---
title: "Limieten en continuïteit"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit
---

# Hoofdstuk 13 — Limieten en continuïteit

De tussenwaardestelling en de extremumstelling werden in het bovenbouwvolume op visueel vertrouwen gebruikt. Met de rijen ([Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ch-b1-seq)) en de topologie van $\R$ ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#ch-b1-topology)) in handen bewijst dit hoofdstuk ze — en vervolledigt het de theorie met de stelling over de monotone bijectie (die $\arcsin$, $\operatorname{arcosh}$ en hun verwanten uit [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#ch-b1-functions) wettigt) en met de stelling van Heine over de [uniforme continuïteit](#def-b1-continuity-uniform).

Overal is $I$ een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) en $f \colon I \to \R$; “$x_0 \in \overline
I$” laat limieten in de randpunten toe.

## 13.1 Limieten van functies

**Definitie 13.1 (Limiet in een punt).**

Zij $x_0 \in \overline{I}$ en $\ell \in \R$. Dan gaat $f(x) \to \ell$ voor $x \to x_0$ wanneer

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

Limieten in $\pm\infty$ en oneindige limieten worden volgens hetzelfde patroon gedefinieerd ($\abs{x - x_0} \leq \delta$ wordt $x \geq M$; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ wordt $f(x) \geq M'$). Eenzijdige limieten beperken $x$ tot $x > x_0$ (genoteerd $x \to x_0^+$) of tot $x <
x_0$. De limiet is uniek zodra ze bestaat (hetzelfde bewijs als [Propositie 11.4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#prop-b1-seq-first)).

**Voorbeeld 13.2 (Een limiet door insluiting).**

Bereken $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. De insluiting van de [vloer](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-floor) $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq
\frac1x$ geeft, na vermenigvuldigen met $x$ (let op het teken!):

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

en beide eenzijdige insluitingen sluiten zich op $1$: de limiet is $1$. Merk op wat er gebeurde: $\lfloor \frac1x\rfloor$ alleen maakt vlak bij $0$ wilde sprongen, maar de factor $x$ temt elke sprong ($x$ maal een sprong van $1$ is klein), en alleen de insluiting overleeft. Het inzicht tot slot: limieten van producten van een kleine factor met een factor van begrensde oscillatie zijn insluitproblemen en nooit problemen voor de stelling over de bewerkingen — die vergt dat *beide* factoren convergeren.

**Stelling 13.3 (Karakterisering met rijen).**

$f(x) \to \ell$ voor $x \to x_0$ dan en slechts dan als voor *elke* rij $(u_n)$ punten van $I$ met $u_n \to x_0$ geldt $f(u_n)
\to \ell$.

**Bewijs.** ($\Rightarrow$) Zij $u_n \to x_0$ en $\varepsilon > 0$. Neem $\delta$ uit de definitie, en daarna $N$ met $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ voor $n
\geq N$: voorbij $N$ is $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$.

($\Leftarrow$) Via de contrapositie. Gaat $f \not\to \ell$, dan verslaat een zekere $\varepsilon_0 > 0$ elke $\delta$; de keuze $\delta =
\frac{1}{n+1}$ levert $u_n \in I$ met $\abs{u_n - x_0} \leq
\frac{1}{n+1}$ en $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$. Dan is $u_n \to
x_0$ terwijl $f(u_n) \not\to \ell$. ∎

**Gevolg 13.4 (Bewerkingen, samenstelling, ordening).**

Sommen, producten en quotiënten (met een limiet ongelijk aan nul in de noemer) van limieten gedragen zich als bij rijen; gaat $f \to \ell$ in $x_0$ en $g \to m$ in $\ell$, en is $g$ rond $\ell$ gedefinieerd met $g(\ell) = m$ of $f \neq \ell$ nabij $x_0$, dan gaat $g \circ f \to m$ in $x_0$; limieten bewaren niet-strikte ongelijkheden, en de insluitstelling geldt.

**Bewijs.** Elke [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) draagt via [Stelling 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) over naar haar tegenhanger voor rijen (Stellingen [11.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-operations) en [11.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-order)). Voor de samenstelling loont het de rechtstreekse keten één keer op te schrijven: bij gegeven $\varepsilon > 0$ levert de limiet van $g$ in $\ell$ een $\eta > 0$ met

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ in het domein van } g),
$$

waarbij het geval $y = \ell$ gedekt is omdat $g(\ell) = m$; vervolgens levert de limiet van $f$ in $x_0$ een $\delta > 0$ met $\abs{x - x_0}
\leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$; aaneenrijgen geeft dat $\abs{x - x_0} \leq \delta$ leidt tot $\abs{g(f(x)) - m} \leq
\varepsilon$. Onder de alternatieve hypothese ($f \neq \ell$ nabij $x_0$) wordt de waarde $y = \ell$ nooit aan $g$ gevoed en doet haar waarde daar niet ter zake. ∎

**Voorbeeld 13.5 (Waarom het voorbehoud bij de samenstelling bestaat).**

Zij $g(y) = 0$ voor $y \neq 0$ en $g(0) = 1$, en zij $f$ identiek $0$. Dan gaat $f(x) \to 0$ voor $x \to 0$ en $g(y) \to 0$ voor $y \to 0$; en toch is $g(f(x)) = g(0) = 1$ voor elke $x$, zodat $g \circ f \to 1 \neq
0$. De binnenste functie zit voor altijd *precies op* de verboden waarde $\ell = 0$, en de limiet van $g$ in $0$ negeert wat $g$ in $0$ doet. Het voorbehoud van [Gevolg 13.4](#cor-b1-continuity-operations) — ofwel $g(\ell) = m$ (dus $g$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) in $\ell$), ofwel $f \neq \ell$ nabij $x_0$ — sluit precies dit uit. Het inzicht tot slot: in de praktijk stel je *[continue](#def-b1-continuity-continuous)* functies samen en is het voorbehoud gratis; het bijt alleen wanneer limieten langs geperforeerde [omgevingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) genomen worden, en daarom sluit de definitie van $\lim_{x \to x_0}$ in dit boek het punt zelf in wanneer het in het domein ligt.

## 13.2 Continuïteit

**Definitie 13.6.**

$f$ is *continu in $x_0 \in I$* wanneer $f(x)
\to f(x_0)$ voor $x \to x_0$; en *continu op $I$* wanneer ze in elk punt continu is. Volgens [Stelling 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) is $f$ continu in $x_0$ precies wanneer $f(u_n) \to f(x_0)$ voor elke rij $u_n \to x_0$ in $I$.

**Voorbeeld 13.7 (Een taxonomie van discontinuïteiten).**

Drie manieren om in een punt te falen, in toenemende ernst. *Opheffbaar*: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ op $\R^*$ heeft limiet $1$ in $0$; $f(0) = 1$ definiëren herstelt de zaak — de discontinuïteit was een gat, geen eigenschap. *Sprong*: $\lfloor x \rfloor$ heeft in een geheel getal verschillende eenzijdige limieten ($n - 1$ en $n$); geen enkele keuze van waarde verzoent ze, maar beide halve limieten bestaan. *Essentieel*: $\sin\frac1x$ heeft in $0$ helemaal geen eenzijdige limiet ([Oefening 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — oscillatie zonder tot rust te komen. Monotone functies kunnen alleen het middelste soort voortbrengen (hun eenzijdige limieten bestaan altijd, als [suprema](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) en [infima](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds)), en daarom zijn hun [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) discontinuïteiten hoogstens aftelbaar — één rationaal getal per sprong. Afgeleiden kunnen, wegens de stelling van Darboux ([Oefening 14.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#exo-b1-derivative-10)), alleen het laatste soort voortbrengen: een functie met een sprongdiscontinuïteit is nooit de afgeleide van iets.

