---
title: "Formules van Taylor en asymptotische ontwikkelingen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/16-formules-van-taylor-en-asymptotische-ontwikkelingen
---

# Hoofdstuk 16 — Formules van Taylor en asymptotische ontwikkelingen

In de buurt van een punt is een gladde functie even goed als een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) — met een beheersbare fout. De formules van Taylor maken dat exact in drie smaken (integraalrestterm, restterm van Lagrange, restterm van Young), en de resulterende *asymptotische ontwikkelingen* worden, algebraïsch behandeld, het scherpste gereedschap van de elementaire analyse: limieten, equivalenten, lokaal gedrag, asymptoten.

## 16.1 Vergelijkingsnotatie

**Definitie 16.1 (Landau-notatie).**

Zij $f, g$ gedefinieerd in de buurt van $x_0$ ($x_0 \in \R$ of $\pm\infty$). Men schrijft, als $x \to x_0$:

- $f = o(g)$ (“kleine o”) wanneer $f = \varepsilon g$ met $\varepsilon(x) \to 0$ ;
- $f = O(g)$ (“grote O”) wanneer $f = u g$ met $u$ begrensd in de buurt van $x_0$ ;
- $f \sim g$ (“equivalent”) wanneer $f = (1 + \varepsilon) g$ met $\varepsilon \to 0$ — equivalent hiermee: $f - g = o(g)$ .

Dezelfde notatie geldt voor rijen ($n \to \infty$).

**Propositie 16.2 (Rekenregels).**

Als $x \to x_0$:

1. $\sim$ is een [equivalentierelatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-equiv) ; uit $f \sim g$ volgt dat $f$ en $g$ dezelfde limieten, dezelfde tekens (in de buurt van $x_0$ ) en dezelfde afwezigheid van nulpunten hebben;
2. equivalenten *vermenigvuldigen en delen* : uit $f_1 \sim  g_1$ en $f_2 \sim g_2$ volgt $f_1 f_2 \sim g_1 g_2$ en $\frac{f_1}{f_2} \sim \frac{g_1}{g_2}$ ;
3. equivalenten *tellen niet op* : $x + 1 \sim x$ en $-x  \sim -x + 2$ in $+\infty$ , en toch zijn de sommen $1$ en $2$ niet equivalent. Om op te tellen keer je terug naar ontwikkelingen met expliciete $o(\cdot)$ -termen;
4. $o(g) + o(g) = o(g)$ , $\;u \cdot o(g) = o(ug)$ , $\;o(o(g)) =  o(g)$ , en $f \sim g \iff f = g + o(g)$ .

**Bewijs.** Elk punt is een korte manipulatie van de definities; zo is bijvoorbeeld $f_1 f_2 = (1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) g_1
g_2$ en $(1 + \varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) \to 1$. Twee punten van (4) verdienen hun eigen regel. $u\cdot o(g) = o(ug)$: is $f =
\varepsilon g$ met $\varepsilon \to 0$, dan is $uf =
\varepsilon\,(ug)$ met dezelfde $\varepsilon$. $o(o(g)) = o(g)$: is $f = \varepsilon_1 h$ en $h = \varepsilon_2 g$ met beide $\varepsilon_i \to 0$, dan is $f = (\varepsilon_1\varepsilon_2) g$ en is het product van de twee oneindig kleine grootheden er ook een. De equivalentie $f \sim g \iff f = g + o(g)$ is de definitie twee keer gelezen: $f - g = \varepsilon g$. Het tegenvoorbeeld in (3) is het bewijs van (3). ∎

**Voorbeeld 16.3 (De vergelijkingsschaal).**

Als $x \to +\infty$ luidt de standaardschaal, in toenemende orde van kracht:

$$
1 \;=\; o(\ln x), \quad
\ln x = o(x^{0.01}), \quad
x^{0.01} = o(\sqrt x), \quad
\sqrt x = o(x^{10}), \quad
x^{10} = o(\eu^{x}), \quad
\eu^x = o(\eu^{2x}) ,
$$

waarbij elke stap een geval is van de [groeivergelijkingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules) van [Propositie 4.6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules) (machten verslaan logaritmen, exponentiëlen verslaan machten, en binnen één familie beslist de exponent). Twee gewoonten die het vormen waard zijn: ten eerste gaat een $O(\cdot)$ die in een kleinere klasse landt stilzwijgend over ($O(\ln x)$ is ook $o(x^{0.01})$); ten tweede keert bij $x
\to 0^+$ de hele ladder om via de substitutie $x \mapsto \frac1x$ — daar is $\ln x = o(x^{-0.01})$, zodat “$x^\alpha \ln x \to
0$” geldt voor elke $\alpha > 0$. De schaal helder houden is de helft van elk asymptotisch argument in [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series).

**Voorbeeld 16.4 (Eenduidigheid van ontwikkelingen, met een pariteitsdividend).**

Laat een functie twee ontwikkelingen in $0$ tot dezelfde orde toe,

$$
a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n)
= b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n + o(x^n),
$$

dan is $a_k = b_k$ voor elke $k$: trek af en stel $c_k = a_k -
b_k$; evalueer de identiteit $c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n =
o(x^n)$ bij $x \to 0$ om $c_0 = 0$ te krijgen; deel door $x$ en herhaal — elke deling is geoorloofd omdat de overblijvende uitdrukking opnieuw $o(x^{n-k})$ is. De coëfficiënten zijn dus intrinsiek, en men mag ze langs *elke* weg berekenen (met [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) van Taylor, met algebra op bekende ontwikkelingen, door integratie): alle wegen moeten overeenstemmen. Dividend: een *even* functie heeft alleen even machten in haar ontwikkeling — vervang $x$ door $-x$ en beroep je op de eenduidigheid; evenzo hebben oneven functies oneven machten. Dat is de reden waarom $\cos$ in de tabel hieronder $o(x^{2p+1})$ draagt en niet $o(x^{2p})$: de ontbrekende oneven term is gratis informatie, één orde nauwkeurigheid voor niets.

## 16.2 De drie formules van Taylor

**Stelling 16.5 (Taylor met integraalrestterm).**

Zij $f$ van klasse $C^{n+1}$ op een [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) dat $a$ en $x$ bevat. Dan geldt

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k
+ \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, \dd t .
$$

**Bewijs.** Inductie op $n$. Voor $n = 0$ is $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\dd t$ de hoofdstelling ([Stelling 15.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-ftc)). Stap: integreer de restterm partieel,

$$
\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\dd t
= \Bigl[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t)\Bigr]_a^x
+ \int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t)\,\dd t ,
$$

waarbij de haakterm de bijdrage $\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x -
a)^{n+1}$ levert. ∎

**Voorbeeld 16.6 (Een exacte ontwikkeling met haar restterm).**

Voor $\ln(1 + x)$ kan de integraalrestterm volledig expliciet worden gemaakt zonder ook maar iets $n$ keer af te leiden: integreer de eindige meetkundige identiteit $\frac{1}{1+t} =
\sum_{k=0}^{n-1}(-t)^k + \frac{(-t)^n}{1+t}$ van $0$ tot $x$:

$$
\ln(1 + x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}
+ (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t ,
$$

en voor $0 \leq x \leq 1$ wordt de restterm begrensd door $\int_0^x
t^n\,\dd t = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Dit is in twee opzichten sterker dan Taylor–Young: het is een *identiteit* die geldt voor een vaste $x$ (niet alleen voor $x \to 0$), en de foutgrens is numeriek. De weekendopgave ([Probleem 16.1](#pb-b1-taylor-1)) leeft van zulke exacte vormen; Taylor–Young hieronder is het lichtere gereedschap voor limieten, waar alleen de gedaante van de fout telt.

**Stelling 16.7 (Ongelijkheid van Taylor–Lagrange).**

Zij $f$ van klasse $C^{n+1}$ met $\abs{f^{(n+1)}} \leq M$ tussen $a$ en $x$. Dan geldt

$$
\Bigl| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \Bigr|
\leq M\, \frac{\abs{x - a}^{n+1}}{(n+1)!} .
$$

**Bewijs.** Begrens de integraalrestterm: $\bigl|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}
f^{(n+1)}(t)\,\dd t\bigr| \leq M \bigl|\int_a^x
\frac{\abs{x-t}^n}{n!}\dd t\bigr| =
M\frac{\abs{x-a}^{n+1}}{(n+1)!}$. ∎

**Voorbeeld 16.8 (Gecertificeerd rekenwerk).**

Hoeveel is $\sqrt{1.02}$? Pas Taylor–Lagrange toe op $f(t) =
\sqrt{1 + t}$ in $a = 0$, orde $2$, $x = 0.02$:

$$
\sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{0.02}{2} - \frac{0.02^2}{8}
= 1.00995 ,
\qquad
\abs{f'''(t)} = \frac{3}{8}(1+t)^{-5/2} \leq \frac 38 ,
$$

dus is de fout hoogstens $\frac38 \cdot \frac{0.02^3}{6} =
5\cdot10^{-7}$: $\sqrt{1.02} = 1.00995$ met zes gecertificeerde decimalen (werkelijke waarde $1.0099504938\dots$ — de grens is bijna scherp). Het afsluitende inzicht: Taylor–Young zegt alleen *hoe snel* de fout verdwijnt; Taylor–Lagrange maakt van dezelfde [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) een *certificaat*, een getal met een bewezen foutmarge. Telkens wanneer in dit boek een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over decimalen wordt gedaan, staat er een grens van het type Lagrange achter; de weekendopgave ([Probleem 16.1](#pb-b1-taylor-1)) industrialiseert het idee.

