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title: "बीजीय संरचनाएँ"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures
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# अध्याय 7 — बीजीय संरचनाएँ

संगणना के वही नियम बार-बार लौटते रहते हैं: पूर्णांक, वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ, [सर्वांगसमता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) वर्ग, और शीघ्र ही बहुपद ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly)) तथा सदिश और आव्यूह (अध्याय [18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) और [21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices))। बीजगणित इन साझे प्रतिरूपों को निकालकर उन्हें नाम दे देता है: *[समूह](#def-b1-structures-group)*, *[वलय](#def-b1-structures-ring)*, *[क्षेत्र](#def-b1-structures-field)*। किसी तथ्य को एक बार, संरचना के स्तर पर, सिद्ध कर देना उसे एक साथ हर उदाहरण के लिए सिद्ध कर देता है।

## 7.1 संयोजन-नियम

**परिभाषा 7.1.**

[समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ पर *संयोजन-नियम* एक [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $E
\times E \to E$ है, जिसे $(x, y) \mapsto x * y$ लिखा जाता है। वह *साहचर्य* तब है जब सदा $(x*y)*z = x*(y*z)$ हो, और *क्रमविनिमेय* तब जब सदा $x * y = y * x$ हो। अवयव $e$ *तत्समक* तब है जब सभी $x$ के लिए $e
* x = x * e = x$; और तब $x'$ $x$ का *प्रतिलोम* तब है जब $x * x' = x' *
x = e$।

**प्रतिज्ञप्ति 7.2 (अद्वितीयता).**

किसी नियम का अधिक से अधिक एक तत्समक होता है; और तत्समक वाले साहचर्य नियम के लिए प्रत्येक अवयव का अधिक से अधिक एक प्रतिलोम होता है।

**उपपत्ति.** यदि $e$ और $e'$ तत्समक हैं: $e = e * e' = e'$। यदि $x'$ और $x''$ $x$ का प्रतिलोमन करते हैं: $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x''
= x''$। ∎

## 7.2 समूह

**परिभाषा 7.3 (समूह).**

*समूह* $(G, *)$ ऐसा [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है जिस पर साहचर्य नियम हो, जिसका कोई तत्समक हो और जिसमें प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम हो। नियम के क्रमविनिमेय होने पर समूह *आबेली* कहलाता है।

**उदाहरण 7.4.**

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*,
\times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ ([इकाई के मूल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity), [परिभाषा 3.17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity)); [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ के स्वयं उसी पर एकैकी आच्छादनों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$, संयोजन के अंतर्गत — अर्थात् $E$ का *सममित समूह*, जो $\abs E \geq 3$ होते ही अनाबेली हो जाता है। [समूह](#def-b1-structures-group) नहीं: $(\N, +)$ (प्रतिलोम नहीं), $(\Z, \times)$ (केवल $\pm 1$ व्युत्क्रमणीय)।

**प्रतिज्ञप्ति 7.5 (संगणना के नियम).**

[समूह](#def-b1-structures-group) $G$ में (गुणन-संकेतन में, तत्समक $e$):

1. काटना: $ax = ay \implies x = y$ और $xa = ya \implies x = y$ ;
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ और $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
3. $a, b \in G$ के लिए प्रत्येक समीकरण $ax = b$ तथा $xa = b$ का अद्वितीय हल है ( $x = a^{-1}b$ , क्रमशः $x = b a^{-1}$ )।

**उपपत्ति.** (1) उपयुक्त ओर से $a^{-1}$ से गुणा कीजिए और साहचर्यता का प्रयोग कीजिए। (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b = e$, और सममित रूप से भी; प्रतिलोम की अद्वितीयता निष्कर्ष दे देती है; दूसरा बिंदु $a^{-1}$ पर [प्रतिज्ञप्ति 7.2](#prop-b1-structures-unique) लगाना ही है। (3) प्रतिस्थापित कीजिए, और अद्वितीयता के लिए (1) का प्रयोग कीजिए। ∎

**उदाहरण 7.6 (आयत की सममितियाँ).**

(वर्ग न होने वाला) आयत स्वयं अपने पर ठीक चार सममितियाँ स्वीकार करता है: तत्समक $e$, क्षैतिज अक्ष में परावर्तन $h$, ऊर्ध्वाधर अक्ष में परावर्तन $v$, और केंद्र के परितः अर्ध-घुमाव $r$। संयोजन इस चार-अवयवी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) को [समूह](#def-b1-structures-group) बना देता है: हर अवयव अपना ही प्रतिलोम है ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), और किन्हीं दो भिन्न अतत्समक अवयवों का गुणनफल तीसरा होता है ($hv = vh = r$: दोनों अक्षों में परावर्तन ही अर्ध-घुमाव है)। पूरी सारणी सममित है, अतः [समूह](#def-b1-structures-group) [आबेली](#def-b1-structures-group) है — फिर भी वह [उदाहरण 7.15](#ex-b1-structures-order) के घूर्णनों $\mathbb U_4$ वाला [समूह](#def-b1-structures-group) *नहीं* है: वहाँ $\iu$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $4$ है, जबकि यहाँ हर [अवयव की कोटि](#def-b1-structures-order) $\leq
2$ है। अतः एक ही आकार के दो समूहों की गुणन-संरचनाएँ सचमुच भिन्न हो सकती हैं — नीचे का चित्र दोनों सारणियाँ साथ-साथ दिखाता है। यह चार-अवयवी [समूह](#def-b1-structures-group) $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$ के रूप में लौटता है, और [अभ्यास 7.7](#exo-b1-structures-7) समझाता है कि जिस [समूह](#def-b1-structures-group) में सभी वर्ग तुच्छ हों वह, इसी की भाँति, [आबेली](#def-b1-structures-group) क्यों होना चाहिए।

![चार अवयवों वाले दो समूह: U_4 = \e, , -1, - \ (बाएँ) और आयत समूह (दाएँ), जिनमें तत्समक के स्थान छायांकित हैं। बाईं ओर तत्समक टेढ़ा-मेढ़ा चलता है (कोटि 4 का एक अवयव सब कुछ जनता है); दाईं ओर वह विकर्ण भर देता है (हर अवयव का वर्ग e है)। कोई भी पुनःनामकरण एक सारणी को दूसरी में नहीं बदल सकता: दोनों समूह तुल्याकारी नहीं हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*चार अवयवों वाले दो [समूह](#def-b1-structures-group): $\mathbb U_4 = \{e, \iu, -1, -\iu\}$ (बाएँ) और आयत [समूह](#def-b1-structures-group) (दाएँ), जिनमें तत्समक के स्थान छायांकित हैं। बाईं ओर तत्समक टेढ़ा-मेढ़ा चलता है ([कोटि](#def-b1-structures-order) $4$ का एक अवयव सब कुछ जनता है); दाईं ओर वह विकर्ण भर देता है (हर अवयव का वर्ग $e$ है)। कोई भी पुनःनामकरण एक सारणी को दूसरी में नहीं बदल सकता: दोनों [समूह](#def-b1-structures-group) तुल्याकारी नहीं हैं।*

**परिभाषा 7.7 (उपसमूह).**

[समूह](#def-b1-structures-group) $G$ का उपसमुच्चय $H$ *उपसमूह* (लिखा जाता है $H \leq
G$) तब कहलाता है जब उसमें $e$ हो और वह नियम तथा प्रतिलोमन के अंतर्गत स्थायी हो। तब $H$ स्वयं एक [समूह](#def-b1-structures-group) है।

*कसौटी:* अरिक्त $H \subseteq G$ उपसमूह है यदि और केवल यदि

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**कसौटी की उपपत्ति.** [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) स्पष्टतः इसे संतुष्ट करता है। विलोमतः, मान लीजिए $H \neq \emptyset$ इसे संतुष्ट करता है, और $x_0 \in H$ चुनिए। तब $e = x_0 x_0^{-1} \in H$; $y
\in H$ के लिए $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$; और $x, y \in H$ के लिए $xy = x
(y^{-1})^{-1} \in H$। ∎

**उदाहरण 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: अरिक्त, और $z, w \in \mathbb{U}_n$ के लिए $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$। $(\Z, +)$ के [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) ठीक $n\Z$ हैं (उपपत्ति [प्रमेय 6.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gcd) में)। उपसमूहों का प्रतिच्छेदन सदा [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) होता है, पर सम्मिलन लगभग कभी नहीं ([अभ्यास 7.6](#exo-b1-structures-6))।

**टिप्पणी 7.9 (संरचनाओं की सामान्य भूलें).**

1. *नियम के अंतर्गत स्थायित्व पर्याप्त नहीं है।* $\N$ $\Z$ के भीतर योग के अंतर्गत स्थायी है और उसमें $0$ भी है, फिर भी वह [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) नहीं है: प्रतिलोम अनुपस्थित हैं। कसौटी $xy^{-1} \in H$ सब कुछ एक साथ जाँच लेती है — पर तभी, जब $H \neq \emptyset$ जाँच लिया गया हो।
2. *अनाबेली प्रतिवर्त।* किसी व्यापक [समूह](#def-b1-structures-group) में $(ab)^2 = abab$ , जो $a$ और $b$ के क्रम-विनिमेय होने पर ही $a^2b^2$ है; इसी प्रकार $(ab)^{-1} =  b^{-1}a^{-1}$ , जिसमें क्रम उलट जाता है। विद्यालयी बीजगणित से आयातित हर सर्वसमिका को अभिगृहीतों से फिर व्युत्पन्न करना होगा, या उस पर क्रमविनिमेयता की शर्त लगानी होगी।
3. *[अष्टि](#def-b1-structures-morphism) बनाम प्रतिबिंब।* $\ker f$ *स्रोत* में रहती है, $\operatorname{im} f$ लक्ष्य में; “ $f$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है यदि और केवल यदि $\ker f$ तुच्छ है” ( [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) का प्रतिबिंब के साथ कोई अनुरूप नहीं है ( $\operatorname{im} f = G'$ तो आच्छादकता है)।
4. *[वलय](#def-b1-structures-ring) $\times$ के लिए [समूह](#def-b1-structures-group) नहीं हैं।* किसी [वलय](#def-b1-structures-ring) में अधिकांश अवयवों का व्युत्क्रमणीय होना आवश्यक नहीं है, और $a$ से काटने के लिए $a$ का इकाई होना या [वलय](#def-b1-structures-ring) का [पूर्णांकीय प्रांत](#def-b1-structures-field) होना आवश्यक है: $\Z/12\Z$ में $\overline3\,\overline2 = \overline3\,\overline6$ , फिर भी $\overline2 \neq  \overline6$ ( [उदाहरण 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) )।

