--- title: "आव्यूह" book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1" subject: math language: hi chapter: 21 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices --- # अध्याय 21 — आव्यूह आव्यूह निर्देशांकों में लिखा गया [रैखिक प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) है। यह अध्याय वही शब्दकोश खड़ा करता है — संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) आव्यूह-गुणनफल बन जाता है, [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) आच्छादकता व्युत्क्रमणीयता, और [आधार-परिवर्तन](#def-b1-matrices-changeofbasis) संयुग्मन — तथा कलनविधि वाला पक्ष भी: [पंक्ति संक्रियाएँ](#met-b1-matrices-gauss), कोटियों और प्रतिलोमों की संगणना। आव्यूह माध्यमिक खंड में पहली बार मिले थे, और अब वे अध्याय [18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim) और [20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) के सिद्धांत पर टिका दिए गए हैं। ## 21.1 आव्यूह और रैखिक प्रतिचित्रण **परिभाषा 21.1.** $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ अदिशों की $n \times p$ सारणियों $A = (a_{ij})$ की [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) है ($i$: पंक्ति, $j$: स्तंभ), जिसकी विमा $np$ है ([आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): केवल एक $1$ वाले आव्यूह $E_{ij}$)। $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ और $F$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{C}$ दिए हों ($\dim F = n$), तो *$u \in \mathcal{L}(E, F)$ का आव्यूह* वह सारणी है जिसका $j$-वाँ स्तंभ $\mathcal{C}$ में $u(e_j)$ के [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) देता है: $$ \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i . $$ [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ $\mathcal{L}(E, F)$ से $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ पर एक तुल्याकारिता है ([प्रतिज्ञप्ति 20.2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#prop-b1-linmaps-basis): [रैखिक प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) ठीक $e_j$ के प्रतिबिंबों का चुनाव ही है)। **उदाहरण 21.2 (अवकलज, आव्यूह के रूप में).** $\R_3[X]$ पर मान लीजिए $D(P) = P'$। एकपदी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2, X^3)$ में: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, अतः $$ \operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ *विभाजित* [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ में हर आधार-सदिश पिछले पर चला जाता है ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), और आव्यूह शुद्ध सरकाव बन जाता है: अधिविकर्ण पर इकाइयाँ, बाक़ी जगह शून्य। दो सीखें: आव्यूह ([प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map), [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)) की *जोड़ी* का होता है, अकेले [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) का नहीं; और अच्छा [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) संरचना को एक नज़र में दिखा देता है — सरकाव-रूप तुरंत दिखा देता है कि $\R_3[X]$ पर $D^4 = 0$, क्योंकि आव्यूह की हर घात अपने इकाइयों वाले विकर्ण को एक क़दम और बाहर धकेल देती है। **परिभाषा 21.3 (गुणनफल).** $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ और $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ के लिए: $$ (AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk} \qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q). $$ यह ठीक संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) का आव्यूह है: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\, \operatorname{Mat}(u)$ (बीच में [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) मेल खाते हुए)। इसी प्रकार, यदि $X$ $x$ के निर्देशांकों का स्तंभ है, तो $u(x)$ का स्तंभ $AX$ है। **संयोजन-सूत्र की उपपत्ति.** $$ v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j) = \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i = \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere $$ ∎ **प्रतिज्ञप्ति 21.4 (बीजगणित Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).** वर्ग आव्यूह $\mathcal{M}_n(K)$ एक [वलय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring) बनाते हैं ($n \geq 2$ के लिए अक्रमविनिमेय), जिसका तत्समक $I_n$ है; उसका इकाइयों का [समूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) *व्यापक रैखिक समूह* $GL_n(K)$ है, जो [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) अंतःसमाकारिताओं के अनुरूप है। $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए: $$ AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ और } B = A^{-1} $$ (एकतरफ़ा प्रतिलोम दुतरफ़ा होते हैं, [उपप्रमेय 20.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim) से)। **उपपत्ति.** [वलय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring) के अभिगृहीत [परिभाषा 21.1](#def-b1-matrices-def) की तुल्याकारिता के द्वारा $\mathcal{L}(E)$ से स्थानांतरित हो जाते हैं: वह संयुक्त [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) को गुणनफल में और योग को योग में बदल देती है, अतः साहचर्य, वितरण नियम और $I_n$ की भूमिका प्रतिचित्रणों के तदनुरूप तथ्यों से विरासत में मिल जाते हैं, बिना किसी प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि सत्यापन के। अक्रमविनिमयता: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$। यदि $AB = I_n$: तो $A$ की अंतःसमाकारिता $a$ $a \circ b = \mathrm{id}$ संतुष्ट करती है, अतः $a$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है ($x = a(b(x))$ हर $x$ का एक [पूर्वप्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) दिखा देता है), इसलिए [परिमित विमा](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) में [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) ([उपप्रमेय 20.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim)); $a \circ b = \mathrm{id}$ को बाईं ओर से $a^{-1}$ के साथ संयुक्त करने पर $b = a^{-1}$ मिलता है, और फिर $b\circ a = \mathrm{id}$ भी: अर्थात् एकतरफ़ा प्रतिलोम आरंभ से ही दुतरफ़ा था — और यह कृपा कड़ाई से [परिमित-विमीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#def-b1-findim-def) है। ∎ **परिभाषा 21.5 (परिवर्त; अनुरेख).** $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ का *परिवर्त* $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ है; वह $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ और $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ संतुष्ट करता है। किसी वर्ग आव्यूह का *अनुरेख* $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ है; वह [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) है, और $$ \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}). $$ **अनुरेख-सर्वसमिका की उपपत्ति.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ और $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: वही दुहरा योग। ∎ **उदाहरण 21.6 (अनुरेख काम पर).