---
title: "Ruang Vektor"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor
---

# Bab 18 — Ruang Vektor

Aljabar linear bermula di sini: aksioma [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) mengucilkan apa yang dimiliki bersama oleh $\R^2$, $\R^3$, ruang [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dan ruang fungsi — yaitu bahwa kita dapat menjumlahkan, dan menskalakan. Dua bab membangun teorinya (dengan [Bab 19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim) menambahkan dimensi); dan bahasa yang disiapkannya — [rentang](#def-b1-vspaces-span), [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free), [basis](#def-b1-vspaces-free), [jumlah langsung](#def-b1-vspaces-sum) — merupakan santapan harian setiap bab sesudahnya. Di sepanjang bab ini, $K$ menyatakan $\R$ atau $\C$ (yaitu *skalarnya*).

## 18.1 Definisi dan contoh

**Definisi 18.1 (Ruang vektor).**

Sebuah *ruang vektor atas $K$* adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $E$ dengan sebuah penjumlahan yang membuat $(E, +)$ menjadi [grup abelian](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) (dengan nolnya ditulis $0_E$ atau $0$), beserta perkalian skalar $K \times E \to E$ sedemikian sehingga, untuk setiap $\lambda, \mu \in K$ dan $x, y \in E$:

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

Akibatnya: $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$, dan $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ atau $x = 0_E$ (dengan mengalikannya dengan $\lambda^{-1}$).

**Bukti akibatnya.** Untuk $0\,x = 0_E$: dari $(0 + 0)x = 0x + 0x$ dan $(0+0)x = 0x$, coretlah $0x$ pada [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) $(E, +)$. Untuk $\lambda\,0_E$: dengan muslihat yang sama pada $\lambda(0_E + 0_E)$. Untuk $(-1)x$: tambahkanlah $x$,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

sehingga $(-1)x$ merupakan invers penjumlahan $x$. Akhirnya jika $\lambda x
= 0_E$ dengan $\lambda \neq 0$: kalikanlah dengan $\lambda^{-1}$ (karena skalarnya membentuk [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field)) lalu pakailah kedua aksioma $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ beserta $\lambda^{-1}0_E = 0_E$: sehingga $x = 0_E$. Sekecil apa pun keempat aturan ini, ia dipakai diam-diam pada setiap halaman berikutnya — dan yang terakhir persis merupakan tempat [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) diperlukan: karena di atas skalar $\Z$, “ruang” $\Z/2\Z$ akan melanggarnya dengan $2\,x = 0$. ∎

**Contoh 18.2.**

$K^n$ (dengan operasi [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) demi [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates)); [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $K[X]$; fungsi $\mathcal{F}(A, K)$ dari sebarang [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $A$ ke $K$ (dengan operasi titik demi titik) — yang memuat fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), barisan $\mathcal{F}(\N, \R)$, dan seterusnya; serta $\C$ sebagai [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas $\R$. Pada setiap kasusnya aksiomanya diwarisi dari aksioma $K$.

**Definisi 18.3 (Subruang).**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $F \subseteq E$ disebut *subruang* bila $0_E \in
F$ dan $F$ stabil terhadap penjumlahan dan perkalian skalar — setara dengan itu:

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{dan}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

Sebuah subruang sendirinya merupakan [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def). Adapun sebarang irisan subruang merupakan subruang; sedangkan gabungannya hampir tak pernah demikian (dengan bukti yang sama seperti [Latihan 7.6](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#exo-b1-structures-6)).

**Contoh 18.4.**

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$: fungsi yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous), fungsi yang [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def), [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq n$ (yang ditulis $K_n[X]$ di dalam $K[X]$), dan penyelesaian persamaan diferensial linear yang homogen ([Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#thm-b1-diffeq-homogeneous2) mengatakan persis itu). Adapun yang bukan contoh: $\{f : f(0) = 1\}$ (karena tanpa nol); dan berderajat tepat $n$ (karena tak stabil terhadap penjumlahan).

**Contoh 18.5 (Subruang atau bukan: empat vonis, beserta argumennya).**

Di dalam ruang barisan real:

- $\{u : u \text{ terbatas}\}$ *memang* [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) : karena $0$ terbatas, dan jika $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , maka $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
- $\{u : u_n \to 1\}$ *bukan* : karena barisan nolnya hilang (dan jumlah dua anggotanya menuju $2$ ).
- $\{u : u \text{ monoton}\}$ *bukan* : karena $u_n = n$ dan $v_n = -n + (-1)^n$ monoton, sedangkan jumlahnya $(-1)^n$ tidak; jadi kestabilan terhadap penjumlahanlah aksioma yang gagal, meskipun [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) memuat $0$ dan semua kelipatan skalar anggotanya.
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ *bukan* : karena ia memuat $0$ tetapi $2u$ kabur begitu $u$ menjadi anggota yang taknol (sebab $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ pada umumnya) — jadi pengkuadratannya yang menjadi ketaklinearannya.

Adapun urutan kerjanya selalu sama: ujilah $0$ lebih dulu (karena paling murah), lalu kestabilannya — dan untuk membantahnya, satu pasang contoh penyangkal yang eksplisit mengalahkan keraguan sebanyak apa pun.

## 18.2 Rentang, jumlah, jumlah langsung

**Definisi 18.6 (Kombinasi linear, rentang).**

Sebuah *kombinasi linear* keluarga $(x_1, \dots, x_p)$ berisi vektor $E$ adalah sebarang $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ (dengan $\lambda_i \in K$). Adapun [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) semuanya merupakan *rentang*nya $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$: yang merupakan [subruang](#def-b1-vspaces-subspace), yaitu yang terkecil yang memuat keluarganya.

**Bukti kedua penegasannya.** Kestabilannya: jumlah dua kombinasi linear $\sum\lambda_i x_i +
\sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ kembali menjadi satu, dan demikian pula kelipatan skalarnya $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i)
x_i$; sedangkan kombinasi nolnya menunjukkan bahwa $0$ termasuk: jadi [rentangnya](#def-b1-vspaces-span) sebuah [subruang](#def-b1-vspaces-subspace). Adapun keminimalannya: misalkan $H$ sebarang [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) yang memuat $x_1,
\dots, x_p$. Maka menurut kestabilan terhadap perkalian skalar setiap $\lambda_i x_i \in H$, dan menurut kestabilan terhadap penjumlahan jumlahnya terletak di $H$: sehingga setiap kombinasi linearnya termasuk $H$, yakni $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$. Jadi [rentangnya](#def-b1-vspaces-span) termuat di setiap [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) yang memuat keluarganya: sehingga ia yang terkecil. ∎

**Definisi 18.7 (Jumlah, jumlah langsung).**

Untuk [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ pada $E$:

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

merupakan [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) (yaitu yang terkecil yang memuat $F \cup G$). Jumlahnya disebut *langsung*, yang ditulis $F \oplus G$, bila setiap unsur $F + G$ terurai *secara tunggal* sebagai $u + v$; setara dengan itu (lihatlah di bawah) bila $F \cap G = \{0\}$. Adapun ketika $E = F \oplus
G$, kedua [subruangnya](#def-b1-vspaces-subspace) disebut *saling melengkapi* di dalam $E$.

**Contoh 18.8 (Sebuah jumlah dua garis).**

Di dalam $\R^3$, misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ dan $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. Maka jumlahnya adalah

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

yaitu bidang lewat titik asal yang memuat kedua garisnya. Ia tegas lebih besar daripada gabungannya $F \cup G$ (yang sekadar silang kedua garisnya): karena vektor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ terletak di jumlahnya tetapi tak pada garis mana pun. Dan $F \cap G = \{0\}$ (karena sebuah vektor bersama menuntut $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, yang dua [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) pertamanya memaksa $a = b = 0$): sehingga jumlahnya langsung, dan $F \oplus
G$ persis merupakan bidang itu.

