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title: "सारणिक और रैखिक निकाय"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems
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# अध्याय 22 — सारणिक और रैखिक निकाय

सारणिक “क्या ये $n$ सदिश कोई [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं?” का उत्तर एक ही अदिश में समेट देता है — और ज्यामितीय रूप से वह उनसे जनित आयतन नापता है। हम उसे उसके गुणों से अभिलक्षित करते हैं (बहुरैखिक, एकांतरक, प्रसामान्यित), उसे विमा $2$ और $3$ में तथा व्यापक रूप से [सहगुणनखंड-प्रसार](#thm-b1-det-cofactor) से संगणित करते हैं, और उसे [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) निकायों पर काम पर लगाते हैं — साथ ही सर्वकार्य कलनविधि: [गाउसीय विलोपन](#met-b1-det-gauss)।

## 22.1 सारणिक

**प्रमेय 22.1 (अभिलक्षण).**

ठीक एक ही [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ है, जिसे $n$ स्तंभों के फलन के रूप में देखा जाए, और जो:

1. *हर स्तंभ में [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def)* हो (शेष नियत रखते हुए);
2. *एकांतरक* हो: दो स्तंभों की अदला-बदली चिह्न बदल देती है (अतः दो बराबर स्तंभ $0$ देते हैं);
3. *प्रसामान्यित* हो: $\det I_n = 1$ ।

$n = 2$ और $3$ के लिए:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

($3 \times 3$ के लिए सारुस का नियम: अवरोही विकर्णों के गुणनफल घटा आरोही विकर्णों के)।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 22.2.**

$n = 2$ के लिए: विहित स्तंभों पर द्विरैखिकता से प्रसार करने पर वही सूत्र मिल जाता है, जो विलोमतः अभिगृहीत संतुष्ट करता है — अर्थात् एक पूरी उपपत्ति; $n
= 3$ वही है, बस अधिक पदों के साथ। व्यापक स्थिति (क्रमचयों पर योग के द्वारा अस्तित्व, उसी प्रसार से अद्वितीयता) किसी [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) के चिह्न की माँग करती है और द्वितीय वर्ष के लिए टाल दी गई है; हम नीचे अभिगृहीतों और उनके परिणामों का [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) रूप से प्रयोग करते हैं।

$n = 2$ वाला प्रसार पूरा-पूरा, क्योंकि वही प्रतिमान है: स्तंभों $C_1 =
a\,e_1 + c\,e_2$ और $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ के साथ द्विरैखिकता देती है

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

और एकांतरकता दोहराई गई जोड़ियों को मार देती है तथा $\det(e_2, e_1) =
-\det(e_1, e_2)$ का चिह्न पलट देती है: प्रसामान्यन से पूरा [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) ढहकर $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ रह जाता है। अद्वितीयता स्वयं इसी संगणना में दिखाई देती है — अभिगृहीतों ने किसी भी चरण पर कोई विकल्प छोड़ा ही नहीं — और नीचे गुणनफल-नियम की उपपत्ति में ठीक यही मापित-अद्वितीयता वाला तथ्य काम आता है।

**प्रमेय 22.3 (गुण).**

$A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ के लिए:

1. किसी स्तंभ में दूसरे का गुणज जोड़ने से सारणिक नहीं बदलता; किसी स्तंभ को $\lambda$ से गुणा करने पर वह $\lambda$ से गुणित हो जाता है (अतः $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ व्युत्क्रमणीय है $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ स्तंभ $K^n$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं; और तब $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — अतः हर स्तंभ-नियम पंक्ति-नियम भी है;
5. किसी त्रिभुजाकार आव्यूह का सारणिक उसकी विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल होता है।

**उपपत्ति.** (1) रैखिकता से $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$, जहाँ दूसरे सारणिक के दो स्तंभ बराबर हैं: अतः शून्य।

(2) $A$ नियत कीजिए और $\varphi(B) = \det(AB)$ को $B$ के स्तंभों के फलन के रूप में देखिए: चूँकि $AB$ के स्तंभ $AB_j$ हैं, अतः $\varphi$ $B_j$ में बहुरैखिक और एकांतरक है। हम [प्रमेय 22.1](#thm-b1-det-def) के साथ उसका अद्वितीयता-कथन मापित रूप में मान लेते हैं: स्तंभों का *हर* बहुरैखिक एकांतरक [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\varphi$ $\varphi(I_n) \cdot \det$ के बराबर है। यहाँ $\varphi(I_n) = \det A$, अतः $\det(AB) = \det A \cdot \det B$।

(3) यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है: तो $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, अतः $\det A \neq 0$ और प्रतिलोम वाला सूत्र लागू होता है। यदि $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो उसके स्तंभ परतंत्र हैं ([उपप्रमेय 20.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim) और [प्रतिज्ञप्ति 20.2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#prop-b1-linmaps-basis)); किसी एक स्तंभ को शेष के द्वारा व्यक्त करके रैखिकता से प्रसार करने पर ऐसे सारणिक बचते हैं जिनके दो स्तंभ बराबर हैं: $\det A = 0$। [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) वाला [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) [प्रतिज्ञप्ति 19.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#prop-b1-findim-twoofthree) है।

(4) व्यापक रचना के साथ मान लिया गया (क्रमचय-सूत्र पर यह तुरंत दिखता है); हम उसे इसलिए दर्ज करते हैं कि [पंक्ति संक्रियाएँ](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) प्रयोग कर सकें।

(5) यदि कोई विकर्ण प्रविष्टि शून्य हो, तो किसी $k$ के लिए पहले $k$ स्तंभ परतंत्र हैं (कोटि के विचार से) और $\det = 0 =$ गुणनफल। अन्यथा, प्रकार (1) की संक्रियाओं से हर स्तंभ को नीचे-और-बाएँ साफ़ कीजिए — त्रिभुजाकार रूप में यह संभव है — और विकर्ण आव्यूह तक पहुँचिए, जिसका सारणिक $I_n$ से बहुरैखिकता के कारण प्रविष्टियों का गुणनफल है। ∎

**उदाहरण 22.4 (नियम, संख्याओं पर जाँचे हुए).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A = -2$) और $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det B = -1$) लीजिए। तब

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

गुणात्मकता और परिवर्त-अपरिवर्तिता की पुष्टि हो गई — जबकि *झूठी* योज्यता उसी जोड़ी पर विफल हो जाती है:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

किसी भी सारणिक-सर्वसमिका का सहारा लेने के बाद इस तरह का तीस सेकंड का अंकगणित उपलब्ध सबसे सस्ता त्रुटि-बीमा है।

**उदाहरण 22.5 (सारणिक क्षेत्रफल के रूप में).**

$u = (2, 0)$ और $v = (1, 3)$ से जनित समांतर चतुर्भुज का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $2$ और ऊँचाई $3$ है: क्षेत्रफल $6$। और

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

$2\times2$ सारणिक अपने स्तंभों वाले समांतर चतुर्भुज का चिह्नित क्षेत्रफल *है*। अभिगृहीत यही ज्यामिति दोहराते हैं: एक स्तंभ का गुणज दूसरे में जोड़ना एक *अपरूपण* है, जो समांतर चतुर्भुज को किसी भुजा के समांतर सरका देता है, बिना [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) या ऊँचाई बदले ([प्रमेय 22.3](#thm-b1-det-props) की संक्रिया (1)); किसी स्तंभ का मापन क्षेत्रफल को मापित करता है; स्तंभों की अदला-बदली दिक्विन्यास पलट देती है, जिससे चिह्न आता है, $\det(v, u) = -6$। $\R^3$ में यही पाठ चिह्नित आयतन देता है, और $\abs{\det}$ [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) प्रतिचित्रणों का सार्वत्रिक आयतन-मापन गुणक बन जाता है — यही तथ्य स्नातक वर्ष 2 के खंड में बहु-समाकलों के चर-परिवर्तन सूत्र के पीछे है।

