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title: "परिमेय भिन्नें"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions
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# अध्याय 9 — परिमेय भिन्नें

[परिमेय भिन्न](#def-b1-fractions-field) बहुपदों का भागफल है। इस छोटे अध्याय की केंद्रीय प्रमेय — आंशिक भिन्न वियोजन — ऐसे किसी भी भागफल को प्रारंभिक ईंटों $\frac{c}{(X - a)^k}$ के योग में तोड़ देती है। अपने बीजीय आकर्षण से आगे, वह परिमेय फलनों के समाकलन ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)) और कुछ श्रेणियों के योग ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)) की मानक मशीन है।

## 9.1 क्षेत्र $K(X)$

**परिभाषा 9.1.**

$K$ ($= \R$ या $\C$) पर *परिमेय भिन्न* एक भागफल $F
= \frac{A}{B}$ है, जहाँ $A, B \in K[X]$, $B \neq 0$; दो भागफल $\frac AB$ और $\frac{A'}{B'}$ तब अभिन्न माने जाते हैं जब $AB' = A'B$। प्रत्येक भिन्न का एक *लघुकृत रूप* है जिसमें $\gcd(A, B) = 1$, और वह अचरों तक अद्वितीय है। स्वाभाविक संक्रियाओं के साथ परिमेय भिन्नों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K(X)$ एक [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) है।

$F$ (लघुकृत रूप में) के *ध्रुव* $B$ के मूल हैं; किसी ध्रुव की *कोटि* $B$ के मूल के रूप में उसकी [बहुलता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-derivative) है। $F$ की *घात* $\deg
F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ है।

**उदाहरण 9.2 (ध्रुव, कोटियाँ और घात पढ़ना).**

मान लीजिए $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$। दोनों परतों का गुणनखंडन कीजिए: अंश $X(X-1)(X+1)$, हर $X^2(X-1)^2$; उभयनिष्ठ गुणनखंड $X(X-1)$ काटिए:

$$
F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(लघुकृत रूप)।}
$$

[ध्रुव](#def-b1-fractions-field): $0$ और $1$, दोनों *सरल* — कोटियाँ लघुकृत हर पर पढ़ी जाती हैं, अतः मूल हर के प्रत्यक्ष द्विक मूल निरर्थक हैं। घात: $\deg F = 1 - 2 = -1$, जो अनंतस्पर्शी रूप से दिखाई देती है ($x \to \infty$ होने पर $xF(x) \to 1$)। घात [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) की घात की भाँति व्यवहार करती है ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), और यह लेखा-नियम नीचे गुणांक की खोज में लगातार प्रयुक्त होता है: “$xF(x)$ की सीमा” वाला हर तर्क वेश बदली हुई घात-गणना है।

**प्रतिज्ञप्ति 9.3 (पूर्णांक भाग).**

प्रत्येक $F = \frac AB \in K(X)$ अद्वितीय रूप से $F = E + \frac RB$ है, जहाँ $E \in K[X]$ ($F$ का *पूर्णांक भाग*, अर्थात् [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) भाग) और $\deg R <
\deg B$। $E \neq 0$ तभी जब $\deg F \geq 0$।

**उपपत्ति.** यूक्लिडीय भाग $A = BE + R$ ([प्रमेय 8.3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)) को $B$ से भाग दीजिए। अद्वितीयता: यदि $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$, तो $\deg(R' - R)
< \deg B$ के साथ $(E - E')B = R' - R$, जो $E = E'$ और फिर $R = R'$ पर बाध्य कर देता है। ∎

**उदाहरण 9.4 (पहले लघु कीजिए, फिर भाग दीजिए).**

$F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ का पूर्णांक भाग खोजिए। आँख मूँदकर भाग देने पर: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, अतः $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$। पर भिन्न लघुकृत नहीं थी: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ और $X^2 - 1 =
(X+1)(X-1)$ में गुणनखंड $X + 1$ साझा है, और

$$
F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :
$$

पूर्णांक भाग वही $X$ है, पर भिन्नात्मक भाग सिमटकर एक ही ईंट रह जाता है, और $-1$ पर का “[ध्रुव](#def-b1-fractions-field)” कभी [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) था ही नहीं। [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) खोजने से पहले सदा न्यूनतम पदों तक लघु कीजिए: $F$ के [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) *लघुकृत* हर के मूल हैं। (पूर्णांक भाग सरलीकरण से अप्रभावित रहता है, जैसा [प्रतिज्ञप्ति 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) की अद्वितीयता गारंटी देती है।)

## 9.2 $\C$ पर आंशिक भिन्न वियोजन

**प्रमेय 9.5 (C\CC पर वियोजन).**

मान लीजिए $F = \frac AB \in \C(X)$ लघुकृत रूप में है, जहाँ $B = c\,(X -
a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$। तब $F$ अद्वितीय रूप से यह है

$$
F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i}
\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k},
\qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,
$$

जहाँ $E$ $F$ का पूर्णांक भाग है।

**उपपत्ति.** [प्रतिज्ञप्ति 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) से हम $\deg A < \deg B$ मान सकते हैं और $E = 0$ के साथ योग-वियोजन सिद्ध कर सकते हैं।

*ध्रुवों को अलग करना।* $B_1(a_1) \neq 0$ के साथ $B = (X - a_1)^{m_1}
B_1$ लिखिए। [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $(X-a_1)^{m_1}$ और $B_1$ [सहअभाज्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) हैं (कोई उभयनिष्ठ मूल नहीं), अतः $\C[X]$ में बेज़ू से ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly) की टिप्पणी देखिए) ऐसे $U_0, V_0$ हैं कि $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$; $A$ से गुणा करके और $U
= AU_0$, $V = AV_0$ रखकर, फिर $B$ से भाग देकर:

$$
\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .
$$

घात की शर्तें लागू की जा सकती हैं: $V$ को $(X-a_1)^{m_1}$ से भाग दीजिए, मान लीजिए $\deg V_1 < m_1$ के साथ $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$, और भागफल को दूसरे पद में समेट लीजिए ($U_1 = U + QB_1$):

$$
\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1},
\qquad \deg V_1 < m_1 ;
$$