**Propositie 13.8.**

Sommen, producten, quotiënten (waar gedefinieerd) en samenstellingen van [continue](#def-b1-continuity-continuous) functies zijn [continu](#def-b1-continuity-continuous). [Veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def), [rationale breuken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#def-b1-fractions-field) (buiten hun [polen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#def-b1-fractions-field)), $\abs{\,\cdot\,}$, $\exp$, $\ln$, de goniometrische en de [hyperbolische functies](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#def-b1-functions-hyperbolic) en hun inversen ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#ch-b1-functions)) zijn [continu](#def-b1-continuity-continuous) op hun domein.

**Bewijs.** Bewerkingen: [Gevolg 13.4](#cor-b1-continuity-operations). Constanten en de identiteit zijn rechtstreeks uit de definitie [continu](#def-b1-continuity-continuous) ($\delta =
\varepsilon$ bedient de identiteit, elke $\delta$ de constanten); omdat producten van [continue](#def-b1-continuity-continuous) functies [continu](#def-b1-continuity-continuous) zijn, volgt elk monoom $a_k x^k$ met inductie naar $k$, en sommen maken de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) af; een [rationale breuk](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#def-b1-fractions-field) is een quotiënt van twee [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def), [continu](#def-b1-continuity-continuous) overal waar de noemer niet nul wordt. $\abs{\,\cdot\,}$: de omgekeerde driehoeksongelijkheid geeft $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$, zodat dezelfde $\delta$ voldoet. Voor de klassieke functies nemen we de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) hier aan; de afleidbaarheid (bewezen in [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative)) is sterker. ∎

**Voorbeeld 13.9 (Maximum en minimum van continue functies).**

Zijn $f$ en $g$ [continu](#def-b1-continuity-continuous), dan ook $\max(f, g)$ en $\min(f, g)$: er is geen gevalsonderscheid nodig dankzij de identiteiten

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

en de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) van sommen en van $\abs{\,\cdot\,}$ ([Propositie 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). In het bijzonder zijn $f^+ = \max(f,
0)$ en $f^- = \max(-f, 0)$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f = f^+ - f^-$: het splitsen naar teken dat bij reeksen gebruikt wordt ([Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series)) en, op volle schaal, in de integratietheorie van het volume van bachelorjaar 3, kost niets aan regelmaat.

**Stelling 13.10 (Tussenwaardestelling).**

Zij $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$ met $f(a) \leq 0 \leq f(b)$. Dan is $f(c) = 0$ voor een zekere $c \in \intcc{a}{b}$. Bijgevolg neemt een [continue](#def-b1-continuity-continuous) functie op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) elke waarde tussen twee van haar waarden aan: $f(I)$ is een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals).

**Bewijs.** Dichotomie. Zet $a_0 = a$ en $b_0 = b$. Is $\intcc{a_n}{b_n}$ gegeven met $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, zij $m$ dan het midden: is $f(m) \leq 0$, houd dan $\intcc{m}{b_n}$, en anders $\intcc{a_n}{m}$; de tekenvoorwaarden blijven gelden. De rijen $(a_n)$ en $(b_n)$ zijn ingesloten ($b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$), met gemeenschappelijke limiet $c$ ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent)). Wegens de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) en [Stelling 11.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-order) is $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ en $f(c) = \lim
f(b_n) \geq 0$, dus $f(c) = 0$.

Voor het gevolg: gegeven waarden $f(u) < v < f(w)$, pas het bovenstaande toe op $x \mapsto f(x) - v$ op het segment met eindpunten $u$ en $w$; $f(I)$ is dus convex, oftewel een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ([Propositie 10.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)). ∎

![Een continue functie met f(a) < 0 < f(b) moet de as snijden: het dichotomiebewijs van klemt een snijpunt tussen ingesloten rijen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*Een [continue](#def-b1-continuity-continuous) functie met $f(a) < 0 < f(b)$ moet de as snijden: het dichotomiebewijs van [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) klemt een snijpunt tussen [ingesloten rijen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent).*

**Voorbeeld 13.11 (Eén vergelijking, het volledige protocol).**

Los $\eu^x = 3 - x$ op over $\R$: bestaan, uniciteit, lokalisering. Zet $g(x) = \eu^x + x - 3$, [continu](#def-b1-continuity-continuous). Lokalisering en bestaan: $g(0) = -2 < 0$ en $g(1) = \eu - 2 > 0$, dus plant de tussenwaardestelling een oplossing in $\intoo{0}{1}$. Uniciteit: $g$ is een som van de strikt stijgende $\eu^x$ en $x - 3$, en dus strikt stijgend op $\R$; een strikt monotone functie neemt elke waarde hoogstens één keer aan, zodat de oplossing op heel $\R$ uniek is (niet alleen in het onderzochte [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)). Het protocol — herschrijf tot $g = 0$, een tekenwisseling voor het bestaan, de monotonie voor de uniciteit — beslecht de meeste vragen van het type “hoeveel oplossingen” in drie regels, en de verlooptabellen van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative) breiden het uit tot niet-monotone $g$ door $\R$ in monotone takken te knippen.

**Voorbeeld 13.12 (Dichotomie als algoritme).**

Het bewijs van [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) rekent. Neem $f(x) = x^3 + x
- 1$: $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$, dus ligt er een wortel in $\intoo{0}{1}$. Halveren:

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

zodat de wortel achtereenvolgens in $\intoo{0.5}{1}$, dan $\intoo{0.5}{0.75}$, dan $\intoo{0.625}{0.75}$ opgesloten raakt (de ware waarde is $c \approx 0.6823$). Na $n$ stappen is de fout hoogstens $\frac{b - a}{2^n}$: tien stappen geven drie decimalen, twintig geven er zes. Het inzicht tot slot: de tussenwaardestelling is niet alleen een bestaansuitspraak — haar dichotomiebewijs is een gewaarborgd, zij het traag, algoritme om wortels te zoeken, waartegen de snelle maar lokale methode van Newton uit [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative) afgewogen moet worden.

**Stelling 13.13 (Extremumstelling).**

Een [continue](#def-b1-continuity-continuous) functie op een segment $\intcc{a}{b}$ is begrensd en bereikt haar grenzen: er zijn $c, d \in \intcc{a}{b}$ met

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

Samen met [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt): *het [continue](#def-b1-continuity-continuous) beeld van een segment is een segment* $\intcc{f(c)}{f(d)}$.

**Bewijs.** *Naar boven begrensd:* anders kies je $u_n$ met $f(u_n) \geq n$. Wegens de compactheid van het segment ([Stelling 12.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#thm-b1-topology-compact)) convergeert een [deelrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$; de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) geeft $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$, terwijl $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$: tegenspraak.

*[Supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) bereikt:* zij $M = \sup f$ en kies $v_n$ met $f(v_n) > M -
\frac{1}{n+1}$ ([Propositie 10.4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-epsilon)). Extraheer $v_{\varphi(n)}
\to d \in \intcc{a}{b}$: dan is $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ wegens de insluiting. Het [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) behandel je met $-f$. ∎

**Voorbeeld 13.14 (Positief minimum op een segment).**

Zij $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{0}{1}$ met $f(x) > 0$ voor elke $x$. Dan is $\inf f > 0$: volgens de extremumstelling is het [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) een *waarde* $f(c)$, en $f(c) > 0$ per hypothese. Een [continue](#def-b1-continuity-continuous) positieve functie op een segment blijft dus van $0$ weg — een argument van twee regels dat in de komende hoofdstukken tientallen keren gebruikt wordt (noemers onder controle, insluitingen met trapfuncties, foutgrenzen). Op een niet-compact [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) faalt dat spectaculair: $f(x) = x$ op $\intoc{0}{1}$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) en positief met $\inf f = 0$, niet bereikt. Het inzicht tot slot: “positief” wordt precies dan “uniform positief” wanneer het domein compact is; elke hypothese van de extremumstelling draagt gewicht.