**प्रमेय 22.6 (सहगुणनखंड-प्रसार).**

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(K)$, और $\Delta_{ij}$ $A$ का वह सारणिक है जिसमें पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ हटा दिए गए हों। तब किसी भी नियत स्तंभ $j$ के लिए (अथवा पंक्ति के लिए, [परिवर्त](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#def-b1-matrices-transpose) से):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 22.7.**

पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

रणनीति: पहले शून्य बनाइए (पंक्ति/स्तंभ संक्रियाएँ), फिर सबसे ख़ाली रेखा के अनुदिश प्रसार कीजिए।

**उदाहरण 22.8 (सहगुणनखंड वाला प्रतिलोम, एक बार हाथ से).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ के लिए: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$। नौ सहगुणनखंड $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ मिलकर बनाते हैं

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

अर्थात् वही सूत्र जो [अभ्यास 22.8](#exo-b1-det-8) में उद्धृत है। एक पंक्ति-स्तंभ जोड़ी जाँचिए: ($A$ की पंक्ति $1$)($A^{-1}$ का स्तंभ $1$) $= \frac12(1 + 1 +
0) = 1$, और स्तंभ $2$ के सामने: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$। एक $3\times3$ प्रतिलोम के लिए नौ $2\times2$ सारणिक: इसी आकार पर ही पंक्ति-लघुकरण ([अभ्यास 22.3](#exo-b1-det-3)) सस्ता पड़ता है — सहगुणनखंड-सूत्र का मूल्य सैद्धांतिक है ([अभ्यास 22.8](#exo-b1-det-8) में पूर्णांकता, आगे के खंडों में प्रतिलोम की अवकलनीयता), संगणनात्मक नहीं।

**उदाहरण 22.9 (खंड-त्रिभुजाकार नियम, आकार 444 में).**

दावा: $2\times2$ खंडों के लिए $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$। स्तंभ संक्रियाओं से $N$-खंड साफ़ कीजिए: स्तंभों $3, 4$ में स्तंभों $1, 2$ के उपयुक्त संयोजन जोड़ने पर $N$ हट जाता है *जब $M$ व्युत्क्रमणीय हो* (संयोजन-गुणांकों $\Lambda$ के लिए $M\Lambda =
-N$ हल कीजिए), और $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ बच जाता है; फिर पहले स्तंभ के अनुदिश दो बार [सहगुणनखंड-प्रसार](#thm-b1-det-cofactor) इस खंड-विकर्ण आकार के लिए $\det M\det P$ दे देता है। यदि $M$ व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो उसके स्तंभ परतंत्र हैं, अतः बड़े आव्यूह के पहले दो स्तंभ भी परतंत्र हैं (उनके निचले आधे भाग शून्य हैं): दोनों पक्ष शून्य हो जाते हैं। यही दो-स्थिति वाला तर्क नियम को किसी भी खंड-आकार तक बढ़ा देता है — और यही [अभ्यास 22.10](#exo-b1-det-10) को चलाने वाला यंत्र है।

**उदाहरण 22.10 (4×44 \times 44×4 सारणिक, रणनीति के साथ).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

हर पंक्ति का योग $10$ है: संक्रिया $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ पहले स्तंभ को अचर बना देती है, और $10$ का गुणनखंडन करने पर इकाइयाँ बच जाती हैं। फिर $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) पहला स्तंभ साफ़ कर देता है:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

अंतिम $3\times3$ सारणिक अपनी पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसारित होकर: $1(2 - 2)
- 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$। सीख: एक सुचुनी संक्रिया (पंक्ति-योग के अचर होने को पहचान लेना) सोलह सहगुणनखंडों पर भारी पड़ती है।

**विधि 22.11 (सारणिक की रणनीति चुनना).**

कुछ भी संगणित करने से पहले आव्यूह पर नज़र दौड़ाइए।

1. *अचर पंक्ति- या स्तंभ-योग* : सब कुछ एक ही रेखा में जोड़ दीजिए और उभयनिष्ठ मान का गुणनखंडन कीजिए ( [उदाहरण 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , [अभ्यास 22.7](#exo-b1-det-7) )।
2. *दोहराव वाली संरचना* : शून्य बनाने के लिए पड़ोसी पंक्तियाँ या स्तंभ घटाइए; सीढ़ीनुमा प्रतिरूप त्रिभुजाकार रूप की ओर ढह जाते हैं, जिसका सारणिक विकर्ण पर पढ़ लिया जाता है।
3. *छिटपुट शून्य* : सबसे ख़ाली रेखा के अनुदिश प्रसार कीजिए ( [उदाहरण 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ); और पुनरावर्ती कुल (त्रिविकर्ण, [अभ्यास 22.6](#exo-b1-det-6) ) इसी तरह पुनरावृत्तियाँ दे देते हैं।
4. *कोई प्राचल* : सारणिक उसमें एक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है; अपभ्रष्ट मान पहचानकर (बराबर पंक्तियाँ, अनुपाती स्तंभ) उसके मूल खोजिए, फिर घात और अग्र गुणांक से [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) को कील दीजिए। [अभ्यास 22.7](#exo-b1-det-7) के आव्यूह के लिए: $m = 1$ तीन बराबर पंक्तियाँ देता है (कोटि $1$ , एक दुहरा मूल), $m = -2$ पंक्तियों का योग शून्य कर देता है (एक और मूल); सारणिक की $m$ में घात $3$ है और अग्र पद $-m^3$ (प्रति-विकर्ण गुणनफल $m\cdot m\cdot m$ , जिसका सारुस-चिह्न $-1$ है), अतः वह $-(m+2)(m-1)^2$ ही होना चाहिए — किसी प्रसार की आवश्यकता नहीं, और दोनों विधियाँ एक-दूसरे को जाँच लेती हैं।

**उदाहरण 22.12 (वांडरमोंड सारणिक).**

अदिशों $x_1, \dots, x_n$ के लिए:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

उपपत्ति की रूपरेखा ([अभ्यास 22.5](#exo-b1-det-5) में विस्तार से): दाईं ओर से स्तंभ संक्रियाएँ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ पहली पंक्ति साफ़ कर देती हैं, और शेष हर पंक्ति का गुणनखंडन करने पर बात $V(x_2, \dots, x_n)$ तक घट जाती है। यह अशून्य है तभी जब $x_i$ युग्मशः भिन्न हों — यही [लाग्रांज अंतर्वेशन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([उदाहरण 20.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation)) के पीछे का सारणिक है।

## 22.2 रैखिक निकाय

**परिभाषा 22.13.**

$p$ अज्ञातों में $n$ समीकरणों का [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) निकाय $AX = B$ है, जहाँ $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in K^n$; और वह *समघातीय* तब कहलाता है जब $B = 0$। उसका [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets), यदि रिक्त न हो, $X_0 + \ker A$ है: एक विशिष्ट हल जमा व्यापक समघातीय हल — अर्थात् विमा $p - \operatorname{rk} A$ की कोई एफ़ीन [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) (कोटि–शून्यता)।

