---
title: "Struktur Aljabar"
book: "Matematika Universitas — Tahun 1"
subject: math
language: id
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar
---

# Bab 7 — Struktur Aljabar

Aturan perhitungan yang sama terus muncul kembali: pada bilangan bulat, bilangan real, bilangan kompleks, kelas [kekongruenan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-congruence), dan sebentar lagi pada polinomial ([Bab 8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#ch-b1-poly)), vektor dan matriks (Bab [18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ch-b1-vspaces) dan [21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices)). Aljabar menyarikan pola yang berulang itu lalu menamainya: *[grup](#def-b1-structures-group)*, *[ring](#def-b1-structures-ring)*, *[lapangan](#def-b1-structures-field)*. Membuktikan sebuah fakta sekali, pada taraf strukturnya, berarti membuktikannya untuk setiap contohnya sekaligus.

## 7.1 Operasi biner

**Definisi 7.1.**

Sebuah *operasi biner* pada [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $E$ adalah [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $E \times E \to E$, ditulis $(x, y) \mapsto x * y$. Ia bersifat *asosiatif* bila $(x*y)*z = x*(y*z)$ selalu berlaku, dan *komutatif* bila $x * y = y * x$ selalu berlaku. Unsur $e$ disebut *identitas* bila $e * x = x * e = x$ untuk setiap $x$; lalu $x'$ disebut *invers* $x$ bila $x * x' = x' * x = e$.

**Proposisi 7.2 (Ketunggalan).**

Sebuah operasi mempunyai paling banyak satu identitas; dan pada operasi asosiatif beridentitas, setiap unsur mempunyai paling banyak satu invers.

**Bukti.** Jika $e$ dan $e'$ dua identitas: $e = e * e' = e'$. Jika $x'$ dan $x''$ membalikkan $x$: $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x''
= x''$. ∎

## 7.2 Grup

**Definisi 7.3 (Grup).**

Sebuah *grup* $(G, *)$ adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) yang dilengkapi operasi asosiatif yang mempunyai identitas dan yang di dalamnya setiap unsur mempunyai invers. Grupnya disebut *abelian* bila operasinya komutatif.

**Contoh 7.4.**

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ ([akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity), [Definisi 3.17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity)); [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$ berisi bijeksi [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $E$ pada dirinya sendiri, terhadap komposisi — yaitu *grup simetri* $E$, yang tak [abelian](#def-b1-structures-group) begitu $\abs E \geq 3$. Bukan [grup](#def-b1-structures-group): $(\N, +)$ (tanpa invers), $(\Z, \times)$ (hanya $\pm 1$ yang terbalikkan).

**Proposisi 7.5 (Aturan perhitungan).**

Dalam [grup](#def-b1-structures-group) $G$ (ditulis secara perkalian, dengan identitas $e$):

1. pencoretan: $ax = ay \implies x = y$ dan $xa = ya \implies  x = y$ ;
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ dan $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
3. untuk $a, b \in G$ , masing-masing persamaan $ax = b$ dan $xa = b$ mempunyai tepat satu penyelesaian ( $x = a^{-1}b$ , dan $x = b a^{-1}$ ).

**Bukti.** (1) Kalikan dengan $a^{-1}$ pada sisi yang sesuai, sambil memakai keasosiatifannya. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b =
e$ dan simetris dengan itu; ketunggalan inversnya menutup buktinya; adapun butir keduanya adalah [Proposisi 7.2](#prop-b1-structures-unique) yang diterapkan pada $a^{-1}$. (3) Substitusikan lalu pakai (1) untuk ketunggalannya. ∎

**Contoh 7.6 (Simetri sebuah persegi panjang).**

Persegi panjang (yang bukan persegi) mempunyai tepat empat isometri pada dirinya sendiri: identitas $e$, pencerminan pada sumbu mendatar $h$, pencerminan pada sumbu tegak $v$, dan setengah putaran $r$ terhadap pusatnya. Komposisi menjadikan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) beranggota empat ini sebuah [grup](#def-b1-structures-group): setiap unsurnya menjadi inversnya sendiri ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), dan hasil kali dua unsur tak identitas yang berbeda adalah unsur ketiganya ($hv = vh = r$: mencerminkan pada kedua sumbu sama dengan setengah putaran). Tabel lengkapnya simetris, jadi [grupnya](#def-b1-structures-group) [abelian](#def-b1-structures-group) — namun ia *bukan* [grup](#def-b1-structures-group) yang sama dengan [grup](#def-b1-structures-group) rotasi $\mathbb U_4$ pada [Contoh 7.15](#ex-b1-structures-order): di sana $\iu$ berorde $4$, sedangkan di sini setiap unsurnya berorde $\leq 2$. Jadi dua [grup](#def-b1-structures-group) berukuran sama dapat mempunyai struktur perkalian yang sungguh-sungguh berbeda — gambar di bawah menampilkan kedua tabelnya berdampingan. [Grup](#def-b1-structures-group) beranggota empat ini kembali sebagai $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, dan [Latihan 7.7](#exo-b1-structures-7) menjelaskan mengapa setiap [grup](#def-b1-structures-group) yang semua kuadratnya sepele pastilah, seperti yang ini, [abelian](#def-b1-structures-group).

![Dua grup beranggota empat: U_4 = \e, , -1, - \ (kiri) dan grup persegi panjang (kanan), dengan kedudukan identitasnya diarsir. Di kiri identitasnya berkelok (satu unsur berorde 4 membangkitkan segalanya); di kanan ia memenuhi diagonalnya (setiap unsur berkuadrat e). Tak ada penamaan ulang yang dapat mengubah tabel yang satu menjadi yang lain: jadi kedua grupnya tidak isomorfik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*Dua [grup](#def-b1-structures-group) beranggota empat: $\mathbb U_4 = \{e, \iu,
-1, -\iu\}$ (kiri) dan [grup](#def-b1-structures-group) persegi panjang (kanan), dengan kedudukan identitasnya diarsir. Di kiri identitasnya berkelok (satu unsur berorde $4$ membangkitkan segalanya); di kanan ia memenuhi diagonalnya (setiap unsur berkuadrat $e$). Tak ada penamaan ulang yang dapat mengubah tabel yang satu menjadi yang lain: jadi kedua [grupnya](#def-b1-structures-group) tidak isomorfik.*

**Definisi 7.7 (Subgrup).**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bagian $H$ sebuah [grup](#def-b1-structures-group) $G$ disebut *subgrup* (ditulis $H \leq G$) bila ia memuat $e$, tertutup terhadap operasinya dan terhadap pembalikannya. Maka $H$ sendiri sebuah [grup](#def-b1-structures-group).

*Kriteria:* $H \subseteq G$ yang tak kosong merupakan subgrup jika dan hanya jika

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**Bukti kriterianya.** [Subgrup](#def-b1-structures-subgroup) jelas memenuhinya. Sebaliknya, misalkan $H \neq \emptyset$ memenuhinya, lalu pilih $x_0 \in H$. Maka $e = x_0 x_0^{-1} \in H$; untuk $y \in H$, $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$; dan untuk $x, y \in H$, $xy =
x (y^{-1})^{-1} \in H$. ∎

**Contoh 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: ia tak kosong, dan untuk $z, w \in
\mathbb{U}_n$ berlaku $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. [Subgrup](#def-b1-structures-subgroup) $(\Z, +)$ tepat berupa $n\Z$ (dibuktikan pada [Teorema 6.4](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#thm-b1-arith-gcd)). Irisan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) selalu menjadi [subgrup](#def-b1-structures-subgroup), tetapi gabungannya hampir tak pernah demikian ([Latihan 7.6](#exo-b1-structures-6)).

**Catatan 7.9 (Jebakan yang lazim dengan struktur).**

1. *Ketertutupan terhadap operasinya saja belum cukup.* [Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\N$ tertutup terhadap penjumlahan di dalam $\Z$ dan memuat $0$ , namun ia bukan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) : karena inversnya tak ada. Kriteria $xy^{-1} \in H$ menguji semuanya sekaligus — tetapi hanya setelah $H \neq \emptyset$ diperiksa.
2. *Refleks tak [abelian](#def-b1-structures-group).* Pada [grup](#def-b1-structures-group) yang umum, $(ab)^2 =  abab$ , yang sama dengan $a^2b^2$ hanya bila $a$ dan $b$ berkomutasi; demikian pula $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ , dengan urutan terbalik. Setiap kesamaan yang diimpor dari aljabar sekolah harus diturunkan ulang dari aksiomanya atau ditandai sebagai kasus komutatif.
3. *[Kernel](#def-b1-structures-morphism) berbanding peta.* Di sini $\ker f$ hidup di *sumbernya* , sedangkan $\operatorname{im} f$ di sasarannya; “ $f$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) jika dan hanya jika $\ker f$ sepele” ( [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) tak mempunyai analog dengan petanya ( $\operatorname{im} f = G'$ adalah kesurjektifan).
4. *[Ring](#def-b1-structures-ring) bukan [grup](#def-b1-structures-group) terhadap $\times$.* Dalam sebuah [ring](#def-b1-structures-ring) , kebanyakan unsurnya tak harus terbalikkan, dan pencoretan oleh $a$ menuntut $a$ menjadi unit atau [ringnya](#def-b1-structures-ring) menjadi [daerah integral](#def-b1-structures-field) : di $\Z/12\Z$ , $\overline3\,\overline2 =  \overline3\,\overline6$ padahal $\overline2 \neq \overline6$ ( [Contoh 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) ).