** $\operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1)$ पर [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) का [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection), अर्थात् $p(x, y) = (x, x)$, विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ रखता है: वस्तुतः $A^2 = A$, और $$ \operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A , $$ जो [अभ्यास 21.8](#exo-b1-matrices-8) को दर्शाता है: वर्गसम आव्यूहों के लिए [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) की विमा *गिनता* है, चाहे आव्यूह किसी भी तिरछे [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में लिखा गया हो। अपरिवर्तिता की क्रियाविधि सर्वसमिका $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ है: $$ \operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A , $$ अतः $A$ के सदृश सभी आव्यूहों का [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) वही होता है — यह किसी अंतःसमाकारिता का पहला *संख्यात्मक अचर* है, जिसके साथ [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में सारणिक आ मिलेगा (नीचे की सप्ताहांत समस्या वाली जोड़ी $(s, p)$)। **उदाहरण 21.7 (सममित जमा प्रतिसममित).** $A$ को *सममित* कहिए जब $A^{\mathsf T} = A$, और *प्रतिसममित* जब $A^{\mathsf T} = -A$। हर वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से एक जमा दूसरे के रूप में बँट जाता है: $$ A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{सममित}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{प्रतिसममित}}, $$ और जो आव्यूह दोनों हो वह शून्य है ($A = -A$): अतः दोनों [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathcal{M}_n(K)$ की [पूरक उपसमष्टियाँ](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) हैं — यह फलनों के सम/विषम [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) ([उदाहरण 18.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ex-b1-vspaces-evenodd)) का ठीक-ठीक तदनुरूप है, जहाँ $x \mapsto -x$ की भूमिका परिवर्तन निभाता है। विमाएँ: सममित आव्यूह विकर्ण पर और उसके ऊपर [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) होता है, और प्रतिसममित कड़ाई से ऊपर (विकर्ण शून्य): $$ \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 , $$ और गिनती का संतुलित हो जाना ग्रासमान द्वारा प्रत्यक्षता की पुष्टि है। $n = 2$ के लिए: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$। सममित आव्यूह [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) में द्वितीय [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) के आँकड़ों के रूप में लौटते हैं (मोंज त्रिक $r, s, t$), और सममित-लांबिक आव्यूहों का वर्गीकरण [अभ्यास 23.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#exo-b1-euclid-12) में है। ## 21.2 आधार-परिवर्तन **परिभाषा 21.8.** मान लीजिए $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ $E$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं। *आधार-परिवर्तन आव्यूह* $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ के स्तंभ *नए* आधार-सदिशों के *पुराने* [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) हैं। वह व्युत्क्रमणीय है, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, और [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $X = PX'$ के अनुसार बदलते हैं (पुराना $=$ $P\,\cdot$ नया)। **उदाहरण 21.9 (आधार-परिवर्तन आव्यूह पढ़ना).** $\R^2$ में, विहित $\mathcal B$ से $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ तक: $$ P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$ (नए सदिश पुराने निर्देशांकों में, स्तंभ-दर-स्तंभ लिखे हुए)। पुराने निर्देशांकों वाले सदिश $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ के नए [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ हैं: वस्तुतः $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$। दिशा का ध्यान रखिए — आव्यूह $P$ *नए* [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) से बनता है, पर वह निर्देशांकों को *नए से पुराने* में बदलता है ($X = PX'$); पुराने से नए जाने की क़ीमत प्रतिलोम है। हर रूपांतरण के बाद जाँच $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ लिख लेने से उलटे-$P$ वाली त्रुटि पकड़ में आ जाती है, जो इस अध्याय की सबसे आम भूल है। **प्रमेय 21.10 (किसी प्रतिचित्रण के लिए आधार-परिवर्तन).** मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$, जिसका $\mathcal{B}$ में आव्यूह $A$ है और $\mathcal{B}'$ में $A'$, तथा $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$। तब $$ A' = P^{-1} A\, P . $$ इस प्रकार संबंधित दो आव्यूह *सदृश* कहलाते हैं। (दो जोड़ी आधारों वाले $u \colon E \to F$ के लिए सूत्र $A' = Q^{-1} A P$ है — *तुल्य* आव्यूह।) **उपपत्ति.** किसी भी $x$ के लिए: $X = PX'$, और [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) $Y = AX$, $Y = PY'$ संतुष्ट करता है। अतः $PY' = APX'$, अर्थात् सभी $X'$ के लिए $Y' = (P^{-1}AP)X'$: इसलिए नए [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में $u$ का आव्यूह $P^{-1}AP$ है ($X'$ के लिए विहित स्तंभ लीजिए)। ∎ **उदाहरण 21.11 (अच्छा आधार प्रतिचित्रण को पारदर्शी बना देता है).** मान लीजिए $u(x, y) = (y, x)$ (अदला-बदली), जिसका विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ है। [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ में: $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$ सचमुच किसी आव्यूह-गुणनफल की आवश्यकता नहीं थी: $u$ $(1,1)$ को अचल रखता है और $(1,-1)$ को उलट देता है, अतः $\mathcal B'$ में उसका आव्यूह $\operatorname{diag}(1, -1)$ *होना ही* था — अदला-बदली रेखा $y = x$ के पार का परावर्तन है। किसी दिए हुए अंतःसमाकारिता के लिए ऐसा [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) खोजना जिसमें उसका आव्यूह विकर्ण हो जाए, स्नातक वर्ष 2 के खंड की केंद्रीय समस्या है (लघुकरण-सिद्धांत); और नीचे की सप्ताहांत समस्या दिखाती है कि अकेली बहुपद-सर्वसमिकाएँ ही कितनी दूर तक ले जाती हैं। **उदाहरण 21.12 (आधार-परिवर्तन, उलटी दिशा में चलाया हुआ).** $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) का, अनुकूलित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ में, पारदर्शी आव्यूह $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ है। उसका विहित-आधार वाला आव्यूह पाने के लिए [प्रमेय 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) को उलटी दिशा में चलाइए, $A = P A' P^{-1}$: $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}. $$ जाँच: $A^2 = A$ (वर्गसम), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$, और $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, जैसा निर्धारित था। यही उलटी दिशा — अच्छे [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में आव्यूह गढ़िए, फिर वापस संयुग्मित कीजिए — वह विधि है जिससे व्यवहार में घूर्णन, परावर्तन और [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) के आव्यूह सचमुच बनाए जाते हैं। **प्रमेय 21.13 (कोटि मानक रूप).** किसी आव्यूह की *कोटि* (उसके स्तंभों की कोटि, अथवा तुल्य रूप से संबद्ध [रैखिक प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) की कोटि) तुल्यता का एकमात्र अचर है: $r$ कोटि वाला हर $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ निम्नलिखित के तुल्य है $$ J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, $$ और $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: अर्थात् पंक्ति-कोटि स्तंभ-कोटि के बराबर होती है। **उपपत्ति.** मान लीजिए $u \colon E \to F$ की कोटि $r$ है। $\ker u$ की कोई [पूरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) $S$ चुनिए ($\dim S = r$, [प्रमेय 20.