---
title: "Limit dan Kekontinuan"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan
---

# Bab 13 — Limit dan Kekontinuan

Teorema nilai antara dan teorema nilai ekstrem dahulu dipakai di tingkat Sekolah Menengah atas kepercayaan visual. Dengan barisan ([Bab 11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#ch-b1-seq)) dan topologi $\R$ ([Bab 12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#ch-b1-topology)) di tangan, bab ini membuktikan keduanya — lalu melengkapi teorinya dengan teorema bijeksi monoton (yang mengesahkan $\arcsin$, $\operatorname{arcosh}$ dan kerabatnya dari [Bab 4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#ch-b1-functions)) serta teorema Heine tentang [kekontinuan seragam](#def-b1-continuity-uniform).

Di sepanjang bab ini, $I$ sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) dan $f \colon I \to \R$; adapun “$x_0 \in
\overline I$” mengizinkan limit di titik ujungnya.

## 13.1 Limit fungsi

**Definisi 13.1 (Limit di sebuah titik).**

Misalkan $x_0 \in \overline{I}$ dan $\ell \in \R$. Maka $f(x) \to \ell$ ketika $x \to x_0$ bila

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

Adapun limit di $\pm\infty$ dan limit yang tak hingga didefinisikan dengan pola yang sama ($\abs{x - x_0} \leq \delta$ menjadi $x \geq M$; sedangkan $\abs{f(x) -
\ell} \leq \varepsilon$ menjadi $f(x) \geq M'$). Adapun limit sepihak membatasi $x$ pada $x > x_0$ (ditulis $x \to x_0^+$) atau $x < x_0$. Dan limitnya tunggal bila ada (dengan bukti yang sama seperti [Proposisi 11.4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#prop-b1-seq-first)).

**Contoh 13.2 (Sebuah limit lewat apitan).**

Hitunglah $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. Apitan [lantainya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-floor) $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq
\frac1x$ memberikan, setelah dikalikan dengan $x$ (awas tandanya!):

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

dan kedua apitan sepihaknya menutup pada $1$: jadi limitnya $1$. Perhatikan apa yang terjadi: bahwa $\lfloor \frac1x\rfloor$ sendirian melompat liar di dekat $0$, tetapi faktor $x$ menjinakkan setiap lompatannya (karena $x$ dikali lompatan satuan itu kecil), dan hanya apitannya yang bertahan. Inti gagasan penutupnya: bahwa limit hasil kali sebuah faktor yang kecil dengan faktor yang berayun terbatas adalah soal apitan, dan tak pernah soal teorema operasi — sebab teorema operasi menuntut *kedua* faktornya konvergen.

**Teorema 13.3 (Pencirian lewat barisan).**

Di sini $f(x) \to \ell$ ketika $x \to x_0$ jika dan hanya jika: untuk *setiap* barisan $(u_n)$ berisi titik $I$ dengan $u_n \to x_0$, berlaku $f(u_n) \to \ell$.

**Bukti.** ($\Rightarrow$) Misalkan $u_n \to x_0$ dan $\varepsilon > 0$. Ambillah $\delta$ dari definisinya, lalu $N$ dengan $\abs{u_n - x_0} \leq
\delta$ untuk $n \geq N$: maka di luar $N$, $\abs{f(u_n) - \ell} \leq
\varepsilon$.

($\Leftarrow$) Lewat kontraposisinya. Jika $f \not\to \ell$: maka suatu $\varepsilon_0 > 0$ mengalahkan setiap $\delta$; lalu memilih $\delta =
\frac{1}{n+1}$ menghasilkan $u_n \in I$ dengan $\abs{u_n - x_0} \leq
\frac{1}{n+1}$ dan $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$. Maka $u_n
\to x_0$ tetapi $f(u_n) \not\to \ell$. ∎

**Akibat 13.4 (Operasi, komposisi, urutan).**

Jumlah, hasil kali, dan hasil bagi (dengan limit penyebutnya taknol) atas limit berperilaku seperti pada barisan; lalu jika $f \to \ell$ di $x_0$ dan $g \to m$ di $\ell$, dan $g$ terdefinisi di sekitar $\ell$ dengan $g(\ell) = m$ atau $f \neq \ell$ di dekat $x_0$, maka $g \circ f \to m$ di $x_0$; adapun limit mengawetkan ketaksamaan yang lebar, dan teorema apitnya berlaku.

**Bukti.** Setiap [pernyataannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) berpindah lewat [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) ke padanan barisannya (Teorema [11.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-operations) dan [11.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-order)). Untuk komposisinya, perangkaian langsungnya pantas ditulis sekali: diberikan $\varepsilon >
0$, limit $g$ di $\ell$ memasok $\eta > 0$ dengan

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ pada daerah asal } g),
$$

dengan kasus $y = \ell$ tercakup karena $g(\ell) = m$; lalu limit $f$ di $x_0$ memasok $\delta > 0$ dengan $\abs{x -
x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$; sehingga dirangkai, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ memberikan $\abs{g(f(x)) - m} \leq
\varepsilon$. Adapun pada hipotesis alternatifnya ($f \neq \ell$ di dekat $x_0$), nilai $y = \ell$ tak pernah disuapkan ke $g$ sehingga nilainya di sana tak relevan. ∎

**Contoh 13.5 (Mengapa syarat pada komposisinya ada).**

Misalkan $g(y) = 0$ untuk $y \neq 0$ dan $g(0) = 1$, dan $f$ identik dengan $0$. Maka $f(x) \to 0$ ketika $x \to 0$, dan $g(y) \to 0$ ketika $y \to 0$; namun $g(f(x)) = g(0) = 1$ untuk setiap $x$, sehingga $g
\circ f \to 1 \neq 0$. Fungsi dalamnya duduk *persis pada* nilai terlarang $\ell = 0$ selamanya, dan limit $g$ di $0$ mengabaikan apa yang dilakukan $g$ di $0$. Adapun syarat pada [Akibat 13.4](#cor-b1-continuity-operations) — entah $g(\ell) = m$ (yakni $g$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di $\ell$), entah $f \neq \ell$ di dekat $x_0$ — persis itulah yang menyingkirkannya. Inti gagasan penutupnya: bahwa dalam praktik orang menyusun fungsi yang *[kontinu](#def-b1-continuity-continuous)* sehingga syaratnya cuma-cuma; ia menggigit hanya ketika limitnya diambil sepanjang [persekitaran](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) yang berlubang, dan itulah sebabnya definisi $\lim_{x \to x_0}$ yang dipakai buku ini menyertakan titiknya bila ia termasuk daerah asalnya.

## 13.2 Kekontinuan

**Definisi 13.6.**

Fungsi $f$ disebut *kontinu di $x_0 \in I$* bila $f(x)
\to f(x_0)$ ketika $x \to x_0$; dan *kontinu pada $I$* bila ia kontinu di setiap titiknya. Menurut [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar): $f$ kontinu di $x_0$ jika dan hanya jika $f(u_n) \to f(x_0)$ untuk setiap barisan $u_n \to x_0$ di $I$.

**Contoh 13.7 (Taksonomi ketakkontinuan).**

Ada tiga cara gagal di sebuah titik, dengan keparahan yang menaik. *Terhapuskan*: karena $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ pada $\R^*$ berlimit $1$ di $0$; sehingga menetapkan $f(0) = 1$ memperbaikinya — jadi ketakkontinuannya tadi sebuah lubang, bukan ciri. *Lompatan*: $\lfloor x \rfloor$ di sebuah bilangan bulat mempunyai limit sepihak yang berbeda ($n - 1$ dan $n$); sehingga tak ada pemilihan nilai yang dapat merukunkannya, tetapi kedua limit separuhnya ada. *Hakiki*: $\sin\frac1x$ di $0$ sama sekali tak mempunyai limit sepihak ([Latihan 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — yaitu ayunan tanpa pengendapan. Adapun fungsi monoton hanya dapat menghasilkan jenis yang di tengah (karena limit sepihaknya selalu ada, sebagai [supremum](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) dan [infimum](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds)), dan itulah sebabnya [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) ketakkontinuannya paling banyak terbilang — yaitu satu bilangan rasional per lompatan. Sedangkan turunan, menurut teorema Darboux ([Latihan 14.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#exo-b1-derivative-10)), hanya dapat menghasilkan jenis yang terakhir: jadi fungsi dengan ketakkontinuan lompatan tak pernah menjadi turunan apa pun.

