---
title: "Topologi Garis Real"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real
---

# Bab 12 — Topologi Garis Real

Limit terus-menerus merujuk pada kosakata geometri yang sama: titik yang “dekat dengan” sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets), [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) “tanpa kebocoran [perbatasan](#def-b1-topology-closure)”, [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang di dalamnya barisan tak dapat kabur. Bab ini memakukan kosakata itu — [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) dan [tertutup](#def-b1-topology-closed), [interior](#def-b1-topology-closure) dan [penutup](#def-b1-topology-closure), [kepadatan](#def-b1-topology-dense) — pada garis real, lalu membuktikan kekompakan ruas dalam bentuk barisannya. Gagasan yang sama, pada ruang vektor bernorma, adalah bahan tahun kedua; sedangkan pada $\R$ ia terjangkau dan langsung berguna bagi [Bab 13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#ch-b1-continuity).

## 12.1 Himpunan terbuka, himpunan tertutup

**Definisi 12.1 (Persekitaran, himpunan terbuka).**

Sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ disebut *persekitaran* $x \in \R$ bila ia memuat [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ untuk suatu $r > 0$. Sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ disebut *terbuka* bila ia merupakan persekitaran bagi setiap titiknya:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**Contoh 12.2.**

[Selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open): karena untuk $x \in \intoo{a}{b}$, ambillah $r = \min(x -
a,\, b - x) > 0$. Setengah garis $\intoo{a}{+\infty}$ [terbuka](#def-b1-topology-open); adapun $\R$ dan $\emptyset$ [terbuka](#def-b1-topology-open) (yang terakhir secara hampa). Sedangkan $\intcc{0}{1}$ *tidak* [terbuka](#def-b1-topology-open): karena tak ada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar $0$ yang tinggal di dalamnya.

**Proposisi 12.3 (Kestabilan himpunan terbuka).**

Sebarang gabungan [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open); dan irisan *hingga* [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open). Adapun irisan tak hingga boleh gagal: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, yang tak [terbuka](#def-b1-topology-open).

**Bukti.** Gabungannya: jika $x \in \bigcup_i U_i$, maka $x \in U_{i_0}$ untuk suatu $i_0$, dan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang dipasok $U_{i_0}$ duduk di dalam gabungannya. Adapun irisan yang hingga: jika $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, ambillah $r = \min(r_1,
\dots, r_k) > 0$ atas jari-jari yang dipasok masing-masing $U_j$. Untuk contoh penyangkalnya: sebarang [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar $0$ memuat suatu $\frac{1}{n}$ (menurut Archimedes), sehingga meninggalkan irisannya. ∎

**Contoh 12.4 (Mengesahkan keterbukaan dengan jari-jari yang eksplisit).**

Apakah $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ [terbuka](#def-b1-topology-open)? Ya, dan sertifikatnya dapat dituliskan: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup
\intoo{\sqrt2}{+\infty}$, yaitu gabungan dua setengah garis yang [terbuka](#def-b1-topology-open), sehingga [terbuka](#def-b1-topology-open) menurut [Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable). Sebagai alternatifnya, berargumenlah titik demi titik: untuk $x \in U$ dengan $x > \sqrt 2$, ambillah $r = x -
\sqrt2 > 0$: maka setiap $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ memenuhi $y >
\sqrt 2$, sehingga $y^2 > 2$; simetris dengan itu di sebelah kirinya. Kedua gayanya penting — yang struktural (yaitu membangun dari [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) yang dikenal lewat gabungan dan irisan hingga) lebih baik penskalaannya, sedangkan yang bergaya $\varepsilon$ berjalan ketika tak ada struktur yang kasatmata; dan [Bab 13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#ch-b1-continuity) akan menambahkan yang ketiga, yang paling ampuh: bahwa $U$ merupakan [prapeta](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) dari $\intoo{2}{+\infty}$ yang [terbuka](#def-b1-topology-open) di bawah $x \mapsto x^2$ yang kontinu.

**Definisi 12.5 (Himpunan tertutup).**

Sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ disebut *tertutup* bila komplemennya $\R \setminus F$ [terbuka](#def-b1-topology-open). Menurut de Morgan dan [Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable): sebarang irisan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) tertutup bersifat tertutup, dan gabungan hingga [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) tertutup bersifat tertutup.

**Teorema 12.6 (Pencirian himpunan tertutup lewat barisan).**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) jika dan hanya jika: untuk setiap barisan $(u_n)$ berisi titik $F$ yang konvergen ke suatu $\ell \in \R$, limitnya $\ell$ termasuk $F$. (Jadi “[tertutup](#def-b1-topology-closed)” $=$ “stabil terhadap limit”.)

**Bukti.** ($\Rightarrow$) Misalkan $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed), $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, lalu andaikan $\ell \notin F$. Komplemennya [terbuka](#def-b1-topology-open): sehingga suatu $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ menghindari $F$. Padahal kekonvergenannya menaruh $u_n$ pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) itu untuk $n$ yang besar: yang bertentangan dengan $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) Andaikan $F$ tak [tertutup](#def-b1-topology-closed): maka komplemennya tak [terbuka](#def-b1-topology-open), sehingga suatu $x \notin F$ tak mempunyai [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ di dalam komplemennya; lalu dengan mengambil $r = \frac{1}{n+1}$, pilihlah $u_n \in F$ dengan $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. Maka $u_n \in F$, $u_n \to x \notin
F$: jadi sifat barisannya gagal. ∎

**Contoh 12.7 (Uji barisannya, dari kedua arah).**

*[Tertutup](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Misalkan $u_k \in F$ dengan $u_k \to \ell$. Jendela $\intcc{\ell -
1}{\ell + 1}$ hanya memuat titik $F$ yang berhingga banyak (yaitu bilangan bulat yang berhingga banyak, dan $n + \frac1n$ yang berhingga banyak), lalu di luar suatu peringkat semua $u_k$ terletak di dalamnya: sehingga barisannya mengambil nilai yang berhingga banyak, dan karena konvergen, ia akhirnya konstan (seperti pada [Latihan 12.3](#exo-b1-topology-3)): jadi $\ell \in F$. [Tertutup](#def-b1-topology-closed) — meskipun $F$ memuat pasangan titik yang berjarak $\frac1n$, sedekat-dekatnya.

*Tak [tertutup](#def-b1-topology-closed):* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. Barisan $\frac1n + \frac1n \in G$ menuju $0$, padahal $0 \notin G$ (karena ia jumlah dua suku yang positif): jadi uji barisannya gagal, sehingga $G$ tak [tertutup](#def-b1-topology-closed). Menariknya, setiap $\frac1m$ *memang* termasuk $\overline G \cap G$: memang $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. Inti gagasan penutupnya: bahwa untuk membuktikan ketertutupan, kendalikanlah *semua* barisan yang konvergen sekaligus (biasanya lewat kehinggaan lokal atau lewat argumen rumus [tertutup](#def-b1-topology-closed)); sedangkan untuk membantahnya, satu barisan pelarian yang terpilih baik sudah cukup — ketaksetangkupan itulah yang membuat arah negatifnya menjadi yang mudah, dan contoh penyangkal bab ini semuanya berbentuk satu baris seperti ini.

**Contoh 12.8.**

Ruas $\intcc{a}{b}$, setengah garis $\intco{a}{+\infty}$, [himpunan hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-card), dan $\Z$ (karena barisan bilangan bulat yang konvergen akhirnya konstan) bersifat [tertutup](#def-b1-topology-closed). Sedangkan $\intoc{0}{1}$ tak [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena gagal di $1$) dan tak [tertutup](#def-b1-topology-closed) (karena $\frac 1n \to 0 \notin$ [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets)): jadi kebanyakan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) terbukan keduanya. Adapun $\R$ dan $\emptyset$ sekaligus [terbuka](#def-b1-topology-open) dan [tertutup](#def-b1-topology-closed) — dan hanya keduanyalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang demikian ([Latihan 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**Contoh 12.9 (Himpunan terbuka yang dirakit dari kepingan tak hingga banyak).**

Di sini $\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: yaitu gabungan tak hingga atas [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open), sehingga [terbuka](#def-b1-topology-open) menurut [Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — jadi $\Z$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) tanpa memerlukan argumen barisan apa pun. Perhatikan pembagian kerja pada aturan kestabilannya: bahwa *gabungan* [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) boleh sebarang (karena setiap titiknya hanya memerlukan sertifikatnya sendiri, yang dipasok satu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang memuatnya), sedangkan *irisannya* harus tetap hingga (sebab sertifikatnya harus diiriskan, dan jari-jari yang tak hingga banyak dapat menyusut menjadi nol). [Latihan 12.10](#exo-b1-topology-10) akan menunjukkan bahwa contoh ini merupakan bentuk umumnya: bahwa setiap [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang [terbuka](#def-b1-topology-open) merupakan gabungan lepas yang terbilang atas [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open).

## 12.2 Interior, penutup, kepadatan

**Definisi 12.10 (Interior, penutup, perbatasan).**

Misalkan $A \subseteq \R$.

- Sebuah titik $x$ disebut *interior* bagi $A$ bila $A$ merupakan [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ ; dan *interiornya* $\mathring{A}$ adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) titik interiornya.
- Sebuah titik $x$ disebut *lekat* pada $A$ bila setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ berpotongan dengan $A$ ; dan *penutupnya* $\overline{A}$ adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) titik lekatnya.
- Adapun *perbatasannya* adalah $\partial A = \overline A \setminus  \mathring A$ .

Maka $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**Proposisi 12.11 (Sifat utamanya).**

1. $\mathring A$ merupakan [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) terbesar yang termuat $A$ ; dan $A$ [terbuka](#def-b1-topology-open) jika dan hanya jika $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ merupakan [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) terkecil yang memuat $A$ ; dan $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) jika dan hanya jika $A = \overline A$ .
3. (Pencirian kelekatan lewat barisan) Di sini $x \in \overline  A$ jika dan hanya jika $x$ merupakan limit sebuah barisan berisi titik $A$ .
4. Pengomplemenan menukar kedua gagasannya: $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**Bukti.** (4) Di sini $x \notin \overline A$ $\iff$ suatu [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ menghindari $A$ $\iff$ suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar $x$ terletak di $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ bersifat [interior](#def-b1-topology-closure) bagi $\R \setminus A$.

