---
title: "Dimensi Hingga"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga
---

# Bab 19 — Dimensi Hingga

Sebuah ruang yang direntang oleh berhingga banyak vektor membawa *dimensi* yang terdefinisi dengan baik — yaitu ukuran bersama semua basisnya. Adapun bukti di bawah semuanya mengalir dari satu mesin kombinatorik, yaitu lema pertukarannya: bahwa [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) tak pernah dapat melebihi cacah keluarga pembangun. Bersama dimensinya datanglah perkakas yang dipakai di mana-mana sesudahnya: yaitu teorema pelengkapan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), [rank](#def-b1-findim-rank) sebuah keluarga, dan rumus Grassmann.

## 19.1 Keberadaan basis

**Definisi 19.1.**

Ruang $E$ disebut *berdimensi hingga* bila ada padanya keluarga pembangun yang hingga. (Kalau tidak ia *berdimensi tak hingga*: demikianlah $K[X]$, yang keluarga hingganya hanya merentang [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang derajatnya terbatas.)

**Teorema 19.2 (Lema pertukaran).**

Misalkan $(g_1, \dots, g_n)$ membangun $E$ dan $(f_1, \dots, f_p)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di $E$. Maka $p \leq n$.

**Bukti.** Kita membuktikannya lewat induksi pada $k \leq p$: bahwa *setelah menomori ulang $g_j$-nya, keluarga $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ membangun $E$* — yang memaksa $k \leq n$ pada setiap tahapnya, sehingga $p \leq n$ pada akhirnya.

Untuk $k = 0$: inilah hipotesisnya. Adapun langkahnya: anggaplah ia berlaku bagi $k - 1$; maka $f_k$ merupakan kombinasi $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$. Pada kombinasi ini suatu $g_j$ (dengan $j \geq k$) berkoefisien taknol — sebab kalau tidak $f_k$ akan menjadi kombinasi $f_1, \dots, f_{k-1}$, yang bertentangan dengan kebebasannya. Lalu nomorilah ulang sehingga $j = k$, lalu pecahkanlah bagi $g_k$: maka $g_k$ merupakan kombinasi $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots,
g_n)$. Sehingga setiap vektor $E$, yang dinyatakan lewat keluarga beranggota $(k-1)$-nya, lalu dapat dinyatakan ulang lewat keluarga beranggota $k$-nya: jadi ia membangun. (Adapun jika $k - 1 = n$, tak ada $g$ yang tersisa sehingga $f_k$ akan menjadi kombinasi $f_i$-nya belaka: yang mustahil; jadi $k \leq n$.) ∎

**Contoh 19.3 (Pertukarannya, yang diamati sekali).**

Di dalam $\R^2$, ambillah keluarga pembangun $\bigl(g_1, g_2\bigr) =
\bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ dan [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1,
f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. Langkah $1$: $f_1 = 1\cdot
g_1 + 2\cdot g_2$; koefisien $g_2$-nya taknol, sehingga tukarkanlah $g_2$ dengan $f_1$: maka keluarga $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ tetap membangun (karena $g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). Langkah $2$: $f_2 =
(3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$; koefisien $g_1$ yang tersisa bernilai taknol (dan memang harus: karena $f_2$ bukan kelipatan $f_1$), sehingga tukarkanlah lagi: maka $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ membangun $\R^2$. Seandainya ada vektor [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ketiga $f_3$, tak ada $g$ yang tersisa untuk menyerapnya — dan persis begitulah lemanya melarang $3$ vektor [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di $\R^2$. Jadi bukti di atas merupakan pembukuan ini yang dikerjakan secara umum.

**Teorema 19.4 (Basis dalam dimensi hingga).**

Misalkan $E \neq \{0\}$ [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def).

1. Dari setiap keluarga pembangun yang hingga kita dapat menyarikan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) .
2. (Teorema pelengkapan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ) Setiap [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) terperluas menjadi sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) , dengan memakai vektor sebarang keluarga pembangun yang dipilih.
3. Semua [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$ bersifat hingga, dengan cacah unsur yang sama: yaitu *dimensinya* $\dim E$ . (Kesepakatan: $\dim\{0\} = 0$ .)

**Bukti.** (1) Buanglah, satu demi satu, sebarang vektor yang merupakan kombinasi vektor lainnya; maka keluarganya tetap membangun, karena pada sebarang ungkapan yang memakai vektor yang dibuang itu kita boleh menyulihkan kombinasinya atas yang bertahan. Prosesnya berakhir — karena setiap langkahnya mengecilkan sebuah keluarga hingga sebanyak satu — dan ia berhenti persis ketika tak ada vektor yang tersisa yang merupakan kombinasi vektor lainnya. Adapun keluarga akhirnya tetap membangun, dan ia [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free): karena sebuah kombinasi nol yang taksepele akan membawa suatu koefisien taknol, lalu [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan itu akan memecahkannya bagi vektor yang bersesuaian dalam vektor lainnya, sehingga membuatnya terbuang juga — yang bertentangan dengan bahwa prosesnya sudah berhenti.

(2) Misalkan $(f_1, \dots, f_p)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dan $(g_1, \dots, g_n)$ membangun. Jalanilah $g_1, \dots, g_n$, sambil menambahkan $g_j$ pada keluarga yang berjalan setiap kali ia belum berada di [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) ([Proposisi 18.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) menjaga keluarganya tetap [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)). Maka keluarga akhirnya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dan membangun: karena setiap $g_j$ terletak di [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) — entah ia ditambahkan, entah ia sudah menjadi sebuah kombinasi.

(3) Dua [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) masing-masing [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan masing-masing membangun: sehingga lema pertukarannya memberikan kedua ketaksamaan antara kardinalitasnya. (Adapun kehinggaannya: sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) bersifat [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), sehingga menurut pertukarannya ia tak lebih besar daripada keluarga pembangun yang hingga.) ∎

**Contoh 19.5.**

$\dim K^n = n$ (dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya); $\dim K_n[X] = n + 1$ (dengan monomialnya); $\dim_\R \C = 2$; dan ruang penyelesaian $y'' + ay' + by = 0$ berdimensi $2$ ([Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#thm-b1-diffeq-homogeneous2): karena penyelesaiannya terparameterkan secara [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan linear oleh $(\lambda, \mu) \in K^2$).

**Contoh 19.6 (Himpunan yang sama, dua dimensi).**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\C^2$ berisi pasangan bilangan kompleks merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $\C$ berdimensi $2$ (dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya $e_1, e_2$) — sekaligus [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $\R$ berdimensi $4$, dengan basisnya

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

karena setiap $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ mempunyai [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) real $(a, b, c, d)$, secara tunggal. Jadi dimensi bukan sifat [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) vektornya semata: karena ia mencacah derajat kebebasan *relatif terhadap skalar yang diizinkan*, dan memaruhkan pasokan skalarnya dari $\C$ ke $\R$ melipatduakan cacahnya. (Adapun soal akhir pekannya memanfaatkan kasus ekstrem kepekaan ini, dengan skalarnya disusutkan sampai ke $\Q$.)