**Opmerking 13.15 (Veelgemaakte fouten rond de drie stellingen).**

(i) *[Continue](#def-b1-continuity-continuous) beelden*: alleen *segmenten* zijn robuust. Het [continue](#def-b1-continuity-continuous) beeld van een [open](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) hoeft niet [open](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) te zijn ($x \mapsto
x^2$ beeldt $\intoo{-1}{1}$ af op $\intco{0}{1}$), het beeld van een [gesloten verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) hoeft niet [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) te zijn ($\arctan$ beeldt het [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) $\R$ af op het [open](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$); maar het beeld van een segment is een segment ([Stelling 13.13](#thm-b1-continuity-evt)). (ii) *De tussenwaardestelling heeft een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) nodig*: de functie $x \mapsto \frac1x$, [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$, neemt de waarden $-1$ en $1$ aan en wordt toch nooit nul — haar domein bestaat uit twee losse stukken, en de waarde $0$ valt in het gat; benoem altijd het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) waarop je de stelling toepast. (iii) *[Uniforme continuïteit](#def-b1-continuity-uniform) is een eigenschap van het paar (functie, [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets))*: $x^2$ is op elk segment [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform) en op $\R$ niet ([Voorbeeld 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — de woorden “[uniform continu](#def-b1-continuity-uniform)” zonder domein zijn betekenisloos. (iv) *De [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) van de inverse is niet formeel*: ze geldt op [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) via de monotonie ([Stelling 13.16](#thm-b1-continuity-bijection)), maar een [continue](#def-b1-continuity-continuous) bijectie tussen verenigingen van [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) kan een discontinue inverse hebben — de opmerking na die stelling staat er omdat studenten haar zonder de intervalhypothese citeren.

## 13.3 Monotone functies en inverse functies

**Stelling 13.16 (Stelling over de monotone bijectie).**

Zij $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en strikt monotoon op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $I$. Dan geldt:

1. $f$ is een bijectie van $I$ op het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ ;
2. de inverse $f^{-1} \colon J \to I$ is strikt monotoon (in dezelfde richting) en *[continu](#def-b1-continuity-continuous)* .

**Bewijs.** Zeg dat $f$ strikt stijgend is. (1) De injectiviteit volgt onmiddellijk uit de strikte monotonie; de surjectiviteit op $f(I)$ is triviaal, en $f(I)$ is een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) wegens [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt).

(2) $f^{-1}$ is strikt stijgend: was $y < y'$ in $J$ maar $f^{-1}(y) \geq
f^{-1}(y')$, dan geeft de stijgende $f$ toepassen dat $y \geq y'$, ongerijmd. [Continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) van $f^{-1}$ in $y_0 = f(x_0) \in J$: zij $\varepsilon > 0$. Neem eerst aan dat $x_0$ [inwendig](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closure) aan $I$ is, en maak $\varepsilon$ zo klein dat $x_0 \pm \varepsilon \in I$: hun beelden voldoen aan $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$. Neem $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) -
y_0\bigr) > 0$: voor $\abs{y - y_0} \leq \delta$ klemt de monotonie van $f^{-1}$ het getal $f^{-1}(y)$ tussen $x_0 - \varepsilon$ en $x_0 +
\varepsilon$. Is $x_0$ bijvoorbeeld het linkereindpunt van $I$, dan is alleen $x_0 + \varepsilon$ beschikbaar: dan is $y_0 = \min J$ (monotonie), voldoet elke $y \in J$ met $y - y_0 \leq f(x_0 +
\varepsilon) - y_0$ aan $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$, en is de eenzijdige afschatting precies de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in een randpunt; het rechtereindpunt verloopt symmetrisch. (Merk op: de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) van $f^{-1}$ werd *niet* uit die van $f$ afgeleid door symmetrie — het is de monotonie op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) die het werk doet.) ∎

**Opmerking 13.17.**

Deze stelling is wat [Definitie 4.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#def-b1-functions-arc) en [Propositie 4.21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-invhyp) stilzwijgend gebruikten: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\operatorname{arsinh}$, … zijn [continu](#def-b1-continuity-continuous). Een aanvulling ([Oefening 13.10](#exo-b1-continuity-10)): een [continue](#def-b1-continuity-continuous) *[injectieve](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj)* functie op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) is automatisch strikt monotoon, zodat de hypothese van de monotonie niets kost.

**Voorbeeld 13.18 (Wortels van elke orde).**

Voor $n \in \N^*$ is de functie $f(x) = x^n$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$, met $f(0) = 0$ en $f(x) \to +\infty$: haar beeld is $\intco{0}{+\infty}$ ([Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) voor de intervalstructuur). De stelling over de monotone bijectie levert dan in één beweging een strikt stijgende *[continue](#def-b1-continuity-continuous)* inverse

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

bestaan, uniciteit en [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) van $n$-de wortels, zonder enige berekening. Vergelijk met [Oefening 10.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-12), waar $\sqrt y$ met de hand uit het [supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) gebouwd werd: één hoofdstuk theorie heeft die bladzijde werk tot twee regels samengeperst, en dezelfde twee regels wettigden daarvóór al $\arcsin$, $\arctan$ en $\operatorname{arsinh}$. Het inzicht tot slot: een goede stelling is opgeslagen arbeid.

## 13.4 Uniforme continuïteit

**Definitie 13.19.**

$f \colon I \to \R$ heet *uniform continu* wanneer

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

Het punt is dat $\delta$ alleen van $\varepsilon$ afhangt en niet van de plaats in $I$. Uniforme [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) impliceert [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous); een *lipschitzfunctie* ($\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$) is uniform [continu](#def-b1-continuity-continuous) ($\delta = \varepsilon/k$).

**Voorbeeld 13.20.**

$x \mapsto x^2$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\R$ maar *niet* [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform): $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ terwijl de argumenten op afstand $\frac 1n \to 0$ liggen. Op elk begrensd [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) is ze lipschitz en dus [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform) — in overeenstemming met de stelling van Heine hieronder.

**Voorbeeld 13.21 (Uniforme moduli, expliciet).**

Op een segment waarborgt Heine een uniforme $\delta$; vaak kun je die ook *berekenen*. Voor $f(x) = x^2$ op $\intcc{0}{10}$:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

dus voldoet $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ uniform (een lipschitzmodulus, lineair in $\varepsilon$). Voor $\sqrt x$ op $\intcc{0}{1}$ is $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ ([Oefening 13.9](#exo-b1-continuity-9)), zodat $\delta = \varepsilon^2$ voldoet — uniform maar *niet* lineair: vlak bij $0$ is de vierkantswortel steil, en die prijs komt tot uiting in de exponent van $\varepsilon$ en niet in een falen van de uniformiteit. Het inzicht tot slot: [uniforme continuïteit](#def-b1-continuity-uniform) is een spectrum en geen ja-of-nee — de functie $\delta(\varepsilon)$, de [modulus](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-field) genoemd, meet hoe duur de uniformiteit is, en lipschitz is eenvoudigweg haar beste cijfer.

**Stelling 13.22 (Heine).**

Een [continue](#def-b1-continuity-continuous) functie op een *segment* $\intcc{a}{b}$ is [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform).

**Bewijs.** Uit het ongerijmde: stel dat een zekere $\varepsilon_0 > 0$ elke $\delta$ verslaat. Kies met $\delta = \frac{1}{n+1}$ punten $x_n, y_n \in
\intcc{a}{b}$ met $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ en $\abs{f(x_n) -
f(y_n)} > \varepsilon_0$. De compactheid ([Stelling 12.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#thm-b1-topology-compact)) extraheert $x_{\varphi(n)} \to c \in
\intcc{a}{b}$; dan gaat ook $y_{\varphi(n)} \to c$ (insluiting op $\abs{x
- y}$). De [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in $c$ geeft $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ en $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, dus $\abs{f(x_{\varphi(n)}) -
f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$: tegenspraak. ∎

**Voorbeeld 13.23 (Begrensd, continu, en toch niet uniform).**

De functie $f(x) = \sin(x^2)$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) en begrensd op $\R$, maar niet [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform). Neem

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

en toch is $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) -
\sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ voor elke $n$: geen enkele $\delta$ kan $\varepsilon = \frac12$ overal bedienen. Meetkundig *versnellen* de oscillaties van $\sin(x^2)$: de grafiek voltooit een volledige golf over steeds kortere vensters, zodat de horizontale schaal die een gegeven $\varepsilon$ vergt naar nul krimpt naarmate $x$ groeit. Het inzicht tot slot: begrensdheid koopt geen uniformiteit (dit voorbeeld), en onbegrensdheid sluit haar niet uit ($\sqrt x$, [Oefening 13.9](#exo-b1-continuity-9)); beslissend is de *oscillatiemodulus*, en de stelling van Heine zegt dat compacte domeinen die automatisch disciplineren.

