---
title: "Pemetaan Linear"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear
---

# Bab 20 — Pemetaan Linear

[Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang pantas ditelaah antara [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) adalah yang selaras dengan strukturnya: yaitu *[pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def)*. Adapun kedua [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) fundamentalnya — [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) dan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) — mengukur keinjektifan dan kesurjektifannya, dan dalam [dimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) teorema rank–nulitas mengikat ukurannya menjadi satu hukum kekekalan. Lalu [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) dan simetri, kemudian [bentuk linear](#def-b1-linmaps-forms) dan [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms), menutup bab ini.

## 20.1 Definisi dan sifat yang pertama

**Definisi 20.1.**

Misalkan $E, F$ [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $K$. Sebuah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $u \colon E \to F$ disebut *linear* bila

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

Maka $u(0) = 0$ dan $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$. Adapun [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ berisi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear sendirinya merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def); komposisi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear bersifat linear, dan bilinear pada pasangannya. Sebuah *endomorfisma* adalah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear $E \to E$; sedangkan *isomorfisma* adalah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (yang inversnya lalu otomatis linear); adapun $u^{-1}$ sebuah isomorfisma, dan komposisi isomorfisma, merupakan isomorfisma.

**Bukti bahwa inversnya linear.** Misalkan $u$ [linear](#def-b1-linmaps-def) dan [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), $y, y' \in F$ dan $\lambda \in K$. Tetapkanlah $x = u^{-1}(y)$ dan $x' = u^{-1}(y')$. Maka

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

lalu menerapkan $u^{-1}$ pada kedua ujungnya: $u^{-1}(y + \lambda y') = x
+ \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$. Jadi tak ada apa pun tentang $u^{-1}$ yang dihitung: karena kelinearannya terangkut lewat sifat pendefinisi $u$ belaka — yaitu pola yang pantas diingat, sebab struktur sering menumpang bijeksi secara cuma-cuma. ∎

**Proposisi 20.2 (Sebuah pemetaan linear dikenal pada sebuah basis).**

Misalkan $(e_1, \dots, e_n)$ sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$ dan $(v_1, \dots, v_n)$ vektor $F$ yang sebarang. Maka ada tepat satu [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) $u \colon
E \to F$ dengan $u(e_i) = v_i$ untuk setiap $i$. Lebih lanjut:

$$
u \text{ injektif} \iff (v_i) \text{ bebas};
\qquad
u \text{ surjektif} \iff (v_i) \text{ membangun } F .
$$

**Bukti.** Keberadaan dan ketunggalannya: setiap $x$ mempunyai [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) tunggal $x = \sum
\lambda_i e_i$ ([Proposisi 18.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates)); lalu kelinearannya memaksa $u(x) = \sum \lambda_i v_i$, dan rumus ini memang mendefinisikan sebuah [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def).

Keinjektifannya: menurut [Proposisi 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) di bawah, $u$ bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) jika dan hanya jika [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) sepele. Sekarang $u\bigl(\sum\lambda_i
e_i\bigr) = 0$ persis berarti $\sum\lambda_i v_i = 0$. Jika $(v_i)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), maka ini memaksa setiap $\lambda_i = 0$, yakni [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) tereduksi menjadi $0$: jadi [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Sedangkan jika $(v_i)$ terikat, sebuah relasi taksepele $\sum\lambda_i v_i = 0$ menghasilkan vektor taknol $\sum\lambda_i e_i$ pada [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) (karena $(e_i)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)): jadi tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Sehingga kedua syaratnya cocok suku demi suku.

Kesurjektifannya: [peta](#def-b1-linmaps-kerim) $u$ adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) semua $\sum\lambda_i
v_i$, yakni tepat $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, yang sama dengan $F$ jika dan hanya jika keluarganya membangun. ∎

**Definisi 20.3 (Kernel dan peta).**

Untuk $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

keduanya [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) (lewat pemeriksaan langsung dengan kriterianya).

**Metode 20.4 (Kernel dan peta, dalam praktik).**

*[Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim)*: tulislah $u(x) = 0$ sebagai sebuah sistem atas [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) (atau koefisien) $x$, pecahkanlah, lalu parameterkanlah — maka [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) keluar dengan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang menempel ([Metode 19.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#met-b1-findim-computedim)). *[Petanya](#def-b1-linmaps-kerim)*: ia [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) [peta](#def-b1-linmaps-kerim) *sebarang* keluarga pembangun $E$ — biasanya sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), sehingga $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$; lalu hapuslah [peta](#def-b1-linmaps-kerim) yang berlebihan untuk menyarikan sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). *Jalan pintasnya*: hitunglah yang mana pun di antara keduanya yang lebih mudah lalu peroleh dimensi yang lain cuma-cuma lewat rank–nulitas ([Teorema 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)); dan ketika sebuah calon [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang masuk akal bagi [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) sudah dikenal, membandingkan dimensinya menaikkan inklusi yang mudah menjadi kesamaan ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-subspaces)). Kedua jalan pintasnya dipakai pada [Contoh 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) di bawah.

**Proposisi 20.5.**

[Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $u$ bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\ker u = \{0\}$; dan $u$ bersifat [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\operatorname{im} u = F$.

**Bukti.** Seperti pada [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) ([Proposisi 7.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#prop-b1-structures-kernel)): $u(x) = u(y) \iff
u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$. Adapun butir keduanya merupakan definisinya. ∎

## 20.2 Teorema rank–nulitas

**Definisi 20.6.**

Adapun *rank* sebuah $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ (dengan $E$ yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def)) adalah $\operatorname{rk} u = \dim
\operatorname{im} u$ — yang juga merupakan rank keluarga $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ bagi sebarang [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(e_i)$ pada $E$.

**Teorema 20.7 (Rank–nulitas).**

Misalkan $E$ [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) dan $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Maka

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

Lebih tepatnya, jika $S$ sebarang [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) bagi $\ker u$ di $E$, maka $u$ terbatasi menjadi *isomorfisma* dari $S$ pada $\operatorname{im} u$.

**Bukti.** Misalkan $S$ memenuhi $E = \ker u \oplus S$ ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-subspaces)), dan misalkan $v \colon S \to
\operatorname{im} u$ pembatasan $u$.

Adapun $v$ bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj): karena $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$.

Dan $v$ bersifat [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj): karena sebarang $u(x)$ dengan $x = k + s$ ($k \in \ker u$, $s
\in S$) sama dengan $u(s) = v(s)$.

Jadi $v$ sebuah isomorfisma; dan isomorfisma mengirim [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ke [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), sehingga $\dim S = \dim\operatorname{im}
u$, lalu $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ menyimpulkannya. ∎

**Contoh 20.8 (Membangun sebuah pemetaan menurut spesifikasi).**

Konstruksikanlah $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ dengan $\ker u =
\operatorname{Vect}(1,1,1)$ dan $\operatorname{im} u = \{z =
0\}$. Periksa kewarasannya dulu: rank–nulitas menuntut $1 + 2 = 3$ — yang selaras, sehingga sebuah penyelesaian mungkin ada. Pilihlah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan dengan [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim), katakanlah $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ ([Contoh 19.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ex-b1-findim-completion)), lalu tetapkanlah [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) ([Proposisi 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)):

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

Maka $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ dan $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z =
0\}$; lalu rank–nulitas memaksa $\dim\ker u = 1$, sehingga [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) tepat garis yang ditetapkan itu. Adapun secara eksplisit, dengan menguraikan $(x, y, z)
= z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

Resepnya tersamaratakan: bahwa [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) dengan [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) $N$ dan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) $I$ yang ditetapkan ada tepat ketika $\dim N + \dim I = \dim E$ — dengan keperluannya dari rank–nulitas, dan kecukupannya dari konstruksi ini.

