूत्र।

## 19.1 आधारों का अस्तित्व

**परिभाषा 19.1.**

$E$ *परिमित-विमीय* तब कहलाती है जब उसका कोई परिमित जनक कुल हो। (अन्यथा *अनंत-विमीय*: जैसे $K[X]$, जिसके परिमित कुल केवल परिबद्ध घात वाले [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) जनित करते हैं।)

**प्रमेय 19.2 (विनिमय प्रमेयिका).**

मान लीजिए $(g_1, \dots, g_n)$ $E$ को जनित करता है और $(f_1, \dots, f_p)$ $E$ में [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। तब $p \leq n$।

**उपपत्ति.** हम $k \leq p$ पर आगमन से सिद्ध करते हैं: *$g_j$ को फिर से क्रमांकित करने के बाद कुल $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ $E$ को जनित करता है* — जो हर चरण पर $k \leq n$ बाध्य कर देता है, और अंत में $p \leq n$।

$k = 0$: यही परिकल्पना है। चरण: उसे $k - 1$ के लिए मान लीजिए; तब $f_k$ $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$ का संयोजन है। इस संयोजन में किसी $g_j$ ($j \geq k$) का गुणांक अशून्य है — अन्यथा $f_k$ $f_1, \dots,
f_{k-1}$ का संयोजन होता, जो स्वतंत्रता का विरोध करता। इस प्रकार फिर से क्रमांकित कीजिए कि $j = k$, और $g_k$ के लिए हल कीजिए: $g_k$ $(f_1, \dots,
f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ का संयोजन है। तब $E$ का हर सदिश, जो $(k-1)$-कुल के द्वारा व्यक्त था, $k$-कुल के द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है: अतः वह जनक है। (यदि $k - 1 = n$, तो कोई $g$ शेष नहीं रहता और $f_k$ अकेले $f_i$ का संयोजन होता: असंभव; अतः $k \leq n$।) ∎

**उदाहरण 19.3 (विनिमय, एक बार देखकर).**

$\R^2$ में जनक कुल $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ और [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$ लीजिए। चरण $1$: $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$; $g_2$ का गुणांक अशून्य है, अतः $g_2$ के बदले $f_1$ लाइए: कुल $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ अब भी जनक है ($g_2 =
\frac12(f_1 - g_1)$)। चरण $2$: $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$; शेष $g_1$ का गुणांक अशून्य है (होना ही है: $f_2$ $f_1$ का गुणज नहीं है), अतः फिर से विनिमय कीजिए: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ $\R^2$ को जनित करता है। यदि कोई तीसरा [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश $f_3$ होता, तो उसे सोखने के लिए कोई $g$ बचता ही नहीं — और ठीक इसी तरह यह प्रमेयिका $\R^2$ में $3$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिशों को मना करती है। ऊपर की उपपत्ति यही लेखा-जोखा व्यापक रूप में किया हुआ है।

**प्रमेय 19.4 (परिमित विमा में आधार).**

मान लीजिए $E \neq \{0\}$ [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) है।

1. हर परिमित जनक कुल में से एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) निकाला जा सकता है।
2. (अपूर्ण [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) प्रमेय) हर [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) को [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) तक बढ़ाया जा सकता है, और वह भी किसी भी चुने हुए जनक कुल के सदिशों से।
3. $E$ के सभी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) परिमित हैं और उनमें अवयवों की संख्या समान है: यही *विमा* $\dim E$ है। (परिपाटी: $\dim\{0\} = 0$ ।)

**उपपत्ति.** (1) एक-एक करके ऐसा हर सदिश हटा दीजिए जो शेष का संयोजन हो; कुल जनक बना रहता है, क्योंकि हटाए गए सदिश का प्रयोग करने वाले किसी भी व्यंजक में बचे हुओं का उसका संयोजन रख दिया जा सकता है। यह प्रक्रिया समाप्त होती है — हर चरण परिमित कुल को एक से छोटा करता है — और ठीक तब रुकती है जब शेष कोई भी सदिश बाकी सदिशों का संयोजन न हो। अंतिम कुल तब भी जनक है, और [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) भी: किसी अतुच्छ शून्य संयोजन में कोई अशून्य गुणांक होता, और उससे भाग देने पर उस सदिश को शेष के पदों में हल किया जा सकता, जिससे वह हटाने योग्य निकलता — और यह इस बात का विरोध करता कि प्रक्रिया रुक चुकी थी।

(2) मान लीजिए $(f_1, \dots, f_p)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है और $(g_1, \dots, g_n)$ जनक। $g_1, \dots, g_n$ पर चलते जाइए, और जब भी $g_j$ वर्तमान कुल की [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) में पहले से न हो, उसे कुल में जोड़ दीजिए ([प्रतिज्ञप्ति 18.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) कुल को [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाए रखता है)। अंतिम कुल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और जनक भी: हर $g_j$ उसकी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) में है — या तो वह जोड़ा गया था, या वह पहले से ही एक संयोजन था।

(3) दो आधारों में से प्रत्येक [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) भी है और जनक भी: विनिमय प्रमेयिका उनकी गणनसंख्याओं के बीच दोनों असमिकाएँ दे देती है। (परिमितता: [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) होता है, अतः विनिमय से वह किसी परिमित जनक कुल से बड़ा नहीं हो सकता।) ∎

**उदाहरण 19.5.**

$\dim K^n = n$ (विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)); $\dim K_n[X] = n + 1$ (एकपदी); $\dim_\R \C =
2$; और $y'' + ay' + by = 0$ की हल-समष्टि की विमा $2$ है ([प्रमेय 5.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#thm-b1-diffeq-homogeneous2): हल $(\lambda, \mu) \in K^2$ के द्वारा [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) तथा रैखिक रूप से प्राचलित होते हैं)।

**उदाहरण 19.6 (एक ही समुच्चय, दो विमाएँ).**

सम्मिश्र संख्याओं के युग्मों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\C^2$ विमा $2$ वाली $\C$-सदिश समष्टि है (विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $e_1, e_2$) — और विमा $4$ वाली $\R$-सदिश समष्टि भी, जिसका [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

हर $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ के वास्तविक [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b, c, d)$ अद्वितीय रूप से होते हैं। विमा केवल सदिशों के [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का गुण नहीं है: वह *अनुमत अदिशों के सापेक्ष* स्वातंत्र्य कोटियाँ गिनती है, और अदिशों की पूर्ति $\C$ से $\R$ तक आधी कर देने पर गिनती दुगुनी हो जाती है। (सप्ताहांत समस्या इसी संवेदनशीलता की चरम स्थिति का लाभ उठाती है, जहाँ अदिश सिकुड़कर $\Q$ तक आ जाते हैं।)

**उदाहरण 19.7 (पूर्णन कलनविधि चलाकर देखना).**

विहित सदिशों का प्रयोग करके [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ को $\R^3$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) तक पूर्ण कीजिए। जनक कुल $(e_1, e_2, e_3)$ पर [प्रमेय 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) की उपपत्ति चलाइए: क्या $e_1 \in
\operatorname{Vect}(1,1,1)$? नहीं ($(1,1,1)$ के गुणजों के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) समान होते हैं) — अतः उसे जोड़ दीजिए। क्या $e_2 \in
\operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$? किसी संयोजन $\alpha(1,1,1) +
\beta e_1$ के दूसरे और तीसरे [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) समान होते हैं, और $e_2$ के नहीं — अतः उसे भी जोड़ दीजिए। कुल $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ $3$ सदिशों के साथ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है: रुक जाइए, वही [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) इस प्रतिवर्त को औपचारिक बना देगा)। ध्यान दीजिए कि परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि $g_j$ किस क्रम में देखे गए: पूर्णन एक कलनविधि है, कोई सूत्र नहीं।

**प्रतिज्ञप्ति 19.8 (तीन में से दो वाला नियम).**

मान लीजिए $\dim E = n$ और $\mathcal{F}$ $E$ के ठीक $n$ सदिशों का कुल है। तब

$$
\mathcal{F} \text{ स्वतंत्र} \iff \mathcal{F} \text{ जनक} \iff
\mathcal{F} \text{ आधार}.
$$