**Proposisi 18.9.**

Jumlah $F + G$ bersifat langsung jika dan hanya jika $F \cap G = \{0\}$.

**Bukti.** Jika suatu $w \neq 0$ terletak di $F \cap G$: maka $w = w + 0 = 0 + w$ merupakan dua penguraian $w$. Sebaliknya, jika $u + v = u' + v'$ dengan $u, u'
\in F$, $v, v' \in G$, maka $u - u' = v' - v$ termasuk $F \cap G =
\{0\}$: sehingga penguraiannya tunggal. ∎

**Metode 18.10 (Membuktikan E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G).**

Ada dua hal yang harus diperiksa, masing-masing dengan langkah pembuka bakunya.

1. *Irisan yang sepele.* Ambillah $x \in F \cap G$ , tuliskanlah kedua syarat keanggotaannya, lalu apitlah $x =  0$ . (Jangan pernah berargumen lewat gambar: bandingkanlah jebakan di bawah.)
2. *Jumlahnya segalanya.* Ambillah sebarang $x \in E$ lalu *hasilkanlah* penguraiannya $x = f + g$ — entah dengan menebak $f$ dari sasarannya (karena $f$ harus memenuhi sifat pendefinisi $F$ , yang biasanya mendiktekan rumusnya) entah dengan memecahkan sistem linear yang menyatakan $x$ terhadap pembangun $F$ dan $G$ .

Ketika rumus penguraiannya ditebak, ketunggalannya otomatis dari langkah 1; sedangkan ketika hanya keberadaannya yang tak jelas, langkah 2-lah tempat kerjanya tinggal. Adapun kedua contoh di bawah menjalankan metodenya: untuk fungsi genap/ganjil rumus $f$-nya dipaksa oleh penilaian kesamaan yang diinginkan di $x$ dan $-x$; sedangkan untuk [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang lenyap di sebuah titik, oleh penilaian di $a$.

**Contoh 18.11.**

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$, fungsi genap $\mathcal{P}$ dan fungsi ganjil $\mathcal{I}$ [saling melengkapi](#def-b1-vspaces-sum): karena sebarang $f$ tertulis

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{genap}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ganjil}},
$$

dan sebuah fungsi yang sekaligus genap dan ganjil bernilai nol. (Bila diterapkan pada $\exp$, ini merupakan pasangan $(\cosh, \sinh)$ pada [Bab 4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#ch-b1-functions).)

**Contoh 18.12 (Sepasang pelengkap di dalam Kn[X]K_n[X]Kn​[X]).**

Tetapkanlah $a \in K$ lalu tetapkan $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G =
\operatorname{Vect}(1)$ (yaitu konstantanya). Maka $K_n[X] = F \oplus
G$. Memang $F \cap G$ terdiri atas konstanta yang lenyap di $a$, yakni $\{0\}$; dan setiap $P$ terurai sebagai

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

Penguraian ini pantas dihafalkan: karena mengurangkan nilainya di sebuah titik merupakan cara baku memproyeksikan ke “fungsi yang lenyap di $a$”. Perhatikanlah bahwa $F$ [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) yang besar sedangkan $G$ yang kecil; jadi sepasang [pelengkap](#def-b1-vspaces-sum) tak harus seimbang dalam arti apa pun.

**Contoh 18.13 (Sebuah subruang pelengkap tak pernah tunggal).**

Di dalam $\R^2$, misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (yaitu sumbu $x$). Maka baik $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ maupun $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ melengkapi $F$: karena masing-masingnya bertemu $F$ hanya di $0$, dan setiap pasangannya berjumlah $\R^2$. Adapun penguraian vektor yang sama itu berbeda:

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

Sesungguhnya *setiap* garis selain $F$ sendiri merupakan [pelengkap](#def-b1-vspaces-sum) $F$ di dalam $\R^2$: jadi [pelengkapnya](#def-b1-vspaces-sum) berlimpah, dan berbicara tentang “sang” [pelengkap](#def-b1-vspaces-sum) tak bermakna sampai sebuah struktur tambahan (yaitu hasil kali dalam, [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid)) memilih salah satunya.

![Dua penguraian titik yang sama pada ℝ2 sepanjang F (yaitu sumbu x): dengan pelengkap G (lewat jatuhan tegak) dan dengan pelengkap G' (lewat jatuhan miring). Adapun komponen F-nya berbeda: sehingga sebuah proyeksi bergantung pada arah turunnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*Dua penguraian titik yang sama pada $\R^2$ sepanjang $F$ (yaitu sumbu $x$): dengan [pelengkap](#def-b1-vspaces-sum) $G$ (lewat jatuhan tegak) dan dengan [pelengkap](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ (lewat jatuhan miring). Adapun komponen $F$-nya berbeda: sehingga sebuah proyeksi bergantung pada arah turunnya.*

## 18.3 Keluarga bebas, keluarga pembangun, basis

**Definisi 18.14.**

Sebuah keluarga $(x_1, \dots, x_p)$ berisi vektor $E$ disebut:

- *pembangun* (bagi $E$ ) bila $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
- *bebas* (dengan vektornya *bebas linear*) bila $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ dan kalau tidak disebut *terikat*;
- sebuah *basis* bila ia bebas sekaligus pembangun.

**Proposisi 18.15 (Koordinat).**

Keluarga $(e_1, \dots, e_n)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $E$ jika dan hanya jika setiap $x \in E$ *secara tunggal* merupakan kombinasi $x = \lambda_1 e_1 + \dots +
\lambda_n e_n$; dan skalar $\lambda_i$-nya menjadi *koordinat* $x$ pada basisnya.

**Bukti.** Pembangun $=$ keberadaan penguraiannya. Ketunggalan $=$ kebebasannya: karena dua penguraian atas $x$ yang sama berselisih sebuah kombinasi yang sama dengan $0$; lalu kebebasannya memaksa semua koefisiennya — yaitu selisih [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) — untuk lenyap. Sebaliknya, sebuah kombinasi nol yang taksepele memberikan kedua penguraian $0 = \sum \lambda_i
e_i = \sum 0\,e_i$. ∎

**Contoh 18.16.**

*[Basis](#def-b1-vspaces-free) kanonik* $K^n$: yaitu $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ (dengan $1$ pada slot $i$). Adapun monomial $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $K_n[X]$ (dengan kebebasannya: karena kombinasi nolnya adalah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) nol, sehingga semua koefisiennya lenyap, [Definisi 8.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)). Di dalam $\C$ atas $\R$: basisnya $(1, \iu)$.

**Catatan 18.17 (Koordinat adalah kerja tim).**

[Koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) pertama $x$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_n)$ bergantung pada *semua* vektor basisnya, bukan hanya $e_1$. Di dalam $\R^2$: vektor $(3, 1)$ berkoordinat pertama $3$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) kanoniknya, tetapi berkoordinat pertama $2$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — pecahkanlah $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$: maka $b = 1$, $a = 2$. Jadi mengubah satu vektor basisnya mengocok ulang *setiap* [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates); dan [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) akan mengemas pengocokan itu menjadi matriks perubahan [basis](#def-b1-vspaces-free).