**परिभाषा 7.10 (समूह समाकारिता).**

मान लीजिए $(G, *)$ और $(G', \star)$ [समूह](#def-b1-structures-group) हैं। [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $f \colon G \to
G'$ *समाकारिता* तब कहलाता है जब

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

तब $f(e_G) = e_{G'}$ और $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$। $f$ की *अष्टि* और *प्रतिबिंब* हैं

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

[एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) समाकारिता *तुल्याकारिता* कहलाती है; तब उसका प्रतिलोम [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) स्वतः समाकारिता होता है।

**दावों की उपपत्ति.** $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$, और $f(e)$ को काटने पर $e_{G'} = f(e)$ मिलता है। फिर $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ $f(x^{-1})$ को प्रतिलोम के रूप में पहचान लेता है। [अष्टि](#def-b1-structures-morphism): $e \in \ker f$; यदि $x, y \in \ker
f$, तो $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$; कसौटी लागू हो जाती है। प्रतिबिंब: $f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})$ के साथ वही कसौटी। तुल्याकारिता का प्रतिलोम: $u,
v \in G'$ के लिए $u = f(x)$, $v = f(y)$ लिखिए; तब $f^{-1}(u \star v) =
f^{-1}(f(xy)) = xy = f^{-1}(u) f^{-1}(v)$। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 7.11 (अष्टि के द्वारा एकैकीयता).**

[समूह](#def-b1-structures-group) [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) $f$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है यदि और केवल यदि $\ker f = \{e\}$।

**उपपत्ति.** यदि $f$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है, तो $\ker f$ में $e_{G'}$ का केवल वही एक [पूर्वप्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) हो सकता है, अर्थात् $e$। विलोमतः, यदि $\ker f = \{e\}$ और $f(x) = f(y)$, तो $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$, अतः $xy^{-1} = e$, अर्थात् $x = y$। ∎

**उदाहरण 7.12.**

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है ($\eu^{x+y} =
\eu^x \eu^y$), और [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) भी ([प्रतिज्ञप्ति 4.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-expln)): अर्थात् योगात्मक और गुणात्मक संरचनाएँ तुल्याकारी हैं — यही लघुगणकों के अस्तित्व का ऐतिहासिक कारण है। एक और [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism): $(\R, +)$ से इकाई वृत्त $(\mathbb{U},
\times)$ पर $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$, जिसकी [अष्टि](#def-b1-structures-morphism) $2\pi\Z$ है।

**उदाहरण 7.13 (चिह्न समाकारिता).**

$x$ को उसके चिह्न पर भेजने वाला [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to
(\{\pm1\}, \times)$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है: गुणनफल का चिह्न चिह्नों का गुणनफल होता है। उसकी [अष्टि](#def-b1-structures-morphism) $\intoo0{+\infty}$ है (जो [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है, जैसा [परिभाषा 7.10](#def-b1-structures-morphism) वादा करता है), और उसका प्रतिबिंब पूरा $\{\pm1\}$: [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj), पर अत्यधिक अनेकैकी। लघु रूप में दो व्यापक शिक्षाएँ। पहली, कोई [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) सूचना को कुचल सकती है: $s$ $x$ का केवल एक बिट स्मरण रखता है और कुछ नहीं, और यही उसका गुण है — चिह्न वाले तर्क ठीक वही संगणनाएँ हैं जो $s$ से होकर गुज़रती हैं। दूसरी, $\{\pm1\}$ तक जाने वाली समाकारिताएँ सरलतम “अपरिवर्त्य” हैं: इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में बनने वाला क्रमचयों का संकेतक [समूह](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ पर वही परिघटना है, और वह जिन सम-विषम तर्कों को शक्ति देता है वे सब ऐसी ही द्विमानी [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) से उतरते हैं।

**परिभाषा 7.14 (घातें, अवयव की कोटि).**

[समूह](#def-b1-structures-group) $G$ में (गुणन संकेतन) $x^0 = e$, $x^{k+1} = x^k x$ और $k \in \N$ के लिए $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ रखिए; तब सभी $k, l \in \Z$ के लिए $x^{k+l} = x^k x^l$, अतः $k \mapsto x^k$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) $(\Z, +) \to G$ है जिसका प्रतिबिंब $\langle
x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है, अर्थात् $x$ से *जनित* [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup)। $x$ की *कोटि* वह लघुतम $m \geq 1$ है जिसके लिए $x^m = e$ हो, यदि ऐसा कोई हो (तब $\langle x\rangle = \{e, x, \dots,
x^{m-1}\}$ में ठीक $m$ अवयव होते हैं, और $x^k = e \iff m \mid k$), और अन्यथा $\infty$।

**उदाहरण 7.15.**

$(\C^*, \times)$ में: $\iu$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $4$ है, जहाँ $\langle \iu \rangle = \{1,
\iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; और अधिक व्यापक रूप से $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $n$ है और $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$। $(\Z, +)$ में प्रत्येक $x \neq 0$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) अनंत है। परिभाषा के दावे क्यों सत्य हैं: यदि $x$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $m$ है, तो किसी भी $k$ को $m$ से भाग दीजिए ($k =
mq + r$, $0 \leq r < m$, [प्रमेय 6.2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-division)): $x^k = (x^m)^q x^r =
x^r$, अतः घातें आवर्तकाल $m$ के साथ चक्कर लगाती हैं, सूचीबद्ध अवयव $m$ की लघुतमता से जोड़ों में भिन्न हैं, और $x^k = e$ $r = 0$ पर बाध्य कर देता है। क्रमचयों की कोटियाँ नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या में संगणित की गई हैं।

**उदाहरण 7.16 (U12\mathbb U_{12}U12​ के भीतर कोटियाँ).**

$\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ के लिए $\mathbb U_n$ में $\omega^k$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) क्या है? $(\omega^k)^m = 1$ तभी जब $n \mid km$, और $\gcd(n', k') = 1$ के साथ $d =
\gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ लिखने पर $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff
n' \mid m$ (गाउस की प्रमेयिका, [प्रमेय 6.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gauss))। ऐसा लघुतम $m \geq
1$ $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$ है। उदाहरण के लिए $\mathbb U_{12}$ में $\omega^8$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ है (वस्तुतः $\omega^8 =
\eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), जबकि $\omega^5$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) $12$ है: वह पूरे [समूह](#def-b1-structures-group) को जनता है, यद्यपि वह “मानक” जनक नहीं है। जनकों को गिनना — अर्थात् $\gcd(k, n) = 1$ वाले $k$ गिनना — [उदाहरण 2.25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#ex-b1-counting-coprime) की [सहअभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) गणनाओं को फिर से दे देता है: [समूह](#def-b1-structures-group) सिद्धांत और गणना यहाँ मिल जाते हैं।

## 7.3 वलय और क्षेत्र

**परिभाषा 7.17 (वलय).**

*वलय* $(A, +, \times)$ ऐसा [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है जिस पर दो नियम इस प्रकार हों: $(A, +)$ [आबेली समूह](#def-b1-structures-group) है (तत्समक $0$); $\times$ साहचर्य है और उसका तत्समक $1$ है; और $\times$ $+$ पर दोनों ओर से वितरित होता है। $\times$ के क्रमविनिमेय होने पर वलय *क्रमविनिमेय* कहलाता है। अवयव $a$ *व्युत्क्रमणीय* (एक *इकाई*) तब है जब किसी $b$ के लिए $ab = ba = 1$ हो; इकाइयाँ एक [समूह](#def-b1-structures-group) $(A^\times, \times)$ बनाती हैं।

**इकाइयाँ समूह बनाती हैं, इसकी उपपत्ति.** स्थायित्व: यदि $a, a'$ प्रतिलोमों $b, b'$ वाली इकाइयाँ हैं, तो

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

और सममित रूप से भी, अतः $aa'$ इकाई है। अवयव $1$ इकाई है (अपना ही प्रतिलोम), साहचर्यता $A$ से विरासत में मिलती है, और इकाई $a$ का प्रतिलोम $b$ स्वयं इकाई है (जिसका प्रतिलोम $a$ है)। अतः $(A^\times, \times)$ [समूह](#def-b1-structures-group) के सभी अभिगृहीत संतुष्ट करता है। इस पुस्तक का हर वह [समूह](#def-b1-structures-group) जो क्रमचयों से नहीं बना, इसी प्रकार उत्पन्न होता है: $\Q^* = \Q^\times$, $\R^*$, $\C^*$, नीचे $\Z/n\Z$ की इकाइयाँ, और आगे व्युत्क्रमणीय आव्यूह ([अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices))। ∎

**उदाहरण 7.18.**

$\Z, \Q, \R, \C$ क्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) हैं; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times =
\Q^*$। आगे: बहुपद [वलय](#def-b1-structures-ring) $K[X]$ ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly)), आव्यूह [वलय](#def-b1-structures-ring) (अक्रमविनिमेय, [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)), और नीचे $\Z/n\Z$। हर [वलय](#def-b1-structures-ring) में $0 \times a = 0$ (वितरणशीलता से: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), और $(-1)a = -a$।

**उदाहरण 7.19 (वर्गसम अवयव: नए वलयों में नई परिघटनाएँ).**

$\Z$ में समीकरण $x^2 = x$, अर्थात् $x(x - 1) = 0$, के केवल हल $0$ और $1$ हैं। $\Z/6\Z$ में सभी वर्ग जाँचिए: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ और $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — अर्थात् *चार* वर्गसम अवयव। दोनों विलक्षण अवयव शून्य भाजकों से आते हैं: $\overline3\,(\overline3 -
\overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, जहाँ कोई भी गुणनखंड शून्य नहीं है। ऐसी संगणनाएँ हमारी सहज बुद्धि को अंशांकित करती हैं: समीकरणों के परिचित तथ्य पूर्णांकीय प्रांतों और क्षेत्रों में बचे रहते हैं, पर कोई व्यापक [वलय](#def-b1-structures-ring) भिन्न व्यवहार कर सकता है और करता भी है — [अभ्यास 7.10](#exo-b1-structures-10) के बूली [वलय](#def-b1-structures-ring) भी देखिए, जहाँ *प्रत्येक* अवयव वर्गसम है।

