---
title: "Determinan dan Sistem Linear"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear
---

# Bab 22 — Determinan dan Sistem Linear

Determinan memampatkan ke dalam satu skalar jawaban atas “apakah $n$ vektor ini sebuah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)?” — dan, secara geometri, mengukur volume yang direntangnya. Kita mencirikannya lewat sifatnya (multilinear, berselang-seling, ternormalkan), menghitungnya dalam dimensi $2$ dan $3$ serta lewat [penjabaran kofaktor](#thm-b1-det-cofactor) pada umumnya, lalu menerapkannya pada [sistem linear](#def-b1-det-system), berdampingan dengan algoritma serbaguna: yaitu [penghapusan Gauss](#met-b1-det-gauss).

## 22.1 Determinan

**Teorema 22.1 (Pencirian).**

Ada tepat satu [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$, yang dipandang sebagai fungsi atas $n$ kolomnya, yang:

1. *[linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) pada setiap kolomnya* (dengan yang lain tetap);
2. *berselang-seling* : menukar dua kolom mengubah tandanya (sehingga dua kolom yang sama memberikan $0$ );
3. *ternormalkan* : $\det I_n = 1$ .

Untuk $n = 2$ dan $3$:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(yaitu kaidah Sarrus $3 \times 3$: hasil kali diagonal yang menurun dikurangi yang menaik).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 22.2.**

Untuk $n = 2$: menjabarkannya lewat kebilinearan pada kolom kanoniknya memberikan rumusnya, yang sebaliknya memenuhi aksiomanya — jadi bukti yang lengkap; sedangkan $n = 3$ serupa dengan lebih banyak suku. Adapun kasus umumnya (dengan keberadaannya lewat jumlah atas [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects), dan ketunggalannya lewat penjabaran yang sama) menuntut tanda sebuah [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) dan ditangguhkan ke tahun kedua; jadi kita [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) memakai aksioma dan akibatnya di bawah.

Berikut penjabaran $n = 2$ selengkapnya, karena ia menjadi contohnya: dengan kolom $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ dan $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$, kebilinearannya memberikan

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

dan sifat berselang-selingnya membunuh pasangan yang berulang sembari membalik $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$: sehingga seluruh [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) runtuh menjadi $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ lewat penormalannya. Adapun ketunggalannya kasatmata pada perhitungannya sendiri — karena aksiomanya tak menyisakan pilihan pada langkah mana pun — dan inilah persis fakta ketunggalan berskala yang dipakai pada bukti kaidah hasil kali di bawah.

**Teorema 22.3 (Sifat).**

Untuk $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

1. menambahkan kelipatan sebuah kolom pada kolom lain tak mengubah determinannya; sedangkan mengalikan sebuah kolom dengan $\lambda$ mengalikannya dengan $\lambda$ (sehingga $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ dapat dibalik $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ kolomnya membentuk [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $K^n$ ; dan lalu $\det(A^{-1}) = (\det  A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — sehingga setiap kaidah kolomnya juga kaidah baris;
5. determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil kali entri diagonalnya.

**Bukti.** (1) Lewat kelinearannya, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ dan determinan keduanya berkolom dua yang sama: jadi nol.

(2) Tetapkanlah $A$ lalu pandanglah $\varphi(B) = \det(AB)$ sebagai fungsi atas kolom $B$: karena $AB$ berkolom $AB_j$, maka $\varphi$ bersifat multilinear dan berselang-seling pada $B_j$. Kita mengakui, bersama [Teorema 22.1](#thm-b1-det-def), [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) ketunggalannya dalam bentuk berskala: bahwa *setiap* [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) multilinear berselang-seling $\varphi$ atas kolomnya sama dengan $\varphi(I_n) \cdot \det$. Di sini $\varphi(I_n) = \det A$, sehingga $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

(3) Jika $A$ dapat dibalik: maka $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, sehingga $\det A \neq 0$ dan rumus inversnya berlaku. Jika $A$ tak dapat dibalik, maka kolomnya terkait ([Akibat 20.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#cor-b1-linmaps-samedim) dan [Proposisi 20.2](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#prop-b1-linmaps-basis)); lalu menyatakan satu kolom lewat yang lain dan menjabarkannya secara [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) menyisakan determinan berkolom dua yang sama: jadi $\det A = 0$. Adapun [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) basisnya adalah [Proposisi 19.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) Diakui bersama konstruksi umumnya (karena ia seketika pada rumus [permutasinya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects)); kita mencatatnya agar dapat memakai [operasi baris](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#met-b1-matrices-gauss).

(5) Jika suatu entri diagonalnya lenyap, maka $k$ kolom pertamanya terkait untuk suatu $k$ (lewat pertimbangan rank) dan $\det = 0 =$ hasil kalinya. Kalau tidak, bersihkanlah setiap kolomnya di bawah-dan-kiri lewat operasi jenis (1) — yang mungkin dalam bentuk segitiganya — sampai mencapai matriks diagonal, yang determinannya adalah hasil kali entrinya lewat kemultilinearan dari $I_n$. ∎

**Contoh 22.4 (Kaidahnya, diperiksa pada bilangan).**

Ambillah $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A =
-2$) dan $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det
B = -1$). Maka

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

Kesifatan perkalian dan keinvarianan transposnya tertegaskan — sedangkan kesifatan penjumlahan yang *palsu* gagal pada pasangan yang sama:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

Tiga puluh detik aritmetika semacam ini, setelah sebarang kesamaan determinan dipanggil, merupakan asuransi galat termurah yang ada.

**Contoh 22.5 (Determinan sebagai luas).**

Jajargenjang yang direntang $u = (2, 0)$ dan $v = (1, 3)$ mempunyai alas $2$ dan tinggi $3$: jadi luasnya $6$. Dan

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

determinan $2\times2$ itu *adalah* luas bertanda pada jajargenjang kolomnya. Adapun aksiomanya menuturkan ulang geometrinya: menambahkan kelipatan satu kolom pada yang lain merupakan *geseran*, yang menggelincirkan jajargenjangnya sejajar sebuah sisi tanpa mengubah alas atau tingginya (yaitu operasi (1) pada [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props)); menskalakan sebuah kolom menskalakan luasnya; sedangkan menukar kolomnya membalik arahnya, dan dari situlah tandanya, $\det(v, u) = -6$. Di dalam $\R^3$ pembacaan yang sama memberikan volume bertanda, dan $\abs{\det}$ menjadi faktor penskalaan volume yang universal bagi [pemetaan linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) — yaitu fakta di balik rumus perubahan variabel bagi [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) rangkap pada jilid Tahun 2.