घातों की तुलना ($\deg A < \deg B$ और $\deg V_1 < m_1$) से $\deg U_1 < \deg
B_1$ भी अनिवार्य हो जाता है। $\frac{U_1}{B_1}$ पर, ध्रुव-दर-ध्रुव, दोहराने से सब कुछ नीचे दी गई [एक-ध्रुव](#def-b1-fractions-field) वाली स्थिति पर आ जाता है।

*एक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field)।* $\deg A < m$ के साथ $\frac{A}{(X-a)^m}$ के लिए: $A$ का $(X
- a)$ की घातों में प्रसार कीजिए, $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ ([बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) का टेलर प्रसार, जैसा [प्रतिज्ञप्ति 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#prop-b1-poly-multiplicity) की उपपत्ति में है); भाग देने पर ठीक ईंटें $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$ मिल जाती हैं। मूर्त रूप में, $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$ के लिए: $X = Y - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,

$$
X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 ,
\qquad\text{अतः}\qquad
\frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}
$$

$Y = X + 2$ के साथ: तीनों ईंटें केवल विस्थापित प्रसार को भाग देने से प्रकट हो जाती हैं — जब भी एक ही उच्च-कोटि [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) हो तब यही सबसे तेज़ मार्ग है, और [अभ्यास 9.3](#exo-b1-fractions-3) के लिए यही अनुशंसित भी है।

*अद्वितीयता।* मान लीजिए दो वियोजन संपाती हैं; उनका अंतर एक सर्वसमिका $0
= \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$ है। पूरे को $(X - a_1)^{m_1}$ से गुणा कीजिए: $i = 1$, $k = m_1$ वाले पद को *छोड़कर* हर पद में $a_1$ पर लुप्त होने वाला गुणनखंड आ जाता है, और उस पद का गुणांक $d_{1,m_1}$ तथा कम से कम एक गुणनखंड $(X - a_1)$ लिए हुए पद बन जाता है। $a_1$ पर मान लेने से (यह वैध है: गुणा के बाद $a_1$ पर कोई [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) नहीं बचता) $d_{1,m_1} = 0$ मिलता है। शीर्ष गुणांक हट जाने पर $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ के साथ दोहराइए, और इसी प्रकार नीचे $k = 1$ तक; फिर अगले [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) पर जाइए। सभी $d_{i,k}$ लुप्त हो जाते हैं: अतः वियोजन अद्वितीय है। ∎

**विधि 9.6 (गुणांकों की संगणना).**

व्यवहार में बेज़ू से बचिए; इन्हें मिलाइए:

1. *उच्चतम घात के लिए आवरण विधि*: $\frac{1}{(X-a)^m}$ का गुणांक ($m$ [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $a$ की कोटि) है $$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$$ $F = \frac AB$ के *सरल* [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) के लिए यह $\frac{A(a)}{B'(a)}$ है;
2. शेष गुणांकों के लिए रैखिक संबंध जुटाने हेतु सुविधाजनक बिंदुओं पर *मान* और $x \to \infty$ होने पर $xF(x)$ की *सीमाएँ* ;
3. जहाँ उपलब्ध हों वहाँ काम आधा करने के लिए *सम-विषमता* या संयुग्मन की सममितियाँ।

**टिप्पणी 9.7 (आंशिक भिन्नों की सामान्य भूलें).**

1. *पूर्णांक भाग छोड़ देना।* ईंट-वियोजन घात $< 0$ वाली भिन्नों पर लागू होता है; $\deg A \geq \deg B$ होने पर पहले भाग दीजिए ( [प्रतिज्ञप्ति 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) ), अन्यथा गुणांक की खोज विरोधाभास पैदा कर देगी।
2. *आवरण विधि का सीमा से बाहर प्रयोग।* $(X - a)^k$ से गुणा करके $a$ पर मान लेने से गुणांक केवल $k = m$ के लिए मिलता है, अर्थात् [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) की *पूरी* कोटि के लिए; निम्न कोटि के गुणांकों के लिए दूसरे संबंध (सीमाएँ, मान) चाहिए — [उदाहरण 9.9](#ex-b1-fractions-multiple) देखिए।
3. *लघु करना भूल जाना।* [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) *लघुकृत* रूप पर पढ़े जाते हैं; अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड भूतिया [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) बना देता है ( [उदाहरण 9.4](#ex-b1-fractions-integerpart) )।
4. *$\R$ पर ईंटों का ग़लत आकार।* किसी अखंडनीय द्विघात के ऊपर अंश *ऐफ़ीन* ( $\alpha X + \beta$ ) होते हैं, अचर नहीं; केवल $\frac{c}{X^2 +  1}$ लिखने से हल खो जाते हैं — सही आकार [प्रमेय 9.10](#thm-b1-fractions-real) तय करती है, उन्हें कभी अपने मन से मत गढ़िए।

**सरल-ध्रुव सूत्र की उपपत्ति.** सरल [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $a$ के पास: $Q(a) \neq 0$ के साथ $B = (X - a) Q$, और $B' = Q + (X
- a) Q'$, अतः $B'(a) = Q(a)$। आवरण-मान $\frac{A(a)}{Q(a)} =
\frac{A(a)}{B'(a)}$ है। ∎

**उदाहरण 9.8.**

$F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ का वियोजन कीजिए। तीन सरल [ध्रुव](#def-b1-fractions-field); हर एक पर आवरण विधि:

$$
c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12,
\quad
c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1,
\quad
c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,
$$

अतः $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$। *$X = 3$ पर जाँच:* सीधे $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; वियोजन से $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 =
\frac16$।

**उदाहरण 9.9 (बहु ध्रुव).**

$F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$ का वियोजन कीजिए। आकार: $\frac{a}{(X-1)^2} +
\frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$।

- द्विक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} =  \frac12$ ।
- $-1$ पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} =  -\frac14$ ।
- $\infty$ पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = b + c$ , अतः $b = \frac14$ ।

$$
F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .
$$

*$X = 0$ पर जाँच:* $F(0) = 0$ और $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$।

## 9.3 $\R$ पर वियोजन

**प्रमेय 9.10 (R\RR पर वियोजन).**

मान लीजिए $F \in \R(X)$ लघुकृत रूप में है और उसका हर है

$$
B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j}
\qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).
$$

तब $F$ अद्वितीय रूप से अपने पूर्णांक भाग और इन पदों में वियोजित होता है

$$
\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i),
\qquad
\frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}}
\quad (1 \leq l \leq n_j),
$$

