---
title: "Ruang Euklides"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides
---

# Bab 23 — Ruang Euklides

Menambahkan [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) pada [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) real membeli gagasan geometrinya — panjang, sudut, keortogonalan, jarak — dan satu teorema yang menjulang di atas bab ini: bahwa setiap [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) mempunyai [proyeksi ortogonal](#thm-b1-euclid-projection), yang dapat dihitung lewat Gram–Schmidt, dan mewujudkan jarak terpendeknya. Adapun [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang menutup bab ini dan geometri tahun ini.

Sepanjang bab ini, $E$ merupakan [ruang vektor](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-def) *real*.

## 23.1 Hasil kali dalam

**Definisi 23.1.**

Sebuah *hasil kali dalam* pada $E$ adalah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ yang bilinear, setangkup, dan tegas positif ($\langle x, x\rangle >
0$ untuk $x \neq 0$). Adapun ruang [berdimensi hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#def-b1-findim-def) yang dilengkapi demikian disebut *ruang Euklides*. Sedangkan *norma* $x$ adalah $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$, dan $d(x, y) =
\norm{x - y}$.

**Contoh 23.2.**

Pada $\R^n$: hasil kali kanoniknya $\langle x, y\rangle = \sum x_i
y_i$. Pada $C(\intcc{a}{b})$: $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (dengan ketegasan positifnya adalah [Teorema 15.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-props) (4)). Pada $\R_n[X]$: $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$, atau $\sum_{i}
P(x_i)Q(x_i)$ atas $n+1$ titik yang berbeda.

**Contoh 23.3 (Sudut antara dua polinomial).**

Sekali sebuah [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) dipilih, *sebarang* dua vektor taknol mempunyai sudut, lewat $\cos\theta = \frac{\langle x,
y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (yaitu kosinus yang sah menurut Cauchy–Schwarz). Bagi $X$ dan $X^2$ pada $\int_0^1$:

$$
\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad
\norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5},
\qquad
\cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4}
\approx 0.968 :
$$

yaitu sudut sekitar $14.5$ derajat — jadi pada $\intcc{0}{1}$, grafik $x$ dan $x^2$ “nyaris sejajar” dalam makna rerata kuadratnya, dan itulah sebabnya membuang arah yang terbagi itu (lewat Gram–Schmidt, di bawah) hanya menyisakan koreksi kecil $X^2 - X + \frac16$.

**Teorema 23.4 (Cauchy–Schwarz; sifat normanya).**

Untuk semua $x, y \in E$:

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,
$$

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $x, y$ sebanding. Akibatnya $\norm\cdot$ memenuhi ketaksamaan segitiga $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm
y$ (dan $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$, $\norm x = 0 \iff
x = 0$). Lebih-lebih:

$$
\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2,
\qquad
\langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 -
\norm{x-y}^2\bigr) .
$$

**Bukti.** Jika $y = 0$, segalanya sepele. Kalau tidak, kuadratik $t
\mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2
\norm y^2$ bernilai $\geq 0$ untuk semua $t$: sehingga diskriminannya $\leq 0$, dan itulah Cauchy–Schwarz; adapun kesamaannya berarti akar rangkap $t_0$, yaitu $x + t_0 y = 0$ (lewat ketegasannya): jadi kesebandingan. Adapun ketaksamaan segitiganya: jabarkanlah,

$$
\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2
\leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2
= \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,
$$

dengan langkah tengahnya adalah Cauchy–Schwarz; dan kesamaannya memaksa $\langle
x, y\rangle = \norm x\norm y$, yaitu kasus kesamaan yang *positif*, jadi kesebandingan dengan nisbah taknegatif — sehingga secara geometri, segitiganya merosot hanya ketika kedua vektornya menunjuk arah yang sama. Kedua kesamaan terakhirnya merupakan penjabaran langsung (dengan yang kedua, yaitu *kesamaan polarisasi*, memulihkan hasil kalinya dari normanya). ∎

## 23.2 Keortogonalan

**Definisi 23.5.**

$x \perp y$ ketika $\langle x, y \rangle = 0$. Sebuah keluarga disebut *ortogonal* bila vektornya ortogonal berpasangan, dan *ortonormal* bila lebih-lebih masing-masingnya bernorma $1$. Adapun *[pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) ortogonal* sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $F$ adalah

$$
F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle =
0\},
$$

sebuah [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $E$.

**Proposisi 23.6.**

(Pythagoras) Jika $x \perp y$ maka $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$. Sebuah keluarga [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) berisi vektor taknol bersifat [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free). Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots,
e_n)$, [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) dan hasil kalinya adalah

$$
x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i,
\qquad
\langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y,
e_i\rangle,
\qquad
\norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .
$$

**Bukti.** Pythagoras: jabarkanlah. Kebebasannya: ambillah $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ atas sebuah kombinasi nol: maka $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$. [Koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates): tulislah $x = \sum \lambda_i e_i$ lalu ambillah hasil kalinya dengan $e_j$: $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$; dan kedua rumusnya menyusul lewat kebilinearan. ∎

**Contoh 23.7 (Koordinat ortonormal, dengan periksa Parseval).**

Jabarkanlah $x = (1, 2, 3)$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) [Latihan 23.3](#exo-b1-euclid-3),

$$
e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad
e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad
e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).
$$

Tak ada sistem yang perlu dipecahkan — hanya tiga [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def):

$$
\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2},
\qquad
\langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} =
\frac{5}{\sqrt6},
\qquad
\langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} =
\frac{4}{\sqrt3}.
$$

Pengesahannya lewat rumus norma pada proposisinya:

$$
\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3}
= \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .
$$

Periksa jumlah kuadrat [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) ini (yaitu kesamaan Parseval yang hingga) berongkos beberapa detik dan menangkap galat tanda dan penormalan nyaris pasti — jadikanlah ia kebiasaan kapan pun sebuah penjabaran [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) dihitung; adapun versi berdimensi takhingganya, bagi koefisien Fourier pada [Contoh 23.14](#ex-b1-euclid-trigortho), merupakan teorema jilid Tahun 3.

**Teorema 23.8 (Gram–Schmidt).**

Setiap [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def) mempunyai [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal). Secara eksplisit, dari sebarang [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $(v_1, \dots, v_n)$, resepnya

$$
w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i ,
\qquad
e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}
$$

menghasilkan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots, e_n)$ dengan $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1,
\dots, v_k)$ untuk setiap $k$.

