---
title: "Kurva Bidang"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/24-kurva-bidang
---

# Bab 24 — Kurva Bidang

Kalkulus Bab [14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative) dan [16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/16-rumus-taylor-dan-ekspansi-asimtotik#ch-b1-taylor) dibangun bagi fungsi $y = f(x)$; sedangkan kebanyakan kurva geometri dan mekanika — lintasan, lingkaran yang digelindingkan pada lingkaran, orbit — menolak bentuk itu dan hadir sebagai kurva yang *terparameter* $t \mapsto (x(t),
y(t))$ atau sebagai kurva *kutub* $r = r(\theta)$. Bab yang klasik ini mempelajari keduanya, lalu menutup dengan [irisan kerucut](#def-b1-curves-conics).

## 24.1 Kurva terparameter

**Definisi 24.1.**

Sebuah *kurva terparameter* adalah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $f
\colon I \to \R^2$, $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$, dengan $x, y$ berkelas $C^1$ (setidaknya) pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) $I$. Adapun *vektor kecepatannya* adalah $f'(t) = (x'(t), y'(t))$; titik $M(t_0)$ disebut *reguler* ketika $f'(t_0) \neq (0,0)$, dan *garis singgungnya* di situ adalah garis lewat $M(t_0)$ yang berarah $f'(t_0)$.

**Mengapa $f'$ mengarahkan garis singgungnya.** Menurut Taylor–Young komponen demi komponen, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) +
o(t - t_0)$: sehingga arah tali busurnya $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ menuju $f'(t_0)$. Adapun hipotesis keregulerannyalah yang membuat limitnya sebuah *arah*: karena jika $f'(t_0) = 0$, tampilannya runtuh menjadi $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ dan tak mengatakan apa pun tentang bagaimana kurvanya meninggalkan titik itu — dan dari situlah perlakuan terpisah atas titik singular pada metode di bawah, tempat [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) pertama yang *tak lenyap* mengambil alih peran $f'$. Perhatikanlah pula bahwa garis singgungnya sebuah objek geometri: karena sebarang pemarameteran ulang mengubah $f'$ oleh faktor skalar taknol dan membiarkan garisnya tak berubah. ∎

**Metode 24.2 (Mempelajari sebuah kurva terparameter).**

1. *Reduksikanlah daerah asalnya* lewat kesetangkupan: yaitu hubungan antara $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … dan $M(t)$ (pencerminan, translasi, keperiodikan), lalu gambarlah hanya bagian yang tereduksi.
2. *Ragamnya* : tabelkanlah tanda $x'$ dan $y'$ bersama-sama; karena kurvanya bergerak ke kanan/kiri menurut $x'$ , dan naik/turun menurut $y'$ .
3. *Titik yang istimewa* : garis singgung mendatar ( $y' = 0 \neq  x'$ ), garis singgung tegak ( $x' = 0 \neq y'$ ); sedangkan pada titik yang *singular* ( $f' = 0$ ), periksalah [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) yang lebih tinggi bagi arah singgungnya.
4. *Perilaku asimtotiknya* pada ujung $I$ , lalu sketsalah.

**Contoh 24.3 (Cabang asimtotik, dikerjakan).**

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ pada $\intoo{0}{+\infty}$. Ketika $t
\to 0^{+}$: $x \to 0$ sedangkan $y \to +\infty$ — jadi kurvanya memanjat sepanjang *asimtot tegak* $x = 0$ (yaitu limit hingga bagi satu [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates), dan takhingga bagi yang lain). Ketika $t \to +\infty$: kedua [koordinatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) meledak, jadi ujilah sebuah garis: karena selisih

$$
y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}
$$

memperlihatkan *asimtot miring* $y = x$, yang didekati dari atas. Di antaranya, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ lenyap di $t = 1$: sehingga titik $(1, 2)$ merupakan titik terendah cabangnya, dan $x' = 1 >
0$ sepanjangnya, jadi kurvanya selalu maju ke kanan. Satu busur, dua asimtot, satu minimum: yaitu gambaran lengkap dari tiga perhitungan — dengan resep umumnya kasatmata di bawahnya: bahwa ketika $x, y \to \infty$ bersama, periksalah $y/x$ bagi calon kemiringannya (di sini $\to 1$), lalu $y - (\text{kemiringan})\,x$ bagi perpotongan dan sisi pendekatannya.

**Contoh 24.4 (Astroid).**

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Kesetangkupannya: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (jadi pelajarilah satu periode); $M(-t)$ merupakan pencerminan $M(t)$ pada sumbu $x$; $M(\pi - t)$ pada sumbu $y$; dan $M(\frac\pi2 -
t)$ pada diagonal $y = x$: sehingga cukuplah mempelajari $t \in
\intcc{0}{\frac\pi4}$ lalu membukanya.

Kecepatannya: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Pada $\intoo{0}{\frac\pi2}$ semua titiknya reguler dengan garis singgung yang berarah $(-\cos t, \sin t)$; sedangkan di $t = 0$ (yaitu titik $(1,0)$) kecepatannya lenyap: jadi sebuah *titik runcing*, tempat kurvanya berbalik sepanjang arah singgungnya $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — dan lewat kesetangkupannya keempat [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid) duduk di $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

**Contoh 24.5 (Sebuah angka delapan, dipelajari selengkapnya).**

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (yaitu *kurva Lissajous*). *Kesetangkupannya*: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (yaitu pencerminan pada sumbu $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (kesetangkupan pusat), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (pencerminan pada sumbu $x$): sehingga cukuplah mempelajari $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ lalu membukanya. *Ragamnya*: $x' = \cos t \geq 0$ sepanjangnya, sedangkan $y' =
2\cos 2t$ positif sebelum $t = \frac\pi4$ dan negatif sesudahnya: jadi busurnya memanjat ke kanan menuju puncak $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ di $t = \frac\pi4$ (dengan garis singgung mendatar), lalu menurun ke kanan menuju $(1, 0)$ di $t =
\frac\pi2$, tempat $x' = 0 \neq y'$: jadi garis singgung tegak. *Titik ganda*: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, dengan dua kecepatan yang berbeda

$$
f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :
$$

yaitu dua cabang yang *reguler* dan bersilangan di titik asalnya pada sudut yang berbeda — jadi titik ganda, bukan titik singular: karena setiap lintasannya mulus sempurna, dan kedua lintasannya hanya berbagi tempat. Adapun seluruh kurvanya adalah angka delapan di bawah.

![Kurva Lissajous ( t, 2t): dengan sebuah titik ganda di titik asalnya, tempat dua cabang reguler bersilangan berkecepatan (1, 2) dan (-1, 2), dan garis singgung mendatar pada keempat puncaknya. Kesetangkupannya mereduksi seluruh kerjanya menjadi seperempat periode.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-53dc09dad46f.svg)

*Kurva Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$: dengan sebuah titik ganda di titik asalnya, tempat dua cabang reguler bersilangan berkecepatan $(1, 2)$ dan $(-1, 2)$, dan garis singgung mendatar pada keempat puncaknya. Kesetangkupannya mereduksi seluruh kerjanya menjadi seperempat periode.*

![Astroid ( 3 t, 3 t): yaitu empat busur yang bertemu pada empat titik runcing. Ialah kurva yang dijejaki sebuah titik pada lingkaran berjari-jari 1/4 yang menggelinding di dalam lingkaran satuan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8dd6fa9b9d24.svg)

*Astroid $(\cos^3 t, \sin^3 t)$: yaitu empat busur yang bertemu pada empat [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid). Ialah kurva yang dijejaki sebuah titik pada lingkaran berjari-jari $\frac14$ yang menggelinding di dalam lingkaran satuan.*

## 24.2 Kurva kutub

**Definisi 24.6.**

Sebuah *kurva kutub* diberikan oleh $r = r(\theta)$: dengan titik berparameter $\theta$ adalah

$$
M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta),
\qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).
$$

Dengan $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec
u\,'(\theta)$, kecepatannya adalah

$$
M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec
v(\theta) .
$$

Akibatnya: di tempat $r \neq 0$, titiknya reguler, dan garis singgungnya bersudut $V$ dengan sinar garisnya, yang diberikan oleh $\tan V =
\frac{r}{r'}$ (yaitu sudut antara $M'$ dan $\vec u$); sedangkan di tempat $r(\theta_0)
= 0$, kurvanya lewat titik asalnya *dengan garis singgungnya sinar garis $\theta = \theta_0$* (yaitu berarah $\vec u(\theta_0)$, yang terbaca dari $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$, atau dari tali busur limitnya: karena tali busur dari $O$ ke $M(\theta)$ dibawa oleh $\vec
u(\theta)$ sendiri, yang menuju $\vec u(\theta_0)$ — sehingga kaidahnya berlaku bahkan ketika $r'(\theta_0) = 0$ dan titiknya singular, dan itulah sebabnya [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) kutub di titik asalnya, seperti pada kardioid, memperoleh garis singgungnya secara cuma-cuma).