**Akibat 20.9.**

Jika $\dim E = \dim F$ (yang hingga), maka untuk $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
u \text{ injektif} \iff u \text{ surjektif} \iff u \text{
bijektif}.
$$

Khususnya ini berlaku bagi endomorfisma dalam [dimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). (Adapun ia gagal dalam dimensi tak hingga: karena pada $K[X]$, [turunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) bersifat [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) tetapi tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), sedangkan $P \mapsto XP$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) tetapi tak [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj).)

**Bukti.** [Injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E =
\dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (karena [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang berdimensi penuh adalah segalanya, [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). ∎

**Contoh 20.10 (Interpolasi, secara struktural).**

Tetapkanlah $x_0, \dots, x_n$ yang berbeda lalu misalkan $u \colon \R_n[X] \to
\R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: yang [linear](#def-b1-linmaps-def). Adapun [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) adalah $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ akar}\} = \{0\}$ ([Akibat 8.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#cor-b1-poly-nroots)). Dengan dimensi yang sama $n + 1$: maka $u$ sebuah isomorfisma — sehingga keberadaan *dan* ketunggalan interpolan Lagrange ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange)) dalam satu baris.

Adapun pola satu baris yang sama menangani data yang mencampur nilai dan [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def): $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0),
P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ bersifat [linear](#def-b1-linmaps-def), dan [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) terdiri atas [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq 3$ dengan akar rangkap di $0$ *dan* $1$, yakni terbagi oleh $X^2(X-1)^2$ yang berderajat $4$: sehingga hanya $P =
0$. Dengan dimensi yang sama lagi: setiap kuadruple data $(P(0),
P'(0), P(1), P'(1))$ terwujud oleh tepat satu kubik — yaitu interpolasi Hermite, yang diberikan oleh perhitungan [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) sebelum rumus apa pun dituliskan (adapun soal akhir pekan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) bertemu determinannya).

**Contoh 20.11 (Rank–nulitas dalam kerja: operator selisihnya).**

Misalkan $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) -
P(X)$: yang [linear](#def-b1-linmaps-def). [Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim): jika $\Delta P = 0$, maka $P(0) = P(1) =
P(2) = \dots$, sehingga $P - P(0)$ berakar tak hingga banyak dan lenyap ([Akibat 8.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#cor-b1-poly-nroots)): jadi $\ker\Delta$ adalah garis konstantanya. Lalu rank–nulitas: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1
= n$. Dan karena $\deg \Delta P < \deg P$ untuk $P$ yang takkonstan (sebab suku puncaknya saling meniadakan), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, yang berdimensi tepat $n$: sehingga inklusinya menjadi kesamaan. Kesimpulannya, tanpa perhitungan [prapeta](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) apa pun: bahwa *setiap* [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $Q$ berderajat $\leq n - 1$ merupakan selisih $Q = P(X+1)
- P(X)$ — jadi antiturunan diskretnya ada. (Bandingkanlah soal akhir pekan [Bab 18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ch-b1-vspaces), yang di situ $\Delta$ dibalik secara eksplisit pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) binomialnya.)

**Contoh 20.12 (Pembukuan rank sepanjang sebuah komposisi).**

Pada $\R_2[X]$, susunlah [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) $D(P) = P'$ (yang [ber-rank](#def-b1-linmaps-rank) $2$: dengan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, dan [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) konstantanya) dengan dirinya sendiri. Maka $D
\circ D = D^2$ memetakan $P \mapsto P''$, dengan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$: jadi [ber-rank](#def-b1-linmaps-rank) $1$. Bandingkanlah dengan batas umumnya: yang kasar memberikan $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$; sedangkan rumus persis pada [Latihan 20.12](#exo-b1-linmaps-12) memperhitungkan kehilangannya dengan tepat,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

karena konstantanya (yaitu [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) $D$ yang luar) duduk di dalam $\R_1[X]$ (yaitu [peta](#def-b1-linmaps-kerim) $D$ yang dalam) dengan dimensi $1$. Jadi [rank](#def-b1-linmaps-rank) hilang persis di tempat [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang luar menyergap [peta](#def-b1-linmaps-kerim) yang dalam — itulah kalimat yang harus diingat ketika [rank](#def-b1-linmaps-rank) komposisinya berkelakuan buruk.

**Contoh 20.13 (Kernel dan peta operator Euler).**

Pada $\R_n[X]$, misalkan $u(P) = X\,P'$ (yang [linear](#def-b1-linmaps-def): karena pendiferensialan dan perkalian dengan $X$ demikian). *[Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim)*: $XP' = 0$ memaksa $P' =
0$ (karena hasil kali [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) lenyap hanya bila salah satu faktornya demikian), sehingga $\ker u$ adalah garis konstantanya. *[Petanya](#def-b1-linmaps-kerim)*: pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) monomialnya,

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

sehingga $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots,
nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$: yaitu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang bersuku konstan nol. Periksalah terhadap rank–nulitas: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, yang memang dimensi yang ditemukan. Ada dua catatan yang pantas disimpan. Pertama, di sini $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — tetapi itu *kebetulan yang membahagiakan* bagi operator ini, bukan sebuah teorema: karena bagi $v(P) = P'$ yang mirip geseran pada $\R_1[X]$, $\ker v = \operatorname{im}
v = \R_0[X]$ dan jumlahnya tak langsung. Kedua, relasi $u(X^k) = kX^k$ mengatakan bahwa setiap monomialnya sekadar diskalakan ulang oleh $u$ — yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan dengan [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map), yakni benih gagasan nilai eigen yang dikembangkan pada jilid Tahun 2.

## 20.3 Proyeksi dan simetri

**Definisi 20.14.**

Misalkan $E = F \oplus G$. Adapun *proyeksi pada $F$ sepanjang $G$* memetakan $x = f + g$ (dengan penguraiannya yang tunggal) ke $p(x) = f$; sedangkan *simetri* yang berkaitan adalah $s(x)
= f - g$. Keduanya [linear](#def-b1-linmaps-def), dan $s = 2p - \mathrm{id}$.

**Teorema 20.15 (Pencirian aljabarnya).**

1. Sebuah endomorfisma $p$ merupakan [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) (pada suatu $F$ sepanjang suatu $G$ ) jika dan hanya jika $p \circ p = p$ ; dan lalu $F =  \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ serta $G = \ker  p$ .
2. Sebuah endomorfisma $s$ merupakan simetri jika dan hanya jika $s \circ s  = \mathrm{id}$ ; dan lalu $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus  \ker(s + \mathrm{id})$ .

**Bukti.** (1) Sebuah [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) memenuhi $p(f + g) = f$ dan $p(f) = f$: sehingga $p^2 = p$. Sebaliknya, misalkan $p^2 = p$; tetapkanlah $F = \operatorname{im} p$, $G = \ker
p$. Maka setiap $x$ tertulis $x = p(x) + (x - p(x))$ dengan $p(x) \in F$ dan $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$: sehingga $E = F + G$. Jika $y \in
F \cap G$: maka $y = p(z)$ dan $p(y) = 0$, sehingga $y = p(z) = p^2(z) = p(y) =
0$: jadi jumlahnya langsung, dan $p$ merupakan [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) pada $F$ sepanjang $G$. Akhirnya pada $F$: $y = p(z)$ memberikan $p(y) = y$, sehingga $F \subseteq
\ker(p - \mathrm{id})$, dan sebaliknya $p(y) = y$ menaruh $y$ di [petanya](#def-b1-linmaps-kerim).

