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title: "मानक फलन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions
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# अध्याय 4 — मानक फलन

विश्लेषण उतना ही उपयोगी है जितना फलनों का वह भंडार जिस पर अधिकार हो। माध्यमिक विद्यालय से मिले संग्रह — घात, चरघातांकी, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलन — में यह अध्याय उनके प्रतिलोम फलन ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$) और अतिपरवलयिक कुल जोड़ता है। अवकलजों का प्रयोग उच्चतर माध्यमिक स्तर पर स्वतंत्र रूप से किया गया है; प्रतिलोम फलनों के पीछे का सिद्धांत अध्याय [13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) और [14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में पूरा होता है।

## 4.1 चरघातांकी, लघुगणक, घातें

**प्रतिज्ञप्ति 4.1 (पुनरावलोकन और अभिलक्षण).**

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ और $\ln \colon \intoo{0}{+\infty}
\to \R$ परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन हैं, कठोरतः वर्धमान, जहाँ

$$
\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y,
\qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .
$$

इसके अतिरिक्त $\exp$ *एकमात्र* अवकलनीय फलन $f \colon \R \to \R$ है जिसके लिए $f' = f$ और $f(0) = 1$।

**उपपत्ति.** पुनरावलोकन उच्चतर माध्यमिक सामग्री है। अद्वितीयता के लिए मान लीजिए $f' = f$, $f(0) = 1$, और $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$ रखिए। तब $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x}
= 0$, अतः $g$ $g(0) = 1$ के बराबर अचर है: $f = \exp$। ∎

**परिभाषा 4.2 (व्यापक घातें).**

$x > 0$ और $\alpha \in \R$ के लिए: $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln
x}$। $a > 0$, $a \neq 1$ के लिए *आधार $a$ का लघुगणक* $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ है, जो $x \mapsto a^x$ का प्रतिलोम है।

**उदाहरण 4.3 (चरघातांकी समीकरण हल करना).**

$\R$ में $2^x = 5^{\,x-1}$ हल कीजिए। दोनों पक्ष धनात्मक हैं, अतः लघुगणक लीजिए — यह पद उत्क्रमणीय है:

$$
x\ln2 = (x - 1)\ln5
\iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5
\iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52}
\approx 1.756 .
$$

अब $x > 0$ के लिए $x^{\sqrt2} = 3$ हल कीजिए: घात $\frac1{\sqrt2}$ तक उठाइए (अर्थात् परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन लगाइए): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln
3)/\sqrt2} \approx 2.175$। सार: घातों को मिलाने वाला हर समीकरण $\ln$ और $\exp$ से होकर खुलता है, क्योंकि परिभाषा $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ घातों की सारी हेराफेरी को घातांकों के अंकगणित तक सीमित कर देती है — पर केवल उसी प्रांत $x > 0$ पर जहाँ वह परिभाषा रहती है।

**उदाहरण 4.4 (द्विगुणन काल).**

कोई राशि प्रति पद $3\%$ से बढ़ती है: $n$ पदों के बाद वह $(1.03)^n$ से गुणित हो जाती है। वह दुगुनी कब होगी? $(1.03)^n \geq 2$ हल कीजिए:

$$
n\ln(1.03) \geq \ln2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03}
= \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,
$$

अतः पहला द्विगुणन पद $24$ पर होता है। (वित्तज्ञों का “$72$ का नियम”, जो द्विगुणन काल का आकलन $72$ को प्रतिशत में दर से भाग देकर करता है, यही संगणना है, बस सन्निकटन $\ln(1 + x) \approx x$ के साथ, जिसका परिमाणन [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) में है।) चरघातांकी प्रक्रियाओं पर विचार उनके लघुगणकों के द्वारा करना सबसे अच्छा रहता है: उस पैमाने पर वृद्धि रैखिक हो जाती है और प्रश्न भाग बन जाते हैं।

**उदाहरण 4.5 (220262^{2026}22026 कितना लंबा है?).**

पूर्णांक $N \geq 1$ के दशमलव अंकों की संख्या $\floor{\log_{10} N} + 1$ है (वस्तुतः $N$ के ठीक $d$ अंक तब होते हैं जब $10^{d-1} \leq N < 10^d$, अर्थात् $d - 1 \leq \log_{10}N < d$)। $N = 2^{2026}$ के लिए:

$$
\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2
= 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,
$$

अतः $2^{2026}$ के $610$ अंक हैं। भिन्नात्मक भाग एक बोनस भी लाता है: $10^{0.887} \approx 7.7$, अतः यह संख्या $7$ से *आरंभ* होती है। एक गुणा ने ऐसी संख्या के विषय में प्रश्न का उत्तर दे दिया जिसे कोई कभी पूरा लिखेगा भी नहीं — लघुगणक गुणात्मक आकार को योगात्मक आकार में सिकोड़ देते हैं, जो उनका पूरा ऐतिहासिक प्रयोजन है ([उदाहरण 7.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#ex-b1-structures-expmorphism) इस वाक्य को ठीक-ठीक कह देता है)।

**प्रतिज्ञप्ति 4.6 (घात के नियम और वृद्धि की तुलना).**

$x, y > 0$ और $\alpha, \beta \in \R$ के लिए:

$$
x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad
(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad
(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad
(x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.
$$

वृद्धि का पैमाना: जब $x \to +\infty$, तब प्रत्येक $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ के लिए

$$
\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0,
\qquad
\frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .
$$

**उपपत्ति.** ये सर्वसमिकाएँ परिभाषा के द्वारा $\exp$ और $\ln$ की सर्वसमिकाओं का लिप्यंतरण हैं। दूसरी (जो सबसे कम स्पष्ट है) के लिए विस्तार से: $x^\alpha > 0$ और $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (परिभाषा पर $\ln$ लगाइए), अतः

$$
(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)}
= \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;
$$

पहली और तीसरी $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ तथा $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ के द्वारा उसी प्रकार के दो-पंक्ति के उद्घाटन हैं। अवकलज शृंखला नियम है: $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$।

तुलनाएँ: $\frac{\ln t}{t} \to 0$ से (जो उच्चतर माध्यमिक खंड में सिद्ध है) $t
= x^{\alpha/\beta}$ प्रतिस्थापित कीजिए: $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to
0$, फिर घात $\beta$ तक उठाइए। दूसरी के लिए पहली में $x = \ln u$ प्रतिस्थापित कीजिए। ∎

**उदाहरण 4.7 (दो सीमाएँ जो हर पाठक की अपनी होनी चाहिए).**

$\lim_{x \to 0^+} x^x$ और $\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$ क्या हैं? दोनों घातें चरघातांकी के द्वारा परिभाषित हैं, अतः पहले घातांक तय कीजिए:

$$
x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad
x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0
\quad (x \to 0^+),
\qquad\text{अतः } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;
$$

और जब $x \to +\infty$, तब सीधे वृद्धि की तुलना से $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x}
\to \eu^0 = 1$। सार: अनिश्चित घात ($0^0$ या $\infty^0$ के आकार की) *सदा* $u^v = \eu^{v\ln u}$ लिखकर और गुणनफल $v \ln u$ का विश्लेषण करके सँभाली जाती है — कभी आधार और घातांक को अलग-अलग देखकर अनुमान लगाकर नहीं। जिस फलन $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ ने दोनों सीमाएँ तय कीं, उसका संपूर्ण अध्ययन इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में है।

![का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास x मुश्किल से 1.6 पार कर पाया है, जबकि x चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) 0 की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-e212b0476b06.svg)

*[प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास $\ln x$ मुश्किल से $1.6$ पार कर पाया है, जबकि $\eu^x$ चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) $0$ की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं।*

