---
title: "Topologie van de reële rechte"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte
---

# Hoofdstuk 12 — Topologie van de reële rechte

Limieten verwijzen telkens naar hetzelfde meetkundige vocabulaire: punten “dicht bij” een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets), [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) “zonder lekken aan de [rand](#def-b1-topology-closure)”, [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) waaruit rijen niet kunnen ontsnappen. Dit hoofdstuk legt dat vocabulaire vast — [open](#def-b1-topology-open) en [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed), [inwendige](#def-b1-topology-closure) en [afsluiting](#def-b1-topology-closure), [dichtheid](#def-b1-topology-dense) — op de reële rechte, en bewijst de compactheid van segmenten in haar rijenvorm. Dezelfde begrippen, in genormeerde vectorruimten, zijn stof voor het tweede jaar; op $\R$ zijn ze binnen bereik en meteen nuttig voor [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity).

## 12.1 Open verzamelingen, gesloten verzamelingen

**Definitie 12.1 (Omgeving, open verzameling).**

Een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ is een *omgeving* van $x \in \R$ wanneer ze voor een zekere $r > 0$ een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x
- r}{x + r}$ bevat. Een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ heet *open* wanneer ze een omgeving van elk van haar punten is:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**Voorbeeld 12.2.**

[Open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) zijn [open](#def-b1-topology-open): voor $x \in \intoo{a}{b}$ neem je $r =
\min(x - a,\, b - x) > 0$. Halfrechten $\intoo{a}{+\infty}$ zijn [open](#def-b1-topology-open); $\R$ en $\emptyset$ zijn [open](#def-b1-topology-open) (de laatste bij gebrek aan punten). $\intcc{0}{1}$ is *niet* [open](#def-b1-topology-open): geen enkel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond $0$ blijft binnen.

**Propositie 12.3 (Stabiliteit van open verzamelingen).**

Elke vereniging van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) is [open](#def-b1-topology-open); een *eindige* doorsnede van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) is [open](#def-b1-topology-open). Oneindige doorsneden kunnen falen: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, niet [open](#def-b1-topology-open).

**Bewijs.** Vereniging: is $x \in \bigcup_i U_i$, dan is $x \in U_{i_0}$ voor een zekere $i_0$, en het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) dat $U_{i_0}$ levert ligt binnen de vereniging. Eindige doorsnede: is $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, neem dan $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ van de stralen die elke $U_j$ levert. Voor het tegenvoorbeeld: elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond $0$ bevat een zekere $\frac{1}{n}$ (Archimedes) en verlaat dus de doorsnede. ∎

**Voorbeeld 12.4 (Openheid waarborgen met expliciete stralen).**

Is $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ [open](#def-b1-topology-open)? Ja, en het bewijsstuk laat zich opschrijven: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, een vereniging van twee [open](#def-b1-topology-open) halfrechten, [open](#def-b1-topology-open) volgens [Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable). Je kunt ook punt voor punt redeneren: voor $x \in U$ met $x > \sqrt 2$ neem je $r = x - \sqrt2 > 0$: elke $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ voldoet aan $y > \sqrt 2$ en dus $y^2 >
2$; symmetrisch aan de linkerkant. Beide stijlen doen ertoe — de structurele (bouw uit bekende [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) met verenigingen en eindige doorsneden) schaalt beter, de $\varepsilon$-stijl werkt wanneer er geen structuur zichtbaar is; en [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity) voegt er een derde en krachtigste aan toe: $U$ is het [origineel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van de [open verzameling](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ onder de continue $x \mapsto x^2$.

**Definitie 12.5 (Gesloten verzameling).**

Een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ heet *gesloten* wanneer haar complement $\R
\setminus F$ [open](#def-b1-topology-open) is. Wegens De Morgan en [Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable): elke doorsnede van gesloten [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) is gesloten, en eindige verenigingen van gesloten [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn gesloten.

**Stelling 12.6 (Karakterisering van gesloten verzamelingen met rijen).**

$F$ is [gesloten](#def-b1-topology-closed) dan en slechts dan als voor elke rij $(u_n)$ punten van $F$ die naar een zekere $\ell \in \R$ convergeert, de limiet $\ell$ tot $F$ behoort. (“[Gesloten](#def-b1-topology-closed)” $=$ “stabiel onder limieten”.)

**Bewijs.** ($\Rightarrow$) Zij $F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed), $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, en stel $\ell \notin F$. Het complement is [open](#def-b1-topology-open): een zeker $\intoo{\ell - r}{\ell
+ r}$ mijdt $F$. Maar de convergentie legt $u_n$ voor grote $n$ in dat [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals): in tegenspraak met $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) Stel dat $F$ niet [gesloten](#def-b1-topology-closed) is: het complement is niet [open](#def-b1-topology-open), dus is er een $x \notin F$ zonder [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ binnen het complement; met $r = \frac{1}{n+1}$ kies je $u_n \in F$ met $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. Dan is $u_n \in F$ en $u_n \to x \notin
F$: de eigenschap met rijen faalt. ∎

**Voorbeeld 12.7 (De toets met rijen, beide kanten op).**

*[Gesloten](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Zij $u_k \in F$ met $u_k \to \ell$. Het venster $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ bevat maar eindig veel punten van $F$ (eindig veel gehele getallen, eindig veel $n + \frac1n$), en voorbij een zekere rang liggen alle $u_k$ erin: de rij neemt dan eindig veel waarden aan en is, convergerend, uiteindelijk constant (als in [Oefening 12.3](#exo-b1-topology-3)): $\ell \in F$. [Gesloten](#def-b1-topology-closed) — ook al bevat $F$ paren punten op willekeurig kleine afstand $\frac1n$.

*Niet [gesloten](#def-b1-topology-closed):* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. De rij $\frac1n + \frac1n \in G$ gaat naar $0$, en $0
\notin G$ (een som van twee positieve termen): de toets met rijen faalt, $G$ is niet [gesloten](#def-b1-topology-closed). Interessant genoeg behoort elke $\frac1m$ *wel* tot $\overline G \cap G$: immers $\frac1m = \frac{1}{m+1} +
\frac{1}{m(m+1)} \in G$. Het inzicht tot slot: om geslotenheid te bewijzen moet je *alle* convergente rijen tegelijk beheersen (meestal via een argument van lokale eindigheid of een [gesloten](#def-b1-topology-closed) formule); om haar te weerleggen volstaat één goedgekozen ontsnappende rij — die asymmetrie maakt de negatieve richting de makkelijke, en alle tegenvoorbeelden van dit hoofdstuk hebben die vorm van één regel.

**Voorbeeld 12.8.**

Segmenten $\intcc{a}{b}$, halfrechten $\intco{a}{+\infty}$, [eindige verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card) en $\Z$ (een convergente rij gehele getallen is uiteindelijk constant) zijn [gesloten](#def-b1-topology-closed). $\intoc{0}{1}$ is [open](#def-b1-topology-open) noch [gesloten](#def-b1-topology-closed) ([open](#def-b1-topology-open) faalt in $1$; [gesloten](#def-b1-topology-closed) faalt want $\frac 1n \to 0 \notin$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets)): de meeste [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn geen van beide. $\R$ en $\emptyset$ zijn zowel [open](#def-b1-topology-open) als [gesloten](#def-b1-topology-closed) — en het zijn de enige zulke deelverzamelingen van $\R$ ([Oefening 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**Voorbeeld 12.9 (Een open verzameling uit oneindig veel stukken).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: een oneindige vereniging van [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals), [open](#def-b1-topology-open) volgens [Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — zodat $\Z$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is zonder enig argument met rijen. Let op de taakverdeling in de stabiliteitsregels: *verenigingen* van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) mogen willekeurig zijn (elk punt heeft alleen zijn eigen bewijsstuk nodig, geleverd door de ene [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) die het bevat), terwijl *doorsneden* eindig moeten blijven (de bewijsstukken moeten doorsneden worden, en oneindig veel stralen kunnen tot niets krimpen). [Oefening 12.10](#exo-b1-topology-10) zal laten zien dat dit voorbeeld de algemene vorm is: elke [open](#def-b1-topology-open) deelverzameling van $\R$ is een aftelbare disjuncte vereniging van [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals).

## 12.2 Inwendige, afsluiting, dichtheid

**Definitie 12.10 (Inwendige, afsluiting, rand).**

Zij $A \subseteq \R$.

- Een punt $x$ is *inwendig* aan $A$ wanneer $A$ een [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ is; het *inwendige* $\mathring{A}$ is de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de inwendige punten.
- Een punt $x$ is *adherent* aan $A$ wanneer elke [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ ontmoet; de *afsluiting* $\overline{A}$ is de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de adherente punten.
- De *rand* is $\partial A = \overline A \setminus \mathring  A$ .

Er geldt $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**Propositie 12.11 (Hoofdeigenschappen).**

1. $\mathring A$ is de grootste [open verzameling](#def-b1-topology-open) bevat in $A$ ; $A$ is [open](#def-b1-topology-open) precies wanneer $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ is de kleinste [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed) die $A$ bevat; $A$ is [gesloten](#def-b1-topology-closed) precies wanneer $A = \overline A$ .
3. (Karakterisering van adherentie met rijen) $x \in \overline A$ dan en slechts dan als $x$ de limiet is van een rij punten van $A$ .
4. Complementeren verwisselt de begrippen: $\R \setminus \overline  A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**Bewijs.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ een zekere [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ mijdt $A$ $\iff$ een zeker [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond $x$ ligt in $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ is [inwendig](#def-b1-topology-closure) aan $\R \setminus A$.