**Contoh 24.7 (Kardioid).**

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$. Kesetangkupannya: $r(-\theta)
= r(\theta)$: yaitu pencerminan pada sumbu $x$; jadi pelajarilah $\theta \in
\intcc{0}{\pi}$. Adapun $r$ menurun dari $2$ ke $0$; dan di $\theta = \pi$, $r = 0$: sehingga kurvanya mencapai titik asalnya secara menyinggung sinar garis $\theta = \pi$ (yaitu sumbu $x$), lalu membentuk [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) di situ — yakni ujung hatinya. Sedangkan garis singgung di $\theta = 0$: $r' = 0$, sehingga $\tan V = \infty$: jadi tegak lurus sumbunya.

Adapun sudut $V$ pantas dibaca sekali lagi. Di $\theta =
\frac\pi2$: $r = 1$ dan $r' = -1$, sehingga $\tan V = \frac{r}{r'} =
-1$: jadi garis singgungnya bersudut tiga perempat sudut siku dengan sinar garis yang keluar — karena kurvanya sudah membengkok kembali menuju [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid). Rumus $\tan V = r/r'$ menyampaikan arah singgungnya sepanjang seluruh kurvanya tanpa perhitungan $M'(\theta)$ sama sekali: jadi ia padanan kutub bagi membaca sebuah kemiringan.

**Contoh 24.8 (Kutub ke kartesius: sebuah lingkaran yang tersembunyi).**

Apakah [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r = 2\cos\theta$ itu? Kalikanlah dengan $r$: $r^2 = 2r\cos\theta$, yaitu $x^2 + y^2 = 2x$, yakni

$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1 :
$$

yaitu lingkaran berpusat $(1, 0)$ dan berjari-jari $1$, yang lewat titik asalnya. Pembukuannya penting: karena ketika $\theta$ menjelajahi $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ seluruh lingkarannya tersapu tepat sekali ($r$ lenyap pada kedua ujungnya), dan di $\theta =
\pm\frac\pi2$ kaidah “garis singgung di titik asalnya sepanjang sinar garis $\theta = \theta_0$” memberikan garis singgung yang *tegak* di situ — yang cocok dengan geometrinya, karena sumbu tegaknya memang menyinggung lingkaran ini di $O$. Untuk $\theta$ di luar jangkauan itu, $r < 0$ menjejaki ulang lingkaran yang sama: yaitu pengingat bahwa [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) merupakan objek yang *terparameter*, yang boleh melintasi dirinya sendiri.

![Mawar berkelopak empat r = 2 (). Adapun kelopak sepanjang sumbu y terjejaki dengan r < 0 (karena titiknya terplot pada sinar garis yang berlawanan dengan ); sedangkan diagonal putus-putus = ± π4 merupakan garis singgung di titik asalnya, tempat r lenyap.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8c1ed6913fd9.svg)

*Mawar berkelopak empat $r = \cos 2\theta$ ([Latihan 24.4](#exo-b1-curves-4)). Adapun kelopak sepanjang sumbu $y$ terjejaki dengan $r < 0$ (karena titiknya terplot pada sinar garis yang berlawanan dengan $\theta$); sedangkan diagonal putus-putus $\theta = \pm\frac\pi4$ merupakan garis singgung di titik asalnya, tempat $r$ lenyap.*

![Kardioid r = 1 +. Kurva kutub dibaca dengan menyapu sudutnya: karena jari-jarinya membengkak dan menyusut ketika berputar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-de2f8edc9e4e.svg)

*Kardioid $r = 1 + \cos\theta$. [Kurva kutub](#def-b1-curves-polar) dibaca dengan menyapu sudutnya: karena jari-jarinya membengkak dan menyusut ketika $\theta$ berputar.*

## 24.3 Panjang busur

**Definisi 24.9 (Panjang sebuah busur).**

Adapun *panjang* sebuah busur $C^1$ yaitu $f \colon
\intcc{a}{b} \to \R^2$ adalah [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) atas lajunya:

$$
L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t
= \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .
$$

(Alasannya: pada [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) yang kecil, $M(t + h) \approx M(t) + h
f'(t)$, sehingga busurnya dekat pada segi banyak yang panjang ruasnya berjumlah menjadi sebuah [jumlah Riemann](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-riemann) atas $\norm{f'}$, [Teorema 15.20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-riemann).) Adapun bagi [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r =
r(\theta)$, kecepatannya $r'\vec u + r\vec v$ berkomponen [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#def-b1-euclid-orthogonal), sehingga

$$
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}
\sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .
$$

Panjangnya tak bergantung pada pemarameteran (yang monoton dan $C^1$) yang dipilih: karena menyulihkan $t = \varphi(s)$ ke dalam [integralnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) ([Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-parts)) mengalikan $f'$ dengan $\varphi'$ dan $\dd t$ dengan $\varphi'^{-1}$.

**Contoh 24.10 (Periksa kewarasan: lingkarannya).**

Untuk $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ pada $\intcc{0}{2\pi}$: $\norm{f'} =
R$, sehingga $L = 2\pi R$ — jadi definisinya mengembalikan kelilingnya. Uji pemarameteran ulangnya: [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ pada $\intcc{0}{\pi}$ menggambar lingkaran yang *sama* pada laju yang berganda $\norm{g'} = 2R$, dan

$$
\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R
$$

lagi: separuh waktunya, dua kali lajunya, [panjang](#def-b1-curves-arclength) yang sama — yaitu keinvarianan yang dijanjikan pada definisinya, disaksikan sekali pada bilangan. (Menjalankan $g$ pada seluruh $\intcc{0}{2\pi}$ akan memberikan $4\pi R$: karena kurva yang dilintasi dua kali dua kali lebih [panjang](#def-b1-curves-arclength) *sebagai perjalanan*; sebab [panjangnya](#def-b1-curves-arclength) mengukur lintasan yang terparameter, dan pembukuan yang jujur atas [selangnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) bagian dari perhitungannya.) Bagi astroid $(\cos^3t, \sin^3t)$: $\norm{f'} = 3\abs{\sin
t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, dan lewat kesetangkupannya $L = 4\int_0^{\pi/2}
\tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$: yaitu kurva yang digambar di dalam lingkaran satuan, yang berpanjang $6 < 2\pi$. Adapun soal akhir pekannya mengukur lengkungan yang paling termasyhur.

![Satu lengkungan sikloid (berjari-jari R = 1), lingkaran yang menggelinding di t = 2, dan kedua garis pemandu soal akhir pekannya: karena tali busur MC ke titik sentuhnya bersifat normal terhadap kurvanya, sedangkan tali busur MT ke puncak lingkarannya bersifat menyinggung.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-5f3d2a84c663.svg)

*Satu lengkungan sikloid (berjari-jari $R = 1$), lingkaran yang menggelinding di $t = 2$, dan kedua garis pemandu soal akhir pekannya: karena tali busur $MC$ ke titik sentuhnya bersifat *normal* terhadap kurvanya, sedangkan tali busur $MT$ ke puncak lingkarannya bersifat *menyinggung*.*

## 24.4 Irisan kerucut

**Definisi 24.11 (Definisi fokus–direktriks).**

Tetapkanlah sebuah titik $F$ (*fokus*), sebuah garis $D$ yang tak lewat $F$ (*direktriks*) dan $e > 0$ (*eksentrisitas*). Maka *irisan kerucut* atas data ini adalah

$$
\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:
$$

yaitu *elips* untuk $e < 1$, *parabola* untuk $e = 1$, dan *hiperbola* untuk $e > 1$. (Adapun lingkarannya muncul sebagai limit yang merosot $e \to 0$.)