**उदाहरण 22.14 (एफ़ीन संरचना, दिखाई देती हुई).**

हल कीजिए

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

समीकरणों को घटाने पर: $2y - z = 1$, अतः $z = 2y - 1$ और $x = 3 - y - z = 4 -
3y$। हल यह रेखा बनाते हैं

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

अर्थात् विशिष्ट हल $X_0 = (4, 0, -1)$ (चुनाव $y = 0$) जमा संबद्ध समघातीय निकाय की अष्टि-रेखा $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ — जाँचिए: $(-3) + 1 + 2 = 0$ और $(-3) - 1 + 4 = 0$। ज्यामितीय रूप से $\R^3$ के दो असमांतर समतल किसी रेखा के अनुदिश काटते हैं, और विमा-गिनती $p -
\operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ यह हमारे कुछ भी हल करने से पहले ही जानती थी। विशिष्ट हल बदल देने से (जैसे $y = 1$: $X_0' = (1, 1, 1)$) वर्णन बदलता है, रेखा नहीं: किसी एफ़ीन [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) के अनेक मूल बिंदु होते हैं और एक ही दिशा।

**प्रमेय 22.15 (वर्ग क्रामर निकाय).**

यदि $A \in GL_n(K)$, तो निकाय $AX = B$ का अद्वितीय हल $X = A^{-1}B$ है, जिसके [निर्देशांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) हैं

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ में स्तंभ } j \text{ के स्थान पर } B
\text{ रखने से बना आव्यूह} .
$$

**उपपत्ति.** अद्वितीयता और अस्तित्व व्युत्क्रमणीयता ही हैं। सूत्र के लिए: $B = \sum_k x_k
C_k$ लिखिए ($A$ के स्तंभ); तब बहुरैखिकता और एकांतरकता से,

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

क्योंकि $k = j$ को छोड़कर हर पद में कोई स्तंभ दोहराया हुआ है। ∎

**उदाहरण 22.16 (प्राचल के साथ क्रामर, पूरा).**

$m \in \R$ के लिए हल कीजिए

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

सारणिक $1 - m^2$ है। *सामान्य स्थिति* $m \neq \pm1$: क्रामर देता है

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

अर्थात् हर अनुमत $m$ के लिए एक साफ़ हल ($m = 0$ पर जाँचिए: $(1, 2)$, जो स्पष्टतः सही है)। *अपभ्रष्ट स्थितियाँ*: $m = 1$ पर समीकरण $x + y = 1$ और $x + y = 2$ कहते हैं: असंगत; $m = -1$ पर वे $x - y = 1$ और $-x + y = 2$ कहते हैं, अर्थात् $x - y = 1$ और $x - y = -2$: फिर से असंगत। सारणिक का शून्य होना यह घोषित करता है कि *कुछ* अपभ्रष्ट हो रहा है, पर यह कभी नहीं बताता कि क्या — रिक्त या अनंत, यह दाएँ पक्ष को देखकर ही तय करना पड़ता है। यह भी ध्यान दीजिए कि सूत्र स्वयं अपनी सीमाओं का संकेत दे देते हैं: $m \to 1^{-}$ होने पर $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$; अर्थात् जैसे-जैसे दोनों रेखाएँ समांतर होती जाती हैं, हल-बिंदु भागता चला जाता है।

**विधि 22.17 (निकायों पर गाउसीय विलोपन).**

संवर्धित आव्यूह $(A \mid B)$ का पंक्ति-लघुकरण करके सोपानिक रूप तक लाइए।

1. यदि अंतिम स्तंभ में कोई धुरी आ जाए ( $0 = 1$ वाली पंक्ति): तो कोई हल नहीं।
2. अन्यथा अज्ञात *धुरी-अज्ञातों* और *मुक्त अज्ञातों* (प्राचलों) में बँट जाते हैं; और पश्च-प्रतिस्थापन पहलों को दूसरों में व्यक्त कर देता है: [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) एक एफ़ीन [उपसमष्टि](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) है जिसकी विमा $=$ मुक्त अज्ञातों की संख्या।

क्रामर के सूत्र सिद्धांत और छोटे निकायों के लिए हैं; व्यावहारिक कलनविधि विलोपन ही है।

**उदाहरण 22.18 (प्राचल के साथ एक विवेचन).**

$m \in \R$ के लिए विचार कीजिए

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

आव्यूह का सारणिक $-(m+2)(m-1)^2$ है ([अभ्यास 22.7](#exo-b1-det-7) में सभी स्तंभ पहले में जोड़कर संगणित)। $m \neq 1, -2$ के लिए: अद्वितीय हल $x = y = z =
\frac{1}{m+2}$ (सममिति से)। $m = 1$ के लिए: एक ही समीकरण तीन बार दोहराया हुआ, अतः हलों का एक समतल। $m = -2$ के लिए: तीनों समीकरण जोड़ने पर $0 = 3$ मिलता है, अतः कोई हल नहीं।

**टिप्पणी 22.19 (सामान्य भूलें).**

*सारणिक आव्यूह में [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) नहीं है*: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (पहले से ही $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$); वह हर *स्तंभ* में अलग-अलग [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) है, जो बिलकुल अलग बात है। *मापन*: $\det(\lambda A) =
\lambda^n\det A$, $\lambda\det A$ नहीं — $n$ स्तंभों में से हर एक मापित होता है। *सभी [पंक्ति संक्रियाएँ](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) मुफ़्त नहीं हैं*: $L_i \leftarrow L_i +
\lambda L_j$ सारणिक सुरक्षित रखता है, पर अदला-बदली चिह्न बदल देती है और $L_i
\leftarrow \lambda L_i$ उसे $\lambda$ से गुणा कर देता है — यहाँ के हिसाब-किताब की चूकें विलोपन-आधारित संगणनाओं में ग़लत चिह्नों का शास्त्रीय स्रोत हैं। *शून्य सारणिक आरंभ है, अंत नहीं*: वह कहता है “कोटि $< n$”, पर यह नहीं कि कौन-सी कोटि; उसका स्थान केवल आगे का काम बताता है (सोपानिक रूप, अथवा [अभ्यास 22.12](#exo-b1-det-12) के उपसारणिक) — [उदाहरण 22.18](#ex-b1-det-parameter) में $m
= 1$ बनाम $m = -2$ वाली स्थिति देखिए। *क्रामर को व्युत्क्रमणीयता चाहिए*: जब $\det A = 0$, तब सूत्र $x_j = \det A_j/\det A$ निरर्थक हैं, और फिर भी निकाय के (अनंत कितने) हल भली-भाँति हो सकते हैं। *सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के होते हैं*: किसी आयताकार निकाय के लिए विलोपन ही एकमात्र औज़ार है।

**टिप्पणी 22.20 (सारणिक कहाँ जाते हैं).**

इस अदिश की आगे तीन ज़िंदगियाँ हैं। *ज्यामितीय*: $\abs{\det}$ संबद्ध [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) का क्षेत्रफल- अथवा आयतन-मापन गुणक है — जिसे समतल के लिए [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में यथार्थ किया गया है, और चर-परिवर्तन के याकोबी के रूप में स्नातक वर्ष 2 के खंड के बहु-समाकलों में। *बीजगणितीय*: $\det(A -
\lambda I)$, अर्थात् [अभिलक्षणिक बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#def-b1-diffeq-linear2), स्नातक वर्ष 2 में अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत खोल देता है — और [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) की सप्ताहांत समस्या की सर्वसमिका $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ उसकी पहली छाया है। *विश्लेषणात्मक*: विशेष आव्यूहों (वांडरमोंड, कोशी, ग्राम) के सारणिक तय करते हैं कि अंतर्वेशन, विघटन और [प्रक्षेप](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) की समस्याएँ कब सुप्रस्तुत हैं; और नीचे की सप्ताहांत समस्या पहले दोनों कुलों का पूरा मूल्यांकन कर देती है।