**Stelling 16.9 (Taylor–Young).**

Zij $f$ $n$ keer [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in $a$. Dan geldt, als $x \to a$:

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k
+ o\bigl((x-a)^n\bigr) .
$$

**Bewijs.** Inductie op $n$. Voor $n = 1$ is dit de definitie van de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) ([Definitie 14.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def)). Neem de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) aan op orde $n -
1$, en zij $f$ $n$ keer [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in $a$. Pas de inductiehypothese toe op $f'$ (die $n-1$ keer [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) is in $a$):

$$
f'(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(t-a)^k + r(t),
\qquad r(t) = o\bigl((t-a)^{n-1}\bigr).
$$

Zij $g(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$; dan is $g' = r$ en $g(a) = 0$. Zij $\varepsilon > 0$ gegeven; kies $\delta$ met $\abs{r(t)} \leq \varepsilon\abs{t - a}^{n-1}$ voor $\abs{t-a} \leq \delta$; de middelwaarde-ongelijkheid ([Stelling 14.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#thm-b1-derivative-mvt)), toegepast op het segment van $a$ tot $x$ (waar $\abs{g'} \leq \varepsilon\abs{x-a}^{n-1}$), levert $\abs{g(x)} \leq \varepsilon\abs{x - a}^n$: precies $g(x) =
o((x-a)^n)$. ∎

**Opmerking 16.10 (Drie formules, drie prijzen, drie producten).**

De hypothesen lopen precies in de pas met de conclusies. Taylor–Young vraagt het minst ($n$ [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) *in het punt* alleen) en levert het minst: een kwalitatieve $o((x-a)^n)$, perfect voor limieten, nutteloos voor gecertificeerde cijfers. De ongelijkheid van Lagrange vraagt $C^{n+1}$ *op het [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals)* en daar een grens $M$, en geeft een numerieke foutmarge terug. De integraalvorm vraagt dezelfde regelmaat en geeft het meest terug: de fout als een expliciet object dat men kan omvormen (partieel integreren, stuksgewijs begrenzen, van variabele veranderen) — het is de vorm die de irrationaliteitsmachine van [Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#pb-b1-integration-1) aandreef. De zwakste formule kiezen die het doel draagt is geen pedanterie: de vlakke functie van [Probleem 16.1](#pb-b1-taylor-1) voldoet aan Taylor–Young in elke orde, terwijl elke sterkere conclusie erover buiten $0$ vals is.

**Propositie 16.11 (Standaardontwikkelingen in 000).**

Als $x \to 0$ geldt, voor elke vaste orde $n$:

$$
\begin{align*}
\eu^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n),\\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
+ \frac{(-1)^p x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1}),\\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{(-1)^p
x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2}),\\
\frac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n),\\
\ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots +
\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + o(x^n),\\
(1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +
\dots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n),
\end{align*}
$$

waarbij $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha -
n + 1)}{n!}$ voor reële $\alpha$. ($\cosh$ en $\sinh$: hetzelfde als $\cos$ en $\sin$, zonder de wisselende tekens.)

**Bewijs.** Elke functie is glad in de buurt van $0$ met gemakkelijk te evalueren [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def): $(\eu^x)^{(k)} = \eu^x$; de [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) van $\sin$ en $\cos$ doorlopen een cyclus met periode $4$; $\bigl((1+x)^\alpha\bigr)^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha -
k + 1)(1+x)^{\alpha - k}$; $\bigl(\ln(1+x)\bigr)^{(k)} =
\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$. Pas Taylor–Young toe in $a = 0$. (De meetkundige is exact: $\frac{1}{1-x} - \sum_0^n x^k =
\frac{x^{n+1}}{1 - x} = o(x^n)$.) ∎

**Methode 16.12 (Rekenen met ontwikkelingen).**

1. *Leg de doelorde* $n$ eerst vast, en kap elk tussenresultaat daar af — hogere termen meeslepen is verspilde moeite, lagere weglaten is een fout.
2. *Sommen en producten* : ontwikkel elke factor tot orde $n$ en vermenigvuldig, waarbij je alles voorbij $x^n$ weggooit.
3. *Samenstelling* $f(u(x))$ met $u(x) \to 0$ : substitueer de ontwikkeling van $u$ in die van $f$ , orde na orde.
4. *Quotiënten* : schrijf $\frac{1}{1 + v}$ met $v \to 0$ en gebruik de meetkundige ontwikkeling.
5. *Integreer* een ontwikkeling term voor term (afleiden vraagt meer zorg — rechtvaardiging: de [integraal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) van $o(t^n)$ van $0$ tot $x$ is $o(x^{n+1})$ , door rechtstreeks te begrenzen).

**Voorbeeld 16.13 (Samenstelling, met de boekhouding zichtbaar).**

Ontwikkel $\eu^{\sin x}$ tot orde $3$. Binnenste ontwikkeling: $u
= \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$, die inderdaad naar $0$ nadert. Buitenste: $\eu^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} +
\frac{u^3}{6} + o(u^3)$, en $o(u^3) = o(x^3)$ omdat $u \sim x$. Machten van $u$, afgekapt bij $x^3$:

$$
u^2 = x^2 + o(x^3), \qquad u^3 = x^3 + o(x^3)
$$

(de kruisterm $2x\cdot(-\frac{x^3}{6})$ is al $x^4$). Zet in elkaar:

$$
\eu^{\sin x} = 1 + \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr) + \frac{x^2}{2}
+ \frac{x^3}{6} + o(x^3)
= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) :
$$

de twee bijdragen in $x^3$ heffen elkaar precies op. Het afsluitende inzicht: $\eu^{\sin x}$ en $\eu^x$ stemmen overeen tot orde $3$ — niet omdat $\sin x \approx x$ grofweg klopt, maar omdat het eerste meningsverschil van de exponenten ($-\frac{x^3}{6}$) binnenkomt vermenigvuldigd met $\eu^0 = 1$ en vervolgens wordt opgevangen door de derdegraadsterm van de buitenste exponentiële; een boekhouding orde na orde spoort zulke samenzweringen op, oogballen nooit. (De volgende term is $-\frac{x^4}{8}$: bij orde $4$ eindigt het bestand.)

**Voorbeeld 16.14.**

Ontwikkeling van $\tan$ op orde $5$. Schrijf $\tan x = \sin x
\cdot \frac{1}{\cos x}$:

$$
\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}
+ o(x^5)\bigr)}
= 1 + \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\Bigr)
+ \Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)^{\!2} + o(x^5)
= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5),
$$

en daarna

$$
\tan x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\Bigr)
\Bigl(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\Bigr) + o(x^5)
= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5) .
$$

![De sinus (donker) tegenover haar Taylorveeltermen in 0: T_1 = x, T_3 = x - x3/6 (gestreept), T_5 = x - x3/6 + x5/120 (gestippeld). Elk nieuw paar termen omarmt de kromme over een zichtbaar breder venster, maar elke veelterm scheurt uiteindelijk weg: een taylorontwikkeling is een lokaal contract, scherp in 0 en zwijgzaam ver weg. De grens van Taylor–Lagrange |x|n+1(n+1)! kwantificeert het venster; de vlakke functie van laat zien dat het contract zelfs leeg kan zijn buiten het punt zelf.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-taylor/fig-7578dfaf5f91.svg)

*De sinus (donker) tegenover haar Taylorveeltermen in $0$: $T_1 = x$, $T_3 = x - \frac{x^3}{6}$ (gestreept), $T_5 = x -
\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ (gestippeld). Elk nieuw paar termen omarmt de kromme over een zichtbaar breder venster, maar elke [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) scheurt uiteindelijk weg: een taylorontwikkeling is een *lokaal* contract, scherp in $0$ en zwijgzaam ver weg. De grens van Taylor–Lagrange $\frac{\abs{x}^{n+1}}{(n+1)!}$ kwantificeert het venster; de vlakke functie van [Probleem 16.1](#pb-b1-taylor-1) laat zien dat het contract zelfs leeg kan zijn buiten het punt zelf.*