**Proposisi 13.8.**

Jumlah, hasil kali, hasil bagi (di tempat ia terdefinisi) dan komposisi fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous). Adapun [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), [pecahan rasional](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#def-b1-fractions-field) (di luar polnya), $\abs{\,\cdot\,}$, $\exp$, $\ln$, fungsi trigonometri dan [fungsi hiperbolik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#def-b1-functions-hyperbolic) beserta inversnya ([Bab 4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#ch-b1-functions)) bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada daerah asalnya.

**Bukti.** Operasinya: [Akibat 13.4](#cor-b1-continuity-operations). Adapun konstanta dan identitas bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) langsung dari definisinya ($\delta = \varepsilon$ melayani identitasnya, dan sebarang $\delta$ bagi konstantanya); lalu karena hasil kali fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), setiap monomial $a_k x^k$ menyusul lewat induksi pada $k$, dan jumlahnya menuntaskan [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def); sedangkan [pecahan rasional](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#def-b1-fractions-field) adalah hasil bagi dua [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di mana pun penyebutnya tak lenyap. Untuk $\abs{\,\cdot\,}$: lewat ketaksamaan segitiga terbalik, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) -
f(x_0)}$, sehingga $\delta$ yang sama berlaku. Adapun untuk fungsi klasiknya kita menerima [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous) di sini; sedangkan sifat dapat diturunkannya (yang dibuktikan pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative)) lebih kuat. ∎

**Contoh 13.9 (Maks dan min fungsi yang kontinu).**

Jika $f, g$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), maka $\max(f, g)$ dan $\min(f, g)$ pun [kontinu](#def-b1-continuity-continuous): jadi tanpa analisis kasus, berkat kesamaan

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

dan [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) jumlah beserta $\abs{\,\cdot\,}$ ([Proposisi 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). Khususnya $f^+ =
\max(f, 0)$ dan $f^- = \max(-f, 0)$ bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f =
f^+ - f^-$: jadi pemisahan tanda yang dipakai bagi deret ([Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series)) dan, dalam skala penuh, pada teori pengintegralan jilid Tahun ke-3, tidak berongkos apa pun dalam keteraturannya.

**Teorema 13.10 (Teorema nilai antara).**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$ dengan $f(a) \leq 0 \leq
f(b)$. Maka $f(c) = 0$ untuk suatu $c \in \intcc{a}{b}$. Akibatnya, fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) mengambil setiap nilai di antara sebarang dua nilainya: jadi $f(I)$ merupakan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals).

**Bukti.** Lewat dikotomi. Tetapkan $a_0 = a$, $b_0 = b$. Diberikan $\intcc{a_n}{b_n}$ dengan $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, misalkan $m$ titik tengahnya: jika $f(m) \leq
0$ pertahankan $\intcc{m}{b_n}$, dan kalau tidak pertahankan $\intcc{a_n}{m}$; maka syarat tandanya bertahan. Barisan $(a_n), (b_n)$ itu berdampingan (karena $b_n -
a_n = \frac{b-a}{2^n}$), dengan limit bersama $c$ ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-adjacent)). Lalu menurut [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) dan [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-order): $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ dan $f(c) =
\lim f(b_n) \geq 0$, sehingga $f(c) = 0$.

Untuk akibatnya: diberikan nilai $f(u) < v < f(w)$, terapkanlah yang di atas pada $x \mapsto f(x) - v$ pada ruas yang bertitik ujung $u$ dan $w$; sehingga $f(I)$ cembung, yakni sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) ([Proposisi 10.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals)). ∎

![Fungsi yang kontinu dengan f(a) < 0 < f(b) pasti memotong sumbunya: karena bukti dikotomi memerangkap sebuah titik potong di antara barisan yang berdampingan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*Fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(a) < 0 < f(b)$ pasti memotong sumbunya: karena bukti dikotomi [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) memerangkap sebuah titik potong di antara barisan yang berdampingan.*

**Contoh 13.11 (Satu persamaan, dengan protokol lengkapnya).**

Pecahkanlah $\eu^x = 3 - x$ di atas $\R$: yaitu keberadaan, ketunggalan, dan letaknya. Tetapkan $g(x) = \eu^x + x - 3$, yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous). Untuk letak dan keberadaannya: $g(0) = -2 < 0$ dan $g(1) = \eu - 2 > 0$, sehingga teorema nilai antara menanamkan sebuah penyelesaian di $\intoo{0}{1}$. Ketunggalannya: karena $g$ merupakan jumlah $\eu^x$ yang naik tegas dengan $x - 3$, sehingga ia naik tegas pada $\R$; dan fungsi yang monoton tegas mengambil setiap nilainya paling banyak sekali, sehingga penyelesaiannya tunggal pada seluruh $\R$ (bukan hanya pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang diperiksa). Adapun protokolnya — susun ulang menjadi $g = 0$, lalu perubahan tanda untuk keberadaannya, lalu kemonotonan untuk ketunggalannya — menyelesaikan kebanyakan pertanyaan “berapa banyak penyelesaiannya” dalam tiga baris, dan tabel variasi pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) memperluasnya ke $g$ yang tak monoton dengan memotong $\R$ menjadi cabang yang monoton.

**Contoh 13.12 (Dikotomi sebagai algoritma).**

Bukti [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) itu menghitung. Ambillah $f(x) =
x^3 + x - 1$: di sini $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$, sehingga sebuah akar terletak di $\intoo{0}{1}$. Lalu memaruhkannya:

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

sehingga akarnya berturut-turut terperangkap di $\intoo{0.5}{1}$, lalu $\intoo{0.5}{0.75}$, lalu $\intoo{0.625}{0.75}$ (dengan nilai sejatinya $c \approx 0.6823$). Setelah $n$ langkah galatnya paling banyak $\frac{b - a}{2^n}$: jadi sepuluh langkah memberikan tiga desimal, dan dua puluh memberikan enam. Inti gagasan penutupnya: bahwa teorema nilai antara bukan hanya [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) keberadaan — karena bukti dikotominya merupakan algoritma pencarian akar yang terjamin, meski lamban, yang terhadapnya metode Newton pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) yang cepat tetapi lokal patut diukur.

**Teorema 13.13 (Teorema nilai ekstrem).**

Fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah ruas $\intcc{a}{b}$ bersifat terbatas dan mencapai batasnya: yakni ada $c, d \in \intcc{a}{b}$ dengan

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

Digabung dengan [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt): *peta ruas di bawah fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) adalah ruas* $\intcc{f(c)}{f(d)}$.

**Bukti.** *Terbatas di atas:* kalau tidak, pilihlah $u_n$ dengan $f(u_n) \geq n$. Menurut kekompakan ruasnya ([Teorema 12.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#thm-b1-topology-compact)), suatu [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$; lalu [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous) memberikan $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$, padahal $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n)
\to +\infty$: yang bertentangan.

*Sup tercapai:* misalkan $M = \sup f$ lalu pilihlah $v_n$ dengan $f(v_n) >
M - \frac{1}{n+1}$ ([Proposisi 10.4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-epsilon)). Ekstraklah $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$: maka $f(d) = \lim
f(v_{\varphi(n)}) = M$ menurut apitannya. Adapun [infimumnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) ditangani oleh $-f$. ∎

**Contoh 13.14 (Minimum yang positif pada sebuah ruas).**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$ dengan $f(x) > 0$ untuk setiap $x$. Maka $\inf f > 0$: karena menurut teorema nilai ekstrem [infimumnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds) merupakan sebuah *nilai* $f(c)$, dan $f(c) > 0$ menurut hipotesisnya. Jadi fungsi positif yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah ruas terbatas menjauhi $0$ — yaitu argumen dua baris yang dipakai belasan kali pada bab berikutnya (penyebut yang terkendali, pengapitan fungsi tangga, batas galat). Pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang tak kompak hal ini gagal secara mencolok: karena $f(x) = x$ pada $\intoc{0}{1}$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan positif dengan $\inf f = 0$, yang tak tercapai. Inti gagasan penutupnya: bahwa “positif” naik pangkat menjadi “positif seragam” tepat jika daerah asalnya kompak; jadi setiap hipotesis teorema nilai ekstrem memikul beban.