**Contoh 19.7 (Menjalankan algoritma pelengkapannya).**

Lengkapilah [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ menjadi sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\R^3$ dengan memakai vektor kanoniknya. Jalankanlah bukti [Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) pada keluarga pembangun $(e_1,
e_2, e_3)$: apakah $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$? Bukan (karena kelipatan $(1,1,1)$ berkoordinat sama) — jadi tambahkanlah ia. Apakah $e_2 \in
\operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$? Sebuah kombinasi $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ berkoordinat kedua dan ketiga yang sama, sedangkan $e_2$ tidak — jadi tambahkanlah ia. Maka keluarga $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dengan $3$ vektor: berhentilah, karena ia sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) akan meresmikan refleks ini). Perhatikanlah bahwa hasilnya bergantung pada urutan pemindaian $g_j$-nya: jadi pelengkapannya sebuah algoritma, bukan rumus.

**Proposisi 19.8 (Aturan dua dari tiga).**

Misalkan $\dim E = n$ dan $\mathcal{F}$ sebuah keluarga berisi tepat $n$ vektor $E$. Maka

$$
\mathcal{F} \text{ bebas} \iff \mathcal{F} \text{ membangun} \iff
\mathcal{F} \text{ basis}.
$$

Lebih lanjut sebarang [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) beranggota $\leq n$ vektor, dan sebarang keluarga pembangun $\geq n$.

**Bukti.** Adapun batas kardinalitasnya adalah lema pertukaran terhadap sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). Jika $\mathcal{F}$ (berukuran $n$) [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) tetapi tak membangun, maka suatu $x$ terletak di luar [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span); sehingga menambahkan $x$ memberikan [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) beranggota $n + 1$ vektor: yang mustahil. Jika $\mathcal{F}$ membangun tetapi tak [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), maka menyarikan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) memberikan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) beranggota $< n$ vektor: yang mustahil. ∎

**Contoh 19.9 (Dua dari tiga, yang menghemat separuh kerjanya).**

Apakah $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\R^3$? Cacahlah: tiga vektor, dimensi tiga — sehingga kebebasannya saja yang memutuskan. Adapun sebuah kombinasi nol memberikan $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b +
c = 0$; lalu menjumlahkan ketiganya, $2(a + b + c) = 0$, dan mengurangkan setiap persamaan aslinya dari $a + b + c = 0$ menyisakan $b = c = a =
0$: jadi [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), sehingga sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dengan paruh pembangun pemeriksaannya dipasok cuma-cuma oleh teoremanya. Bandingkanlah [Contoh 18.18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ex-b1-vspaces-testbasis), yang di situ pemeriksaan ganda yang sama harus dikerjakan dengan tangan — jadi satu bab teori tertukar persis menjadi penghematan itu, pada setiap pemeriksaan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) bagi sisa buku ini.

**Metode 19.10 (Menghitung sebuah dimensi).**

Ada tiga rute baku, dengan urutan kekerapan yang menurun.

1. *Parameterkanlah, lalu bacalah sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).* Pecahkanlah kendala pendefinisinya, nyatakanlah unsur umumnya secara linear dalam parameter yang bertahan, lalu periksalah bahwa vektor yang mengalikan parameternya bersifat [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) : maka dimensinya adalah cacah parameternya. (Dijalankan di bawah pada sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $\R^4$ yang konkret.)
2. *Tunjukkanlah sebuah parameterisasi linear yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj).* Ketika unsurnya ditentukan oleh berhingga banyak nilai — yaitu syarat awal sebuah rekurensi ( [Latihan 19.10](#exo-b1-findim-10) ), atau koefisien sebuah rumus penyelesaian ( [Contoh 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — maka dimensinya adalah cacah nilai itu.
3. *Pakailah rumusnya.* Yaitu Grassmann bagi irisan dan jumlah, [rank](#def-b1-findim-rank) bagi [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) , dan nanti rank–nulitas bagi kernel dan peta: karena dimensi biasanya *dihitung* , bukan ditebak.

Pada ketiga rutenya, aturan dua dari tiganyalah [penutupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closure): begitu cacahnya cocok, kebebasan atau pembangunnya saja sudah menyimpulkan.

**Contoh 19.11 (Rute 1, selengkapnya).**

Dimensi $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ dan } x = t\}$. Pecahkanlah: $t = x$ dan $y + z = -2x$, sehingga $z =
-2x - y$ dengan $x, y$ yang [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free):

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

Kedua vektornya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) (lihatlah dua [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pertamanya: $(x, y) = (0,0)$), sehingga keduanya membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $H$ dan $\dim H = 2$. Cacahnya memang terramalkan — karena dua kendala linear yang saling [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di $\R^4$ semestinya masing-masing memakan satu dimensi — tetapi parameterisasinyalah yang membuktikannya *dan* menyerahkan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), yang tak pernah dilakukan ramalannya semata; adapun [Latihan 19.9](#exo-b1-findim-9) mengubah semboyan “setiap persamaan memakan paling banyak satu dimensi” menjadi sebuah teorema.

**Contoh 19.12 (Rute 2, selengkapnya).**

Dimensi $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (untuk $n
\geq 2$). Menurut teorema faktor yang diterapkan dua kali ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-factor); karena akar $1$ dan $2$-nya berbeda), $P \in W$ tepat ketika $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ dengan $\deg Q \leq
n - 2$. Adapun korespondensi $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ bersifat linear, mencapai seluruh $W$, dan [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena hasil kalinya nol hanya bila $Q = 0$): sehingga $W$ terparameterkan secara [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan linear oleh $\R_{n-2}[X]$, jadi

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

Adapun sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) datang bersama parameterisasinya: yaitu peta monomialnya, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. Jadi setiap kendala penilaian baru pada sebuah titik yang segar berongkos tepat satu dimensi — yaitu tulang punggung pencacahan [interpolasi Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange)).

**Contoh 19.13 (Sebuah kendala integral pun berongkos satu dimensi).**

Dimensi $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. Dengan menulis $P = a + bX + cX^2$, kendalanya berbunyi $a + \frac b2 + \frac
c3 = 0$; lalu pecahkanlah bagi $a$ dan parameterkanlah:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

sehingga $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$, berdimensi $2$ (karena kedua [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat berbeda: jadi [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)). Jadi satu syarat linear — entah sebuah penilaian, sebuah [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def), atau sebarang resep linear lainnya — membuang paling banyak satu dimensi, dan tepat satu begitu syaratnya tak identik nol. Adapun [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) akan menamai resep semacam itu *bentuk linear* dan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya *hiperbidang*; sedangkan vektor [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang ditemukan di sini muncul kembali pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) sebagai awal keluarga Legendre.

## 19.2 Subruang, rank, Grassmann

**Teorema 19.14 (Subruang).**

Misalkan $E$ [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def) dan $F$ sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace). Maka $F$ [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def), $\dim F \leq \dim E$, dengan kesamaannya jika dan hanya jika $F = E$. Lebih lanjut setiap [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) mempunyai [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum).

**Bukti.** [Keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$ beranggota paling banyak $\dim E$ vektor (menurut lema pertukaran di $E$: karena [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$ khususnya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di $E$, dan $E$ mempunyai keluarga pembangun yang hingga). Di antara [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$ pilihlah satu yang berukuran *maksimal* $p$ — yang mungkin karena ukurannya berupa bilangan bulat yang terbatas oleh $\dim E$. Maka ia membangun $F$: sebab kalau tidak suatu $x \in F$ akan terletak di luar [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span), dan menambahkan $x$ akan memberikan [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$ berukuran $p + 1$ ([Proposisi 18.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), yang bertentangan dengan kemaksimalannya. Jadi karena [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan membangun, ia sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$, dan $\dim F = p \leq \dim E$. Adapun jika $p = \dim E = n$: [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) beranggota $n$ vektor $E$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$ ([Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), sehingga $F
\supseteq \operatorname{span} = E$. Untuk [pelengkapnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum): lengkapilah sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p)$ bagi $F$ menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1},
\dots, g_n)$ bagi $E$ (menurut teorema pelengkapan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)); maka $G =
\operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ memenuhi $E = F \oplus G$ (karena keberadaan dan ketunggalan penguraiannya = [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) besarnya). ∎

**Definisi 19.15 (Rank sebuah keluarga).**

Adapun *rank* sebuah keluarga hingga berisi vektor adalah dimensi [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span): $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, dengan kesamaannya dengan $p$ jika dan hanya jika keluarganya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).

