---
title: "Pengintegralan pada Sebuah Ruas"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas
---

# Bab 15 — Pengintegralan pada Sebuah Ruas

[Integral](#thm-b1-integration-def) pada jilid Sekolah Menengah dahulu didasarkan pada luas yang diambil secara intuitif. Bab ini mengonstruksinya: mula-mula bagi [fungsi tangga](#def-b1-integration-step), yang di situ [integralnya](#thm-b1-integration-def) berupa jumlah yang hingga, lalu bagi fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) (dan [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) sepotong-sepotong) lewat hampiran seragam — yaitu tempat teorema Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#thm-b1-continuity-heine)) mendapatkan nafkahnya. Lalu teorema fundamental kalkulus menghubungkan konstruksinya dengan primitif, sedangkan [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) menghubungkannya dengan rata-rata yang diskret.

Di sepanjang bab ini, $a < b$ merupakan bilangan real.

## 15.1 Fungsi tangga

**Definisi 15.1.**

Fungsi $\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ disebut *fungsi tangga* bila ada [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) $a = x_0
< x_1 < \dots < x_n = b$ sedemikian sehingga $\varphi$ konstan, yang sama dengan $c_i$, pada setiap [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) [terbuka](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (adapun nilainya di simpulnya tak dibatasi). Adapun [integralnya](#thm-b1-integration-def) adalah

$$
\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),
$$

yang tak bergantung pada [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) yang dipilih (haluskanlah dua [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) lewat [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) bersamanya: karena kedua ruasnya tak berubah oleh penghalusan).

**Proposisi 15.2.**

Pada [fungsi tangga](#def-b1-integration-step), [integralnya](#thm-b1-integration-def) bersifat linear, naik (karena $\varphi \leq
\psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$), dan memenuhi relasi Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ untuk $a < c < b$.

**Bukti.** Mesinnya adalah *kekekalan terhadap penghalusan*, yang dinyatakan pada definisinya: bahwa menyisipkan satu simpul tambahan $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ ke dalam sebuah [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) mengganti suku $c_i(x_i - x_{i-1})$ dengan $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ — yaitu bilangan yang sama — sehingga [integralnya](#thm-b1-integration-def) tak berubah oleh penghalusan hingga mana pun. Sekarang ambillah $\varphi$ dengan [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) $\sigma$ dan $\psi$ dengan [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) $\sigma'$: maka pada penghalusan bersamanya $\sigma \cup \sigma'$ keduanya merupakan [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) dengan simpul yang *sama*, dan pada setiap kepingannya $\varphi + \lambda\psi$ konstan sama dengan $c_i + \lambda
d_i$: sehingga kelinearannya tereduksi menjadi kelinearan jumlah yang hingga. Adapun kenaikannya: $c_i \leq d_i$ pada setiap kepingannya memberikan $\sum c_i \Delta_i \leq \sum
d_i \Delta_i$ (karena panjangnya $\Delta_i \geq 0$). Sedangkan Chasles: sisipkanlah simpul $c$ lalu pecahlah jumlahnya di situ. ∎

## 15.2 Integral fungsi yang kontinu

**Teorema 15.3 (Hampiran seragam).**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$. Untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ dengan

$$
\varphi \leq f \leq \psi
\qquad\text{dan}\qquad
\psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ pada } \intcc{a}{b}.
$$

**Bukti.** Menurut teorema Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#thm-b1-continuity-heine)), $f$ bersifat [kontinu seragam](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-uniform): pilihlah $\delta$ bagi $\varepsilon$, dan sebuah [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) berjala $< \delta$ (misalnya yang berjarak sama, dengan $n > \frac{b -
a}{\delta}$ keping). Pada setiap keping [tertutupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$, $f$ mencapai minimum $m_i$ dan maksimum $M_i$ ([Teorema 13.13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#thm-b1-continuity-evt)), dan $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (karena kedua titik ekstremnya berjarak $\delta$). Definisikanlah $\varphi = m_i$ dan $\psi = M_i$ pada $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (serta $\varphi = \psi = f$ di simpulnya). ∎

**Teorema 15.4 (Definisi integralnya).**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$. Kedua bilangan

$$
I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ tangga},\
\varphi \leq f\Bigr\},
\qquad
I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ tangga},\ \psi \geq
f\Bigr\}
$$

bernilai sama; dan nilai bersamanya adalah *integral* $\int_a^b f$ (yang juga ditulis $\int_a^b
f(t)\,\dd t$). Ia berimpit dengan gagasan sebelumnya pada [fungsi tangga](#def-b1-integration-step), dan meluas ke fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) sepotong-sepotong lewat pemecahan $\intcc{a}{b}$ di titik ketakkontinuannya (dengan Chasles sebagai definisinya di sana).

**Bukti.** Kedua [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) tak kosong (karena $f$ terbatas) dan setiap [integral](#thm-b1-integration-def) tangga bawahnya bernilai $\leq$ setiap yang atasnya (menurut kemonotonan pada [fungsi tangga](#def-b1-integration-step)): sehingga $I_-(f) \leq I_+(f)$. Lalu menurut [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx), untuk setiap $\varepsilon$ ada sepasang dengan $\int\psi - \int\varphi \leq
\varepsilon(b - a)$: sehingga sup dan infnya terapit bersama, jadi $I_- =
I_+$. ∎

**Contoh 15.5 (Kontinu sepotong-sepotong, tanpa drama).**

[Fungsi lantai](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#thm-b1-reals-floor) pada $\intcc{0}{3}$ merupakan [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) yang menyamar: karena dengan memecahnya di lompatannya,

$$
\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t
= \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,
$$

dan nilainya *di* titik lompatannya $1, 2$ tak relevan: karena mengubah sebuah fungsi di titik yang berhingga banyak tak mengubah [integralnya](#thm-b1-integration-def) (sebab [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) pengapitnya tak terpengaruh). Inilah seluruh isi perluasan “[kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) sepotong-sepotong” itu: potonglah di titik ketakkontinuannya yang berhingga banyak, integralkanlah setiap keping yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), lalu jumlahkan — jadi Chasles sebagai definisi.

**Contoh 15.6 (Definisinya menghitung, sekali).**

Misalkan $f(x) = x$ pada $\intcc{0}{1}$ lalu potonglah menjadi $n$ keping yang sama. Adapun [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) terbaik yang konstan pada kepingnya adalah $\varphi =
\frac{k-1}{n}$ dan $\psi = \frac kn$ pada keping ke-$k$, dengan

$$
\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n-1}{2n},
\qquad
\int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n+1}{2n} .
$$

Setiap [integral](#thm-b1-integration-def) bawahnya $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ setiap yang atasnya, sehingga $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq
\frac{n+1}{2n}$ untuk setiap $n$: jadi keduanya terapit menuju $\frac12$, dan $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ langsung dari definisinya. Inti gagasan penutupnya: bahwa inilah pertama dan terakhir kalinya kita mengintegralkan dari definisinya — karena teorema fundamental di bawah mengganti semua perhitungan semacam itu dengan satu pencarian antiturunan, dan itulah seluruh inti ekonomi bab ini.

**Teorema 15.7 (Sifatnya).**

Untuk $f, g$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) (atau [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) sepotong-sepotong) pada $\intcc{a}{b}$ dan $\lambda \in \R$:

1. kelinearan: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
2. kemonotonan: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; dan $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b -  a)\, \sup\abs f$ ;
3. Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (dengan kesepakatan $\int_b^a = -\int_a^b$ , yang sah untuk urutan batas mana pun);
4. kepositifan tegas: jika $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) , $f \geq 0$ dan $\int_a^b f = 0$ , maka $f = 0$ di mana-mana pada $\intcc{a}{b}$ .