**Catatan 13.15 (Jebakan yang lazim di sekitar ketiga teoremanya).**

(i) *Peta di bawah fungsi [kontinu](#def-b1-continuity-continuous)*: hanya *ruas* yang kokoh. Karena peta [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) di bawah fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) tak harus [terbuka](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) ($x \mapsto x^2$ memetakan $\intoo{-1}{1}$ pada $\intco{0}{1}$), dan peta [himpunan tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) tak harus [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) ($\arctan$ memetakan $\R$ yang [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) pada $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ yang [terbuka](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open)); tetapi peta sebuah ruas adalah ruas ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)). (ii) *Teorema nilai antara memerlukan sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals)*: karena fungsi $x
\mapsto \frac1x$, yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intco{-1}{0} \cup
\intoc{0}{1}$, mengambil nilai $-1$ dan $1$ namun tak pernah lenyap — sebab daerah asalnya dua kepingan yang lepas, dan nilai $0$ jatuh ke celahnya; jadi namailah selalu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang di atasnya teoremanya diterapkan. (iii) *[Kekontinuan seragam](#def-b1-continuity-uniform) adalah sifat pasangan (fungsi, [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets))*: karena $x^2$ [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform) pada setiap ruas namun tidak pada $\R$ ([Contoh 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — jadi kata “[kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform)” tanpa daerah asalnya tak bermakna. (iv) *[Kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) inversnya tak bersifat formal*: ia berlaku pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) lewat kemonotonan ([Teorema 13.16](#thm-b1-continuity-bijection)), tetapi bijeksi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) antara gabungan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) dapat berinvers takkontinu — adapun catatan setelah teorema itu ada karena mahasiswa mengutipnya tanpa hipotesis [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals).

## 13.3 Fungsi monoton dan fungsi invers

**Teorema 13.16 (Teorema bijeksi monoton).**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan monoton tegas pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $I$. Maka

1. $f$ merupakan bijeksi dari $I$ pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ ;
2. inversnya $f^{-1} \colon J \to I$ bersifat monoton tegas (pada arah yang sama) dan *[kontinu](#def-b1-continuity-continuous)* .

**Bukti.** Katakanlah $f$ naik tegas. (1) Keinjektifannya langsung dari kemonotonan tegasnya; kesurjektifannya pada $f(I)$ sepele, dan $f(I)$ merupakan [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) menurut [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt).

(2) Adapun $f^{-1}$ naik tegas: karena jika $y < y'$ di $J$ tetapi $f^{-1}(y)
\geq f^{-1}(y')$, maka menerapkan $f$ yang naik memberikan $y \geq y'$, yang mustahil. [Kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) $f^{-1}$ di $y_0 = f(x_0) \in J$: misalkan $\varepsilon > 0$. Andaikan mula-mula $x_0$ [interior](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) bagi $I$, lalu kecilkan $\varepsilon$ sehingga $x_0 \pm \varepsilon \in I$: maka petanya memenuhi $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 +
\varepsilon)$. Ambillah $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 +
\varepsilon) - y_0\bigr) > 0$: sehingga untuk $\abs{y - y_0} \leq \delta$, kemonotonan $f^{-1}$ mengapit $f^{-1}(y)$ di antara $x_0 -
\varepsilon$ dan $x_0 + \varepsilon$. Jika $x_0$, katakanlah, titik ujung kiri $I$, maka hanya $x_0 + \varepsilon$ yang tersedia: lalu $y_0 = \min J$ (menurut kemonotonannya), setiap $y \in J$ dengan $y - y_0
\leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ memenuhi $x_0 \leq f^{-1}(y)
\leq x_0 + \varepsilon$, dan taksiran sepihaknya persis merupakan [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) di sebuah titik ujung; adapun titik ujung kanannya simetris. (Perhatikan: [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) $f^{-1}$ *tak* disimpulkan dari [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) $f$ lewat kesimetrian — karena kemonotonan pada sebuah selanglah yang mengerjakannya.) ∎

**Catatan 13.17.**

Teorema inilah yang dipakai diam-diam oleh [Definisi 4.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#def-b1-functions-arc) dan [Proposisi 4.21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#prop-b1-functions-invhyp): bahwa $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\operatorname{arsinh}$, … bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous). Ada pelengkapnya ([Latihan 13.10](#exo-b1-continuity-10)): bahwa fungsi *[injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj)* yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) otomatis monoton tegas, sehingga hipotesis kemonotonannya tak berongkos apa pun.

**Contoh 13.18 (Akar segala orde).**

Untuk $n \in \N^*$, fungsi $f(x) = x^n$ bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan naik tegas pada $\intco{0}{+\infty}$, dengan $f(0) = 0$ dan $f(x) \to +\infty$: sehingga petanya adalah $\intco{0}{+\infty}$ (menurut [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) untuk struktur [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals)). Lalu teorema bijeksi monotonnya menghasilkan, dalam satu tarikan, sebuah invers *[kontinu](#def-b1-continuity-continuous)* yang naik tegas

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

yakni keberadaan, ketunggalan dan [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) akar pangkat $n$, tanpa perhitungan apa pun. Bandingkanlah dengan [Latihan 10.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-12), yang membangun $\sqrt y$ dengan tangan dari [supremumnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#def-b1-reals-bounds): jadi satu bab teori sudah memampatkan satu halaman kerja itu menjadi dua baris, dan dua baris yang sama sudah mengesahkan $\arcsin$, $\arctan$ dan $\operatorname{arsinh}$ sebelumnya. Inti gagasan penutupnya: bahwa teorema yang baik adalah kerja yang tersimpan.

## 13.4 Kekontinuan seragam

**Definisi 13.19.**

Fungsi $f \colon I \to \R$ disebut *kontinu seragam* bila

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

Intinya: bahwa $\delta$ bergantung pada $\varepsilon$ saja, bukan pada letaknya di $I$. [Kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) seragam mengakibatkan [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous); dan fungsi *Lipschitz* ($\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$) bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) seragam (dengan $\delta = \varepsilon/k$).

**Contoh 13.20.**

Fungsi $x \mapsto x^2$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\R$ tetapi *tak* [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform): karena $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ padahal argumennya berjarak $\frac 1n \to 0$. Namun pada sebarang [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang terbatas ia Lipschitz, sehingga [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform) — yang selaras dengan teorema Heine di bawah.

**Contoh 13.21 (Modulus keseragamannya, secara eksplisit).**

Pada sebuah ruas, Heine menjamin $\delta$ yang seragam; dan sering kali kita juga dapat *menghitungnya*. Untuk $f(x) = x^2$ pada $\intcc{0}{10}$:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

sehingga $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ berlaku secara seragam (yaitu [modulus](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) Lipschitz, yang linear dalam $\varepsilon$). Untuk $\sqrt x$ pada $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$ ([Latihan 13.9](#exo-b1-continuity-9)), sehingga $\delta = \varepsilon^2$ berlaku — yang seragam tetapi *tak* linear: karena di dekat $0$ akar kuadratnya curam, dan harganya muncul pada eksponen $\varepsilon$, bukan pada kegagalan keseragamannya. Inti gagasan penutupnya: bahwa [kekontinuan seragam](#def-b1-continuity-uniform) adalah spektrum, bukan ya/tidak — karena fungsi $\delta(\varepsilon)$, yang disebut modulusnya, mengukur seberapa mahal keseragaman itu, dan Lipschitz sekadar peringkatnya yang terbaik.

**Teorema 13.22 (Heine).**

Fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah *ruas* $\intcc{a}{b}$ bersifat [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform).

**Bukti.** Lewat pertentangan: andaikan suatu $\varepsilon_0 > 0$ mengalahkan setiap $\delta$. Dengan $\delta = \frac{1}{n+1}$, pilihlah $x_n, y_n \in
\intcc{a}{b}$ dengan $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ dan $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$. Lalu kekompakannya ([Teorema 12.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#thm-b1-topology-compact)) mengekstrak $x_{\varphi(n)} \to c \in
\intcc{a}{b}$; sehingga $y_{\varphi(n)} \to c$ pula (lewat apitan pada $\abs{x -
y}$). [Kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) di $c$ memberikan $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ dan $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, sehingga $\abs{f(x_{\varphi(n)}) -
f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$: yang bertentangan. ∎

**Contoh 13.23 (Terbatas, kontinu, namun tak seragam).**

Fungsi $f(x) = \sin(x^2)$ bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan terbatas pada $\R$, tetapi tak [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform). Ambillah

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

namun $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) -
\sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ untuk setiap $n$: sehingga tak ada $\delta$ tunggal yang dapat melayani $\varepsilon = \frac12$ di mana-mana. Secara geometri, ayunan $\sin(x^2)$ *mempercepat*: karena grafiknya menuntaskan satu gelombang penuh pada jendela yang kian pendek, sehingga skala mendatar yang dituntut sebuah $\varepsilon$ menyusut ke nol ketika $x$ tumbuh. Inti gagasan penutupnya: bahwa keterbatasan tak membeli keseragaman (menurut contoh ini), dan ketakterbatasan tak menghalanginya ($\sqrt x$, [Latihan 13.9](#exo-b1-continuity-9)); adapun yang memutuskan adalah *[modulus](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) ayunannya*, dan teorema Heine mengatakan bahwa daerah asal yang kompak mendisiplinkannya secara otomatis.