जिनके गुणांक वास्तविक हैं।

**उपपत्ति.** $\C$ ([प्रमेय 9.5](#thm-b1-fractions-complex)) पर वियोजन कीजिए। चूँकि $F$ वास्तविक है, [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\conj a$ के ऊपर का गुणांक (हर कोटि पर) $a$ के ऊपर के गुणांक का संयुग्मी है (वियोजन पर संयुग्मन लगाइए और अद्वितीयता का आह्वान कीजिए)। हर संयुग्मी जोड़े को समूहबद्ध कीजिए:

$$
\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l}
= \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X
+ \abs z^2\bigr)^{l}},
$$

जिसका अंश अपना ही संयुग्मी है, अतः वास्तविक है, और उसकी घात $\leq l$ है; वास्तविक द्विघात के गुणजों को अलग करने पर वह हर स्तर $l$ पर घात $\leq 1$ तक गिर जाता है (एक छोटा अवरोही आगमन)। वास्तविक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) अपने वास्तविक गुणांक बनाए रखते हैं (संयुग्मन उन्हें अचल रखता है)। अद्वितीयता $\C$ पर की अद्वितीयता से निकलती है। ∎

**उदाहरण 9.11 (संयुग्मी युग्मन को देखना).**

उपपत्ति की क्रियाविधि, सबसे छोटी स्थिति पर: $\C$ पर $\frac1{X^2+1}$ के [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\pm\iu$ हैं, जिनके आवरण-गुणांक $\iu$ पर $\frac1{2\iu}$ और $-\iu$ पर $\frac1{-2\iu}$ हैं — जो एक-दूसरे के संयुग्मी हैं, जैसा प्रमेय बताती है:

$$
\frac{1}{X^2 + 1}
= \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .
$$

उभयनिष्ठ हर पर फिर से जोड़ने पर:

$$
\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1}
= \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :
$$

काल्पनिक भाग कट जाते हैं और वास्तविक ईंट ज्यों-की-त्यों लौट आती है। वास्तविक समाकल्यों के लिए प्रायः $\R$ छोड़ना ही नहीं पड़ता — पर जब सम्मिश्र बिंदुओं पर *योग* निकाले जाते हैं (जैसा सप्ताहांत समस्या इकाई के मूलों के साथ करती है), तब सम्मिश्र ईंटें ही स्वाभाविक मुद्रा हैं, और यह युग्मन दोनों वियोजनों के बीच विनिमय-दर है।

**उदाहरण 9.12.**

$\R$ पर $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ का वियोजन कीजिए। आकार: $\frac{aX +
b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$। द्विक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$। सम्मिश्र [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\iu$ पर आवरण विधि ($X^2 + 1$ के ऊपर का अंश सम्मिश्र वियोजन से, या सीधे): $X^2 + 1$ से गुणा कीजिए और $X = \iu$ रखिए:

$$
a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,
$$

अतः $a = 2$, $b = 0$। अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + d$, अतः $d = -2$। अतः

$$
F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .
$$

*$X = 0$ पर जाँच:* $F(0) = 4$ और $0 + 2 + 2 = 4$।

**उदाहरण 9.13 (त्रिघात हर, आरंभ से अंत तक).**

$\R$ पर $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ का वियोजन कीजिए। पहले गुणनखंडन: $X^3 + 1 =
(X + 1)(X^2 - X + 1)$, जहाँ द्विघात का विविक्तकर $-3 < 0$ है। आकार: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$। सरल [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $-1$ पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$। अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + b$, अतः $b = -\frac13$। $X = 0$ पर मान: $1 = a + c$, अतः $c =
\frac23$। अतः

$$
\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1}
+ \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,
$$

जिसकी पुष्टि $X = 1$ पर हो जाती है: बायाँ पक्ष $\frac12$, दायाँ पक्ष $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$। मितव्ययिता पर ध्यान दीजिए: तीन अज्ञात, तीन सस्ते रैखिक तथ्य (एक आवरण, एक सीमा, एक मान), और किसी चीज़ का कोई प्रसार नहीं — अर्थात् [विधि 9.6](#met-b1-fractions-compute) का कार्यप्रवाह अपने शुद्ध रूप में।

**टिप्पणी 9.14 (यह किस काम आता है).**

वियोजन हो जाने पर परिमेय फलन पद-दर-पद समाकलित हो जाता है: ईंटों $\frac{1}{(x-a)^k}$ के प्रारंभिक प्रतिअवकलज हैं, और ईंटें $\frac{\alpha x +
\beta}{(x^2 + px + q)^l}$ $\ln$ तथा $\arctan$ तक सिमट जाती हैं ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration))। दूरबीनी योग दूसरा मानक अनुप्रयोग हैं ([अभ्यास 9.8](#exo-b1-fractions-8))।

**टिप्पणी 9.15 (यह अध्याय कहाँ काम आता है).**

आंशिक भिन्नें सबसे बढ़कर एक *पूर्वसंस्करण* पद हैं: समाकलन का अध्याय ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)) हर परिमेय समाकल्य को समाकलन से पहले [प्रमेय 9.10](#thm-b1-fractions-real) से गुज़ारता है, और श्रेणी का अध्याय ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)) परिमेय पदों को ठीक वैसे ही दूरबीनी करता है जैसे [अभ्यास 9.8](#exo-b1-fractions-8) में और नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या में — जो इस तकनीक को $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ तक ले जाती है। लघुगणकीय अवकलज $P'/P = \sum
m_i/(X - a_i)$ ([अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11)) जब भी मूलों के स्थान का अध्ययन होता है तब फिर प्रकट होता है। इस खंड से आगे, [अभिलक्षणिक बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#def-b1-diffeq-linear2) $\chi$ के लिए $1/\chi(X)$ का वियोजन स्नातक वर्ष 2 के खंड में आव्यूह की घातों और लाप्लास रूपांतरों की संगणना के मूल में है: ईंटें $\frac{c}{(X - a)^k}$ [अध्याय 5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#ch-b1-diffeq) में मिले हलों $t^{k-1}\eu^{at}$ की बीजीय छाया हैं।