इसके अतिरिक्त किसी भी [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में $\leq n$ सदिश होते हैं, और किसी भी जनक कुल में $\geq n$।

**उपपत्ति.** गणनसंख्या के परिबंध किसी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) के सामने लगाई गई विनिमय प्रमेयिका ही हैं। यदि $\mathcal{F}$ (आकार $n$) [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है पर जनक नहीं, तो कोई $x$ उसकी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) के बाहर है; $x$ जोड़ने पर $n + 1$ सदिशों का [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) मिल जाता: असंभव। यदि $\mathcal{F}$ जनक है पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) नहीं, तो [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) निकालने पर ([प्रमेय 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) $< n$ सदिशों वाला [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) मिल जाता: असंभव। ∎

**उदाहरण 19.9 (तीन में से दो, आधा काम बचाकर).**

क्या $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ $\R^3$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है? गिनती: तीन सदिश, विमा तीन — अतः निर्णय अकेली स्वतंत्रता कर देगी। शून्य संयोजन से $a +
c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$ मिलता है; तीनों को जोड़ने पर $2(a + b + c)
= 0$, और $a + b + c = 0$ में से हर मूल समीकरण घटाने पर $b = c = a = 0$ बचता है: अतः [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free), इसलिए [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free), और सत्यापन का जनक-वाला आधा हिस्सा प्रमेय ने मुफ़्त में दे दिया। [उदाहरण 18.18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ex-b1-vspaces-testbasis) से तुलना कीजिए, जहाँ वही दुहरा सत्यापन हाथ से करना पड़ा था — सिद्धांत का एक अध्याय ठीक इतनी ही बचत में बदल जाता है, और वह भी पुस्तक के शेष भाग की हर आधार-जाँच पर।

**विधि 19.10 (विमा की संगणना).**

तीन मानक रास्ते, घटती हुई बारंबारता के क्रम में।

1. *प्राचलन कीजिए, फिर [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पढ़ लीजिए।* परिभाषक प्रतिबंध हल कीजिए, व्यापक अवयव को बचे हुए प्राचलों में रैखिक रूप से व्यक्त कीजिए, और जाँचिए कि प्राचलों से गुणा होने वाले सदिश [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं: विमा प्राचलों की संख्या है। (नीचे $\R^4$ की एक ठोस [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) पर चलाया गया है।)
2. *कोई [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) रैखिक प्राचलन दिखाइए।* जब अवयव परिमित कितने मानों से तय हो जाएँ — किसी पुनरावृत्ति की आरंभिक शर्तें ( [अभ्यास 19.10](#exo-b1-findim-10) ), किसी हल-सूत्र के गुणांक ( [उदाहरण 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — तब विमा उन मानों की संख्या है।
3. *सूत्रों का प्रयोग कीजिए।* सर्वनिष्ठ और योग के लिए ग्रासमान, जनित समष्टियों के लिए [कोटि](#def-b1-findim-rank) , और आगे चलकर अष्टि तथा प्रतिबिंब के लिए कोटि–शून्यता: विमाएँ प्रायः *संगणित* की जाती हैं, अनुमानित नहीं।

तीनों रास्तों में तीन में से दो वाला नियम ही समापक है: गिनती मिलते ही अकेली स्वतंत्रता या अकेला जनक होना निष्कर्ष दे देता है।

**उदाहरण 19.11 (रास्ता 1, पूरा).**

$H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0 \text{ और } x = t\}$ की विमा। हल कीजिए: $t = x$ और $y + z = -2x$, अतः $x, y$ के मुक्त रहते $z = -2x
- y$:

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

दोनों सदिश [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं (पहले दो [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) देखिए: $(x, y) = (0,0)$), अतः वे $H$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं और $\dim H = 2$। गिनती पहले से बताई जा सकती थी — $\R^4$ में दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) रैखिक प्रतिबंधों में से हर एक को एक विमा खा जानी चाहिए — पर प्राचलन उसे सिद्ध *भी* करता है और एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) भी थमा देता है, जो अकेली भविष्यवाणी कभी नहीं करती; [अभ्यास 19.9](#exo-b1-findim-9) “हर समीकरण अधिक से अधिक एक विमा खाता है” वाले नारे को प्रमेय बना देता है।

**उदाहरण 19.12 (रास्ता 2, पूरा).**

$W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ की विमा ($n \geq 2$ के लिए)। गुणनखंड प्रमेय को दो बार लगाने पर ([प्रमेय 8.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor); मूल $1$ और $2$ भिन्न हैं), $P \in W$ ठीक तब होता है जब $\deg Q \leq n - 2$ के साथ $P = (X -
1)(X - 2)\,Q$। संगति $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ रैखिक है, पूरे $W$ तक पहुँचती है, और [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है (गुणनफल शून्य तभी होता है जब $Q = 0$): अतः $W$ $\R_{n-2}[X]$ के द्वारा [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) तथा रैखिक रूप से प्राचलित है, इसलिए

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

[आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) प्राचलन के साथ ही मिल जाता है: एकपदियों के प्रतिबिंब, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\ (X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$। किसी नए बिंदु पर हर नया मूल्यांकन-प्रतिबंध ठीक एक विमा की क़ीमत लेता है — यही [लाग्रांज अंतर्वेशन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)) की गिनती वाली रीढ़ है।

**उदाहरण 19.13 (समाकल वाला प्रतिबंध भी एक विमा लेता है).**

$H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$ की विमा। $P = a + bX + cX^2$ लिखने पर प्रतिबंध $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$ कहता है; $a$ के लिए हल कीजिए और प्राचलन कीजिए:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

अतः $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 - \frac13\bigr)$, विमा $2$ (दोनों बहुपदों की घातें भिन्न हैं: [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free))। कोई एक रैखिक शर्त — चाहे वह मूल्यांकन हो, [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) हो, या कोई और रैखिक नुस्ख़ा — अधिक से अधिक एक विमा हटाती है, और शर्त के सर्वसम शून्य न होते ही ठीक एक। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) ऐसे नुस्ख़ों को *रैखिक रूप* और उनके हल-समुच्चयों को *अधिसमतल* नाम देगा; और यहाँ मिले आधार-सदिश [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में लजांद्र कुल के आरंभ के रूप में फिर से दिखाई देंगे।

## 19.2 उपसमष्टियाँ, कोटि, ग्रासमान

**प्रमेय 19.14 (उपसमष्टियाँ).**

मान लीजिए $E$ [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) है और $F$ उसकी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace)। तब $F$ [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) है, $\dim F \leq \dim E$, और समानता तभी होती है जब $F = E$। इसके अतिरिक्त हर [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) की कोई [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) होती है।

**उपपत्ति.** $F$ के [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) कुलों में अधिक से अधिक $\dim E$ सदिश होते हैं ($E$ में विनिमय प्रमेयिका: $F$ का कोई [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) विशेष रूप से $E$ में भी [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और $E$ का कोई परिमित जनक कुल है)। $F$ के [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) कुलों में से *अधिकतम* आकार $p$ वाला एक चुनिए — यह संभव है, क्योंकि आकार $\dim E$ से परिबद्ध पूर्णांक हैं। वह $F$ को जनित करता है: अन्यथा कोई $x \in F$ उसकी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) के बाहर होता, और $x$ जोड़ने पर $F$ का $p + 1$ आकार वाला [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) मिल जाता ([प्रतिज्ञप्ति 18.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), जो अधिकतमता का विरोध करता। [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) और जनक होने के कारण वह $F$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और $\dim F = p \leq
\dim E$। यदि $p = \dim E = n$: तो $E$ के $n$ सदिशों वाला [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), अतः $F \supseteq
\operatorname{span} = E$। [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum): $F$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p)$ को अपूर्ण [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) प्रमेय से $E$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ तक पूर्ण कीजिए; तब $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ $E = F \oplus G$ संतुष्ट करती है (विघटनों का अस्तित्व और अद्वितीयता = बड़े [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates))। ∎

**परिभाषा 19.15 (किसी कुल की कोटि).**

सदिशों के किसी परिमित कुल की *कोटि* उसकी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) की विमा है: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, और $p$ के साथ समानता तभी होती है जब कुल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हो।