**टिप्पणी 22.21 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य).**

यह अध्याय इस खंड की रैखिक-बीजगणित वाली रीढ़ बंद कर देता है, और शेष दो अध्याय लाभांश भुनाते हैं। [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में: ग्राम आव्यूह $\bigl(\langle v_i,
v_j\rangle\bigr)$ किसी सारणिक से स्वतंत्रता की जाँच कर लेता है ([अभ्यास 23.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#exo-b1-euclid-11)), और समतल के समदूरक अपने सारणिक के चिह्न के अनुसार घूर्णनों और परावर्तनों में बँट जाते हैं — वहाँ की सप्ताहांत समस्या का वर्गीकरण इसी पर चलता है। [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) में: मोंज राशि $rt - s^2$ द्वितीय अवकलजों के सममित आव्यूह का सारणिक है, और न्यूनतम वर्गों के प्रसामान्य समीकरण एक ऐसा क्रामर निकाय हैं जिसका आव्यूह ग्राम (अतः आघूर्ण) आव्यूह है — और वह ठीक यहीं स्थापित वांडरमोंड-स्वाद वाली कसौटियों से व्युत्क्रमणीय होता है। जब वे अध्याय “व्युत्क्रमणीय” या “धनात्मक” कहते हैं, तो उसकी रसीदें इसी अध्याय में हैं।

## 22.3 अभ्यास

**अभ्यास 22.1 ★.**

संगणित कीजिए:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**हल — अभ्यास 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

दूसरा: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (मूल पंक्तियों पर) पंक्तियाँ $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ देते हैं: दो बराबर पंक्तियाँ, अतः सारणिक $0$। (सारुस पुष्टि करता है: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$।)

तीसरा: यह $x = 1, 2, 3$ वाला वांडरमोंड है ([उदाहरण 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$।

**अभ्यास 22.2 ★.**

किन $\lambda \in \R$ के लिए कुल $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1),
(\lambda, 1, 1)\bigr)$ $\R^3$ का [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) है?

**हल — अभ्यास 22.2.**

सारणिक (सभी स्तंभ पहले में जोड़कर, फिर गुणनखंडन करके) $(\lambda + 2)$ गुणा है

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

($L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ से साफ़ कीजिए और प्रसार कीजिए), जिससे $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ मिलता है। [आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\iff
\det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$।

**अभ्यास 22.3 ★.**

क्रामर के नियम से हल कीजिए:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{फिर}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**हल — अभ्यास 22.3.**

पहला निकाय: $\det = -7$; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 &
-2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 &
5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$। जाँच: $2(2) + 1 = 5$; $3(2) - 2
= 4$।

दूसरा निकाय: $L_2 - L_1$ और $L_3 - 2L_1$ के बाद पंक्तियाँ $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$ हो जाती हैं, अतः

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

क्रामर, स्तंभों के स्थान पर $(6,2,1)^{\mathsf T}$ रखकर:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(अंश उसी तरह संगणित)। जाँच: $1 + 2 + 3 = 6$; $1 - 2 + 3 = 2$; $2 + 2 - 3 =
1$।

**अभ्यास 22.4 ★.**

[गाउसीय विलोपन](#met-b1-det-gauss) से हल कीजिए, और [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का वर्णन कीजिए:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**हल — अभ्यास 22.4.**

संवर्धित आव्यूह का लघुकरण: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3
- L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

धुरी-अज्ञात $x, z$; मुक्त अज्ञात $y, t$। पश्च-प्रतिस्थापन: $z = 1 + t$, $x =
1 - 2y + z - t = 2 - 2y$। [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets):

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

अर्थात् $\R^4$ का एक एफ़ीन समतल (विमा $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$)।

**अभ्यास 22.5 ★★.**

[उदाहरण 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) का वांडरमोंड सूत्र $n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए, और स्तंभ संक्रियाएँ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ $k = n$ से $k = 2$ तक नीचे की ओर कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.5.**

आगमन; $n = 1$ रिक्त गुणनफल $= 1$ है। चरण के लिए $k = n, n-1, \dots, 2$ हेतु $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ कीजिए (इसी क्रम में, ताकि हर संक्रिया अब तक अनछुए स्तंभ का प्रयोग करे)। पहली पंक्ति $(1, 0, \dots, 0)$ हो जाती है; और पंक्ति $i \geq 2$ में $k$-वीं प्रविष्टि $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} =
x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ हो जाती है। पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करके और हर पंक्ति $i$ से $(x_i - x_1)$ का गुणनखंडन करके:

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

और आगमन-परिकल्पना गुणनफल $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ पूरा कर देती है।

**अभ्यास 22.6 ★★.**

(त्रिविकर्ण) मान लीजिए $D_n$ वह $n \times n$ सारणिक है जिसके विकर्ण पर $2$, दोनों निकटवर्ती विकर्णों पर $1$, और अन्यत्र $0$ है। पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करके $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ सिद्ध कीजिए और $D_n$ संगणित कीजिए ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$)।

**हल — अभ्यास 22.6.**

$D_n$ का पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार: $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-खंड} \end{vmatrix}$; और दूसरा सारणिक, अपने पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसारित होकर, $D_{n-2}$ है। अतः $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, अर्थात् $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: अंतर अचर हैं और $D_2 - D_1 = 1$ के बराबर। इस प्रकार $D_n = D_1 + (n - 1) = n
+ 1$। (जाँच: $D_2 = 3$, और $3\times3$ वाली स्थिति [उदाहरण 22.7](#ex-b1-det-cofactor) है: $D_3 = 4$।)

**अभ्यास 22.7 ★★.**

[उदाहरण 22.18](#ex-b1-det-parameter) को पूरा कीजिए: संक्रिया $C_1 \leftarrow C_1 + C_2
+ C_3$ से सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{vmatrix}$ संगणित कीजिए, और निकाय का पूरा विवेचन कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ पहले स्तंभ को अचर $(m+2)$ बना देता है; उसका गुणनखंडन कीजिए:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार कीजिए: अकेली प्रविष्टि $1$ का चिह्न $+$ है, और शेष $2 \times 2$ सारणिक $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ है)।

विवेचन। $m \notin \{1, -2\}$: क्रामर निकाय; समीकरणों की सममिति से $x = y =
z$, और हर समीकरण $(m + 2)x = 1$ देता है: अद्वितीय हल $\bigl(\frac{1}{m+2},
\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$। $m = 1$: तीनों समीकरण एक ही बात $x + y
+ z = 1$ कहते हैं: अतः हल एफ़ीन समतल $x + y + z = 1$ बनाते हैं। $m = -2$: तीनों समीकरण जोड़ने पर $0 = 3$ मिलता है: अतः [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) रिक्त।

**अभ्यास 22.8 ★★.**

मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, जिसकी प्रविष्टियाँ *पूर्णांक* हैं। सिद्ध कीजिए कि $A$ का पूर्णांक प्रविष्टियों वाला प्रतिलोम है तभी जब $\det A
= \pm 1$। *(सीधी दिशा के लिए सारणिक लीजिए; विलोम के लिए यह मान लीजिए — अथवा $n \leq 3$ के लिए सहगुणनखंडों से सिद्ध कीजिए — कि $A^{-1} =
\frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$, जहाँ सहगुणनखंड आव्यूह पूर्णांक वाला है।)*