## 16.3 Toepassingen

**Voorbeeld 16.15 (Limieten).**

$$
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}:
\qquad
x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{6},
\qquad\text{dus is de limiet } \frac16
$$

— waarmee de vraag uit [Oefening 4.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#exo-b1-functions-9) is beslecht. Evenzo $\displaystyle\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\sin
x}{x}\Bigr)^{1/x^2}$: de logaritme is

$$
\frac{1}{x^2}\ln\Bigl(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
= \frac{1}{x^2}\Bigl(-\frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
\longrightarrow -\frac16,
\qquad\text{limiet } \eu^{-1/6}.
$$

**Opmerking 16.16 (Veelgemaakte fouten met ontwikkelingen).**

(i) *Tel equivalenten nooit op of af*: uit $\tan x \sim x$ en $\sin x \sim x$ mag men *niet* besluiten dat $\tan x -
\sin x \sim 0$ (betekenisloos) — de eerlijke weg loopt via ontwikkelingen:

$$
\tan x - \sin x
= \Bigl(x + \frac{x^3}{3}\Bigr) - \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)
+ o(x^3) = \frac{x^3}{2} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{2} .
$$

(ii) *Ontwikkel voorbij de slachting*: in dezelfde berekening ziet orde $1$ alleen $x - x = 0$; telkens wanneer de leidende termen elkaar opheffen, verhoog je de orde tot een coëfficiënt overleeft die niet nul is, en pas dan zet je terug om naar een equivalent. (iii) *Equivalenten gaan niet door exponentiëlen heen*: $n^2 + n \sim n^2$, en toch is $\eu^{n^2+n} = \eu^{n}\,\eu^{n^2}$ *niet* equivalent met $\eu^{n^2}$ — neem alleen de exponentiële van *ontwikkelingen van de exponent* waarvan de fout naar $0$ nadert, nooit van equivalenten van de exponent. (Logaritmen zijn veiliger: is $u_n \sim v_n \to \ell \neq 1$ met $\ell > 0$, dan is $\ln u_n \sim \ln v_n$.) (iv) *De rekenkunde van de $o(\cdot)$ is eenrichtingsverkeer*: $o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)$, $5\,o(x^2) = o(x^2)$, $x\cdot o(x^2) = o(x^3)$ — maar een $o(x^2)$ is geen bepaalde functie, dus streep er nooit twee tegen elkaar weg: $o(x^2) - o(x^2)$ is $o(x^2)$, niet $0$.

**Propositie 16.17 (Lokaal gedrag).**

Stel dat $f(x) = f(a) + c\,(x - a)^p + o\bigl((x-a)^p\bigr)$ met $c
\neq 0$ (de eerste term na de constante die niet nul is; $p \geq 2$ in een kritiek punt).

- Is $p$ even, dan heeft $f$ een lokaal minimum in $a$ als $c  > 0$ , en een lokaal maximum als $c < 0$ .
- Is $p$ oneven, dan is er geen extremum ( $f - f(a)$ wisselt van teken); begint de ontwikkeling bovendien na een lineaire term $f'(a)(x - a)$ , dan kruist de grafiek haar raaklijn: een *buigpunt* .

**Bewijs.** In de buurt van $a$ heeft $f(x) - f(a) = (x-a)^p\bigl(c +
o(1)\bigr)$ het teken van $c\,(x-a)^p$: een vast teken voor $p$ even, wisselend voor $p$ oneven. ∎

**Voorbeeld 16.18 (Exponenten moeten tot op o(1)o(1)o(1) worden ontwikkeld).**

Bepaal een equivalent van $u_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n^2}$. Ontwikkel de *exponent* totdat zijn fout naar $0$ nadert:

$$
n^2 \ln\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n^2\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
O\Bigl(\frac{1}{n^3}\Bigr)\Bigr)
= n - \frac12 + O\Bigl(\frac1n\Bigr),
$$

dus $u_n = \eu^{\,n - 1/2}\,\eu^{O(1/n)}$ met $\eu^{O(1/n)} \to
1$:

$$
u_n \;\sim\; \eu^{\,n - \frac12} .
$$

Merk op wat er met minder zorg was misgegaan: de exponent afbreken bij $n^2\cdot\frac1n = n + O(1)$ laat een factor $\eu^{O(1)}$ staan — begrensd, maar niet naar $1$ naderend — en dan kan geen enkel equivalent worden beweerd. De regel van de valkuilen hierboven, in positieve vorm: een equivalent van $\eu^{a_n}$ vereist de ontwikkeling van $a_n$ *tot en met een term die naar nul nadert*, waarbij elke coëfficiënt daarvóór exact wordt bewaard.

**Voorbeeld 16.19 (Een vlak kritiek punt classificeren).**

Onderzoek $f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2}$ in de buurt van $0$. Zowel $f'(0) = 0$ als $f''(0) = -\cos 0 + 1 = 0$: de toets met de tweede [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) zwijgt. Ontwikkel in plaats daarvan:

$$
f(x) = \Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} +
o(x^4)\Bigr) + \frac{x^2}{2}
= 1 + \frac{x^4}{24} + o(x^4) :
$$

de eerste term $c\,x^p$ die niet nul is heeft $p = 4$ even en $c
= \frac{1}{24} > 0$: een lokaal minimum, van ongewone vlakheid (de grafiek verlaat haar minimumwaarde als $x^4$, niet als $x^2$). Het afsluitende inzicht: de ontwikkeling ziet in één regel wat herhaald afleiden versluiert — en [Propositie 16.17](#prop-b1-taylor-local) is het systematische woordenboek van “eerste overlevende term” naar “lokale gedaante”.

**Voorbeeld 16.20 (Ontwikkelingen in het oneindige).**

Twee berekeningen waarin de veranderlijke naar $+\infty$ loopt en de substitutie $h = \frac1x \to 0^+$ het hele gereedschap importeert. Ten eerste

$$
x - x^2\ln\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)
= x - x^2\Bigl(\frac1x - \frac{1}{2x^2} +
O\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr)\Bigr)
= \frac12 + O\Bigl(\frac1x\Bigr) \longrightarrow \frac12 .
$$

Ten tweede de [boogtangens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#def-b1-functions-arc) in het oneindige: uit $\arctan x +
\arctan\frac1x = \frac\pi2$ voor $x > 0$ ([Propositie 4.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-arcidentities)) en de ontwikkeling van $\arctan$ in $0$ ([Oefening 16.3](#exo-b1-taylor-3)) volgt

$$
\arctan x = \frac\pi2 - \arctan\frac1x
= \frac\pi2 - \frac1x + \frac{1}{3x^3} +
o\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr) :
$$

de grafiek nadert haar asymptoot $y = \frac\pi2$ van onderen met snelheid $\frac1x$. Het afsluitende inzicht: er is geen afzonderlijke theorie van ontwikkelingen in het oneindige — één omgekeerde substitutie herleidt ze tot ontwikkelingen in $0$, mits elke tussenliggende $O$ en $o$ eerlijk wordt meegedragen.

**Voorbeeld 16.21 (Asymptoot via ontwikkeling).**

Als $x \to +\infty$ geldt

$$
\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \tfrac1x}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr)\Bigr)
= x + \frac12 - \frac{1}{8x} + o\bigl(\tfrac 1x\bigr):
$$

de rechte $y = x + \frac12$ is een asymptoot, benaderd *van onderen* (de volgende term $-\frac{1}{8x}$ is negatief).

**Opmerking 16.22 (Waar ontwikkelingen hierna werken).**

Asymptotische ontwikkelingen zijn de vaste taal van de rest van het boek: in [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) beslissen zij over convergentie (equivalenten voeden de vergelijkingscriteria, en de studie van $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ is een vermomde ontwikkeling); in het volume van bachelorjaar 2 worden zij *machtreeksen*, waarin de taylorveelterm oneindig veel termen en een convergentiestraal krijgt; en elke linearisatie in de fysica — de slinger, storing van eerste orde — is een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) van Taylor–Young waarbij de $o(\cdot)$ stilzwijgend is weggelaten. De ene waarschuwing die het graveren waard is: een ontwikkeling beschrijft een functie alleen *in de buurt van één punt* — zie de vlakke functie van de weekendopgave, waarvan de ontwikkeling in $0$ identiek nul is zonder dat de functie dat is.