**टिप्पणी 4.8 (घातों और लघुगणकों की सामान्य भूलें).**

1. *प्रांत।* अपरिमेय $\alpha$ के लिए $x^\alpha$ को $x > 0$ चाहिए; $(-8)^{1/3}$ से बचकर “ $-8$ का वास्तविक घनमूल” कहना बेहतर है, क्योंकि नियम $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ ऋणात्मक संख्याओं पर चुपचाप विफल हो जाता है: $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ ।
2. *$\sqrt{x^2} = \abs x$* , $x$ नहीं: निरपेक्ष मान भूल जाना ऋणात्मक हल खो देने का चिरपरिचित कारण है।
3. *$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ के लिए $x, y > 0$ आवश्यक है।* ऋणात्मक प्रांतिकों के लिए $\ln(xy)$ परिभाषित किया जा सकता है, जबकि दायाँ पक्ष नहीं।
4. *कौन-सा फलन बढ़ता है?* $x^\alpha$ में *आधार* बदलता है; $a^x$ में *घातांक* । उनकी वृद्धियाँ अत्यंत भिन्न हैं ( [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), और $x^{\ln x}$ या $x^{1/x}$ जैसे मिश्रित व्यंजकों को किसी भी तर्क से पहले $\eu^{(\cdot)}$ के रूप में फिर से लिखना चाहिए — जैसा [उदाहरण 4.7](#ex-b1-functions-xx) में है।

## 4.2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

**परिभाषा 4.9 (arcsin⁡\arcsinarcsin, arccos⁡\arccosarccos, arctan⁡\arctanarctan).**

प्रतिबंधन

$$
\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R
$$

कठोरतः एकदिष्ट एकैकी आच्छादन हैं। उनके प्रतिलोम [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\arcsin$, $\arccos$ और $\arctan$ लिखे जाते हैं। अतः उदाहरणार्थ $y =
\arcsin x$ ($x \in \intcc{-1}{1}$) $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का *वही* कोण है जिसकी ज्या $x$ है।

![बाएँ से दाएँ: , , । प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा y = x में परावर्तन द्वारा पाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-2fc622239438.svg)

*बाएँ से दाएँ: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$। प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा $y = x$ में परावर्तन द्वारा पाता है।*

**प्रतिज्ञप्ति 4.10 (अवकलज).**

अपने प्रांतों के अंतःभाग पर:

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.
$$

**उपपत्ति.** [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में सिद्ध होने वाले प्रतिलोम-फलन नियम का पूर्वानुमान करते हुए: यदि $f$ अवकलनीय एकैकी आच्छादन है और $f' \neq 0$, तो $(f^{-1})'(x)
= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$। $\arcsin$ के लिए: $y = \arcsin x$ के साथ,

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\cos y}
= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
$$

जहाँ $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$, क्योंकि $y \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ से $\cos y > 0$ आ जाता है। इसी प्रकार $\intoo{0}{\pi}$ पर $\sin y > 0$ के साथ $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$, और $\tan' = 1 + \tan^2$ का प्रयोग करते हुए $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y}
= \frac{1}{1 + x^2}$। ∎

**उदाहरण 4.11 (एक छिपे हुए अचर को पहचानना).**

$\intoo{-1} {+\infty}$ पर $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ का अध्ययन कीजिए। शृंखला नियम और एक छोटी संगणना:

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot
\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2}
= \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2}
= \frac{-1}{1 + x^2} ,
$$

क्योंकि $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$। अतः $g' = -\arctan'$: फलन $g +
\arctan$ का अवकलज *अंतराल* $\intoo{-1}{+\infty}$ पर शून्य है, अतः वह वहाँ अचर है; $x = 0$ पर उसका मान $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ है। निष्कर्ष:

$$
\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x
\qquad (x > -1) .
$$

$\intoo{-\infty}{-1}$ पर वही अवकलज संगणना सत्य है, पर अचर भिन्न है ($-\frac{3\pi}4$: $x \to -\infty$ पर सीमा का मान लीजिए)। सार: “शून्य अवकलज का अर्थ अचर” अंतराल-दर-अंतराल [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है — ठीक वही सूक्ष्मता जिसका उपयोग [अभ्यास 4.6](#exo-b1-functions-6) और [अभ्यास 4.10](#exo-b1-functions-10) में होता है।

**प्रतिज्ञप्ति 4.12 (मानक सर्वसमिकाएँ).**

1. $x \in \intcc{-1}{1}$ के लिए: $\arcsin x + \arccos x =  \dfrac{\pi}{2}$ ।
2. $x > 0$ के लिए: $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (और $x < 0$ के लिए $-\frac\pi2$ )।
3. $\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\abs x < 1$ के लिए $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ ।

**उपपत्ति.** (1) $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ का अवकलज $\intoo{-1}{1}$ पर शून्य है ([प्रतिज्ञप्ति 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv)), अतः फलन वहाँ अचर है और $0$ पर अपने मान $\frac\pi2$ के बराबर है; सिरों के मान $\pm 1$ सीधे जाँचे जाते हैं ($\frac\pi2 + 0$ और $-\frac\pi2 + \pi$)।

(2) $\intoo{0}{+\infty}$ पर वही विधि: अवकलज $\frac{1}{1+x^2} +
\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ है, और $x = 1$ पर योग $2\arctan 1 = \frac\pi2$ है। $x < 0$ के लिए $\arctan$ की विषमता का प्रयोग कीजिए।

(3) $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ के साथ: $\sin y \geq 0$, अतः $\sin y
= \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$; इसी प्रकार $\cos(\arcsin x)$ के लिए भी, और स्पर्शज्या का सूत्र इनका भागफल है। ∎

**टिप्पणी 4.13.**

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ *केवल* $\theta \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ के लिए सत्य है: उदाहरणार्थ $\arcsin(\sin\pi)
= 0 \neq \pi$। दूसरी दिशा का संयोजन, $\sin(\arcsin x) = x$, पूरे $\intcc{-1}{1}$ पर वैध है।

**उदाहरण 4.14 (मुख्य अंतराल पर लौटना).**

संगणना कीजिए

$$
\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr)
\qquad\text{और}\qquad
\arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).
$$

विधि: कोण के स्थान पर $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वही अद्वितीय कोण रखिए जिसकी स्पर्शज्या वही हो, अर्थात् $\pi$ ($\tan$ का आवर्तकाल) का उचित गुणज घटा दीजिए। पहला: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$, अतः उत्तर $-\frac\pi4$ है। दूसरा: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, अतः उत्तर $\frac{2\pi}5$ है। यह संगणना वेश बदले हुए $\pi$ से कोण का यूक्लिडीय भाग ही है — और $\arcsin$ ($\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ में परावर्तित, आवर्तकाल $2\pi$) तथा $\arccos$ ($\intcc0\pi$ में परावर्तित) के लिए अनुरूप विधियाँ [अभ्यास 4.1](#exo-b1-functions-1) और [अभ्यास 4.10](#exo-b1-functions-10) के खंडशः उत्तर को चलाती हैं।

**उदाहरण 4.15 (प्रतिलोम स्पर्शज्याओं का सुरक्षित योग).**

आइए सिद्ध करें

$$
\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .
$$

दो सामग्रियाँ: स्पर्शज्या का योग-सूत्र, और — वह पद जो आरंभिक विद्यार्थी भूल जाते हैं — योग का *स्थानीकरण*। पहले, $u = \arctan\frac12$, $v =
\arctan\frac15$ के साथ $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan
v}$ देता है

$$
\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}}
= \frac{7/10}{9/10} = \frac79,
\qquad\text{फिर}\qquad
\tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr)
= \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}}
= \frac{65/72}{65/72} = 1 .
$$

दूसरे, तीनों कोणों में से प्रत्येक $\intoo0{\frac\pi4}$ में है (उनके प्रांतिक $1$ से कम हैं), अतः योग $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ में है; वहाँ स्पर्शज्या $1$ वाला एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है। स्थानीकरण के बिना निष्कर्ष “$\pi$ के गुणज तक $\frac\pi4$” होता — अर्थात् आधी उपपत्ति। यही दो-पदीय अनुशासन [अभ्यास 4.8](#exo-b1-functions-8) और [अभ्यास 4.12](#exo-b1-functions-12) को चलाता है।

**उदाहरण 4.16 (प्रतिलोम स्पर्शज्या वाला एक समीकरण).**

$\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$ हल कीजिए। पहले स्थानीकरण: बाएँ पक्ष का चिह्न $x$ का चिह्न है (दोनों पदों का यही है), अतः किसी भी हल के लिए $x > 0$, और तब योग $\intoo0\pi$ में है। स्पर्शज्या लीजिए ($\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर वह [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं है, पर स्थानीकरण के साथ मिलकर यह पर्याप्त होगा): योग-सूत्र देता है

$$
\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr)
= \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1
\iff 2x^2 + 3x - 1 = 0
\iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .
$$