**हल — अभ्यास 22.8.**

($\Rightarrow$) यदि $A^{-1}$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं: तो $\det A \cdot
\det A^{-1} = 1$, जहाँ दोनों सारणिक पूर्णांक हैं (प्रविष्टियों के गुणनफलों के योग): और जिन दो पूर्णांकों का गुणनफल $1$ हो, वे दोनों $\pm1$ हैं।

($\Leftarrow$) सहगुणनखंड-सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{\det
A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ ($n \leq 3$ के लिए सीधे प्रसार से जाँचा गया, व्यापक रूप से मान लिया गया) में $\operatorname{Com}(A)$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं (हर सहगुणनखंड एक पूर्णांक सारणिक है); और $\det A = \pm 1$ से भाग देने पर भी वे पूर्णांक बने रहते हैं।

**अभ्यास 22.9 ★★★.**

आव्यूह $aI + bJ$ ([अभ्यास 21.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9)) का $n \times n$ सारणिक संगणित कीजिए, अर्थात् जिसके विकर्ण पर $a + b$ और अन्यत्र $b$ हो। *(सभी स्तंभ पहले में जोड़िए, गुणनखंडन कीजिए, फिर साफ़ कीजिए।)* व्युत्क्रमणीयता की शर्त $a \neq 0$, $a + nb \neq 0$ फिर से प्राप्त कीजिए।

**हल — अभ्यास 22.9.**

सभी स्तंभ पहले में जोड़िए: नए पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि $a + nb$ है; उसका गुणनखंडन कीजिए, ताकि पहला स्तंभ पूरा इकाइयों का हो जाए। फिर [पंक्ति संक्रियाएँ](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) ऊपर-बाएँ $1$ के नीचे की हर प्रविष्टि साफ़ कर देती हैं और उन पंक्तियों में विकर्ण पर $a$ तथा अन्यत्र $0$ छोड़ देती हैं: अतः आव्यूह ऊपरी त्रिभुजाकार है, जिसका विकर्ण $(1, a,
\dots, a)$ है। इस प्रकार

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

जो अशून्य है तभी जब $a \neq 0$ और $a + nb \neq 0$: अर्थात् [अभ्यास 21.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9) वाली शर्त।

**अभ्यास 22.10 ★★★.**

मान लीजिए $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$। सिद्ध कीजिए कि

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

इसके लिए खंड-स्तंभ और खंड-पंक्ति संक्रियाओं का प्रयोग कीजिए (खंड-रूप में $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, फिर $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$), और स्वाभाविक खंड-त्रिभुजाकार नियम $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M \det P$ मान लीजिए — जो [उदाहरण 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular) में $2 \times 2$ खंडों के लिए सिद्ध है।

**हल — अभ्यास 22.10.**

खंड संक्रियाएँ (हर एक तदनुरूप $n$ अदिश संक्रियाओं का संयोजन, जिसकी अनुमति [प्रमेय 22.3](#thm-b1-det-props) (1) देता है):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

अंतिम चरण के लिए खंड-त्रिभुजाकार नियम का प्रयोग करते हुए।

**अभ्यास 22.11 ★★.**

(कोटि $3$ का चक्रीय आव्यूह) मान लीजिए $a, b, c \in \C$ और

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

सिद्ध कीजिए कि $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$, और $j
= \eu^{2\iu\pi/3}$ का प्रयोग करके $\C$ पर पूरा गुणनखंडन कीजिए:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*($C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ से आरंभ कीजिए; सम्मिश्र रूप के लिए ध्यान दीजिए कि स्तंभ $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ लगभग किसी अभिलक्षणिक सदिश की तरह व्यवहार करता है।)*

**हल — अभ्यास 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ पहले स्तंभ को अचर $(a + b + c)$ बना देता है; उसका गुणनखंडन कीजिए, फिर $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3
- L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

और प्रसार करने पर $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$। $\C$ पर, $j^3 = 1$ और $1 + j + j^2 = 0$ के साथ:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

जिससे पूरा गुणनखंडन मिल जाता है। (संरचनात्मक रूप से: स्तंभ $(1, j,
j^2)^{\mathsf T}$ $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j,
j^2)^{\mathsf T}$ संतुष्ट करता है, और इसी प्रकार $j^2$ तथा $1$ भी: तीनों गुणनखंड उस चक्रीय आव्यूह के तीन “अभिलक्षणिक मान” हैं — यह कथा स्नातक वर्ष 2 के खंड में व्यवस्थित की गई है।)

**अभ्यास 22.12 ★★★.**

(कोटि और उपसारणिक) मान लीजिए $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{rk} A$ $A$ के किसी व्युत्क्रमणीय $r \times r$ उपआव्यूह के अधिकतम आकार $r$ के बराबर है (उपआव्यूह $r$ चुनी हुई पंक्तियों और $r$ चुने हुए स्तंभों के कटान-बिंदुओं की प्रविष्टियाँ रखता है)। *(यदि $\operatorname{rk} A = r$, तो $r$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) स्तंभ चुनिए, फिर प्राप्त $n
\times r$ खंड की $r$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) पंक्तियाँ; विलोमतः कोई व्युत्क्रमणीय उपआव्यूह $A$ के तदनुरूप स्तंभों को [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) होने पर बाध्य कर देता है।)*

**हल — अभ्यास 22.12.**

$r = \operatorname{rk} A$ लिखिए।

*कोई व्युत्क्रमणीय $r \times r$ उपआव्यूह है।* $A$ के $r$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) स्तंभ चुनिए और मान लीजिए $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ उनसे बना आव्यूह है: $\operatorname{rk} B = r$। चूँकि पंक्ति-कोटि स्तंभ-कोटि के बराबर है ([प्रमेय 21.13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#thm-b1-matrices-rank)), अतः $B$ की $r$ पंक्तियाँ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं; उन्हीं पंक्तियों को रखने पर $A$ का $r \times r$ उपआव्यूह मिलता है जिसकी कोटि $r$ है, अर्थात् वह व्युत्क्रमणीय है।

*इससे बड़ा कोई नहीं।* मान लीजिए $S$ कोई व्युत्क्रमणीय $s \times s$ उपआव्यूह है, जो $A$ के स्तंभों $j_1, \dots, j_s$ और पंक्तियों $i_1, \dots,
i_s$ से लिया गया है। यदि तदनुरूप *पूरे* स्तंभों का कोई संयोजन $\sum_k
\lambda_k C_{j_k} = 0$ शून्य हो जाए, तो केवल पंक्तियाँ $i_1, \dots, i_s$ पढ़ने पर $S$ के स्तंभों पर $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ मिलता है, अतः सभी $\lambda_k = 0$ ($S$ व्युत्क्रमणीय है): इस प्रकार $A$ के स्तंभ $C_{j_1},
\dots, C_{j_s}$ [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं, और $s \leq \operatorname{rk} A = r$।