![-प्रकार का फलन F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1: वह अपने ध्रुवों -1, 0, 1 (बिंदुकित) के बीच के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है। पहले ध्रुव के दाईं ओर हर क्षैतिज स्तर > 0 प्रत्येक अंतराल में ठीक एक बार काटा जाता है (चिह्नित बिंदु): अर्थात् F = के हल ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-fractions/fig-0d4a101aa56d.svg)

*[अभ्यास 9.12](#exo-b1-fractions-12)-प्रकार का फलन $F(x) = \frac1{x+1} +
\frac1x + \frac1{x-1}$: वह अपने ध्रुवों $-1, 0, 1$ (बिंदुकित) के बीच के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है। पहले [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) के दाईं ओर हर क्षैतिज स्तर $\lambda > 0$ प्रत्येक अंतराल में ठीक एक बार काटा जाता है (चिह्नित बिंदु): अर्थात् $F = \lambda$ के हल ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं।*

## 9.4 अभ्यास

**अभ्यास 9.1 ★.**

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X^2 - 1}$; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ *(पूर्णांक भाग का ध्यान रखिए)*।

**हल — अभ्यास 9.1.**

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$: सरल [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\pm 1$; आवरण विधि: $\dfrac{1/2}{X-1} -
\dfrac{1/2}{X+1}$।

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$: आवरण विधि $1$ पर $\frac{1}{1-2} = -1$ और $2$ पर $\frac{2}{2-1} = 2$ देती है: $\dfrac{-1}{X-1}
+ \dfrac{2}{X-2}$।

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$: घात $0$ है, अतः पूर्णांक भाग है: भाग देने पर $X^2 +
1 = (X^2 - X) + (X + 1)$, अतः $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$। शेष पर आवरण विधि: $0$ पर $\frac{1}{-1} = -1$, $1$ पर $\frac{2}{1} = 2$:

$$
F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .
$$

**अभ्यास 9.2 ★.**

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ और $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$।

**हल — अभ्यास 9.2.**

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$: आकार $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$। $0$ पर आवरण विधि: $a = 1$। $xF$ की सीमा: $0 = a + b$, अतः $b = -1$। $X = 1$ पर मान: $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$, अतः $c = 0$:

$$
\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .
$$

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$: भाग: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$, अतः

$$
\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,
$$

जो पहले से वास्तविक वियोजित रूप में है (द्विघात का विविक्तकर ऋणात्मक है)।

**अभ्यास 9.3 ★.**

$\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ और $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ का वियोजन कीजिए *(दूसरे के लिए $Y = X - 1$ प्रतिस्थापित कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 9.3.**

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$: आकार $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$। द्विक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $0$ पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$। $1$ पर आवरण विधि: $c = 1$। $xF$ की सीमा: $0 = b + c$, अतः $b = -1$:

$$
\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .
$$

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$: $Y = X - 1$ के साथ अंश $Y + 2$ है:

$$
\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3}
= \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .
$$

**अभ्यास 9.4 ★★.**

$\C$ पर, फिर $\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X^4 - 1}$।

**हल — अभ्यास 9.4.**

[ध्रुव](#def-b1-fractions-field) इकाई के चौथे मूल $1, \iu, -1, -\iu$ हैं, और सभी सरल हैं। $B' = 4X^3$ के साथ [सरल-ध्रुव](#def-b1-fractions-field) सूत्र: $a$ पर गुणांक $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} =
\frac a4$ है ($a^4 = 1$ का प्रयोग करते हुए)। अतः $\C$ पर:

$$
\frac{1}{X^4 - 1}
= \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1}
+ \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .
$$

संयुग्मी जोड़े को समूहबद्ध करने पर (उभयनिष्ठ हर $X^2 + 1$): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) =
\frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$। $\R$ पर:

$$
\frac{1}{X^4 - 1}
= \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .
$$

*$X = 0$ पर जाँच:* $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$।

**अभ्यास 9.5 ★★.**

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$, और $\int \frac{\dd
x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$ दिया होने पर $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ का एक प्रतिअवकलज निकालिए।

**हल — अभ्यास 9.5.**

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} =
\dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$.

अतः एक प्रतिअवकलज:

$$
\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2}
= \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C
= \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .
$$

**अभ्यास 9.6 ★★.**

$n \in \N^*$ के लिए $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ का वियोजन कीजिए *($0, -1, \dots, -n$ पर सरल [ध्रुव](#def-b1-fractions-field); आवरण सूत्र का प्रयोग कीजिए और [द्विपद गुणांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) पहचानिए)*।

**हल — अभ्यास 9.6.**

[ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $0, -1, \dots, -n$ सरल हैं। $-k$ पर आवरण विधि:

$$
c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)}
= \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr)
\bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)}
= \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .
$$

अतः

$$
\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}
= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .
$$

($n = 1$ के लिए संगति की जाँच: $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X -
\frac{1}{X+1}$।)

**अभ्यास 9.7 ★★.**

$P = X^n - 1$ के लिए [अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) की सर्वसमिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि

$$
\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1},
\qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},
$$

और जाँच के लिए $n = 4$ के लिए दोनों पक्षों का मान $X = 2$ पर निकालिए।

**हल — अभ्यास 9.7.**

$P = X^n - 1$ के $n$ सरल मूल $\omega^k$ ([प्रमेय 3.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#thm-b1-complex-roots)) हैं, अतः [अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) की लघुगणकीय-अवकलज सर्वसमिका यह कहती है

$$
\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k}
= \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .
$$

$X = 2$ पर $n = 4$: दायाँ पक्ष $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$। बायाँ पक्ष: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2
+ \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} =
\frac{32}{15}$, जहाँ $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$ प्रयुक्त हुआ।

**अभ्यास 9.8 ★★.**

$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ का वियोजन कीजिए और संगणना कीजिए

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)},
\qquad\text{फिर}\qquad
\lim_{n \to \infty} S_n .
$$

**हल — अभ्यास 9.8.**

आवरण विधि: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} +
\dfrac{1/2}{k+2}$। इसे दूरबीनी अंतर के रूप में फिर से लिखिए:

$$
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}
= \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),
$$

(जाँचने के लिए प्रसार कीजिए — अथवा दोनों वियोजनों को घटाइए)। योग करने पर:

$$
S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr)
= \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}
\xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .
$$

**अभ्यास 9.9 ★★★.**

मान लीजिए $P \in \R[X]$ घात $n$ का [इकाई-अग्र बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है जिसके $n$ भिन्न वास्तविक मूल $x_1 < \dots < x_n$ हैं। सिद्ध कीजिए कि