**Contoh 24.12 (Definisinya, diperiksa pada sebuah parabola).**

Ambillah parabola $y^2 = 4x$, yaitu $2p = 4$: dengan fokus $F = (1, 0)$ dan direktriks $D : x = -1$ (karena bentuk tereduksinya pada [Teorema 24.13](#thm-b1-curves-reduced) menempatkannya di $\pm\frac p2$). Pada titik $M = (1, 2)$ kurvanya:

$$
MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2,
\qquad
d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :
$$

sama, sebagaimana dituntut $e = 1$. Di $M' = (4, 4)$: $MF' = \sqrt{9 +
16} = 5$ dan $d(M', D) = 5$ lagi. Jadi definisi fokus–direktriksnya bukan abstraksi: melainkan sepasang jarak yang dapat diukur orang pada sebarang titik, dan aljabar persamaan tereduksinya tak lain pengukuran ini yang dikerjakan sekali untuk selamanya.

**Teorema 24.13 (Persamaan tereduksi).**

Pada kerangka [ortonormal](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#def-b1-euclid-orthogonal) yang terpilih baik:

$$
\text{elips: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\quad (a \geq b > 0),
\qquad
\text{hiperbola: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
\qquad
\text{parabola: } y^2 = 2px,
$$

dengan, bagi elipsnya: fokus di $(\pm c, 0)$, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, $e = \frac ca$, dan pencirian bifokalnya $MF + MF' = 2a$; sedangkan bagi hiperbolanya: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $e = \frac ca$, $\abs{MF - MF'} = 2a$, dan asimtot $y = \pm\frac ba x$.

**Bukti.** Ambillah fokusnya di titik asalnya dan direktriksnya tegak, $x = -h$ ($h > 0$): maka syarat $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ terbaca $x^2 + y^2 =
e^2 (x + h)^2$. Untuk $e = 1$: $y^2 = 2hx + h^2$, yaitu parabola setelah geseran $x \mapsto x - \frac h2$ (sehingga $p = h$). Untuk $e \neq 1$: dengan melengkapkan kuadratnya pada $x$,

$$
(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2
= e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2}
= \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .
$$

Tetapkanlah $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (yaitu geseran kerangkanya). Ketika $e < 1$, bagilah dengan ruas kanannya yang positif: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ dengan $a = \frac{eh}{1 -
e^2}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$; sedangkan ketika $e > 1$, kedua ruas tampilannya berbalik tanda sebagaimana mestinya dan pembagian yang sama memberikan $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ dengan $a = \frac{eh}{e^2 -
1}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$. Adapun nilai $c$ yang dinyatakannya menyusul ($c^2 = a^2 - b^2$ atau $a^2 + b^2$ memberikan $c = ea$ pada kedua kasusnya, yang menempatkan fokusnya dengan benar), sedangkan sifat bifokalnya berupa pemeriksaan langsung pada persamaan tereduksinya. Terperincinya bagi elipsnya, dengan $F' = (c, 0)$ dan $M = (X, y)$ pada kurvanya:

$$
MF'^2 = (X - c)^2 + y^2
= X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr)
= \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2
= (a - eX)^2 ,
$$

dengan memakai $c^2 + b^2 = a^2$ dan $e = \frac ca$; dan karena $\abs X \leq
a$ dan $e < 1$, maka $a - eX > 0$, sehingga $MF' = a - eX$ tanpa akar kuadrat yang pernah ditarik. Adapun perhitungan cerminnya memberikan $MF = a + eX$, dan dari situlah $MF + MF' = 2a$, yang tetap. Bagi hiperbolanya aljabar yang sama menghasilkan $MF = \abs{a + eX}$ dan $MF' = \abs{eX - a}$, dengan selisih $\pm2a$ menurut cabangnya. ∎

**Contoh 24.14.**

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$: yaitu elips, $a = 5$, $b = 3$, $c
= 4$: dengan fokus $(\pm4, 0)$, dan eksentrisitas $\frac45$. Pemarameterannya: $(5\cos t, 3\sin t)$ — yaitu lingkaran yang direntangkan secara anisotropis; dan jumlah jarak ke fokusnya dari sebarang titiknya adalah $10$.

**Contoh 24.15 (Membaca sebuah orbit dari persamaan kutubnya).**

[Irisan kerucut](#def-b1-curves-conics) kutub $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ ([Latihan 24.7](#exo-b1-curves-7) dengan $p = 1$, $e = \frac12$) merupakan elips dengan *fokus di titik asalnya* — yaitu geometri sebuah orbit planet dengan mataharinya di $O$. Tariklah segalanya dari $p$ dan $e$: karena dari reduksi [Teorema 24.13](#thm-b1-curves-reduced), $a = \dfrac{p}{1 - e^2} =
\dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ dan $c = ea = \dfrac23$. Adapun kedua apsisnya memeriksanya tanpa teori sama sekali:

$$
r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c
\quad (\text{perihelion}),
\qquad
r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c
\quad (\text{aphelion}),
$$

dan jumlahnya $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ memulihkan sumbu mayornya. Adapun bentuk kutubnya yang alami kapan pun sebuah fokus terbedakan secara fisik; sedangkan bentuk kartesius tereduksinya, kapan pun sumbu kesetangkupannya terbedakan. Mengalihkan antara keduanya tepat apa yang dikerjakan perhitungan kuadrat lengkap pada teoremanya.

Akhirnya, eksentrisitasnya sebagai sebuah tombol: jagalah $p = 1$ lalu putarlah $e$ pada $r
= \frac{1}{1 + e\cos\theta}$. Di $e = 0$: yaitu lingkaran $r = 1$. Di $e = \frac12$: yaitu elips yang baru dipelajari, dengan $r$ berayun antara $\frac23$ dan $2$. Di $e = 1$: $r(\theta) \to \infty$ ketika $\theta
\to \pi$ — sehingga kurvanya tak lagi menutup: jadi sebuah parabola, dengan titik terjauhnya terdorong ke takhingga. Di $e = 2$: penyebutnya lenyap di $\cos\theta = -\frac12$, dan hanya $\theta \in
\intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ yang bertahan: yaitu satu cabang hiperbola, yang lolos sepanjang dua arah asimtotik. Jadi satu rumus, seluruh keluarga [irisan kerucutnya](#def-b1-curves-conics), dan titik peralihannya $e =
1$ kasatmata sebagai saat penyebutnya pertama kali mencapai nol.

**Catatan 24.16 (Jebakan yang lazim).**

*Titik ganda bukanlah titik singular*: karena pada sebuah persilangan diri, setiap cabangnya reguler; sedangkan “singular” menunjuk pada $f'(t_0) = 0$ bagi satu nilai parameternya ([Contoh 24.5](#ex-b1-curves-lissajous) lawan [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) astroidnya). *Garis singgung tegak lawan [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid)*: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ merupakan titik reguler bergaris singgung tegak; hanya $x' = y' = 0$ yang menuntut penjabaran berorde lebih tinggi. *Jari-jari negatif terplot pada sinar garis yang berlawanan*: karena untuk $r(\theta) <
0$ titiknya adalah $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$, bersudut $\theta +
\pi$ ([Latihan 24.5](#exo-b1-curves-5)); dan melupakan ini kehilangan simpul dalamnya atau menggandakan kurvanya. *[Panjang busur](#def-b1-curves-arclength) mengintegralkan $\norm{f'}$, bukan $f'$*: belahlah [integralnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) pada nol lajunya — karena bagi astroidnya, mengintegralkan $\frac32\sin 2t$ atas satu periode penuh tanpa nilai mutlak memberikan $0$, bukan $6$. *[Irisan kerucut](#def-b1-curves-conics) mesti direduksi sebelum dibaca*: karena pada $9x^2 +
25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$, baik sumbunya, pusatnya, maupun eksentrisitasnya tak kasatmata sampai kuadratnya dilengkapkan ([Latihan 24.6](#exo-b1-curves-6)); dan bagian kuadratik yang lenyap pada satu variabel berarti parabola, bukan “elips yang merosot”.