**Bukti.** (1)–(3) berpindah dari [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) ke limitnya lewat definisi sup/infnya. Adapun kelinearannya pantas diperinci sekali: diberikan $\varepsilon > 0$, apitlah $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ dan $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ dengan celah $\leq \varepsilon$ ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)). Untuk $\lambda \geq 0$, $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f +
\lambda\psi_g$ merupakan apitan oleh [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) dengan celah $\leq
(1 + \lambda)\varepsilon$, dan [integral](#thm-b1-integration-def) tangganya sama dengan $\int
\varphi_f + \lambda\int\varphi_g$ dan seterusnya ([Proposisi 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)): sehingga membiarkan $\varepsilon \to
0$ mengapit $\int(f + \lambda g)$ menuju $\int f + \lambda\int g$. Untuk $\lambda < 0$, mengalikan dengan $\lambda$ *membalikkan* apitan $g$ — karena [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) bawah bagi $\lambda g$ adalah $\lambda \psi_g$ — dan apitan yang sama berjalan dengan perannya tertukar. Adapun batas $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ datang dari $-\abs f \leq f \leq \abs f$ dan kemonotonannya.

(4) Lewat kontraposisinya: jika $f(x_0) = m > 0$, maka [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) menyediakan subselang berpanjang $\eta > 0$ yang di situ $f \geq \frac m2$; lalu [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) yang bernilai $\frac m2$ di sana dan $0$ di tempat lain bersifat $\leq f$, sehingga $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$. ∎

**Contoh 15.8 (Chasles dalam kerja: integral dengan nilai mutlak).**

Untuk mengintegralkan nilai mutlak, potonglah di tempat tandanya berubah.

$$
\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x
= \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x
= \frac12 + \frac12 = 1 ,
$$

lalu, dengan memotong $\intcc{0}{2\pi}$ di $\pi$:

$$
\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t
= \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t
= 2 + 2 = 4 ,
$$

sedangkan $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$: jadi peniadaannya nyata, dan itulah sebabnya [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) kepositifan tegasnya ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) membawa hipotesis $f
\geq 0$ — karena tanpanya, [integral](#thm-b1-integration-def) yang lenyap tak membuktikan apa pun tentang $f$. Inti gagasan penutupnya: bahwa $\int \abs f$ mengukur *luas*, sedangkan $\int f$ mengukur *neraca bertanda*; sehingga ketaksamaan $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ merupakan catatan yang persis tentang apa yang dapat dihancurkan peniadaannya.

## 15.3 Teorema fundamental kalkulus

**Teorema 15.9 (Teorema fundamental kalkulus).**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $I$ dan $a \in I$. Maka fungsi

$$
F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t
$$

berkelas $C^1$ pada $I$, dengan $F' = f$: jadi setiap fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) mempunyai primitif. Akibatnya, untuk *sebarang* primitif $G$ bagi $f$:

$$
\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .
$$

**Bukti.** Tetapkanlah $x_0 \in I$ dan $\varepsilon > 0$; maka [kekontinuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) di $x_0$ menyediakan $\delta$ dengan $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ untuk $\abs{t -
x_0} \leq \delta$. Untuk $0 < \abs{h} \leq \delta$ (dan $x_0 + h \in
I$), Chasles memberikan

$$
\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)
= \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,
$$

yang nilai mutlaknya $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\,
\varepsilon = \varepsilon$ (menurut batas (2), yang sah untuk urutan batas mana pun). Jadi $F'(x_0) = f(x_0)$; dan $F' = f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous): sehingga $F$ berkelas $C^1$. Jika $G' = f$ juga, maka $(G - F)' = 0$ pada [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals), sehingga $G =
F + c$ ([Akibat 14.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#cor-b1-derivative-monotone)), dan $G(b) - G(a) = F(b)
- F(a) = \int_a^b f$. ∎

**Contoh 15.10 (Kesetangkupan sebelum perhitungan).**

Pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang setangkup, keparitasannya yang bekerja: jika $f$ ganjil, maka penyulihan $t \mapsto -t$ mengirim $\int_{-a}^{0} f$ ke $-\int_0^a f$, sehingga

$$
\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ;
\qquad\text{sedangkan jika $f$ genap,}\quad
\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .
$$

Jadi $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ tanpa primitif yang terlihat (karena integrannya ganjil), dan $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\,
\dd t$. Jadi periksalah kesetangkupannya sebelum meraih tekniknya: karena [integral](#thm-b1-integration-def) tercepat adalah yang tak pernah dihitung.

**Contoh 15.11 (Mengenali sebuah turunan pada pandangan pertama).**

Hitunglah $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$. Kesamaan sudut paruhnya $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ mengubah integrannya menjadi $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac
x2\bigr)$, yang persis merupakan [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) $\tan\frac x2$:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}
= \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .
$$

Jadi tak ada mesin penyulihan yang diperlukan — hanya refleks membaca sebuah integran sebagai [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) seseorang, dan teorema fundamentalnya mengerjakan sisanya. (Adapun perkakas sistematis di balik [integral](#thm-b1-integration-def) trigonometri semacam itu, yaitu penyulihan $t = \tan\frac x2$, termasuk kotak perkakas baku yang dibangun dari [Teorema 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2).)

**Contoh 15.12 (Fungsi yang didefinisikan oleh integral).**

Teorema fundamentalnya memproduksi fungsi. Misalkan

$$
F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .
$$

Tak ada kombinasi fungsi klasik yang berturunan $\eu^{-t^2}$ (yaitu teorema Liouville, yang diterima); namun $F$ ada, berkelas $C^1$ dengan $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$, naik tegas, ganjil (lewat penyulihan $t \mapsto -t$), dan terbatas: karena untuk $x \geq 1$,

$$
F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t
\leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,
$$

sehingga $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$. (Adapun limitnya yang persis, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, dihitung dengan [integral](#thm-b1-integration-def) rangkap pada jilid Tahun ke-3.) Aturan rantai bagi batas yang bergerak: $\frac{\dd}{\dd
x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$. Inti gagasan penutupnya: bahwa pengintegralan *menciptakan* fungsi baru dari yang lama, dengan segala sifatnya terbaca dari integrannya — jadi primitif yang tak dapat kamu tuliskan tetap fungsi yang kamu kendalikan sepenuhnya.

**Contoh 15.13 (Menaksir tanpa menilai).**

[Integral](#thm-b1-integration-def) $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ tak berbentuk [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) yang menyenangkan, namun kemonotonannya memakukannya dengan tepat: karena pada $\intcc{0}{1}$, $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$, sehingga

$$
\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t
\;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :
$$

jadi orde peluruhannya yang persis ($R_n \sim$ kelipatan $\frac1n$, dan sesungguhnya $R_n \sim \frac{1}{2n}$) dengan dua baris dan tanpa antiturunan. Adapun soal akhir pekan bab ini dan bab berikutnya berjalan persis di atas apitan semacam itu — jadi naluri pertama seorang analis di hadapan sebuah [integral](#thm-b1-integration-def) seharusnya *membatasinya*, lalu barulah, bila perlu, menghitungnya.

**Contoh 15.14 (Nilai rata-rata).**

*Rata-rata* sebuah $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$ adalah $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Untuk lengkung sinusnya:

$$
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi}
\approx 0.637 :
$$

jadi satu lengkung positif yang penuh berata-rata bukan $\frac12$ melainkan $\frac2\pi$ — karena kurvanya menghabiskan waktu lebih lama di atas daripada segitiga yang sebanding. Menurut [Latihan 15.11](#exo-b1-integration-11) (yaitu teorema nilai rata-rata bagi [integral](#thm-b1-integration-def), dengan $g = 1$), rata-ratanya merupakan sebuah *nilai*: $\sin c =
\frac2\pi$ untuk suatu $c \in \intoo{0}{\pi}$. Dan menurut [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) pada bab ini, rata-ratanya merupakan limit rata-rata biasa atas $n$ cuplikan — jadi jembatan antara rata-rata diskret sebuah data dan rata-rata [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) sebuah isyarat, dan begitulah [integralnya](#thm-b1-integration-def) masuk ke fisika.

