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title: "रैखिक प्रतिचित्रण"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps
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# अध्याय 20 — रैखिक प्रतिचित्रण

सदिश समष्टियों के बीच अध्ययन योग्य [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) वही हैं जो संरचना के अनुकूल हों: *[रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def)*। उनकी दो मूलभूत उपसमष्टियाँ — [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) और [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) — एकैकीपन और आच्छादकता नापती हैं, और [परिमित विमा](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) में कोटि–शून्यता प्रमेय उनके आकारों को एक ही संरक्षण नियम में बाँध देती है। [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) और सममितियाँ, फिर [रैखिक रूप](#def-b1-linmaps-forms) और [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms), अध्याय को बंद करते हैं।

## 20.1 परिभाषाएँ और प्रथम गुण

**परिभाषा 20.1.**

मान लीजिए $E, F$ $K$-सदिश समष्टियाँ हैं। [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $u \colon E \to F$ *रैखिक* तब कहलाता है जब

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

तब $u(0) = 0$ और $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$। रैखिक प्रतिचित्रणों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ स्वयं एक [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) है; रैखिक प्रतिचित्रणों का संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) रैखिक होता है, और जोड़ी में द्विरैखिक। *अंतःसमाकारिता* कोई रैखिक $E \to E$ है; *तुल्याकारिता* कोई [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) रैखिक [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) है (तब उसका प्रतिलोम स्वतः रैखिक होता है); किसी तुल्याकारिता का $u^{-1}$, तथा तुल्याकारिताओं के संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map), तुल्याकारिताएँ होते हैं।

**प्रतिलोम के रैखिक होने की उपपत्ति.** मान लीजिए $u$ [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) और [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है, $y, y' \in F$ और $\lambda \in K$। $x = u^{-1}(y)$ तथा $x' = u^{-1}(y')$ रखिए। तब

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

और दोनों सिरों पर $u^{-1}$ लगाने से: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda
x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$। $u^{-1}$ के विषय में कुछ भी संगणित नहीं किया गया: रैखिकता केवल $u$ के परिभाषक गुण के सहारे स्थानांतरित हो जाती है — यह प्रतिरूप याद रखने योग्य है, क्योंकि संरचना प्रायः एकैकी आच्छादनों पर मुफ़्त में सवारी कर लेती है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 20.2 (रैखिक प्रतिचित्रण आधार पर जान लिया जाता है).**

मान लीजिए $(e_1, \dots, e_n)$ $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है और $(v_1, \dots, v_n)$ $F$ के स्वेच्छ सदिश। ठीक एक ही [रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) $u \colon E \to F$ ऐसा है कि सभी $i$ के लिए $u(e_i) = v_i$। इसके अतिरिक्त:

$$
u \text{ एकैकी} \iff (v_i) \text{ स्वतंत्र};
\qquad
u \text{ आच्छादक} \iff (v_i),\ F \text{ का जनक कुल है} .
$$

**उपपत्ति.** अस्तित्व/अद्वितीयता: हर $x$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $x = \sum \lambda_i e_i$ अद्वितीय हैं ([प्रतिज्ञप्ति 18.15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates)); रैखिकता $u(x) = \sum \lambda_i
v_i$ बाध्य कर देती है, और यह सूत्र सचमुच एक [रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) परिभाषित करता है।

एकैकीपन: नीचे के [प्रतिज्ञप्ति 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) से $u$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है तभी जब उसकी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) तुच्छ हो। अब $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ का अर्थ ठीक $\sum\lambda_i v_i = 0$ है। यदि $(v_i)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, तो यह हर $\lambda_i =
0$ बाध्य कर देता है, अर्थात् [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) घटकर $0$ रह जाती है: अतः [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj)। यदि $(v_i)$ परतंत्र है, तो कोई अतुच्छ संबंध $\sum\lambda_i v_i = 0$ [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) में अशून्य सदिश $\sum\lambda_i e_i$ पैदा कर देता है ($(e_i)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है): अतः [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं। दोनों शर्तें पद-दर-पद मेल खाती हैं।

आच्छादकता: $u$ का [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) सभी $\sum\lambda_i v_i$ का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है, अर्थात् ठीक $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, जो $F$ के बराबर है तभी जब वह कुल जनक हो। ∎

**परिभाषा 20.3 (अष्टि और प्रतिबिंब).**

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए:

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

दोनों उपसमष्टियाँ हैं (कसौटी से सीधा सत्यापन)।

**विधि 20.4 (अष्टि और प्रतिबिंब, व्यवहार में).**

*[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim)*: $u(x) = 0$ को $x$ के निर्देशांकों (अथवा गुणांकों) पर एक निकाय के रूप में लिखिए, हल कीजिए, और प्राचलन कीजिए — [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) समेत निकल आती है ([विधि 19.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#met-b1-findim-computedim))। *[प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim)*: वह $E$ के *किसी भी* जनक कुल के प्रतिबिंबों की [जनित समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) है — प्रायः किसी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) की, अतः $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots,
u(e_n)\bigr)$; फिर अनावश्यक [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) हटाकर [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) निकाल लीजिए। *छोटा रास्ता*: दोनों में से जो सरल हो उसे संगणित कीजिए और दूसरे की विमा कोटि–शून्यता से मुफ़्त में पाइए ([प्रमेय 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)); और जब [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) के लिए कोई विश्वसनीय संभावित [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) ज्ञात हो, तो विमाओं की तुलना सरल अंतर्विष्टता को समानता में बदल देती है ([प्रमेय 19.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-subspaces))। नीचे [उदाहरण 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) में दोनों छोटे रास्ते प्रयुक्त हुए हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 20.5.**

$u$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है $\iff$ $\ker u = \{0\}$; $u$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है $\iff$ $\operatorname{im} u = F$।

**उपपत्ति.** समूहों की तरह ही ([प्रतिज्ञप्ति 7.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#prop-b1-structures-kernel)): $u(x) = u(y) \iff u(x -
y) = 0 \iff x - y \in \ker u$। दूसरा बिंदु परिभाषा ही है। ∎

## 20.2 कोटि–शून्यता प्रमेय

**परिभाषा 20.6.**

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ की *कोटि* ($E$ के [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) होने पर) $\operatorname{rk} u = \dim
\operatorname{im} u$ है — और वह $E$ के किसी भी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_i)$ के लिए कुल $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ की कोटि भी है।

**प्रमेय 20.7 (कोटि–शून्यता).**

मान लीजिए $E$ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) है और $u \in \mathcal{L}(E, F)$। तब

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

अधिक यथार्थ रूप से, यदि $S$ $E$ में $\ker u$ की कोई [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है, तो $u$ सीमित होकर $S$ से $\operatorname{im} u$ पर एक *तुल्याकारिता* बन जाता है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $S$ $E = \ker u \oplus S$ संतुष्ट करती है ([प्रमेय 19.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-subspaces)), और $v \colon S \to \operatorname{im} u$ $u$ का सीमन है।

$v$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$।

$v$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है: $x = k + s$ वाला कोई भी $u(x)$ ($k \in \ker u$, $s \in S$) $u(s) = v(s)$ के बराबर है।

अतः $v$ एक तुल्याकारिता है; और तुल्याकारिता [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) को [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर भेजती है ([प्रतिज्ञप्ति 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), अतः $\dim S = \dim\operatorname{im} u$, और $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ निष्कर्ष दे देता है। ∎

**उदाहरण 20.8 (माँग के अनुसार प्रतिचित्रण बनाना).**

ऐसा $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ बनाइए कि $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$। पहले जाँच: कोटि–शून्यता $1 + 2 = 3$ माँगती है — जो संगत है, अतः कोई हल हो सकता है। [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) के अनुकूल कोई [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) चुनिए, जैसे $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ ([उदाहरण 19.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ex-b1-findim-completion)), और [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) निर्धारित कीजिए ([प्रतिज्ञप्ति 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)):

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

तब $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; कोटि–शून्यता $\dim\ker u = 1$ बाध्य कर देती है, अतः [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) ठीक वही निर्धारित रेखा है। स्पष्ट रूप से, $(x,
y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ का विघटन करने पर:

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

यह नुस्ख़ा सामान्यीकृत हो जाता है: निर्धारित [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $N$ और निर्धारित [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) $I$ वाला [रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) ठीक तब होता है जब $\dim N + \dim I =
\dim E$ — आवश्यकता कोटि–शून्यता है, और पर्याप्तता यही रचना।

**उपप्रमेय 20.9.**

यदि $\dim E = \dim F$ (परिमित), तो $u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए:

$$
u \text{ एकैकी} \iff u \text{ आच्छादक} \iff u \text{एकैकी आच्छादक}.
$$

विशेष रूप से यह [परिमित विमा](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) में अंतःसमाकारिताओं पर लागू होता है। (अनंत विमा में यह विफल हो जाता है: $K[X]$ पर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है पर [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं, और $P
\mapsto XP$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है पर [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं।)

**उपपत्ति.** [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff
\operatorname{im} u = F$ (पूरी विमा वाली [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) सब कुछ होती है, [प्रमेय 19.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj)। ∎

**उदाहरण 20.10 (अंतर्वेशन, संरचनात्मक दृष्टि से).**

भिन्न-भिन्न $x_0, \dots, x_n$ नियत कीजिए और $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ लीजिए: यह [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) है। उसकी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $\{P :
\deg P \leq n,\ n+1 \text{ मूल}\} = \{0\}$ है ([उपप्रमेय 8.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots))। विमाएँ बराबर हैं $n + 1$: अतः $u$ एक तुल्याकारिता है — अर्थात् लाग्रांज अंतर्वेशक ([प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)) का अस्तित्व *और* अद्वितीयता, दोनों एक ही पंक्ति में।

यही एक-पंक्ति वाला प्रतिरूप उन आँकड़ों को भी सँभाल लेता है जिनमें मान और [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) मिले-जुले हों: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0),
P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) है, और उसकी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) में $\leq 3$ घात वाले वे [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) हैं जिनके $0$ *और* $1$ दोनों पर दुहरे मूल हों, अर्थात् जो $4$ घात वाले $X^2(X-1)^2$ से विभाज्य हों: केवल $P = 0$। विमाएँ फिर बराबर हैं: अतः आँकड़ों का हर चतुष्क $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ ठीक एक ही त्रिघातीय [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) से साकार होता है — यही एरमीट अंतर्वेशन है, जो कोई सूत्र लिखे जाने से पहले ही एक अष्टि-संगणना से मिल जाता है ([अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) की सप्ताहांत समस्या अपने सारणिक से मिलती है)।

**उदाहरण 20.11 (कोटि–शून्यता काम पर: अंतर संकारक).**

मान लीजिए $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: यह [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) है। [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim): यदि $\Delta P = 0$, तो $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, अतः $P
- P(0)$ के अनंत कितने मूल हैं और वह शून्य हो जाता है ([उपप्रमेय 8.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots)): अर्थात् $\ker\Delta$ अचरों की रेखा है। कोटि–शून्यता: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$। चूँकि अनचर $P$ के लिए $\deg \Delta P < \deg P$ (शीर्ष पद कट जाते हैं), अतः $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, जिसकी विमा ठीक $n$ है: इसलिए यह अंतर्विष्टता समानता है। निष्कर्ष, और वह भी किसी [पूर्वप्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) की संगणना के बिना: $\leq n - 1$ घात वाला *हर* [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $Q$ किसी न किसी अंतर $Q = P(X+1) - P(X)$ के रूप में है — अर्थात् विविक्त प्रतिअवकलज का अस्तित्व है। ([अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) की सप्ताहांत समस्या से तुलना कीजिए, जहाँ $\Delta$ को द्विपद [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में स्पष्ट रूप से उलटा गया था।)

**उदाहरण 20.12 (किसी संयुक्त प्रतिचित्रण के अनुदिश कोटि का लेखा-जोखा).**

$\R_2[X]$ पर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $D(P) = P'$ ([कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $2$: [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) अचर) को स्वयं से संयुक्त कीजिए। तब $D \circ D = D^2$ $P \mapsto P''$ भेजता है, जिसका [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$ है: [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $1$। व्यापक परिबंधों से तुलना कीजिए: स्थूल परिबंध $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ देता है; और [अभ्यास 20.12](#exo-b1-linmaps-12) का यथार्थ सूत्र इस हानि का ठीक-ठीक हिसाब देता है,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

क्योंकि अचर (बाहरी $D$ की [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim)) $\R_1[X]$ (भीतरी $D$ का [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim)) के भीतर बैठे हैं, और उनकी विमा $1$ है। [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) ठीक वहीं खोती है जहाँ बाहरी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) भीतरी [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) पर घात लगाती है — संयुक्त प्रतिचित्रणों की कोटियाँ बदमाशी करें तो यही वाक्य याद रखिए।

**उदाहरण 20.13 (ऑयलर संकारक की अष्टि और प्रतिबिंब).**

$\R_n[X]$ पर मान लीजिए $u(P) = X\,P'$ (यह [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) है: अवकलन और $X$ से गुणन, दोनों [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) हैं)। *[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim)*: $XP' = 0$ $P' = 0$ बाध्य कर देता है (बहुपदों का गुणनफल तभी शून्य होता है जब कोई एक गुणनखंड शून्य हो), अतः $\ker u$ अचरों की रेखा है। *[प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim)*: एकपदी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर,

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

अतः $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) =
\operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$: अर्थात् शून्य अचर पद वाले [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)। कोटि–शून्यता से जाँच: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, जो सचमुच वही विमा है जो मिली। दो बातें रखने योग्य हैं। पहली, यहाँ $\operatorname{im} u
\oplus \ker u = \R_n[X]$ — पर यह इस संकारक का एक *सुखद संयोग* है, कोई प्रमेय नहीं: $\R_1[X]$ पर सरकाव जैसे $v(P) = P'$ के लिए $\ker v =
\operatorname{im} v = \R_0[X]$ और योग प्रत्यक्ष नहीं है। दूसरी, संबंध $u(X^k) = kX^k$ कहता है कि हर एकपदी बस $u$ से मापित हो जाती है — अर्थात् [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) के अनुकूल एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free), जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में विकसित होने वाले अभिलक्षणिक-मान के विचार का बीज है।

## 20.3 प्रक्षेप और सममितियाँ

**परिभाषा 20.14.**

मान लीजिए $E = F \oplus G$। *$G$ के अनुदिश $F$ पर प्रक्षेप* $x = f + g$ (अद्वितीय विघटन) को $p(x) = f$ पर भेजता है; और उससे संबद्ध *सममिति* $s(x) = f - g$ है। दोनों [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) हैं, और $s = 2p - \mathrm{id}$।

**प्रमेय 20.15 (बीजगणितीय अभिलक्षण).**

1. कोई अंतःसमाकारिता $p$ [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) है (किसी $G$ के अनुदिश किसी $F$ पर) तभी जब $p \circ p = p$ ; और तब $F = \operatorname{im} p = \ker(p -  \mathrm{id})$ तथा $G = \ker p$ ।
2. कोई अंतःसमाकारिता $s$ [सममिति](#def-b1-linmaps-projection) है तभी जब $s \circ s = \mathrm{id}$ ; और तब $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ ।

**उपपत्ति.** (1) कोई [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) $p(f + g) = f$ और $p(f) = f$ संतुष्ट करता है: $p^2 = p$। विलोमतः मान लीजिए $p^2 = p$; $F = \operatorname{im} p$, $G = \ker p$ रखिए। हर $x$ $p(x) \in F$ और $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ के साथ $x
= p(x) + (x - p(x))$ लिखा जाता है: $E = F + G$। यदि $y \in F \cap G$: तो $y
= p(z)$ और $p(y) = 0$, अतः $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$: अर्थात् [प्रत्यक्ष योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum), और $p$ $G$ के अनुदिश $F$ पर [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) है। अंत में $F$ पर: $y = p(z)$ $p(y) = y$ देता है, अतः $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$, और विलोमतः $p(y) = y$ $y$ को [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) में डाल देता है।

(2) संगति $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ अंतःसमाकारिताओं के बीच एकैकी आच्छादन है, और उसके अंतर्गत