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#thm-b1-linmaps-ranknullity)) जिसका [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ हो, और उसे $\ker u$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) से पूर्ण करके $E$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाइए; [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) $f_i = u(e_i)$, $i \leq r$, $\operatorname{im} u$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं (सीमन एक तुल्याकारिता है), जिसे $F$ के [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) तक पूर्ण कर लीजिए। इन आधारों में $u$ का आव्यूह ठीक $J_r$ है। अतः व्युत्क्रमणीय $P, Q$ के लिए $A = Q J_r P^{-1}$। [परिवर्त](#def-b1-matrices-transpose) लेने पर: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$, जहाँ $J_r^{\mathsf T}$ उसी रूप का है (कोटि $r$) और बाहरी गुणनखंड व्युत्क्रमणीय हैं (व्युत्क्रमणीय का [परिवर्त](#def-b1-matrices-transpose) व्युत्क्रमणीय होता है, $AA^{-1} = I$ पर $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ लगाने से): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$। ∎ ## 21.3 पंक्ति संक्रियाएँ **विधि 21.14 (आव्यूहों पर गाउसीय विलोपन).** तीन *प्राथमिक पंक्ति संक्रियाएँ* — दो पंक्तियों की अदला-बदली, किसी पंक्ति को $\lambda \neq 0$ से गुणा करना, किसी पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना — कोटि नहीं बदलतीं (हर एक किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह से बाईं ओर का गुणन है)। कलनविधि: एक धुरी बनाइए (सबसे बाईं अशून्य प्रविष्टि), उसके स्तंभ को नीचे से साफ़ कीजिए, अगली पंक्ति और अगले स्तंभ पर बढ़िए; प्राप्त सोपानिक रूप की धुरियों की संख्या ही कोटि है। *प्रतिलोम की संगणना:* कलनविधि को खंड $(A \mid I_n)$ पर तब तक चलाइए जब तक बायाँ खंड $I_n$ न बन जाए (यह संभव है तभी जब $A$ व्युत्क्रमणीय हो); तब दायाँ खंड $A^{-1}$ है — वस्तुतः प्रयुक्त प्राथमिक आव्यूहों का गुणनफल $A^{-1}$ के बराबर है। **उदाहरण 21.15.** $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: $(A \mid I_2)$ का लघुकरण कीजिए: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}, $$ (संक्रियाएँ: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$; फिर $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$)। अतः $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$। *जाँच:* $AA^{-1} = I_2$। **उदाहरण 21.16 (प्राचल वाली कोटि, केवल पंक्तियों से).** $m \in \R$ के लिए $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$ की कोटि। लघुकरण कीजिए: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ और $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ ये पंक्तियाँ देते हैं $$ (1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad (0,\ 1 - m,\ 1 - m^2). $$ *स्थिति $m = 1$*: अंतिम दो पंक्तियाँ शून्य हो जाती हैं — एक धुरी, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (मूल तीनों पंक्तियाँ बराबर थीं)। *स्थिति $m \neq 1$*: $L_2$ को $\frac1{m-1}$ से और $L_3$ को $\frac1{1-m}$ से मापित करके $(0, 1, -1)$ और $(0, 1, 1 + m)$ पाइए, फिर $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$। यदि $m = -2$: दो धुरियाँ, कोटि $2$; अन्यथा तीन धुरियाँ, कोटि $3$। सारांश: $$ \operatorname{rk} M_m = \begin{cases} 1 & m = 1,\\ 2 & m = -2,\\ 3 & \text{अन्यथा}. \end{cases} $$ यही देहलियाँ [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में एक ही सारणिक-संगणना से निकल आएँगी ([अभ्यास 22.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#exo-b1-det-7) का [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$) — पर ध्यान दीजिए कि विलोपन वह देता है जो सारणिक नहीं देता: अपभ्रष्ट स्थितियों में कोटि का *मान*, केवल यह तथ्य नहीं कि वह गिर गई। **उदाहरण 21.17 (घातों की संगणना).** $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$, जहाँ $N = E_{12}$, $N^2 = 0$। चूँकि $I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं, द्विपद प्रमेय ([प्रतिज्ञप्ति 7.20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#prop-b1-structures-binomial)) कट जाती है: $$ A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k \in \N, \text{ तथा } k \in \Z \text{ भी, बशर्ते } A^{-1} = I - N). $$ **विधि 21.18 (AnA^nAn की संगणना: तीन रास्ते).** 1. *द्विपद रास्ता* : यदि $A = \lambda I + N$ , जहाँ $N$ शून्यंभावी है, तो द्विपद प्रमेय कट जाती है ( [उदाहरण 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , [अभ्यास 21.5](#exo-b1-matrices-5) ); और वह लागू इसलिए होती है क्योंकि $\lambda I$ हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय है। 2. *[बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) रास्ता* : $A$ द्वारा संतुष्ट कोई बहुपद-सर्वसमिका खोजिए (विमा $2$ में सदा $A^2 = sA - pI$ ) और $X^n$ का उसके सापेक्ष लघुकरण कीजिए; नीचे की सप्ताहांत समस्या यह रास्ता पूरा-पूरा बनाती है। 3. *सादृश्य रास्ता* : ऐसा व्युत्क्रमणीय $P$ खोजिए कि $P^{-1}AP = D$ सरल हो (विकर्ण, अथवा सरकाव), $D^n$ संगणित कीजिए, और फिर उलट दीजिए: $A^n = P D^n P^{-1}$ ( [प्रमेय 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , [उदाहरण 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ); ऐसे $P$ की व्यवस्थित खोज ही स्नातक वर्ष 2 का लघुकरण-सिद्धांत है। रास्ता कोई भी हो, परिणाम को $n = 0, 1, 2$ पर जाँच लीजिए: ये तीन सस्ती परीक्षाएँ लगभग हर चूक पकड़ लेती हैं। **टिप्पणी 21.19 (सामान्य भूलें: अक्रमविनिमयता की क़ीमत).** अदिश बीजगणित की हर वह सर्वसमिका, जिसकी उपपत्ति गुणनखंडों का क्रम बदलती है, $\mathcal{M}_n(K)$, $n \geq 2$ में मर जाती है। *वर्ग*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, और बीच का भाग $2AB$ तक तभी ढहता है जब $AB = BA$ ([अभ्यास 21.1](#exo-b1-matrices-1))। *गुणनफलों की घातें*: $(AB)^k$ $ABAB\cdots$ है, $A^kB^k$ नहीं। *शून्य भाजक*: $E_{12} \neq 0$ के साथ $E_{12}E_{12} = 0$; और इसीलिए *कोई निरसन नहीं*: $AB = AC$ से $B = C$ तभी निकलता है जब $A$ व्युत्क्रमणीय हो ($A^{-1}$ से गुणा कीजिए — सही ओर से)। *[अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose)*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ सदा, पर व्यापक रूप से $\operatorname{tr}(AB) \neq \operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ ($A = B = I_2$ लीजिए: $2 \neq 4$), और $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ (चक्रीय), जबकि $\operatorname{tr}(ACB)$ भिन्न हो सकते हैं। *[परिवर्त](#def-b1-matrices-transpose) क्रम उलट देते हैं*: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — इस उलटाव को भूल जाना लांबिकता की संगणनाओं में सबसे आम त्रुटि है ([अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid))। संदेह हो तो किसी भी दावा की गई सर्वसमिका को $E_{12}$ और $E_{21}$ पर परखिए: सबसे छोटी अक्रमविनिमेय जोड़ी अधिकांश ग़लत सूत्रों को एक ही पंक्ति में खंडित कर देती है। **टिप्पणी 21.20 (यह शब्दकोश कहाँ जाता है).** आव्यूह-शब्दकोश इस खंड के शेष हर पृष्ठ पर काम आता है: [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) हर वर्ग आव्यूह से एक ही संख्या जोड़ देता है जो व्युत्क्रमणीयता तय कर देती है, और $AX = B$ को व्यवस्थित रूप से हल कर देता है; [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) उन आव्यूहों को छाँट लेता है जो लंबाइयाँ सुरक्षित रखते हैं (लांबिक आव्यूह); और [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) में दो चरों के किसी फलन का द्वितीय-कोटि व्यवहार एक सममित $2 \times 2$ आव्यूह है। ऊपर लगभग चलते-चलते आया [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) एक शक्तिशाली अचर बन जाता है: अभ्यास [21.6](#exo-b1-matrices-6) और [21.8](#exo-b1-matrices-8) उसका पहला स्वाद देते हैं, और स्नातक वर्ष 2 का खंड उसी पर अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत खड़ा करता है। सप्ताहांत समस्या दूसरा भारवाहक विकसित करती है: किसी आव्यूह द्वारा संतुष्ट बहुपद-सर्वसमिकाएँ, जो $A^n$ की संगणना को दो-पदीय [रैखिक पुनरावृत्ति](#pb-b1-matrices-1) में बदल देती हैं। **टिप्पणी 21.21 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य).