(2) Korespondensi $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s +
\mathrm{id}}2$ merupakan bijeksi antara endomorfismanya, dan di bawahnya

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

sehingga simetrinya tepat bersesuaian dengan [proyeksinya](#def-b1-linmaps-projection). Lalu menerjemahkan [subruangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace): $s(x) = x \iff p(x) = x$, sehingga $\ker(s - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p = F$; sedangkan $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x
\in \ker p = G$, sehingga $\ker(s + \mathrm{id}) = G$. Jadi [jumlah langsung](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ pada butir (1) menjadi penguraian yang diumumkan menjadi vektor yang tetap dan vektor yang terbalik oleh $s$. ∎

**Contoh 20.16 (Sebuah proyeksi dan simetrinya, secara eksplisit).**

Di dalam $\R^2$, proyeksikanlah pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Uraikanlah $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$: maka [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pertamanya memberikan $a = x$, dan yang kedua $b = y - x$. Sehingga

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

Periksalah aljabarnya: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, dan $s(s(x,y)) =
s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Secara geometri, $s$ merupakan “pencerminan miring” terhadap garis $y = x$ pada arah tegaknya: karena ia menetapkan $F$ titik demi titik dan membalikkan $G$. Seandainya kita memproyeksikan pada $F$ yang sama sepanjang $G' =
\operatorname{Vect}(1,-1)$, maka rumusnya akan berubah menjadi $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$: jadi sebuah [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) ditentukan oleh [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) *dan* [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim), tak pernah oleh [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) belaka.

![Proyeksi pada F = Vect(1,1) sepanjang G = Vect(0,1) beserta simetrinya, pada titik M = (2,\ 0.5): dengan meluncur tegak, M mengenai F di p(M) = (2,2) lalu mendarat di s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), sejauh di atas F (yang diukur sepanjang G) sebagaimana M tadi di bawahnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*[Proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ beserta simetrinya, pada titik $M
= (2,\ 0.5)$: dengan meluncur tegak, $M$ mengenai $F$ di $p(M) = (2,2)$ lalu mendarat di $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$, sejauh di atas $F$ (yang diukur sepanjang $G$) sebagaimana $M$ tadi di bawahnya.*

## 20.4 Bentuk linear dan hiperbidang

**Definisi 20.17.**

Sebuah *bentuk linear* pada $E$ adalah [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) $\varphi \colon E \to K$. Sedangkan *hiperbidang* $E$ (dengan $\dim E = n$) adalah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $n - 1$.

**Contoh 20.18 (Sebuah bentuk penilaian dan hiperbidangnya).**

Pada $\R_2[X]$, penilaian $\varphi(P) = P(2)$ merupakan [bentuk linear](#def-b1-linmaps-forms) yang taknol (karena $\varphi(1) = 1$). Adapun [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) adalah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms) berisi [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang lenyap di $2$, yakni (menurut teorema faktor, [Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-factor)) kelipatan $X - 2$ di dalam $\R_2[X]$:

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

Dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pada $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a +
2b + 4c$: jadi setiap [bentuk linear](#def-b1-linmaps-forms) pada ruang yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def), begitu sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ditetapkan, merupakan ungkapan [linear](#def-b1-linmaps-def) yang tetap dalam [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) — sehingga bentuknya menjadi “vektor baris”, sebagaimana [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) akan membuatnya harfiah, dan baris koefisien di sini, $(1, 2, 4)$, merupakan baris Vandermonde: jadi bentuk penilaian adalah cara teori interpolasi pada soal akhir pekan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) masuk ke aljabar [linear](#def-b1-linmaps-def).

**Teorema 20.19.**

[Hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms) $E$ tepat merupakan [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) [bentuk linear](#def-b1-linmaps-forms) yang taknol. Dan dua bentuk taknol berkernel sama jika dan hanya jika keduanya sebanding.

**Bukti.** Jika $\varphi \neq 0$: maka $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (karena [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) taknol pada $K$), sehingga $\dim\ker\varphi = n - 1$: yaitu sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms). Sebaliknya, misalkan $H$ sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms), dengan $(e_1, \dots, e_{n-1})$ sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $H$ yang dilengkapi oleh $e_n$: maka bentuk “[koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) terakhir” berkernel $H$.

Adapun bentuk yang sebanding berbagi [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim). Sebaliknya, andaikan $\ker\varphi = \ker\psi = H$ lalu pilihlah $a \notin H$: maka setiap $x$ tertulis $x = h + \lambda a$ (karena $E = H \oplus Ka$), dan

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

sehingga $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$. ∎

**Contoh 20.20.**

Di dalam $K^n$, sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms) merupakan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaian $\{a_1 x_1 + \dots + a_n
x_n = 0\}$ dengan tak semua $a_i$ nol — yaitu persamaan yang dikenal bagi sebuah bidang lewat titik asal di $\R^3$. Adapun pada ruang fungsi, bentuk penilaian $P \mapsto P(1)$ atau $f \mapsto \int_0^1 f$ mendefinisikan [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms) $\R_n[X]$, dan $C(\intcc{0}{1})$ (bandingkan [Latihan 19.6](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#exo-b1-findim-6)).

**Contoh 20.21 (Satu hiperbidang, yang dikerjakan tiga cara).**

Ambillah $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ pada $\R^3$ dan $H =
\ker\varphi$. *Basisnya*: pecahkanlah $x = 2y - 3z$:

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

yaitu dua vektor yang [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free): sehingga $\dim H = 2$, jadi sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms), sebagaimana diramalkan [Teorema 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) dari $\varphi \neq
0$. *Garis [pelengkapnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum)*: sebarang vektor di luar $H$ merentangnya, misalnya $a = (1, 0, 0)$ (karena $\varphi(a) = 1 \neq 0$); dan penguraian sebarang $v$ bersifat eksplisit:

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

karena $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$. *Kesebandingannya*: jika $\psi(x,y,z)
= -2x + 4y - 6z$, maka $\psi = -2\varphi$ dan keduanya berkernel $H$; sebaliknya, sebarang bentuk yang lenyap pada $H$ merupakan kelipatan $\varphi$ ([Latihan 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — jadi persamaan sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms) tunggal sampai skalanya, yaitu fakta yang terus-menerus dipakai bagi bidang dalam geometri.

**Catatan 20.22 (Jebakan yang lazim).**

*[Kernel](#def-b1-linmaps-kerim) dan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) hidup di ruang yang berbeda*: karena $\ker u
\subseteq E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$; sehingga jumlah $\ker u
+ \operatorname{im} u$ hanya bermakna bagi endomorfisma, dan bahkan lalu ia tak harus langsung (karena $u(x, y) = (y, 0)$ mempunyai $\ker u
= \operatorname{im} u$; adapun [Latihan 20.7](#exo-b1-linmaps-7) mencirikan kapan kelangsungannya berlaku). *$u^2 = 0$ tak berarti $u = 0$*: karena $u(x,y) =
(y, 0)$ yang sama berkuadrat nol tanpa lenyap — adapun yang sungguh dikatakan $u^2 = 0$ adalah $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ ([Latihan 20.5](#exo-b1-linmaps-5)). *[Injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) $\iff$ [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) menuntut [dimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) yang sama*: karena pada $K[X]$, [turunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) bersifat [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), sedangkan $P \mapsto XP$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan tak [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) ([Akibat 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)); dan di antara ruang yang berdimensi *berbeda*, satu implikasinya sekadar mustahil (karena $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$). *Menetapkan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) berjalan pada sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), bukan pada keluarga apa pun*: karena menuntut $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ menentukan $u$ secara berlebihan kecuali bila $c = a + b$; jadi [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), tetapi terbelenggu di mana pun selainnya. *[Rank](#def-b1-linmaps-rank) tak terawetkan oleh komposisi*: karena ia hanya dapat turun, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u,
\operatorname{rk} v)$ ([Latihan 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), dengan kehilangannya yang persis terukur pada [Latihan 20.12](#exo-b1-linmaps-12).