**Definisi 7.10 (Morfisma grup).**

Misalkan $(G, *)$ dan $(G', \star)$ dua [grup](#def-b1-structures-group). [Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $f \colon G \to G'$ disebut *morfisma* bila

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

Maka $f(e_G) = e_{G'}$ dan $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. Adapun *kernel* dan *peta* $f$ adalah

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

Morfisma yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) disebut *isomorfisma*; dan [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) inversnya lalu otomatis menjadi morfisma pula.

**Bukti pernyataannya.** Dari $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$, mencoret $f(e)$ memberikan $e_{G'} = f(e)$. Lalu $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ mengenali $f(x^{-1})$ sebagai inversnya. [Kernelnya](#def-b1-structures-morphism): $e \in \ker f$; jika $x, y \in \ker f$, maka $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$; jadi kriterianya berlaku. Petanya: kriteria yang sama dengan $f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})$. Invers sebuah isomorfisma: untuk $u, v \in G'$, tulis $u = f(x)$, $v =
f(y)$; maka $f^{-1}(u \star v) = f^{-1}(f(xy)) = xy =
f^{-1}(u) f^{-1}(v)$. ∎

**Proposisi 7.11 (Keinjektifan lewat kernelnya).**

Sebuah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) [grup](#def-b1-structures-group) $f$ bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) jika dan hanya jika $\ker f =
\{e\}$.

**Bukti.** Jika $f$ [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), maka $\ker f$ hanya dapat memuat satu [prapeta](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $e_{G'}$, yaitu $e$. Sebaliknya, jika $\ker f = \{e\}$ dan $f(x) =
f(y)$, maka $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$, sehingga $xy^{-1} = e$, yakni $x = y$. ∎

**Contoh 7.12.**

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ adalah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) (karena $\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) ([Proposisi 4.1](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/4-fungsi-baku#prop-b1-functions-expln)): jadi struktur penjumlahan dan perkaliannya isomorfik — itulah alasan historis keberadaan logaritma. [Morfisma](#def-b1-structures-morphism) lain: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ dari $(\R, +)$ pada lingkaran satuan $(\mathbb{U}, \times)$, dengan [kernel](#def-b1-structures-morphism) $2\pi\Z$.

**Contoh 7.13 (Morfisma tanda).**

[Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ yang mengirim $x$ ke tandanya adalah [morfisma](#def-b1-structures-morphism): karena tanda sebuah hasil kali sama dengan hasil kali tandanya. [Kernelnya](#def-b1-structures-morphism) adalah $\intoo0{+\infty}$ (sebuah [subgrup](#def-b1-structures-subgroup), sesuai janji [Definisi 7.10](#def-b1-structures-morphism)), dan petanya seluruh $\{\pm1\}$: jadi [surjektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj), tetapi sangat tak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Dua pelajaran umum dalam wujud mini. Pertama, sebuah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) boleh saja meremukkan informasi: $s$ tak mengingat apa pun dari $x$ selain satu bit, dan itulah keutamaannya — argumen tanda tepat merupakan perhitungan yang melewati $s$. Kedua, [morfisma](#def-b1-structures-morphism) ke $\{\pm1\}$ adalah “invarian” yang paling sederhana: tanda [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects), yang dibangun pada soal akhir pekan bab ini, adalah gejala yang sama pada [grup](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$, dan semua argumen paritas yang digerakkannya turun lewat [morfisma](#def-b1-structures-morphism) bernilai dua semacam itu.

**Definisi 7.14 (Pangkat, orde sebuah unsur).**

Dalam [grup](#def-b1-structures-group) $G$ (dengan notasi perkalian), tulis $x^0 = e$, $x^{k+1} =
x^k x$ dan $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ untuk $k \in \N$; maka $x^{k+l} = x^k
x^l$ untuk setiap $k, l \in \Z$, sehingga $k \mapsto x^k$ adalah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,
+) \to G$ yang petanya $\langle x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ merupakan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup), yaitu [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) yang *dibangkitkan* oleh $x$. Adapun *orde* $x$ adalah $m \geq
1$ terkecil dengan $x^m = e$ bila ada (lalu $\langle x\rangle = \{e, x,
\dots, x^{m-1}\}$ beranggota tepat $m$ unsur, dan $x^k = e \iff m
\mid k$), dan $\infty$ bila tidak ada.

**Contoh 7.15.**

Dalam $(\C^*, \times)$: $\iu$ berorde $4$, dengan $\langle \iu \rangle
= \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; lebih umum $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ berorde $n$ dan $\langle\omega\rangle =
\mathbb{U}_n$. Dalam $(\Z, +)$, setiap $x \neq 0$ berorde tak hingga. Mengapa klaim pada definisinya berlaku: jika $x$ berorde $m$, bagilah sebarang $k$ dengan $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, [Teorema 6.2](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#thm-b1-arith-division)): maka $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, jadi pangkatnya berdaur dengan periode $m$, unsur yang didaftar itu berbeda dua-dua menurut keminimalan $m$, dan $x^k = e$ memaksa $r = 0$. [Orde](#def-b1-structures-order) [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) dihitung pada soal akhir pekan di bawah.

**Contoh 7.16 (Orde di dalam U12\mathbb U_{12}U12​).**

Berapa [orde](#def-b1-structures-order) $\omega^k$ di $\mathbb U_n$, untuk $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$? Kita punya $(\omega^k)^m = 1$ jika dan hanya jika $n \mid km$, dan dengan menulis $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ dengan $\gcd(n', k')
= 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (menurut lema Gauss, [Teorema 6.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#thm-b1-arith-gauss)). Nilai $m \geq 1$ terkecil semacam itu adalah $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Di $\mathbb U_{12}$ misalnya, $\omega^8$ berorde $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (memang $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), sedangkan $\omega^5$ berorde $12$: ia membangkitkan seluruh [grupnya](#def-b1-structures-group), meskipun ia bukan pembangkit yang “baku”. Mencacah pembangkitnya — yaitu $k$ dengan $\gcd(k, n) = 1$ — memulihkan cacahan [saling prima](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#cor-b1-arith-bezout) pada [Contoh 2.25](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#ex-b1-counting-coprime): jadi teori [grup](#def-b1-structures-group) dan pencacahan bertemu.

## 7.3 Ring dan lapangan

**Definisi 7.17 (Ring).**

Sebuah *ring* $(A, +, \times)$ adalah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) dengan dua operasi sedemikian sehingga: $(A, +)$ [grup abelian](#def-b1-structures-group) (dengan identitas $0$); $\times$ asosiatif dengan identitas $1$; dan $\times$ distributif terhadap $+$ pada kedua sisinya. Ringnya disebut *komutatif* bila $\times$ komutatif. Sebuah unsur $a$ disebut *terbalikkan* (sebuah *unit*) bila $ab = ba = 1$ untuk suatu $b$; dan semua unitnya membentuk [grup](#def-b1-structures-group) $(A^\times, \times)$.

**Bukti bahwa unitnya membentuk grup.** Ketertutupannya: jika $a, a'$ unit dengan invers $b, b'$, maka

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

secara simetris, jadi $aa'$ sebuah unit. Unsur $1$ adalah unit (yang menjadi inversnya sendiri), keasosiatifannya diwarisi dari $A$, dan invers $b$ sebuah unit $a$ sendiri merupakan unit (dengan invers $a$). Jadi $(A^\times, \times)$ memenuhi semua aksioma [grup](#def-b1-structures-group). Setiap [grup](#def-b1-structures-group) dalam buku ini yang tidak dibangun dari [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) muncul dengan cara ini: $\Q^* = \Q^\times$, $\R^*$, $\C^*$, unit $\Z/n\Z$ di bawah, dan nanti matriks yang terbalikkan ([Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices)). ∎

**Contoh 7.18.**

$\Z, \Q, \R, \C$ adalah [ring](#def-b1-structures-ring) komutatif; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Menyusul kemudian: [ring](#def-b1-structures-ring) polinomial $K[X]$ ([Bab 8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#ch-b1-poly)), [ring](#def-b1-structures-ring) matriks (yang tak komutatif, [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices)), dan $\Z/n\Z$ di bawah. Dalam setiap [ring](#def-b1-structures-ring), $0 \times
a = 0$ (dari sifat distributifnya: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), dan $(-1)a = -a$.