(1) [Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\mathring A$ [terbuka](#def-b1-topology-open): karena jika $x \in \mathring A$, maka suatu $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$; lalu setiap titik $y$ pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) itu mempunyai [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang lebih kecil di sekitarnya yang berada di dalamnya, sehingga di dalam $A$: jadi seluruh [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) termasuk $\mathring A$. Adapun sebarang [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ terdiri atas titik [interior](#def-b1-topology-closure) $A$, sehingga $U \subseteq \mathring A$: jadi terbesar. Lalu pencirian keterbukaannya menyusul.

(2) Secara terperinci. Menurut (4), $\R \setminus \overline A$ merupakan [interior](#def-b1-topology-closure) $\R \setminus A$, yaitu [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) menurut (1): sehingga $\overline A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed), dan ia memuat $A$. Keminimalannya: misalkan $F \supseteq A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed). Maka $\R \setminus F$ [terbuka](#def-b1-topology-open) dan termuat $\R
\setminus A$, sehingga menurut kemaksimalan pada (1),

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

lalu mengambil komplemennya lagi: $\overline A \subseteq F$. Jadi $\overline A$ merupakan pemuat [tertutup](#def-b1-topology-closed) yang terkecil. Pencirian sifatnya: jika $A = \overline A$ maka $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) (sebagaimana baru ditunjukkan); sedangkan jika $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed), ia sendiri merupakan pemuat [tertutup](#def-b1-topology-closed) bagi $A$, sehingga keminimalannya memaksa $\overline A \subseteq A$, jadi sama.

(3) Jika $u_n \in A$, $u_n \to x$: maka setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ memuat suatu $u_n \in A$, sehingga $x \in \overline A$. Sebaliknya, jika $x \in
\overline A$: maka setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ berpotongan dengan $A$ pada suatu $u_n$, dan $u_n \to x$. ∎

**Contoh 12.12.**

Di sini $\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} =
\{0, 1\}$. Untuk $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A
\cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Untuk $\Q$: menurut [kepadatannya](#def-b1-topology-dense) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density)) setiap bilangan real lekat pada $\Q$, sehingga $\overline{\Q} = \R$ sedangkan $\mathring{\Q} =
\emptyset$ (karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) memuat bilangan irasional): jadi [perbatasan](#def-b1-topology-closure) $\Q$ adalah seluruh $\R$.

**Contoh 12.13 (Anatomi yang lengkap).**

Misalkan $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$. Kita menghitung ketiga [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) pada [Definisi 12.10](#def-b1-topology-closure), kepingan demi kepingan.

*[Interiornya](#def-b1-topology-closure).* Sebuah titik $\intoo{0}{1}$ mempunyai seluruh [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di dalam $A$: jadi [interior](#def-b1-topology-closure). Adapun titik $1$: setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitarnya bocor ke kanan $1$, yang di situ $A$ tak punya apa-apa sampai $2$: jadi bukan [interior](#def-b1-topology-closure). Tak ada titik $\Q \cap \intoo{2}{3}$ yang [interior](#def-b1-topology-closure) (karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) memuat bilangan irasional, [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density)); demikian pula $4$ yang terasing. Jadi $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[Penutupnya](#def-b1-topology-closure).* Limit titik $A$ adalah: seluruh $\intcc{0}{1}$ (karena $0 = \lim \frac1n$ dengan $\frac 1n \in A$); seluruh $\intcc{2}{3}$ (karena setiap bilangan real di sana merupakan limit bilangan rasional pada [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals), menurut [kepadatan](#def-b1-topology-dense) lagi); dan $4$. Tak ada yang lain: karena titik di luar $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ berjarak positif ke [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) itu. Jadi $\overline A = \intcc{0}{1} \cup
\intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

*[Perbatasannya](#def-b1-topology-closure).* Di sini $\partial A = \overline A \setminus \mathring A
= \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Inti gagasan penutupnya: bahwa ketiga operasinya bekerja secara *lokal* — karena setiap kepingan $A$ menyumbang menurut sifatnya sendiri (sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang padu mempertahankan bagian dalamnya, kepingan yang [padat](#def-b1-topology-dense) tetapi berpori berubah seluruhnya menjadi [perbatasan](#def-b1-topology-closure), sedangkan titik yang terasing murni [perbatasan](#def-b1-topology-closure)), dan gambaran dua baris atas $A$ meramalkan setiap jawabannya sebelum satu bukti pun dituliskan.

**Catatan 12.14 (Jebakan yang lazim dalam penalaran himpunan titik).**

(i) *“Tak [terbuka](#def-b1-topology-open)” tak berarti “[tertutup](#def-b1-topology-closed)”*: karena kebanyakan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) terbukan keduanya ($\intoc{0}{1}$), sedangkan dua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) justru keduanya ($\emptyset$, $\R$) — jadi [terbuka](#def-b1-topology-open) dan [tertutup](#def-b1-topology-closed) bukanlah lawan melainkan dual lewat pengomplemenan. (ii) *[Interior](#def-b1-topology-closure) dan [penutup](#def-b1-topology-closure) tak berkomutasi*: karena untuk $A = \Q$,

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{sedangkan}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

kedua operator berulangnya berbeda sejauh yang mungkin bagi [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets). (iii) *Gabungan tak hingga [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) boleh gagal menjadi [tertutup](#def-b1-topology-closed)*: karena $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — yaitu cermin contoh penyangkal irisan pada [Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (iv) *[Padat](#def-b1-topology-dense) tak berarti besar*: karena $\Q$ [padat](#def-b1-topology-dense), terbilang, dengan [interior](#def-b1-topology-closure) yang kosong, dan komplemennya [padat](#def-b1-topology-dense) pula; jadi [kepadatan](#def-b1-topology-dense) mengatakan “sedekat-dekatnya dengan segalanya”, bukan “hampir segalanya” — adapun [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) pada soal akhir pekan ([Soal 12.1](#pb-b1-topology-1)) menegaskan yang sebaliknya, yaitu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang kecil secara topologi namun besar secara takterbilang.

**Contoh 12.15 (Sebuah penutup yang dihitung persis).**

Misalkan $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (dari [Contoh 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). Klaimnya:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) Karena $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ dan $0 = \lim_n \frac2n$: jadi lekat menurut pencirian lewat barisan. ($\subseteq$) Misalkan $x = \lim_k \bigl(
\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; lalu urutkan setiap pasangannya sehingga $m_k \leq n_k$. Jika $(m_k)$ tak terbatas, maka suatu [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) mempunyai $m_k
\to \infty$, sehingga $n_k \to \infty$ pula dan $x = 0$. Kalau tidak, $(m_k)$ mengambil nilai yang berhingga banyak, salah satunya, katakanlah $m$, tak hingga sering; lalu sepanjang [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) itu $\frac{1}{n_k} \to x -
\frac1m$: jika $(n_k)$ terbatas maka ia mengambil suatu nilai $n$ tak hingga sering dan $x = \frac1m + \frac1n \in G$; kalau tidak, $x =
\frac1m$. Jadi setiap kasusnya mendarat di [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang diumumkan. Inti gagasan penutupnya: bahwa menghitung [penutup](#def-b1-topology-closure) adalah analisis kasus bergaya kekompakan atas indeksnya — indeks yang terbatas berarti nilai yang berhingga banyak (menurut sarang merpati), sedangkan indeks yang tak terbatas berarti sebuah limit kabur — dan jawabannya memperlihatkan struktur dua lapis yang khas bagi titik limit: yaitu [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets), limit generasi pertamanya, dan limitnya $0$.

**Definisi 12.16 (Kepadatan, bentuk topologinya).**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $A$ disebut *padat* di $\R$ bila $\overline A = \R$ — setara dengan itu, bila setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang tak kosong berpotongan dengan $A$; dan setara pula (menurut [Proposisi 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3)), bila setiap bilangan real merupakan limit unsur $A$. Contohnya: $\Q$, $\R \setminus
\Q$, bilangan diadik ([Latihan 10.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-8)), dan [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) yang padat ([Latihan 10.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-9)).

**Contoh 12.17 (Kepadatan bersifat relatif).**

“[Padat](#def-b1-topology-dense)” sebagaimana didefinisikan di sini berarti [padat](#def-b1-topology-dense) *di $\R$*; padahal sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) boleh saja [padat](#def-b1-topology-dense) hanya pada sebagian garisnya. Bilangan diadik pada $\intcc{0}{1}$, yakni $D \cap \intcc{0}{1}$ ([Latihan 10.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-8)), berpotongan dengan setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang termuat $\intcc{0}{1}$ tetapi tentu saja melewatkan $\intoo{2}{3}$ seluruhnya: jadi mereka [padat](#def-b1-topology-dense) *di* $\intcc{0}{1}$, yang berarti $\overline{D \cap
\intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. Adapun frasa umum “$A$ [padat](#def-b1-topology-dense) di $B$” menyingkat $B \subseteq \overline A$ — jadi namailah selalu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) lingkungannya, karena titik ujung pada soal akhir pekan bersifat [padat](#def-b1-topology-dense) *di [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1)* sekaligus tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun *di $\R$*: yaitu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang sama, dengan dua pemerian yang jujur namun terdengar berlawanan.