**Catatan 20.23 (Ke mana pemetaan ini pergi).**

[Pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) segera akan menjadi *matriks*: karena begitu basisnya ditetapkan, [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) menyandikan setiap $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ lewat sebuah larik persegi panjang, dan komposisinya menjadi hasil kali matriks — lalu rank–nulitas menggerakkan teori sistem [linear](#def-b1-linmaps-def) pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det). Adapun [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) kembali pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) dalam kasus khususnya yang paling berguna, yaitu [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) *ortogonal*, yang di situ [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) dipilih tegak lurus terhadap [petanya](#def-b1-linmaps-kerim). Sedangkan soal akhir pekan di bawah mendorong aljabar proyektornya sejauh yang dijangkau perkakas tahun pertama, sampai lema Fitting; adapun jilid Tahun 2 melangkah lebih jauh dengan trace dan dengan teori nilai eigen, yang bagi teori itu proyektor pada [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang stabil merupakan balok bangunan dasarnya.

**Catatan 20.24 (Cakrawala di dalam Buku 3: rank–nulitas tiga kali lagi).**

Hukum kekekalan $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ akan dibaca ulang tiga kali sebelum jilid ini berakhir. Pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) ia menjadi bentuk [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya: bahwa sistem yang selaras dengan $p$ anu dan [ber-rank](#def-b1-linmaps-rank) $r$ mempunyai [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaian berdimensi $p - r$ — yaitu dimensi [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang menyamar. Pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) ia membelah secara ortogonal, $\dim F + \dim
F^\perp = \dim E$, lalu menggerakkan setiap perhitungan jarak. Sedangkan pada soal akhir pekan [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), ia menjadi akuntan kuadrat terkecilnya: yaitu $n$ pengamatan, $2$ parameter yang dicocokkan, dan $n - 2$ dimensi sisanya, dengan kesamaan Pythagoras $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ sebagai bayangan Euclid rank–nulitas. Jadi satu teorema, empat kostum.

## 20.5 Latihan

**Latihan 20.1 ★.**

[Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) mana yang [linear](#def-b1-linmaps-def)?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**Solusi Latihan 20.1.**

(1) [Linear](#def-b1-linmaps-def): karena [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) berupa ungkapan [linear](#def-b1-linmaps-def). (2) Tak [linear](#def-b1-linmaps-def): karena $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$. (3) [Linear](#def-b1-linmaps-def): karena pendiferensialan dan perkalian dengan $X$ demikian, dan jumlah [pemetaan linear](#def-b1-linmaps-def) pun demikian. (4) [Linear](#def-b1-linmaps-def): karena penilaian menghormati operasi titik demi titiknya.

**Latihan 20.2 ★.**

Misalkan $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y
+ z,\; 3x + 2y)$. Tentukanlah $\ker u$ (yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dan dimensinya), $\operatorname{rk} u$, serta sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\operatorname{im} u$. Apakah $u$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj)? Dan [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj)?

**Solusi Latihan 20.2.**

[Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim): pecahkanlah $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$. Dari yang ketiga, $y = -\frac{3x}{2}$; lalu yang pertama memberikan $z = x + y =
-\frac x2$; lalu periksalah pada yang kedua: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$: jadi terpenuhi. Sehingga $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (dengan mengambil $x = 2$), berdimensi $1$.

Lalu rank–nulitas: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$. Adapun [petanya](#def-b1-linmaps-kerim): direntang oleh [peta](#def-b1-linmaps-kerim) [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya, $u(e_1) = (1,2,3)$, $u(e_2) =
(1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$; dengan dua yang pertama [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dan [ranknya](#def-b1-linmaps-rank) $2$: sehingga basisnya $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$.

Jadi tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena $\ker \neq \{0\}$), dan tak [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena [ranknya](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$): yang selaras dengan [Akibat 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim).

**Latihan 20.3 ★.**

Misalkan $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$. Buktikan bahwa $u$ sebuah isomorfisma: sekali lewat $\ker u$, sekali lagi dengan menunjukkan inversnya *(tinjaulah $P + P' + P'' + \dots$)*.

**Solusi Latihan 20.3.**

*[Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim):* $P = P'$ memaksa $\deg P = \deg P'$ kecuali bila $P = 0$; padahal $\deg P' < \deg P$ untuk $P \neq 0$: sehingga $\ker u = \{0\}$, dan $u$, sebagai endomorfisma [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada $\R_n[X]$ yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def), merupakan isomorfisma ([Akibat 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

*Inversnya:* misalkan $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (yaitu jumlah yang hingga pada $\R_n[X]$). Maka

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

secara teleskopis, karena $P^{(n+1)} = 0$. Jadi $v = u^{-1}$.

**Latihan 20.4 ★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(E, F)$ dan $v \in \mathcal{L}(F, G)$, dengan ruang yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). Buktikan:

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**Solusi Latihan 20.4.**

Di sini $\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$: sehingga [ranknya](#def-b1-linmaps-rank) $\leq \operatorname{rk} v$. Dan $v$ yang dibatasi pada $\operatorname{im} u$ berpeta $\operatorname{im}(vu)$, sehingga dengan rank–nulitas di dalam $\operatorname{im} u$: $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$.

**Latihan 20.5 ★★.**

Misalkan $u$ sebuah endomorfisma $E$ (yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def)) dengan $u^2 =
0$. Buktikan bahwa $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$, sehingga $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$. Untuk $E = \R^2$, berikanlah sebuah contoh dengan kesamaannya.

**Solusi Latihan 20.5.**

Persamaan $u^2 = 0$ berarti $u(u(x)) = 0$ untuk setiap $x$: sehingga setiap $u(x)$ terletak di $\ker u$, yakni $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$. Lalu menurut rank–nulitas:

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

Adapun contoh kesamaannya di $\R^2$: $u(x, y) = (y, 0)$: karena $u^2 = 0$, $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$.

**Latihan 20.6 ★★.**

Misalkan $p, q$ [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) $E$ dengan $p \circ q = q \circ p$. Buktikan bahwa $p \circ q$ sebuah [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection), dengan

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**Solusi Latihan 20.6.**

Di sini $(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (menurut komutasinya): jadi sebuah [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) ([Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

[Petanya](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$, dan $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$: sehingga termuat di irisannya. Sebaliknya, jika $x \in \operatorname{im} p \cap
\operatorname{im} q$, maka $p(x) = x$ dan $q(x) = x$ (karena titik tetapnya mencirikan [peta](#def-b1-linmaps-kerim) sebuah [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection)), sehingga $pq(x) = x$: jadi $x \in
\operatorname{im}(pq)$.

[Kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ dan demikian pula $\ker q
\subseteq \ker(pq)$: sehingga jumlahnya termuat. Sebaliknya, misalkan $pq(x) =
0$, lalu tulislah

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

maka suku pertamanya memenuhi $p(q(x)) = 0$, sehingga ia terletak di $\ker p$; sedangkan yang kedua berada di $\ker q$ karena $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$. Jadi $x \in \ker p + \ker q$.

**Latihan 20.7 ★★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(E)$, dengan $E$ yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). Buktikan kesetaraan antara:

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**Solusi Latihan 20.7.**

Perhatikanlah lebih dulu inklusi umumnya $\ker u \subseteq \ker u^2$ dan $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$, lalu menurut rank–nulitas, (2) $\iff$ (3) (karena [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang sama $\iff$ [rank](#def-b1-linmaps-rank) yang sama $\iff$ [peta](#def-b1-linmaps-kerim) yang sama, mengingat inklusinya).

(1 $\Rightarrow$ 2): misalkan $u^2(x) = 0$; maka $u(x) \in \ker u \cap
\operatorname{im} u = \{0\}$, sehingga $x \in \ker u$.

(2 $\Rightarrow$ 1): menurut Grassmann dan rank–nulitas, $\dim(\ker u +
\operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u -
\dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap
\operatorname{im} u)$: sehingga jumlahnya adalah $E$ jika dan hanya jika irisannya $\{0\}$. Misalkan $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$: maka $y = u(x)$ dan $u(y) = 0$, sehingga $u^2(x) = 0$, jadi (menurut (2)) $u(x) = 0$: sehingga $y = 0$. Jadi $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$.