** यहाँ प्रस्तुत तीन आव्यूह-कुलों की इस खंड में आगे भेंट तय है। *सममित आव्यूह* ([उदाहरण 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) दो चरों के फलनों के द्वितीय-कोटि आँकड़े ढोते हैं: [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) की मोंज कसौटी किसी सममित $2\times2$ आव्यूह के चिह्न-व्यवहार के विषय में एक [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है, और उसका सारणिक $rt - s^2$ [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) की मशीनरी से संगणित होता है। *लांबिक आव्यूह* ($A^{\mathsf T}A = I$) [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) के समदूरक हैं, जहाँ [परिवर्त](#def-b1-matrices-transpose) को अंततः उसका ज्यामितीय अर्थ मिल जाता है: वह अंतर्गुणन की बीजगणितीय छाया है। *व्युत्क्रमणीय आव्यूहों* की व्यावहारिक परीक्षा [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में होती है — एक ही संख्या, $\det A \neq 0$ — और वही उस खोज को बंद करती है जो इस अध्याय ने पंक्ति-लघुकरण से आरंभ की थी। फिर [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) और सारणिक सप्ताहांत समस्या की अचर जोड़ी $(s, p)$ के रूप में यात्रा करते हैं, ठीक स्नातक वर्ष 2 के अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत तक। ## 21.4 अभ्यास **अभ्यास 21.1 ★.** मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ और $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$। $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ और $(A+B)(A-B)$ संगणित कीजिए; और समझाइए कि अंतिम दो भिन्न क्यों हैं। **हल — अभ्यास 21.1.** $$ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix}, $$ $$ (A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}. $$ वे $BA - AB \neq 0$ जितने भिन्न हैं: सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ के लिए क्रमविनिमयता चाहिए, जो यहाँ विफल है। **अभ्यास 21.2 ★.** निम्नलिखित की कोटि संगणित कीजिए $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. $$ **हल — अभ्यास 21.2.** $M$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ दूसरी पंक्ति मार देता है; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $(0, -1, -2)$ देता है। दो धुरियाँ: $\operatorname{rk} M = 2$। $N$: $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ $(0,1,1,1) = L_2$ देता है; फिर $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$। दो धुरियाँ: $\operatorname{rk} N = 2$। **अभ्यास 21.3 ★.** पंक्ति-लघुकरण से $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ का प्रतिलोम निकालिए, और एक गुणनफल पर जाँचिए। **हल — अभ्यास 21.3.** $(A \mid I_3)$ का लघुकरण: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, $$ फिर $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$: $$ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}. $$ *जाँच:* $A$ की पहली पंक्ति गुणा $A^{-1}$ का पहला स्तंभ: $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$; गुणा दूसरा स्तंभ: $1 - 0 - 1 = 0$; गुणा तीसरा: $-1 + 0 + 1 = 0$। **अभ्यास 21.4 ★.** $\R_2[X]$ के विहित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में अंतःसमाकारिता $u(P) = P(X + 1)$ का आव्यूह लिखिए। बिना संगणना के समझाइए कि वह व्युत्क्रमणीय क्यों है, और $u^{-1}$ का आव्यूह दीजिए। **हल — अभ्यास 21.4.** $u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: $(1, X, X^2)$ में निर्देशांकों के स्तंभ देते हैं $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ $u$ व्युत्क्रमणीय है, क्योंकि उसका स्पष्ट प्रतिलोम $P \mapsto P(X - 1)$ है (प्रतिस्थापनों का संयोजन)। उसका आव्यूह उसी तरह $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ से मिल जाता है: $$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ **अभ्यास 21.5 ★★.** मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$। $A = 2I + N$ लिखिए, $N^2$ संगणित कीजिए, और द्विपद प्रमेय से सभी $k \in \N$ के लिए $A^k$ निकालिए। **हल — अभ्यास 21.5.** $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$। चूँकि $2I$ और $N$ क्रमविनिमेय हैं, द्विपद प्रसार दो पदों के बाद कट जाता है: $$ A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}. $$ ($k = 2$ पर जाँच: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, जो सीधे गुणनफल से सही है।) **अभ्यास 21.6 ★★.** सिद्ध कीजिए कि ऐसे कोई आव्यूह $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ नहीं हैं ($K = \R$ अथवा $\C$ के साथ) जिनके लिए $AB - BA = I_n$। *([अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) लीजिए।)* **हल — अभ्यास 21.6.** [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose): $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$ ([परिभाषा 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), जबकि $\R$ अथवा $\C$ में $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$। अतः कोई हल नहीं। (अनंत-विमीय समष्टियों पर यह सर्वसमिका साकार *होती है* — अवकलन और $x$ से गुणन उसे संतुष्ट करते हैं — और ठीक इसीलिए, क्योंकि वहाँ कोई [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) होता ही नहीं।) **अभ्यास 21.7 ★★.** आव्यूह $A$ *शून्यंभावी* कहलाता है जब किसी $m$ के लिए $A^m = 0$। सिद्ध कीजिए कि तब $I - A$ व्युत्क्रमणीय है, और $$ (I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} . $$ अनुप्रयोग: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ का प्रतिलोम निकालिए। **हल — अभ्यास 21.7.** दूरबीनी गुणनफल, क्योंकि $A$ की सभी घातें क्रमविनिमेय हैं: $$ (I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I , $$ और [प्रतिज्ञप्ति 21.4](#prop-b1-matrices-ring) एकतरफ़ा प्रतिलोम को उन्नत कर देता है। अनुप्रयोग के लिए: दिया हुआ आव्यूह $I + N$ है, जहाँ $$ N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \quad N^3 = 0 , $$ अतः सूत्र में $A$ के स्थान पर $-N$ रखने पर: $$ (I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ **अभ्यास 21.8 ★★.** मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ $A^2 = A$ संतुष्ट करता है (वर्गसम)। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$। *($A$ की व्याख्या किसी [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) के रूप में कीजिए और कोई अनुकूलित [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) चुनिए; [प्रमेय 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) कहता है कि [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पर निर्भर नहीं करता, क्योंकि $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr} M$।)* **हल — अभ्यास 21.8.