**Opmerking 16.23 (Vooruitzichten binnen dit volume).**

Ontwikkelingen zijn de werktaal van de resterende analyse en van de meetkunde die komt. [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) zet ze om in convergentieoordelen: een equivalent van de algemene term is een ontwikkeling afgekapt bij haar eerste term, en de fijnere criteria (alternerend met foutbeheersing) verbruiken ook de tweede term. [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/24-vlakke-krommen#ch-b1-curves) leest de lokale meetkunde af uit ontwikkelingen van de twee coördinaatfuncties: of een geparametriseerde kromme in een punt kruist, kust of een keerpunt maakt, wordt beslist door welke machten van $t$ overleven in $x(t)$ en $y(t)$ — de vlakke versie van [Propositie 16.17](#prop-b1-taylor-local). En [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) stopt met opzet bij orde één: het raakvlak is een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) van Taylor–Young in twee veranderlijken, terwijl de volledige theorie van de tweede orde (hessianen, zadelpunten) wordt uitgesteld tot het volume van bachelorjaar 2. De rode draad: elke “lokale” vraag in dit boek wordt beantwoord door de eerste overlevende term van een ontwikkeling op te schrijven.

## 16.4 Oefeningen

**Oefening 16.1 ★.**

Geef de ontwikkelingen in $0$: $\eu^{2x}$ tot orde $3$; $\;\ln(1 - x)$ tot orde $4$; $\;\sqrt{1 + x}$ tot orde $3$; $\;\dfrac{1}{1 + x^2}$ tot orde $6$.

**Oplossing van Oefening 16.1.**

$$
\eu^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + o(x^3);
\qquad
\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +
o(x^4);
$$

$$
\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3);
\qquad
\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6),
$$

de laatste door $-x^2$ in de meetkundige ontwikkeling te substitueren.

**Oefening 16.2 ★.**

Bereken de limieten:

$$
\lim_{x\to 0} \frac{\eu^x - 1 - x}{x^2},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \sqrt{1 - x^2}}{x^4},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2}.
$$

**Oplossing van Oefening 16.2.**

$\eu^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$: limiet $\dfrac12$.

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ en $\sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)$: verschil $\frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{8} = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$: limiet $\dfrac16$.

$\ln(1+x) - \sin x = \bigl(x - \frac{x^2}{2}\bigr) - x + o(x^2) =
-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$: limiet $-\dfrac12$.

**Oefening 16.3 ★.**

Ontwikkel $\arctan x$ in $0$ tot orde $5$ door de ontwikkeling van $\frac{1}{1 + x^2}$ te integreren, en $\arcsin x$ tot orde $5$ door die van $(1 - x^2)^{-1/2}$ te integreren.

**Oplossing van Oefening 16.3.**

$\frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 + o(t^5)$; door van $0$ tot $x$ te integreren ([Methode 16.12](#met-b1-taylor-compute) (5)):

$$
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\ \
(\text{zelfs }o(x^6)\text{, wegens de oneven pariteit}).
$$

$(1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{t^2}{2} + \frac38 t^4 + o(t^5)$ (binomiaalontwikkeling met $\alpha = -\frac12$, $x = -t^2$: $\binom{-1/2}{2} = \frac{(-\frac12)(-\frac32)}{2} = \frac38$); na integratie:

$$
\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) .
$$

**Oefening 16.4 ★.**

Bewijs met Taylor–Lagrange voor $\exp$ op $\intcc{0}{1}$ dat

$$
\Bigl| \eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!},
$$

en bepaal een $n$ die $6$ exacte decimalen van $\eu$ garandeert.

**Oplossing van Oefening 16.4.**

Taylor–Lagrange ([Stelling 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)) voor $\exp$ in $a =
0$, $x = 1$: de $(n+1)$-de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) is $\eu^t \leq \eu < 3$ op $\intcc{0}{1}$, dus

$$
\Bigl|\eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!} .
$$

Voor $6$ exacte decimalen willen we $\frac{3}{(n+1)!} < 5\times
10^{-7}$, dat wil zeggen $(n+1)! > 6\times 10^{6}$: omdat $10! =
3\,628\,800$ en $11! = 39\,916\,800$, volstaat $n + 1 = 11$, dus $n
= 10$.

**Oefening 16.5 ★★.**

Ontwikkel tot orde $2$ in $\frac1n$ en leid de limiet en de convergentiesnelheid af:

$$
\Bigl(1 + \frac 1n\Bigr)^{\!n}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

**Oplossing van Oefening 16.5.**

$n\ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
\frac{1}{3n^3} + o\bigl(\frac{1}{n^3}\bigr)\Bigr) = 1 - \frac{1}{2n}
+ \frac{1}{3n^2} + o\bigl(\frac{1}{n^2}\bigr)$. Neem de exponentiële, met $u = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}$ en $\eu^u = 1
+ u + \frac{u^2}2 + o(u^2)$:

$$
\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^n = \eu\cdot \eu^{u}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \frac{1}{8n^2}
+ o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr)
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

Limiet $\eu$; de fout is $\sim \dfrac{\eu}{2n}$: traag (één cijfer per vertienvoudiging van $n$).

**Oefening 16.6 ★★.**

Onderzoek het lokale gedrag in $0$ van $f(x) = x^2 - x^4$ en van $g(x) = x^3 + x^5$; en bepaal de ligging van de grafiek van $h(x) =
\eu^x$ ten opzichte van haar raaklijn in $a = 1$, eerst lokaal en daarna globaal.

**Oplossing van Oefening 16.6.**

$f(x) = x^2 - x^4 = x^2(1 + o(1))$: eerste term $x^2$, $p = 2$ even, coëfficiënt $> 0$: lokaal minimum in $0$ (niet globaal: $f(2) =
-12$).

$g(x) = x^3 + x^5$: eerste term $x^3$, $p$ oneven: geen extremum; $g$ kruist haar (horizontale) raaklijn: buigpunt in $0$.

$h = \exp$ in $a = 1$: $h(x) = \eu + \eu(x-1) + \frac{\eu}{2}(x-1)^2
+ o((x-1)^2)$; het verschil met de raaklijn is $\frac{\eu}{2}(x-1)^2 + o(\cdot) > 0$ lokaal. Globaal: $\eu^x - \eu
x \geq 0$ voor alle $x$ wegens de convexiteit ([Stelling 14.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#thm-b1-derivative-convexchar) (3)): de grafiek ligt boven elke raaklijn, met gelijkheid alleen in het raakpunt.

**Oefening 16.7 ★★.**

Bepaal de asymptoten in $\pm\infty$ van $f(x) = \sqrt[3]{x^3 + x^2}$ en de ligging van de kromme ten opzichte daarvan.

**Oplossing van Oefening 16.7.**

Voor $x \to +\infty$:

$$
f(x) = x\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)^{1/3}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} +
o\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr)\Bigr)
= x + \frac13 - \frac{1}{9x} + o\Bigl(\frac1x\Bigr):
$$

asymptoot $y = x + \frac13$, met de kromme eronder bij $+\infty$. Als $x \to -\infty$ blijft dezelfde berekening geldig (de derdemachtswortel is voor alle reële getallen gedefinieerd, en $\frac1x \to 0$): dezelfde asymptoot $y = x + \frac13$, maar nu is $-\frac{1}{9x} > 0$: de kromme ligt *boven* de rechte.

**Oefening 16.8 ★★.**

Bepaal het equivalent, als $n \to \infty$, van

$$
u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt n, \qquad
v_n = \ln(n+1) - \ln n, \qquad
w_n = \sin\frac{1}{n} - \tan\frac{1}{n},
$$

telkens als een macht van $n$ maal een constante.

**Oplossing van Oefening 16.8.**

$u_n = \sqrt n\bigl(\sqrt{1 + \tfrac1n} - 1\bigr) = \sqrt
n\bigl(\frac{1}{2n} + o(\frac1n)\bigr) \sim \dfrac{1}{2\sqrt n}$.

$v_n = \ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) \sim \dfrac 1n$.

$w_n$: met $h = \frac1n \to 0$ is $\sin h - \tan h = \bigl(h -
\frac{h^3}{6}\bigr) - \bigl(h + \frac{h^3}{3}\bigr) + o(h^3) =
-\frac{h^3}{2} + o(h^3)$, dus $w_n \sim -\dfrac{1}{2n^3}$.

**Oefening 16.9 ★★★.**

Zij $f$ van klasse $C^2$ op $\R$. Bewijs dat voor elke $x$ en elke $h > 0$

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} ,
$$

en leid de ongelijkheid van het type Landau–Kolmogorov af: is $\abs f \leq M_0$ en $\abs{f''} \leq M_2$ op $\R$, dan is $\abs{f'} \leq \sqrt{2 M_0 M_2}$ overal. *(Optimaliseer over $h$.)*

**Oplossing van Oefening 16.9.**

Taylor–Lagrange op orde $1$ rond $x$, aan beide zijden:

$$
f(x + h) = f(x) + h f'(x) + R_+,\quad
f(x - h) = f(x) - h f'(x) + R_-,
\qquad \abs{R_\pm} \leq \frac{h^2}{2} \sup \abs{f''} .
$$

Aftrekken geeft $f(x+h) - f(x-h) = 2h f'(x) + (R_+ - R_-)$, dus

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} .
$$

Met globale grenzen: $\abs{f'(x)} \leq \frac{M_0}{h} + \frac{M_2
h}{2}$ voor elke $h > 0$. Het rechterlid wordt geminimaliseerd bij $h = \sqrt{2M_0/M_2}$ ([afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) nul), met waarde $\sqrt{2M_0M_2}$ — bijgevolg is $\abs{f'} \leq \sqrt{2M_0M_2}$. (Is $M_2 = 0$, laat dan $h \to \infty$: $f' = 0$, consistent.)