**Latihan 20.8 ★★.**

Misalkan $\varphi, \psi$ [bentuk linear](#def-b1-linmaps-forms) pada $E$ dengan $\ker\varphi
\subseteq \ker\psi$. Buktikan $\psi = \lambda\varphi$ untuk suatu $\lambda \in K$ (termasuk kasus yang merosot).

**Solusi Latihan 20.8.**

Jika $\varphi = 0$: maka $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ memaksa $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$. Sedangkan jika $\varphi \neq 0$: maka $\ker\varphi$ sebuah [hiperbidang](#def-b1-linmaps-forms); pilihlah $a \notin \ker\varphi$. Tetapkanlah $\lambda =
\frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$. Maka bentuk $\psi - \lambda\varphi$ lenyap pada $\ker\varphi$ (karena keduanya demikian, menurut inklusinya) dan di $a$: sehingga ia lenyap pada $\ker\varphi \oplus Ka = E$. Jadi $\psi =
\lambda\varphi$.

**Latihan 20.9 ★★★.**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(E)$ dengan $\dim E = n$, dan andaikan $u^n = 0$ tetapi $u^{n-1} \neq 0$ (yaitu endomorfisma yang *nilpoten maksimal*). Pilihlah $x$ dengan $u^{n-1}(x) \neq 0$; lalu buktikan bahwa $\bigl(x, u(x), \dots,
u^{n-1}(x)\bigr)$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$. *(Terapkanlah pangkat $u$ pada sebuah kombinasi nol, dimulai dengan $u^{n-1}$.)*

**Solusi Latihan 20.9.**

Andaikan $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1}
u^{n-1}(x) = 0$. Terapkanlah $u^{n-1}$: maka semua suku berfaktor $u^{\geq
n}$ mati, sehingga menyisakan $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$, jadi $\lambda_0 = 0$. Lalu terapkanlah $u^{n-2}$ pada relasi yang tersisa: $\lambda_1 u^{n-1}(x) =
0$, sehingga $\lambda_1 = 0$; dan seterusnya. Jadi keluarganya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free); dan karena berukuran $n = \dim E$, ia sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ([Proposisi 19.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#prop-b1-findim-twoofthree)). (Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ini, $u$ bertindak sebagai geseran — yaitu model kenilpotenan yang maksimal.)

**Latihan 20.10 ★★★.**

Misalkan $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ dengan $f \circ f = -\mathrm{id}$.

1. Buktikan bahwa $f$ sebuah isomorfisma dan bahwa tak ada $x \neq 0$ yang memenuhi $f(x) = \lambda x$ dengan $\lambda \in \R$ .
2. Buktikan bahwa $n$ genap. *Petunjuk: pilihlah $x_1 \neq 0$; tunjukkan bahwa $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ merupakan bidang yang stabil di bawah $f$; lalu pilihlah $x_2$ di luarnya dan ulangi, sambil membuktikan bahwa $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ tetap [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).*

**Solusi Latihan 20.10.**

1. [Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $f \circ f = -\mathrm{id}$ bersifat [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) , sehingga $f$ demikian ( [Proposisi 1.26](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#prop-b1-logic-comp) yang disesuaikan: karena $f$ mempunyai invers dua sisinya $-f$ ). Jika $f(x) = \lambda x$ dengan $x \neq 0$ : maka menerapkan $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , sehingga $\lambda^2 = -1$ : yang mustahil di $\R$ .
2. Bangunlah keluarganya secara rakus. Ambillah $x_1 \neq 0$: maka $(x_1,  f(x_1))$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) menurut (1). Jika $\operatorname{Vect}$ atas keluarga yang berjalan $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k,  f(x_k)\bigr)$, yang kita sebut $V_k$ — yaitu [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang stabil di bawah $f$ (karena setiap pembangunnya terpetakan ke pembangun lain atau lawannya: $f(f(x_i)) = -x_i$) — bukan seluruh $E$, maka pilihlah $x_{k+1}  \notin V_k$. *Klaimnya: keluarga yang diperbesar itu [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).* Andaikan $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ dengan $v  \in V_k$ dan $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. Terapkanlah $f$: $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ dengan $f(v)  \in V_k$. Lalu hapuslah $f(x_{k+1})$ di antara kedua relasinya (kalikanlah yang pertama dengan $\alpha$, yang kedua dengan $-\beta$, lalu jumlahkan): $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ dan $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ memaksa $x_{k+1} \in V_k$: yang bertentangan. Jadi konstruksinya berlanjut, sambil menambahkan vektor *dua sekaligus*, sampai $V_k = E$: sehingga keluarga akhirnya sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) berukuran genap, jadi $n$ genap.

**Latihan 20.11 ★★.**

Misalkan $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, dengan ruang yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). Buktikan batas dua sisinya

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*(Untuk batas atasnya, bandingkanlah $\operatorname{im}(u+v)$ dengan $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$; sedangkan untuk yang bawah, terapkanlah batas atasnya dengan cerdik.)*

**Solusi Latihan 20.11.**

Batas atasnya: untuk setiap $x$, $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in
\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$, sehingga

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(menurut Grassmann, [Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-grassmann)). Adapun batas bawahnya: terapkanlah batas atasnya pada pasangan $(u + v, -v)$, yang jumlahnya $u$:

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

sehingga $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq
\operatorname{rk}(u+v)$; lalu menukar $u$ dan $v$ memberikan nilai mutlaknya.

**Latihan 20.12 ★★★.**

(Ketaksamaan Frobenius) Misalkan $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in
\mathcal{L}(F, G)$ dan $v \in \mathcal{L}(G, H)$, dengan semua ruangnya [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). Buktikan rumus yang persis

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

lalu simpulkanlah ketaksamaan Frobenius

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

Periksalah bahwa kasus $w = \mathrm{id}_F$ merupakan ketaksamaan Sylvester, yang dibuktikan dalam bentuk matriks pada [Latihan 21.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#exo-b1-matrices-10).

**Solusi Latihan 20.12.**

*Rumus yang persis.* Misalkan $v'$ pembatasan $v$ pada [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$. Maka [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) adalah $v(w(F)) =
\operatorname{im}(v \circ w)$, dan [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) adalah $\ker v \cap
\operatorname{im} w$. Lalu rank–nulitas bagi $v'$ pada ruang $\operatorname{im} w$:

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*Frobenius.* Terapkanlah rumus yang persis itu dua kali, pada $w$ dan pada $w \circ u$:

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

Dan karena $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im}
w$, irisan yang kedua termuat di yang pertama, sehingga dimensinya tak lebih besar:

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

yang tersusun ulang menjadi ketaksamaan Frobenius. Adapun dengan $w =
\mathrm{id}_F$ (yang [ber-rank](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, dan $\operatorname{im}\,
\mathrm{id}_F = F$): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u
\leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$, yaitu ketaksamaan Sylvester — yang dibuktikan lagi, dalam bentuk matriks, pada [Latihan 21.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#exo-b1-matrices-10).

## 20.6 Soal: kalkulus proyektor dan lema Fitting

**Soal 20.1.**

[Proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) adalah endomorfisma yang dihasilkan [jumlah langsung](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum), dan sebaliknya: karena setiap kesamaan $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ diam-diam merupakan sebuah keluarga proyektor yang berjumlah identitas. Soal ini mengembangkan kamus itu — yaitu aljabar satu proyektor, dua proyektor, dan $k$ proyektor — lalu menerapkan gagasan kestabilan yang sama pada sebarang endomorfisma dan membuktikan *lema Fitting*: bahwa setiap endomorfisma sebuah ruang yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) terbelah menjadi bagian nilpoten dan bagian yang dapat dibalik. Di sepanjang soal ini, $E$ adalah [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) atas $K$ yang berdimensi $n$, dan *proyektor* berarti $p \in \mathcal{L}(E)$ dengan $p^2 = p$ ([Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

**Bagian I — Aljabar di sekitar satu proyektor.** Misalkan $p$ sebuah proyektor, dengan $p \neq 0$, $p \neq \mathrm{id}$.