** $A^2 = A$: अंतःसमाकारिता $a$ एक [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) है ([प्रमेय 20.15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#thm-b1-linmaps-projchar)), $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$ के साथ $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$। इस विघटन के अनुकूल किसी [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) में ([प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) के $r$ सदिश, फिर अष्टि का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)) $a$ का आव्यूह $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ है, जिसका [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) $r$ है। [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) [आधार-परिवर्तन](#def-b1-matrices-changeofbasis) के अंतर्गत अपरिवर्तित रहता है: चक्रीय सर्वसमिका से $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) = \operatorname{tr} M$। अतः $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$। **अभ्यास 21.9 ★★★.** मान लीजिए $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ सब-इकाई आव्यूह है। $J^2$ संगणित कीजिए, और $a, b \in \R$ के लिए $M = aI + bJ$ की व्युत्क्रमणीयता की शर्त तथा $M^{-1}$ निकालिए *(उसी रूप $\alpha I + \beta J$ का प्रतिलोम खोजिए)*। **हल — अभ्यास 21.9.** $J^2 = nJ$ ($J^2$ की हर प्रविष्टि $n$ इकाइयों का योग है)। $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ खोजिए: $$ (aI + bJ)(\alpha I + \beta J) = a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J . $$ यह $I$ के बराबर है तभी जब $a\alpha = 1$ और $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$, अर्थात् $\alpha = \frac1a$ तथा $\beta(a + nb) = -\frac ba$। यदि $a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$: $$ M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J . $$ विलोमतः, यदि $a = 0$: तो $M = bJ$ की कोटि $\leq 1 < n$ है ($n \geq 2$ के लिए): अतः व्युत्क्रमणीय नहीं ($n = 1$ अदिश स्थिति है)। यदि $a + nb = 0$: तो सदिश $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ $v \neq 0$ के साथ $Mv = (a + nb)v = 0$ संतुष्ट करता है: अतः व्युत्क्रमणीय नहीं। इस प्रकार $M \in GL_n \iff a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$। **अभ्यास 21.10 ★★★.** (कोटि-असमिकाएँ) $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए सिद्ध कीजिए $$ \operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B, \qquad \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . $$ *(दूसरी के लिए — सिल्वेस्टर की असमिका — $A$ के [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) के $\operatorname{im} B$ तक के सीमन पर कोटि–शून्यता लगाइए।)* **हल — अभ्यास 21.10.** *योग:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A + \operatorname{im} B$ (हर $(A+B)x = Ax + Bx$), और ग्रासमान किसी योग की विमा को विमाओं के योग से परिबद्ध कर देता है। *सिल्वेस्टर:* मान लीजिए $a$ $V = \operatorname{im} B$ तक सीमित $A$ का [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) है (विमा $\operatorname{rk} B$)। उसका [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(AB)$ है ($a(Bx) = ABx$), और $V$ में कोटि–शून्यता: $$ \operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) . $$ अब $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, जिसकी विमा $n - \operatorname{rk} A$ है: अतः $$ \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n - \operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . \qedhere $$ **अभ्यास 21.11 ★★.** मान लीजिए $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$, जहाँ $d_i$ *युग्मशः भिन्न* हैं। 1. सिद्ध कीजिए कि कोई आव्यूह $A$ $D$ के साथ क्रमविनिमेय है तभी जब $A$ विकर्ण हो। *($AD$ और $DA$ की $(i,j)$ प्रविष्टियों की तुलना कीजिए।)* 2. इससे $\mathcal{M}_n(K)$ का *केंद्र* निकालिए: *हर* आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय आव्यूह ठीक अदिश आव्यूह $\lambda I_n$ हैं। *(पहले $D$ के सामने परखिए, फिर आव्यूहों $E_{ij}$ के सामने।)* **हल — अभ्यास 21.11.** 1. प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ और $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ । अतः $AD = DA$ तभी जब सभी $i, j$ के लिए $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ ; और $i \neq j$ होने पर गुणनखंड $d_j - d_i$ अशून्य है, जो $a_{ij} = 0$ बाध्य कर देता है: अर्थात् $A$ विकर्ण है। विलोमतः विकर्ण आव्यूह आपस में क्रमविनिमेय हैं। 2. यदि $A$ हर आव्यूह के साथ क्रमविनिमेय है, तो वह $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ के साथ भी है, अतः (1) से $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ । तब $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ ( $E_{ij}$ की केवल $i$ पंक्ति बचती है) जबकि $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : अतः $E_{ij}$ के साथ क्रमविनिमय $\lambda_i = \lambda_j$ बाध्य कर देता है। इस प्रकार $A = \lambda I_n$ ; और अदिश आव्यूह सचमुच हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हैं। $\mathcal{M}_n(K)$ का केंद्र $K\,I_n$ है। **अभ्यास 21.12 ★★★.** (एक-कोटि आव्यूह) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$। 1. सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{rk} A = 1$ तभी जब किसी अशून्य स्तंभ $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ और किसी अशून्य पंक्ति $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ के लिए $A = CL$ । 2. ऐसे $A$ के लिए सिद्ध कीजिए $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; और निष्कर्ष निकालिए कि एक-कोटि आव्यूह शून्यंभावी है तभी जब उसका [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) शून्य हो। 3. यदि $\operatorname{tr} A \neq -1$, तो सिद्ध कीजिए कि $I_n + A$ व्युत्क्रमणीय है, और $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr} A}\,A ,$$ और यह कि $\operatorname{tr} A = -1$ होने पर $I_n + A$ व्युत्क्रमणीय *नहीं* है। *($I_n + A$ द्वारा मारा जाने वाला कोई सदिश खोजिए।)* **हल — अभ्यास 21.12.** 1. यदि $\operatorname{rk} A = 1$ : तो $A$ का [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) एक रेखा $\operatorname{Vect}(C)$ है, $C \neq 0$ , अतः $A$ का $j$ -वाँ स्तंभ अदिशों $\ell_j$ (सब शून्य नहीं) के लिए $\ell_j\,C$ है, अर्थात् $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ के साथ $A = C L$ । विलोमतः यदि $A = CL \neq 0$ , तो सभी स्तंभ $C$ के गुणज हैं: कोटि $1$ । 2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , और $LC$ अदिश $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ है। अतः $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , इसलिए आगमन से $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ । यदि $\operatorname{tr} A \neq 0$ , तो कोई भी घात शून्य नहीं होती; और यदि $\operatorname{tr} A = 0$ , तो $A^2 = 0$ : अर्थात् एक-कोटि आव्यूह शून्यंभावी है तभी जब उसका [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose) शून्य हो। 3. $t = \operatorname{tr} A \neq -1$ के साथ: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr) = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t} = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ $A^2 = tA$ का प्रयोग करते हुए। यदि $t = -1$: तो $A \neq 0$ के साथ $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$, अतः $I_n + A$ $A$ के हर (अशून्य) स्तंभ को मार देता है: अतः न [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj), न व्युत्क्रमणीय। ## 21.5 समस्या: बहुपद-भाग से आव्यूह की घातें **समस्या 21.1.