**Teorema 15.15 (Pengintegralan parsial; penyulihan).**

1. Jika $u, v$ berkelas $C^1$ pada $\intcc{a}{b}$: $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$
2. Jika $\varphi$ berkelas $C^1$ pada $\intcc{\alpha}{\beta}$ dan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$: $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,  \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$

**Bukti.** (1) Karena $(uv)' = u'v + uv'$; integralkanlah atas $\intcc{a}{b}$ lalu terapkan teorema fundamentalnya pada fungsi $C^1$ yaitu $uv$.

(2) Misalkan $F$ sebuah primitif bagi $f$ pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) petanya ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)). Maka $(F \circ \varphi)' = (f
\circ \varphi)\,\varphi'$ (menurut aturan rantainya), sehingga kedua ruasnya sama dengan $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$. ∎

**Contoh 15.16.**

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1
\eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. Lalu dengan penyulihan $x =
\sin t$ ($t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$):

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x
= \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t
= \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,
$$

— yaitu seperempat cakram satuan, sebagaimana dituntut geometrinya. (Jadi pelinearan dari [Metode 3.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#met-b1-complex-trig) sedang bekerja.)

**Catatan 15.17 (Jebakan yang lazim dalam kalkulus integral).**

(i) *Penyulihannya harus $C^1$ pada seluruh [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals)*: karena penggantian $x = \frac1t$ tak sah melintasi $0$; dan bila diterapkan secara buta pada $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$ ia “membuktikan” bahwa [integralnya](#thm-b1-integration-def) sama dengan negatifnya sendiri. Jadi ketika sebuah penyulihan mempunyai kesingularan, potonglah [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) lebih dulu (dengan Chasles), lalu sulihkan pada setiap kepingnya, dan barulah gabungkan kembali. (ii) *Primitif logaritma menuntut nilai mutlak*: karena $\int \frac{\dd x}{x - 2} =
\ln\abs{x - 2} + C$ pada masing-masing sisi $2$ secara tersendiri — sehingga menulis $\ln(x - 2)$ pada $\intoo{0}{1}$ berarti menulis logaritma bilangan yang negatif; dan konstantanya $C$ boleh berbeda pada kedua sisi kesingularannya. (iii) *[Integral](#thm-b1-integration-def) yang lenyap tak membunuh fungsinya*: karena $\int_0^{2\pi}\sin = 0$; jadi kepositifan integrannya dituntut sebelum menyimpulkan $f = 0$ ([Contoh 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork)). (iv) *[Jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) harus terkalibrasi*: karena pada $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a +
k\frac{b-a}{n}\bigr)$, langkah di luarnya dan titik di dalamnya harus cocok dengan [partisi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-partition) yang sama — adapun galat yang sering terjadi adalah jumlah $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *tanpa* faktor $\frac1n$, yang divergen alih-alih konvergen ke $\int_0^1
f$. Jadi daftar periksa sebelum memanggil [Teorema 15.20](#thm-b1-integration-riemann): keluarkanlah faktor $\frac1n$, tulislah ulang sukunya sebagai $f$ dari $\frac kn$, namailah $f$ lalu periksalah [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous).

**Contoh 15.18 (Tebak, turunkan, sesuaikan).**

Berapakah $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$? Tebaklah sebuah primitif berbentuk $t\,P(\ln t)$ dengan $P$ [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) lalu turunkanlah:

$$
\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .
$$

Kita memerlukan $P(u) + P'(u) = u^2$: ambillah $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (dengan mencocokkan koefisiennya turun dari $u^2$). Sehingga

$$
\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t
= \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x
= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,
$$

yaitu hasil yang selainnya dicapai lewat dua kali [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts). Inti gagasan penutupnya: bahwa untuk integran berbentuk ([polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dalam $\ln t$) atau ([polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dikali $\eu^{\lambda t}$), primitifnya berbentuk sama — sehingga menurunkan sebuah tebakan yang terbentuk mengubah pengintegralan menjadi aljabar linear atas koefisiennya, yang lebih cepat dan lebih kecil kemungkinan galatnya daripada parsial yang berulang.

**Contoh 15.19 (Integral bumerang).**

Hitunglah $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$. Integralkanlah secara parsial dua kali, dengan menurunkan faktor trigonometrinya setiap kalinya:

$$
I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2}
- \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x
= \eu^{\pi/2} - J,
\qquad
J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2}
+ \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .
$$

[Integralnya](#thm-b1-integration-def) sudah kembali ke dirinya sendiri: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$, sehingga

$$
I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .
$$

Inti gagasan penutupnya: bahwa ketika integrannya hasil kali dua fungsi yang memproduksi dirinya sendiri di bawah pendiferensialan ($\eu^{ax}$, $\cos bx$, $\sin bx$), maka dua kali [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) menghasilkan persamaan linear bagi [integral](#thm-b1-integration-def) yang tak diketahuinya — jadi pecahkanlah ia alih-alih mengintegralkannya; dan setara dengan itu, lewatilah $\eu^{(a + \iu b)x}$ ([Bab 3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#ch-b1-complex)) lalu ambillah bagian realnya. Kedua jalannya memberikan jawaban yang sama, dan memeriksa bahwa demikianlah halnya merupakan uji kewarasan yang cuma-cuma.

## 15.4 Jumlah Riemann

**Teorema 15.20 (Jumlah Riemann).**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$. Maka

$$
S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1}
f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr)
\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,
$$

dan demikian pula dengan sebarang titik penilaian di dalam subselangnya.

**Bukti.** Di sini $S_n$ merupakan [integral](#thm-b1-integration-def) [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$ yang sama dengan $f(a + k\frac{b-a}{n})$ pada subselang ke-$k$. Diberikan $\varepsilon > 0$, [kekontinuan seragamnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-uniform) (menurut Heine) menyediakan $\delta$; lalu untuk $n > \frac{b-a}{\delta}$, setiap titik sebuah subselang berjarak $\delta$ dari titik penilaiannya, sehingga $\abs{f - \varphi_n} \leq
\varepsilon$ pada $\intcc{a}{b}$, jadi

$$
\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr|
= \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr|
\leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere
$$

∎

![Sebuah jumlah Riemann kiri dengan n = 8 persegi panjang: bahwa ketika jalanya menyusut, kekontinuan seragamnya memaksa luas tangganya menuju ∈t_ab f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg)

*Sebuah [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) kiri dengan $n = 8$ persegi panjang: bahwa ketika jalanya menyusut, [kekontinuan seragamnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-uniform) memaksa luas tangganya menuju $\int_a^b f$.*

**Contoh 15.21.**

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{}
\int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$: yaitu limit yang tak kasatmata bagi batas elementer, tetapi bening sebagai [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann).

**Contoh 15.22 (Jumlah Riemann kedua, beserta kalibrasinya).**

Carilah $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$. Kalibrasikanlah:

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}
= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2}
= \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,
$$

yaitu [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) bagi $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$: sehingga limitnya adalah

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .
$$

Inti gagasan penutupnya: bahwa seluruh seninya ada pada baris tengahnya — paksalah sukunya menjadi bentuk $f(\frac kn)$ dengan ongkos mengeluarkan tepat satu faktor $\frac1n$; dan begitu bentuknya tepat, teoremanya mengerjakan analisisnya sedangkan teorema fundamentalnya mengerjakan aritmetikanya.