**Contoh 13.24 (Percobaan kalkulator, yang dijelaskan).**

Ketiklah sebarang bilangan pada kalkulator lalu tekanlah $\cos$ berulang-ulang: maka layarnya mengunci pada $0.7390851\dots$ Mengapa? Setelah satu tekanan nilainya terletak di $\intcc{-1}{1}$, setelah dua di $\intcc{\cos 1}{1}
\subseteq \intcc{0.54}{1}$, yaitu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang stabil bagi $\cos$. Di atasnya, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ dengan $\sin 1 =
0.841\dots < 1$ (menurut batas hasil kali menjadi jumlah pada [Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#pb-b1-seq-1), atau ketaksamaan nilai rata-rata pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative)): sehingga iterasinya mengontraksi, jadi menurut langkah kendali galat pada [Metode 11.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#met-b1-seq-recurrent),

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

dengan $c$ titik tetap tunggal $\cos c = c$ ([Latihan 13.6](#exo-b1-continuity-6)). Kira-kira $40$ tekanan membeli tiga desimal (karena $0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — yaitu laju geometri, yang lebih jinak daripada $2^{-n}$ per langkah pada dikotominya, tetapi setiap tekanannya berongkos satu ketukan tombol sedangkan setiap langkah dikotominya berongkos satu penilaian tanda yang penuh. Inti gagasan penutupnya: bahwa gambaran titik tetap pada [Bab 11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#ch-b1-seq) dan teorema keberadaan pada bab ini merupakan dua paruh dari satu kisah — teorema nilai antara menemukan $c$, sedangkan kontraksinya mencapainya.

**Catatan 13.25 (Di mana teorema ini bekerja berikutnya).**

Ketiga pilar bab ini masing-masing menggerakkan bab yang belakangan. Adapun teorema nilai antara menyuapi setiap argumen keberadaan penyelesaian dan teorema bijeksi monotonnya; sedangkan teorema nilai ekstrem mengubah masalah pengoptimuman menjadi teorema (karena Rolle dan teorema nilai rata-rata pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) bermula persis di situ); sementara teorema Heine adalah alasan mengapa fungsi yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada ruas dapat diintegralkan pada [Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration) — karena $\delta$ yang seragam itulah yang membuat jumlah Riemannnya konvergen. Pada jilid Tahun ke-2 trio yang sama muncul kembali pada ruang vektor bernorma, dengan kekompakan mengerjakan apa yang dikerjakan ruas di sini.

**Catatan 13.26 (Cakrawala di dalam jilid ini).**

[Kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) segera akan dilampaui tetapi tak pernah dipensiunkan. [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) memperkuatnya menjadi sifat dapat diturunkan lalu membalas jasanya (karena dapat diturunkan mengakibatkan [kontinu](#def-b1-continuity-continuous)); sedangkan [Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration) bersandar padanya dua kali, lewat Heine untuk konstruksinya dan lewat teorema fundamentalnya, yang objek pusatnya $x \mapsto \int_a^x f$ menaikkan pangkat $f$ yang sekadar [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) menjadi primitif $C^1$. Pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) dalam dua variabel menyimpan jebakan yang pantas ditengok lebih dulu: bahwa fungsi $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (yang diperluas oleh $0$) bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dalam $x$ untuk setiap $y$ yang tetap dan dalam $y$ untuk setiap $x$ yang tetap, namun tak [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di titik asalnya — karena sepanjang diagonal $x = y$ ia selalu $\frac12$. Jadi [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) yang terpisah sungguh lebih lemah daripada [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous): pencirian lewat barisan memang bertahan pada perpindahan ke $\R^2$, tetapi barisannya harus diizinkan mendekat dari *setiap* arah, bukan hanya sepanjang sumbunya.

## 13.5 Latihan

**Latihan 13.1 ★.**

Dengan memakai pencirian lewat barisan, buktikan bahwa $x \mapsto
\sin\frac 1x$ tak berlimit di $0^+$ *(tunjukkanlah dua barisan)*. Apakah $x \mapsto x \sin\frac 1x$ mempunyai limit?

**Solusi Latihan 13.1.**

Ambillah $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ dan $v_n = \frac{1}{2\pi n}$: keduanya menuju $0^+$, namun $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ dan $\sin\frac{1}{v_n} = 0$. Jadi dua barisan, dengan dua limit peta yang berbeda: sehingga menurut [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar), tak ada limit di $0^+$.

Adapun $x \sin\frac1x$: terapit oleh $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, sehingga limitnya di $0$ ada dan sama dengan $0$.

**Latihan 13.2 ★.**

Telaahlah [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) pada $\R$ bagi $f(x) = \lfloor x \rfloor$ dan bagi $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$, dan bagi $h(x) = \lfloor x \rfloor +
(x - \lfloor x\rfloor)^2$.

**Solusi Latihan 13.2.**

Fungsi $f = \lfloor\cdot\rfloor$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\R \setminus \Z$ (karena konstan secara lokal) dan takkontinu di setiap $n \in \Z$: dengan limit kirinya $n - 1$, sedangkan nilainya $n$.

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$: dengan titik ketakkontinuan yang sama (karena identitasnya [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), sehingga $g$ mewarisi lompatan $f$); di $n \in
\Z$, limit kirinya $1 \neq 0 = g(n)$.

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$: pada $\intco{n}{n
+ 1}$, $h(x) = n + (x - n)^2$, yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di sana; sedangkan di $x = n$, limit kirinya $(n-1) + 1 = n = h(n)$: jadi lompatannya saling meniadakan. Sehingga $h$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\R$ (dan naik tegas).

**Latihan 13.3 ★.**

Buktikan bahwa persamaan $x^5 - 3x + 1 = 0$ mempunyai sekurang-kurangnya tiga penyelesaian real *(nilailah pada titik yang terpilih baik lalu terapkan [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) pada tiga ruas yang lepas)*.

**Solusi Latihan 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$: di sini $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$; $P(0) = 1 >
0$; $P(1) = -1 < 0$; $P(2) = 27 > 0$. Jadi ada tiga perubahan tanda pada ruas yang lepas $\intcc{-2}{0}$, $\intcc{0}{1}$, $\intcc{1}{2}$: sehingga menurut [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), sekurang-kurangnya ada tiga akar. (Karena berderajat $5$, $P$ mempunyai paling banyak lima; dan telaah variasinya akan menunjukkan tepat tiga.)

**Latihan 13.4 ★.**

Buktikan bahwa setiap [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat ganjil mempunyai akar real.

**Solusi Latihan 13.4.**

Misalkan $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ dengan $a_{2m+1} > 0$ (kalau tidak gantilah $P$ dengan $-P$). Dengan memfaktorkan suku dominannya, $P(x) = a_{2m+1}
x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ ketika $x \to \pm\infty$: sehingga $P(x) \to
+\infty$ di $+\infty$ dan $-\infty$ di $-\infty$. Pilihlah $a$ dengan $P(a) < 0$ dan $b$ dengan $P(b) > 0$: maka teorema nilai antara pada $\intcc{a}{b}$ menyediakan sebuah akar.

**Latihan 13.5 ★★.**

(Titik tetap) Misalkan $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous). Buktikan bahwa $f$ mempunyai titik tetap: yakni $f(c) = c$ untuk suatu $c$. Perlihatkanlah bahwa [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous) maupun ruasnya tak dapat dilepaskan.

**Solusi Latihan 13.5.**

Misalkan $g(x) = f(x) - x$, yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$. Karena $f$ memetakan ke dalam $\intcc{0}{1}$: maka $g(0) = f(0) \geq 0$ dan $g(1) = f(1) - 1 \leq
0$. Menurut [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), $g(c) = 0$ untuk suatu $c$: yaitu sebuah titik tetap.

Keperluan hipotesisnya: pada $\intcc{0}{1}$, [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) takkontinu $f(x) = 1$ untuk $x \leq \frac12$, $f(x) = 0$ untuk $x > \frac12$ tak mempunyai titik tetap; sedangkan pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (yang bukan ruas), $f(x) =
\frac x2$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) ke dalam $\intoo{0}{1}$ tanpa titik tetap (karena calonnya $0$ tak ada); dan pada $\R$, $f(x) = x + 1$.

