--- title: "Pecahan Rasional" book: "Matematika Universitas — Tahun 1" subject: math language: id chapter: 9 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/9-pecahan-rasional --- # Bab 9 — Pecahan Rasional [Pecahan rasional](#def-b1-fractions-field) adalah hasil bagi [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def). Teorema pusat bab pendek ini — yaitu penguraian pecahan parsial — memecah sebarang hasil bagi semacam itu menjadi jumlah bata dasar $\frac{c}{(X - a)^k}$. Di luar minat aljabarnya, ia mesin baku untuk mengintegralkan fungsi rasional ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration)) dan untuk menjumlahkan deret tertentu ([Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series)). ## 9.1 Lapangan $K(X)$ **Definisi 9.1.** Sebuah *pecahan rasional* atas $K$ ($= \R$ atau $\C$) adalah hasil bagi $F = \frac{A}{B}$ dengan $A, B \in K[X]$, $B \neq 0$; dan dua hasil bagi $\frac AB$ serta $\frac{A'}{B'}$ diidentifikasikan bila $AB' = A'B$. Setiap pecahan mempunyai *bentuk paling sederhana* dengan $\gcd(A, B) = 1$, yang tunggal sampai konstanta. Dengan operasi yang wajar, [himpunan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-sets) $K(X)$ berisi pecahan rasional menjadi sebuah [lapangan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/7-struktur-aljabar#def-b1-structures-field). Sebuah *kutub* $F$ (dalam bentuk paling sederhana) adalah akar $B$; sedangkan *orde* sebuah kutub adalah [kegandaannya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-derivative) sebagai akar $B$. Adapun *derajat* $F$ adalah $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$. **Contoh 9.2 (Membaca kutub, orde dan derajatnya).** Misalkan $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Faktorkan kedua lapisnya: pembilangnya $X(X-1)(X+1)$, penyebutnya $X^2(X-1)^2$; lalu coret faktor persekutuannya $X(X-1)$: $$ F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(bentuk paling sederhana).} $$ [Kutubnya](#def-b1-fractions-field): $0$ dan $1$, keduanya *sederhana* — ordenya terbaca pada penyebut yang sudah disederhanakan, sehingga akar ganda yang tampak pada penyebut aslinya tidak relevan. Derajatnya: $\deg F = 1 - 2 = -1$, yang terlihat secara asimtotik ($xF(x) \to 1$ ketika $x \to \infty$). Adapun derajatnya berperilaku seperti derajat [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), yaitu kaidah pembukuan yang dipakai terus-menerus pada perburuan koefisien di bawah: setiap argumen “limit $xF(x)$” sesungguhnya cacahan derajat yang menyamar. **Proposisi 9.3 (Bagian bulat).** Setiap $F = \frac AB \in K(X)$ secara tunggal berbentuk $F = E + \frac RB$ dengan $E \in K[X]$ (yaitu *bagian bulat*, atau bagian [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), dari $F$) dan $\deg R < \deg B$. Di sini $E \neq 0$ jika dan hanya jika $\deg F \geq 0$. **Bukti.** Pembagian Euclid $A = BE + R$ ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-division)), lalu dibagi oleh $B$. Ketunggalannya: jika $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$, maka $(E - E')B = R' - R$ dengan $\deg(R' - R) < \deg B$, yang memaksa $E = E'$ lalu $R = R'$. ∎ **Contoh 9.4 (Sederhanakan dulu, baru bagi).** Carilah bagian bulat $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Dengan [membagi](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) secara membabi buta: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, jadi $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Tetapi pecahannya belum disederhanakan: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ dan $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ berbagi faktor $X + 1$, sehingga $$ F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} : $$ bagian bulatnya tetap sama, yaitu $X$, tetapi bagian pecahannya runtuh menjadi satu bata saja, dan “[kutub](#def-b1-fractions-field)” di $-1$ sesungguhnya tak pernah menjadi [kutub](#def-b1-fractions-field). Sederhanakanlah selalu sampai bentuk yang terkecil sebelum berburu [kutub](#def-b1-fractions-field): karena [kutub](#def-b1-fractions-field) $F$ adalah akar penyebut yang *sudah disederhanakan*. (Adapun bagian bulatnya tak peka terhadap penyederhanaan itu, sebagaimana dijamin ketunggalan pada [Proposisi 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart).) ## 9.2 Penguraian pecahan parsial atas $\C$ **Teorema 9.5 (Penguraian atas C\CC).** Misalkan $F = \frac AB \in \C(X)$ dalam bentuk paling sederhana, dengan $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$. Maka $F$ dapat ditulis, secara tunggal, $$ F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C , $$ dengan $E$ bagian bulat $F$. **Bukti.** Menurut [Proposisi 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) kita boleh mengandaikan $\deg A < \deg B$ lalu membuktikan penguraian jumlahnya dengan $E = 0$. *Memilah [kutubnya](#def-b1-fractions-field).* Tulis $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ dengan $B_1(a_1) \neq 0$. [Polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) $(X-a_1)^{m_1}$ dan $B_1$ [saling prima](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#cor-b1-arith-bezout) (karena tak berakar persekutuan), jadi menurut Bézout di $\C[X]$ (lihat catatan pada [Bab 8](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#ch-b1-poly)) ada $U_0, V_0$ dengan $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$; lalu dengan mengalikannya dengan $A$ dan menulis $U = AU_0$, $V = AV_0$, kemudian [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) dengan $B$: $$ \frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} . $$ Syarat derajatnya dapat dipaksakan: bagilah $V$ dengan $(X-a_1)^{m_1}$, katakanlah $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ dengan $\deg V_1 < m_1$, lalu serap hasil baginya ke dalam suku kedua ($U_1 = U + QB_1$): $$ \frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ; $$ lalu membandingkan derajatnya ($\deg A < \deg B$ dan $\deg V_1 < m_1$) memaksa $\deg U_1 < \deg B_1$ juga. Mengiterasikannya pada $\frac{U_1}{B_1}$, [kutub](#def-b1-fractions-field) demi [kutub](#def-b1-fractions-field), menyusutkan segalanya menjadi kasus [kutub](#def-b1-fractions-field) tunggal di bawah. *[Kutub](#def-b1-fractions-field) tunggal.