**प्रतिज्ञप्ति 7.20 (क्रमविनिमेय वलय में द्विपद प्रमेय).**

यदि $a, b$ किसी क्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) के अवयव हैं (और अधिक व्यापक रूप से, यदि $ab
= ba$), तो $n \in \N$ के लिए:

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**उपपत्ति.** [प्रमेय 2.16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#thm-b1-counting-binomial) और गुणोत्तर सर्वसमिका की उपपत्तियाँ केवल साहचर्यता, दोनों अवयवों की क्रमविनिमेयता और वितरणशीलता का प्रयोग करती हैं — वे अक्षरशः लागू हो जाती हैं। ∎

**उदाहरण 7.21 (अपरिचित वलय में द्विपद प्रमेय).**

इस व्यापकता के दो तात्कालिक लाभ। $\Z/p\Z$ ($p$ [अभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime)) में बीच के [द्विपद गुणांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) लुप्त हो जाते हैं ([प्रमेय 6.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat) का पहला पद), अतः प्रमेय सिकुड़कर *नवागंतुक का स्वप्न* बन जाती है

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{में } \Z/p\Z ,
$$

जो वहाँ सच्ची सर्वसमिका है, चाहे $\R$ पर वह कितनी ही अपराधी क्यों न दिखे। और $\varepsilon^2 = 0$ वाला अवयव $\varepsilon$ रखने वाले किसी भी क्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) में प्रमेय कट जाती है: $(a + \varepsilon)^n = a^n +
n\,a^{n-1}\varepsilon$, जहाँ ऊपर के सभी पद $\varepsilon^2 = 0$ का गुणनखंड लिए हुए हैं। $\varepsilon$ का गुणांक $n\,a^{n-1}$ $x^n$ का अवकलज है — यह संयोग नहीं है, और यह पहला संकेत है कि अवकलज जितने विश्लेषण के हैं उतने ही बीजगणित के भी (तुलना कीजिए [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly) के औपचारिक अवकलज से)।

**परिभाषा 7.22 (पूर्णांकीय प्रांत, क्षेत्र).**

क्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) $A \neq \{0\}$ *पूर्णांकीय प्रांत* तब है जब उसमें कोई शून्य भाजक न हो: $ab = 0 \implies a = 0$ या $b =
0$। वह *क्षेत्र* तब है जब उसका प्रत्येक अशून्य अवयव व्युत्क्रमणीय हो। प्रत्येक क्षेत्र पूर्णांकीय प्रांत है ($ab = 0$ और $a \neq
0$ से $b = a^{-1}ab = 0$ मिलता है)।

**उदाहरण 7.23.**

$\Q$, $\R$, $\C$ [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) हैं; $\Z$ [पूर्णांकीय प्रांत](#def-b1-structures-field) है पर [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) नहीं। [पूर्णांकीय प्रांत](#def-b1-structures-field) में $\times$ के लिए काटना वैध है: $ab = ac$ और $a \neq 0$ से $b = c$ निकलता है।

## 7.4 वलय $\Z/n\Z$

**परिभाषा 7.24.**

$n \in \N^*$ नियत कीजिए। $n$ के सापेक्ष [सर्वांगसमता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) वर्ग ([उदाहरण 1.32](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#ex-b1-logic-congruence)) $n$ अवयवों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Z/n\Z$ बनाते हैं, जिसे $\overline 0, \overline 1,
\dots, \overline{n-1}$ लिखा जाता है। संक्रियाएँ

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

सुपरिभाषित हैं — परिणामों के वर्ग प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करते, ठीक इसलिए कि [सर्वांगसमता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) $+$ और $\times$ के अनुकूल है ([परिभाषा 6.18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence)) — और वे $\Z/n\Z$ को क्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) बना देती हैं।

**प्रमेय 7.25 (Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ की इकाइयाँ; क्षेत्र Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. $\overline a$ $\Z/n\Z$ में व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि $\gcd(a,  n) = 1$ ।
2. $\Z/n\Z$ [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) है यदि और केवल यदि $n$ [अभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime) हो।

**उपपत्ति.** (1) वर्गों के साथ फिर से लिखा हुआ [प्रतिज्ञप्ति 6.20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#prop-b1-arith-invmod) ही है।

(2) यदि $n = p$ [अभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime) है, तो प्रत्येक $\overline a \neq \overline 0$ के लिए $p \nmid a$, अतः $\gcd(a, p) = 1$: (1) से व्युत्क्रमणीय — अर्थात् [क्षेत्र](#def-b1-structures-field)। यदि $1 < a, b < n$ के साथ $n = ab$, तो $\overline a, \overline b \neq
\overline 0$ के साथ $\overline a\, \overline b = \overline n = \overline 0$: अर्थात् शून्य भाजक, अतः वह [पूर्णांकीय प्रांत](#def-b1-structures-field) तक नहीं है; और $n = 1$ शून्य [वलय](#def-b1-structures-ring) देता है, जो वर्जित है। ∎

**उदाहरण 7.26 (111 के कितने वर्गमूल?).**

$\Z/8\Z$ में और $\Z/7\Z$ में $x^2 = \overline 1$ हल कीजिए। $8$ के सापेक्ष आठों वर्ग जाँचिए: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 =
49 \equiv 1$ — अर्थात् *चार* हल $\{\overline1, \overline3,
\overline5, \overline7\}$, यद्यपि बहुपद $X^2 - 1$ की घात $2$ है। इसके विपरीत [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$ में $x^2 = \overline1$ का अर्थ है $(x - \overline1)(x +
\overline1) = \overline0$, और [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) में कोई शून्य भाजक नहीं होता: $x =
\pm\overline1$, अर्थात् केवल दो हल। $8$ के सापेक्ष विफलता का कारण पहचाना जा सकता है: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$, जहाँ कोई भी गुणनखंड लुप्त नहीं होता। उपदेश: परिचित नियम “घात $d$ के समीकरण के अधिक से अधिक $d$ मूल होते हैं” *पूर्णांकीय प्रांतों* के विषय में प्रमेय है ([उपप्रमेय 8.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots) उसे क्षेत्रों पर सिद्ध करता है); शून्य भाजकों वाले वलयों में वह चुपचाप विफल हो जाता है — और ठीक इसीलिए विल्सन की प्रमेय की युग्मन उपपत्ति ([अभ्यास 6.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-11)) को $p$ का [अभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime) होना चाहिए था।

**उदाहरण 7.27 (Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ में संगणना).**

$\Z/12\Z$ में: इकाइयाँ $\overline 1, \overline 5, \overline 7,
\overline{11}$ हैं ($12$ से [सहअभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) वर्ग), और हर एक अपना ही प्रतिलोम है ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$)। समीकरण $\overline 3\, x = \overline 6$ के *तीन* हल हैं ($x \in \{\overline 2,
\overline 6, \overline{10}\}$): व्युत्क्रमणीयता के बिना कोई काटना नहीं। इसके विपरीत $\Z/11\Z$ में $\overline a \neq \overline 0$ वाले हर समीकरण $\overline a x = \overline b$ का ठीक एक हल है।

**उदाहरण 7.28 (समूह अभिगृहीत हल करने की अनुमति के रूप में).**

[समूह](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$ में $\overline 3\,x = \overline 5$ हल कीजिए। [प्रतिज्ञप्ति 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3) से हल विद्यमान और अद्वितीय है, और वह $\overline3^{-1}\, \overline5$ है; चूँकि $\overline3 \times \overline5 =
\overline{15} = \overline1$, $\overline 3$ का प्रतिलोम $\overline 5$ है, अतः

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{जाँच: } \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

यहाँ उत्तर से अधिक महत्त्व गारंटी का है: किसी [समूह](#def-b1-structures-group) में ऐसा हर समीकरण किसी भी संगणना से *पहले* ही अद्वितीय रूप से हल हो सकने वाला होता है, अतः हल करने की कोई प्रक्रिया कभी “कोई हल नहीं” या “अनेक हल” पर नहीं टकरा सकती। ऊपर $\Z/12\Z$ में $\overline3\,x = \overline6$ से तुलना कीजिए, जहाँ यह गारंटी विफल है — यह जानना कि हम किस संरचना में हैं, यह जानना है कि हम किस बात को दिया हुआ मान सकते हैं।

**उदाहरण 7.29 (प्रत्यक्ष गुणन).**

यदि $G$ और $H$ [समूह](#def-b1-structures-group) हैं, तो गुणन [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $G \times H$ घटक-दर-घटक नियम $(g,
h)(g', h') = (gg', hh')$ के साथ एक [समूह](#def-b1-structures-group) है: अभिगृहीत निर्देशांक-दर-निर्देशांक जाँचे जाते हैं, तत्समक $(e_G, e_H)$ और प्रतिलोम $(g^{-1}, h^{-1})$ हैं। कोटियाँ लघुत्तम समापवर्त्य से जुड़ती हैं: $(g, h)^m
= (g^m, h^m)$ तत्समक तभी है जब $g$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) और $h$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) दोनों $m$ को विभाजित करें। अतः $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (योगात्मक) में प्रत्येक अशून्य [अवयव की कोटि](#def-b1-structures-order) $2$ है — और यह ठीक [उदाहरण 7.6](#ex-b1-structures-klein) वाला आयत [समूह](#def-b1-structures-group) ही है, निर्देशांकों में — जबकि $\Z/4\Z$ में [कोटि](#def-b1-structures-order) $4$ का अवयव है: यह दूसरी, बिना किसी संगणना की उपपत्ति है कि $4$ आकार के दोनों [समूह](#def-b1-structures-group) तुल्याकारी नहीं हैं (तुल्याकारिता कोटियाँ सुरक्षित रखती है)। पुराने समूहों से नए [समूह](#def-b1-structures-group) गढ़ने का सबसे आसान उपाय गुणन है, और [अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) का समतल $\R^2 = \R \times
\R$ इस रचना का सबसे महत्त्वपूर्ण उदाहरण है।