**Contoh 12.18 (Menangani kepadatan).**

Tiga gerakan cepat yang terus-menerus berulang. *Memperbesar*: jika $A$ [padat](#def-b1-topology-dense) dan $A \subseteq B$, maka $B$ [padat](#def-b1-topology-dense) (karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) sudah berpotongan dengan $A$). *Mengangkut*: jika $A$ [padat](#def-b1-topology-dense), maka $\lambda A + \mu$ pun [padat](#def-b1-topology-dense) untuk $\lambda \neq 0$ — karena [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $I$ berpotongan dengan $\lambda A + \mu$ jika dan hanya jika [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ berpotongan dengan $A$; jadi kelipatan ganjil $10^{-9}$, misalnya, bersifat [padat](#def-b1-topology-dense). *Mengiriskan gagal*: karena dua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang [padat](#def-b1-topology-dense) dapat saling melewatkan seluruhnya ($\Q$ dan $\R \setminus \Q$): jadi [kepadatan](#def-b1-topology-dense) bertahan pada gabungan dan [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) afin, tetapi tak pernah pada irisan.

## 12.3 Kekompakan ruas

**Teorema 12.19 (Ruas bersifat kompak secara barisan).**

Misalkan $a \leq b$. Setiap barisan berisi titik $\intcc{a}{b}$ mempunyai [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen ke sebuah titik *pada* $\intcc{a}{b}$.

Secara lebih umum, [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang bersifat demikian (yaitu setiap barisannya mempunyai [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen di dalam [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets)) tepat merupakan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang *[tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas*.

**Bukti.** Barisan di $\intcc{a}{b}$ bersifat terbatas, sehingga Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-bw)) mengekstrak [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen; dan limitnya tinggal di $\intcc{a}{b}$ karena ruas bersifat [tertutup](#def-b1-topology-closed) ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

Kasus umumnya. *([Tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas $\Rightarrow$ kompak)*: misalkan $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas, dan $(u_n)$ barisan di $F$. Keterbatasan $F$ membatasi barisannya, sehingga Bolzano–Weierstrass mengekstrak $u_{\varphi(n)} \to \ell$; dan $\ell \in F$ karena $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan [subbarisannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) merupakan barisan yang konvergen berisi titik $F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): jadi kedua hipotesisnya terpakai masing-masing satu, keterbatasan untuk keberadaan limitnya, dan ketertutupan untuk keanggotaannya. *(Kompak $\Rightarrow$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas)*: jika $F$ tak terbatas, pilihlah $u_n \in F$ dengan $\abs{u_n} \geq
n$; maka setiap [subbarisannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) tak terbatas, sehingga divergen ([Proposisi 11.4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#prop-b1-seq-first)): jadi sama sekali tak ada [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen. Jika $F$ tak [tertutup](#def-b1-topology-closed), ambillah $u_n \in F$ dengan $u_n \to \ell \notin F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): maka setiap [subbarisannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) konvergen ke $\ell \notin F$, sehingga tak ada [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen *di dalam* $F$. ∎

**Contoh 12.20 (Himpunan kompak yang bersarang).**

Sebuah latihan pertama bagi teoremanya. Misalkan $K_0 \supseteq K_1 \supseteq
K_2 \supseteq \dots$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang kompak (yaitu [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas) dan tak kosong. Maka $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. Memang, pilihlah $x_n
\in K_n$ untuk setiap $n$: barisannya hidup di dalam $K_0$ yang kompak, sehingga suatu [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ konvergen ke suatu $x$ ([Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact)). Untuk setiap $m$ yang tetap, suku $x_{\varphi(n)}$ dengan $\varphi(n) \geq m$ semuanya terletak di [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) $K_m$, sehingga limitnya $x$ terletak di $K_m$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)); dan karena $m$ tadi sebarang, $x \in
\bigcap_n K_n$. Ada pendamping yang berguna: jika sebuah [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) $U$ memuat $\bigcap_n K_n$, maka $U \supseteq K_n$ untuk suatu $n$ — terapkanlah argumen yang sama pada titik $x_n \in K_n \setminus U$; karena limitnya $x$ akan terletak di $\bigcap K_n \subseteq U$, padahal $U$ yang [terbuka](#def-b1-topology-open) memaksa $x_{\varphi(n)} \in U$ akhirnya, yang bertentangan. Kedua [pernyataannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) gagal tanpa kekompakan: karena $\bigcap_n \intoo{0}{\frac
1n} = \emptyset$ dan $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. Inti gagasan penutupnya: bahwa kekompakan mengubah rantai tak hingga atas penegasan ketakkosongan menjadi satu titik limit — jadi ia perkakas yang bertahan pada peralihan ke irisan tak hingga, dan soal akhir pekan ([Soal 12.1](#pb-b1-topology-1)) akan bersandar padanya dua kali.

![Empat tahap pertama konstruksi sepertiga tengahnya: setiap ruas C_n kehilangan sepertiga tengahnya yang terbuka, sehingga menyisakan 2n+1 ruas C_n+1, yang panjang totalnya (2/3)n+1. Adapun himpunan Cantor C = _n C_n — yaitu pokok bahasan soal akhir pekan — merupakan sisa kompak yang tak kosong yang dijamin oleh argumen kompak bersarang di atas: dengan panjang nol, namun titik yang bertahan takterbilang banyaknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*Empat tahap pertama konstruksi sepertiga tengahnya: setiap ruas $C_n$ kehilangan sepertiga tengahnya yang [terbuka](#def-b1-topology-open), sehingga menyisakan $2^{n+1}$ ruas $C_{n+1}$, yang panjang totalnya $(\frac23)^{n+1}$. Adapun [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — yaitu pokok bahasan soal akhir pekan [Soal 12.1](#pb-b1-topology-1) — merupakan sisa kompak yang tak kosong yang dijamin oleh argumen kompak bersarang di atas: dengan panjang nol, namun titik yang bertahan takterbilang banyaknya.*

**Catatan 12.21.**

Inilah mesin di balik teorema nilai ekstrem ([Bab 13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#ch-b1-continuity)) dan teorema Heine tentang kekontinuan seragam. Adapun nama “kompak” akan memperoleh definisi umumnya (lewat selimut) pada tahun kedua; sedangkan pada $\R$, kekompakan barisan sudah semua yang kita perlukan, dan “kompak $=$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) $+$ terbatas” adalah [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) yang perlu diingat.

**Contoh 12.22 (Perbatasan di bawah gabungan).**

Selalu berlaku $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial
B$: karena sebuah titik $\partial(A \cup B)$ mempunyai setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) yang berpotongan dengan $A \cup B$ (sehingga dengan $A$ atau $B$, tak hingga sering salah satu darinya) dan berpotongan dengan komplemen $A \cup B$, yang terletak di kedua komplemennya — lalu pemeriksaan singkat menaruh titiknya di $\partial A$ atau $\partial B$. Inklusinya dapat tegas secara mencolok: karena dengan $A = \Q$ dan $B = \R\setminus\Q$,

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

dua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang compang-camping dapat merekat menjadi satu yang mulus, dengan [perbatasannya](#def-b1-topology-closure) saling memusnahkan. Inti gagasan penutupnya: bahwa [interior](#def-b1-topology-closure) dan [penutup](#def-b1-topology-closure) berperilaku *monoton* di bawah gabungan dan irisan, tetapi [perbatasan](#def-b1-topology-closure) tidak — jadi perlakukanlah $\partial$ sebagai besaran turunan ($\overline A \setminus \mathring A$), dan jangan pernah sebagai operator dengan aljabarnya sendiri.

**Catatan 12.23 (Cakrawala di dalam jilid ini).**

Kosakata yang dibangun di sini dipakai dua kali lagi dalam buku ini. Pada [Bab 13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#ch-b1-continuity), setiap teoremanya merupakan [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) topologi yang menyamar: teorema nilai antara mengatakan bahwa [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang kontinu mengawetkan sifat [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals), sedangkan teorema nilai ekstrem mengatakan bahwa ia mengawetkan kekompakan — dan buktinya memanggil Teorema [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) dan [12.19](#thm-b1-topology-compact) dengan namanya. Pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), definisi yang sama dibaca ulang di $\R^2$ dengan cakram menggantikan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals): sehingga [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open), [penutup](#def-b1-topology-closure) dan kekompakan terbawa kata demi kata, dan teorema nilai ekstrem dua variabel kembali menumpang pada Bolzano–Weierstrass (dengan mengekstrak pada setiap koordinatnya). Adapun satu gagasan yang *tak* tersamaratakan tanpa nyeri adalah [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) sendiri — di bidang, keterhubungan menggantikan kecembungan, yaitu kisah yang dimulai dengan “hanya $\emptyset$ dan $\R$ yang [terbuka](#def-b1-topology-open) sekaligus [tertutup](#def-b1-topology-closed)” pada [Latihan 12.9](#exo-b1-topology-9).

## 12.4 Latihan

**Latihan 12.1 ★.**

Untuk setiap [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets), katakanlah apakah ia [terbuka](#def-b1-topology-open), [tertutup](#def-b1-topology-closed), keduanya, atau bukan keduanya (beserta pembenarannya): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$; $\;\intco{0}{1}$; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$; $\;\R \setminus \Z$; $\;\Q \cap
\intoo{0}{1}$.

**Solusi Latihan 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena gabungan [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open)), dan tak [tertutup](#def-b1-topology-closed) (karena $\frac 1n \to 0$ di luarnya).

$\intco{0}{1}$: bukan keduanya. Tak [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena tak ada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar $0$ di dalamnya); dan tak [tertutup](#def-b1-topology-closed) (karena $1 - \frac1n \to 1 \notin$ [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [tertutup](#def-b1-topology-closed) (karena gabungan hingga [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed)), dan tak [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena gagal di $0$).

$\R \setminus \Z$: [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena $\Z$ [tertutup](#def-b1-topology-closed)), dan tak [tertutup](#def-b1-topology-closed): sebab barisan $\bigl(\frac 1n\bigr)$ terletak di dalamnya, tetapi limitnya $0$ termasuk $\Z$, yakni kabur dari [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: bukan keduanya. Tak [terbuka](#def-b1-topology-open): karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar bilangan rasional memuat bilangan irasional. Dan tak [tertutup](#def-b1-topology-closed): karena ia memuat barisan yang menuju $\frac{\sqrt 2}{2}$ yang irasional (menurut [kepadatannya](#def-b1-topology-dense)).

