---
title: "Integratie op een segment"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment
---

# Hoofdstuk 15 — Integratie op een segment

De [integraal](#thm-b1-integration-def) van het bovenbouwvolume steunde op intuïtief opgevatte oppervlakten. Dit hoofdstuk construeert hem: eerst voor [trapfuncties](#def-b1-integration-step), waar de [integraal](#thm-b1-integration-def) een eindige som is, en daarna voor [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) (en stuksgewijs [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous)) functies door uniforme benadering — de plek waar de stelling van Heine ([Stelling 13.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#thm-b1-continuity-heine)) haar kost verdient. De hoofdstelling van de integraalrekening verbindt de constructie vervolgens met primitieven, en de [Riemannsommen](#thm-b1-integration-riemann) verbinden hem met discrete gemiddelden.

Overal zijn $a < b$ reële getallen.

## 15.1 Trapfuncties

**Definitie 15.1.**

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ heet een *trapfunctie* wanneer er een verdeling $a =
x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ bestaat waarvoor $\varphi$ constant is, gelijk aan $c_i$, op elk [open](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-open) [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (de waarden in de knooppunten zijn vrij). Haar [integraal](#thm-b1-integration-def) is

$$
\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),
$$

onafhankelijk van de gekozen verdeling (verfijn twee verdelingen tot hun gemeenschappelijke verdeling: elk van beide leden blijft bij verfijning ongewijzigd).

**Propositie 15.2.**

Op [trapfuncties](#def-b1-integration-step) is de [integraal](#thm-b1-integration-def) lineair en stijgend ($\varphi \leq
\psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$), en voldoet hij aan de relatie van Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ voor $a < c <
b$.

**Bewijs.** De motor is de *invariantie onder verfijning*, vermeld in de definitie: het invoegen van één extra knooppunt $t \in
\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ in een verdeling vervangt de term $c_i(x_i -
x_{i-1})$ door $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ — hetzelfde getal — zodat de [integraal](#thm-b1-integration-def) onder elke eindige verfijning onveranderd blijft. Neem nu $\varphi$ met verdeling $\sigma$ en $\psi$ met verdeling $\sigma'$: op de gemeenschappelijke verfijning $\sigma \cup \sigma'$ zijn beide [trapfuncties](#def-b1-integration-step) met *dezelfde* knooppunten, en op elk stuk is $\varphi +
\lambda\psi$ constant gelijk aan $c_i + \lambda d_i$: de lineariteit herleidt zich tot die van eindige sommen. Stijging: $c_i \leq d_i$ op elk stuk geeft $\sum c_i \Delta_i \leq \sum d_i
\Delta_i$ (lengten $\Delta_i \geq 0$). Chasles: voeg het knooppunt $c$ in en splits de som daar. ∎

## 15.2 Integraal van een continue functie

**Stelling 15.3 (Uniforme benadering).**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$. Voor elke $\varepsilon > 0$ bestaan er [trapfuncties](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ met

$$
\varphi \leq f \leq \psi
\qquad\text{en}\qquad
\psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ op } \intcc{a}{b}.
$$

**Bewijs.** Volgens de stelling van Heine ([Stelling 13.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#thm-b1-continuity-heine)) is $f$ [uniform continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-uniform): kies $\delta$ bij $\varepsilon$, en een verdeling met maaswijdte $< \delta$ (bijvoorbeeld gelijkmatig, met $n >
\frac{b - a}{\delta}$ stukken). Op elk [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) stuk $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$ bereikt $f$ een minimum $m_i$ en een maximum $M_i$ ([Stelling 13.13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#thm-b1-continuity-evt)), en is $M_i - m_i \leq
\varepsilon$ (de twee extremale punten liggen binnen $\delta$ van elkaar). Definieer $\varphi = m_i$ en $\psi = M_i$ op $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (en $\varphi = \psi = f$ in de knooppunten). ∎

**Stelling 15.4 (Definitie van de integraal).**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$. De twee getallen

$$
I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ trapfunctie},\
\varphi \leq f\Bigr\},
\qquad
I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ trapfunctie},\ \psi
\geq f\Bigr\}
$$

zijn gelijk; hun gemeenschappelijke waarde is de *integraal* $\int_a^b f$ (ook geschreven als $\int_a^b f(t)\,\dd t$). Hij valt op [trapfuncties](#def-b1-integration-step) samen met het vorige begrip, en breidt uit tot stuksgewijs [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functies door $\intcc{a}{b}$ in de discontinuïteitspunten te splitsen (daar is Chasles een definitie).

**Bewijs.** Beide [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn niet leeg ($f$ is begrensd) en elke onderste trapintegraal is $\leq$ elke bovenste (monotonie op [trapfuncties](#def-b1-integration-step)): dus $I_-(f) \leq I_+(f)$. Volgens [Stelling 15.3](#thm-b1-integration-approx) is er voor elke $\varepsilon$ een paar met $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$: het [supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) en het [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) worden samengeknepen, $I_- = I_+$. ∎

**Voorbeeld 15.5 (Stuksgewijs continu, geen drama).**

Het gehele deel op $\intcc{0}{3}$ is een vermomde [trapfunctie](#def-b1-integration-step): door in zijn sprongen te splitsen krijgen we

$$
\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t
= \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,
$$

en de waarden *in* de sprongpunten $1, 2$ doen er niet toe: een functie in eindig veel punten wijzigen verandert geen enkele [integraal](#thm-b1-integration-def) (de omsluitende [trapfuncties](#def-b1-integration-step) blijven onaangetast). Dat is de hele inhoud van de uitbreiding “stuksgewijs [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous)”: snijd in de eindig veel discontinuïteiten, integreer elk [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) stuk, tel op — Chasles als definitie.

**Voorbeeld 15.6 (De definitie rekent, eenmalig).**

Zij $f(x) = x$ op $\intcc{0}{1}$ en snijd in $n$ gelijke stukken. De beste [trapfuncties](#def-b1-integration-step) die constant zijn op de stukken, zijn $\varphi = \frac{k-1}{n}$ en $\psi = \frac kn$ op het $k$-de stuk, met

$$
\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n-1}{2n},
\qquad
\int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n+1}{2n} .
$$

Elke onderste [integraal](#thm-b1-integration-def) is $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ elke bovenste, dus $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq
\frac{n+1}{2n}$ voor alle $n$: beide worden op $\frac12$ samengeknepen, en $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ rechtstreeks uit de definitie. Het afsluitende inzicht: dit is de eerste en de laatste keer dat we uit de definitie integreren — de hoofdstelling hieronder vervangt al zulke berekeningen door het opzoeken van één primitieve, en dat is het hele economische punt van dit hoofdstuk.

**Stelling 15.7 (Eigenschappen).**

Voor $f, g$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) (of stuksgewijs [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous)) op $\intcc{a}{b}$ en $\lambda \in \R$ geldt:

1. lineariteit: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
2. monotonie: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; en $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b -  a)\, \sup\abs f$ ;
3. Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (met de afspraak $\int_b^a = -\int_a^b$ , geldig voor elke volgorde van de grenzen);
4. strikte positiviteit: is $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) , $f \geq 0$ en $\int_a^b f = 0$ , dan is $f = 0$ overal op $\intcc{a}{b}$ .