**Voorbeeld 13.24 (Het rekenmachine-experiment, verklaard).**

Tik een willekeurig getal in een rekenmachine en druk herhaaldelijk op $\cos$: het scherm klemt vast op $0.7390851\dots$ Waarom? Na één druk ligt de waarde in $\intcc{-1}{1}$, na twee in $\intcc{\cos 1}{1}
\subseteq \intcc{0.54}{1}$, een stabiel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) voor $\cos$. Daarop is $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ met $\sin 1 =
0.841\dots < 1$ (de afschatting van product naar som uit [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#pb-b1-seq-1), of de middelwaardeongelijkheid van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative)): de iteratie is contraherend, zodat de stap voor foutbeheersing uit [Methode 11.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#met-b1-seq-recurrent) geeft

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

waarbij $c$ het unieke vaste punt met $\cos c = c$ is ([Oefening 13.6](#exo-b1-continuity-6)). Ongeveer $40$ drukken kopen drie decimalen ($0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — een meetkundig tempo, milder dan de $2^{-n}$ per stap van de dichotomie, maar elke druk kost één toetsaanslag terwijl elke dichotomiestap een volledige tekenevaluatie kost. Het inzicht tot slot: het beeld van het vaste punt uit [Hoofdstuk 11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ch-b1-seq) en de bestaansstellingen van dit hoofdstuk zijn twee helften van één verhaal — de tussenwaardestelling vindt $c$, de contractie bereikt hem.

**Opmerking 13.25 (Waar deze stellingen hierna werken).**

Elk van de drie pijlers van dit hoofdstuk drijft een later hoofdstuk aan. De tussenwaardestelling voedt elk argument voor het bestaan van oplossingen en de stelling over de monotone bijectie; de extremumstelling maakt van optimalisatieproblemen stellingen (Rolle en de middelwaardestelling in [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative) beginnen precies daar); en de stelling van Heine is de reden waarom [continue](#def-b1-continuity-continuous) functies op segmenten in [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ch-b1-integration) geïntegreerd kunnen worden — de uniforme $\delta$ is wat de Riemannsommen laat convergeren. In het volume van bachelorjaar 2 keert hetzelfde drietal terug in genormeerde vectorruimten, waar de compactheid het werk doet dat segmenten hier doen.

**Opmerking 13.26 (Perspectieven binnen dit volume).**

De [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) wordt weldra overtroffen maar nooit met pensioen gestuurd. [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative) versterkt haar tot afleidbaarheid en bewijst de wederdienst (afleidbaar impliceert [continu](#def-b1-continuity-continuous)); [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ch-b1-integration) rust er tweemaal op, via Heine voor de constructie en via de hoofdstelling, waarvan het centrale object $x
\mapsto \int_a^x f$ een louter [continue](#def-b1-continuity-continuous) $f$ tot een $C^1$-primitieve opwaardeert. In [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) houdt de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in twee variabelen een valstrik in petto die het voorproeven waard is: de functie $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (uitgebreid met $0$) is [continu](#def-b1-continuity-continuous) in $x$ voor elke vaste $y$ en in $y$ voor elke vaste $x$, en toch niet [continu](#def-b1-continuity-continuous) in de oorsprong — langs de diagonaal $x = y$ is ze constant $\frac12$. Afzonderlijke [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) is strikt zwakker dan [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous): de karakterisering met rijen overleeft de overgang naar $\R^2$, maar de rijen moeten uit *elke* richting mogen naderen, niet alleen langs de assen.

## 13.5 Oefeningen

**Oefening 13.1 ★.**

Bewijs met de karakterisering met rijen dat $x \mapsto \sin\frac 1x$ geen limiet heeft in $0^+$ *(wijs twee rijen aan)*. Heeft $x \mapsto x
\sin\frac 1x$ er wel een?

**Oplossing van Oefening 13.1.**

Neem $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ en $v_n = \frac{1}{2\pi n}$: beide naderen tot $0^+$, terwijl $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ en $\sin\frac{1}{v_n} = 0$. Twee rijen, twee verschillende limieten van de beelden: volgens [Stelling 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) bestaat er geen limiet in $0^+$.

$x \sin\frac1x$: ingeklemd door $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to
0$, dus de limiet in $0$ bestaat en is gelijk aan $0$.

**Oefening 13.2 ★.**

Bestudeer de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) op $\R$ van $f(x) = \lfloor x \rfloor$, van $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ en van $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x -
\lfloor x\rfloor)^2$.

**Oplossing van Oefening 13.2.**

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\R \setminus \Z$ (lokaal constant) en discontinu in elke $n \in \Z$: linkerlimiet $n - 1$, waarde $n$.

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$: dezelfde discontinuïteitspunten (de identiteit is [continu](#def-b1-continuity-continuous), dus $g$ erft de sprongen van $f$); in $n \in
\Z$ is de linkerlimiet $1 \neq 0 = g(n)$.

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$: op $\intco{n}{n
+ 1}$ geldt $h(x) = n + (x - n)^2$, daar [continu](#def-b1-continuity-continuous); in $x = n$ is de linkerlimiet $(n-1) + 1 = n = h(n)$: de sprongen heffen elkaar op. $h$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\R$ (en strikt stijgend).

**Oefening 13.3 ★.**

Bewijs dat de vergelijking $x^5 - 3x + 1 = 0$ minstens drie reële oplossingen heeft *(evalueer in goedgekozen punten en pas [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) toe op drie disjuncte segmenten)*.

**Oplossing van Oefening 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$: $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$; $P(0) = 1 >
0$; $P(1) = -1 < 0$; $P(2) = 27 > 0$. Drie tekenwisselingen op de disjuncte segmenten $\intcc{-2}{0}$, $\intcc{0}{1}$, $\intcc{1}{2}$: volgens [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) zijn er minstens drie nulpunten. (Omdat de graad $5$ is, zijn er hoogstens vijf; een studie van de variaties zou aantonen dat het er precies drie zijn.)

**Oefening 13.4 ★.**

Bewijs dat elke [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van oneven graad een reële wortel heeft.

**Oplossing van Oefening 13.4.**

Zij $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ met $a_{2m+1} > 0$ (vervang anders $P$ door $-P$). Door de dominante term af te zonderen krijgen we $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ als $x \to
\pm\infty$: dus $P(x) \to +\infty$ in $+\infty$ en $-\infty$ in $-\infty$. Kies $a$ met $P(a) < 0$ en $b$ met $P(b) > 0$: de tussenwaardestelling op $\intcc{a}{b}$ levert een nulpunt.

**Oefening 13.5 ★★.**

(Vast punt) Zij $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [continu](#def-b1-continuity-continuous). Bewijs dat $f$ een vast punt heeft: $f(c) = c$ voor een zekere $c$. Illustreer dat noch de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) noch het segment weggelaten mag worden.

**Oplossing van Oefening 13.5.**

Zij $g(x) = f(x) - x$, [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{0}{1}$. Omdat $f$ afbeeldt in $\intcc{0}{1}$: $g(0) = f(0) \geq 0$ en $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$. Volgens [Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) is $g(c) = 0$ voor zekere $c$: een vast punt.

De hypothesen zijn onmisbaar: op $\intcc{0}{1}$ heeft de discontinue [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $f(x) = 1$ voor $x \leq \frac12$, $f(x) = 0$ voor $x >
\frac12$ geen vast punt; op het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (geen segment) is $f(x) = \frac x2$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met waarden in $\intoo{0}{1}$ en zonder vast punt (de kandidaat $0$ ontbreekt); op $\R$ voldoet $f(x) = x + 1$.