**Contoh 18.18 (Menguji sebuah calon basis, dari awal sampai akhir).**

Apakah $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_2[X]$? Tulislah $u_1, u_2, u_3$ bagi ketiga [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def). *Kebebasannya*: sebuah kombinasi nol $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 =
0$ memberikan, koefisien demi koefisien,

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

lalu mengurangkan kedua yang pertama memberikan $b = c$, kemudian yang ketiga memberikan $2b =
0$: sehingga $a = b = c = 0$, jadi [bebas](#def-b1-vspaces-free). *Pembangunnya*: alih-alih memecahkan tiga sistem, perhatikanlah kombinasi setangkupnya

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

sehingga $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; lalu

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

Monomialnya terletak di [rentangnya](#def-b1-vspaces-span), sehingga segalanya demikian: jadi $\mathcal{F}$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free). Sebagai bonusnya, merakit ketiga tampilannya memberikan [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) sebarang $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

(Periksa kewarasannya dengan $P = X$: [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12,
-\frac12, \frac12\bigr)$, sebagaimana ditemukan di atas.) Ada dua pelajarannya: bahwa kesetangkupan pada keluarganya biasanya menyembunyikan kombinasi jalan pintas; dan bahwa begitu dimensinya tersedia ([Bab 19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim)), seluruh paruh pembangun kerja ini akan datang cuma-cuma — karena tiga vektor [bebas](#def-b1-vspaces-free) pada ruang berdimensi $3$ selalu membentuk [basis](#def-b1-vspaces-free).

**Proposisi 18.19 (Kriteria kebebasan yang berguna).**

1. Sebuah keluarga berisi *[polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) taknol yang derajatnya berbeda berpasangan* bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free) .
2. Menambahkan sebuah vektor pada [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free) menjaganya tetap [bebas](#def-b1-vspaces-free) jika dan hanya jika vektornya berada di luar [rentang](#def-b1-vspaces-span) keluarganya.
3. Sebarang subkeluarga sebuah [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free) bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free) ; dan sebarang keluarga yang memuat keluarga pembangun bersifat pembangun.

**Bukti.** (1) Pada sebuah kombinasi nol, lihatlah derajat tertinggi yang hadir: maka koefisiennya pasti lenyap (karena tak ada yang meniadakan derajat itu), lalu turunlah secara beruntun.

(2) Jika $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, maka relasi $x
- \sum\lambda_i x_i = 0$ bersifat taksepele. Sebaliknya, sebuah kombinasi nol yang taksepele atas $(x_1, \dots, x_p, x)$ pasti melibatkan $x$ dengan koefisien yang taknol (kalau tidak ia bertentangan dengan kebebasan keluarga yang kecil), lalu memecahkannya bagi $x$ menaruhnya di [rentangnya](#def-b1-vspaces-span).

(3) Untuk subkeluarganya: sebuah kombinasi nol atas subkeluarganya merupakan kombinasi seluruh keluarganya dengan koefisien yang hilang ditetapkan $0$; sehingga kebebasan keluarga besarnya membunuh semuanya. Adapun untuk keluarga besarnya: setiap vektor $E$ sudah merupakan kombinasi bagian pembangunnya; jadi berikanlah vektor tambahannya koefisien $0$. ∎

**Contoh 18.20 (Asas tangganya).**

Misalkan $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ dengan $\deg P_k = k$ untuk setiap $k$ (yaitu sebuah “tangga” derajat). Maka $(P_0, \dots, P_n)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $K_n[X]$. Adapun kebebasannya adalah [Proposisi 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1). Sedangkan untuk sifat pembangunnya, berargumenlah lewat penurunan hingga pada derajatnya: misalkan $Q \in
K_n[X]$, $Q \neq 0$, berderajat $d$, dengan koefisien utamanya $a$, dan misalkan $b \neq 0$ koefisien utama $P_d$. Maka $Q -
\frac ab P_d$ berderajat $< d$ (karena suku puncaknya saling meniadakan); lalu dengan mengganti $Q$ dengan selisih ini dan mengulanginya, setelah paling banyak $n + 1$ langkah kita mencapai [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) nolnya, dan membuka gulungan pengurangannya menyatakan $Q$ sebagai kombinasi $P_k$-nya. Adapun dua tangga yang sudah kita temui: pangkat yang tergeser $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k
\leq n}$ ([Latihan 18.4](#exo-b1-vspaces-4)), dan hasil kali Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq
n}$, yang dipekerjakan pada soal akhir pekannya.

**Contoh 18.21 (Kebebasan pada ruang fungsi).**

Di dalam $\mathcal{F}(\R,\R)$, keluarga $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p
x})$ dengan $a_1 < \dots < a_p$ bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free): bagilah sebuah kombinasi nol dengan $\eu^{a_p x}$ lalu biarkan $x \to +\infty$; maka koefisien terakhirnya mati, dan kita turun secara beruntun ([Latihan 18.8](#exo-b1-vspaces-8) memerinci ini beserta variannya). Jadi kebebasan fungsi dibuktikan lewat *penilaian*: di titik yang terpilih baik, di tak hingga, atau setelah menurunkannya.

**Contoh 18.22 (Sebuah relasi tersembunyi mengecilkan rentang).**

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$, apakah $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? Adapun kesamaan $\cos^2 + \sin^2 = 1$ merupakan kombinasi nol yang taksepele

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

jadi keluarganya terikat, dan [rentangnya](#def-b1-vspaces-span) sudah dibangun oleh $(1, \cos^2)$ saja (karena $\sin^2 = 1 - \cos^2$). Adapun keluarga yang lebih kecil itu bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free): karena $a + b\cos^2 x = 0$ untuk setiap $x$ memberikan, di $x = 0$ dan $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ dan $a = 0$. Jadi [rentangnya](#def-b1-vspaces-span) sebuah *bidang* di dalam ruang fungsinya — dan ia juga memuat $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: sehingga keluarga fungsi trigonometri yang tampak linear rutin runtuh di bawah kesamaannya, dan itulah sebabnya kebebasannya harus *dibuktikan*, tak pernah dianggap dari panjang daftarnya.

**Catatan 18.23 (Jebakan yang lazim).**

Ada empat perangkap klasiknya. *Berpasangan tak mencukupi*: karena di dalam $\R^2$, vektor $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ tak sebanding berpasangan, namun terikat — sebab kebebasan merupakan sifat *seluruh* keluarganya, yang diuji lewat satu kombinasi yang menyeluruh, tak pernah dua demi dua. *Vektor nolnya meracuni segalanya*: karena sebarang keluarga yang memuat $0$ bersifat terikat (sebab $1\cdot 0 = 0$ merupakan relasi yang taksepele), sepolos apa pun vektor lainnya. *Gabungan bukan jumlah*: karena $F \cup G$ hampir tak pernah menjadi [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) ([Definisi 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)); adapun [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) terkecil yang memuat keduanya adalah $F + G$, yang biasanya jauh lebih besar daripada gabungannya — karena di dalam $\R^2$, dua garis yang berbeda bergabungan menjadi silang, sedangkan berjumlah seluruh bidangnya. *Langsung menuntut irisan yang sepele, bukan kelepasan*: karena dua [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) tak pernah lepas (sebab keduanya memuat $0$); jadi syarat yang benar adalah $F \cap G = \{0\}$, dan itu harus *dibuktikan*, bukan dibaca dari sebuah gambar — bandingkanlah [Contoh 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements), yang di situ banyak $G$ yang berbeda berlaku. *Kebebasan bergantung pada skalarnya*: karena pasangan $(1, \iu)$ [bebas](#def-b1-vspaces-free) di $\C$ yang dipandang sebagai [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas $\R$, tetapi terikat di $\C$ yang dipandang sebagai [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas $\C$ (sebab $\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$). Jadi ketahuilah selalu [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) mana yang bekerja sebelum menyatakan sebuah [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free) — adapun soal akhir pekan [Bab 19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim) mengubah persis kepekaan ini menjadi bukti keirasionalan.