**Bukti.** Induksi pada $k$. Dengan mengandaikan $(e_1, \dots, e_{k-1})$ [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) dan merentang $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$: maka vektor $w_k$ [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap setiap $e_j$ ($j < k$) menurut konstruksinya ($\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k,
e_j\rangle$), dan $w_k \neq 0$ karena $v_k \notin
\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$. Menormalkannya menjaga keortogonalannya; sedangkan [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) [rentangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) berlaku karena $e_k$ merupakan kombinasi atas $v_k$ dan $e_i$ yang terdahulu, secara terbalikkan. ∎

**Contoh 23.9 (Gram–Schmidt pada polinomial, selengkapnya).**

Ortonormalkanlah $(1, X, X^2)$ di dalam $\R_2[X]$ dengan $\langle P,
Q\rangle = \int_0^1 PQ$. *Langkah 1*: $\norm{1}^2 = 1$, sehingga $e_1 = 1$. *Langkah 2*: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X -
\frac12$, dan $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2
\dd x = \frac1{12}$: jadi $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$. *Langkah 3*: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ dan

$$
\langle X^2, e_2\rangle
= \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x
= \frac{\sqrt{12}}{12},
\qquad\text{sehingga}\qquad
w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr)
= X^2 - X + \frac16 .
$$

Normanya dihitung pada [Latihan 23.9](#exo-b1-euclid-9): $\norm{w_3}^2 =
\frac1{180}$, dan dari situlah $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X +
\frac16\bigr)$. Adapun [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $1$, $X - \frac12$, $X^2 - X +
\frac16$ merupakan, sampai skalanya, *[polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) Legendre* yang pertama pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{0}{1}$; dan konstruksinya berlanjut satu derajat setiap kali, dengan setiap [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) barunya [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap semua pendahulunya. Perhatikanlah bagaimana algoritmanya mendaur ulang kerja terdahulunya: [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) yang dikurangkan pada langkah 3 tepat merupakan hampiran afin terbaik atas $X^2$ yang ditemukan pada [Contoh 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox) — jadi Gram–Schmidt *adalah* [proyeksi ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) yang berulang.

**Teorema 23.10 (Proyeksi ortogonal).**

Misalkan $F$ [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def) $E$. Maka

$$
E = F \oplus F^{\perp},
$$

dan [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) $p_F$ yang berkaitan ke $F$ (yaitu *proyeksi ortogonal*) diberikan, pada sebarang [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots, e_k)$ pada $F$, oleh $p_F(x) = \sum_i
\langle x, e_i\rangle e_i$. Ia mewujudkan jarak ke $F$: karena untuk semua $y \in F$,

$$
\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},
$$

dengan kesamaannya hanya untuk $y = p_F(x)$; dan orang menulis $d(x, F) = \norm{x -
p_F(x)}$.

**Bukti.** Ambillah [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_i)_{i \leq k}$ pada $F$ ([Teorema 23.8](#thm-b1-euclid-gramschmidt) di dalam $F$) lalu tetapkanlah $\pi(x) =
\sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$. Maka $x - \pi(x) \perp e_j$ untuk setiap $j$ (lewat penghapusan yang sama seperti di atas), sehingga $x - \pi(x) \in
F^\perp$: jadi $E = F + F^\perp$. Dan $F \cap F^\perp = \{0\}$: karena vektor yang demikian memenuhi $\langle x, x\rangle = 0$. Jadi jumlahnya langsung dan $\pi = p_F$.

Jaraknya: untuk $y \in F$, uraikanlah $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) -
y)$, yaitu potongan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) ($F^\perp$ dan $F$); lalu Pythagoras:

$$
\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2
\geq \norm{x - p_F(x)}^2,
$$

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $y = p_F(x)$. ∎

**Contoh 23.11 (Proyeksi tak pernah memanjangkan).**

Menerapkan Pythagoras pada pembelahan $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$:

$$
\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq
\norm x^2 ,
$$

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $x \in F$. Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1,
\dots, e_k)$ pada $F$ ini terbaca $\sum_{i \leq k}\langle x,
e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (yaitu *ketaksamaan Bessel*): sebanyak apa pun arah [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) yang diukur orang, kuadrat [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) tak pernah melampaui kuadrat panjangnya — bandingkanlah kesamaan persis pada [Contoh 23.7](#ex-b1-euclid-parsevalcheck) ketika keluarganya [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) penuh. Ketaksamaan sebaris inilah yang membuat koefisien Fourier terjumlahkan pada jilid Tahun 3; sedangkan di sini ia sudah menjelaskan mengapa menambahkan lebih banyak fungsi [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pada suatu pencocokan kuadrat terkecil hanya dapat mengurangi sisaannya.

**Contoh 23.12 (Hampiran kuadratik terbaik).**

Di dalam $C(\intcc{0}{1})$ dengan $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$, [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq 1$ yang terdekat dengan $f(x) = x^2$ dalam jarak (rerata kuadrat) yang berkaitan adalah $p_F(f)$ dengan $F = \R_1[X]$. Gram–Schmidt pada $(1, X)$: $e_1 = 1$, $w_2 = X - \frac12$, $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$, $e_2 =
\sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$. Lalu

$$
p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2
= \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd
x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr)
= X - \frac{1}{6},
$$

dengan memakai $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 =
\frac{1}{12}$. Jadi gagasan “kuadrat terkecil” dalam satu baris aljabar [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def).

**Metode 23.13 (Tiga rute menuju sebuah jarak d(x,F)d(x, F)d(x,F)).**

1. *[Basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) pada $F$*: maka $p_F(x) = \sum_i  \langle x, e_i\rangle e_i$ dan, menurut Pythagoras, $$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2  = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$$ yang kerap lebih murah daripada menghitung $x - p_F(x)$ itu sendiri.
2. *Persamaan normal* : dengan sebarang keluarga pembangun $F$ , pecahkanlah $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ bagi koefisien $p$ ( [Latihan 23.5](#exo-b1-euclid-5) ) — jadi tak ada pengortonormalan yang diperlukan.
3. *Lewat [pelengkapnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum)*: jika $F^\perp$ lebih kecil daripada $F$ (misalnya $F$ sebuah [hiperbidang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-forms), dan $F^\perp$ sebuah garis $\operatorname{Vect}(n)$), proyeksikanlah ke $F^\perp$ sebagai gantinya: $$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} =  \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$$ yaitu rumus jarak ke sebuah bidang yang klasik ([Latihan 25.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#exo-b1-multivar-8) memakainya).

Rute 3 merupakan kasus khusus sebuah gerak naluri umum: yaitu selalu proyeksikanlah ke mana pun di antara $F$, $F^\perp$ yang berdimensi lebih kecil.

**Contoh 23.14 (Keortogonalan trigonometri: pratinjau Fourier).**

Pada $C(\intcc{0}{2\pi})$ dengan $\langle f, g\rangle =
\frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$, keluarga

$$
\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\
\dots\Bigr)
$$

bersifat [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal): misalnya $\langle \cos px, \cos qx\rangle =
\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ untuk $p \neq q$ (linearkanlah hasil kalinya menjadi $\frac12[\cos(p{-}q)x +
\cos(p{+}q)x]$ lalu integralkanlah atas periode penuhnya), sedangkan $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$. Maka [proyeksi ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) ke [rentang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-span) $2N + 1$ fungsi yang pertama ini karenanya berkoordinat $\langle f, e_i\rangle$ — yaitu [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) terhadap kosinus dan sinus. Inilah *koefisien Fourier* pada $f$, dan [proyeksinya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) adalah hampiran trigonometri rerata kuadrat terbaiknya; adapun jilid Tahun 3 mempelajari kekonvergenannya. Keortogonalanlah yang mengerjakan segalanya: karena rumus koefisiennya adalah [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection) secara harfiah.

## 23.3 Isometri bidang

**Definisi 23.15.**

Sebuah endomorfisma $u$ pada [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def) disebut *isometri* (atau [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)) ketika ia mengawetkan normanya: $\norm{u(x)} = \norm x$ untuk semua $x$ — setara dengan itu (lewat polarisasi) ia mengawetkan [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def); setara dengan itu matriksnya $A$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) memenuhi $A^{\mathsf T} A = I$. Adapun isometri membentuk [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group), yaitu [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) $O(E)$.