**Oefening 16.10 ★★★.**

De rij $u_0 \in \intoo{0}{\pi}$, $u_{n+1} = \sin u_n$ daalt naar $0$ (verantwoord dit kort). Om haar snelheid te bepalen, beschouw $v_n = \frac{1}{u_n^2}$:

1. bewijs met de ontwikkeling van $\sin$ dat $v_{n+1} - v_n \to  \frac13$ ;
2. leid met Cesàro ( [Oefening 11.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-10) ) af dat $\frac{v_n}{n} \to \frac13$ , en daarna het equivalent $u_n  \sim \sqrt{\dfrac{3}{n}}$ .

**Oplossing van Oefening 16.10.**

Op $\intoo{0}{\pi}$ is $0 < \sin u < u$, dus is $(u_n)$ strikt dalend en positief, en dus convergent; de limiet is een vast punt van $\sin$ in $\intcc{0}{\pi}$, en $\sin \ell = \ell$ dwingt $\ell =
0$ af (want $\sin x < x$ voor $x > 0$).

1. Met $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ als $u \to 0$: $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{\sin^2 u_n} - \frac{1}{u_n^2}  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\Bigl(1 - \frac{u_n^2}{6} +  o(u_n^2)\Bigr)^{\!-2} - 1\Bigr)  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2)\Bigr)  \longrightarrow \frac13 .$$
2. Volgens [Oefening 11.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-10) (3) (Cesàro voor verschillen) is $\frac{v_n}{n} \to \frac13$, dat wil zeggen $v_n \sim  \frac n3$, dus $u_n^2 \sim \frac 3n$: omdat $u_n > 0$, $$u_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}} .$$

**Oefening 16.11 ★★.**

(Verschillen van oneindigheden) Bereken

$$
\lim_{x \to 0} \Bigl(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\Bigr)
\qquad\text{en}\qquad
\lim_{x \to 0^+} \Bigl(\frac 1x - \frac{1}{\ln(1 + x)}\Bigr)
$$

door op één noemer te brengen en teller en noemer afzonderlijk te ontwikkelen.

**Oplossing van Oefening 16.11.**

Breng op één noemer. Eerste limiet:

$$
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}
= \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2\sin^2 x},
\qquad
\sin^2 x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)\Bigr)^{\!2}
= x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^5) ,
$$

zodat de teller $-\frac{x^4}{3} + o(x^4)$ is terwijl de noemer $\sim x^4$ is: de limiet is $-\dfrac13$.

Tweede: $\dfrac1x - \dfrac{1}{\ln(1+x)} = \dfrac{\ln(1+x) -
x}{x\ln(1+x)}$; de teller is $-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$, de noemer $x\bigl(x + o(x)\bigr) \sim x^2$: de limiet is $-\dfrac12$.

**Oefening 16.12 ★★★.**

(Asymptotiek van impliciete wortels) Toon aan dat voor elke $k \in
\N^*$ de vergelijking $\tan x = x$ precies één oplossing $x_k$ heeft in $\intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$, dat $x_k =
k\pi + \frac\pi2 - \varepsilon_k$ met $\varepsilon_k =
\arctan\frac{1}{x_k}$, en leid de ontwikkeling

$$
x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} + o\Bigl(\frac
1k\Bigr) \qquad (k \to \infty)
$$

af.

**Oplossing van Oefening 16.12.**

Op $I_k = \intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$ heeft de functie $g(x) = \tan x - x$ als [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) $\tan^2 x \geq 0$, die alleen in het enkele punt $k\pi$ nul wordt: $g$ is strikt stijgend op $I_k$ ([Gevolg 14.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#cor-b1-derivative-monotone) (2)), met limieten $-\infty$ en $+\infty$ in de uiteinden: precies één nulpunt $x_k$. Voor $k \geq 1$ is $g(k\pi) = -k\pi < 0$, dus $x_k \in
\intoo{k\pi}{k\pi + \frac\pi2}$: schrijf $x_k = k\pi + \frac\pi2 -
\varepsilon_k$ met $\varepsilon_k \in \intoo{0}{\frac\pi2}$. Dan is

$$
x_k = \tan x_k = \tan\Bigl(\frac\pi2 - \varepsilon_k\Bigr)
= \frac{1}{\tan\varepsilon_k}
\quad\Longrightarrow\quad
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} ,
$$

met gebruik van $\tan\varepsilon_k = \frac{1}{x_k}$ en $\varepsilon_k \in \intoo{0}{\frac\pi2}$. Omdat $x_k \geq k\pi \to
\infty$, is $\varepsilon_k \to 0$, en

$$
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} = \frac{1}{x_k} +
O\Bigl(\frac{1}{x_k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi + O(1)} + O\Bigl(\frac{1}{k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi} + O\Bigl(\frac{1}{k^2}\Bigr) ,
$$

waaruit $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} +
o\bigl(\frac1k\bigr)$.

## 16.5 Opgave: alternerende sommen, gecertificeerde cijfers en de irrationaliteit van $\cos 1$

**Probleem 16.1.**

Weekendopgave — de alternerende schatting $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$: $\ln 2$ en $\pi$ met bewezen decimalen, de formule van Machin, en $\cos 1 \notin \Q$

Een alternerende som met dalende termen is het vriendelijkste object van de numerieke analyse: haar fout wordt begrensd door de eerste weggelaten term, *met bekend teken*. Deze opgave bewijst dat beginsel met de stelling over [ingesloten rijen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent), en besteedt het vervolgens op drie manieren: gecertificeerde decimalen voor $\ln 2$ (drie concurrerende wegen) en voor $\pi$ (Leibniz, en daarna de formule van Machin uit 1706, eeuwenlang nog steeds het idee achter recordberekeningen), de irrationaliteit van $\cos 1$, $\sin 1$ en $\cosh 1$, en, als tegenwicht, de *gelijkheidsvorm* van Taylor–Lagrange en de vlakke functie waarvan de taylorontwikkeling liegt. Overal is de taal van “reeksen” informeel: elke som hier is een *rij van partiële sommen*, zoals in [Voorbeeld 11.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ex-b1-seq-e); de eigenlijke theorie opent in [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series).

**Deel I — De alternerende schatting.** Zij $(a_k)_{k \geq 0}$ dalend naar $0$ en $S_n = \sum_{k=0}^{n}
(-1)^k a_k$.

1. Toon aan dat $(S_{2n+1})$ stijgend is, $(S_{2n})$ dalend, en dat zij ingesloten zijn ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent)): beide convergeren naar een gemeenschappelijke $S$ met, voor elke $n$, $$S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n},  \qquad  \abs{S - S_n} \leq a_{n+1} ,$$ waarbij de fout het teken heeft van de eerste weggelaten term. Toon bovendien aan dat al deze ongelijkheden strikt zijn wanneer de daling *strikt* is.
2. Eerste dividend: vergelijk voor $x = 1$ in de exponentiële reeks met [Stelling 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange) in $a  = 0$ : toon aan dat $T_n = \sum_{k=0}^{n}  \frac{(-1)^k}{k!}$ convergeert naar $\eu^{-1}$ met $\abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$ .
3. (Leibniz, 1674) Bewijs uit de *exacte* eindige identiteit $$\frac{1}{1 + t^2} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{2k}  + \frac{(-1)^{n+1} t^{2n+2}}{1 + t^2} ,$$ geïntegreerd over $\intcc{0}{1}$, dat $$\frac\pi4 = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \rho_n,  \qquad \abs{\rho_n} \leq \frac{1}{2n+3} .$$
4. Traagheid: hoeveel termen van Leibniz garanderen zes exacte decimalen van $\pi$ ? (Ongeveer twee miljoen.) Evalueer $4 S_4 = 4\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 +  \frac19\bigr)$ en zijn afstand tot $\pi$ , om de pijn te voelen.