**Bewijs.** (1)–(3) gaan van [trapfuncties](#def-b1-integration-step) over op de limiet via de definitie met [supremum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) en [infimum](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds). De lineariteit verdient het detail eenmaal: zij $\varepsilon > 0$ gegeven; omsluit $\varphi_f \leq f
\leq \psi_f$ en $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ met openingen $\leq \varepsilon$ ([Stelling 15.3](#thm-b1-integration-approx)). Voor $\lambda \geq 0$ is $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f +
\lambda g \leq \psi_f + \lambda\psi_g$ een omsluiting door [trapfuncties](#def-b1-integration-step) met opening $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$, en haar trapintegralen zijn gelijk aan $\int \varphi_f +
\lambda\int\varphi_g$ enzovoort ([Propositie 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)): door $\varepsilon \to 0$ te laten gaan wordt $\int(f + \lambda g)$ op $\int f +
\lambda\int g$ samengeknepen. Voor $\lambda < 0$ *keert* vermenigvuldiging met $\lambda$ de omsluiting van $g$ om — de onderste [trapfunctie](#def-b1-integration-step) van $\lambda g$ is $\lambda \psi_g$ — en dezelfde insluiting loopt met omgewisselde rollen. De grens $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ komt uit $-\abs f \leq f \leq
\abs f$ en de monotonie.

(4) Contrapositie: is $f(x_0) = m > 0$, dan levert de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) een deelinterval van lengte $\eta > 0$ waarop $f \geq
\frac m2$; de [trapfunctie](#def-b1-integration-step) die daar $\frac m2$ waard is en elders $0$, is $\leq f$, dus $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$. ∎

**Voorbeeld 15.8 (Chasles aan het werk: integralen met absolute waarden).**

Om een absolute waarde te integreren, snijd je waar het teken verandert.

$$
\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x
= \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x
= \frac12 + \frac12 = 1 ,
$$

en door $\intcc{0}{2\pi}$ in $\pi$ te snijden:

$$
\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t
= \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t
= 2 + 2 = 4 ,
$$

terwijl $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$: de opheffing is echt, en daarom draagt de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over strikte positiviteit ([Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) de hypothese $f \geq 0$ — zonder haar bewijst een verdwijnende [integraal](#thm-b1-integration-def) niets over $f$. Het afsluitende inzicht: $\int \abs f$ meet *oppervlakte*, $\int f$ meet *tekenbalans*; de ongelijkheid $\abs{\int f}
\leq \int\abs f$ is het exacte verslag van wat de opheffing kan vernietigen.

## 15.3 De hoofdstelling van de integraalrekening

**Stelling 15.9 (Hoofdstelling van de integraalrekening).**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) $I$ en $a \in I$. De functie

$$
F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t
$$

is van klasse $C^1$ op $I$, met $F' = f$: elke [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functie op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) heeft primitieven. Bijgevolg geldt voor *elke* primitieve $G$ van $f$:

$$
\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .
$$

**Bewijs.** Leg $x_0 \in I$ en $\varepsilon > 0$ vast; de [continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) in $x_0$ levert een $\delta$ met $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ voor $\abs{t - x_0} \leq \delta$. Voor $0 < \abs{h} \leq \delta$ (en $x_0
+ h \in I$) geeft Chasles

$$
\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)
= \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,
$$

waarvan de absolute waarde $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\,
\varepsilon = \varepsilon$ is (grens (2), geldig voor beide volgordes van de grenzen). Dus $F'(x_0) = f(x_0)$; $F' = f$ is [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous), dus $F$ is $C^1$. Is ook $G' = f$, dan is $(G - F)' = 0$ op het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals), dus $G = F + c$ ([Gevolg 14.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#cor-b1-derivative-monotone)), en $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) =
\int_a^b f$. ∎

**Voorbeeld 15.10 (Symmetrie vóór berekening).**

Op een symmetrisch [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) doet de pariteit het werk: is $f$ oneven, dan stuurt de substitutie $t \mapsto -t$ de [integraal](#thm-b1-integration-def) $\int_{-a}^{0} f$ naar $-\int_0^a f$, dus

$$
\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ;
\qquad\text{is $f$ even, dan}\quad
\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .
$$

Zo is $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ zonder dat er een primitieve in zicht is (de integrand is oneven), en $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\,
\dd t$. Controleer de symmetrie voordat je naar technieken grijpt: de snelste [integraal](#thm-b1-integration-def) is die welke nooit wordt berekend.

**Voorbeeld 15.11 (Een afgeleide op het zicht herkennen).**

Bereken $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$. De halveringsformule $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ maakt van de integrand $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$, en dat is precies de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) van $\tan\frac x2$:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}
= \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .
$$

Er was geen substitutiemachinerie nodig — alleen de reflex om een integrand te lezen als iemands [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def), waarna de hoofdstelling de rest doet. (Het systematische gereedschap achter zulke goniometrische [integralen](#thm-b1-integration-def), de substitutie $t = \tan\frac
x2$, hoort bij de standaarduitrusting die op [Stelling 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2) wordt gebouwd.)

**Voorbeeld 15.12 (Functies gedefinieerd door integralen).**

De hoofdstelling fabriceert functies. Zij

$$
F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .
$$

Geen enkele combinatie van klassieke functies heeft [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) $\eu^{-t^2}$ (een stelling van Liouville, aangenomen); toch bestaat $F$, is zij $C^1$ met $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$, strikt stijgend, oneven (substitueer $t \mapsto -t$) en begrensd: voor $x \geq 1$ is

$$
F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t
\leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,
$$

dus $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$. (De exacte limiet, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, wordt met dubbele [integralen](#thm-b1-integration-def) berekend in het volume van bachelorjaar 3.) Kettingregel voor bewegende grenzen: $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t
= 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$. Het afsluitende inzicht: integratie *schept* nieuwe functies uit oude, met al hun eigenschappen afleesbaar uit de integrand — de primitieve die je niet kunt opschrijven, is nog steeds een functie die je volledig beheerst.

**Voorbeeld 15.13 (Schatten zonder te berekenen).**

De [integralen](#thm-b1-integration-def) $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ hebben geen aangename gesloten vorm, en toch pint de monotonie ze nauwkeurig vast: op $\intcc{0}{1}$ is $\frac12 \leq
\frac{1}{1+t} \leq 1$, dus

$$
\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t
\;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :
$$

de exacte orde van afname ($R_n \sim$ een veelvoud van $\frac1n$, in feite $R_n \sim \frac{1}{2n}$) met twee regels en zonder primitieve. De weekendopgaven van dit hoofdstuk en het volgende draaien op precies zulke omsluitingen — de eerste reflex van de analist tegenover een [integraal](#thm-b1-integration-def) moet *begrens hem* zijn, en pas daarna, indien nodig, hem berekenen.