**Contoh 23.16 (Mengenali sebuah isometri sekali pandang).**

Apakah $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)? Kolomnya: normanya $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ dan $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$; hasil kalinya $\frac1{25}(3\cdot(-4) +
4\cdot3) = 0$. Ya — dan $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$, sehingga ia rotasi $R_\theta$ dengan $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$ (yaitu “rotasi $3$-$4$-$5$”, yang sudutnya bukan pecahan $\pi$ yang istimewa). Sebaliknya $B =
\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tampak berdeterminan terskalakan satuan tetapi kolom pertamanya tak bersatuan ($\frac1{\sqrt2}$): jadi tak [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) — karena determinan $\pm1$ belaka tak mengesahkan apa pun, kolomnya mesti diperiksa.

**Teorema 23.17 (Isometri bidang).**

Pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) sebuah bidang Euklides, matriks [isometrinya](#def-b1-euclid-isometry) tepat berupa

$$
R_\theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\quad (\text{rotasi bersudut } \theta,\ \det = 1),
$$

$$
S_\theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta
\end{pmatrix}
\quad (\det = -1),
$$

dengan yang terakhirnya adalah pencerminan pada garis yang bersudut $\frac\theta2$ dengan vektor [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) pertamanya.

**Bukti.** Misalkan $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ dengan $A^{\mathsf T}A = I$: maka kolomnya bersatuan dan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal). Kolom pertamanya adalah $(\cos\theta, \sin\theta)$ bagi suatu $\theta$; sedangkan yang kedua, yang bersatuan dan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadapnya, adalah $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$. Adapun tanda $+$ memberikan $R_\theta$; sedangkan tanda $-$ memberikan $S_\theta$. Orang memeriksa $S_\theta^2 = I$ dan bahwa vektor $(\cos\frac\theta2,
\sin\frac\theta2)$ tertetapkan sedangkan [ortogonalnya](#def-b1-euclid-orthogonal) terbalikkan: jadi sebuah pencerminan. (Dan $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$: sehingga [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) rotasinya adalah [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) sudutnya — bandingkanlah [Teorema 3.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#thm-b1-complex-funceq).) ∎

![Dua pencerminan membuat sebuah rotasi: mencerminkan M = (2, 0.5) pada sumbu x, lalu pada garis y = x, mendarat di (-0.5, 2) — yaitu peta M di bawah rotasi bersudut π2 terhadap titik asalnya, yakni dua kali sudut π4 antara sumbunya. Adapun soal akhir pekannya mengubah gambar ini menjadi hukum komposisi semua isometri bidang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-euclid/fig-dcd9621ba68c.svg)

*Dua pencerminan membuat sebuah rotasi: mencerminkan $M = (2,
0.5)$ pada sumbu $x$, lalu pada garis $y = x$, mendarat di $(-0.5, 2)$ — yaitu peta $M$ di bawah rotasi bersudut $\frac\pi2$ terhadap titik asalnya, yakni *dua kali* sudut $\frac\pi4$ antara sumbunya. Adapun soal akhir pekannya mengubah gambar ini menjadi hukum komposisi semua [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang.*

**Catatan 23.18 (Jebakan yang lazim).**

*Rumus [proyeksinya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) menuntut [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal)*: karena bagi keluarga pembangun $(v_i)$ pada $F$ belaka, jumlah $\sum_i\langle
x, v_i\rangle v_i$ *bukan* $p_F(x)$ (ujilah $F = \R^2$, $v_1
= e_1$, $v_2 = e_1 + e_2$); jadi dengan keluarga yang tak [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal), pecahkanlah persamaan normalnya sebagai gantinya ([Metode 23.13](#met-b1-euclid-distance) (2)). *Keluarga [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) mesti menghindari $0$ agar [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free)*: karena vektor nol [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap segalanya, termasuk terhadap dirinya sendiri — sedangkan kebebasan pada [Proposisi 23.6](#prop-b1-euclid-orthfree) menuntut vektor yang taknol. *$F^\perp$ bergantung pada [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def)*: di dalam $\R_1[X]$, [pelengkap](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-sum) $\operatorname{Vect}(X)$ bagi $\int_0^1 PQ$ bukanlah konstantanya melainkan $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — hitunglah $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$; jadi “tegak lurus” tak bermakna sampai hasil kalinya dinamai. *Jangan menjabarkan $\norm{x + y}$ secara [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def)*: karena kesamaan yang benar adalah $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle +
\norm y^2$; sedangkan suku silangnya lenyap hanya di bawah keortogonalan (Pythagoras), dan ketaksamaan segitiganya memang sebuah *ketaksamaan*. *Mengirim vektor satuan ke vektor satuan belumlah cukup*: karena $u(x,
y) = (x + y,\ 0)$ memetakan kedua vektor [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya ke vektor satuan $(1, 0)$, namun $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$: jadi bukan [isometri](#def-b1-euclid-isometry). Definisinya menuntut $\norm{u(x)} = \norm x$ untuk *semua* $x$; dan dalam istilah matriks $A^{\mathsf T}A = I$, yaitu kolom yang bersatuan *dan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) berpasangan* — jadi kedua syaratnya, diperiksa bersama.

**Catatan 23.19 (Ke mana hasil kali dalamnya pergi).**

[Proyeksi ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) merupakan teorema bab ini yang paling banyak diterapkan: ia melandasi kuadrat terkecil (karena soal akhir pekan [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar) membangun garis regresi di atasnya), koefisien Fourier ([Contoh 23.14](#ex-b1-euclid-trigortho)), dan persamaan normal [Latihan 23.5](#exo-b1-euclid-5), yang dipecahkan analisis numeris secara besar-besaran. Adapun penggolongan $R_\theta / S_\theta$ dilengkapkan di bawah: karena soal akhir pekannya menggolongkan *semua* transformasi bidang yang mengawetkan jarak, yang [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) ataupun bukan, beserta [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingganya — yaitu matematika rozet dan segi banyak beraturan. Pada jilid Tahun 2 [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def) bertemu teori nilai eigen (yaitu matriks setangkup, bentuk kuadratik); sedangkan pada Tahun 3, geometri Euklides berdimensi takhingga menjadi teori ruang Hilbert.

**Catatan 23.20 (Cakrawala di dalam Buku 3).**

Dua jembatan meninggalkan bab ini. *Ke belakang*, menuju aljabar [linearnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def): matriks Gram pada [Latihan 23.11](#exo-b1-euclid-11) membungkus [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) ke dalam mesin determinan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det), dan [proyeksi ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) merupakan proyektor istimewa [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) yang kernelnya $F^\perp$ — sehingga seluruh aljabarnya ($p^2 = p$, $s = 2p -
\mathrm{id}$) berlaku secara harfiah, kini dengan bonus bahwa $\norm{x
- p(x)}$ merupakan sebuah *jarak*. *Ke depan*, menuju analisisnya: [Bab 24](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/24-kurva-bidang#ch-b1-curves) mengukur panjang busur dengan norma bab ini dan tak menggolongkan apa pun tanpa [isometrinya](#def-b1-euclid-isometry); [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar) membaca gradiennya lewat Cauchy–Schwarz (yaitu pendakian tercuram) dan menutup jilid ini dengan kuadrat terkecil, yang merupakan [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection) yang diterapkan pada sebuah vektor data di dalam $\R^n$. Jadi [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def) adalah titik tempat aljabar buku ini dan analisisnya akhirnya bertemu.

## 23.4 Latihan

**Latihan 23.1 ★.**

Di dalam $\R^3$ yang kanonik: hitunglah $\langle u, v\rangle$, $\norm u$, $\norm v$ dan sudut antara $u = (1, 2, 2)$ dan $v = (2, -2,
1)$. Periksalah Cauchy–Schwarz secara numeris.