**Deel II — $\ln 2$ langs drie wegen.**

5. (Weg 1: de alternerende harmonische) Uit $\frac{1}{1+t} =  \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$, geïntegreerd over $\intcc{0}{1}$: $$\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n  R_n, \qquad \frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq  \frac{1}{n+1} :$$ de fout is van exacte orde $\frac 1n$ — een miljoen termen voor zes decimalen.
6. (Weg 2: de snelle reeks) Integreer $\frac{1}{1 - t^2} =  \sum_{k=0}^{n} t^{2k} + \frac{t^{2n+2}}{1-t^2}$ van $0$ tot $x \in \intoo{0}{1}$ en evalueer in $x = \frac13$ (merk op dat $\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 2$): $$\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +  \tilde\rho_n,  \qquad  0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot  \frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :$$ meetkundige convergentie, ruwweg één cijfer per term.
7. (Weg 3: [Riemannsommen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-riemann) en een verborgen identiteit) Bewijs met inductie de identiteit $$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = H_{2n} - H_n =  \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} ,$$ en vind $\ln 2$ terug als de limiet van de [Riemannsom](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-riemann) uit [Voorbeeld 15.21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ex-b1-integration-riemannexample): de wegen 1 en 3 zijn heimelijk hetzelfde getal, twee keer gezien.
8. Krachtmeting bij zes termen: vergelijk $\sum_{k=1}^{6}  \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.6167$ met weg 2 bij $n = 5$ , die al $\ln 2 = 0.693147$ geeft met een fout $\leq  1.1\cdot10^{-7}$ . Verklaar de structurele reden (een evaluatiepunt diep binnen het [convergentie-interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) tegenover een punt op de [rand](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closure) ervan).
9. Hoeveel termen van weg 2 certificeren *tien* decimalen van $\ln 2$ ? Toon aan dat $n = 10$ volstaat.

**Deel III — De formule van Machin.**

10. Bereken $(5 + \iu)^4$ en ga de complexe identiteit $$(5 + \iu)^4 = 2\,(1 + \iu)\,(239 + \iu)$$ na. Leid, door argumenten te nemen (met de afspraken van [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ch-b1-complex)), de formule van Machin $$\frac\pi4 = 4\arctan\frac15 - \arctan\frac{1}{239}$$ af. (Controleer dat geen enkel argument $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ verlaat.)
11. Stel, zoals in vraag 3, voor $0 < x < 1$ vast dat $$\arctan x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k  x^{2k+1}}{2k+1} + r_n(x), \qquad \abs{r_n(x)} \leq  \frac{x^{2n+3}}{2n+3} .$$
12. Certificeer $\pi$ tot op zeven decimalen met zes termen: begrens de totale fout van $$\pi \approx 16\sum_{k=0}^{4}  \frac{(-1)^k (1/5)^{2k+1}}{2k+1}  - 4\Bigl(\frac{1}{239} - \frac{1}{3\cdot239^3}\Bigr)$$ door $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} +  4\,\frac{(1/239)^5}{5} < 5\cdot10^{-8}$, en geef de resulterende waarde $3.1415926\dots$
13. Vergelijk de drie wegen naar $\pi$ die nu beschikbaar zijn — Leibniz (vraag 4), de [integralen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) van Dalzell uit [Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#pb-b1-integration-1) (fout $4^{1-5m}$ ), Machin (fout $\approx 16\cdot 5^{-(2n+3)}$ ) — in cijfers per term, en leg uit waarom het verkleinen van het evaluatiepunt alles verslaat.

**Deel IV — De gehele-getallenval, alternerende uitvoering.**

14. Stel dat $\cos 1 = \frac pq$ . Vermenigvuldig de strikte alternerende insluiting van $\sum_{k}  \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ (vraag 1) met $(2n)!$ waarbij $2n  \geq q$ , en leid een tegenspraak af: $\cos 1$ is irrationaal.
15. Pas dit aan voor $\sin 1 = \sum_k  \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ (vermenigvuldig met $(2n+1)!$ ): $\sin 1 \notin \Q$ . Beide irrationaal, en toch is $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1$ : irrationaliteit is niet bestand tegen algebra.
16. De niet-alternerende neef: $\cosh 1 = \sum_k  \frac{1}{(2k)!}$ (in de zin van partiële sommen, met de tweezijdige staartgrens $0 < \cosh 1 - \sum_{k \leq n}  \frac{1}{(2k)!} < \frac{2}{(2n+2)!}$ , nog te bewijzen). Besluit met dezelfde val dat $\cosh 1 \notin \Q$ .
17. Duw door tot $\cos\frac 1m$ voor elk geheel getal $m \geq  1$ : vermenigvuldig met $m^{2n}(2n)!$ en besluit dat $\cos\frac1m \notin \Q$ . Waar breekt dezelfde poging voor een algemene $\cos\frac ab$ met $b > 1$ ? (Wijs de noemer aan die niet langer wegvalt.)

**Deel V — Scherper en donkerder: de gelijkheidsvorm, en een functie die Taylor bedriegt.**

18. (Taylor–Lagrange, gelijkheidsvorm) Zij $f$ $n + 1$ keer [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) tussen $a$ en $x$. Definieer $g(t) = f(x) -  \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k -  A\,\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$ met de constante $A$ zo gekozen dat $g(a) = 0$. Bereken $g'$ (de som telescopeert), pas Rolle toe op $\intcc{a}{x}$, en besluit dat er een $c$ strikt tussen $a$ en $x$ bestaat met $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k  + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1} .$$
19. Dividend van de gelijkheid: toon voor $x > 0$ aan dat $$\eu^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots +  \frac{x^n}{n!}$$ (strikt, voor elke $n$), en lokaliseer waar de ongelijkheid voor $x < 0$ omklapt naargelang de pariteit van $n$.
20. IJk de resttermen op $\sin(0.5)$ bij orde $3$ : Young geeft alleen $o(x^3)$ (geen getal); Lagrange geeft $\abs{\sin 0.5 - (0.5 - \frac{0.5^3}{6})} \leq  \frac{0.5^5}{120} = 2.61\cdot10^{-4}$ ; de alternerende schatting geeft dezelfde grens *plus* de tekeninformatie $\sin 0.5 > 0.5 - \frac{0.5^3}{6}$ . Vergelijk met de werkelijke fout $2.59\cdot10^{-4}$ : de grens wordt bijna bereikt. Naar welk gereedschap zou je grijpen, en wanneer?
21. (De vlakke functie) Zij $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ voor $x  \neq 0$ en $f(0) = 0$ . Toon aan dat $f$ [continu](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) is in $0$ , dat $f'(0) = 0$ , en algemener — door te bewijzen dat elke [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) de vorm $f^{(k)}(x) =  P_k\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ heeft voor een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P_k$ (inductie) — dat $f^{(k)}(0) = 0$ voor alle $k$ *([groeivergelijking](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules), [Propositie 4.6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules))* . Besluit: alle taylorveeltermen van $f$ in $0$ zijn nul, en toch is $f(x)  > 0$ voor $x \neq 0$ : Taylor–Young geldt in elke orde en zegt niets over $f$ buiten $0$ . Ontwikkelingen beschrijven *kiemen* , geen functies.

**Deel VI — Synthese.**

22. Laat de val nog één keer draaien, op $\eu^{-1} = \sum_k  \frac{(-1)^k}{k!}$ : vermenigvuldig de strikte alternerende insluiting met $n!$ en besluit dat $\eu^{-1}  \notin \Q$ , en dus $\eu \notin \Q$ — het derde bewijs van dit feit in het volume. Som de drie op ( [ingesloten rijen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent) , [Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9) ; [integralen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) , [Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#pb-b1-integration-1) ; alternerende sommen, hier) en wat elk ervan nodig had.
23. De kleine lettertjes: de monotonie is geen versiering. Zij $b_k = \frac1k$ voor oneven $k$ en $b_k =  \frac{1}{k^2}$ voor even $k$ : de $b_k$ zijn positief en naderen tot $0$ , en toch divergeren de partiële sommen van $\sum (-1)^k b_k$ naar $-\infty$ . Bewijs dit *(splits de partiële som in het even deel, begrensd via [Voorbeeld 11.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ex-b1-seq-basel), en het oneven deel, dat de helft van de harmonische reeks domineert, [Oefening 11.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-5))* , en zeg precies welke stap van vraag 1 de monotonie gebruikte.
24. Ga de eenvoudiger identiteit van Euler $\arctan\frac12 +  \arctan\frac13 = \frac\pi4$ na via $(2 + \iu)(3 + \iu) =  5(1 + \iu)$ , schat het aantal termen dat langs deze weg nodig is voor zes decimalen van $\pi$ ( $n = 10$ volstaat), en plaats haar tussen Leibniz en Machin in de rangschikking van vraag 13.
25. Synthese, telkens één zin: (i) formuleer de alternerende schatting en haar twee opbrengsten (grens en teken); (ii) waarom exacte eindige identiteiten met expliciete resttermen het winnen van limietuitspraken voor gecertificeerd rekenwerk; (iii) de inventaris van de opgave ( $\pi$ tot op $10^{-7}$ met de hand, $\ln 2$ tot op tien decimalen, vier irrationaliteitsbewijzen, één gelijkheidsstelling, één waarschuwend voorbeeld); (iv) welke van deze draden [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) zal oppakken (het criterium voor alternerende reeksen, absolute tegenover voorwaardelijke convergentie, en het herschikkingsdrama van haar weekendopgave).