**Voorbeeld 15.14 (Gemiddelde waarden).**

Het *gemiddelde* van een [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) $f$ over $\intcc{a}{b}$ is $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Voor de boog van de sinus:

$$
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi}
\approx 0.637 :
$$

een volledige positieve boog heeft niet $\frac12$ maar $\frac2\pi$ als gemiddelde — de kromme brengt meer tijd hoog door dan een driehoek zou doen. Volgens [Oefening 15.11](#exo-b1-integration-11) (middelwaardestelling voor [integralen](#thm-b1-integration-def), $g = 1$) is het gemiddelde een *waarde*: $\sin c
= \frac2\pi$ voor zekere $c \in \intoo{0}{\pi}$. En volgens de [Riemannsommen](#thm-b1-integration-riemann) van dit hoofdstuk is het gemiddelde de limiet van gewone gemiddelden van $n$ steekproeven — de brug tussen het discrete gemiddelde van gegevens en het [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) gemiddelde van een signaal, en zo doet de [integraal](#thm-b1-integration-def) zijn intrede in de fysica.

**Stelling 15.15 (Partiële integratie; substitutie).**

1. Zijn $u, v$ van klasse $C^1$ op $\intcc{a}{b}$, dan geldt $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$
2. Is $\varphi$ van klasse $C^1$ op $\intcc{\alpha}{\beta}$ en $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$, dan geldt $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,  \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$

**Bewijs.** (1) $(uv)' = u'v + uv'$; integreer over $\intcc{a}{b}$ en pas de hoofdstelling toe op de $C^1$-functie $uv$.

(2) Zij $F$ een primitieve van $f$ op het beeldinterval ([Stelling 15.9](#thm-b1-integration-ftc)). Dan is $(F \circ \varphi)' = (f
\circ \varphi)\,\varphi'$ (kettingregel), dus zijn beide leden gelijk aan $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$. ∎

**Voorbeeld 15.16.**

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1
\eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. En met de substitutie $x = \sin
t$ ($t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$):

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x
= \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t
= \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,
$$

— een kwart van de eenheidsschijf, zoals de meetkunde eist. (De linearisatie uit [Methode 3.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#met-b1-complex-trig) aan het werk.)

**Opmerking 15.17 (Veelgemaakte fouten in de integraalrekening).**

(i) *Substituties moeten $C^1$ zijn op het hele [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)*: de verandering $x = \frac1t$ is ongeoorloofd over $0$ heen; blind toegepast op $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$ “bewijst” zij dat de [integraal](#thm-b1-integration-def) gelijk is aan zijn eigen tegengestelde. Heeft een substitutie een singulariteit, snijd dan eerst het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) (Chasles), substitueer op elk stuk, en voeg pas daarna weer samen. (ii) *Logaritmische primitieven vragen absolute waarden*: $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$, aan elke kant van $2$ apart — $\ln(x - 2)$ schrijven op $\intoo{0}{1}$ is de logaritme van een negatief getal schrijven; en de constante $C$ mag aan weerszijden van de singulariteit verschillen. (iii) *Een verdwijnende [integraal](#thm-b1-integration-def) doodt de functie niet*: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$; positiviteit van de integrand is vereist voordat men $f = 0$ mag besluiten ([Voorbeeld 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork)). (iv) *[Riemannsommen](#thm-b1-integration-riemann) moeten worden geijkt*: in $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a +
k\frac{b-a}{n}\bigr)$ moeten de stap buiten en de punten binnen bij dezelfde verdeling horen — de veelgemaakte fout is een som $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *zonder* de factor $\frac1n$, die divergeert in plaats van naar $\int_0^1 f$ te convergeren. Controlelijst voordat je [Stelling 15.20](#thm-b1-integration-riemann) inroept: zonder $\frac1n$ af, herschrijf de sommand als $f$ van $\frac kn$, benoem $f$ en controleer haar [continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous).

**Voorbeeld 15.18 (Raden, afleiden, bijstellen).**

Wat is $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$? Raad een primitieve van de vorm $t\,P(\ln t)$ met $P$ een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) en leid af:

$$
\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .
$$

We hebben $P(u) + P'(u) = u^2$ nodig: neem $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (coëfficiënten van $u^2$ neerwaarts passend maken). Bijgevolg

$$
\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t
= \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x
= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,
$$

een resultaat dat men anders met twee [partiële integraties](#thm-b1-integration-parts) bereikt. Het afsluitende inzicht: voor integranden van de vorm ([veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in $\ln t$) of ([veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) maal $\eu^{\lambda t}$) heeft de primitieve dezelfde gedaante — het afleiden van een geraden gedaante zet integreren om in lineaire algebra op coëfficiënten, sneller en minder foutgevoelig dan herhaalde [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts).

**Voorbeeld 15.19 (De boemerangintegraal).**

Bereken $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$. Integreer twee keer partieel, waarbij je telkens de goniometrische factor afleidt:

$$
I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2}
- \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x
= \eu^{\pi/2} - J,
\qquad
J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2}
+ \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .
$$

De [integraal](#thm-b1-integration-def) is bij zichzelf teruggekeerd: $I = \eu^{\pi/2} - 1 -
I$, waaruit

$$
I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .
$$

Het afsluitende inzicht: is de integrand een product van twee functies die zich onder afleiden reproduceren ($\eu^{ax}$, $\cos
bx$, $\sin bx$), dan leveren twee [partiële integraties](#thm-b1-integration-parts) een lineaire vergelijking voor de onbekende [integraal](#thm-b1-integration-def) — los die op in plaats van te integreren; equivalent: ga langs $\eu^{(a + \iu
b)x}$ ([Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ch-b1-complex)) en neem het reële deel. Beide wegen geven hetzelfde antwoord, en nagaan dat dit zo is, is een gratis controle.

## 15.4 Riemannsommen

**Stelling 15.20 (Riemannsommen).**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$. Dan geldt

$$
S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1}
f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr)
\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,
$$

en evenzo met willekeurige evaluatiepunten binnen de deelintervallen.

**Bewijs.** $S_n$ is de [integraal](#thm-b1-integration-def) van de [trapfunctie](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$ die gelijk is aan $f(a + k\frac{b-a}{n})$ op het $k$-de deelinterval. Zij $\varepsilon > 0$ gegeven; de [uniforme continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-uniform) (Heine) levert een $\delta$; voor $n > \frac{b-a}{\delta}$ ligt elk punt van een deelinterval binnen $\delta$ van zijn evaluatiepunt, dus is $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$ op $\intcc{a}{b}$, waaruit

$$
\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr|
= \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr|
\leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere
$$

∎

![Een linkse Riemannsom met n = 8 rechthoeken: naarmate de maaswijdte krimpt, dwingt de uniforme continuïteit de oppervlakte van de trap naar ∈t_ab f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg)

*Een linkse [Riemannsom](#thm-b1-integration-riemann) met $n = 8$ rechthoeken: naarmate de maaswijdte krimpt, dwingt de [uniforme continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-uniform) de oppervlakte van de trap naar $\int_a^b f$.*

**Voorbeeld 15.21.**

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{}
\int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$: een limiet die onzichtbaar is voor elementaire afschattingen en doorzichtig als [Riemannsom](#thm-b1-integration-riemann).

