---
title: "Vectorruimten"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten
---

# Hoofdstuk 18 — Vectorruimten

Hier begint de lineaire algebra: de axioma’s van [vectorruimten](#def-b1-vspaces-def) isoleren wat $\R^2$, $\R^3$, veeltermruimten en functieruimten gemeen hebben — men kan optellen en schalen. Twee hoofdstukken bouwen de theorie op ([Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim) voegt de dimensie toe); de taal die zij opzetten — [opspansel](#def-b1-vspaces-span), [vrije familie](#def-b1-vspaces-free), [basis](#def-b1-vspaces-free), [directe som](#def-b1-vspaces-sum) — is het dagelijks brood van elk hoofdstuk daarna. Overal staat $K$ voor $\R$ of $\C$ (de *scalairen*).

## 18.1 Definitie en voorbeelden

**Definitie 18.1 (Vectorruimte).**

Een *$K$-vectorruimte* is een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $E$ met een optelling die $(E, +)$ tot een [abelse groep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-group) maakt (nulelement genoteerd $0_E$ of $0$), en een scalaire vermenigvuldiging $K \times E \to E$ zodat voor alle $\lambda, \mu
\in K$ en $x, y \in E$

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

Gevolgen: $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$, en $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ of $x = 0_E$ (vermenigvuldig met $\lambda^{-1}$).

**Bewijs van de gevolgen.** Voor $0\,x = 0_E$: uit $(0 + 0)x = 0x + 0x$ en $(0+0)x = 0x$ mag men $0x$ in de [groep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-group) $(E, +)$ wegstrepen. Voor $\lambda\,0_E$: dezelfde kunstgreep op $\lambda(0_E + 0_E)$. Voor $(-1)x$: tel $x$ erbij op,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

zodat $(-1)x$ de tegengestelde van $x$ is. Ten slotte, is $\lambda
x = 0_E$ met $\lambda \neq 0$, vermenigvuldig dan met $\lambda^{-1}$ (de scalairen vormen een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field)) en gebruik de twee axioma’s $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x =
x$ samen met $\lambda^{-1}0_E = 0_E$: $x = 0_E$. Hoe klein ook, deze vier regels worden stilzwijgend gebruikt op elke bladzijde die volgt — en de laatste is precies waar [lichamen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) nodig zijn: over de scalairen $\Z$ zou de “ruimte” $\Z/2\Z$ haar schenden met $2\,x = 0$. ∎

**Voorbeeld 18.2.**

$K^n$ (coördinaatsgewijze bewerkingen); de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $K[X]$; de functies $\mathcal{F}(A, K)$ van een willekeurige [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $A$ naar $K$ (puntsgewijze bewerkingen) — met daarin de [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functies, de rijen $\mathcal{F}(\N, \R)$ enzovoort; en $\C$ als $\R$-vectorruimte. In elk geval worden de axioma’s geërfd van die van $K$.

**Definitie 18.3 (Deelruimte).**

$F \subseteq E$ is een *deelruimte* wanneer $0_E \in F$ en $F$ stabiel is onder optelling en scalaire vermenigvuldiging — equivalent:

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{en}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

Een deelruimte is zelf een [vectorruimte](#def-b1-vspaces-def). Elke doorsnede van deelruimten is een deelruimte; een vereniging bijna nooit (hetzelfde bewijs als [Oefening 7.6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#exo-b1-structures-6)).

**Voorbeeld 18.4.**

In $\mathcal{F}(\R, \R)$: de [continue](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#def-b1-continuity-continuous) functies, de [afleidbare](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def), de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $\leq n$ (genoteerd $K_n[X]$ binnen $K[X]$), de oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking ([Stelling 5.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/5-lineaire-differentiaalvergelijkingen#thm-b1-diffeq-homogeneous2) zei precies dat). Geen voorbeelden: $\{f : f(0) = 1\}$ (geen nulelement), graad precies $n$ (niet stabiel onder optelling).

