---
title: "Matriks"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks
---

# Bab 21 — Matriks

Sebuah matriks adalah [pemetaan linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang ditulis dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates). Bab ini menyiapkan kamusnya — komposisi menjadi hasil kali matriks, kebijektifan menjadi keterbalikan, dan [perubahan basis](#def-b1-matrices-changeofbasis) menjadi konjugasi — beserta sisi algoritmisnya: yaitu [operasi baris](#met-b1-matrices-gauss), perhitungan rank dan invers. Setelah pertama kali ditemui pada jilid Sekolah Menengah, matriks kini berpijak pada teori Bab [18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#ch-b1-findim) dan [20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps).

## 21.1 Matriks dan pemetaan linear

**Definisi 21.1.**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ adalah [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) berisi larik $n \times p$ yaitu $A
= (a_{ij})$ berisi skalar ($i$: barisnya, $j$: kolomnya), yang berdimensi $np$ (dengan basisnya: matriks $E_{ij}$ yang bernilai $1$ tunggal). Diberikan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ pada $E$ dan $\mathcal{C}$ pada $F$ (dengan $\dim F = n$), *matriks $u \in \mathcal{L}(E, F)$* adalah larik yang kolom ke-$j$-nya mendaftar [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $u(e_j)$ pada $\mathcal{C}$:

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

Adapun [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ merupakan isomorfisma dari $\mathcal{L}(E, F)$ pada $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ ([Proposisi 20.2](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#prop-b1-linmaps-basis): karena [pemetaan linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) tepat merupakan pemilihan peta $e_j$-nya).

**Contoh 21.2 (Turunan, sebagai sebuah matriks).**

Misalkan $D(P) = P'$ pada $\R_3[X]$. Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) monomialnya $(1, X, X^2,
X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, sehingga

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Sedangkan pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang *terbagi* $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\
\frac{X^3}6\bigr)$, setiap vektor basisnya terpetakan ke yang sebelumnya (karena $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), dan matriksnya menjadi geseran murni: yaitu satuan pada superdiagonalnya, dan nol di tempat lain. Ada dua moralnya: bahwa matriksnya milik *pasangan* ([pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map), [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)), bukan [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) belaka; dan bahwa [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang baik membuat strukturnya kasatmata sekali pandang — karena bentuk geserannya seketika menunjukkan bahwa $D^4 = 0$ pada $\R_3[X]$, dengan setiap pangkat matriksnya mendorong diagonal satuannya satu langkah lebih jauh ke luar.

**Definisi 21.3 (Hasil kali).**

Untuk $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ dan $B \in \mathcal{M}_{p,q}$:

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

Dan inilah persis matriks komposisinya: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (dengan basisnya cocok di tengah). Demikian pula, jika $X$ kolom [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) $x$, maka kolom $u(x)$ adalah $AX$.

**Bukti rumus komposisinya.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**Proposisi 21.4 (Aljabar Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

Matriks persegi $\mathcal{M}_n(K)$ membentuk [ring](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-ring) (yang takkomutatif untuk $n
\geq 2$), dengan identitasnya $I_n$; dan [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) satuannya adalah *grup linear umum* $GL_n(K)$, yang bersesuaian dengan endomorfisma yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Untuk $A, B \in
\mathcal{M}_n(K)$:

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ dan } B = A^{-1}
$$

(karena invers sepihaknya menjadi dua sisi, menurut [Akibat 20.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#cor-b1-linmaps-samedim)).

**Bukti.** Aksioma [ringnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-ring) terangkut dari $\mathcal{L}(E)$ lewat isomorfisma pada [Definisi 21.1](#def-b1-matrices-def): karena ia mengubah komposisi menjadi hasil kali dan jumlah menjadi jumlah, sehingga keasosiatifan, kedistributifan dan peran $I_n$ terwarisi dari fakta yang bersesuaian tentang [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map), tanpa pemeriksaan entri demi entri. Adapun ketakkomutatifannya: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22}
= E_{21}E_{12}$. Jika $AB = I_n$: maka endomorfisma $a$ milik $A$ memenuhi $a \circ b = \mathrm{id}$, sehingga $a$ bersifat [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena $x =
a(b(x))$ menunjukkan sebuah [prapeta](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) bagi setiap $x$), jadi [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dalam [dimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) ([Akibat 20.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#cor-b1-linmaps-samedim)); lalu menyusun $a
\circ b = \mathrm{id}$ dengan $a^{-1}$ di kiri memberikan $b =
a^{-1}$, dan lalu $b\circ a = \mathrm{id}$ pula: sehingga invers sepihaknya sejak awal dua sisi — yaitu bantuan yang tegas [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def). ∎

**Definisi 21.5 (Transpos; trace).**

*Transpos* $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ adalah $A^{\mathsf T}
= (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$; yang memenuhi $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}
A^{\mathsf T}$ dan $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$. Sedangkan *trace* sebuah matriks persegi adalah $\operatorname{tr} A
= \sum_i a_{ii}$; yang bersifat [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), dan

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**Bukti kesamaan tracenya.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ dan $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: yaitu jumlah rangkap yang sama. ∎

**Contoh 21.6 (Trace dalam kerja).**

[Proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) ke $\operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $\operatorname{Vect}(0,1)$, yaitu $p(x, y) = (x, x)$, bermatriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 &
0\end{pmatrix}$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya: memang $A^2 = A$, dan

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

yang memperlihatkan [Latihan 21.8](#exo-b1-matrices-8): bahwa bagi yang idempoten [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) *mencacah* dimensi petanya, pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) semiring apa pun matriksnya ditulis. Adapun mekanisme kekekalannya adalah kesamaan $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

sehingga semua matriks yang serupa dengan $A$ berbagi [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) — yaitu *invarian numerik* yang pertama bagi sebuah endomorfisma, yang akan disusul oleh determinan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) (yakni pasangan $(s, p)$ pada soal akhir pekan di bawah).