**टिप्पणी 7.30 (फर्मा, संरचनात्मक रूप में).**

[क्षेत्र](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$ में अशून्य वर्ग $p - 1$ अवयवों वाला गुणात्मक [समूह](#def-b1-structures-group) बनाते हैं, और फर्मा की लघु प्रमेय ([प्रमेय 6.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat)) कहती है: इस [समूह](#def-b1-structures-group) का प्रत्येक अवयव $x$ $x^{p-1} = \overline 1$ को संतुष्ट करता है। यह परिमित समूहों के विषय में एक व्यापक तथ्य (लाग्रांज की प्रमेय) का उदाहरण है, जो द्वितीय वर्ष में सिद्ध किया जाता है; विल्सन की प्रमेय की युग्मन उपपत्ति ([अभ्यास 6.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-11)) में भी यही समूह-सैद्धांतिक स्वाद पहले से था।

**टिप्पणी 7.31 (मध्यांतर: अमूर्तता से क्या मिलता है).**

यह पूछना उचित है कि, मान लीजिए, [प्रतिज्ञप्ति 7.2](#prop-b1-structures-unique) को संख्याओं के बदले किसी अमूर्त नियम के लिए सिद्ध करने से क्या मिला। उत्तर है लाभ का उत्तोलन। वह दो पंक्ति का तर्क अब एक साथ इन सबको समेटता है: संयोजन के अंतर्गत फलनों के प्रतिलोम ([प्रमेय 1.24](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-inverse), जिसकी अद्वितीयता की उपपत्ति वह शब्दशः दोहराता है), $n$ के सापेक्ष प्रतिलोम ([प्रतिज्ञप्ति 6.20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#prop-b1-arith-invmod)), अशून्य वास्तविक संख्याओं के प्रतिलोम, किसी भी [वलय](#def-b1-structures-ring) की इकाइयों के प्रतिलोम, और — बिना देखे ही — [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) के व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के प्रतिलोम, जहाँ $A^{-1}$ की अद्वितीयता के लिए उपपत्ति की एक पंक्ति भी नहीं चाहिए होगी। यही मितव्ययिता [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) पर भी लागू है (एक ही एकैकीयता कसौटी, जो [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) में रैखिक प्रतिचित्रणों के लिए फिर काम आती है) और [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) कसौटी पर भी। यहाँ अमूर्तता व्यापकता के लिए व्यापकता नहीं है: वह एक ही प्रमेयिका को पाँच नामों से पाँच बार सिद्ध करने से इनकार है। इसकी कीमत — यह हिसाब रखना कि हर [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) ने वास्तव में कौन-से अभिगृहीत प्रयुक्त किए — ठीक वही है जिसका अभ्यास इस अध्याय के अभ्यास कराते हैं।

**टिप्पणी 7.32 (यह अध्याय कहाँ काम आता है).**

इस अध्याय की शब्दावली शेष खंड का व्याकरण है। [वलय](#def-b1-structures-ring) और [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) [अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly) ($K[X]$ $\Z$ का अनुकरण करने वाला [वलय](#def-b1-structures-ring) है) और [अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions#ch-b1-fractions) ($K(X)$ उसका भिन्न-क्षेत्र है) को व्यवस्थित करते हैं; सदिश समष्टियाँ ([अध्याय 18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces)) ऐसे [आबेली समूह](#def-b1-structures-group) हैं जिन पर कोई [क्षेत्र](#def-b1-structures-field) क्रिया करता है; आव्यूह ([अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)) इस खंड का पहला गंभीर रूप से अक्रमविनिमेय [वलय](#def-b1-structures-ring) बनाते हैं, और उनके व्युत्क्रमणीय अवयव ऐसा [समूह](#def-b1-structures-group) बनाते हैं जिसका अध्ययन स्वयं रैखिक बीजगणित है। समाकारिताएँ और अष्टियाँ [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) में रैखिक प्रतिचित्रणों और शून्य समष्टियों के रूप में लौटती हैं — [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) उस अध्याय की एकैकीयता कसौटी *ही है*, जो यहाँ एक बार और सदा के लिए सिद्ध हो चुकी है। [सममित समूह](#ex-b1-structures-groups), जो नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या का नायक है, वह संकेतक देता है जिस पर [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में सारणिक खड़े किए जाते हैं।

## 7.5 अभ्यास

**अभ्यास 7.1 ★.**

$E = \R \setminus \{1\}$ पर $x * y = x + y - xy$ परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $(E, *)$ [आबेली समूह](#def-b1-structures-group) है। *(तत्समक और $x$ का प्रतिलोम पहचानिए; स्थायित्व जाँचिए: $x * y \neq 1$ क्यों?)*

**हल — अभ्यास 7.1.**

*स्थायित्व:* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$, जो $x, y \neq 1$ के लिए असंभव है। वस्तुतः मुख्य सर्वसमिका यह है

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

[प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ $(E, *)$ को $(\R^*, \times)$ पर भेजता है, जहाँ $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — अर्थात् [एकैकी आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism)। अब सभी अभिगृहीत पार चले जाते हैं: साहचर्यता और क्रमविनिमेयता $\times$ की इन्हीं गुणों से निकलती हैं; तत्समक $\varphi^{-1}(1) = 0$ है (जाँच: $x * 0 = x$); और $x$ का प्रतिलोम $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr)
= 1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ है (जो $\neq 1$ है)। अतः $(E, *)$ [आबेली समूह](#def-b1-structures-group) है।

**अभ्यास 7.2 ★.**

इनमें से कौन [समूह](#def-b1-structures-group) हैं?

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
3. $(\Q^*, \times)$ ;
4. योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) ।

**हल — अभ्यास 7.2.**

1. हाँ: धनात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है, तत्समक $1$ , प्रतिलोम $\frac 1x$ , और साहचर्यता $\R^*$ से विरासत में।
2. नहीं: स्थायी नहीं ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ )।
3. हाँ: यही मानक उदाहरण है।
4. नहीं: स्थायी नहीं (विषम $+$ विषम $=$ सम), और कोई तत्समक भी नहीं ( $0$ सम है)।

**अभ्यास 7.3 ★.**

$\{1,2,3\}$ के [सममित समूह](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ की संयोजन सारणी लिखिए (छह एकैकी आच्छादन: तत्समक, तीन व्यत्यास, दो $3$-चक्र), और ऐसे दो अवयव दिखाइए जो क्रम-विनिमेय नहीं हैं।

**हल — अभ्यास 7.3.**

$\mathrm{id}$ लिखिए, व्यत्यास $\tau_{12}, \tau_{13}, \tau_{23}$ (जो दोनों नामित बिंदुओं की अदला-बदली करते हैं), और चक्र $c = (1\,2\,3)$ (अर्थात् $1
\mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) तथा $c^2 = (1\,3\,2)$। $\sigma\rho$ की सारणी (पंक्ति $\sigma$, स्तंभ $\rho$, पहले $\rho$ लगाइए):

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

क्रम-विनिमेय न होने वाला युग्म: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$, जबकि $\tau_{13}\tau_{12} = c$। (एक प्रविष्टि जाँचने के लिए: $\tau_{12}\tau_{13}$ $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3 \xmapsto{\tau_{12}} 3$, $3 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2
\mapsto 2 \mapsto 1$ भेजता है: वही $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$ है, अर्थात् चक्र $c^2 = (1\,3\,2)$।)

**अभ्यास 7.4 ★.**

सिद्ध कीजिए कि $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ $(\C^*, \times)$ का [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है, और यह कि $\R_+^*$ भी एक [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है; क्या $H \cup \R_+^*$ [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है?

**हल — अभ्यास 7.4.**

$H$: $1 \in H$; $z, w \in H$ के लिए $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w = 1$: कसौटी लागू हो जाती है। $\R_+^*$: वही, बस $\abs{xy^{-1}}$ की जगह धनात्मकता। सम्मिलन: $\iu \in H$ और $2 \in \R_+^*$, पर $2\iu$ का [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) $2 \neq 1$ है और वह धनात्मक वास्तविक नहीं है: $2\iu \notin H \cup \R_+^*$, अतः सम्मिलन स्थायी नहीं है — [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) नहीं (जैसा [अभ्यास 7.6](#exo-b1-structures-6) बताता है, दोनों उपसमूहों में से कोई दूसरे को नहीं समेटता)।

**अभ्यास 7.5 ★★.**

मान लीजिए $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$, $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$। सिद्ध कीजिए कि $f$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है, $\ker f$ और $\operatorname{im} f$ संगणित कीजिए, और [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) से निकालिए कि $f$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं है। प्रांत को इस प्रकार सीमित कीजिए कि वह यथासंभव बड़े अंतराल पर [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) हो जाए।

**हल — अभ्यास 7.5.**

[समाकारिता](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} = \eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([प्रमेय 3.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#thm-b1-complex-funceq))। [अष्टि](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in
2\pi\Z$, अतः $\ker f = 2\pi\Z \neq \{0\}$: [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं। प्रतिबिंब: प्रत्येक एकांक [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) वाली सम्मिश्र संख्या किसी $\theta$ के लिए $\eu^{\iu\theta}$ है (ध्रुवीय रूप), अतः $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$, अर्थात् इकाई वृत्त। $f$ का $2\pi$ लंबाई के किसी अर्ध-विवृत अंतराल, जैसे $\intco{0}{2\pi}$ या $\intoc{-\pi}{\pi}$, तक प्रतिबंधन [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है (एक ही प्रतिबिंब वाले दो कोण $2\pi$ के गुणज से भिन्न होते हैं, और हर वर्ग का केवल एक प्रतिनिधि उस अंतराल में समाता है); इससे बड़ी लंबाई का कोई अंतराल काम नहीं करता, क्योंकि उसमें $2\pi$ दूरी पर दो बिंदु आ जाते हैं।