**Voorbeeld 15.22 (Een tweede Riemannsom, met ijking).**

Bepaal $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$. IJk:

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}
= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2}
= \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,
$$

een [Riemannsom](#thm-b1-integration-riemann) van de [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ op $\intcc{0}{1}$: de limiet is

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .
$$

Het afsluitende inzicht: de hele kunst zit in de middelste regel — dwing de sommand in de gedaante $f(\frac kn)$ ten koste van het afzonderen van precies één factor $\frac1n$; is de gedaante eenmaal goed, dan doet de stelling de analyse en de hoofdstelling het rekenwerk.

**Opmerking 15.23 (Waar de integraal hierna werkt).**

Elk van de constructies uit dit hoofdstuk heeft een vervolg. De [Riemannsommen](#thm-b1-integration-riemann) keren terug in [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) als de brug tussen reeksen en [integralen](#thm-b1-integration-def) (vergelijking van $\sum
\frac{1}{n^\alpha}$ met $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$); de integraalrestterm is de scherpste vorm van de formule van Taylor in [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/16-formules-van-taylor-en-asymptotische-ontwikkelingen#ch-b1-taylor); de op [suprema](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) gebaseerde definitie is het prototype van de [Lebesgue-integraal](#thm-b1-integration-def) van het volume van bachelorjaar 3, waar dezelfde drie eigenschappen (lineariteit, monotonie, een convergentiestelling) worden herbouwd op een veel grotere klasse functies. En de weekendopgave hieronder maakt van de [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) rekenkunde: de irrationaliteit van $\pi^2$.

## 15.5 Oefeningen

**Oefening 15.1 ★.**

Bereken: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(splitsing in partieelbreuken, [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#ch-b1-fractions))*; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$.

**Oplossing van Oefening 15.1.**

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (afdekmethode), dus

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}
= \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1
= \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.
$$

Partieel ($u' = 1$, $v = \ln t$): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t =
\bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) =
1$.

Partieel ($u' = \sin t$, $v = t$): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t =
\bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 =
\pi$.

**Oefening 15.2 ★.**

Bereken $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (substitutie) en $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (schrijf $\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$).

**Oplossing van Oefening 15.2.**

Substitutie $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$:

$$
\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2}
= \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2}
= \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .
$$

Met $u = \sin t$: $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2}
(1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3
t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$.

**Oefening 15.3 ★.**

Bepaal de limieten, als [Riemannsommen](#thm-b1-integration-riemann):

$$
u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2},
\qquad
v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}}
\ \emph{(neem logaritmen)}.
$$

**Oplossing van Oefening 15.3.**

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$: een [Riemannsom](#thm-b1-integration-riemann) van $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ op $\intcc{0}{1}$, dus $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$.

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n
\sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd
x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$. Bijgevolg $v_n
\to \eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$. (Controle van de identificatie: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n}
\frac{n+k}{n}$.)

**Oefening 15.4 ★.**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{0}{1}$. Bereken $\lim_{n\to\infty}
\int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$. *(Snijd $\intcc{0}{1}$ in $1 -
\delta$.)*

**Oplossing van Oefening 15.4.**

De limiet is $0$. Zij $M = \sup \abs f$ en $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$. Snijd in $1 - \varepsilon$:

$$
\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr|
\leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1
x^n \abs f
\leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .
$$

Omdat $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([Oefening 11.3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-3)), is de limsup van het linkerlid $\leq M\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$: de [integraal](#thm-b1-integration-def) nadert tot $0$.

**Oefening 15.5 ★★.**

(Cauchy–Schwarz) Bewijs voor $f, g$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$ dat

$$
\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,
$$

door $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ te ontwikkelen als een tweedegraadsuitdrukking in $\lambda$. Wanneer geldt de gelijkheid?

**Oplossing van Oefening 15.5.**

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int
fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ voor alle $\lambda$. Is $\int g^2 =
0$, dan is $g = 0$ (strikte positiviteit, [Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) en luidt de ongelijkheid $0
\leq 0$. Anders is $Q$ een echte tweedegraadsuitdrukking, overal $\geq 0$: haar discriminant is $\leq 0$, dat wil zeggen $\bigl(\int
fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int g^2$.

Gelijkheid geldt dan en slechts dan als de discriminant nul is, dus als $Q(\lambda_0) = 0$ voor zekere $\lambda_0$, dat wil zeggen $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, dus (opnieuw strikte positiviteit) $f = -\lambda_0 g$: de gelijkheid geldt precies wanneer $f$ en $g$ evenredig zijn.

**Oefening 15.6 ★★.**

Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\R$ en $T$-periodiek. Bewijs dat $\int_a^{a+T}
f$ niet van $a$ afhangt, en dat $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t \to
\frac 1T \int_0^T f$ als $x \to +\infty$.

**Oplossing van Oefening 15.6.**

Zij $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$. Volgens de hoofdstelling ([Stelling 15.9](#thm-b1-integration-ftc)) is $\Phi$ [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) met $\Phi'(a) =
f(a + T) - f(a) = 0$: constant.

Voor $x > 0$ schrijf $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ ($n = \lfloor x/T
\rfloor$). Chasles:

$$
\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f,
\qquad
\Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f
= C .
$$

Dan is $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f +
O\bigl(\frac 1x\bigr)$, en $\frac{nT}{x} \to 1$: de limiet is $\frac1T \int_0^T f$.

**Oefening 15.7 ★★.**

Bewijs dat een [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) $f$ op $\intcc{0}{1}$ met $\int_0^1 f =
\frac12$ een vast punt heeft in $\intcc{0}{1}$. *(Integreer $f(x) - x$ en gebruik de strikte positiviteit, [Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), via haar contrapositie gecombineerd met de tussenwaardestelling.)*

**Oplossing van Oefening 15.7.**

Zij $g(x) = f(x) - x$: [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous), met

$$
\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .
$$

Werd $g$ nooit nul, dan zou de tussenwaardestelling een vast teken afdwingen (een [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functie op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) die beide tekens aanneemt, wordt nul); zeg $g > 0$. Dan geeft de strikte positiviteit ([Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), toegepast op $g > 0$) dat $\int g > 0$: in tegenspraak met $\int g = 0$. Dus is $g(c) = 0$ voor zekere $c$: $f(c) = c$.

**Oefening 15.8 ★★★.**

([Integralen](#thm-b1-integration-def) van Wallis) Zij $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$.

1. Bewijs met [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) de recursie $n W_n = (n-1)  W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ), en bereken $W_0, W_1$ , en daarna $W_{2p}$ en $W_{2p+1}$ in gesloten vorm.
2. Bewijs dat $(W_n)$ dalend is met $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to  1$ ; bewijs dat de grootheid $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ constant is, gelijk aan $\frac\pi2$ ; en leid daaruit de asymptotische gelijkwaardigheid $W_n \sim  \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ af.