**Contoh 19.16 (Menghitung rank lewat penghapusan).**

[Rank](#def-b1-findim-rank) $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ di $\R^3$. Adapun [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) tak berubah ketika kita mengurangkan dari sebuah vektor sebuah kombinasi vektor lainnya (karena kedua keluarganya merentang kombinasi yang sama): jadi gantilah $(2,3,4)$ dengan $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ dan $(3,4,5)$ dengan $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. Maka [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) kini $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2),
(1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, dan kedua vektornya tak sebanding: sehingga [ranknya](#def-b1-findim-rank) $2$. Adapun prosedur kurangi-dan-buang ini disistematiskan sebagai penghapusan Gauss pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det).

**Contoh 19.17 (Menjumlahkan lewat perangkaian).**

Ambillah, di dalam $\R^3$,

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

Adapun jumlahnya $F + G$ direntang oleh keluarga terangkai atas ketiga pembangunnya, dan

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

menunjukkan bahwa yang ketiganya berlebihan: sehingga $F + G = F$, berdimensi $2$ — setara dengan itu $G \subseteq F$, yang dipertunjukkan relasinya. Adapun Grassmann menegaskannya: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Jadi jumlahnya dihitung dengan merangkai pembangunnya lalu mengurangi tumpukannya lewat algoritma [ranknya](#def-b1-findim-rank); sehingga tak pernah diperlukan teknik yang baru.

**Teorema 19.18 (Rumus Grassmann).**

Untuk [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ pada $E$ yang [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def):

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

Khususnya $F + G$ bersifat langsung jika dan hanya jika $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$.

**Bukti.** Mulailah dari sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ bagi $F \cap G$; lalu lengkapilah ia menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ bagi $F$ dan menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ bagi $G$ ([Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). Kita mengklaim bahwa

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F + G$; sehingga rumusnya menyusul lewat pencacahan: $(r + s) +
(r + t) - r = r + s + t$.

Adapun $\mathcal{B}$ membangun $F + G$: karena sebarang $u + v$ (dengan $u \in F$, $v \in G$) terjabarkan lewatnya. Sedangkan kebebasannya: andaikan $\sum \alpha_i e_i + \sum
\beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. Maka vektor $w = \sum \gamma_k
g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ terletak di $G \cap F$, sehingga ia terjabarkan pada $(e_i)$ belaka; padahal $w$ juga terjabarkan pada $(g_k)$, dan pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $G$ kedua ungkapan itu harus berimpit: sehingga semua $\gamma_k = 0$ (dan [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $e$-nya cocok). Lalu relasinya tereduksi menjadi $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$, yaitu relasi pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$: sehingga semua koefisien yang tersisa lenyap. ∎

**Contoh 19.19.**

Dua bidang $F, G$ yang berbeda (berdimensi $2$) pada $\R^3$ memenuhi $F + G
= \R^3$ (karena jumlahnya tegas memuat sebuah bidang), sehingga $\dim(F \cap G) =
2 + 2 - 3 = 1$: jadi keduanya selalu berpotongan sepanjang sebuah garis — sehingga tak ada “bidang yang sejajar” lewat titik asalnya.

**Contoh 19.20 (Grassmann dalam kerja, di R4\R^4R4).**

Misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ dan $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ di $\R^4$. Adapun dimensinya: $\dim F = 3$ (karena pembangun ketiganya berkoordinat ketiga taknol, di luar $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) dan $\dim G = 2$. Adapun jumlahnya: $F + G$ memuat $e_1, e_2, e_4$ dan $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 -
e_2$: sehingga ia seluruh $\R^4$. Lalu Grassmann *menghitung* ukuran irisannya tanpa penghapusan sama sekali:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

Untuk mengenali garisnya, lihatlah di dalam $G$: sebuah vektor $(0, 0, c, d)$ terletak di $F$ tepat ketika ia $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$, yang memaksa $\lambda = -a = -b$ dan $d = 0$: sehingga irisannya adalah $\operatorname{Vect}(e_3)$ — yang selaras, karena $e_3$ tadi ditunjukkan di $F$ dan terletak di $G$ menurut definisinya. Jadi khaslah pembagian kerjanya: Grassmann meramalkan *seberapa banyak* yang harus dicari, lalu sistem linearnya menemukan *apanya*.

**Contoh 19.21 (Mengiriskan lewat persamaan).**

Ketika kedua [subruangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) datang sebagai [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaian, mengiriskannya sekadar menumpuk persamaannya. Di dalam $\R^3$: $F = \{x + y + z = 0\}$ dan $G = \{x = y\}$ memberikan

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

yaitu sebuah garis. Adapun periksa silangnya lewat Grassmann: $F + G = \R^3$ (karena bidangnya berbeda, sehingga jumlahnya tegas memuat sebuah bidang), jadi $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$. Jadi kedua pemerian sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) — lewat persamaan, dan lewat pembangun — masing-masing membuat satu operasinya sepele: karena persamaannya beririsan lewat penumpukan, sedangkan pembangunnya berjumlah lewat perangkaian; dan mengalihkan antarkeduanya persis merupakan apa yang dimaksud memecahkan sistem linear ([Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det)).

**Catatan 19.22 (Jebakan yang lazim).**

*Dimensi tak terjumlahkan sepanjang jumlahnya* kecuali jika jumlahnya langsung: karena dua bidang $\R^3$ mempunyai $\dim(F + G) = 3$, bukan $4$; jadi koreksilah selalu lewat suku irisannya (menurut Grassmann). *Sebuah inklusi menuntut dimensinya *dan* inklusinya*: karena $\dim F = \dim G$ semata tak pernah memberikan $F = G$ (dengan dua garis berbeda pada $\R^2$); jadi kasus kesamaan pada [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) menuntut $F \subseteq G$ lebih dulu. *Mencacah parameter belumlah sebuah bukti*: karena “dua persamaan di $\R^4$, jadi berdimensi $2$” gagal ketika persamaannya bergantungan (sebab $x + y = 0$ dan $2x + 2y = 0$ menyisakan dimensi $3$); sehingga hanya parameterisasi yang sungguhan atau perhitungan [rank](#def-b1-findim-rank) yang memutuskan. *Jangan berbicara tentang dimensi sesuatu yang bukan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace)*: karena [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaian sistem yang *takhomogen* kehilangan $0$; sehingga “dimensinya” adalah dimensi ruang penyelesaian homogen yang bersesuaian ([Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) memerincinya). *Dimensi tak hingga itu ada*: karena $K[X]$ memuat [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) berukuran apa pun (yaitu monomialnya), sehingga tak ada keluarga pembangun yang hingga yang mungkin — jadi [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) seperti aturan dua dari tiganya tegas [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def) dan gagal dengan buruk pada $K[X]$ ([Akibat 20.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#cor-b1-linmaps-samedim) akan menunjukkan hal yang sama bagi keinjektifan/kesurjektifannya). *[Rank](#def-b1-findim-rank) menyangkut [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span), bukan daftarnya*: karena mengulang sebuah vektor, mengurutkannya ulang, atau menskalakannya dengan konstanta taknol membiarkan [ranknya](#def-b1-findim-rank) tak berubah, dan $\operatorname{rk} = p$ (yaitu cacah vektornya) merupakan *sifat yang harus dibuktikan* — yang persis merupakan kebebasannya. Adapun sebuah keluarga berisi $5$ vektor dengan [rank](#def-b1-findim-rank) $2$ membawa kelebihan senilai tiga vektor, yang dilokalkan penghapusannya ([Contoh 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) secara eksplisit.