** $A^{100}$ को प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि संगणित करना निराशाजनक है; उसे $A$ द्वारा संतुष्ट किसी बहुपद-सर्वसमिका के द्वारा संगणित करना तीन पंक्तियों का काम है। यह समस्या उस विधि को शून्य से बनाती है: $X^n$ का यूक्लिडीय भाग, वह सर्वसमिका $A^2 - sA + pI = 0$ जिसे हर $2 \times 2$ आव्यूह सत्यापित करता है (विमा $2$ में केली–हैमिल्टन प्रमेय), और आव्यूह-घातों तथा [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) पुनरावृत्तियों के बीच का शब्दकोश — और साथ चलता उदाहरण [फ़िबोनाच्ची अंक](#pb-b1-matrices-1)। **भाग I — शेषफल-कलन।** $s, p \in K$ और $D = X^2 - sX + p$ नियत कीजिए। 1. औचित्य दीजिए कि हर $n \in \N$ के लिए अद्वितीय $Q_n \in K[X]$ और $(a_n, b_n) \in K^2$ ऐसे हैं कि $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ और $(a_0, b_0)$ तथा $(a_1, b_1)$ संगणित कीजिए। 2. $X$ से गुणा करके और फिर से भाग देकर पुनरावृत्तियाँ स्थापित कीजिए $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n, \qquad b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ और $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ निकालिए: अर्थात् गुणांक-अनुक्रम $D$ से जुड़ी [रैखिक पुनरावृत्ति](#pb-b1-matrices-1) का पालन करता है। 3. मान लीजिए $D$ के दो भिन्न मूल $\lambda \neq \mu$ हैं। भाग-सर्वसमिका का मूल्यांकन करके सिद्ध कीजिए $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$ 4. मान लीजिए $D = (X - \lambda)^2$ । भाग-सर्वसमिका के [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) का प्रयोग करके $a_n = n\lambda^{n-1}$ और $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ सिद्ध कीजिए। 5. दिखाइए कि बहुपदों में किसी नियत आव्यूह $M \in \mathcal{M}_k(K)$ का प्रतिस्थापन योग और गुणनफल का आदर करता है: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$। इससे निष्कर्ष निकालिए कि यदि $D(M) = 0$, तो $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$ **भाग II — विमा 2: [अनुरेख](#def-b1-matrices-transpose), सारणिक संख्या, केली–हैमिल्टन।** $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ के लिए $s = a + d = \operatorname{tr} A$ और $p = ad - bc$ रखिए (वही संख्या जिसे [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) सारणिक नाम देगा)। 6. सीधी संगणना से *विमा $2$ में केली–हैमिल्टन सर्वसमिका* सत्यापित कीजिए: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$ 7. सीधे प्रसार से सिद्ध कीजिए कि $p$ गुणात्मक है: स्पष्ट संकेतन में $p(AB) = p(A)\,p(B)$। फिर दिखाइए: $A$ व्युत्क्रमणीय है तभी जब $p \neq 0$, और तब $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$ 8. मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ । $s$ , $p$ , तथा $D$ के मूल संगणित कीजिए, और $A^n$ के लिए [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) सूत्र निकालिए; उसे $A^2$ की सीधी संगणना के सामने जाँचिए। 9. मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ । दिखाइए कि $D$ का एक दुहरा मूल है और $A^n$ संगणित कीजिए; $n = 2$ पर जाँचिए। 10. मान लीजिए $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$, और फ़िबोनाच्ची अंकों को $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ से परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ इससे बिने का सूत्र $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ निकालिए, जहाँ $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$, और प्रश्न 7 का प्रयोग करके कासिनी की सर्वसमिका $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$। **भाग III — [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) पुनरावृत्तियाँ, संरचनात्मक दृष्टि से।** $p \neq 0$ के साथ $s, p \in K$ नियत कीजिए, और मान लीजिए $E_D$ उन अनुक्रमों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है जो सभी $n$ के लिए $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ संतुष्ट करते हैं। 11. दिखाइए कि $E_D$ विमा $2$ वाली [सदिश समष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) है ( [अभ्यास 19.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#exo-b1-findim-10) को अनुकूलित कीजिए)। 12. दिखाइए कि भाग I का अनुक्रम $(a_n)$ $E_D$ का वही अवयव है जिसके आरंभिक मान $0, 1$ हैं, और यह कि हर $u \in E_D$ संतुष्ट करता है $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ जहाँ $(b_n)$ भाग I जैसा ही है: अर्थात् भाग के शेषफल *सभी* पुनरावृत्तियाँ एक ही साथ हल कर देते हैं। 13. यदि $\lambda \neq \mu$ $D$ के मूल हैं, तो दिखाइए कि $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ $E_D$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है; और यदि $\lambda \neq 0$ के साथ $D = (X-\lambda)^2$ , तो दिखाइए कि $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। 14. पूरी तरह हल कीजिए: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; और उत्तर $u_2$ तथा $u_3$ पर जाँचिए। 15. मान लीजिए $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ ($D$ का *सहचर आव्यूह*)। दिखाइए कि $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix} \quad (u \in E_D),$$ और यह कि $\operatorname{tr} C = s$ तथा $p(C) = p$: अर्थात् पुनरावृत्ति और आव्यूह वही एक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $D$ ढोते हैं। **भाग IV — घात तीन।** मान लीजिए $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ और $$ C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}. $$ 16. दिखाइए कि $D_3(C_3) = 0$ । *($C_3$ की घातों के अंतर्गत विहित आधार-सदिशों के [प्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-kerim) संगणित कीजिए: $C_3$ का [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ भेजता है, जो अंतिम पंक्ति से बाध्य संयोजन है।)* 17. दिखाइए कि यदि $D_3$ के तीन भिन्न मूल $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ हैं, तो $X^n$ को $D_3$ से भाग देने पर मिला शेषफल $R_n$ गाँठों $\lambda_i$ पर मानों $\lambda_i^n$ का *लाग्रांज अंतर्वेशक* है ( [प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ); और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $C_3^{\,n}$ की हर प्रविष्टि $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ का कोई नियत [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) संयोजन है। 18. हल कीजिए: $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ के साथ $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ । *($D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$ का गुणनखंडन कीजिए।)* $u_3$ पर जाँचिए। 19. $(X - \lambda)^3$ के सापेक्ष $X^n$ का शेषफल संगणित कीजिए *($\lambda$ पर $X^n$ का टेलर प्रसार)* , और जब $N^3 = 0$ हो तथा $N$ आसपास की हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हो, तब $(\lambda I + N)^n$ के लिए एक सूत्र निकालिए; उसे द्विपद प्रमेय के सामने जाँचिए। 20. दिखाइए कि भिन्न मूलों वाले $D_3$ के लिए कोटि- $3$ की पुनरावृत्ति का व्यापक हल $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ है: सिद्ध कीजिए कि तीनों गुणोत्तर अनुक्रम हल-समष्टि का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं। *(स्वतंत्रता के लिए किसी शून्य संयोजन का $n = 0, 1, 2$ पर मूल्यांकन कीजिए और भिन्न-भिन्न गाँठों $\lambda_i$ पर एक अंतर्वेशन-निकाय पहचानिए।)* **भाग V — फ़िबोनाच्ची लाभांश, और संश्लेषण।** 21. $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ सिद्ध कीजिए। 22. $F^{m+n} = F^m F^n$ से योग-सूत्र निकालिए $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ और $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$ निकालिए। 