**Catatan 15.23 (Di mana integralnya bekerja berikutnya).**

Konstruksi bab ini masing-masing mempunyai kelanjutan. Adapun [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) kembali pada [Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series) sebagai jembatan antara deret dan [integral](#thm-b1-integration-def) (yaitu perbandingan $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ dengan $\int
\frac{\dd t}{t^\alpha}$); sedangkan sisa [integralnya](#thm-b1-integration-def) merupakan bentuk paling tajam rumus Taylor pada [Bab 16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/16-rumus-taylor-dan-ekspansi-asimtotik#ch-b1-taylor); dan definisi berbasis $\sup$-nya merupakan purwarupa bagi [integral](#thm-b1-integration-def) Lebesgue pada jilid Tahun ke-3, yang di situ ketiga sifat yang sama (kelinearan, kemonotonan, dan sebuah teorema kekonvergenan) dibangun kembali pada kelas fungsi yang jauh lebih besar. Adapun soal akhir pekan di bawah mengubah [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) menjadi aritmetika: yaitu keirasionalan $\pi^2$.

## 15.5 Latihan

**Latihan 15.1 ★.**

Hitunglah: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(lewat pecahan parsial, [Bab 9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#ch-b1-fractions))*; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$.

**Solusi Latihan 15.1.**

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (lewat penutupan), sehingga

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}
= \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1
= \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.
$$

Lewat parsial ($u' = 1$, $v = \ln t$): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t =
\bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) =
1$.

Lewat parsial ($u' = \sin t$, $v = t$): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t =
\bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 =
\pi$.

**Latihan 15.2 ★.**

Hitunglah $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (lewat penyulihan) dan $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (dengan menulis $\cos^3 =
\cos(1 - \sin^2)$).

**Solusi Latihan 15.2.**

Lewat penyulihan $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$:

$$
\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2}
= \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2}
= \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .
$$

Dengan $u = \sin t$: $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2}
(1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3
t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$.

**Latihan 15.3 ★.**

Carilah limitnya, sebagai [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann):

$$
u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2},
\qquad
v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}}
\ \emph{(ambillah logaritmanya)}.
$$

**Solusi Latihan 15.3.**

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$: yaitu [jumlah Riemann](#thm-b1-integration-riemann) bagi $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ pada $\intcc{0}{1}$, sehingga $u_n \to
\int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$.

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n
\sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd
x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$. Jadi $v_n \to
\eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$. (Periksa pengenalannya: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$.)

**Latihan 15.4 ★.**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$. Hitunglah $\lim_{n\to\infty}
\int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$. *(Potonglah $\intcc{0}{1}$ di $1 -
\delta$.)*

**Solusi Latihan 15.4.**

Limitnya $0$. Misalkan $M = \sup \abs f$ dan $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$. Potonglah di $1 - \varepsilon$:

$$
\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr|
\leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1
x^n \abs f
\leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .
$$

Karena $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([Latihan 11.3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#exo-b1-seq-3)), maka limsup ruas kirinya $\leq M\varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon$: sehingga [integralnya](#thm-b1-integration-def) menuju $0$.

**Latihan 15.5 ★★.**

(Cauchy–Schwarz) Untuk $f, g$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$, buktikanlah

$$
\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,
$$

dengan menjabarkan $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ sebagai kuadratik dalam $\lambda$. Kapankah ia menjadi kesamaan?

**Solusi Latihan 15.5.**

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int
fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ untuk setiap $\lambda$. Jika $\int g^2 =
0$, maka $g = 0$ (menurut kepositifan tegasnya, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) dan ketaksamaannya menjadi $0 \leq
0$. Kalau tidak, $Q$ merupakan kuadratik yang sejati, yang di mana-mana $\geq 0$: sehingga diskriminannya $\leq 0$, yakni $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int
f^2 \int g^2$.

Kesamaannya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya lenyap, jika dan hanya jika $Q(\lambda_0) = 0$ untuk suatu $\lambda_0$, yakni $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, yakni (menurut kepositifan tegasnya lagi) $f = -\lambda_0 g$: jadi kesamaannya berlaku tepat ketika $f$ dan $g$ sebanding.

**Latihan 15.6 ★★.**

Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\R$, dan periodik-$T$. Buktikan bahwa $\int_a^{a+T}
f$ tak bergantung pada $a$, dan bahwa $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t
\to \frac 1T \int_0^T f$ ketika $x \to +\infty$.

**Solusi Latihan 15.6.**

Misalkan $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$. Menurut teorema fundamentalnya ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)), $\Phi$ [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) dengan $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$: jadi konstan.

Untuk $x > 0$, tulislah $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ (dengan $n = \lfloor x/T
\rfloor$). Menurut Chasles:

$$
\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f,
\qquad
\Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f
= C .
$$

Lalu $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f +
O\bigl(\frac 1x\bigr)$, dan $\frac{nT}{x} \to 1$: sehingga limitnya $\frac1T \int_0^T f$.

**Latihan 15.7 ★★.**

Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$ dengan $\int_0^1 f = \frac12$, buktikan bahwa $f$ mempunyai titik tetap di $\intcc{0}{1}$. *(Integralkanlah $f(x) - x$ lalu pakailah kepositifan tegasnya, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), lewat kontraposisinya yang digabung dengan teorema nilai antara.)*

**Solusi Latihan 15.7.**

Misalkan $g(x) = f(x) - x$: yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), dengan

$$
\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .
$$

Seandainya $g$ tak pernah lenyap, maka teorema nilai antara akan memaksa tanda yang tetap (karena fungsi [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang mengambil kedua tandanya pasti lenyap); katakanlah $g > 0$. Maka, menurut kepositifan tegasnya ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4) yang diterapkan pada $g > 0$, yang memberikan $\int g > 0$): yang bertentangan dengan $\int g = 0$. Jadi $g(c) = 0$ untuk suatu $c$: sehingga $f(c) = c$.

**Latihan 15.8 ★★★.**

([Integral](#thm-b1-integration-def) Wallis) Misalkan $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$.

1. Buktikan rekurensi $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) lewat parsial, lalu hitunglah $W_0, W_1$ , kemudian $W_{2p}$ dan $W_{2p+1}$ dalam bentuk [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) .
2. Buktikan bahwa $(W_n)$ turun dengan $\frac{W_{n+1}}{W_n}  \to 1$ ; buktikan bahwa besaran $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ bersifat konstan, yang sama dengan $\frac\pi2$ ; lalu simpulkanlah kesetaraan $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ .

**Solusi Latihan 15.8.**

1. Lewat parsial dengan $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$: $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2}  + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t  = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ sehingga $nW_n = (n-1)W_{n-2}$. Dari $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$: $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\,  \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2,  \qquad  W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3}  = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$
2. Pada $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, sehingga $\sin^{n+1} <  \sin^n$ dan $(W_n)$ turun (secara tegas) dan positif. Lalu mengapitnya dengan rekurensinya: $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}  \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1  \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ Adapun invariannya: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ memenuhi $a_n = a_{n-1}$ menurut rekurensi $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$, sehingga $a_n = a_0 =  1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$. Lalu $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2  \quad\implies\quad  W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$

**Latihan 15.9 ★★★.**

(Niven: $\pi$ irasional) Andaikan $\pi = \frac ab$ dengan $a, b \in
\N^*$, lalu tetapkan, untuk $n$ yang akan dipilih,

$$
P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!},
\qquad
I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .
$$

1. Buktikan bahwa $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , yang bernilai $< 1$ untuk $n$ yang besar.
2. Buktikan bahwa $P$ beserta semua [turunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) mengambil nilai *bulat* di $0$ dan di $\pi = \frac ab$ . *(Lewat penjabaran binomialnya: karena koefisien $P$ dikali $k!$ bersifat bulat untuk $k \geq n$; dan $P(\pi - x) = P(x)$.)*
3. Tetapkanlah $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (yaitu jumlah yang hingga). Periksalah bahwa $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , lalu simpulkanlah bahwa $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ bersifat bulat.
4. Tutuplah kesimpulannya.