**Solusi Latihan 23.1.**

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$; $\norm u = \norm v = 3$. Adapun vektornya [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal): sehingga sudutnya $\frac\pi2$. Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$, dengan lapang.

**Latihan 23.2 ★.**

Buktikan kesamaan jajargenjang $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 =
2\norm x^2 + 2\norm y^2$ pada sebarang [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def), lalu pakailah ia untuk menunjukkan bahwa norma sup pada $\R^2$, $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x,
\abs y)$, tak berasal dari sebuah [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def).

**Solusi Latihan 23.2.**

Jabarkanlah kedua kuadrat normanya dengan kesamaan pada [Teorema 23.4](#thm-b1-euclid-cs) lalu tambahkanlah: maka suku silangnya saling menghapus.

Norma supnya: ambillah $x = (1, 0)$, $y = (0, 1)$. Maka $\norm{x + y}_\infty
= \norm{x - y}_\infty = 1$ dan kesamaannya akan menuntut $1 + 1 =
2(1) + 2(1) = 4$: jadi salah. Sebuah norma yang melanggar kesamaan jajargenjang tak berasal dari [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) mana pun.

**Latihan 23.3 ★.**

Terapkanlah Gram–Schmidt pada $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ di dalam $\R^3$ yang kanonik.

**Solusi Latihan 23.3.**

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$.

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) -
\frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$, sehingga $e_2 =
\frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$.

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot,
e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) =
\bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$; dan dengan menormalkannya, $e_3 =
\frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$.

(Periksa: hasil kali berpasangannya lenyap; dan masing-masingnya bernorma $1$.)

**Latihan 23.4 ★.**

Di dalam $\R^3$, misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$. Tentukanlah $F^\perp$ (persamaan dan basisnya), matriks $p_F$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) kanoniknya, dan $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$.

**Solusi Latihan 23.4.**

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$, dengan [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,-1,0),
(1,0,-1)\bigr)$. Dengan $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$: $p_F(x) =
\langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$, sehingga

$$
\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13
\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.
$$

Untuk $x = (1,2,3)$: $p_F(x) = (2,2,2)$ dan $d(x, F) = \norm{(1,2,3)
- (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$.

**Latihan 23.5 ★★.**

(Persamaan normal) Misalkan $F =
\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ dan $x = (1, 1, 4)$. Hitunglah $p_F(x)$ dengan memecahkan $\langle x - p, v
\rangle = 0$ bagi kedua pembangunnya ($p = \alpha(1,0,1) +
\beta(0,1,1)$), lalu $d(x, F)$. Mengapakah Gram–Schmidt tak diperlukan di sini?

**Solusi Latihan 23.5.**

Misalkan $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha +
\beta)$. Keortogonalan $x - p$ terhadap pembangunnya:

$$
\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta)
= 0,
\qquad
\langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta)
= 0,
$$

yaitu $2\alpha + \beta = 5$ dan $\alpha + 2\beta = 5$: sehingga $\alpha =
\beta = \frac53$. Jadi $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53,
\frac{10}{3}\bigr)$ dan

$$
d(x, F) = \norm{x - p} =
\norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} =
\frac{2}{\sqrt 3} .
$$

Gram–Schmidt tak diperlukan karena sifat yang mendefinisikan [proyeksinya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection) — yaitu $x - p \perp F$ — itu sendiri sebuah [sistem linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#def-b1-det-system) (“persamaan normal”) pada koefisiennya di dalam *sebarang* keluarga pembangun.

**Latihan 23.6 ★★.**

Untuk $f$ yang [kontinu](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous) pada $\intcc{0}{1}$, buktikanlah

$$
\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,
$$

beserta kasus kesamaannya, sebagai contoh Cauchy–Schwarz di dalam $C(\intcc{0}{1})$. Lalu buktikanlah $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq
n \sum a_i^2$ bagi $a_i$ yang real.

**Solusi Latihan 23.6.**

Cauchy–Schwarz dengan $g = 1$:

$$
\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1
1^2 = \int_0^1 f^2 ,
$$

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $f$ sebanding dengan $1$, yaitu tetap. Adapun versi diskretnya: di dalam $\R^n$ dengan $x = (a_1, \dots, a_n)$, $y = (1, \dots,
1)$: $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$, dengan kesamaannya jika dan hanya jika semua $a_i$ sama.

**Latihan 23.7 ★★.**

Buktikan bahwa untuk setiap [subruang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) $F$ pada sebuah [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def): $(F^{\perp})^{\perp} = F$ dan $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$.

**Solusi Latihan 23.7.**

Menurut [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection), $E = F \oplus F^\perp$, sehingga dimensinya bertambah: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$. Adapun pemuatan $F
\subseteq (F^\perp)^\perp$ seketika (karena vektor $F$ [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap segalanya di dalam $F^\perp$). Dimensinya: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$; dan sebuah pemuatan dengan dimensi (hingga) yang sama merupakan kesamaan ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/19-dimensi-hingga#thm-b1-findim-subspaces)).

**Latihan 23.8 ★★.**

Kenalilah [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang yang bermatriks

$$
A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix},
\qquad
B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}
$$

(jenis, sudut atau sumbunya). Hitunglah $A^8$ dan $B^2$ tanpa mengalikan matriks.

**Solusi Latihan 23.8.**

$A$: kolomnya bersatuan, determinannya $+1$: jadi sebuah rotasi, dengan $\cos\theta =
\frac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$: sehingga $\theta =
\frac\pi4$. Maka $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$.

$B$: determinannya $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$: jadi sebuah pencerminan $S_\theta$ dengan $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$; dan sumbunya bersudut $\frac\theta2$ dengan sumbu $x$, yaitu garis yang berarah $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — secara nyata sumbunya adalah $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$, karena $B(2,1)^{\mathsf T} =
\frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$. Dan sebagai pencerminan, $B^2 = I$.

**Latihan 23.9 ★★★.**

(Minimum sebagai sebuah [proyeksi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-projection)) Hitunglah

$$
\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,
$$

dengan memakai [Contoh 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox): karena minimumnya adalah $\norm{f -
p_F(f)}^2$ bagi $f = X^2$, $F = \R_1[X]$.

**Solusi Latihan 23.9.**

Besarannya adalah $\norm{f - (a + bX)}^2$ di dalam $C(\intcc{0}{1})$ dengan [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) [integralnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def): yang minimum tepat pada [proyeksi ortogonalnya](#thm-b1-euclid-projection) $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ ([Contoh 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox)). Adapun minimumnya adalah

$$
\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2}
\dd x .
$$

Jabarkanlah: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3
+ \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 -
\frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$. Jadi minimumnya sama dengan $\dfrac{1}{180}$.

**Latihan 23.10 ★★★.**

Misalkan $u$ sebuah [isometri](#def-b1-euclid-isometry) pada [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def) $E$. Buktikan bahwa $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$, lalu simpulkanlah $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u -
\mathrm{id})$. *(Hitunglah $\langle x - u(x), y\rangle$ bagi $u(y) = y$, dengan memakai pengawetan hasil kalinya.)*

**Solusi Latihan 23.10.**

Misalkan $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (yaitu $u(y) = y$) dan $x \in E$. Maka, dengan memakai pengawetan [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def) ($\langle u(a),
u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$):

$$
\langle x - u(x),\, y\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :
$$

jadi setiap vektor $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap setiap vektor yang tetap.