ऋणात्मक मूल स्थानीकरण से हटा दिया जाता है; धनात्मक उम्मीदवार $x_0 =
\frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$ के लिए योग $\intoo0\pi$ में है और उसकी स्पर्शज्या $1$ है, और ऐसा एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है ($\intoo{\frac\pi2}\pi$ में स्पर्शज्या ऋणात्मक है): $x_0$ अद्वितीय हल है। तर्क के आकार पर ध्यान दीजिए: स्पर्शज्या लेने से हल बन सकते हैं, खो कभी नहीं सकते, अतः पहले बहुपदीय समीकरण हल कीजिए *और फिर* स्थानीकरण से छानिए — वही आगे-जाँच का अनुशासन जो समीकरण का वर्ग करने में लगता है।

## 4.3 अतिपरवलयिक फलन

**परिभाषा 4.17 (cosh⁡\coshcosh, sinh⁡\sinhsinh, tanh⁡\tanhtanh).**

$x \in \R$ के लिए:

$$
\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2},
\qquad
\sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2},
\qquad
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
$$

(*अतिपरवलयिक कोज्या, ज्या, स्पर्शज्या*)। $\cosh$ सम है, $\sinh$ और $\tanh$ विषम हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 4.18 (मूल गुणधर्म).**

सभी $x, y \in \R$ के लिए:

1. $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
2. $\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2  = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
3. $\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ और $\sinh(x+y) =  \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
4. $\sinh$ $\R$ का $\R$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है; $\R_+$ तक प्रतिबंधित $\cosh$ $\intco{1}{+\infty}$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है; $\tanh$ $\R$ का $\intoo{-1}{1}$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है।

**उपपत्ति.** (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x -
\eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} -
2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$.

(2) परिभाषा के सूत्रों का अवकलन कीजिए; $\tanh$ के लिए भागफल नियम $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$ देता है, जो (1) से $1 - \tanh^2$ भी है और $\frac{1}{\cosh^2}$ भी।

(3) परिभाषाओं का प्रयोग करके दाएँ पक्षों का प्रसार कीजिए। पहले सूत्र के लिए विस्तार से:

$$
\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y
= \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y})
+ (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;
$$

आठ गुणनफलों में से चार “मिश्रित” ($\eu^{x-y}$, $\eu^{y-x}$) जोड़ों में कट जाते हैं, जबकि $\eu^{x+y}$ और $\eu^{-(x+y)}$ प्रत्येक दो बार आते हैं: कुल $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$ है। ज्या का सूत्र इसके समान ही है, बस उसमें मिश्रित पद बच जाते हैं।

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$, अतः $\sinh$ कठोरतः वर्धमान है, जिसकी सीमाएँ $\pm\infty$ हैं (प्रभावी पद $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$); एकैकी आच्छादन वाला [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) तब मध्यवर्ती मान प्रमेय से निकलता है (जो उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है; व्यवस्थित उपचार [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में)। $\R_+$ पर $\cosh'
= \sinh \geq 0$ केवल $0$ पर लुप्त होता है: अतः $\cosh 0 = 1$ से $+\infty$ तक कठोरतः वर्धमान। और $\tanh' > 0$, जिसकी सीमाएँ $\pm\infty$ पर $\pm 1$ हैं: विस्तार से,

$$
\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}}
= \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}}
\xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,
$$

अंश और हर को $\eu^x$ से भाग देने के बाद, और विषमता $-\infty$ पर सीमा $-1$ दे देती है; अतः कठोरतः वर्धमान फलन $\tanh$ $\R$ को $\intoo{-1}1$ पर भेजता है। ∎

![बाएँ: और , जो अनंतस्पर्शी रूप से x/2 (बिंदुकित) से चिपक जाते हैं। दाएँ: , जो -1 से 1 तक बढ़ता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-714927f508af.svg)

*बाएँ: $\cosh$ और $\sinh$, जो अनंतस्पर्शी रूप से $\frac{\eu^x}{2}$ (बिंदुकित) से चिपक जाते हैं। दाएँ: $\tanh$, जो $-1$ से $1$ तक बढ़ता है।*

**टिप्पणी 4.19 (“अतिपरवलयिक” क्यों?).**

बिंदु $(\cosh t, \sinh t)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ की शाखा $x > 0$ पर चलता है ([प्रतिज्ञप्ति 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1) से), ठीक वैसे ही जैसे $(\cos t,
\sin t)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर चलता है। हर वृत्तीय सर्वसमिका का एक अतिपरवलयिक सहोदर है, जिसमें चिह्नों के परिवर्तन $\sinh^2 \leftrightarrow
-\sin^2$ से नियंत्रित होते हैं।

**उदाहरण 4.20 (tanh⁡\tanhtanh का योग-सूत्र).**

[प्रतिज्ञप्ति 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (3) के दोनों योग-सूत्रों को $\cosh x\cosh
y$ से भाग देने पर:

$$
\tanh(x + y)
= \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y}
{\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y}
= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,
$$

यह स्पर्शज्या के योग-सूत्र का अतिपरवलयिक सहोदर है — जहाँ त्रिकोणमिति में $-$ है, वहाँ $+$। एक लाभांश: चूँकि $\abs{\tanh} < 1$, दायाँ पक्ष “वेग-योग” का ऐसा नियम है जो $\intoo{-1}1$ कभी नहीं छोड़ता: यदि $u, v \in \intoo{-1}1$, तो $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ भी ([एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) आच्छादकता से संभव $u =
\tanh a$, $v = \tanh b$ लिखिए और सूत्र को उलटी दिशा में पढ़िए)। इसकी जाँच बीजगणितीय रूप से, अतिपरवलयिक फलनों के बिना, कुछ कष्टप्रद अभ्यास है; $\tanh$ से प्राचलन उसे एक पंक्ति का बना देता है — वही रणनीति जो वृत्तीय फलन इकाई वृत्त के लिए देते हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 4.21 (प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन).**

[प्रतिज्ञप्ति 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (4) से प्राप्त प्रतिलोमों के संवृत रूप हैं:

$$
\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
\ (x \in \R),
\qquad
\operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)
\ (x \geq 1),
$$

$$
\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x}
\ (\abs x < 1),
$$

जिनके अवकलज क्रमशः $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ($x >
1$) और $\frac{1}{1 - x^2}$ हैं।

**उपपत्ति.** $\operatorname{arsinh}$ के लिए: $x = \sinh y = \frac{\eu^y - \eu^{-y}}{2}$ हल कीजिए। $u = \eu^y > 0$ रखने पर: $u^2 - 2xu - 1 = 0$, अतः $u = x +
\sqrt{x^2 + 1}$ (मूल $x - \sqrt{x^2+1}$ ऋणात्मक है), और $y = \ln(x +
\sqrt{x^2+1})$। शेष दोनों समरूप संगणनाएँ हैं ($\operatorname{arcosh}$ के लिए $u^2 - 2xu + 1 = 0$, जहाँ मूल $\geq 1$ रखा जाता है; $\operatorname{artanh}$ के लिए दो पंक्ति का पुनर्व्यवस्थापन)। अवकलज: लघुगणकीय व्यंजकों का अवकलन कीजिए, उदाहरणार्थ

$$
\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)'
= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}}
= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere
$$

∎

**उदाहरण 4.22 (संवृत रूप काम पर).**

$t \geq 0$ के साथ $\cosh t = 2$ का हल, संवृत रूप से, $t =
\operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ है; दूसरा हल समता से $-t$ है — और सचमुच $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 +
\sqrt3)$: द्विघात $u^2 - 4u + 1 = 0$ के दोनों मूल $u = \eu^t$ परस्पर प्रतिलोम हैं, जैसा उनका गुणनफल $1$ (व्येता) माँगता है। यह छोटी संगणना सामान्य प्रतिरूप दिखा देती है: अतिपरवलयिक समीकरण $\eu^t$ में द्विघातों में बदल जाते हैं, और सममिति $t \mapsto -t$ द्विघात की सममिति $u \mapsto 1/u$ के रूप में प्रकट होती है — [अभ्यास 4.7](#exo-b1-functions-7) हल करते समय यह स्मरण रखने योग्य है।

**विधि 4.23 (सही प्राथमिक रूप चुनना).**

समाकलन ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)) के लिए कंठस्थ करने योग्य तीन अवकलज-प्रतिरूप:

$$
\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,
$$

और किसी व्यापक द्विघात के लिए, वर्ग पूरा करके और पुनर्मापन करके इन्हीं तक पहुँचिए।