**Teorema 22.6 (Penjabaran kofaktor).**

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(K)$ dan $\Delta_{ij}$ determinan $A$ dengan baris $i$ dan kolom $j$ yang dihapus. Maka, untuk sebarang kolom tetap $j$ (atau baris, lewat transposisi):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 22.7.**

Menjabarkannya sepanjang kolom pertamanya:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

Strateginya: ciptakanlah nol dahulu (lewat [operasi baris](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#met-b1-matrices-gauss)/kolom), lalu jabarkanlah sepanjang garis yang paling kosong.

**Contoh 22.8 (Invers kofaktornya, sekali dengan tangan).**

Untuk $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. Adapun kesembilan kofaktornya $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ terhimpun menjadi

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

yaitu rumus yang dikutip pada [Latihan 22.8](#exo-b1-det-8). Periksalah satu pasangan baris-kolom: (baris $1$ pada $A$)(kolom $1$ pada $A^{-1}$) $= \frac12(1 + 1
+ 0) = 1$, dan terhadap kolom $2$: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$. Sembilan determinan $2\times2$ bagi satu invers $3\times3$: sehingga sudah pada ukuran ini, reduksi baris ([Latihan 22.3](#exo-b1-det-3)) lebih murah — adapun nilai rumus kofaktornya bersifat teori (yaitu kebulatan pada [Latihan 22.8](#exo-b1-det-8), dan sifat [dapat diturunkan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) inversnya pada jilid kemudian), bukan perhitungan.

**Contoh 22.9 (Kaidah blok segitiganya, pada ukuran 444).**

Klaimnya: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M\,\det P$ bagi blok $2\times2$. Bersihkanlah blok $N$ lewat operasi kolom: karena menambahkan pada kolom $3, 4$ kombinasi kolom $1, 2$ yang cocok membuang $N$ *ketika $M$ dapat dibalik* (pecahkanlah $M\Lambda = -N$ bagi koefisien kombinasinya $\Lambda$), sehingga menyisakan $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$; lalu [penjabaran kofaktor](#thm-b1-det-cofactor) sepanjang kolom pertamanya, dua kali, memberikan $\det
M\det P$ bagi bentuk blok diagonal ini. Jika $M$ tak dapat dibalik, maka kolomnya terkait, sehingga kedua kolom pertama matriks besarnya terkait (karena separuh bawahnya nol): jadi kedua sisinya lenyap. Kaidahnya meluas ke sebarang ukuran blok lewat argumen dua kasus yang sama — dan ialah mesin [Latihan 22.10](#exo-b1-det-10).

**Contoh 22.10 (Sebuah determinan 4×44 \times 44×4, secara strategis).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Setiap barisnya berjumlah $10$: sehingga operasi $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 +
C_3 + C_4$ membuat kolom pertamanya tetap, dan memfaktorkan $10$ menyisakan satuan. Lalu $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) membersihkan kolom pertamanya:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

dengan determinan $3\times3$ terakhirnya dijabarkan sepanjang baris pertamanya: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$. Moralnya: satu operasi yang terpilih baik (yaitu melihat jumlah baris yang tetap) mengalahkan enam belas kofaktor.

**Metode 22.11 (Memilih strategi determinan).**

Pindailah matriksnya sebelum menghitung apa pun.

1. *Jumlah baris atau kolom yang tetap* : tambahkanlah segalanya ke dalam satu garis, lalu faktorkanlah nilai bersamanya ( [Contoh 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , [Latihan 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *Struktur yang berulang* : kurangkanlah baris atau kolom yang bertetangga untuk menciptakan nol; karena pola tangganya runtuh menuju bentuk segitiga, yang determinannya terbaca pada diagonalnya.
3. *Nol yang terpencil* : jabarkanlah sepanjang garis yang paling kosong ( [Contoh 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ); sedangkan keluarga yang berulang (yaitu tridiagonal, [Latihan 22.6](#exo-b1-det-6) ) menghasilkan rekurensi lewat cara ini.
4. *Sebuah parameter* : determinannya berupa [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) pada parameter itu; carilah akarnya dengan melihat nilai yang merosot (yaitu baris yang sama, kolom yang sebanding), lalu pakukanlah [polinomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) lewat derajat dan koefisien utamanya. Bagi matriks pada [Latihan 22.7](#exo-b1-det-7) : $m = 1$ memberikan tiga baris yang sama (ber-rank $1$ , yaitu akar rangkap), sedangkan $m = -2$ membuat jumlah barisnya nol (jadi satu akar lagi); adapun determinannya berderajat $3$ pada $m$ dengan suku utama $-m^3$ (yaitu hasil kali antidiagonalnya $m\cdot m\cdot m$ , yang bertanda Sarrus $-1$ ), sehingga ia pastilah $-(m+2)(m-1)^2$ — jadi tak ada penjabaran yang diperlukan, dan kedua metodenya saling memeriksa.

**Contoh 22.12 (Determinan Vandermonde).**

Untuk skalar $x_1, \dots, x_n$:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

Sketsa buktinya (yang terperinci pada [Latihan 22.5](#exo-b1-det-5)): operasi kolom $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ dari kanan membersihkan baris pertamanya, dan memfaktorkan setiap baris sisanya mereduksinya menjadi $V(x_2, \dots, x_n)$. Ia taknol jika dan hanya jika $x_i$ berbeda berpasangan — yaitu determinan di balik [interpolasi Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) ([Contoh 20.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 Sistem linear

**Definisi 22.13.**

Sebuah sistem [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) berisi $n$ persamaan dengan $p$ variabel adalah $AX = B$ dengan $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in
K^n$; ia disebut *homogen* ketika $B = 0$. Adapun [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya, ketika tak kosong, adalah $X_0 + \ker A$: yaitu penyelesaian khusus tambah penyelesaian homogen umumnya — jadi [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) afin berdimensi $p -
\operatorname{rk} A$ (lewat rank–nulitas).