**अभ्यास 7.6 ★★.**

मान लीजिए $H, K$ $G$ के [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) हैं। सिद्ध कीजिए कि $H \cap K$ [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है, और यह कि $H \cup K$ *केवल* तब [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है जब $H \subseteq K$ या $K \subseteq
H$ हो। *(यदि $h \in H \setminus K$ और $k \in K \setminus H$, तो $hk$ कहाँ रह सकता है?)*

**हल — अभ्यास 7.6.**

प्रतिच्छेदन: $e \in H \cap K$, और $x, y \in H \cap K$ से $H$ तथा $K$ दोनों में $xy^{-1}$ मिलता है। सम्मिलन: यदि $H \subseteq K$, तो सम्मिलन $K$ है, जो [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है (और सममित रूप से भी)। विलोमतः, मान लीजिए कोई भी अंतर्विष्टि सत्य नहीं है: $h \in H \setminus K$ और $k \in K \setminus H$ चुनिए, और मान लीजिए $H \cup K$ [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) होता; तब $hk \in H \cup K$। यदि $hk \in H$, तो $k =
h^{-1}(hk) \in H$: विरोधाभास। यदि $hk \in K$, तो $h = (hk)k^{-1} \in K$: विरोधाभास। अतः $H \cup K$ [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) नहीं है।

**अभ्यास 7.7 ★★.**

[समूह](#def-b1-structures-group) $G$ सभी $x \in G$ के लिए $x^2 = e$ संतुष्ट करता है। सिद्ध कीजिए कि $G$ [आबेली](#def-b1-structures-group) है। *($(xy)^2$ का प्रसार कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 7.7.**

पहले ध्यान दीजिए कि $x^2 = e$ का अर्थ है प्रत्येक $x$ के लिए $x^{-1} = x$। फिर $x, y \in G$ के लिए:

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

जहाँ [प्रतिज्ञप्ति 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2) प्रयुक्त हुआ। अतः $G$ [आबेली](#def-b1-structures-group) है।

**अभ्यास 7.8 ★★.**

$\Z/18\Z$ में: इकाइयों की सूची बनाइए और $\overline 5$ का प्रतिलोम खोजिए; $\overline 5\, x = \overline 7$ हल कीजिए; $\overline 6\, x = \overline 3$ और $\overline 6\, x = \overline{12}$ हल कीजिए।

**हल — अभ्यास 7.8.**

$\Z/18\Z$ की इकाइयाँ: $18 = 2 \times 3^2$ से [सहअभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) वर्ग: $\overline 1,
\overline 5, \overline 7, \overline{11}, \overline{13}, \overline{17}$। $\overline 5$ का प्रतिलोम: $5 \times 11 = 55 = 3\times 18 + 1$, अतः $\overline 5^{-1} = \overline{11}$।

$\overline 5 x = \overline 7$: $\overline{11}$ से गुणा कीजिए: $x =
\overline{77} = \overline 5$ (क्योंकि $77 = 4\times 18 + 5$)। अद्वितीय हल।

$\overline 6 x = \overline 3$: समीकरण $6x \equiv 3 \pmod{18}$ का अर्थ है $18
\mid 6x - 3$। पर $6x - 3 = 3(2x - 1)$ विषम है, जबकि $18$ सम: कोई सम संख्या विषम संख्या को विभाजित नहीं कर सकती। कोई हल नहीं।

$\overline 6 x = \overline{12}$: $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x \equiv 2
\pmod 3$: हल $x \in \{\overline 2, \overline 5, \overline 8, \overline{11},
\overline{14}, \overline{17}\}$ — अर्थात् छह।

**अभ्यास 7.9 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ एक [वलय](#def-b1-structures-ring) है ($\R$ का उपवलय), और यह कि $1 + \sqrt 2$ उसकी ऐसी इकाई है जिसकी अनंत भिन्न घातें हैं — अतः $\Z[\sqrt 2]^\times$ $\Z^\times$ के विपरीत अनंत है।

**हल — अभ्यास 7.9.**

$\Z[\sqrt 2]$ में $0$ और $1$ हैं, और वह घटाव तथा गुणनफल के अंतर्गत स्थायी है:

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

अतः वह $\R$ का उपवलय है (क्रमविनिमेयता, साहचर्यता और वितरणशीलता विरासत में मिलती हैं)। इकाई: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2) = 2 - 1 = 1$, अतः $1 + \sqrt
2$ व्युत्क्रमणीय है और उसका प्रतिलोम $\sqrt 2 - 1 \in \Z[\sqrt 2]$ है। उसकी घातें $(1 + \sqrt 2)^n$ कठोरतः वर्धमान हैं (आधार $> 1$ है), अतः जोड़ों में भिन्न हैं, और हर एक इकाई है ($\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 -
1)^n$): अतः इकाइयों का [समूह](#def-b1-structures-group) अनंत है।

**अभ्यास 7.10 ★★★.**

(बूली [वलय](#def-b1-structures-ring)) मान लीजिए $A$ ऐसा [वलय](#def-b1-structures-ring) है जिसमें प्रत्येक $x$ के लिए $x^2 = x$ हो। सिद्ध कीजिए कि सभी $x$ के लिए $x + x = 0$, और यह कि $A$ क्रमविनिमेय है। *($(x+x)^2$ और $(x+y)^2$ का प्रसार कीजिए।)* $\mathcal{P}(E)$ वाले ऐसे [वलय](#def-b1-structures-ring) का उदाहरण दीजिए, जिसमें योग सममित अंतर हो और गुणन प्रतिच्छेदन।

**हल — अभ्यास 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — अतः $2x = 4x$, जिससे $2x = 0$ मिलता है, अर्थात् $x + x = 0$ (हर अवयव अपना ही योगात्मक प्रतिलोम है)। फिर

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

अतः $xy + yx = 0$, अर्थात् $xy = -yx = yx$ ($-z = z$ का प्रयोग करते हुए)। अतः $A$ क्रमविनिमेय है।

उदाहरण: $\mathcal{P}(E)$ पर $A + B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ (सममित अंतर) और $A \times B = A \cap B$ परिभाषित कीजिए। जाँच लीजिए: $(\mathcal{P}(E), +)$ [आबेली समूह](#def-b1-structures-group) है जिसका तत्समक $\emptyset$ है और हर [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) अपना ही प्रतिलोम; $\cap$ साहचर्य और क्रमविनिमेय है, जिसका तत्समक $E$ है; वितरणशीलता $A \cap (B + C) = (A \cap B) + (A \cap C)$ सत्य है (कोई अवयव बाएँ पक्ष में तभी है जब वह $A$ में हो और $B, C$ में से ठीक एक में)। और $A
\cap A = A$: हर अवयव वर्गसम है, जैसा अपेक्षित था।

**अभ्यास 7.11 ★★★.**

मान लीजिए $G$ ऐसा [समूह](#def-b1-structures-group) है जिसमें किसी नियत $n \geq 1$ के लिए और सभी $x, y$ के लिए $(xy)^n = x^n y^n$, $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ तथा $(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ हों। सिद्ध कीजिए कि $G$ [आबेली](#def-b1-structures-group) है। *(तीनों सर्वसमिकाओं से पहले $y^n x = x y^n$, फिर $y^{n+1} x = x y^{n+1}$ निकालिए, और निष्कर्ष पर पहुँचिए।)*

**हल — अभ्यास 7.11.**

परिकल्पना $n$ और $n+1$ के लिए लिखिए:

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{और}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

बराबर करने पर: $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$; बाईं ओर $x$ और दाईं ओर $y^n$ काटिए: $x^n y = y x^n$। एक घात ऊपर वही संगणना ($n+1$ और $n+2$) $x^{n+1} y = y x^{n+1}$ देती है। फिर

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

और $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$ की दाईं ओर $x^n$ काटने पर: $yx = xy$। अतः $G$ [आबेली](#def-b1-structures-group) है।

**अभ्यास 7.12 ★★.**

1. $(\Z, +)$ से $(\Z, +)$ तक की सभी [समूह](#def-b1-structures-group) समाकारिताएँ निर्धारित कीजिए।
2. सिद्ध कीजिए कि $(\Q, +)$ से $(\Z, +)$ तक एकमात्र [समूह](#def-b1-structures-group) [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) शून्य [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है। *($x \in \Q$ और $n \in \N^*$ के लिए $f(x)$ तथा $n\,f(x/n)$ की तुलना कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 7.12.**

1. मान लीजिए $f \colon \Z \to \Z$ योगात्मक है और $a = f(1)$ । आगमन से $k  \in \N$ के लिए $f(k) = ka$ , और $f(-k) = -f(k) = -ka$ : अतः $f$ $a$ से गुणन है। विलोमतः प्रत्येक [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $k \mapsto ak$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है: अर्थात् समाकारिताएँ $(\Z,+) \to (\Z,+)$ ठीक किसी नियत पूर्णांक से गुणन हैं।
2. मान लीजिए $f \colon \Q \to \Z$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है, $x \in \Q$ और $n \in  \N^*$। तब $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ अतः पूर्णांक $f(x)$ प्रत्येक $n \geq 1$ से विभाज्य है। ऐसा एकमात्र पूर्णांक $0$ है: $f \equiv 0$।

## 7.6 समस्या: सममित समूह और 8-पहेली

**समस्या 7.1.**

$\intint1n$ के क्रमचयों का [समूह](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ गणित का सबसे पुराना [समूह](#def-b1-structures-group) है और आज भी सबसे शिक्षाप्रद। यह समस्या उसका संरचना-सिद्धांत शून्य से खड़ा करती है — चक्र, व्यत्यासों से जनन, *संकेतक* [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) $\varepsilon \colon
\mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (जिसका अस्तित्व सचमुच अतुच्छ है), और $3$-चक्रों से जनित [प्रत्यावर्ती समूह](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ — और फिर उसे एक चिरपरिचित पहेली पर भुनाती है: $3 \times 3$ सरकती-पट्टिका वाले खेल में चालों का कोई भी अनुक्रम दो पट्टिकाओं की अदला-बदली करके शेष सब कुछ यथावत् नहीं रख सकता। [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) $\intint1n$ पर क्रिया करते हैं; गुणनफल $\sigma\tau$ का अर्थ है “पहले $\tau$ लगाइए”; $[\,v_1, \dots, v_n]$ वह [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) दर्शाता है जो $i$ को $v_i$ पर भेजता है।