**Oefening 13.6 ★★.**

Bewijs dat de vergelijking $\cos x = x$ precies één reële oplossing heeft, en dat die in $\intoo{0}{1}$ ligt.

**Oplossing van Oefening 13.6.**

$g(x) = \cos x - x$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = \cos 1 - 1 <
0$: er bestaat een oplossing in $\intoo{0}{1}$ ([Stelling 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)). Eenduidigheid: $g$ is strikt dalend op $\R$ — voor $x \leq 0$ is $g(x) \geq 1 - x > 0$, dus daar is er sowieso geen nulpunt; en $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ met gelijkheid alleen in geïsoleerde punten ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$), dus $g$ is strikt dalend ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative); anders gezegd: op $\intcc{0}{1}$ is $\cos$ strikt dalend en $-x$ ook, dus $g$ eveneens). Een strikt monotone functie heeft hoogstens één nulpunt.

**Oefening 13.7 ★★.**

Zij $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f(x) \to +\infty$ voor $x \to
\pm\infty$. Bewijs dat $f$ een globaal minimum op $\R$ bereikt. *(Herleid tot een segment dat een niveauverzameling bevat.)*

**Oplossing van Oefening 13.7.**

Leg $M = f(0) + 1$ vast. Er is een $A > 0$ met $f(x) \geq M$ voor $\abs x \geq A$ (definitie van de twee oneindige limieten; neem de grootste van beide drempels). Op het segment $\intcc{-A}{A}$ levert de extremumstelling ([Stelling 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) een $c$ met $f(c)
= \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$. Voor $\abs x \geq A$ geldt $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$. Dus is $f(c)$ het globale minimum.

**Oefening 13.8 ★★.**

Zij $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en periodiek (met periode $T > 0$). Bewijs dat $f$ begrensd is en haar grenzen bereikt, en dat er een $c$ bestaat met $f(c + \frac T2) = f(c)$. *(Bestudeer voor het tweede punt $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ over één periode.)*

**Oplossing van Oefening 13.8.**

Op het segment $\intcc{0}{T}$ is $f$ begrensd en bereikt het zijn grenzen ([Stelling 13.13](#thm-b1-continuity-evt)); wegens de periodiciteit zijn dat de grenzen op heel $\R$, en ze worden nog steeds bereikt.

Zij $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$, [continu](#def-b1-continuity-continuous). Dan is

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

$g(0)$ en $g(\frac T2)$ hebben tegengesteld teken (of een van beide is nul), dus geeft de tussenwaardestelling op $\intcc{0}{T/2}$ een $c$ met $g(c) = 0$, dat wil zeggen $f(c + \frac T2) = f(c)$.

**Oefening 13.9 ★★.**

Bewijs dat $x \mapsto \sqrt x$ [uniform continu](#def-b1-continuity-uniform) is op $\intco{0}{+\infty}$, hoewel ze vlak bij $0$ niet lipschitz is. *(Bewijs en gebruik $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$.)*

**Oplossing van Oefening 13.9.**

Eerst de ongelijkheid: voor $0 \leq y \leq x$ is

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

dus $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$, dat wil zeggen $\sqrt x -
\sqrt y \leq \sqrt{x - y}$. Bijgevolg geldt $\abs{\sqrt x - \sqrt y}
\leq \sqrt{\abs{x - y}}$ voor alle $x, y \geq 0$.

[Uniforme continuïteit](#def-b1-continuity-uniform): zij $\varepsilon > 0$ gegeven; neem $\delta =
\varepsilon^2$; dan impliceert $\abs{x - y} \leq \delta$ dat $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$.

Niet lipschitziaans bij $0$: $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} =
\frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ als $x \to 0^+$, dus geen enkele constante $k$ kan alle differentiequotiënten domineren.

**Oefening 13.10 ★★★.**

Zij $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $I$. Bewijs dat $f$ strikt monotoon is. *Aanwijzing: zo niet, dan zijn er $a < b < c$ met bijvoorbeeld $f(b) > f(a)$ en $f(b) > f(c)$; pas de tussenwaardestelling aan weerszijden van $b$ toe op een waarde tussen $\max(f(a), f(c))$ en $f(b)$.*

**Oplossing van Oefening 13.10.**

Stel dat $f$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en [continu](#def-b1-continuity-continuous) is, maar niet strikt monotoon. Dan zijn er $a < b < c$ in $I$ waarvoor $f(b)$ niet tussen $f(a)$ en $f(c)$ ligt — immers, als voor *elk* drietal de middelste waarde tussen de buitenste lag, zou $f$ monotoon zijn (vergelijk twee willekeurige paren; een korte gevalsonderscheiding). Zeg $f(b)
> \max(f(a), f(c))$ (het andere geval is symmetrisch: vervang $f$ door $-f$). Kies $v$ met $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$. Door de tussenwaardestelling toe te passen op $\intcc{a}{b}$ en op $\intcc{b}{c}$ vinden we $u_1 \in \intoo{a}{b}$ en $u_2 \in
\intoo{b}{c}$ met $f(u_1) = v = f(u_2)$: twee verschillende punten met hetzelfde beeld, in tegenspraak met de injectiviteit.

**Oefening 13.11 ★★★.**

(Functievergelijking van Cauchy, [continue](#def-b1-continuity-continuous) geval) Zij $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f(x + y) = f(x) + f(y)$ voor alle $x, y$. Bewijs dat $f(x) =
f(1)\,x$ voor alle $x$: eerst op $\N$, $\Z$ en $\Q$ (met de additiviteit alleen), en daarna op $\R$ met de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) en de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) ([Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density)).

**Oplossing van Oefening 13.11.**

Uit $f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ volgt $f(0) = 0$; uit $0 = f(x - x)$ volgt $f(-x) = -f(x)$. Stel $\alpha = f(1)$. Met inductie: $f(n) =
n\alpha$ voor $n \in \N$, en dan voor $n \in \Z$ wegens de onevenheid. Voor $q \in \N^*$ geldt $q\,f(\frac pq) = f(p) =
p\alpha$ (tel $\frac pq$ $q$ keer bij zichzelf op), dus $f(\frac pq)
= \alpha\frac pq$: op $\Q$ is $f = \alpha\,\mathrm{id}$.

Zij nu $x \in \R$ en $(r_n)$ een rij rationale getallen met $r_n \to
x$ ([dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense), [Stelling 10.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#thm-b1-reals-density), toegepast op geneste [intervallen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals); of $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$). [Continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) geeft $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$.

**Oefening 13.12 ★★★.**

Zij $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f(x) \to \ell \in
\R$ voor $x \to +\infty$. Bewijs dat $f$ *uniform* [continu](#def-b1-continuity-continuous) is op $\intco{0}{+\infty}$. *(Knip bij een grote $A$: Heine op $\intcc{0}{A+1}$, de limiet voorbij $A$; laat de twee regimes overlappen.)*

**Oplossing van Oefening 13.12.**

Zij $\varepsilon > 0$. Wegens de limiet in $+\infty$ is er een $A$ met $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ voor $x \geq A$; bijgevolg geldt voor $x, y \geq A$ dat $\abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon$ (zonder enige eis van nabijheid).

Op het segment $\intcc{0}{A + 1}$ levert de stelling van Heine ([Stelling 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) een $\delta_0 > 0$ voor deze $\varepsilon$; stel $\delta = \min(\delta_0, 1)$.

Neem nu willekeurige $x, y \geq 0$ met $\abs{x - y} \leq \delta$, zeg $x \leq y$. Als $y \leq A + 1$: beide liggen in het segment, en de $\delta_0$ van Heine is van toepassing. Anders is $y > A + 1$, en dan $x \geq y - 1 > A$: beide liggen in $\intco{A}{+\infty}$, waar het limietargument geldt. In beide gevallen is $\abs{f(x) - f(y)}
\leq \varepsilon$: [uniforme continuïteit](#def-b1-continuity-uniform).