**Catatan 18.24 (Ke mana bahasa ini pergi).**

Segalanya setelah bab ini berbicara dalam bahasa yang disiapkan di sini. [Bab 19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim) mencacah vektor basisnya lalu mengubah “[bebas](#def-b1-vspaces-free)” dan “pembangun” menjadi ketaksamaan atas satu bilangan bulat, yaitu dimensinya. [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) menelaah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang selaras dengan kedua operasinya; dan [jumlah langsungnya](#def-b1-vspaces-sum) menjadi proyektor di sana. [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) menyandikan vektornya lewat [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) pada sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free) — dengan [Proposisi 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) sebagai izin bagi penyandian itu — sedangkan [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) menambahkan panjang dan sudut di atas struktur linearnya. Pada jilid Tahun 2 aksioma yang sama, kata demi kata, berjalan di atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) sebarang dan dalam dimensi tak hingga; karena tak ada apa pun pada bab ini yang memakai kehinggaan di mana pun.

**Catatan 18.25 (Tiga benang yang diikuti sepanjang Buku 3).**

Amatilah tiga gagasan tertentu bab ini bertumbuh. *Asas tangganya* ([Contoh 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) muncul kembali sebagai [basis](#def-b1-vspaces-free) Newton pada soal akhir pekan bab ini, sebagai [basis](#def-b1-vspaces-free) binomial $(B_k)$ di sana, dan sebagai muslihat alternan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) pada soal akhir pekan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det): jadi satu lema, tiga dividen tanpa determinan. *Penilaian sebagai uji kebebasan* ([Contoh 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) menjadi isomorfisme interpolasi pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps), lalu kriteria Vandermonde pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det), lalu uji Gram pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid): jadi refleks yang sama, yang dipertajam tiga kali. *[Jumlah langsungnya](#def-b1-vspaces-sum)* ([Definisi 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) menjadi proyektor pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps), pembelahan ortogonal $E =
F \oplus F^\perp$ pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid), dan penguraian terjelaskan-tambah-sisa pada kuadrat terkecil di soal akhir pekan [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar). Jadi sangat sedikit isi buku ini yang pada dasarnya bukan salah satu dari ketiga gagasan itu dalam pakaian yang baru.

## 18.4 Latihan

**Latihan 18.1 ★.**

Manakah di antara berikut ini yang merupakan [subruang](#def-b1-vspaces-subspace)?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ terbatas}\}$ .

**Solusi Latihan 18.1.**

1. Ya: karena ia memuat $0$ , dan persamaan pendefinisinya linear (sehingga stabil terhadap $x + \lambda y$ ).
2. Bukan: karena ia tak memuat $(0,0,0)$ .
3. Bukan: karena $(1, 0)$ dan $(0, -1)$ termasuk (dengan $xy = 0$ ), sedangkan jumlahnya $(1,  -1)$ tidak (karena $xy = -1 < 0$ ).
4. Ya: karena $0$ lenyap di $1$ ; dan $(P + \lambda Q)(1) = P(1) +  \lambda Q(1) = 0$ .
5. Ya: karena fungsi nolnya terbatas; dan jika $\abs f \leq M$ dan $\abs g \leq M'$ , maka $\abs{f + \lambda g} \leq M +  \abs\lambda M'$ .

**Latihan 18.2 ★.**

Di dalam $\R^3$, apakah $(1, 2, 1)$ termasuk $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$? Dan $(2, 1,
1)$? Perikanlah $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ lewat sebuah persamaan.

**Solusi Latihan 18.2.**

Persamaan $(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ menuntut $a + b = 1$, $b = 2$, $a =
1$: yang tak selaras (karena $a + b = 3 \neq 1$): jadi tak di [rentangnya](#def-b1-vspaces-span). Sedangkan $(2,1,1) =
a(1,0,1) + b(1,1,0)$: $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$: yang taat asas, sehingga $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$, jadi di [rentangnya](#def-b1-vspaces-span).

Persamaannya: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ berarti $x = y + z$: sehingga [rentangnya](#def-b1-vspaces-span) adalah bidang $\{x - y - z = 0\}$.

**Latihan 18.3 ★.**

Putuskanlah kebebasannya di $\R^3$: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1),
(0,1,1)\bigr)$; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$.

**Solusi Latihan 18.3.**

Keluarga pertamanya: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ memberikan $\lambda + \mu = 0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$: lalu menjumlahkannya, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$, dan mengurangkan setiap persamaannya, $\lambda = \mu = \nu = 0$: jadi [bebas](#def-b1-vspaces-free).

Yang kedua: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$: jadi terikat.

Yang ketiga: empat vektor di $\R^3$ — yang niscaya terikat begitu dimensinya tersedia ([Bab 19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim)); adapun secara langsung: $(0,1,1) = -(1,0,0) +
0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, memang $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$: yaitu sebuah relasi yang taksepele.

**Latihan 18.4 ★.**

Buktikan bahwa $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_3[X]$, lalu berikanlah [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) $X^3$ padanya. *(Lewat Taylor di $1$!)*

**Solusi Latihan 18.4.**

[Polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ berderajat berbeda $0,
1, 2, 3$: jadi [bebas](#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)); dan empat vektor [bebas](#def-b1-vspaces-free) yang membangun (karena setiap $P \in \R_3[X]$ terjabarkan dalam pangkat $X -
1$, misalnya lewat Taylor bagi [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), bandingkan bukti [Proposisi 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#prop-b1-poly-multiplicity)): jadi sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free). Untuk $X^3$, lewat Taylor di $1$: $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) =
6$:

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

dengan [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (yaitu baris Pascal, sebagaimana diharapkan dari $X^3 =
((X-1)+1)^3$).

**Latihan 18.5 ★★.**

Di dalam $\R^4$, misalkan $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ dan $G = \{(x,y,z,t)
: x = t = 0\}$. Buktikan bahwa $F \oplus G = \R^4$, lalu uraikanlah $(1,2,3,4)$ menurutnya.

**Solusi Latihan 18.5.**

Untuk $F \cap G$: syarat $x = y = z$ dan $x = t = 0$ bersama-sama memberikan $x = 0$, sehingga $y = z = 0$, dan $t = 0$: jadi irisannya adalah $\{0\}$. Adapun jumlahnya: diberikan $(x,y,z,t)$, carilah $(a,a,a,b) \in F$ dan $(0,c,d,0) \in G$ yang berjumlah demikian: $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d =
z - x$: yang selalu mungkin. Jadi $\R^4 = F \oplus G$, dan

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**Latihan 18.6 ★★.**

Di dalam ruang barisan, misalkan $F$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) barisan yang konvergen dan $G = \operatorname{Vect}(u)$ dengan $u_n = (-1)^n$. Buktikan bahwa $F \cap G = \{0\}$. Apakah $F + G$ seluruh ruang barisannya?

**Solusi Latihan 18.6.**

Sebuah unsur $G$ berbentuk $\lambda u$; dan jika ia konvergen, maka (karena $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ mempunyai dua limit [subbarisan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#def-b1-seq-subsequence) $\pm
\lambda$) niscaya $\lambda = 0$: sehingga $F \cap G = \{0\}$.