**Solusi Latihan 15.9.**

1. Pada $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) =  b(\pi - x) > 0$ dan $\sin x > 0$ , sehingga integrannya $> 0$ dan $I_n > 0$ (menurut kepositifan tegasnya). Adapun batasnya: pada $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ dan $a - bx \leq a$ , sehingga $P  \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ dan $I_n \leq  \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , yang menuju $0$ (karena faktorialnya mengalahkan suku geometrinya: sebab ia suku umum deret eksponensial yang konvergen, bandingkan [Contoh 11.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#ex-b1-seq-e) ); khususnya $I_n < 1$ untuk $n$ yang besar.
2. Jabarkanlah $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j}  (-b)^j x^{n+j}$ : sehingga $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ dengan $c_j$ yang bulat. Lalu $P^{(k)}(0) = 0$ untuk $k < n$ (menurut valuasinya) dan, untuk $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) =  \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , yaitu bilangan bulat karena $n! \mid k!$ . Lebih lanjut $P(\pi - x) = P(x)$ (lewat penyulihan: karena $\pi - x$ menukar faktornya, dengan memakai $a - b(\pi - x) = bx$ ), sehingga $P^{(k)}(\pi)  = \pm P^{(k)}(0)$ : yang bulat pula.
3. Dengan $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (yang hingga: karena $P$ berderajat $2n$): $Q + Q'' = P$, dan $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ Sehingga $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi)  + Q(0)$, yaitu jumlah nilai $P^{(2k)}$ di $0$ dan $\pi$: jadi bilangan bulat menurut (2).
4. Untuk $n$ yang besar, $I_n$ merupakan bilangan bulat dengan $0 < I_n < 1$ : yang mustahil. Jadi anggapan $\pi = \frac ab$ gagal: sehingga $\pi$ irasional.

**Latihan 15.10 ★★★.**

Misalkan $f$ berkelas $C^1$ pada $\intcc{a}{b}$. Buktikan limit bertipe Riemann–Lebesgue

$$
\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to
+\infty]{} 0
$$

lewat [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts). Lalu buktikanlah ia lagi untuk $f$ yang sekadar [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), lewat hampiran seragam dengan [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)).

**Solusi Latihan 15.10.**

Kasus $C^1$-nya: lewat parsial,

$$
\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t
= \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b
+ \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,
$$

yang nilai mutlaknya terbatas oleh $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}}
{\lambda} \to 0$.

Kasus [kontinunya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous): misalkan $\varepsilon > 0$ lalu pilihlah [fungsi tangga](#def-b1-integration-step) $\varphi$ dengan $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (karena [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx) menyediakan $\varphi \leq f \leq
\psi$ dengan celah $\leq\varepsilon$; ambillah $\varphi$). Maka

$$
\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr|
\leq \int_a^b \abs{f - \varphi}
+ \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr|
\leq (b-a)\varepsilon
+ \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd
t\Bigr| ,
$$

dan masing-masing $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda
x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$: sehingga suku keduanya menuju $0$. Jadi limsupnya $\leq
(b-a)\varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon$: sehingga limitnya $0$.

**Latihan 15.11 ★★.**

(Teorema nilai rata-rata bagi [integral](#thm-b1-integration-def)) Misalkan $f, g$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$ dengan $g \geq 0$. Buktikan bahwa ada $c \in
\intcc{a}{b}$ dengan

$$
\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,
$$

lalu tunjukkanlah lewat sebuah contoh bahwa hipotesis $g \geq 0$ tak dapat dilepaskan.

**Solusi Latihan 15.11.**

Misalkan $m = \min f$ dan $M = \max f$, yang tercapai menurut teorema nilai ekstrem. Karena $g \geq 0$: maka $m\,g \leq fg \leq M\,g$, sehingga menurut kemonotonannya

$$
m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .
$$

Jika $\int_a^b g = 0$: maka kepositifan tegasnya ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) memaksa $g \equiv 0$, sehingga kedua ruasnya lenyap, dan sebarang $c$ berlaku. Kalau tidak, $t = \frac{\int
fg}{\int g}$ terletak di $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Teorema [13.13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#thm-b1-continuity-evt) dan [13.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#thm-b1-continuity-ivt)), sehingga $t =
f(c)$ untuk suatu $c$.

Tandanya penting: pada $\intcc{-1}{1}$ dengan $f(t) = g(t) = t$: $\int
fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, sedangkan $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t
= 0$ untuk setiap $c$.

**Latihan 15.12 ★★★.**

(Momen memaksa nol) Misalkan $f$ [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{a}{b}$ dengan

$$
\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{untuk } k = 0, 1,
\dots, n .
$$

Buktikan bahwa $f$ lenyap di $n + 1$ titik berbeda pada $\intoo{a}{b}$. *(Jika $f$ berubah tanda hanya di $z_1 < \dots
< z_m$ dengan $m \leq n$, integralkanlah $f$ terhadap $P(t) = (t - z_1)
\cdots (t - z_m)$ lalu pakailah kepositifan tegasnya.)*

**Solusi Latihan 15.12.**

Jika $f \equiv 0$ maka klaimnya hampa (karena setiap titiknya sebuah nol). Jadi anggaplah $f \not\equiv 0$ dan andaikan ia mempunyai paling banyak $n$ nol yang berbeda di $\intoo{a}{b}$; lalu misalkan $z_1 < \dots < z_m$ ($m \leq n$) nol yang di situ $f$ *berubah tanda* (yang mungkin saja tak ada). Tetapkanlah $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (dengan hasil kali kosong $= 1$), yang berderajat $m \leq n$. Pada setiap subselang yang dipotong oleh $z_i$, baik $f$ maupun $P$ bertanda tetap, dan keduanya berbalik tanda ketika melintasi suatu $z_i$: sehingga hasil kalinya $fP$ bertanda tetap pada seluruh $\intoo{a}{b}$. Dan karena [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), tak identik nol, dan bertanda tetap, maka ia mempunyai $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (menurut kepositifan tegasnya yang diterapkan pada $\abs{fP}$). Padahal $\int f P$ merupakan kombinasi linear momen $\int f\,t^k$, $k \leq n$, yang semuanya nol: yang bertentangan. Jadi $f$ mempunyai sekurang-kurangnya $n + 1$ nol berbeda di $\intoo{a}{b}$.

**Catatan 15.24 (Cakrawala di dalam jilid ini).**

Tiga bab ke depan bersandar langsung pada bab ini. [Bab 16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/16-rumus-taylor-dan-ekspansi-asimtotik#ch-b1-taylor) membawa sisa [integralnya](#thm-b1-integration-def) — karena yang paling tajam di antara ketiga rumus Taylornya adalah [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) yang diulang $n$ kali. [Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series) mengubah apitan jumlah oleh [integral](#thm-b1-integration-def) menjadi uji yang menentukan bagi $\sum n^{-\alpha}$, dan soal akhir pekannya menghaluskan apitan itu menjadi konstanta Euler. [Bab 24](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/24-kurva-bidang#ch-b1-curves) membuat [integralnya](#thm-b1-integration-def) geometris: karena panjang sebuah busur berparameter adalah $\int \sqrt{x'(t)^2 +
y'(t)^2}\,\dd t$, yaitu [integral](#thm-b1-integration-def) fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada sebuah ruas — persis objek yang dibangun di sini, tanpa memerlukan teori takwajar apa pun. Adapun fakta yang paling banyak dipakai ulang justru yang paling rendah hati: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$, yaitu ketaksamaan yang mengubah setiap taksiran titik demi titik menjadi taksiran [integral](#thm-b1-integration-def).