* Untuk $\frac{A}{(X-a)^m}$ dengan $\deg A < m$: jabarkan $A$ dalam pangkat $(X - a)$, $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (yaitu ekspansi Taylor sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def), seperti pada bukti [Proposisi 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#prop-b1-poly-multiplicity)); lalu [membaginya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/6-aritmetika-bilangan-bulat#def-b1-arith-divides) memberikan tepat bata $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$. Secara konkret, untuk $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$: dengan mensubstitusikan $X = Y - 2$, $$ X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{sehingga}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3} $$ dengan $Y = X + 2$: jadi ketiga batanya muncul lewat pembagian belaka atas ekspansi yang tergeser — yaitu jalur tercepat setiap kali ada satu [kutub](#def-b1-fractions-field) berorde tinggi, dan jalur yang dianjurkan untuk [Latihan 9.3](#exo-b1-fractions-3). *Ketunggalannya.* Andaikan dua penguraian berimpit; maka selisihnya menjadi kesamaan $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$. Kalikan seluruhnya dengan $(X - a_1)^{m_1}$: setiap sukunya memperoleh faktor yang lenyap di $a_1$ *kecuali* suku dengan $i = 1$, $k = m_1$, yang koefisiennya menjadi $d_{1,m_1}$ ditambah suku yang memikul sekurang-kurangnya satu faktor $(X - a_1)$. Lalu menghitung nilainya di $a_1$ (yang sah: setelah perkalian itu, tak ada [kutub](#def-b1-fractions-field) yang tersisa di $a_1$) memberikan $d_{1,m_1} = 0$. Dengan koefisien teratasnya lenyap, ulangi dengan $(X - a_1)^{m_1 - 1}$, dan seterusnya turun sampai $k = 1$; lalu berpindahlah ke [kutub](#def-b1-fractions-field) berikutnya. Semua $d_{i,k}$ lenyap: jadi penguraiannya tunggal. ∎ **Metode 9.6 (Menghitung koefisiennya).** Dalam praktik, hindarilah Bézout; padukan saja: 1. *penutupan untuk pangkat tertingginya*: koefisien $\frac{1}{(X-a)^m}$ (dengan $m$ orde [kutub](#def-b1-fractions-field) $a$) adalah $$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$$ dan untuk [kutub](#def-b1-fractions-field) yang *sederhana* pada $F = \frac AB$, nilainya $\frac{A(a)}{B'(a)}$; 2. *perhitungan nilai* pada titik yang nyaman dan *limit* $xF(x)$ ketika $x \to \infty$ untuk mengumpulkan hubungan linear bagi koefisien yang tersisa; 3. *simetri* paritas atau konjugasi, bila ada, untuk memangkas pekerjaannya menjadi separuh. **Catatan 9.7 (Jebakan yang lazim dengan pecahan parsial).** 1. *Melewatkan bagian bulatnya.* Penguraian batanya berlaku untuk pecahan berderajat $< 0$ ; jadi ketika $\deg A \geq \deg B$ , bagilah dulu ( [Proposisi 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) ), atau perburuan koefisiennya akan melahirkan pertentangan. 2. *Penutupan di luar jangkauannya.* Mengalikan dengan $(X - a)^k$ lalu menghitung nilainya di $a$ menghasilkan koefisiennya hanya untuk $k = m$ , yaitu orde *penuh* [kutub](#def-b1-fractions-field) itu; sedangkan koefisien berorde lebih rendah menuntut hubungan lain (limit atau perhitungan nilai) — lihat [Contoh 9.9](#ex-b1-fractions-multiple) . 3. *Lupa menyederhanakan.* [Kutub](#def-b1-fractions-field) terbaca pada bentuk yang *sudah disederhanakan* ; jadi faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut melahirkan [kutub](#def-b1-fractions-field) hantu ( [Contoh 9.4](#ex-b1-fractions-integerpart) ). 4. *Bentuk bata yang salah atas $\R$.* Di atas kuadrat yang tak tereduksikan, pembilangnya *afin* ( $\alpha X + \beta$ ), bukan konstanta; jadi menulis $\frac{c}{X^2 + 1}$ saja menghilangkan penyelesaian — bentuk yang benar didiktekan [Teorema 9.10](#thm-b1-fractions-real) , dan tak pernah diimprovisasi. **Bukti rumus kutub sederhananya.** Di dekat [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana $a$: $B = (X - a) Q$ dengan $Q(a) \neq 0$, dan $B' = Q + (X - a) Q'$, sehingga $B'(a) = Q(a)$. Jadi nilai penutupannya adalah $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$. ∎ **Contoh 9.8.** Uraikan $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Ada tiga [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana; lakukan penutupan pada masing-masingnya: $$ c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12, $$ jadi $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. *Periksa di $X = 3$:* secara langsung, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; sedangkan dari penguraiannya, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$. **Contoh 9.9 (Kutub ganda).** Uraikan $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$. Bentuknya: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$. - Penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) gandanya: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ . - Penutupan di $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ . - Limit $xF(x)$ di $\infty$ : $0 = b + c$ , jadi $b = \frac14$ . $$ F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} . $$ *Periksa di $X = 0$:* $F(0) = 0$ dan $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$. ## 9.3 Penguraian atas $\R$ **Teorema 9.10 (Penguraian atas R\RR).** Misalkan $F \in \R(X)$ dalam bentuk paling sederhana dengan penyebut $$ B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0). $$ Maka $F$ terurai secara tunggal sebagai bagian bulatnya ditambah suku $$ \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j), $$ dengan koefisien yang real. **Bukti.