**Catatan 19.23 (Ke mana dimensinya bekerja).**

Dimensi merupakan argumen pencacahan kesayangan buku ini mulai dari sini. [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) membuktikan teorema rank–nulitas, yaitu versi fungsional rumus Grassmann; [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) menghitung [ranknya](#def-b1-findim-rank) lewat reduksi baris; sedangkan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) mengubah “$n$ vektor $K^n$ membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)” menjadi satu bilangan yang taknol. Adapun soal akhir pekan di bawah memperlihatkan dimensi mengerjakan *aritmetika*: karena mencacah dimensi di atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) $\Q$ membuktikan [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) keirasionalan yang tampak tak tersentuh dengan tangan. Pada jilid Tahun 3 pencacahan dimensi yang sama, yang dihaluskan oleh teori [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group), memutuskan masalah konstruksi klasik mana yang terpecahkan — dan kisah itu adalah teori Galois.

**Catatan 19.24 (Cakrawala di dalam Buku 3).**

Dimensi merupakan besaran kekal sisa jilid ini, dan hukum kekekalannya pantas dinamai lebih dulu. [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) membuktikan $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$: bahwa apa yang digilas sebuah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear ditambah apa yang disimpannya selalu berjumlah sumbernya. [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) menghaluskan ini menjadi struktur [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya: bahwa $p$ anu dikurangi $\operatorname{rk} A$ poros menyisakan dimensi ruang penyelesaiannya, yang ditunjukkan penghapusan Gauss sebagai parameter yang [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) membelah $\dim E = \dim F + \dim
F^\perp$ secara ortogonal, sedangkan soal akhir pekan [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar) membelanjakan persis anggaran itu: yaitu $n$ titik data, $2$ parameter yang dicocokkan, dan $n - 2$ dimensi sisanya. Jadi setiap kali sebuah cacah menolak berimbang pada bab berikutnya, galatnya berupa kernel yang terlupakan atau jumlah yang tak langsung — jadi kembalilah ke rumus Grassmann lebih dulu.

## 19.3 Latihan

**Latihan 19.1 ★.**

Berikanlah sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) beserta dimensi dari:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**Solusi Latihan 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; kedua vektornya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ( [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) ): $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ berarti $(X-1)^2 \mid P$ ( [Proposisi 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#prop-b1-poly-multiplicity) ): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [Basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , berdimensi $2$ .

**Latihan 19.2 ★.**

Hitunglah [rank](#def-b1-findim-rank) keluarga $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ di $\R^3$, lalu sarikanlah sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) bagi [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span).

**Solusi Latihan 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ dan $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: keduanya kombinasi dua yang pertama, yang [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) (karena tak sebanding). [Rank](#def-b1-findim-rank) $2$; [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**Latihan 19.3 ★.**

Lengkapilah [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\R^4$ dengan memakai vektor kanoniknya, lalu benarkanlah.

**Solusi Latihan 19.3.**

Cobalah menambahkan $e_1 = (1,0,0,0)$ dan $e_3 = (0,0,1,0)$. Keluarga $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ bersifat [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free): karena kombinasi nol $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta
e_3 = 0$ terbaca $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) =
0$, sehingga $\alpha = \beta = 0$, lalu $\gamma = \delta = 0$. Empat vektor yang [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dalam dimensi $4$: yaitu sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**Latihan 19.4 ★.**

Buktikan bahwa $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\R_3[X]$, lalu carilah [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $X^3$ padanya.

**Solusi Latihan 19.4.**

Derajat $0, 1, 2, 3$ berbeda berpasangan: jadi [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 18.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-freecriteria)), empat vektor dalam dimensi $4$: jadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). Untuk $X^3$: jabarkanlah ke bawah,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

sehingga $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$; dan $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X
= 3\,X(X-1) + X$. Maka

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ pada $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (Inilah bilangan Stirling dalam samaran.)

**Latihan 19.5 ★★.**

Misalkan $F$ dan $G$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $4$ dan $5$ pada sebuah ruang $E$ dengan $\dim E = 7$. Apa saja nilai yang mungkin bagi $\dim(F \cap
G)$? Berikanlah sebuah kejadian yang mewujudkan setiap nilainya dengan $E = \R^7$.

**Solusi Latihan 19.5.**

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, dan $F + G$ merupakan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $E$ yang memuat $G$: $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. Maka $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. Perwujudannya di dalam $\R^7$ dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanonik $(e_1, \dots, e_7)$, mengambil $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , irisannya $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , berdimensi $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : irisan yang berdimensi $3$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : berdimensi $4$ .

**Latihan 19.6 ★★.**

Misalkan $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. Buktikan bahwa $H$ merupakan hiperbidang $\R_n[X]$ (yaitu [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $n$), tunjukkanlah sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $H$ *(pikirkanlah teorema faktornya: $P = (X-1)Q$)*, lalu berikanlah sebuah garis [pelengkapnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum).

**Solusi Latihan 19.6.**

$H$ merupakan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) ([Latihan 18.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#exo-b1-vspaces-1) (4) secara harfiah). Menurut teorema faktor ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-factor)), $P \in H \iff P =
(X-1)Q$ dengan $\deg Q \leq n - 1$: jadi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ merupakan bijeksi linear dari $\R_{n-1}[X]$ pada $H$, sehingga [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $H$ adalah

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

Sebuah garis [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum): $\operatorname{Vect}(1)$ (yaitu konstanta). Memang $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (karena konstanta taknol tak lenyap di $1$) dan dimensinya berjumlah $n + 1$: jadi menurut Grassmann, $H
\oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$.

**Latihan 19.7 ★★.**

Misalkan $u_1, \dots, u_p$ vektor dengan [rank](#def-b1-findim-rank) $r$. Buktikan bahwa membuang satu vektornya menghasilkan keluarga dengan [rank](#def-b1-findim-rank) $r$ atau $r - 1$, dan bahwa menambahkan satu vektor menghasilkan [rank](#def-b1-findim-rank) $r$ atau $r + 1$. Lalu simpulkan bahwa [ranknya](#def-b1-findim-rank) berubah paling banyak $1$ di bawah sebarang penyisipan atau penghapusan tunggal.

**Solusi Latihan 19.7.**

Penghapusan: dengan membuang $u_p$, [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) hanya dapat menyusut; dan ia menyusut paling banyak satu dimensi, karena menambahkan $u_p$ kembali pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) yang lebih kecil memberikan keluarga pembangun bagi yang lebih besar dengan paling banyak satu vektor tambahan. Secara setangkup, menambahkan sebuah vektor $v$: [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) yang baru memuat yang lama dengan paling banyak satu pembangun tambahan, sehingga dimensinya adalah $r$ (jika $v$ sudah ada di dalam [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span)) atau $r + 1$ (jika tidak, karena menurut [Proposisi 18.19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dapat diperluas). Kedua [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) itu bersama-sama memberikan kesimpulan “[rank](#def-b1-findim-rank) bersifat $1$-Lipschitz”.