**Latihan 13.6 ★★.**

Buktikan bahwa persamaan $\cos x = x$ mempunyai tepat satu penyelesaian real, dan bahwa ia terletak di $\intoo{0}{1}$.

**Solusi Latihan 13.6.**

Fungsi $g(x) = \cos x - x$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), dengan $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = \cos 1 -
1 < 0$: sehingga sebuah penyelesaian ada di $\intoo{0}{1}$ ([Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)). Ketunggalannya: karena $g$ turun tegas pada $\R$ — untuk $x \leq 0$, $g(x) \geq 1 - x > 0$ toh tak mempunyai nol; dan $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ dengan kesamaannya hanya di titik yang terasing ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$), sehingga $g$ turun tegas ([Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative); atau sebagai alternatifnya: pada $\intcc{0}{1}$, $\cos$ turun tegas dan $-x$ pun demikian, sehingga $g$ juga). Adapun fungsi yang monoton tegas lenyap paling banyak sekali.

**Latihan 13.7 ★★.**

Misalkan $f \colon \R \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(x) \to +\infty$ ketika $x
\to \pm\infty$. Buktikan bahwa $f$ mencapai minimum semestanya pada $\R$. *(Reduksikanlah ke sebuah ruas yang memuat [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) subarasnya.)*

**Solusi Latihan 13.7.**

Tetapkan $M = f(0) + 1$. Ada $A > 0$ dengan $f(x) \geq M$ untuk $\abs x
\geq A$ (menurut definisi kedua limit tak hingganya; ambillah ambang yang lebih besar). Pada ruas $\intcc{-A}{A}$, teorema nilai ekstrem ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) menyediakan $c$ dengan $f(c) =
\inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$. Untuk $\abs x \geq A$: $f(x) \geq M
> f(0) \geq f(c)$. Jadi $f(c)$ merupakan minimum semestanya.

**Latihan 13.8 ★★.**

Misalkan $f \colon \R \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan periodik (dengan periode $T >
0$). Buktikan bahwa $f$ terbatas dan mencapai batasnya, dan bahwa ada $c$ dengan $f(c + \frac T2) = f(c)$. *(Untuk butir keduanya, telaahlah $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ pada satu periode.)*

**Solusi Latihan 13.8.**

Pada ruas $\intcc{0}{T}$, $f$ terbatas dan mencapai batasnya ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)); lalu menurut keperiodikannya, itulah batasnya pada seluruh $\R$, yang tetap tercapai.

Misalkan $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$, yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous). Maka

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

jadi $g(0)$ dan $g(\frac T2)$ bertanda berlawanan (atau salah satunya lenyap), sehingga teorema nilai antara pada $\intcc{0}{T/2}$ memberikan $c$ dengan $g(c) = 0$, yakni $f(c + \frac T2) = f(c)$.

**Latihan 13.9 ★★.**

Buktikan bahwa $x \mapsto \sqrt x$ [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform) pada $\intco{0}{+\infty}$, meskipun ia tak Lipschitz di dekat $0$. *(Buktikan lalu pakailah $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$.)*

**Solusi Latihan 13.9.**

Pertama ketaksamaannya: untuk $0 \leq y \leq x$,

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

sehingga $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$, yakni $\sqrt x - \sqrt y
\leq \sqrt{x - y}$. Jadi $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$ untuk setiap $x, y \geq 0$.

[Kekontinuan seragamnya](#def-b1-continuity-uniform): diberikan $\varepsilon > 0$, ambillah $\delta =
\varepsilon^2$; maka $\abs{x - y} \leq \delta$ mengakibatkan $\abs{\sqrt x
- \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$.

Tak Lipschitz di dekat $0$: karena $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} =
\frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ ketika $x \to 0^+$, sehingga tak ada konstanta $k$ yang dapat mendominasi semua hasil bagi selisihnya.

**Latihan 13.10 ★★★.**

Misalkan $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $I$. Buktikan bahwa $f$ monoton tegas. *Petunjuk: kalau tidak, ada $a < b < c$ dengan, katakanlah, $f(b) > f(a)$ dan $f(b) > f(c)$; lalu terapkan teorema nilai antara pada sebuah nilai di antara $\max(f(a), f(c))$ dan $f(b)$ pada kedua sisi $b$.*

**Solusi Latihan 13.10.**

Andaikan $f$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), dan tak monoton tegas. Maka ada $a < b < c$ di $I$ dengan $f(b)$ tak berada di antara $f(a)$ dan $f(c)$ — memang, seandainya untuk *setiap* tripelnya nilai tengahnya berada di antara nilai luarnya, maka $f$ akan monoton (bandingkanlah sebarang dua pasangnya; lewat pemeriksaan kasus yang singkat). Katakanlah $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (adapun kasus yang lain simetris, gantilah $f$ dengan $-f$). Pilihlah $v$ dengan $\max(f(a),
f(c)) < v < f(b)$. Menurut teorema nilai antara yang diterapkan pada $\intcc{a}{b}$ dan pada $\intcc{b}{c}$, ada $u_1 \in
\intoo{a}{b}$ dan $u_2 \in \intoo{b}{c}$ dengan $f(u_1) = v = f(u_2)$: yaitu dua titik berbeda dengan peta yang sama, yang bertentangan dengan keinjektifannya.

**Latihan 13.11 ★★★.**

(Persamaan fungsional Cauchy, kasus yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous)) Misalkan $f \colon \R \to
\R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(x + y) = f(x) + f(y)$ untuk setiap $x, y$. Buktikan bahwa $f(x) = f(1)\,x$ untuk setiap $x$: mula-mula pada $\N$, $\Z$, $\Q$ (lewat keaditifannya belaka), lalu pada $\R$ lewat [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) dan [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density)).

**Solusi Latihan 13.11.**

Dari $f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ diperoleh $f(0) = 0$; dan $f(-x) = -f(x)$ dari $0 =
f(x - x)$. Tetapkan $\alpha = f(1)$. Lewat induksi: $f(n) = n\alpha$ untuk $n
\in \N$, lalu untuk $n \in \Z$ menurut keganjilannya. Untuk $q \in \N^*$: $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (dengan menjumlahkan $\frac pq$ pada dirinya $q$ kali), sehingga $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$: jadi $f = \alpha\,
\mathrm{id}$ pada $\Q$.

Sekarang misalkan $x \in \R$ dan $(r_n)$ barisan bilangan rasional dengan $r_n \to
x$ (menurut [kepadatannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense), [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-density), yang diterapkan pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang bersarang; atau $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$). Lewat [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous): $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$.

**Latihan 13.12 ★★★.**

Misalkan $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(x) \to \ell \in \R$ ketika $x \to +\infty$. Buktikan bahwa $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) *seragam* pada $\intco{0}{+\infty}$. *(Potonglah pada $A$ yang besar: Heine pada $\intcc{0}{A+1}$, dan limitnya di luar $A$; lalu buatlah kedua rezimnya bertindihan.)*

**Solusi Latihan 13.12.**

Misalkan $\varepsilon > 0$. Menurut limitnya di $+\infty$, ada $A$ dengan $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ untuk $x \geq A$; sehingga untuk $x, y \geq A$: $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (tanpa memerlukan kedekatan).

Pada ruas $\intcc{0}{A + 1}$, teorema Heine ([Teorema 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) memberikan $\delta_0 > 0$ bagi $\varepsilon$ ini; lalu tetapkan $\delta = \min(\delta_0, 1)$.

Sekarang ambillah sebarang $x, y \geq 0$ dengan $\abs{x - y} \leq \delta$, katakanlah $x
\leq y$. Jika $y \leq A + 1$: maka keduanya terletak di ruasnya, dan $\delta_0$ dari Heine berlaku. Kalau tidak, $y > A + 1$, lalu $x \geq y - 1 >
A$: sehingga keduanya terletak di $\intco{A}{+\infty}$, yang di situ argumen limitnya berlaku. Pada kedua kasusnya $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$: jadi [kontinu seragam](#def-b1-continuity-uniform).