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2),
\qquad
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .
$$

*संकेत: $m \leq n - 1$ के लिए $\frac{X^m}{P}$ का वियोजन कीजिए और अनंत पर गुणांकों के क्षय पर दृष्टि डालिए — अथवा बिंदुओं $x_i$ पर एकपद $X^m$ का [लाग्रांज अंतर्वेशन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)) प्रयोग कीजिए।*

**हल — अभ्यास 9.9.**

$0 \leq m \leq n - 1$ के लिए भिन्न $\frac{X^m}{P}$ (घात $m - n \leq -1$, [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) सरल) का वियोजन कीजिए: [सरल-ध्रुव](#def-b1-fractions-field) सूत्र देता है

$$
\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .
$$

$X$ से गुणा कीजिए और $X \to +\infty$ लीजिए: बायाँ पक्ष $X^{m+1}/P$ की सीमा की ओर जाता है, जो $m \leq n - 2$ होने पर $0$ है और $m = n - 1$ होने पर $1$ ($P$ घात $n$ का [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है); दायाँ पक्ष $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$ की ओर जाता है। अतः

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} =
\begin{cases}
0 & \text{के लिए } 0 \leq m \leq n-2,\\
1 & \text{के लिए } m = n - 1,
\end{cases}
$$

जिसमें दोनों घोषित सर्वसमिकाएँ आ जाती हैं ($m = 0$ के लिए $n \geq 2$ आवश्यक है)। ([प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) के द्वारा व्याख्या: ये योग $X^m$ के लाग्रांज अंतर्वेशकों के अग्र गुणांक हैं, और घात $\leq n-1$ के [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) का $n$ बिंदुओं पर अंतर्वेशन उसे ज्यों-का-त्यों लौटा देता है।)

**अभ्यास 9.10 ★★.**

$\R$ पर $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ का वियोजन कीजिए। मान $\sum_{k \geq 1}
\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ मानकर (जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध है) निकालिए

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .
$$

**हल — अभ्यास 9.10.**

आकार $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$। $0$ पर आवरण विधि: $a =
1$; द्विक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$; अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + b$, अतः $b = -1$:

$$
\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .
$$

$n = 1, \dots, N$ के लिए योग करने पर: पहली दो ईंटें दूरबीनी होकर $1 -
\frac1{N+1}$ देती हैं, और तीसरी $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$ का योगदान करती है। $N \to \infty$ लेने पर और $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} =
\frac{\pi^2}6$ का प्रयोग करने पर:

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2}
= 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6
\approx 0.355 .
$$

**अभ्यास 9.11 ★★.**

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$, फिर $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$। *संकेत: दोनों हर $X^2$ में [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) हैं: पहले $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ का वियोजन कीजिए।*

**हल — अभ्यास 9.11.**

चर $Y$ में: $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ ($-1$ और $-4$ पर आवरण विधि), अतः

$$
\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}
= \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .
$$

इसी प्रकार $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$, अतः

$$
\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}
= -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .
$$

($X = 0$ पर जाँच: $0 = \frac13(-1 + 1)$।) ये पहले से ही वास्तविक वियोजन हैं: अखंडनीय द्विघातों के ऊपर के अंश संयोग से अचर निकल आते हैं।

**अभ्यास 9.12 ★★★.**

(अभिलक्षणिक-मान समीकरण) मान लीजिए $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$, जहाँ $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ वास्तविक हैं और सभी $c_i > 0$।

1. दिखाइए कि $F$ अपने प्रांत के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है, और $\pm\infty$ पर तथा प्रत्येक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) के दोनों ओर उसकी सीमाएँ दीजिए।
2. उससे निकालिए कि प्रत्येक $\lambda > 0$ के लिए समीकरण $F(x) =  \lambda$ के ठीक $r$ वास्तविक हल हैं, प्रत्येक अंतराल $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ में एक और $p_r$ से आगे एक। (ऐसे समीकरण अभिलक्षणिक मानों के विक्षोभ को नियंत्रित करते हैं; मध्यवर्ती मान प्रमेय यहाँ उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है और [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में सिद्ध।)

**हल — अभ्यास 9.12.**

1. ध्रुवों से बचने वाले प्रत्येक अंतराल पर $F'(x) = -\sum_i  \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : अर्थात् कठोरतः ह्रासमान। जब $x \to  \pm\infty$ , तब प्रत्येक ईंट $0$ की ओर जाती है: $F \to 0$ — $+\infty$ पर ऊपर से (वहाँ सभी ईंटें धनात्मक हैं) और $-\infty$ पर नीचे से। जब $x \to  p_i^+$ , तब ईंट $\frac{c_i}{x - p_i}$ $+\infty$ तक फट पड़ती है और शेष परिबद्ध रहती हैं: $F \to +\infty$ ; इसी प्रकार जब $x \to p_i^-$ , तब $F \to  -\infty$ ।
2. $\lambda > 0$ नियत कीजिए। $\intoo{-\infty}{p_1}$ पर: $F$ $0^-$ से $-\infty$ तक घटता है, अतः $F < 0 < \lambda$ : कोई हल नहीं। प्रत्येक $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ) पर: $F$ $+\infty$ से $-\infty$ तक घटता है, अतः मान $\lambda$ ठीक एक बार लेता है (मध्यवर्ती मान गुणधर्म और कठोर एकदिष्टता से)। $\intoo{p_r}{+\infty}$ पर: $F$ $+\infty$ से $0^+$ तक घटता है, और फिर ठीक एक हल। कुल: ठीक $r$ हल, जो ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं।

## 9.5 समस्या: इंजन के रूप में आंशिक भिन्नें

**समस्या 9.1.**

आंशिक भिन्न वियोजन लेखा-जोखा जैसा लगता है; यह समस्या दिखाती है कि वह एक इंजन है। भिन्न $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$ खिलाने पर वह योगों के पूरे कुल संवृत रूप में दूरबीनी कर देता है; $\frac1{X^n - 1}$ खिलाने पर वह ऐसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ उत्पन्न करता है

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;
$$

और एक पद और आगे बढ़ाने पर वही सर्वसमिका गणित के सबसे प्रसिद्ध सूत्रों में से एक, ऑयलर का सूत्र, निचोड़ देती है