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

सममितियाँ ठीक प्रक्षेपों के अनुरूप हो जाती हैं। उपसमष्टियों का अनुवाद: $s(x)
= x \iff p(x) = x$, अतः $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$; और $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$, अतः $\ker(s +
\mathrm{id}) = G$। बिंदु (1) का [प्रत्यक्ष योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ वही घोषित विघटन बन जाता है — $s$ के अचल सदिशों और उलटे सदिशों में। ∎

**उदाहरण 20.16 (एक प्रक्षेप और उसकी सममिति, स्पष्ट रूप से).**

$\R^2$ में $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$ पर [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) कीजिए। $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ का विघटन कीजिए: पहला [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $a = x$ देता है, दूसरा $b = y - x$। अतः

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

बीजगणित जाँचिए: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, और $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) =
(x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$। ज्यामितीय रूप से $s$ ऊर्ध्वाधर दिशा में रेखा $y = x$ के पार का “तिरछा परावर्तन” है: वह $F$ को बिंदुवार अचल रखता है और $G$ को उलट देता है। यदि हमने उसी $F$ पर $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) किया होता, तो सूत्र बदलकर $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2,
\frac{x+y}2\bigr)$ हो जाता: कोई [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) अपने [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) *और* अपनी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) से तय होता है, अकेले [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) से कभी नहीं।

![G = Vect(0,1) के अनुदिश F = Vect(1,1) पर प्रक्षेप और उसकी सममिति, बिंदु M = (2,\ 0.5) पर: ऊर्ध्वाधर सरकते हुए M F से p(M) = (2,2) पर मिलता है और s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5) पर उतरता है, जो F से उतना ही ऊपर है (और माप G के अनुदिश है) जितना M नीचे था।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*$G = \operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$ पर [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) और उसकी [सममिति](#def-b1-linmaps-projection), बिंदु $M = (2,\ 0.5)$ पर: ऊर्ध्वाधर सरकते हुए $M$ $F$ से $p(M) = (2,2)$ पर मिलता है और $s(M) =
2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ पर उतरता है, जो $F$ से उतना ही ऊपर है (और माप $G$ के अनुदिश है) जितना $M$ नीचे था।*

## 20.4 रैखिक रूप और अधिसमतल

**परिभाषा 20.17.**

$E$ पर *रैखिक रूप* कोई [रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) $\varphi
\colon E \to K$ है। $E$ ($\dim E = n$) का *अधिसमतल* $n -
1$ विमा वाली [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है।

**उदाहरण 20.18 (एक मूल्यांकन रूप और उसका अधिसमतल).**

$\R_2[X]$ पर मूल्यांकन $\varphi(P) = P(2)$ एक [रैखिक रूप](#def-b1-linmaps-forms) है, और अशून्य ($\varphi(1) = 1$)। उसकी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $2$ पर शून्य होने वाले बहुपदों का [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) है, अर्थात् (गुणनखंड प्रमेय, [प्रमेय 8.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)) $\R_2[X]$ के भीतर $X -
2$ के गुणज:

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

$(1, X, X^2)$ पर निर्देशांकों में $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) समष्टि पर हर [रैखिक रूप](#def-b1-linmaps-forms), [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) नियत होते ही, निर्देशांकों में एक नियत रैखिक व्यंजक होता है — रूप “पंक्ति सदिश” हैं, जैसा [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) अक्षरशः बना देगा, और यहाँ गुणांकों की पंक्ति $(1, 2,
4)$ एक वांडरमोंड पंक्ति है: मूल्यांकन रूप ही वे द्वार हैं जिनसे [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) की सप्ताहांत समस्या का अंतर्वेशन-सिद्धांत रैखिक बीजगणित में प्रवेश करता है।

**प्रमेय 20.19.**

$E$ के [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) ठीक अशून्य [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) रूपों की अष्टियाँ हैं। दो अशून्य रूपों की [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) एक ही होती है तभी जब वे अनुपाती हों।

**उपपत्ति.** यदि $\varphi \neq 0$: तो $\operatorname{rk}\varphi = 1$ ($K$ की कोई अशून्य [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) है), अतः $\dim\ker\varphi = n - 1$: अर्थात् एक [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms)। विलोमतः मान लीजिए $H$ कोई [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) है और $(e_1, \dots, e_{n-1})$ $H$ का ऐसा [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) जिसे $e_n$ से पूर्ण किया गया है: तब “अंतिम [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates)” वाले रूप की [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $H$ है।

अनुपाती रूपों की [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) एक ही होती है। विलोमतः मान लीजिए $\ker\varphi =
\ker\psi = H$ और $a \notin H$ चुनिए: तब हर $x$ $x = h + \lambda a$ लिखा जाता है (क्योंकि $E = H \oplus Ka$), और

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

अतः $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$। ∎

**उदाहरण 20.20.**

$K^n$ में [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) कोई [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ है, जहाँ $a_i$ सब शून्य न हों — $\R^3$ में मूल बिंदु से होकर जाने वाले समतल का वही परिचित समीकरण। फलन समष्टियों में मूल्यांकन रूप $P \mapsto P(1)$ अथवा $f
\mapsto \int_0^1 f$ $\R_n[X]$ के, $C(\intcc{0}{1})$ के [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) परिभाषित करते हैं ([अभ्यास 19.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#exo-b1-findim-6) देखिए)।

**उदाहरण 20.21 (एक अधिसमतल, तीन तरीक़ों से).**

$\R^3$ पर $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ लीजिए और $H = \ker\varphi$। *[आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)*: $x = 2y - 3z$ हल कीजिए:

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश: $\dim H = 2$, अर्थात् एक [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms), जैसा [प्रमेय 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) $\varphi \neq 0$ से बता देता है। *[पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) रेखा*: $H$ के बाहर का कोई भी सदिश एक रेखा जनित करता है, जैसे $a =
(1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); और किसी भी $v$ का विघटन स्पष्ट है:

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

क्योंकि $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$। *अनुपातिता*: यदि $\psi(x,y,z) = -2x + 4y -
6z$, तो $\psi = -2\varphi$ और दोनों की [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $H$ है; विलोमतः $H$ पर शून्य होने वाला कोई भी रूप $\varphi$ का गुणज है ([अभ्यास 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — अर्थात् [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) का समीकरण मापन तक अद्वितीय है, और यह तथ्य ज्यामिति में समतलों के लिए निरंतर काम आता है।

**टिप्पणी 20.22 (सामान्य भूलें).**

*[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) और [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) अलग-अलग समष्टियों में रहते हैं*: $\ker u \subseteq
E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$; योग $\ker u + \operatorname{im} u$ का अर्थ केवल अंतःसमाकारिताओं के लिए बनता है, और तब भी उसका प्रत्यक्ष होना आवश्यक नहीं ($u(x, y) = (y, 0)$ में $\ker u = \operatorname{im} u$ है; [अभ्यास 20.7](#exo-b1-linmaps-7) बताता है कि प्रत्यक्षता कब होती है)। *$u^2 = 0$ का अर्थ $u = 0$ नहीं है*: वही $u(x,y) = (y, 0)$ शून्य हुए बिना वर्ग करने पर शून्य हो जाता है — $u^2 = 0$ वास्तव में यह कहता है कि $\operatorname{im} u
\subseteq \ker u$ ([अभ्यास 20.5](#exo-b1-linmaps-5))। *[एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) $\iff$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) के लिए बराबर परिमित विमाएँ चाहिए*: $K[X]$ पर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है पर [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं, और $P \mapsto XP$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है पर [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं ([उपप्रमेय 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)); और *भिन्न* विमाओं वाली समष्टियों के बीच तो एक निहितार्थ बस असंभव ही है ($\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$)। *[प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) निर्धारित करना [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर चलता है, किसी भी कुल पर नहीं*: $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ की माँग $u$ को अति-निर्धारित कर देती है, जब तक $c = a + b$ न हो; [रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और बाक़ी हर जगह बँधा हुआ। *संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) को सुरक्षित नहीं रखता*: वह केवल गिर ही सकती है, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk}
v)$ ([अभ्यास 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), और हानि का यथार्थ माप [अभ्यास 20.12](#exo-b1-linmaps-12) में है।