(1) $\mathring A$ is [open](#def-b1-topology-open): is $x \in \mathring A$, dan is een zeker $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$; elk punt $y$ van dat [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) heeft er een kleiner [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) omheen dat erin ligt en dus in $A$: het hele [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ligt in $\mathring A$. Elke [open](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ bestaat uit [inwendige](#def-b1-topology-closure) punten van $A$, dus $U \subseteq \mathring A$: de grootste. De karakterisering van openheid volgt.

(2) In detail. Volgens (4) is $\R \setminus \overline A$ het [inwendige](#def-b1-topology-closure) van $\R \setminus A$, een [open verzameling](#def-b1-topology-open) volgens (1): dus is $\overline
A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed), en ze bevat $A$. Minimaliteit: zij $F \supseteq A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed). Dan is $\R \setminus F$ [open](#def-b1-topology-open) en bevat in $\R \setminus A$, dus geeft de maximaliteit in (1)

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

en opnieuw complementeren geeft $\overline A \subseteq F$. Dus is $\overline A$ de kleinste [gesloten](#def-b1-topology-closed) oververzameling. Karakterisering: is $A = \overline A$, dan is $A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) (zojuist aangetoond); is $A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed), dan is ze zelf een [gesloten](#def-b1-topology-closed) oververzameling van $A$, zodat de minimaliteit $\overline A \subseteq A$ afdwingt, en dus gelijkheid.

(3) Is $u_n \in A$ met $u_n \to x$, dan bevat elke [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ een zekere $u_n \in A$, dus $x \in \overline A$. Omgekeerd, is $x \in
\overline A$, dan ontmoet elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ in een zekere $u_n$, en $u_n \to x$. ∎

**Voorbeeld 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} =
\intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Voor $A = \{\frac 1n :
n \in \N^*\}$ is $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$ en $\partial A = A \cup \{0\}$. Voor $\Q$: wegens de [dichtheid](#def-b1-topology-dense) ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density)) is elk reëel getal adherent aan $\Q$, dus $\overline{\Q} = \R$, terwijl $\mathring{\Q} = \emptyset$ (elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) bevat irrationale getallen): de [rand](#def-b1-topology-closure) van $\Q$ is heel $\R$.

**Voorbeeld 12.13 (Een volledige anatomie).**

Zij $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\,
\{4\}$. We berekenen de drie [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van [Definitie 12.10](#def-b1-topology-closure), stuk voor stuk.

*[Inwendige](#def-b1-topology-closure).* Een punt van $\intoo{0}{1}$ heeft een heel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) binnen $A$: [inwendig](#def-b1-topology-closure). Het punt $1$: elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) eromheen lekt rechts van $1$, waar $A$ niets heeft tot $2$: niet [inwendig](#def-b1-topology-closure). Geen enkel punt van $\Q
\cap \intoo{2}{3}$ is [inwendig](#def-b1-topology-closure) (elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) bevat irrationale getallen, [Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density)); en het geïsoleerde punt $4$ evenmin. Dus is $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[Afsluiting](#def-b1-topology-closure).* Limieten van punten van $A$: heel $\intcc{0}{1}$ ($0 =
\lim \frac1n$ met $\frac 1n \in A$); heel $\intcc{2}{3}$ (elk reëel getal daar is een limiet van rationale getallen uit het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals), opnieuw de [dichtheid](#def-b1-topology-dense)); en $4$. Meer niet: een punt buiten $\intcc{0}{1} \cup
\intcc{2}{3} \cup \{4\}$ heeft positieve afstand tot die [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed). Dus is $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup
\{4\}$.

*[Rand](#def-b1-topology-closure).* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\}
\cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Het inzicht tot slot: de drie bewerkingen werken *lokaal* — elk stuk van $A$ draagt bij naar zijn eigen aard (een massief [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) behoudt zijn binnenkant, een dicht-maar-poreus stuk wordt volledig [rand](#def-b1-topology-closure), een geïsoleerd punt is zuivere [rand](#def-b1-topology-closure)) — en een tekening van $A$ van twee regels voorspelt elk antwoord voordat er ook maar één bewijs geschreven is.

**Opmerking 12.14 (Veelgemaakte fouten bij puntverzamelingen).**

(i) *“Niet [open](#def-b1-topology-open)” betekent niet “[gesloten](#def-b1-topology-closed)”*: de meeste [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn geen van beide ($\intoc{0}{1}$), en twee [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn allebei ($\emptyset$, $\R$) — [open](#def-b1-topology-open) en [gesloten](#def-b1-topology-closed) zijn geen tegengestelden maar duaal via het complement. (ii) *[Inwendige](#def-b1-topology-closure) en [afsluiting](#def-b1-topology-closure) commuteren niet*: voor $A = \Q$ is

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{terwijl}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

de twee samengestelde operatoren verschillen zoveel als [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) maar kunnen. (iii) *Oneindige verenigingen van [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed) kunnen niet [gesloten](#def-b1-topology-closed) zijn*: $\bigcup_{n\geq1}
\intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — het spiegelbeeld van het tegenvoorbeeld met doorsneden uit [Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (iv) *[Dicht](#def-b1-topology-dense) betekent niet groot*: $\Q$ ligt [dicht](#def-b1-topology-dense), is aftelbaar en heeft leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure), en haar complement ligt eveneens [dicht](#def-b1-topology-dense); [dichtheid](#def-b1-topology-dense) zegt “willekeurig dicht bij alles”, niet “bijna alles” — de [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) van de weekendopgave ([Probleem 12.1](#pb-b1-topology-1)) maakt het tegenovergestelde punt: een topologisch kleine [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) die overaftelbaar groot is.

**Voorbeeld 12.15 (Een exact berekende afsluiting).**

Zij $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (uit [Voorbeeld 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). Bewering:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ en $0 =
\lim_n \frac2n$: adherent wegens de karakterisering met rijen. ($\subseteq$) Zij $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; orden elk paar zó dat $m_k \leq n_k$. Is $(m_k)$ onbegrensd, dan heeft een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) $m_k \to \infty$, dus ook $n_k \to \infty$ en $x = 0$. Anders neemt $(m_k)$ eindig veel waarden aan, waarvan er één, zeg $m$, oneindig vaak voorkomt; langs die [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) gaat $\frac{1}{n_k} \to x -
\frac1m$: is $(n_k)$ begrensd, dan neemt ze een zekere waarde $n$ oneindig vaak aan en is $x = \frac1m + \frac1n \in G$; zo niet, dan is $x
= \frac1m$. Elk geval landt in de aangekondigde [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets). Het inzicht tot slot: een [afsluiting](#def-b1-topology-closure) berekenen is een gevalsonderzoek op de indices in compactheidsstijl — een begrensde index betekent eindig veel waarden (duivenhok), een onbegrensde index betekent een ontsnappende limiet — en het antwoord vertoont de typische structuur van limietpunten in twee lagen: de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets), haar limieten van de eerste generatie, en hun limiet $0$.

**Definitie 12.16 (Dichtheid, topologische vorm).**

$A$ heet *dicht* in $\R$ wanneer $\overline A = \R$ — equivalent: elk niet-leeg [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ontmoet $A$; equivalent (via [Propositie 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3)): elk reëel getal is een limiet van elementen van $A$. Voorbeelden: $\Q$, $\R \setminus \Q$, de dyadische getallen ([Oefening 10.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-8)), dichte [deelgroepen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-subgroup) ([Oefening 10.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-9)).

**Voorbeeld 12.17 (Dichtheid is relatief).**

“[Dicht](#def-b1-topology-dense)” zoals hier gedefinieerd betekent [dicht](#def-b1-topology-dense) *in $\R$*; een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) kan in plaats daarvan slechts in een deel van de rechte [dicht](#def-b1-topology-dense) liggen. De dyadische getallen van $\intcc{0}{1}$, dus $D \cap
\intcc{0}{1}$ ([Oefening 10.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-8)), ontmoeten elk [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) dat in $\intcc{0}{1}$ ligt, maar missen $\intoo{2}{3}$ natuurlijk volledig: ze liggen [dicht](#def-b1-topology-dense) *in* $\intcc{0}{1}$, wat betekent $\overline{D \cap
\intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. De algemene uitdrukking “$A$ ligt [dicht](#def-b1-topology-dense) in $B$” staat kort voor $B \subseteq \overline A$ — benoem altijd de omgevende [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets), want de eindpunten uit de weekendopgave liggen [dicht](#def-b1-topology-dense) *in de [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1)* terwijl ze nergens [dicht](#def-b1-topology-dense) liggen *in $\R$*: dezelfde [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets), twee waarheidsgetrouwe en tegengesteld klinkende beschrijvingen.