**Contoh 22.14 (Struktur afinnya, dibuat kasatmata).**

Pecahkanlah

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

Dengan mengurangkan persamaannya: $2y - z = 1$, sehingga $z = 2y - 1$ dan $x =
3 - y - z = 4 - 3y$. Maka penyelesaiannya membentuk garis

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

yaitu penyelesaian khususnya $X_0 = (4, 0, -1)$ (dari pilihan $y = 0$) tambah garis kernelnya $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ pada sistem homogen yang berkaitan — periksa: $(-3) + 1 + 2 = 0$ dan $(-3) - 1 + 4 = 0$. Secara geometri, dua bidang yang tak sejajar pada $\R^3$ beririsan sepanjang sebuah garis, dan cacah dimensinya $p -
\operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ sudah tahu itu sebelum kita memecahkan apa pun. Mengubah penyelesaian khususnya (katakanlah $y = 1$: $X_0' =
(1, 1, 1)$) mengubah pemeriannya, bukan garisnya: karena [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) afin berasal-usul banyak dan berarah satu.

**Teorema 22.15 (Sistem Cramer persegi).**

Jika $A \in GL_n(K)$, maka sistem $AX = B$ berpenyelesaian tunggal $X =
A^{-1}B$, yang [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates)

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ dengan kolom } j \text{ diganti oleh } B .
$$

**Bukti.** Ketunggalan dan keberadaannya adalah keterbalikannya. Adapun untuk rumusnya: tulislah $B = \sum_k x_k C_k$ (dengan kolom $A$); lalu, lewat kemultilinearan dan sifat berselang-selingnya,

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

karena setiap sukunya kecuali $k = j$ berkolom berulang. ∎

**Contoh 22.16 (Cramer dengan sebuah parameter, selengkapnya).**

Untuk $m \in \R$, pecahkanlah

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

Determinannya adalah $1 - m^2$. *Kasus umumnya* $m \neq \pm1$: Cramer memberikan

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

yaitu satu penyelesaian yang bersih bagi setiap $m$ yang diperkenankan (periksa di $m = 0$: $(1, 2)$, yang jelas benar). *Kasus yang merosot*: di $m = 1$ persamaannya terbaca $x + y = 1$ dan $x + y = 2$: jadi tak sejalan; di $m = -1$ keduanya terbaca $x - y = 1$ dan $-x + y = 2$, yaitu $x - y =
1$ dan $x - y = -2$: tak sejalan lagi. Adapun lenyapnya determinannya mengumumkan bahwa *sesuatu* merosot, tetapi tak pernah mengatakan apa — karena kosong atau takhingga mesti diputuskan dengan melihat ruas kanannya. Perhatikanlah pula bagaimana rumusnya mengisyaratkan batasnya sendiri: ketika $m \to 1^{-}$, $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to
-\infty$; sehingga titik penyelesaiannya melarikan diri saat kedua garisnya menjadi sejajar.

**Metode 22.17 (Penghapusan Gauss pada sistem).**

Reduksikanlah baris matriks yang diperbesar $(A \mid B)$ ke bentuk eselon.

1. Jika sebuah poros muncul pada kolom terakhirnya (yaitu baris $0 = 1$ ): maka tak ada penyelesaian.
2. Kalau tidak, variabelnya terbelah menjadi *variabel poros* dan *variabel [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)* (yaitu parameternya); lalu penyulihan mundur menyatakan yang pertama lewat yang kedua: sehingga [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya berupa [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) afin berdimensi $=$ cacah variabel bebasnya.

Rumus Cramer diperuntukkan bagi teori dan sistem kecil; sedangkan penghapusannya merupakan algoritma yang praktis.

**Contoh 22.18 (Sebuah pembahasan dengan parameter).**

Untuk $m \in \R$, pandanglah

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

Matriksnya berdeterminan $-(m+2)(m-1)^2$ (yang dihitung pada [Latihan 22.7](#exo-b1-det-7) dengan menambahkan semua kolomnya pada yang pertama). Untuk $m
\neq 1, -2$: penyelesaiannya tunggal $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (lewat kesetangkupannya). Untuk $m =
1$: satu persamaan yang berulang tiga kali, jadi sebuah bidang penyelesaian. Untuk $m =
-2$: menambahkan ketiga persamaannya memberikan $0 = 3$, jadi tak ada penyelesaian.

**Catatan 22.19 (Jebakan yang lazim).**

*Determinannya tak [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) pada matriksnya*: $\det(A + B)
\neq \det A + \det B$ (sudah $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$); melainkan ia [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) pada setiap *kolomnya* secara terpisah, yang merupakan hal yang sama sekali berbeda. *Penskalaan*: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, bukan $\lambda\det A$ — karena masing-masing dari $n$ kolomnya terskalakan. *[Operasi baris](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#met-b1-matrices-gauss) tak semuanya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)*: $L_i \leftarrow L_i +
\lambda L_j$ mengawetkan determinannya, tetapi sebuah penukaran mengubah tandanya dan $L_i \leftarrow \lambda L_i$ mengalikannya dengan $\lambda$ — adapun galat pembukuan di sini merupakan sumber klasik tanda yang salah pada perhitungan berbasis penghapusan. *Determinan nol itu awalnya, bukan akhirnya*: karena ia mengatakan “rank $< n$” tetapi bukan rank yang mana; hanya kerja lanjutan (yaitu bentuk eselon, atau minor pada [Latihan 22.12](#exo-b1-det-12)) yang menemukannya — bandingkanlah kasus $m = 1$ dengan $m = -2$ pada [Contoh 22.18](#ex-b1-det-parameter). *Cramer menuntut keterbalikan*: karena ketika $\det A = 0$ rumus $x_j = \det A_j/\det A$ tak bermakna, dan sistemnya boleh jadi tetap berpenyelesaian (bahkan tak berhingga banyaknya). *Hanya matriks persegi yang berdeterminan*: bagi sistem yang persegi panjang, penghapusannya satu-satunya alat.

**Catatan 22.20 (Ke mana determinannya pergi).**

Tiga kehidupan menanti skalar ini. *Geometri*: $\abs{\det}$ adalah faktor penskalaan luas atau volume [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang berkaitan — yang dipertepat bagi bidang pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid) dan, sebagai Jacobian sebuah perubahan variabel, pada [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) rangkap jilid Tahun 2. *Aljabar*: $\det(A - \lambda I)$, yaitu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) karakteristiknya, membuka teori nilai eigen pada Tahun 2 — dengan kesamaan $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ pada soal akhir pekan [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices) sebagai bayangan pertamanya. *Analisis*: determinan matriks yang istimewa (Vandermonde, Cauchy, Gram) memutuskan kapan masalah interpolasi, penguraian dan [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) terajukan dengan baik; adapun soal akhir pekan di bawah menilai kedua keluarga yang pertama selengkapnya.