**Latihan 12.2 ★.**

Tentukan $\mathring A$, $\overline A$ dan $\partial A$ untuk: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$; $\;A = \R \setminus \Q$; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**Solusi Latihan 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: di sini $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: di sini $\mathring A = \emptyset$ (karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) memuat bilangan rasional), $\overline A = \R$ (menurut [kepadatan](#def-b1-topology-dense) bilangan irasional), $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: suku genapnya menuju $1$, sedangkan suku ganjilnya ke $-1$, dan keduanya tak termasuk $A$. Jadi $\mathring A =
\emptyset$ (karena titiknya terasing), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$, $\partial A = \overline A$.

**Latihan 12.3 ★.**

Buktikan bahwa [himpunan hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-card) bersifat [tertutup](#def-b1-topology-closed), mula-mula lewat komplemennya, lalu lewat pencirian barisannya.

**Solusi Latihan 12.3.**

*Lewat komplemennya.* Misalkan $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: maka komplemennya adalah gabungan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$, $\intoo{a_k}{+\infty}$ — yang [terbuka](#def-b1-topology-open) menurut [Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*Lewat barisan.* Misalkan $u_n \in F$, $u_n \to \ell$. Dengan $\varepsilon
= \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (atau sebarang $\varepsilon$ bila $F$ singleton): di luar suatu peringkat, semua sukunya berada dalam jarak $\varepsilon$ dari $\ell$, sehingga berjarak $2\varepsilon$ satu sama lain, yang memaksanya menjadi satu $a_i$ tunggal mulai peringkat itu; lalu $\ell = a_i \in F$.

**Latihan 12.4 ★.**

Buktikan bahwa untuk sebarang $A, B \subseteq \R$: $\overline{A \cup B} =
\overline A \cup \overline B$. Tunjukkan lewat contoh bahwa $\overline{A \cap B}$ dapat berbeda dari $\overline A \cap \overline
B$.

**Solusi Latihan 12.4.**

$\subseteq$: karena $\overline A \cup \overline B$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) (yaitu gabungan hingga) dan memuat $A \cup B$, sehingga ia memuat pemuat [tertutup](#def-b1-topology-closed) yang *terkecil* $\overline{A \cup B}$. $\supseteq$: karena $A \subseteq A \cup B$ memberikan $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (sebab [penutup](#def-b1-topology-closure) bersifat monoton: titik lekat $A$ lekat pada [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang lebih besar), dan demikian pula untuk $B$.

Contoh penyangkal bagi irisannya: $A = \intoo{0}{1}$, $B =
\intoo{1}{2}$: di sini $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ tetapi $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**Latihan 12.5 ★★.**

Misalkan $u_n \to \ell$ di $\R$. Buktikan bahwa [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in \N\}
\cup \{\ell\}$ bersifat [tertutup](#def-b1-topology-closed) (sehingga kompak bila kita menambahkan bahwa ia terbatas — dan memang demikian).

**Solusi Latihan 12.5.**

Pakailah pencirian lewat barisan ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). Misalkan $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ dan $(v_k)$ barisan di $S$ dengan $v_k \to m$; lalu tunjukkan $m \in S$. Ada dua kasus. Jika suatu nilai $v \in S$ diambil $(v_k)$ tak hingga sering, maka [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konstan memberikan $m = v \in S$. Kalau tidak, setiap nilainya diambil berhingga sering; khususnya, untuk setiap $n$, suku $u_n$ muncul berhingga sering, dan $\ell$ pun demikian. Maka untuk setiap $N$, indeks $k$ dengan $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ berhingga banyaknya: sehingga $v_k$ yang tersisa merupakan suku $u_n$ dengan $n > N$. Diberikan $\varepsilon > 0$, pilihlah $N$ dengan $\abs{u_n - \ell} \leq
\varepsilon$ untuk $n > N$: maka semua $v_k$ kecuali yang berhingga banyak memenuhi $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$. Jadi $v_k \to \ell$, sehingga $m =
\ell \in S$.

**Latihan 12.6 ★★.**

Misalkan $U$ [terbuka](#def-b1-topology-open) dan $A$ sebarang. Buktikan bahwa $U + A = \{u + a\}$ bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open). Simpulkan bahwa jumlah sebuah [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) dengan sebarang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open), lalu bandingkan: tunjukkanlah dua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) *[tertutup](#def-b1-topology-closed)* yang jumlahnya tak [tertutup](#def-b1-topology-closed). *(Cobalah $\Z$ dan $\sqrt 2\,\Z$, dengan [Latihan 10.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-9).)*

**Solusi Latihan 12.6.**

Di sini $U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, dan setiap translasinya $U + a$ [terbuka](#def-b1-topology-open) (karena sertifikat [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) ikut ditranslasikan). Adapun gabungan [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open) ([Proposisi 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

[Himpunan tertutupnya](#def-b1-topology-closed): $\Z$ dan $\sqrt 2\,\Z$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) (sebagai $\alpha\Z$: karena barisan yang konvergen akhirnya konstan, bandingkan [Contoh 12.8](#ex-b1-topology-closed)). Adapun jumlahnya $\Z + \sqrt 2\,\Z$ bersifat [padat](#def-b1-topology-dense) di $\R$ ([Latihan 10.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-9)) tetapi bukan $\R$ (karena ia terbilang, atau sederhananya: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$, sebab kalau tidak $\sqrt 2$ akan rasional — karena menulis $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ memaksa $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$, sehingga $\sqrt 2 \in \Q$ kecuali bila $n =
\frac12$, yang mustahil). Adapun [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian sejati yang [padat](#def-b1-topology-dense) tak [tertutup](#def-b1-topology-closed): karena [penutupnya](#def-b1-topology-closure) adalah $\R \neq$ dirinya sendiri.

**Latihan 12.7 ★★.**

Sebuah titik $x \in A$ disebut *terasing* di $A$ bila suatu [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ berpotongan dengan $A$ hanya pada $x$. Buktikan bahwa setiap titik $\Z$ terasing di $\Z$, bahwa $A = \{\frac1n\}$ mempunyai semua titiknya terasing namun $\overline A \neq A$, dan bahwa [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang semua titiknya terasing mempunyai [interior](#def-b1-topology-closure) yang kosong.

**Solusi Latihan 12.7.**

$\Z$: [persekitaran](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ bagi $n$ berpotongan dengan $\Z$ hanya pada $n$.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: di sekitar $\frac 1n$, [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) berjari-jari $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (yang diparuhkan, misalnya) mengasingkannya dari tetangganya — jadi semua titiknya terasing. Namun $0 \in
\overline A \setminus A$: sehingga titik yang terasing tak mencegah orang luar yang lekat.

Jika semua titik $A$ terasing: maka tak ada titik $A$ yang [interior](#def-b1-topology-closure), karena sebuah titik [interior](#def-b1-topology-closure) mempunyai seluruh [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) berisi tetangga $A$ di sekitarnya (dan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) bersifat tak hingga), yang bertentangan dengan keterasingannya. Jadi $\mathring A
= \emptyset$.

**Latihan 12.8 ★★.**

Buktikan bahwa [penutup](#def-b1-topology-closure) sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang terbatas bersifat terbatas, dan bahwa $\sup \overline A = \sup A$ untuk $A$ yang tak kosong dan terbatas di atas. Simpulkan bahwa $\sup A \in \overline A$: jadi [supremumnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) selalu lekat.

**Solusi Latihan 12.8.**

Jika $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, maka [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ memuat $A$, sehingga ia memuat $\overline A$ (yaitu pemuat [tertutup](#def-b1-topology-closed) yang terkecil): jadi $\overline A$ terbatas.

Misalkan $s = \sup A$ (yang hingga). Karena $A \subseteq \overline A$, maka $\sup
\overline A \geq s$. Sebaliknya, $\overline A \subseteq
\intoc{-\infty}{s}$: sebab setengah garisnya [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan memuat $A$; sehingga setiap unsur $\overline A$ bernilai $\leq s$, yang memberikan $\sup\overline A
\leq s$. Jadi sama.

Adapun $s \in \overline A$: menurut pencirian lewat $\varepsilon$ ([Proposisi 10.4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-epsilon)), setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s -
\varepsilon}{s + \varepsilon}$ memuat sebuah unsur $A$: jadi $s$ bersifat lekat.

**Latihan 12.9 ★★★.**

Buktikan bahwa satu-satunya [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang sekaligus [terbuka](#def-b1-topology-open) dan [tertutup](#def-b1-topology-closed) adalah $\emptyset$ dan $\R$. *Petunjuk: andaikan $A$ [terbuka](#def-b1-topology-open), [tertutup](#def-b1-topology-closed), dengan $A \neq \emptyset$ dan $\R \setminus A \neq \emptyset$; pilihlah $a \in
A$, $b \notin A$, katakanlah $a < b$, lalu tinjaulah $s = \sup\,(A \cap
\intcc{a}{b})$; putuskanlah apakah $s$ dapat termasuk $A$ atau komplemennya.*

**Solusi Latihan 12.9.**

Andaikan $A$ [terbuka](#def-b1-topology-open) dan [tertutup](#def-b1-topology-closed), dengan $a \in A$ dan $b \in \R
\setminus A$; tanpa mengurangi keumumannya $a < b$. [Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $B = A \cap
\intcc{a}{b}$ tak kosong (karena $a$), dan terbatas: misalkan $s = \sup B$. Menurut [Latihan 12.8](#exo-b1-topology-8), $s \in \overline B \subseteq \overline A =
A$ (karena $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed)). Perhatikan $s \leq b$, dan karena $b \notin A$: maka $s < b$. Sekarang $A$ [terbuka](#def-b1-topology-open): sehingga suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s + r}$ terletak di $A$, dan kita boleh mengambil $r < b - s$. Maka $s + \frac{r}{2}$ termasuk $A
\cap \intcc{a}{b} = B$ dan melampaui $s$ — yang bertentangan dengan $s = \sup
B$. Jadi tak ada pasangan $(a, b)$ yang demikian: sehingga salah satu dari $A$ dan $\R \setminus A$ bersifat kosong.