Karenanya $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u -
\mathrm{id})^{\perp}$, dan menurut rank–nulitas beserta [Latihan 23.7](#exo-b1-euclid-7), keduanya berdimensi $\dim E - \dim\ker(u -
\mathrm{id})$: sehingga keduanya sama. Maka $E = \ker(u - \mathrm{id})
\oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus
\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$.

**Latihan 23.11 ★★.**

(Matriks Gram) Untuk vektor $v_1, \dots, v_k$ pada sebuah [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def), misalkan $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j
\leq k}$ *matriks Gram*-nya.

1. Buktikan bahwa $(v_1, \dots, v_k)$ [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) jika dan hanya jika $G$ dapat dibalik. *(Jika $Gc = 0$, hitunglah $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$.)*
2. Hitunglah matriks Gram atas $(1, X, X^2)$ di dalam $\R_2[X]$ dengan $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , kenalilah [matriks Hilbert](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#pb-b1-det-1) $H_3$ pada soal akhir pekan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) , lalu simpulkanlah kebebasannya dari $\det H_3 =  \frac1{2160} \neq 0$ .

**Solusi Latihan 23.11.**

1. Andaikan $Gc = 0$ bagi sebuah kolom $c = (c_1, \dots,  c_k)^{\mathsf T}$. Maka $$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2  = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle  = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$$ sehingga $\sum_i c_i v_i = 0$. Jika keluarganya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) maka ini memaksa $c = 0$: jadi $G$ dapat dibalik. Sebaliknya, sebuah hubungan yang tak sepele $\sum_j c_j v_j = 0$ memberikan, dengan mengambil hasil kalinya dengan setiap $v_i$, hubungan tak sepele $Gc = 0$: jadi $G$ singular. Maka kebebasannya $\iff \det G \neq 0$.
2. $\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd  x = \frac{1}{i+j-1}$ : sehingga matriks Gram atas $(1, X, X^2)$ tepat merupakan [matriks Hilbert](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#pb-b1-det-1) $H_3$ , yang determinannya $\frac1{2160}$ dihitung pada soal akhir pekan [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) : yang taknol, sehingga monomialnya [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) — seperti yang diharapkan, tetapi kini disahkan oleh sebuah bilangan.

**Latihan 23.12 ★★★.**

Misalkan $u$ sebuah endomorfisma pada [ruang Euklides](#def-b1-euclid-def) $E$ yang matriksnya $A$ pada [basis](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) sekaligus [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) ($A^{\mathsf T}A
= I$) dan setangkup ($A^{\mathsf T} = A$).

1. Tunjukkan $A^2 = I$ , lalu simpulkanlah (lewat [Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#thm-b1-linmaps-projchar) ) bahwa $E = \ker(u -  \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
2. Tunjukkan bahwa kedua [subruangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-subspace) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) , sehingga $u$ merupakan *kesetangkupan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)* terhadap $F =  \ker(u - \mathrm{id})$ : yaitu pencerminan lewat $F$ . *(Bagi $u(x) = x$ dan $u(y) = -y$, hitunglah $\langle  x, y\rangle$ dengan dua cara.)*
3. Golongkanlah kasus bidangnya: matriks yang mana pada [Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane) yang setangkup, dan apakah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang bersesuaian dengannya?

**Solusi Latihan 23.12.**

1. $A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , sehingga $u^2 =  \mathrm{id}$ : jadi $u$ sebuah kesetangkupan, dan [Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#thm-b1-linmaps-projchar) (2) memberikan $E = \ker(u -  \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
2. Misalkan $u(x) = x$ dan $u(y) = -y$. Karena $u$ mengawetkan [hasil kali dalamnya](#def-b1-euclid-def), $$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle  = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$$ sehingga $\langle x, y\rangle = 0$: jadi kedua ruang eigennya [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal), $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ bagi $F =  \ker(u - \mathrm{id})$, dan $u$ merupakan kesetangkupan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap $F$.
3. $R_\theta$ setangkup jika dan hanya jika $-\sin\theta = \sin\theta$ , yaitu $\theta \in \{0, \pi\}$ : jadi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\pm\mathrm{id}$ (yaitu identitas dan kesetangkupan pusat). Sedangkan setiap $S_\theta$ setangkup: yaitu pencerminan garisnya. Inilah tepat kesetangkupan [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) bidangnya, dengan $F$ sama dengan seluruh bidangnya, $\{0\}$ , atau sumbu pencerminannya.

## 23.5 Soal: isometri bidang dan teorema Leonardo

**Soal 23.1.**

Sebuah *[isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang* adalah sebarang [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $f \colon \R^2 \to
\R^2$ yang mengawetkan jarak: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ untuk semua $x, y$ — tanpa mengandaikan kelinearan. Soal ini membuktikan bahwa [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang demikian tepat berupa translasi, rotasi, pencerminan dan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) (yaitu penggolongan [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang), menghitung komposisinya, lalu menentukan semua [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) *hingga*-nya: yaitu teorema Leonardo, matematika di balik pola rozet. Sejak Bagian II kita menyamakan $\R^2$ dengan $\C$ ([Bab 3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#ch-b1-complex)): dengan [hasil kali dalam](#def-b1-euclid-def) kanoniknya adalah $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ dan normanya adalah modulusnya.

**Bagian I — Setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bersifat afin.**

1. Periksalah bahwa translasi $t_a(x) = x + a$ , [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) , dan semua komposisinya merupakan [isometri](#def-b1-euclid-isometry) , dan bahwa [isometrinya](#def-b1-euclid-isometry) membentuk [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) di bawah komposisi.
2. Misalkan $f$ sebuah [isometri](#def-b1-euclid-isometry) dengan $f(0) = 0$ . Tunjukkan bahwa $f$ mengawetkan norma, lalu — lewat polarisasi, [Teorema 23.4](#thm-b1-euclid-cs) — bahwa $\langle f(x),  f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ untuk semua $x, y$ .
3. Masih dengan $f(0) = 0$ : jabarkanlah $\norm{f(x + y) - f(x) -  f(y)}^2$ dan $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ dengan memakai pertanyaan 2, lalu simpulkanlah bahwa $f$ bersifat *[linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def)* : yaitu $f \in O(\R^2)$ .
4. Simpulkanlah bahwa setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) $f$ tertulis *secara tunggal* sebagai $f = t_a \circ g$ dengan $a = f(0)$ dan $g$ sebuah [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) (yaitu *bagian [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def)* pada $f$ ).
5. Sebutlah $f$ *langsung* bila $\det g = 1$ , dan *taklangsung* bila $\det g = -1$ . Tunjukkan bahwa bagian [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) sebuah komposisi adalah komposisi bagian [linearnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) , lalu nyatakanlah kaidah tanda yang dihasilkannya (yaitu langsung/taklangsung berkomposisi bagai $+1/-1$ ).