**Voorbeeld 18.5 (Deelruimte of niet: vier oordelen, beargumenteerd).**

In de ruimte van reële rijen:

- $\{u : u \text{ begrensd}\}$ *is* een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) : $0$ is begrensd, en is $\abs{u_n} \leq M$ en $\abs{v_n} \leq  M'$ , dan is $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda  M'$ .
- $\{u : u_n \to 1\}$ is *geen* [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) : de nulrij ontbreekt (en de som van twee leden nadert tot $2$ ).
- $\{u : u \text{ monotoon}\}$ is er *geen* : $u_n = n$ en $v_n = -n + (-1)^n$ zijn monotoon, hun som $(-1)^n$ niet; de stabiliteit onder optelling is het axioma dat faalt, ook al bevat de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $0$ en alle scalaire veelvouden van haar leden.
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ is er *geen* : zij bevat $0$ , maar $2u$ ontsnapt zodra $u$ een lid ongelijk aan nul is ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ in het algemeen) — het kwadrateren is de niet-lineariteit.

De werkvolgorde is altijd dezelfde: toets eerst $0$ (het goedkoopst), daarna de stabiliteit — en om te weerleggen verslaat één expliciet paar tegenvoorbeelden elke hoeveelheid twijfel.

## 18.2 Opspansel, sommen, directe sommen

**Definitie 18.6 (Lineaire combinaties, opspansel).**

Een *lineaire combinatie* van de familie $(x_1, \dots, x_p)$ vectoren van $E$ is elke $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ($\lambda_i \in K$). De [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van al deze combinaties is het *opspansel* $\operatorname{Vect}(x_1, \dots,
x_p)$: het is een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace), en wel de kleinste die de familie bevat.

**Bewijs van de twee beweringen.** Stabiliteit: een som van twee lineaire combinaties $\sum\lambda_i
x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ is er weer een, en een scalair veelvoud $\mu\sum\lambda_i x_i =
\sum(\mu\lambda_i) x_i$ ook; de nulcombinatie toont dat $0$ erbij hoort: het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) is een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace). Minimaliteit: zij $H$ een willekeurige [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) die $x_1, \dots, x_p$ bevat. Wegens de stabiliteit onder scalaire vermenigvuldiging ligt elke $\lambda_i x_i$ in $H$, en wegens de stabiliteit onder optelling hun som: elke lineaire combinatie hoort bij $H$, dat wil zeggen $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$. Het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) is dus bevat in elke [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) die de familie bevat: het is de kleinste. ∎

**Definitie 18.7 (Som, directe som).**

Voor [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ van $E$ is

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) (de kleinste die $F \cup G$ bevat). De som is *direct*, genoteerd $F \oplus G$, wanneer elk element van $F + G$ zich *op precies één manier* als $u +
v$ laat schrijven; equivalent (zie hieronder) wanneer $F \cap G =
\{0\}$. Geldt $E = F \oplus G$, dan heten de [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) *complementair* in $E$.

**Voorbeeld 18.8 (Een som van twee rechten).**

Zij in $\R^3$ $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ en $G
= \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. Hun som is

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

het vlak door de oorsprong dat beide rechten bevat. Het is strikt groter dan de vereniging $F \cup G$ (het loutere kruis van de twee rechten): de vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ ligt in de som maar op geen van beide rechten. En $F \cap G = \{0\}$ (een gemeenschappelijke vector vereist $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, waarvan de eerste twee [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $a = b = 0$ afdwingen): de som is direct, en $F \oplus G$ is precies dat vlak.

**Propositie 18.9.**

$F + G$ is direct dan en slechts dan als $F \cap G = \{0\}$.

**Bewijs.** Ligt een $w \neq 0$ in $F \cap G$, dan zijn $w = w + 0 = 0 + w$ twee ontbindingen van $w$. Omgekeerd, is $u + v = u' + v'$ met $u, u' \in
F$ en $v, v' \in G$, dan hoort $u - u' = v' - v$ bij $F \cap G =
\{0\}$: de ontbindingen zijn eenduidig. ∎

**Methode 18.10 (Bewijzen dat E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G).**

Twee dingen na te gaan, elk met zijn standaardopening.