**भाग I — चक्र और व्यत्यास।**

1. $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ को न्यायसंगत ठहराइए ( [प्रमेय 2.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#thm-b1-counting-counts) )। $\mathfrak S_3$ में $\sigma = [2, 3, 1]$ और $\tau = [1, 3, 2]$ के दोनों गुणनफल संगणित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि $\mathfrak S_3$ [आबेली](#def-b1-structures-group) नहीं है।
2. *$k$-चक्र* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , जहाँ $a_i$ जोड़ों में भिन्न हैं) $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto  a_1$ भेजता है और शेष सब कुछ अचल रखता है; उसका *आश्रय* $\{a_1, \dots,  a_k\}$ है। सिद्ध कीजिए कि असंयुक्त आश्रयों वाले दो चक्र क्रम-विनिमेय होते हैं।
3. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $\sigma \in \mathfrak S_n$ जोड़ों में असंयुक्त आश्रयों वाले चक्रों का गुणनफल है, और यह वियोजन गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय है। *(प्रत्येक $i$ के लिए अनुक्रम $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$ पर विचार कीजिए: उसे $i$ पर लौटना ही पड़ता है; इस प्रकार बनी *कक्षाएँ* $\intint1n$ का [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) करती हैं, और $\sigma$ प्रत्येक पर चक्र की भाँति क्रिया करता है।)*
4. $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in \mathfrak S_8$ का असंयुक्त चक्रों में वियोजन कीजिए। [परिभाषा 7.14](#def-b1-structures-order) की भाँति $\sigma$ की *[कोटि](#def-b1-structures-order)* परिभाषित करते हुए सिद्ध कीजिए कि असंयुक्त चक्रों के गुणनफल की [कोटि](#def-b1-structures-order) उनकी लंबाइयों का लघुत्तम समापवर्त्य है, और इस $\sigma$ की [कोटि](#def-b1-structures-order) संगणित कीजिए।
5. दूरबीनी सर्वसमिका सिद्ध कीजिए $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ और निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) व्यत्यासों का गुणनफल है। प्रश्न 4 के $\sigma$ को ऐसे गुणनफल के रूप में लिखिए।
6. आगे दिखाइए कि *संलग्न* व्यत्यास $(i\ \ i{+}1)$ ही पर्याप्त हैं: $a < b$ के लिए $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ जो $2(b - a) - 1$ संलग्न व्यत्यासों का गुणनफल है — अर्थात् एक *विषम* संख्या (यह सम-विषमता नीचे दो बार महत्त्व रखेगी)।

**भाग II — संकेतक का अस्तित्व।** $\sigma \in
\mathfrak S_n$ के लिए मान लीजिए

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

उसके *व्युत्क्रमणों* की संख्या है, और $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$ रखिए।

7. तत्समक के लिए, व्यत्यास $(i\ \ i{+}1)$ के लिए, और $[2, 3, 1]$ के लिए $N$ तथा $\varepsilon$ संगणित कीजिए।
8. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $\sigma$ और प्रत्येक संलग्न व्यत्यास $\tau =  (i\ \ i{+}1)$ के लिए $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ । *(दाईं ओर से $\tau$ के साथ संयोजन स्थानों $i$ और $i + 1$ के मानों की अदला-बदली कर देता है; ठीक एक युग्म अपनी व्युत्क्रमण-स्थिति बदलता है।)*
9. प्रश्न 6 का प्रयोग करके निकालिए कि *किसी भी* व्यत्यास $\tau$ के लिए $\varepsilon(\sigma\tau) = -\varepsilon(\sigma)$ ; निष्कर्ष निकालिए कि यदि $\sigma$ $p$ व्यत्यासों का गुणनफल है, तो $\varepsilon(\sigma) =  (-1)^p$ — विशेष रूप से $p$ की सम-विषमता केवल $\sigma$ पर निर्भर करती है, चुने हुए गुणनखंडन पर नहीं — और यह कि $\varepsilon \colon \mathfrak S_n  \to \{\pm 1\}$ एक [समूह](#def-b1-structures-group) [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है।
10. दिखाइए कि $k$ -चक्र का संकेतक $(-1)^{k-1}$ है, और यह कि व्यापक रूप से $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n - c(\sigma)}$ , जहाँ $c(\sigma)$ $\sigma$ की कक्षाओं की संख्या है (अचल बिंदु सम्मिलित)।
11. *[प्रत्यावर्ती समूह](#pb-b1-structures-1)* $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ है। न्यायसंगत ठहराइए कि वह [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है, और $n \geq 2$ के लिए $\abs{\mathfrak  A_n} = \frac{n!}2$ सिद्ध कीजिए। *(एक व्यत्यास $\tau_0$ नियत कीजिए और $\sigma \mapsto \sigma\tau_0$ पर विचार कीजिए।)*
12. $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ पर संगति की जाँच: $\varepsilon(\sigma)$ तीन प्रकार से संगणित कीजिए — व्युत्क्रमण गिनकर, प्रश्न 10 के द्वारा चक्र-प्रकार से, और प्रश्न 5 में की गई अपनी व्यत्यास-गणना से।

**भाग III — $\mathfrak A_n$ $3$-चक्रों से जनित है।**

13. मान लीजिए $a, b, c, d$ जोड़ों में भिन्न हैं। दोनों सर्वसमिकाएँ सत्यापित कीजिए $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$$
14. सिद्ध कीजिए कि $n \geq 3$ के लिए $\mathfrak A_n$ का प्रत्येक अवयव $3$ -चक्रों का गुणनफल है। *(सम [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) व्यत्यासों की सम संख्या का गुणनफल होता है; उन्हें दो के जोड़ों में समेटिए।)*
15. $(1\ 2)(3\ 4)$ और $5$ -चक्र $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ को $3$ -चक्रों के गुणनफल के रूप में स्पष्ट रूप से लिखिए।
16. संयुग्मन सूत्र सिद्ध कीजिए: प्रत्येक $\sigma \in \mathfrak S_n$ के लिए $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**भाग IV — 8-पहेली।** पट्टिकाएँ $1, \dots, 8$ एक $3
\times 3$ चौखट में सरकती हैं, जिसमें एक कोष्ठ रिक्त है; एक *चाल* रिक्त कोष्ठ से सटी हुई किसी पट्टिका को उसमें सरका देती है। कोष्ठों को $1, \dots,
9$ संख्याएँ दीजिए (पंक्ति-दर-पंक्ति; हल की हुई स्थिति में पट्टिका $i$ कोष्ठ $i$ में है और रिक्त कोष्ठ $9$ पर है)। रिक्त कोष्ठ को नौवीं पट्टिका मानिए, जिससे कोई स्थिति एक [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) $\sigma \in \mathfrak S_9$ हो जाती है (पट्टिका $\sigma(i)$ कोष्ठ $i$ में बैठती है)।

17. दिखाइए कि कोई चाल $\sigma$ के स्थान पर $\sigma \circ \tau$ रख देती है, जहाँ $\tau$ दोनों संबंधित कोष्ठों का व्यत्यास है; उससे निकालिए कि हर चाल $\varepsilon(\sigma)$ को पलट देती है।
18. मान लीजिए $d(\sigma)$ रिक्त कोष्ठ के वर्तमान कोष्ठ और उसके घर-कोष्ठ $9$ के बीच की पंक्ति-स्तंभ दूरी (पंक्तियाँ और स्तंभ मिलाकर) है। दिखाइए कि हर चाल $d$ को $\pm1$ से बदलती है, अतः हर चाल $(-1)^{d(\sigma)}$ को भी पलट देती है। निष्कर्ष निकालिए कि $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ हर चाल के अंतर्गत *अपरिवर्ती* है।
19. पहेली की चिरपरिचित असंभवता सिद्ध कीजिए: जो स्थिति पट्टिकाओं $7$ और $8$ की अदला-बदली करती है और शेष सब कुछ (रिक्त कोष्ठ सहित) यथावत् रखती है, वह हल की हुई स्थिति से नहीं पाई जा सकती।
20. हम विलोम मान लेते हैं (उसकी उपपत्ति शिक्षाप्रद पर लंबा आगमन है): $I  = +1$ वाली प्रत्येक स्थिति तक पहुँचा जा सकता है। उससे निकालिए कि रिक्त कोष्ठ के घर पर होने वाली $8!$ स्थितियों में से ठीक आधी हल हो सकने वाली हैं, अर्थात् $\frac{8!}2 = 20\,160$ ।
21. प्रश्न 20 से निकालिए कि रिक्त कोष्ठ के घर पर होने वाले, पहुँचे जा सकने वाले पट्टिका-विन्यास ठीक [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ बनाते हैं।
22. अपरिवर्त्य के अनुप्रयोग: क्या (क) वह स्थिति पाई जा सकती है जिसमें पट्टिकाएँ $1, 2, 3$ चक्रीय रूप से क्रमचयित हों और शेष सब कुछ, रिक्त कोष्ठ सहित, घर पर हो? (ख) वह स्थिति जिसमें पट्टिका $5$ और रिक्त कोष्ठ ने स्थान बदल लिए हों और शेष सभी पट्टिकाएँ घर पर हों? दोनों उत्तर $I$ से न्यायसंगत ठहराइए।

**भाग V — संश्लेषण।**

23. सिद्ध कीजिए कि $n \geq 3$ के लिए एकमात्र [समूह](#def-b1-structures-group) समाकारिताएँ $f \colon  \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ अचर [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) और $\varepsilon$ हैं। *(प्रश्न 16 और $\{\pm1\}$ की क्रमविनिमेयता का प्रयोग करके दिखाइए कि $f$ सभी व्यत्यासों पर एक ही मान लेता है।)*
24. इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) की धारणा और [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ; (ख) [अध्याय 2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#ch-b1-counting) के गणना-नियम; (ग) वह सुपरिभाषितता का प्रश्न जिसे प्रश्न 8–9 सुलझाते हैं? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
25. एक छोटे अनुच्छेद में संश्लेषण: एक ही सम-विषमता फलन, जिसकी सुपरिभाषितता एक बार सिद्ध हुई, एक साथ $\mathfrak S_n$ की भीतरी संरचना ( [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ ) को व्यवस्थित करता है, एक भौतिक पहेली का निर्णय करता है, और — सूत्र $\det = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\cdots$ के द्वारा — [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) में सारणिक परिभाषित करेगा। इस बार-बार लौटने वाले प्रतिरूप पर टिप्पणी कीजिए: अपरिवर्त्य “चालों के सारे अनुक्रम आज़माइए” को एक ही संगणना में बदल देते हैं।