**Catatan 24.17 (Ke mana kurva ini pergi).**

[Kurva terparameter](#def-b1-curves-def) adalah bahasa mekanika: karena lintasan berupa kurva, vektor kecepatan berupa vektor singgung, dan [panjang busur](#def-b1-curves-arclength) [Definisi 24.9](#def-b1-curves-arclength) adalah jarak yang ditempuh. Adapun [irisan kerucutnya](#def-b1-curves-conics) muncul kembali di mana pun hukum kuadrat terbalik bekerja — karena orbit planet berupa elips dengan mataharinya pada sebuah fokus. Pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), kurvanya menjadi [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) aras fungsi dua variabel, dan garis singgung bab ini bertemu gradien bab berikutnya. Adapun jilid Tahun 2 menambahkan kelengkungan dan bentuk kanonik lokal sebuah kurva; sedangkan soal akhir pekan di bawah sudah menarik, hanya dengan perkakas tahun ini, segala yang diketahui abad ketujuh belas tentang kurvanya yang paling termasyhur.

**Catatan 24.18 (Cakrawala di dalam Buku 3).**

Bab ini melahap seluruh paruh pertama jilid ini dan menyuapi bab terakhirnya. *Yang dilahap*: vektor singgungnya adalah [turunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#def-b1-derivative-def) ([Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative)), [panjang busur](#def-b1-curves-arclength) dan luasnya adalah [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration)), [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid) diselesaikan lewat penjabaran Taylor ([Bab 16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/16-rumus-taylor-dan-ekspansi-asimtotik#ch-b1-taylor)), tautokronnya adalah persamaan diferensial [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) ([Bab 5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#ch-b1-diffeq)), dan setiap jarak dan sudutnya bersifat Euklides ([Bab 23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#ch-b1-euclid)). *Yang disuapi*: pada [Bab 25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/25-fungsi-dua-variabel#ch-b1-multivar), sebuah kurva $t \mapsto (x(t),
y(t))$ yang digambar di dalam [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) aras $\{f = c\}$ diturunkan lewat kaidah rantai, dan kesamaan yang dihasilkannya $\langle \nabla f,\
f'(t)\rangle = 0$ menikahkan vektor singgung bab ini dengan gradien bab berikutnya — karena garis singgung kurvanya dan arah normal permukaannya merupakan perhitungan yang sama, yang dilihat dari kedua tepiannya.

## 24.5 Latihan

**Latihan 24.1 ★.**

Pelajarilah lalu sketsalah kurva $x(t) = t^2$, $y(t) = t^3$ (kesetangkupan, ragam, dan perilakunya pada titik singular $t = 0$).

**Solusi Latihan 24.1.**

$M(-t) = (t^2, -t^3)$: yaitu pencerminan pada sumbu $x$; jadi pelajarilah $t \geq 0$. Baik $x' = 2t$ maupun $y' = 3t^2$ bernilai $\geq 0$: sehingga cabangnya bergerak ke kanan dan ke atas, dari $(0,0)$ ke takhingga. Di $t = 0$ kecepatannya lenyap; dan penjabaran $x = t^2$, $y = t^3$ menunjukkan bahwa garis singgungnya sumbu $x$ ($y/x = t \to 0$) dengan $y$ berganti tanda sedangkan $x \geq 0$: jadi sebuah *[titik runcing](#ex-b1-curves-astroid)* yang menunjuk ke kiri. Kurvanya adalah parabola semikubik $y^2 = x^3$.

**Latihan 24.2 ★.**

Bagi sikloid $x(t) = t - \sin t$, $y(t) = 1 - \cos t$ (yaitu lintasan sebuah titik pada roda yang menggelinding berjari-jari $1$): kenalilah kesetangkupan translasi periodiknya, titik singularnya, dan arah singgungnya di $t = 0$ *(jabarkanlah $x$ dan $y$ sampai orde taknol yang pertama)*.

**Solusi Latihan 24.2.**

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$: jadi kurvanya berulang, tergeser sejauh satu keliling roda; pelajarilah satu periode. $x'(t) = 1 - \cos t \geq
0$, $y'(t) = \sin t$: sehingga lengkungannya naik pada $\intoo{0}{\pi}$, turun pada $\intoo{\pi}{2\pi}$, dan memuncak di $(\pi, 2)$. Adapun titik singularnya tempat $x' = y' = 0$: yaitu $t \in 2\pi\Z$, pada tanahnya. Dekat $t = 0$:

$$
x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3),
\qquad
y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):
$$

$x$ berganti tanda, $y \geq 0$, dan $\frac{x}{y^{3/2}}$ terbatas: sehingga garis singgungnya *tegak* (berarah $(0,1)$), yaitu [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) tempat titik yang dijejaki sesaat berlaju nol — yakni tanda fisik menggelinding tanpa tergelincir.

**Latihan 24.3 ★.**

Berikanlah garis singgung kurva $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ di $t =
\frac\pi4$, lalu periksalah bahwa ruas garis singgung ini yang dipotong sumbunya berpanjang $1$ — yaitu sifat astroid yang termasyhur (yang benar pada setiap titik regulernya).

**Solusi Latihan 24.3.**

Di $t = \frac\pi4$: $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4},
\frac{\sqrt2}{4}\bigr)$, dengan arah singgung $(-\cos t, \sin t) =
\frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ ([Contoh 24.4](#ex-b1-curves-astroid)). Garis singgungnya: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$, yaitu $x +
y = \frac{\sqrt2}{2}$. Perpotongannya: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2},
0\bigr)$ dan $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$; sehingga ruas di antara keduanya berpanjang $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$.

(Titik umum $t$: garis singgung di $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ memotong sumbunya di $(\cos t, 0)$ dan $(0, \sin t)$ — periksalah bahwa garis lewat titik ini berarah $(-\cos t, \sin t)$ dan lewat $M(t)$ — dan ruas yang terpotong berpanjang $\sqrt{\cos^2 t +
\sin^2 t} = 1$.)

**Latihan 24.4 ★.**

Sketsalah [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r = \cos 2\theta$ (yaitu mawar berkelopak empat) dan $r = \frac{1}{\cos\theta}$ pada $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (kenalilah sebuah garis).

**Solusi Latihan 24.4.**

$r = \cos 2\theta$: berperiode $\pi$ pada $\theta$, setangkup pada kedua sumbunya; $r$ lenyap di $\theta = \pm\frac\pi4$ (dengan garis singgung di titik asalnya sepanjang diagonalnya) dan negatif untuk $\theta \in
\intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$, tempat titiknya terplot pada sinar garis yang berlawanan — sehingga menghasilkan empat kelopak sepanjang arah sumbunya $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$, yang masing-masingnya berjari-jari maksimal $1$.

$r\cos\theta = 1$ adalah persamaan $x = 1$: sehingga [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r =
\frac{1}{\cos\theta}$ merupakan garis tegak $x = 1$ (yang tersapu sekali untuk $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$).

**Latihan 24.5 ★★.**

Pelajarilah [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r = 1 + 2\cos\theta$ (yaitu sebuah limason): daerah tempat $r \geq 0$ lawan $r < 0$ (karena titik yang diplot dengan jari-jari negatif duduk pada sinar garis yang berlawanan), lintasannya lewat titik asalnya, simpul dalamnya, lalu sketsalah.