**उदाहरण 19.16 (विलोपन से कोटि की संगणना).**

$\R^3$ में $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ की [कोटि](#def-b1-findim-rank)। किसी सदिश में से शेष का संयोजन घटाने पर [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) नहीं बदलती (दोनों कुल एक ही संयोजन जनित करते हैं): $(2,3,4)$ के स्थान पर $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ और $(3,4,5)$ के स्थान पर $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ रखिए। अब [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) =
\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ है, और ये दोनों सदिश अनुपाती नहीं हैं: अतः [कोटि](#def-b1-findim-rank) $2$ है। घटाओ-और-हटाओ वाली यह प्रक्रिया [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में गाउसीय विलोपन के रूप में व्यवस्थित की गई है।

**उदाहरण 19.17 (जनकों को एक साथ लिखकर योग).**

$\R^3$ में लीजिए

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

योग $F + G$ तीनों जनकों को एक साथ लिखने से बने कुल द्वारा जनित है, और

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

यह दिखाता है कि तीसरा अनावश्यक है: $F + G = F$, जिसकी विमा $2$ है — तुल्य रूप से $G \subseteq F$, जिसे यह संबंध दिखा देता है। ग्रासमान पुष्टि करता है: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$। योग जनकों को एक साथ लिखकर और फिर उस ढेर को कोटि-कलनविधि से घटाकर संगणित किए जाते हैं; कोई नई तकनीक कभी नहीं चाहिए।

**प्रमेय 19.18 (ग्रासमान का सूत्र).**

$E$ की [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) उपसमष्टियों $F, G$ के लिए:

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

विशेष रूप से $F + G$ प्रत्यक्ष है तभी जब $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$।

**उपपत्ति.** $F \cap G$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ से आरंभ कीजिए; उसे $F$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1,
\dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ तक और $G$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, g_1,
\dots, g_t)$ तक पूर्ण कीजिए ([प्रमेय 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2))। हमारा दावा है कि

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

$F + G$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है; और सूत्र गिनती से आ जाता है: $(r + s) + (r + t) - r = r
+ s + t$।

$\mathcal{B}$ $F + G$ को जनित करता है: कोई भी $u + v$ ($u \in F$, $v \in G$) उसके द्वारा प्रसारित हो जाता है। स्वतंत्रता: मान लीजिए $\sum \alpha_i e_i +
\sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$। सदिश $w = \sum \gamma_k g_k =
-\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ $G \cap F$ में है, अतः वह अकेले $(e_i)$ पर प्रसारित होता है; पर $w$ $(g_k)$ पर भी प्रसारित होता है, और $G$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में ये दोनों व्यंजक एक ही होने चाहिए: अतः सभी $\gamma_k = 0$ (और $e$-निर्देशांक मेल खाते हैं)। तब संबंध घटकर $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j
f_j = 0$ रह जाता है, जो $F$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में एक संबंध है: शेष सभी गुणांक शून्य हो जाते हैं। ∎

**उदाहरण 19.19.**

$\R^3$ के दो भिन्न समतल $F, G$ (विमा $2$) $F + G = \R^3$ संतुष्ट करते हैं (उनका योग किसी समतल को सचमुच समाहित करता है), अतः $\dim(F \cap G) = 2 + 2 -
3 = 1$: वे सदा किसी रेखा के अनुदिश काटते हैं — मूल बिंदु से होकर जाने वाले “समांतर समतल” होते ही नहीं।

**उदाहरण 19.20 (ग्रासमान काम पर, R4\R^4R4 में).**

$\R^4$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\
(1,1,1,0)\bigr)$ और $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$। विमाएँ: $\dim F =
3$ (तीसरे जनक का तीसरा [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) अशून्य है, अतः वह $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ के बाहर है) और $\dim G = 2$। योग: $F + G$ में $e_1, e_2, e_4$ और $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$ हैं: अतः वह पूरा $\R^4$ है। तब ग्रासमान बिना किसी विलोपन के सर्वनिष्ठ का आकार *संगणित* कर देता है:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

रेखा पहचानने के लिए $G$ के भीतर देखिए: सदिश $(0, 0, c, d)$ $F$ में ठीक तब है जब वह $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$ हो, जो $\lambda = -a = -b$ और $d =
0$ बाध्य कर देता है: अतः सर्वनिष्ठ $\operatorname{Vect}(e_3)$ है — और यह संगत है, क्योंकि $e_3$ ऊपर $F$ में दिखाया गया था और परिभाषा से $G$ में है। श्रम का प्रतिरूपी [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition): ग्रासमान बताता है कि *कितना* खोजना है, और फिर रैखिक निकाय खोज लेता है कि *क्या*।

**उदाहरण 19.21 (समीकरणों से सर्वनिष्ठ निकालना).**

जब दोनों उपसमष्टियाँ [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) के रूप में आती हों, तो सर्वनिष्ठ निकालना बस समीकरणों को एक के ऊपर एक रख देना है। $\R^3$ में: $F = \{x + y + z = 0\}$ और $G = \{x = y\}$ से मिलता है

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

अर्थात् एक रेखा। ग्रासमान से जाँच: $F + G = \R^3$ (समतल भिन्न हैं, अतः उनका योग किसी समतल को सचमुच समाहित करता है), अतः $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$। किसी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) के दोनों वर्णन — समीकरणों द्वारा और जनकों द्वारा — में से हर एक किसी एक संक्रिया को तुच्छ बना देता है: समीकरण एक के ऊपर एक रखकर काटते हैं, जनक एक साथ लिखकर जुड़ते हैं; और इन दोनों के बीच अनुवाद करना ही रैखिक निकाय हल करने का अर्थ है ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det))।

**टिप्पणी 19.22 (सामान्य भूलें).**

*योगों के अनुदिश विमाएँ जुड़ती नहीं* जब तक योग प्रत्यक्ष न हो: $\R^3$ के दो समतलों के लिए $\dim(F + G) = 3$ होता है, $4$ नहीं; सदा सर्वनिष्ठ वाले पद से सुधार कीजिए (ग्रासमान)। *अंतर्विष्टता के लिए विमा *और* अंतर्विष्टता, दोनों चाहिए*: अकेला $\dim F = \dim G$ कभी $F = G$ नहीं देता ($\R^2$ की दो भिन्न रेखाएँ); [प्रमेय 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) की समानता वाली स्थिति के लिए पहले $F \subseteq G$ चाहिए। *प्राचल गिन लेना अभी उपपत्ति नहीं है*: “$\R^4$ में दो समीकरण, अतः विमा $2$” तब विफल हो जाता है जब समीकरण परतंत्र हों ($x + y = 0$ और $2x + 2y = 0$ विमा $3$ छोड़ते हैं); निर्णय केवल कोई वास्तविक प्राचलन या [कोटि](#def-b1-findim-rank) की संगणना ही करती है। *जो [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) न हो, उसकी विमा की बात मत कीजिए*: *असमघातीय* निकायों के हल-समुच्चयों में $0$ नहीं होता; उनकी “विमा” संबद्ध समघातीय हल-समष्टि की विमा है ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) इसे यथार्थ बना देता है)। *अनंत विमा होती है*: $K[X]$ में हर आकार के [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं (एकपदी), अतः कोई परिमित जनक कुल हो ही नहीं सकता — तीन में से दो वाले नियम जैसे [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) कड़ाई से [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) हैं और $K[X]$ पर बुरी तरह विफल हो जाते हैं ([उपप्रमेय 20.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim) [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) तथा [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) के लिए यही दिखाएगा)। *[कोटि](#def-b1-findim-rank) [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) की बात है, सूची की नहीं*: किसी सदिश को दोहराने, क्रम बदलने या अशून्य अचरों से मापित करने पर [कोटि](#def-b1-findim-rank) नहीं बदलती, और $\operatorname{rk} = p$ (सदिशों की संख्या) एक *सिद्ध करने योग्य गुण* है — वह ठीक स्वतंत्रता ही है। $2$ [कोटि](#def-b1-findim-rank) वाले $5$ सदिशों के कुल में तीन सदिशों जितनी अतिरेकता है, जिसे विलोपन ([उदाहरण 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) स्पष्ट रूप से खोज देता है।