**Catatan 22.21 (Cakrawala di dalam Buku 3).**

Bab ini menutup tulang punggung aljabar [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) jilid ini, dan kedua bab sisanya mencairkan dividennya. Pada [Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid): matriks Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ menguji kebebasan lewat sebuah determinan ([Latihan 23.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#exo-b1-euclid-11)), dan isometri bidangnya terbelah menjadi rotasi dan pencerminan menurut tanda determinannya — dan penggolongan soal akhir pekan di sana berjalan di atasnya. Pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar): besaran Monge $rt -
s^2$ merupakan determinan matriks setangkup [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) keduanya, dan persamaan normal kuadrat terkecilnya berupa sistem Cramer yang matriksnya matriks Gram (jadi matriks momen) — yang dapat dibalik justru lewat kriteria bercita rasa Vandermonde yang ditegakkan di sini. Ketika bab itu menegaskan “dapat dibalik” atau “positif”, kuitansinya ada pada bab ini.

## 22.3 Latihan

**Latihan 22.1 ★.**

Hitunglah:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**Solusi Latihan 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

Yang kedua: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (pada baris aslinya) memberikan baris $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$: yaitu dua baris yang sama, jadi determinannya $0$. (Sarrus menegaskan: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 -
72 = 0$.)

Yang ketiga: ia Vandermonde dengan $x = 1, 2, 3$ ([Contoh 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**Latihan 22.2 ★.**

Untuk $\lambda \in \R$ yang mana keluarga $\bigl((1, 1, \lambda),
(1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ merupakan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\R^3$?

**Solusi Latihan 22.2.**

Determinannya sama dengan (tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama, lalu faktorkanlah) $(\lambda + 2)$ kali

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(bersihkanlah dengan $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ lalu jabarkanlah), yang memberikan $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$. [Basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**Latihan 22.3 ★.**

Pecahkanlah lewat kaidah Cramer:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{lalu}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**Solusi Latihan 22.3.**

Sistem pertama: $\det = -7$; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. Periksa: $2(2) + 1 = 5$; $3(2) - 2 = 4$.

Sistem kedua: setelah $L_2 - L_1$ dan $L_3 - 2L_1$, barisnya menjadi $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$, sehingga

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

Cramer, dengan mengganti kolomnya oleh $(6,2,1)^{\mathsf T}$:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(dengan pembilangnya dihitung dengan cara yang sama). Periksa: $1 + 2 + 3 = 6$; $1 -
2 + 3 = 2$; $2 + 2 - 3 = 1$.

**Latihan 22.4 ★.**

Pecahkanlah lewat [penghapusan Gauss](#met-b1-det-gauss), dengan memerikan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**Solusi Latihan 22.4.**

Reduksikanlah matriks yang diperbesar: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Variabel porosnya $x, z$; variabel bebasnya $y, t$. Penyulihan mundur: $z =
1 + t$, $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. [Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya:

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

yaitu bidang afin (berdimensi $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) pada $\R^4$.

**Latihan 22.5 ★★.**

Buktikan rumus Vandermonde pada [Contoh 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) lewat induksi pada $n$, dengan operasi kolom $C_k \leftarrow C_k -
x_1 C_{k-1}$ yang dijalankan dari $k = n$ turun ke $k = 2$.

**Solusi Latihan 22.5.**

Induksi; $n = 1$ berupa hasil kali kosong $= 1$. Untuk langkahnya, jalankanlah $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ bagi $k = n, n-1, \dots, 2$ (dalam urutan ini, sehingga setiap operasinya memakai kolom yang belum terubah). Adapun baris pertamanya menjadi $(1, 0, \dots, 0)$; sedangkan pada baris $i \geq 2$, entri ke-$k$-nya menjadi $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$. Dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya lalu memfaktorkan $(x_i - x_1)$ keluar dari setiap baris $i$:

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

dan hipotesis induksinya melengkapkan hasil kali $\prod_{i<j}(x_j
- x_i)$.

**Latihan 22.6 ★★.**

(Tridiagonal) Misalkan $D_n$ determinan $n \times n$ dengan $2$ pada diagonalnya, $1$ pada kedua diagonal yang bersebelahan, dan $0$ di tempat lain. Dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya, buktikanlah $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ lalu hitunglah $D_n$ ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$).

**Solusi Latihan 22.6.**

Menjabarkan $D_n$ sepanjang baris pertamanya: $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-blok}
\end{vmatrix}$; dan determinan keduanya, yang dijabarkan sepanjang kolom pertamanya, adalah $D_{n-2}$. Jadi $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, yaitu $D_n -
D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: sehingga selisihnya tetap, sama dengan $D_2 - D_1 = 1$. Maka $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$. (Periksa: $D_2 = 3$, dan kasus $3\times3$-nya adalah [Contoh 22.7](#ex-b1-det-cofactor): $D_3 = 4$.)

**Latihan 22.7 ★★.**

Lengkapilah [Contoh 22.18](#ex-b1-det-parameter): hitunglah determinan $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ lewat operasi $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, lalu jalankanlah pembahasan sistemnya selengkapnya.

**Solusi Latihan 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ membuat kolom pertamanya tetap $(m+2)$; faktorkanlah ia:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(jabarkanlah sepanjang kolom pertamanya: entri tunggalnya $1$ bertanda $+$, dan determinan $2 \times 2$ sisanya adalah $0 \cdot 0 -
(m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

Pembahasannya. $m \notin \{1, -2\}$: yaitu sistem Cramer; dan lewat kesetangkupan persamaannya, $x = y = z$, sehingga setiap persamaannya memberikan $(m + 2)x = 1$: jadi penyelesaian tunggal $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2},
\frac{1}{m+2}\bigr)$. $m = 1$: ketiga persamaannya semua terbaca $x + y
+ z = 1$: sehingga penyelesaiannya membentuk bidang afin $x + y + z = 1$. $m = -2$: menjumlahkan ketiga persamaannya memberikan $0 = 3$: jadi [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) penyelesaiannya kosong.