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

— और वह भी केवल इस अध्याय के बीजगणित और विद्यालयी त्रिकोणमिति से। आगे सर्वत्र $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$; अनुक्रमों की सीमाएँ उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त हैं ([अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) उन्हें औपचारिक बनाता है)।

**भाग I — दूरबीन।**

1. $\frac1{X(X+1)}$ का वियोजन कीजिए और $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ की यथार्थ संगणना कीजिए; निष्कर्ष निकालिए कि योग $1$ की ओर जाता है।
2. $\frac1{X(X+2)}$ के लिए भी वही: दिखाइए $\sum_{n=1}^{N}  \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr)  \to \frac34$ । (अंतराल होने पर हर सिरे पर *दो* सीमांत पद बच रहते हैं।)
3. क्रियाविधि को औपचारिक बनाइए: यदि किसी ऐसे परिमेय $G$ के लिए, जिसका $\intco1{+\infty}$ में कोई [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) न हो, $F(X) = G(X) - G(X+1)$ हो, तो $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ । $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ के लिए साक्षी $G$ प्रस्तुत करके [अभ्यास 9.8](#exo-b1-fractions-8) का मान $\frac14$ फिर से प्राप्त कीजिए।
4. व्यापक क्रमगुणित दूरबीन सिद्ध कीजिए: $k \geq 1$ के लिए, $$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)}  = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)}  - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$$ और उससे निकालिए $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)}  = \frac{1}{k \cdot k!} .$$ स्थिति $k = 2$ को प्रश्न 3 के सामने जाँचिए।
5. [अभ्यास 9.6](#exo-b1-fractions-6) के वियोजन का मान सुचयनित बिंदुओं पर लेकर सिद्ध कीजिए $$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1}  = \frac1{n+1},  \qquad  \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2}  = \frac1{(n+1)(n+2)} .$$

**भाग II — भिन्न $1/(X^n - 1)$।**

6. आवरण सूत्र से दिखाइए कि $$\frac{1}{X^n - 1}  = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$$
7. दो जाँच: $n = 2$ के लिए सूत्र सीधे सत्यापित कीजिए, और दिखाइए कि $n  \geq 2$ के लिए $n$ गुणांकों का योग लुप्त हो जाता है — समझाइए कि ऐसा होना ही चाहिए ( $x \to \infty$ होने पर $xF(x)$ पर विचार कीजिए)।
8. आवरण विधि से [अभ्यास 9.7](#exo-b1-fractions-7) की सर्वसमिका फिर से व्युत्पन्न कीजिए: $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ ।
9. संयुग्मी ध्रुवों को समूहबद्ध करके वास्तविक वियोजन सिद्ध कीजिए: $\theta_k = \frac{2k\pi}n$ के साथ, $$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} +  \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}}  = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}  {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$$ और $\frac1{X^n-1}$ का पूरा वास्तविक वियोजन लिखिए ($n$ के विषम और $n$ के सम होने में भेद कीजिए)।
10. $n = 4$ पर विशेषीकरण कीजिए और [अभ्यास 9.4](#exo-b1-fractions-4) के सामने जाँचिए।

**भाग III — त्रिकोणमितीय योग, और ऑयलर का $\pi^2/6$।** मान लीजिए $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$, जिसके मूल $\omega,
\omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ हैं (सभी सरल)।

11. $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ ([अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11)) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$$
12. $\theta \notin 2\pi\Z$ के लिए $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} =  \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ सिद्ध कीजिए (अर्ध-कोण गुणनखंडन, [विधि 3.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#met-b1-complex-trig) ), और प्रश्न 11 से निकालिए कि $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — जो सममिति $k \leftrightarrow n - k$ से भी दिखाई देता है।
13. प्रश्न 11 की सर्वसमिका का अवकलन करके (अर्थात् $X = 1$ पर $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ का मान लेकर) सिद्ध कीजिए $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2}  = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$$
14. $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ लिखकर प्रश्न 12–13 से दोनों संवृत रूप निकालिए $$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3,  \qquad  \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n}  = \frac{n^2-1}3 .$$
15. $n = 3$ और $n = 4$ के लिए दोनों सूत्र हाथ से सत्यापित कीजिए।
16. $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ के लिए असमिकाएँ $\cot t < \frac1t <  \frac1{\sin t}$ सिद्ध कीजिए ($\sin t < t < \tan t$ से), और उससे $n = 2m +  1$ तथा $1 \leq k \leq m$ के लिए निकालिए: $$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2}  \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$$
17. $k = 1, \dots, m$ के लिए इन असमिकाओं का योग कीजिए (प्रश्न 14 के सूत्रों को आधा करने के लिए सममिति $k \leftrightarrow n - k$ का प्रयोग कीजिए) और दबाइए: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$$

**भाग IV — ऊँची ईंटें।**

18. $\frac1{X^2-1}$ के वियोजन का वर्ग करके और आड़े पद का फिर से वियोजन करके सिद्ध कीजिए $$\frac1{(X^2-1)^2}  = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr)  - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$$ और उसे $X = 0$ पर जाँचिए।
19. प्रश्न 18, दूरबीन और ऑयलर का मान (प्रश्न 17) मिलाकर सिद्ध कीजिए $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2}  = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$$ और मान की पुष्टि तीन दशमलव तक संख्यात्मक रूप से कीजिए।
20. प्रश्न 8 की सर्वसमिका का अवकलन करके $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X -  \omega^k)^2}$ का संवृत रूप प्राप्त कीजिए, और उसे $X = 2$ , $n = 2$ पर जाँचिए।
21. $k \geq 2$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$$ *($1/\binom nk$ को क्रमगुणितों से लिखकर प्रश्न 4 पर ले आइए।)*
22. $k = 3$ के लिए यथार्थ आंशिक योग $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ और उसकी सीमा दीजिए।

**भाग V — संश्लेषण।**

23. शिखर-संगणना के रूप में $\dfrac1{X^6 - 1}$ का पूरा वास्तविक वियोजन लिखिए और उसे $X = 0$ पर जाँचिए।
24. इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) वियोजन की अद्वितीयता; (ख) [अध्याय 3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex) से [इकाई के मूल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity) ; (ग) [अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) से लघुगणकीय अवकलज? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
25. एक छोटे अनुच्छेद में संश्लेषण: एक ही बीजीय सर्वसमिका — भिन्न को ईंटों में तोड़ना — ने यथार्थ योग, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और $\pi^2/6$ उत्पन्न किए। बीजगणित (यथार्थ वियोजन, सर्वत्र वैध) और विश्लेषण (सीमाएँ, दबाना) के बीच श्रम-विभाजन पर टिप्पणी कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक धागा कहाँ औद्योगिक रूप ले लेता है: [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में दूरबीनी और तुलना, तथा [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) में ईंटों का समाकलन।