**Voorbeeld 12.18 (Met dichtheid omgaan).**

Drie snelle zetten die voortdurend terugkeren. *Vergroten*: ligt $A$ [dicht](#def-b1-topology-dense) en is $A \subseteq B$, dan ligt $B$ [dicht](#def-b1-topology-dense) (elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ontmoet $A$ al). *Vervoeren*: ligt $A$ [dicht](#def-b1-topology-dense), dan ook $\lambda A + \mu$ voor $\lambda \neq 0$ — een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $I$ ontmoet $\lambda A + \mu$ precies wanneer het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ ontmoet; zo liggen bijvoorbeeld de oneven veelvouden van $10^{-9}$ [dicht](#def-b1-topology-dense). *Doorsnijden faalt*: twee [dichte](#def-b1-topology-dense) [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) kunnen elkaar volledig missen ($\Q$ en $\R \setminus \Q$): [dichtheid](#def-b1-topology-dense) overleeft verenigingen en affiene [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map), nooit doorsneden.

## 12.3 Compactheid van segmenten

**Stelling 12.19 (Segmenten zijn rijencompact).**

Zij $a \leq b$. Elke rij punten van $\intcc{a}{b}$ heeft een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) die naar een punt *van* $\intcc{a}{b}$ convergeert.

Algemener zijn de deelverzamelingen van $\R$ met die eigenschap (elke rij heeft een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) die in de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) convergeert) precies de *[gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensde* [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets).

**Bewijs.** Een rij in $\intcc{a}{b}$ is begrensd, dus extraheert Bolzano–Weierstrass ([Stelling 11.16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-bw)) een convergente [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence); haar limiet blijft in $\intcc{a}{b}$ omdat segmenten [gesloten](#def-b1-topology-closed) zijn ([Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

Algemeen geval. *([Gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensd $\Rightarrow$ compact):* zij $F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensd, en $(u_n)$ een rij in $F$. De begrensdheid van $F$ begrenst de rij, dus extraheert Bolzano–Weierstrass een $u_{\varphi(n)} \to \ell$; en $\ell \in F$ omdat $F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is en de [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) een convergente rij punten van $F$ is ([Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): de twee hypothesen worden elk één keer verbruikt, de begrensdheid voor het bestaan van de limiet, de geslotenheid voor haar lidmaatschap. *(Compact $\Rightarrow$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensd):* is $F$ onbegrensd, kies dan $u_n \in F$ met $\abs{u_n} \geq n$; elke [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) is onbegrensd en dus divergent ([Propositie 11.4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#prop-b1-seq-first)): geen enkele convergente [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence). Is $F$ niet [gesloten](#def-b1-topology-closed), neem dan $u_n \in F$ met $u_n \to \ell \notin F$ ([Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): elke [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) convergeert naar $\ell
\notin F$, zodat geen enkele [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) *in* $F$ convergeert. ∎

**Voorbeeld 12.20 (Geneste compacte verzamelingen).**

Een eerste oefening op de stelling. Zij $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2
\supseteq \dots$ niet-lege compacte ([gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensde) deelverzamelingen van $\R$. Dan is $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. Kies immers voor elke $n$ een $x_n \in K_n$: de rij leeft in de compacte $K_0$, dus convergeert een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ naar een zekere $x$ ([Stelling 12.19](#thm-b1-topology-compact)). Voor elke vaste $m$ liggen de termen $x_{\varphi(n)}$ met $\varphi(n) \geq m$ alle in de [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed) $K_m$, zodat de limiet $x$ in $K_m$ ligt ([Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)); en omdat $m$ willekeurig was, is $x
\in \bigcap_n K_n$. Een nuttige metgezel: bevat een [open verzameling](#def-b1-topology-open) $U$ de doorsnede $\bigcap_n K_n$, dan is $U \supseteq K_n$ voor een zekere $n$ — pas hetzelfde argument toe op punten $x_n \in K_n \setminus U$; de limiet $x$ zou in $\bigcap K_n \subseteq U$ liggen, terwijl $U$ [open](#def-b1-topology-open) zijn afdwingt dat $x_{\varphi(n)} \in U$ voorbij een zekere rang, een tegenspraak. Beide [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) falen zonder compactheid: $\bigcap_n
\intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ en $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} =
\emptyset$. Het inzicht tot slot: de compactheid zet een oneindige keten beweringen over niet-leegheid om in één enkel limietpunt — ze is het gereedschap dat de overgang naar de oneindige doorsnede overleeft, en de weekendopgave ([Probleem 12.1](#pb-b1-topology-1)) zal er tweemaal op steunen.

![De eerste vier stadia van de constructie met middelste derden: elk segment van C_n verliest zijn open middelste derde, wat de 2n+1 segmenten van C_n+1 overlaat, met totale lengte (2/3)n+1. De Cantorverzameling C = _n C_n — het onderwerp van de weekendopgave — is het niet-lege compacte residu dat het argument met geneste compacte verzamelingen hierboven waarborgt: lengte nul, en toch overaftelbaar veel overlevende punten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*De eerste vier stadia van de constructie met middelste derden: elk segment van $C_n$ verliest zijn [open](#def-b1-topology-open) middelste derde, wat de $2^{n+1}$ segmenten van $C_{n+1}$ overlaat, met totale lengte $(\frac23)^{n+1}$. De [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — het onderwerp van de weekendopgave [Probleem 12.1](#pb-b1-topology-1) — is het niet-lege compacte residu dat het argument met geneste compacte [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) hierboven waarborgt: lengte nul, en toch overaftelbaar veel overlevende punten.*

**Opmerking 12.21.**

Dit is de motor achter de extremumstelling ([Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity)) en de stelling van Heine over de uniforme continuïteit. De naam “compact” krijgt zijn algemene definitie (met overdekkingen) in het tweede jaar; op $\R$ hebben we aan de rijencompactheid genoeg, en “compact $=$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) $+$ begrensd” is de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) om te onthouden.

**Voorbeeld 12.22 (Randen onder verenigingen).**

Steeds geldt $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$: een punt van $\partial(A \cup B)$ heeft elke [omgeving](#def-b1-topology-open) die $A \cup B$ ontmoet (dus $A$ of $B$, oneindig vaak een van beide) en die het complement van $A \cup B$ ontmoet, dat in beide complementen ligt — een korte controle legt het punt dan in $\partial A$ of $\partial B$. De inclusie kan spectaculair strikt zijn: met $A = \Q$ en $B =
\R\setminus\Q$ is

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

twee rafelige [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) kunnen tot één naadloze samensmelten, waarbij hun [randen](#def-b1-topology-closure) elkaar vernietigen. Het inzicht tot slot: [inwendigen](#def-b1-topology-closure) en [afsluitingen](#def-b1-topology-closure) gedragen zich *monotoon* onder verenigingen en doorsneden, [randen](#def-b1-topology-closure) niet — behandel $\partial$ als een afgeleide grootheid ($\overline A \setminus \mathring A$) en nooit als een operator met een eigen algebra.

**Opmerking 12.23 (Perspectieven binnen dit volume).**

Het hier opgebouwde vocabulaire wordt in dit boek nog tweemaal verbruikt. In [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity) is elke stelling een vermomde topologische [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement): de tussenwaardestelling zegt dat continue [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) de intervaleigenschap bewaren, de extremumstelling dat ze de compactheid bewaren — en de bewijzen roepen Stellingen [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) en [12.19](#thm-b1-topology-compact) bij naam aan. In [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) worden dezelfde definities in $\R^2$ herlezen met schijven in plaats van [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals): [open verzamelingen](#def-b1-topology-open), [afsluitingen](#def-b1-topology-closure) en compactheid gaan woord voor woord over, en de extremumstelling in twee variabelen rijdt opnieuw op Bolzano–Weierstrass (extraheer op elke coördinaat). Het ene begrip dat *niet* pijnloos veralgemeent is het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) zelf — in het vlak vervangt samenhang de convexiteit, een verhaal dat begint bij het “alleen $\emptyset$ en $\R$ zijn [open](#def-b1-topology-open) en [gesloten](#def-b1-topology-closed)” van [Oefening 12.9](#exo-b1-topology-9).

## 12.4 Oefeningen

**Oefening 12.1 ★.**

Zeg voor elke [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) of ze [open](#def-b1-topology-open), [gesloten](#def-b1-topology-closed), allebei of geen van beide is (met verantwoording): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$; $\;\intco{0}{1}$; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$; $\;\R \setminus \Z$; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$.

**Oplossing van Oefening 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [open](#def-b1-topology-open) (vereniging van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open)), niet [gesloten](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0$ ligt erbuiten).

$\intco{0}{1}$: geen van beide. Niet [open](#def-b1-topology-open) (geen [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond $0$ ligt erbinnen); niet [gesloten](#def-b1-topology-closed) ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [gesloten](#def-b1-topology-closed) (eindige vereniging van [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed)), niet [open](#def-b1-topology-open) (faalt in $0$).

$\R \setminus \Z$: [open](#def-b1-topology-open) ($\Z$ is [gesloten](#def-b1-topology-closed)), niet [gesloten](#def-b1-topology-closed): de rij $\bigl(\frac 1n\bigr)$ ligt erin, maar haar limiet $0$ behoort tot $\Z$ en ontsnapt dus aan de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: geen van beide. Niet [open](#def-b1-topology-open): elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond een rationaal getal bevat irrationale getallen. Niet [gesloten](#def-b1-topology-closed): ze bevat rijen die naar het irrationale $\frac{\sqrt 2}{2}$ gaan ([dichtheid](#def-b1-topology-dense)).