1. *Triviale doorsnede.* Neem $x \in F \cap G$ , schrijf beide voorwaarden voor het lidmaatschap uit, en knijp $x =  0$ eruit. (Redeneer nooit met een tekening: zie de valkuilen hieronder.)
2. *De som is alles.* Neem een willekeurige $x \in E$ en *produceer* de ontbinding $x = f + g$ — ofwel door $f$ te raden vanuit het doel ( $f$ moet aan de definiërende eigenschap van $F$ voldoen, wat gewoonlijk haar formule dicteert), ofwel door het lineaire stelsel op te lossen dat $x$ tegen voortbrengers van $F$ en $G$ uitdrukt.

Wordt de formule voor de ontbinding geraden, dan is de eenduidigheid automatisch dankzij stap 1; is alleen het bestaan onduidelijk, dan zit het werk in stap 2. De twee voorbeelden hieronder laten de methode lopen: voor even en oneven functies wordt de formule voor $f$ afgedwongen door de gewenste identiteit in $x$ en in $-x$ te evalueren; voor [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) die in een punt nul worden, door in $a$ te evalueren.

**Voorbeeld 18.11.**

In $\mathcal{F}(\R, \R)$ zijn de even functies $\mathcal{P}$ en de oneven functies $\mathcal{I}$ [complementair](#def-b1-vspaces-sum): elke $f$ schrijft zich als

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{oneven}},
$$

en een functie die zowel even als oneven is, is nul. (Toegepast op $\exp$ is dit het paar $(\cosh, \sinh)$ van [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#ch-b1-functions).)

**Voorbeeld 18.12 (Een complementair paar in Kn[X]K_n[X]Kn​[X]).**

Leg $a \in K$ vast en stel $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ en $G = \operatorname{Vect}(1)$ (de constanten). Dan is $K_n[X] = F
\oplus G$. Inderdaad bestaat $F \cap G$ uit de constanten die in $a$ nul worden, dus uit $\{0\}$; en elke $P$ ontbindt als

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

De ontbinding is het onthouden waard: de waarde in een punt aftrekken is de standaardmanier om op “functies die in $a$ nul worden” te projecteren. Merk op dat $F$ een grote [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) is en $G$ een kleine; een [complementair](#def-b1-vspaces-sum) paar hoeft in geen enkele zin in evenwicht te zijn.

**Voorbeeld 18.13 (Een complementaire deelruimte is nooit eenduidig).**

Zij in $\R^2$ $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (de $x$-as). Zowel $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ als $G'
= \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ is [complementair](#def-b1-vspaces-sum) met $F$: elk snijdt $F$ alleen in $0$, en elk paar sommeert tot $\R^2$. De ontbindingen van eenzelfde vector verschillen:

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

In feite is *elke* rechte behalve $F$ zelf een [complementaire](#def-b1-vspaces-sum) van $F$ in $\R^2$: [complementairen](#def-b1-vspaces-sum) zijn er in overvloed, en spreken over “de” [complementaire](#def-b1-vspaces-sum) is betekenisloos zolang geen extra structuur (een inproduct, [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid)) er één uitkiest.

![Twee ontbindingen van hetzelfde punt van ℝ2 langs F (de x-as): met complementaire G (verticale val) en met complementaire G' (schuine val). De F-componenten verschillen: een projectie hangt af van de richting van de afdaling.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*Twee ontbindingen van hetzelfde punt van $\R^2$ langs $F$ (de $x$-as): met [complementaire](#def-b1-vspaces-sum) $G$ (verticale val) en met [complementaire](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ (schuine val). De $F$-componenten verschillen: een projectie hangt af van de richting van de afdaling.*

## 18.3 Vrije families, voortbrengende families, bases

**Definitie 18.14.**

Een familie $(x_1, \dots, x_p)$ vectoren van $E$ heet:

- *voortbrengend* (voor $E$ ) wanneer $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
- *vrij* (haar vectoren *lineair onafhankelijk*) wanneer $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ in het andere geval *afhankelijk*;
- een *basis* wanneer zij vrij en voortbrengend is.

**Propositie 18.15 (Coördinaten).**

$(e_1, \dots, e_n)$ is een [basis](#def-b1-vspaces-free) van $E$ dan en slechts dan als elke $x \in E$ zich *op precies één manier* als combinatie $x =
\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ laat schrijven; de scalairen $\lambda_i$ zijn de *coördinaten* van $x$ in de [basis](#def-b1-vspaces-free).