**टिप्पणी 19.23 (विमा कहाँ काम पर जाती है).**

यहाँ से आगे विमा इस पुस्तक का सबसे प्रिय गिनती-तर्क है। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) कोटि–शून्यता प्रमेय सिद्ध करता है, जो ग्रासमान के सूत्र का फलनात्मक रूप है; [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) पंक्ति-लघुकरण से कोटियाँ संगणित करता है; [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) “$K^n$ के $n$ सदिश [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं” को एक ही संख्या के अशून्य होने में बदल देता है। नीचे की सप्ताहांत समस्या विमा को *अंकगणित* करते हुए दिखाती है: [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $\Q$ पर विमाएँ गिनकर ऐसे अपरिमेयता-कथन सिद्ध हो जाते हैं जो हाथ से अछूते लगते हैं। स्नातक वर्ष 3 के खंड में वही विमा-गिनतियाँ, [समूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) सिद्धांत से परिष्कृत होकर, तय करती हैं कि कौन-सी शास्त्रीय रचना-समस्याएँ हल हो सकती हैं — वह कथा गैलुआ सिद्धांत है।

**टिप्पणी 19.24 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य).**

इस खंड के शेष भाग में विमा ही संरक्षित राशि है, और संरक्षण के नियमों को पहले ही नाम दे देना उचित है। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$ सिद्ध करता है: कोई रैखिक [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) जो कुचल देता है और जो बचा रखता है, दोनों का योग सदा स्रोत के बराबर होता है। [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) इसे हल-समुच्चयों की संरचना तक परिष्कृत करता है: $p$ अज्ञातों में से $\operatorname{rk} A$ धुरियाँ घटाने पर हल-समष्टि की विमा बचती है, जिसे गाउसीय विलोपन मुक्त प्राचलों के रूप में दिखा देता है। [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ का लांबिक [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) करता है, और [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) की सप्ताहांत समस्या ठीक यही बजट ख़र्च करती है: $n$ आँकड़ा-बिंदु, $2$ आरोपित प्राचल, $n - 2$ विमाएँ अवशिष्ट की। आगे किसी अध्याय में जब भी कोई गिनती संतुलित होने से इनकार करे, तो त्रुटि कोई भूली हुई अष्टि है या कोई अप्रत्यक्ष योग — सबसे पहले ग्रासमान के सूत्र पर लौटिए।

## 19.3 अभ्यास

**अभ्यास 19.1 ★.**

निम्नलिखित का एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) और विमा दीजिए:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**हल — अभ्यास 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; दोनों सदिश [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं ( [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) देखिए): $\dim F = 2$ ।
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0),  (0,0,2,1)\bigr)$ : [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ ।
3. $P(1) = P'(1) = 0$ का अर्थ है $(X-1)^2 \mid P$ ( [प्रतिज्ञप्ति 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#prop-b1-poly-multiplicity) ): $P = (X-1)^2(aX + b)$ । [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , विमा $2$ ।

**अभ्यास 19.2 ★.**

$\R^3$ में कुल $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ की [कोटि](#def-b1-findim-rank) संगणित कीजिए, और उसकी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) का एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) निकालिए।

**हल — अभ्यास 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ और $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: दोनों पहले दो सदिशों के संयोजन हैं, और वे [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं (अनुपाती नहीं)। [कोटि](#def-b1-findim-rank) $2$; [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$।

**अभ्यास 19.3 ★.**

विहित सदिशों का प्रयोग करके [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ को $\R^4$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) तक पूर्ण कीजिए, और औचित्य दीजिए।

**हल — अभ्यास 19.3.**

$e_1 = (1,0,0,0)$ और $e_3 = (0,0,1,0)$ जोड़कर देखिए। कुल $\bigl((1,1,0,0),
(0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है: शून्य संयोजन $\alpha(1,1,0,0) +
\beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta e_3 = 0$ $(\alpha + \gamma, \alpha,
\beta + \delta, \beta) = 0$ कहता है, अतः $\alpha = \beta = 0$, फिर $\gamma =
\delta = 0$। विमा $4$ में चार [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree))।

**अभ्यास 19.4 ★.**

सिद्ध कीजिए कि $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ $\R_3[X]$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और उसमें $X^3$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) खोजिए।

**हल — अभ्यास 19.4.**

घातें $0, 1, 2, 3$ युग्मशः भिन्न हैं: अतः [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([प्रतिज्ञप्ति 18.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria)), और विमा $4$ में चार सदिश: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)। $X^3$ के लिए: नीचे की ओर प्रसार कीजिए,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

अतः $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$; और $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X =
3\,X(X-1) + X$। इस प्रकार

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

$\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ पर [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$। (ये वेश बदले हुए स्टर्लिंग अंक हैं।)

**अभ्यास 19.5 ★★.**

मान लीजिए $F$ और $G$ किसी समष्टि $E$ की क्रमशः $4$ और $5$ विमा वाली उपसमष्टियाँ हैं, जहाँ $\dim E = 7$। $\dim(F \cap G)$ के संभव मान क्या हैं? $E = \R^7$ के साथ हर मान को साकार करने वाला एक उदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 19.5.**

ग्रासमान: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, और $F + G$ $E$ की ऐसी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है जिसमें $G$ है: $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$। अतः $\dim(F \cap G)
\in \{2, 3, 4\}$। $(e_1, \dots, e_7)$ विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) वाले $\R^7$ में $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ लेकर साकार रूप:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , सर्वनिष्ठ $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , विमा $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : $3$ विमा वाला सर्वनिष्ठ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : विमा $4$ ।

**अभ्यास 19.6 ★★.**

मान लीजिए $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$। सिद्ध कीजिए कि $H$ $\R_n[X]$ का अधिसमतल है ($n$ विमा वाली [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace)), $H$ का एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) दिखाइए *(गुणनखंड प्रमेय याद कीजिए: $P = (X-1)Q$)*, और एक [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) रेखा दीजिए।

**हल — अभ्यास 19.6.**

$H$ एक [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है ([अभ्यास 18.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-1) (4) अक्षरशः)। गुणनखंड प्रमेय से ([प्रमेय 8.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)), $\deg Q \leq n - 1$ के साथ $P \in H \iff P =
(X-1)Q$: [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ $\R_{n-1}[X]$ से $H$ पर एक रैखिक एकैकी आच्छादन है, अतः $H$ का एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

एक [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) रेखा: $\operatorname{Vect}(1)$ (अचर फलन)। वस्तुतः $H \cap
\operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (कोई अशून्य अचर $1$ पर शून्य नहीं होता) और विमाएँ जुड़कर $n + 1$ देती हैं: अतः ग्रासमान से $H \oplus
\operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$।

**अभ्यास 19.7 ★★.**

मान लीजिए $u_1, \dots, u_p$ $r$ [कोटि](#def-b1-findim-rank) वाले सदिश हैं। सिद्ध कीजिए कि एक सदिश हटाने पर $r$ या $r - 1$ [कोटि](#def-b1-findim-rank) वाला कुल मिलता है, और एक सदिश जोड़ने पर [कोटि](#def-b1-findim-rank) $r$ या $r + 1$ होती है। इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी भी एक निवेश या विलोपन से [कोटि](#def-b1-findim-rank) अधिक से अधिक $1$ बदलती है।

**हल — अभ्यास 19.7.**

विलोपन: $u_p$ हटाने पर [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) केवल सिकुड़ ही सकती है; और वह अधिक से अधिक एक विमा सिकुड़ती है, क्योंकि छोटी [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) के किसी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में $u_p$ वापस जोड़ने पर बड़ी समष्टि का जनक कुल मिल जाता है, वह भी अधिक से अधिक एक अतिरिक्त सदिश के साथ। सममित रूप से, कोई सदिश $v$ जोड़ने पर: नई [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) पुरानी को अधिक से अधिक एक अतिरिक्त जनक के साथ समाहित करती है, अतः उसकी विमा $r$ है (यदि $v$ पहले से [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) में था) अथवा $r + 1$ (अन्यथा, [प्रतिज्ञप्ति 18.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) से [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बढ़ जाता है)। दोनों [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) मिलकर “[कोटि](#def-b1-findim-rank) $1$-लिप्शिट्ज़ है” वाला निष्कर्ष देते हैं।