## 13.6 Opgave: de functievergelijking van Cauchy en haar zusters

**Probleem 13.1.**

Weekendopgave — $f(x + y) = f(x) + f(y)$: regelmaat dwingt lineariteit af, en het portret van de monsters

Welke functies voldoen aan $f(x + y) = f(x) + f(y)$ voor alle reële $x,
y$? Cauchy stelde de vraag in 1821; het antwoord is een paradigma. [Oefening 13.11](#exo-b1-continuity-11) toont aan dat zo’n *additieve* functie lineair is op $\Q$ en dat volledige [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = cx$ afdwingt. Deze opgave verzwakt de hypothese drastisch — [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in één *enkel* punt, of monotonie, of louter begrensdheid op één klein [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) volstaat telkens — schildert daarna het portret van een hypothetische niet-lineaire oplossing (haar grafiek vult het vlak), lost de zustervergelijkingen op die $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$ en $cx^2$ karakteriseren, en sluit af met de vergelijking van Jensen en de stelling *middelpuntconvex $+$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ convex*. Overal betekent *additief*: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ voor alle $x, y
\in \R$.

**Deel I — $\Q$-lineariteit, en één punt van [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous).**

1. Zij $f$ additief. Volgens [Oefening 13.11](#exo-b1-continuity-11) is $f(r) =  f(1)\,r$ voor rationale $r$ . Bewijs de fijnere [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) die hieronder gebruikt wordt: voor *elke* $x \in \R$ en $r \in  \Q$ is $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ is $\Q$ - *lineair* ).
2. Stel dat de additieve $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) is in één enkel punt $x_0$ . Toon aan dat $f$ overal [continu](#def-b1-continuity-continuous) is *(bereken $f(x + h) -  f(x)$ met behulp van $f(x_0 + h) - f(x_0)$)* , en dus $f(x) =  f(1)\,x$ .
3. Toon aan dat een additieve functie vastligt door haar beperking tot elke [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) [deelgroep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-subgroup) : stemmen twee additieve functies overeen op $\Z + \sqrt2\,\Z$ en zijn beide [continu](#def-b1-continuity-continuous) , dan zijn ze gelijk — terwijl het zonder [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) met de $\Q$ -lineariteit op de [deelgroep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-subgroup) verenigbaar is om $f(1) = 0$ en $f(\sqrt 2) = 1$ voor te schrijven. Bereken $f(m + n\sqrt2)$ voor die voorschrift.
4. Zij $f$ additief en naar boven begrensd door $M$ op een zeker [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a}{b}$ met $a < b$ . Toon aan dat $f$ naar boven begrensd is op $\intcc{0}{\ell}$ met $\ell = b - a$ *(verschuif over $a$)* .

**Deel II — De ladder van de regelmaat.**

5. In het verlengde van vraag 4: toon met $f(\ell - t) + f(t) =  f(\ell)$ aan dat $f$ daar ook naar *onderen* begrensd is: $\abs f \leq C$ op $\intcc{0}{\ell}$ .
6. Toon aan dat $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ voor $t \in  \intcc{0}{\ell/n}$ , en leid af dat $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) is in $0$ *(de oneven pariteit handelt de linkerkant af)* , en dus overal (vraag 2): een additieve functie die op één [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) begrensd is, is lineair.
7. Leid het monotone geval af: een additieve functie die op een zeker $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) niet-dalend is, is $f(x) = cx$ met $c \geq 0$ .
8. Stel de *ladder van de regelmaat* samen: voor een additieve $f$ zijn de volgende [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) equivalent — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) ; (c) $f$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) in één punt; (d) $f$ is monotoon op een zeker niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ; (e) $f$ is begrensd op een zeker niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) . Rangschik de implicaties zó dat elke ofwel triviaal ofwel al bewezen is.
9. Ga na dat de vragen 4–6 alleen een grens *naar boven* verbruikten: een additieve functie die op één niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) naar boven begrensd is, is al lineair. Leid de spiegeluitspraak voor een grens naar onderen af, en noteer de sterkste vorm van sport (e) van de ladder die je zo krijgt.

**Deel III — Portret van een monster.** Neem nu aan dat $f$ additief maar *niet* lineair is.

10. Toon aan dat er reële getallen $u, v$ ongelijk aan nul zijn met $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , en dat de vectoren $(u,  f(u))$ en $(v, f(v))$ het vlak opspannen (hun determinant $u  f(v) - v f(u)$ is niet nul).
11. Toon aan dat de grafiek van $f$ alle punten $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q$$ bevat, en leid af dat de grafiek *[dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) ligt in $\R^2$*: voor elk punt $(x_0, y_0)$ van het vlak en elke $\varepsilon >  0$ ligt een zeker $(x, f(x))$ er binnen $\varepsilon$ van *(los het reële $2\times2$-stelsel op en benader daarna de reële coëfficiënten door rationale)*.
12. Leid uit vraag 11 het volledige portret af: een niet-lineaire additieve functie is op elk niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) onbegrensd, in elk punt discontinu, op geen enkel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) monotoon, en haar beeld van elk [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) ligt [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) in $\R$ . Verzoen dat met vraag 8.
13. Monsters bestaan — op een [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) [deelgroep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-subgroup) , constructief: definieer op $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ de functie $f(m + n\sqrt2) =  n$ . Toon aan dat $f$ welgedefinieerd en additief is op $G$ , en dat $f$ onbegrensd is op $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ voor elke $\varepsilon > 0$ *(bij vaste $N$ hebben maar eindig veel $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ een $\abs n \leq N$; terwijl $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ oneindig is)* . Leg in één alinea uit waarom zo’n $f$ tot heel $\R$ uitbreiden een basis van $\R$ als $\Q$ -vectorruimte vergt (een *hamelbasis* ), waarvan het bestaan een kwestie van het keuzeaxioma is, buiten dit volume.

**Deel IV — De zustervergelijkingen.** Alle functies hier zijn [continu](#def-b1-continuity-continuous).

14. Zij $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en niet identiek $0$ , met $f(x  + y) = f(x)f(y)$ . Toon aan dat $f(x) = f\bigl(\frac  x2\bigr)^2 \geq 0$ , dan dat $f > 0$ overal, en dan dat $f(x) =  \eu^{cx}$ voor een zekere $c$ : de exponentiëlen zijn precies de [continue](#def-b1-continuity-continuous) [morfismen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-morphism) van $(\R, +)$ naar $(\R^*, \times)$ .
15. Zij $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f(xy) =  f(x) + f(y)$ . Toon aan dat $f(x) = c\ln x$ *(vervoer via $\exp$)* .
16. Zij $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f(xy) = f(x)f(y)$ . Toon aan dat $f(x) = x^c$ .
17. Bepaal alle [continue](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ met $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *(Bestudeer $h = 1 + f$; behandel het ontaarde geval apart.)*
18. (Parallellogram) Bepaal alle [continue](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ met $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : toon aan dat $f$ even is, dat $f(0) = 0$ , dat $f(nx) = n^2 f(x)$ met inductie, en dan dat $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Deze vergelijking is de vingerafdruk van kwadratische vormen — de parallellogramwet die in het volume van bachelorjaar 2 herkent welke normen uit een [inwendig](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closure) product komen.)