**Bagian II — Keempat jenisnya.** Lewat [Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane), [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) pada $\C$ adalah $z
\mapsto az$ dan $z \mapsto a\conj z$ dengan $\abs a = 1$; sehingga setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang berupa

$$
f(z) = a z + b \quad (\text{langsung}) \qquad\text{atau}\qquad
f(z) = a\conj z + b \quad (\text{taklangsung}), \qquad \abs a = 1 .
$$

6. Periksalah kamusnya: bahwa $R_\theta$ adalah $z \mapsto  \eu^{\iu\theta}z$ dan $S_\theta$ adalah $z \mapsto  \eu^{\iu\theta}\conj z$ (periksalah keduanya pada $1$ dan $\iu$ ).
7. (Kasus langsungnya) Misalkan $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Tunjukkan: bila $a = 1$ , maka $f$ sebuah translasi; bila $a \neq 1$ , maka $f$ mempunyai titik tetap tunggal $z_0 = b/(1 - a)$ dan $f(z) - z_0  = a(z - z_0)$ : yaitu *rotasi* berpusat $z_0$ dan bersudut $\arg a$ .
8. (Kasus taklangsungnya) Misalkan $f(z) = a\conj z + b$ , dan $v =  a\conj b + b$ . Tunjukkan $f \circ f = t_v$ dan $f \circ t_v =  t_v \circ f$ . Jika $v = 0$ : tunjukkanlah bahwa titik tengah $z$ dan $f(z)$ merupakan titik tetap, dan bahwa $f$ sebuah *pencerminan* pada sebuah garis. Jika $v \neq 0$ : tunjukkanlah bahwa $r  = t_{-v/2}\circ f$ sebuah pencerminan yang sumbunya sejajar $v$ , sehingga $f = t_{v/2} \circ r$ merupakan *[pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1)* . Simpulkanlah: bahwa setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang berupa translasi, rotasi, pencerminan atau [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) (yaitu penggolongan [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang).
9. (Komposisinya) Tunjukkan: bahwa komposisi rotasi bersudut $\alpha$ dan $\beta$ adalah rotasi bersudut $\alpha + \beta$ (yaitu translasi bila $\alpha + \beta \in  2\pi\Z$ ); sedangkan komposisi dua pencerminan adalah rotasi bersudut dua kali sudut antara sumbunya (yaitu translasi bila sumbunya sejajar).
10. Simpulkanlah bahwa setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang merupakan komposisi paling banyak tiga pencerminan.

**Bagian III — Tiga pengenalan.**

11. Golongkanlah selengkapnya $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : jenis, sumbu, dan vektor gesernya.
12. Misalkan $f$ rotasi bersudut $\frac\pi2$ terhadap $0$ dan $g$ rotasi bersudut $\frac\pi2$ terhadap $1$ . Hitunglah $g \circ f$ dalam bentuk $z \mapsto az + b$ lalu kenalilah ia (jenis, pusat, sudutnya).
13. Misalkan $r_1(z) = \conj z$ (yaitu pencerminan pada sumbu real) dan $r_2(z) = \iu\conj z$ (yaitu pencerminan pada garis $y = x$ ). Hitunglah $r_2 \circ r_1$ lalu periksalah pertanyaan 9 pada contoh ini.

**Bagian IV — [Grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga: teorema Leonardo.** Misalkan $G$ sebuah [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) *hingga* berisi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang.

14. Tunjukkan bahwa [isometri](#def-b1-euclid-isometry) mengawetkan barisentrum: bahwa jika $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ dan $f = t_a \circ  g$ (dengan $g$ [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) ), maka $f\bigl(\sum_i \lambda_i  x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
15. Tetapkanlah $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ bagi sebarang $x_0$ yang dipilih. Tunjukkan bahwa setiap $h \in G$ menetapkan $c$ : jadi [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga berisi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) mempunyai titik tetap bersama.
16. Simpulkanlah bahwa, setelah dikonjugasikan oleh $t_{-c}$ , orang boleh mengandaikan $G \subseteq O(\R^2)$ . Misalkan $G^{+} = \{g \in G :  \det g = 1\}$ ; tunjukkanlah bahwa entah $G = G^{+}$ atau $G^{+}$ berindeks tepat $2$ di dalam $G$ (tunjukkanlah sebuah bijeksi $G^+  \to G \setminus G^+$ ).
17. Tunjukkan bahwa [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga berisi *rotasi* terhadap $c$ bersifat siklik: di antara unsurnya pilihlah rotasi $R_{\theta_0}$ yang bersudut terkecil $\theta_0 \in  \intoo{0}{2\pi}$ , lalu pakailah pembagian Euclid atas sudutnya untuk membuktikan bahwa ia membangun; lalu simpulkanlah $\theta_0 =  \frac{2\pi}n$ dan $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong  C_n$ .
18. Andaikan $G \neq G^{+}$ lalu pilihlah sebuah pencerminan $s \in G$ . Tunjukkan $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , bahwa $s r s = r^{-1}$ bagi setiap rotasi $r \in G^{+}$ , dan bahwa kesemua $n$ unsur $sG^{+}$ merupakan pencerminan: jadi $G$ adalah *[grup dihedral](#pb-b1-euclid-1)* $D_n$ berorde $2n$ .
19. Simpulkanlah ( *teorema Leonardo* ): bahwa setiap [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga berisi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang bersifat siklik $C_n$ atau dihedral $D_n$ .

**Bagian V — Dividen, dan sintesisnya.**

20. Tunjukkan secara langsung bahwa [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga berisi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) tak dapat memuat translasi ataupun [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) selain identitasnya (pandanglah pangkat unsur yang demikian).
21. Misalkan $P_n$ segi $n$ beraturan yang bertitik sudut [akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity) ke- $n$ ( $n \geq 3$ ). Tunjukkan bahwa [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) kesetangkupannya tepat $D_n$ : yaitu $n$ rotasi $z  \mapsto \omega^k z$ dan $n$ pencerminan $z \mapsto  \omega^k \conj z$ , dengan $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , dan tak ada yang lain.
22. Tunjukkanlah bangun bidang yang [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) kesetangkupannya $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ dan $C_3$ berturut-turut.
23. Daftarkanlah kedelapan unsur [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) kesetangkupan pada persegi yang bertitik sudut $\pm1, \pm\iu$ sebagai [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $z \mapsto  \omega^k z$ atau $z \mapsto \omega^k\conj z$ , lalu berikanlah sumbu masing-masing dari keempat pencerminannya.
24. Misalkan $f, g$ rotasi bersudut sama $\theta  \notin 2\pi\Z$ terhadap pusat yang *berbeda* $c_1 \neq  c_2$ . Hitunglah $f\circ g - g\circ f$ titik demi titik lalu tunjukkanlah $f\circ g \neq g\circ f$ ; tunjukkanlah lebih-lebih bahwa $(f \circ  g)\circ(g\circ f)^{-1}$ merupakan translasi yang tak sepele, sehingga sebarang [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) yang memuat $f$ dan $g$ takhingga — yaitu penjelasan kedua atas pusat tunggal pada teorema Leonardo.
25. Sintesis, dalam empat kalimat: kedua hasil struktur yang mana yang mereduksi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) sebarang menjadi aljabar [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) (pertanyaan 3–4) dan [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga sebarang menjadi [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) $O(2)$ (pertanyaan 15); apakah daftar lengkap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidangnya dan invarian yang mana (langsung/taklangsung, titik tetap) yang memisahkan keempat jenisnya; mengapakah kaidah komposisi pertanyaan 9 menjadikan pencerminan pembangun segalanya; dan apa yang ditambahkan teorema Leonardo pada skala hingganya. Namailah kedua teorema yang dibuktikan pada Bagian II dan IV.

**Solusi Soal 23.1.**

**1.** $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$; adapun [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) mengawetkan norma, jadi juga jarak ($\norm{g(x) - g(y)} =
\norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$); dan komposisi [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang mengawetkan jarak pun mengawetkan jarak. Setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena titik yang berbeda tetap berjarak positif) dan, menurut penggolongan di bawah, [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj); sedangkan identitas dan inversnya merupakan [isometri](#def-b1-euclid-isometry): jadi sebuah [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group).