## 13.6 Soal: Persamaan fungsional Cauchy dan saudarinya

**Soal 13.1.**

Soal akhir pekan — $f(x + y) = f(x) + f(y)$: keteraturan memaksa kelinearan, beserta potret monsternya

Fungsi mana yang memenuhi $f(x + y) = f(x) + f(y)$ untuk setiap $x,
y$ yang real? Cauchy mengajukan pertanyaannya pada tahun 1821; dan jawabannya sebuah paradigma. [Latihan 13.11](#exo-b1-continuity-11) menunjukkan bahwa fungsi *aditif* yang demikian bersifat linear pada $\Q$ dan bahwa [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) yang penuh memaksa $f(x)
= cx$. Soal ini mempertajam hipotesisnya secara dramatis — [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) di *satu* titik, atau kemonotonan, atau sekadar keterbatasan pada satu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang kecil, masing-masingnya mencukupi — lalu melukis potret sebuah penyelesaian taklinear yang hipotetis (yang grafiknya mengisi bidangnya), memecahkan persamaan saudarinya yang mencirikan $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$ dan $cx^2$, lalu menutup dengan persamaan Jensen beserta teorema *cembung titik tengah $+$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ cembung*. Di sepanjang soal ini, *aditif* berarti: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ untuk setiap $x, y \in \R$.

**Bagian I — Kelinearan atas $\Q$, dan satu titik [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous).**

1. Misalkan $f$ aditif. Menurut [Latihan 13.11](#exo-b1-continuity-11) , $f(r) = f(1)\,r$ untuk $r$ yang rasional. Buktikan [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) yang lebih halus yang dipakai di bawah: bahwa untuk *setiap* $x \in \R$ dan $r  \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ (jadi $f$ bersifat *linear* atas $\Q$ ).
2. Andaikan $f$ yang aditif itu [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di satu titik tunggal $x_0$ . Tunjukkan bahwa $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di mana-mana *(hitunglah $f(x + h) - f(x)$ dalam $f(x_0 + h)  - f(x_0)$)* , sehingga $f(x) = f(1)\,x$ .
3. Tunjukkan bahwa fungsi yang aditif ditentukan oleh pembatasannya pada sebarang [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) : bahwa jika dua fungsi yang aditif bersesuaian pada $\Z + \sqrt2\,\Z$ dan keduanya [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) , maka keduanya sama — sedangkan tanpa [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) , menetapkan $f(1) = 0$ dan $f(\sqrt 2) = 1$ tetap taat asas dengan kelinearan atas $\Q$ pada [subgrupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) . Hitunglah $f(m +  n\sqrt2)$ untuk penetapan ini.
4. Misalkan $f$ aditif dan terbatas di atas oleh $M$ pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a}{b}$ dengan $a < b$ . Tunjukkan bahwa $f$ terbatas di atas pada $\intcc{0}{\ell}$ , dengan $\ell = b - a$ *(translasikanlah sejauh $a$)* .

**Bagian II — Tangga keteraturannya.**

5. Melanjutkan pertanyaan 4: dengan memakai $f(\ell - t) + f(t) =  f(\ell)$ , tunjukkan bahwa $f$ juga terbatas *di bawah* pada $\intcc{0}{\ell}$ : yakni $\abs f \leq C$ di sana.
6. Tunjukkan bahwa $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ untuk $t \in  \intcc{0}{\ell/n}$ , lalu simpulkan bahwa $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di $0$ *(keganjilannya menangani sisi kirinya)* , sehingga di mana-mana (pertanyaan 2): jadi fungsi aditif yang terbatas pada satu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) bersifat linear.
7. Simpulkan kasus monotonnya: bahwa fungsi aditif yang tidak turun pada suatu $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) berbentuk $f(x)  = cx$ dengan $c \geq 0$ .
8. Rakitlah *tangga keteraturannya* : bahwa untuk $f$ yang aditif, keempat ini setara — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) ; (c) $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di satu titik; (d) $f$ monoton pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot; (e) $f$ terbatas pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot. Aturlah implikasinya sehingga masing-masingnya entah sepele entah sudah terbukti.
9. Periksalah bahwa pertanyaan 4–6 hanya memakai batas *atasnya* : jadi fungsi aditif yang terbatas di atas pada satu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) taktermerosot sudah linear. Simpulkanlah [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) cerminnya bagi batas bawahnya, lalu catatlah bentuk terkuat anak tangga (e) yang diperoleh dengan demikian.

**Bagian III — Potret sebuah monster.** Andaikan sekarang $f$ aditif tetapi *tak* linear.

10. Tunjukkan bahwa ada bilangan real taknol $u, v$ dengan $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , dan bahwa vektor $(u, f(u))$ dan $(v, f(v))$ merentang bidangnya (karena determinannya $u f(v) - v f(u)$ taknol).
11. Tunjukkan bahwa grafik $f$ memuat semua titik $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$$ lalu simpulkan bahwa grafiknya *[padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di $\R^2$*: yakni untuk setiap titik $(x_0, y_0)$ pada bidangnya dan setiap $\varepsilon > 0$, ada $(x, f(x))$ yang berjarak $\varepsilon$ darinya *(pecahkanlah sistem real $2\times2$-nya, lalu hampiri koefisien realnya dengan bilangan rasional)*.
12. Simpulkanlah dari pertanyaan 11 potretnya yang lengkap: bahwa fungsi aditif yang taklinear bersifat tak terbatas pada setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot, takkontinu di setiap titik, tak monoton pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) mana pun, dan petanya atas sebarang [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) bersifat [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di $\R$ . Rukunkanlah dengan pertanyaan 8.
13. Monster itu ada — pada [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) , secara konstruktif: pada $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ definisikan $f(m + n\sqrt2) = n$ . Tunjukkan bahwa $f$ terdefinisi dengan baik dan aditif pada $G$ , dan bahwa $f$ tak terbatas pada $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ untuk setiap $\varepsilon > 0$ *(karena untuk $N$ yang tetap, hanya berhingga banyak $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ yang mempunyai $\abs n \leq N$; padahal $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ tak hingga)* . Jelaskanlah dalam satu paragraf mengapa memperluas $f$ yang demikian ke seluruh $\R$ menuntut sebuah basis $\R$ sebagai ruang vektor atas $\Q$ (yaitu *basis Hamel* ), yang keberadaannya merupakan urusan aksioma pemilihan di luar jilid ini.

**Bagian IV — Persamaan saudarinya.** Semua fungsi di sini bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous).

14. Misalkan $f \colon \R \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) , tak identik $0$ , dengan $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Tunjukkan $f(x) =  f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , lalu $f > 0$ di mana-mana, lalu $f(x) = \eu^{cx}$ untuk suatu $c$ : jadi eksponensialnya tepat merupakan morfisme [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dari $(\R, +)$ ke $(\R^*, \times)$ .
15. Misalkan $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Tunjukkan $f(x) = c\ln x$ *(angkutlah lewat $\exp$)* .
16. Misalkan $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(xy) = f(x)f(y)$ . Tunjukkan $f(x) = x^c$ .
17. Carilah semua $f \colon \R \to \R$ yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *(Telaahlah $h = 1 + f$; lalu tanganilah kasus yang merosot secara tersendiri.)*
18. (Jajargenjang) Carilah semua $f \colon \R \to \R$ yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : tunjukkan bahwa $f$ genap, $f(0) = 0$ , $f(nx) = n^2 f(x)$ lewat induksi, lalu $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Persamaan ini merupakan sidik jari bentuk kuadratik — yaitu hukum jajargenjang yang mendeteksi, pada jilid Tahun ke-2, norma mana yang berasal dari sebuah hasil kali dalam.)

**Bagian V — Jensen dan kecembungan titik tengah.**

19. (Persamaan Jensen) Misalkan $f \colon \R \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x)  + f(y)}{2}$ . Tunjukkan bahwa $g = f - f(0)$ memenuhi $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , lalu simpulkan bahwa $g$ aditif, dan tutuplah dengan $f(x) = cx + d$ .
20. Andaikan sekarang hanya *ketaksamaannya*: bahwa $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ Buktikan lewat induksi pada $n$ bahwa untuk setiap bobot diadik $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$: $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
21. Perluaslah lewat [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) dan [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) bilangan diadik ( [Latihan 10.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-8) ) ke setiap $\lambda \in  \intcc{0}{1}$ : jadi fungsi [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) yang cembung titik tengah memenuhi ketaksamaan kecembungan yang penuh (yaitu gagasan yang ditelaah secara sistematis pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) ).
22. Tunjukkan bahwa [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous) tak dapat dilepaskan: bahwa $f$ aditif yang taklinear memenuhi *kesamaan titik tengah* pada pertanyaan 19 namun tak memenuhi ketaksamaan kecembungan pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) mana pun (pertanyaan 12). Moralnya: bahwa kecembungan titik tengah adalah sifat bertahap terbilang (lewat bilangan diadik), sedangkan kecembungan bersifat kontinum; dan kekontinuanlah jembatannya — persis seperti pada Bagian I–II.