**Oplossing van Probleem 16.1.**

**1.** $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1} \geq 0$ en $S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n+1} \leq 0$, terwijl $S_{2n}
- S_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$: de rijen $(S_{2n+1})$ en $(S_{2n})$ zijn ingesloten en convergeren naar een gemeenschappelijke $S$ ([Stelling 11.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent)) met $S_{2n+1}
\leq S \leq S_{2n}$. Voor even $n$ geeft $S_{n+1} \leq S \leq
S_n$ dat $-a_{n+1} \leq S - S_n \leq 0$; voor oneven $n$ dat $0
\leq S - S_n \leq a_{n+1}$. In beide gevallen is $\abs{S - S_n}
\leq a_{n+1}$ en heeft $S - S_n$ het teken van $(-1)^{n+1}$, de eerste weggelaten term. Bij strikte daling wordt elke getoonde ongelijkheid strikt, in het bijzonder $0 < \abs{S - S_n} <
a_{n+1}$.

**2.** $a_k = \frac{1}{k!}$ daalt strikt naar $0$: vraag 1 is van toepassing. Taylor–Lagrange ([Stelling 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)) voor $\exp$ tussen $-1$ en $0$: $\abs{\eu^{-1} - T_n} \leq \frac{1}{(n+1)!}$ (de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) $\eu^t$ is daar $\leq 1$), dus $T_n \to \eu^{-1}$, en de limiet $S$ uit vraag 1 *is* $\eu^{-1}$, met de strikte grenzen $0 <
\abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$.

**3.** Integratie van de identiteit over $\intcc{0}{1}$: het linkerlid is $\arctan 1 = \frac\pi4$ (hoofdstelling), de $k$-de term geeft $\frac{(-1)^k}{2k+1}$, en

$$
\rho_n = (-1)^{n+1}\int_0^1 \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\dd t,
\qquad
\abs{\rho_n} \leq \int_0^1 t^{2n+2}\dd t = \frac{1}{2n+3} .
$$

**4.** De fout op $\pi$ is $4\abs{\rho_n} \leq
\frac{4}{2n+3}$: onder $10^{-6}$ komen vereist $2n + 3 >
4\cdot10^6$, ongeveer twee miljoen termen. Ondertussen is $4S_4 =
4\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19\bigr) = 4 \times
0.834921 = 3.339683$, bijna $0.2$ verwijderd van $\pi$: vijf termen, nog geen enkel juist cijfer.

**5.** Integratie over $\intcc{0}{1}$ geeft $\ln 2 =
\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n R_n$ met $R_n =
\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$; uit $\frac12 \leq \frac{1}{1+t}
\leq 1$ volgt $\frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq \frac{1}{n+1}$. De fout zit gevangen tussen twee veelvouden van $\frac1n$: zes decimalen kosten ongeveer een miljoen termen.

**6.** Integratie van $0$ tot $x$: $\frac12\ln\frac{1 +
x}{1 - x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \int_0^x
\frac{t^{2n+2}}{1-t^2}\dd t$. In $x = \frac13$ is $\frac{1 +
1/3}{1 - 1/3} = 2$, en op $\intcc{0}{\frac13}$ is $\frac{1}{1 -
t^2} \leq \frac98$:

$$
\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +
\tilde\rho_n,
\qquad
0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot
\frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :
$$

elke extra term [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) de fout ongeveer door $9$.

**7.** Inductie: voor $n = 1$ is $1 - \frac12 = \frac12 =
H_2 - H_1$. Stap:

$$
H_{2n+2} - H_{n+1} = (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} +
\frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}
= (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2},
$$

en dat is precies de aangroei van de alternerende som. En $H_{2n} - H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ is de [Riemannsom](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-riemann) van [Voorbeeld 15.21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ex-b1-integration-riemannexample), die naar $\ln 2$ convergeert: de even partiële sommen van weg 1 *zijn* de [Riemannsommen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-riemann) van weg 3.

**8.** $\sum_{k=1}^{6}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.61667$, met fout $0.0765$; weg 2 bij $n = 5$ geeft $0.6931471$ met fout $\leq \frac94\cdot\frac{(1/3)^{13}}{13} = 1.1\cdot10^{-7}$. De reden: weg 1 evalueert de logaritmereeks in het randpunt $x =
1$, waar de termen als $\frac1k$ afnemen; weg 2 evalueert in $x
= \frac13$, diep binnenin, waar elke term een verse factor $\frac19$ meedraagt.

**9.** Tien decimalen: we willen $\tilde\rho_n \leq
5\cdot10^{-11}$. Bij $n = 10$: $\frac94 \cdot
\frac{(1/3)^{23}}{23} = \frac94\cdot\frac{1.06\cdot10^{-11}}{23}
\approx 1.0\cdot10^{-12} < 5\cdot10^{-11}$: elf termen volstaan.

**10.** $(5+\iu)^2 = 24 + 10\iu$, en daarna $(5+\iu)^4 =
(24 + 10\iu)^2 = 476 + 480\iu$; en $2(1+\iu)(239+\iu) = 2(238 +
240\iu) = 476 + 480\iu$: gelijk. Argumenten: $\arg(5 + \iu) =
\arctan\frac15$, dus het linkerlid heeft argument $4\arctan\frac15 \approx 0.79 \in \intoo{0}{\pi}$; het rechterlid heeft argument $\frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} \in
\intoo{0}{\pi}$. Twee gelijke complexe getallen met argumenten in hetzelfde [interval](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#prop-b1-reals-intervals) van lengte $< 2\pi$:

$$
4\arctan\frac15 = \frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} ,
$$

en dat is de formule van Machin.

**11.** Integreer $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^n (-1)^k
t^{2k} + \frac{(-1)^{n+1}t^{2n+2}}{1+t^2}$ van $0$ tot $x$:

$$
\arctan x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} +
r_n(x),
\qquad
\abs{r_n(x)} \leq \int_0^x t^{2n+2}\dd t =
\frac{x^{2n+3}}{2n+3} .
$$

**12.** Fouten: $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} = 3.0\cdot
10^{-8}$ en $4\,\frac{(1/239)^5}{5} \approx 1\cdot10^{-12}$: samen $< 5\cdot10^{-8}$. De getoonde som evalueert tot $3.14159268\dots$, dus $\pi = 3.1415926\dots$ gecertificeerd tot op $5\cdot10^{-8}$: zeven decimalen uit zes termen (vijf bij $\frac15$, twee bij $\frac1{239}$, ruim geteld).

**13.** Leibniz: fout $\sim \frac1n$, zodat elk nieuw cijfer het werk met tien vermenigvuldigt. Dalzell ([Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#pb-b1-integration-1), vraag 22): fout $4^{1-5m}$, ongeveer drie cijfers per stap, met per stap een zwaardere [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def). Machin: foutverhouding $\frac{1}{25}$ per term, ongeveer $1.4$ cijfers per term, met per term één deling. De moraal: de restterm van een ontwikkeling van meetkundig type schaalt als $x^{2n}$, zodat $x$ klein maken cijfers koopt tegen *vaste* kosten per term — de complexe identiteit van Machin is precies een machine om $x$ te verkleinen.

**14.** $a_k = \frac{1}{(2k)!}$ daalt strikt naar $0$; volgens vraag 1 en [Propositie 16.11](#prop-b1-taylor-standard) (met de grens van Lagrange als in vraag 2) geldt $\sum_{k \leq
n}\frac{(-1)^k}{(2k)!} \to \cos 1$ met de *strikte* insluiting $0 < \bigl|\cos 1 - S'_n\bigr| < \frac{1}{(2n+2)!}$. Stel $\cos 1 = \frac pq$ en neem $2n \geq q$: dan is $(2n)!\,S'_n = \sum_{k\leq n} (-1)^k \frac{(2n)!}{(2k)!} \in \Z$ en $(2n)!\,\frac pq \in \Z$, terwijl

$$
0 < \Bigl|(2n)!\cos 1 - (2n)!S'_n\Bigr| <
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} < 1 :
$$

een geheel getal dat niet nul is met absolute waarde $< 1$. Tegenspraak: $\cos 1 \notin \Q$.