**Deel V — Jensen en middelpuntconvexiteit.**

19. (Vergelijking van Jensen) Zij $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Toon aan dat $g = f - f(0)$ voldoet aan $g\bigl(\frac x2\bigr) =  \frac{g(x)}{2}$ , leid af dat $g$ additief is, en besluit $f(x) =  cx + d$ .
20. Neem nu alleen de *ongelijkheid* aan: $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) met $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ Bewijs met inductie naar $n$ dat voor alle dyadische gewichten $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ geldt $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
21. Breid met de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) en de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) van de dyadische getallen ( [Oefening 10.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-8) ) uit tot elke $\lambda \in  \intcc{0}{1}$ : een [continue](#def-b1-continuity-continuous) middelpuntconvexe functie voldoet aan de volledige convexiteitsongelijkheid (het begrip dat in [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative) systematisch bestudeerd wordt).
22. Toon aan dat de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) niet weggelaten mag worden: een niet-lineaire additieve $f$ voldoet aan de *middelpuntgelijkheid* van vraag 19 en toch aan geen enkele convexiteitsongelijkheid op enig [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) (vraag 12). Moraal: middelpuntconvexiteit is een eigenschap in aftelbaar veel stadia (de dyadische getallen), convexiteit een eigenschap van het continuüm; de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) is de brug — precies zoals in de Delen I–II.

**Deel VI — Laatste variaties en synthese.**

23. Bepaal alle [continue](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ met $f(x + y) = f(x) +  f(y) + xy$ *(trek de particuliere oplossing $\frac{x^2}{2}$ af)* .
24. Bewijs: is $f \colon \R \to \R$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en slechts additief op een *[dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) [deelgroep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-subgroup)* $G$ (dat wil zeggen $f(g + g') =  f(g) + f(g')$ voor $g, g' \in G$ ), dan is $f$ additief op $\R$ . Algemener: twee [continue](#def-b1-continuity-continuous) functies die op een [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) deelverzameling van $\R$ overeenstemmen zijn gelijk.
25. Synthese, één zin per onderdeel: (i) formuleer de ladder van de regelmaat uit vraag 8 uit het hoofd; (ii) leg uit waarom “grafiek [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) in het vlak” het juiste mentale beeld is voor het falen van de regelmaat; (iii) som de vijf klassieke functies op die in de Delen IV–V gekarakteriseerd worden, en de ene methode die ze alle ving; (iv) noem de twee plaatsen waar de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) van $\Q$ (of van de dyadische getallen) in $\R$ het argument droeg, en de plaats waar ze dat niet kon (vraag 13).

**Oplossing van Probleem 13.1.**

**1.** Voor $n \in \N$ geldt $f(nx) = n f(x)$ met inductie ($f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$). Verder geeft $f(0) = 2f(0)$ dat $f(0)
= 0$, en $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ dat $f$ oneven is, dus $f(nx)
= nf(x)$ voor $n \in \Z$. Voor $r = \frac pq$: $q\,f\bigl(\tfrac
pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$, dus $f(rx) = r f(x)$: $f$ is $\Q$-lineair.

**2.** De additiviteit geeft, voor alle $x$ en $h$:

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

Als $h \to 0$ nadert het rechterlid tot $0$ wegens de [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in $x_0$; dus $f(x + h) \to f(x)$: [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in elke $x$. Daarna levert [Oefening 13.11](#exo-b1-continuity-11) dat $f(x) = f(1)\,x$.

**3.** Twee [continue](#def-b1-continuity-continuous) additieve functies zijn van de vorm $cx$ en $c'x$ (vraag 2); als ze samenvallen op de [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) ondergroep $\Z +
\sqrt2\,\Z$ ([Oefening 10.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-9)), dan is $c\,g = c'g$ voor zekere $g \neq 0$ daarin: $c = c'$, de functies zijn gelijk. Zonder [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous): $\Q$-lineariteit legt alleen de waarden in $\Q$-combinaties vast, en $1, \sqrt2$ zijn $\Q$-onafhankelijk ($\sqrt2 \notin \Q$), dus $f(1) = 0$, $f(\sqrt2) = 1$ is consistent en dwingt op de ondergroep

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** Voor $t \in \intcc{0}{\ell}$ is $a + t \in
\intcc{a}{b}$, dus $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$.

**5.** Voor $t \in \intcc{0}{\ell}$ ligt ook $\ell - t$ in $\intcc{0}{\ell}$, en de additiviteit geeft $f(t) = f(\ell) -
f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$. Bijgevolg is $\abs{f} \leq C$ op $\intcc{0}{\ell}$ met $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) -
M'}\bigr)$.

**6.** Voor $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ is $nt \in
\intcc{0}{\ell}$ en $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (vraag 1), dus $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$. Zij $\varepsilon > 0$ gegeven; kies $n >
\frac C\varepsilon$: voor $0 \leq h \leq \frac\ell n$ is $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$, en voor negatieve $h$ gebruiken we $f(h) = -f(-h)$. Dus $f(h) \to 0 = f(0)$ als $h \to 0$: [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in $0$, dus overal (vraag 2), dus $f(x) = f(1)x$.

**7.** Als $f$ stijgend is op $\intcc{a}{b}$, dan geldt daar $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$: begrensd, dus lineair volgens vraag 6, $f(x) = cx$; en $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ dwingt $c \geq 0$.

**8.** (a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c): triviaal. (c)$\Rightarrow$(a): vraag 2. (a)$\Rightarrow$(d): een lineaire functie is overal monotoon. (d)$\Rightarrow$(e): een monotone functie op $\intcc{a}{b}$ is daar begrensd door haar waarden in de randpunten. (e)$\Rightarrow$(a): vragen 4–6. De vijf [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) zijn equivalent — de regelmaatladder.

**9.** Vraag 4 gebruikte alleen de [bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) $M$; vraag 5 *leidde* de ondergrens af uit de [bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) via de spiegeling $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$; vraag 6 werkte vervolgens met $\abs f \leq C$. Dus: additief en naar *boven* begrensd op één niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) impliceert al lineair. Voor een ondergrens passen we dit toe op $-f$ (additief, naar boven begrensd). De sterkste sport (e): een eenzijdige grens op één [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) volstaat.

**10.** Als $\frac{f(x)}{x}$ voor alle $x \neq 0$ één en dezelfde constante $c$ was, zou $f$ lineair zijn; er zijn dus $u, v
\neq 0$ met $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$, dat wil zeggen $u f(v)
- v f(u) \neq 0$: de determinant van de vectoren $(u, f(u))$, $(v,
f(v))$ is niet nul, en zij brengen $\R^2$ voort.

**11.** Voor $r, s \in \Q$ is $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (tweemaal vraag 1 plus additiviteit), dus bevat de grafiek

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

Zij $(x_0, y_0)$ en $\varepsilon > 0$ gegeven: het $2 \times 2$ stelsel $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ heeft een (unieke) reële oplossing $(a, b)$, want de determinant is niet nul. Kies rationale getallen $r_n \to a$, $s_n \to b$: dan geldt $r_n(u, f(u))
+ s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coördinaatsgewijs, en elk van die punten ligt op de grafiek: de grafiek is [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) in $\R^2$.

**12.** Zij $I$ een niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals), $x_0$ het midden ervan en $M$ willekeurig: de [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) levert een punt van de grafiek op afstand minder dan $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ van $(x_0, M + 1)$, dat wil zeggen een $x \in I$ met $f(x) > M$: onbegrensd op $I$, dus (vraag 8) discontinu in elk punt en monotoon op geen enkel [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals); en voor elk doelwit $y_0$ geven punten van de grafiek dicht bij $(x_0, y_0)$ waarden $f(x)$ willekeurig dicht bij $y_0$ met $x \in I$: $f(I)$ is [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) in $\R$. Dit is vraag 8 achterstevoren gelezen: omdat alle sporten equivalent zijn, moet een niet-lineaire additieve functie ze *allemaal* missen, en overal.