** Uraikan atas $\C$ ([Teorema 9.5](#thm-b1-fractions-complex)). Karena $F$ real, koefisien di atas [kutub](#def-b1-fractions-field) $\conj a$ (pada setiap ordenya) adalah [konjugat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) koefisien di atas $a$ (terapkan konjugasi pada penguraiannya lalu panggil ketunggalannya). Kelompokkan setiap pasangan [konjugatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field): $$ \frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}}, $$ yang pembilangnya menjadi [konjugat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) dirinya sendiri, sehingga real, berderajat $\leq l$; lalu memisahkan kelipatan kuadrat realnya menurunkannya ke derajat $\leq 1$ pada setiap aras $l$ (yaitu induksi turun yang kecil). Adapun [kutub](#def-b1-fractions-field) real mempertahankan koefisien realnya (karena konjugasi menetapkannya). Ketunggalannya menyusul dari ketunggalan atas $\C$. ∎ **Contoh 9.11 (Menyaksikan pemasangan konjugatnya).** Mekanisme buktinya, pada kasus terkecil: atas $\C$, [kutub](#def-b1-fractions-field) $\frac1{X^2+1}$ adalah $\pm\iu$, dengan koefisien penutupan $\frac1{2\iu}$ di $\iu$ dan $\frac1{-2\iu}$ di $-\iu$ — yang saling [konjugat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field), sebagaimana diramalkan teoremanya: $$ \frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} . $$ Dengan menggabungkannya kembali atas penyebut persekutuannya: $$ \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} : $$ bagian imajinernya saling hapus dan bata realnya muncul kembali utuh. Untuk integran yang real kita biasanya tak pernah meninggalkan $\R$ — tetapi ketika menghitung nilai *jumlah* pada titik kompleks (seperti dilakukan soal akhir pekan dengan [akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity)), bata kompleks menjadi mata uang yang wajar, dan pemasangan inilah kurs tukar antara kedua penguraiannya. **Contoh 9.12.** Uraikan $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ atas $\R$. Bentuknya: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$. Penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) gandanya: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$. Penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) kompleks $\iu$ (dengan pembilang di atas $X^2 + 1$ dihitung lewat penguraian kompleksnya, atau langsung): kalikan dengan $X^2 + 1$ lalu ambil $X = \iu$: $$ a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu , $$ jadi $a = 2$, $b = 0$. Limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + d$, sehingga $d = -2$. Jadi $$ F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} . $$ *Periksa di $X = 0$:* $F(0) = 4$ dan $0 + 2 + 2 = 4$. **Contoh 9.13 (Penyebut kubik, dari awal sampai akhir).** Uraikan $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ atas $\R$. Faktorkan dulu: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$, dengan kuadratnya berdiskriminan $-3 < 0$. Bentuknya: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$. Penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana $-1$: $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$. Limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + b$, jadi $b = -\frac13$. Perhitungan nilai di $X = 0$: $1 = a + c$, jadi $c = \frac23$. Sehingga $$ \frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) , $$ yang dibenarkan di $X = 1$: ruas kirinya $\frac12$, ruas kanannya $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$. Perhatikan penghematannya: tiga bilangan yang belum diketahui, tiga fakta linear yang murah (satu penutupan, satu limit, satu perhitungan nilai), tanpa penjabaran apa pun — yaitu alur kerja [Metode 9.6](#met-b1-fractions-compute) dalam bentuk murninya. **Catatan 9.14 (Untuk apa semua ini).** Begitu terurai, sebuah fungsi rasional terintegralkan suku demi suku: bata $\frac{1}{(x-a)^k}$ mempunyai antiturunan dasar, dan bata $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ menyusut menjadi $\ln$ dan $\arctan$ ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration)). Adapun jumlah teleskopik adalah penerapan baku yang lain ([Latihan 9.8](#exo-b1-fractions-8)). **Catatan 9.15 (Di mana bab ini dipakai).** Pecahan parsial di atas segalanya adalah langkah *prapengolahan*: bab pengintegralan ([Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration)) menyuapkan setiap integran rasional lewat [Teorema 9.10](#thm-b1-fractions-real) sebelum mengintegralkannya, dan bab deret ([Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series)) meneleskopkan suku rasional persis seperti pada [Latihan 9.8](#exo-b1-fractions-8) dan pada soal akhir pekan di bawah — yang mendorong tekniknya sampai ke $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$. Adapun turunan logaritmik $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ ([Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11)) muncul kembali setiap kali letak akar ditelaah. Di luar jilid ini, penguraian $1/\chi(X)$ untuk sebuah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) karakteristik $\chi$ melandasi perhitungan pangkat matriks dan transformasi Laplace pada jilid Tahun ke-2: karena bata $\frac{c}{(X - a)^k}$ adalah bayangan aljabar bagi penyelesaian $t^{k-1}\eu^{at}$ yang ditemui pada [Bab 5](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/5-persamaan-diferensial-linear#ch-b1-diffeq). ![Fungsi F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1 bertipe : ia turun tegas pada setiap selang di antara kutubnya -1, 0, 1 (garis putus-putus). Setiap aras mendatar > 0 dipotong tepat sekali per selang di sebelah kanan kutub pertamanya (titik yang ditandai): jadi penyelesaian F = berselang-seling dengan kutubnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-fractions/fig-0d4a101aa56d.svg) *Fungsi $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ bertipe [Latihan 9.12](#exo-b1-fractions-12): ia turun tegas pada setiap selang di antara [kutubnya](#def-b1-fractions-field) $-1, 0, 1$ (garis putus-putus). Setiap aras mendatar $\lambda > 0$ dipotong tepat sekali per selang di sebelah kanan [kutub](#def-b1-fractions-field) pertamanya (titik yang ditandai): jadi penyelesaian $F = \lambda$ berselang-seling dengan [kutubnya](#def-b1-fractions-field).