**Contoh 21.7 (Setangkup tambah antisetangkup).**

Sebutlah $A$ *setangkup* bila $A^{\mathsf T} = A$, dan *antisetangkup* bila $A^{\mathsf T} = -A$. Maka setiap matriks persegi terbelah secara tunggal menjadi yang satu tambah yang lain:

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{setangkup}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisetangkup}},
$$

dan matriks yang sekaligus keduanya bernilai nol (karena $A = -A$): sehingga kedua [himpunannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) merupakan [subruang yang saling melengkapi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) pada $\mathcal{M}_n(K)$ — yaitu padanan yang persis bagi pembelahan genap/ganjil fungsi ([Contoh 18.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ex-b1-vspaces-evenodd)), dengan transposisi memainkan peran $x \mapsto -x$. Adapun dimensinya: matriks setangkup bersifat [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada dan di atas diagonalnya, sedangkan yang antisetangkup tegas di atasnya (karena diagonalnya nol):

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

dan cacah yang berimbang itu merupakan penegasan Grassmann atas kelangsungannya. Untuk $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 &
2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Adapun matriks setangkup kembali sebagai data [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) kedua pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar) (yaitu tripel Monge $r, s, t$), sedangkan yang setangkup sekaligus ortogonal digolongkan pada [Latihan 23.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#exo-b1-euclid-12).

## 21.2 Perubahan basis

**Definisi 21.8.**

Misalkan $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada $E$. Maka *matriks perubahan basis* $P =
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ berkolomkan [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) vektor [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang *baru* pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang *lama*. Ia dapat dibalik, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, dan [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) berubah lewat $X = PX'$ (yaitu lama $=$ $P\,\cdot$ baru).

**Contoh 21.9 (Membaca matriks perubahan basisnya).**

Di dalam $\R^2$, dari $\mathcal B$ yang kanonik ke $\mathcal B' =
\bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(dengan vektor barunya ditulis dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) lamanya, kolom demi kolom). Maka vektor berkoordinat lama $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ berkoordinat baru $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} =
(2, 1)^{\mathsf T}$: memang $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Awas arahnya — karena matriks $P$ dibangun dari [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang *baru* tetapi mengubah [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) *baru menjadi lama* ($X = PX'$); sedangkan beralih dari lama ke baru berongkos inversnya. Jadi menuliskan periksa kewarasannya $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ setelah setiap pengalihan menangkap galat $P$ yang terbalik, yang merupakan kesalahan paling lazim pada bab ini.

**Teorema 21.10 (Perubahan basis bagi sebuah pemetaan).**

Misalkan $u \in \mathcal{L}(E)$ bermatriks $A$ pada $\mathcal{B}$ dan $A'$ pada $\mathcal{B}'$, dan $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Maka

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

Dua matriks yang berkaitan dengan cara ini disebut *serupa*. (Adapun untuk $u \colon E \to F$ dengan dua pasang [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), rumusnya adalah $A' = Q^{-1} A P$ — yaitu matriks yang *setara* satu sama lain.)

**Bukti.** Untuk sebarang $x$: $X = PX'$ dan petanya memenuhi $Y = AX$, $Y = PY'$. Sehingga $PY' = APX'$, yakni $Y' = (P^{-1}AP)X'$ untuk setiap $X'$: jadi matriks $u$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) barunya adalah $P^{-1}AP$ (ambillah kolom kanoniknya bagi $X'$). ∎

**Contoh 21.11 (Basis yang baik membuat sebuah pemetaan bening).**

Misalkan $u(x, y) = (y, x)$ (yaitu penukaran), yang bermatriks $A = \begin{pmatrix} 0
& 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya. Adapun pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

Sesungguhnya tak ada hasil kali matriks yang diperlukan: karena $u$ menetapkan $(1,1)$ dan membalikkan $(1,-1)$, sehingga pada $\mathcal B'$ matriksnya *pasti* $\operatorname{diag}(1, -1)$ — jadi penukarannya adalah pencerminan terhadap garis $y = x$. Adapun mencari, bagi sebuah endomorfisma yang diberikan, sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang di situ matriksnya menjadi diagonal merupakan masalah pusat jilid Tahun 2 (yaitu teori reduksinya); sedangkan soal akhir pekan di bawah menunjukkan sejauh apa kesamaan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) belaka sudah melangkah.

**Contoh 21.12 (Perubahan basis, yang dijalankan terbalik).**

[Proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G =
\operatorname{Vect}(1,-1)$ mempunyai, pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan $\mathcal
B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, matriks yang bening $A' =
\operatorname{diag}(1, 0)$. Untuk memperoleh matriks [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya, jalankanlah [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) mundur, $A = P A'
P^{-1}$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

Periksa: $A^2 = A$ (jadi idempoten), $\operatorname{tr} A = 1 =
\operatorname{rk} A$, dan $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, sebagaimana ditetapkan. Adapun arah terbalik ini — rancanglah matriksnya pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang baik, lalu konjugasikan kembali — itulah cara matriks rotasi, pencerminan dan [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) sesungguhnya diproduksi dalam praktik.

**Teorema 21.13 (Bentuk normal rank).**

*Rank* sebuah matriks (yaitu rank kolomnya, setara dengan itu rank [pemetaan linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang berkaitan) merupakan satu-satunya invarian kesetaraannya: karena setiap $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ yang ber-rank $r$ setara dengan

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

dan $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: jadi rank barisnya sama dengan rank kolomnya.

**Bukti.** Misalkan $u \colon E \to F$ ber-rank $r$. Pilihlah sebuah [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) $S$ bagi $\ker u$ (dengan $\dim S = r$, [Teorema 20.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#thm-b1-linmaps-ranknullity)) berbasis $(e_1, \dots, e_r)$, yang dilengkapi oleh [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\ker u$ menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E$; maka peta $f_i = u(e_i)$, dengan $i \leq r$, membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\operatorname{im} u$ (karena pembatasannya sebuah isomorfisma), yang dilengkapi menjadi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $F$. Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) inilah matriks $u$ tepat menjadi $J_r$. Sehingga $A = Q J_r P^{-1}$ untuk $P, Q$ yang dapat dibalik.

Lalu mentransposkannya: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ dengan $J_r^{\mathsf T}$ yang berbentuk sama (ber-rank $r$) dan faktor luarnya yang dapat dibalik (karena transpos yang dapat dibalik pun dapat dibalik, dari $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ yang diterapkan pada $AA^{-1} = I$): sehingga $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 Operasi baris

**Metode 21.14 (Penghapusan Gauss pada matriks).**

Ketiga *operasi baris elementer*nya — menukar dua baris, mengalikan sebuah baris dengan $\lambda \neq 0$, dan menambahkan kelipatan sebuah baris pada baris lain — tak mengubah ranknya (karena masing-masingnya berupa perkalian kiri dengan matriks yang dapat dibalik). Adapun algoritmanya: ciptakanlah sebuah poros (yaitu entri taknol yang paling kiri), bersihkanlah kolomnya di bawahnya, lalu berpindahlah ke baris dan kolom berikutnya; dan cacah poros bentuk eselon yang dihasilkannya adalah ranknya.