**हल — समस्या 7.1.**

**1.** [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) $\intint1n$ का एकैकी आच्छादन है, अर्थात् $n$ वस्तुओं का $n$-विन्यास: उनकी संख्या $n!$ है ([प्रमेय 2.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#thm-b1-counting-counts))। $\sigma =
[2,3,1]$, $\tau = [1,3,2]$ के साथ: $\sigma\tau$ $1 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2
\mapsto 3 \mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 3$ भेजता है: $\sigma\tau =
[2,1,3]$; और $\tau\sigma$ $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $2 \mapsto 3 \mapsto 2$, $3 \mapsto 1 \mapsto 1$ भेजता है: $\tau\sigma = [3,2,1] \neq \sigma\tau$।

**2.** मान लीजिए $\gamma, \gamma'$ के आश्रय $S, S'$ असंयुक्त हैं। $x
\in S$ के लिए: $\gamma'(x) = x$ और $\gamma(x) \in S$, अतः $\gamma\gamma'(x)
= \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$। $x \in S'$ के लिए सममित रूप से; और दोनों पक्ष प्रत्येक $x \notin S \cup S'$ को अचल रखते हैं। अतः $\gamma\gamma' =
\gamma'\gamma$।

**3.** $i \in \intint1n$ के लिए मान $i, \sigma(i), \sigma^2(i), \dots$ किसी [परिमित समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) में रहते हैं, अतः किसी $a < b$ के लिए $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$; एकैकीयता $\sigma^{b-a}(i) = i$ देती है: अनुक्रम $i$ पर लौट आता है। $i$ की *कक्षा* उस [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{i, \sigma(i), \dots,
\sigma^{k-1}(i)\}$ को कहिए, जहाँ $k \geq 1$ ऐसा न्यूनतम है कि $\sigma^k(i) =
i$। एक बिंदु पर मिलने वाली दो कक्षाएँ संपाती हो जाती हैं (दोनों उस बिंदु के अग्रगामी $\sigma$-प्रतिबिंब हैं), अतः कक्षाएँ $\intint1n$ का [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) करती हैं; $\sigma$ आकार $k \geq 2$ की प्रत्येक कक्षा पर $k$-चक्र $(i\ \sigma(i)\
\cdots\ \sigma^{k-1}(i))$ की भाँति क्रिया करता है और एकल कक्षाओं को अचल रखता है। इन असंयुक्त चक्रों का गुणनफल सर्वत्र $\sigma$ से मेल खाता है। अद्वितीयता: असंयुक्त चक्रों में किसी भी वियोजन में $i$ से होकर जाने वाला चक्र $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ ही होना चाहिए — चक्र अपनी प्रेरित क्रिया के साथ कक्षाएँ होने पर बाध्य हैं।

**4.** कक्षाओं के अनुसार: $1 \to 4 \to 2 \to 1$, $3 \to 5 \to 3$, $6
\to 7 \to 8 \to 6$:

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

यदि $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$, जहाँ असंयुक्त चक्रों की लंबाइयाँ $k_1, \dots, k_r$ हैं, तो क्रम-विनिमेयता (प्रश्न 2) $\sigma^m =
\gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$ देती है, और चूँकि आश्रय असंयुक्त हैं, $\sigma^m
= \mathrm{id}$ तभी जब प्रत्येक $\gamma_i^m = \mathrm{id}$, अर्थात् तभी जब सभी $i$ के लिए $k_i \mid m$ ($k$-चक्र की [कोटि](#def-b1-structures-order) $k$ होती है: $\gamma^m$ $a_1$ को $a_{1 + (m \bmod k)}$ पर भेजता है)। ऐसा लघुतम $m$ $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$ है। यहाँ: $\operatorname{lcm}(3, 2, 3)
= 6$।

**5.** दाएँ पक्ष को प्रत्येक बिंदु पर लगाइए, सबसे दाएँ गुणनखंड से आरंभ करते हुए। $(a_1\ a_2)$ से $a_1 \mapsto a_2$, फिर हर बाद का गुणनखंड $a_2$ को अचल रखता है: शुद्ध परिणाम $a_1 \mapsto a_2$। $2 \leq i < k$ के लिए: $a_i$ तब तक अछूता रहता है जब तक $(a_1\ a_i)$ उसे $a_1$ पर नहीं भेजता, और ठीक अगला गुणनखंड $(a_1\ a_{i+1})$ $a_1$ को $a_{i+1}$ पर भेज देता है, जिसके बाद कोई उसे नहीं हिलाता: शुद्ध परिणाम $a_i \mapsto a_{i+1}$। अंत में $a_k$ को सबसे बाएँ वाले के अतिरिक्त सभी गुणनखंड अचल रखते हैं, और वह उसे $a_1$ पर भेज देता है। यह ठीक वही चक्र है। चूँकि प्रत्येक [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) चक्रों का गुणनफल है (प्रश्न 3), वह व्यत्यासों का गुणनफल भी है। प्रश्न 4 के $\sigma$ के लिए:

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

पाँच व्यत्यास।

**6.** $b - a$ पर आगमन। $b = a + 1$ के लिए सर्वसमिका तुच्छ है ($1 =
2\cdot1 - 1$ गुणनखंड)। $b > a + 1$ के लिए सीधे सत्यापित कीजिए कि $(a\ b) =
(a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$: दायाँ पक्ष $a \mapsto a{+}1
\mapsto b \mapsto b$, $b \mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$, $a{+}1 \mapsto
a \mapsto a \mapsto a{+}1$ भेजता है और शेष को अचल रखता है। आगमन से $(a{+}1\
\ b)$ $2(b - a - 1) - 1$ संलग्न व्यत्यासों का पूर्वापर-सम गुणनफल है, अतः $(a\ b)$ $2(b - a) - 1$ में से एक है: अर्थात् विषम संख्या।

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$, $\varepsilon = +1$। $(i\ \ i{+}1)$ के लिए एकमात्र व्युत्क्रमित युग्म $(i, i+1)$ है: $N = 1$, $\varepsilon = -1$। $[2,
3, 1]$ के लिए: व्युत्क्रमित युग्म $(1, 3)$ (मान $2 > 1$) और $(2, 3)$ (मान $3
> 1$) हैं: $N = 2$, $\varepsilon = +1$।

**8.** $\sigma$ और $\sigma\tau$ की मान-सूचियाँ केवल स्थानों $i$ और $i +
1$ की अदला-बदली से भिन्न हैं। जिस युग्म में $i, i+1$ नहीं है, उसमें कुछ नहीं बदलता। $k < i$ के लिए दोनों युग्म $(k, i)$ और $(k, i+1)$ अपनी व्युत्क्रमण-स्थिति की अदला-बदली कर लेते हैं (वही दो मान $\sigma(k)$ से तुलित होते हैं, बस स्थानों का क्रम उलटा): अतः उनका कुल योगदान अपरिवर्तित रहता है; $k > i + 1$ के लिए भी वही। शेष बचा एकमात्र युग्म $(i, i+1)$ अपनी स्थिति पलट देता है। अतः $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$।

**9.** मान लीजिए $\tau = (a\ b)$ कोई व्यत्यास है: प्रश्न 6 से वह संलग्न व्यत्यासों की विषम संख्या का गुणनफल है, अतः दाईं ओर से $\tau$ से गुणा करने पर $N$ विषम कुल से बदलता है (प्रश्न 8, बार-बार लगाकर): $\varepsilon(\sigma
\tau) = -\varepsilon(\sigma)$। अब यदि $\sigma = \tau_1\cdots \tau_p$ (व्यत्यास), तो उसे तत्समक से $p$ बार दाईं ओर गुणा करके बनाइए: $\varepsilon(\sigma) = (-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$। चूँकि $\varepsilon(\sigma)$ व्युत्क्रमणों से परिभाषित है — किसी भी गुणनखंडन से स्वतंत्र — अतः $p$ की सम-विषमता $\sigma$ का अपरिवर्त्य है। [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism): $p$ व्यत्यासों के साथ $\sigma$ और $q$ व्यत्यासों के साथ $\sigma'$ लिखने पर $\sigma\sigma'$ उनमें से $p + q$ का प्रयोग करता है: $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$।

**10.** $k$-चक्र $k - 1$ व्यत्यासों का गुणनफल है (प्रश्न 5): $\varepsilon = (-1)^{k-1}$। व्यापक $\sigma$ के लिए, जिसकी कक्षाओं के आकार $k_1, \dots, k_r$ ($k_i \geq 2$) हैं और साथ $f$ अचल बिंदु हैं, $c(\sigma) =
r + f$ और $n = k_1 + \dots + k_r + f$, अतः

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) की [अष्टि](#def-b1-structures-morphism) के रूप में [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) है ([परिभाषा 7.10](#def-b1-structures-morphism))। एक व्यत्यास $\tau_0$ नियत कीजिए ($n \geq 2$ के लिए विद्यमान)। [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\sigma \mapsto
\sigma\tau_0$ $\mathfrak S_n$ का एकैकी आच्छादन है (अपना ही प्रतिलोम) जो $\mathfrak A_n$ और विषम क्रमचयों के [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) की अदला-बदली करता है (प्रश्न 9)। दोनों [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathfrak S_n$ का [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) करते हैं और उनके आकार बराबर हैं: $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$।

**12.** $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ के *व्युत्क्रमण*: मान $4$ से: $1, 2, 3$ पर: तीन; $5$ से: $2, 3$ पर: दो; $7$ से: $6$ पर: एक; $8$ से: $6$ पर: एक। $N = 7$, $\varepsilon = -1$। *चक्र-प्रकार*: $c = 3$ कक्षाएँ, $n
= 8$: $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$। *व्यत्यास-गणना*: प्रश्न 5 में पाँच व्यत्यास: $(-1)^5 = -1$। तीनों मेल खाते हैं।