अतः $\operatorname{rk} A$ ठीक किसी व्युत्क्रमणीय उपआव्यूह का अधिकतम आकार है।

## 22.4 समस्या: कोशी का दुहरा एकांतरक

**समस्या 22.1.**

इस अध्याय के अनुप्रयोगों पर दो सारणिक राज करते हैं: [वांडरमोंड सारणिक](#ex-b1-det-vandermonde), जिसका मूल्यांकन [अभ्यास 22.5](#exo-b1-det-5) में हुआ, और *[कोशी सारणिक](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$, जिसका मूल्यांकन यहाँ है। उन्हीं के इर्द-गिर्द यह समस्या एकांतरक का औज़ार-बक्सा इकट्ठा करती है: बहुपदीय स्तंभ-चालें, क्रामर से अंतर्वेशन, [हिल्बर्ट आव्यूह](#pb-b1-det-1), किसी त्रिघातीय का विविक्तकर, और एकांतरक बहुपदों की विधि। सर्वत्र $V(x_1, \dots, x_n) =
\prod_{i < j}(x_j - x_i)$ वांडरमोंड मान को दर्शाता है।

**भाग I — वांडरमोंड का औज़ार-बक्सा।**

1. $V(1, 2, 3, 4)$ संगणित कीजिए, और स्मरण कीजिए कि $n$ युग्मशः भिन्न गाँठों पर अंतर्वेशन क्रामर निकाय क्यों है।
2. (बहुपदीय एकांतरक) मान लीजिए $P_0, \dots, P_{n-1}$ *[इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)* हैं और $\deg P_k = k$। सिद्ध कीजिए $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ अर्थात् स्तंभ संक्रियाएँ हर घात-स्तंभ को किसी भी [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) सीढ़ी से मुफ़्त में बदल देती हैं।
3. प्रश्न 2 को द्विपद बहुपदों $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ पर लगाइए: सिद्ध कीजिए कि *पूर्णांकों* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ के लिए, $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ अर्थात् $n$ पूर्णांकों के सभी युग्मशः अंतरों का गुणनफल अधिक्रमगुणित $0!\,1!\cdots(n-1)!$ से विभाज्य होता है।
4. $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots  x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ सिद्ध कीजिए (अब घातें $1$ से आरंभ होती हैं)।
5. (आघूर्ण आव्यूह) मान लीजिए $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq n}$, जहाँ $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$। सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $W =  (x_i^{\,j-1})_{ij}$ के लिए $S = W^{\mathsf T} W$, और निकालिए $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ और निष्कर्ष निकालिए: $n$ *वास्तविक* संख्याएँ युग्मशः भिन्न हैं तभी जब उनका आघूर्ण आव्यूह व्युत्क्रमणीय हो, और $\det S \geq 0$ सदा।

**भाग II — अंतर्वेशन, फिर से।** गाँठें $x_1 < \dots
< x_n$, मान $y_1, \dots, y_n$।

6. शर्तों “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ अंतर्वेशन करता है” को $c_k$ में आव्यूह $W$ वाले [रैखिक निकाय](#def-b1-det-system) के रूप में लिखिए, और $\det W  = V \neq 0$ से अंतर्वेशक का अस्तित्व तथा अद्वितीयता फिर से प्राप्त कीजिए (पहले की दोनों उपपत्तियों [प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) और [उदाहरण 20.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation) से तुलना कीजिए)।
7. क्रामर के नियम से और संबंधित सारणिक के अंतिम स्तंभ के अनुदिश [सहगुणनखंड-प्रसार](#thm-b1-det-cofactor) से सिद्ध कीजिए कि अंतर्वेशक का अग्र गुणांक है $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (संगामी वांडरमोंड) संगणित कीजिए $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ और व्याख्या कीजिए: $x_1 \neq x_2$ होने पर आँकड़े $\bigl(P(x_1),  P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ एक अद्वितीय $P \in \R_2[X]$ तय कर देते हैं (एरमीट अंतर्वेशन)।
9. $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ वाला अद्वितीय $P \in \R_2[X]$ खोजिए, और अपना उत्तर प्रश्न 8 के सामने जाँचिए।

**भाग III — [कोशी सारणिक](#pb-b1-det-1)।** मान लीजिए $a_1, \dots,
a_n$ और $b_1, \dots, b_n$ ऐसे अदिश हैं कि सभी $i, j$ के लिए $a_i + b_j \neq
0$, और

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. $C_2$ हाथ से संगणित कीजिए और उसे “अंतरों के गुणनफल बटा योगों के गुणनफल” के रूप में रखिए।
11. $n \geq 2$ के लिए $L_i \leftarrow L_i - L_n$ कीजिए ($i < n$) और पंक्तियों तथा स्तंभों का गुणनखंडन करके सिद्ध कीजिए $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ जहाँ $M$ पंक्तियों $i < n$ पर कोशी आव्यूह से मेल खाता है और उसकी अंतिम पंक्ति $(1, 1, \dots, 1)$ है।
12. $M$ पर $C_j \leftarrow C_j - C_n$ कीजिए ($j < n$), फिर से गुणनखंडन कीजिए, और आगमन से *कोशी का दुहरा एकांतरक* निष्कर्ष निकालिए: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. व्युत्क्रमणीयता की कसौटी निकालिए ( $a_i$ युग्मशः भिन्न और $b_j$ युग्मशः भिन्न)। *[हिल्बर्ट आव्यूह](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j -  1}\bigr)$ के लिए: सूत्र से $\det H_2$ और $\det H_3$ संगणित कीजिए, और सत्यापित कीजिए कि $H_2^{-1}$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं।
14. दिखाइए कि युग्मशः भिन्न $b_j$ और किसी भी दाएँ पक्ष के लिए निकाय $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) का अद्वितीय हल है, और इसे सरल ध्रुवों वाले आंशिक भिन्न-विघटनों के अस्तित्व तथा अद्वितीयता से जोड़िए ( [प्रमेय 9.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions#thm-b1-fractions-complex) )।

**भाग IV — त्रिघातीय का विविक्तकर।** मान लीजिए $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ $X^3 + pX + q$ के ($\C$ में) मूल हैं, और $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$।

15. हर मूल पर $\lambda^3 = -p\lambda - q$ का और वियेत ( $p_1 = 0$ ) का प्रयोग करके $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ तथा $p_4 = 2p^2$ संगणित कीजिए।
16. प्रश्न 5 के साथ ($\C$ पर, $\det S = V^2$ रखते हुए) संगणित कीजिए $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. निष्कर्ष निकालिए: $X^3 + pX + q$ का कोई दोहराया मूल है तभी जब $4p^3  + 27q^2 = 0$ ; $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ पर जाँचिए।
18. मान लीजिए $p, q$ वास्तविक हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिघातीय के तीन भिन्न वास्तविक मूल हैं तभी जब $\operatorname{disc} > 0$ , और एक वास्तविक तथा दो अवास्तविक संयुग्मी मूल हैं तभी जब $\operatorname{disc} < 0$ । *(यदि $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ और $\lambda_1 \in \R$, तो दिखाइए कि $V$ विशुद्ध काल्पनिक है।)*