**टिप्पणी 20.23 (ये प्रतिचित्रण कहाँ जाते हैं).**

[रैखिक प्रतिचित्रण](#def-b1-linmaps-def) अब *आव्यूह* बनने वाले हैं: [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) नियत होते ही [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) हर $u \in \mathcal{L}(E, F)$ को एक आयताकार सारणी से कूटबद्ध कर देता है, और संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) आव्यूह-गुणनफल बन जाता है — फिर कोटि–शून्यता [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) निकायों का सिद्धांत चलाती है। [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में अपनी सबसे उपयोगी विशेष स्थिति में लौटते हैं, अर्थात् *लांबिक* [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection), जहाँ [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) को [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) के लंबवत चुना जाता है। नीचे की सप्ताहांत समस्या प्रक्षेपक-बीजगणित को वहाँ तक ले जाती है जहाँ तक प्रथम वर्ष के औज़ार पहुँचते हैं, अर्थात् फिटिंग की प्रमेयिका तक; और स्नातक वर्ष 2 का खंड अनुरेख तथा अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत के साथ और आगे जाता है, जिसके लिए स्थायी उपसमष्टियों पर के प्रक्षेपक ही बुनियादी ईंटें हैं।

**टिप्पणी 20.24 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य: कोटि–शून्यता तीन बार और).**

संरक्षण नियम $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ इस खंड के समाप्त होने से पहले तीन बार फिर से पढ़ा जाएगा। [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में वह हल-समुच्चयों का आकार बन जाता है: $p$ अज्ञातों और [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $r$ वाले किसी संगत निकाय का [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $p - r$ विमा का होता है — अर्थात् वेश बदली हुई अष्टि-विमा। [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में वह लांबिक रूप से विभाजित होता है, $\dim F + \dim
F^\perp = \dim E$, और हर दूरी-संगणना को शक्ति देता है। [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) की सप्ताहांत समस्या में वह न्यूनतम वर्गों का मुनीम है: $n$ प्रेक्षण, $2$ आरोपित प्राचल, $n - 2$ अवशिष्ट विमाएँ, और पाइथागोरसीय सर्वसमिका $\norm b^2 =
\norm p^2 + \norm{b - p}^2$ कोटि–शून्यता की यूक्लिडीय छाया है। एक प्रमेय, चार वेश।

## 20.5 अभ्यास

**अभ्यास 20.1 ★.**

कौन-से [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) हैं?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**हल — अभ्यास 20.1.**

(1) [रैखिक](#def-b1-linmaps-def): [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) रैखिक व्यंजक हैं। (2) [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) नहीं: $u(2(1,1)) = 4 \neq
2 = 2u(1,1)$। (3) [रैखिक](#def-b1-linmaps-def): अवकलन और $X$ से गुणन [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) हैं, और [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) प्रतिचित्रणों के योग भी। (4) [रैखिक](#def-b1-linmaps-def): मूल्यांकन बिंदुवार संक्रियाओं का आदर करता है।

**अभ्यास 20.2 ★.**

मान लीजिए $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y +
z,\; 3x + 2y)$। $\ker u$ निर्धारित कीजिए ([आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free), विमा), $\operatorname{rk}
u$, तथा $\operatorname{im} u$ का एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)। क्या $u$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है? [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj)?

**हल — अभ्यास 20.2.**

[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim): $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$ हल कीजिए। तीसरे से $y = -\frac{3x}{2}$; पहला $z = x + y = -\frac x2$ देता है; दूसरे में जाँचिए: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$: संतुष्ट। अतः $\ker u =
\operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ ($x = 2$ लेकर), विमा $1$।

कोटि–शून्यता: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$। [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim): विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) के प्रतिबिंबों $u(e_1) = (1,2,3)$, $u(e_2) = (1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$ से जनित; पहले दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं, और [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $2$ है: [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,2,3),
(1,1,2)\bigr)$।

[एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं ($\ker \neq \{0\}$), [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं ([कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$): जो [उपप्रमेय 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim) के संगत है।

**अभ्यास 20.3 ★.**

मान लीजिए $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$। सिद्ध कीजिए कि $u$ एक तुल्याकारिता है: एक बार $\ker u$ के द्वारा, और एक बार प्रतिलोम दिखाकर *($P + P' + P'' + \dots$ पर विचार कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 20.3.**

*[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim):* $P = P'$ $\deg P = \deg P'$ बाध्य कर देता है, जब तक $P = 0$ न हो; पर $P \neq 0$ के लिए $\deg P' < \deg P$: अतः $\ker u = \{0\}$, और $u$, जो [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) $\R_n[X]$ की [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) अंतःसमाकारिता है, एक तुल्याकारिता है ([उपप्रमेय 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim))।

*प्रतिलोम:* मान लीजिए $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ ($\R_n[X]$ पर एक परिमित योग)। तब

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

जो दूरबीनी हो जाता है, क्योंकि $P^{(n+1)} = 0$। अतः $v = u^{-1}$।

**अभ्यास 20.4 ★.**

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E, F)$ और $v \in \mathcal{L}(F, G)$, और समष्टियाँ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) हैं। सिद्ध कीजिए:

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**हल — अभ्यास 20.4.**

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$: [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $\leq \operatorname{rk} v$। और $\operatorname{im}
u$ पर सीमित $v$ का [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(vu)$ है, तथा $\operatorname{im} u$ के भीतर कोटि–शून्यता से: $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$।

**अभ्यास 20.5 ★★.**

मान लीजिए $u$ $E$ ([परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def)) की ऐसी अंतःसमाकारिता है कि $u^2 = 0$। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$, अतः $\operatorname{rk} u
\leq \frac{\dim E}{2}$। $E = \R^2$ के लिए समानता वाला एक उदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 20.5.**

$u^2 = 0$ का अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $u(u(x)) = 0$: अर्थात् हर $u(x)$ $\ker u$ में है, यानी $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$। तब कोटि–शून्यता:

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

$\R^2$ में समानता वाला उदाहरण: $u(x, y) = (y, 0)$: $u^2 = 0$, $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$।

**अभ्यास 20.6 ★★.**

मान लीजिए $p, q$ $E$ के ऐसे [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) हैं कि $p \circ q = q \circ p$। सिद्ध कीजिए कि $p \circ q$ एक [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) है, और

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**हल — अभ्यास 20.6.**

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (क्रमविनिमय): अतः एक [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) ([प्रमेय 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar))।

[प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$, और $=
\operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$: अतः वह सर्वनिष्ठ में समाया है। विलोमतः यदि $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$, तो $p(x) = x$ और $q(x) = x$ (अचल बिंदु किसी [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) के [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) का अभिलक्षण करते हैं), अतः $pq(x) = x$: $x \in \operatorname{im}(pq)$।

[अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ और इसी प्रकार $\ker q
\subseteq \ker(pq)$: अतः योग उसमें समाया है। विलोमतः $pq(x) = 0$ लीजिए, और लिखिए

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

पहला पद $p(q(x)) = 0$ संतुष्ट करता है, अतः वह $\ker p$ में है; और दूसरा $\ker q$ में है, क्योंकि $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$। इस प्रकार $x \in
\ker p + \ker q$।

**अभ्यास 20.7 ★★.**

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$, और $E$ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) हैं। निम्नलिखित की तुल्यता सिद्ध कीजिए:

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**हल — अभ्यास 20.7.**

पहले व्यापक अंतर्विष्टताएँ $\ker u \subseteq \ker u^2$ और $\operatorname{im}
u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ देख लीजिए, और कोटि–शून्यता से (2) $\iff$ (3) (बराबर अष्टियाँ $\iff$ बराबर कोटियाँ $\iff$ बराबर [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim), क्योंकि अंतर्विष्टताएँ दी हुई हैं)।

(1 $\Rightarrow$ 2): मान लीजिए $u^2(x) = 0$; तब $u(x) \in \ker u \cap
\operatorname{im} u = \{0\}$, अतः $x \in \ker u$।

(2 $\Rightarrow$ 1): ग्रासमान और कोटि–शून्यता से $\dim(\ker u +
\operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap
\operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$: अतः योग $E$ है तभी जब सर्वनिष्ठ $\{0\}$ हो। मान लीजिए $y \in \ker u \cap
\operatorname{im} u$: $y = u(x)$ और $u(y) = 0$, अतः $u^2(x) = 0$, इसलिए ((2) से) $u(x) = 0$: $y = 0$। अतः $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$।