**Oefening 12.2 ★.**

Bepaal $\mathring A$, $\overline A$ en $\partial A$ voor: $A =
\intoc{0}{1} \cup \{2\}$; $\;A = \R \setminus \Q$; $\;A =
\bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**Oplossing van Oefening 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A
= \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: $\mathring A = \emptyset$ (elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) bevat rationale getallen), $\overline A = \R$ ([dichtheid](#def-b1-topology-dense) van de irrationale getallen), $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: de termen met even index gaan naar $1$, die met oneven index naar $-1$, en geen van beide behoort tot $A$. $\mathring A = \emptyset$ (geïsoleerde punten), $\overline A = A
\cup \{-1, 1\}$, $\partial A = \overline A$.

**Oefening 12.3 ★.**

Bewijs dat een [eindige verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card) [gesloten](#def-b1-topology-closed) is, eerst via complementen en daarna via de karakterisering met rijen.

**Oplossing van Oefening 12.3.**

*Complementen.* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: het complement is de vereniging van de [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ en $\intoo{a_k}{+\infty}$ — [open](#def-b1-topology-open) volgens [Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*Rijen.* Zij $u_n \in F$ met $u_n \to \ell$. Met $\varepsilon =
\min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (of een willekeurige $\varepsilon$ als $F$ een singleton is): voorbij een zekere rang liggen alle termen binnen $\varepsilon$ van $\ell$ en dus binnen $2\varepsilon$ van elkaar, wat afdwingt dat ze vanaf die rang één enkele $a_i$ zijn; dan is $\ell = a_i \in F$.

**Oefening 12.4 ★.**

Bewijs dat voor alle $A, B \subseteq \R$ geldt $\overline{A \cup B} =
\overline A \cup \overline B$. Toon met een voorbeeld aan dat $\overline{A \cap B}$ kan verschillen van $\overline A \cap \overline B$.

**Oplossing van Oefening 12.4.**

$\subseteq$: $\overline A \cup \overline B$ is [gesloten](#def-b1-topology-closed) (eindige vereniging) en bevat $A \cup B$, dus bevat ze de *kleinste* [gesloten](#def-b1-topology-closed) oververzameling $\overline{A \cup B}$. $\supseteq$: uit $A \subseteq A
\cup B$ volgt $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (de [afsluiting](#def-b1-topology-closure) is monotoon: adherente punten van $A$ zijn adherent aan de grotere [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets)), en analoog voor $B$.

Tegenvoorbeeld voor doorsneden: $A = \intoo{0}{1}$ en $B =
\intoo{1}{2}$: $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ terwijl $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**Oefening 12.5 ★★.**

Zij $u_n \to \ell$ in $\R$. Bewijs dat de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in \N\}
\cup \{\ell\}$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is (en dus compact als we erbij nemen dat ze begrensd is — wat ze is).

**Oplossing van Oefening 12.5.**

Gebruik de karakterisering met rijen ([Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). Zij $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ en $(v_k)$ een rij in $S$ met $v_k \to m$; toon $m \in S$ aan. Twee gevallen. Wordt een zekere waarde $v \in S$ oneindig vaak door $(v_k)$ aangenomen, dan geeft een constante [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) $m = v \in S$. Anders wordt elke waarde eindig vaak aangenomen; in het bijzonder verschijnt voor elke $n$ de term $u_n$ eindig vaak, en $\ell$ eveneens. Dan zijn er voor elke $N$ maar eindig veel indices $k$ met $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$: de overige $v_k$ zijn termen $u_n$ met $n > N$. Kies bij gegeven $\varepsilon > 0$ een $N$ met $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ voor $n
> N$: op eindig veel na voldoen alle $v_k$ aan $\abs{v_k - \ell} \leq
\varepsilon$. Dus $v_k \to \ell$, waaruit $m = \ell \in S$.

**Oefening 12.6 ★★.**

Zij $U$ [open](#def-b1-topology-open) en $A$ willekeurig. Bewijs dat $U + A = \{u + a\}$ [open](#def-b1-topology-open) is. Leid af dat de som van een [open verzameling](#def-b1-topology-open) en een willekeurige [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) [open](#def-b1-topology-open) is, en zet daar tegenover: geef twee *[gesloten](#def-b1-topology-closed)* [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) waarvan de som niet [gesloten](#def-b1-topology-closed) is. *(Probeer $\Z$ en $\sqrt 2\,\Z$, met [Oefening 10.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-9).)*

**Oplossing van Oefening 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, en elke verschuiving $U + a$ is [open](#def-b1-topology-open) (verschuif de intervalbewijsstukken). Een vereniging van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) is [open](#def-b1-topology-open) ([Propositie 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

[Gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed): $\Z$ en $\sqrt 2\,\Z$ zijn [gesloten](#def-b1-topology-closed) (als $\alpha\Z$: convergente rijen zijn uiteindelijk constant, vergelijk [Voorbeeld 12.8](#ex-b1-topology-closed)). Hun som $\Z + \sqrt 2\,\Z$ ligt [dicht](#def-b1-topology-dense) in $\R$ ([Oefening 10.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-9)) maar is niet $\R$ (ze is aftelbaar, of eenvoudiger: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$, want anders zou $\sqrt 2$ rationaal zijn — uit $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ volgt $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$, dus $\sqrt 2 \in \Q$ tenzij $n = \frac12$, wat onmogelijk is). Een [dichte](#def-b1-topology-dense) echte deelverzameling is niet [gesloten](#def-b1-topology-closed): haar [afsluiting](#def-b1-topology-closure) is $\R$ en dus niet zijzelf.

**Oefening 12.7 ★★.**

Een punt $x \in A$ heet *geïsoleerd* in $A$ wanneer een zekere [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ alleen in $x$ ontmoet. Bewijs dat elk punt van $\Z$ geïsoleerd is in $\Z$, dat in $A = \{\frac1n\}$ alle punten geïsoleerd zijn terwijl $\overline A \neq A$, en dat een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) waarvan alle punten geïsoleerd zijn een leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) heeft.

**Oplossing van Oefening 12.7.**

$\Z$: de [omgeving](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ van $n$ ontmoet $\Z$ alleen in $n$.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: rond $\frac 1n$ isoleert het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) met straal $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (bijvoorbeeld gehalveerd) het punt van zijn buren — alle punten zijn geïsoleerd. En toch is $0 \in \overline A \setminus A$: geïsoleerde punten beletten adherente buitenstaanders niet.

Zijn alle punten van $A$ geïsoleerd, dan is geen enkel punt van $A$ [inwendig](#def-b1-topology-closure), want een [inwendig](#def-b1-topology-closure) punt heeft een heel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $A$-buren om zich heen (een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) is oneindig), in tegenspraak met de isolatie. Dus is $\mathring A = \emptyset$.

**Oefening 12.8 ★★.**

Bewijs dat de [afsluiting](#def-b1-topology-closure) van een begrensde [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) begrensd is, en dat $\sup \overline A = \sup A$ voor niet-lege naar boven begrensde $A$. Leid af dat $\sup A \in \overline A$: het [supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) is altijd adherent.

**Oplossing van Oefening 12.8.**

Is $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, dan bevat de [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ en dus ook $\overline A$ (de kleinste [gesloten](#def-b1-topology-closed) oververzameling): $\overline A$ is begrensd.

Zij $s = \sup A$ (eindig). Omdat $A \subseteq \overline A$, is $\sup
\overline A \geq s$. Omgekeerd is $\overline A \subseteq
\intoc{-\infty}{s}$: die halfrechte is [gesloten](#def-b1-topology-closed) en bevat $A$; dus is elk element van $\overline A$ hoogstens $s$, waaruit $\sup\overline A \leq
s$. Gelijkheid.

$s \in \overline A$: volgens de $\varepsilon$-karakterisering ([Propositie 10.4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-epsilon)) bevat elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s -
\varepsilon}{s + \varepsilon}$ een element van $A$: $s$ is adherent.

**Oefening 12.9 ★★★.**

Bewijs dat de enige deelverzamelingen van $\R$ die zowel [open](#def-b1-topology-open) als [gesloten](#def-b1-topology-closed) zijn $\emptyset$ en $\R$ zijn. *Aanwijzing: stel dat $A$ [open](#def-b1-topology-open) en [gesloten](#def-b1-topology-closed) is met $A \neq \emptyset$ en $\R \setminus A \neq
\emptyset$; kies $a \in A$ en $b \notin A$, zeg $a < b$, en beschouw $s =
\sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$; beslis of $s$ tot $A$ of tot haar complement kan behoren.*

**Oplossing van Oefening 12.9.**

Stel dat $A$ [open](#def-b1-topology-open) en [gesloten](#def-b1-topology-closed) is, met $a \in A$ en $b \in \R \setminus
A$; zonder verlies van algemeenheid $a < b$. De [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $B = A \cap
\intcc{a}{b}$ is niet-leeg ($a$) en begrensd: zij $s = \sup B$. Volgens [Oefening 12.8](#exo-b1-topology-8) is $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ($A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed)). Merk op dat $s \leq b$, en omdat $b \notin A$ is zelfs $s
< b$. Nu is $A$ [open](#def-b1-topology-open): een zeker [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s + r}$ ligt in $A$, en we mogen $r < b - s$ nemen. Dan behoort $s + \frac{r}{2}$ tot $A
\cap \intcc{a}{b} = B$ en overtreft het $s$ — in tegenspraak met $s =
\sup B$. Zo’n paar $(a, b)$ bestaat dus niet: een van $A$ en $\R
\setminus A$ is leeg.