**भाग V — लाभांश, और एकांतरक विधि।**

19. $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ के लिए दिखाइए $\det\bigl(\frac{1}{a_i  + a_j}\bigr) > 0$ ।
20. $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ के लिए $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ संगणित कीजिए, पहले प्रश्न 2–3 से, फिर सीधे प्रसार से।
21. मान लीजिए $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ युग्मशः भिन्न और अशून्य हैं। किसी व्युत्क्रमणीय वांडरमोंड आव्यूह का प्रयोग करके फिर से सिद्ध कीजिए कि गुणोत्तर अनुक्रम $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ अनुक्रमों की समष्टि का [स्वतंत्र कुल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं।
22. दुहरे एकांतरक से $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq  3}$ संगणित कीजिए।
23. (एकांतरक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) ) $x_1, \dots, x_n$ में किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $F$ को *एकांतरक* कहिए जब किन्हीं दो चरों की अदला-बदली उसका चिह्न बदल दे। दिखाइए कि $x_i = x_j$ होते ही एकांतरक $F$ शून्य हो जाता है ( $i \neq j$ ), और — गुणनखंड प्रमेय से एक-एक चर लेकर — निष्कर्ष निकालिए कि $F$ $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ से विभाज्य है।
24. प्रश्न 23 का प्रयोग करके वांडरमोंड सूत्र बिना किसी आगमन के फिर से सिद्ध कीजिए: सारणिक $\det(x_i^{\,j-1})$ कुल घात $\binom n2$ का एकांतरक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है, अतः $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ का कोई *अचर* गुणज; और एक एकपदी की तुलना करके वह अचर पहचानिए।
25. संश्लेषण, चार वाक्यों में: सारणिक का कौन-सा अकेला गुण (कौन-सा अभिगृहीत) इस समस्या के सभी गुणनखंडन पैदा करता है; प्रश्न 5 की आघूर्ण-आव्यूह सर्वसमिका *सम्मिश्र* भिन्नता के [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) को संगणनीय *वास्तविक* चिह्न-परीक्षा में क्यों बदल देती है; यहाँ कौन-से दो शास्त्रीय आव्यूहों का पूरा मूल्यांकन हुआ और वे कौन-सी [रैखिक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) समस्याओं पर शासन करते हैं; और प्रश्न 23–24 की एकांतरक विधि एक ही झटके में यह क्यों समझा देती है कि $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ बार-बार क्यों आता रहता है। भाग III की प्रमेय का नाम बताइए।

**हल — समस्या 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot
3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$। भिन्न गाँठों पर अंतर्वेशन $P$ के उन गुणांकों की माँग करता है जो $W = (x_i^{\,j-1})$ के साथ $W c = y$ हल करें, और $\det W
= V \neq 0$: अर्थात् एक क्रामर निकाय।

**2.** स्तंभों पर बाएँ से दाएँ काम कीजिए। $C_1$ अचर स्तंभ $P_0(x_i) =
1$ है ($P_0$ $0$ घात का [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है)। मान लीजिए स्तंभ $1, \dots, j-1$ पहले ही शुद्ध घातों $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ तक घटाए जा चुके हैं। चूँकि $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, अतः $C_j$ में से संयोजन $\sum_k \alpha_k\,(\text{स्तंभ } x_i^k)$ घटाने पर — यह संक्रिया सारणिक नहीं बदलती — शुद्ध घात-स्तंभ $x_i^{\,j-1}$ बच जाता है। अंतिम स्तंभ के बाद आव्यूह वांडरमोंड आव्यूह है: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$।

**3.** [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ $j - 1$ घात के [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) हैं, अतः प्रश्न 2 देता है

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

बायाँ पक्ष *पूर्णांक* प्रविष्टियों वाले किसी आव्यूह का सारणिक है ($B_k$ $\Z$ पर पूर्णांक-मान है: सप्ताहांत समस्या [समस्या 18.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#pb-b1-vspaces-1) के प्रश्न 16–17), अतः वह एक पूर्णांक है; और वह धनात्मक है, क्योंकि $m_1 < \dots <
m_n$ के लिए $V(m_1, \dots, m_n) > 0$। इस प्रकार अधिक्रमगुणित सभी युग्मशः अंतरों के गुणनफल को [विभाजित करता है](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides)।

**4.** हर पंक्ति $i$ से $x_i$ का गुणनखंडन कीजिए: $\det(x_i^{\,j})_{j =
1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$।

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} =
p_{i+j-2}$: $S = W^{\mathsf T}W$। अतः $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W =
V^2$ ([प्रमेय 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4))। वास्तविक $x_i$ के लिए: $\det S = V^2
\geq 0$, और $S$ व्युत्क्रमणीय है तभी जब $V \neq 0$, अर्थात् तभी जब $x_i$ युग्मशः भिन्न हों — यह एक चिह्न-निश्चित परीक्षा है जो अकेले घात-योगों से संगणित हो जाती है।

**6.** अंतर्वेशन-शर्तें $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ निकाय $Wc = y$ बनाती हैं; और $\det W = V \neq 0$ अस्तित्व तथा अद्वितीयता एक ही साथ दे देता है। यह पुस्तक की तीसरी उपपत्ति है: [प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) में स्पष्ट सूत्र, [उदाहरण 20.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation) में अष्टि-तर्क, और यहाँ क्रामर।

**7.** क्रामर: $c_{n-1} = \det W'/\det W$, जहाँ $W'$ वही $W$ है जिसके अंतिम स्तंभ के स्थान पर $y$ रख दिया गया है। उस स्तंभ के अनुदिश $\det W'$ का प्रसार करने पर:

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

अब $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$, और दूसरे गुणनफल को बदलने की क़ीमत $(-1)^{n-i}$ है:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

जिससे $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — अर्थात् फिर से वही विभाजित-अंतर वाला सूत्र।

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ पंक्तियाँ $(1, x_1, x_1^2)$, $(0, 1,
2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ देता है; पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसार करके और $(x_2 - x_1)$ का गुणनखंडन करके:

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

$x_1 \neq x_2$ के लिए यह अशून्य है: $P \in \R_2[X]$ के गुणांकों पर $P(x_1) =
u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ को व्यक्त करने वाला [रैखिक निकाय](#def-b1-det-system) क्रामर है — अर्थात् दुहरी गाँठ वाला एरमीट अंतर्वेशन सुप्रस्तुत है।

**9.** $a = P(0) = 1$, $b = P'(0) = 0$, $a + b + c = P(1) = 2$ के साथ $P = a + bX + cX^2$: $c = 1$, अतः $P = 1 + X^2$, और वह अद्वितीय है। संगति: यहाँ $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, और प्रश्न 8 का सारणिक $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ है।

**10.** सीधी संगणना:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

और अंश प्रसारित होकर $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 -
b_1)$ हो जाता है: अर्थात् अंतर बटा योग।

**11.** $i < n$ के लिए पंक्ति $i$ की नई प्रविष्टि है

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

हर पंक्ति $i < n$ से $(a_n - a_i)$ और फिर हर स्तंभ $j$ से $\frac1{a_n +
b_j}$ का गुणनखंडन कीजिए: जो बचता है उसकी पंक्तियों $i < n$ में प्रविष्टियाँ $\frac1{a_i + b_j}$ हैं और पंक्ति $n$ में अचर $1$ — अर्थात् आव्यूह $M$, और साथ में वही घोषित पूर्व-गुणक।

**12.** $M$ पर, $j < n$ के लिए संक्रिया $C_j \leftarrow C_j - C_n$ पंक्ति $n$ को $(0, \dots, 0, 1)$ में बदल देती है, और पंक्ति $i < n$ में,

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

हर स्तंभ $j < n$ से $(b_n - b_j)$ और हर पंक्ति $i < n$ से $\frac1{a_i +
b_n}$ का गुणनखंडन कीजिए, फिर अंतिम पंक्ति के अनुदिश प्रसार कीजिए (चिह्न $(-1)^{n+n} = +1$): शेष सारणिक $C_{n-1}$ है। प्रश्न 11–12 के गुणनखंड इकट्ठे करने पर:

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

और आगमन ([आधार](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) ठीक कोशी का दुहरा एकांतरक जोड़ देता है: सभी जोड़ियों के लिए गुणनखंड $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$, बटा सभी योग $(a_i
+ b_j)$।

**13.** सूत्र शून्य होता है तभी जब कोई $a_j = a_i$ अथवा $b_j = b_i$: अर्थात् कोशी आव्यूह व्युत्क्रमणीय है तभी जब दोनों कुल युग्मशः भिन्न हों। हिल्बर्ट: $a_i = i$, $b_j = j - 1$। $n = 2$ के लिए: अंश $(2-1)(1-0) = 1$, हर $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$: $\det H_2 = \frac1{12}$। $n = 3$ के लिए: अंश $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, हर $(1\cdot2\cdot3)
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$: $\det H_3 =
\frac{4}{8640} = \frac1{2160}$। $n = 2$ के लिए प्रतिलोम:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

सभी पूर्णांक (यह परिघटना हर $n$ के लिए सत्य है)।

**14.** निकाय का आव्यूह कोशी आव्यूह है, जो प्रश्न 13 से तब व्युत्क्रमणीय है जब $b_j$ (और $a_i$) युग्मशः भिन्न हों: अतः अद्वितीय हल। व्याख्या: सरल ध्रुवों वाला कोई परिमेय फलन $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ अपने $n$ मानों $R(a_1), \dots, R(a_n)$ से तय हो जाता है, और विलोमतः ऐसा हर आँकड़ा-पत्रक ठीक एक बार साकार होता है — यह आंशिक भिन्नों के अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय ([प्रमेय 9.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions#thm-b1-fractions-complex)) का प्रतिचयन वाला समकक्ष है।

**15.** $X^3 + pX + q$ के लिए वियेत: $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3
= 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, अतः $p_1 = 0$ और $p_2 = p_1^2 - 2p
= -2p$। हर मूल $\lambda^3 = -p\lambda - q$ संतुष्ट करता है; योग करने पर: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$। $\lambda$ से गुणा करके योग करने पर: $p_4 =
-p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$।

**16.** प्रश्न 5 से (सर्वसमिका $S = W^{\mathsf T}W$ और $\det S = V^2$ $\C$ पर मान्य हैं),

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करते हुए।

**17.** दोहराए गए मूल का अर्थ है दो बराबर $\lambda_i$, अर्थात् $V = 0$, यानी $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$। $X^3 - 3X + 2$ के लिए: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$, जो $(X-1)^2(X+2)$ के दुहरे मूल $1$ से मेल खाता है।

**18.** किसी वास्तविक त्रिघातीय के अवास्तविक मूल संयुग्मी जोड़ियों में आते हैं, अतः $\operatorname{disc} \neq 0$ होने पर ठीक दो स्थितियाँ बनती हैं। तीन भिन्न वास्तविक मूल: $V$ वास्तविक और अशून्य है, अतः $\operatorname{disc}
= V^2 > 0$। एक वास्तविक मूल $\lambda_1$ तथा $\lambda_3 = \conj{\lambda_2}
\notin \R$: तब

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

अतः $V$ एक अशून्य विशुद्ध काल्पनिक संख्या है और $\operatorname{disc} = V^2 <
0$। दोनों चिह्न दोनों स्थितियों का अभिलक्षण कर देते हैं।

**19.** दुहरे एकांतरक में $b_i = a_i$ लीजिए: अंश $\prod_{i<j}(a_j -
a_i)^2 > 0$ है और हर $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक): अतः सारणिक धनात्मक है। (आगे की भाषा में: नाभिक $\frac1{x+y}$ धन-निश्चित है।)

**20.** प्रश्न 2–3 से सारणिक $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) =
\frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ के बराबर है। सीधे देखें तो आव्यूह है

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** मान लीजिए अनुक्रम के रूप में $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k}
= 0$। $k = 0, 1, \dots, n-1$ पढ़ लेने पर $W^{\mathsf T}c = 0$ मिलता है, जहाँ $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ व्युत्क्रमणीय है ($\det = V \neq 0$, भिन्न $\lambda_i$): अतः $c = 0$। इस प्रकार गुणोत्तर अनुक्रम [स्वतंत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) हैं।

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: अंश $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$; हर $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) =
24\cdot60\cdot120 = 172800$। अतः $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) =
\frac{4}{172800} = \frac1{43200}$।

**23.** यदि $x_i = x_j$, तो दोनों चरों की अदला-बदली उस बिंदु को अचल रखती है पर $F$ का चिह्न बदल देनी ही चाहिए: $F = -F$, अतः वहाँ $F = 0$। [विभाज्यता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides): $F$ को अकेले चर $x_n$ में एक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) मानिए जिसके गुणांक शेष चरों में हैं; वह $n - 1$ “मानों” $x_1, \dots, x_{n-1}$ पर शून्य होता है, अतः बार-बार गुणनखंडन ([प्रमेय 8.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)) से $F = \prod_{i<n}(x_n -
x_i)\cdot G$ मिलता है, जहाँ $G$ [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है। पूर्व-गुणक दो सूचकांकों $i, j < n$ की अदला-बदली के अंतर्गत अपरिवर्तित है, अतः $G$ $x_1, \dots, x_{n-1}$ में एकांतरक है, और आगमन काम पूरा कर देता है: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ $F$ को [विभाजित करता है](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides)।

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ $x_i$ में एक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है; दो चरों की अदला-बदली दो पंक्तियों की अदला-बदली है, अतः $D$ एकांतरक है, और प्रश्न 23 से किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $c$ के लिए $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$। कुल घातें: $D$ की घात $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ है, और गुणनफल की घात ठीक $\binom
n2$: अतः $c$ एक अचर है। एकपदी $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ का गुणांक $D$ में $1$ है (विकर्ण गुणनफल) और गुणनफल में $1$ (हर गुणनखंड में बड़े सूचकांक वाला चर चुनिए): अतः $c = 1$, और वांडरमोंड सूत्र बिना किसी आगमन के निकल आता है।

**25.** (क) एकांतरकता — अर्थात् वह अभिगृहीत कि “दो बराबर स्तंभ सारणिक को मार देते हैं” — ही यंत्र है: उसी ने इस समस्या का हर गुणनखंड $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ पैदा किया। (ख) सर्वसमिका $\det S
= V^2$ व्यक्तिगत रूप से सम्मिश्र और अगम्य मूलों के स्थान पर उनके घात-योग रख देती है, जो गुणांकों में वास्तविक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) हैं, अतः भिन्नता किसी संगणनीय वास्तविक संख्या का चिह्न बन जाती है। (ग) [वांडरमोंड सारणिक](#ex-b1-det-vandermonde) बहुपदीय अंतर्वेशन पर शासन करता है, और [कोशी सारणिक](#pb-b1-det-1) आंशिक भिन्नों तथा प्रतिचयित परिमेय फलनों पर (जिसकी सबसे प्रसिद्ध विशेष स्थिति [हिल्बर्ट आव्यूह](#pb-b1-det-1) है)। (घ) कोई भी एकांतरक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ से विभाज्य होता है, और फिर घात की गिनती ऐसे [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) को किसी अचर तक कील देती है — और इसीलिए यह गुणनफल वहीं-वहीं फिर से आता रहता है जहाँ कोई सारणिक संपातों पर शून्य होता है। भाग III की प्रमेय *कोशी का दुहरा एकांतरक* है।