**टिप्पणी 4.24 (यह अध्याय कहाँ काम आता है).**

यह अध्याय आगे आने वाले पूरे विश्लेषण की काम की शब्दावली है। [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) का वृद्धि पैमाना अध्याय [11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) और [17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में सर्वत्र अभिसरण के प्रश्न तय करता है; [प्रतिज्ञप्ति 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) और [प्रतिज्ञप्ति 4.21](#prop-b1-functions-invhyp) के अवकलज-सूत्र वही प्रतिअवकलज हैं जिनकी आवश्यकता [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) में [विधि 4.23](#met-b1-functions-primitive) के द्वारा सबसे अधिक पड़ती है; [अतिपरवलयिक फलन](#def-b1-functions-hyperbolic) [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#ch-b1-diffeq) में समीकरण $y'' = y$ के हलों का प्राचलन ठीक वैसे करते हैं जैसे वृत्तीय फलन $y'' = -y$ के हलों का। $f' = f$, $f(0) = 1$ ([प्रतिज्ञप्ति 4.1](#prop-b1-functions-expln)) से $\exp$ का अभिलक्षण रैखिक अवकल समीकरणों के सिद्धांत का एकविमीय बीज है, और शृंखला वक्र $y = \cosh x$ [अध्याय 24](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/24-plane-curves#ch-b1-curves) के समतल वक्रों में लौटता है।

**टिप्पणी 4.25 (मध्यांतर: प्रतिलोम-फलन कार्यक्रम).**

इस अध्याय ने एक ही कार्यक्रम चार बार चलाया: फलन को तब तक प्रतिबंधित कीजिए जब तक वह कठोरतः एकदिष्ट एकैकी आच्छादन न बन जाए, प्रतिलोम को नाम दीजिए, और हर सूत्र उसके पार ले जाइए। हर पद पर जो *प्रयुक्त* हुआ — कि अंतराल पर संतत कठोरतः एकदिष्ट फलन किसी अंतराल पर एकैकी आच्छादन है, और उसका प्रतिलोम संतत है तथा क्रांतिक बिंदुओं से दूर अवकलनीय — वह उच्चतर माध्यमिक उधार पर लिया गया था। यह ऋण इसी खंड के भीतर चुकाया जाता है: [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) एकैकी आच्छादन वाला [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) (एकदिष्ट प्रतिलोम प्रमेय, जो मध्यवर्ती मान प्रमेय पर टिका है) सिद्ध करता है, और [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) वह अवकलज नियम $(f^{-1})'
= 1/(f' \circ f^{-1})$ सिद्ध करता है जिसने [प्रतिज्ञप्ति 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) और [प्रतिज्ञप्ति 4.21](#prop-b1-functions-invhyp) का हर सूत्र चुपचाप बनाया। उन अध्यायों को $\arcsin$ और $\operatorname{arsinh}$ को ध्यान में रखकर पढ़ना — उन हल किए हुए उदाहरणों के रूप में जिन्हें न्यायसंगत ठहराने के लिए सिद्धांत खड़ा किया गया — ही इस प्रत्यक्ष चक्रीयता से निकलने का अभीष्ट मार्ग है।

## 4.4 अभ्यास

**अभ्यास 4.1 ★.**

कैलकुलेटर के बिना संगणना कीजिए: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$; $\;\arctan(-1)$; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$।

**हल — अभ्यास 4.1.**

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$.

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$: $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$, और $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वह कोण जिसकी ज्या $\frac12$ है, $\frac\pi6$ है ($\frac{5\pi}{6}$ नहीं)।

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$: $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt
2}{2}$, और $\intcc{0}{\pi}$ का उस कोज्या वाला कोण $\frac\pi4$ है।

**अभ्यास 4.2 ★.**

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ का परिभाषा-प्रांत दीजिए और जहाँ परिभाषित हो वहाँ $f'$ संगणित कीजिए। $g(x) = \arctan\sqrt{x}$ के लिए भी यही प्रश्न।

**हल — अभ्यास 4.2.**

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ के लिए $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$ आवश्यक है, अर्थात् $x \in \intcc{0}{1}$। $\intoo{0}{1}$ पर शृंखला नियम और [प्रतिज्ञप्ति 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) देते हैं

$$
f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}}
= \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .
$$

$g(x) = \arctan\sqrt x$ $x \geq 0$ के लिए परिभाषित है, और $x > 0$ के लिए:

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x}
= \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .
$$

**अभ्यास 4.3 ★.**

सिद्ध कीजिए कि सभी $x \in \R$ के लिए: $\cosh x + \sinh x = \eu^x$, और प्रत्येक $n \in \Z$ के लिए $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ (अतिपरवलयिक दे मॉयवर सूत्र)।

**हल — अभ्यास 4.3.**

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}
= \eu^x$। अतः $n \in \Z$ के लिए:

$$
(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx}
= \cosh nx + \sinh nx .
$$

**अभ्यास 4.4 ★.**

$\cos(2\arcsin x)$ और $\sin(2\arctan x)$ को $x$ के बीजीय व्यंजकों में सरल कीजिए।

**हल — अभ्यास 4.4.**

$y = \arcsin x$ के साथ: $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$, अतः $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$।

$y = \arctan x$ के साथ: $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y =
\frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$, अतः $\sin(2\arctan x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}$।

**अभ्यास 4.5 ★.**

बड़े $x$ के लिए फलनों $x^{100}$, $\;\eu^{\sqrt x}$, $\;(\ln x)^{1000}$, $\;\eu^{x/100}$, $\;x^{\ln x}$ को सबसे धीमी से सबसे तेज़ वृद्धि तक क्रम में रखिए, और [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) पर आधारित न्यायसंगति दीजिए।

**हल — अभ्यास 4.5.**

सबसे धीमी से सबसे तेज़ तक:

$$
(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\;
\eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .
$$

न्यायसंगति: [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) से $(\ln x)^{1000}/x^{100}
\to 0$ (लघुगणक घातों से हार जाते हैं)। $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ और $x^{\ln
x} = \eu^{(\ln x)^2}$: चूँकि $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$, दूसरा जीतता है। $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$, क्योंकि $(\ln
x)^2/\sqrt x \to 0$ (लघुगणक घात $x^{1/4}$ से हारते हैं, और वह वर्गित भी है)। अंत में $\sqrt x - x/100 \to -\infty$, अतः $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$।

**अभ्यास 4.6 ★★.**

फलन $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ का उसके प्रांत पर अध्ययन कीजिए: $f'$ संगणित कीजिए, $(2\arctan x)'$ से तुलना कीजिए, और प्रांत के तीनों अंतरालों में से प्रत्येक पर $f(x)$ को $\arctan x$ के पदों में व्यक्त कीजिए।

**हल — अभ्यास 4.6.**

प्रांत: $x \neq \pm 1$, तीन अंतराल। प्रत्येक पर,

$$
f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 +
\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
{\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2}
= (2\arctan x)' .
$$

अतः $f(x) - 2\arctan x$ प्रत्येक अंतराल पर अचर है। मान: $x = 0$ पर $f(0) =
0$: अचर $\intoo{-1}{1}$ पर $0$ है। जब $x \to +\infty$, तब $\frac{2x}{1-x^2}
\to 0^-$, अतः $f \to 0$, जबकि $2\arctan x \to \pi$: अचर $\intoo{1}{+\infty}$ पर $-\pi$ है। विषमता से वह $\intoo{-\infty}{-1}$ पर $+\pi$ है। सारांश: $\intoo{-1}{1}$ पर $f = 2\arctan x$, $x > 1$ के लिए $f = 2\arctan x - \pi$, $x < -1$ के लिए $f = 2\arctan x + \pi$। (यह स्पर्शज्या का द्विगुण-कोण सूत्र ही है, $\arctan$ के द्वारा पढ़ा हुआ।)

**अभ्यास 4.7 ★★.**

$\R$ में हल कीजिए: $\;\cosh x = 2$; फिर $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (हलों को लघुगणकों से व्यक्त कीजिए)। *दूसरे के लिए संकेत: सब कुछ $u = \eu^x$ से लिखिए।*

**हल — अभ्यास 4.7.**

$\cosh x = 2$: $u = \eu^x > 0$, $u + u^{-1} = 4$ के साथ $u^2 - 4u + 1 = 0$, $u = 2 \pm \sqrt 3$: $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ या $x = \ln(2 - \sqrt 3) =
-\ln(2 + \sqrt 3)$ (दोनों हल परस्पर विपरीत हैं, क्योंकि $\cosh$ सम है; दोनों वैध हैं)। समतुल्य रूप से $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$।