**Oplossing van Oefening 15.8.**

1. Partieel met $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$: $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2}  + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t  = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ dus $nW_n = (n-1)W_{n-2}$. Uit $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 =  1$: $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\,  \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2,  \qquad  W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3}  = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$
2. Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ is $0 < \sin t < 1$, dus $\sin^{n+1} < \sin^n$ en is $(W_n)$ (strikt) dalend en positief. Insluiting met de recursie: $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}  \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1  \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ Invariant: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ voldoet aan $a_n =  a_{n-1}$ wegens de recursie $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$, dus $a_n = a_0 = 1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$. Dan $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2  \quad\implies\quad  W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$

**Oefening 15.9 ★★★.**

(Niven: $\pi$ is irrationaal) Stel dat $\pi = \frac ab$ met $a, b
\in \N^*$, en stel, voor een nog te kiezen $n$,

$$
P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!},
\qquad
I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .
$$

1. Bewijs dat $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , wat $<  1$ is voor grote $n$ .
2. Bewijs dat $P$ en al haar [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) *gehele* waarden aannemen in $0$ en in $\pi = \frac ab$ . *(Binomiaalontwikkeling: de coëfficiënten van $P$ maal $k!$ zijn geheel voor $k \geq n$; en $P(\pi - x) = P(x)$.)*
3. Stel $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (een eindige som). Ga na dat $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , en leid af dat $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ een geheel getal is.
4. Besluit.

**Oplossing van Oefening 15.9.**

1. Op $\intoo{0}{\pi}$ is $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) =  b(\pi - x) > 0$ en $\sin x > 0$ , dus is de integrand $> 0$ en $I_n > 0$ (strikte positiviteit). Grens: op $\intcc{0}{\pi}$ is $x \leq \pi$ en $a - bx \leq a$ , dus $P  \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ en $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi  a)^n}{n!}$ , wat naar $0$ nadert (de faculteit verslaat de meetkundige term: het is de algemene term van de convergente exponentiële reeks, vergelijk [Voorbeeld 11.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ex-b1-seq-e) ); in het bijzonder is $I_n < 1$ voor grote $n$ .
2. Ontwikkel $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j}  (-b)^j x^{n+j}$ : dus $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ met gehele $c_j$ . Dan is $P^{(k)}(0) = 0$ voor $k < n$ (valuatie) en, voor $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) =  \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , een geheel getal omdat $n! \mid  k!$ . Bovendien is $P(\pi - x) = P(x)$ (substitueer: $\pi -  x$ verwisselt de factoren, met $a - b(\pi - x) = bx$ ), dus $P^{(k)}(\pi) = \pm P^{(k)}(0)$ : eveneens gehele getallen.
3. Met $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (eindig, want $P$ heeft graad $2n$) is $Q + Q'' = P$, en $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ Bijgevolg is $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi}  = Q(\pi) + Q(0)$, een som van waarden $P^{(2k)}$ in $0$ en $\pi$: een geheel getal volgens (2).
4. Voor grote $n$ is $I_n$ een geheel getal met $0 < I_n < 1$ : onmogelijk. De aanname $\pi = \frac ab$ faalt: $\pi$ is irrationaal.

**Oefening 15.10 ★★★.**

Zij $f$ van klasse $C^1$ op $\intcc{a}{b}$. Bewijs met [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) de limiet van het type Riemann–Lebesgue

$$
\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to
+\infty]{} 0 .
$$

Bewijs haar daarna opnieuw voor $f$ alleen [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous), met uniforme benadering door [trapfuncties](#def-b1-integration-step) ([Stelling 15.3](#thm-b1-integration-approx)).

**Oplossing van Oefening 15.10.**

Het $C^1$-geval: partieel,

$$
\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t
= \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b
+ \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,
$$

in absolute waarde begrensd door $\frac{2\sup\abs f + (b -
a)\sup\abs{f'}}{\lambda} \to 0$.

Het [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) geval: zij $\varepsilon > 0$ en kies een [trapfunctie](#def-b1-integration-step) $\varphi$ met $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ ([Stelling 15.3](#thm-b1-integration-approx) levert $\varphi \leq f \leq \psi$ met opening $\leq\varepsilon$; neem $\varphi$). Dan is

$$
\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr|
\leq \int_a^b \abs{f - \varphi}
+ \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr|
\leq (b-a)\varepsilon
+ \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd
t\Bigr| ,
$$

en elke $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| =
\bigl|\frac{\cos\lambda x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr|
\leq \frac{2}{\lambda}$: de tweede term nadert tot $0$. Bijgevolg is de limsup $\leq (b-a)\varepsilon$ voor elke $\varepsilon$: de limiet is $0$.

**Oefening 15.11 ★★.**

(Middelwaardestelling voor [integralen](#thm-b1-integration-def)) Zij $f, g$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$ met $g \geq 0$. Bewijs dat er een $c \in
\intcc{a}{b}$ bestaat met

$$
\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,
$$

en toon met een voorbeeld aan dat de hypothese $g \geq 0$ niet kan worden weggelaten.

**Oplossing van Oefening 15.11.**

Zij $m = \min f$ en $M = \max f$, bereikt volgens de extremumstelling. Omdat $g \geq 0$, is $m\,g \leq fg \leq M\,g$, dus volgens de monotonie

$$
m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .
$$

Is $\int_a^b g = 0$, dan dwingt de strikte positiviteit ([Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) af dat $g \equiv 0$, zijn beide leden nul, en voldoet elke $c$. Anders ligt $t = \frac{\int
fg}{\int g}$ in $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Stellingen [13.13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#thm-b1-continuity-evt) en [13.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#thm-b1-continuity-ivt)), dus is $t =
f(c)$ voor zekere $c$.

Het teken doet ertoe: op $\intcc{-1}{1}$ met $f(t) = g(t) = t$ is $\int fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, terwijl $f(c)\int_{-1}^1
t\,\dd t = 0$ voor elke $c$.

**Oefening 15.12 ★★★.**

(Momenten dwingen nulpunten af) Zij $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) op $\intcc{a}{b}$ met

$$
\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{voor } k = 0, 1,
\dots, n .
$$

Bewijs dat $f$ nul wordt in $n + 1$ verschillende punten van $\intoo{a}{b}$. *(Wisselt $f$ alleen van teken in $z_1 <
\dots < z_m$ met $m \leq n$, integreer $f$ dan tegen $P(t) = (t -
z_1) \cdots (t - z_m)$ en gebruik de strikte positiviteit.)*

**Oplossing van Oefening 15.12.**

Is $f \equiv 0$, dan is de bewering leeg (elk punt is een nulpunt). Neem dus aan dat $f \not\equiv 0$ en stel dat zij hoogstens $n$ verschillende nulpunten in $\intoo{a}{b}$ heeft; zij $z_1 < \dots <
z_m$ ($m \leq n$) die nulpunten waar $f$ *van teken wisselt* (eventueel geen enkel). Stel $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (het lege product is $1$), van graad $m \leq n$. Op elk deelinterval dat door de $z_i$ wordt afgesneden hebben $f$ en $P$ een vast teken, en beide klappen om bij het passeren van een $z_i$: het product $fP$ heeft één vast teken op heel $\intoo{a}{b}$. Omdat het [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) is, niet identiek nul en van vast teken, is $\bigl|\int_a^b fP\bigr| >
0$ (strikte positiviteit toegepast op $\abs{fP}$). Maar $\int f P$ is een lineaire combinatie van de momenten $\int f\,t^k$, $k \leq
n$, die alle nul zijn: tegenspraak. Bijgevolg heeft $f$ minstens $n
+ 1$ verschillende nulpunten in $\intoo{a}{b}$.