Adapun $F + G$ bukan segalanya: karena ia terdiri atas barisan berbentuk $c_n + \lambda(-1)^n$ dengan $(c_n)$ yang konvergen. Sedangkan barisan $v_n =
n$ tak berbentuk demikian (karena $v_n - \lambda(-1)^n$ tak terbatas, sehingga tak pernah konvergen). Jadi $F \oplus G \subsetneq$ (ruang semua barisannya).

**Latihan 18.7 ★★.**

Misalkan $F, G, H$ [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) $E$. Buktikan bahwa

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

lalu tunjukkanlah lewat sebuah contoh di $\R^2$ bahwa kedistributifan yang tak terbatasi $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ gagal.

**Solusi Latihan 18.7.**

($\supseteq$) Baik $F \cap G$ maupun $F \cap H$ terletak di $F$, dan jumlahnya terletak di $G + (F \cap H)$: sehingga inklusinya menyusul karena ruas kirinya merupakan [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) yang memuat kedua kepingnya — secara konkret, sebuah unsur $g +
h$ dengan $g \in F\cap G$, $h \in F \cap H$ berada di $F$ (sebagai jumlah dua unsur $F$) dan di $G + (F \cap H)$.

($\subseteq$) Misalkan $x \in F$ dengan $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F
\cap H$. Maka $g = x - h \in F$ (sebagai selisih unsur $F$), sehingga $g \in F \cap G$, dan $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

Adapun contoh penyangkal bagi kedistributifan penuhnya di $\R^2$: $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Maka $G + H = \R^2$, sehingga $F \cap (G+H) =
F$, sedangkan $F \cap G = F \cap H = \{0\}$: jadi ruas kanannya $\{0\}
\neq F$.

**Latihan 18.8 ★★★.**

Buktikan bahwa keluarga $\mathcal{F}(\R, \R)$ berikut bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free):

1. $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ untuk $a_1 < \dots < a_p$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ untuk $a_i$ yang berbeda *(karena sifat [dapat diturunkannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) gagal tepat di satu titik per fungsinya)* .

**Solusi Latihan 18.8.**

1. Andaikan $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ untuk setiap $x$ . Kalikanlah dengan $\eu^{-a_p x}$ : maka $\lambda_p + \sum_{i < p}  \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ ketika $x \to  +\infty$ (karena setiap eksponennya $a_i - a_p < 0$ ). Padahal ruas kirinya identik $0$ , sehingga $\lambda_p = 0$ ; lalu ulangilah ke bawah.
2. Misalkan $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ untuk setiap $x$ . Nilailah di $x = 0$ : $a + c = 0$ ; lalu di $x = \pi$ : $-a + c  = 0$ ; sehingga $a = c = 0$ , dan relasinya tereduksi menjadi $b\sin  x + d \sin 2x = 0$ . Lalu nilailah di $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; kemudian di $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
3. Andaikan $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ untuk setiap $x$ . Adapun fungsi $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ bersifat [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) di $a_j$ (karena setiap sukunya demikian, jauh dari sudutnya sendiri), sehingga $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , yaitu selisihnya, pun harus [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) di $a_j$ — yang memaksa $\lambda_j = 0$ (karena $\abs{\,\cdot\,}$ bersudut). Dan ini berlaku bagi setiap $j$ .

**Latihan 18.9 ★★★.**

Misalkan $E$ [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas $K$ dan $F, G, H$ [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) dengan $F + G =
F + H$, $F \cap G = F \cap H$ dan $G \subseteq H$. Buktikan $G = H$. Berikanlah contoh penyangkal tanpa hipotesis $G \subseteq H$.

**Solusi Latihan 18.9.**

Misalkan $h \in H$. Karena $h \in H \subseteq F + H = F + G$, tulislah $h = f
+ g$ dengan $f \in F$, $g \in G$. Maka $f = h - g \in H$ (karena kedua sukunya di $H$, dengan memakai $G \subseteq H$), sehingga $f \in F \cap H = F \cap G
\subseteq G$, dan $h = f + g \in G$. Jadi $H \subseteq G$, lalu digabung dengan hipotesis $G \subseteq H$: sama.

Adapun contoh penyangkal tanpa $G \subseteq H$: di $\R^2$, ambillah $F =
\operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H =
\operatorname{Vect}(1,1)$: maka $F + G = F + H = \R^2$ dan $F \cap G
= F \cap H = \{0\}$, namun $G \neq H$.

**Latihan 18.10 ★★.**

Di dalam $\R[X]$, misalkan $\mathcal P$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang *genap* ($P(-X) = P(X)$) dan $\mathcal I$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang *ganjil* ($P(-X) = -P(X)$). Buktikan bahwa $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal
I$, lalu tunjukkanlah bahwa $\mathcal P =
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, yakni bahwa [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang genap tepat merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dalam $X^2$.

**Solusi Latihan 18.10.**

Kedua [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) merupakan [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) (karena syarat pendefinisinya linear dan berlaku bagi $0$). Adapun penguraiannya: untuk $P \in \R[X]$,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

dan sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang sekaligus genap dan ganjil memenuhi $P = -P$, sehingga $P = 0$: jadi jumlahnya langsung dan sama dengan $\R[X]$.

Sekarang misalkan $P = \sum_k a_k X^k$ genap. Maka $P(X) - P(-X) = 2
\sum_{k \text{ ganjil}} a_k X^k$ merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) nol, sehingga setiap koefisien berderajat ganjilnya lenyap ([Definisi 8.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)): jadi $P \in
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, yakni $P = Q(X^2)$ untuk suatu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $Q$. Sebaliknya setiap [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dalam $X^2$ bersifat genap.

**Latihan 18.11 ★★.**

Misalkan $(x_1, x_2, x_3)$ [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free) sebuah [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) real $E$. Buktikan bahwa $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free). Apakah keluarga serupa yang berisi empat vektor $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 +
x_4,\ x_4 + x_1)$ [bebas](#def-b1-vspaces-free) ketika $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ demikian?

**Solusi Latihan 18.11.**

Andaikan $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$. Lalu mengelompokkannya ulang pada [keluarga bebas](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$:

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

Mengurangkan kedua persamaan pertamanya memberikan $c = b$; lalu yang ketiga memberikan $2b = 0$, sehingga $b = c = 0$, kemudian $a = 0$: jadi keluarganya [bebas](#def-b1-vspaces-free).

Adapun untuk empat vektor keluarga serupanya *selalu* terikat:

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

merupakan kombinasi nol yang taksepele (dengan koefisien $1, -1, 1, -1$), apa pun $(x_1, x_2, x_3, x_4)$-nya. Jadi keparitasan panjang daurnyalah yang memutuskan.

**Latihan 18.12 ★★★.**

Misalkan $E$ [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas $\R$ (atau $\C$) dan $F_1, \dots,
F_k$ [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) *sejati* $E$ (dengan setiap $F_i \neq E$).