**Contoh 7.19 (Idempoten: gejala baru dalam ring baru).**

Di $\Z$, persamaan $x^2 = x$, yakni $x(x - 1) = 0$, hanya mempunyai penyelesaian $0$ dan $1$. Di $\Z/6\Z$, dengan menguji semua kelasnya: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ dan $\overline4^2 =
\overline{16} = \overline4$ — jadi ada *empat* idempoten. Kedua yang eksotis itu datang dari pembagi nol: $\overline3\,(\overline3 -
\overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 =
\overline0$ tanpa satu pun faktornya nol. Perhitungan semacam itu mengalibrasi gerak hati kita: fakta yang sudah dikenal tentang persamaan bertahan di [daerah integral](#def-b1-structures-field) dan [lapangan](#def-b1-structures-field), tetapi [ring](#def-b1-structures-ring) yang umum dapat dan memang berperilaku lain — lihat pula [ring](#def-b1-structures-ring) Boole pada [Latihan 7.10](#exo-b1-structures-10), yang di sana *setiap* unsurnya idempoten.

**Proposisi 7.20 (Teorema binomial dalam ring komutatif).**

Jika $a, b$ unsur sebuah [ring](#def-b1-structures-ring) komutatif (lebih umum lagi, jika $ab = ba$), maka untuk $n \in \N$:

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**Bukti.** Bukti [Teorema 2.16](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#thm-b1-counting-binomial) dan bukti kesamaan geometrinya hanya memakai keasosiatifan, kekomutatifan kedua unsurnya, dan sifat distributifnya — jadi keduanya berlaku kata demi kata. ∎

**Contoh 7.21 (Teorema binomial dalam ring yang tak dikenal).**

Dua hasil cepat dari keumumannya. Di $\Z/p\Z$ (dengan $p$ prima), [koefisien binomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) di tengahnya lenyap (yaitu langkah pertama [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#thm-b1-arith-fermat)), sehingga teoremanya runtuh menjadi *mimpi mahasiswa baru*

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{di } \Z/p\Z ,
$$

yang di sana merupakan kesamaan yang sungguhan, betapapun ia tampak jahat di atas $\R$. Dan di dalam sebarang [ring](#def-b1-structures-ring) komutatif yang memuat unsur $\varepsilon$ dengan $\varepsilon^2 = 0$, teoremanya terpenggal: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, karena semua suku yang lebih tinggi memikul faktor $\varepsilon^2 = 0$. Koefisien $n\,a^{n-1}$ pada $\varepsilon$ adalah turunan $x^n$ — dan itu bukan kebetulan, melainkan isyarat pertama bahwa turunan sama aljabarnya dengan analisisnya (bandingkan turunan formal pada [Bab 8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#ch-b1-poly)).

**Definisi 7.22 (Daerah integral, lapangan).**

[Ring](#def-b1-structures-ring) komutatif $A \neq \{0\}$ disebut *daerah integral* bila ia tidak mempunyai pembagi nol: yakni $ab = 0
\implies a = 0$ atau $b = 0$. Ia disebut *lapangan* bila setiap unsurnya yang tak nol terbalikkan. Setiap lapangan merupakan daerah integral ($ab = 0$ dan $a \neq 0$ memberikan $b = a^{-1}ab = 0$).

**Contoh 7.23.**

$\Q$, $\R$, $\C$ adalah [lapangan](#def-b1-structures-field); sedangkan $\Z$ [daerah integral](#def-b1-structures-field) tetapi bukan [lapangan](#def-b1-structures-field). Dalam [daerah integral](#def-b1-structures-field), pencoretan berlaku untuk $\times$: $ab =
ac$ dan $a \neq 0$ mengakibatkan $b = c$.

## 7.4 Ring $\Z/n\Z$

**Definisi 7.24.**

Tetapkan $n \in \N^*$. Kelas [kekongruenan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-congruence) modulo $n$ ([Contoh 1.32](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#ex-b1-logic-congruence)) membentuk [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\Z/n\Z$ beranggota $n$ unsur, ditulis $\overline 0,
\overline 1, \dots, \overline{n-1}$. Operasinya

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

terdefinisi dengan baik — kelas hasilnya tidak bergantung pada wakilnya, justru karena [kekongruenannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-congruence) serasi dengan $+$ dan $\times$ ([Definisi 6.18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-congruence)) — dan menjadikan $\Z/n\Z$ sebuah [ring](#def-b1-structures-ring) komutatif.

**Teorema 7.25 (Unit Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ; lapangan Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. $\overline a$ terbalikkan di $\Z/n\Z$ jika dan hanya jika $\gcd(a, n) = 1$ .
2. $\Z/n\Z$ merupakan [lapangan](#def-b1-structures-field) jika dan hanya jika $n$ prima.

**Bukti.** (1) adalah [Proposisi 6.20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#prop-b1-arith-invmod) yang ditulis ulang dengan kelas.

(2) Jika $n = p$ prima, setiap $\overline a \neq \overline 0$ memenuhi $p
\nmid a$, jadi $\gcd(a, p) = 1$: sehingga terbalikkan menurut (1) — yaitu sebuah [lapangan](#def-b1-structures-field). Jika $n =
ab$ dengan $1 < a, b < n$, maka $\overline a\, \overline b = \overline
n = \overline 0$ dengan $\overline a, \overline b \neq \overline 0$: jadi ada pembagi nol, sehingga ia bahkan bukan [daerah integral](#def-b1-structures-field); adapun $n = 1$ memberikan [ring](#def-b1-structures-ring) nol, yang tersingkir. ∎

**Contoh 7.26 (Berapa banyak akar kuadrat dari 111?).**

Selesaikan $x^2 = \overline 1$ di $\Z/8\Z$ dan di $\Z/7\Z$. Dengan menguji kedelapan kelas modulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25
\equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — jadi ada *empat* penyelesaian $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, padahal polinomial $X^2 - 1$ berderajat $2$. Sebaliknya, di [lapangan](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$, $x^2 = \overline1$ berarti $(x - \overline1)(x +
\overline1) = \overline0$, dan [lapangan](#def-b1-structures-field) tak mempunyai pembagi nol: sehingga $x =
\pm\overline1$, dengan dua penyelesaian saja. Kegagalan modulo $8$ itu dapat dilacak: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ tanpa satu pun faktornya lenyap. Moralnya: kaidah yang sudah dikenal “persamaan berderajat $d$ mempunyai paling banyak $d$ akar” adalah teorema tentang *[daerah integral](#def-b1-structures-field)* ([Akibat 8.8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#cor-b1-poly-nroots) membuktikannya atas [lapangan](#def-b1-structures-field)); dan di dalam [ring](#def-b1-structures-ring) yang mempunyai pembagi nol ia gugur diam-diam — justru itulah sebabnya bukti pemasangan pada teorema Wilson ([Latihan 6.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#exo-b1-arith-11)) menuntut $p$ prima.

**Contoh 7.27 (Berhitung di Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ).**

Di $\Z/12\Z$: unitnya adalah $\overline 1, \overline 5, \overline 7,
\overline{11}$ (yaitu kelas yang [saling prima](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#cor-b1-arith-bezout) dengan $12$), dan masing-masing menjadi inversnya sendiri ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv
1$). Persamaan $\overline 3\, x = \overline 6$ mempunyai *tiga* penyelesaian ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): karena tanpa keterbalikan tak ada pencoretan. Sebaliknya di $\Z/11\Z$, setiap persamaan $\overline a x = \overline b$ dengan $\overline a \neq
\overline 0$ mempunyai tepat satu penyelesaian.

**Contoh 7.28 (Aksioma grup sebagai izin menyelesaikan).**

Dalam [grup](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, selesaikan $\overline
3\,x = \overline 5$. Menurut [Proposisi 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3) penyelesaiannya ada, tunggal, dan sama dengan $\overline3^{-1}\,
\overline5$; karena $\overline3 \times \overline5 = \overline{15}
= \overline1$, invers $\overline 3$ adalah $\overline 5$, sehingga

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{periksa: } \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

Yang penting di sini bukan jawabannya melainkan jaminannya: dalam sebuah [grup](#def-b1-structures-group), setiap persamaan semacam itu terselesaikan secara tunggal *sebelum* ada perhitungan, sehingga prosedur penyelesaiannya tak akan pernah tersandung “tak ada penyelesaian” atau “ada beberapa”. Bandingkan $\overline3\,x = \overline6$ di $\Z/12\Z$ di atas, yang di sana jaminannya gugur — mengetahui struktur mana yang sedang kita huni berarti mengetahui apa yang boleh kita anggap sudah pasti.

**Contoh 7.29 (Hasil kali langsung).**

Jika $G$ dan $H$ dua [grup](#def-b1-structures-group), maka [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) hasil kali $G \times H$ dengan operasi komponen demi komponen $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ merupakan [grup](#def-b1-structures-group): aksiomanya diperiksa koordinat demi koordinat, dengan identitas $(e_G, e_H)$ dan invers $(g^{-1}, h^{-1})$. [Ordenya](#def-b1-structures-order) berpadu lewat KPK: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ menjadi identitas jika dan hanya jika [orde](#def-b1-structures-order) $g$ maupun [orde](#def-b1-structures-order) $h$ [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) $m$. Jadi di $\Z/2\Z
\times \Z/2\Z$ (secara aditif) setiap unsur tak nol berorde $2$ — dan ini tepat [grup](#def-b1-structures-group) persegi panjang pada [Contoh 7.6](#ex-b1-structures-klein) dalam koordinat — sedangkan $\Z/4\Z$ mempunyai unsur berorde $4$: yaitu bukti kedua, yang bebas perhitungan, bahwa kedua [grup](#def-b1-structures-group) berukuran $4$ itu tidak isomorfik (karena isomorfisma mengawetkan [orde](#def-b1-structures-order)). Hasil kali adalah cara termudah memproduksi [grup](#def-b1-structures-group) baru dari [grup](#def-b1-structures-group) lama, dan bidang $\R^2 = \R \times
\R$ pada [Bab 18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ch-b1-vspaces) adalah wujud konstruksi itu yang paling penting.