**Latihan 19.8 ★★★.**

Misalkan $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $E$ (dengan $\dim E = n$) dan $F_i \neq F_{i+1}$ untuk setiap $i$. Buktikan $k
\leq n + 1$. Lalu simpulkan bahwa rantai [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $\R^n$ yang naik tegas berpanjang paling banyak $n + 1$, lalu tunjukkanlah satu yang berpanjang maksimal.

**Solusi Latihan 19.8.**

Sepanjang rantai yang naik tegas, dimensinya naik tegas ($F_i \subseteq F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ dan [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): karena kesamaan dimensinya akan memaksa kesamaan ruangnya). Jadi $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ merupakan barisan bilangan bulat yang naik tegas di dalam $\intint{0}{n}$: yaitu paling banyak $n + 1$ nilai, sehingga $k \leq n + 1$. Rantai maksimal di dalam $\R^n$:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

yang berpanjang tepat $n + 1$.

**Latihan 19.9 ★★★.**

Misalkan $E$ berdimensi $n$ dan $F$, $G$ dua hiperbidang (berdimensi $n - 1$), dengan $F \neq G$. Hitunglah $\dim(F \cap G)$. Samaratakanlah: bahwa irisan $k$ hiperbidang berdimensi $\geq n - k$.

**Solusi Latihan 19.9.**

$F + G$ memuat $F$ secara tegas (karena $G \not\subseteq F$), sehingga $\dim(F + G) = n$ dan Grassmann memberikan $\dim(F \cap G) = (n-1) +
(n-1) - n = n - 2$.

Klaim umumnya, lewat induksi pada $k$: bahwa irisan $I_k$ atas $k$ hiperbidang memenuhi $\dim I_k \geq n - k$. Benar untuk $k = 1$. Langkahnya: $I_{k+1}
= I_k \cap H_{k+1}$, dan Grassmann di dalam $E$:

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**Latihan 19.10 ★★.**

Misalkan $E$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) barisan real yang memenuhi $u_{n+2} =
3u_{n+1} - 2u_n$ untuk setiap $n$.

1. Tunjukkan bahwa $E$ merupakan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) ruang barisannya, dan bahwa sebuah barisan $E$ sepenuhnya ditentukan, secara linear, oleh pasangan $(u_0, u_1)$ ; lalu simpulkanlah $\dim E = 2$ .
2. Periksalah bahwa barisan konstan $(1)$ dan barisan geometri $(2^n)$ terletak di $E$ dan membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$ .
3. Carilah barisan $E$ dengan $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

**Solusi Latihan 19.10.**

1. Syarat $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ bersifat linear dan dipenuhi barisan nol: jadi $E$ merupakan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) . Lewat induksi, $u_0$ dan $u_1$ menentukan setiap $u_n$ , dan kebergantungannya linear (karena setiap langkahnya kombinasi linear atas kedua nilai sebelumnya); sebaliknya setiap pasangan $(a, b)$ muncul dari tepat satu barisan $E$ (definisikanlah $u_n$ lewat rekurensinya). Seperti pada [Contoh 19.5](#ex-b1-findim-dims) , $E$ terparameterkan secara [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan linear oleh $(u_0, u_1) \in  \R^2$ : sehingga $\dim E = 2$ .
2. Konstanta: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geometri: $3\cdot  2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Keduanya ada di dalam $E$ . Kebebasannya: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ untuk semua $n$ memberikan, di $n = 0$ dan $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , jadi $a = b = 0$ . Dua vektor [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dalam dimensi $2$ : yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ( [Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. Pecahkanlah $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , sehingga $u_n = 2^n - 1$ (yaitu barisan Mersenne).

**Latihan 19.11 ★★.**

Misalkan $E$ berdimensi $n$.

1. Jika $F, G$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) dengan $\dim F + \dim G > n$ , buktikanlah $F \cap G \neq \{0\}$ . Perlihatkanlah: bahwa dua [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $51$ dan $50$ pada $\R^{100}$ selalu berbagi sebuah vektor taknol.
2. Jika $H$ sebuah hiperbidang dan $F$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) dengan $F \cap H =  \{0\}$ , buktikanlah $\dim F \leq 1$ .

**Solusi Latihan 19.11.**

1. Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F +  G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , sehingga $F \cap G \neq  \{0\}$ . Dengan $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , jadi irisannya memuat sebuah garis.
2. Jika $F \cap H = \{0\}$ , maka jumlahnya langsung dan $\dim F +  (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , sehingga $\dim F \leq 1$ . (Sebaliknya sebuah garis yang tak termuat di dalam $H$ memang memenuhi ini: karena hiperbidang nyaris tak melewatkan apa pun.)

**Latihan 19.12 ★★★.**

([Pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) bersama) Misalkan $F, G$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $E$ (yang [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def)) dengan $\dim F = \dim G$. Buktikan bahwa $F$ dan $G$ mempunyai [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) yang *bersama*: yakni ada [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $S$ dengan $E = F
\oplus S = G \oplus S$. *(Berinduksilah menurun pada $\dim F$: jika $F
\neq G \neq E$, pilihlah $x \notin F \cup G$ — [Latihan 18.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#exo-b1-vspaces-12) mengizinkannya — lalu tinjaulah $F \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ dan $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$.)*

**Solusi Latihan 19.12.**

Induksi menurun pada $d = \dim F = \dim G$, dari $d = n$ ke $d =
0$. Jika $d = n$: maka $F = G = E$ dan $S = \{0\}$ berhasil. Andaikan [pernyataannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) berlaku bagi pasangan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $d + 1 \leq n$, lalu misalkan $\dim F = \dim G = d < n$.

Jika $F = G$: ambillah sebagai $S$ sebarang [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) $F$ ([Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). Jika $F \neq G$: maka keduanya sejati, sehingga menurut [Latihan 18.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#exo-b1-vspaces-12) ada $x \notin F \cup G$. Jumlah $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ dan $G' = G \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ bersifat langsung (karena $x \notin F$, $x \notin G$) dan berdimensi $d + 1$; jadi menurut hipotesis induksinya keduanya mempunyai [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) bersama $S'$: $E = F' \oplus S' = G' \oplus
S'$. Tetapkanlah $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — yang langsung, karena $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' =
\{0\}$.

Maka $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, dan $F \cap S = \{0\}$: karena jika $f = \lambda x + s'$ dengan $f \in F$, $s'
\in S'$, maka $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, sehingga $f
= \lambda x$, yang memaksa $\lambda = 0$ (karena $x \notin F$) dan $f = 0$. Jadi $E = F \oplus S$, dan secara setangkup $E = G \oplus S$.

## 19.4 Soal: Hukum menara Dedekind

**Soal 19.1.**

Tak ada apa pun pada Bab 18–19 yang memakai sesuatu tentang skalarnya di luar aksioma [lapangannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) ([Definisi 7.22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field)): sehingga kita boleh mengambil $K = \Q$ lalu mengukur [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) *bilangan real* dengan tolok ukur dimensi atas $\Q$. Soal ini menghitung dimensi $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$, membuktikan *[hukum menara](#pb-b1-findim-1) Dedekind* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$, lalu memanen teorema keirasionalan lewat pencacahan dimensi belaka — tanpa $\varepsilon$, tanpa desimal, hanya dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).