**Opmerking 15.24 (Vooruitzichten binnen dit volume).**

Drie komende hoofdstukken steunen rechtstreeks op dit hoofdstuk. [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/16-formules-van-taylor-en-asymptotische-ontwikkelingen#ch-b1-taylor) draagt de integraalrestterm — de scherpste van de drie formules van Taylor is een $n$ keer herhaalde [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts). [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) zet de omsluiting van sommen door [integralen](#thm-b1-integration-def) om in het beslissende criterium voor $\sum
n^{-\alpha}$, en haar weekendopgave verfijnt die omsluiting tot de constante van Euler. [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/24-vlakke-krommen#ch-b1-curves) maakt de [integraal](#thm-b1-integration-def) meetkundig: de lengte van een geparametriseerde boog is $\int
\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,\dd t$, een [integraal](#thm-b1-integration-def) van een [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functie op een segment — precies het object dat hier is gebouwd, zonder dat er oneigenlijke theorie nodig is. Het meest hergebruikte feit zal het nederigste zijn: $\bigl|\int f\bigr|
\leq (b - a)\sup\abs{f}$, de ongelijkheid die elke puntsgewijze schatting omzet in een schatting van de [integraal](#thm-b1-integration-def).

## 15.6 Opgave: de integrale irrationaliteitsmachine

**Probleem 15.1.**

Weekendopgave — $\eu$ en $\pi^2$ zijn irrationaal, $\eu$ tot op zes decimalen, en $\frac{22}{7} > \pi$ met bewijs

Eén mechanisme drijft deze hele opgave aan: *een uitdrukking die een positief geheel getal moet zijn maar aantoonbaar kleiner is dan $1$, kan niet bestaan*. [Oefening 15.9](#exo-b1-integration-9) (Niven) liet het één keer draaien om $\pi \notin \Q$ te bewijzen; hier industrialiseren we het. De machine heeft drie onderdelen nodig: een invoer van *geheeltalligheid* (waarden in de randpunten van goedgekozen [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def)), een invoer van *kleinheid* (een factor $\frac{1}{n!}$ die de [integraal](#thm-b1-integration-def) verplettert) en een *brug* ([partiële integratie](#thm-b1-integration-parts)) die ze verbindt. We bewijzen dat $\eu$ irrationaal is en berekenen het met gecertificeerde fout, bewijzen de scherpere stelling van Legendre dat $\pi^2$ irrationaal is, en eindigen met de charmantste [integraal](#thm-b1-integration-def) uit de analyse: $\int_0^1 \frac{x^4(1 -
x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$, die $\pi$ met de hand insluit.

**Deel I — Brandstof.**

1. Bewijs dat $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ voor elke vaste $c  > 0$ *(voorbij $n \geq 2c$ halveert elke stap de term minstens)* .
2. ([Bèta-integralen](#thm-b1-integration-def)) Bewijs, met inductie op $m$ en [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts): $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x =  \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!}  \qquad (k, m \in \N).$$
3. Leid af dat $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd  x = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ , en — door te vergelijken met de grens $x(1 - x) \leq \frac14$ — de schatting $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , in overeenstemming met $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ uit [Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#pb-b1-seq-1) .
4. Bewijs het kleinheidslemma dat hieronder twee keer wordt gebruikt: voor elke [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) $g > 0$ op $\intoo{0}{1}$ geldt $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x  \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$

**Deel II — $\eu$: eerst irrationaliteit, dan zes decimalen.** Stel $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$.

5. Bereken $A_0$ en $A_1$ , bewijs de recursie $A_n = \eu - n  A_{n-1}$ , en de grenzen $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ .
6. Toon met inductie aan dat $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ met $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
7. Leid af dat $\eu$ irrationaal is *(is $\eu = \frac  pq$, dan is $q A_n$ voor grote $n$ een geheel getal gevangen in $\intoo{0}{1}$)* . Vergelijk met het bewijs van [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9) : dezelfde clou, andere brandstof.
8. Bewijs, met inductie en [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts), de exacte formule voor de restterm $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n,  \qquad  R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t,  \qquad  \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$
9. Neem $n = 9$ : begrens $R_9$ met $\eu < 2.75$ (uit $b_2 =  2.75$ in [Voorbeeld 11.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ex-b1-seq-e) ), evalueer de som, en besluit tot de gecertificeerde insluiting $2.7182818 \leq \eu \leq  2.7182823$ — zes decimalen, $\eu \approx 2.718282$ , met bewijs.

**Deel III — De stelling van Legendre: $\pi^2$ is irrationaal.** Zij $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, en stel dat $\pi^2 = \frac ab$ met $a, b \in \N^*$.

10. Toon aan dat $f(1 - x) = f(x)$ en $0 < f \leq  \dfrac{1}{4^n\,n!}$ op $\intoo{0}{1}$ .
11. Toon aan dat $f^{(k)}(0)$ en $f^{(k)}(1)$ gehele getallen zijn voor elke $k \geq 0$ *(ontwikkel $x^n(1-x)^n$ met gehele coëfficiënten; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ voor $k \geq  n$; gebruik daarna de symmetrie)* .
12. Definieer $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,  \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ Toon aan dat $G(0)$ en $G(1)$ gehele getallen zijn *(elke $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*.
13. Ga de telescopering $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f =  \pi^2 a^n f$ na, en vervolgens $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos  \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$
14. Integreer over $\intcc{0}{1}$ en besluit dat $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1)  \in \Z ,$$ een *positief* geheel getal begrensd door $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.
15. Besluit met vraag 1 dat $\pi^2$ irrationaal is (Legendre, 1794), en dat dit [Oefening 15.9](#exo-b1-integration-9) versterkt: waarom impliceert de irrationaliteit van $\pi^2$ die van $\pi$ , en niet omgekeerd?

**Deel IV — De machine begrijpen.**

16. Lokaliseer de twee tegengestelde krachten (geheeltalligheid van de randgegevens; analytische kleinheid van de [integraal](#thm-b1-integration-def) ) en de brug, in de delen II en III. Leg daarna uit waarom de factor $\frac{1}{n!}$ in $f$ de kern is: als hij wordt weggehaald, overleeft de geheeltalligheid, maar welke ongelijkheid sterft, en voor welke beweerde breuken $\frac ab$ faalt het bewijs dan?
17. Effectiviteit: stel dat iemand beweert dat $\pi^2 = \frac  ab$ met $a \leq 10$ . Toon aan dat de tegenspraak al bij $n  = 7$ landt: bereken $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ . De machine weerlegt niet alleen; zij weerlegt in een vast, berekenbaar stadium.
18. Controleer de brug onvoorwaardelijk: bewijs met twee [partiële integraties](#thm-b1-integration-parts) dat $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ en breng dit in overeenstemming met vraag 14 bij $n = 1$ (houd $\pi^2$ symbolisch: de getelescopeerde identiteit luidt $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) +  f_1''(1)) = 4$).
19. Wat maakt $\eu^x$ en $\sin \pi x$ geschikt als kernen van de machine? Benoem de eigenschap (elk voldoet aan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, zodat herhaalde [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) naar het begin terugkeert), en benoem de grens: dezelfde machine, verfijnd door Hermite en Lindemann, bewijst dat $\eu$ en $\pi$ *[transcendent](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#pb-b1-logic-1)* zijn — voorbij dit volume.