* ## 9.4 Latihan **Latihan 9.1 ★.** Uraikan atas $\R$: $\dfrac{1}{X^2 - 1}$; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ *(perhatikan bagian bulatnya)*. **Solusi Latihan 9.1.** $\dfrac{1}{X^2 - 1}$: dengan [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana $\pm 1$; lalu penutupan memberikan $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$. $\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$: penutupan memberikan $\frac{1}{1-2} = -1$ di $1$ dan $\frac{2}{2-1} = 2$ di $2$, sehingga $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$. $\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$: derajatnya $0$, jadi ada bagian bulatnya: dengan membaginya, $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$, sehingga $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$. Penutupan pada sisanya: $\frac{1}{-1} = -1$ di $0$, dan $\frac{2}{1} = 2$ di $1$: $$ F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} . $$ **Latihan 9.2 ★.** Uraikan atas $\R$: $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ dan $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$. **Solusi Latihan 9.2.** $\dfrac{1}{X(X^2+1)}$: dengan bentuk $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$. Penutupan di $0$: $a = 1$. Limit $xF$: $0 = a + b$, jadi $b = -1$. Perhitungan nilai di $X = 1$: $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$, jadi $c = 0$: $$ \frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} . $$ $\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$: dengan pembagian: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$, jadi $$ \frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} , $$ yang sudah berbentuk terurai secara real (karena kuadratnya berdiskriminan negatif). **Latihan 9.3 ★.** Uraikan $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ dan $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ *(untuk yang kedua, substitusikan $Y = X - 1$)*. **Solusi Latihan 9.3.** $\dfrac{1}{X^2(X-1)}$: dengan bentuk $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$. Penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) ganda $0$: $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$. Penutupan di $1$: $c = 1$. Limit $xF$: $0 = b + c$, jadi $b = -1$: $$ \frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} . $$ $\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$: dengan $Y = X - 1$, pembilangnya menjadi $Y + 2$: $$ \frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} . $$ **Latihan 9.4 ★★.** Uraikan atas $\C$, lalu atas $\R$: $\dfrac{1}{X^4 - 1}$. **Solusi Latihan 9.4.** [Kutubnya](#def-b1-fractions-field) adalah [akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity) keempat $1, \iu, -1, -\iu$, yang semuanya sederhana. Rumus [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhananya dengan $B' = 4X^3$: koefisien di $a$ adalah $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (memakai $a^4 = 1$). Jadi, atas $\C$: $$ \frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} . $$ Dengan mengelompokkan pasangan [konjugatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) (yang berpenyebut persekutuan $X^2 + 1$): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$. Jadi atas $\R$: $$ \frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} . $$ *Periksa di $X = 0$:* $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$. **Latihan 9.5 ★★.** Uraikan atas $\R$: $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$, lalu simpulkan sebuah antiturunan $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ bila diberikan $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$. **Solusi Latihan 9.5.** $\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$. Jadi sebuah antiturunannya: $$ \int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C . $$ **Latihan 9.6 ★★.** Untuk $n \in \N^*$, uraikan $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ *(dengan [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana di $0, -1, \dots, -n$; pakai rumus penutupannya lalu kenali [koefisien binomialnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/2-pencacahan#def-b1-counting-objects))*. **Solusi Latihan 9.6.** [Kutubnya](#def-b1-fractions-field) $0, -1, \dots, -n$ semuanya sederhana. Penutupan di $-k$: $$ c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk . $$ Jadi $$ \frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} . $$ (Pemeriksaan kewajaran untuk $n = 1$: $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$.) **Latihan 9.7 ★★.** Dengan memakai kesamaan pada [Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11) untuk $P = X^n - 1$, buktikan bahwa $$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}, $$ lalu hitung nilai kedua ruasnya di $X = 2$ untuk $n = 4$ sebagai pemeriksaan. **Solusi Latihan 9.7.** $P = X^n - 1$ mempunyai $n$ akar sederhana $\omega^k$ ([Teorema 3.14](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#thm-b1-complex-roots)), jadi kesamaan turunan logaritmik pada [Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11) berbunyi $$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} . $$ Di $X = 2$, $n = 4$: ruas kanannya $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$. Ruas kirinya: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$, dengan memakai $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$. **Latihan 9.8 ★★.** Uraikan $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ lalu hitunglah $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{lalu}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n . $$ **Solusi Latihan 9.8.** Penutupan: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$. Tulis ulang sebagai selisih yang teleskopik: $$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr), $$ (jabarkan untuk memeriksanya — atau kurangkan kedua penguraiannya). Dengan menjumlahkannya: $$ S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 . $$ **Latihan 9.9 ★★★.