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$: चरघातांकी परिभाषाएँ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$, अर्थात् $u + 9u^{-1} = 6$, अर्थात् $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$: $u = 3$, एक हल $x = \ln 3$।

**अभ्यास 4.8 ★★.**

सर्वसमिका $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ सिद्ध कीजिए, फिर मैकिन का सूत्र

$$
4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.
$$

*संकेत: योग-सूत्र से दोनों पक्षों की स्पर्शज्या संगणित कीजिए, और नियंत्रण रखिए कि प्रत्येक पक्ष किस अंतराल में है।*

**हल — अभ्यास 4.8.**

मान लीजिए $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$। योग-सूत्र:

$$
\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13}
= \frac{5/6}{5/6} = 1 .
$$

दोनों प्रतिलोम स्पर्शज्याएँ $\intoo{0}{\frac\pi4}$ में हैं (उनके प्रांतिक $\intoo{0}{1}$ में हैं), अतः $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$; वहाँ स्पर्शज्या $1$ वाला एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है।

मैकिन: मान लीजिए $\beta = \arctan\frac15$। द्विगुण कोण दो बार:

$$
\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12},
\qquad
\tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.
$$

फिर

$$
\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr)
= \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}}
= \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.
$$

स्थान: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$, और वस्तुतः $4\beta \in
\intoo{0}{\frac\pi2}$ के साथ $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ $1$ के निकट है (क्योंकि $\beta < \frac\pi8$, जबकि $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$); अतः $4\beta - \frac\pi4 \in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$, जहाँ $\arctan$ $\tan$ का प्रतिलोमन करता है: $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$, जो मैकिन का सूत्र है।

**अभ्यास 4.9 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि सभी $x \geq 0$ के लिए: $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq
x$ *(अंतरों के क्रमिक अवकलजों का अध्ययन कीजिए)*, और उससे निकालिए कि $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ प्रशंसनीय है — सीमा स्वयं [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) में स्थापित की गई है।

**हल — अभ्यास 4.9.**

मान लीजिए $f(x) = x - \sin x$: $f(0) = 0$ और $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$, अतः $\R_+$ पर $f \geq 0$: $\sin x \leq x$।

मान लीजिए $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$: $\R_+$ पर $g(0) = 0$, $g'(x)
= \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$, $g'(0) = 0$, $g''(x) = -\sin x + x = f(x)
\geq 0$। अतः $g'$ वर्धमान है और $g'(0) = 0$, इसलिए $g' \geq 0$, इसलिए $g$ वर्धमान है और $g(0) = 0$: $g \geq 0$, अर्थात् $\R_+$ पर $x - \frac{x^3}{6}
\leq \sin x$।

फलस्वरूप $x > 0$ के लिए $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$: अनुपात $\frac16$ के पैमाने के पास फँसा हुआ है, और [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) दिखाता है कि उसकी सीमा ठीक $\frac 16$ है।

**अभ्यास 4.10 ★★★.**

$x \in \intcc{-1}{1}$ के लिए $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) -
2\arcsin x$ रखिए। सर्वसमिका $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ से $h = 0$ की अपेक्षा हो सकती है — पर $h$ तत्समक रूप से शून्य *नहीं* है। जहाँ $h'$ विद्यमान है उन खुले अंतरालों पर उसकी संगणना कीजिए, सुचयनित बिंदुओं पर $h$ का मान निकालिए, और $\intcc{-1}{1}$ पर $h$ का पूरा खंडशः-अचर वर्णन दीजिए।

**हल — अभ्यास 4.10.**

$y = \arcsin x$ लिखिए, अतः $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y = \sin 2y$ और $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$।

$\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ के लिए: $2y \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, अतः $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ और $h = 0$।

$x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ के लिए: $2y \in
\intoc{\frac\pi2}{\pi}$, और $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वह कोण जिसकी ज्या $\sin 2y$ है, $\pi - 2y$ है: अतः $h(x) = \pi - 4\arcsin x$। (अवकलज से जाँच: वहाँ $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} -
\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$, जो $-4\arcsin x$ का अवकलज है; और $x = 1$ पर $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2 = -\pi = \pi -
4\cdot\frac\pi2$।)

$x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$ के लिए, $h$ की विषमता से: $h(x) =
-\pi - 4\arcsin x$।

**अभ्यास 4.11 ★★★.**

(गुडरमान फलन) $x \in \R$ के लिए $g(x) = \arctan(\sinh x)$ रखिए। सिद्ध कीजिए कि $g$ विषम, कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है जो $\R$ को $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर भेजता है, कि $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$, और यह कि $\tan g(x) = \sinh x$, $\;\sin g(x) = \tanh x$, $\;\cos g(x) =
\frac{1}{\cosh x}$: फलन $g$ वृत्तीय और अतिपरवलयिक त्रिकोणमिति को सम्मिश्र संख्याओं के बिना जोड़ देता है।

**हल — अभ्यास 4.11.**

$g = \arctan \circ \sinh$ विषम, कठोरतः वर्धमान फलनों का संयोजन है, अतः वह विषम और कठोरतः वर्धमान है; जब $x \to +\infty$, तब $\sinh x \to +\infty$, अतः $g(x) \to \frac\pi2$, और $g$ $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर एकैकी आच्छादन है (सांतत्य और मध्यवर्ती मान प्रमेय)। [प्रतिज्ञप्ति 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1) के साथ शृंखला नियम:

$$
g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x}
= \frac{1}{\cosh x} .
$$

रचना से $\tan g(x) = \sinh x$। फिर, चूँकि $g(x) \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ की कोज्या धनात्मक है,

$$
\begin{align*}
\cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}}
= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\
\sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x .
\end{align*}
$$

**अभ्यास 4.12 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .
$$

*संकेत: पहले $\arctan 2 + \arctan 3$ संगणित कीजिए, और [उदाहरण 4.15](#ex-b1-functions-arctansum) की भाँति योग का स्थानीकरण कीजिए; ध्यान रखिए कि यहाँ योग-सूत्र का हर ऋणात्मक है।*

**हल — अभ्यास 4.12.**

$u = \arctan 2$ और $v = \arctan 3$ रखिए; दोनों $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ में हैं (उनके प्रांतिक $1$ से अधिक हैं), अतः $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$। योग-सूत्र देता है

$$
\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,
$$

और $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ का स्पर्शज्या $-1$ वाला अद्वितीय कोण $\frac{3\pi}4$ है: अतः $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$। (स्पर्शज्या पर आँख मूँदकर $\arctan$ लगाने से $-\frac\pi4$ मिलता, जो $\pi$ से चूक जाता — स्थानीकरण ही इस संगणना को बचाता है, और ऋणात्मक हर $1 - 6$ ठीक वही संकेत है कि योग $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ से बाहर निकल चुका है।) $\arctan 1
= \frac\pi4$ जोड़ने पर:

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .
$$

## 4.5 समस्या: समीकरण $x^y = y^x$

**समस्या 4.1.**

धनात्मक संख्याओं के कौन-से युग्म $x^y = y^x$ को संतुष्ट करते हैं? एक संयोगवश दिखने वाला उदाहरण $2^4 = 4^2 = 16$ सब जानते हैं; यह समस्या दिखाती है कि उसमें संयोग कुछ भी नहीं है। पूरा समीकरण एक ही फलन

$$
f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),
$$

के विचरण से नियंत्रित होता है, जिसके अध्ययन से मिलते हैं: पूरा [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) (एक विकर्ण और $(\eu, \eu)$ से होकर जाती एक वक्र शाखा), शाखा का एक परिमेय प्राचलन, यह तथ्य कि $(2, 4)$ उसका *एकमात्र* पूर्णांक बिंदु है, और उसके सभी परिमेय बिंदुओं का वर्गीकरण — और साथ ही लाभांश के रूप में $\eu^\pi$ तथा $\pi^\eu$ की तुलना और $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का $\eu$ तक एकदिष्ट अभिसरण।