**Oefening 12.10 ★★★.**

(Structuur van de [open verzamelingen](#def-b1-topology-open)) Zij $U \subseteq \R$ [open](#def-b1-topology-open) en niet-leeg. Zij voor $x \in U$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $I_x$ de vereniging van alle [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) die $x$ bevatten en in $U$ liggen. Bewijs dat $I_x$ een [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) is, dat twee [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $I_x, I_y$ gelijk of disjunct zijn, en dat $U$ een vereniging van *aftelbaar veel* twee aan twee disjuncte [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) is *(kies in elk een rationaal getal)*.

**Oplossing van Oefening 12.10.**

$I_x$ is een vereniging van [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) die alle $x$ bevatten: ze is [open](#def-b1-topology-open), en ze is een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) omdat ze convex is — is $u < z < v$ met $u,
v \in I_x$, dan liggen $u$ en $v$ in [open](#def-b1-topology-open) deelintervallen $J_u \ni x$ en $J_v \ni x$ van $U$, en $J_u \cup J_v$ is een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) (beide bevatten $x$) binnen $U$ dat $z$ bevat; dus $z \in I_x$ ([Propositie 10.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)).

Is $I_x \cap I_y \neq \emptyset$, dan is $I_x \cup I_y$ een [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) (convex: twee overlappende [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)) bevat in $U$ dat $x$ en $y$ bevat, dus $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ en $\subseteq I_y$ wegens de maximaliteit van elk: $I_x = I_y$.

Dus is $U$ de disjuncte vereniging van de verschillende [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $I_x$ (elke $x \in U$ ligt in haar eigen $I_x$). Aftelbaarheid: elk niet-leeg [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $I$ van de familie bevat een rationaal getal $q_I$ ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density)), en verschillende disjuncte [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) krijgen verschillende rationale getallen: de familie injecteert in $\Q$, dat aftelbaar is (het wordt door paren gehele getallen geïndexeerd). Er zijn dus hoogstens aftelbaar veel [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals).

**Oefening 12.11 ★★.**

Een punt $x \in \R$ heet een *ophopingspunt* van $A$ wanneer elke [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A \setminus \{x\}$ ontmoet; hun [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) is de *afgeleide [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets)* $A'$. Bewijs dat $\overline A = A \cup A'$, en dat $A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is dan en slechts dan als $A' \subseteq A$. Bepaal $A'$ voor $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$, voor $A = \Z$ en voor $A = \Q$.

**Oplossing van Oefening 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) Steeds is $A \subseteq \overline
A$; en is $x \in A'$, dan ontmoet elke [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A
\setminus \{x\} \subseteq A$, dus is $x$ adherent. ($\subseteq$) Zij $x
\in \overline A$. Is $x \in A$, dan zijn we klaar. Is $x \notin A$, dan ontmoet elke [omgeving](#def-b1-topology-open) van $x$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A = A \setminus \{x\}$: $x
\in A'$.

Bijgevolg is $A$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A'
\subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$: $0$ is een ophopingspunt ($\frac 1n \to 0$, met termen $\neq 0$); elke $\frac 1n$ is geïsoleerd ([Oefening 12.7](#exo-b1-topology-7)) en dus niet in $A'$; en een punt $x \notin A
\cup \{0\}$ heeft een heel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) dat $A$ mijdt (tussen zijn twee buren in $A \cup \{0\}$, of voorbij $1$). Dus $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$: elk geheel getal is geïsoleerd, en elk niet-geheel getal heeft een [omgeving](#def-b1-topology-open) binnen $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$: elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond een willekeurig reëel getal bevat oneindig veel rationale getallen ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density)), in het bijzonder één dat van het middelpunt verschilt.

**Oefening 12.12 ★★★.**

Definieer voor niet-lege $A \subseteq \R$ de functie $d_A(x) =
\inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$. Bewijs:

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ voor alle $x, y$ ( $d_A$ is $1$ -lipschitz);
2. $d_A(x) = 0$ dan en slechts dan als $x \in \overline A$ ; in het bijzonder is $d_F(x) > 0$ wanneer $F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is en $x \notin  F$ ;
3. voor elke $\varepsilon > 0$ is de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ [open](#def-b1-topology-open) , bevat ze $F$ , en is $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ voor [gesloten](#def-b1-topology-closed) $F$ : elke [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed) is een aftelbare doorsnede van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) .

**Oplossing van Oefening 12.12.**

1. Voor elke $a \in A$ is $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y -  a}$ , dus $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; het [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) over $a$ nemen geeft $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ . $x$ en $y$ verwisselen geeft de andere ongelijkheid: $\abs{d_A(x) -  d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ er is voor elke $\varepsilon > 0$ een $a \in  A$ met $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) rond $x$ ontmoet $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Is $F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) en $x  \notin F = \overline F$ , dan is $d_F(x) \neq 0$ , dus $d_F(x) >  0$ .
3. Is $d_F(x) < \varepsilon$ , zet dan $r = \varepsilon - d_F(x) >  0$ : voor $\abs{y - x} < r$ geeft onderdeel (1) dat $d_F(y) \leq  d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x -  r}{x + r}$ ligt in $V_\varepsilon$ , die dus [open](#def-b1-topology-open) is; en ze bevat $F$ omdat $d_F$ daar nul is. Ten slotte is $x \in  \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) <  \varepsilon$ voor alle $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Omdat $\bigcap_{\varepsilon > 0}  V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , is elke [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed) een aftelbare doorsnede van [open verzamelingen](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 Opgave: de Cantorverzameling, klein en reusachtig tegelijk

**Probleem 12.1.**

Weekendopgave — de [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) van de middelste derden: lengte nul, overaftelbaar, perfect, en $C + C = \intcc{0}{2}$

Verwijder uit $\intcc{0}{1}$ het [open](#def-b1-topology-open) middelste derde, dan het middelste derde van elk overblijvend segment, en herhaal dat eeuwig: wat overleeft is de *[Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1)* $C$, de fundamentele tegenvoorbeeldenfabriek van de analyse. Deze opgave bouwt haar op, leest haar door de machinerie van grondtal $3$ uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1), en stelt haar paradoxale portret vast: totale lengte nul en toch overaftelbaar; leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) en toch geen enkel geïsoleerd punt; totaal onsamenhangend en toch vult $C + C$ het hele segment $\intcc{0}{2}$. Formeel: $C_0 = \intcc{0}{1}$, en $C_{n+1}$ ontstaat uit $C_n$ door uit elk segment van $C_n$ het [open](#def-b1-topology-open) middelste derde te verwijderen; ten slotte is $C = \bigcap_{n \geq 0}
C_n$. Overal is een *ternaire code* van $x \in \intcc{0}{1}$ elke cijferrij $(d_k)_{k\geq1}$ met $d_k \in \{0, 1, 2\}$ waarvan de waarde $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ gelijk is aan $x$ — oneigenlijke codes (uiteindelijk $2$) zijn toegestaan; volgens [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) (vragen 9–11) heeft elke $x \in \intcc{0}{1}$ één of twee codes, en twee precies wanneer $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$.

**Deel I — De constructie.**

1. Beschrijf $C_1$ en $C_2$ expliciet als verenigingen van segmenten, en bewijs met inductie: $C_n$ is een disjuncte vereniging van $2^n$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) segmenten, elk van lengte $3^{-n}$ .
2. Toon aan dat $C$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensd — dus compact ( [Stelling 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — en niet-leeg is, en dat elk eindpunt van elk segment van elke $C_n$ tot $C$ behoort.
3. De totale lengte van $C_n$ is $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Leid af dat $C$ voor elke $\varepsilon > 0$ door eindig veel segmenten met totale lengte $\leq \varepsilon$ overdekt kan worden: de [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) heeft *lengte nul* .
4. Toon aan dat een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) bevat in $C$ voor elke $n$ lengte $\leq 3^{-n}$ heeft en dus een singleton of leeg is: $\mathring  C = \emptyset$ . [Gesloten](#def-b1-topology-closed) met leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) betekent dat $C$ *nergens [dicht](#def-b1-topology-dense)* is.

**Deel II — De ternaire code.**

5. Bewijs de recursie van de zelfgelijkvormigheid $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{en dus}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ waarbij de twee stukken disjunct zijn: $C$ bestaat uit twee kopieën van zichzelf op schaal $\frac13$.
6. Bewijs met inductie naar $n$ : $x \in C_n$ dan en slechts dan als $x$ een ternaire code heeft waarvan de eerste $n$ cijfers in $\{0, 2\}$ liggen. Leid daaruit, met het feit dat $x$ hoogstens twee codes heeft, af: $x \in C$ dan en slechts dan als $x$ een code heeft *zonder enig cijfer $1$* (een *$1$-vrije* code).
7. Codes in actie: geef $1$ -vrije codes voor $0$ , $1$ , $\frac13$ en $\frac23$ ; toon aan dat $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ en $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , zodat beide tot $C$ behoren; en ga na dat $\frac14$ *geen* eindpunt van enige $C_n$ is (eindpunten hebben de vorm $m/3^n$ ).
8. Toon aan dat elke $x \in C$ *precies één* $1$ -vrije code heeft *(bewijs dat, wanneer $x$ twee codes heeft, precies één van beide het cijfer $1$ bevat)* . Besluit: de waardeafbeelding is een bijectie van de rijen over $\{0,2\}$ op $C$ .
9. (Diagonaal) Zij $k \mapsto x_k$ een willekeurige [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\N^*  \to C$ . Bouw een rij over $\{0, 2\}$ die op index $k$ van de code van $x_k$ verschilt, en besluit dat $C$ overaftelbaar is — terwijl vraag 3 daarentegen zegt dat ze metrisch verwaarloosbaar is.