**Catatan 7.30 (Fermat, secara struktural).**

Dalam [lapangan](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$, kelas yang tak nol membentuk [grup](#def-b1-structures-group) perkalian beranggota $p - 1$ unsur, dan teorema kecil Fermat ([Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#thm-b1-arith-fermat)) mengatakan: setiap unsur $x$ [grup](#def-b1-structures-group) ini memenuhi $x^{p-1} = \overline 1$. Ini wujud sebuah fakta umum tentang [grup](#def-b1-structures-group) hingga (teorema Lagrange), yang dibuktikan pada tahun kedua; dan bukti pemasangan pada teorema Wilson ([Latihan 6.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#exo-b1-arith-11)) sudah bercita rasa teori [grup](#def-b1-structures-group) itu.

**Catatan 7.31 (Selingan: apa yang dibeli abstraksi).**

Wajar bertanya apa yang diperoleh dengan membuktikan, katakanlah, [Proposisi 7.2](#prop-b1-structures-unique) untuk operasi yang abstrak alih-alih untuk bilangan. Jawabannya adalah daya ungkit. Argumen dua baris itu kini mencakup, sekaligus: invers fungsi terhadap komposisi ([Teorema 1.24](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#thm-b1-logic-inverse), yang bukti ketunggalannya diulanginya kata demi kata), invers modulo $n$ ([Proposisi 6.20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#prop-b1-arith-invmod)), invers bilangan real tak nol, invers unit dalam sebarang [ring](#def-b1-structures-ring), dan — tanpa perlu dilihat lebih dulu — invers matriks yang terbalikkan pada [Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices), yang di sana ketunggalan $A^{-1}$ tak akan menuntut satu baris bukti pun. Penghematan yang sama berlaku bagi [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) (satu kriteria keinjektifan, yang dipakai ulang untuk [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps)) dan bagi kriteria [subgrupnya](#def-b1-structures-subgroup). Abstraksi di sini bukanlah keumuman demi keumuman itu sendiri: ia adalah penolakan membuktikan lema yang sama lima kali dengan lima nama. Ongkosnya — yaitu melacak aksioma mana yang benar-benar dipakai setiap [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) — justru itulah yang dilatih latihan pada bab ini.

**Catatan 7.32 (Di mana bab ini dipakai).**

Kosakata bab ini adalah tata bahasa bagi selebihnya jilid ini. [Ring](#def-b1-structures-ring) dan [lapangan](#def-b1-structures-field) menata [Bab 8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#ch-b1-poly) ($K[X]$ adalah [ring](#def-b1-structures-ring) yang meniru $\Z$) dan [Bab 9](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional#ch-b1-fractions) ($K(X)$ adalah [lapangan](#def-b1-structures-field) pecahannya); ruang vektor ([Bab 18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/18-ruang-vektor#ch-b1-vspaces)) adalah [grup abelian](#def-b1-structures-group) yang di atasnya sebuah [lapangan](#def-b1-structures-field) bekerja; matriks ([Bab 21](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/21-matriks#ch-b1-matrices)) membentuk [ring](#def-b1-structures-ring) pertama dalam jilid ini yang sungguh-sungguh tak komutatif, dan unsurnya yang terbalikkan membentuk [grup](#def-b1-structures-group) yang telaahnya adalah aljabar linear itu sendiri. [Morfisma](#def-b1-structures-morphism) dan [kernel](#def-b1-structures-morphism) kembali sebagai [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) linear dan ruang nol pada [Bab 20](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/20-pemetaan-linear#ch-b1-linmaps) — [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) *adalah* kriteria keinjektifan pada bab itu, yang dibuktikan sekali untuk selamanya di sini. Adapun [grup simetri](#ex-b1-structures-groups), bintang soal akhir pekan di bawah, memasok tanda yang di atasnya determinan dibangun pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det).

## 7.5 Latihan

**Latihan 7.1 ★.**

Pada $E = \R \setminus \{1\}$, definisikan $x * y = x + y - xy$. Buktikan bahwa $(E, *)$ adalah [grup abelian](#def-b1-structures-group). *(Kenali identitasnya dan invers $x$; periksa ketertutupannya: mengapa $x * y \neq 1$?)*

**Solusi Latihan 7.1.**

*Ketertutupannya:* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$, yang mustahil untuk $x, y \neq 1$. Memang kesamaan kuncinya adalah

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

[pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ mengirim $(E, *)$ ke $(\R^*, \times)$ dengan $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — yaitu [morfisma](#def-b1-structures-morphism) yang [bijektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Semua aksiomanya kini terangkut: keasosiatifan dan kekomutatifannya menyusul dari keasosiatifan dan kekomutatifan $\times$; identitasnya adalah $\varphi^{-1}(1) = 0$ (periksa: $x *
0 = x$); dan invers $x$ adalah $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) =
1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ (yang bernilai $\neq 1$). Jadi $(E, *)$ adalah [grup abelian](#def-b1-structures-group).

**Latihan 7.2 ★.**

Manakah di antara berikut ini yang merupakan [grup](#def-b1-structures-group)?

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
3. $(\Q^*, \times)$ ;
4. [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) bilangan bulat ganjil terhadap penjumlahan.

**Solusi Latihan 7.2.**

1. Ya: hasil kali bilangan positif tetap positif, identitasnya $1$ , inversnya $\frac 1x$ , dan keasosiatifannya diwarisi dari $\R^*$ .
2. Bukan: tidak tertutup ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
3. Ya: yaitu contoh yang baku.
4. Bukan: tidak tertutup (ganjil $+$ ganjil $=$ genap), dan tanpa identitas (karena $0$ genap).

**Latihan 7.3 ★.**

Tuliskan tabel komposisi [grup simetri](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ atas $\{1,2,3\}$ (dengan enam bijeksi: identitas, tiga transposisi, dua siklus-$3$), lalu tunjukkan dua unsur yang tidak berkomutasi.

**Solusi Latihan 7.3.**

Tulis $\mathrm{id}$, transposisi $\tau_{12}, \tau_{13},
\tau_{23}$ (yang menukarkan kedua titik yang dinamai), serta siklus $c =
(1\,2\,3)$ (yakni $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) dan $c^2 =
(1\,3\,2)$. Tabel $\sigma\rho$ (dengan baris $\sigma$, kolom $\rho$, dan $\rho$ diterapkan lebih dulu):

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

Pasangan yang tak berkomutasi: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$ sedangkan $\tau_{13}\tau_{12} = c$. (Untuk memeriksa satu entri: $\tau_{12}\tau_{13}$ mengirim $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3
\xmapsto{\tau_{12}} 3$, $3 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 2 \mapsto
1$: yaitu $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$, siklus $c^2 =
(1\,3\,2)$.)

**Latihan 7.4 ★.**

Buktikan bahwa $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ adalah [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) $(\C^*,
\times)$, dan bahwa $\R_+^*$ juga demikian; apakah $H \cup \R_+^*$ sebuah [subgrup](#def-b1-structures-subgroup)?

**Solusi Latihan 7.4.**

$H$: di sini $1 \in H$; dan untuk $z, w \in H$, $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w =
1$: jadi kriterianya berlaku. Untuk $\R_+^*$: serupa itu, dengan $\abs{xy^{-1}}$ digantikan oleh kepositifannya. Gabungannya: $\iu \in H$ dan $2 \in \R_+^*$, tetapi $2\iu$ bermodulus $2 \neq 1$ dan bukan bilangan real positif: jadi $2\iu \notin H \cup
\R_+^*$, sehingga gabungannya tidak tertutup — bukan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) (sebagaimana diramalkan [Latihan 7.6](#exo-b1-structures-6), karena tak satu pun [subgrupnya](#def-b1-structures-subgroup) memuat yang lain).

**Latihan 7.5 ★★.**

Misalkan $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$, $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$. Buktikan bahwa $f$ [morfisma](#def-b1-structures-morphism), hitung $\ker f$ dan $\operatorname{im} f$, lalu simpulkan dari [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) bahwa $f$ tidak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Batasi daerah asalnya agar ia [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) pada selang selebar mungkin.

**Solusi Latihan 7.5.**

[Morfisma](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} =
\eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([Teorema 3.7](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#thm-b1-complex-funceq)). [Kernelnya](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in 2\pi\Z$, jadi $\ker f =
2\pi\Z \neq \{0\}$: sehingga tidak [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj). Petanya: setiap bilangan kompleks bermodulus satu berupa $\eu^{\iu\theta}$ untuk suatu $\theta$ (dari bentuk kutubnya), jadi $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$, yaitu lingkaran satuan. Pembatasan $f$ pada selang setengah terbuka yang panjangnya $2\pi$, seperti $\intco{0}{2\pi}$ atau $\intoc{-\pi}{\pi}$, bersifat [injektif](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-inj) (karena dua sudut yang petanya sama berselisih kelipatan $2\pi$, dan hanya satu wakil tiap kelasnya yang muat di selang itu); tak ada selang yang lebih panjang yang berhasil, karena ia memuat dua titik berjarak $2\pi$.