**भाग I — फलन $f(t) = \ln t / t$।**

1. न्यायसंगत ठहराइए कि $f$ $\intoo0{+\infty}$ पर अवकलनीय है, $f'$ संगणित कीजिए, और विचरण सारणी बनाइए: $f$ $\intoc0\eu$ पर कठोरतः बढ़ता है, $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः घटता है, और उसका अधिकतम $f(\eu) =  \frac1\eu$ है।
2. $0^+$ और $+\infty$ पर $f$ की सीमाएँ ( [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), $f$ का चिह्न ( $\intoo01$ पर ऋणात्मक, $1$ पर शून्य, उसके आगे धनात्मक) निर्धारित कीजिए, और आलेख का रेखाचित्र बनाइए।
3. सीधी संगणना से जाँचिए कि $f(2) = f(4)$ । (इस समता को ध्यान में रखिए: पूरी समस्या इसी से उपजती है।)
4. मान लीजिए $c \in \R$ । $c$ के मान के अनुसार $f(t) = c$ के हलों की संख्या पर विचार कीजिए: $c \leq 0$ के लिए ठीक एक; $0 < c < \frac1\eu$ के लिए ठीक दो (एक $\intoo1\eu$ में, एक $\intoo\eu{+\infty}$ में); $c =  \frac1\eu$ के लिए ठीक एक; $c > \frac1\eu$ के लिए कोई नहीं।
5. उससे निकालिए कि $x \neq \eu$ वाले प्रत्येक $x > 0$ के लिए $\eu^x >  x^\eu$ , और विशेष रूप से यह तय कीजिए कि $\eu^\pi$ और $\pi^\eu$ में कौन बड़ा है।

**भाग II — समीकरण और उसका वक्र।** इस भाग में $x, y
> 0$।

6. दिखाइए कि $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ ।
7. उससे [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) की संरचना निकालिए: सभी विकर्ण युग्म $(x, x)$ ; और *अतुच्छ* युग्म ( $x \neq y$ ), जो यह संतुष्ट करते हैं: दोनों निर्देशांक $> 1$ हैं, और एक $\intoo1\eu$ में है जबकि दूसरा $\intoo\eu{+\infty}$ में।
8. अतुच्छ युग्मों का प्राचलन कीजिए: $t > 0$, $t \neq 1$ के साथ $y = tx$ लिखकर दिखाइए कि $x^y = y^x$ से अनिवार्य हो जाता है $$x(t) = t^{\frac1{t-1}},  \qquad  y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$$ और यह कि विलोमतः ऐसा हर युग्म एक हल है।
9. सत्यापित कीजिए कि $t = 2$ से $(2, 4)$ मिलता है, और सममिति $x(1/t) =  y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ सिद्ध कीजिए: प्राचल का प्रतिलोमन दोनों निर्देशांकों की अदला-बदली कर देता है।
10. $t \to 1$ पर $x(t)$ और $y(t)$ की सीमाएँ निर्धारित कीजिए (दोनों $\eu$ की ओर जाते हैं), फिर $t \to +\infty$ पर ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) और $t  \to 0^+$ पर ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ )। परिणामी शाखा का वर्णन कीजिए: रेखाओं $x = 1$ और $y = 1$ के अनंतस्पर्शी एक वक्र, जो विकर्ण को $(\eu,  \eu)$ पर काटता है।
11. दिखाइए कि $t \mapsto x(t)$ $\intoo1{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है। *($h(t) = 1 - \frac1t - \ln t$ का अध्ययन कीजिए, जिसका चिह्न $\ln x(t)  = \frac{\ln t}{t - 1}$ के अवकलज को नियंत्रित करता है।)*
12. निष्कर्ष निकालिए कि अतुच्छ हल $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ वाला एक कठोरतः ह्रासमान एकैकी आच्छादन $\varphi \colon \intoo1\eu \to  \intoo\eu{+\infty}$ परिभाषित करते हैं, और यह कि $\varphi$ शाखा का एक स्वप्रतिलोमन है: जहाँ भी दोनों पक्ष परिभाषित हों वहाँ $\varphi(\varphi(x))  = x$ ।

**भाग III — पूर्णांक और परिमेय बिंदु।**

13. सिद्ध कीजिए कि $x^y = y^x$ के अतुच्छ *पूर्णांक* हल केवल $(2,  4)$ और $(4, 2)$ हैं।
14. $n \in \N^*$ के लिए $t = 1 + \frac1n$ के साथ प्राचलन लगाइए और दिखाइए कि $$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n},  \qquad  y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$$ प्रत्येक $n$ के लिए एक अतुच्छ *परिमेय* हल है, जहाँ $(x_1, y_1)  = (2, 4)$।
15. विलोमतः, मान लीजिए $(x, y)$ $y > x$ वाला अतुच्छ परिमेय हल है, और $t  = y/x = 1 + \frac rs$ को न्यूनतम पदों में लिखिए ( $r, s \in \N^*$ )। $x =  t^{s/r}$ का प्रयोग करते हुए और अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता मानते हुए (जो विद्यालय से परिचित है; [अध्याय 6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith) में सिद्ध), दिखाइए कि $x$ का परिमेय होना $s$ और $s + r$ दोनों को पूर्णांकों की $r$ -वीं घातें होने पर बाध्य कर देता है।
16. द्विपद प्रमेय से दिखाइए कि $r \geq 2$ होने पर $a^r - b^r = r$ का कोई पूर्णांक हल $a > b \geq 1$ नहीं है, और निष्कर्ष निकालिए: $x^y = y^x$ के परिमेय हल ठीक प्रश्न 14 के युग्म $(x_n, y_n)$ (और उनकी अदला-बदलियाँ) हैं।
17. स्थिति $n = 2$ संख्यात्मक रूप से सत्यापित कीजिए: $f(9/4)$ और $f(27/8)$ की चार दशमलव स्थानों तक संगणना कीजिए और जाँचिए कि वे मेल खाते हैं।

**भाग IV — लाभांश।**

18. प्रश्न 7 और 11 का प्रयोग करके, बिना किसी और संगणना के, सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ कठोरतः वर्धमान है और $x_n <  \eu$ , कि $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ कठोरतः ह्रासमान है और $y_n  > \eu$ , और यह कि दोनों $\eu$ की ओर अभिसरित होते हैं। (प्राचल $t_n = 1 +  \frac1n$ घटकर $1$ तक जाता है।)
19. $1 < a < b$ के लिए व्यापक तुलना नियम स्थापित कीजिए: यदि $\eu \leq  a$ , तो $a^b > b^a$ ; यदि $b \leq \eu$ , तो $a^b < b^a$ ; और दोनों उदाहरणों $(2, 3)$ तथा $(2, 5)$ से दिखाइए कि मिश्रित स्थिति $a < \eu < b$ में दोनों परिणाम सचमुच होते हैं।
20. मान लीजिए प्रश्न 12 का स्वप्रतिलोमन $\varphi$ $\eu$ पर अवकलनीय है (वह है)। $x = \eu$ पर सर्वसमिका $\varphi(\varphi(x)) = x$ का अवकलन कीजिए और $\varphi'(\eu) = -1$ निकालिए: शाखा विकर्ण को समकोण पर काटती है।
21. $y = 3x$ वाला अद्वितीय हल-युग्म संवृत रूप में खोजिए, और $f$ के द्वारा उसे चार दशमलव तक संख्यात्मक रूप से जाँचिए।
22. संख्याओं $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ में से सबसे बड़ी निर्धारित कीजिए और उन दो की पहचान कीजिए जो बराबर हैं। *($n^{1/n}  = \eu^{f(n)}$ की तुलना कीजिए।)*

**भाग V — संश्लेषण।**

23. चतुर्थांश-समतल $x, y > 0$ में $x^y = y^x$ के पूरे [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का वर्णन ऐसे रूप में कीजिए जिसे आप स्मरण से खींच सकें — विकर्ण और शाखा, उनका प्रतिच्छेद $(\eu, \eu)$ , अनंतस्पर्शी रेखाएँ, पूर्णांक बिंदु $(2, 4)$ , और $(\eu, \eu)$ पर संचित होते परिमेय बिंदु।
24. इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) की वृद्धि तुलनाएँ; (ख) मध्यवर्ती मान प्रमेय (एकैकी आच्छादन वाले कथनों के द्वारा); (ग) स्वीकृत अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
25. एक छोटे अनुच्छेद में उपदेश: एक ही विचरण सारणी ने दो अज्ञातों वाला समीकरण हल कर दिया, उसके परिमेय बिंदुओं का वर्गीकरण कर दिया, और $\bigl(1 +  \frac1n\bigr)^n$ का एकदिष्ट अभिसरण सिद्ध कर दिया — इस मितव्ययिता पर टिप्पणी कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक धागा आगे इस खंड में कहाँ औद्योगिक रूप ले लेता है (अनुक्रम के लिए [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) , विचरण सारणियों के लिए [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) , और सारणी में जिस यथार्थता की कमी है उसके लिए [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) )।