1. Tunjukkan bahwa $\mathrm{id} - p$ sebuah proyektor lalu kenalilah $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ dan $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
2. Hitunglah $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ lalu tentukanlah semua pasangan $(\lambda, \mu) \in K^2$ yang untuknya $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ merupakan proyektor.
3. Tunjukkan bahwa bidang $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ pada $\mathcal{L}(E)$ stabil terhadap komposisi, dan bahwa untuk setiap [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $Q \in K[X]$, $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. Tentukanlah untuk $(\lambda, \mu)$ yang mana [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ dapat dibalik, lalu berikanlah inversnya dalam bentuk $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Tafsirkanlah jawabannya lewat tindakan $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ pada $\operatorname{im} p$ dan pada $\ker p$ .
5. Misalkan $p'$ proyektor lain dengan *[peta](#def-b1-linmaps-kerim) yang sama* $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Tunjukkan bahwa $p\,p' = p'$ dan $p'\,p = p$ . Apa yang dikatakan kesamaan ini tentang menyusun [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) pada [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang sama sepanjang [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang berbeda?

**Bagian II — Dua proyektor.** Misalkan $p, q$ proyektor $E$; dan anggaplah karakteristiknya bukan $2$ (yang benar bagi $K = \R, \C$).

6. Andaikan $p + q$ sebuah proyektor. Dengan menjabarkan $(p + q)^2$ , tunjukkan $pq + qp = 0$ ; lalu dengan menyusunnya bersama $p$ di kiri, kemudian di kanan, simpulkanlah $pq = qp$ , lalu tutuplah dengan $pq = qp =  0$ .
7. Sebaliknya, andaikan $pq = qp = 0$. Tunjukkan bahwa $p + q$ sebuah proyektor, dengan $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. Tunjukkan bahwa $p - q$ merupakan proyektor jika dan hanya jika $pq = qp  = q$ . *(Terapkanlah pertanyaan 6–7 pada $\mathrm{id} - p$ dan $q$.)*
9. Tunjukkan makna geometri $pq = qp = q$ : bahwa ia berlaku jika dan hanya jika $\operatorname{im} q \subseteq  \operatorname{im} p$ dan $\ker p \subseteq \ker q$ . (Lalu kita menulis $q \leq p$ : “ $q$ memproyeksikan pada yang lebih sedikit, sepanjang yang lebih banyak”.)
10. Sekarang misalkan $p, q$ berkomutasi. Ingat kembali dari [Latihan 20.6](#exo-b1-linmaps-6) bahwa $pq$ merupakan proyektor pada $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ sepanjang $\ker p + \ker q$. Tunjukkan bahwa $r = p + q - pq$ sebuah proyektor dengan $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *(Tinjaulah $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} -  p)(\mathrm{id} - q)$.)*

**Bagian III — Penguraian identitasnya.**

11. Misalkan $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ dan, untuk $x = x_1 +  \dots + x_k$ (dengan penguraiannya yang tunggal, $x_i \in F_i$ ), tetapkanlah $p_i(x) = x_i$ . Tunjukkan bahwa setiap $p_i$ sebuah proyektor, bahwa $p_i p_j = 0$ untuk $i \neq j$ , dan bahwa $p_1 + \dots + p_k  = \mathrm{id}$ ; lalu kenalilah $\operatorname{im} p_i$ dan $\ker p_i$ .
12. Sebaliknya, misalkan $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ memenuhi $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ dan $p_i p_j =  0$ untuk setiap $i \neq j$ . Tunjukkan bahwa setiap $p_i$ sebuah proyektor dan bahwa $E = \operatorname{im} p_1 \oplus  \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
13. Untuk dua proyektor dengan $p + q = \mathrm{id}$ : tunjukkan bahwa $pq  = qp = 0$ berlaku secara otomatis.
14. Untuk tiga proyektor dengan $p + q + r = \mathrm{id}$ : tunjukkan bahwa $p + q$ sebuah proyektor, lalu simpulkanlah dari pertanyaan 6 bahwa *semua* hasil kali berpasangannya lenyap — sehingga $E =  \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus  \operatorname{im} r$ , tanpa hipotesis apa pun atas hasil kalinya.
15. Untuk $k$ proyektor dengan $p_1 + \dots + p_k =  \mathrm{id}$ : tunjukkan lebih dulu bahwa untuk sebarang [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) , $\dim  (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , dengan kesamaannya jika dan hanya jika jumlahnya langsung; lalu tunjukkan $E = \operatorname{im} p_1 + \dots +  \operatorname{im} p_k$ , lalu buktikanlah bahwa *jika* lebih lanjut $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , maka jumlahnya langsung dan $p_i p_j = 0$ untuk $i \neq j$ .

**Bagian IV — [Kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang berulang: lema Fitting.** Misalkan $u \in \mathcal{L}(E)$, dengan $\dim E = n$.

16. Tunjukkan kedua rantainya, yang sah untuk setiap $k \geq 0$: $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. Tunjukkan bahwa jika $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ untuk suatu $r$ , maka $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ untuk setiap $k \geq r$ ; lalu nyatakanlah dan buktikanlah kestabilan yang serupa bagi [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) .
18. Simpulkan bahwa ada bilangan bulat terkecil $r$ dengan $\ker  u^{r} = \ker u^{r+1}$ , bahwa $r \leq n$ , dan bahwa [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) stabil pada $r$ yang sama.
19. (Lema Fitting) Buktikan bahwa $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. Tunjukkan bahwa kedua [subruangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) stabil di bawah $u$ , bahwa pembatasan $u$ pada $\ker u^{r}$ bersifat nilpoten, dan bahwa pembatasan $u$ pada $\operatorname{im} u^{r}$ merupakan isomorfisma $\operatorname{im} u^{r}$ : sehingga setiap endomorfisma, pada sebuah [jumlah langsung](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) yang kanonik, bersifat “nilpoten tambah dapat dibalik”.
21. Misalkan $\pi$ proyektor pada $\ker u^{r}$ sepanjang $\operatorname{im} u^{r}$ . Tunjukkan bahwa $\pi \circ u = u  \circ \pi$ .

**Bagian V — Sebuah kasus yang dikerjakan, dan sintesisnya.**

22. Misalkan $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ pada $\R^3$ . Hitunglah $u^2$ dan $u^3$ , tentukanlah indeks kestabilannya $r$ , kedua [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $\ker u^{r}$ dan $\operatorname{im} u^{r}$ , proyektor Fittingnya $\pi$ , lalu periksalah pada rumusnya bahwa $\pi u = u\pi$ dan bahwa $u$ bersifat nilpoten pada satu faktornya, dan [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada yang lain.
23. Tunjukkan kesetaraannya: bahwa $u$ nilpoten $\iff$ $\ker u^{r} =  E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; lalu simpulkanlah bahwa endomorfisma nilpoten sebuah ruang berdimensi $n$ selalu memenuhi $u^{n} = 0$ (sehingga indeks kenilpotenannya tak pernah melampaui dimensinya).
24. (Ketunggalan) Andaikan $E = A \oplus B$ dengan $A, B$ yang stabil di bawah $u$ , dengan pembatasan $u|_A$ yang nilpoten dan $u|_B$ yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) . Buktikan $A = \ker u^{r}$ dan $B =  \operatorname{im} u^{r}$ : sehingga penguraian Fittingnya tunggal.
25. Sintesis, dalam empat kalimat: kamus apa yang ditegakkan Bagian III antara [jumlah langsung](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) dan keluarga proyektor; mengapakah pertanyaan 14 tak memerlukan hipotesis atas hasil kalinya sedangkan pertanyaan 15 memerlukan hipotesis [rank](#def-b1-linmaps-rank) (dan perkakas Tahun 2 yang mana, yaitu trace, yang menghapusnya); dalam arti apa lema Fitting merupakan versi yang distabilkan dari [Latihan 20.7](#exo-b1-linmaps-7) ; dan menjadi apa kedua faktor Fittingnya pada teori nilai eigen jilid Tahun 2 itu. Namailah teorema yang dibuktikan pada Bagian IV.