*Perhitungan inversnya:* jalankanlah algoritmanya pada blok $(A \mid
I_n)$ sampai blok kirinya menjadi $I_n$ (yang mungkin jika dan hanya jika $A$ dapat dibalik); maka blok kanannya lalu menjadi $A^{-1}$ — memang hasil kali matriks elementer yang dipakai sama dengan $A^{-1}$.

**Contoh 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: reduksikanlah $(A \mid
I_2)$:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(dengan operasinya: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$; lalu $L_1 \leftarrow L_1
+ L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). Sehingga $A^{-1} =
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$. *Periksa:* $AA^{-1} = I_2$.

**Contoh 21.16 (Rank dengan sebuah parameter, lewat baris belaka).**

Untuk $m \in \R$, carilah rank $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{pmatrix}$. Reduksikanlah: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ dan $L_3
\leftarrow L_3 - mL_1$ memberikan baris

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*Kasus $m = 1$*: kedua baris terakhirnya lenyap — jadi satu poros, sehingga $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (karena ketiga baris aslinya sama). *Kasus $m \neq 1$*: skalakanlah $L_2$ dengan $\frac1{m-1}$ dan $L_3$ dengan $\frac1{1-m}$ untuk memperoleh $(0, 1, -1)$ dan $(0, 1, 1 + m)$, lalu $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$. Jika $m = -2$: maka dua poros, jadi ber-rank $2$; kalau tidak tiga poros, jadi ber-rank $3$. Ringkasnya:

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{jika tidak}.
\end{cases}
$$

Ambang yang sama akan jatuh dari satu perhitungan determinan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) (yaitu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ pada [Latihan 22.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#exo-b1-det-7)) — tetapi perhatikanlah apa yang diberikan penghapusannya yang tak diberikan determinannya: yaitu *nilai* ranknya pada kasus yang merosot, bukan sekadar fakta bahwa ia turun.

**Contoh 21.17 (Menghitung pangkat).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ dengan $N =
E_{12}$, $N^2 = 0$. Dan karena $I$ dan $N$ berkomutasi, teorema binomialnya ([Proposisi 7.20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#prop-b1-structures-binomial)) terpenggal:

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ dan } k \in \Z \text{ dengan memakai } A^{-1} = I -
N).
$$

**Metode 21.18 (Menghitung AnA^nAn: ketiga rutenya).**

1. *Rute binomial* : jika $A = \lambda I + N$ dengan $N$ yang nilpoten, maka teorema binomialnya terpenggal ( [Contoh 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , [Latihan 21.5](#exo-b1-matrices-5) ); dan ia berlaku karena $\lambda I$ berkomutasi dengan segalanya.
2. *Rute [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)* : carilah sebuah kesamaan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang dipenuhi $A$ (pada dimensi $2$ , selalu $A^2 = sA -  pI$ ) lalu reduksikanlah $X^n$ modulo ia; adapun soal akhir pekan di bawah membangun rute ini sepenuhnya.
3. *Rute keserupaan* : carilah $P$ yang dapat dibalik dengan $P^{-1}AP = D$ yang sederhana (yaitu diagonal, atau geseran), hitunglah $D^n$ , lalu balikkanlah: $A^n = P D^n P^{-1}$ ( [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , [Contoh 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ); adapun pencarian sistematis atas $P$ yang demikian adalah teori reduksi Tahun 2.

Rute mana pun yang dipakai, periksalah hasilnya pada $n = 0, 1, 2$: yaitu tiga uji yang murah yang menangkap hampir setiap keteledoran.

**Catatan 21.19 (Jebakan yang lazim: harga ketakkomutatifannya).**

Setiap kesamaan aljabar skalar yang buktinya mengurutkan ulang faktornya mati di $\mathcal{M}_n(K)$, dengan $n \geq 2$. *Kuadratnya*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, dan bagian tengahnya runtuh menjadi $2AB$ hanya bila $AB = BA$ ([Latihan 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *Pangkat hasil kalinya*: $(AB)^k$ adalah $ABAB\cdots$, bukan $A^kB^k$. *Pembagi nolnya*: $E_{12}E_{12} = 0$ dengan $E_{12} \neq 0$; sehingga *tak ada pencoretan*: karena $AB = AC$ mengakibatkan $B = C$ hanya ketika $A$ dapat dibalik (kalikanlah dengan $A^{-1}$ — pada sisi yang benar). *[Tracenya](#def-b1-matrices-transpose)*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ selalu, tetapi $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ pada umumnya (ambillah $A = B =
I_2$: $2 \neq 4$), dan $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (secara berdaur) sedangkan $\operatorname{tr}(ACB)$ boleh berbeda. *Transposnya membalikkan*: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf
T}A^{\mathsf T}$ — adapun melupakan pembalikannya merupakan galat yang paling lazim pada perhitungan keortogonalan ([Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid)). Jadi bila ragu, ujilah sebarang kesamaan yang diklaim pada $E_{12}$ dan $E_{21}$: karena pasangan takkomutatif yang terkecil membantah kebanyakan rumus yang salah dalam satu baris.

**Catatan 21.20 (Ke mana kamusnya pergi).**

Kamus matriksnya dipakai pada setiap halaman sisa jilid ini: [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) melekatkan pada setiap matriks persegi satu bilangan yang memutuskan keterbalikannya, lalu memecahkan $AX = B$ secara sistematis; [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) memilih matriks yang mengawetkan panjangnya (yaitu matriks ortogonal); sedangkan pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), perilaku orde dua sebuah fungsi dua variabel berupa matriks setangkup $2 \times 2$. Adapun [tracenya](#def-b1-matrices-transpose), yang diperkenalkan di atas nyaris sambil lalu, menjadi invarian yang ampuh: Latihan [21.6](#exo-b1-matrices-6) dan [21.8](#exo-b1-matrices-8) memberikan cicipan pertamanya, dan jilid Tahun 2 membangun teori nilai eigen di atasnya. Sedangkan soal akhir pekannya mengembangkan kuda beban yang lain: yaitu kesamaan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang dipenuhi sebuah matriks, yang mengubah perhitungan $A^n$ menjadi [rekurensi linear](#pb-b1-matrices-1) bersuku dua.