**Latihan 7.6 ★★.**

Misalkan $H, K$ dua [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) $G$. Buktikan bahwa $H \cap K$ [subgrup](#def-b1-structures-subgroup), dan bahwa $H \cup K$ menjadi [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) *hanya* bila $H \subseteq K$ atau $K \subseteq H$. *(Jika $h \in H \setminus K$ dan $k \in K
\setminus H$, di mana $hk$ dapat hidup?)*

**Solusi Latihan 7.6.**

Irisannya: $e \in H \cap K$, dan $x, y \in H \cap K$ memberikan $xy^{-1}$ di $H$ maupun di $K$. Gabungannya: jika $H \subseteq K$ maka gabungannya adalah $K$, yaitu [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) (dan simetris dengan itu). Sebaliknya, andaikan tak satu pun inklusinya berlaku: pilih $h \in H \setminus K$ dan $k \in K \setminus
H$, lalu andaikan $H \cup K$ sebuah [subgrup](#def-b1-structures-subgroup); maka $hk \in H \cup K$. Jika $hk \in H$, maka $k = h^{-1}(hk) \in H$: kontradiksi. Jika $hk \in
K$, maka $h = (hk)k^{-1} \in K$: kontradiksi. Jadi $H \cup K$ bukan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup).

**Latihan 7.7 ★★.**

Sebuah [grup](#def-b1-structures-group) $G$ memenuhi $x^2 = e$ untuk setiap $x \in G$. Buktikan bahwa $G$ [abelian](#def-b1-structures-group). *(Jabarkan $(xy)^2$.)*

**Solusi Latihan 7.7.**

Perhatikan dulu bahwa $x^2 = e$ berarti $x^{-1} = x$ untuk setiap $x$. Lalu untuk $x, y \in G$:

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

dengan memakai [Proposisi 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2). Jadi $G$ [abelian](#def-b1-structures-group).

**Latihan 7.8 ★★.**

Di $\Z/18\Z$: daftarkan unitnya lalu carilah invers $\overline 5$; selesaikan $\overline 5\, x = \overline 7$; selesaikan $\overline 6\, x =
\overline 3$ dan $\overline 6\, x = \overline{12}$.

**Solusi Latihan 7.8.**

Unit $\Z/18\Z$: yaitu kelas yang [saling prima](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#cor-b1-arith-bezout) dengan $18 = 2 \times 3^2$: $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}, \overline{13},
\overline{17}$. Invers $\overline 5$: karena $5 \times 11 = 55 = 3\times
18 + 1$, maka $\overline 5^{-1} = \overline{11}$.

$\overline 5 x = \overline 7$: kalikan dengan $\overline{11}$: $x =
\overline{77} = \overline 5$ (karena $77 = 4\times 18 + 5$). Penyelesaiannya tunggal.

$\overline 6 x = \overline 3$: persamaan $6x \equiv 3 \pmod{18}$ berarti $18 \mid 6x - 3$. Tetapi $6x - 3 = 3(2x - 1)$ ganjil, sedangkan $18$ genap: dan bilangan genap tak dapat [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) bilangan ganjil. Jadi tak ada penyelesaian.

$\overline 6 x = \overline{12}$: $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x
\equiv 2 \pmod 3$: penyelesaiannya $x \in \{\overline 2, \overline 5,
\overline 8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — enam buah.

**Latihan 7.9 ★★.**

Buktikan bahwa [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ adalah sebuah [ring](#def-b1-structures-ring) (subring $\R$), dan bahwa $1 + \sqrt 2$ merupakan unitnya yang mempunyai tak hingga banyak pangkat berbeda — sehingga $\Z[\sqrt 2]^\times$ tak hingga, tidak seperti $\Z^\times$.

**Solusi Latihan 7.9.**

[Himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2]$ memuat $0$ dan $1$, serta tertutup terhadap pengurangan dan perkalian:

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

jadi ia subring $\R$ (kekomutatifan, keasosiatifan, dan sifat distributifnya diwarisi). Unitnya: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2) =
2 - 1 = 1$, jadi $1 + \sqrt 2$ terbalikkan dengan invers $\sqrt 2 - 1
\in \Z[\sqrt 2]$. Pangkatnya $(1 + \sqrt 2)^n$ naik tegas (karena bilangan pokoknya $> 1$), sehingga berbeda dua-dua, dan masing-masing merupakan unit (karena $\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 - 1)^n$): jadi [grup](#def-b1-structures-group) unitnya tak hingga.

**Latihan 7.10 ★★★.**

([Ring](#def-b1-structures-ring) Boole) Misalkan $A$ sebuah [ring](#def-b1-structures-ring) yang di dalamnya $x^2 = x$ untuk setiap $x$. Buktikan bahwa $x + x = 0$ untuk setiap $x$, dan bahwa $A$ komutatif. *(Jabarkan $(x+x)^2$ dan $(x+y)^2$.)* Berikan contoh [ring](#def-b1-structures-ring) semacam itu dengan $\mathcal{P}(E)$, dengan mengambil selisih simetris sebagai penjumlahan dan irisan sebagai perkalian.

**Solusi Latihan 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — sehingga $2x =
4x$, yang memberikan $2x = 0$, yakni $x + x = 0$ (jadi setiap unsurnya menjadi inversnya sendiri terhadap penjumlahan). Lalu

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

sehingga $xy + yx = 0$, yakni $xy = -yx = yx$ (dengan memakai $-z = z$). Jadi $A$ komutatif.

Contohnya: pada $\mathcal{P}(E)$, definisikan $A + B = (A \cup B) \setminus (A
\cap B)$ (yaitu selisih simetrisnya) dan $A \times B = A \cap B$. Kita periksa: $(\mathcal{P}(E), +)$ adalah [grup abelian](#def-b1-structures-group) dengan identitas $\emptyset$ dan setiap [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) menjadi inversnya sendiri; $\cap$ bersifat asosiatif, komutatif, dengan identitas $E$; dan sifat distributifnya $A \cap (B + C) = (A
\cap B) + (A \cap C)$ berlaku (karena sebuah unsur berada di ruas kiri jika dan hanya jika ia berada di $A$ dan tepat di salah satu dari $B, C$). Lalu $A \cap A = A$: jadi setiap unsurnya idempoten, sesuai tuntutannya.

**Latihan 7.11 ★★★.**

Misalkan $G$ sebuah [grup](#def-b1-structures-group) yang di dalamnya, untuk suatu $n \geq 1$ yang tetap, $(xy)^n =
x^n y^n$, $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ dan $(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ untuk setiap $x, y$. Buktikan bahwa $G$ [abelian](#def-b1-structures-group). *(Dari ketiga kesamaan itu, turunkan lebih dulu $y^n x = x y^n$, lalu $y^{n+1} x = x y^{n+1}$, dan simpulkan.)*

**Solusi Latihan 7.11.**

Tuliskan hipotesisnya untuk $n$ dan $n+1$:

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{dan}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

Dengan menyamakannya: $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$; coret $x$ di kiri dan $y^n$ di kanan: maka $x^n y = y x^n$. Perhitungan yang sama satu derajat lebih tinggi ($n+1$ dan $n+2$) memberikan $x^{n+1} y = y x^{n+1}$. Lalu

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

dan dengan mencoret $x^n$ di sebelah kanan pada $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$: diperoleh $yx = xy$. Jadi $G$ [abelian](#def-b1-structures-group).

**Latihan 7.12 ★★.**

1. Tentukan semua [morfisma](#def-b1-structures-morphism) [grup](#def-b1-structures-group) dari $(\Z, +)$ ke $(\Z, +)$ .
2. Buktikan bahwa satu-satunya [morfisma](#def-b1-structures-morphism) [grup](#def-b1-structures-group) dari $(\Q, +)$ ke $(\Z, +)$ adalah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) nol. *(Untuk $x \in \Q$ dan $n \in \N^*$, bandingkan $f(x)$ dan $n\,f(x/n)$.)*

**Solusi Latihan 7.12.**

1. Misalkan $f \colon \Z \to \Z$ aditif dan $a = f(1)$ . Dengan induksi, $f(k) = ka$ untuk $k \in \N$ , dan $f(-k) = -f(k) =  -ka$ : jadi $f$ adalah perkalian dengan $a$ . Sebaliknya setiap [pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $k \mapsto ak$ merupakan [morfisma](#def-b1-structures-morphism) : jadi [morfisma](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,+) \to (\Z,+)$ tepat berupa perkalian dengan sebuah bilangan bulat tetap.
2. Misalkan $f \colon \Q \to \Z$ sebuah [morfisma](#def-b1-structures-morphism), $x \in \Q$ dan $n \in \N^*$. Maka $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ sehingga bilangan bulat $f(x)$ habis dibagi setiap $n \geq 1$. Satu-satunya bilangan bulat semacam itu adalah $0$: jadi $f \equiv 0$.