**Bagian I — Skalar yang rasional.**

1. Periksalah bahwa $\Q$ sebuah [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) dan bahwa setiap definisi dan bukti pada Bab 18–19 hanya memakai aksioma [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) bagi skalarnya; lalu simpulkan bahwa $\R$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $\Q$ dan bahwa lema pertukaran, teorema basisnya, dan rumus Grassmann berlaku atas $\Q$ . Tunjuklah satu langkah pada bukti [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange) yang di situ pembagian oleh skalar taknol dikerjakan.
2. Tunjukkan bahwa $(1, \sqrt2)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ tetapi terikat atas $\R$ . Tetapkanlah $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1,  \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; berapakah $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
3. Tunjukkan bahwa $\Q(\sqrt2)$ stabil terhadap perkalian. Untuk $u = a + b\sqrt2$ tetapkanlah $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ dan $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Tunjukkan $\sigma(uv) =  \sigma(u)\sigma(v)$ , lalu simpulkan $N(uv) = N(u)N(v)$ , lalu tunjukkan $N(u) \neq 0$ setiap kali $u \neq 0$ .
4. Simpulkan bahwa setiap $u \in \Q(\sqrt2)$ yang taknol mempunyai inversnya di $\Q(\sqrt2)$ , yakni $u^{-1} =  \sigma(u)/N(u)$ : sehingga $\Q(\sqrt2)$ merupakan sublapangan $\R$ . Hitunglah $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ dan $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**Bagian II — Menyertakan $\sqrt3$.**

5. Buktikan bahwa $\sqrt6 \notin \Q$ *(bandingkanlah eksponen $2$ pada kedua ruas $6q^2 = p^2$, seperti pada [Latihan 6.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#exo-b1-arith-7))* , lalu bahwa $\sqrt3 \notin  \Q(\sqrt2)$ *(kuadratkanlah $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ lalu bahaslah kasus $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$)* .
6. Misalkan $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . Tunjukkan bahwa $M$ stabil terhadap perkalian *(sebuah tabel hasil kali vektor basisnya sudah mencukupi)* .
7. Tulislah $K = \Q(\sqrt2)$ . Tunjukkan bahwa $(1, \sqrt3)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) *atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) $K$* , lalu simpulkan bahwa $M = K +  K\sqrt3$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $K$ berdimensi $2$ dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ .
8. Buktikan bahwa $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ , sehingga $\dim_\Q M = 4$ . *(Kelompokkanlah sebuah relasi nol sebagai $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ lalu terapkan pertanyaan 7 kemudian 2.)*

**Bagian III — [Hukum menaranya](#pb-b1-findim-1).** Misalkan $\Q \subseteq K
\subseteq M \subseteq \R$ dengan $K$ dan $M$ sublapangan, $(e_1,
\dots, e_m)$ sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $K$ sebagai [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $\Q$, dan $(f_1,
\dots, f_n)$ sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $M$ sebagai [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $K$.

9. Tunjukkan bahwa $mn$ hasil kali $(e_i f_j)$ membangun $M$ atas $\Q$ .
10. Tunjukkan bahwa keluarga $(e_i f_j)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ . *(Tatalah ulang sebuah kombinasi nol atas $\Q$ sebagai $\sum_j  \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$, yang koefisien dalamnya hidup di $K$.)*
11. Tutuplah dengan *[hukum menara](#pb-b1-findim-1) Dedekind*: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ lalu periksalah ia pada $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ terhadap pertanyaan 7 dan 8.
12. ( [Lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) secara cuma-cuma) Misalkan $A \subseteq \R$ sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) atas $\Q$ yang [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def) yang memuat $1$ dan stabil terhadap perkalian, dan misalkan $u \in A$ , $u \neq  0$ . Tunjukkan bahwa jika $(a_1, \dots, a_d)$ sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $A$ , maka $(u a_1, \dots, u a_d)$ kembali menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $A$ ; lalu simpulkan bahwa $u$ mempunyai invers *di $A$* : sehingga $A$ merupakan sublapangan $\R$ . Pertanyaan sebelumnya yang mana yang dipulihkan ini?
13. Tunjukkan bahwa untuk setiap $x \in A$ (dengan, seperti pada pertanyaan 12, $\dim_\Q  A = d$ ) keluarga $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ bersifat terikat: sehingga setiap unsur $A$ merupakan akar sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) taknol berkoefisien rasional, yang berderajat paling banyak $d$ .

**Bagian IV — Satu bilangan membangkitkan segalanya.** Tetapkanlah $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. Hitunglah [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $s^2$ , $s^3$ dan $s^4$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ bagi $M$ .
15. Tunjukkan bahwa $(1, s, s^2, s^3)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ , lalu simpulkanlah $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : bahwa setiap unsur $M$ merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) rasional dalam $s$ . Nyatakanlah $\sqrt2$ dan $\sqrt3$ sebagai [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang demikian.
16. Periksalah $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , lalu tunjukkanlah bahwa $X^4 - 10X^2  + 1$ merupakan *[polinomial monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat terkecil* yang lenyap di $s$ . Tentukanlah keempat akar realnya.
17. Simpulkan: $1/s = 10s - s^3$ ; lalu kenalilah bilangan ini. Tunjukkanlah bahwa $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ (dengan $a,b,c,d \in \Q$ ) bersifat rasional jika dan hanya jika $b = c = d = 0$ ; sehingga khususnya $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ irasional (yang memperkuat [Latihan 10.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-7) ).

**Bagian V — Akar pangkat tiganya tetap di luar.** Tetapkanlah $t
= 2^{1/3}$.

18. Tunjukkan bahwa $X^3 - 2$ tak berakar rasional *(lewat kriteria akar rasional pada [Latihan 8.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-5), atau lewat pencacahan valuasinya)* ; lalu simpulkanlah bahwa $(1, t)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ .
19. Tunjukkan bahwa $(1, t, t^2)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ . *(Jika suatu $P \in \Q[X]$ taknol berderajat $\leq 2$ membunuh $t$, ambillah satu yang berderajat terkecil lalu bagilah $X^3 - 2$ dengannya, [Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-division); lalu simpulkanlah bahwa $X^3 - 2$ akan berakar rasional.)* Lalu simpulkanlah bahwa $A =  \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ berdimensi $3$ , stabil terhadap perkalian, dan merupakan sublapangan $\R$ .
20. Buktikan bahwa $t \notin M$ : sebab kalau tidak $M$ akan menjadi [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) $A$ , dan [hukum menaranya](#pb-b1-findim-1) akan memaksa $3 \mid 4$ . Jadi $2^{1/3}$ bukan kombinasi rasional atas $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. Simpulkan bahwa $t \notin \Q(\sqrt2)$ , bahwa $t + \sqrt2$ irasional, dan bahwa tak ada bilangan rasional $a, b$ yang memenuhi $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**Bagian VI — Semua sublapangannya, dan sintesisnya.**

22. Buktikanlah [keterbagian](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) derajatnya: bahwa jika $\Q \subseteq A  \subseteq B \subseteq \R$ merupakan sublapangan dengan $\dim_\Q B$ yang hingga, maka $\dim_\Q A$ [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) $\dim_\Q B$ . Apa saja dimensi yang mungkin bagi sublapangan $M$ ?
23. Tentukanlah *semua* sublapangan $M$ yang berdimensi $2$ atas $\Q$ . *(Reduksikanlah ke pencarian $w = a + b\sqrt2  + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ dengan $w^2 \in  \Q$: jabarkanlah $w^2$ lalu lenyapkanlah ketiga [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) irasionalnya.)*
24. Nyatakanlah $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(kalikanlah dengan sekawan yang terpilih baik)* .
25. Sintesis, dalam empat kalimat: mengapakah dimensi atas $\Q$ merupakan invarian *aritmetika* sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bilangan real; apa yang dipaksakan kehinggaan dimensinya atas setiap unsurnya (pertanyaan 13); bagaimanakah aturan dua dari tiganya menghasilkan invers entah dari mana (pertanyaan 12); dan apa yang dilarang [hukum menaranya](#pb-b1-findim-1) (pertanyaan 20). Namailah teorema yang dibuktikan pada Bagian III.