**Deel III — Topologisch portret.**

10. Maak de balans op: $C$ is compact, overaftelbaar, van lengte nul, nergens [dicht](#def-b1-topology-dense) . Welke ene insluiting $C \subseteq C_n$ draagt elk van die eigenschappen?
11. ( $C$ is perfect) Zij $x \in C$ met $1$ -vrije code $(d_k)$ . Het cijfer $d_n$ omklappen ( $0 \leftrightarrow 2$ ) levert een $x_n  \in C$ met $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . Besluit dat $C$ geen enkel geïsoleerd punt heeft: elk punt van $C$ is een limiet van *andere* punten van $C$ .
12. Toon aan dat de eindpunten uit vraag 2 een aftelbare [dichte](#def-b1-topology-dense) deelverzameling van $C$ vormen *(knot de code na $n$ cijfers af en ga verder met nullen; de aftelbaarheid als in [Oefening 12.10](#exo-b1-topology-10))* . Besluit: het typische punt van $C$ — zoals $\frac14$ — is *geen* eindpunt: de eindpunten vormen een aftelbaar skelet binnen een overaftelbaar [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) .
13. (Totaal onsamenhangend) Zij $x < y$ in $C$ . Kies $n$ met $3^{-n}  < y - x$ en lever een punt $z \in \intoo{x}{y}$ met $z \notin  C$ . Besluit dat de enige niet-lege [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) bevat in $C$ de singletons zijn.

**Deel IV — Rekenkunde van $C$.**

14. Toon aan dat $1 - C = C$ *(wat doet $x \mapsto 1 - x$ met een $1$-vrije code? denk aan $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
15. (Codes optellen) Toon aan dat, hebben $x$ en $x'$ de codes $(a_k)$ en $(b_k)$ , dan $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ met $t_n, t'_n$ de partiële sommen. Leid af: elke $y \in  \intcc{0}{1}$ is het *midden* van twee punten van $C$ — kies bij een code $(e_k)$ van $y$ cijfers $a_k, b_k \in \{0,  2\}$ met $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
16. Besluit $C + C = \intcc{0}{2}$ en, met vraag 14, $C - C =  \intcc{-1}{1}$ . Een concreet geval: schrijf $1$ als een som van de twee punten die in vraag 7 gevonden werden en die geen eindpunten zijn.
17. Bezin je: een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van lengte nul waarvan de verschilverzameling $\intcc{-1}{1}$ vult. Waarom is er geen tegenspraak tussen “ $C$ is metrisch verwaarloosbaar” en “ $C +  C$ heeft volle lengte”? (Eén zin; denk na over wat lengte wel en niet beheerst.)

**Deel V — Leden, rationaal en irrationaal.**

18. Combineer vraag 8 met het periodiciteitscriterium uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) : een punt van $C$ is rationaal dan en slechts dan als zijn $1$ -vrije code uiteindelijk periodiek is. Voer de staartdeling in grondtal $3$ uit om na te gaan dat $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
19. Lever een expliciet *irrationaal* lid van $C$ : de waarde van de code met $d_k = 2$ op de driehoeksposities $k =  \frac{j(j+1)}{2}$ en $d_k = 0$ elders. Verantwoord de irrationaliteit met het argument van de groeiende gaten uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) (vraag 20).
20. (Op een heel segment) Beschouw $h$ , die het punt van $C$ met $1$ -vrije code $(d_k)$ afbeeldt op de waarde van de *binaire* rij $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , dus $h(x) = \sup_n  \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Toon aan dat $h$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $C$ *op* $\intcc{0}{1}$ afbeeldt. De verwaarloosbare $C$ is dus [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) op een segment van volle lengte — een tweede bewijs dat $C$ overaftelbaar is.
21. (Zelfgelijkvormige lengte) Stel dat er een lengtebegrip $L$ voor $C$ en haar gekrompen kopieën gedefinieerd zou zijn, verenigbaar met schaling ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), invariant onder translatie, en additief over de disjuncte ontbinding uit vraag 5. Toon aan dat dan $L(C) = \frac23\,L(C)$ , wat $L(C) = 0$ afdwingt: de zelfgelijkvormigheid alleen al veroordeelt $C$ tot lengte nul.

**Deel VI — Een dikke neef, en de moraal.**

22. (Dikke [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) ) Herhaal de constructie, maar verwijder in stadium $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) uit elk van de $2^n$ huidige segmenten slechts een centraal [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) van lengte $4^{-(n+1)}$ . Toon aan dat de segmentlengtes $l_n$ voldoen aan $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ en $l_n = \frac{2^n +  1}{2\cdot 4^n} > 0$ , dat de resulterende $K = \bigcap K_n$ compact is met leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) , en dat de totale verwijderde lengte $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ bedraagt. Neem de (intuïtieve, in bachelorjaar 3 bewezen) additiviteit van de lengte voor eindige verenigingen van [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) aan, en toon met beide [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) van [Voorbeeld 12.20](#ex-b1-topology-nested) aan dat elke eindige familie [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) die $K$ overdekt een totale lengte $\geq \frac12$ heeft: $K$ is nergens [dicht](#def-b1-topology-dense) maar *niet* verwaarloosbaar. Kleinheid heeft verscheidene niet-equivalente betekenissen.
23. (Afstanden) Toon aan dat voor een niet-lege [gesloten](#def-b1-topology-closed) $F  \subseteq \R$ en $x \in \R$ het [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ *bereikt* wordt *(een minimaliserende rij plus Bolzano–Weierstrass)*. Bereken vervolgens $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ precies bereikt in het middelpunt $y = \frac12$ *(een punt van een gat dat in stadium $n$ ontstaat ligt binnen $\frac{3^{-n}}{2}$ van de eindpunten van dat gat, die in $C$ liggen)*.
24. (Elk punt een deelrijlimiet) Lever met de vragen 12 en 2 één enkele rij in $C$ waarvan de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) deelrijlimieten *heel* $C$ is. (Vergelijk: voor een convergente rij is die [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) één punt — $C$ verwezenlijkt het andere uiterste onder de compacte [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) .)
25. Synthese, één zin per onderdeel: (i) welke stellingen van dit hoofdstuk verbruikte de constructie werkelijk (stabiliteit van [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed) , compactheid, karakteriseringen met rijen)? (ii) som de vier paradoxale paren van het portret op (lengte nul / overaftelbaar, [gesloten](#def-b1-topology-closed) / leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) , perfect / totaal onsamenhangend, verwaarloosbaar / $C+C$ vol); (iii) waar duikt $C$ later weer op (de duivelstrap gebouwd op $h$ in de theorie van de continuïteit, en de maattheorie van het volume van bachelorjaar 3, waar $C$ “aftelbaar” van “verwaarloosbaar” scheidt)?

**Oplossing van Probleem 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ en

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

Inductie: is $C_n$ een disjuncte vereniging van $2^n$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) segmenten van lengte $3^{-n}$, dan laat het verwijderen van het [open](#def-b1-topology-open) middelste derde uit elk segment per ouder twee [gesloten](#def-b1-topology-closed) segmenten van lengte $3^{-n-1}$ over: $2^{n+1}$ segmenten, twee aan twee disjunct (kinderen van verschillende ouders zijn gescheiden omdat de ouders dat waren; kinderen van één ouder zijn gescheiden door het verwijderde gat).

**2.** Elke $C_n$ is een eindige vereniging van segmenten en dus [gesloten](#def-b1-topology-closed); $C = \bigcap C_n$ is een doorsnede van [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed): [gesloten](#def-b1-topology-closed) ([Definitie 12.5](#def-b1-topology-closed)); begrensd ($\subseteq
\intcc{0}{1}$): compact volgens [Stelling 12.19](#thm-b1-topology-compact). Niet-leeg: $0$ ligt in het meest linkse segment van elke $C_n$. Zij $a$ een eindpunt van een segment $S$ van $C_n$. Voor $m \leq n$ is $a \in C_n
\subseteq C_m$. Voor de latere stadia: het verwijderen van het middelste derde haalt nooit een eindpunt weg, en $a$ is opnieuw een eindpunt van een van de twee kinderen van $S$ (dat aan $a$ raakt); met inductie is $a
\in C_m$ voor alle $m \geq n$: $a \in C$.

**3.** Totale lengte van $C_n$: $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to
0$. Kies bij gegeven $\varepsilon > 0$ een $n$ met $(\frac23)^n \leq
\varepsilon$: dan is $C \subseteq C_n$, een vereniging van eindig veel segmenten met totale lengte $\leq \varepsilon$.