**Solusi Latihan 24.5.**

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ lenyap untuk $\cos\theta = -\frac12$: yaitu $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$. Kesetangkupannya pada sumbu $x$; jadi pelajarilah $\theta \in \intcc{0}{\pi}$. Untuk $\theta \in
\intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$: $r > 0$, menurun dari $3$ ke $0$: yaitu busur luarnya, yang masuk ke titik asalnya menyinggung sinar garis $\theta =
\frac{2\pi}{3}$. Untuk $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$: $r <
0$: sehingga titik $r\vec u(\theta)$ duduk pada sinar garis yang berlawanan (bersudut $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$), dengan jarak $\abs r$ tumbuh dari $0$ ke $1$: dan ini menggambar sebuah *simpul dalam* yang kecil lewat titik asalnya. Di $\theta = \pi$, $r = -1$ dan titiknya adalah $-\vec u(\pi) = (1, 0)$: jadi simpulnya menutup pada sumbu $x$ yang positif. Sketsanya: sebuah kurva luar yang besar bagai hati dengan jangkauan maksimal $3$ di $\theta = 0$, ditambah sebuah simpul di dalamnya lewat $O$ dan $(1,0)$.

**Latihan 24.6 ★★.**

Kenalilah [irisan kerucut](#def-b1-curves-conics) $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$: reduksikanlah dengan melengkapkan kuadratnya, lalu berikanlah pusat, setengah sumbu, fokus, dan eksentrisitasnya.

**Solusi Latihan 24.6.**

Lengkapkanlah kuadratnya:

$$
9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164
\iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .
$$

[Membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan $225$: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$: yaitu elips berpusat $(2, 1)$, dengan setengah sumbu $a = 5$ (mendatar), $b =
3$; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$: fokusnya $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ dan $(6, 1)$; dan eksentrisitasnya $e = \frac45$.

**Latihan 24.7 ★★.**

Buktikan bahwa persamaan kutub sebuah [irisan kerucut](#def-b1-curves-conics) yang berfokus di titik asalnya adalah

$$
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}
$$

(dengan direktriks tegak pada jarak $\frac pe$ di kanan fokusnya). Nilai $\theta$ yang mana yang diperkenankan ketika $e > 1$?

**Solusi Latihan 24.7.**

Fokusnya di titik asalnya, direktriksnya $D: x = d$ dengan $d = \frac pe > 0$. Bagi sebuah titik $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ dengan $r > 0$:

$$
MF = r,
\qquad
d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},
$$

dan syarat [irisan kerucutnya](#def-b1-curves-conics) $MF = e\,d(M, D)$, pada rezim tempat $M$ ada di sisi fokus direktriksnya ($r\cos\theta < d$), terbaca $r
= e(d - r\cos\theta)$, yakni

$$
r(1 + e\cos\theta) = ed = p,
\qquad
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .
$$

Untuk $e < 1$ penyebutnya tak pernah lenyap: sehingga semua $\theta$ diperkenankan (yaitu elips). Untuk $e = 1$: $\theta \neq \pi$ (yaitu parabola, yang [terbuka](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/12-topologi-garis-real#def-b1-topology-open) ke arah sisi jauh direktriksnya). Untuk $e > 1$: dituntut $1 + e\cos\theta > 0$, yaitu $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ dengan $\theta_0 =
\arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$: jadi satu *cabang* hiperbolanya (sedangkan cabang yang lain bersesuaian dengan pilihan tanda $r < 0$, atau dengan fokus keduanya).

**Latihan 24.8 ★★.**

Dari sifat bifokal $MF + MF' = 2a$, simpulkanlah “konstruksi tukang kebun” bagi elipsnya, lalu buktikanlah bahwa garis singgung di $M$ bersudut sama dengan $MF$ dan $MF'$ *(yaitu sifat pemantulannya; turunkanlah $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ lalu tafsirkanlah jumlah hasil kali vektor satuannya yang lenyap)*.

**Solusi Latihan 24.8.**

*Tukang kebun:* ikatkanlah seutas tali berpanjang $2a$ pada dua pasak $F,
F'$ lalu tegangkanlah ia dengan titik penjejaknya $M$: maka kendalanya tepat $MF + MF' = 2a$, sehingga kurva yang terjejaki adalah elipsnya.

*Sifat pemantulannya:* misalkan $t \mapsto M(t)$ sebuah pemarameteran yang reguler dan $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$, dengan $u'(t)$ vektor satuan yang serupa menuju $F'$. Menurunkan $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$, dengan memakai $\frac{\dd}{\dd
t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\,
M'\bigr\rangle$ (yaitu kaidah rantai pada $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$):

$$
\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .
$$

Jadi arah singgungnya $M'$ [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap arah garis bagi $u + u'$ atas kedua sinar garis fokusnya: sehingga garis singgungnya bersudut sama dengan $MF$ dan $MF'$. (Karena seberkas cahaya dari satu fokusnya memantul pada elipsnya menuju fokus yang lain.)

**Latihan 24.9 ★★★.**

*Lemniskat Bernoulli* adalah [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r^2 = \cos
2\theta$ (ambillah $r = \sqrt{\cos2\theta}$ di tempat ia terdefinisi).

1. Berikanlah daerah asal, kesetangkupan, dan garis singgungnya di titik asalnya, lalu sketsalah ia.
2. Buktikan bahwa ia tempat kedudukan titik $M$ dengan $MF \cdot MF'  = \frac12$ dengan $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2},  0\bigr)$ . *(Hitunglah $MF^2\,MF'^2$ dalam [koordinat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#prop-b1-vspaces-coordinates) kutub.)*

**Solusi Latihan 24.9.**

1. Daerah asalnya: $\cos 2\theta \geq 0$ : yaitu $\theta \in  \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup  \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Kesetangkupannya: $\theta  \mapsto -\theta$ (sumbu $x$ ) dan $\theta \mapsto \pi -  \theta$ (sumbu $y$ ): jadi pelajarilah $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; dan $r$ menurun dari $1$ ke $0$ . Di $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r =  0$ , dengan garis singgung di titik asalnya sepanjang diagonalnya. Kurvanya adalah lambang $\infty$ : yaitu dua simpul setangkup yang bertemu di $O$ , dan mencapai $(\pm 1, 0)$ .
2. Dengan $F, F' = (\pm c, 0)$, $c = \frac{1}{\sqrt 2}$, dan $M  = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $$MF^2\, MF'^2  = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$$ lewat kesamaan $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ dengan $A = r^2  + c^2$, $B = 2rc\cos\theta$. Dengan $c^2 = \frac12$: $$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta  = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14  = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$$ Pada lemniskatnya, $r^2 = \cos 2\theta$: sehingga kedua suku pertamanya saling menghapus, dan menyisakan $MF^2MF'^2 = \frac14$, yaitu $MF \cdot MF' =  \frac12$. Sebaliknya, perhitungan yang dibaca terbalik menunjukkan bahwa persamaan tempat kedudukannya $MF\,MF' = \frac12$ adalah $r^2 = \cos  2\theta$ (untuk $r \neq 0$; dan $O$ memenuhi keduanya).

**Latihan 24.10 ★★.**

Hitunglah [panjang](#def-b1-curves-arclength) total kardioid $r = 1 + \cos\theta$ dengan memakai rumus kutub [Definisi 24.9](#def-b1-curves-arclength) *(karena kesamaan $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ mengubah akar kuadratnya menjadi $2\abs{\cos\frac\theta2}$)*.

**Solusi Latihan 24.10.**

$r = 1 + \cos\theta$, $r' = -\sin\theta$:

$$
r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta
= 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,
$$

sehingga $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ dan, lewat kesetangkupannya pada sumbu $x$,

$$
L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta
= 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .
$$

Sekali lagi sebuah keliling yang aljabar dan [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\pi$.

**Latihan 24.11 ★★.**

Tunjukkan bahwa garis singgung elips $(a\cos t, b\sin t)$ pada titik berparameter $t$ berpersamaan

$$
\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,
$$

lalu simpulkanlah garis singgung $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ pada sebuah titik $(x_0, y_0)$ elipsnya: $\frac{x\,x_0}{a^2} +
\frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (yaitu kaidah “pembelahan kuadratnya”).