**Catatan 21.21 (Cakrawala di dalam Buku 3).**

Tiga keluarga matriks yang diperkenalkan di sini mempunyai janji nanti dalam jilid ini. *Matriks setangkup* ([Contoh 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) membawa data orde dua bagi fungsi dua variabel: karena uji Monge pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar) merupakan [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) tentang perilaku tanda sebuah matriks setangkup $2\times2$, dan determinannya $rt - s^2$ dihitung oleh mesin [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det). *Matriks ortogonal* ($A^{\mathsf T}A = I$) merupakan isometri [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid), yang di situ transposnya akhirnya memperoleh makna geometrinya: yaitu bayangan aljabar hasil kali dalamnya. *Matriks yang dapat dibalik* bertemu uji praktisnya pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) — yaitu satu bilangan, $\det A \neq 0$ — yang menutup pencarian yang dimulai bab ini dengan reduksi baris. Lalu [trace](#def-b1-matrices-transpose) dan determinannya berjalan sebagai pasangan invarian $(s, p)$ pada soal akhir pekannya, sampai ke teori nilai eigen Tahun 2.

## 21.4 Latihan

**Latihan 21.1 ★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Hitunglah $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ dan $(A+B)(A-B)$; lalu jelaskanlah mengapa dua yang terakhir berbeda.

**Solusi Latihan 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

Keduanya berbeda sebesar $BA - AB \neq 0$: karena kesamaan $(a+b)(a-b) = a^2 -
b^2$ menuntut kekomutatifan, yang gagal di sini.

**Latihan 21.2 ★.**

Hitunglah rank

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 21.2.**

$M$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ membunuh baris keduanya; $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ memberikan $(0, -1, -2)$. Dua poros: $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$: $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ memberikan $(0,1,1,1) = L_2$; lalu $L_3
\leftarrow L_3 - L_2 = 0$. Dua poros: $\operatorname{rk} N = 2$.

**Latihan 21.3 ★.**

Balikkanlah, lewat reduksi baris, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 &
1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, lalu periksalah pada satu hasil kali.

**Solusi Latihan 21.3.**

Mereduksi $(A \mid I_3)$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

lalu $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$:

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*Periksa:* baris pertama $A$ kali kolom pertama $A^{-1}$: $1
\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$; kali kolom kedua: $1 - 0 -
1 = 0$; kali yang ketiga: $-1 + 0 + 1 = 0$.

**Latihan 21.4 ★.**

Tulislah matriks, pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanonik $\R_2[X]$, bagi endomorfisma $u(P) = P(X + 1)$. Jelaskanlah, tanpa perhitungan, mengapa ia dapat dibalik, lalu berikanlah matriks $u^{-1}$.

**Solusi Latihan 21.4.**

$u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: kolom [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) pada $(1, X, X^2)$ memberikan

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

$u$ dapat dibalik karena ia mempunyai invers yang jelas $P \mapsto P(X
- 1)$ (yaitu komposisi penyulihan). Matriksnya diperoleh dengan cara yang sama dari $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$:

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Latihan 21.5 ★★.**

Misalkan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Tulislah $A =
2I + N$, hitunglah $N^2$, lalu simpulkanlah $A^k$ untuk setiap $k \in \N$ lewat teorema binomialnya.

**Solusi Latihan 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Karena $2I$ dan $N$ berkomutasi, penjabaran binomialnya terpenggal setelah dua suku:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(Periksa $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, yang benar lewat hasil kali langsung.)

**Latihan 21.6 ★★.**

Buktikan bahwa tak ada matriks $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (dengan $K = \R$ atau $\C$) sedemikian sehingga $AB - BA = I_n$. *(Ambillah [tracenya](#def-b1-matrices-transpose).)*

**Solusi Latihan 21.6.**

[Trace](#def-b1-matrices-transpose): $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ ([Definisi 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), sedangkan $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ di dalam $\R$ atau $\C$. Jadi tak ada penyelesaian. (Pada ruang berdimensi takhingga kesamaannya *memang* terwujudkan — penurunan dan perkalian dengan $x$ memenuhinya — justru karena tak ada [trace](#def-b1-matrices-transpose) di sana.)

**Latihan 21.7 ★★.**

Sebuah matriks $A$ disebut *nilpoten* bila $A^m = 0$ untuk suatu $m$. Buktikan bahwa $I - A$ lalu dapat dibalik, dengan

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

Penerapannya: balikkanlah $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &
1\end{pmatrix}$.

**Solusi Latihan 21.7.**

Hasil kali teleskopik, dengan semua pangkat $A$ yang berkomutasi:

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

dan [Proposisi 21.4](#prop-b1-matrices-ring) meningkatkan invers sepihaknya. Adapun untuk penerapannya: matriks yang diberikan adalah $I + N$ dengan

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

sehingga, dengan mengganti $A$ dengan $-N$ pada rumusnya:

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Latihan 21.8 ★★.**

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ memenuhi $A^2 = A$ (yaitu idempoten). Buktikan bahwa $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(Tafsirkanlah $A$ sebagai sebuah [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) lalu pilihlah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan; adapun [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) mengatakan bahwa [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) tak bergantung pada basisnya karena $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**Solusi Latihan 21.8.**

$A^2 = A$: jadi endomorfisma $a$ merupakan [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) ([Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#thm-b1-linmaps-projchar)), $E = \operatorname{im} a \oplus
\ker a$ dengan $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) yang disesuaikan dengan penguraian ini ($r$ vektor peta, lalu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kernelnya), matriks $a$ adalah $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, yang bertrace $r$. Adapun [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) invarian terhadap [perubahan basis](#def-b1-matrices-changeofbasis): $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ menurut kesamaan berdaurnya. Maka $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**Latihan 21.9 ★★★.**

Misalkan $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ matriks serba satu. Hitunglah $J^2$, lalu simpulkanlah, untuk $a, b \in \R$, syarat keterbalikan $M
= aI + bJ$ beserta $M^{-1}$ *(carilah invers yang berbentuk sama $\alpha I + \beta J$)*.