**Bewijs.** Voortbrengend $=$ het bestaan van de ontbinding. Eenduidigheid $=$ vrijheid: twee ontbindingen van dezelfde $x$ verschillen met een combinatie die gelijk is aan $0$; de vrijheid dwingt al haar coëfficiënten — de verschillen van de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) — tot nul. Omgekeerd geeft een niet-triviale nulcombinatie de twee ontbindingen $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$. ∎

**Voorbeeld 18.16.**

De *canonieke [basis](#def-b1-vspaces-free)* van $K^n$: $e_i = (0, \dots, 1, \dots,
0)$ (een $1$ op plaats $i$). De monomen $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: een [basis](#def-b1-vspaces-free) van $K_n[X]$ (vrijheid: een nulcombinatie is de nulveelterm, dus zijn alle coëfficiënten nul, [Definitie 8.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def)). In $\C$ over $\R$: de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(1, \iu)$.

**Opmerking 18.17 (Coördinaten zijn teamwerk).**

De eerste coördinaat van $x$ in een [basis](#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_n)$ hangt af van *alle* basisvectoren, niet alleen van $e_1$. In $\R^2$: de vector $(3, 1)$ heeft eerste coördinaat $3$ in de canonieke [basis](#def-b1-vspaces-free), maar eerste coördinaat $2$ in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — los $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ op: $b = 1$, $a = 2$. Eén basisvector veranderen schudt *elke* coördinaat door elkaar; [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) zal dat door elkaar schudden in de basisovergangsmatrix verpakken.

**Voorbeeld 18.18 (Een kandidaat-basis toetsen, van begin tot eind).**

Is $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) van $\R_2[X]$? Schrijf $u_1, u_2, u_3$ voor de drie [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def). *Vrijheid*: een nulcombinatie $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ geeft, coëfficiënt na coëfficiënt,

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

door de eerste twee af te trekken volgt $b = c$, en dan geeft de derde $2b = 0$: $a = b = c = 0$, dus [vrij](#def-b1-vspaces-free). *Voortbrengend*: in plaats van drie stelsels op te lossen, merk je de symmetrische combinatie op

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

dus $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; vervolgens

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

De monomen liggen in het [opspansel](#def-b1-vspaces-span), dus alles ligt erin: $\mathcal{F}$ is een [basis](#def-b1-vspaces-free). Als toegift geeft het samenvoegen van de drie formules de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van elke $P = \alpha + \beta X +
\gamma X^2$:

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

(Controle met $P = X$: [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12, -\frac12,
\frac12\bigr)$, zoals hierboven gevonden.) Twee lessen: symmetrie in de familie verbergt gewoonlijk een kortere weg; en zodra de dimensie beschikbaar is ([Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim)) komt de hele voortbrengende helft van dit werk gratis — drie [vrije](#def-b1-vspaces-free) vectoren van een $3$-dimensionale ruimte vormen altijd een [basis](#def-b1-vspaces-free).

**Propositie 18.19 (Handige vrijheidscriteria).**

1. Een familie *[veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ongelijk aan nul met paarsgewijs verschillende graden* is [vrij](#def-b1-vspaces-free) .
2. Een vector aan een [vrije familie](#def-b1-vspaces-free) toevoegen houdt haar [vrij](#def-b1-vspaces-free) dan en slechts dan als die vector buiten het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) van de familie ligt.
3. Elke deelfamilie van een [vrije familie](#def-b1-vspaces-free) is [vrij](#def-b1-vspaces-free) ; elke familie die een voortbrengende familie bevat, is voortbrengend.

**Bewijs.** (1) Kijk in een nulcombinatie naar de hoogste aanwezige graad: zijn coëfficiënt moet nul zijn (niets heft die graad op), en zo cascadeer je naar beneden.

(2) Is $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, dan is de betrekking $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ niet-triviaal. Omgekeerd moet een niet-triviale nulcombinatie van $(x_1, \dots, x_p, x)$ de $x$ met een coëfficiënt ongelijk aan nul bevatten (anders is zij in tegenspraak met de vrijheid van de kleine familie), en het oplossen naar $x$ plaatst die in het [opspansel](#def-b1-vspaces-span).