**Solusi Latihan 24.11.**

Titik $(a\cos t, b\sin t)$ memenuhi persamaannya: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. Adapun vektor normal garisnya adalah $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$, dan hasil kalinya dengan kecepatannya $(-a\sin t, b\cos t)$ adalah $-\sin t\cos t +
\sin t\cos t = 0$: sehingga garisnya lewat titiknya dengan arah singgungnya — jadi ialah garis singgungnya. Bagi $(x_0, y_0)$ pada elipsnya, tulislah $\cos t = \frac{x_0}a$, $\sin t = \frac{y_0}b$ lalu sulihkanlah:

$$
\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,
$$

yang diperoleh dari persamaan elipsnya dengan “membelah” $x^2 \mapsto
x\,x_0$ dan $y^2 \mapsto y\,y_0$.

**Latihan 24.12 ★★★.**

*Spiral logaritmik* adalah [kurva kutub](#def-b1-curves-polar) $r =
\eu^{k\theta}$ (dengan $k > 0$ yang tetap, $\theta \in \R$).

1. Tunjukkan bahwa sudut $V$ antara jari-jarinya dan garis singgungnya bersifat *tetap* ( $\tan V = \frac1k$ ) — sehingga spiralnya menyilang setiap sinar garis pada sudut yang sama.
2. Tunjukkan bahwa memutar spiralnya sebesar sudut $c$ memetakannya ke penskalaannya oleh faktor $\eu^{-kc}$ : jadi setiap rotasi spiralnya merupakan perbesarannya (yaitu keserupaan diri).
3. Hitunglah [panjang busur](#def-b1-curves-arclength) $\theta \in  \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (sebagai limit [panjangnya](#def-b1-curves-arclength) pada $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) lalu amatilah bahwa ia hingga: yaitu kurva yang berpilin takhingga banyaknya kali mengelilingi titik asalnya, tetapi berpanjang hingga.

**Solusi Latihan 24.12.**

1. $r' = k\eu^{k\theta}$ , sehingga $\tan V = \frac{r}{r'} =  \frac1k$ : jadi tetap. Sehingga spiralnya memotong setiap sinar garis dari titik asalnya pada sudut yang sama $V = \arctan\frac1k$ .
2. Dalam notasi kompleks spiralnya adalah $\{\eu^{k\theta}  \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$. Memutarnya sebesar $c$ mengalikannya dengan $\eu^{\iu c}$: $$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)}  = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$$ dan ketika $\theta + c$ menjelajahi $\R$ ini memerikan $\eu^{-kc}$ kali spiralnya: jadi rotasi $=$ penskalaan. Tak ada kurva mulus lain selain garis dan lingkaran yang mempunyai sifat ini.
3. $\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$, sehingga pada $\intcc{A}{\theta_0}$ [panjangnya](#def-b1-curves-arclength) adalah $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} -  \eu^{kA}\bigr)$, dan ketika $A \to -\infty$: $$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$$ yaitu takhingga banyaknya putaran mengelilingi titik asalnya, tetapi berpanjang total hingga (karena putarannya menyusut secara geometri).

## 24.6 Soal: sikloid, ratu segala kurva

**Soal 24.1.**

Sebuah roda berjari-jari $R$ menggelinding tanpa tergelincir sepanjang sumbu $x$; dan titik pelek yang mula-mula di titik asalnya menjejaki *sikloid*. Abad ketujuh belas bertengkar atas kurva ini — Galileo menimbang guntingan kertasnya, Wren mengukurnya, Roberval menghitung luasnya, Huygens membangun jam di atasnya — dan setiap hasil mereka terjangkau bab ini. Kita membuktikan keempat klasiknya: yaitu konstruksi singgungnya, [panjang](#def-b1-curves-arclength) Wren $8R$, luas $3\pi R^2$, dan sifat tautokron Huygens.

**Bagian I — Menggelinding dan garis singgungnya.**

1. Setelah rodanya berputar sebesar sudut $t$, pusatnya duduk di $\Omega(t) = (Rt, R)$ (karena menggelinding tanpa tergelincir: jarak sentuhnya $=$ busur yang tergelinding). Tunjukkan bahwa titik yang ditandai berada di $$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$$
2. Hitunglah $f'(t)$ lalu tunjukkanlah $\norm{f'(t)} =  2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; lalu carilah titik singularnya (yaitu [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) — bandingkanlah [Latihan 24.2](#exo-b1-curves-2) ) dan puncak setiap lengkungannya.
3. Misalkan $C(t) = (Rt, 0)$ titik sentuhnya dan $T(t) =  (Rt, 2R)$ puncak rodanya. Buktikan bahwa untuk $0 < t <  2\pi$ vektor $M - C$ bersifat *normal* terhadap kurvanya di $M(t)$ sedangkan vektor $T - M$ bersifat *menyinggung* : jadi untuk menggambar garis singgung sebuah sikloid, hubungkanlah titiknya ke puncak lingkaran yang menggelindingkannya. *(Faktorkanlah segalanya lewat $\sin\frac t2$ dan $\cos\frac t2$.)*
4. Tafsirkanlah pertanyaan 3 secara kinematika: bahwa titik sentuhnya adalah *pusat rotasi sesaatnya* , dan laju $M$ sama dengan jaraknya ke $C$ (bagi kecepatan sudut satuan). Periksalah $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
5. Buktikan hubungan tinggi–laju $$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$$ bahwa pada sikloid yang dilintasi pada kecepatan sudut satuan, lajunya pada setiap titik tepat laju jatuh [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) bagi penurunan yang sama dengan tinggi saat itu. (Simpanlah ini bagi Bagian IV.)

**Bagian II — Teorema Wren: lengkungannya berpanjang $8R$.**

6. Dengan memakai [Definisi 24.9](#def-b1-curves-arclength), hitunglah [panjang](#def-b1-curves-arclength) satu lengkungannya: $$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$$ (yaitu teorema Wren, 1658). Empat garis tengah roda, dan tanpa $\pi$ di mana pun.
7. Hitunglah [panjang busur](#def-b1-curves-arclength) dari [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid) : $s(t) =  4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , lalu periksalah $s(2\pi) =  8R$ .
8. Kini ukurlah busurnya dari *puncaknya* $t = \pi$: $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$. Buktikan hubungan intrinsiknya $$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$$ bahwa kuadrat jarak busur dari puncaknya sebanding dengan penurunan tingginya di bawah puncaknya.
9. Periksa kewarasannya: pulihkanlah dari pertanyaan 8 bahwa setengah lengkungan dari puncak ke [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid) berpanjang $4R$ , lalu bandingkanlah dengan perhitungan astroid [Contoh 24.10](#ex-b1-curves-circlelength) — karena kedua kurvanya berpanjang aljabar dan [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free) $\pi$ ; lalu jelaskanlah apa yang memungkinkan ini walaupun keduanya dibangun dari lingkaran. *(Lihatlah bentuk $\norm{f'}$.)*

**Bagian III — Luas Roberval: $3\pi R^2$.**

10. Benarkanlah bahwa luas antara satu lengkungan dan tanahnya adalah $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ *(yaitu penyulihan $x = x(t)$ pada $\int y\,\dd x$, [Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-parts); karena $x$ naik)* .
11. Hitunglah $$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$$ yaitu tepat *tiga* kali luas rodanya — yakni nisbah yang telah ditebak Galileo lewat penimbangan.
12. Metode yang sama bagi astroid $(\cos^3t, \sin^3t)$ : tunjukkanlah bahwa luas yang dilingkupinya adalah $\frac{3\pi}8$ *(linearkanlah $\sin^4 t\cos^2 t$; karena hanya suku tetapnya yang bertahan atas satu periode penuh)* .
13. Periksalah kewarasan rumus pertanyaan 10 pada setengah lingkaran satuan atas $(\cos t, \sin t)$ , dengan $t$ dari $\pi$ ke $0$ : apakah ia mengembalikan $\frac\pi2$ ?