**Solusi Latihan 21.9.**

$J^2 = nJ$ (karena setiap entri $J^2$ menjumlahkan $n$ satuan). Carilah $M^{-1} =
\alpha I + \beta J$:

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

Ini sama dengan $I$ jika dan hanya jika $a\alpha = 1$ dan $a\beta + b\alpha + nb\beta =
0$, yaitu $\alpha = \frac1a$ dan $\beta(a + nb) = -\frac ba$. Jika $a
\neq 0$ dan $a + nb \neq 0$:

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

Sebaliknya, jika $a = 0$: maka $M = bJ$ ber-rank $\leq 1 < n$ (untuk $n \geq
2$): jadi tak dapat dibalik ($n = 1$ merupakan kasus skalarnya). Jika $a + nb = 0$: maka vektor $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ memenuhi $Mv = (a +
nb)v = 0$ dengan $v \neq 0$: jadi tak dapat dibalik. Sehingga $M \in GL_n \iff a
\neq 0$ dan $a + nb \neq 0$.

**Latihan 21.10 ★★★.**

(Ketaksamaan rank) Untuk $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$, buktikanlah

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(Untuk yang kedua — yaitu ketaksamaan Sylvester — terapkanlah rank–nulitas pada pembatasan [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $A$ ke $\operatorname{im} B$.)*

**Solusi Latihan 21.10.**

*Jumlah:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A
+ \operatorname{im} B$ (karena setiap $(A+B)x = Ax + Bx$), dan Grassmann membatasi dimensi sebuah jumlah oleh jumlah dimensinya.

*Sylvester:* misalkan $a$ [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $A$ yang dibatasi ke $V =
\operatorname{im} B$ (yang berdimensi $\operatorname{rk} B$). Petanya adalah $\operatorname{im}(AB)$ (karena $a(Bx) = ABx$), dan rank–nulitas di dalam $V$:

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

Kini $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, yang berdimensi $n -
\operatorname{rk} A$: sehingga

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**Latihan 21.11 ★★.**

Misalkan $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ dengan $d_i$ yang *berbeda berpasangan*.

1. Buktikan bahwa sebuah matriks $A$ berkomutasi dengan $D$ jika dan hanya jika $A$ diagonal. *(Bandingkanlah entri $(i,j)$ $AD$ dan $DA$.)*
2. Simpulkanlah *pusat* $\mathcal{M}_n(K)$ : bahwa matriks yang berkomutasi dengan *setiap* matriks tepat berupa matriks skalar $\lambda I_n$ . *(Ujilah terhadap $D$, lalu terhadap matriks $E_{ij}$.)*

**Solusi Latihan 21.11.**

1. Entri demi entri, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ dan $(DA)_{ij} =  d_i\,a_{ij}$ . Jadi $AD = DA$ jika dan hanya jika $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ untuk semua $i, j$ ; dan ketika $i \neq j$ faktor $d_j - d_i$ taknol, yang memaksa $a_{ij} = 0$ : sehingga $A$ diagonal. Sebaliknya matriks diagonal saling berkomutasi.
2. Jika $A$ berkomutasi dengan setiap matriks, maka ia berkomutasi dengan $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , sehingga $A =  \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ menurut (1). Lalu $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (karena hanya baris $i$ pada $E_{ij}$ yang bertahan) sedangkan $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : jadi berkomutasi dengan $E_{ij}$ memaksa $\lambda_i = \lambda_j$ . Maka $A = \lambda I_n$ ; dan matriks skalar memang berkomutasi dengan segalanya. Jadi pusat $\mathcal{M}_n(K)$ adalah $K\,I_n$ .

**Latihan 21.12 ★★★.**

(Matriks ber-rank satu) Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$.

1. Buktikan bahwa $\operatorname{rk} A = 1$ jika dan hanya jika $A =  CL$ untuk suatu kolom taknol $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ dan baris taknol $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
2. Untuk $A$ yang demikian, buktikanlah $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; lalu simpulkanlah bahwa matriks ber-rank satu bersifat nilpoten jika dan hanya jika [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) nol.
3. Jika $\operatorname{tr} A \neq -1$, buktikanlah bahwa $I_n + A$ dapat dibalik dengan $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ dan bahwa $I_n + A$ *tak* dapat dibalik ketika $\operatorname{tr} A = -1$. *(Carilah sebuah vektor yang dibunuh oleh $I_n + A$.)*

**Solusi Latihan 21.12.**

1. Jika $\operatorname{rk} A = 1$ : maka peta $A$ berupa garis $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , sehingga kolom ke- $j$ pada $A$ adalah $\ell_j\,C$ bagi skalar $\ell_j$ (yang tak semuanya nol), yaitu $A = C L$ dengan $L = (\ell_1, \dots,  \ell_n) \neq 0$ . Sebaliknya jika $A = CL \neq 0$ , maka semua kolomnya kelipatan $C$ : jadi ber-rank $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , dan $LC$ merupakan skalar $\sum_i  \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr}  A$ . Jadi $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , sehingga lewat induksi $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Jika $\operatorname{tr} A \neq 0$ , maka tak ada pangkatnya yang lenyap; jika $\operatorname{tr} A = 0$ , maka $A^2 = 0$ : sehingga matriks ber-rank satu bersifat nilpoten jika dan hanya jika [tracenya](#def-b1-matrices-transpose) nol.
3. Dengan $t = \operatorname{tr} A \neq -1$: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ dengan memakai $A^2 = tA$. Jika $t = -1$: $(I_n + A)A = A + A^2 = A  - A = 0$ dengan $A \neq 0$, sehingga $I_n + A$ membunuh setiap kolom (taknol) $A$: jadi tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), tak dapat dibalik.

## 21.5 Soal: pangkat sebuah matriks lewat pembagian polinomial

**Soal 21.1.**

Menghitung $A^{100}$ entri demi entri tanpa harapan; sedangkan menghitungnya lewat sebuah kesamaan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang dipenuhi $A$ memakan tiga baris. Soal ini membangun metodenya dari nol: yaitu pembagian Euclid atas $X^n$, kesamaan $A^2 - sA + pI = 0$ yang dipenuhi setiap matriks $2
\times 2$ (yakni teorema Cayley–Hamilton dalam dimensi $2$), dan kamus antara pangkat matriks dan [rekurensi linear](#pb-b1-matrices-1) — dengan [bilangan Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) sebagai contoh yang berjalan.