** Misalkan $P \in \R[X]$ [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $n$ dengan $n$ akar real yang berbeda $x_1 < \dots < x_n$. Buktikan bahwa $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 . $$ *Petunjuk: uraikan $\frac{X^m}{P}$ untuk $m \leq n - 1$ lalu perhatikan peluruhan koefisiennya di tak hingga — atau pakai [interpolasi Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange)) atas monomial $X^m$ pada simpul $x_i$.* **Solusi Latihan 9.9.** Uraikan, untuk $0 \leq m \leq n - 1$, pecahan $\frac{X^m}{P}$ (yang berderajat $m - n \leq -1$, dengan [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana): maka rumus [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhananya memberikan $$ \frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} . $$ Kalikan dengan $X$ lalu ambil $X \to +\infty$: ruas kirinya menuju limit $X^{m+1}/P$, yang bernilai $0$ bila $m \leq n - 2$ dan $1$ bila $m = n - 1$ (karena $P$ [monik](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $n$); sedangkan ruas kanannya menuju $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$. Jadi $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{untuk } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{untuk } m = n - 1, \end{cases} $$ yang memuat kedua kesamaan yang dinyatakan tadi (dengan $m = 0$ menuntut $n \geq 2$). (Tafsirannya lewat [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#thm-b1-poly-lagrange): jumlah itu adalah koefisien utama penginterpolasi Lagrange bagi $X^m$, dan menginterpolasi [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) berderajat $\leq n-1$ pada $n$ titik menghasilkannya kembali secara persis.) **Latihan 9.10 ★★.** Uraikan $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ atas $\R$. Dengan menerima nilai $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini), simpulkan $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} . $$ **Solusi Latihan 9.10.** Bentuknya $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$. Penutupan di $0$: $a = 1$; penutupan pada [kutub](#def-b1-fractions-field) gandanya: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$; dan limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + b$, jadi $b = -1$: $$ \frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} . $$ Dengan menjumlahkannya untuk $n = 1, \dots, N$: kedua bata pertamanya berteleskop menjadi $1 - \frac1{N+1}$, dan yang ketiga menyumbang $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$. Lalu dengan mengambil $N \to \infty$ dan memakai $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 . $$ **Latihan 9.11 ★★.** Uraikan atas $\R$: $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$, lalu $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$. *Petunjuk: kedua penyebutnya adalah [polinomial](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#def-b1-poly-def) dalam $X^2$: jadi uraikan $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ lebih dulu.* **Solusi Latihan 9.11.** Dalam variabel $Y$: $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ (dari penutupan di $-1$ dan $-4$), jadi $$ \frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} . $$ Demikian pula $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$, sehingga $$ \frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} . $$ (Periksa di $X = 0$: $0 = \frac13(-1 + 1)$.) Keduanya sudah merupakan penguraian realnya: karena pembilang di atas kuadrat yang tak tereduksikan kebetulan berupa konstanta. **Latihan 9.12 ★★★.** (Persamaan sekuler) Misalkan $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ dengan $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ real dan semua $c_i > 0$. 1. Tunjukkan bahwa $F$ turun tegas pada setiap selang di daerah asalnya, lalu berikan limitnya di $\pm\infty$ dan pada kedua sisi setiap [kutubnya](#def-b1-fractions-field) . 2. Simpulkan bahwa untuk setiap $\lambda > 0$ , persamaan $F(x) = \lambda$ mempunyai tepat $r$ penyelesaian real, satu pada masing-masing selang $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ dan satu di luar $p_r$ . (Persamaan semacam itu mengatur perturbasi nilai eigen; adapun teorema nilai antara di sini dipakai pada taraf sekolah menengah dan dibuktikan pada [Bab 13](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/13-limit-dan-kekontinuan#ch-b1-continuity) .) **Solusi Latihan 9.12.** 1. Pada setiap selang yang menghindari [kutubnya](#def-b1-fractions-field) , $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : jadi ia turun tegas. Ketika $x \to \pm\infty$ , setiap batanya menuju $0$ : sehingga $F \to 0$ , dari atas di $+\infty$ (karena semua batanya positif di sana) dan dari bawah di $-\infty$ . Ketika $x \to p_i^+$ , bata $\frac{c_i}{x - p_i}$ meledak ke $+\infty$ sedangkan yang lain tetap terbatas: jadi $F \to +\infty$ ; demikian pula $F \to -\infty$ ketika $x \to p_i^-$ . 2. Tetapkan $\lambda > 0$ . Pada $\intoo{-\infty}{p_1}$ : $F$ turun dari $0^-$ ke $-\infty$ , jadi $F < 0 < \lambda$ : tak ada penyelesaian. Pada masing-masing $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ): $F$ turun dari $+\infty$ ke $-\infty$ , sehingga ia bernilai $\lambda$ tepat sekali (menurut sifat nilai antara beserta kemonotonan tegasnya). Pada $\intoo{p_r}{+\infty}$ : $F$ turun dari $+\infty$ ke $0^+$ , sehingga sekali lagi tepat satu penyelesaian. Totalnya: tepat $r$ penyelesaian, yang berselang-seling dengan [kutubnya](#def-b1-fractions-field) . ## 9.5 Soal: Pecahan parsial sebagai sebuah mesin **Soal 9.1.** Penguraian pecahan parsial tampak seperti pembukuan belaka; soal ini menunjukkan bahwa ia sebuah mesin. Disuapi pecahan $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$, ia meneleskopkan seluruh keluarga jumlah menjadi bentuk tertutup; disuapi $\frac1{X^n - 1}$, ia menghasilkan kesamaan trigonometri seperti $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ; $$ dan, didorong satu langkah lagi, kesamaan itu memeras keluar salah satu rumus paling termasyhur dalam matematika, yaitu rumus Euler $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$ — yang di sini diperoleh tanpa apa pun di luar aljabar bab ini dan trigonometri sekolah menengah. Di sepanjang soal ini, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$; adapun limit barisan dipakai pada taraf sekolah menengah ([Bab 11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/11-barisan#ch-b1-seq) meresmikannya). **Bagian I — Teleskopnya.