**Solusi Soal 20.1.**

**1.** Di sini $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 =
\mathrm{id} - p$: jadi sebuah proyektor. Jika $y = x - p(x)$, maka $p(y) =
p(x) - p^2(x) = 0$, dan sebaliknya $x \in \ker p$ memberikan $x =
(\mathrm{id} - p)(x)$: sehingga $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker
p$. Dan $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in
\operatorname{im} p$ (menurut titik tetapnya, [Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)): sehingga $\ker(\mathrm{id} - p) =
\operatorname{im} p$.

**2.** Di sini $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 =
\lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$. Adapun pasangan $(\mathrm{id}, p)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) di $\mathcal{L}(E)$: karena $p = c\,
\mathrm{id}$ akan memberikan $c^2 = c$, sehingga $p = 0$ atau $\mathrm{id}$, yang tersingkirkan. Lalu dengan mengenali koefisiennya, [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) merupakan proyektor jika dan hanya jika $\lambda^2 = \lambda$ dan $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$. Untuk $\lambda = 0$: $\mu \in \{0, 1\}$. Untuk $\lambda = 1$: $\mu^2 +
\mu = 0$, sehingga $\mu \in \{0, -1\}$. Jadi tepat empat proyektor pada bidangnya: $0$, $p$, $\mathrm{id}$, dan $\mathrm{id} - p$.

**3.** Di sini $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id}
+ \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' +
\mu\lambda' + \mu\mu')\,p$: sehingga bidangnya stabil terhadap komposisi. Dan karena $p^k = p$ untuk setiap $k \geq 1$, maka untuk $Q =
\sum_k a_k X^k$:

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** Pada $\operatorname{im} p$ (yang di situ $p$ bertindak sebagai identitas), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ mengalikan dengan $\lambda
+ \mu$; sedangkan pada $\ker p$, dengan $\lambda$. Dan karena $E = \operatorname{im} p
\oplus \ker p$, [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) bersifat [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) jika dan hanya jika $\lambda \neq 0$ dan $\lambda + \mu \neq 0$. Lalu memecahkan $\lambda\alpha = 1$, $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ pada aturan komposisi pertanyaan 3:

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

yang tindakannya berupa $1/\lambda$ pada $\ker p$ dan $1/(\lambda +
\mu)$ pada $\operatorname{im} p$, sebagaimana seharusnya.

**5.** Tulislah $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im}
p'$. Maka untuk setiap $x$, $p'(x) \in F$ dan $p$ menetapkan $F$ titik demi titik: sehingga $p(p'(x)) = p'(x)$, yakni $p\,p' = p'$; dan secara simetris $p'\,p =
p$. Jadi ketika dua [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) berbagi [petanya](#def-b1-linmaps-kerim), yang diterapkan *lebih dulu* yang memutuskan: karena keluarannya sudah terletak di $F$, yang di situ [proyeksi](#def-b1-linmaps-projection) yang luar bertindak sebagai identitas dan tak mengubah apa pun.

**6.** Di sini $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq +
qp$, sehingga $p + q$ yang proyektor memaksa $pq + qp = 0$. Lalu susunlah di kiri dengan $p$: $pq + pqp = 0$; dan di kanan dengan $p$: $pqp + qp
= 0$. Lalu menguranginya, $pq = qp$; sehingga $pq + qp = 2pq = 0$ dan karena karakteristiknya bukan $2$: maka $pq = qp = 0$.

**7.** Dengan $pq = qp = 0$, penjabaran yang sama memberikan $(p +
q)^2 = p + q$. Adapun [petanya](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(p + q) \subseteq
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ selalu. Sebaliknya, untuk $x \in \operatorname{im} p$: $q(x) = q(p(x)) = 0$, sehingga $(p +
q)(x) = p(x) = x$ dan $x \in \operatorname{im}(p+q)$; demikian pula bagi $\operatorname{im} q$. Adapun kelangsungannya: $x \in \operatorname{im} p
\cap \operatorname{im} q$ memberikan $x = p(x) = p(q(x)) = 0$. Adapun [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim): jika $p(x) + q(x) = 0$, maka menerapkan $p$ memberikan $p(x) +
p(q(x)) = p(x) = 0$, dan menerapkan $q$ memberikan $q(x) = 0$: sehingga $\ker(p
+ q) = \ker p \cap \ker q$ (dengan inklusi baliknya yang jelas).

**8.** Fungsi $p - q$ merupakan proyektor jika dan hanya jika $\mathrm{id} - (p - q) =
(\mathrm{id} - p) + q$ demikian (menurut pertanyaan 1 dua kali). Lalu menurut pertanyaan 6–7 yang diterapkan pada proyektor $\mathrm{id} - p$ dan $q$, ini berlaku jika dan hanya jika $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, yakni jika dan hanya jika $pq = q$ dan $qp = q$.

**9.** Persamaan $pq = q$ berarti $p$ menetapkan setiap $q(x)$, yakni $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p$. Sedangkan $qp = q$ berarti $q\bigl((\mathrm{id} -
p)(x)\bigr) = 0$ untuk setiap $x$, yakni $q$ lenyap pada $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$: sehingga $\ker p \subseteq
\ker q$. Kedua langkahnya berupa kesetaraan: jadi urutan $q \leq p$ mengatakan bahwa $q$ memproyeksikan pada [peta](#def-b1-linmaps-kerim) yang lebih kecil, sepanjang [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) yang lebih besar.

**10.** Dengan menjabarkannya, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) =
\mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$. Adapun proyektor $\mathrm{id} - p$ dan $\mathrm{id} - q$ berkomutasi, sehingga menurut [Latihan 20.6](#exo-b1-linmaps-6) hasil kalinya $\mathrm{id} - r$ merupakan proyektor pada $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap
\operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ sepanjang $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$. Lalu menurut pertanyaan 1, $r =
\mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ menjadi proyektor dengan $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im}
q$ dan $\ker r = \ker p \cap \ker q$.

**11.** [Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $p_i$ terdefinisi dengan baik (menurut ketunggalan penguraiannya) dan [linear](#def-b1-linmaps-def) (karena penguraian $x + \lambda y$ merupakan jumlah penguraiannya, kembali menurut ketunggalannya). Untuk $x_i
\in F_i$ penguraiannya adalah $x_i$ sendiri, sehingga $p_i(x_i) = x_i$: jadi $p_i^2 = p_i$, dan $p_j(x_i) = 0$ untuk $j \neq i$: sehingga $p_i p_j = 0$ (karena $p_j(x) \in F_j$). Lalu menjumlahkan komponennya, $\sum_i p_i =
\mathrm{id}$. Akhirnya $\operatorname{im} p_i = F_i$ dan $\ker
p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$.

**12.** Di sini $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j =
p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$: sehingga setiap $p_i$ sebuah proyektor. Lalu setiap $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ terletak di $\sum_i \operatorname{im} p_i$: sehingga [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) berjumlah $E$. Adapun kelangsungannya: andaikan $y_1 + \dots + y_k = 0$ dengan $y_i \in
\operatorname{im} p_i$, sehingga $p_i(y_i) = y_i$. Terapkanlah $p_j$: maka $p_j
(y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ untuk $i \neq j$, sehingga $0 = p_j\bigl(\sum
y_i\bigr) = y_j$, untuk setiap $j$. Jadi $E = \bigoplus_i
\operatorname{im} p_i$.

**13.** Di sini $q = \mathrm{id} - p$, lalu pertanyaan 1 memberikan $pq =
p - p^2 = 0 = qp$ secara langsung: jadi bagi dua proyektor, berjumlah identitas sudah memaksa keortogonalan pasangannya.