**अभ्यास 20.8 ★★.**

मान लीजिए $\varphi, \psi$ $E$ पर ऐसे [रैखिक रूप](#def-b1-linmaps-forms) हैं कि $\ker\varphi \subseteq
\ker\psi$। सिद्ध कीजिए कि किसी $\lambda \in K$ के लिए $\psi =
\lambda\varphi$ (अपभ्रष्ट स्थितियों समेत)।

**हल — अभ्यास 20.8.**

यदि $\varphi = 0$: तो $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ $\psi = 0 =
0\cdot\varphi$ बाध्य कर देता है। यदि $\varphi \neq 0$: तो $\ker\varphi$ एक [अधिसमतल](#def-b1-linmaps-forms) है; $a \notin \ker\varphi$ चुनिए। $\lambda =
\frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ रखिए। रूप $\psi - \lambda\varphi$ $\ker\varphi$ पर शून्य होता है (अंतर्विष्टता के कारण दोनों होते हैं) और $a$ पर भी: अतः वह $\ker\varphi \oplus Ka = E$ पर शून्य है। इसलिए $\psi = \lambda\varphi$।

**अभ्यास 20.9 ★★★.**

मान लीजिए $\dim E = n$ के साथ $u \in \mathcal{L}(E)$, और मान लीजिए $u^n = 0$ पर $u^{n-1} \neq 0$ (अर्थात् एक *अधिकतम शून्यंभावी* अंतःसमाकारिता)। $u^{n-1}(x) \neq 0$ वाला $x$ चुनिए; सिद्ध कीजिए कि $\bigl(x, u(x), \dots,
u^{n-1}(x)\bigr)$ $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। *(किसी शून्य संयोजन पर $u$ की घातें लगाइए, $u^{n-1}$ से आरंभ करते हुए।)*

**हल — अभ्यास 20.9.**

मान लीजिए $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) =
0$। $u^{n-1}$ लगाइए: $u^{\geq n}$ गुणनखंड वाले सभी पद मर जाते हैं और $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ बचता है, अतः $\lambda_0 = 0$। शेष संबंध पर $u^{n-2}$ लगाइए: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$, अतः $\lambda_1 = 0$; और यही आगे भी। कुल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है; और $n = \dim E$ आकार का होने के कारण वह [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है ([प्रतिज्ञप्ति 19.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#prop-b1-findim-twoofthree))। (इस [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में $u$ किसी सरकाव की तरह काम करता है — अधिकतम शून्यंभाविता का प्रतिमान।)

**अभ्यास 20.10 ★★★.**

मान लीजिए $f \circ f = -\mathrm{id}$ के साथ $f \in \mathcal{L}(\R^n)$।

1. सिद्ध कीजिए कि $f$ एक तुल्याकारिता है और यह कि $\lambda \in \R$ के साथ कोई भी $x \neq 0$ $f(x) = \lambda x$ संतुष्ट नहीं करता।
2. सिद्ध कीजिए कि $n$ सम है। *संकेत: $x_1 \neq 0$ चुनिए; दिखाइए कि $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ $f$ के अंतर्गत स्थायी एक समतल है; उसके बाहर $x_2$ चुनिए और यही दोहराइए, यह सिद्ध करते हुए कि $\bigl(x_1, f(x_1),  x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बना रहता है।*

**हल — अभ्यास 20.10.**

1. $f \circ f = -\mathrm{id}$ [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है, अतः $f$ भी है ( [प्रतिज्ञप्ति 1.26](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#prop-b1-logic-comp) अनुकूलित: $f$ का दुतरफ़ा प्रतिलोम $-f$ है)। यदि $x \neq 0$ के साथ $f(x) = \lambda x$ : तो $f$ लगाने पर $-x = \lambda^2 x$ , अतः $\lambda^2 = -1$ : जो $\R$ में असंभव है।
2. कुल को एक-एक चरण में बढ़ाते हुए बनाइए। $x_1 \neq 0$ लीजिए: (1) से $(x_1, f(x_1))$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। अब मान लीजिए वर्तमान कुल $$\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$$ है और उसका $\operatorname{Vect}$ $V_k$ है — यह $f$ के अंतर्गत स्थायी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है (हर जनक किसी अन्य जनक या उसके ऋण पर जाता है: $f(f(x_i)) =  -x_i$)। यदि $V_k$ पूरा $E$ न हो, तो $x_{k+1} \notin V_k$ चुनिए। *दावा: बढ़ा हुआ कुल [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है।* मान लीजिए $v \in V_k$ और $(\alpha, \beta) \neq  (0,0)$ के साथ $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$। $f$ लगाइए: $f(v) \in V_k$ के साथ $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$। दोनों संबंधों में से $f(x_{k+1})$ विलुप्त कीजिए (पहले को $\alpha$ से, दूसरे को $-\beta$ से गुणा कीजिए और जोड़िए): $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ और $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ $x_{k+1} \in V_k$ बाध्य कर देता है: विरोधाभास। अतः रचना चलती रहती है, और *एक बार में दो* सदिश जोड़ती जाती है, जब तक $V_k = E$: अंतिम कुल सम आकार का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है, और $n$ सम है।

**अभ्यास 20.11 ★★.**

मान लीजिए $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, और समष्टियाँ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) हैं। दुतरफ़ा परिबंध सिद्ध कीजिए

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*([ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) के लिए $\operatorname{im}(u+v)$ की $\operatorname{im} u +
\operatorname{im} v$ से तुलना कीजिए; निचले के लिए [ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) को चतुराई से लगाइए।)*

**हल — अभ्यास 20.11.**

[ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds): हर $x$ के लिए $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u
+ \operatorname{im} v$, अतः

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(ग्रासमान, [प्रमेय 19.18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-grassmann))। निचला परिबंध: [ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) को जोड़ी $(u + v, -v)$ पर लगाइए, जिसका योग $u$ है:

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

अतः $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$; और $u$ तथा $v$ की अदला-बदली करने पर निरपेक्ष मान मिल जाता है।

**अभ्यास 20.12 ★★★.**

(फ्रोबेनियस की असमिका) मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in
\mathcal{L}(F, G)$ और $v \in \mathcal{L}(G, H)$, और सभी समष्टियाँ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) हैं। यथार्थ सूत्र सिद्ध कीजिए

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

और फ्रोबेनियस की असमिका निकालिए

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

जाँचिए कि $w = \mathrm{id}_F$ वाली स्थिति सिल्वेस्टर की असमिका है, जो [अभ्यास 21.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10) में आव्यूह-रूप में सिद्ध की गई है।

**हल — अभ्यास 20.12.**

*यथार्थ सूत्र।* मान लीजिए $v'$ [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$ पर $v$ का सीमन है। उसका [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ है, और उसकी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) $\ker v \cap \operatorname{im} w$। समष्टि $\operatorname{im} w$ पर $v'$ के लिए कोटि–शून्यता:

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*फ्रोबेनियस।* यथार्थ सूत्र दो बार लगाइए, $w$ पर और $w \circ u$ पर:

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

चूँकि $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$, अतः दूसरा सर्वनिष्ठ पहले में समाया है, और उसकी विमा उससे बड़ी नहीं:

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर फ्रोबेनियस की असमिका मिल जाती है। $w =
\mathrm{id}_F$ के साथ ([कोटि](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, और $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F
= F$): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F +
\operatorname{rk}(vu)$, अर्थात् सिल्वेस्टर की असमिका — जो [अभ्यास 21.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10) में आव्यूह-रूप में फिर से सिद्ध की गई है।

## 20.6 समस्या: प्रक्षेपक-कलन और फिटिंग की प्रमेयिका

**समस्या 20.1.**

[प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) वही अंतःसमाकारिताएँ हैं जो [प्रत्यक्ष योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) पैदा करते हैं, और विलोमतः भी: हर सर्वसमिका $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ चुपके से प्रक्षेपकों का ऐसा कुल है जिनका योग तत्समक है। यह समस्या उसी शब्दकोश को विकसित करती है — एक प्रक्षेपक का बीजगणित, दो का, $k$ का — फिर वही स्थिरीकरण वाले विचार किसी भी अंतःसमाकारिता पर लगाकर *फिटिंग की प्रमेयिका* सिद्ध करती है: [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) समष्टि की हर अंतःसमाकारिता एक शून्यंभावी भाग और एक व्युत्क्रमणीय भाग में बँट जाती है। सर्वत्र $E$ विमा $n$ वाली $K$-सदिश समष्टि है, और *प्रक्षेपक* का अर्थ है $p^2 = p$ वाला $p \in \mathcal{L}(E)$ ([प्रमेय 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar))।