**Bagian VI — Variasi terakhir dan sintesisnya.**

23. Carilah semua $f \colon \R \to \R$ yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dengan $f(x + y)  = f(x) + f(y) + xy$ *(kurangkanlah penyelesaian khususnya $\frac{x^2}{2}$)* .
24. Buktikan: bahwa jika $f \colon \R \to \R$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan aditif sekadar pada sebuah *[subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense)* $G$ (yakni $f(g + g') = f(g) + f(g')$ untuk $g, g' \in G$ ), maka $f$ aditif pada $\R$ . Secara lebih umum, dua fungsi [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) yang bersesuaian pada sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $\R$ yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) bersifat sama.
25. Sintesis, satu kalimat untuk masing-masing: (i) nyatakanlah tangga keteraturan pertanyaan 8 dari ingatan; (ii) jelaskanlah mengapa “grafiknya [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di bidangnya” merupakan citra batin yang tepat bagi kegagalan keteraturannya; (iii) daftarkanlah kelima fungsi klasik yang dicirikan pada Bagian IV–V beserta satu metode tunggal yang menangkap semuanya; (iv) sebutkanlah kedua tempat yang di situ [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) $\Q$ (atau bilangan diadik) di $\R$ memikul argumennya, dan tempat yang di situ ia tak dapat (pertanyaan 13).

**Solusi Soal 13.1.**

**1.** Untuk $n \in \N$: $f(nx) = n f(x)$ lewat induksi (karena $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$). Lalu $f(0) = 2f(0)$ memberikan $f(0) =
0$, dan $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ memberikan keganjilannya, sehingga $f(nx) =
nf(x)$ untuk $n \in \Z$. Untuk $r = \frac pq$: $q\,f\bigl(\tfrac
pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$, sehingga $f(rx) = r f(x)$: jadi $f$ bersifat linear atas $\Q$.

**2.** Keaditifannya memberikan, untuk setiap $x$ dan $h$:

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

Ketika $h \to 0$, ruas kanannya menuju $0$ menurut [kekontinuannya](#def-b1-continuity-continuous) di $x_0$; sehingga $f(x + h) \to f(x)$: jadi [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di setiap $x$. Lalu [Latihan 13.11](#exo-b1-continuity-11) menghasilkan $f(x) = f(1)\,x$.

**3.** Dua fungsi aditif yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) berbentuk $cx$ dan $c'x$ (pertanyaan 2); lalu jika keduanya bersesuaian pada [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) $\Z + \sqrt2\,\Z$ ([Latihan 10.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-9)), maka $c\,g = c'g$ untuk suatu $g \neq 0$ di dalamnya: sehingga $c = c'$, jadi fungsinya sama. Adapun tanpa [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous): kelinearan atas $\Q$ hanya mengikat nilainya pada kombinasi $\Q$-nya, dan $1, \sqrt2$ bebas atas $\Q$ (karena $\sqrt2
\notin \Q$), sehingga $f(1) = 0$, $f(\sqrt2) = 1$ tetap taat asas dan memaksa, pada [subgrupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup),

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** Untuk $t \in \intcc{0}{\ell}$: $a + t \in
\intcc{a}{b}$, sehingga $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$.

**5.** Untuk $t \in \intcc{0}{\ell}$, juga $\ell - t \in
\intcc{0}{\ell}$, dan keaditifannya memberikan $f(t) = f(\ell) - f(\ell
- t) \geq f(\ell) - M'$. Jadi $\abs{f} \leq C$ pada $\intcc{0}{\ell}$ dengan $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) -
M'}\bigr)$.

**6.** Untuk $t \in \intcc{0}{\ell/n}$: $nt \in
\intcc{0}{\ell}$ dan $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (pertanyaan 1), sehingga $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$. Diberikan $\varepsilon > 0$, pilihlah $n >
\frac C\varepsilon$: maka untuk $0 \leq h \leq \frac\ell n$, $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$, dan untuk $h$ yang negatif pakailah $f(h) =
-f(-h)$. Jadi $f(h) \to 0 = f(0)$ ketika $h \to 0$: yakni [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di $0$, sehingga di mana-mana (pertanyaan 2), jadi $f(x) = f(1)x$.

**7.** Jika $f$ tidak turun pada $\intcc{a}{b}$, maka $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ di sana: jadi terbatas, sehingga linear menurut pertanyaan 6, yakni $f(x) = cx$; lalu $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ memaksa $c
\geq 0$.

**8.** (a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c): sepele. (c)$\Rightarrow$(a): pertanyaan 2. (a)$\Rightarrow$(d): karena fungsi linear bersifat monoton di mana-mana. (d)$\Rightarrow$(e): karena fungsi monoton pada $\intcc{a}{b}$ terbatas di sana oleh nilai titik ujungnya. (e)$\Rightarrow$(a): pertanyaan 4–6. Jadi kelima [pernyataannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) setara — itulah tangga keteraturannya.

**9.** Pertanyaan 4 hanya memakai batas atasnya $M$; sedangkan pertanyaan 5 *menurunkan* batas bawahnya dari batas atasnya lewat pencerminan $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$; lalu pertanyaan 6 berjalan di atas $\abs f \leq C$. Jadi: aditif dan terbatas *di atas* pada satu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot sudah mengakibatkan linear. Adapun untuk batas bawahnya, terapkanlah ini pada $-f$ (yang aditif dan terbatas di atas). Sehingga anak tangga (e) yang terkuat: bahwa satu batas sepihak pada satu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) sudah mencukupi.

**10.** Seandainya $\frac{f(x)}{x}$ merupakan satu konstanta $c$ untuk setiap $x \neq 0$, maka $f$ akan linear; jadi ada $u, v$ yang taknol dengan $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$, yakni $u f(v) - v f(u)
\neq 0$: sehingga determinan vektor $(u, f(u))$, $(v,
f(v))$ taknol, dan keduanya merentang $\R^2$.

**11.** Untuk $r, s \in \Q$: $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (menurut pertanyaan 1 dua kali ditambah keaditifannya), sehingga grafiknya memuat

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

Diberikan $(x_0, y_0)$ dan $\varepsilon > 0$: sistem $2 \times 2$ yaitu $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ mempunyai penyelesaian real (yang tunggal) $(a, b)$ karena determinannya taknol. Lalu pilihlah bilangan rasional $r_n \to a$, $s_n \to b$: maka $r_n(u, f(u)) +
s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ secara koordinat demi koordinat, dan masing-masing titiknya terletak pada grafiknya: jadi grafiknya [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di $\R^2$.

**12.** Misalkan $I$ sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot, $x_0$ titik tengahnya, dan $M$ sebarang: maka [kepadatannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) menyediakan sebuah titik grafik dalam jarak $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ dari $(x_0, M + 1)$, yakni $x \in I$ dengan $f(x) > M$: jadi tak terbatas pada $I$, sehingga (menurut pertanyaan 8) takkontinu di setiap titik dan tak monoton pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) mana pun; dan untuk sebarang sasaran $y_0$, titik grafik di dekat $(x_0, y_0)$ memberikan $f(x)$ yang sedekat-dekatnya dengan $y_0$ dengan $x \in I$: jadi $f(I)$ [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di $\R$. Inilah pertanyaan 8 yang dibaca mundur: karena semua anak tangganya setara, fungsi aditif yang taklinear pasti menggagalkan *semuanya*, di mana-mana.

**13.** Keterdefinisiannya: karena $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ memaksa $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$, sehingga $n = n'$ (kalau tidak $\sqrt2 \in
\Q$) dan $m = m'$. Lalu keaditifannya pada $G$ jelas koordinat demi koordinat. Ketakterbatasannya di dekat $0^+$: tetapkanlah $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$ dan $N \in \N$. Untuk setiap $n$ yang tetap dengan $\abs n
\leq N$, syarat $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ memakukan $m$ di dalam [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) berpanjang $1$: jadi paling banyak satu bilangan bulat $m$ per $n$, sehingga paling banyak $2N + 1$ unsur $G \cap \intoo{0}{1}$ yang mempunyai $\abs{f} \leq N$. Padahal $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ tak hingga (karena $G$ [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense), [Latihan 10.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-9)); sehingga ia memuat suatu $g$ dengan $\abs{f(g)} > N$: jadi $f$ tak terbatas pada setiap [persekitaran](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) kanan $0$. Adapun memperluas $f$ menjadi fungsi aditif pada $\R$ berarti memilih nilainya secara padu pada sebuah keluarga bilangan real yang bebas linear atas $\Q$ dan merentang $\R$ atas $\Q$ — yaitu basis Hamel; dan menghasilkan satu pun menuntut aksioma pemilihan, serta tak ada rumus eksplisit yang dapat melakukannya: jadi secara konstruktif kita memiliki monsternya hanya pada $G$.