**2.** $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} =
\norm x$. Polarisasinya:

$$
\langle f(x), f(y)\rangle
= \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) -
f(y)}^2}{2}
= \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2}
= \langle x, y\rangle .
$$

**3.** Dengan menjabarkannya lewat pertanyaan 2 (karena setiap hasil kali $f$ sama dengan hasil kali argumennya):

$$
\begin{align*}
\norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2
&= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\
&\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle
+ 2\langle x, y\rangle = 0 ,
\end{align*}
$$

sebagaimana ditunjukkan periksa langsungnya; serupa pula $\norm{f(\lambda x) -
\lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda
x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$. Jadi $f(x + y) = f(x) +
f(y)$ dan $f(\lambda x) = \lambda f(x)$: sehingga $f$ [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), dan mengawetkan norma: jadi $f \in O(\R^2)$.

**4.** Tetapkanlah $a = f(0)$ dan $g = t_{-a}\circ f$: yaitu [isometri](#def-b1-euclid-isometry) yang menetapkan $0$, jadi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) (pertanyaan 3), dan $f = t_a
\circ g$. Ketunggalannya: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ yang dinilai di $0$ memberikan $a = a'$, lalu $g = g'$.

**5.** $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a +
g(a')}\circ(g\circ g')$, karena $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ bagi $g$ yang [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def). Jadi bagian [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) sebuah komposisi adalah $g \circ g'$, dan $\det(gg') = \det g \det g'$: sehingga langsung$\circ$langsung $=$ taklangsung$\circ$taklangsung $=$ langsung, langsung$\circ$taklangsung $=$ taklangsung — yaitu kaidah tanda $\pm1$.

**6.** $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ mengirim $1$ ke $(\cos\theta, \sin\theta)$ dan $\iu$ ke $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$: yaitu kolom $R_\theta$. Dan $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ mengirim $1$ ke $(\cos\theta, \sin\theta)$ dan $\iu$ ke $-\iu\eu^{\iu\theta} =
(\sin\theta, -\cos\theta)$: yaitu kolom $S_\theta$.

**7.** $a = 1$: maka $f = t_b$. $a \neq 1$: maka persamaan titik tetapnya $az_0 + b = z_0$ berpenyelesaian tunggal $z_0 = b/(1 -
a)$, dan lalu

$$
f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):
$$

jadi pada kerangka yang berpusat di $z_0$, $f$ adalah perkalian dengan $a
= \eu^{\iu\arg a}$: yaitu rotasi berpusat $z_0$ dan bersudut $\arg a$.

**8.** $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z
+ a\conj b + b = z + v$: jadi $f^2 = t_v$. Komutasinya: $f(z + v) =
a\conj z + a\conj v + b$ dan $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)}
= b + a\conj b = v$, sehingga $f\circ t_v = t_v\circ f$.

*Kasus $v = 0$*: maka $f^2 = \mathrm{id}$. Untuk sebarang $z$, titik tengah $m = \frac{z + f(z)}2$ memenuhi (karena [isometrinya](#def-b1-euclid-isometry) afin, Bagian I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$: jadi titik tetapnya ada. Dengan mengonjugasikannya lewat translasi ke sebuah titik tetap, $f$ menjadi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) taklangsung yang [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), yaitu suatu $S_\theta$ ([Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane)): jadi pencerminan pada sebuah garis.

*Kasus $v \neq 0$*: maka $r = t_{-v/2}\circ f$ bersifat taklangsung dan

$$
r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2
= t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}
$$

(dengan memakai komutasinya), sehingga $r$ sebuah pencerminan, dan $f =
t_{v/2}\circ r$. Adapun sumbunya sejajar $v$: karena $r$ berkomutasi dengan $t_v$ (sebagaimana $f$ dan $t_{v/2}$), sehingga $t_v$ memetakan sumbunya (yaitu garis tetap $r$) ke dirinya, yang memaksa $v$ mengarahkannya. Maka $f$ merupakan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) dengan vektor geser $v/2$. Kini setiap [isometri](#def-b1-euclid-isometry) tergolongkan: yaitu translasi atau rotasi (yang langsung), pencerminan atau [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) (yang taklangsung).

**9.** Rotasi $f(z) = az + b$, $g(z) = a'z + b'$ dengan $a = \eu^{\iu\alpha}$, $a' = \eu^{\iu\beta}$: maka $g\circ f(z) =
a'az + (a'b + b')$ berkoefisien [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$: jadi rotasi bersudut $\alpha + \beta$ menurut pertanyaan 7, atau sebuah translasi ketika $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} =
1$. Sedangkan pencerminan $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ dengan $a_i =
\eu^{\iu\theta_i}$ (yaitu sumbu bersudut $\theta_i/2$):

$$
r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),
$$

yang langsung dan bersudut $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2
- \tfrac{\theta_1}2\bigr)$: yaitu dua kali sudut antara sumbunya; sedangkan sumbu yang sejajar ($\theta_1 = \theta_2$) memberikan translasi.

**10.** Rotasi berpusat $c$ dan bersudut $\theta$ merupakan hasil kali dua pencerminan pada garis lewat $c$ yang bersudut $\theta/2$ (yaitu pertanyaan 9, dibaca terbalik); sedangkan translasi $t_v$ adalah hasil kali dua pencerminan pada garis sejajar yang [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap $v$ pada jarak $\norm v/2$; sebuah pencerminan adalah satu pencerminan; dan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) adalah pencerminan yang dikomposisikan dengan translasi, jadi tiga. Maksimumnya: tiga.

**11.** $a = \iu$, $b = 1 + \iu$: maka $v = a\conj b + b =
\iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq
0$: jadi [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) dengan vektor geser $v/2 = 1 + \iu$. Adapun pencerminan $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ adalah $r(z) = \iu\conj z$, yang sumbunya garis bersudut $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$: yaitu garis $y = x$. Jadi $f$ merupakan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) bersumbu $y =
x$ dan bervektor $(1, 1)$.

**12.** $f(z) = \iu z$ dan $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z
+ 1 - \iu$, sehingga

$$
g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :
$$

yaitu berkoefisien [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) $-1 = \eu^{\iu\pi}$, jadi rotasi bersudut $\pi$ (yakni setengah putaran), berpusat $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)}
= \frac{1 - \iu}{2}$.

**13.** $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$: yaitu rotasi bersudut $\frac\pi2$ terhadap $0$. Adapun sumbunya (yakni sumbu real, bersudut $0$; dan garis $y = x$, bersudut $\frac\pi4$) bertemu pada sudut $\frac\pi4$, dan dua kali itu adalah $\frac\pi2$: jadi pertanyaan 9 tertegaskan.

**14.** Dengan $f = t_a\circ g$, $g$ yang [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), dan $\sum_i
\lambda_i = 1$:

$$
f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr)
= a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i)
= \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr)
= \sum_i \lambda_i f(x_i) .
$$

**15.** Untuk $h \in G$, dengan memakai pertanyaan 14 (karena koefisien $\frac1{\abs G}$ berjumlah $1$):

$$
h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr)
= \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,
$$

karena $g \mapsto hg$ merupakan bijeksi $G$ pada dirinya sendiri.