23. सिद्ध कीजिए कि हर $n \geq 0$ के लिए $F_n$ $\varphi^n/\sqrt5$ के सबसे निकट का पूर्णांक है। 24. मान लीजिए $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ ( *लूका अंक* $L_n$ )। $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ दिखाइए, यह कि $L_n = \varphi^n + \psi^n$ , और $F_{2n} = F_n L_n$ फिर से प्राप्त कीजिए। 25. संश्लेषण, चार वाक्यों में: $2 \times 2$ आव्यूह की घातें $\mathcal{M}_2(K)$ के समतल $\operatorname{Vect}(I, A)$ में क्यों रहती हैं (कौन-सा विमा-तर्क किसी द्विघातीय सर्वसमिका की गारंटी देता है, और भाग II ने कौन-सी स्पष्ट सर्वसमिका दी); यूक्लिडीय भाग घातांकन को दो-पदीय पुनरावृत्ति में कैसे बदल देता है; इस समस्या का कौन-सा [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) सभी विमाओं में मान्य किसी प्रमेय की $n = 2$ वाली स्थिति है (उसका नाम बताइए, और कहिए कि इस शृंखला में वह कहाँ सिद्ध की गई है); और सहचर आव्यूह वाली रचना इस चित्र में क्या जोड़ती है। **हल — समस्या 21.1.** **1.** $X^n$ का घात-$2$ वाले [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $D$ से यूक्लिडीय भाग ([प्रमेय 8.3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)): भागफल और शेषफल हैं और अद्वितीय हैं, तथा शेषफल की घात $\leq 1$ है: $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$। $n = 0$ के लिए: $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0, 1)$; $n = 1$ के लिए: $(a_1, b_1) = (1, 0)$। **2.** $X$ से गुणा कीजिए और $X^2 = D + sX - p$ का लघुकरण कीजिए: $$ X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X = (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n . $$ अंतिम व्यंजक शेषफल के आकार का है (घात $\leq 1$), अतः अद्वितीयता से $a_{n+1} = s a_n + b_n$ और $b_{n+1} = -p a_n$। $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ में $b_{n+1} = -pa_n$ प्रतिस्थापित करने पर $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ मिलता है। **3.** $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ का मूलों पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ और $\mu^n = a_n\mu + b_n$। घटाकर $\lambda - \mu \neq 0$ से भाग देने पर: $$ a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \lambda^n - a_n\lambda = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} . $$ **4.** दुहरे मूल पर: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$। सर्वसमिका का अवकलन करने पर $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$, और $\lambda$ पर मूल्यांकन करने पर: $a_n = n\lambda^{n-1}$; फिर $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$। **5.** $P = \sum_i p_i X^i$ और $Q = \sum_j q_j X^j$ के लिए, $$ P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M), $$ क्योंकि अकेले आव्यूह $M$ की घातें आपस में क्रमविनिमेय हैं (योग तो रैखिकता से स्पष्ट हैं)। यदि $D(M) = 0$, तो $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ में $M$ प्रतिस्थापित करने पर $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$ मिलता है। **6.** सीधे गुणनफल: $$ A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix}, \qquad s A = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d)\\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix}, $$ अतः $A^2 - sA$ की विकर्णेतर प्रविष्टियाँ शून्य हैं और विकर्ण प्रविष्टियाँ $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: $A^2 - sA + pI_2 = 0$। **7.** $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$ के साथ $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$ का प्रसार कीजिए: पद $aa'cb'$ और $ab'ca'$ कट जाते हैं, पद $bc'dd'$ और $bd'dc'$ कट जाते हैं, और जो बचता है वह है $$ aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c' = (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A'). $$ यदि $p \neq 0$, तो केली–हैमिल्टन $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$ देता है, जिससे प्रतिलोम मिल जाता है (और [प्रतिज्ञप्ति 21.4](#prop-b1-matrices-ring) उसे दुतरफ़ा बना देता है)। यदि $p = 0$ और $A$ व्युत्क्रमणीय होता, तो गुणात्मकता $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ देती: असंभव। अतः $A \in GL_2 \iff p \neq 0$। **8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$: $\lambda = 2$, $\mu = 1$, अतः $a_n = 2^n - 1$ और $b_n = 2 - 2^n$ (प्रश्न 3)। इस प्रकार $$ A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}. $$ जाँच: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, सूत्र से भी और सीधे वर्ग करने से भी। **9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, दुहरा मूल $\lambda = 2$। प्रश्न 4: $a_n = n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, अतः $$ A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I = 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n \end{pmatrix}. $$ $n = 2$ पर: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, जो सीधे संगणित $A^2$ ही है। **10.** आगमन: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$, और $$ F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix}. $$ यहाँ $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$, जिसके मूल $\varphi, \psi$ हैं ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$)। अनुक्रम $(F_n)$ में $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ है और वह $(a_n)$ जैसी ही पुनरावृत्ति का पालन करता है: $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$, अर्थात् बिने का सूत्र। कासिनी: प्रश्न 7 की गुणात्मकता को $F^n$ पर लगाने से, $$ F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n . $$ **11.** शर्त [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) है और उसमें शून्य अनुक्रम है: अतः एक [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace)। आगमन से $u_0, u_1$ $u$ को [रैखिक रूप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-forms) से तय कर देते हैं, और आरंभिक मानों की हर जोड़ी ठीक एक ही हल से साकार होती है: [अभ्यास 19.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#exo-b1-findim-10) की तरह $E_D$ $(u_0, u_1) \in K^2$ के द्वारा [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) तथा [रैखिक रूप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-forms) से प्राचलित है: $\dim E_D = 2$। **12.** $(a_n)$ पुनरावृत्ति का पालन करता है (प्रश्न 2), जहाँ $a_0 = 0$, $a_1 = 1$। $(b_n)$ भी वैसा ही करता है: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ ($b_{n+1} = -pa_n$ का दो बार प्रयोग करके), जहाँ $b_0 = 1$, $b_1 = 0$। तब संयोजन $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ ऐसा हल है जिसमें $v_0 = u_0$, $v_1 = u_1$; और एक ही आरंभिक मानों वाले दो हल एक ही होते हैं (आगमन), अतः सभी $n$ के लिए $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$। **13.