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (सबसे दाएँ से आरंभ): $a \mapsto c \mapsto c$; $c
\mapsto a \mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$: अर्थात् $3$-चक्र $(a\ c\ b)$। और $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$: $a \mapsto c \mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$; $c \mapsto d \mapsto d$; $d \mapsto a \mapsto c$: अर्थात् $(a\ b)(c\ d)$, जैसा दावा किया गया था।

**14.** मान लीजिए $\sigma \in \mathfrak A_n$: प्रश्न 9 से $\sigma =
\tau_1\cdots\tau_{2m}$, जिसमें व्यत्यासों की संख्या सम है। उन्हें क्रमागत जोड़ों $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$ में समूहबद्ध कीजिए: यदि दोनों बराबर हैं, तो जोड़ा तत्समक है और लुप्त हो जाता है; यदि वे ठीक एक बिंदु साझा करते हैं, तो प्रश्न 13 की पहली सर्वसमिका जोड़े को एक $3$-चक्र के रूप में लिख देती है; और यदि वे असंयुक्त हैं, तो दूसरी सर्वसमिका उसे दो $3$-चक्रों के रूप में। अतः $\sigma$ $3$-चक्रों का गुणनफल है (अथवा तत्समक, जो रिक्त गुणनफल है — और $n
\geq 3$ के लिए $(1\ 2\ 3)^3$ भी)।

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ ($a{=}1, b{=}2, c{=}3,
d{=}4$ के साथ प्रश्न 13)। $5$-चक्र के लिए: प्रश्न 5 से $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) =
(1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$, और युग्मन करने पर: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$, $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$:

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

($3$ पर जाँच: $(1\ 2\ 3)$ $3 \to 1$ भेजता है, फिर $(1\ 4\ 5)$ $1 \to 4$ भेजता है: शुद्ध परिणाम $3 \to 4$, जो सही है।)

**16.** दोनों पक्षों को किसी स्वेच्छ बिंदु पर लगाइए। $i = \sigma(a_j)$ के लिए: बायाँ पक्ष $\sigma\bigl((a_1\ \dots\ a_k)(a_j)\bigr) =
\sigma(a_{j+1})$ देता है (सूचकांक $k$ के सापेक्ष), और दायाँ पक्ष $\sigma(a_j)$ के साथ यही करता है। जो $i$ इस रूप का नहीं है, उसके लिए: $\sigma^{-1}(i)$ आश्रय के बाहर है, अतः बायाँ पक्ष $i$ को अचल रखता है, और दायाँ पक्ष भी। सर्वत्र बराबर।

**17.** कोष्ठ $c'$ की पट्टिका को रिक्त कोष्ठ $c$ में सरकाने से कोष्ठों $c$ और $c'$ की सामग्री की अदला-बदली हो जाती है (पट्टिका $9$, अर्थात् रिक्त स्थान, $c'$ पर चला जाता है)। यदि पट्टिका $\sigma(i)$ कोष्ठ $i$ में बैठी थी, तो नई स्थिति $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$ है: वही सामग्री, केवल कोष्ठ $c, c'$ एक-दूसरे की पुरानी सामग्री पढ़ रहे हैं। प्रश्न 9 से $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$।

**18.** कोई चाल रिक्त कोष्ठ को सटे हुए कोष्ठ पर भेजती है: उसकी पंक्ति या उसका स्तंभ ठीक $1$ से बदलता है, अतः कोष्ठ $9$ तक की पंक्ति-स्तंभ दूरी $d$ $\pm1$ से बदलती है, और $(-1)^d$ पलट जाता है। चूँकि हर चाल $\varepsilon(\sigma)$ और $(-1)^{d(\sigma)}$ दोनों को पलटती है, उनका गुणनफल $I(\sigma)$ हर चाल से अपरिवर्तित रहता है: अर्थात् अपरिवर्त्य।

**19.** हल की हुई स्थिति में $\varepsilon = +1$, $d = 0$: $I = +1$। लक्ष्य (पट्टिकाएँ $7, 8$ अदला-बदली, रिक्त स्थान घर पर) कोष्ठों $7$ और $8$ की सामग्री का व्यत्यास है: $\varepsilon = -1$, $d = 0$: $I = -1$। चूँकि $I$ अपरिवर्त्य है और दोनों मान भिन्न हैं, चालों का कोई अनुक्रम उन्हें नहीं जोड़ सकता।

**20.** रिक्त स्थान घर पर होने वाली स्थिति कोष्ठों $1, \dots, 8$ में $8$ पट्टिकाओं का [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) है, अर्थात् $\mathfrak S_8$ का अवयव; उसमें $d = 0$ है, अतः $I = \varepsilon(\sigma)$। पहुँच सकने के लिए $I = +1$ आवश्यक है, अर्थात् $\sigma \in \mathfrak A_8$; और स्वीकृत विलोम कहता है कि पूरा $\mathfrak A_8$ पाया जा सकता है। गणना: $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 =
20\,160$ (प्रश्न 11)।

**21.** प्रश्न 20 से रिक्त-स्थान-घर पर वाले पहुँच सकने योग्य विन्यास ठीक $\mathfrak A_8$ बनाते हैं — विशेष रूप से $\mathfrak S_8$ का एक *[उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup)*: दो हल हो सकने वाले मिश्रणों का संयोजन, या किसी एक का प्रतिलोमन, हल हो सकने वाला ही रहता है, जो शुद्ध पहेली-तर्क से स्पष्ट होने से बहुत दूर है।

**22.** (क) रिक्त स्थान घर पर रखते हुए पट्टिकाओं का $3$-चक्र: $\varepsilon = +1$ (प्रश्न 10), $d = 0$, अतः $I = +1$: पहुँचा जा सकता है (स्वीकृत विलोम से) — अर्थात् तीन पट्टिकाओं को चक्रित किया जा सकता है। (ख) पट्टिका $5$ और रिक्त स्थान की अदला-बदली: यह स्थिति कोष्ठों $5$ और $9$ की सामग्री का व्यत्यास है, अतः $\varepsilon = -1$; रिक्त स्थान केंद्र पर बैठा है, अपने घर से पंक्ति-स्तंभ दूरी $d = 2$ पर, अतः $(-1)^d = +1$ और $I = -1$: यहाँ नहीं पहुँचा जा सकता। “रिक्त स्थान को बीच में खड़ा कर दीजिए” और शेष पट्टिकाएँ क्रम में रहें — यह इतना सरल नहीं है।

**23.** मान लीजिए $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ एक [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) है। किन्हीं दो व्यत्यासों $\tau, \tau'$ के लिए प्रश्न 16 $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ वाला $\sigma$ दे देता है (दोनों हिलने वाले बिंदुओं को दूसरे दोनों पर भेजिए; $n \geq 3$ इसके लिए स्थान की गारंटी देता है, यद्यपि यहाँ $n = 2$ भी तुच्छ है)। तब $f(\tau') =
f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$, क्योंकि $\{\pm1\}$ [आबेली](#def-b1-structures-group) है: अर्थात् $f$ व्यत्यासों पर अचर है। यदि वह अचर $+1$ है, तो व्यत्यासों के सभी गुणनफलों पर $f = 1$, अर्थात् सर्वत्र (प्रश्न 5)। यदि वह $-1$ है, तो $p$ व्यत्यासों के गुणनफल पर $f(\sigma) = (-1)^p = \varepsilon(\sigma)$। अतः $f
\in \{1, \varepsilon\}$।

**24.** (क) $\varepsilon$ के [समाकारिता](#def-b1-structures-morphism) होने और [अष्टि](#def-b1-structures-morphism) की मशीनरी ने $\mathfrak A_n$ को उसकी [उपसमूह](#def-b1-structures-subgroup) संरचना और उसका आकार दिया, और [प्रतिज्ञप्ति 7.11](#prop-b1-structures-kernel) की शैली का तर्क प्रश्न 11 तथा 21 में चलता है। (ख) गणना: $\abs{\mathfrak S_n} = n!$, प्रश्न 11 का आधा करने वाला तर्क, और प्रश्न 20 की गणना $20\,160$ — ये सब [अध्याय 2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#ch-b1-counting) काम पर हैं। (ग) प्रश्न 8–9 एक सच्ची सुपरिभाषितता की समस्या सुलझाते हैं — “व्यत्यासों की संख्या की सम-विषमता” यह पूर्वमान लेती है कि यह सम-विषमता गुणनखंडन पर निर्भर नहीं करती, ठीक वैसे ही जैसे $\Z/n\Z$ की संक्रियाओं को [परिभाषा 7.24](#def-b1-structures-zn) में प्रतिनिधि-निरपेक्षता चाहिए थी।

**25.** संकेतक एक ही $\{\pm1\}$-मान वाली संगणना है, जिसकी सुपरिभाषितता एक बार सिद्ध हो जाती है, और वह एक साथ तीन काम करता है: भीतर से वह $\mathfrak
S_n$ को आधा काट देता है और $3$-चक्र जनकों वाले $\mathfrak A_n$ को अलग कर देता है; बाहर से वह एक ही पंक्ति में ऐसा प्रश्न तय कर देता है (“क्या इन दो पट्टिकाओं की अदला-बदली संभव है?”) जिसे भोली खोज कभी नहीं सुलझा सकती थी, क्योंकि विफल चाल-अनुक्रमों की कोई परिमित सूची असंभवता सिद्ध नहीं करती; और संरचनात्मक रूप से वह [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) के सूत्र $\det A = \sum_\sigma
\varepsilon(\sigma)\, a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ के भीतर बैठा एकांतरित-चिह्न इंजन है। यह प्रतिरूप — ऐसी राशि खोजिए जो हर प्रारंभिक चाल से संरक्षित रहती हो, फिर उसे आरंभ पर और लक्ष्य पर संगणित कीजिए — “क्या यह संभव है?” जैसे प्रश्नों के विरुद्ध गणितज्ञ का मानक अस्त्र है, और जब भी कोई [समूह](#def-b1-structures-group) अवस्थाओं के [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) पर क्रिया करेगा, वह लौट आएगा।