**13.** Goed gedefinieerd: uit $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ volgt $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$, dus $n = n'$ (anders zou $\sqrt2 \in \Q$) en $m = m'$. De additiviteit op $G$ is dan coördinaat per coördinaat duidelijk. Onbegrensdheid bij $0^+$: leg $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ en $N \in \N$ vast. Voor elke vaste $n$ met $\abs n \leq N$ legt de voorwaarde $m + n\sqrt2 \in
\intoo{0}{1}$ de $m$ vast binnen een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) van lengte $1$: hoogstens één geheel getal $m$ per $n$, dus hoogstens $2N + 1$ elementen van $G \cap \intoo{0}{1}$ hebben $\abs{f} \leq N$. Maar $G
\cap \intoo{0}{\varepsilon}$ is oneindig ($G$ is [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense), [Oefening 10.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-9)); dus bevat die doorsnede een $g$ met $\abs{f(g)} > N$: $f$ is onbegrensd op elke rechtse [omgeving](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) van $0$. $f$ uitbreiden tot een additieve functie op $\R$ betekent de waarden coherent kiezen op een familie reële getallen die $\Q$-lineair onafhankelijk is en $\R$ over $\Q$ voortbrengt — een Hamelbasis; er één produceren vergt het keuzeaxioma, en geen enkele expliciete formule kan dat: constructief bezitten we het monster alleen op $G$.

**14.** $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$. Als $f(x_0) = 0$, dan is $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ voor alle $x$: uitgesloten. Dus $f > 0$ en $g = \ln \circ f$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) ([Propositie 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) met $g(x + y) = g(x) + g(y)$: volgens [Oefening 13.11](#exo-b1-continuity-11) is $g(x) = cx$, dus $f(x) =
\eu^{cx}$. Omgekeerd voldoet elke $\eu^{cx}$: de [continue](#def-b1-continuity-continuous) [morfismen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-morphism) $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ zijn precies de exponentiëlen.

**15.** $g(u) = f(\eu^u)$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) en $g(u + v) = f(\eu^u
\eu^v) = g(u) + g(v)$: $g(u) = cu$, en elke $x > 0$ schrijft zich als $x = \eu^u$ met $u = \ln x$: $f(x) = c\ln x$.

**16.** $h = \ln \circ f$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intoo{0}{+\infty}$ met $h(xy) = h(x) + h(y)$: volgens vraag 15 is $h(x) = c\ln x$, dus $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$.

**17.** Met $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$, dus $f(0)(1 +
f(0)) = 0$. Als $f(0) = -1$: door $y = 0$ te nemen, $f(x) = f(x) +
f(0) + f(x)f(0) = -1$ voor alle $x$: de constante $f \equiv -1$ (die inderdaad aan de vergelijking voldoet). Anders is $f(0) = 0$; dan is $h = 1 + f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous), $h(0) = 1$, en

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

volgens vraag 14 is $h(x) = \eu^{cx}$, dat wil zeggen $f(x) =
\eu^{cx} - 1$ (het geval $c = 0$ geeft $f \equiv 0$). Volledige lijst: $f \equiv -1$ en $f(x) = \eu^{cx} - 1$, $c \in \R$.

**18.** Met $x = y = 0$: $2f(0) = 4f(0)$, dus $f(0) = 0$. Met $x = 0$: $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, dus $f$ is even. Met $y = x$: $f(2x) = 4f(x)$. Inductie met $(x, y) \to (nx, x)$:

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

Vervolgens geeft $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2
f\bigl(\frac xq\bigr)$ dat $f\bigl(\frac pq x\bigr) =
\frac{p^2}{q^2}f(x)$: op $\Q$ is $f(r) = r^2 f(1)$ (de pariteit regelt de tekens). De twee [continue](#def-b1-continuity-continuous) functies $f$ en $x \mapsto
f(1)x^2$ vallen samen op de [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\Q$, dus overal (vraag 24): $f(x) = f(1)\,x^2$; elke $cx^2$ voldoet aan de vergelijking.

**19.** $g = f - f(0)$ is [continu](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 0$, en voldoet aan de vergelijking van Jensen (de constanten vallen weg). Met $y = 0$: $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$. Dan geldt voor alle $x, y$

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

dus $g$ is additief en [continu](#def-b1-continuity-continuous): $g(x) = cx$ (vraag 2), en $f(x) = cx
+ d$ met $d = f(0)$. Alle affiene functies voldoen aan Jensen: de lijst is volledig.

**20.** Inductie op $n$. Voor $n = 0$: $\lambda \in \{0, 1\}$, triviaal. Neem aan dat de ongelijkheid geldt voor alle gewichten $\frac{k}{2^n}$. Een gewicht $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ met $k$ even herleidt zich tot niveau $n$; voor $k = 2j + 1$ is $\lambda$ het midden van $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ en $\lambda_2 =
\frac{j+1}{2^n}$. Met $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ is $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$, dus

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** Leg $x, y$ vast. De [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\lambda \mapsto
f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ en $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1
- \lambda)f(y)$ zijn [continu](#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{0}{1}$ (samenstelling en algebra, [Propositie 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). De ongelijkheid geldt op de dyadische gewichten, die [dicht](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) liggen in $\intcc{0}{1}$ ([Oefening 10.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-8)); voor een willekeurige $\lambda$ nemen we dyadische $\lambda_n \to \lambda$ en gaan we over tot de limiet ([Stelling 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) en [Stelling 11.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-order)): de convexiteitsongelijkheid geldt voor elke $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ — middenpuntsconvexiteit plus [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) is convexiteit (het begrip uit [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative)).

**22.** Een niet-lineaire additieve $f$ voldoet exact aan $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ (vraag 1 met $r
= \frac12$, daarna additiviteit): zij is middenpuntsconvex, zelfs middenpuntsaffien. Als zij op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{x}{y}$ aan de volledige convexiteitsongelijkheid voldeed, dan gold voor $\lambda
\in \intcc{0}{1}$: $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x),
f(y))$ — naar boven begrensd op een niet-ontaard [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals), dus lineair volgens vraag 9: tegenspraak. De [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) in vraag 21 is dus geen luxe: zonder haar beheerst de middenpuntsconvexiteit alleen het aftelbare dyadische skelet, en het continuüm daartussen loopt uit de hand.

**23.** $p(x) = \frac{x^2}{2}$ voldoet aan $p(x+y) = p(x) +
p(y) + xy$. Is $f$ een willekeurige [continue](#def-b1-continuity-continuous) oplossing, dan is $g =
f - p$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en additief, dus $g(x) = cx$:

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

en elk van deze functies is een oplossing: de lijst is volledig.

**24.** Algemeen principe: zijn $u, v$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en vallen ze samen op een [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) $D \subseteq \R$, kies dan voor $x \in \R$ punten $d_n \in D$ met $d_n \to x$ ([Propositie 12.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#prop-b1-topology-closureprops)); dan is $u(x) = \lim u(d_n) =
\lim v(d_n) = v(x)$. Zij nu $f$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) en additief op de [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) ondergroep $G$. Leg $x, y \in \R$ vast en neem $g_n \to x$, $g'_n
\to y$ met $g_n, g'_n \in G$; dan geldt $g_n + g'_n \to x + y$ en, wegens de rijcontinuïteit in $x + y$, $x$ en $y$,

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

$f$ is additief op heel $\R$ (en dus lineair, volgens vraag 2).

**25.** (i) Voor additieve $f$: lineair $\iff$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ [continu](#def-b1-continuity-continuous) in één punt $\iff$ monotoon op een of ander [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\iff$ begrensd (zelfs eenzijdig) op een of ander [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals). (ii) De [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) van de grafiek in het vlak laat zien dat het tekort geen plaatselijk gebrek is maar een globale explosie: boven elk deelinterval smeren de waarden zich uit over heel $\R$, zodat elke regelmaatseigenschap overal tegelijk faalt. (iii) De vangst: $cx$, $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$, $cx^2$ en $cx + d$ — zes karakteriseringen, één methode: breng de vergelijking terug tot die van Cauchy, bewijs het $\Q$-skelet met inductie, til het op tot $\R$ met [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) plus [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous). (iv) De [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) van $\Q$ (of van de dyadische getallen) droeg de opwaarderingen in [Oefening 13.11](#exo-b1-continuity-11) en in vraag 21; ze droeg niets in vraag 13, want zonder [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous) planten waarden zich niet voort van een [dichte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) naar haar [afsluiting](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closure) — [dichtheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-dense) draagt informatie alleen langs [continuïteit](#def-b1-continuity-continuous).