1. Tanganilah kasus $k = 2$ secara langsung: jika $F_1 \not\subseteq  F_2$ dan $F_2 \not\subseteq F_1$ , pilihlah $x \in F_1  \setminus F_2$ dan $y \in F_2 \setminus F_1$ lalu carilah letak $x  + y$ .
2. Buktikan secara umum bahwa $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : yakni bahwa [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) yang tak hingga tak pernah menjadi gabungan hingga [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) sejati. *(Ambillah $k$ yang minimal, pilihlah $x \in F_1$ di luar $F_i$ lainnya, pilihlah $y \notin F_1$, lalu ikutilah garis $t \mapsto y + tx$.)*

**Solusi Latihan 18.12.**

1. Jika $F_1 \subseteq F_2$ atau $F_2 \subseteq F_1$ , maka gabungannya salah satu dari keduanya, sehingga sejati. Kalau tidak pilihlah $x \in F_1  \setminus F_2$ dan $y \in F_2 \setminus F_1$ , lalu tinjaulah $x + y$ . Jika $x + y \in F_1$ , maka $y = (x + y) - x \in  F_1$ : yang bertentangan. Jika $x + y \in F_2$ , maka $x \in F_2$ : yang bertentangan. Jadi $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , sehingga $E \neq  F_1 \cup F_2$ .
2. Andaikan untuk pertentangannya bahwa $E = F_1 \cup \dots \cup  F_k$ , dengan $k$ yang dipilih *minimal* di antara semua penyelimutan yang demikian. Maka keminimalannya melarang $F_1 \subseteq F_2 \cup  \dots \cup F_k$ (kalau tidak buanglah $F_1$ ), sehingga ada $x \in F_1$ dengan $x \notin F_i$ untuk setiap $i \geq 2$ . Dan karena $F_1$ sejati, pilihlah $y \notin F_1$ . Untuk setiap skalar $t$ , vektor $y + t x$ terletak di suatu $F_i$ . Namun ia tak pernah terletak di $F_1$ : sebab kalau tidak $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (karena $x \in  F_1$ ). Adapun [lapangannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) tak hingga, sehingga pilihlah $k$ skalar yang berbeda $t_1, \dots, t_k$ : maka $k$ vektor $y + t_j x$ jatuh ke dalam $k - 1$ [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) $F_2, \dots, F_k$ , sehingga dua di antaranya, katakanlah $y + t x$ dan $y + t' x$ dengan $t \neq t'$ , terletak di $F_i$ yang sama (dengan $i \geq 2$ ). Lalu selisihnya $(t - t')x \in F_i$ , sehingga $x \in F_i$ : yang bertentangan. Jadi tak ada penyelimutan hingga oleh [subruang](#def-b1-vspaces-subspace) sejati.

## 18.5 Soal: interpolasi, tiga basis bagi satu ruang

**Soal 18.1.**

Tetapkanlah $n + 1$ titik yang *berbeda* $x_0, x_1, \dots, x_n$ pada $\R$. Soal ini menengok kembali [interpolasi Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange)) dengan mata bab ini: bahwa ruang $\R_n[X]$ membawa tiga [basis](#def-b1-vspaces-free) yang alami — yaitu milik Lagrange, milik Newton, dan (untuk titik yang berjarak sama) [basis](#def-b1-vspaces-free) binomialnya — dan setiap basisnya membuat satu pertanyaan menjadi mudah. Jalannya berakhir pada sebuah teorema aritmetika yang sungguhan: yaitu pencirian Pólya atas [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang memetakan $\Z$ ke dalam $\Z$.

**Bagian I — [Basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrangenya.** Untuk $0 \leq i
\leq n$ tetapkanlah

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. Periksalah bahwa $\deg L_i = n$ dan bahwa $L_i(x_j) = 1$ bila $j =  i$ , dan $0$ bila $j \neq i$ .
2. Buktikan bahwa keluarga $(L_0, \dots, L_n)$ bersifat [bebas](#def-b1-vspaces-free) .
3. Buktikan bahwa untuk setiap $P \in \R_n[X]$, $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ lalu simpulkanlah bahwa $(L_0, \dots, L_n)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_n[X]$. *(Tinjaulah selisih kedua ruasnya lalu cacahlah akarnya, [Akibat 8.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#cor-b1-poly-nroots).)*
4. Simpulkanlah teorema interpolasinya: bahwa untuk sebarang nilai $y_0,  \dots, y_n \in \R$ ada $P \in  \R_n[X]$ yang *tunggal* dengan $P(x_i) = y_i$ untuk setiap $i$ . Pada [basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrangenya, apakah [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $P$ ?
5. Buktikanlah kesamaan $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{dan, untuk } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**Bagian II — [Basis](#def-b1-vspaces-free) Newton dan [selisih terbaginya](#pb-b1-vspaces-1).** Tetapkanlah $N_0 = 1$ dan $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots
(X - x_{k-1})$ untuk $1 \leq k \leq n$. Untuk sebuah fungsi $f$ yang terdefinisi di simpulnya, definisikanlah *[selisih terbaginya](#pb-b1-vspaces-1)* lewat $f[x_i] = f(x_i)$ dan

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. Buktikan bahwa $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_n[X]$ .
7. Hitunglah $f[x_0, x_1]$ dan $f[x_0, x_1, x_2]$ dalam nilai $f$ , lalu hitunglah semua [selisih terbagi](#pb-b1-vspaces-1) $f(x) = x^2$ pada tiga simpul yang sebarang.
8. (Lema Aitken) Misalkan $R$ menginterpolasi $f$ di $x_0, \dots,  x_{n-1}$ dan $Q$ menginterpolasi $f$ di $x_1, \dots, x_n$, keduanya berderajat $\leq n - 1$. Buktikan bahwa $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ menginterpolasi $f$ di $x_0, x_1, \dots, x_n$.
9. Simpulkanlah, lewat induksi pada cacah simpulnya, bahwa koefisien $X^{k}$ pada interpolan $f$ di $x_0,  \dots, x_k$ tepat sama dengan $f[x_0, \dots, x_k]$ .
10. Buktikanlah *rumus interpolasi Newton*: bahwa interpolan $f$ di $x_0, \dots, x_n$ adalah $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ lalu turunkanlah rumus [tertutupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$$ yang menunjukkan bahwa $f[x_0, \dots, x_k]$ tak bergantung pada urutan simpulnya.

**Bagian III — Simpul yang berjarak sama: operator selisihnya.** Mulai sekarang simpulnya adalah $0, 1, 2, \dots$ dan, untuk sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $P$, kita menetapkan

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. Tunjukkan bahwa jika $\deg P = m \geq 1$ dengan koefisien utamanya $a$ , maka $\deg \Delta P = m - 1$ dengan koefisien utamanya $m\,a$ , dan bahwa $\Delta$ membunuh konstantanya.
12. Tunjukkan bahwa $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ merupakan [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_n[X]$ dan bahwa $\Delta B_k = B_{k-1}$ untuk $k \geq 1$ .
13. (Rumus selisih maju Newton) Buktikan bahwa setiap $P  \in \R_n[X]$ memenuhi $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. Buktikan bahwa untuk setiap $k \geq 0$, $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. Tunjukkan bahwa jika $\deg P = n$ dengan koefisien utamanya $a_n$ , maka $\Delta^{n} P$ merupakan konstanta $n!\,a_n$ dan $\Delta^{n+1} P = 0$ .

**Bagian IV — [Polinomial bernilai bulat](#pb-b1-vspaces-1).** Sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $P \in \R[X]$ disebut *bernilai bulat* bila $P(m) \in
\Z$ untuk setiap $m \in \Z$.