**हल — समस्या 9.1.**

**1.** आवरण विधि: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$। योग दूरबीनी हो जाता है:

$$
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr)
= 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .
$$

**2.** $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$। योग करने पर $n
= 1, 2$ के लिए पद $\frac1n$ बच रहते हैं और $n = N-1, N$ के लिए पद $-\frac1{n+2}$:

$$
\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)}
= \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr)
\longrightarrow \frac34 .
$$

**3.** यदि $F(X) = G(X) - G(X+1)$, तो $\sum_{n=1}^N F(n) =
\sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$: सभी मध्यवर्ती मान जोड़ों में कट जाते हैं। $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ के लिए साक्षी $G(X) =
\frac1{2X(X+1)}$ है:

$$
G(X) - G(X+1)
= \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,
$$

अतः $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$, जो [अभ्यास 9.8](#exo-b1-fractions-8) का मान है।

**4.** दाएँ पक्ष को उभयनिष्ठ हर $X(X+1)\cdots(X+k)$ पर रखिए:

$$
\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)}
= \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,
$$

जो वही सर्वसमिका है। अतः $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$ के साथ $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$, और प्रश्न 3 की क्रियाविधि देती है

$$
\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)}
= \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr)
\longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,
$$

क्योंकि $G_k(1) = \frac1{k!}$ और $G_k(N+1) \to 0$। $k = 2$ के लिए: $\frac1{2\cdot2} = \frac14$, जो प्रश्न 3 से मेल खाता है।

**5.** [अभ्यास 9.6](#exo-b1-fractions-6) $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} =
\sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$ देता है। $X = 1$ पर मान लीजिए: बायाँ पक्ष $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ है और दायाँ पक्ष $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$: पहली सर्वसमिका। $X = 2$ पर: बायाँ पक्ष $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} =
\frac1{(n+1)(n+2)}$ है, दायाँ $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$: दूसरी सर्वसमिका।

**6.** [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\omega^k$ सरल हैं, और [विधि 9.6](#met-b1-fractions-compute) का [सरल-ध्रुव](#def-b1-fractions-field) सूत्र गुणांक देता है

$$
\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}}
= \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}}
= \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,
$$

जहाँ $\omega^{kn} = 1$ प्रयुक्त हुआ। अतः $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k
\frac{\omega^k}{X - \omega^k}$।

**7.** $n = 2$ ($\omega = -1$) के लिए: $\frac12\bigl( \frac1{X-1} -
\frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$: सही। $n
\geq 2$ के लिए गुणांकों का योग $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ है ([प्रतिज्ञप्ति 3.18](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#prop-b1-complex-sumroots))। ऐसा होना ही चाहिए: सरल ध्रुवों वाले किसी भी वियोजन के लिए जब $x \to \infty$ तब $x\,F(x) \to \sum_k c_k$, जबकि यहाँ $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$, क्योंकि $n \geq 2$।

**8.** $\omega^k$ पर $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ के लिए आवरण विधि: $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}}
= \frac1n$, अतः $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — अर्थात् फिर से [अभ्यास 9.7](#exo-b1-fractions-7) की सर्वसमिका।

**9.** $c = \omega^k$, $\conj c = \omega^{n-k}$ और $c\conj c = 1$, $c +
\conj c = 2\cos\theta_k$ के साथ:

$$
\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c}
= \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)}
{(X - c)(X - \conj c)}
= \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .
$$

प्रश्न 6 में $k$ को $n - k$ के साथ समूहबद्ध करने पर: विषम $n$ के लिए,

$$
\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} +
\sum_{k=1}^{(n-1)/2}
\frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;
$$

सम $n$ के लिए अतिरिक्त स्वयं-युग्मित [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\omega^{n/2} = -1$ कोष्ठक के भीतर $\frac{-1}{X+1}$ का योगदान करता है और युग्म-योग $\frac n2 - 1$ तक चलता है।

**10.** $n = 4$: $\theta_1 = \frac\pi2$, $\cos\theta_1 = 0$, अतः युग्म-पद $\frac{-2}{X^2+1}$ है और

$$
\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}
- \frac2{X^2+1}\Bigr) ,
$$

जो [अभ्यास 9.4](#exo-b1-fractions-4) का वियोजन है।

**11.** $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ ($X^n - 1$ को $X - 1$ से भाग दीजिए), अतः [अभ्यास 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) से $\frac{P'}P =
\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$। $X = 1$ पर: $P(1) = n$ और $P'(1) =
\sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$, जिससे

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k}
= \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .
$$

**12.** अर्ध-कोण: $1 - \eu^{\iu\theta} =
-2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, अतः

$$
\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}}
= \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2}
= \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2}
{2\sin\frac\theta2}
= \frac12 + \frac\iu2\,
\frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .
$$

$\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$ के साथ: $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 +
\frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$। $k = 1, \dots, n-1$ पर योग करके और प्रश्न 11 के वास्तविक मान $\frac{n-1}2$ से तुलना करने पर: वास्तविक भाग ही सब कुछ बता देते हैं, अतः $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — जैसा सममिति $\cot\frac{(n-k) \pi}n
= -\cot\frac{k\pi}n$ भी दिखाती है।

**13.** $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$ का अवकलन करने पर:

$$
\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2
= -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .
$$

$X = 1$ पर: $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 =
\frac{n(n-1)(n-2)}3$ (हॉकी-स्टिक सर्वसमिका, अथवा आगमन), अतः

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2}
= \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3
= \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12}
= \frac{(n-1)(5-n)}{12} .
$$

**14.** $c_k = \cot\frac{k\pi}n$ के साथ प्रश्न 12 के सूत्र का वर्ग करने पर:

$$
\frac1{(1-\omega^k)^2}
= \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2
= \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .
$$

योग करके और $\sum c_k = 0$ (प्रश्न 12) तथा प्रश्न 13 का प्रयोग करके: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$, अतः