**अभ्यास 19.8 ★★★.**

मान लीजिए $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ $E$ ($\dim E =
n$) की ऐसी उपसमष्टियाँ हैं कि सभी $i$ के लिए $F_i \neq F_{i+1}$। सिद्ध कीजिए $k \leq n + 1$। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\R^n$ की उपसमष्टियों की कोई भी सचमुच वर्धमान शृंखला अधिक से अधिक $n + 1$ लंबी होती है, और अधिकतम लंबाई वाली एक शृंखला दिखाइए।

**हल — अभ्यास 19.8.**

किसी सचमुच वर्धमान शृंखला के अनुदिश विमाएँ सचमुच बढ़ती हैं ($F_i \subseteq
F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ और [प्रमेय 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): विमाओं की समानता समष्टियों की समानता बाध्य कर देती)। अतः $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots
< \dim F_k$ $\intint{0}{n}$ में पूर्णांकों का सचमुच वर्धमान अनुक्रम है: अधिक से अधिक $n + 1$ मान, $k \leq n + 1$। $\R^n$ में अधिकतम शृंखला:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

जिसकी लंबाई ठीक $n + 1$ है।

**अभ्यास 19.9 ★★★.**

मान लीजिए $E$ की विमा $n$ है और $F$, $G$ दो अधिसमतल हैं (विमा $n - 1$), $F
\neq G$। $\dim(F \cap G)$ संगणित कीजिए। सामान्यीकरण कीजिए: $k$ अधिसमतलों के सर्वनिष्ठ की विमा $\geq n - k$ होती है।

**हल — अभ्यास 19.9.**

$F + G$ $F$ को सचमुच समाहित करता है (क्योंकि $G \not\subseteq F$), अतः $\dim(F + G) = n$ और ग्रासमान $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$ देता है।

व्यापक दावा, $k$ पर आगमन से: $k$ अधिसमतलों का सर्वनिष्ठ $I_k$ $\dim I_k \geq
n - k$ रखता है। $k = 1$ के लिए सत्य। चरण: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$, और $E$ के भीतर ग्रासमान:

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**अभ्यास 19.10 ★★.**

मान लीजिए $E$ उन वास्तविक अनुक्रमों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है जो सभी $n$ के लिए $u_{n+2}
= 3u_{n+1} - 2u_n$ संतुष्ट करते हैं।

1. दिखाइए कि $E$ अनुक्रमों की समष्टि की [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है, और यह कि $E$ का कोई अनुक्रम युग्म $(u_0, u_1)$ से रैखिक रूप से पूर्णतः तय हो जाता है; इससे $\dim E = 2$ निकालिए।
2. जाँचिए कि अचर अनुक्रम $(1)$ और गुणोत्तर अनुक्रम $(2^n)$ $E$ में हैं और $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं।
3. $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ वाला $E$ का अनुक्रम खोजिए।

**हल — अभ्यास 19.10.**

1. प्रतिबंध $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ रैखिक है और शून्य अनुक्रम उसे संतुष्ट करता है: अतः $E$ एक [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है। आगमन से $u_0$ और $u_1$ हर $u_n$ तय कर देते हैं, और निर्भरता रैखिक है (हर चरण पिछले दो मानों का रैखिक संयोजन है); विलोमतः हर युग्म $(a, b)$ ठीक एक ही $E$ के अनुक्रम से आता है ( $u_n$ को पुनरावृत्ति से परिभाषित कीजिए)। [उदाहरण 19.5](#ex-b1-findim-dims) की तरह $E$ $(u_0, u_1) \in \R^2$ के द्वारा [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) तथा रैखिक रूप से प्राचलित है: $\dim E = 2$ ।
2. अचर: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ । गुणोत्तर: $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n  = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ । दोनों $E$ में हैं। स्वतंत्रता: सभी $n$ के लिए $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ से $n = 0$ और $n = 1$ पर मिलता है: $a + b =  0$ , $a + 2b = 0$ , अतः $a = b = 0$ । विमा $2$ में दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ( [प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) )।
3. $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ हल कीजिए: $b = 1$ , $a = -1$ , अतः $u_n =  2^n - 1$ (मर्सेन अनुक्रम)।

**अभ्यास 19.11 ★★.**

मान लीजिए $E$ की विमा $n$ है।

1. यदि $F, G$ ऐसी उपसमष्टियाँ हैं कि $\dim F + \dim G > n$ , तो सिद्ध कीजिए $F \cap G \neq \{0\}$ । उदाहरण दीजिए: $\R^{100}$ की $51$ और $50$ विमा वाली दो उपसमष्टियों में सदा कोई अशून्य सदिश उभयनिष्ठ होता है।
2. यदि $H$ कोई अधिसमतल है और $F$ ऐसी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) कि $F \cap H = \{0\}$ , तो सिद्ध कीजिए $\dim F \leq 1$ ।

**हल — अभ्यास 19.11.**

1. ग्रासमान: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geq \dim  F + \dim G - n > 0$ , अतः $F \cap G \neq \{0\}$ । $n = 100$ के साथ: $51 + 50  - 100 = 1 > 0$ , अर्थात् सर्वनिष्ठ में कोई रेखा है।
2. यदि $F \cap H = \{0\}$ , तो योग प्रत्यक्ष है और $\dim F + (n - 1) =  \dim(F \oplus H) \leq n$ , अतः $\dim F \leq 1$ । (विलोमतः $H$ में न समाई कोई रेखा इसे संतुष्ट करती ही है: अधिसमतल लगभग कुछ भी नहीं चूकते।)

**अभ्यास 19.12 ★★★.**

(उभयनिष्ठ [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum)) मान लीजिए $F, G$ $E$ ([परिमित विमा](#def-b1-findim-def)) की ऐसी उपसमष्टियाँ हैं कि $\dim F = \dim G$। सिद्ध कीजिए कि $F$ और $G$ का कोई *उभयनिष्ठ* [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) है: अर्थात् ऐसी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) $S$ है कि $E = F \oplus S = G \oplus S$। *($\dim
F$ पर नीचे की ओर आगमन कीजिए: यदि $F \neq G \neq E$, तो $x \notin F \cup G$ चुनिए — [अभ्यास 18.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-12) इसकी अनुमति देता है — और $F \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ तथा $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ पर विचार कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 19.12.**

$d = \dim F = \dim G$ पर $d = n$ से $d = 0$ तक नीचे की ओर आगमन। यदि $d = n$: तो $F = G = E$ और $S = \{0\}$ काम कर जाता है। मान लीजिए [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) $d + 1 \leq n$ विमा वाली उपसमष्टि-जोड़ियों के लिए सत्य है, और $\dim F = \dim G = d < n$ लीजिए।

यदि $F = G$: तो $S$ के लिए $F$ का कोई भी [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) लीजिए ([प्रमेय 19.14](#thm-b1-findim-subspaces))। यदि $F \neq G$: तो दोनों उचित हैं, अतः [अभ्यास 18.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-12) से ऐसा $x \notin F \cup G$ है। योग $F' = F \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ और $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ प्रत्यक्ष हैं ($x \notin F$, $x \notin G$) और उनकी विमा $d + 1$ है; आगमन-परिकल्पना से उनका कोई उभयनिष्ठ [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) $S'$ है: $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$। $S =
\operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ रखिए — यह प्रत्यक्ष है, क्योंकि $S' \cap
\operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$।

तब $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, और $F \cap S =
\{0\}$: यदि $f \in F$, $s' \in S'$ के साथ $f = \lambda x + s'$, तो $s' = f -
\lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, अतः $f = \lambda x$, जो $\lambda = 0$ ($x
\notin F$) और $f = 0$ बाध्य कर देता है। अतः $E = F \oplus S$, और सममित रूप से $E = G \oplus S$।

## 19.4 समस्या: डेडेकिंड का मीनार नियम

**समस्या 19.1.**

अध्याय 18–19 में अदिशों के विषय में क्षेत्र-अभिगृहीतों ([परिभाषा 7.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field)) से आगे कुछ भी प्रयुक्त नहीं हुआ: अतः $K =
\Q$ लिया जा सकता है और *वास्तविक संख्याओं* के [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Q$-विमा के गज़ से नापे जा सकते हैं। यह समस्या $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$ की विमा संगणित करती है, *डेडेकिंड का [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1)* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ सिद्ध करती है, और शुद्ध विमा-गिनती से अपरिमेयता की प्रमेयें काट लेती है — न $\varepsilon$, न दशमलव, केवल [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)।