**भाग I — एक प्रक्षेपक के इर्द-गिर्द का बीजगणित।** मान लीजिए $p$ एक प्रक्षेपक है, $p \neq 0$, $p \neq \mathrm{id}$।

1. दिखाइए कि $\mathrm{id} - p$ एक प्रक्षेपक है और $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ तथा $\ker(\mathrm{id} - p)$ पहचानिए।
2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ संगणित कीजिए और वे सभी युग्म $(\lambda, \mu) \in K^2$ निर्धारित कीजिए जिनके लिए $\lambda\,\mathrm{id} +  \mu\,p$ एक प्रक्षेपक है।
3. दिखाइए कि $\mathcal{L}(E)$ का समतल $\operatorname{Vect}(\mathrm{id},  p)$ संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) के अंतर्गत स्थायी है, और यह कि हर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $Q \in  K[X]$ के लिए $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. निर्धारित कीजिए कि किन $(\lambda, \mu)$ के लिए [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ व्युत्क्रमणीय है, और उसका प्रतिलोम $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ के रूप में दीजिए। उत्तर की व्याख्या $\operatorname{im} p$ पर और $\ker p$ पर $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ की क्रिया के द्वारा कीजिए।
5. मान लीजिए $p'$ *उसी [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim)* $\operatorname{im} p' =  \operatorname{im} p$ वाला दूसरा प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $p\,p' = p'$ और $p'\,p = p$ । ये सर्वसमिकाएँ उसी [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) पर भिन्न-भिन्न अष्टियों के अनुदिश किए गए प्रक्षेपों को संयुक्त करने के विषय में क्या कहती हैं?

**भाग II — दो प्रक्षेपक।** मान लीजिए $p, q$ $E$ के प्रक्षेपक हैं; और मान लीजिए अभिलक्षण $2$ नहीं है ($K = \R, \C$ के लिए यह सत्य है)।

6. मान लीजिए $p + q$ एक प्रक्षेपक है। $(p + q)^2$ का प्रसार करके $pq +  qp = 0$ दिखाइए; बाईं ओर से, फिर दाईं ओर से $p$ के साथ संयुक्त करके $pq =  qp$ निकालिए, और $pq = qp = 0$ निष्कर्ष निकालिए।
7. विलोमतः मान लीजिए $pq = qp = 0$। दिखाइए कि $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. दिखाइए कि $p - q$ एक प्रक्षेपक है तभी जब $pq = qp = q$ । *(प्रश्न 6–7 को $\mathrm{id} - p$ और $q$ पर लगाइए।)*
9. $pq = qp = q$ का ज्यामितीय अर्थ दिखाइए: यह तभी सत्य है जब $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ और $\ker p \subseteq  \ker q$ । (तब $q \leq p$ लिखा जाता है: “ $q$ कम पर [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) करता है, और अधिक के अनुदिश”।)
10. अब मान लीजिए $p, q$ क्रमविनिमेय हैं। [अभ्यास 20.6](#exo-b1-linmaps-6) से स्मरण कीजिए कि $pq$ $\ker p + \ker q$ के अनुदिश $\operatorname{im} p \cap  \operatorname{im} q$ पर प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $r = p + q - pq$ एक प्रक्षेपक है, और $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *($\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ पर विचार कीजिए।)*

**भाग III — तत्समक के विघटन।**

11. मान लीजिए $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ , और $x = x_1 + \dots +  x_k$ के लिए (अद्वितीय विघटन, $x_i \in F_i$ ) $p_i(x) = x_i$ रखिए। दिखाइए कि प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है, कि $i \neq j$ के लिए $p_i p_j = 0$ , और यह कि $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; $\operatorname{im} p_i$ तथा $\ker  p_i$ पहचानिए।
12. विलोमतः मान लीजिए $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ $p_1 + \dots  + p_k = \mathrm{id}$ संतुष्ट करते हैं और सभी $i \neq j$ के लिए $p_i p_j =  0$ । दिखाइए कि प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है और यह कि $E =  \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ ।
13. $p + q = \mathrm{id}$ वाले दो प्रक्षेपक: दिखाइए कि $pq = qp = 0$ स्वतः लागू हो जाता है।
14. $p + q + r = \mathrm{id}$ वाले तीन प्रक्षेपक: दिखाइए कि $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और प्रश्न 6 से निष्कर्ष निकालिए कि *सभी* युग्मशः गुणनफल शून्य हो जाते हैं — अतः $E = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , और वह भी गुणनफलों पर बिना किसी परिकल्पना के।
15. $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ वाले $k$ प्रक्षेपकों के लिए: पहले दिखाइए कि किन्हीं भी उपसमष्टियों के लिए $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq  \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , और समानता तभी होती है जब योग प्रत्यक्ष हो; फिर $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ दिखाइए, और सिद्ध कीजिए कि *यदि* इसके अतिरिक्त $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq  n$ , तो योग प्रत्यक्ष है और $i \neq j$ के लिए $p_i p_j = 0$ ।

**भाग IV — पुनरावृत्त अष्टियाँ: फिटिंग की प्रमेयिका।** मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$।

16. हर $k \geq 0$ के लिए मान्य दोनों शृंखलाएँ दिखाइए: $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. दिखाइए कि यदि किसी $r$ के लिए $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , तो सभी $k  \geq r$ के लिए $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ ; और प्रतिबिंबों के लिए तदनुरूप स्थिरीकरण कहिए तथा सिद्ध कीजिए।
18. इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ वाला कोई सबसे छोटा पूर्णांक $r$ है, कि $r \leq n$ , और यह कि [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) भी उसी $r$ पर स्थिर हो जाते हैं।
19. (फिटिंग की प्रमेयिका) सिद्ध कीजिए कि $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. दिखाइए कि दोनों उपसमष्टियाँ $u$ के अंतर्गत स्थायी हैं, कि $\ker  u^{r}$ पर $u$ का सीमन शून्यंभावी है, और यह कि $\operatorname{im} u^{r}$ पर $u$ का सीमन $\operatorname{im} u^{r}$ की तुल्याकारिता है: अर्थात् हर अंतःसमाकारिता किसी विहित [प्रत्यक्ष योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) पर “शून्यंभावी जमा व्युत्क्रमणीय” होती है।
21. मान लीजिए $\pi$ $\operatorname{im} u^{r}$ के अनुदिश $\ker u^{r}$ पर प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $\pi \circ u = u \circ \pi$ ।

**भाग V — एक हल किया हुआ उदाहरण, और संश्लेषण।**

22. $\R^3$ पर मान लीजिए $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ । $u^2$ और $u^3$ संगणित कीजिए, स्थिरीकरण सूचकांक $r$ , उपसमष्टियाँ $\ker u^{r}$ तथा $\operatorname{im} u^{r}$ , और फिटिंग प्रक्षेपक $\pi$ निर्धारित कीजिए, तथा सूत्रों पर सत्यापित कीजिए कि $\pi u = u\pi$ और यह कि $u$ एक गुणनखंड पर शून्यंभावी है और दूसरे पर [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) ।
23. तुल्यताएँ दिखाइए: $u$ शून्यंभावी $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi  = \mathrm{id}$ ; और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $n$ -विमीय समष्टि की कोई भी शून्यंभावी अंतःसमाकारिता सदा $u^{n} = 0$ संतुष्ट करती है (शून्यंभाविता सूचकांक विमा से कभी अधिक नहीं होता)।
24. (अद्वितीयता) मान लीजिए $E = A \oplus B$ , जहाँ $A, B$ $u$ के अंतर्गत स्थायी हैं, सीमन $u|_A$ शून्यंभावी है और $u|_B$ [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) । सिद्ध कीजिए $A = \ker u^{r}$ और $B = \operatorname{im} u^{r}$ : अर्थात् फिटिंग विघटन अद्वितीय है।
25. संश्लेषण, चार वाक्यों में: भाग III प्रत्यक्ष योगों और प्रक्षेपकों के कुलों के बीच कौन-सा शब्दकोश स्थापित करता है; प्रश्न 14 को गुणनफलों पर कोई परिकल्पना क्यों नहीं चाहिए थी जबकि प्रश्न 15 को [कोटि](#def-b1-linmaps-rank) की परिकल्पना चाहिए थी (और स्नातक वर्ष 2 का कौन-सा औज़ार, अर्थात् अनुरेख, उसे हटा देता है); फिटिंग की प्रमेयिका किस अर्थ में [अभ्यास 20.7](#exo-b1-linmaps-7) का स्थिरीकृत रूप है; और स्नातक वर्ष 2 के खंड के अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत में फिटिंग के दोनों गुणनखंड क्या बन जाते हैं। भाग IV में सिद्ध प्रमेय का नाम बताइए।