**Bagian I — Kalkulus sisanya.** Tetapkanlah $s, p
\in K$ dan $D = X^2 - sX + p$.

1. Benarkanlah bahwa untuk setiap $n \in \N$ ada $Q_n  \in K[X]$ dan $(a_n, b_n) \in K^2$ yang tunggal dengan $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ lalu hitunglah $(a_0, b_0)$ dan $(a_1, b_1)$.
2. Dengan mengalikannya dengan $X$ lalu [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) lagi, tegakkanlah rekurensinya $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ lalu simpulkanlah $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: sehingga barisan koefisiennya menuruti [rekurensi linear](#pb-b1-matrices-1) yang melekat pada $D$.
3. Andaikan $D$ berakar dua yang berbeda $\lambda \neq \mu$. Dengan menilai kesamaan pembagiannya, buktikanlah $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. Andaikan $D = (X - \lambda)^2$ . Dengan memakai [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) kesamaan pembagiannya, buktikanlah $a_n = n\lambda^{n-1}$ dan $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. Tunjukkan bahwa menyulihkan sebuah matriks tetap $M \in  \mathcal{M}_k(K)$ ke dalam [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) menghormati jumlah dan hasil kalinya: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. Lalu simpulkanlah bahwa jika $D(M) =  0$, maka $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**Bagian II — Dimensi 2: [trace](#def-b1-matrices-transpose), bilangan determinan, Cayley–Hamilton.** Untuk $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c &
d\end{pmatrix}$ tetapkanlah $s = a + d = \operatorname{tr} A$ dan $p = ad
- bc$ (yaitu bilangan yang akan dinamai [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) sebagai determinan).

6. Periksalah lewat perhitungan langsung *kesamaan Cayley–Hamilton dalam dimensi $2$*: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. Buktikan lewat penjabaran langsung bahwa $p$ bersifat perkalian: yakni, dengan notasi yang kasatmata, $p(AB) = p(A)\,p(B)$. Lalu tunjukkan: bahwa $A$ dapat dibalik jika dan hanya jika $p \neq 0$, dan pada kasus itu $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. Misalkan $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Hitunglah $s$ , $p$ , akar $D$ , lalu simpulkanlah rumus [tertutup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-closed) bagi $A^n$ ; lalu periksalah terhadap perhitungan langsung atas $A^2$ .
9. Misalkan $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Tunjukkan bahwa $D$ berakar rangkap lalu hitunglah $A^n$ ; lalu periksalah di $n = 2$ .
10. Misalkan $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ lalu definisikanlah [bilangan Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) lewat $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Buktikanlah $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ lalu simpulkanlah rumus Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n -  \psi^n}{\sqrt5}$ dengan $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$, dan, dengan memakai pertanyaan 7, kesamaan Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**Bagian III — [Rekurensi linear](#pb-b1-matrices-1), secara struktural.** Tetapkanlah $s, p \in K$ dengan $p \neq 0$, lalu misalkan $E_D$ [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) barisan dengan $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ untuk setiap $n$.

11. Tunjukkan bahwa $E_D$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) berdimensi $2$ (sesuaikanlah [Latihan 19.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#exo-b1-findim-10) ).
12. Tunjukkan bahwa barisan $(a_n)$ pada Bagian I merupakan unsur $E_D$ dengan nilai awalnya $0, 1$, dan bahwa setiap $u  \in E_D$ memenuhi $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ dengan $(b_n)$ seperti pada Bagian I: sehingga sisa pembagiannya memecahkan *semua* rekurensinya sekaligus.
13. Jika $\lambda \neq \mu$ akar $D$ , tunjukkanlah bahwa $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $E_D$ ; sedangkan jika $D = (X-\lambda)^2$ dengan $\lambda \neq 0$ , tunjukkanlah bahwa $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ merupakan satu.
14. Pecahkanlah selengkapnya: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; lalu periksalah jawabannya pada $u_2$ dan $u_3$ .
15. Misalkan $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (yaitu *matriks pendamping* $D$). Tunjukkan bahwa $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ dan bahwa $\operatorname{tr} C = s$ serta $p(C) = p$: sehingga rekurensi dan matriksnya membawa [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $D$ yang sama.

**Bagian IV — Derajat tiga.** Misalkan $D_3 = X^3 -
\alpha X^2 - \beta X - \gamma$ dan

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. Tunjukkan bahwa $D_3(C_3) = 0$ . *(Hitunglah peta vektor [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya di bawah pangkat $C_3$: karena [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $C_3$ mengirim $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ sebuah kombinasi yang dipaksa oleh baris terakhirnya.)*
17. Tunjukkan bahwa jika $D_3$ berakar tiga yang berbeda $\lambda_1,  \lambda_2, \lambda_3$ , maka sisa $R_n$ atas $X^n$ yang dibagi $D_3$ merupakan *interpolan Lagrange* atas nilai $\lambda_i^n$ pada simpul $\lambda_i$ ( [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) ); lalu simpulkanlah bahwa setiap entri $C_3^{\,n}$ merupakan kombinasi [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang tetap atas $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. Pecahkanlah: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ dengan $u_0 =  0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . *(Faktorkanlah $D_3 = (X - 1)(X  + 1)(X - 2)$.)* Lalu periksalah pada $u_3$ .
19. Hitunglah sisa $X^n$ modulo $(X -  \lambda)^3$ *(lewat ekspansi Taylor $X^n$ di $\lambda$)* , lalu simpulkanlah sebuah rumus bagi $(\lambda I +  N)^n$ ketika $N^3 = 0$ dan $N$ berkomutasi dengan segalanya yang terlibat; lalu periksalah ia terhadap teorema binomialnya.
20. Tunjukkan bahwa untuk $D_3$ yang berakar berbeda, penyelesaian umum rekurensi berorde $3$ -nya adalah $u_n = c_1  \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : yaitu buktikanlah bahwa ketiga barisan geometrinya membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) ruang penyelesaiannya. *(Untuk kebebasannya, nilailah sebuah kombinasi nol di $n = 0, 1, 2$ lalu kenalilah sebuah sistem interpolasi pada simpul yang berbeda $\lambda_i$.)*