**हल — समस्या 4.1.**

**1.** $f$ अवकलनीय फलनों का भागफल है जिसका हर $\intoo0{+\infty}$ पर अशून्य है, और

$$
f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln
t}{t^2} ,
$$

जो $t < \eu$ के लिए धनात्मक, $t = \eu$ पर शून्य और $t > \eu$ के लिए ऋणात्मक है: $f$ $\intoc0\eu$ पर कठोरतः बढ़ता है, $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः घटता है, और उसका अधिकतम $f(\eu) = \frac1\eu$ है।

**2.** जब $t \to 0^+$: $\ln t \to -\infty$ और $\frac1t \to +\infty$, अतः $f(t) \to -\infty$। जब $t \to +\infty$: [प्रतिज्ञप्ति 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) की [वृद्धि तुलना](#prop-b1-functions-powerrules) से $f(t) \to 0$ ($\beta
= \alpha = 1$)। चिह्न: वही जो $\ln t$ का है, अतः $\intoo01$ पर $f < 0$, $f(1) = 0$, और $\intoo1{+\infty}$ पर $f > 0$। आलेख $-\infty$ से चढ़ता है, $1$ पर शून्य काटता है, $(\eu, \frac1\eu)$ पर शिखर छूता है, फिर $0^+$ तक क्षय होता है।

**3.** $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2 = f(2)$।

**4.** विचरण सारणी और मध्यवर्ती मान प्रमेय से (जो उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है; [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में औपचारिक)। $c < 0$ के लिए: हल केवल वहीं हैं जहाँ $f < 0$, अर्थात् $\intoo01$ में, जहाँ $f$ $\intoo{-\infty}0$ पर कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है: ठीक एक। $c = 0$ के लिए: केवल $t = 1$। $0 < c < \frac1\eu$ के लिए: $\intoo1\eu$ पर $f$ $0$ से $\frac1\eu$ तक बढ़ता है: एक हल; $\intoo\eu{+\infty}$ पर $f$ $\frac1\eu$ से $0$ तक घटता है: एक और; कुल दो। $c = \frac1\eu$ के लिए: केवल अधिकतम बिंदु $t
= \eu$। $c > \frac1\eu$ के लिए: कोई नहीं।

**5.** $x \neq \eu$ के लिए कठोर अधिकतमता $f(x) < f(\eu)$ देती है, अर्थात् $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$, अर्थात् $\eu\ln x < x$, अर्थात् $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$: $x^\eu < \eu^x$। $x = \pi$ के साथ: $\eu^\pi >
\pi^\eu$ (संख्यात्मक रूप से $23.14 > 22.46$)।

**6.** $x, y > 0$ के लिए दोनों पक्ष धनात्मक हैं, अतः

$$
x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y
\iff f(x) = f(y) ,
$$

$xy > 0$ से भाग देकर।

**7.** मान लीजिए $f(x) = f(y) = c$, जहाँ $x \neq y$। यदि $c \leq 0$ या $c = \frac1\eu$, तो प्रश्न 4 कहता है कि समीकरण $f = c$ का एक ही हल है: असंभव। अतः $0 < c < \frac1\eu$, और फिर प्रश्न 4 से दोनों हलों में एक $\intoo1\eu$ का बिंदु है और एक $\intoo\eu{+\infty}$ का: दोनों निर्देशांक $1$ से बड़े हैं और वे $\eu$ के दोनों ओर पड़ते हैं।

**8.** $y\ln x = x\ln y$ में $y = tx$ प्रतिस्थापित करने पर:

$$
tx\ln x = x(\ln t + \ln x)
\iff (t - 1)\ln x = \ln t
\iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,
$$

अतः $x = t^{1/(t-1)}$ और $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$। विलोमतः, इन मानों के लिए $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} = t\ln x$ और $y = tx$, अतः $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} = \frac{\ln x}x$: एक हल। प्रत्येक अतुच्छ हल का कोई अनुपात $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$ होता है, अतः प्राचलन पूरा है।

**9.** $t = 2$: $x = 2^{1/1} = 2$, $y = 2^{2/1} = 4$। और

$$
x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}}
= (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}}
= t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,
$$

फिर $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$: प्राचल-परिवर्तन $t
\mapsto 1/t$ निर्देशांकों की अदला-बदली कर देता है, जैसा समीकरण की सममिति माँगती है।

**10.** जब $t \to 1$: $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (वह $1$ पर $\ln$ का अंतर-भागफल है), अतः $x \to \eu^1 = \eu$ और $y = tx \to \eu$। जब $t \to
+\infty$: $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to 0$, अतः $x \to 1$, जबकि $\ln y =
\frac{t\ln t}{t-1} \to +\infty$, अतः $y \to +\infty$। जब $t \to 0^+$: $\ln x
= \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$, अतः $x \to +\infty$, जबकि $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$, अतः $y \to 1$ ($t\ln
t \to 0$, [उदाहरण 4.7](#ex-b1-functions-xx) का प्रयोग करते हुए)। अतः शाखा अनंतस्पर्शी $y = 1$ (दूर दाएँ) से चलकर विकर्ण पर $(\eu, \eu)$ से होती हुई ऊपर जाती है और अनंतस्पर्शी $x = 1$ (दूर ऊपर) के साथ निकल जाती है — प्रश्न 9 से यह विकर्ण के सापेक्ष सममित है।

**11.** $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$, और

$$
g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2}
= \frac{h(t)}{(t-1)^2},
\qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .
$$

$t > 1$ के लिए $h(1) = 0$ और $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 -
t}{t^2} < 0$: $\intoo1{+\infty}$ पर $h < 0$, अतः $g' < 0$ और $x = \eu^g$ वहाँ कठोरतः ह्रासमान है (प्रश्न 10 से $\eu$ से $1$ तक)।

**12.** प्रश्न 11 से $t \mapsto x(t)$ $\intoo1{+\infty}$ का $\intoo1\eu$ पर कठोरतः ह्रासमान एकैकी आच्छादन है; उसके प्रतिलोम को $t(x)$ लिखिए (वह भी कठोरतः ह्रासमान है) और $\varphi(x) = y(t(x))$ रखिए। ध्यान दीजिए कि $\intoo01$ पर भी $h < 0$ (वहाँ $h' > 0$ और $h(1) = 0$), अतः $\intoo01$ पर भी $x(\cdot)$ ह्रासमान है; इसलिए $y(t) = x(1/t)$ (प्रश्न 9) $\intoo1{+\infty}$ पर $t$ में *वर्धमान* है, $\eu$ से $+\infty$ तक। संयोजन करने पर: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ $\intoo1\eu$ से $\intoo\eu{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है, और प्रश्न 8 से $x^{\varphi(x)} =
\varphi(x)^x$। अंत में, किसी उभयनिष्ठ मान $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$ के लिए युग्म $\{x, \varphi(x)\}$ $f = c$ का *वही* दो-अवयवी [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है (प्रश्न 4); $\varphi$ को प्रतिलोम [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) के रूप में $\intoo\eu{+\infty}$ तक बढ़ाने पर $\varphi(\varphi(x))$ दूसरे (अर्थात् मूल) अवयव पर लौट आता है: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$।

**13.** यदि $(x, y)$ $x < y$ वाला अतुच्छ पूर्णांक हल है, तो प्रश्न 7 $x
\in \intoo1\eu$ रखता है: वहाँ एकमात्र पूर्णांक $x = 2$ है। तब $y > \eu$ के साथ $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$; प्रश्न 4 से समीकरण $f = \frac{\ln2}2$ का $\eu$ से आगे ठीक एक हल है, और प्रश्न 3 उसे प्रस्तुत करता है: $y = 4$। अतः $(2, 4)$ और उसकी अदला-बदली ही एकमात्र हैं।

**14.** $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ से $\frac1{t - 1} = n$ और $\frac t{t-1} = n + 1$ मिलते हैं, अतः

$$
x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n},
\qquad
y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},
$$