**4.** Zij $I \subseteq C$ een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) met twee verschillende punten. Voor elke $n$ is $I \subseteq C_n$, en $I$ moet, convex zijnde, binnen één *enkel* segment van $C_n$ liggen (twee segmenten ontmoeten zou $I$ dwingen een punt van het gat ertussen te bevatten, dat buiten $C_n$ ligt). De lengte van $I$ is dus $\leq 3^{-n}$ voor elke $n$: tegenspraak. De enige [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) binnen $C$ zijn dus leeg of singletons; in het bijzonder past geen enkele $\intoo{x-r}{x+r}$ binnen $C$: $\mathring C = \emptyset$. Omdat $C$ [gesloten](#def-b1-topology-closed) is, heeft $\overline C = C$ een leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure): $C$ is nergens [dicht](#def-b1-topology-dense).

**5.** Schrijf $\varphi_0(x) = \frac x3$ en $\varphi_2(x) = \frac{2
+ x}{3}$, stijgende affiene bijecties van $\intcc{0}{1}$ op $\intcc{0}{\frac13}$ en $\intcc{\frac23}{1}$. Bewering: $C_{n+1} =
\varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. Voor $n = 0$ is dat vraag 1. Inductie: een stijgende affiene [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) stuurt het middelste derde van een segment naar het middelste derde van het beeldsegment, zodat het verwijderen van middelste derden met $\varphi_0$ en $\varphi_2$ verwisselt; de verwijderingsstap toepassen op $C_{n+1} = \varphi_0(C_n)
\cup \varphi_2(C_n)$ levert $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup
\varphi_2(C_{n+1})$. Doorsnijden over $n$: voor $x \leq \frac13$ is $x
\in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ voor alle $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n =
C$; analoog op $\intcc{\frac23}{1}$; en geen punt van $\intoo{\frac13}{\frac23}$ ligt in $C_1$. Bijgevolg is $C = \varphi_0(C)
\cup \varphi_2(C)$, disjunct.

**6.** Inductie naar $n$; het geval $n = 0$ zegt dat elke $x \in
\intcc{0}{1}$ een code heeft, wat [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) is (vraag 9 voor $x < 1$; en $1 = (0.\overline 2)_3$). Neem de equivalentie op rang $n$ aan. Is $x \in C_{n+1}$, dan is volgens vraag 5 $x = \varphi_i(z)$ met $z
\in C_n$ en $i \in \{0, 2\}$; is $(e_k)$ een code van $z$ waarvan de eerste $n$ cijfers $1$-vrij zijn, dan heeft $(i, e_1, e_2, \dots)$ als partiële sommen $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to
\varphi_i(z) = x$: een code van $x$ waarvan de eerste $n + 1$ cijfers $1$-vrij zijn. Omgekeerd, heeft $x$ een code $(d_k)$ met $d_1, \dots,
d_{n+1} \in \{0, 2\}$, dan heeft de verschoven rij $(d_2, d_3, \dots)$ een zekere waarde $z \in \intcc{0}{1}$ waarvan de eerste $n$ cijfers $1$-vrij zijn, en de berekening van de partiële sommen achterstevoren gelezen geeft $x = \varphi_{d_1}(z)$; met de inductie is $z \in C_n$, dus $x \in C_{n+1}$ wegens vraag 5. Ten slotte: een volledig $1$-vrije code legt $x$ in elke $C_n$ en dus in $C$; omgekeerd, is $x \in C$, dan heeft voor elke $n$ een van de hoogstens twee codes van $x$ ([Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1), vraag 11) haar eerste $n$ cijfers $1$-vrij; één vaste code moet dat voor willekeurig grote $n$ doen (duivenhok tussen twee codes), en een code waarvan de eerste $n$ cijfers $1$-vrij zijn voor willekeurig grote $n$ is ronduit $1$-vrij.

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 =
(0.0\overline{2})_3$ (de oneigenlijke tweeling van $(0.1)_3$) en $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. Meetkundige sommen:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

beide $1$-vrij: $\frac14, \frac34 \in C$. (De oneindige sommen staan kort voor [suprema](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) van partiële sommen, als in [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1).) De eindpunten van segmenten van $C_n$ hebben de vorm $m/3^n$ (inductie: de eindpunten van kinderen zijn eindpunten van de ouder of verschillen er een veelvoud van $3^{-n-1}$ van). Was $\frac14 = \frac{m}{3^n}$, dan zou $3^n = 4m$, en $4 \nmid 3^n$: onmogelijk. Dus ligt $\frac14$ in $C$ zonder ooit een eindpunt te zijn.

**8.** Stel dat $x$ twee verschillende $1$-vrije codes had. Überhaupt twee codes hebben betekent ([Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1), vraag 11, in grondtal $3$) dat $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ en dat de twee codes de afbrekende zijn, met laatste cijfer $d_N \in \{1, 2\}$ ongelijk aan nul gevolgd door nullen, en haar tweeling, met $d_N - 1$ op positie $N$ gevolgd door tweeën. Is $d_N = 1$, dan bevat de eerste een $1$; is $d_N =
2$, dan draagt de tweeling $d_N - 1 = 1$. In beide gevallen is hoogstens één van het paar $1$-vrij: tegenspraak. Elke $x \in C$ heeft dus precies één $1$-vrije code (het bestaan volgt uit vraag 6), en verschillende rijen over $\{0,2\}$ hebben verschillende waarden. Elke rij over $\{0,2\}$ heeft een waarde in $\intcc{0}{1}$ (partiële sommen $\leq 1$) waarvan alle beginstukken $1$-vrij zijn, dus een waarde in elke $C_n$, dat wil zeggen in $C$: de waardeafbeelding is een bijectie van de rijen over $\{0,2\}$ op $C$.

**9.** Zij $(d^{(k)})$ de $1$-vrije code van $x_k$ en zet $e_k = 2 -
d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$: een rij over $\{0,2\}$ waarvan de waarde $y$ in $C$ ligt met $(e_k)$ als unieke $1$-vrije code (vraag 8). Voor elke $k$ verschillen de codes van $y$ en $x_k$ op positie $k$, dus $y \neq x_k$: geen enkele [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ is [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). Een overaftelbare [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van lengte nul: groot in [kardinaliteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card) en klein in maat, tegelijk.

**10.** Compactheid: de geslotenheid van de oneindige doorsnede plus de begrensdheid (vraag 2) — de ene eigenschap die niet door één insluiting gedragen wordt. Lengte nul: $C \subseteq C_n$ met totale lengte $(\frac23)^n$ (vraag 3). Nergens [dicht](#def-b1-topology-dense): $C \subseteq C_n$ dwingt [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) binnen $C$ tot lengte $\leq 3^{-n}$ (vraag 4). De overaftelbaarheid rijdt op geen enkele insluiting: ze heeft de volledige doorsnedestructuur nodig, gecodeerd in de bijectie van vraag 8.

**11.** Klap $d_n$ om tot $2 - d_n$: de nieuwe rij is nog steeds een rij over $\{0,2\}$, dus ligt haar waarde $x_n$ in $C$; de partiële sommen voorbij rang $n$ verschillen precies $2\cdot3^{-n}$, dus $\abs{x_n - x} =
2\cdot3^{-n}$. Bijgevolg is $x_n \neq x$ en $x_n \to x$: elk punt van $C$ is een limiet van andere punten van $C$ — $C$ is *perfect*, zonder geïsoleerd punt.

**12.** Wegens de inductie van vraag 5 zijn de segmenten van $C_n$ precies de $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$, waarbij $t$ de waarden van rijen over $\{0,2\}$ van lengte $n$ doorloopt. Is $x \in C$ met code $(d_k)$, dan is de afknotting $t_n$ (de cijfers $d_1 \dots d_n$, dan nullen) dus een linkereindpunt, met $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$: de eindpunten liggen [dicht](#def-b1-topology-dense) in $C$. Ze vormen een deelverzameling van $\{m/3^n : m, n\}$, een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) geïndexeerd door paren gehele getallen, en dus aftelbaar (zoals voor $\Q$ in [Oefening 12.10](#exo-b1-topology-10)). Omdat $C$ overaftelbaar is (vraag 9), zijn op aftelbaar veel na alle punten van $C$ geen eindpunt — $\frac14$ (vraag 7) is de zichtbare top van die ijsberg.

**13.** Kies $n$ met $3^{-n} < y - x$. Beide punten $x, y$ liggen in $C_n$, en ze kunnen niet in hetzelfde segment liggen (lengte $3^{-n} < y
- x$): het verwijderde gat tussen hun segmenten levert een $z$ met $x < z
< y$ en $z \notin C_n \supseteq C$. Elke twee punten van $C$ worden dus door het complement gescheiden: de enige convexe deelverzamelingen van $C$ zijn de singletons — $C$ is totaal onsamenhangend.

**14.** Is $(d_k)$ de $1$-vrije code van $x$, dan is de rij $(2 -
d_k)$ opnieuw een rij over $\{0,2\}$, met partiële sommen

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

dus $1 - x \in C$. Bijgevolg is $1 - C \subseteq C$, en de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) tweemaal toepassen geeft $1 - C = C$: de [Cantorverzameling](#pb-b1-topology-1) is symmetrisch om $\frac12$.