## 7.6 Soal: Grup simetri dan teka-teki 8

**Soal 7.1.**

[Grup](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ berisi [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) $\intint1n$ adalah [grup](#def-b1-structures-group) tertua dalam matematika dan tetap yang paling mendidik. Soal ini membangun teori strukturnya dari nol — siklus, pembangkitan oleh transposisi, [morfisma](#def-b1-structures-morphism) *tanda* $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (yang keberadaannya sungguh-sungguh tak sepele), dan [grup alternating](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ yang dibangkitkan oleh siklus-$3$ — lalu menguangkannya pada sebuah teka-teki klasik: pada permainan ubin geser $3 \times 3$, tak ada rangkaian langkah yang dapat menukarkan dua ubin sambil membiarkan yang lain di tempatnya. [Permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) bekerja pada $\intint1n$; hasil kali $\sigma\tau$ berarti “terapkan $\tau$ lebih dulu”; dan $[\,v_1, \dots, v_n]$ menyatakan [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) yang mengirim $i$ ke $v_i$.

**Bagian I — Siklus dan transposisi.**

1. Berikan alasan bahwa $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ ( [Teorema 2.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#thm-b1-counting-counts) ). Di $\mathfrak S_3$ , hitung kedua hasil kali $\sigma = [2, 3, 1]$ dan $\tau =  [1, 3, 2]$ , lalu simpulkan bahwa $\mathfrak S_3$ tidak [abelian](#def-b1-structures-group) .
2. Sebuah *siklus-$k$* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , dengan $a_i$ berbeda dua-dua) mengirim $a_1 \mapsto a_2  \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ dan menetapkan selebihnya; *tumpuannya* adalah $\{a_1, \dots,  a_k\}$ . Buktikan bahwa dua siklus yang tumpuannya saling lepas berkomutasi.
3. Buktikan bahwa setiap $\sigma \in \mathfrak S_n$ merupakan hasil kali siklus yang tumpuannya saling lepas dua-dua, dan bahwa penguraian itu tunggal sampai urutan faktornya. *(Tinjau, untuk masing-masing $i$, barisan $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$: ia pasti kembali ke $i$; dan *orbit* yang dihasilkannya mempartisi $\intint1n$, sedangkan $\sigma$ bekerja pada masing-masingnya sebagai siklus.)*
4. Uraikan $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in  \mathfrak S_8$ menjadi siklus yang saling lepas. Dengan mendefinisikan *[orde](#def-b1-structures-order)* $\sigma$ seperti pada [Definisi 7.14](#def-b1-structures-order) , buktikan bahwa [orde](#def-b1-structures-order) sebuah hasil kali siklus yang saling lepas adalah KPK panjangnya, lalu hitung [orde](#def-b1-structures-order) $\sigma$ ini.
5. Buktikan kesamaan teleskopis $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ lalu simpulkan bahwa setiap [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) merupakan hasil kali transposisi. Tuliskan $\sigma$ pada pertanyaan 4 sebagai hasil kali semacam itu.
6. Tunjukkan lebih jauh bahwa transposisi *bersebelahan* $(i\ \ i{+}1)$ sudah cukup: untuk $a < b$, $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ yaitu hasil kali $2(b - a) - 1$ transposisi bersebelahan — yakni bilangan yang *ganjil* (paritas ini akan penting dua kali di bawah).

**Bagian II — Tandanya ada.** Untuk $\sigma
\in \mathfrak S_n$, misalkan

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

banyaknya *inversi* pada [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) itu, lalu tulis $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$.

7. Hitung $N$ dan $\varepsilon$ untuk identitasnya, untuk sebuah transposisi $(i\ \ i{+}1)$ , dan untuk $[2, 3, 1]$ .
8. Buktikan bahwa untuk setiap $\sigma$ dan setiap transposisi bersebelahan $\tau = (i\ \ i{+}1)$ berlaku $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . *(Mengomposisikan dengan $\tau$ di sebelah kanan menukarkan nilai pada posisi $i$ dan $i + 1$; dan tepat satu pasangan berubah status inversinya.)*
9. Simpulkan, dengan memakai pertanyaan 6, bahwa untuk transposisi $\tau$ yang *mana pun* berlaku $\varepsilon(\sigma\tau) =  -\varepsilon(\sigma)$ ; lalu simpulkan bahwa jika $\sigma$ hasil kali $p$ transposisi, maka $\varepsilon(\sigma)  = (-1)^p$ — khususnya paritas $p$ hanya bergantung pada $\sigma$ , bukan pada pemfaktoran yang dipilih — dan bahwa $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ merupakan [morfisma](#def-b1-structures-morphism) [grup](#def-b1-structures-group) .
10. Tunjukkan bahwa siklus- $k$ bertanda $(-1)^{k-1}$ , dan bahwa secara umum $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n -  c(\sigma)}$ , dengan $c(\sigma)$ banyaknya orbit $\sigma$ (termasuk titik tetapnya).
11. *[Grup alternating](#pb-b1-structures-1)* adalah $\mathfrak A_n =  \ker\varepsilon$ . Berikan alasan bahwa ia [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) , lalu buktikan $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ untuk $n \geq 2$ . *(Tetapkan sebuah transposisi $\tau_0$ lalu tinjau $\sigma  \mapsto \sigma\tau_0$.)*
12. Pemeriksaan kesejalanan pada $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : hitung $\varepsilon(\sigma)$ dengan tiga cara — dengan mencacah inversinya, dari tipe siklusnya lewat pertanyaan 10, dan dari cacah transposisi Anda pada pertanyaan 5.

**Bagian III — $\mathfrak A_n$ dibangkitkan oleh siklus-$3$.**

13. Misalkan $a, b, c, d$ berbeda dua-dua. Periksa kedua kesamaan $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$$
14. Buktikan bahwa untuk $n \geq 3$ , setiap unsur $\mathfrak  A_n$ merupakan hasil kali siklus- $3$ . *([Permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) genap adalah hasil kali sejumlah genap transposisi; serap dua-dua sekaligus.)*
15. Tuliskan $(1\ 2)(3\ 4)$ dan siklus- $5$ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ secara eksplisit sebagai hasil kali siklus- $3$ .
16. Buktikan rumus konjugasinya: untuk setiap $\sigma \in  \mathfrak S_n$, $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**Bagian IV — Teka-teki 8.** Ubin $1, \dots, 8$ digeser di dalam bingkai $3 \times 3$ dengan satu sel kosong; sebuah *langkah* menggeser ubin yang bersebelahan dengan sel kosong ke dalamnya. Nomori selnya $1, \dots, 9$ (baris demi baris; pada kedudukan terpecahkan ubin $i$ berada di sel $i$ dan sel kosongnya di sel $9$). Perlakukan sel kosong sebagai ubin kesembilan, sehingga sebuah kedudukan menjadi [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) $\sigma \in \mathfrak
S_9$ (dengan ubin $\sigma(i)$ duduk di sel $i$).

17. Tunjukkan bahwa sebuah langkah mengganti $\sigma$ dengan $\sigma \circ \tau$ dengan $\tau$ transposisi kedua sel yang terlibat; lalu simpulkan bahwa setiap langkah membalik $\varepsilon(\sigma)$ .
18. Misalkan $d(\sigma)$ jarak taksi (baris ditambah kolom) antara sel kosong yang sekarang dan sel asalnya $9$. Tunjukkan bahwa setiap langkah mengubah $d$ sebesar $\pm1$, sehingga setiap langkah juga membalik $(-1)^{d(\sigma)}$. Simpulkan bahwa $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ bersifat *invarian* terhadap setiap langkah.
19. Buktikan kemustahilan klasik teka-teki itu: kedudukan yang menukarkan ubin $7$ dan $8$ sambil membiarkan segalanya (termasuk sel kosongnya) di tempatnya tak dapat dicapai dari kedudukan yang terpecahkan.
20. Kita terima konversnya (buktinya berupa induksi yang mendidik tetapi panjang): setiap kedudukan dengan $I = +1$ dapat dicapai. Simpulkan bahwa tepat separuh dari $8!$ kedudukan dengan sel kosong di tempat asalnya dapat dipecahkan, yakni $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
21. Simpulkan dari pertanyaan 20 bahwa susunan ubin yang dapat dicapai dengan sel kosong di tempat asalnya tepat membentuk [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ .
22. Penerapan invariannya: dapatkah kita mencapai (a) kedudukan yang ubin $1, 2, 3$ -nya terpermutasi secara siklik sedangkan selebihnya, termasuk sel kosongnya, di tempat asalnya? (b) kedudukan yang ubin $5$ dan sel kosongnya sudah bertukar tempat sedangkan semua ubin lainnya di tempat asalnya? Berikan alasan bagi kedua jawabannya dengan $I$ .