**16.** [Konjugat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ($g \in G$) membentuk sebuah [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) [isometri](#def-b1-euclid-isometry) yang menetapkan $0$, jadi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) yang *[linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def)* (pertanyaan 3): yaitu [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) hingga pada $O(\R^2)$. Jika suatu $s \in G$ bersifat taklangsung, maka [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $g \mapsto sg$ mengirim $G^+$ secara [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) ke dalam $G\setminus G^+$ dan $h \mapsto s^{-1}h$ merupakan inversnya (lewat kaidah tanda pertanyaan 5): sehingga $\abs G = 2\,\abs{G^+}$; kalau tidak $G = G^+$.

**17.** Jika $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$, maka ia $C_1$. Kalau tidak tulislah unsurnya sebagai $R_\theta$, $\theta \in
\intco{0}{2\pi}$, lalu misalkan $\theta_0$ sudut positif terkecil yang muncul. Untuk $R_\theta \in G^{+}$, pembagian Euclid $\theta = k\theta_0 + \rho$ dengan $0 \leq \rho < \theta_0$ memberikan $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$, sehingga $\rho = 0$ lewat keminimalannya: jadi $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$. Adapun [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) $2\pi$ oleh $\theta_0$ dengan cara yang sama menunjukkan $2\pi = n\theta_0$: sehingga $G^{+} \cong C_n$, yang dibangun oleh rotasi bersudut $\frac{2\pi}n$.

**18.** $G = G^{+} \cup sG^{+}$ menurut pencacahan pertanyaan 16. Dengan $s(z) = a\conj z$ dan $r(z) = \omega z$ (yaitu [bentuk linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-forms), setelah pertanyaan 16; $\abs a = \abs\omega = 1$):

$$
s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z}
= a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .
$$

Setiap unsur $sr^k$ pada $sG^{+}$ bersifat taklangsung dan memenuhi $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$: yaitu [isometri](#def-b1-euclid-isometry) taklangsung yang involutif dan menetapkan $c$, jadi sebuah pencerminan. Sehingga $G$ terdiri atas $n$ rotasi dan $n$ pencerminan dengan hubungan $r^n = s^2 = \mathrm{id}$, $srs = r^{-1}$: yaitu [grup dihedral](#pb-b1-euclid-1) $D_n$.

**19.** Menggabungkannya: sebuah [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga berisi [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang menetapkan sebuah titik $c$ (pertanyaan 15), tereduksi menjadi [subgrup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-subgroup) hingga pada $O(2)$ (pertanyaan 16), dan berupa $C_n$ jika ia memuat hanya rotasi (pertanyaan 17), dan $D_n$ kalau tidak (pertanyaan 18): yaitu *teorema Leonardo*.

**20.** Sebuah translasi $t_v \neq \mathrm{id}$ berpangkat $t_{kv}$, yang semuanya berbeda ($kv$ berbeda berpasangan untuk $v \neq 0$): jadi berorde takhingga. Sedangkan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1) $f$ mempunyai $f^2 = t_v$ dengan $v
\neq 0$: berorde takhingga lagi. Tak satu pun dari keduanya muat di dalam [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga — yang selaras dengan pertanyaan 15–19, yang hanya menghasilkan rotasi dan pencerminan.

**21.** Kesemua $2n$ [pemetaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) mengawetkan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) titik sudutnya: $\omega^k
\omega^j = \omega^{k+j}$ dan $\omega^k\conj{\omega^j} =
\omega^{k-j}$; dan karena [isometri](#def-b1-euclid-isometry), semuanya mengawetkan segi banyaknya (karena ruas garisnya pergi ke ruas garis). Sebaliknya, sebuah kesetangkupan mengawetkan barisentrum $0$ titik sudutnya (pertanyaan 14), jadi bersifat [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), dan mempermutasikan titik sudutnya (karena itulah titik segi banyaknya yang berjarak maksimal dari $0$). Adapun [isometri](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang mengirim titik sudut $1$ ke $\omega^k$ adalah $z \mapsto \omega^k z$ bila langsung, dan $z \mapsto \omega^k\conj z$ bila taklangsung (karena matriksnya ditentukan oleh satu kolom dan tandanya): jadi paling banyak $2n$ kesetangkupan, sehingga tepat $D_n$ di atas.

**22.** $C_1$: yaitu segitiga sembarang (tanpa kesetangkupan yang tak sepele). $D_1$: yaitu segitiga samakaki yang bukan samasisi (dengan satu pencerminan). $D_2$: yaitu persegi panjang yang bukan persegi (dengan identitas, setengah putaran terhadap pusatnya, dan kedua pencerminan sumbunya). $C_3$: yaitu triskelion — tiga lengan bengkok yang sebangun dan terpasang pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $120$ derajat; karena bengkoknya membunuh setiap pencerminan tetapi menyisakan rotasi berorde $3$.

**23.** Dengan $\omega = \iu$: yaitu rotasi $z \mapsto z$, $\iu z$, $-z$, $-\iu z$ (bersudut $0, \frac\pi2, \pi,
\frac{3\pi}2$), dan pencerminan

$$
z \mapsto \conj z \ (\text{sumbu } y = 0), \quad
\iu\conj z \ (y = x), \quad
-\conj z \ (x = 0), \quad
-\iu\conj z \ (y = -x):
$$

yaitu kedua diagonal dan kedua garis tengah perseginya — jadi [grup dihedral](#pb-b1-euclid-1) $D_4$, berorde $8$.

**24.** Tulislah $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$: maka $f(z) = az +
c_1(1 - a)$ dan $g(z) = az + c_2(1 - a)$. Lalu

$$
f\circ g(z) - g\circ f(z)
= (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr)
= -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,
$$

sehingga $f g \neq g f$. Kedua komposisinya berkoefisien [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) $a^2$, sehingga $(fg)\circ(gf)^{-1}$ berkoefisien [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) $1$: jadi ia translasi sebesar $fg(z) - gf(z)$, yaitu tetapan taknol di atas. Adapun [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) yang memuat $f$ dan $g$ memuat translasi ini dan semua pangkatnya: jadi ia takhingga. Dua pusat rotasi sudah satu kelebihan bagi [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga — yaitu jantung geometri teorema Leonardo.

**25.** (i) Pertanyaan 3–4 menunjukkan bahwa setiap [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) yang mengawetkan jarak bersifat afin dengan bagian [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) yang [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal), dan pertanyaan 15 memakukan setiap [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) hingga pada sebuah titik tetap: sehingga kedua hasilnya mengubah geometri metriknya menjadi aljabar [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) di titik asalnya. (ii) Adapun daftar lengkapnya adalah translasi, rotasi, pencerminan, dan [pencerminan geser](#pb-b1-euclid-1); dengan determinan bagian [linearnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) memisahkan yang langsung dari yang taklangsung, sedangkan keberadaan titik tetapnya memisahkan kedua jenisnya di dalam tiap keparian. (iii) Menurut pertanyaan 9, dua pencerminan berkomposisi menjadi sebarang rotasi atau translasi, sehingga pencerminannya membangun seluruh [grupnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) — dan paling banyak tiga sudah cukup bagi sebarang [isometri](#def-b1-euclid-isometry). (iv) Pada skala hingganya hanya dua keluarga yang bertahan, yaitu [grup](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-group) siklik dan dihedral, dan itulah sebabnya hiasan rozet hadir tepat dalam dua macam (dengan atau tanpa sumbu cermin). Bagian II membuktikan *penggolongan [isometri](#def-b1-euclid-isometry) bidang*; sedangkan Bagian IV membuktikan *teorema Leonardo*.