## 15.6 Soal: Mesin keirasionalan lewat integral

**Soal 15.1.**

Soal akhir pekan — $\eu$ dan $\pi^2$ bersifat irasional, $\eu$ sampai enam desimal, dan $\frac{22}{7} > \pi$ beserta buktinya

Satu mekanisme menggerakkan seluruh soal ini: *bahwa ungkapan yang harus menjadi bilangan bulat positif, namun terbukti lebih kecil daripada $1$, tak mungkin ada*. [Latihan 15.9](#exo-b1-integration-9) (Niven) menjalankannya sekali untuk membuktikan $\pi \notin \Q$; sedangkan di sini kita mengindustrikannya. Mesinnya memerlukan tiga bagian: masukan *kebulatan* (yaitu nilai titik ujung [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang terpilih baik), masukan *kekecilan* (yaitu faktor $\frac{1}{n!}$ yang menggilas [integralnya](#thm-b1-integration-def)), dan sebuah *jembatan* (yaitu [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts)) yang menghubungkan keduanya. Kita membuktikan bahwa $\eu$ bersifat irasional lalu menghitungnya dengan galat yang bersertifikat, membuktikan teorema Legendre yang lebih tajam bahwa $\pi^2$ irasional, lalu berakhir dengan [integral](#thm-b1-integration-def) paling memikat dalam analisis: $\int_0^1 \frac{x^4(1 -
x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$, yang mengapit $\pi$ dengan tangan.

**Bagian I — Bahan bakarnya.**

1. Buktikan bahwa $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ untuk setiap $c  > 0$ yang tetap *(karena di luar $n \geq 2c$, setiap langkahnya sekurang-kurangnya memaruhkan sukunya)* .
2. ([Integral](#thm-b1-integration-def) Beta) Buktikan, lewat induksi pada $m$ dengan [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts): $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x =  \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!}  \qquad (k, m \in \N).$$
3. Simpulkan $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x  = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ , dan — dengan membandingkannya dengan batas $x(1 - x) \leq \frac14$ — taksiran $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , yang cocok dengan $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ dari [Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#pb-b1-seq-1) .
4. Buktikan lema kekecilan yang dipakai dua kali di bawah: bahwa untuk setiap $g > 0$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intoo{0}{1}$, $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x  \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$

**Bagian II — $\eu$: keirasionalannya, lalu enam desimalnya.** Tetapkanlah $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$.

5. Hitunglah $A_0$ dan $A_1$ , buktikan rekurensi $A_n = \eu  - n A_{n-1}$ , beserta batasnya $0 < A_n \leq  \dfrac{\eu}{n+1}$ .
6. Tunjukkan lewat induksi bahwa $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ dengan $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
7. Simpulkan bahwa $\eu$ irasional *(karena jika $\eu = \frac  pq$, maka $q A_n$ merupakan bilangan bulat yang terperangkap di $\intoo{0}{1}$ untuk $n$ yang besar)* . Bandingkanlah dengan bukti [Latihan 11.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#exo-b1-seq-9) : yaitu [penutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) yang sama, dengan bahan bakar yang berbeda.
8. Buktikan, lewat induksi dan [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts), rumus sisanya yang persis $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n,  \qquad  R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t,  \qquad  \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$
9. Ambillah $n = 9$ : batasilah $R_9$ dengan memakai $\eu < 2.75$ (dari $b_2 = 2.75$ pada [Contoh 11.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#ex-b1-seq-e) ), nilailah jumlahnya, lalu simpulkan apitan bersertifikatnya $2.7182818 \leq  \eu \leq 2.7182823$ — jadi enam desimal, $\eu \approx  2.718282$ , beserta buktinya.

**Bagian III — Teorema Legendre: bahwa $\pi^2$ irasional.** Misalkan $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, dan andaikan $\pi^2 = \frac ab$ dengan $a, b \in \N^*$.

10. Tunjukkan $f(1 - x) = f(x)$ dan $0 < f \leq  \dfrac{1}{4^n\,n!}$ pada $\intoo{0}{1}$ .
11. Tunjukkan bahwa $f^{(k)}(0)$ dan $f^{(k)}(1)$ bersifat bulat untuk setiap $k \geq 0$ *(jabarkanlah $x^n(1-x)^n$ dengan koefisien bulat; lalu $\frac{k!}{n!} \in \Z$ untuk $k \geq n$; kemudian pakailah kesetangkupannya)* .
12. Definisikanlah $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,  \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ Tunjukkan bahwa $G(0)$ dan $G(1)$ bersifat bulat *(karena masing-masing $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*.
13. Periksalah teleskopnya $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f  = \pi^2 a^n f$, lalu $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos  \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$
14. Integralkanlah atas $\intcc{0}{1}$ lalu simpulkanlah $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1)  \in \Z ,$$ yaitu bilangan bulat yang *positif* yang terbatas oleh $\dfrac{\pi  a^n}{4^n\,n!}$.
15. Tutuplah dengan pertanyaan 1 bahwa $\pi^2$ bersifat irasional (Legendre, 1794), dan bahwa ini memperkuat [Latihan 15.9](#exo-b1-integration-9) : mengapakah keirasionalan $\pi^2$ mengakibatkan keirasionalan $\pi$ , dan tidak sebaliknya?

**Bagian IV — Memahami mesinnya.**

16. Tunjukkanlah kedua daya yang berlawanan (yaitu kebulatan data titik ujungnya; dan kekecilan analitik [integralnya](#thm-b1-integration-def) ) beserta jembatannya, pada Bagian II dan III. Lalu jelaskan mengapa faktor $\frac{1}{n!}$ pada $f$ menjadi titik gentingnya: bahwa jika ia dibuang, kebulatannya bertahan, tetapi ketaksamaan mana yang mati, dan untuk pecahan $\frac ab$ yang diklaim yang mana buktinya lalu gagal?
17. Keefektifannya: andaikan seseorang mengklaim $\pi^2 = \frac ab$ dengan $a \leq 10$ . Tunjukkan bahwa pertentangannya sudah mendarat di $n = 7$ : hitunglah $\pi\,(10/4)^7/7! \approx  0.38 < 1$ . Jadi mesinnya tak sekadar membantah; ia membantah pada tahap yang tetap dan terhitung.
18. Periksalah kewarasan jembatannya tanpa syarat: buktikan lewat dua kali [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) bahwa $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ lalu rukunkanlah dengan pertanyaan 14 di $n = 1$ (dengan menjaga $\pi^2$ tetap simbolis: karena kesamaan teleskopnya berbunyi $\pi^3  \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$).
19. Apakah yang membuat $\eu^x$ dan $\sin \pi x$ layak menjadi inti mesinnya? Kenalilah sifatnya (bahwa masing-masingnya memenuhi persamaan diferensial linear berkoefisien konstan, sehingga [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) yang berulang berdaur kembali ke awalnya), lalu namailah [perbatasannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) : bahwa mesin yang sama, yang dihaluskan oleh Hermite dan Lindemann, membuktikan bahwa $\eu$ dan $\pi$ bersifat *transenden* — yang di luar jilid ini.