**भाग I — परिमेय अदिश।**

1. जाँचिए कि $\Q$ एक [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) है और अध्याय 18–19 की हर परिभाषा तथा उपपत्ति अदिशों के केवल क्षेत्र-अभिगृहीतों का प्रयोग करती है; निष्कर्ष निकालिए कि $\R$ एक $\Q$ -सदिश समष्टि है और विनिमय प्रमेयिका, आधार-प्रमेयें तथा ग्रासमान का सूत्र $\Q$ पर लागू होते हैं। [प्रमेय 19.2](#thm-b1-findim-exchange) की उपपत्ति का वह एक चरण बताइए जहाँ किसी अशून्य अदिश से भाग दिया जाता है।
2. दिखाइए कि $(1, \sqrt2)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है पर $\R$ पर परतंत्र। $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in  \Q\}$ रखिए; $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ क्या है?
3. दिखाइए कि $\Q(\sqrt2)$ गुणन के अंतर्गत स्थायी है। $u = a + b\sqrt2$ के लिए $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ और $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ रखिए। $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ दिखाइए, $N(uv) = N(u)N(v)$ निकालिए, और दिखाइए कि $u \neq 0$ होने पर $N(u) \neq 0$ ।
4. इससे निष्कर्ष निकालिए कि हर अशून्य $u \in \Q(\sqrt2)$ का प्रतिलोम $\Q(\sqrt2)$ में ही है, अर्थात् $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : अतः $\Q(\sqrt2)$ $\R$ का उपक्षेत्र है। $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ और $\dfrac1{1 +  \sqrt2}$ संगणित कीजिए।

**भाग II — $\sqrt3$ को जोड़ना।**

5. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt6 \notin \Q$ *($6q^2 = p^2$ के दोनों पक्षों पर $2$ के घातांक की तुलना कीजिए, जैसा [अभ्यास 6.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7) में)* , फिर यह कि $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ *($\sqrt3 = a + b\sqrt2$ का वर्ग कीजिए और $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$ स्थितियों पर चर्चा कीजिए)* ।
6. मान लीजिए $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ । दिखाइए कि $M$ गुणन के अंतर्गत स्थायी है *(आधार-सदिशों के गुणनफलों की एक सारणी पर्याप्त है)* ।
7. $K = \Q(\sqrt2)$ लिखिए। दिखाइए कि $(1, \sqrt3)$ *[क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $K$ पर* [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और निष्कर्ष निकालिए कि $M = K + K\sqrt3$ विमा $2$ वाली $K$ -सदिश समष्टि है जिसका [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ है।
8. सिद्ध कीजिए कि $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, अतः $\dim_\Q M = 4$ । *(किसी शून्य संबंध को $(a + b\sqrt2) + (c +  d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ के रूप में समूहबद्ध कीजिए और पहले प्रश्न 7, फिर प्रश्न 2 लगाइए।)*

**भाग III — [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1)।** मान लीजिए $\Q \subseteq K
\subseteq M \subseteq \R$, जहाँ $K$ और $M$ उपक्षेत्र हैं, $(e_1, \dots,
e_m)$ $\Q$-सदिश समष्टि के रूप में $K$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और $(f_1, \dots, f_n)$ $K$-सदिश समष्टि के रूप में $M$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)।

9. दिखाइए कि $mn$ गुणनफल $(e_i f_j)$ $\Q$ पर $M$ को जनित करते हैं।
10. दिखाइए कि कुल $(e_i f_j)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। *(किसी शून्य $\Q$-संयोजन को $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित कीजिए, जिसके भीतरी गुणांक $K$ में रहते हैं।)*
11. *डेडेकिंड के [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1)* के साथ निष्कर्ष निकालिए: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ और उसे $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ पर प्रश्न 7 तथा 8 के सामने जाँचिए।
12. (मुफ़्त में [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ) मान लीजिए $A \subseteq \R$ $1$ को समाहित करने वाली, गुणन के अंतर्गत स्थायी, [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) $\Q$ -उपसमष्टि है, और $u \in A$ , $u \neq 0$ । दिखाइए कि यदि $(a_1, \dots, a_d)$ $A$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, तो $(u a_1,  \dots, u a_d)$ भी $A$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $u$ का प्रतिलोम *$A$ में ही* है: अतः $A$ $\R$ का उपक्षेत्र है। इससे पहले के कौन-से प्रश्न फिर से मिल जाते हैं?
13. दिखाइए कि हर $x \in A$ के लिए (प्रश्न 12 की तरह, $\dim_\Q A = d$ ) कुल $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ परतंत्र है: अर्थात् $A$ का हर अवयव परिमेय गुणांकों वाले किसी अशून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) का मूल है, जिसकी घात अधिक से अधिक $d$ है।

**भाग IV — एक ही संख्या सब कुछ जनित कर देती है।** $s = \sqrt2 + \sqrt3$ रखिए।

14. $M$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ में $s^2$ , $s^3$ और $s^4$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) संगणित कीजिए।
15. दिखाइए कि $(1, s, s^2, s^3)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ निकालिए: $M$ का हर अवयव $s$ में एक परिमेय [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है। $\sqrt2$ और $\sqrt3$ को ऐसे ही बहुपदों के रूप में व्यक्त कीजिए।
16. $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ सत्यापित कीजिए, और दिखाइए कि $X^4 - 10X^2 + 1$ $s$ पर शून्य होने वाला *न्यूनतम घात का [इकाई-अग्र बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)* है। उसके चारों वास्तविक मूल निर्धारित कीजिए।
17. निष्कर्ष निकालिए: $1/s = 10s - s^3$ ; इस संख्या को पहचानिए। दिखाइए कि $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) परिमेय है तभी जब $b =  c = d = 0$ ; विशेष रूप से $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ अपरिमेय है ( [अभ्यास 10.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-7) को और सुदृढ़ करते हुए)।

**भाग V — घनमूल बाहर ही रहता है।** $t = 2^{1/3}$ रखिए।

18. दिखाइए कि $X^3 - 2$ का कोई परिमेय मूल नहीं है *([अभ्यास 8.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-5) की परिमेय-मूल कसौटी, अथवा कोई मूल्यांकन-गिनती)* ; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $(1, t)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है।
19. दिखाइए कि $(1, t, t^2)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। *(यदि $\leq 2$ घात वाला कोई अशून्य $P \in \Q[X]$ $t$ को मार देता है, तो न्यूनतम घात वाला एक लीजिए और $X^3 - 2$ को उससे भाग दीजिए, [प्रमेय 8.3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division); निष्कर्ष निकालिए कि $X^3 - 2$ का कोई परिमेय मूल होता।)* इससे निकालिए कि $A  = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ की विमा $3$ है, वह गुणन के अंतर्गत स्थायी है, और $\R$ का उपक्षेत्र है।
20. सिद्ध कीजिए कि $t \notin M$ : अन्यथा $M$ [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$ पर एक [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) होती, और [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) $3 \mid 4$ बाध्य कर देता। अतः $2^{1/3}$ $1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ का परिमेय संयोजन नहीं है।
21. इससे निष्कर्ष निकालिए कि $t \notin \Q(\sqrt2)$ , कि $t + \sqrt2$ अपरिमेय है, और यह कि कोई भी परिमेय $a, b$ $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ संतुष्ट नहीं करते।

**भाग VI — सभी उपक्षेत्र, और संश्लेषण।**

22. घातों की [विभाज्यता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) सिद्ध कीजिए: यदि $\Q \subseteq A \subseteq B  \subseteq \R$ ऐसे उपक्षेत्र हैं कि $\dim_\Q B$ परिमित है, तो $\dim_\Q A$ $\dim_\Q B$ को [विभाजित करता है](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) । $M$ के उपक्षेत्रों की संभव विमाएँ क्या हैं?
23. $\Q$ पर $2$ विमा वाले $M$ के *सभी* उपक्षेत्र निर्धारित कीजिए। *($w^2 \in \Q$ वाले $w = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M  \setminus \Q$ खोजने तक घटाइए: $w^2$ प्रसारित कीजिए और तीनों अपरिमेय [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) शून्य कीजिए।)*
24. $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ को [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ में व्यक्त कीजिए *(सुचुने हुए संयुग्मियों से गुणा कीजिए)* ।
25. संश्लेषण, चार वाक्यों में: $\Q$ -विमा वास्तविक संख्याओं के किसी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का *अंकगणितीय* अचर क्यों है; विमा की परिमितता हर अवयव के विषय में क्या बाध्य कर देती है (प्रश्न 13); तीन में से दो वाले नियम ने हवा में से प्रतिलोम कैसे पैदा किए (प्रश्न 12); और [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) किस बात को मना करता है (प्रश्न 20)। भाग III में सिद्ध प्रमेय का नाम बताइए।