**Latihan 22.8 ★★.**

Misalkan $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ berentri *bilangan bulat*. Buktikan bahwa $A$ mempunyai invers berentri bilangan bulat jika dan hanya jika $\det A
= \pm 1$. *(Untuk arah langsungnya, ambillah determinannya; sedangkan untuk konversnya, akuilah — atau buktikanlah untuk $n \leq 3$ lewat kofaktor — bahwa $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ dengan matriks kofaktor yang bulat.)*

**Solusi Latihan 22.8.**

($\Rightarrow$) Jika $A^{-1}$ berentri bilangan bulat: maka $\det A \cdot \det
A^{-1} = 1$ dengan kedua determinannya bulat (karena jumlah hasil kali entrinya): dan dua bilangan bulat yang hasil kalinya $1$ keduanya $\pm1$.

($\Leftarrow$) Rumus kofaktornya $A^{-1} = \frac{1}{\det
A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (yang diperiksa untuk $n \leq 3$ lewat penjabaran langsung, dan diakui pada umumnya) mempunyai $\operatorname{Com}(A)$ yang berentri bulat (karena setiap kofaktornya determinan yang bulat); dan [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan $\det A = \pm 1$ menjaga kebulatannya.

**Latihan 22.9 ★★★.**

Hitunglah determinan $n \times n$ atas matriks $aI + bJ$ ([Latihan 21.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#exo-b1-matrices-9)), yaitu dengan $a + b$ pada diagonalnya dan $b$ di tempat lain. *(Tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama, faktorkanlah, lalu bersihkanlah.)* Pulihkanlah syarat keterbalikannya $a \neq 0$, $a + nb
\neq 0$.

**Solusi Latihan 22.9.**

Tambahkanlah semua kolomnya pada yang pertama: maka setiap entri kolom pertamanya yang baru adalah $a + nb$; faktorkanlah ia keluar, sehingga kolom pertamanya semuanya satu. Lalu [operasi baris](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) membersihkan setiap entri di bawah $1$ kiri atasnya dan menyisakan $a$ pada diagonalnya dan $0$ di tempat lain pada baris itu: sehingga matriksnya segitiga atas dengan diagonal $(1, a, \dots, a)$. Maka

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

yang taknol jika dan hanya jika $a \neq 0$ dan $a + nb \neq 0$: yaitu syarat pada [Latihan 21.9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#exo-b1-matrices-9).

**Latihan 22.10 ★★★.**

Misalkan $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Buktikan bahwa

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

lewat operasi kolom dan baris blok ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, lalu $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, dalam bentuk blok), dengan mengandaikan kaidah blok segitiga yang alami $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — yang dibuktikan bagi blok $2 \times 2$ pada [Contoh 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**Solusi Latihan 22.10.**

Operasi blok (yang masing-masingnya komposisi atas $n$ operasi skalar yang bersesuaian, dan diperkenankan oleh [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (1)):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

dengan memakai kaidah blok segitiganya pada langkah terakhirnya.

**Latihan 22.11 ★★.**

(Sirkulan berorde $3$) Misalkan $a, b, c \in \C$ dan

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

Buktikan bahwa $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -
ca)$, lalu faktorkanlah selengkapnya atas $\C$ dengan memakai $j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(Mulailah dengan $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$; sedangkan untuk bentuk kompleksnya, perhatikanlah bahwa kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ nyaris berperilaku bagai vektor eigen.)*

**Solusi Latihan 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ membuat kolom pertamanya tetap $(a + b + c)$; faktorkanlah ia keluar, lalu $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

dan dengan menjabarkannya, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc
- ca$. Atas $\C$, dengan $j^3 = 1$ dan $1 + j + j^2 = 0$:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

dan dari situlah pemfaktoran lengkapnya. (Secara struktur: kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ memenuhi $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T}
= (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$, dan serupa bagi $j^2$ dan $1$: sehingga ketiga faktornya adalah ketiga “nilai eigen” sirkulannya, yaitu kisah yang disistematiskan pada jilid Tahun 2.)

**Latihan 22.12 ★★★.**

(Rank dan minor) Misalkan $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. Buktikan bahwa $\operatorname{rk} A$ sama dengan ukuran terbesar $r$ atas sebuah submatriks $r \times r$ pada $A$ yang dapat dibalik (dengan submatriks menyimpan entri di persilangan $r$ baris terpilih dan $r$ kolom terpilih). *(Jika $\operatorname{rk} A = r$, pilihlah $r$ kolom [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), lalu $r$ baris [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada blok $n \times r$ yang dihasilkannya; sebaliknya, sebuah submatriks yang dapat dibalik memaksa kolom $A$ yang bersesuaian menjadi [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).)*

**Solusi Latihan 22.12.**

Tulislah $r = \operatorname{rk} A$.

*Ada submatriks $r \times r$ yang dapat dibalik.* Pilihlah $r$ kolom [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada $A$ lalu misalkan $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ matriks yang dibentuknya: maka $\operatorname{rk} B = r$. Dan karena rank barisnya sama dengan rank kolomnya ([Teorema 21.13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#thm-b1-matrices-rank)), $B$ mempunyai $r$ baris [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free); sehingga menyimpan baris itu menghasilkan submatriks $r \times r$ pada $A$ yang ber-rank $r$, yaitu dapat dibalik.

*Tak ada yang lebih besar.* Misalkan $S$ submatriks $s \times s$ yang dapat dibalik, yang diambil dari kolom $j_1, \dots, j_s$ dan baris $i_1,
\dots, i_s$ pada $A$. Jika sebuah kombinasi $\sum_k \lambda_k
C_{j_k} = 0$ atas kolom *penuh* yang bersesuaian lenyap, maka membaca hanya baris $i_1, \dots, i_s$ memberikan $\sum_k
\lambda_k S_k = 0$ pada kolom $S$, sehingga semua $\lambda_k = 0$ (karena $S$ dapat dibalik): jadi kolom $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ pada $A$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dan $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

Maka $\operatorname{rk} A$ tepat merupakan ukuran terbesar sebuah submatriks yang dapat dibalik.