**Bagian V — Dividen Fibonacci, dan sintesisnya.**

21. Buktikan $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. Dari $F^{m+n} = F^m F^n$, turunkanlah rumus penjumlahannya $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ lalu simpulkanlah $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. Buktikan bahwa $F_n$ merupakan bilangan bulat terdekat dengan $\varphi^n/\sqrt5$ untuk setiap $n \geq 0$ .
24. Misalkan $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (yaitu *bilangan Lucas* $L_n$ ). Tunjukkan $t_{n+2} =  t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , bahwa $L_n =  \varphi^n + \psi^n$ , lalu pulihkanlah $F_{2n} = F_n L_n$ .
25. Sintesis, dalam empat kalimat: mengapakah pangkat matriks $2  \times 2$ hidup di bidang $\operatorname{Vect}(I, A)$ pada $\mathcal{M}_2(K)$ (yaitu argumen dimensi yang mana yang menjamin sebuah kesamaan kuadrat, dan kesamaan eksplisit yang mana yang dihasilkan Bagian II); bagaimanakah pembagian Euclid mengubah pemangkatan menjadi rekurensi bersuku dua; [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) yang mana pada soal ini yang merupakan kasus $n =  2$ sebuah teorema yang sah pada segala dimensi (namailah ia, lalu katakanlah di mana ia dibuktikan pada seri ini); dan apa yang ditambahkan konstruksi matriks pendampingnya pada gambarannya.

**Solusi Soal 21.1.**

**1.** Pembagian Euclid atas $X^n$ oleh yang [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $2$ yaitu $D$ ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-division)): hasil bagi dan sisanya ada dan tunggal, dan sisanya berderajat $\leq 1$: $X^n =
Q_n D + a_n X + b_n$. Untuk $n = 0$: $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0,
1)$; untuk $n = 1$: $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** Kalikanlah dengan $X$ lalu reduksikanlah $X^2 = D + sX - p$:

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

Ungkapan terakhirnya berbentuk sisa (yaitu berderajat $\leq 1$), sehingga menurut ketunggalannya $a_{n+1} = s a_n + b_n$ dan $b_{n+1} = -p a_n$. Menyulihkan $b_{n+1} = -pa_n$ ke dalam $a_{n+2} = s a_{n+1} +
b_{n+1}$ memberikan $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** Nilailah $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ pada akarnya: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ dan $\mu^n = a_n\mu + b_n$. Dengan mengurangkan lalu [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan $\lambda - \mu \neq 0$:

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** Pada akar rangkapnya: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. Menurunkan kesamaannya, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2
+ 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$, lalu menilainya di $\lambda$: $a_n
= n\lambda^{n-1}$; lalu $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 -
n)\lambda^{n}$.

**5.** Untuk $P = \sum_i p_i X^i$ dan $Q = \sum_j q_j X^j$,

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

karena pangkat satu matriks tunggal $M$ saling berkomutasi (sedangkan jumlahnya jelas lewat kelinearan). Jika $D(M) = 0$, maka menyulihkan $M$ ke dalam $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ memberikan $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n
M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** Hasil kali langsungnya:

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

sehingga $A^2 - sA$ berentri luar diagonal nol dan berentri diagonal $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: jadi $A^2 - sA + pI_2 = 0$.

**7.** Dengan $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' &
d'\end{pmatrix}$, menjabarkan $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') -
(ab' + bd')(ca' + dc')$: suku $aa'cb'$ dan $ab'ca'$ saling menghapus, suku $bc'dd'$ dan $bd'dc'$ saling menghapus, dan yang tersisa adalah

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

Jika $p \neq 0$, maka Cayley–Hamilton memberikan $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 -
A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$, dan dari situlah inversnya (dan [Proposisi 21.4](#prop-b1-matrices-ring) menjadikannya dua sisi). Jika $p = 0$ dan $A$ dapat dibalik, maka kesifatan perkaliannya memberikan $1 = p(I_2) =
p(A)\,p(A^{-1}) = 0$: mustahil. Jadi $A \in GL_2 \iff p \neq 0$.

**8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X -
2)$: $\lambda = 2$, $\mu = 1$, sehingga $a_n = 2^n - 1$ dan $b_n = 2 -
2^n$ (pertanyaan 3). Maka

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

Periksa: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ baik lewat rumusnya maupun lewat pengkuadratan langsung.

**9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, dengan akar rangkap $\lambda = 2$. Pertanyaan 4: $a_n
= n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, sehingga

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

Di $n = 2$: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, yaitu $A^2$ yang dihitung langsung.

**10.** Induksi: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 &
F_0\end{pmatrix}$, dan

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

Di sini $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$ berakar $\varphi,
\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$). Adapun barisan $(F_n)$ mempunyai $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ dan menuruti rekurensi yang sama dengan $(a_n)$: sehingga $F_n = a_n = (\varphi^n -
\psi^n)/\sqrt5$, yaitu rumus Binet. Cassini: dengan menerapkan kesifatan perkalian pertanyaan 7 pada $F^n$,

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** Syaratnya [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) dan memuat barisan nol: jadi sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace). Lewat induksi $u_0, u_1$ menentukan $u$ secara [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), dan setiap pasangan nilai awalnya terwujud oleh tepat satu penyelesaian: jadi seperti pada [Latihan 19.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#exo-b1-findim-10), $E_D$ terparameterkan secara [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) dan [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) oleh $(u_0, u_1) \in K^2$: sehingga $\dim E_D = 2$.

**12.** $(a_n)$ menuruti rekurensinya (pertanyaan 2) dengan $a_0
= 0$, $a_1 = 1$. Demikian pula $(b_n)$: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} =
-p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (dengan memakai $b_{n+1} = -pa_n$ dua kali), dengan $b_0 = 1$, $b_1 = 0$. Maka kombinasi $v_n =
u_1 a_n + u_0 b_n$ merupakan penyelesaian dengan $v_0 = u_0$, $v_1 =
u_1$; sedangkan dua penyelesaian bernilai awal sama berimpit (lewat induksi), sehingga $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ untuk semua $n$.