**हल — समस्या 19.1.**

**1.** $\Q$ में $0 \neq 1$ है, वह योग, गुणन और विपरीत के अंतर्गत स्थायी है, और हर अशून्य परिमेय का परिमेय प्रतिलोम है: अतः एक [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ([परिभाषा 7.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field))। [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span), स्वतंत्रता और [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) की परिभाषाएँ तथा अध्याय 18–19 की उपपत्तियाँ केवल सदिश-योग, वितरण नियम और किसी [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) के भीतर के अदिश-अंकगणित का प्रयोग करती हैं — कभी किसी निरपेक्ष मान, क्रम या सीमा का नहीं। अतः $\R$, अपने स्वयं के योग और गुणन $\Q \times \R
\to \R$ के साथ, एक $\Q$-सदिश समष्टि है, और सभी प्रमेयें लागू होती हैं। अदिश से भाग [प्रमेय 19.2](#thm-b1-findim-exchange) की उपपत्ति में एक बार आता है: “$g_k$ के लिए हल करने” के लिए उसके अशून्य गुणांक से भाग दिया जाता है।

**2.** यदि $a, b \in \Q$ के दोनों शून्य न हों और $a + b\sqrt2 = 0$: तो $b \neq 0$ $\sqrt2 = -a/b \in \Q$ देता, जो $\sqrt2$ की अपरिमेयता का विरोध करता ($p = 2$ के साथ [अभ्यास 6.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7)); अतः $b = 0$, फिर $a = 0$: अर्थात् $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)। $\R$ पर संबंध $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 =
0$ अतुच्छ है: अतः परतंत्र। इस प्रकार $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, और [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b)$ अद्वितीय हैं।

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in
\Q(\sqrt2)$। तब

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

अतः $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$। यदि $u
\neq 0$ के साथ $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$: तो $b \neq 0$ $(a/b)^2 = 2$ देता, अर्थात् $2$ का परिमेय वर्गमूल; अतः $b = 0$, फिर $a = 0$ और $u = 0$: विरोधाभास। इस प्रकार $u \neq 0$ के लिए $N(u) \neq 0$।

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} = 1$, और $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: हर अशून्य अवयव $\Q(\sqrt2)$ के भीतर ही व्युत्क्रमणीय है, अतः वह $\R$ का उपक्षेत्र है। उदाहरण: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 -
8 = 1$, अतः

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** यदि $\sqrt6 = p/q$, तो $6q^2 = p^2$; बाईं ओर $2$ का घातांक $1 +
2v_2(q)$ है, जो विषम है, और दाईं ओर $2v_2(p)$, जो सम है: असंभव। अब मान लीजिए $a, b \in \Q$ के साथ $\sqrt3 = a + b\sqrt2$। वर्ग करने पर: $3 = a^2 + 2b^2 +
2ab\sqrt2$। यदि $ab \neq 0$, तो $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: असंभव। यदि $b = 0$: $\sqrt3 = a \in \Q$, जो [अभ्यास 6.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7) ($p = 3$) का विरोध करता है। यदि $a = 0$: $\sqrt3 = b\sqrt2$, और $\sqrt2$ से गुणा करने पर: $\sqrt6 = 2b \in \Q$: असंभव। अतः $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$।

**6.** आधार-सदिशों के गुणनफल हैं

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

और सभी $M$ में हैं। $M$ के दो अवयवों का गुणनफल द्विरैखिकता से इन्हीं के परिमेय संयोजनों में प्रसारित हो जाता है: अतः $M$ गुणन के अंतर्गत स्थायी है।

**7.** मान लीजिए $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$ के साथ $x + y\sqrt3 = 0$। यदि $y \neq 0$, तो $\sqrt3 = -x/y \in K$ (प्रश्न 4: $K$ एक [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) है), जो प्रश्न 5 का विरोध करता है। अतः $y = 0$, फिर $x = 0$: अर्थात् $(1, \sqrt3)$ $K$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। और वह जनक भी है: $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c +
d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$। इस प्रकार $\dim_K M = 2$।

**8.** संबंध $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ $K$ में गुणांकों के साथ $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ के रूप में फिर से समूहबद्ध हो जाता है; प्रश्न 7 से दोनों शून्य हो जाते हैं, और प्रश्न 2 से $a = b = 0$ तथा $c = d = 0$। अतः कुल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है और $\dim_\Q M = 4$।

**9.** हर $x \in M$ $y_j \in K$ के साथ $x = \sum_j y_j f_j$ लिखा जाता है ($K$ पर $M$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)), और हर $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ $\lambda_{ij}
\in \Q$ के साथ ($\Q$ पर $K$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)); प्रतिस्थापित करने पर $x = \sum_{i,j}
\lambda_{ij}\, e_i f_j$: अतः गुणनफल $\Q$ पर $M$ को जनित करते हैं।

**10.** मान लीजिए $\lambda_{ij} \in \Q$ के साथ $\sum_{i,j}
\lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$। फिर से समूहबद्ध कीजिए: $\sum_j \bigl(\sum_i
\lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$, और भीतरी योग $K$ के सदस्य हैं। $K$ पर $(f_j)$ की स्वतंत्रता हर $j$ के लिए $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ देती है; फिर $\Q$ पर $(e_i)$ की स्वतंत्रता सभी $i, j$ के लिए $\lambda_{ij} = 0$ दे देती है।

**11.** प्रश्न 9 और 10 से $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ $\Q$ पर $M$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, जिसमें $mn$ अवयव हैं:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

जाँच: $\dim_\Q K = 2$ और $\dim_K M = 2$ (प्रश्न 2 और 7) से $\dim_\Q M = 4$ मिलता है, जो प्रश्न 8 ही है।

**12.** सदिश $u a_1, \dots, u a_d$ $A$ के सदस्य हैं (स्थायित्व)। वे [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं: यदि $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, तो $\R$ में $u \sum_i
\lambda_i a_i = 0$, और $u \neq 0$ $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ बाध्य कर देता है, अतः $\lambda_i = 0$ ($a_i$ [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं)। अतः $(u a_1, \dots, u a_d)$ $A$ में $d$ सदिशों का [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, $\dim_\Q A = d$: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree))। विशेष रूप से $1 \in A$ $v = \sum_i \mu_i
a_i \in A$ के साथ $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ के रूप में विघटित होता है: अर्थात् $u$ का प्रतिलोम $A$ में है। इससे प्रश्न 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) फिर से मिल जाता है और एक ही झटके में सिद्ध हो जाता है कि $M$ $\R$ का उपक्षेत्र है (प्रश्न 6 के साथ)।

**13.** $d + 1$ सदिश $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ सभी $A$ में हैं (गुणनफलों के अंतर्गत स्थायित्व); $A$ के किसी [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में अधिक से अधिक $d$ सदिश होते हैं ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), अतः वे परतंत्र हैं: ऐसे परिमेय $\lambda_0, \dots, \lambda_d$ हैं, जो सब शून्य नहीं हैं, और $\sum_k \lambda_k x^k = 0$। [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P = \sum_k \lambda_k X^k$ अशून्य है, उसके गुणांक परिमेय हैं, उसकी घात $\leq d$ है, और $P(x) = 0$।

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0,
2)$। तब

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ ($\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ का प्रयोग करते हुए)। अंत में $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 +
20\sqrt6$: [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$।

**15.** मान लीजिए $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$। $(1, \sqrt2, \sqrt3,
\sqrt6)$ पर चारों [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) पढ़ने पर:

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

अतः $c = 0$, फिर $a = 0$; बीच के समीकरणों को घटाने पर $2d = 0$, फिर $b = 0$: अतः $(1, s, s^2, s^3)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। $4$ विमा वाले $M$ में चार [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free), इसलिए $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$। प्रश्न 14 से $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ और $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) + 1 = 0$। $s$ पर शून्य होने वाला $\leq 3$ घात का कोई [इकाई-अग्र बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $(1, s, s^2,
s^3)$ का अतुच्छ शून्य संयोजन दे देता, जो प्रश्न 15 का विरोध करता: अतः $X^4 -
10X^2 + 1$ की घात न्यूनतम है। उसके मूल: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$, अतः चारों वास्तविक मूल $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ और $\pm(\sqrt3 -
\sqrt2)$ हैं, अर्थात् $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$।

**17.** $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ से: $s\,(10s - s^3) = 1$, अतः

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

जो $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$ के संगत है। यदि $a + b\sqrt2 +
c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, तो $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 =
0$, और स्वतंत्रता (प्रश्न 8) $b = c = d = 0$ बाध्य कर देती है (तथा $a = r$)। $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ के लिए [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ इस रूप के नहीं हैं: अतः अपरिमेय — यह [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) [अभ्यास 10.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-7) से सुदृढ़ है, और वह भी वर्ग करने की किसी चाल के बिना प्राप्त।

**18.** $X^3 - 2$ का कोई परिमेय मूल $p/q$ (लघुतम पदों में) $p^3 = 2q^3$ संतुष्ट करता है, और [अभ्यास 8.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-5) की कसौटी $p \mid 2$, $q \mid 1$ देती है: अतः संभावित मान $\pm1, \pm2$, जिनके घन $\pm1, \pm8 \neq 2$ हैं। कोई परिमेय मूल नहीं; विशेष रूप से $t = 2^{1/3} \notin \Q$, अतः $(1, t)$ $\Q$ पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है (प्रश्न 2 की तरह)।

**19.** मान लीजिए $(1, t, t^2)$ परतंत्र है: $\deg P \leq 2$ के साथ कोई अशून्य $P \in \Q[X]$ ऐसा है कि $P(t) = 0$; ऐसा $P$ *न्यूनतम* घात $d
\geq 1$ वाला चुनिए। प्रश्न 18 से $d \neq 1$, अतः $d = 2$। यूक्लिडीय भाग ([प्रमेय 8.3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)): $Q, R \in \Q[X]$, $\deg R < 2$ के साथ $X^3 -
2 = PQ + R$। $t$ पर मूल्यांकन करने पर: $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$, अतः $R$ $t$ पर शून्य होता है; $d$ की न्यूनतमता $R = 0$ बाध्य कर देती है। तब $\deg Q
= 1$ के साथ $X^3 - 2 = PQ$: $Q$ का परिमेय मूल $X^3 - 2$ का परिमेय मूल है, जो प्रश्न 18 का विरोध करता है। अतः $(1, t, t^2)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है और $\dim_\Q A =
3$। स्थायित्व: $t^3 = 2$ $1, t, t^2$ के हर गुणनफल को उन्हीं के संयोजन तक घटा देता है ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot t^2 = 2t$); $A$ में $1$ है: अतः प्रश्न 12 से $A$ $\R$ का उपक्षेत्र है।

**20.** मान लीजिए $t \in M$। तब $t^2 \in M$ (स्थायित्व), अतः $A
\subseteq M$, और $M$ [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$ पर एक [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) है: अभिगृहीत वही $\R$-अंकगणित के हैं, बस सीमित करके। वह $A$ पर [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) है (कोई परिमित $\Q$-जनक कुल $A \supseteq \Q$ पर तो और भी सुगमता से जनक है)। $\Q \subseteq A
\subseteq M$ के लिए [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) देता है

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

जो असंभव है: $3$ $4$ को विभाजित नहीं करता। अतः $2^{1/3} \notin M$: $1,
\sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ का कोई परिमेय संयोजन $2^{1/3}$ के बराबर नहीं है।

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, अतः $t \notin \Q(\sqrt2)$। यदि $t +
\sqrt2 = r \in \Q$, तो $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$: विरोधाभास — अर्थात् $2^{1/3} + \sqrt2$ अपरिमेय है। यदि $t = a + b\sqrt3$, तो $t \in
\operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$: फिर से विरोधाभास।

**22.** $B$ [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$ पर एक [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) है (अदिशों का सीमन), और [परिमित-विमीय](#def-b1-findim-def) है, क्योंकि $\dim_\Q B$ परिमित है। $\Q \subseteq A \subseteq B$ के लिए [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ देता है: अर्थात् बायाँ गुणनखंड [विभाजित करता है](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides)। अतः $M$ के उपक्षेत्रों की $\Q$-विमा $1$, $2$ या $4$ है: विमा $1$ स्वयं $\Q$ है, और विमा $4$ $M$ है।

**23.** मान लीजिए $F \subseteq M$ ऐसा उपक्षेत्र है कि $\dim_\Q F = 2$, और $w \in F \setminus \Q$: $(1, w)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, अतः $F$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)। प्रश्न 13 से ($d = 2$) परिमेय $\alpha, \beta$ के लिए $w^2 = \alpha + \beta w$। $v = w
- \beta/2 \in F \setminus \Q$ रखने पर:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

और $F = \operatorname{Vect}(1, v)$। अब $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ लिखिए और प्रसार कीजिए:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

तीनों अपरिमेय [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) शून्य हो जाते हैं: $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc =
0$। यदि $a \neq 0$: तो $b = -3cd/a$, और दूसरी शर्त $c(a^2 - 6d^2) = 0$ बन जाती है; चूँकि $d \neq 0$ के साथ $a^2 = 6d^2$ $\sqrt6 = \abs{a/d}$ को परिमेय बना देता, अतः या तो $c = 0$ या $d = 0$, और दोनों स्थितियों में शेष शर्तें $b
= c = d = 0$ बाध्य कर देती हैं, अर्थात् $v \in \Q$: जो निषिद्ध है। अतः $a =
0$, और शर्तें $3cd = 2bd = bc = 0$ कहती हैं: $b, c, d$ में से अधिक से अधिक एक अशून्य है। इस प्रकार $v$ $\sqrt2$, $\sqrt3$ अथवा $\sqrt6$ का परिमेय गुणज है, और

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

और इनमें से हर एक सचमुच $2$-विमीय उपक्षेत्र है (स्थायित्व प्रश्न 6 की तरह, प्रतिलोम प्रश्न 12 से): अतः ठीक तीन द्विघातीय उपक्षेत्र।

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 + \sqrt2)^2 -
3 = 2\sqrt2$, अतः

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(जाँच: प्रसार के बाद $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$।)

**25.** (क) $\Q$-विमा $\R$ के हर उपक्षेत्र से एक *पूर्णांक* जोड़ देती है, और [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) इन पूर्णांकों को अंतर्विष्टताओं के अनुदिश गुणा करा देता है: विमा किसी अंकगणितीय अचर की तरह व्यवहार करती है, और [विभाज्यता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) की बाध्यताएँ असंभवता की उपपत्तियाँ बन जाती हैं। (ख) [परिमित विमा](#def-b1-findim-def) हर अवयव को ऐसा अशून्य परिमेय बहुपद-समीकरण संतुष्ट करने पर बाध्य कर देती है जिसकी घात अधिक से अधिक विमा जितनी हो: परिमितता का अर्थ बीजीयता है। (ग) तीन में से दो वाले नियम ने “$u$ से गुणा किसी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) को अधिकतम आकार के [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर भेजता है” को आच्छादकता में बदल दिया, और बिना किसी सूत्र के $u^{-1}$ पैदा कर दिया: प्रतिलोम गिनती से आए। (घ) [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1) $4$-विमीय [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) के भीतर $3$-विमीय [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) को मना करता है, और इसीलिए $2^{1/3}$ तक $\sqrt2$ और $\sqrt3$ से नहीं पहुँचा जा सकता। भाग III की प्रमेय *डेडेकिंड का [मीनार नियम](#pb-b1-findim-1)* है, जो गैलुआ सिद्धांत की पहली चाल है और स्नातक वर्ष 3 के खंड में विकसित होती है।