**Bagian IV — Tautokron Huygens.** Baliklah lengkungannya: sebutir manik tanpa gesekan meluncur, di bawah gravitasi $g$, di dalam mangkuk sikloidal

$$
x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t)
\qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),
$$

yang titik terendahnya adalah titik asalnya ($y$ diukur ke atas).

14. Hitunglah lajunya $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$, [panjang busur](#def-b1-curves-arclength) dari dasarnya $s(t) = 4R\sin\frac t2$, lalu buktikanlah kesamaan kuncinya $$y = \frac{s^2}{8R} .$$
15. Manik yang dilepas diam dari titik berparameter $t_0 > 0$ menuruti kekekalan energi: bahwa jika $s(\tau)$ menyatakan kedudukan busurnya pada waktu $\tau$, maka $\frac12\bigl(  \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$. Tulislah ulang ini, dengan memakai pertanyaan 14, sebagai $$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2}  = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr),  \qquad s_0 = s(t_0).$$
16. Turunkanlah terhadap $\tau$ lalu perolehlah pengayun harmonisnya $$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$$ pecahkanlah ia dengan [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#thm-b1-diffeq-homogeneous2) dan syarat awalnya: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$, $\omega = \sqrt{g/4R}$.
17. Simpulkanlah *sifat tautokronnya* (Huygens, 1659): bahwa waktu untuk mencapai dasarnya, $$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}  = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$$ tak bergantung pada titik pelepasannya — karena manik yang dilepas bersama dari sebarang dua ketinggian mangkuknya tiba bersama.
18. Periksalah lewat penyulihan bahwa $s(\tau) =  s_0\cos\omega\tau$ memenuhi persamaan energi berorde pertama pada pertanyaan 15 dengan persis (bukan hanya yang diturunkan), lalu jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa bandul lingkaran hanya *secara hampiran* isokron sedangkan sikloidnya persis demikian.
19. Secara numeris: jari-jari $R$ yang mana yang membuat waktu turunnya tepat satu detik ( $g = 9.81$ )? Perhatikanlah betapa dekat jawabannya dengan satu meter, dan bagaimana periode ayunan penuhnya $2\pi\sqrt{4R/g}$ dibandingkan dengan rumus bandul bersudut kecil $2\pi\sqrt{\ell/g}$ untuk $\ell = 4R$ .

**Bagian V — Dividen, dan sintesisnya.**

20. Terapkanlah kaidah singgung pertanyaan 3 di $t =  \frac\pi2$ (ambillah $R = 1$ ): hitunglah $M$ , $T$ , arah $MT$ , lalu periksalah ia terhadap $f'(\frac\pi2)$ .
21. (Trokoid) Tandailah sebagai gantinya sebuah titik berjarak $d$ dari pusatnya ( $d \neq R$ ): maka kurvanya adalah $x = Rt -  d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Tunjukkan bahwa untuk $d < R$ kurvanya reguler di mana-mana dan tak memperlihatkan perilaku singular apa pun ( $x' > 0$ : jadi ia maju), sedangkan untuk $d  > R$ absisnya $x'$ berganti tanda dan kurvanya membuat simpul — yakni roda kereta api bertepi yang titik peleknya bepergian *mundur* .
22. (Cuplikan brakistokron) Dari [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ pada mangkuknya ke dasarnya, bandingkanlah waktu turun sikloidnya $\pi\sqrt{R/g}$ dengan waktu sepanjang peluncur lurus yang menghubungkan titik yang sama *(dengan percepatan tetap $g\sin\alpha$ sepanjang tali busurnya)* : tunjukkanlah bahwa tali busurnya memakan $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . Jadi kurvanya mengalahkan garisnya — dan ia sesungguhnya yang tercepat di antara semua kurva, yaitu hasil kalkulus variasi.
23. Tunjukkan bahwa pada lengkungannya ($0 < t < 2\pi$), $$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2,  \qquad  \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} =  -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$$ bahwa lengkungannya cekung, dengan garis singgung tegak tepat pada [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid).
24. Pulihkanlah garis singgung tegak [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) pada [Latihan 24.2](#exo-b1-curves-2) secara geometri: hitunglah arah limit tali busur $MT$ pertanyaan 3 ketika $t \to  0^{+}$ , tanpa penjabaran sama sekali.
25. Sintesis, dalam empat kalimat: ketiga teorema bernama yang mana yang dibuktikan soal ini (beserta bilangannya $8R$ , $3\pi  R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ dan penulisnya); perangkat perhitungan tunggal yang mana (yaitu pemfaktoran $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ ) yang menggerakkan seluruh Bagian I, II dan IV; bagaimanakah hubungan intrinsik $y = s^2/8R$ mengubah geometri menjadi persamaan diferensial [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) ; dan bab yang mana pada buku ini yang disandari tiap Bagiannya.

**Solusi Soal 24.1.**

**1.** Menggelinding tanpa tergelincir berarti titik sentuhnya telah menempuh jarak yang sama dengan busur roda yang tergulung: sehingga setelah berputar sebesar $t$, pusatnya ada di $(Rt, R)$. Adapun titik yang ditandai duduk pada peleknya bersudut $t$ *di belakang* garis tegak ke bawahnya (karena rodanya berputar searah jarum jam sembari maju):

$$
M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t)
= \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),
$$

yang benar di $t = 0$ ($M = (0,0)$) dan di $t = \pi$ ($M =
(\pi R, 2R)$, yaitu puncaknya).

**2.** $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ dan

$$
\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr)
= 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,
$$

sehingga $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$. Titik singularnya di $t \in
2\pi\Z$: yaitu [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) pada tanahnya ([Latihan 24.2](#exo-b1-curves-2)); sedangkan puncak lengkungannya di $t = \pi$, tempat lajunya $2R$ maksimal.

**3.** Pemfaktoran setengah sudutnya:

$$
f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr),
\quad
M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),
$$

$$
T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr)
= 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).
$$

Untuk $0 < t < 2\pi$, $\sin\frac t2 \neq 0$: sehingga $M - C$ [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap arah singgungnya $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac
t2\bigr)$ (karena hasil kalinya adalah $-\sin\frac t2\cos\frac t2 +
\sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$), sedangkan $T - M$ sejajar dengannya. Jadi tali busur ke puncak rodanya *adalah* garis singgungnya; sedangkan tali busur ke titik sentuhnya adalah normalnya.

**4.** Pada setiap saat rodanya berporos pada titik sentuhnya (karena titik itu berkecepatan nol: yakni menggelinding tanpa tergelincir), sehingga setiap titik tegar rodanya bergerak [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/23-ruang-euklides#def-b1-euclid-orthogonal) terhadap garis yang menghubungkannya ke $C$, dengan laju (pada kecepatan sudut $1$) yang sama dengan jarak itu. Periksa: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} =
\norm{f'(t)}$.

**5.** $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 =
4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$. Jadi lajunya pada ketinggian $y$ adalah $\sqrt{2R\,y}$ — yang secara bentuk adalah hukum $v = \sqrt{2gh}$ pada jatuh [bebas](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#def-b1-vspaces-free), dengan tanahnya berperan sebagai langit-langitnya; dan Bagian IV mengubah pengamatan ini menjadi kerja jam.

**6.** Menurut [Definisi 24.9](#def-b1-curves-arclength) dan pertanyaan 2 ($\sin\frac t2 \geq 0$ pada $\intcc{0}{2\pi}$):

$$
L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t
= 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .
$$

Teorema Wren: tepat empat garis tengah.

**7.** $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u =
4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$; dan $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$, yang selaras.

**8.** $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 -
\cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$, sehingga $\sigma^2 =
16R^2\cos^2\frac t2$; dan $2R - y = R(1 + \cos t) =
2R\cos^2\frac t2$, dan dari situlah $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 =
\sigma^2$.