**Solusi Soal 19.1.**

**1.** $\Q$ memuat $0 \neq 1$, stabil terhadap penjumlahan, perkalian dan lawan, dan setiap rasional taknol mempunyai invers rasional: jadi sebuah [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) ([Definisi 7.22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field)). Adapun definisi [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span), kebebasan, [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan bukti Bab 18–19 hanya memakai penjumlahan vektor, kedistributifan dan aritmetika skalar di dalam sebuah [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) — tak pernah nilai mutlak, urutan atau limit. Jadi $\R$, dengan penjumlahannya sendiri dan perkalian $\Q \times \R \to \R$, merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $\Q$, dan semua teoremanya berlaku. Pembagian dengan sebuah skalar terjadi sekali pada bukti [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange): yaitu untuk “menyelesaikan $g_k$” orang [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan koefisiennya yang taknol.

**2.** Jika $a + b\sqrt2 = 0$ dengan $a, b \in \Q$ yang tak keduanya nol: maka $b \neq 0$ akan memberikan $\sqrt2 = -a/b \in \Q$, yang bertentangan dengan keirasionalan $\sqrt2$ ([Latihan 6.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#exo-b1-arith-7) dengan $p =
2$); sehingga $b = 0$, lalu $a = 0$: jadi [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$. Sedangkan atas $\R$ hubungan $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ tak sepele: jadi terkait. Maka $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, dengan [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) tunggal $(a, b)$.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. Maka

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

sehingga $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. Jika $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ dengan $u \neq 0$: maka $b \neq 0$ akan memberikan $(a/b)^2 = 2$, yaitu akar kuadrat rasional atas $2$; sehingga $b = 0$, lalu $a
= 0$ dan $u = 0$: bertentangan. Maka $N(u) \neq 0$ untuk $u \neq
0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)}
= 1$, dan $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: jadi setiap unsur taknol dapat dibalik di dalam $\Q(\sqrt2)$, yang karenanya merupakan sublapangan $\R$. Contohnya: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$, sehingga

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** Jika $\sqrt6 = p/q$ maka $6q^2 = p^2$; sehingga pangkat $2$ adalah $1 + 2v_2(q)$, yang ganjil, di kiri, dan $2v_2(p)$, yang genap, di kanan: mustahil. Kini andaikan $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ dengan $a, b \in \Q$. Mengkuadratkannya: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. Jika $ab
\neq 0$, maka $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: mustahil. Jika $b = 0$: maka $\sqrt3 = a \in \Q$, yang bertentangan dengan [Latihan 6.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). Jika $a = 0$: maka $\sqrt3 = b\sqrt2$, dan dengan mengalikannya dengan $\sqrt2$: $\sqrt6 = 2b \in \Q$: mustahil. Jadi $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** Hasil kali vektor basisnya adalah

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

semuanya di dalam $M$. Adapun hasil kali dua unsur $M$ terjabarkan lewat kebilinearan menjadi kombinasi rasional atas ini: jadi $M$ stabil terhadap perkalian.

**7.** Misalkan $x + y\sqrt3 = 0$ dengan $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. Jika $y \neq 0$, maka $\sqrt3 = -x/y \in K$ (menurut pertanyaan 4: $K$ sebuah [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field)), yang bertentangan dengan pertanyaan 5. Jadi $y = 0$, lalu $x = 0$: sehingga $(1,
\sqrt3)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $K$. Ia membangun: $K + K\sqrt3 =
\{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q
(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. Maka $\dim_K M = 2$.

**8.** Sebuah hubungan $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ terkelompokkan ulang menjadi $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ dengan koefisien di dalam $K$; jadi menurut pertanyaan 7 keduanya lenyap, dan menurut pertanyaan 2 $a = b = 0$ dan $c = d = 0$. Sehingga keluarganya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan $\dim_\Q M
= 4$.

**9.** Setiap $x \in M$ tertulis $x = \sum_j y_j f_j$ dengan $y_j
\in K$ (yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $M$ atas $K$), dan setiap $y_j = \sum_i
\lambda_{ij} e_i$ dengan $\lambda_{ij} \in \Q$ (yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $K$ atas $\Q$); dengan menyulihkannya, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$: jadi hasil kalinya membangun $M$ atas $\Q$.

**10.** Andaikan $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ dengan $\lambda_{ij} \in \Q$. Kelompokkanlah ulang: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij}
e_i\bigr) f_j = 0$, dan jumlah dalamnya termasuk $K$. Kebebasan $(f_j)$ atas $K$ memberikan $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ untuk setiap $j$; lalu kebebasan $(e_i)$ atas $\Q$ memberikan $\lambda_{ij} = 0$ untuk semua $i, j$.

**11.** Menurut pertanyaan 9 dan 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j
\leq n}$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $M$ atas $\Q$ dengan $mn$ unsur:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

Periksa: $\dim_\Q K = 2$ dan $\dim_K M = 2$ (pertanyaan 2 dan 7) memberikan $\dim_\Q M = 4$, yaitu pertanyaan 8.

**12.** Vektor $u a_1, \dots, u a_d$ termasuk $A$ (karena kestabilannya). Semuanya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free): karena jika $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, maka $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ di dalam $\R$, dan $u \neq 0$ memaksa $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, sehingga $\lambda_i = 0$ (karena $a_i$ membentuk sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)). Jadi $(u a_1, \dots, u a_d)$ merupakan [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) berisi $d$ vektor di dalam $A$, dengan $\dim_\Q A = d$: yaitu sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). Khususnya $1 \in A$ terurai menjadi $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ dengan $v = \sum_i
\mu_i a_i \in A$: sehingga invers $u$ ada di dalam $A$. Ini memulihkan pertanyaan 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) dan sekaligus membuktikan bahwa $M$ merupakan sublapangan $\R$ (bersama pertanyaan 6).

**13.** Kesemua $d + 1$ vektor $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ ada di dalam $A$ (karena stabil terhadap hasil kali); sedangkan [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $A$ berisi paling banyak $d$ vektor ([Proposisi 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), sehingga semuanya terkait: jadi ada rasional $\lambda_0, \dots, \lambda_d$, yang tak semuanya nol, dengan $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. Maka [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $P
= \sum_k \lambda_k X^k$ taknol, berkoefisien rasional, berderajat $\leq d$, dan $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: berkoordinat $(5, 0, 0, 2)$. Lalu

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

berkoordinat $(0, 11, 9, 0)$ (dengan memakai $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). Akhirnya $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 +
24 = 49 + 20\sqrt6$: berkoordinat $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** Andaikan $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. Dengan membaca keempat [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pada $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$:

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

Jadi $c = 0$, lalu $a = 0$; dengan mengurangkan persamaan tengahnya, $2d =
0$, lalu $b = 0$: sehingga $(1, s, s^2, s^3)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). Empat vektor [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di dalam $M$ yang berdimensi $4$: jadi sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), sehingga $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. Dari pertanyaan 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ dan $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 +
2\sqrt6) + 1 = 0$. Adapun [polinomial monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq 3$ yang lenyap di $s$ akan menghasilkan kombinasi nol yang tak sepele atas $(1, s, s^2, s^3)$, yang bertentangan dengan pertanyaan 15: jadi $X^4 - 10X^2 + 1$ berderajat terkecil. Akarnya: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$, sehingga keempat akar realnya adalah $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ dan $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$, yaitu $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$.