जो स्पष्टतः परिमेय और भिन्न है ($y_n = t\,x_n \neq x_n$), और $n = 1$ से $x_1
= 2$, $y_1 = 4$ मिलता है।

**15.** $t = y/x$ परिमेय है और $> 1$; $t - 1 = \frac rs$ को न्यूनतम पदों में लिखिए, अतः $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$ के साथ $t = \frac{s +
r}s$। प्रश्न 8 से $x = t^{s/r}$, इसलिए

$$
x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,
$$

जो न्यूनतम पदों में भिन्न है (कोई अभाज्य $s + r$ और $s$ दोनों को विभाजित नहीं करता)। $x = \frac pq$ को न्यूनतम पदों में लिखने पर $x^r = \frac{p^r}
{q^r}$ भी न्यूनतम पदों में है, और लघुकृत निरूपण की अद्वितीयता से: $p^r =
(s+r)^s$ और $q^r = s^s$। $q^r = s^s$ में किसी भी अभाज्य $\ell$ का घातांक तुलनाइए: $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$, अतः $r$ $s\,v_\ell(s)$ को विभाजित करता है; चूँकि $\gcd(r, s) = 1$, अतः प्रत्येक अभाज्य $\ell$ के लिए $r$ $v_\ell(s)$ को विभाजित करता है (अद्वितीय गुणनखंडन, स्वीकृत; [अध्याय 6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith) में सिद्ध), अतः किसी पूर्णांक $b$ के लिए $s = b^r$। $p^r
= (s+r)^s$ पर वही तर्क $s + r = a^r$ देता है।

**16.** मान लीजिए $a^r - b^r = r$, जहाँ $a > b \geq 1$ पूर्णांक हैं और $r \geq 2$। तब $a \geq b + 1$, अतः द्विपद प्रमेय से

$$
a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r
= \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k
\geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1}
\geq 1 + r > r ,
$$

जो विरोधाभास है। प्रश्न 15 से $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ $r = 1$ पर बाध्य कर देता है: $t = 1 + \frac1s$, और हल प्रश्न 14 का $(x_s, y_s)$ है। अदला-बदली किए हुए युग्मों के साथ मिलाकर वर्गीकरण पूरा हो जाता है।

**17.** $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} =
\frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ और $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) = \frac{\ln
3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (चार दशमलव): बराबर, जैसा रचना का वादा है — अतः $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} =
\bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$।

**18.** प्राचल $t_n = 1 + \frac1n$ कठोरतः घटकर $1$ तक जाते हैं। चूँकि $x(\cdot)$ $\intoo1{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान है (प्रश्न 11), $x_n =
x(t_n)$ कठोरतः *वर्धमान* है; और चूँकि वहाँ $y(\cdot)$ कठोरतः वर्धमान है (प्रश्न 12), $y_n = y(t_n)$ कठोरतः *ह्रासमान* है। प्रश्न 7 से $x_n \in
\intoo1\eu$ और $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$: अतः प्रत्येक $n$ के लिए $x_n <
\eu < y_n$। अंत में $t_n \to 1$ और प्रश्न 10 से $x_n \to \eu$ और $y_n \to
\eu$ मिलते हैं। $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का चिरपरिचित एकदिष्ट अभिसरण शाखा की ज्यामिति से ही निकल आता है, बिना किसी नई असमिका के।

**19.** यदि $\eu \leq a < b$: $\intco\eu{+\infty}$ पर कठोरतः ह्रासमान $f$ $f(a) > f(b)$ देता है, अर्थात् $b\ln a > a\ln b$, अर्थात् $a^b > b^a$। यदि $1 < a < b \leq \eu$: कठोरतः वर्धमान $f$ $f(a) < f(b)$ देता है, इसलिए $a^b < b^a$। मिश्रित स्थिति: $2 < \eu < 3$ और $2^3 = 8 < 9 = 3^2$; पर $2 <
\eu < 5$ और $2^5 = 32 > 25 = 5^2$: दोनों परिणाम होते हैं, और यह इस पर निर्भर करता है कि बिंदु $(a, b)$ शाखा के किस ओर गिरता है।

**20.** शाखा विकर्ण को $\eu$ पर मिलती है और $\varphi$ वहाँ $\varphi(\eu) = \eu$ के साथ संतत रूप से विस्तारित होता है। शृंखला नियम से $x
= \eu$ पर $\varphi(\varphi(x)) = x$ का अवकलन करने पर: $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$, अतः $\varphi'(\eu) = \pm1$; $\varphi$ ह्रासमान है, अतः $\varphi'(\eu) = -1$। शाखा विकर्ण को प्रवणता $-1$ के साथ काटती है: अर्थात् लंबवत्।

**21.** $y = 3x$ स्थिति $t = 3$ है: $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ और $y =
3^{3/2} = 3\sqrt3$। जाँच: $f(\sqrt3) = \frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ और $f(3\sqrt3) = \frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} =
0.3171$: चार दशमलव तक बराबर, अतः $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$।

**22.** $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$, और $\exp$ वर्धमान है, अतः क्रम वही है जो $f(n)$ का है: $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ $f(2) = f(4) =
\frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ से आगे है (प्रश्न 3) और $f(5) \approx 0.3219$। सबसे बड़ी $\sqrt[3]3$ है, और बराबर युग्म $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ है — अर्थात् पूर्णांक युग्म $(2, 4)$ ही एक और वेश में।

**23.** [हल-समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) विकर्ण $\{(x, x) : x > 0\}$ और एक ही शाखा का सम्मिलन है; शाखा विकर्ण के सापेक्ष सममित है, अनंतस्पर्शी $x = 1$ (जब $y \to
+\infty$) से अनंतस्पर्शी $y = 1$ (जब $x \to +\infty$) तक कठोरतः ह्रासमान है, विकर्ण को ठीक एक बार $(\eu, \eu)$ पर काटती है और वहाँ उसकी प्रवणता $-1$ है। शाखा पर पूर्णांक बिंदु $(2, 4)$ और $(4, 2)$ बैठते हैं — केवल यही — तथा परिमेय बिंदु $(x_n, y_n)$, जो शाखा के साथ एकदिष्ट रूप से $(\eu, \eu)$ की ओर बढ़ते जाते हैं पर उस तक कभी नहीं पहुँचते ($\eu$ अपरिमेय है; शाखा के परिमेय बिंदु एक अपरिमेय कोने पर संचित होते हैं)।

**24.** (क) वृद्धि तुलनाओं ने $+\infty$ (प्रश्न 2) और $t\ln t \to 0$ (प्रश्न 10) पर $f$ की सीमाएँ दीं, जिनसे विचरण सारणी और अनंतस्पर्शी रेखाएँ दोनों बनीं। (ख) मध्यवर्ती मान प्रमेय ने, एकैकी आच्छादन वाले कथनों के द्वारा, विचरण सारणी को यथार्थ हल-संख्याओं (प्रश्न 4) में और प्रतिलोम [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $t(x)$ के अस्तित्व (प्रश्न 12) में बदल दिया। (ग) अद्वितीय गुणनखंडन ने प्रश्न 15 की दोनों न्यूनतम-पद पहचानों को शक्ति दी, जो परिमेय-बिंदु वर्गीकरण का अंकगणितीय हृदय हैं।

**25.** एक ही अवकलज संगणना — $1 - \ln t$ का चिह्न — ने सब कुछ उत्पन्न किया: प्रत्येक स्तर $c$ के लिए हलों की संख्या, शाखा का आकार और अनंतस्पर्शी रेखाएँ, चरम असमिका $\eu^x \geq x^\eu$, पूर्णांक और परिमेय हलों का वर्गीकरण, तथा $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ का एकदिष्ट अभिसरण। यही विचरण सारणियों के साथ सोचने की मितव्ययिता है: एकविमीय अध्ययन दो चरों वाला समीकरण हल कर देता है, क्योंकि समीकरण एक ही फलन से होकर गुजरता है। [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) $(x_n)$ के अभिसरण को एकदिष्ट अनुक्रमों के सामान्य सिद्धांत से फिर करेगा; [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) विचरण सारणियों को माध्य मान प्रमेय पर कठोरता से खड़ा करता है; और [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) वह देता है जो सारणी नहीं दे सकती — अभिसरण $x_n \to \eu$ की *गति* (वह कोटि $1/n$ की है)।