** $(\lambda^n)$ एक हल है तभी जब सभी $n$ के लिए $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$, अर्थात् $D(\lambda) = 0$ ($\lambda^n \neq 0$ से भाग देने के बाद; ध्यान दीजिए कि $\lambda, \mu \neq 0$, क्योंकि $p = \lambda\mu \neq 0$)। $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ की स्वतंत्रता: $n = 0, 1$ पर कोई संबंध $c + c' = 0$, $c\lambda + c'\mu = 0$ देता है, अतः $c(\lambda - \mu) = 0$: $c = c' = 0$। विमा $2$ में दो [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) सदिश: अतः [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)। दुहरा मूल: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ एक हल है, क्योंकि $s = 2\lambda$ के साथ $p = \lambda^2$: $$ s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n = \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ; $$ $n = 0, 1$ पर स्वतंत्रता: $c = 0$, फिर $\lambda \neq 0$ के साथ $c'\lambda = 0$। **14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$। व्यापक हल $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$; आरंभिक शर्तें $A + B = 1$ और $3A - 2B = 8$ देती हैं, अतः $A = 2$, $B = -1$: $$ u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n . $$ जाँच: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$; $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$। **15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, और आगमन $C^n$ के साथ सूत्र दे देता है। इसके अतिरिक्त $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ और $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: अर्थात् सहचर आव्यूह का केली–हैमिल्टन [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) ठीक $D$ है। **16.** $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n$ के किसी भी हल $u$ के लिए अवस्था-सदिश $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ $C_3 v_n = v_{n+1}$ संतुष्ट करते हैं (पहली दो पंक्तियाँ सरका देती हैं, और अंतिम पंक्ति पुनरावृत्ति लगाती है)। अतः $$ D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 , $$ जिसके तीनों घटक $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ हैं ($k = 0, 1, 2$)। और चूँकि आरंभिक अवस्था $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ पूरे $K^3$ पर घूमती है (आरंभिक मान मुक्त हैं), अतः आव्यूह $D_3(C_3)$ हर सदिश को मार देता है: $D_3(C_3) = 0$। **17.** $\deg R_n \leq 2$ के साथ $X^n = Q\,D_3 + R_n$ लिखिए और हर मूल पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$। अतः $R_n$ $\leq 2$ घात का ऐसा [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है जो तीन भिन्न गाँठों $\lambda_i$ पर तीनों मानों $\lambda_i^n$ का अंतर्वेशन करता है: [प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) की अद्वितीयता से $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$, जहाँ $(L_i)$ उन गाँठों का लाग्रांज [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है। $C_3$ प्रतिस्थापित करने पर (प्रश्न 5 और 16): $$ C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3), $$ जहाँ तीनों आव्यूह $L_i(C_3)$ $n$ से स्वतंत्र हैं: अतः $C_3^{\,n}$ की हर प्रविष्टि $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ का कोई नियत संयोजन है। **18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$। व्यापक हल $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$। आरंभिक शर्तें: $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C = 1$। तीसरी में से पहली घटाने पर: $3C = 1$, $C = \frac13$; फिर $A + B = -\frac13$ और $A - B = \frac13$: $A = 0$, $B = -\frac13$। इस प्रकार $$ u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3} $$ (याकोब्स्टाल अंक)। जाँच: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$। **19.** $\lambda$ पर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $X^n$ का टेलर प्रसार: $$ X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k , $$ और $k \geq 3$ वाले सभी पद $(X - \lambda)^3$ से विभाज्य हैं: अतः शेषफल है $$ R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 . $$ $N^3 = 0$ के साथ $M = \lambda I + N$ के लिए: $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$, अतः प्रश्न 5 देता है $$ M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2 \lambda^{n-2} N^2 , $$ जो ठीक $(\lambda I + N)^n$ का वही द्विपद प्रसार है, $N^2$ पर कटा हुआ — अर्थात् दोनों विधियाँ सहमत हैं। **20.** हल-समष्टि की विमा $3$ है (प्रश्न 11 जैसा ही $(u_0, u_1, u_2)$ से प्राचलन), और हर $(\lambda_i^n)$ एक हल है। स्वतंत्रता: मान लीजिए $n = 0, 1, 2$ के लिए $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$। $i$ नियत कीजिए और $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ को उन गाँठों का वह लाग्रांज [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) लीजिए जिसके लिए $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$। तब $$ 0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr) = \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i . $$ अतः सभी $c_i = 0$: विमा $3$ में तीन [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हल, यानी एक [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free); और व्यापक हल $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ है। **21.** $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ से योग दूरबीनी हो जाता है: $$ \sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 . $$ **22.** $F^{m+n} = F^m F^n$ की $(1,2)$ प्रविष्टि लीजिए: बायाँ पक्ष $F_{m+n}$ है; और दायाँ पक्ष ($F^m$ की $1$ पंक्ति) गुणा ($F^n$ का $2$ स्तंभ) है, अर्थात् $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$। $m = n$ के साथ: $$ F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}). $$ **23.** बिने से $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, और $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$, अतः $$ \Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr| \leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12 \qquad (n \geq 0): $$ $F_n$ $\varphi^n/\sqrt5$ के सबसे निकट का पूर्णांक है। **24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ सरकाए हुए फ़िबोनाच्ची अनुक्रमों का संयोजन है, अतः वह वही पुनरावृत्ति संतुष्ट करता है: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$; और $t_1 = F_2 + F_0 = 1$, $t_2 = F_3 + F_1 = 3$: ये लूका अंक $L_n$ हैं। अनुक्रम $\varphi^n + \psi^n$ ऐसा हल है जिसके पहले दो मान वही हैं ($\varphi + \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$), अतः $L_n = \varphi^n + \psi^n$। अंत में $$ F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n + \psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} = F_{2n}, $$ जिससे प्रश्न 22 फिर से मिल जाता है। **25.** (क) पाँचों आव्यूह $I, A, A^2, A^3, A^4$ $4$-विमीय $\mathcal{M}_2(K)$ में रहते हैं, अतः $\leq 4$ घात का *कोई न कोई* अशून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $A$ को मार देता है; और भाग II ने इसे स्पष्ट द्विघातीय $A^2 = sA - pI$ तक तीक्ष्ण कर दिया, जो सभी घातों को समतल $\operatorname{Vect}(I, A)$ में बंद कर देता है। (ख) यूक्लिडीय भाग $X^n$ का उस द्विघातीय के सापेक्ष लघुकरण कर देता है, और शेषफल के दोनों गुणांक दो-पदीय पुनरावृत्ति $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ का पालन करते हैं: इस प्रकार घातांकन पुनरावृत्ति बन गया। (ग) प्रश्न 6 *केली–हैमिल्टन प्रमेय* की $n = 2$ वाली स्थिति है, जो हर विमा में मान्य है और स्नातक वर्ष 2 के खंड में सिद्ध की गई है। (घ) सहचर आव्यूह घेरा पूरा कर देता है: हर [रैखिक पुनरावृत्ति](#pb-b1-matrices-1) किसी आव्यूह की घात *है*, और वही [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $D$ अनुरेख-और-सारणिक के आँकड़ों के रूप में आ जाता है, अतः शेषफल-कलन एक ही झटके में पुनरावृत्तियाँ हल करता है और घातें संगणित करता है।