** 1. Uraikan $\frac1{X(X+1)}$ lalu hitung $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ secara eksak; lalu simpulkan bahwa jumlahnya menuju $1$ . 2. Hal yang sama untuk $\frac1{X(X+2)}$ : tunjukkan $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (Dengan adanya celah, *dua* suku batas bertahan pada masing-masing ujungnya.) 3. Resmikan mekanismenya: jika $F(X) = G(X) - G(X+1)$ untuk suatu $G$ rasional yang tak berkutub di $\intco1{+\infty}$ , maka $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . Pulihkan nilai $\frac14$ pada [Latihan 9.8](#exo-b1-fractions-8) dengan menunjukkan saksi $G$ untuk $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ . 4. Buktikan teleskop faktorial yang umum: untuk $k \geq 1$, $$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$$ lalu simpulkan $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$$ Periksa kasus $k = 2$ terhadap pertanyaan 3. 5. Hitunglah nilai penguraian [Latihan 9.6](#exo-b1-fractions-6) pada titik yang dipilih baik untuk membuktikan $$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$$ **Bagian II — Pecahan $1/(X^n - 1)$.** 6. Tunjukkan lewat rumus penutupannya bahwa $$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$$ 7. Dua pemeriksaan kewajaran: periksa rumusnya secara langsung untuk $n = 2$ , lalu tunjukkan bahwa jumlah $n$ koefisiennya lenyap untuk $n \geq 2$ — dan jelaskan mengapa ia harus demikian (tinjau $xF(x)$ ketika $x \to \infty$ ). 8. Turunkan ulang lewat penutupan kesamaan pada [Latihan 9.7](#exo-b1-fractions-7) : $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ . 9. Kelompokkan [kutub](#def-b1-fractions-field) [konjugatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) untuk membuktikan penguraian realnya: dengan $\theta_k = \frac{2k\pi}n$, $$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$$ lalu tuliskan penguraian real lengkap $\frac1{X^n-1}$ (bedakan $n$ ganjil dan $n$ genap). 10. Khususkan pada $n = 4$ lalu cocokkan dengan [Latihan 9.4](#exo-b1-fractions-4) . **Bagian III — Jumlah trigonometri, dan $\pi^2/6$ Euler.** Misalkan $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$, yang akarnya adalah $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (semuanya sederhana). 11. Dengan memakai $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ ([Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11)), buktikan $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$$ 12. Buktikan $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ untuk $\theta \notin 2\pi\Z$ (lewat pemfaktoran setengah sudut, [Metode 3.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#met-b1-complex-trig) ), lalu simpulkan dari pertanyaan 11 bahwa $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — yang juga terlihat lewat simetri $k \leftrightarrow n - k$ . 13. Dengan menurunkan kesamaan pertanyaan 11 (yakni memakai $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ yang dihitung di $X = 1$), buktikan $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$$ 14. Dengan menulis $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, simpulkan dari pertanyaan 12–13 kedua bentuk tertutupnya $$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$$ 15. Periksa kedua rumusnya dengan tangan untuk $n = 3$ dan $n = 4$ . 16. Buktikan ketaksamaan $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ untuk $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (dari $\sin t < t < \tan t$), lalu simpulkan, untuk $n = 2m + 1$ dan $1 \leq k \leq m$: $$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$$ 17. Jumlahkan ketaksamaan itu untuk $k = 1, \dots, m$ (dengan memakai simetri $k \leftrightarrow n - k$ untuk memaruhkan rumus pertanyaan 14) lalu apitlah: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$$ **Bagian IV — Bata berorde lebih tinggi.** 18. Dengan mengkuadratkan penguraian $\frac1{X^2-1}$ lalu menguraikan ulang suku silangnya, buktikan $$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$$ lalu periksa ia di $X = 0$. 19. Padukan pertanyaan 18, teleskopnya, dan nilai Euler (pertanyaan 17) untuk membuktikan $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$$ lalu benarkan nilainya secara numerik sampai tiga desimal. 20. Turunkan kesamaan pertanyaan 8 untuk memperoleh sebuah bentuk tertutup bagi $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ , lalu periksa ia di $X = 2$ , $n = 2$ . 21. Buktikan bahwa untuk $k \geq 2$, $$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$$ *(Susutkan ke pertanyaan 4 dengan menulis $1/\binom nk$ memakai faktorial.)* 22. Untuk $k = 3$ , berikan jumlah parsial yang eksak $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ beserta limitnya. **Bagian V — Sintesis.** 23. Sebagai perhitungan penutup, tuliskan penguraian real lengkap $\dfrac1{X^6 - 1}$ lalu periksa ia di $X = 0$ . 24. Di mana persisnya soal ini memakai: (i) ketunggalan penguraiannya; (ii) [akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity) dari [Bab 3](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#ch-b1-complex) ; (iii) turunan logaritmik dari [Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11) ? Satu kalimat untuk masing-masing. 25. Sintesis, dalam satu paragraf pendek: satu kesamaan aljabar — yaitu memecah pecahan menjadi bata — melahirkan jumlah yang eksak, kesamaan trigonometri, dan $\pi^2/6$ . Berilah komentar atas pembagian tugas antara aljabar (penguraian yang eksak dan berlaku di mana-mana) dan analisis (limit dan pengapitan), lalu tunjukkan tempat masing-masing benangnya diindustrialisasi: teleskop dan perbandingan pada [Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series) , dan pengintegralan batanya pada [Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration) . **Solusi Soal 9.1.