**Latihan 12.10 ★★★.**

(Struktur [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open)) Misalkan $U \subseteq \R$ [terbuka](#def-b1-topology-open) dan tak kosong. Untuk $x \in U$, misalkan $I_x$ gabungan semua [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang memuat $x$ dan termuat $U$. Buktikan bahwa $I_x$ merupakan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open), bahwa dua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $I_x$, $I_y$ sama atau saling lepas, dan bahwa $U$ merupakan gabungan atas [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang saling lepas dan *terbilang banyaknya* *(pilihlah satu bilangan rasional pada masing-masingnya)*.

**Solusi Latihan 12.10.**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $I_x$ merupakan gabungan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang semuanya memuat $x$: sehingga ia [terbuka](#def-b1-topology-open), dan ia sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals), karena cembung — sebab jika $u < z < v$ dengan $u, v \in
I_x$, maka $u$ dan $v$ terletak pada subselang [terbuka](#def-b1-topology-open) $J_u \ni x$, $J_v \ni
x$ dari $U$, dan $J_u \cup J_v$ merupakan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) (karena keduanya memuat $x$) di dalam $U$ yang memuat $z$; sehingga $z \in I_x$ ([Proposisi 10.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals)).

Jika $I_x \cap I_y \neq \emptyset$: maka $I_x \cup I_y$ merupakan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) (yang cembung, karena dua [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang bertindihan) yang termuat $U$ dan memuat $x$ maupun $y$, sehingga $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ dan $\subseteq I_y$ menurut kemaksimalan masing-masingnya: jadi $I_x = I_y$.

Jadi $U$ merupakan gabungan lepas atas [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $I_x$ yang berbeda-beda (karena setiap $x \in
U$ terletak di $I_x$-nya sendiri). Keterbilangannya: setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) $I$ yang tak kosong pada keluarganya memuat sebuah bilangan rasional $q_I$ ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density)), dan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) lepas yang berbeda memperoleh bilangan rasional yang berbeda: sehingga keluarganya terinjeksi ke $\Q$, yang terbilang (karena ia terindeks oleh pasangan bilangan bulat). Jadi [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) paling banyak terbilang.

**Latihan 12.11 ★★.**

Sebuah titik $x \in \R$ disebut *titik akumulasi* $A$ bila setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ berpotongan dengan $A \setminus \{x\}$; dan [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) adalah *[himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) turunan* $A'$. Buktikan bahwa $\overline A = A \cup A'$, dan bahwa $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) jika dan hanya jika $A' \subseteq A$. Tentukan $A'$ untuk $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$, untuk $A = \Z$, dan untuk $A = \Q$.

**Solusi Latihan 12.11.**

Klaimnya $\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) Selalu $A \subseteq \overline
A$; dan jika $x \in A'$, maka setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ berpotongan dengan $A
\setminus \{x\} \subseteq A$, sehingga $x$ bersifat lekat. ($\subseteq$) Misalkan $x \in \overline A$. Jika $x \in A$, selesai. Jika $x \notin A$, maka setiap [persekitaran](#def-b1-topology-open) $x$ berpotongan dengan $A = A \setminus \{x\}$: jadi $x \in
A'$.

Akibatnya $A$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$: di sini $0$ merupakan titik akumulasi (karena $\frac 1n \to
0$, dengan suku $\neq 0$); sedangkan setiap $\frac 1n$ terasing ([Latihan 12.7](#exo-b1-topology-7)), sehingga tak termasuk $A'$; dan sebuah titik $x
\notin A \cup \{0\}$ mempunyai seluruh [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang menghindari $A$ (yaitu di antara kedua tetangga $x$ pada $A \cup \{0\}$, atau di luar $1$). Jadi $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$: karena setiap bilangan bulat terasing, dan setiap yang bukan bilangan bulat mempunyai [persekitaran](#def-b1-topology-open) di dalam $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$: karena setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar sebarang bilangan real memuat tak hingga banyak bilangan rasional ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density)), khususnya satu yang berbeda dari pusatnya.

**Latihan 12.12 ★★★.**

Untuk $A \subseteq \R$ yang tak kosong, definisikan $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a}
: a \in A\}$. Buktikan:

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ untuk setiap $x, y$ (jadi $d_A$ bersifat Lipschitz- $1$ );
2. $d_A(x) = 0$ jika dan hanya jika $x \in \overline A$ ; khususnya, jika $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan $x \notin F$ , maka $d_F(x) > 0$ ;
3. untuk setiap $\varepsilon > 0$ , [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ bersifat [terbuka](#def-b1-topology-open) , memuat $F$ , dan $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ untuk $F$ yang [tertutup](#def-b1-topology-closed) : jadi setiap [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) merupakan irisan terbilang atas [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) .

**Solusi Latihan 12.12.**

1. Untuk setiap $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} +  \abs{y - a}$ , sehingga $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; lalu mengambil [infimum](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) atas $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} +  d_A(y)$ . Menukar $x$ dan $y$ memberikan ketaksamaan yang lain: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $a \in A$ dengan $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di sekitar $x$ berpotongan dengan $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Jika $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan $x \notin F = \overline F$ , maka $d_F(x) \neq 0$ , yakni $d_F(x) > 0$ .
3. Jika $d_F(x) < \varepsilon$ , tetapkan $r = \varepsilon -  d_F(x) > 0$ : maka untuk $\abs{y - x} < r$ , bagian (1) memberikan $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : jadi [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ terletak di $V_\varepsilon$ , sehingga ia [terbuka](#def-b1-topology-open) ; dan ia memuat $F$ karena $d_F = 0$ di sana. Akhirnya $x \in \bigcap_{\varepsilon>0}  V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline  F = F$ . Dan karena $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , setiap [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) merupakan irisan terbilang atas [himpunan terbuka](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 Soal: Himpunan Cantor, kecil dan raksasa sekaligus

**Soal 12.1.**

Soal akhir pekan — [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) sepertiga tengah: panjang nol, takterbilang, sempurna, dan $C + C =
\intcc{0}{2}$

Buanglah dari $\intcc{0}{1}$ sepertiga tengahnya yang [terbuka](#def-b1-topology-open), lalu sepertiga tengah setiap ruas yang tersisa, dan ulangilah selamanya: yang bertahan adalah *[himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1)* $C$, yaitu pabrik contoh penyangkal yang mendasar dalam analisis. Soal ini membangunnya, membacanya lewat mesin basis $3$ pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1), lalu menegakkan potret paradoksalnya: panjang totalnya nol, namun takterbilang; [interiornya](#def-b1-topology-closure) kosong, namun tanpa titik yang terasing; terputus seluruhnya, namun $C + C$ mengisi seluruh ruas $\intcc{0}{2}$. Secara resmi: $C_0 = \intcc{0}{1}$, dan $C_{n+1}$ diperoleh dari $C_n$ dengan menghapus sepertiga tengah yang [terbuka](#def-b1-topology-open) dari setiap ruas $C_n$; akhirnya $C = \bigcap_{n \geq 0}
C_n$. Di sepanjang soal ini, *sandi terner* bagi $x \in \intcc{0}{1}$ adalah sebarang untaian angka $(d_k)_{k\geq1}$ dengan $d_k \in \{0, 1, 2\}$ yang nilainya $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ sama dengan $x$ — adapun sandi yang tak sejati (yang akhirnya $2$) diperbolehkan; dan menurut [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) (pertanyaan 9–11), setiap $x \in
\intcc{0}{1}$ mempunyai satu atau dua sandi, dan dua tepat ketika $x = m/3^N
\in \intoo{0}{1}$.

**Bagian I — Konstruksinya.**

1. Perikan $C_1$ dan $C_2$ secara eksplisit sebagai gabungan ruas, lalu buktikan lewat induksi: bahwa $C_n$ merupakan gabungan lepas atas $2^n$ ruas [tertutup](#def-b1-topology-closed) , yang masing-masingnya berpanjang $3^{-n}$ .
2. Tunjukkan bahwa $C$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) , terbatas — sehingga kompak ( [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — tak kosong, dan bahwa setiap titik ujung setiap ruas setiap $C_n$ termasuk $C$ .
3. Panjang total $C_n$ adalah $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Simpulkan bahwa untuk setiap $\varepsilon > 0$ , [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $C$ dapat diselimuti oleh ruas yang berhingga banyak dengan panjang total $\leq \varepsilon$ : jadi [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) berpanjang *nol* .
4. Tunjukkan bahwa [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang termuat $C$ berpanjang $\leq  3^{-n}$ untuk setiap $n$ , sehingga ia singleton atau kosong: jadi $\mathring C = \emptyset$ . Karena [tertutup](#def-b1-topology-closed) dengan [interior](#def-b1-topology-closure) yang kosong, $C$ bersifat *tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun* .

**Bagian II — Sandi ternernya.**

5. Buktikan rekursi keserupaan dirinya $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{sehingga}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ dengan kedua kepingannya saling lepas: jadi $C$ adalah dua salinan dirinya sendiri pada skala $\frac13$.
6. Buktikan lewat induksi pada $n$ : bahwa $x \in C_n$ jika dan hanya jika $x$ mempunyai sandi terner yang $n$ angka pertamanya terletak di $\{0, 2\}$ . Lalu simpulkan, dengan memakai kenyataan bahwa $x$ mempunyai paling banyak dua sandi: bahwa $x \in C$ jika dan hanya jika $x$ mempunyai sandi *tanpa angka yang sama dengan $1$* (yaitu sandi *bebas-$1$* ).
7. Sandi dalam kerja: berikanlah sandi bebas- $1$ bagi $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ ; tunjukkan $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ dan $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , sehingga keduanya termasuk $C$ ; lalu periksalah bahwa $\frac14$ *bukan* titik ujung $C_n$ mana pun (karena titik ujung berbentuk $m/3^n$ ).
8. Tunjukkan bahwa setiap $x \in C$ mempunyai *tepat satu* sandi bebas- $1$ *(ketika $x$ mempunyai dua sandi, buktikan bahwa tepat satu dari pasangannya memuat angka $1$)* . Simpulkan: bahwa [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) nilainya merupakan bijeksi dari untaian $\{0,2\}$ pada $C$ .
9. (Diagonal) Misalkan $k \mapsto x_k$ sebarang [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ . Bangunlah untaian $\{0, 2\}$ yang berbeda pada indeks $k$ dari sandi $x_k$ , lalu simpulkan bahwa $C$ takterbilang — sedangkan sebaliknya, pertanyaan 3 mengatakan bahwa ia terabaikan secara metrik.