**Bagian V — Sintesis.**

23. Buktikan bahwa untuk $n \geq 3$ satu-satunya [morfisma](#def-b1-structures-morphism) [grup](#def-b1-structures-group) $f  \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ adalah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) yang konstan dan $\varepsilon$ . *(Dengan memakai pertanyaan 16 dan kekomutatifan $\{\pm1\}$, tunjukkan bahwa $f$ bernilai sama pada semua transposisi.)*
24. Di mana persisnya soal ini memakai: (i) gagasan [morfisma](#def-b1-structures-morphism) beserta [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ; (ii) asas pencacahan pada [Bab 2](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#ch-b1-counting) ; (iii) persoalan keterdefinisian yang diselesaikan pertanyaan 8–9? Satu kalimat untuk masing-masing.
25. Sintesis, dalam satu paragraf pendek: satu fungsi paritas, yang dibuktikan terdefinisi dengan baik sekali saja, sekaligus menata struktur dalam $\mathfrak S_n$ (yaitu [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ ), memutuskan sebuah teka-teki fisik, dan — lewat rumus $\det = \sum_\sigma  \varepsilon(\sigma)\cdots$ — akan mendefinisikan determinan pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det) . Berilah komentar atas pola yang berulang ini: invarian mengubah “coba semua rangkaian langkah” menjadi satu perhitungan.

**Solusi Soal 7.1.**

**1.** Sebuah [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) adalah bijeksi $\intint1n$, yakni susunan-$n$ atas $n$ objek: dan ada $n!$ di antaranya ([Teorema 2.12](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#thm-b1-counting-counts)). Dengan $\sigma = [2,3,1]$, $\tau =
[1,3,2]$: $\sigma\tau$ mengirim $1 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3
\mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 3$: jadi $\sigma\tau = [2,1,3]$; sedangkan $\tau\sigma$ mengirim $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $2 \mapsto 3 \mapsto
2$, $3 \mapsto 1 \mapsto 1$: jadi $\tau\sigma = [3,2,1] \neq
\sigma\tau$.

**2.** Misalkan $\gamma, \gamma'$ bertumpuan saling lepas $S, S'$. Untuk $x \in S$: $\gamma'(x) = x$ dan $\gamma(x) \in S$, jadi $\gamma\gamma'(x) = \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$. Simetris dengan itu untuk $x \in S'$; dan kedua ruasnya menetapkan setiap $x \notin S \cup S'$. Jadi $\gamma\gamma' = \gamma'\gamma$.

**3.** Untuk $i \in \intint1n$, nilai $i, \sigma(i),
\sigma^2(i), \dots$ hidup di dalam [himpunan hingga](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-card), jadi $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$ untuk suatu $a < b$; lalu keinjektifannya memberikan $\sigma^{b-a}(i)
= i$: sehingga barisannya kembali ke $i$. Sebutlah *orbit* $i$ sebagai [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$ dengan $k \geq 1$ yang minimal sedemikian sehingga $\sigma^k(i) = i$. Dua orbit yang bertemu pada satu titik berimpit (karena keduanya adalah peta $\sigma$ ke depan dari titik itu), jadi orbitnya mempartisi $\intint1n$; dan $\sigma$ bekerja pada setiap orbit berukuran $k \geq 2$ sebagai siklus-$k$ $(i\ \sigma(i)\ \cdots\
\sigma^{k-1}(i))$ serta menetapkan singletonnya. Hasil kali siklus yang saling lepas itu sama dengan $\sigma$ di mana-mana. Ketunggalannya: pada sebarang penguraian menjadi siklus yang saling lepas, siklus yang melewati $i$ pastilah $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ — jadi siklusnya terpaksa menjadi orbitnya beserta aksi yang terinduksi padanya.

**4.** Dengan mengikuti orbitnya: $1 \to 4 \to 2 \to 1$, $3 \to 5
\to 3$, $6 \to 7 \to 8 \to 6$:

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

Jika $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ dengan siklus saling lepas berpanjang $k_1, \dots, k_r$, maka kekomutasiannya (pertanyaan 2) memberikan $\sigma^m = \gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$, dan karena tumpuannya saling lepas, $\sigma^m = \mathrm{id}$ jika dan hanya jika setiap $\gamma_i^m =
\mathrm{id}$, yakni jika dan hanya jika $k_i \mid m$ untuk setiap $i$ (karena siklus-$k$ berorde $k$: $\gamma^m$ mengirim $a_1$ ke $a_{1 + (m \bmod k)}$). Nilai $m$ terkecil semacam itu adalah $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$. Di sini: $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 6$.

**5.** Terapkan ruas kanannya pada setiap titik, dimulai dari faktor paling kanan. Di sini $a_1 \mapsto a_2$ oleh $(a_1\ a_2)$, lalu setiap faktor berikutnya menetapkan $a_2$: jadi hasil bersihnya $a_1 \mapsto a_2$. Untuk $2 \leq i < k$: $a_i$ tak tersentuh sampai $(a_1\ a_i)$ mengirimnya ke $a_1$, dan faktor tepat berikutnya $(a_1\ a_{i+1})$ mengirim $a_1$ ke $a_{i+1}$, setelah itu tak ada lagi yang menggerakkannya: jadi hasil bersihnya $a_i \mapsto a_{i+1}$. Akhirnya $a_k$ ditetapkan oleh semua faktornya kecuali yang paling kiri, yang mengirimnya ke $a_1$. Inilah persis siklusnya. Karena setiap [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) merupakan hasil kali siklus (pertanyaan 3), ia hasil kali transposisi. Untuk $\sigma$ pada pertanyaan 4:

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

yaitu lima transposisi.

**6.** Induksi pada $b - a$. Untuk $b = a + 1$ kesamaannya sepele (dengan $1 = 2\cdot1 - 1$ faktor). Untuk $b > a + 1$, periksa langsung bahwa $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$: ruas kanannya mengirim $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$, $b
\mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$, $a{+}1 \mapsto a \mapsto a
\mapsto a{+}1$, dan menetapkan selebihnya. Menurut induksi, $(a{+}1\ \ b)$ adalah hasil kali palindromik berisi $2(b - a - 1) - 1$ transposisi bersebelahan, sehingga $(a\ b)$ berisi $2(b - a) - 1$ transposisi: yaitu bilangan ganjil.

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$, $\varepsilon = +1$. Untuk $(i\ \
i{+}1)$, satu-satunya pasangan yang terbalik adalah $(i, i+1)$: jadi $N = 1$, $\varepsilon = -1$. Untuk $[2, 3, 1]$: pasangan yang terbalik adalah $(1,
3)$ (dengan nilai $2 > 1$) dan $(2, 3)$ (dengan nilai $3 > 1$): jadi $N = 2$, $\varepsilon = +1$.

**8.** Daftar nilai $\sigma$ dan $\sigma\tau$ hanya berbeda oleh penukaran posisi $i$ dan $i + 1$. Untuk pasangan posisi yang tak melibatkan $i, i+1$, tak ada yang berubah. Untuk $k < i$, kedua pasangan $(k, i)$ dan $(k, i+1)$ saling menukarkan status inversinya (karena kedua nilai yang sama dibandingkan dengan $\sigma(k)$, dengan urutan posisi yang berlainan): sehingga sumbangan totalnya tak berubah; demikian pula untuk $k > i + 1$. Satu pasangan yang tersisa, $(i,
i+1)$, membalik statusnya. Jadi $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$.

**9.** Misalkan $\tau = (a\ b)$ sebarang transposisi: menurut pertanyaan 6 ia hasil kali sejumlah ganjil transposisi bersebelahan, jadi mengalikannya di kanan dengan $\tau$ mengubah $N$ sebanyak total yang ganjil (pertanyaan 8, yang diterapkan berulang): sehingga $\varepsilon(\sigma
\tau) = -\varepsilon(\sigma)$. Sekarang jika $\sigma = \tau_1\cdots
\tau_p$ (dengan transposisi), bangunlah ia dari identitasnya lewat $p$ kali perkalian di kanan: maka $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$. Karena $\varepsilon(\sigma)$ didefinisikan lewat inversinya — tanpa bergantung pada pemfaktoran apa pun — maka paritas $p$ merupakan invarian $\sigma$. [Morfismanya](#def-b1-structures-morphism): dengan menulis $\sigma$ memakai $p$ dan $\sigma'$ memakai $q$ transposisi, $\sigma\sigma'$ memakai $p + q$ transposisi: sehingga $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$.

**10.** Siklus-$k$ adalah hasil kali $k - 1$ transposisi (pertanyaan 5): jadi $\varepsilon = (-1)^{k-1}$. Untuk $\sigma$ yang umum dengan orbit berukuran $k_1, \dots, k_r$ ($k_i \geq 2$) ditambah $f$ titik tetap, $c(\sigma) = r + f$ dan $n = k_1 + \dots + k_r + f$, sehingga

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** Di sini $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ merupakan [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) sebagai [kernel](#def-b1-structures-morphism) sebuah [morfisma](#def-b1-structures-morphism) ([Definisi 7.10](#def-b1-structures-morphism)). Tetapkan sebuah transposisi $\tau_0$ (yang ada untuk $n \geq 2$). [Pemetaan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-map) $\sigma
\mapsto \sigma\tau_0$ adalah bijeksi $\mathfrak S_n$ (yang menjadi inversnya sendiri) yang menukarkan $\mathfrak A_n$ dengan [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) ganjil (pertanyaan 9). Kedua [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) itu mempartisi $\mathfrak S_n$ dan berukuran sama: jadi $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$.