** **1.** Penutupan: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$. Jumlahnya pun berteleskop: $$ \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 . $$ **2.** $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$. Dengan menjumlahkannya, suku $\frac1n$ bertahan untuk $n = 1, 2$ dan suku $-\frac1{n+2}$ bertahan untuk $n = N-1, N$: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 . $$ **3.** Jika $F(X) = G(X) - G(X+1)$, maka $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$: karena semua nilai antaranya saling hapus berpasangan. Untuk $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$, saksinya adalah $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$: $$ G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) , $$ jadi $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$, yaitu nilai pada [Latihan 9.8](#exo-b1-fractions-8). **4.** Letakkan ruas kanannya di atas penyebut persekutuan $X(X+1)\cdots(X+k)$: $$ \frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} , $$ yang tepat merupakan kesamaannya. Jadi $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ dengan $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$, dan mekanisme pertanyaan 3 memberikan $$ \sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} , $$ karena $G_k(1) = \frac1{k!}$ dan $G_k(N+1) \to 0$. Untuk $k = 2$: $\frac1{2\cdot2} = \frac14$, yang cocok dengan pertanyaan 3. **5.** [Latihan 9.6](#exo-b1-fractions-6) memberikan $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$. Hitung nilainya di $X = 1$: ruas kirinya menjadi $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$, sedangkan ruas kanannya menjadi $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$: itulah kesamaan pertamanya. Di $X = 2$: ruas kirinya menjadi $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$, sedangkan ruas kanannya $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$: itulah kesamaan keduanya. **6.** [Kutub](#def-b1-fractions-field) $\omega^k$ semuanya sederhana, dan rumus [kutub](#def-b1-fractions-field) sederhana pada [Metode 9.6](#met-b1-fractions-compute) memberikan koefisien $$ \frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n , $$ dengan memakai $\omega^{kn} = 1$. Jadi $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$. **7.** Untuk $n = 2$ (dengan $\omega = -1$): $\frac12\bigl( \frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$: jadi benar. Koefisiennya berjumlah $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ untuk $n \geq 2$ ([Proposisi 3.18](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#prop-b1-complex-sumroots)). Memang harus demikian: karena $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ ketika $x \to \infty$ untuk sebarang penguraian berkutub sederhana, sedangkan di sini $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ karena $n \geq 2$. **8.** Penutupan untuk $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ di $\omega^k$: $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$, jadi $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — yaitu kesamaan [Latihan 9.7](#exo-b1-fractions-7) sekali lagi. **9.** Dengan $c = \omega^k$, $\conj c = \omega^{n-k}$ dan $c\conj c = 1$, $c + \conj c = 2\cos\theta_k$: $$ \frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} . $$ Dengan mengelompokkan $k$ bersama $n - k$ pada pertanyaan 6: untuk $n$ ganjil, $$ \frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ; $$ sedangkan untuk $n$ genap, [kutub](#def-b1-fractions-field) $\omega^{n/2} = -1$ yang berpasangan dengan dirinya sendiri menyumbang $\frac{-1}{X+1}$ di dalam kurungnya dan jumlah pasangannya berjalan sampai $\frac n2 - 1$. **10.** Untuk $n = 4$: $\theta_1 = \frac\pi2$, $\cos\theta_1 = 0$, jadi suku pasangannya adalah $\frac{-2}{X^2+1}$ dan $$ \frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) , $$ yaitu penguraian pada [Latihan 9.4](#exo-b1-fractions-4). **11.** $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (bagilah $X^n - 1$ dengan $X - 1$), jadi menurut [Latihan 8.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/8-polinomial#exo-b1-poly-11), $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$. Di $X = 1$: $P(1) = n$ dan $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$, sehingga $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 . $$ **12.** Setengah sudut: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, sehingga $$ \frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} . $$ Dengan $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$: $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$. Dengan menjumlahkannya atas $k = 1, \dots, n-1$ lalu membandingkannya dengan nilai real $\frac{n-1}2$ pada pertanyaan 11: bagian realnya sudah menanggung segalanya, sehingga $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — sebagaimana juga ditunjukkan simetri $\cot\frac{(n-k) \pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$. **13.** Dengan menurunkan $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$: $$ \frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} . $$ Di $X = 1$: $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (dari kesamaan tongkat hoki, atau lewat induksi), jadi $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} . $$ **14.** Dengan mengkuadratkan rumus pertanyaan 12, dengan $c_k = \cot\frac{k\pi}n$: $$ \frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k . $$ Dengan menjumlahkannya dan memakai $\sum c_k = 0$ (pertanyaan 12) beserta pertanyaan 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$, sehingga $$ \sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 . $$ Lalu $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ memberikan $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$. **15.