**15.** De partiële sommen $t_n \to x$ en $t'_n \to x'$ (stijgende rijen convergeren naar hun [supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds), dus naar de waarde), zodat $t_n +
t'_n \to x + x'$ volgens [Stelling 11.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-operations). Kies bij gegeven $y \in \intcc{0}{1}$ met code $(e_k)$ het paar $(a_k, b_k) = (0,0),
(0,2), (2,2)$ naargelang $e_k = 0, 1, 2$: dan is $a_k + b_k = 2e_k$, de rijen $(a_k)$ en $(b_k)$ zijn rijen over $\{0,2\}$ met waarden $x, x' \in
C$, en

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

elke $y \in \intcc{0}{1}$ is het midden van twee punten van $C$.

**16.** Vraag 15 geeft $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C +
C$, en $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$: gelijkheid. Vervolgens, met $1 - C = C$:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

Een concreet geval: $1 = \frac14 + \frac34$, een som van twee leden van $C$ die geen eindpunt zijn.

**17.** Lengte meet hoeveel van de rechte de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zelf inneemt; ze zegt niets over de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) *sommen*, die het beeld is van de familie met twee parameters $C \times C$ onder $(x, x') \mapsto
x + x'$ — de twee cijferrijen worden onafhankelijk gekozen, en precies die vrijheid vult $\intcc{0}{2}$. Geen enkele stelling begrenst de lengte van een somverzameling met de lengtes van de summanden, en $C$ is het bewijs dat geen enkele dat kan.

**18.** Volgens [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) (vraag 18) is $x$ rationaal precies wanneer haar eigenlijke ontwikkeling uiteindelijk periodiek is. De $1$-vrije code van $x \in C$ is ofwel die eigenlijke ontwikkeling ofwel de oneigenlijke tweeling van een afbrekende; een afbrekende rij en haar tweeling (uiteindelijk constant $2$) zijn beide uiteindelijk periodiek, zodat de periodiciteit van de $1$-vrije code equivalent is met de rationaliteit van $x$. Staartdeling van $\frac1{13}$ in grondtal $3$ ($r_0 = 1$): $3 = 13\cdot0 + 3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 = 13\cdot2 + 1$, en de rest keert terug naar $1$: cijfers $\overline{002}$, dus $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$, $1$-vrij en periodiek: een rationaal lid van $C$. (Controle: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} =
\frac1{13}$.)

**19.** De rij met $d_k = 2$ op de driehoeksposities $k =
\frac{j(j+1)}{2}$ en $0$ elders is een rij over $\{0,2\}$, zodat haar waarde $x^*$ tot $C$ behoort (vraag 8). Ze heeft oneindig veel tweeën met gaten $j + 1 \to \infty$ tussen opeenvolgende, dus is ze niet uiteindelijk periodiek (een periode $T$ zou uiteindelijk tweeën met gaten $\leq T$ afdwingen: het argument van de groeiende gaten uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1), vraag 20); volgens vraag 18 is $x^* \notin \Q$. En volgens vraag 9 plus de aftelbaarheid van $\Q$ zijn op aftelbaar veel na alle leden van $C$ irrationaal: $x^*$ is de regel, niet de uitzondering.

**20.** Zij $y \in \intcc{0}{1}$: ze heeft een binaire code $(c_k)$ met $c_k \in \{0, 1\}$ ([Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1), vraag 9, in grondtal $2$; $y = 1$ neemt de rij van louter enen). Dan is $(2c_k)$ een rij over $\{0,2\}$, ligt haar waarde $x$ in $C$, en is $h(x)$ de waarde van $(c_k)$, namelijk $y$: $h$ beeldt $C$ op $\intcc{0}{1}$ af. Was $C$ het beeld van een [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) vanuit $\N^*$, dan zou samenstellen met $h$ heel $\intco{0}{1}$ opsommen, in tegenspraak met de diagonaalstelling uit [Probleem 10.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#pb-b1-reals-1) (vraag 22): $C$ is opnieuw overaftelbaar. Een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van lengte nul die [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is op een heel segment.

**21.** Volgens vraag 5 is $C$ de disjuncte vereniging van $\varphi_0(C)$ en $\varphi_2(C)$, elk een verschuiving van de geschaalde kopie $\frac13 C$. Additiviteit, schaling en translatie-invariantie geven

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

dus $\frac13 L(C) = 0$: $L(C) = 0$. De zelfgelijkvormigheid alleen al veroordeelt $C$ tot lengte nul — vraag 3 voltrok slechts het vonnis.

**22.** Een segment van lengte $l_n$ verliest een centraal [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) van lengte $4^{-(n+1)}$ en laat twee segmenten van lengte $l_{n+1} =
\frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ over; vanaf $l_0 = 1$ bevestigt inductie $l_n
= \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$: immers $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) =
\frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$, en steeds is $l_n > 0$: de constructie verhongert nooit. $K = \bigcap K_n$ is [gesloten](#def-b1-topology-closed) en begrensd en dus compact; een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) binnen $K$ ligt in één segment van $K_n$, van lengte $l_n \to
0$: leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure). Verwijderde lengte: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot
4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$, en elke $K_n$ heeft totale lengte $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} >
\frac12$. Zij nu de vereniging $U$ van eindig veel [open](#def-b1-topology-open) [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) met $U \supseteq K$. Volgens de metgezeluitspraak uit [Voorbeeld 12.20](#ex-b1-topology-nested) is $U \supseteq K_n$ voor een zekere $n$; nemen we de additiviteit van de lengte op eindige verenigingen van [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) aan, dan is de totale lengte van de overdekkende [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) minstens die van $K_n$, die $\frac12$ overtreft. $K$ is dus nergens [dicht](#def-b1-topology-dense) en toch bestaat er geen goedkope overdekking: topologische kleinheid (nergens [dicht](#def-b1-topology-dense)) en metrische kleinheid (lengte nul) zijn werkelijk verschillende begrippen, en $K$ scheidt ze.

**23.** Bereiken: zij $d = d(x, F)$ en kies $a_k \in F$ met $\abs{x
- a_k} \leq d + \frac1k$: de $a_k$ zijn begrensd, dus extraheert Bolzano–Weierstrass ([Stelling 11.16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-bw)) een $a_{\varphi(k)} \to a$, met $a \in F$ ($F$ [gesloten](#def-b1-topology-closed), [Stelling 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) en $\abs{x
- a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. Nu het maximum: is $y \in C$, dan is $d(y, C) = 0$; anders ligt $y$ in een gat dat in een zeker stadium $n \geq 1$ verwijderd werd, een [open](#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) van lengte $3^{-n}$ waarvan de twee eindpunten tot $C$ behoren (vraag 2), dus $d(y, C) \leq
\frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, met gelijkheid alleen wanneer $n = 1$ en $y$ het middelpunt van het gat $\intoo{\frac13}{\frac23}$ is, dus $y =
\frac12$; en inderdaad is $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ omdat $C
\cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ en $\frac13, \frac23 \in C$. Bijgevolg is $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$, precies bereikt in $\frac12$.

**24.** De eindpunten vormen een aftelbare [dichte](#def-b1-topology-dense) deelverzameling van $C$ (vraag 12): som ze op als één rij $(e_j)_{j\geq1}$, een rij in $C$. Al haar deelrijlimieten liggen in $C$ ($C$ [gesloten](#def-b1-topology-closed)). Omgekeerd, leg $x \in C$ vast: voor elke $n$ hebben de segmenten van de $C_m$ die $x$ bevatten ($m \geq n$) hun eindpunten binnen $3^{-m} \leq 3^{-n}$ van $x$, dus liggen er oneindig veel verschillende eindpunten binnen $3^{-n}$ van $x$; kies indices $j_1 < j_2 < \dots$ met $\abs{e_{j_n} - x} \leq
3^{-n}$: een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) die naar $x$ convergeert. De [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) deelrijlimieten van $(e_j)$ is dus precies $C$ — één rij die zich bij overaftelbaar veel punten ophoopt, het tegenovergestelde uiterste van een convergente rij, waarvan de klonterverzameling een singleton is.

**25.** (i) De constructie verbruikte: de stabiliteit van [gesloten verzamelingen](#def-b1-topology-closed) onder willekeurige doorsnede (het bestaan van $C$ als [gesloten verzameling](#def-b1-topology-closed)), de compactheidsstelling [Stelling 12.19](#thm-b1-topology-compact) (vragen 2, 22 en 23), en de karakteriseringen met rijen van geslotenheid en adherentie (het argument met geneste compacte [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) uit [Voorbeeld 12.20](#ex-b1-topology-nested) en vraag 23). (ii) De vier paren: lengte nul en toch overaftelbaar (vragen 3 en 9); [gesloten](#def-b1-topology-closed) en toch met leeg [inwendige](#def-b1-topology-closure) (vraag 4); perfect — geen enkel geïsoleerd punt — en toch totaal onsamenhangend (vragen 11 en 13); verwaarloosbaar en toch $C + C = \intcc{0}{2}$ (vraag 16). (iii) De surjectie $h$ uit vraag 20 wordt, continu en niet-dalend gemaakt, de duivelstrap in de theorie van de continue functies; en in de maattheorie van het volume van bachelorjaar 3 is $C$ de standaardgetuige dat “verwaarloosbaar” niet “aftelbaar” betekent, met haar dikke neef (vraag 22) die “nergens [dicht](#def-b1-topology-dense)” van “verwaarloosbaar” scheidt.