**13.** $(\lambda^n)$ merupakan penyelesaian jika dan hanya jika $\lambda^{n+2} =
s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ untuk semua $n$, yaitu $D(\lambda) = 0$ (setelah dibagi $\lambda^n \neq 0$; perhatikanlah $\lambda, \mu \neq
0$ karena $p = \lambda\mu \neq 0$). Adapun kebebasan $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$: sebuah hubungan di $n = 0, 1$ memberikan $c + c' = 0$, $c\lambda + c'\mu = 0$, sehingga $c(\lambda - \mu)
= 0$: jadi $c = c' = 0$. Dua vektor [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dalam dimensi $2$: yaitu [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). Akar rangkapnya: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ merupakan penyelesaian karena, dengan $s = 2\lambda$, $p = \lambda^2$:

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

kebebasannya di $n = 0, 1$: $c = 0$, lalu $c'\lambda = 0$ dengan $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. Penyelesaian umumnya $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$; syarat awalnya memberikan $A + B = 1$ dan $3A - 2B = 8$, sehingga $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

Periksa: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$; $u_3 = 54 + 8 = 62 =
u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, dan induksi memberikan rumusnya dengan $C^n$. Lebih-lebih $\operatorname{tr} C = 0
+ s = s$ dan $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: sehingga matriks pendampingnya mempunyai tepat $D$ sebagai [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) Cayley–Hamiltonnya.

**16.** Bagi sebarang penyelesaian $u$ atas $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} +
\beta u_{n+1} + \gamma u_n$, vektor keadaannya $v_n = (u_n,
u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ memenuhi $C_3 v_n = v_{n+1}$ (karena kedua baris pertamanya menggeser, sedangkan baris terakhirnya menerapkan rekurensinya). Maka

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

yang ketiga komponennya adalah $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta
u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ($k = 0, 1, 2$). Dan ketika keadaan awalnya $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ menjelajahi *seluruh* $K^3$ (karena nilai awalnya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)), matriks $D_3(C_3)$ membunuh setiap vektor: jadi $D_3(C_3) = 0$.

**17.** Tulislah $X^n = Q\,D_3 + R_n$ dengan $\deg R_n \leq 2$ lalu nilailah pada setiap akarnya: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. Jadi $R_n$ merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq 2$ yang menginterpolasi ketiga nilai $\lambda_i^n$ pada ketiga simpul berbeda $\lambda_i$: sehingga menurut ketunggalan pada [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange), $R_n = \sum_i
\lambda_i^n L_i$ dengan $(L_i)$ sebagai [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) Lagrange simpulnya. Menyulihkan $C_3$ (pertanyaan 5 dan 16):

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

dengan ketiga matriks $L_i(C_3)$ yang tak bergantung pada $n$: sehingga setiap entri $C_3^{\,n}$ merupakan kombinasi tetap atas $\lambda_1^n,
\lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. Penyelesaian umumnya $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. Syarat awalnya: $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C = 1$. Mengurangkan yang pertama dari yang ketiga: $3C = 1$, $C = \frac13$; lalu $A + B = -\frac13$ dan $A - B = \frac13$: $A = 0$, $B =
-\frac13$. Maka

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(yaitu bilangan Jacobsthal). Periksa: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 =
2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** Ekspansi Taylor atas [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $X^n$ di $\lambda$:

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

dan semua sukunya dengan $k \geq 3$ terbagi oleh $(X -
\lambda)^3$: sehingga sisanya adalah

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

Untuk $M = \lambda I + N$ dengan $N^3 = 0$: $(M - \lambda I)^3 = N^3
= 0$, sehingga pertanyaan 5 memberikan

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

yaitu tepat penjabaran binomial atas $(\lambda I + N)^n$ yang terpenggal di $N^2$ — jadi kedua metodenya sepakat.

**20.** Ruang penyelesaiannya berdimensi $3$ (dengan parameterisasi $(u_0, u_1, u_2)$ yang sama seperti pada pertanyaan 11), dan setiap $(\lambda_i^n)$ merupakan penyelesaian. Kebebasannya: andaikan $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ untuk $n =
0, 1, 2$. Tetapkanlah $i$ lalu misalkan $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ sebagai [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) Lagrange simpulnya dengan $L_i(\lambda_j) =
\delta_{ij}$. Maka

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

Jadi semua $c_i = 0$: yaitu tiga penyelesaian [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) dalam dimensi $3$, sehingga sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free); dan penyelesaian umumnya adalah $c_1\lambda_1^n +
c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** Dari $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, jumlahnya berteleskop:

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** Ambillah entri $(1,2)$ pada $F^{m+n} = F^m F^n$: sisi kirinya adalah $F_{m+n}$; sedangkan sisi kanannya (baris $1$ pada $F^m$) kali (kolom $2$ pada $F^n$), yaitu $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$. Dengan $m = n$:

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** Menurut Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} =
-\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, dan $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 <
1$, sehingga

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

$F_n$ merupakan bilangan bulat terdekat dengan $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ merupakan kombinasi atas barisan Fibonacci yang tergeser, sehingga memenuhi rekurensi yang sama: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$; dan $t_1 = F_2 + F_0 =
1$, $t_2 = F_3 + F_1 = 3$: yaitu bilangan Lucas $L_n$. Adapun barisan $\varphi^n + \psi^n$ merupakan penyelesaian bernilai dua yang pertama sama ($\varphi + \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = (
\varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$), sehingga $L_n = \varphi^n +
\psi^n$. Akhirnya

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

yang memulihkan pertanyaan 22.

**25.** (i) Kelima matriks $I, A, A^2, A^3, A^4$ hidup di dalam ruang berdimensi $4$ yaitu $\mathcal{M}_2(K)$, sehingga *ada* [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) taknol berderajat $\leq 4$ yang membunuh $A$; lalu Bagian II mempertajamnya menjadi kuadratik yang eksplisit $A^2 = sA - pI$, yang mengunci semua pangkatnya ke dalam bidang $\operatorname{Vect}(I, A)$. (ii) Pembagian Euclid mereduksi $X^n$ modulo kuadratik itu, dan kedua koefisien sisanya menuruti rekurensi bersuku dua $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: jadi pemangkatannya menjadi pengulangan. (iii) Pertanyaan 6 merupakan kasus $n = 2$ atas *teorema Cayley–Hamilton*, yang sah pada segala dimensi dan dibuktikan pada jilid Tahun 2. (iv) Adapun matriks pendampingnya menutup lingkarannya: karena setiap [rekurensi linear](#pb-b1-matrices-1) *adalah* pangkat matriks, dengan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $D$ yang sama muncul sebagai data trace-dan-determinan, sehingga kalkulus sisanya memecahkan rekurensi dan menghitung pangkat dalam satu gerakan.