**12.** *Inversi* $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$: dari nilai $4$: atas $1, 2, 3$: tiga buah; dari $5$: atas $2, 3$: dua buah; dari $7$: atas $6$: satu buah; dari $8$: atas $6$: satu buah. Jadi $N = 7$, $\varepsilon = -1$. *Tipe siklusnya*: $c = 3$ orbit, $n = 8$: jadi $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$. *Cacah transposisinya*: lima transposisi pada pertanyaan 5: jadi $(-1)^5 = -1$. Ketiganya sepakat.

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (dimulai dari paling kanan): $a \mapsto c
\mapsto c$; $c \mapsto a \mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$: yaitu siklus-$3$ $(a\ c\ b)$. Lalu $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$: $a \mapsto c
\mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$; $c \mapsto d \mapsto d$; $d
\mapsto a \mapsto c$: yaitu $(a\ b)(c\ d)$, sesuai klaimnya.

**14.** Misalkan $\sigma \in \mathfrak A_n$: menurut pertanyaan 9, $\sigma = \tau_1\cdots\tau_{2m}$ dengan sejumlah genap transposisi. Kelompokkan berpasangan secara berurutan $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$: jika keduanya sama, pasangannya menjadi identitas dan lenyap; jika keduanya berbagi tepat satu titik, maka kesamaan pertama pada pertanyaan 13 menuliskannya sebagai satu siklus-$3$; dan jika keduanya saling lepas, kesamaan keduanya menuliskannya sebagai dua siklus-$3$. Jadi $\sigma$ merupakan hasil kali siklus-$3$ (atau identitasnya, yaitu hasil kali kosong — dan untuk $n \geq 3$ juga $(1\ 2\
3)^3$).

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (pertanyaan 13 dengan $a{=}1, b{=}2, c{=}3, d{=}4$). Untuk siklus-$5$: menurut pertanyaan 5, $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$, dan dengan memasangkannya: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$, $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$:

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

(Periksa pada $3$: $(1\ 2\ 3)$ mengirim $3 \to 1$, lalu $(1\ 4\ 5)$ mengirim $1 \to 4$: jadi hasil bersihnya $3 \to 4$, dan itu benar.)

**16.** Terapkan kedua ruasnya pada sebuah titik sembarang. Untuk $i =
\sigma(a_j)$: ruas kirinya memberikan $\sigma\bigl((a_1\ \dots\
a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (dengan indeks modulo $k$), yang persis dilakukan ruas kanannya pada $\sigma(a_j)$. Untuk $i$ yang tak berbentuk demikian: $\sigma^{-1}(i)$ berada di luar tumpuannya, jadi ruas kirinya menetapkan $i$, dan begitu pula ruas kanannya. Jadi keduanya sama di mana-mana.

**17.** Menggeser ubin di sel $c'$ ke dalam sel kosong $c$ menukarkan isi sel $c$ dan $c'$ (karena ubin $9$, yaitu sel kosongnya, pindah ke $c'$). Jika ubin $\sigma(i)$ duduk di sel $i$, maka kedudukan barunya adalah $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$: isinya sama kecuali bahwa sel $c, c'$ kini memuat isi yang sebelumnya di sel satunya. Menurut pertanyaan 9, $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$.

**18.** Sebuah langkah mengirim sel kosongnya ke sel yang bersebelahan: sehingga baris atau kolomnya berubah tepat sebesar $1$, jadi jarak taksi $d$ ke sel $9$ berubah sebesar $\pm1$, dan $(-1)^d$ membalik. Karena setiap langkah membalik $\varepsilon(\sigma)$ sekaligus $(-1)^{d(\sigma)}$, maka hasil kalinya $I(\sigma)$ tak berubah oleh setiap langkah: yaitu sebuah invarian.

**19.** Kedudukan yang terpecahkan mempunyai $\varepsilon = +1$, $d = 0$: jadi $I = +1$. Sasarannya (dengan ubin $7, 8$ tertukar dan sel kosong di tempat asalnya) adalah transposisi isi sel $7$ dan $8$: sehingga $\varepsilon
= -1$, $d = 0$: jadi $I = -1$. Karena $I$ invarian dan kedua nilainya berbeda, tak ada rangkaian langkah yang menghubungkan keduanya.

**20.** Kedudukan dengan sel kosong di tempat asalnya adalah [permutasi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects) $8$ ubin di antara sel $1, \dots, 8$, yakni unsur $\mathfrak S_8$; ia mempunyai $d = 0$, jadi $I = \varepsilon(\sigma)$. Keterjangkauannya memaksa $I = +1$, yakni $\sigma \in \mathfrak A_8$; dan konvers yang diterima tadi mengatakan seluruh $\mathfrak A_8$ tercapai. Cacahnya: $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (pertanyaan 11).

**21.** Menurut pertanyaan 20, susunan yang dapat dicapai dengan sel kosong di tempat asalnya tepat membentuk $\mathfrak A_8$ — khususnya sebuah *[subgrup](#def-b1-structures-subgroup)* $\mathfrak S_8$: jadi mengomposisikan dua pengacakan yang terpecahkan, atau membalikkan salah satunya, tetap terpecahkan, dan itu jauh dari kasatmata bila kita bernalar dengan teka-tekinya saja.

**22.** (a) Siklus-$3$ atas ubinnya dengan sel kosong di tempat asalnya: $\varepsilon = +1$ (pertanyaan 10), $d = 0$, jadi $I = +1$: sehingga terjangkau (menurut konvers yang diterima tadi) — jadi kita dapat mendaurkan tiga ubin. (b) Ubin $5$ dan sel kosongnya bertukar: kedudukannya adalah transposisi isi sel $5$ dan $9$, sehingga $\varepsilon = -1$; sedangkan sel kosongnya duduk di tengah, pada jarak taksi $d = 2$ dari tempat asalnya, sehingga $(-1)^d = +1$ dan $I = -1$: jadi tak terjangkau. Kita tak dapat begitu saja “memarkir sel kosong di tengah” sambil membiarkan ubin lainnya tersusun rapi.

**23.** Misalkan $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ sebuah [morfisma](#def-b1-structures-morphism). Untuk sebarang dua transposisi $\tau, \tau'$, pertanyaan 16 memasok $\sigma$ dengan $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (yaitu petakan kedua titik yang bergerak ke kedua titik yang lain; $n \geq 3$ menjamin ruang untuk melakukannya, meskipun $n = 2$ pun sepele di sini). Maka $f(\tau') =
f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$ karena $\{\pm1\}$ [abelian](#def-b1-structures-group): jadi $f$ konstan pada transposisi. Jika konstanta itu $+1$, maka $f = 1$ pada semua hasil kali transposisi, yakni di mana-mana (pertanyaan 5). Jika konstanta itu $-1$, maka $f(\sigma) =
(-1)^p = \varepsilon(\sigma)$ pada hasil kali $p$ transposisi. Jadi $f \in \{1, \varepsilon\}$.

**24.** (i) Sifat [morfisma](#def-b1-structures-morphism) pada $\varepsilon$ dan mesin [kernelnya](#def-b1-structures-morphism) memberi $\mathfrak A_n$ struktur [subgrup](#def-b1-structures-subgroup) beserta ukurannya, dan penalaran bergaya [Proposisi 7.11](#prop-b1-structures-kernel) mengalir di sepanjang pertanyaan 11 dan 21. (ii) Pencacahan: $\abs{\mathfrak S_n} = n!$, argumen pemaruhan pada pertanyaan 11, dan cacahan $20\,160$ pada pertanyaan 20 semuanya [Bab 2](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#ch-b1-counting) yang sedang bekerja. (iii) Pertanyaan 8–9 menyelesaikan persoalan keterdefinisian yang sungguhan — karena “paritas banyaknya transposisi” mengandaikan bahwa paritas itu tidak bergantung pada pemfaktorannya, persis seperti operasi $\Z/n\Z$ menuntut ketakbergantungan pada wakilnya pada [Definisi 7.24](#def-b1-structures-zn).

**25.** Tanda adalah satu perhitungan bernilai $\{\pm1\}$, yang sekali dibuktikan terdefinisi dengan baik, lalu mengerjakan tiga tugas sekaligus: ke dalam, ia memotong $\mathfrak S_n$ menjadi dua dan mengisolasi $\mathfrak A_n$ beserta pembangkit siklus-$3$-nya; ke luar, ia memutuskan dalam satu baris sebuah pertanyaan (“dapatkah kedua ubin ini ditukar?”) yang tak akan pernah dapat dituntaskan pencarian naif, karena tak ada daftar hingga rangkaian langkah yang gagal yang membuktikan kemustahilannya; dan secara struktural, ia adalah mesin tanda berselang-seling di dalam rumus $\det A = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\,
a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ pada [Bab 22](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/22-determinan-dan-sistem-linear#ch-b1-det). Pola itu — yaitu carilah besaran yang terawetkan oleh setiap langkah dasar, lalu hitung ia pada awal dan pada sasarannya — adalah senjata baku matematikawan melawan pertanyaan “mungkinkah?”, dan ia akan kembali setiap kali sebuah [grup](#def-b1-structures-group) bekerja pada sebuah [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) keadaan.