**9.** Pada [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) $t = 0$ (atau $2\pi$): $\sigma = 4R$, yaitu separuh $8R$: jadi puncaknya membelah dua lengkungannya. Pada kedua perhitungannya lajunya berupa $\abs{\text{polinomial trigonometri pada } t/2}$, yang antiturunannya trigonometri lagi: sehingga [panjangnya](#def-b1-curves-arclength) adalah selisih *nilai* kosinus — yaitu bilangan rasional kali $R$ — tanpa busur lingkaran yang perlu diukur, jadi tanpa $\pi$. Sedangkan lingkarannya sendiri berlaju tetap, sehingga [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) [panjangnya](#def-b1-curves-arclength) menghasilkan [panjang](#def-b1-curves-arclength) [selang](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/10-bilangan-real#prop-b1-reals-intervals) penuhnya $2\pi$; sedangkan laju sikloidnya lenyap pada ujungnya dan terintegralkan secara aljabar.

**10.** Lengkungannya tersapu dengan $x$ naik dari $0$ ke $2\pi R$ ($x' = R(1 - \cos t) \geq 0$, yang lenyap hanya pada titik yang terpencil). Jadi menyulihkan $x = x(t)$ ke dalam [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) luasnya $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ ([Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-parts)) memberikan $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$.

**11.**

$$
A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t
= R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t
= R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,
$$

dengan memakai $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$. Jadi tepat tiga luas roda: karena timbangan Galileo berkata “sekitar $3$”; sedangkan perhitungan Roberval berkata “tepat”.

**12.** Dengan $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$: $y\,x' =
-3\sin^4 t\cos^2 t$. Linearkanlah:

$$
\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2
2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,
$$

dan atas $\intcc{0}{2\pi}$: $\int\sin^2 2t = \pi$, $\int \sin^2
2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$. Jadi $\oint
y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$, dan luas yang dilingkupinya adalah $\frac{3\pi}8$ (dengan tandanya mencatat arah berlawanan jarum jam).

**13.** Untuk $(\cos t, \sin t)$ dengan $t$ dari $\pi$ ke $0$, $x$ naik dari $-1$ ke $1$ dan

$$
\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t
= \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :
$$

jadi rumusnya mengembalikan luas setengah cakram atasnya, sebagaimana mestinya.

**14.** $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$, $y' =
R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$, sehingga $\norm{f'} =
2R\cos\frac t2$ (yang taknegatif pada $\intcc{-\pi}{\pi}$). Adapun busur dari dasarnya: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u =
4R\sin\frac t2$. Lalu

$$
y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2
= 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .
$$

**15.** Kekekalan energinya dengan $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ dan $y = \frac{s^2}{8R}$, $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$:

$$
\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y)
= \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr)
= \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).
$$

**16.** Menurunkannya pada $\tau$: $2s's'' =
-\frac{g}{4R}\,2ss'$, sehingga di mana pun $s' \neq 0$ (jadi di mana-mana lewat [kekontinuannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#def-b1-continuity-continuous)), $s'' = -\frac{g}{4R}s$: yaitu pengayun harmonisnya. Menurut [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#thm-b1-diffeq-homogeneous2), $s(\tau) =
A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ dengan $\omega =
\sqrt{g/(4R)}$; dan syarat awalnya $s(0) = s_0$, $s'(0) = 0$ memberikan $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$.

**17.** Maniknya mencapai dasarnya ketika $s = 0$, yaitu di $\omega\tau = \frac\pi2$:

$$
T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}
= \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

yang tak bergantung pada $s_0$: jadi dilepas dari mana pun di mangkuknya, semua maniknya tiba pada saat yang sama — itulah tautokronnya.

**18.** Menyulihkan $s = s_0\cos\omega\tau$: maka ruas kirinya adalah $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ sedangkan ruas kanannya adalah $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) =
s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$: jadi kesamaan yang persis, sehingga tak ada penyelesaian palsu yang diperkenalkan. Adapun bagi busur lingkaran, $y$ tak sebanding dengan $s^2$ ($y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) =
\frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$): sehingga suku pemulihnya hanya *secara hampiran* [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def), jadi periode bandul lingkarannya melayang bersama amplitudonya, sedangkan periode sikloidnya tetap secara ketat.

**19.** $\pi\sqrt{R/g} = 1$ memberikan $R = \frac{g}{\pi^2}
\approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — yaitu nyaris tepat satu meter. Adapun ayunan penuhnya memakan $\frac{2\pi}\omega =
2\pi\sqrt{4R/g}$, yang persis rumus bersudut kecil $2\pi\sqrt{\ell/g}$ bagi bandul berpanjang $\ell = 4R$: dan Huygens menggantungkan bandulnya pada pipi sikloidal dengan perbandingan tepat itu.

**20.** Di $t = \frac\pi2$, $R = 1$: $M = \bigl(\frac\pi2 -
1,\ 1\bigr)$, $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$, sehingga $T - M = (1,
1)$. Dan $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$: jadi tali busur ke puncaknya adalah kecepatannya, sebagaimana dijanjikan.

**21.** Bagi trokoidnya, $x'(t) = R - d\cos t$ dan $y'(t)
= d\sin t$. Jika $d < R$: maka $x' \geq R - d > 0$, sehingga titiknya selalu maju; dan kecepatannya tak pernah lenyap (karena komponen pertamanya positif): jadi tak ada titik singular, melainkan gelombang yang reguler. Jika $d > R$: $x'(0)
= R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$, sehingga titiknya bergerak mundur dekat saat sentuhnya dan maju di tempat lain: jadi kurvanya menyilang dirinya dalam simpul. Adapun sebuah titik pada tepi roda kereta api (di bawah kepala relnya, $d > R$) bepergian mundur pada setiap putaran.

**22.** Tali busur dari [titik runcing](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ ke titik asalnya berpanjang $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ dan bersudut kemiringan $\alpha$ dengan $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$. Meluncur dari diam dengan percepatan tetap $g\sin\alpha$: $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$, sehingga

$$
T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}}
= \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg}
\approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

lawan $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ bagi sikloidnya: jadi lintasan yang melengkung lebih cepat. Dan ia sesungguhnya yang paling cepat — yakni brakistokronnya — yaitu teorema kalkulus variasi, yang di luar jilid ini.

**23.** $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} =
\dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (lewat rumus setengah sudutnya). Lalu

$$
\frac{\dd^2y}{\dd x^2}
= \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)}
= -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2}
= -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :
$$

jadi cekung sepanjang lengkungannya; dan ketika $t \to 0^+$ atau $2\pi^-$ kemiringannya $\cot\frac t2 \to \pm\infty$: jadi garis singgung tegak pada [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid).

**24.** Arah tali busurnya adalah $T - M \parallel
\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$, yang menuju $(0, 1)$ ketika $t \to 0^{+}$: sehingga garis singgung pada [titik runcingnya](#ex-b1-curves-astroid) tegak — yang dipulihkan dari geometri murni, tanpa penjabaran Taylor.

**25.** (i) Teorema Wren, $L = 8R$; luas Roberval, $A =
3\pi R^2$ (dengan nisbah $3$ yang diterka Galileo); dan tautokron Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$. (ii) Setiap perhitungannya berjalan di atas pemfaktoran setengah sudutnya $f' =
2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ dan padanan mangkuknya — yaitu satu kesamaan yang menggerakkan garis singgung, [panjang](#def-b1-curves-arclength) dan jam sekaligus. (iii) Adapun hubungan intrinsiknya $y = s^2/8R$ mengubah persamaan energinya menjadi $s'' = -\frac{g}{4R}s$, yaitu persamaan [linear](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#def-b1-linmaps-def) berkoefisien tetap yang penyelesaiannya persis isokron. (iv) Bagian I memakai kalkulus diferensial [Bab 14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/14-pendiferensialan#ch-b1-derivative), Bagian II–III [integral](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#thm-b1-integration-def) [Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration), dan Bagian IV persamaan diferensial [Bab 5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#ch-b1-diffeq) — jadi sikloidnya adalah seluruh bahan ajar buku ini yang tergulung menjadi satu kurva.