**17.** Dari $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$: $s\,(10s - s^3) = 1$, sehingga

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

yang selaras dengan $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. Jika $a +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, maka $(a - r) + b\sqrt2
+ c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$, dan kebebasannya (pertanyaan 8) memaksa $b = c
= d = 0$ (dan $a = r$). Adapun bagi $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ tak berbentuk demikian: jadi irasional — yaitu [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) yang lebih kuat daripada [Latihan 10.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#exo-b1-reals-7), yang diperoleh tanpa kiat pengkuadratan apa pun.

**18.** Sebuah akar rasional $p/q$ (dalam suku terkecil) atas $X^3 - 2$ memenuhi $p^3 = 2q^3$, dan kriteria [Latihan 8.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-5) memberikan $p \mid 2$, $q \mid 1$: jadi calonnya $\pm1, \pm2$, yang pangkat tiganya $\pm1, \pm8 \neq 2$. Jadi tak ada akar rasional; khususnya $t = 2^{1/3} \notin \Q$, sehingga $(1, t)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) atas $\Q$ (seperti pada pertanyaan 2).

**19.** Andaikan $(1, t, t^2)$ terkait: maka ada $P \in
\Q[X]$ taknol dengan $\deg P \leq 2$ yang $P(t) = 0$; pilihlah $P$ yang demikian berderajat *terkecil* $d \geq 1$. Menurut pertanyaan 18, $d \neq 1$, sehingga $d
= 2$. Pembagian Euclid ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-division)): $X^3 - 2
= PQ + R$ dengan $Q, R \in \Q[X]$, $\deg R < 2$. Menilainya di $t$: $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$, sehingga $R$ lenyap di $t$; lalu keminimalan $d$ memaksa $R = 0$. Maka $X^3 - 2 = PQ$ dengan $\deg Q = 1$: sehingga akar rasional $Q$ merupakan akar rasional $X^3 - 2$, yang bertentangan dengan pertanyaan 18. Jadi $(1, t, t^2)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan $\dim_\Q A = 3$. Kestabilannya: $t^3 = 2$ mereduksi setiap hasil kali $1, t, t^2$ menjadi kombinasi atasnya ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot
t^2 = 2t$); dan $A$ memuat $1$: jadi menurut pertanyaan 12, $A$ merupakan sublapangan $\R$.

**20.** Andaikan $t \in M$. Maka $t^2 \in M$ (karena kestabilannya), sehingga $A \subseteq M$, dan $M$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) $A$: karena aksiomanya adalah aksioma aritmetika $\R$, yang dibatasi. Ia [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def) atas $A$ (karena keluarga pembangun $\Q$ yang hingga membangun a fortiori atas $A \supseteq \Q$). Adapun [hukum menara](#pb-b1-findim-1) bagi $\Q \subseteq A \subseteq M$ memberikan

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

mustahil: karena $3$ tak [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) $4$. Jadi $2^{1/3} \notin M$: tak ada kombinasi rasional atas $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ yang sama dengan $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, sehingga $t \notin \Q(\sqrt2)$. Jika $t + \sqrt2 = r \in \Q$, maka $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$: bertentangan — jadi $2^{1/3} + \sqrt2$ irasional. Jika $t = a +
b\sqrt3$, maka $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq
M$: bertentangan lagi.

**22.** $B$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) $A$ (yaitu pembatasan skalarnya), yang [berdimensi hingga](#def-b1-findim-def) karena $\dim_\Q B$ hingga. Adapun [hukum menara](#pb-b1-findim-1) bagi $\Q \subseteq A \subseteq B$ memberikan $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$: sehingga faktor kirinya [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides). Maka sublapangan $M$ berdimensi $\Q$ sebesar $1$, $2$ atau $4$: dengan dimensi $1$ yaitu $\Q$ sendiri, dan dimensi $4$ yaitu $M$.

**23.** Misalkan $F \subseteq M$ sublapangan dengan $\dim_\Q F =
2$, dan $w \in F \setminus \Q$: maka $(1, w)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), jadi sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$. Menurut pertanyaan 13 ($d = 2$), $w^2 = \alpha + \beta w$ bagi rasional $\alpha, \beta$. Dengan menetapkan $v = w - \beta/2 \in F
\setminus \Q$:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

dan $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. Kini tulislah $v = a + b\sqrt2 +
c\sqrt3 + d\sqrt6$ lalu jabarkanlah:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

Ketiga [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) irasionalnya lenyap: $ab + 3cd = ac + 2bd =
ad + bc = 0$. Jika $a \neq 0$: maka $b = -3cd/a$, dan syarat keduanya menjadi $c(a^2 - 6d^2) = 0$; dan karena $a^2 = 6d^2$ dengan $d
\neq 0$ akan membuat $\sqrt6 = \abs{a/d}$ rasional, maka $c = 0$ atau $d = 0$, dan pada kedua kasusnya syarat sisanya memaksa $b =
c = d = 0$, yaitu $v \in \Q$: yang dikecualikan. Jadi $a = 0$, dan syaratnya terbaca $3cd = 2bd = bc = 0$: sehingga paling banyak satu di antara $b, c, d$ yang taknol. Maka $v$ merupakan kelipatan rasional atas $\sqrt2$, $\sqrt3$ atau $\sqrt6$, dan

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

yang masing-masingnya memang sublapangan berdimensi $2$ (dengan kestabilan seperti pada pertanyaan 6, dan inversnya menurut pertanyaan 12): jadi tepat tiga sublapangan kuadratik.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 +
\sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$, sehingga

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(Periksa: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ setelah dijabarkan.)

**25.** (i) Dimensi $\Q$ melekatkan sebuah *bilangan bulat* pada setiap sublapangan $\R$, dan [hukum menara](#pb-b1-findim-1) membuat bilangan itu mengalikan diri sepanjang pemuatannya: sehingga dimensinya berperilaku bagai invarian aritmetika, dan kendala [keterbagiannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) menjadi bukti kemustahilan. (ii) [Dimensi hingga](#def-b1-findim-def) memaksa setiap unsurnya memenuhi persamaan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) rasional taknol yang berderajat paling tinggi sebesar dimensinya: jadi kehinggaan berarti kealjabaran. (iii) Adapun kaidah dua-dari-tiga mengubah “perkalian dengan $u$ memetakan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ke [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) berukuran maksimal” menjadi kesurjektifan, yang menghasilkan $u^{-1}$ tanpa rumus: sehingga inversnya lahir dari pencacahan. (iv) Adapun [hukum menara](#pb-b1-findim-1) melarang [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field) berdimensi $3$ di dalam yang berdimensi $4$, dan itulah sebabnya $2^{1/3}$ tak dapat dicapai dari $\sqrt2$ dan $\sqrt3$. Adapun teorema Bagian III adalah *[hukum menara](#pb-b1-findim-1) Dedekind*, yaitu langkah pembuka teori Galois, yang dikembangkan pada jilid Tahun 3.