## 22.4 Soal: alternan ganda Cauchy

**Soal 22.1.**

Dua determinan menguasai penerapan bab ini: yaitu [determinan Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde), yang dinilai pada [Latihan 22.5](#exo-b1-det-5), dan *[determinan Cauchy](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i +
b_j}\bigr)$, yang dinilai di sini. Di sekitar keduanya soal ini menghimpun kotak perkakas alternannya: yaitu kiat kolom [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), interpolasi lewat Cramer, [matriks Hilbert](#pb-b1-det-1), diskriminan sebuah kubik, dan metode [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berselang-seling. Sepanjang soal ini, $V(x_1,
\dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ menyatakan nilai Vandermondenya.

**Bagian I — Kotak perkakas Vandermonde.**

1. Hitunglah $V(1, 2, 3, 4)$ , lalu ingatlah kembali mengapa interpolasi pada $n$ simpul yang berbeda berpasangan merupakan sistem Cramer.
2. (Alternan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)) Misalkan $P_0, \dots, P_{n-1}$ bersifat *[monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def)* dengan $\deg P_k = k$. Buktikan $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ karena operasi kolom mengganti setiap kolom pangkatnya dengan sebarang tangga [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), secara cuma-cuma.
3. Terapkanlah pertanyaan 2 pada [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) binomial $B_k =  \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$: buktikanlah bahwa untuk *bilangan bulat* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$, $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ hasil kali semua selisih berpasangan atas $n$ bilangan bulat terbagi oleh superfaktorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. Buktikan $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} =  x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (dengan pangkatnya kini bermula di $1$ ).
5. (Matriks momen) Misalkan $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq  i, j \leq n}$ dengan $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. Buktikan bahwa $S = W^{\mathsf T} W$ bagi matriks $W =  (x_i^{\,j-1})_{ij}$, lalu simpulkanlah $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ lalu simpulkanlah: bahwa $n$ bilangan *real* berbeda berpasangan jika dan hanya jika matriks momennya dapat dibalik, dan bahwa $\det S \geq 0$ selalu.

**Bagian II — Interpolasi ditinjau ulang.** Dengan simpul $x_1 < \dots < x_n$, dan nilai $y_1, \dots, y_n$.

6. Tulislah syarat “ $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ menginterpolasi” sebagai [sistem linear](#def-b1-det-system) pada $c_k$ dengan matriks $W$ , lalu pulihkanlah dari $\det W = V \neq  0$ keberadaan dan ketunggalan interpolannya (bandingkanlah kedua bukti yang terdahulu, [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) dan [Contoh 20.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. Lewat kaidah Cramer dan [penjabaran kofaktor](#thm-b1-det-cofactor) atas determinan yang bersangkutan sepanjang kolom terakhirnya, buktikanlah bahwa koefisien utama interpolannya adalah $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (Vandermonde yang menyatu) Hitunglah $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ lalu tafsirkanlah: bahwa data $\bigl(P(x_1), P'(x_1),  P(x_2)\bigr)$ menentukan satu $P \in \R_2[X]$ yang tunggal ketika $x_1 \neq x_2$ (yaitu interpolasi Hermite).
9. Carilah $P \in \R_2[X]$ yang tunggal dengan $P(0) = 1$ , $P'(0)  = 0$ , $P(1) = 2$ , lalu periksalah jawabanmu terhadap pertanyaan 8.

**Bagian III — [Determinan Cauchy](#pb-b1-det-1).** Misalkan $a_1,
\dots, a_n$ dan $b_1, \dots, b_n$ skalar dengan $a_i + b_j
\neq 0$ untuk semua $i, j$, dan

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. Hitunglah $C_2$ dengan tangan lalu tempatkanlah ia dalam bentuk “hasil kali selisih dibagi hasil kali jumlah”.
11. Untuk $n \geq 2$, jalankanlah $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ($i <  n$) lalu faktorkanlah baris dan kolomnya untuk membuktikan $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ dengan $M$ yang sepakat dengan matriks Cauchy pada baris $i < n$ dan berbaris terakhir $(1, 1, \dots, 1)$.
12. Jalankanlah $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) pada $M$, faktorkanlah lagi, lalu simpulkanlah lewat induksi *alternan ganda Cauchy*: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. Simpulkanlah kriteria keterbalikannya (yaitu $a_i$ berbeda berpasangan dan $b_j$ berbeda berpasangan). Bagi *[matriks Hilbert](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j -  1}\bigr)$ : hitunglah $\det H_2$ dan $\det H_3$ dari rumusnya, lalu periksalah bahwa $H_2^{-1}$ berentri bilangan bulat.
14. Tunjukkan bahwa untuk $b_j$ yang berbeda berpasangan dan sebarang ruas kanan, sistem $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) berpenyelesaian tunggal, lalu kaitkanlah ini dengan keberadaan dan ketunggalan penguraian pecahan parsial berkutub sederhana ( [Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#thm-b1-fractions-complex) ).

**Bagian IV — Diskriminan sebuah kubik.** Misalkan $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ akar (di dalam $\C$) atas $X^3
+ pX + q$, dan $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. Dengan memakai $\lambda^3 = -p\lambda - q$ pada setiap akarnya dan Vieta ( $p_1 = 0$ ), hitunglah $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ , dan $p_4 = 2p^2$ .
16. Dengan pertanyaan 5 (atas $\C$, dengan menjaga $\det S = V^2$), hitunglah $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. Simpulkanlah: bahwa $X^3 + pX + q$ berakar rangkap jika dan hanya jika $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; lalu periksalah pada $X^3 - 3X + 2 = (X -  1)^2(X + 2)$ .
18. Andaikan $p, q$ real. Buktikan bahwa kubiknya berakar real tiga yang berbeda jika dan hanya jika $\operatorname{disc}  > 0$ , dan berakar satu real tambah dua akar sekawan yang tak real jika dan hanya jika $\operatorname{disc} < 0$ . *(Jika $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ dan $\lambda_1 \in \R$, tunjukkanlah bahwa $V$ murni khayal.)*