16. Buktikan bahwa setiap $B_k$ bernilai bulat. *(Tanganilah $m  \geq k$, $0 \leq m < k$ dan $m < 0$ secara terpisah; adapun untuk $m =  -q < 0$, tunjukkanlah $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$.)*
17. Buktikanlah *pencirian Pólya* : bahwa $P \in \R_n[X]$ bernilai bulat jika dan hanya jika [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_0, \dots, B_n)$ berupa bilangan bulat.
18. Simpulkanlah: bahwa jika $P \in \R_n[X]$ mengambil nilai bulat di $n + 1$ bilangan bulat yang *berurutan* $a, a+1, \dots, a+n$ , maka $P$ bernilai bulat. *(Geserlah: terapkanlah telaahnya pada $Q(X)  = P(X + a)$.)*
19. Simpulkanlah dari pertanyaan 16 bahwa hasil kali $k$ bilangan bulat yang berurutan selalu terbagi oleh $k!$ .
20. Misalkan $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Hitunglah tabel Newtonnya di $0, 1, 2, 3$ , tulislah $P$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ , lalu simpulkanlah bahwa $P$ bernilai bulat meskipun tak ada satu pun dari koefisien monomialnya bulat. Periksalah $\Delta P =  (X+1)^2$ lalu simpulkanlah $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ untuk $m \in \N$ .

**Bagian V — Dividennya.**

21. Misalkan $P \in \R_n[X]$ menginterpolasi nilai $2^i$ di $i =  0, 1, \dots, n$ . Tunjukkan bahwa $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ dan bahwa $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : sehingga “pola pelipatduaannya” selalu patah tepat pada titik berikutnya.
22. (Antiturunan yang diskret) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat $m  \geq 1$ dan $k \geq 0$, $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ yakni kesamaan tongkat hoki $\sum_{j=k}^{m-1}  \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$.
23. Jabarkanlah $X^2$ dan $X^3$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ lalu simpulkanlah rumus [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) bagi $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ dan $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; lalu pulihkanlah kesamaan Nicomachus $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
24. Ambillah $n = 2$ dengan simpul $0, 1, 2$ . Tulislah [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) $X^2$ pada ketiga [basis](#def-b1-vspaces-free) soal ini: yaitu [basis](#def-b1-vspaces-free) monomialnya, [basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrangenya, dan [basis](#def-b1-vspaces-free) Newtonnya. Periksalah ketiga jawabannya terhadap pertanyaan 4 dan 9.
25. Sintesis. Dalam empat kalimat: gagasan [ruang vektor](#def-b1-vspaces-def) mana yang membuat pertanyaan 4 otomatis; mengapakah [basis](#def-b1-vspaces-free) Newton menghitung [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) *secara rekursif* sedangkan [basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrange membacanya *seketika* ; kriteria kebebasan mana yang dibagi kedua basisnya; dan dalam arti persis apa teorema Pólya mengatakan bahwa kebulatan sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) merupakan sifat [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) *pada [basis](#def-b1-vspaces-free) yang tepat* .

**Solusi Soal 18.1.**

**1.** Di sini $L_i$ merupakan hasil kali $n$ faktor linear dibagi konstanta taknol (karena $x_i$-nya berbeda), sehingga $\deg L_i = n$. Lalu menilainya di $x_j$ dengan $j \neq i$: faktor $X - x_j$ pada pembilangnya lenyap, sehingga $L_i(x_j) = 0$. Sedangkan di $x_i$, pembilang dan penyebutnya berimpit: sehingga $L_i(x_i) = 1$.

**2.** Andaikan $\sum_i \lambda_i L_i = 0$. Nilailah di $x_j$: maka semua sukunya mati kecuali $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$, sehingga $\lambda_j = 0$ untuk setiap $j$: jadi keluarganya [bebas](#def-b1-vspaces-free).

**3.** Misalkan $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$. Maka $\deg D \leq n$ dan, menurut pertanyaan 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ bagi $n + 1$ titik berbeda $x_0, \dots, x_n$. Adapun [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) taknol berderajat $\leq n$ berakar paling banyak $n$ ([Akibat 8.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#cor-b1-poly-nroots)), sehingga $D
= 0$. Jadi setiap $P \in \R_n[X]$ merupakan kombinasi $L_i$-nya: sehingga keluarganya pembangun, dan digabung dengan pertanyaan 2, sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free).

**4.** Diberikan $y_0, \dots, y_n$, [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $P = \sum_i
y_i L_i$ berderajat $\leq n$ dan menginterpolasinya. Adapun ketunggalannya: sebuah $P$ yang menginterpolasi mempunyai, menurut pertanyaan 3, [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0), \dots,
P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(L_i)$, dan [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) pada sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free) bersifat tunggal ([Proposisi 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates)). Jadi [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) $P$ pada [basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrangenya adalah *nilainya di simpulnya* — dan itulah seluruh inti basisnya.

**5.** Terapkanlah pertanyaan 3 pada $P = X^k$ (dengan $0 \leq k \leq n$):

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

lalu $k = 0$ memberikan $\sum_i L_i = 1$.

**6.** Derajat $\deg N_k = k$ persis: sehingga keluarga $(N_0, \dots, N_n)$ merupakan tangga derajat di $\R_n[X]$, jadi sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free) menurut [Contoh 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) (dengan kebebasannya dari [Proposisi 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1), dan pembangunnya lewat penurunan hingga pada derajatnya).

**7.** Dari rekurensinya,

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

Untuk $f(x) = x^2$:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

lalu kemudian

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** Derajat $\deg S \leq n$ karena $Q, R$ berderajat $\leq n - 1$. Di $x_0$: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} =
R(x_0) = f(x_0)$. Di $x_n$: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0)
Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$. Sedangkan di sebuah simpul [interior](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure) $x_i$ (dengan $1 \leq i \leq n-1$), baik $Q$ maupun $R$ bernilai $f(x_i)$, sehingga

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** Lewat induksi pada cacah simpulnya. Untuk satu simpul: interpolannya adalah konstanta $f(x_0) = f[x_0]$. Anggaplah klaimnya berlaku bagi $k$ simpul lalu misalkan $S$ menginterpolasi di $x_0, \dots, x_k$; maka menurut ketunggalannya (pertanyaan 4), $S$ diberikan oleh lema Aitken dari $R$ (dengan simpul $x_0, \dots, x_{k-1}$) dan $Q$ (dengan simpul $x_1, \dots, x_k$). Adapun koefisien $X^{k}$ pada $S$ adalah

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

menurut hipotesis induksinya dan rekurensi pendefinisinya.

**10.** Misalkan $P_k$ menginterpolasi $f$ di $x_0, \dots, x_k$. Maka selisihnya $P_k - P_{k-1}$ berderajat $\leq k$ dan lenyap di $x_0, \dots, x_{k-1}$, sehingga menurut teorema faktor yang diterapkan $k$ kali ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-factor)) ia sama dengan $c\,N_k$ untuk suatu konstanta $c$; lalu membandingkan koefisien $X^{k}$-nya dan memakai pertanyaan 9, $c =
f[x_0, \dots, x_k]$. Lalu berteleskop dari $P_0 = f(x_0) N_0$ memberikan rumus Newtonnya. Adapun untuk bentuk [tertutupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed), tulislah $P_k = \sum_{i \leq
k} f(x_i) L_i$ (yaitu Lagrange, pada simpul $x_0, \dots, x_k$) lalu bacalah koefisien $X^{k}$-nya: karena setiap $L_i$ menyumbang $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$, sehingga

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

Adapun ruas kanannya kekal di bawah sebarang [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) simpulnya, sehingga [selisih terbaginya](#pb-b1-vspaces-1) tak bergantung pada urutannya.

**11.** Jika $P = a X^m + (\text{derajat yang lebih rendah})$, maka teorema binomialnya memberikan

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{derajat yang lebih rendah}),
$$

karena $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ dan bagian berderajat rendah $P$ menyumbang derajat $\leq m - 2$ setelah $\Delta$ (atau suku berderajat $\leq m-2$). Jadi $\deg \Delta P = m - 1$ dengan koefisien utamanya $m a$. Adapun sebuah konstanta $c$ memberikan $\Delta c = c - c = 0$.