**हल — समस्या 20.1.**

**1.** $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} -
p$: अतः एक प्रक्षेपक। यदि $y = x - p(x)$, तो $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$, और विलोमतः $x \in \ker p$ $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ देता है: $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$। और $(\mathrm{id} - p)(x) = 0
\iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (अचल बिंदु, [प्रमेय 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im}
p$।

**2.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} +
(2\lambda\mu + \mu^2)\,p$। जोड़ी $(\mathrm{id}, p)$ $\mathcal{L}(E)$ में [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है: $p = c\, \mathrm{id}$ $c^2 = c$ देता, अतः $p = 0$ या $\mathrm{id}$, जो निषिद्ध हैं। गुणांकों की पहचान करने पर [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) प्रक्षेपक है तभी जब $\lambda^2 = \lambda$ और $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$। $\lambda = 0$ के लिए: $\mu \in \{0, 1\}$। $\lambda = 1$ के लिए: $\mu^2 + \mu
= 0$, $\mu \in \{0, -1\}$। अतः समतल में ठीक चार प्रक्षेपक: $0$, $p$, $\mathrm{id}$, $\mathrm{id} - p$।

**3.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p)
= \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$: अतः समतल संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) के अंतर्गत स्थायी है। चूँकि हर $k \geq 1$ के लिए $p^k = p$, अतः $Q = \sum_k a_k X^k$ के लिए:

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** $\operatorname{im} p$ पर (जहाँ $p$ तत्समक की तरह काम करता है) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ $\lambda + \mu$ से गुणा करता है; और $\ker p$ पर $\lambda$ से। चूँकि $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$, अतः [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है तभी जब $\lambda \neq 0$ और $\lambda + \mu \neq
0$। प्रश्न 3 के संयोजन-नियम में $\lambda\alpha = 1$, $\lambda\beta +
\mu\alpha + \mu\beta = 0$ हल करने पर:

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

जिसकी क्रिया $\ker p$ पर $1/\lambda$ से और $\operatorname{im} p$ पर $1/(\lambda + \mu)$ से है, जैसा होना ही चाहिए।

**5.** $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ लिखिए। हर $x$ के लिए $p'(x) \in F$, और $p$ $F$ को बिंदुवार अचल रखता है: $p(p'(x)) =
p'(x)$, अर्थात् $p\,p' = p'$; सममित रूप से $p'\,p = p$। जब दो प्रक्षेपों का [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) एक ही हो, तो निर्णय वही करता है जो *पहले* लगाया जाए: उसका निर्गम पहले ही $F$ में होता है, जहाँ बाहरी [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) तत्समक की तरह काम करता है और कुछ नहीं बदलता।

**6.** $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$, अतः $p +
q$ के प्रक्षेपक होने से $pq + qp = 0$ बाध्य हो जाता है। बाईं ओर से $p$ के साथ संयुक्त कीजिए: $pq + pqp = 0$; दाईं ओर से $p$ के साथ: $pqp + qp = 0$। घटाने पर $pq = qp$; फिर $pq + qp = 2pq = 0$, और अभिलक्षण $2$ नहीं है: अतः $pq = qp = 0$।

**7.** $pq = qp = 0$ के साथ वही प्रसार $(p + q)^2 = p + q$ देता है। [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p +
\operatorname{im} q$ सदा। विलोमतः $x \in \operatorname{im} p$ के लिए: $q(x)
= q(p(x)) = 0$, अतः $(p + q)(x) = p(x) = x$ और $x \in
\operatorname{im}(p+q)$; $\operatorname{im} q$ के लिए भी वही। प्रत्यक्षता: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ $x = p(x) = p(q(x)) =
0$ देता है। [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim): यदि $p(x) + q(x) = 0$, तो $p$ लगाने पर $p(x) + p(q(x)) =
p(x) = 0$ मिलता है, और $q$ लगाने पर $q(x) = 0$: अतः $\ker(p + q) = \ker p
\cap \ker q$ (उलटी अंतर्विष्टता स्पष्ट है)।

**8.** $p - q$ प्रक्षेपक है तभी जब $\mathrm{id} - (p - q) =
(\mathrm{id} - p) + q$ प्रक्षेपक हो (प्रश्न 1 दो बार)। प्रक्षेपकों $\mathrm{id} - p$ और $q$ पर प्रश्न 6–7 लगाने से यह तभी सत्य है जब $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, अर्थात् तभी जब $pq = q$ और $qp = q$।

**9.** $pq = q$ का अर्थ है कि $p$ हर $q(x)$ को अचल रखता है, अर्थात् $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$। और $qp = q$ का अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr)
= 0$, अर्थात् $q$ $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ पर शून्य होता है: $\ker p \subseteq \ker q$। दोनों चरण तुल्यताएँ हैं: क्रम $q \leq p$ कहता है कि $q$ छोटे [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) पर, और बड़ी [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) के अनुदिश [प्रक्षेप](#def-b1-linmaps-projection) करता है।

**10.** प्रसार करने पर $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) =
\mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$। प्रक्षेपक $\mathrm{id} - p$ और $\mathrm{id} - q$ क्रमविनिमेय हैं, अतः [अभ्यास 20.6](#exo-b1-linmaps-6) से उनका गुणनफल $\mathrm{id} - r$ $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ के अनुदिश $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q)
= \ker p \cap \ker q$ पर प्रक्षेपक है। प्रश्न 1 से $r = \mathrm{id} -
(\mathrm{id} - r)$ तब वह प्रक्षेपक है जिसका $\operatorname{im} r =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ और $\ker r = \ker p \cap \ker q$।

**11.** $p_i$ सुपरिभाषित है (विघटन की अद्वितीयता) और [रैखिक](#def-b1-linmaps-def) भी ($x +
\lambda y$ का विघटन विघटनों का योग ही है, फिर से अद्वितीयता से)। $x_i \in
F_i$ के लिए विघटन स्वयं $x_i$ है, अतः $p_i(x_i) = x_i$: $p_i^2 = p_i$, और $j
\neq i$ के लिए $p_j(x_i) = 0$: $p_i p_j = 0$ ($p_j(x) \in F_j$)। घटकों को जोड़ने पर $\sum_i p_i = \mathrm{id}$। अंत में $\operatorname{im} p_i = F_i$ और $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$।

**12.** $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j
\neq i} p_i p_j = p_i^2$: अतः प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है। हर $x =
\mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ $\sum_i \operatorname{im} p_i$ में है: अतः प्रतिबिंबों का योग $E$ है। प्रत्यक्षता: मान लीजिए $y_i \in \operatorname{im}
p_i$ के साथ $y_1 + \dots + y_k = 0$, अतः $p_i(y_i) = y_i$। $p_j$ लगाइए: $i
\neq j$ के लिए $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$, अतः $0 = p_j\bigl(\sum
y_i\bigr) = y_j$, और यह हर $j$ के लिए। इस प्रकार $E = \bigoplus_i
\operatorname{im} p_i$।

**13.** $q = \mathrm{id} - p$, और प्रश्न 1 सीधे $pq = p - p^2 = 0 = qp$ दे देता है: दो प्रक्षेपकों के लिए तत्समक तक जुड़ जाना ही जोड़ी की लांबिकता बाध्य कर देता है।