**Bagian III — Potret topologinya.**

10. Rakitlah catatan sejauh ini: bahwa $C$ kompak, takterbilang, berpanjang nol, dan tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun. Pemuatan tunggal $C \subseteq C_n$ yang mana yang membawa masing-masing sifatnya?
11. ( $C$ bersifat sempurna) Misalkan $x \in C$ dengan sandi bebas- $1$ $(d_k)$ . Membalikkan angkanya $d_n$ ( $0 \leftrightarrow  2$ ) menghasilkan $x_n \in C$ dengan $\abs{x_n - x} = 2 \cdot  3^{-n}$ . Simpulkan bahwa $C$ tak mempunyai titik terasing: bahwa setiap titik $C$ merupakan limit titik *lain* pada $C$ .
12. Tunjukkan bahwa titik ujung pada pertanyaan 2 membentuk [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $C$ yang terbilang dan [padat](#def-b1-topology-dense) *(pengallah sandinya setelah $n$ angka lalu lanjutkan dengan $0$; adapun keterbilangannya seperti pada [Latihan 12.10](#exo-b1-topology-10))* . Simpulkan: bahwa titik yang khas pada $C$ — seperti $\frac14$ — *bukan* titik ujung: jadi titik ujung merupakan kerangka terbilang di dalam tubuh yang takterbilang.
13. (Terputus seluruhnya) Misalkan $x < y$ di $C$ . Pilihlah $n$ dengan $3^{-n} < y - x$ lalu hasilkan sebuah titik $z \in  \intoo{x}{y}$ dengan $z \notin C$ . Simpulkan bahwa satu-satunya [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) tak kosong yang termuat $C$ adalah singleton.

**Bagian IV — Aritmetika $C$.**

14. Tunjukkan $1 - C = C$ *(apa yang dilakukan $x \mapsto 1 - x$ terhadap sandi bebas-$1$? ingatlah $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
15. (Penjumlahan sandi) Tunjukkan bahwa jika $x$ , $x'$ bersandi $(a_k)$ , $(b_k)$ , maka $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ dengan $t_n, t'_n$ jumlah parsialnya. Simpulkan: bahwa setiap $y  \in \intcc{0}{1}$ merupakan *titik tengah* dua titik $C$ — karena diberikan sandi $(e_k)$ bagi $y$ , pilihlah angka $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ dengan $\frac{a_k + b_k}{2} =  e_k$ .
16. Simpulkan $C + C = \intcc{0}{2}$ dan, dengan pertanyaan 14, $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Contoh konkretnya: tulislah $1$ sebagai jumlah dua bukan titik ujung yang ditemukan pada pertanyaan 7.
17. Renungkanlah: sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) berpanjang nol yang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) selisihnya mengisi $\intcc{-1}{1}$ . Mengapa tak ada pertentangan antara “ $C$ terabaikan secara metrik” dan “ $C + C$ berpanjang penuh”? (Satu kalimat; pikirkanlah apa yang dikendalikan panjang dan apa yang tidak.)

**Bagian V — Anggotanya, yang rasional dan yang irasional.**

18. Gabungkan pertanyaan 8 dengan kriteria keperiodikan pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) : bahwa titik $C$ bersifat rasional jika dan hanya jika sandi bebas- $1$ -nya periodik pada akhirnya. Jalankanlah pembagian panjang basis $3$ untuk memeriksa $\frac1{13} =  (0.\overline{002})_3 \in C$ .
19. Hasilkan sebuah anggota $C$ yang *irasional* secara eksplisit: yaitu nilai sandi dengan $d_k = 2$ pada posisi segitiga $k = \frac{j(j+1)}{2}$ dan $d_k = 0$ di tempat lain. Benarkanlah keirasionalannya lewat argumen jarak yang tumbuh pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) (pertanyaan 20).
20. (Pada seluruh ruasnya) Tinjaulah $h$ yang memetakan titik $C$ bersandi bebas- $1$ $(d_k)$ ke nilai untaian *biner* $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , yakni $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Tunjukkan bahwa $h$ memetakan $C$ *pada* $\intcc{0}{1}$ . Jadi $C$ yang terabaikan itu [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada sebuah ruas yang berpanjang penuh — yaitu bukti kedua bahwa $C$ takterbilang.
21. (Panjang yang serupa diri) Andaikan suatu gagasan panjang $L$ terdefinisi bagi $C$ dan salinan susutannya, yang menghormati penskalaan ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), kekekalan terhadap translasi, dan keaditifan atas penguraian lepas pada pertanyaan 5. Tunjukkan bahwa lalu $L(C) = \frac23\,L(C)$ , yang memaksa $L(C) = 0$ : jadi keserupaan diri saja sudah menghukum $C$ menjadi berpanjang nol.

**Bagian VI — Sepupunya yang gemuk, dan moralnya.**

22. ( [Himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) yang gemuk) Ulangilah konstruksinya, tetapi pada tahap $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) buanglah dari masing-masing $2^n$ ruas yang ada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) di tengahnya yang berpanjang $4^{-(n+1)}$ saja. Tunjukkan bahwa panjang ruasnya $l_n$ menuruti $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n =  \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , bahwa hasilnya $K = \bigcap K_n$ kompak dengan [interior](#def-b1-topology-closure) yang kosong, dan bahwa panjang total yang terbuang adalah $\sum_{n\geq0} 2^n  4^{-(n+1)} = \frac12$ . Dengan menerima keaditifan panjang bagi gabungan hingga atas [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) (yang intuitif, dan dibahas pada Tahun ke-3), lalu memakai kedua [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) [Contoh 12.20](#ex-b1-topology-nested) , tunjukkan bahwa sebarang keluarga hingga [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang menyelimuti $K$ berpanjang total $\geq \frac12$ : jadi $K$ tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun tetapi *tak* terabaikan. Jadi kekecilan mempunyai beberapa makna yang tak setara.
23. (Jarak) Tunjukkan bahwa untuk $F \subseteq \R$ yang [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan tak kosong serta $x \in \R$, [infimum](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ bersifat *tercapai* *(lewat barisan peminimum ditambah Bolzano–Weierstrass)*. Lalu hitunglah $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ yang tercapai persis di pusatnya $y = \frac12$ *(karena titik pada celah yang tercipta pada tahap $n$ berada dalam jarak $\frac{3^{-n}}{2}$ dari titik ujung celahnya, yang terletak di $C$)*.
24. (Setiap titik menjadi limit [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) ) Dengan memakai pertanyaan 12 dan 2, hasilkan satu barisan tunggal di $C$ yang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) limit [subbarisannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) adalah *seluruh* $C$ . (Bandingkanlah: bagi barisan yang konvergen [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) itu satu titik — sedangkan $C$ mewujudkan ujung yang berlawanan di antara yang kompak.)
25. Sintesis, satu kalimat untuk masing-masing: (i) teorema bab ini yang mana yang benar-benar dipakai konstruksinya (kestabilan [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) , kekompakan, dan pencirian lewat barisan)? (ii) daftarkanlah keempat pasangan paradoksal pada potretnya (panjang nol/takterbilang, [tertutup](#def-b1-topology-closed) / [interior](#def-b1-topology-closure) kosong, sempurna/terputus seluruhnya, terabaikan/ $C+C$ penuh); (iii) di manakah $C$ muncul kembali nanti (yaitu tangga setan yang dibangun di atas $h$ pada teori kekontinuan, dan teori ukuran pada jilid Tahun ke-3, yang di situ $C$ memisahkan “terbilang” dari “terabaikan”)?

**Solusi Soal 12.1.**

**1.** Di sini $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ dan

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

Lewat induksi: jika $C_n$ merupakan gabungan lepas atas $2^n$ ruas [tertutup](#def-b1-topology-closed) yang berpanjang $3^{-n}$, maka menghapus sepertiga tengahnya yang [terbuka](#def-b1-topology-open) dari masing-masingnya menyisakan dua ruas [tertutup](#def-b1-topology-closed) berpanjang $3^{-n-1}$ per induknya: sehingga $2^{n+1}$ ruas, yang saling lepas (karena anak dari induk yang berbeda terpisah sebab induknya sudah terpisah; sedangkan anak dari satu induk terpisah oleh celah yang dibuang).

**2.** Setiap $C_n$ merupakan gabungan hingga atas ruas, sehingga [tertutup](#def-b1-topology-closed); lalu $C = \bigcap C_n$ merupakan irisan [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed): jadi [tertutup](#def-b1-topology-closed) ([Definisi 12.5](#def-b1-topology-closed)); dan terbatas (karena $\subseteq
\intcc{0}{1}$): sehingga kompak menurut [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact). Tak kosong: karena $0$ terletak di ruas paling kiri setiap $C_n$. Misalkan $a$ titik ujung sebuah ruas $S$ pada $C_n$. Untuk $m \leq n$, $a \in C_n \subseteq C_m$. Adapun untuk tahap berikutnya: penghapusan sepertiga tengahnya tak pernah membuang titik ujung, dan $a$ kembali menjadi titik ujung salah satu dari kedua anak $S$ (yaitu anak yang menyentuh $a$); sehingga lewat induksi $a \in C_m$ untuk setiap $m \geq n$: jadi $a \in C$.

**3.** Panjang total $C_n$: $2^n \cdot 3^{-n} =
(\frac23)^n \to 0$. Diberikan $\varepsilon > 0$, pilihlah $n$ dengan $(\frac23)^n \leq \varepsilon$: maka $C \subseteq C_n$, yaitu gabungan atas ruas yang berhingga banyak dengan panjang total $\leq \varepsilon$.