**Deel V — $\frac{22}{7}$ tegenover $\pi$, en de moraal.**

20. Voer de veeltermdeling $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2}  = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2}$$ uit, en leid de beroemde identiteit $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x  = \frac{22}{7} - \pi$$ af.
21. De integrand is positief: besluit dat $\pi <  \frac{22}{7}$. Bewijs vervolgens, door $\frac{1}{1+x^2}$ tussen $\frac12$ en $1$ te begrenzen en $\int_0^1  (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (vraag 3) te gebruiken, dat $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\;  \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ dat wil zeggen $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$: twee juiste decimalen, met de hand.
22. Veralgemeen: toon aan, door $x^{4m}(1-x)^{4m}$ door $1 +  x^2$ te delen, dat de rest de constante $(-4)^m$ is *(werk modulo $x^2 + 1$: $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, leid rationale getallen $r_m$ af met $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ en ga na dat $m = 1$ de vragen 20–21 reproduceert.
23. Confronteer deze rationale getallen met de benaderingstheorie van [Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1) : bereken $\abs{\pi - \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ tegenover de garantie van Dirichlet $\frac{1}{49}$ , en vermeld $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx  2.7\cdot10^{-7}$ tegenover $\frac{1}{113^2} \approx  7.8\cdot10^{-5}$ : er bestaan uitzonderlijk goede rationale benaderingen van $\pi$ — consistent, want van $\pi$ is niet bekend dat het slecht benaderbaar is.
24. (De gehele-getallenval, geabstraheerd) Bewijs het lemma dat alles verenigt: *bestaan er voor $x \in \R$ gehele getallen $a_n, b_n$ met $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, dan is $x$ irrationaal.* Som de gevallen ervan op in deze opgave, in [Oefening 15.9](#exo-b1-integration-9) , in [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9) en in [Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1) .
25. Synthese, telkens één zin: (i) de drie onderdelen van de machine en waar elk in het gereedschap van dit hoofdstuk huist; (ii) wat de [integraal](#thm-b1-integration-def) bijdraagt wat de middelwaardestelling van [Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1) niet kon; (iii) de inventaris van de geoogste resultaten (twee irrationaliteiten, één constante tot op zes decimalen, één insluiting van $\pi$ , één binomiale grens); (iv) de grens (Hermite, Lindemann; en dezelfde val, losgelaten op $\zeta(2)$ en $\zeta(3)$ , in de rekenkunde van de twintigste eeuw).

**Oplossing van Probleem 15.1.**

**1.** Zij $N = \lceil 2c \rceil$. Voor $n \geq N$ is $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, dus $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$: insluiting.

**2.** Leg $k$ vast; inductie op $m$. Voor $m = 0$: $\int_0^1 x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$. Stap, partieel ($u = (1-x)^m$, $v' = x^k$):

$$
\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x
= \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1
+ \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x
= \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,
$$

en dat is $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$.

**3.** $k = m = n$: $\int_0^1 (x(1-x))^n =
\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$. Omdat $x(1-x) \leq \frac14$ op $\intcc{0}{1}$, is de [integraal](#thm-b1-integration-def) $\leq
4^{-n}$, waaruit $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — in overeenstemming met $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ ([Probleem 11.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#pb-b1-seq-1)).

**4.** De integrand is [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous), $\geq 0$ en positief op $\intoo{0}{1}$, dus niet identiek nul: zijn [integraal](#thm-b1-integration-def) is $> 0$ ([Stelling 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)). [Bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds): $(x(1-x))^n
\leq 4^{-n}$ en $g \leq \sup\abs g$, daarna de monotonie.

**5.** $A_0 = \eu - 1$; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1
\eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Partieel: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 -
n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$. Grenzen: de integrand is positief, dus $A_n > 0$; en $\eu^x \leq \eu$ geeft $A_n \leq
\eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$.

**6.** $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$. Is $A_{n-1} = \alpha_{n-1} +
\beta_{n-1}\eu$ met gehele ingangen, dan is

$$
A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu
= \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n}
+ \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,
$$

beide geheel.

**7.** Is $\eu = \frac pq$, dan is $q A_n = q\alpha_n +
p\beta_n \in \Z$, en $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ voor grote $n$: een geheel getal strikt tussen $0$ en $1$ — onmogelijk. Dus $\eu \notin \Q$. In [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9) was het gevangen gehele getal $q!\,\frac pq - q!\,a_q$; hier is het $qA_n$: dezelfde val, integrale brandstof.

**8.** $n = 0$: $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, dus $\eu =
1 + R_0$. Partieel ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$):

$$
R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}
\eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr)
= \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,
$$

zodat de formule zich van $n$ naar $n + 1$ voortplant. Grenzen: $1 \leq \eu^t \leq \eu$ op $\intcc{0}{1}$ en $\int_0^1 (1-t)^n =
\frac{1}{n+1}$ geven $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq
\frac{\eu}{(n+1)!}$.

**9.** $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880}
= 2.71828152\dots$, en

$$
\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq
\frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,
$$

dus $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$: met bewijs is $\eu =
2.718282$ tot op zes decimalen (werkelijke waarde $2.7182818\dots$).

**10.** $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$. Op $\intoo{0}{1}$ is $0 < x(1-x) \leq \frac14$, dus $0 < f \leq
\frac{1}{4^n\,n!}$.

**11.** $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom
nj\,x^{n+j}$, dus $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ met $c_j
\in \Z$. Bijgevolg is $f^{(k)}(0) = 0$ voor $k < n$ of $k > 2n$, en voor $n \leq k \leq 2n$ is $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\,
c_{k-n}$, een geheel getal omdat $n! \mid k!$. De symmetrie geeft $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$.

**12.** $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac
ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, dus zijn $G(0) =
\sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ en evenzo $G(1)$ gehele getallen volgens vraag 11.

**13.** In $\pi^2 G + G''$ draagt de term $k$ van $\pi^2 G$ de bijdrage $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ en de term $j = k - 1$ van $G''$ de bijdrage $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$: alles heft elkaar op behalve $k = 0$ in de eerste som en $j = n$ in de tweede, dat wil zeggen

$$
G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr)
= b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f
$$

($f$ heeft graad $2n$, dus $f^{(2n+2)} = 0$; en $b^n\pi^{2n} =
a^n$). Dan is

$$
\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)'
= (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .
$$

**14.** Integratie over $\intcc{0}{1}$ geeft

$$
\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x
= \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1
= \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,
$$

dus $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$. Op $\intoo{0}{1}$ is $f > 0$ en $\sin\pi x > 0$: het linkerlid is positief, dus $G(0) + G(1) \geq 1$; en $\sin \leq 1$ samen met vraag 10 begrenst het door $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.