**12.** Derajat $\deg B_k = k$: jadi sebuah tangga, sehingga sebuah [basis](#def-b1-vspaces-free) $\R_n[X]$ ([Contoh 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)). Adapun untuk $\Delta B_k$ (dengan $k \geq 1$), faktorkanlah hasil kali bersamanya:

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

sehingga $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$.

**13.** Tulislah $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ (menurut basisnya, pertanyaan 12). Lalu terapkanlah $\Delta^{j}$: menurut pertanyaan 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k
\geq j} c_k B_{k-j}$. Lalu nilailah di $0$: $B_0(0) = 1$ dan $B_m(0) =
0$ untuk $m \geq 1$ (karena faktor $X$-nya lenyap), sehingga $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$. Inilah rumus selisih majunya.

**14.** Lewat induksi pada $k$. Untuk $k = 0$ kesamaannya berbunyi $P(0) = P(0)$. Anggaplah ia berlaku bagi $k$ lalu terapkanlah pada $\Delta P$:

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

Lalu kumpulkanlah koefisien $P(i)$-nya: yaitu $(-1)^{k-i+1}\binom
k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ dari jumlah pertamanya (yang tergeser) dan $-(-1)^{k-i}\binom ki$ dari yang kedua — sehingga bersama-sama

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

menurut aturan Pascal, yang merupakan kesamaannya pada peringkat $k + 1$.

**15.** Dengan mengulangi pertanyaan 11 dari derajat $n$, dengan koefisien utamanya $a_n$: setelah satu $\Delta$, derajatnya $n-1$ dan koefisien utamanya $n a_n$; setelah dua, $n(n-1)a_n$; setelah $n$ langkah, derajatnya $0$ dan nilainya $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$, yaitu konstanta. Lalu satu $\Delta$ lagi membunuhnya: $\Delta^{n+1}P = 0$.

**16.** Jika $m \geq k$: maka $B_k(m) = \binom mk \in \N$. Jika $0
\leq m < k$: maka satu faktor $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ bernilai nol, sehingga $B_k(m) = 0$. Sedangkan jika $m = -q$ dengan $q \geq 1$:

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

yang bulat. Jadi setiap $B_k$ memetakan $\Z$ ke dalam $\Z$.

**17.** ($\Leftarrow$) Jika $P = \sum_k c_k B_k$ dengan $c_k \in
\Z$, maka untuk $m \in \Z$, $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ menurut pertanyaan 16. ($\Rightarrow$) Jika $P$ bernilai bulat, maka [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) adalah $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k
(-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (menurut pertanyaan 13 dan 14), yaitu kombinasi bulat atas bilangan bulat $P(0), \dots, P(k)$. Inilah pencirian Pólya atas [polinomial bernilai bulat](#pb-b1-vspaces-1).

**18.** Ambillah $Q(X) = P(X + a)$, [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq n$, dengan $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$. Adapun [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) pada $(B_k)_{k \leq n}$ adalah $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj
Q(j) \in \Z$ (karena pertanyaan 14 hanya memakai nilainya di $0, \dots, k
\leq n$). Jadi menurut pertanyaan 17 ($\Leftarrow$), $Q$ bernilai bulat pada seluruh $\Z$, sehingga $P(X) = Q(X - a)$ pun demikian.

**19.** Hasil kali $k$ bilangan bulat yang berurutan adalah $m(m-1)
\cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ untuk suatu $m \in \Z$, dan $B_k(m) \in
\Z$ menurut pertanyaan 16: sehingga hasil kalinya terbagi oleh $k!$.

**20.** Nilai $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ di $0,1,2,3$: $0, 1, 5, 14$. Adapun tabel selisihnya: baris $\Delta$-nya $1, 4, 9$; baris $\Delta^2$-nya $3, 5$; dan baris $\Delta^3$-nya $2$. Sehingga, menurut pertanyaan 13,

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

dengan [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) yang bulat: sehingga $P$ bernilai bulat (pertanyaan 17), sedangkan koefisien monomialnya $\frac13, \frac12, \frac16$ tidak bulat. Adapun perhitungan langsungnya:

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

Lalu berteleskop $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m}
j^2$ (dengan $P(0) = 0$): yaitu rumus jumlah kuadratnya.

**21.** Nilai $2^i$ di $i = 0, \dots, n$ mempunyai tabel selisih yang selalu $1$ pada tepi kirinya: karena $\Delta^k$ atas barisan $(2^i)$ kembali menjadi $(2^i)$ (sebab $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), sehingga $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ untuk setiap $k \leq n$, dan $P =
B_0 + B_1 + \dots + B_n$ menurut pertanyaan 13. Lalu

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

sehingga polanya patah pada titik pertama yang tak terkendali.

**22.** Menurut pertanyaan 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$, sehingga

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

Adapun untuk $j < k$ suku $B_k(j)$-nya lenyap, sehingga jumlahnya sungguh bermula di $j = k$: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$, yaitu kesamaan tongkat hokinya.

**23.** Tabel selisihnya (atau penjabaran langsungnya) memberikan

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(periksa: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$; dan di $X = 1, 2, 3$ yang kedua memberikan $1, 8, 27$). Lalu pertanyaan 22 menghasilkan

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

Lalu menjabarkan ungkapan terakhirnya: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom
m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) +
\frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$. Lalu mengganti $m$ dengan $m + 1$: $1^3 + \dots + m^3 =
\bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$, yaitu kesamaan Nicomachus.

**24.** Dengan simpul $0, 1, 2$, dan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $X^2$. Pada [basis](#def-b1-vspaces-free) monomialnya $(1, X, X^2)$: [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$. Pada [basis](#def-b1-vspaces-free) Lagrangenya: [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) adalah nilainya $(0, 1, 4)$ (pertanyaan 4). Pada [basis](#def-b1-vspaces-free) Newtonnya $(1, X, X(X-1))$: [selisih terbaginya](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] = 1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (pertanyaan 9), sehingga [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1)$ — memang $X + X(X-1) = X^2$. Jadi tiga [basis](#def-b1-vspaces-free), tiga vektor [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates), satu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def).

**25.** (i) Pertanyaan 4 bersifat otomatis karena $(L_i)$ merupakan sebuah *[basis](#def-b1-vspaces-free)*: sehingga keberadaan dan ketunggalan interpolasinya persis merupakan keberadaan dan ketunggalan [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates). (ii) Adapun [basis](#def-b1-vspaces-free) Newtonnya sebuah tangga, sehingga [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) dihitung lewat pembagian yang berturut-turut — karena setiap simpul barunya menambahkan satu suku tanpa mengganggu yang sebelumnya — sedangkan [koordinat](#prop-b1-vspaces-coordinates) Lagrange $P$ adalah nilai $P(x_i)$, yang tersedia tanpa perhitungan sama sekali. (iii) Kedua basisnya [bebas](#def-b1-vspaces-free) menurut kedua kriteria yang sama pada [Proposisi 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria): yaitu derajat yang berbeda bagi Newton, dan penilaian di simpulnya bagi Lagrange. (iv) Adapun teorema Pólya mengatakan bahwa “$P(\Z) \subseteq \Z$”, yaitu sifat nilainya, setara dengan kebulatan [koordinatnya](#prop-b1-vspaces-coordinates) pada [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ — sehingga aritmetika sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) menjadi kasatmata hanya pada [basis](#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan dengan pertanyaannya.