**4.** Misalkan $I \subseteq C$ sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) dengan dua titik yang berbeda. Untuk setiap $n$: $I \subseteq C_n$, dan $I$, karena cembung, harus terletak di dalam *satu* ruas $C_n$ (karena berpotongan dengan dua ruas akan memaksa $I$ memuat sebuah titik celah di antara keduanya, yang berada di luar $C_n$). Sehingga panjang $I$ bernilai $\leq
3^{-n}$ untuk setiap $n$: yang bertentangan. Jadi satu-satunya [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di dalam $C$ adalah yang kosong atau singleton; khususnya tak ada $\intoo{x-r}{x+r}$ yang muat di dalam $C$: jadi $\mathring C = \emptyset$. Dan karena $C$ [tertutup](#def-b1-topology-closed), $\overline C = C$ berinterior kosong: sehingga $C$ tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun.

**5.** Tulislah $\varphi_0(x) = \frac x3$ dan $\varphi_2(x) =
\frac{2 + x}{3}$, yaitu bijeksi afin yang naik dari $\intcc{0}{1}$ pada $\intcc{0}{\frac13}$ dan $\intcc{\frac23}{1}$. Klaimnya: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. Untuk $n = 0$ inilah pertanyaan 1. Lewat induksi: [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) afin yang naik mengirim sepertiga tengah sebuah ruas ke sepertiga tengah ruas petanya, sehingga menghapus sepertiga tengah berkomutasi dengan $\varphi_0$ dan $\varphi_2$; lalu menerapkan langkah penghapusannya pada $C_{n+1} =
\varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ menghasilkan $C_{n+2} =
\varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$. Lalu mengiriskan atas $n$: untuk $x \leq \frac13$, $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ untuk setiap $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$; demikian pula pada $\intcc{\frac23}{1}$; dan tak ada titik $\intoo{\frac13}{\frac23}$ yang terletak di $C_1$. Jadi $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$, secara lepas.

**6.** Lewat induksi pada $n$; adapun kasus $n = 0$ mengatakan bahwa setiap $x \in
\intcc{0}{1}$ mempunyai sandi, dan itulah [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) (pertanyaan 9 untuk $x < 1$; sedangkan $1 = (0.\overline 2)_3$). Andaikan kesetaraannya berlaku pada peringkat $n$. Jika $x \in C_{n+1}$: maka menurut pertanyaan 5, $x =
\varphi_i(z)$ dengan $z \in C_n$ dan $i \in \{0, 2\}$; lalu jika $(e_k)$ sandi $z$ yang $n$ angka pertamanya bebas-$1$, maka $(i, e_1,
e_2, \dots)$ berjumlah parsial $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m}
e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$: yaitu sandi $x$ dengan $n +
1$ angka pertamanya bebas-$1$. Sebaliknya, jika $x$ mempunyai sandi $(d_k)$ dengan $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$: maka untaian tergesernya $(d_2,
d_3, \dots)$ bernilai suatu $z \in \intcc{0}{1}$, yang $n$ angka pertamanya bebas-$1$, dan perhitungan jumlah parsialnya yang dibaca mundur memberikan $x = \varphi_{d_1}(z)$; lalu lewat induksi $z \in
C_n$, sehingga $x \in C_{n+1}$ menurut pertanyaan 5. Akhirnya: sandi yang seluruhnya bebas-$1$ menaruh $x$ di setiap $C_n$, sehingga di $C$; sebaliknya jika $x \in C$, maka untuk setiap $n$ salah satu dari paling banyak dua sandi $x$ ([Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1), pertanyaan 11) mempunyai $n$ angka pertamanya bebas-$1$; lalu satu sandi yang tetap pasti berlaku untuk $n$ yang sebesar-besarnya (menurut sarang merpati di antara kedua sandinya), dan sandi yang $n$ angka pertamanya bebas-$1$ untuk $n$ yang sebesar-besarnya bersifat bebas-$1$ sepenuhnya.

**7.** Di sini $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (yaitu kembaran tak sejati dari $(0.1)_3$), dan $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. Lewat jumlah geometrinya:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

keduanya bebas-$1$: jadi $\frac14, \frac34 \in C$. (Adapun jumlah tak hingganya menyingkat [supremum](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) jumlah parsialnya, seperti pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1).) Titik ujung ruas $C_n$ berbentuk $m/3^n$ (lewat induksi: karena titik ujung anaknya adalah titik ujung induknya atau berbeda dari salah satunya sejauh kelipatan $3^{-n-1}$). Jika $\frac14 =
\frac{m}{3^n}$ maka $3^n = 4m$, padahal $4 \nmid 3^n$: yang mustahil. Jadi $\frac14 \in C$ tanpa pernah menjadi titik ujung.

**8.** Andaikan $x$ mempunyai dua sandi bebas-$1$ yang berbeda. Mempunyai dua sandi sama sekali berarti (menurut [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1), pertanyaan 11, basis $3$) bahwa $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ dan kedua sandinya adalah: yang berakhir, dengan angka taknol terakhirnya $d_N \in \{1, 2\}$ lalu disusul $0$, beserta kembarannya, dengan $d_N - 1$ pada posisi $N$ lalu disusul $2$. Jika $d_N = 1$ maka yang pertama memuat $1$; sedangkan jika $d_N
= 2$ maka kembarannya membawa $d_N - 1 = 1$. Bagaimanapun paling banyak satu dari pasangannya bebas-$1$: yang bertentangan. Jadi setiap $x \in C$ mempunyai tepat satu sandi bebas-$1$ (dengan keberadaannya menurut pertanyaan 6), dan untaian $\{0,2\}$ yang berbeda bernilai berbeda. Adapun setiap untaian $\{0,2\}$ bernilai di $\intcc{0}{1}$ (karena jumlah parsialnya $\leq
1$) dengan semua awalannya bebas-$1$, sehingga nilainya berada di setiap $C_n$, yakni di $C$: jadi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) nilainya merupakan bijeksi dari untaian $\{0,2\}$ pada $C$.

**9.** Misalkan $(d^{(k)})$ sandi bebas-$1$ bagi $x_k$ lalu tetapkan $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$: yaitu untaian $\{0,2\}$ yang nilainya $y$ terletak di $C$ dan mempunyai $(e_k)$ sebagai sandi bebas-$1$ tunggalnya (pertanyaan 8). Untuk setiap $k$ sandi $y$ dan $x_k$ berbeda pada posisi $k$, sehingga $y \neq x_k$: jadi tak ada [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ yang [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Yaitu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) takterbilang yang berpanjang nol: besar menurut kardinalitasnya, kecil menurut ukurannya — serentak.

**10.** Kekompakannya: yaitu ketertutupan irisan tak hingganya ditambah keterbatasannya (pertanyaan 2) — itulah satu sifat yang tak dibawa oleh satu pemuatan tunggal. Panjang nolnya: dari $C \subseteq
C_n$ yang berpanjang total $(\frac23)^n$ (pertanyaan 3). Ketakpadatannya di mana pun: karena $C \subseteq C_n$ memaksa [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di dalam $C$ berpanjang $\leq 3^{-n}$ (pertanyaan 4). Sedangkan ketakterbilangannya sama sekali tak menumpang pada pemuatan: ia memerlukan seluruh struktur irisannya, yang tersandikan pada bijeksi pertanyaan 8.

**11.** Balikkan $d_n$ menjadi $2 - d_n$: maka untaian barunya tetap untaian $\{0,2\}$, sehingga nilainya $x_n$ terletak di $C$; dan jumlah parsial di luar peringkat $n$ berselisih persis $2\cdot3^{-n}$, sehingga $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$. Jadi $x_n \neq x$ dan $x_n \to
x$: sehingga setiap titik $C$ merupakan limit titik lain pada $C$ — jadi $C$ bersifat *sempurna*, tanpa titik yang terasing.

**12.** Menurut induksi pertanyaan 5, ruas $C_n$ tepat berupa $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ dengan $t$ menjelajahi nilai untaian berpanjang $n$ atas $\{0,2\}$. Diberikan $x \in C$ bersandi $(d_k)$, maka pemenggalannya $t_n$ (yaitu angka $d_1 \dots d_n$ lalu $0$) merupakan titik ujung kiri, dan $0 \leq x - t_n
\leq 3^{-n}$: jadi titik ujungnya [padat](#def-b1-topology-dense) di $C$. Mereka membentuk [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\{m/3^n : m, n\}$, yaitu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang terindeks oleh pasangan bilangan bulat, sehingga terbilang (seperti untuk $\Q$ pada [Latihan 12.10](#exo-b1-topology-10)). Dan karena $C$ takterbilang (pertanyaan 9), semua titik $C$ kecuali yang terbilang banyaknya bukan titik ujung — adapun $\frac14$ (pertanyaan 7) adalah pucuk gunung es itu yang kasatmata.

**13.** Pilihlah $n$ dengan $3^{-n} < y - x$. Keduanya $x, y \in
C_n$, dan keduanya tak dapat terletak pada ruas yang sama (karena panjangnya $3^{-n} <
y - x$): sehingga celah yang dibuang di antara ruasnya menyediakan $z$ dengan $x < z < y$ dan $z \notin C_n \supseteq C$. Jadi sebarang dua titik $C$ terpisah oleh komplemennya: sehingga satu-satunya [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $C$ yang cembung adalah singleton — jadi $C$ terputus seluruhnya.

**14.** Jika $(d_k)$ sandi bebas-$1$ bagi $x$, maka untaian $(2 - d_k)$ kembali menjadi untaian $\{0,2\}$, dengan jumlah parsial

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

sehingga $1 - x \in C$. Jadi $1 - C \subseteq C$, lalu menerapkan petanya dua kali memberikan $1 - C = C$: sehingga [himpunan Cantor](#pb-b1-topology-1) setangkup terhadap $\frac12$.