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n
= (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .
$$

फिर $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} =
(n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$ देता है।

**15.** $n = 3$: $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 +
\frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$; और $\frac1{\sin^2}$ का योग $\frac43 +
\frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$ है। $n = 4$: $1 + 0 + 1 = 2 =
\frac{3\cdot2}3$; और $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$। दोनों सूत्र जाँच पर खरे उतरते हैं।

**16.** $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ के लिए चिरपरिचित तुलना $\sin t < t <
\tan t$ (क्षेत्रफल या उत्तलता का तर्क, जो उच्चतर माध्यमिक से परिचित है) व्युत्क्रम लेने पर $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ देती है, और वहाँ तीनों धनात्मक हैं; वर्ग करने से क्रम बना रहता है। $t = \frac{k\pi}n$, $1
\leq k \leq m$, $n = 2m+1$ के साथ (अतः $t < \frac\pi2$):

$$
\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} <
\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .
$$

**17.** सममितियों $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ और $\sin^2$ के लिए भी वैसी ही सममितियों से प्रश्न 14 के योग आधे हो जाते हैं: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ और $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$। $k = 1, \dots, m$ पर प्रश्न 16 का योग करके और $\frac{\pi^2}{n^2}$ से गुणा करके:

$$
\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3
\;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\;
\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .
$$

जब $m \to \infty$, तब दोनों परिबंध $\frac{\pi^2}6$ की ओर जाते हैं (अनुपात $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ और $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ दोनों $\frac12$ की ओर जाते हैं), अतः दबाव से वर्धमान आंशिक योग अभिसरित होते हैं और

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .
$$

**18.** $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ का वर्ग कीजिए:

$$
\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} +
\frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,
$$

और आड़े पद $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} -
\frac1{X+1}\bigr)$ का फिर से वियोजन करके बताया गया रूप पाइए। $X = 0$ पर: बायाँ पक्ष $1$; दायाँ पक्ष $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 +
\frac12 = 1$।

**19.** $n \geq 2$ पर प्रश्न 18 का योग कीजिए। $S =
\sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ के साथ: $\sum_{n\geq2}
\frac1{(n-1)^2} = S$; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$; और दो-अंतराल वाली दूरबीन $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) =
1 + \frac12 = \frac32$। अतः

$$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2}
= \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32
= \frac S2 - \frac{11}{16}
= \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .
$$

संख्यात्मक रूप से: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} +
\frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 +
\dots \approx 0.135$: संगत।

**20.** प्रश्न 8 की सर्वसमिका $\sum_k\frac1{X-\omega^k} =
\frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$ का अवकलन कीजिए:

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}
= \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .
$$

$n = 2$, $X = 2$ पर जाँच: दायाँ पक्ष $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} =
\frac{10}9$; बायाँ पक्ष $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 =
\frac{10}9$।

**21.** $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} =
\frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$, जिसके हर में $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है। $j = n - k + 1$ प्रतिस्थापित करने पर (जिससे $n$ के $k$ से चलने पर $j$ $\N^*$ पर चलता है):

$$
\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk}
= k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)}
= \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,
$$

यह $k$ के स्थान पर $k - 1$ के साथ प्रश्न 4 लगाने से मिलता है (वैध, क्योंकि $k - 1 \geq 1$)।

**22.** $k = 3$ के लिए: $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$, अतः प्रश्न 3 के आंशिक योग (विस्थापित करके) से,

$$
\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}
= 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)}
= 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr)
= \frac32 - \frac3{(N-1)N}
\longrightarrow \frac32 ,
$$

अर्थात् प्रश्न 21 का मान $\frac k{k-1} = \frac32$।

**23.** $n = 6$: जोड़े $k = 1$ ($\theta_1 = \frac\pi3$, $2\cos\theta_1
= 1$) और $k = 2$ ($\theta_2 = \frac{2\pi}3$, $2\cos\theta_2 = -1$), साथ ही वास्तविक [ध्रुव](#def-b1-fractions-field) $\pm1$:

$$
\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}
+ \frac{X - 2}{X^2 - X + 1}
+ \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .
$$

$X = 0$ पर: बायाँ पक्ष $-1$; दायाँ पक्ष $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$: सही।

**24.** (क) अद्वितीयता गुणांकों की हर पहचान को वैध बनाती है — आवरण विधि, प्रश्न 9 का संयुग्मी-युग्म समूहन, और अवकलन की युक्तियाँ (प्रश्न 13, 20), सब उसी पर टिके हैं। (ख) इकाई के मूलों ने $X^n - 1$ के [ध्रुव](#def-b1-fractions-field), उनकी सममितियाँ ($k \leftrightarrow n-k$) और प्रश्न 12 का अर्ध-कोण बीजगणित ([विधि 3.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#met-b1-complex-trig)) दिया। (ग) लघुगणकीय अवकलज $\frac{P'}P =
\sum\frac{m_i}{X-a_i}$ ने $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ के मूलों की सूचना को प्रश्न 11 और 13 के संख्यात्मक योगों में बदल दिया — अर्थात् भाग II और III के बीच की कब्ज़ा।

**25.** वियोजन विशुद्ध रूप से बीजीय सर्वसमिका है, जो चर के हर मान के लिए एक साथ सत्य है; यही उसे इंजन बनाता है। पूर्णांक प्रतिस्थापित करके योग करने पर वह दूरबीन बन गया (भाग I); [इकाई के मूल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity) प्रतिस्थापित करके और संयुग्मी समूहबद्ध करके वह त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बन गया (भाग II और III); और विश्लेषण केवल सबसे अंतिम पद पर आया — दो संवृत रूपों के बीच का दबाव — जिससे $\frac{\pi^2}6$ मिला, ऐसा [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) जिस तक कोई परिमित प्रतिस्थापन नहीं पहुँच सकता था। यह श्रम-विभाजन (बीजगणित यथार्थ परिमित सर्वसमिकाएँ देता है, विश्लेषण सीमा तक ले जाता है) [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) का आदर्श है, जहाँ दूरबीनी और तुलना व्यवस्थित हो जाती हैं, और [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) का भी, जहाँ हर ईंट अपना प्रतिअवकलज पा लेती है और वही वियोजन योगों के बदले समाकल संगणित करते हैं।