**Bagian V — $\frac{22}{7}$ lawan $\pi$, dan moralnya.**

20. Tegakkanlah pembagian [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2}  = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$$ lalu simpulkanlah kesamaan yang termasyhur $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x  = \frac{22}{7} - \pi .$$
21. Integrannya positif: simpulkanlah $\pi <  \frac{22}{7}$. Lalu, dengan membatasi $\frac{1}{1+x^2}$ di antara $\frac12$ dan $1$ dan memakai $\int_0^1 (x(1-x))^4 =  \frac{1}{630}$ (pertanyaan 3), buktikanlah $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\;  \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ yakni $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$: jadi dua desimal yang benar, dengan tangan.
22. Samaratakanlah: dengan membagi $x^{4m}(1-x)^{4m}$ dengan $1 + x^2$, tunjukkan bahwa sisanya adalah konstanta $(-4)^m$ *(bekerjalah modulo $x^2 + 1$: karena $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, lalu simpulkanlah adanya bilangan rasional $r_m$ dengan $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ lalu periksalah bahwa $m = 1$ memproduksi ulang pertanyaan 20–21.
23. Hadapkanlah bilangan rasional ini dengan teori hampiran pada [Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1) : hitunglah $\abs{\pi -  \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ terhadap jaminan Dirichlet $\frac{1}{49}$ , lalu kutiplah $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ terhadap $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : jadi ada hampiran rasional yang luar biasa baik bagi $\pi$ — yang selaras, karena $\pi$ tak diketahui buruk penghampirannya.
24. (Perangkap bilangan bulat, yang diabstraksikan) Buktikanlah lema yang menyatukan segalanya: *bahwa jika $x \in \R$ dan ada bilangan bulat $a_n, b_n$ dengan $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, maka $x$ irasional.* Daftarkanlah kejadiannya pada soal ini, pada [Latihan 15.9](#exo-b1-integration-9) , pada [Latihan 11.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#exo-b1-seq-9) , dan pada [Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1) .
25. Sintesis, satu kalimat untuk masing-masing: (i) ketiga bagian mesinnya dan di mana masing-masingnya tinggal pada kotak perkakas bab ini; (ii) apakah yang disumbangkan [integralnya](#thm-b1-integration-def) yang tak dapat disumbangkan teorema nilai rata-rata pada [Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1) ; (iii) daftar hasil yang terpetik (yaitu dua keirasionalan, satu konstanta berdesimal enam, satu apitan bagi $\pi$ , dan satu batas binomial); (iv) adapun [perbatasannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) (Hermite, Lindemann; beserta perangkap yang sama, yang dijalankan pada $\zeta(2)$ dan $\zeta(3)$ , dalam aritmetika abad kedua puluh).

**Solusi Soal 15.1.**

**1.** Misalkan $N = \lceil 2c \rceil$. Untuk $n \geq N$: $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, sehingga $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$: jadi lewat apitan.

**2.** Tetapkanlah $k$; lalu induksi pada $m$. Untuk $m = 0$: $\int_0^1
x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$. Adapun langkahnya, lewat parsial ($u = (1-x)^m$, $v' = x^k$):

$$
\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x
= \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1
+ \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x
= \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,
$$

yaitu $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$.

**3.** Dengan $k = m = n$: $\int_0^1 (x(1-x))^n =
\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$. Dan karena $x(1-x) \leq \frac14$ pada $\intcc{0}{1}$, maka [integralnya](#thm-b1-integration-def) $\leq
4^{-n}$, sehingga $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — yang selaras dengan $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ ([Soal 11.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#pb-b1-seq-1)).

**4.** Integrannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), $\geq 0$, dan positif pada $\intoo{0}{1}$, sehingga tak identik nol: jadi [integralnya](#thm-b1-integration-def) $> 0$ ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)). Adapun batas atasnya: $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ dan $g \leq \sup\abs g$, lalu kemonotonannya.

**5.** Di sini $A_0 = \eu - 1$; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1
\eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Lewat parsial: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 -
n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$. Adapun batasnya: integrannya positif, sehingga $A_n > 0$; dan $\eu^x \leq \eu$ memberikan $A_n \leq
\eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$.

**6.** Di sini $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$. Jika $A_{n-1} = \alpha_{n-1} +
\beta_{n-1}\eu$ dengan entri yang bulat, maka

$$
A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu
= \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n}
+ \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,
$$

yang keduanya bulat.

**7.** Jika $\eu = \frac pq$: maka $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n
\in \Z$, dan $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ untuk $n$ yang besar: yaitu bilangan bulat yang tegas di antara $0$ dan $1$ — yang mustahil. Jadi $\eu
\notin \Q$. Adapun pada [Latihan 11.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#exo-b1-seq-9) bilangan bulat yang terperangkap adalah $q!\,\frac pq - q!\,a_q$; sedangkan di sini ia $qA_n$: jadi perangkap yang sama, dengan bahan bakar [integral](#thm-b1-integration-def).

**8.** Untuk $n = 0$: $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, sehingga $\eu =
1 + R_0$. Lewat parsial ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$):

$$
R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}
\eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr)
= \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,
$$

sehingga rumusnya merambat dari $n$ ke $n + 1$. Adapun batasnya: $1 \leq
\eu^t \leq \eu$ pada $\intcc{0}{1}$ dan $\int_0^1 (1-t)^n =
\frac{1}{n+1}$ memberikan $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq
\frac{\eu}{(n+1)!}$.

**9.** Di sini $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880}
= 2.71828152\dots$, dan

$$
\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq
\frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,
$$

sehingga $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$: jadi beserta buktinya, $\eu =
2.718282$ sampai enam desimal (dengan nilai sejatinya $2.7182818\dots$).

**10.** Di sini $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$. Pada $\intoo{0}{1}$: $0 < x(1-x) \leq \frac14$, sehingga $0 < f \leq
\frac{1}{4^n\,n!}$.

**11.** Di sini $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom
nj\,x^{n+j}$, sehingga $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ dengan $c_j \in \Z$. Jadi $f^{(k)}(0) = 0$ untuk $k < n$ atau $k > 2n$, dan untuk $n \leq k \leq 2n$: $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\,
c_{k-n}$, yaitu bilangan bulat karena $n! \mid k!$. Lalu kesetangkupannya memberikan $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$.

**12.** Di sini $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac
ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, sehingga $G(0) =
\sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ dan demikian pula $G(1)$ bersifat bulat menurut pertanyaan 11.

**13.** Pada $\pi^2 G + G''$, suku ke-$k$ dari $\pi^2 G$ membawa $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ sedangkan suku $j = k - 1$ dari $G''$ membawa $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$: sehingga semuanya saling meniadakan kecuali $k = 0$ pada jumlah pertamanya dan $j = n$ pada yang kedua, yakni

$$
G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr)
= b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f
$$

(karena $f$ berderajat $2n$, sehingga $f^{(2n+2)} = 0$; dan $b^n\pi^{2n} =
a^n$). Lalu

$$
\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)'
= (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .
$$

**14.** Dengan mengintegralkannya atas $\intcc{0}{1}$:

$$
\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x
= \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1
= \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,
$$

sehingga $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$. Pada $\intoo{0}{1}$, $f > 0$ dan $\sin\pi x > 0$: sehingga ruas kirinya positif, jadi $G(0) + G(1) \geq 1$; dan $\sin \leq 1$ beserta pertanyaan 10 membatasinya oleh $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.