** Untuk $n = 3$: $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$; dan $\frac1{\sin^2}$ berjumlah $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$. Untuk $n = 4$: $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$; dan $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$. Kedua rumusnya cocok. **16.** Untuk $t \in \intoo0{\frac\pi2}$, perbandingan klasik $\sin t < t < \tan t$ (lewat argumen luas atau kecembungan, yang dikenal sejak sekolah menengah) memberikan, setelah kebalikannya diambil, $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$, dengan ketiganya positif di sana; dan mengkuadratkannya mengawetkan urutannya. Dengan $t = \frac{k\pi}n$, $1 \leq k \leq m$, $n = 2m+1$ (sehingga $t < \frac\pi2$): $$ \cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} . $$ **17.** Menurut simetri $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ dan hal serupa untuk $\sin^2$, jumlah pertanyaan 14 terparuh: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ dan $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$. Dengan menjumlahkan pertanyaan 16 atas $k = 1, \dots, m$ lalu mengalikannya dengan $\frac{\pi^2}{n^2}$: $$ \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 . $$ Kedua batasnya menuju $\frac{\pi^2}6$ ketika $m \to \infty$ (karena rasio $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ dan $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ sama-sama menuju $\frac12$), sehingga menurut pengapitan jumlah parsialnya yang naik itu konvergen dan $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **18.** Kuadratkan $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$: $$ \frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} , $$ lalu uraikan ulang suku silangnya $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ untuk memperoleh bentuk yang dinyatakan tadi. Di $X = 0$: ruas kirinya $1$; ruas kanannya $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$. **19.** Jumlahkan pertanyaan 18 atas $n \geq 2$. Dengan $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$: maka $\sum_{n\geq2} \frac1{(n-1)^2} = S$; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$; dan teleskop bercelah dua $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$. Jadi $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 . $$ Secara numerik: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$: jadi sejalan. **20.** Turunkan kesamaan pertanyaan 8 $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$: $$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} . $$ Periksa di $n = 2$, $X = 2$: ruas kanannya $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$; ruas kirinya $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$. **21.** $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$, yaitu hasil kali $k$ bilangan bulat berurutan di penyebutnya. Dengan mensubstitusikan $j = n - k + 1$ (sehingga $j$ menjelajahi $\N^*$ ketika $n$ berjalan dari $k$): $$ \sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} , $$ menurut pertanyaan 4 yang diterapkan dengan $k - 1$ menggantikan $k$ (yang sah karena $k - 1 \geq 1$). **22.** Untuk $k = 3$: $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$, jadi menurut jumlah parsial pertanyaan 3 (yang tergeser), $$ \sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 , $$ yaitu nilai $\frac k{k-1} = \frac32$ pada pertanyaan 21. **23.** Untuk $n = 6$: pasangannya $k = 1$ ($\theta_1 = \frac\pi3$, $2\cos\theta_1 = 1$) dan $k = 2$ ($\theta_2 = \frac{2\pi}3$, $2\cos\theta_2 = -1$), ditambah [kutub](#def-b1-fractions-field) real $\pm1$: $$ \frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) . $$ Di $X = 0$: ruas kirinya $-1$; ruas kanannya $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$: jadi benar. **24.** (i) Ketunggalannya mengesahkan setiap penyamaan koefisien — baik penutupan, pengelompokan pasangan [konjugat](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) pada pertanyaan 9, maupun kiat penurunan (pertanyaan 13, 20) semuanya bersandar padanya. (ii) [Akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity) memasok [kutub](#def-b1-fractions-field) $X^n - 1$, simetrinya ($k \leftrightarrow n-k$), dan aljabar setengah sudut pada pertanyaan 12 ([Metode 3.11](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#met-b1-complex-trig)). (iii) Adapun turunan logaritmik $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ mengubah informasi tentang akar $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ menjadi jumlah numerik pada pertanyaan 11 dan 13 — yaitu engsel antara Bagian II dan Bagian III. **25.** Penguraiannya adalah kesamaan yang murni aljabar, benar untuk setiap nilai variabelnya sekaligus; dan itulah yang menjadikannya sebuah mesin. Mensubstitusikan bilangan bulat lalu menjumlahkannya mengubahnya menjadi teleskop (Bagian I); mensubstitusikan [akar satuan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-unity) lalu mengelompokkan [konjugatnya](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/3-bilangan-kompleks#def-b1-complex-field) mengubahnya menjadi kesamaan trigonometri (Bagian II dan III); dan barulah pada langkah terakhir analisis masuk — yaitu sebuah pengapitan di antara dua bentuk tertutup — untuk menyerahkan $\frac{\pi^2}6$, yakni [pernyataan](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/1-logika-himpunan-dan-pemetaan#def-b1-logic-statement) yang tak dapat dicapai substitusi hingga mana pun. Pembagian tugas ini (aljabar menghasilkan kesamaan hingga yang eksak, analisis melewatkannya ke limit) adalah cetakan bagi [Bab 17](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/17-deret-numerik#ch-b1-series), yang di sana teleskop dan perbandingan menjadi sistematis, dan bagi [Bab 15](https://one-course.com/books/math/3/id/chapter/15-pengintegralan-pada-sebuah-ruas#ch-b1-integration), yang di sana setiap bata memperoleh antiturunan dan penguraian yang sama menghitung integral alih-alih jumlah.