**14.** Di sini $p + q = \mathrm{id} - r$ dengan $r$ sebuah proyektor, dan $(\mathrm{id} - r)$ merupakan proyektor (pertanyaan 1): sehingga $p + q$ sebuah proyektor, lalu pertanyaan 6 memberikan $pq = qp = 0$. Lalu menurut kesimetriannya (karena $q +
r = \mathrm{id} - p$ dan $p + r = \mathrm{id} - q$), semua hasil kali berpasangannya lenyap, dan pertanyaan 12 menyimpulkannya: $E =
\operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus
\operatorname{im} r$, secara otomatis.

**15.** *Lemanya.* Lewat induksi dengan Grassmann ([Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-grassmann)):

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

Jika totalnya berupa kesamaan, maka setiap langkahnya demikian: $(F_1 + \dots +
F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ untuk setiap $j$, sehingga sebuah relasi $y_1 +
\dots + y_k = 0$ (dengan $y_i \in F_i$) runtuh dari kanannya: $y_k
\in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$, lalu $y_{k-1} =
0$, dan seterusnya: jadi jumlahnya langsung. Sebaliknya [jumlah langsung](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) mempunyai dimensi yang aditif (rangkaikanlah basisnya). *Penerapannya:* $x = \sum_i p_i(x)$ menunjukkan $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, sehingga $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$; lalu hipotesisnya memberikan kesamaan, jadi kelangsungannya. Adapun hasil kalinya: tetapkanlah $j$ dan $y \in
\operatorname{im} p_j$. Maka $y = \sum_i p_i(y)$ dengan $p_i(y)
\in \operatorname{im} p_i$, sedangkan $y = y$ juga sebuah penguraian (dengan komponen $j$ belaka); sehingga ketunggalannya memaksa $p_i(y)
= 0$ untuk $i \neq j$. Lalu diterapkan pada $y = p_j(x)$: $p_i p_j = 0$.

**16.** Jika $u^k(x) = 0$ maka $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$. Dan $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq
u^k(E) = \operatorname{im} u^k$.

**17.** Anggaplah $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ lalu misalkan $x \in
\ker u^{r+2}$: maka $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, sehingga $u^{r+1}(x) = 0$: jadi $x \in \ker u^{r+1}$. Digabung dengan pertanyaan 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$, dan lewat induksi semua [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) berikutnya berimpit dengan $\ker u^{r}$. Adapun bagi [petanya](#def-b1-linmaps-kerim): rank–nulitas memberikan $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$, sehingga dimensi [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) membeku persis ketika dimensi [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) juga demikian, lalu dengan inklusi pertanyaan 16, dimensi yang sama berarti [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) yang sama ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-subspaces)).

**18.** Barisan $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ bersifat tidak turun dengan nilai di $\intint{0}{n}$; sehingga ia tak dapat naik tegas $n + 1$ kali, jadi suatu $\dim\ker u^{r} = \dim\ker
u^{r+1}$ dengan $r \leq n$, sehingga $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (menurut inklusinya ditambah dimensi yang sama). Ambillah $r$ yang terkecil; lalu pertanyaan 17 membekukan segalanya mulai $r$, termasuk [petanya](#def-b1-linmaps-kerim).

**19.** Irisannya: misalkan $x \in \ker u^{r} \cap
\operatorname{im} u^{r}$, katakanlah $x = u^{r}(y)$ dengan $u^{r}(x) =
0$. Maka $u^{2r}(y) = 0$, dan $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (pertanyaan 17), sehingga $x = u^{r}(y) = 0$. Adapun dimensinya: rank–nulitas bagi $u^{r}$ memberikan $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r}
= n$; lalu dengan irisan yang sepele, Grassmann membuat jumlahnya menjadi [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) berdimensi $n$: sehingga $E = \ker u^{r} \oplus
\operatorname{im} u^{r}$.

**20.** Kestabilannya: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ untuk $x
\in \ker u^{r}$; dan $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in
\operatorname{im} u^{r}$. Pada $N = \ker u^{r}$: $(u|_N)^{r} = 0$ menurut definisi $N$: jadi nilpoten. Sedangkan pada $I = \operatorname{im}
u^{r}$: $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I
= \{0\}$, sehingga $u|_I$ merupakan endomorfisma [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada $I$ yang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def), jadi [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) ([Akibat 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

**21.** Misalkan $x = a + b$ dengan $a \in N$, $b \in I$. Maka $u(x) = u(a) + u(b)$ dengan $u(a) \in N$ dan $u(b) \in I$ (pertanyaan 20): dan inilah *persis* penguraian $u(x)$, sehingga $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$: jadi $\pi u = u\pi$.

**22.** Di sini $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ dan $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$. Adapun [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker u
= \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z =
0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$: sehingga stabil pada $r = 2$. Adapun [petanya](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im} u^2 =
\operatorname{Vect}(e_3)$. Lalu Fitting: $\R^3 =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$, dan $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$. Periksa: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0,
z) = (y, 0, 0)$ dan $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$: jadi sama. Pada faktor pertamanya $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, yang berkuadrat $0$: jadi nilpoten; sedangkan pada yang kedua $u(0,0,z) = (0,0,z)$: yaitu identitasnya, jadi [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj).

**23.** Jika $u^m = 0$ maka $\ker u^m = E$; dan karena [kernelnya](#def-b1-linmaps-kerim) membeku mulai $r$, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$. Sebaliknya $\ker u^{r} = E$ berarti $u^{r} = 0$. Dan $\ker u^{r} =
E \iff$ proyektor Fittingnya memetakan pada $E$ sepanjang $\{0\}$, yakni $\pi = \mathrm{id}$. Akhirnya $r \leq n$ (pertanyaan 18) memberikan: bahwa setiap endomorfisma nilpoten memenuhi $u^{n} = 0$ — sehingga indeks kenilpotenannya tak pernah melampaui dimensinya.

**24.** Misalkan $m$ sebuah indeks kenilpotenan $u|_A$: maka $A
\subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$. Dan karena $u|_B$ [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq
\operatorname{im} u^{k}$ untuk setiap $k$, khususnya $B
\subseteq \operatorname{im} u^{r}$. Lalu

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

jadi kedua inklusinya berupa kesamaan dimensi, sehingga kesamaan [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace): $A = \ker u^{r}$, $B = \operatorname{im} u^{r}$.

**25.** (i) Bagian III merupakan sebuah kamus: bahwa pembelahan $E = F_1
\oplus \dots \oplus F_k$ tepat bersesuaian dengan keluarga proyektor dengan $\sum p_i = \mathrm{id}$ dan $p_i p_j = 0$, dengan $F_i$ sebagai [petanya](#def-b1-linmaps-kerim). (ii) Untuk $k = 3$ [pelengkapnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) $\mathrm{id} - p_i$ sendirinya berupa proyektor, yang menutup argumennya tanpa hipotesis tambahan; sedangkan untuk $k$ yang umum kita memerlukan $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$, yaitu ketaksamaan yang diberikan trace Tahun 2 secara cuma-cuma (karena $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk}
p$ bagi sebuah proyektor, dan tracenya berjumlah $\operatorname{tr}
\mathrm{id} = n$). (iii) Adapun [Latihan 20.7](#exo-b1-linmaps-7) merupakan lema Fitting pada kasus yang sudah stabil $r \leq 1$; sedangkan secara umum kita membiarkan rantai [kernel](#def-b1-linmaps-kerim) dan [petanya](#def-b1-linmaps-kerim) membeku, yang memakan paling banyak $n$ langkah. (iv) Pada jilid Tahun 2, bila diterapkan pada $u - \lambda\,
\mathrm{id}$, faktor nilpotennya menjadi ruang eigen yang tersamaratakan di $\lambda$ dan proyektor Bagian III menjadi proyektor spektral teori reduksinya. Adapun teorema Bagian IV adalah *lema Fitting*.