**15.** Menurut pertanyaan 1 (dengan $c = \frac a4$), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$: sehingga untuk $n$ yang besar ia $< 1$, yang bertentangan dengan $G(0) + G(1) \geq 1$. Jadi tak ada pecahan $\frac ab$ yang sama dengan $\pi^2$: itulah teorema Legendre. Dan seandainya $\pi$ rasional, maka $\pi^2$ pun demikian: sehingga $\pi \notin \Q$ — dan implikasinya hanya berjalan ke arah ini (karena $\sqrt2$ irasional dengan kuadrat yang rasional), dan itulah sebabnya $\pi^2 \notin \Q$ sungguh lebih kuat daripada [Latihan 15.9](#exo-b1-integration-9).

**16.** Kebulatannya: pertanyaan 11–12 (yaitu [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) titik ujungnya); kekecilannya: pertanyaan 10 dan 1; jembatannya: pertanyaan 13–14 (yaitu [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) rangkap yang berteleskop). Tanpa $\frac{1}{n!}$, data titik ujungnya tetap bulat (bahkan lebih mudah), tetapi batasnya menjadi $\frac{\pi a^n}{4^n}$, yang menuju $0$ hanya ketika $a < 4$ — padahal setiap calonnya mempunyai $a =
b\,\pi^2 > 9$. Jadi faktorialnyalah yang persis mengalahkan pertumbuhan geometri $a^n$: tanpa faktorial, tak ada teorema.

**17.** Untuk $a \leq 10$, bilangan bulat $G(0) + G(1)$ bersifat positif dan paling banyak $\pi\,(10/4)^n/n!$. Pada $n = 7$: $2.5^7 = 610.35\dots$, sehingga batasnya $\frac{\pi \times
610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (sedangkan pada $n = 6$ ia masih $1.07$): jadi pertentangannya mendarat pada tahap ketujuh, secara eksplisit.

**18.** Lewat dua kali [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts):

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x
= \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}
$$

(karena suku kurungnya lenyap: yaitu $x(1-x)$ di $0, 1$, dan $\sin\pi x$ di $0, 1$). Secara simbolis, teleskop $n = 1$-nya (tanpa anggapan atas $\pi$) berbunyi $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) +
f_1''(1))$ dengan $f_1 = x(1 - x)$, $f_1'' = -2$: sehingga ruas kanannya $4$ — jadi kedua perhitungannya bersesuaian.

**19.** Fungsi $\eu^x$ memecahkan $y' = y$ dan $\sin\pi x$ memecahkan $y'' = -\pi^2 y$: yaitu persamaan linear berkoefisien konstan, sehingga [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) mendaurkan intinya kembali ke dirinya dan menjaga semua data [perbatasannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) di dalam $\Z + \Z\eu$ (masing-masing [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) bulat dalam $\pi^2$). Sifat ketertutupan itulah yang diperlukan mesinnya. Lalu dihaluskan dengan inti yang disesuaikan bagi beberapa titik sekaligus, mekanisme yang sama menghasilkan teorema Hermite (bahwa $\eu$ transenden, 1873) dan teorema Lindemann (bahwa $\pi$ transenden, 1882) — yang di luar jilid ini.

**20.** Lewat pembagian [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) (atau kalikan balik lalu periksa):

$$
x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .
$$

Lalu mengintegralkan kesamaan yang terpampang itu dibagi $1 + x^2$:

$$
\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x
= \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr)
- 4\arctan 1
= \frac{22}{7} - \pi ,
$$

dengan memakai $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ dan $\arctan 1 = \frac\pi4$.

**21.** Integrannya [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) dan positif pada $\intoo{0}{1}$: sehingga [integralnya](#thm-b1-integration-def) $> 0$, jadi $\pi < \frac{22}{7}$. Lebih lanjut $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ pada $\intcc{0}{1}$ dan $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} =
\frac{1}{630}$ (pertanyaan 3):

$$
\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630}
\quad\Longrightarrow\quad
3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .
$$

**22.** Modulo $x^2 + 1$: $x^2 \equiv -1$, sehingga $x^{4m} =
(x^2)^{2m} \equiv 1$ dan $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, jadi $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv
(-4)^m$: sehingga sisanya adalah konstanta $(-4)^m$, dan hasil baginya $Q_m$ berkoefisien bulat (karena pembagian oleh [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) bulat yang [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)). Lalu [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) kesamaannya dengan $1 + x^2$ dan mengintegralkannya:

$$
J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x
= s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4},
\qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .
$$

Lalu memecahkannya bagi $\pi$: dengan $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in
\Q$, $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq
4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$. Untuk $m = 1$: $s_1 =
\frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, dengan batas $4^{-4} =
\frac{1}{256}$ — jadi pertanyaan 20–21 lagi.

**23.** Di sini $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} -
\pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$, yaitu enam belas kali lebih baik daripada tolok ukur berorde $2$ yaitu $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$ yang dijamin Dirichlet ([Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1), pertanyaan 4); dan $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ mengalahkan $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ dengan faktor $\approx 300$. Namun tak ada pertentangan dengan apa pun yang terbukti: karena ketaksamaan Liouville *membatasi dari bawah* galat hampiran hanya bagi [bilangan aljabar](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#pb-b1-logic-1), dan tak ada batas semacam itu bagi $\pi$ yang tersedia pada tingkat ini — jadi $\pi$ bebas dihampiri dengan luar biasa baik.

**24.** Lemanya: andaikan $x = \frac pq$ dan $0 < \abs{a_n +
b_n x} \to 0$. Maka $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p
b_n}}{q}$, dengan $q a_n + p b_n$ merupakan bilangan bulat taknol (yang taknol karena nilai mutlaknya $> 0$): sehingga $\abs{a_n + b_n x}
\geq \frac1q$ untuk setiap $n$, yang bertentangan dengan kekonvergenannya ke $0$. Adapun kejadiannya: pertanyaan 7 ($x = \eu$, $a_n = \alpha_n$, $b_n =
\beta_n$); [Latihan 11.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#exo-b1-seq-9) ($x = \eu$ lagi, dengan $a_q =
-q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$); dan [Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1), pertanyaan 1, merupakan bentuk geometrinya. Sedangkan pada Bagian III dan pada [Latihan 15.9](#exo-b1-integration-9) perangkapnya berjalan *di dalam* pertentangannya: karena menganggap kerasionalannya mengubah sebuah ungkapan menjadi bilangan bulat, yang lalu diapit analisisnya ke dalam $\intoo{0}{1}$ — jadi asas yang sama, yang ditransposisikan.

**25.** (i) Kebulatannya tinggal pada kalkulus titik ujung [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) (pertanyaan 6, 11–12), kekecilannya pada batas yang diberikan kemonotonan $\sup$-nya (pertanyaan 4, 10), dan jembatannya pada [pengintegralan parsial](#thm-b1-integration-parts) (pertanyaan 8, 13–14) — ketiganya merupakan teorema bab ini. (ii) Adapun [integralnya](#thm-b1-integration-def) memasok apa yang tak dapat dipasok teorema nilai rata-rata: yaitu kesamaan yang *persis* antara objek analitiknya dan data aritmetikanya (jadi kesamaan, bukan sekadar ketaksamaan dengan $c$ yang tak diketahui), dan itulah sebabnya mesinnya mencapai $\pi^2$ sedangkan [Soal 14.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#pb-b1-derivative-1) hanya mencapai eksponen hampirannya. (iii) Yang terpetik: $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (sehingga $\pi \notin \Q$), $\eu = 2.718282$ yang bersertifikat, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$, dan $\binom{2n}{n} \geq
\frac{4^n}{2n+1}$. (iv) Adapun [perbatasannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure): Hermite dan Lindemann mendorong mesin yang sama ke ketransendenan; sedangkan Apéry (1979) menjalankan perangkap bilangan bulatnya pada $\zeta(3)$ — jadi mesinnya masih memproduksi matematika abad kedua puluh.