**15.** Jumlah parsialnya $t_n \to x$ dan $t'_n \to x'$ (karena barisan yang naik konvergen ke [supremumnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds), yakni nilainya), sehingga $t_n + t'_n \to x + x'$ menurut [Teorema 11.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-operations). Diberikan $y \in \intcc{0}{1}$ dengan sandi $(e_k)$, pilihlah $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ menurut $e_k = 0, 1, 2$: maka $a_k + b_k = 2e_k$, sehingga untaian $(a_k)$, $(b_k)$ merupakan untaian $\{0,2\}$ dengan nilai $x,
x' \in C$, dan

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

jadi setiap $y \in \intcc{0}{1}$ merupakan titik tengah dua titik $C$.

**16.** Pertanyaan 15 memberikan $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1}
\subseteq C + C$, dan $C + C \subseteq \intcc{0}{1} +
\intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$: jadi sama. Lalu, dengan memakai $1 - C = C$:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

Contoh konkretnya: $1 = \frac14 + \frac34$, yaitu jumlah dua anggota $C$ yang bukan titik ujung.

**17.** Panjang mengukur seberapa banyak garisnya yang ditempati [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) sendiri; ia tak mengatakan apa pun tentang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) *jumlahnya*, yang merupakan peta dari keluarga berparameter dua $C \times C$ di bawah $(x,
x') \mapsto x + x'$ — karena kedua untaian angkanya dipilih secara saling bebas, dan kebebasan itulah yang persis mengisi $\intcc{0}{2}$. Tak ada teorema yang membatasi panjang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) jumlah oleh panjang penjumlahnya, dan $C$ adalah buktinya bahwa tak akan pernah ada.

**18.** Menurut [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) (pertanyaan 18), $x$ rasional jika dan hanya jika ekspansi sejatinya periodik pada akhirnya. Adapun sandi bebas-$1$ bagi $x \in C$ entah ekspansi sejati itu entah kembaran tak sejati dari yang berakhir; dan untaian yang berakhir beserta kembarannya (yang akhirnya $2$ terus) sama-sama periodik pada akhirnya, sehingga keperiodikan sandi bebas-$1$-nya setara dengan kerasionalan $x$. Pembagian panjang $\frac1{13}$ dalam basis $3$ (dengan $r_0 = 1$): $3 = 13\cdot0 + 3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 =
13\cdot2 + 1$, lalu sisanya kembali ke $1$: sehingga angkanya $\overline{002}$, jadi $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$, yang bebas-$1$ dan periodik: yaitu anggota $C$ yang rasional. (Periksa: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$.)

**19.** Untaian dengan $d_k = 2$ pada posisi segitiga $k = \frac{j(j+1)}{2}$ dan $0$ di tempat lain merupakan untaian $\{0,2\}$, sehingga nilainya $x^*$ termasuk $C$ (pertanyaan 8). Ia mempunyai tak hingga banyak $2$ dengan jarak $j + 1 \to \infty$ di antara yang berurutan, sehingga ia tak periodik pada akhirnya (karena periode $T$ akhirnya akan memaksa $2$ berjarak $\leq T$: yaitu argumen jarak yang tumbuh pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1), pertanyaan 20); lalu menurut pertanyaan 18, $x^* \notin \Q$. Dan menurut pertanyaan 9 ditambah keterbilangan $\Q$, semua anggota $C$ kecuali yang terbilang banyaknya bersifat irasional: jadi $x^*$ itu lazim, bukan kekecualian.

**20.** Misalkan $y \in \intcc{0}{1}$: ia mempunyai sandi biner $(c_k)$ dengan $c_k \in \{0, 1\}$ ([Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1), pertanyaan 9, basis $2$; adapun $y = 1$ memakai untaian yang seluruhnya $1$). Maka $(2c_k)$ merupakan untaian $\{0,2\}$, nilainya $x$ terletak di $C$, dan $h(x)$ adalah nilai $(c_k)$, yakni $y$: jadi $h$ memetakan $C$ pada $\intcc{0}{1}$. Seandainya $C$ merupakan peta dari sebuah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) dari $\N^*$, maka menyusunnya dengan $h$ akan mendaftar seluruh $\intco{0}{1}$, yang bertentangan dengan teorema diagonal pada [Soal 10.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#pb-b1-reals-1) (pertanyaan 22): jadi $C$ takterbilang, sekali lagi. Yaitu [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) berpanjang nol yang [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada sebuah ruas yang penuh.

**21.** Menurut pertanyaan 5, $C$ merupakan gabungan lepas atas $\varphi_0(C)$ dan $\varphi_2(C)$, yang masing-masingnya translasi dari salinan terskala $\frac13 C$. Lalu keaditifan, penskalaan dan kekekalan terhadap translasi memberikan

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

sehingga $\frac13 L(C) = 0$: jadi $L(C) = 0$. Keserupaan diri saja sudah menghukum $C$ menjadi berpanjang nol — dan pertanyaan 3 hanya melaksanakan hukumannya.

**22.** Sebuah ruas berpanjang $l_n$ kehilangan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di tengahnya yang berpanjang $4^{-(n+1)}$, sehingga menyisakan dua ruas berpanjang $l_{n+1}
= \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$; lalu dari $l_0 = 1$, induksi menegaskan $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$: memang $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr)
= \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$, dan $l_n > 0$ selalu: jadi konstruksinya tak pernah kelaparan. Adapun $K = \bigcap K_n$ [tertutup](#def-b1-topology-closed) dan terbatas, sehingga kompak; dan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) di dalam $K$ terletak pada satu ruas $K_n$, yang berpanjang $l_n \to 0$: jadi [interiornya](#def-b1-topology-closure) kosong. Panjang yang terbuang: $\sum_{n\geq0} 2^n
\cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n =
\frac12$, dan setiap $K_n$ berpanjang total $2^n l_n = \frac{2^n +
1}{2^{n+1}} > \frac12$. Sekarang misalkan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) yang berhingga banyak bergabungan $U \supseteq K$. Menurut [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) pendamping pada [Contoh 12.20](#ex-b1-topology-nested), $U \supseteq K_n$ untuk suatu $n$; lalu dengan menerima keaditifan panjang atas gabungan hingga [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals), panjang total [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) penyelimutnya sekurang-kurangnya sebesar panjang $K_n$, yang melampaui $\frac12$. Jadi $K$ tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun, namun tak ada selimut yang murah: sehingga kekecilan topologi (tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun) dan kekecilan metrik (berpanjang nol) sungguh gagasan yang berbeda, dan $K$ memisahkan keduanya.

**23.** Ketercapaiannya: misalkan $d = d(x, F)$ lalu pilihlah $a_k \in F$ dengan $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$: maka $a_k$ terbatas, sehingga Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-bw)) mengekstrak $a_{\varphi(k)} \to a$, dengan $a \in F$ (karena $F$ [tertutup](#def-b1-topology-closed), [Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) dan $\abs{x - a} = \lim
\abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. Sekarang maksimumnya: jika $y \in C$, maka $d(y, C) = 0$; kalau tidak, $y$ terletak pada celah yang dibuang pada suatu tahap $n \geq 1$, yaitu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](#def-b1-topology-open) berpanjang $3^{-n}$ yang kedua titik ujungnya termasuk $C$ (pertanyaan 2), sehingga $d(y, C) \leq
\frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, dengan kesamaannya menuntut $n = 1$ dan $y$ pada pusat celah $\intoo{\frac13}{\frac23}$, yakni $y = \frac12$; dan memang $d\bigl(\frac12, C\bigr) =
\frac16$ karena $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ dan $\frac13, \frac23 \in C$. Jadi $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C)
= \frac16$, yang tercapai persis di $\frac12$.

**24.** Titik ujungnya membentuk [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $C$ yang terbilang dan [padat](#def-b1-topology-dense) (pertanyaan 12): daftarkanlah mereka sebagai satu barisan tunggal $(e_j)_{j\geq1}$, yaitu barisan di $C$. Limit [subbarisannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) semuanya terletak di $C$ (karena $C$ [tertutup](#def-b1-topology-closed)). Sebaliknya, tetapkan $x \in C$: untuk setiap $n$, ruas $C_m$ yang memuat $x$ (dengan $m \geq n$) mempunyai titik ujungnya dalam jarak $3^{-m} \leq 3^{-n}$ dari $x$, sehingga tak hingga banyak titik ujung yang berbeda terletak dalam jarak $3^{-n}$ dari $x$; lalu pilihlah indeks $j_1 < j_2
< \dots$ dengan $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$: yaitu [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) yang konvergen ke $x$. Jadi [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) limit [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) $(e_j)$ tepat sama dengan $C$ — yaitu satu barisan yang menggerombol pada titik yang takterbilang banyaknya, yakni ujung yang berlawanan dari barisan yang konvergen, yang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) gerombolannya singleton.

**25.** (i) Konstruksinya memakai: kestabilan [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed) di bawah irisan sebarang (yaitu keberadaan $C$ sebagai [himpunan tertutup](#def-b1-topology-closed)), teorema kekompakan [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) (pertanyaan 2, 22, 23), dan pencirian ketertutupan maupun kelekatan lewat barisan (yaitu argumen kompak bersarang pada [Contoh 12.20](#ex-b1-topology-nested) dan pertanyaan 23). (ii) Keempat pasangannya: panjang nol namun takterbilang (pertanyaan 3, 9); [tertutup](#def-b1-topology-closed) namun berinterior kosong (pertanyaan 4); sempurna — tanpa titik yang terasing — namun terputus seluruhnya (pertanyaan 11, 13); serta terabaikan namun dengan $C + C = \intcc{0}{2}$ (pertanyaan 16). (iii) Adapun surjeksi $h$ pada pertanyaan 20, bila dibuat kontinu dan tidak turun, menjadi tangga setan pada teori fungsi yang kontinu; sedangkan pada teori ukuran jilid Tahun ke-3, $C$ menjadi saksi baku bahwa “terabaikan” tak berarti “terbilang”, dengan sepupunya yang gemuk (pertanyaan 22) memisahkan “tak [padat](#def-b1-topology-dense) di mana pun” dari “terabaikan”.