**14.** $r$ के प्रक्षेपक होने के साथ $p + q = \mathrm{id} - r$, और $(\mathrm{id} - r)$ भी प्रक्षेपक है (प्रश्न 1): अतः $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और प्रश्न 6 $pq = qp = 0$ देता है। [सममिति](#def-b1-linmaps-projection) से ($q + r = \mathrm{id} - p$ और $p + r = \mathrm{id} - q$) सभी युग्मशः गुणनफल शून्य हो जाते हैं, और प्रश्न 12 निष्कर्ष दे देता है: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q
\oplus \operatorname{im} r$, स्वतः।

**15.** *प्रमेयिका।* ग्रासमान के साथ आगमन से ([प्रमेय 19.18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-grassmann)):

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

यदि कुल योग समानता है, तो हर चरण समानता है: हर $j$ के लिए $(F_1 + \dots +
F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$, और कोई संबंध $y_1 + \dots + y_k = 0$ ($y_i \in
F_i$) दाईं ओर से ढह जाता है: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k =
\{0\}$, फिर $y_{k-1} = 0$, इत्यादि: अतः योग प्रत्यक्ष है। विलोमतः [प्रत्यक्ष योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) की विमाएँ जुड़ती हैं (आधारों को एक साथ लिख दीजिए)। *अनुप्रयोग:* $x
= \sum_i p_i(x)$ दिखाता है कि $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, अतः $n
\leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$; परिकल्पना समानता देती है, इसलिए प्रत्यक्षता। गुणनफल: $j$ और $y \in \operatorname{im} p_j$ नियत कीजिए। तब $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ के साथ $y = \sum_i p_i(y)$, जबकि $y = y$ भी एक विघटन है (केवल घटक $j$); अद्वितीयता $i \neq j$ के लिए $p_i(y) = 0$ बाध्य कर देती है। $y = p_j(x)$ पर लगाने से: $p_i p_j = 0$।

**16.** यदि $u^k(x) = 0$, तो $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$। और $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) =
\operatorname{im} u^k$।

**17.** मान लीजिए $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ और $x \in \ker u^{r+2}$ लीजिए: तब $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, अतः $u^{r+1}(x) = 0$: $x \in
\ker u^{r+1}$। प्रश्न 16 के साथ $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$, और आगमन से आगे की सभी अष्टियाँ $\ker u^{r}$ के साथ एक ही हो जाती हैं। प्रतिबिंबों के लिए: कोटि–शून्यता $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ देती है, अतः [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) की विमाएँ ठीक तभी जम जाती हैं जब [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) की विमाएँ जमती हैं, और प्रश्न 16 की अंतर्विष्टताओं के साथ बराबर विमाओं का अर्थ बराबर उपसमष्टियाँ है ([प्रमेय 19.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#thm-b1-findim-subspaces))।

**18.** अनुक्रम $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ अह्रासमान है और उसके मान $\intint{0}{n}$ में हैं; वह $n + 1$ बार सचमुच नहीं बढ़ सकता, अतः $r \leq n$ वाला कोई $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ है, इसलिए $\ker u^{r} = \ker
u^{r+1}$ (अंतर्विष्टता और बराबर विमा)। सबसे छोटा $r$ लीजिए; प्रश्न 17 $r$ से आगे सब कुछ जमा देता है, [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) भी।

**19.** सर्वनिष्ठ: मान लीजिए $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im}
u^{r}$, यानी $u^{r}(x) = 0$ के साथ $x = u^{r}(y)$। तब $u^{2r}(y) = 0$, और $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (प्रश्न 17), अतः $x = u^{r}(y) = 0$। विमाएँ: $u^{r}$ के लिए कोटि–शून्यता $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} =
n$ देती है; और तुच्छ सर्वनिष्ठ के साथ ग्रासमान योग को $n$ विमा वाली [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) बना देता है: $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$।

**20.** स्थायित्व: $x \in \ker u^{r}$ के लिए $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x))
= 0$; और $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$। $N = \ker
u^{r}$ पर: $N$ की परिभाषा से $(u|_N)^{r} = 0$: अतः शून्यंभावी। $I =
\operatorname{im} u^{r}$ पर: $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker
u^{r} \cap I = \{0\}$, अतः $u|_I$ [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) $I$ की [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) अंतःसमाकारिता है, इसलिए [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) ([उपप्रमेय 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim))।

**21.** मान लीजिए $a \in N$, $b \in I$ के साथ $x = a + b$। तब $u(a) \in
N$ और $u(b) \in I$ के साथ $u(x) = u(a) + u(b)$ (प्रश्न 20): यही $u(x)$ का विघटन *है*, अतः $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$: $\pi u = u\pi$।

**22.** $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ और $u^3(x,y,z) = u(0,0,z)
= (0,0,z) = u^2(x,y,z)$। अष्टियाँ: $\ker u = \{y = z = 0\} =
\operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$: अतः $r = 2$ पर स्थिरीकरण। [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im}
u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$। फिटिंग: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1,
e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$, और $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$। जाँच: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ और $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y,
0, 0)$: बराबर। पहले गुणनखंड पर $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, जिसका वर्ग $0$ है: अतः शून्यंभावी; और दूसरे पर $u(0,0,z) = (0,0,z)$: अर्थात् तत्समक, जो [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है।

**23.** यदि $u^m = 0$, तो $\ker u^m = E$; और चूँकि अष्टियाँ $r$ से आगे जमी हुई हैं, अतः $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$। विलोमतः $\ker u^{r}
= E$ का अर्थ $u^{r} = 0$ है। और $\ker u^{r} = E \iff$ फिटिंग प्रक्षेपक $\{0\}$ के अनुदिश $E$ पर है, अर्थात् $\pi = \mathrm{id}$। अंत में $r \leq n$ (प्रश्न 18) देता है: हर शून्यंभावी अंतःसमाकारिता $u^{n} = 0$ संतुष्ट करती है — शून्यंभाविता सूचकांक विमा से कभी अधिक नहीं होता।

**24.** मान लीजिए $m$ $u|_A$ का कोई शून्यंभाविता सूचकांक है: $A
\subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$। चूँकि $u|_B$ [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है, अतः हर $k$ के लिए $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq
\operatorname{im} u^{k}$, विशेष रूप से $B \subseteq \operatorname{im}
u^{r}$। तब

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

दोनों अंतर्विष्टताएँ विमाओं की समानताएँ हैं, अतः उपसमष्टियों की भी: $A =
\ker u^{r}$, $B = \operatorname{im} u^{r}$।

**25.** (क) भाग III एक शब्दकोश है: [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) $E = F_1 \oplus \dots \oplus
F_k$ ठीक उन प्रक्षेपक-कुलों के अनुरूप हैं जिनके लिए $\sum p_i = \mathrm{id}$ और $p_i p_j = 0$, और $F_i$ उनके [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) हैं। (ख) $k = 3$ के लिए [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) $\mathrm{id} - p_i$ स्वयं प्रक्षेपक हैं, जिससे तर्क बिना किसी अतिरिक्त परिकल्पना के बंद हो गया; व्यापक $k$ के लिए $\sum_i \operatorname{rk} p_i
\leq n$ चाहिए, और यह असमिका स्नातक वर्ष 2 का अनुरेख मुफ़्त में दे देता है (प्रक्षेपक के लिए $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$, और अनुरेख जुड़कर $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ देते हैं)। (ग) [अभ्यास 20.7](#exo-b1-linmaps-7) फिटिंग की प्रमेयिका ही है, बस पहले से स्थिर हो चुकी स्थिति $r \leq 1$ में; व्यापक रूप में [अष्टि](#def-b1-linmaps-kerim) और [प्रतिबिंब](#def-b1-linmaps-kerim) की शृंखलाओं को जमने दिया जाता है, जिसमें अधिक से अधिक $n$ चरण लगते हैं। (घ) स्नातक वर्ष 2 के खंड में $u - \lambda\, \mathrm{id}$ पर लगाने से शून्यंभावी गुणनखंड $\lambda$ पर की व्यापकीकृत अभिलक्षणिक [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) बन जाता है, और भाग III के प्रक्षेपक लघुकरण-सिद्धांत के वर्णक्रमीय प्रक्षेपक। भाग IV की प्रमेय *फिटिंग की प्रमेयिका* है।