**15.** Volgens vraag 1 (met $c = \frac a4$) nadert $\frac{\pi a^n}{4^n n!}$ tot $0$: voor grote $n$ is het $< 1$, in tegenspraak met $G(0) + G(1) \geq 1$. Geen enkele breuk $\frac
ab$ is dus gelijk aan $\pi^2$: de stelling van Legendre. Was $\pi$ rationaal, dan zou $\pi^2$ dat ook zijn: dus $\pi \notin
\Q$ — en de implicatie loopt alleen deze kant op ($\sqrt2$ is irrationaal met een rationaal kwadraat), en daarom is $\pi^2
\notin \Q$ strikt sterker dan [Oefening 15.9](#exo-b1-integration-9).

**16.** Geheeltalligheid: de vragen 11–12 ([afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in de randpunten); kleinheid: de vragen 10 en 1; brug: de vragen 13–14 (de getelescopeerde dubbele [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts)). Zonder $\frac{1}{n!}$ blijven de randgegevens geheel (nog gemakkelijker zelfs), maar wordt de grens $\frac{\pi a^n}{4^n}$, die alleen naar $0$ nadert wanneer $a < 4$ — en elke kandidaat heeft $a =
b\,\pi^2 > 9$. De faculteit is precies wat de meetkundige groei $a^n$ voorbijstreeft: geen faculteit, geen stelling.

**17.** Voor $a \leq 10$ is het gehele getal $G(0) + G(1)$ positief en hoogstens $\pi\,(10/4)^n/n!$. Bij $n = 7$: $2.5^7 =
610.35\dots$, dus is de grens $\frac{\pi \times 610.35}{5040}
\approx 0.38 < 1$ (bij $n = 6$ is zij nog $1.07$): de tegenspraak landt expliciet in het zevende stadium.

**18.** Twee [partiële integraties](#thm-b1-integration-parts):

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x
= \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}
$$

(de haaktermen verdwijnen: $x(1-x)$ in $0, 1$, en $\sin\pi x$ in $0, 1$). Symbolisch luidt de telescopering bij $n = 1$ (zonder enige aanname over $\pi$) $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x =
-(f_1''(0) + f_1''(1))$ met $f_1 = x(1 - x)$, $f_1'' = -2$: rechterlid $4$ — de twee berekeningen stemmen overeen.

**19.** $\eu^x$ lost $y' = y$ op en $\sin\pi x$ lost $y'' =
-\pi^2 y$ op: lineaire vergelijkingen met constante coëfficiënten, zodat [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) de kern naar zichzelf terugvoert en alle randgegevens binnen $\Z + \Z\eu$ houdt (respectievelijk binnen de gehele [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in $\pi^2$). Die geslotenheid is wat de machine nodig heeft. Verfijnd met kernen die op meerdere punten tegelijk zijn afgestemd, levert hetzelfde mechanisme de stelling van Hermite ($\eu$ [transcendent](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#pb-b1-logic-1), 1873) en die van Lindemann ($\pi$ [transcendent](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#pb-b1-logic-1), 1882) — voorbij dit volume.

**20.** Veeltermdeling (of vermenigvuldig terug en controleer):

$$
x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .
$$

Integratie van de getoonde identiteit gedeeld door $1 + x^2$ geeft

$$
\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x
= \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr)
- 4\arctan 1
= \frac{22}{7} - \pi ,
$$

met $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ en $\arctan 1 = \frac\pi4$.

**21.** De integrand is [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) en positief op $\intoo{0}{1}$: de [integraal](#thm-b1-integration-def) is $> 0$, dus $\pi < \frac{22}{7}$. Bovendien is $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ op $\intcc{0}{1}$ en $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} =
\frac{1}{630}$ (vraag 3):

$$
\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630}
\quad\Longrightarrow\quad
3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .
$$

**22.** Modulo $x^2 + 1$: $x^2 \equiv -1$, dus $x^{4m} =
(x^2)^{2m} \equiv 1$ en $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, zodat $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv
(-4)^m$: de rest is de constante $(-4)^m$, en het quotiënt $Q_m$ heeft gehele coëfficiënten (deling door een [monische](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) gehele [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def)). Deling van de identiteit door $1 + x^2$, gevolgd door integratie, geeft

$$
J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x
= s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4},
\qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .
$$

Oplossen naar $\pi$: met $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in
\Q$ is $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq
4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$. Voor $m = 1$: $s_1 =
\frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, grens $4^{-4} =
\frac{1}{256}$ — opnieuw de vragen 20–21.

**23.** $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} -
\pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$, zestien keer beter dan de ijkwaarde van orde $2$, $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$, die Dirichlet garandeert ([Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1), vraag 4); en $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ verslaat $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ met een factor $\approx 300$. Dat spreekt niets van het bewezene tegen: ongelijkheden van Liouville begrenzen benaderingsfouten alleen van onderen voor algebraïsche getallen, en zo’n grens voor $\pi$ is op dit niveau niet beschikbaar — $\pi$ mag spectaculair goed benaderd worden.

**24.** Lemma: stel $x = \frac pq$ en $0 < \abs{a_n + b_n
x} \to 0$. Dan is $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p
b_n}}{q}$, waarbij $q a_n + p b_n$ een niet-nul geheel getal is (niet nul omdat de absolute waarde $> 0$ is): dus is $\abs{a_n +
b_n x} \geq \frac1q$ voor elke $n$, in tegenspraak met de convergentie naar $0$. Gevallen: vraag 7 ($x = \eu$, $a_n =
\alpha_n$, $b_n = \beta_n$); [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9) (opnieuw $x =
\eu$, met $a_q = -q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$); en [Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1), vraag 1, is de meetkundige vorm ervan. In deel III en in [Oefening 15.9](#exo-b1-integration-9) loopt de val *binnen* de tegenspraak: de aanname van rationaliteit maakt van een uitdrukking een geheel getal, dat de analyse vervolgens in $\intoo{0}{1}$ perst — hetzelfde principe, getransponeerd.

**25.** (i) De geheeltalligheid huist in de randberekening met [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) (de vragen 6, 11–12), de kleinheid in de grenzen die de monotonie met [suprema](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) geeft (de vragen 4, 10), de brug in de [partiële integratie](#thm-b1-integration-parts) (de vragen 8, 13–14) — alle drie zijn stellingen van dit hoofdstuk. (ii) De [integraal](#thm-b1-integration-def) levert wat de middelwaardestelling niet kon: een *exacte* identiteit tussen het analytische object en de rekenkundige gegevens (gelijkheid, niet slechts een ongelijkheid met een onbekende $c$), en daarom reikt de machine tot $\pi^2$ terwijl [Probleem 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#pb-b1-derivative-1) slechts benaderingsexponenten bereikte. (iii) Geoogst: $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (en dus $\pi \notin \Q$), $\eu = 2.718282$ gecertificeerd, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} -
\frac{1}{1260}$, en $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$. (iv) De grens: Hermite en Lindemann duwen dezelfde machine door tot transcendentie; en Apéry (1979) liet de gehele-getallenval draaien op $\zeta(3)$ — de machine produceert nog steeds wiskunde van de twintigste eeuw.