**Bagian V — Dividen, dan metode berselang-selingnya.**

19. Untuk $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , tunjukkanlah $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. Hitunglah $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ untuk $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , mula-mula lewat pertanyaan 2–3, lalu lewat penjabaran langsung.
21. Misalkan $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ berbeda berpasangan dan taknol. Dengan memakai matriks Vandermonde yang dapat dibalik, buktikanlah lagi bahwa barisan geometri $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ membentuk [keluarga bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada ruang barisannya.
22. Hitunglah $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ dari alternan gandanya.
23. ( [Polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berselang-seling) Sebutlah sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $F$ pada $x_1,  \dots, x_n$ *berselang-seling* bila menukar dua variabelnya mengubah tandanya. Tunjukkan bahwa $F$ yang berselang-seling lenyap kapan pun $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), lalu simpulkanlah — satu variabel setiap kali, lewat teorema faktornya — bahwa $F$ terbagi oleh $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. Pakailah pertanyaan 23 untuk membuktikan ulang rumus Vandermonde tanpa induksi: bahwa determinan $\det(x_i^{\,j-1})$ merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berselang-seling berderajat total $\binom n2$ , jadi kelipatan *tetap* atas $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ ; lalu kenalilah tetapannya dengan membandingkan satu monomial.
25. Sintesis, dalam empat kalimat: sifat tunggal yang mana pada determinannya (yaitu aksioma yang mana) yang menghasilkan semua pemfaktoran soal ini; mengapakah kesamaan matriks momen pada pertanyaan 5 mengubah [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) tentang keberbedaan *kompleks* menjadi uji tanda *real* yang dapat dihitung; kedua matriks klasik yang mana yang dinilai selengkapnya di sini dan masalah [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang mana yang dikuasainya; dan bagaimanakah metode berselang-seling pertanyaan 23–24 menjelaskan, dalam satu gerakan, mengapa $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ terus muncul. Namailah teorema Bagian III.

**Solusi Soal 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1
\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. Adapun interpolasi pada simpul yang berbeda meminta koefisien $P$ yang memecahkan $W c =
y$ dengan $W = (x_i^{\,j-1})$, dan $\det W = V \neq 0$: jadi sistem Cramer.

**2.** Kerjakanlah kolomnya dari kiri ke kanan. $C_1$ adalah kolom tetap $P_0(x_i) = 1$ (dengan $P_0$ [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $0$). Andaikan kolom $1, \dots, j-1$ sudah tereduksi menjadi pangkat murni $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. Karena $P_{j-1}
= X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, mengurangkan dari $C_j$ kombinasi $\sum_k \alpha_k\,(\text{kolom atas } x_i^k)$ — yaitu operasi yang tak mengubah determinannya — menyisakan kolom pangkat murninya $x_i^{\,j-1}$. Setelah kolom terakhirnya matriksnya menjadi matriks Vandermonde: jadi $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** [Polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ bersifat [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dan berderajat $j - 1$, sehingga pertanyaan 2 memberikan

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

Ruas kirinya adalah determinan sebuah matriks berentri *bilangan bulat* (karena $B_k$ bernilai bulat pada $\Z$: yaitu pertanyaan 16–17 pada soal akhir pekan [Soal 18.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#pb-b1-vspaces-1)), sehingga ia bilangan bulat; dan ia positif karena $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ untuk $m_1 <
\dots < m_n$. Jadi superfaktorialnya [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) hasil kali semua selisih berpasangannya.

**4.** Faktorkanlah $x_i$ keluar dari setiap baris $i$: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\,
\det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$: jadi $S = W^{\mathsf T}W$. Maka $\det S =
\det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ ([Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). Untuk $x_i$ yang real: $\det S = V^2
\geq 0$, dan $S$ dapat dibalik jika dan hanya jika $V \neq 0$ jika dan hanya jika $x_i$ berbeda berpasangan — yaitu uji bertanda tegas yang dapat dihitung dari jumlah pangkatnya belaka.

**6.** Syarat interpolasinya $\sum_{k}
c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ membentuk sistem $Wc = y$; dan $\det W = V \neq
0$ memberikan keberadaan dan ketunggalannya sekaligus. Inilah bukti ketiga di dalam buku ini: yaitu rumus eksplisit pada [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange), argumen kernel pada [Contoh 20.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ex-b1-linmaps-interpolation), dan Cramer di sini.

**7.** Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ dengan $W'$ berupa $W$ yang kolom terakhirnya diganti oleh $y$. Menjabarkan $\det W'$ sepanjang kolom itu:

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

Kini $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i}
(x_j - x_i)$, dan mengalihkan hasil kali keduanya berongkos $(-1)^{n-i}$:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

dan dari situlah $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — yaitu rumus [selisih terbagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#pb-b1-vspaces-1) lagi.

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ memberikan baris $(1, x_1,
x_1^2)$, $(0, 1, 2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$; lalu menjabarkannya sepanjang kolom pertamanya dan memfaktorkan $(x_2 - x_1)$:

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

Ia taknol untuk $x_1 \neq x_2$: sehingga [sistem linear](#def-b1-det-system) yang menyatakan $P(x_1) = u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ pada koefisien $P \in \R_2[X]$ bersifat Cramer — jadi interpolasi Hermite dengan simpul yang berganda terajukan dengan baik.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ dengan $a = P(0) = 1$, $b = P'(0)
= 0$, $a + b + c = P(1) = 2$: jadi $c = 1$, sehingga $P = 1 + X^2$, yang tunggal. Keselarasannya: di sini $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ dan determinan pertanyaan 8 adalah $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** Perhitungan langsungnya:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

dan pembilangnya menjabar menjadi $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1
= (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$: yaitu selisih dibagi jumlah.

**11.** Untuk $i < n$, entri baru pada baris $i$ adalah

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

Faktorkanlah $(a_n - a_i)$ keluar dari setiap baris $i < n$, lalu $\frac1{a_n + b_j}$ keluar dari setiap kolom $j$: maka yang tersisa berentri $\frac1{a_i + b_j}$ pada baris $i < n$ dan tetap $1$ pada baris $n$ — yaitu matriks $M$, dengan prafaktor yang diumumkan.

**12.** Pada $M$, untuk $j < n$ operasi $C_j \leftarrow
C_j - C_n$ mengubah baris $n$ menjadi $(0, \dots, 0, 1)$ dan, pada baris $i
< n$,

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

Faktorkanlah $(b_n - b_j)$ dari setiap kolom $j < n$ dan $\frac1{a_i +
b_n}$ dari setiap baris $i < n$, lalu jabarkanlah sepanjang baris terakhirnya (dengan tanda $(-1)^{n+n} = +1$): maka determinan sisanya adalah $C_{n-1}$. Dengan menghimpun faktor pertanyaan 11–12:

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

dan induksinya (dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) merakit tepat alternan ganda Cauchy: yaitu faktor $(a_j - a_i)(b_j
- b_i)$ bagi semua pasangan, dibagi semua jumlah $(a_i + b_j)$.