**14.** Di sini $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq
0$. Jika $f(x_0) = 0$, maka $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ untuk setiap $x$: yang tersingkirkan. Jadi $f > 0$ dan $g = \ln \circ f$ bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) ([Proposisi 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) dengan $g(x + y) = g(x) +
g(y)$: sehingga menurut [Latihan 13.11](#exo-b1-continuity-11), $g(x) = cx$, jadi $f(x) =
\eu^{cx}$. Sebaliknya setiap $\eu^{cx}$ berlaku: jadi morfisme [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ tepat merupakan eksponensialnya.

**15.** Fungsi $g(u) = f(\eu^u)$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan $g(u + v) =
f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$: sehingga $g(u) = cu$, dan setiap $x > 0$ tertulis $x = \eu^u$ dengan $u = \ln x$: jadi $f(x) = c\ln x$.

**16.** Fungsi $h = \ln \circ f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intoo{0}{+\infty}$ dengan $h(xy) = h(x) + h(y)$: sehingga menurut pertanyaan 15, $h(x) = c\ln x$, jadi $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$.

**17.** Dengan $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$, sehingga $f(0)(1 +
f(0)) = 0$. Jika $f(0) = -1$: maka menetapkan $y = 0$, $f(x) = f(x) +
f(0) + f(x)f(0) = -1$ untuk setiap $x$: yaitu konstanta $f \equiv -1$ (yang memang memenuhi persamaannya). Kalau tidak $f(0) = 0$; lalu $h
= 1 + f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), $h(0) = 1$, dan

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

sehingga menurut pertanyaan 14, $h(x) = \eu^{cx}$, yakni $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (dengan kasus $c = 0$ memberikan $f \equiv 0$). Jadi daftar lengkapnya: $f
\equiv -1$ dan $f(x) = \eu^{cx} - 1$, dengan $c \in \R$.

**18.** Dengan $x = y = 0$: $2f(0) = 4f(0)$, sehingga $f(0) = 0$. Dengan $x =
0$: $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, sehingga $f$ genap. Dengan $y = x$: $f(2x) =
4f(x)$. Lalu induksi memakai $(x, y) \to (nx, x)$:

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

Lalu $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac
xq\bigr)$ memberikan $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$: jadi $f(r) = r^2 f(1)$ pada $\Q$ (dengan kegenapannya menangani tandanya). Adapun kedua fungsi [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) $f$ dan $x \mapsto f(1)x^2$ bersesuaian pada [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) $\Q$, sehingga di mana-mana (pertanyaan 24): jadi $f(x) =
f(1)\,x^2$; dan setiap $cx^2$ memenuhi persamaannya.

**19.** Fungsi $g = f - f(0)$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 0$, dan memenuhi persamaan Jensen (karena konstantanya saling meniadakan). Dengan mengambil $y =
0$: $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$. Lalu untuk setiap $x,
y$:

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

sehingga $g$ aditif dan [kontinu](#def-b1-continuity-continuous): jadi $g(x) = cx$ (pertanyaan 2), dan $f(x) = cx + d$ dengan $d = f(0)$. Adapun semua fungsi afin memenuhi persamaan Jensen: sehingga daftarnya lengkap.

**20.** Lewat induksi pada $n$. Untuk $n = 0$: $\lambda \in \{0,
1\}$, yang sepele. Anggaplah ketaksamaannya berlaku untuk setiap bobot $\frac{k}{2^n}$. Adapun bobot $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ dengan $k$ yang genap tereduksi ke tingkat $n$; sedangkan untuk $k = 2j + 1$, $\lambda$ merupakan titik tengah $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ dan $\lambda_2 =
\frac{j+1}{2^n}$. Dengan $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$: $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$, sehingga

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** Tetapkanlah $x, y$. Peta $\lambda \mapsto f(\lambda x +
(1 - \lambda)y)$ dan $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 -
\lambda)f(y)$ bersifat [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$ (menurut komposisi dan aljabarnya, [Proposisi 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). Ketaksamaannya berlaku pada bobot diadiknya, yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) di $\intcc{0}{1}$ ([Latihan 10.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-8)); lalu untuk $\lambda$ yang sebarang ambillah bilangan diadik $\lambda_n \to \lambda$ lalu beralihlah ke limitnya ([Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) dan [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#thm-b1-seq-order)): sehingga ketaksamaan kecembungannya berlaku untuk setiap $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ — jadi kecembungan titik tengah ditambah [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) sama dengan kecembungan (yaitu gagasan pada [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative)).

**22.** Fungsi aditif $f$ yang taklinear memenuhi $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ dengan persis (menurut pertanyaan 1 dengan $r = \frac12$, lalu keaditifannya): jadi ia cembung titik tengah, bahkan afin titik tengah. Seandainya ia memenuhi ketaksamaan kecembungan yang penuh pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{x}{y}$, maka untuk $\lambda \in \intcc{0}{1}$: $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq
\max(f(x), f(y))$ — yakni terbatas di atas pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang taktermerosot, sehingga linear menurut pertanyaan 9: yang bertentangan. Jadi [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) pada pertanyaan 21 bukanlah kemewahan: karena tanpanya, kecembungan titik tengah hanya mengendalikan kerangka diadik yang terbilang, sedangkan kontinum di antaranya berlarian liar.

**23.** Fungsi $p(x) = \frac{x^2}{2}$ memenuhi $p(x+y) = p(x) +
p(y) + xy$. Jika $f$ sebarang penyelesaian yang [kontinu](#def-b1-continuity-continuous), maka $g = f - p$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan aditif, sehingga $g(x) = cx$:

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

dan masing-masingnya merupakan penyelesaian: jadi daftarnya lengkap.

**24.** Asas umumnya: jika $u, v$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan bersesuaian pada $D \subseteq \R$ yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense), maka untuk $x \in \R$ pilihlah $d_n \in D$ dengan $d_n \to x$ ([Proposisi 12.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#prop-b1-topology-closureprops)); sehingga $u(x) = \lim u(d_n) =
\lim v(d_n) = v(x)$. Sekarang misalkan $f$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) dan aditif pada [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) $G$. Tetapkanlah $x, y \in \R$ lalu ambillah $g_n \to x$, $g'_n \to y$ dengan $g_n, g'_n \in G$; maka $g_n + g'_n \to x + y$ dan, menurut [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) barisannya di $x + y$, $x$ dan $y$:

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

jadi $f$ aditif pada seluruh $\R$ (sehingga linear, menurut pertanyaan 2).

**25.** (i) Untuk $f$ yang aditif: linear $\iff$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ [kontinu](#def-b1-continuity-continuous) di satu titik $\iff$ monoton pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\iff$ terbatas (bahkan secara sepihak) pada suatu [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals). (ii) [Kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) grafiknya di bidangnya memperlihatkan bahwa kegagalannya bukan cacat lokal melainkan ledakan yang menyeluruh: karena di atas setiap subselangnya nilainya melumur ke seluruh $\R$, sehingga setiap sifat keteraturannya gagal di mana-mana serentak. (iii) Tangkapannya: $cx$, $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$, $cx^2$, dan $cx + d$ — yaitu enam pencirian, dengan satu metode: angkutlah persamaannya ke persamaan Cauchy, lalu buktikan kerangka $\Q$-nya lewat induksi, lalu naikkan pangkatnya ke $\R$ lewat [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) ditambah [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous). (iv) Adapun [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) $\Q$ (atau bilangan diadik) memikul kenaikan pangkat pada [Latihan 13.11](#exo-b1-continuity-11) dan pada pertanyaan 21; sedangkan ia tak memikul apa pun pada pertanyaan 13, karena tanpa [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous) nilainya tak merambat dari [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang [padat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) ke [penutupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) — jadi [kepadatan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-dense) memindahkan informasi hanya sepanjang [kekontinuan](#def-b1-continuity-continuous).