**15.** Identiek met $a_k = \frac{1}{(2k+1)!}$, na vermenigvuldiging met $(2n+1)!$ waarbij $2n + 1 \geq q$: $\sin 1
\notin \Q$. En toch is $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1 \in \Q$: producten en sommen van irrationale getallen mogen rationaal zijn — irrationaliteit overleeft geen enkele algebraïsche bewerking gratis.

**16.** Staartgrens: voor $m > n$ is

$$
\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{(2k)!}
\leq \frac{1}{(2n+2)!}\Bigl(1 + \frac12 + \frac14 +
\dots\Bigr) \leq \frac{2}{(2n+2)!} ,
$$

omdat elke opeenvolgende verhouding $\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} \leq
\frac12$ is; de staart is positief (haar eerste term is dat). Dus $0 < \cosh 1 - \sum_{k\leq n}\frac{1}{(2k)!} <
\frac{2}{(2n+2)!}$, en vermenigvuldiging met $(2n)!$ waarbij $2n
\geq q$ vangt opnieuw een geheel getal dat niet nul is in $\intoo{0}{1}$: $\cosh 1 \notin \Q$.

**17.** $\cos\frac1m = \sum_k \frac{(-1)^k}{m^{2k}(2k)!}$: de termen dalen strikt naar nul, en $m^{2n}(2n)!\cdot
\frac{1}{m^{2k}(2k)!} = m^{2(n-k)}\frac{(2n)!}{(2k)!} \in \Z$ voor $k \leq n$. Is $\cos\frac1m = \frac pq$, vermenigvuldig de strikte insluiting dan met $q\,m^{2n}(2n)!$: de fout wordt begrensd door $\frac{q}{m^2(2n+1)(2n+2)} < 1$ voor grote $n$: tegenspraak. Voor $\frac ab$ met $a \geq 2$: het wegwerken van de noemers vermenigvuldigt de staart met $b^{2n}(2n)!$, maar de eerste weggelaten term is $\frac{a^{2n+2}}{b^{2n+2}(2n+2)!}$, en het product $\frac{a^{2n+2}}{b^2(2n+1)(2n+2)}$ *explodeert*: de teller $a^{2n+2}$ valt niet langer weg, en de val loopt vast. (Het resultaat blijft waar — via machinerie in de stijl van Niven, niet via deze.)

**18.** In $t = x$ verdwijnt elke term van $g$ behalve $f(x) - f(x) = 0$: $g(x) = 0$; en $A$ is zo gekozen dat $g(a) =
0$. Bij het afleiden telescopeert de som:

$$
g'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n +
A\,\frac{(x-t)^n}{n!}
= \frac{(x-t)^n}{n!}\bigl(A - f^{(n+1)}(t)\bigr) .
$$

Rolle op het segment van $a$ tot $x$ geeft een $c$ strikt daartussen met $g'(c) = 0$; omdat $(x - c)^n \neq 0$, is $A =
f^{(n+1)}(c)$. Het uitschrijven van $g(a) = 0$ levert de gelijkheid van Taylor met restterm $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$.

**19.** Voor $x > 0$ is de restterm $\frac{\eu^{c}}
{(n+1)!}x^{n+1} > 0$: de exponentiële overtreft elk van haar taylorveeltermen, strikt, in elke orde. Voor $x < 0$ is het teken van de restterm dat van $x^{n+1}$: $\eu^x$ ligt *boven* de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) voor $n$ oneven en *eronder* voor $n$ even — afwisselende zijden, zoals de grafieken van $1 + x$ en $1 + x + \frac{x^2}{2}$ tegenover $\eu^x$ al laten zien.

**20.** Werkelijke fout: $\sin 0.5 - 0.4791667 =
2.59\cdot10^{-4}$, tegenover de grens $\frac{0.5^5}{120} =
2.60\cdot10^{-4}$: bijna bereikt (de volgende term domineert de staart). Young: voor limieten en lokale analyse, waar geen constante nodig is. Lagrange: voor gecertificeerde decimalen. Alternerend: waar toepasbaar, dezelfde grens *plus* de richting van de fout — de beste van de drie, maar de zeldzaamste.

**21.** [Continuïteit](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) in $0$: met $u = \frac{1}{x^2} \to
+\infty$ is $f(x) = \eu^{-u} \to 0 = f(0)$. [Afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in $0$: $\bigl|\frac{f(h)}{h}\bigr| = \sqrt u\,\eu^{-u} \to 0$ ([Propositie 4.6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules)): $f'(0) = 0$. Voor $x \neq
0$ is $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$: de vorm $P_1\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ met $P_1(X) = 2X^3$; met inductie geeft het afleiden van $P_k(\frac1x)\eu^{-1/x^2}$ dat $P_{k+1}(X) = 2X^3 P_k(X) - X^2 P_k'(X)$, een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def). Dan is

$$
\frac{f^{(k)}(h) - 0}{h} = v\,P_k(v)\,\eu^{-v^2}
\Big|_{v = 1/h} \longrightarrow 0
$$

([veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) tegen $\eu^{-v^2}$, [groeivergelijking](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-powerrules) in $\pm\infty$): met inductie is $f^{(k)}(0) = 0$ voor alle $k$. Alle taylorveeltermen van $f$ in $0$ zijn nul, en toch is $f > 0$ buiten $0$: Taylor–Young is exact in elke orde en blind voorbij de kiem. Een ontwikkeling is uitsluitend lokale informatie.

**22.** Volgens vraag 2 is $0 < \abs{\eu^{-1} - T_n} <
\frac{1}{(n+1)!}$, strikt. Is $\eu^{-1} = \frac pq$, neem dan $n
\geq q$ en vermenigvuldig met $n!$: $n!\,T_n \in \Z$ en $n!\frac pq \in \Z$, dus heeft een geheel getal dat niet nul is een absolute waarde $< \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} < 1$: tegenspraak. Bijgevolg is $\eu^{-1} \notin \Q$, en is $\eu =
\frac{1}{\eu^{-1}}$ eveneens irrationaal. De drie bewijzen: [ingesloten rijen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#thm-b1-seq-adjacent) die $q!\,\eu$ insluiten ([Oefening 11.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-9)); de integraalrecursie $A_n = \eu - nA_{n-1}$ ([Probleem 15.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#pb-b1-integration-1)); de alternerende insluiting (hier). Eén val, drie certificaten van kleinheid.

**23.** Groepeer de partiële sommen paarsgewijs: $\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k b_k = E_n - O_n$ met $E_n =
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{4j^2}$, begrensd (via de telescoperende grens van [Voorbeeld 11.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#ex-b1-seq-basel) is $E_n \leq \frac12$), en $O_n
= \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1} \geq \frac12 H_n \to +\infty$ ([Oefening 11.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#exo-b1-seq-5)): de partiële sommen naderen tot $-\infty$. De monotonie werd in vraag 1 precies daar gebruikt waar $S_{2n+1}
- S_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1}$ een teken nodig had: zonder daling hoeven de even en de oneven [deelrijen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/11-rijen#def-b1-seq-subsequence) niet monotoon te zijn, en stort de insluiting in.

**24.** $(2+\iu)(3+\iu) = 5 + 5\iu = 5(1+\iu)$; door argumenten te nemen (alle in $\intoo{0}{\frac\pi2}$): $\arctan\frac12 + \arctan\frac13 = \frac\pi4$. Kosten in termen voor zes decimalen: de fout is $\leq
4\bigl(\frac{(1/2)^{2n+3}}{2n+3} +
\frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3}\bigr)$, wat bij $n = 10$ ongeveer $2\cdot10^{-8} < 5\cdot10^{-7}$ is: elf termen. Rangschikking: exponentieel beter dan Leibniz, achter Machin (waarvan het dominante punt $\frac15$ kleiner is dan $\frac12$): ruwweg $0.6$ cijfers per term tegenover de $1.4$ van Machin.

**25.** (i) Voor dalende $a_k \to 0$ convergeren de alternerende partiële sommen met $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$, waarbij de fout het teken draagt van de eerste weggelaten term. (ii) Een eindige identiteit met expliciete restterm kan *in een gekozen punt worden geëvalueerd en begrensd*, terwijl een limietuitspraak alleen uiteindelijke nabijheid belooft — certificering vraagt het eerste. (iii) Geoogst: $\pi$ tot op $5\cdot10^{-8}$ via Machin, $\ln 2$ tot op tien decimalen via de $\frac13$-reeks, de irrationaliteit van $\cos
1$, $\sin 1$, $\cosh 1$, $\cos\frac1m$ en $\eu^{-1}$, de gelijkheid van Taylor–Lagrange, en de waarschuwing van de vlakke functie. (iv) [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#ch-b1-series) tilt vraag 1 op tot het criterium voor alternerende reeksen, scheidt absolute van voorwaardelijke convergentie, en haar weekendopgave voert het herschikkingsdrama op waarvoor de alternerende harmonische reeks van weg 1 de kroongetuige is.