**13.** Rumusnya lenyap jika dan hanya jika ada $a_j = a_i$ atau $b_j =
b_i$: sehingga matriks Cauchy dapat dibalik jika dan hanya jika kedua keluarganya berbeda berpasangan. Hilbert: $a_i = i$, $b_j = j - 1$. Untuk $n =
2$: pembilangnya $(2-1)(1-0) = 1$, penyebutnya $1\cdot2\cdot2\cdot3
= 12$: jadi $\det H_2 = \frac1{12}$. Untuk $n = 3$: pembilangnya $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, penyebutnya $(1\cdot2\cdot3)
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$: jadi $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. Inversnya untuk $n = 2$:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

semuanya bilangan bulat (yaitu gejala yang benar untuk setiap $n$).

**14.** Matriks sistemnya adalah matriks Cauchy, yang dapat dibalik menurut pertanyaan 13 ketika $b_j$ (dan $a_i$) berbeda berpasangan: jadi penyelesaiannya tunggal. Tafsirannya: sebuah fungsi rasional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ berkutub sederhana ditentukan oleh $n$ nilainya $R(a_1), \dots, R(a_n)$, dan sebaliknya setiap lembar data yang demikian terwujud tepat sekali — yaitu padanan pencuplikan atas teorema keberadaan dan ketunggalan pecahan parsialnya ([Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** Vieta bagi $X^3 + pX + q$: $\lambda_1 + \lambda_2 +
\lambda_3 = 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, sehingga $p_1 = 0$ dan $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. Setiap akarnya memenuhi $\lambda^3 =
-p\lambda - q$; dan menjumlahkannya: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. Mengalikannya dengan $\lambda$ lalu menjumlahkannya: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$.

**16.** Menurut pertanyaan 5 (karena kesamaan $S = W^{\mathsf T}W$ dan $\det S = V^2$ sah atas $\C$),

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

dengan menjabarkannya sepanjang baris pertamanya.

**17.** Akar rangkap berarti dua $\lambda_i$ yang sama, yaitu $V = 0$, yaitu $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$. Bagi $X^3 - 3X + 2$: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$, yang cocok dengan akar rangkap $1$ pada $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** Akar yang tak real pada kubik real datang berpasangan sekawan, sehingga tepat dua kasus terjadi ketika $\operatorname{disc} \neq
0$. Tiga akar real yang berbeda: maka $V$ real dan taknol, sehingga $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. Satu akar real $\lambda_1$ dan $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$: maka

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

sehingga $V$ bilangan murni khayal yang taknol dan $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. Jadi kedua tandanya mencirikan kedua kasusnya.

**19.** Ambillah $b_i = a_i$ pada alternan gandanya: maka pembilangnya $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ dan penyebutnya $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (karena semua entrinya positif): sehingga determinannya positif. (Dalam bahasa kemudian: kernel $\frac1{x+y}$ bersifat tegas positif.)

**20.** Menurut pertanyaan 2–3, determinannya sama dengan $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} =
\frac{30}{2} = 15$. Secara langsung, matriksnya adalah

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** Andaikan $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ sebagai sebuah barisan. Membacanya di $k = 0, 1, \dots, n-1$ memberikan $W^{\mathsf
T}c = 0$ dengan $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ yang dapat dibalik ($\det = V
\neq 0$, karena $\lambda_i$ berbeda): sehingga $c = 0$. Jadi barisan geometrinya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: pembilangnya $\bigl[(2-1)(3-1)
(3-2)\bigr]^2 = 4$; penyebutnya $\prod_{i,j}(i + j) =
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120
= 172800$. Maka $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800}
= \frac1{43200}$.

**23.** Jika $x_i = x_j$, maka penukaran kedua variabelnya menetapkan titiknya tetapi mesti mengubah tanda $F$: jadi $F = -F$, sehingga $F = 0$ di situ. [Keterbagiannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides): pandanglah $F$ sebagai [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) pada satu variabel $x_n$ dengan koefisien pada variabel lainnya; ia lenyap pada $n - 1$ “nilai” $x_1, \dots, x_{n-1}$, sehingga pemfaktoran berulang ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-factor)) memberikan $F =
\prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ dengan $G$ [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def). Adapun prafaktornya invarian terhadap penukaran dua indeks $i, j < n$, sehingga $G$ berselang-seling pada $x_1, \dots, x_{n-1}$, dan induksinya melengkapkannya: yaitu $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ merupakan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) pada $x_i$; dan menukar dua variabelnya menukar dua barisnya, sehingga $D$ berselang-seling, jadi menurut pertanyaan 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ bagi suatu [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $c$. Derajat totalnya: $D$ berderajat $\leq 0 +
1 + \dots + (n-1) = \binom n2$, sedangkan hasil kalinya berderajat tepat $\binom n2$: sehingga $c$ sebuah tetapan. Adapun monomial $x_2\,x_3^2\cdots
x_n^{\,n-1}$ berkoefisien $1$ pada $D$ (yaitu hasil kali diagonalnya) dan $1$ pada hasil kalinya (pilihlah variabel berindeks lebih besar pada setiap faktornya): jadi $c = 1$, dan rumus Vandermondenya jatuh tanpa induksi.

**25.** (i) Sifat berselang-selingnya — yaitu aksioma “dua kolom yang sama membunuh determinannya” — itulah mesinnya: karena ia menghasilkan setiap faktor $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ pada soal ini. (ii) Kesamaan $\det S = V^2$ mengganti akarnya yang kompleks dan tak terjangkau satu per satu dengan jumlah pangkatnya, yang berupa [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) real pada koefisiennya, sehingga keberbedaannya menjadi tanda sebuah bilangan real yang dapat dihitung. (iii) Adapun [determinan Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde) menguasai interpolasi [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), sedangkan [determinan Cauchy](#pb-b1-det-1) menguasai pecahan parsial dan fungsi rasional yang tercuplik (dengan [matriks Hilbert](#pb-b1-det-1) sebagai kasus khususnya yang paling termasyhur). (iv) Setiap [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berselang-seling terbagi oleh $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$, lalu cacah derajatnya memakukan [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) yang demikian sampai sebuah tetapan — dan itulah sebabnya hasil kali ini terus muncul kembali di mana pun sebuah determinan lenyap pada keberimpitan. Adapun teorema Bagian III adalah *alternan ganda Cauchy*.