(3) Deelfamilie: een nulcombinatie van de deelfamilie is er een van de hele familie met de ontbrekende coëfficiënten op $0$ gezet; de vrijheid van de grote familie doodt ze alle. Overfamilie: elke vector van $E$ is al een combinatie van het voortbrengende deel; geef de extra vectoren de coëfficiënt $0$. ∎

**Voorbeeld 18.20 (Het trapprincipe).**

Zij $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ met $\deg P_k = k$ voor elke $k$ (een “trap” van graden). Dan is $(P_0, \dots, P_n)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) van $K_n[X]$. De vrijheid is [Propositie 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1). Voor de voortbrengende eigenschap redeneren we met eindige afdaling op de graad: zij $Q
\in K_n[X]$, $Q \neq 0$, van graad $d$ met kopcoëfficiënt $a$, en zij $b \neq 0$ de kopcoëfficiënt van $P_d$. Dan heeft $Q - \frac ab
P_d$ graad $< d$ (de kopterm valt weg); vervang $Q$ door dat verschil en herhaal: na hoogstens $n + 1$ stappen bereikt men de nulveelterm, en het terugdraaien van de aftrekkingen drukt $Q$ uit als combinatie van de $P_k$. Twee trappen kwamen we al tegen: de verschoven machten $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ ([Oefening 18.4](#exo-b1-vspaces-4)), en de producten van Newton $\bigl((X -
x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$, die in de weekendopgave aan het werk worden gezet.

**Voorbeeld 18.21 (Vrijheid in functieruimten).**

In $\mathcal{F}(\R,\R)$ is de familie $(\eu^{a_1 x}, \dots,
\eu^{a_p x})$ met $a_1 < \dots < a_p$ [vrij](#def-b1-vspaces-free): deel een nulcombinatie door $\eu^{a_p x}$ en laat $x \to +\infty$; de laatste coëfficiënt sterft, en zo cascadeer je naar beneden ([Oefening 18.8](#exo-b1-vspaces-8) werkt dit en varianten uit). Vrijheid van functies bewijst men door te *evalueren*: in goedgekozen punten, in het oneindige, of na afleiden.

**Voorbeeld 18.22 (Een verborgen betrekking krimpt een opspansel).**

Wat is in $\mathcal{F}(\R, \R)$ het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? De identiteit $\cos^2
+ \sin^2 = 1$ is een niet-triviale nulcombinatie

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

de familie is afhankelijk, en het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) wordt al voortgebracht door $(1, \cos^2)$ alleen ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Die kleinere familie is [vrij](#def-b1-vspaces-free): $a + b\cos^2 x = 0$ voor alle $x$ geeft, in $x =
0$ en $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ en $a = 0$. Het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) is dus een *vlak* binnen de functieruimte — en het bevat ook $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: families goniometrische functies die lineair lijken, storten routinematig in onder identiteiten, en daarom moet vrijheid worden *bewezen*, nooit uit de lengte van de lijst worden aangenomen.

**Opmerking 18.23 (Veelgemaakte fouten).**

Vier klassieke vallen. *Paarsgewijs is niet genoeg*: in $\R^2$ zijn de vectoren $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ paarsgewijs niet evenredig en toch afhankelijk — vrijheid is een eigenschap van de *hele* familie, getoetst met één globale combinatie, nooit twee aan twee. *De nulvector vergiftigt alles*: elke familie die $0$ bevat is afhankelijk ($1\cdot 0 = 0$ is een niet-triviale betrekking), hoe onschuldig de andere vectoren ook zijn. *Vereniging is geen som*: $F \cup G$ is vrijwel nooit een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) ([Definitie 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)); de kleinste [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) die beide bevat is $F + G$, gewoonlijk veel groter dan de vereniging — in $\R^2$ hebben twee verschillende rechten een kruis als vereniging en het hele vlak als som. *Direct vereist triviale doorsnede, geen disjunctheid*: twee [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) zijn nooit disjunct (beide bevatten $0$); de juiste voorwaarde is $F \cap G = \{0\}$, en die moet worden *bewezen*, niet van een tekening afgelezen — vergelijk [Voorbeeld 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements), waar vele verschillende $G$ voldoen. *Vrijheid hangt af van de scalairen*: het paar $(1, \iu)$ is [vrij](#def-b1-vspaces-free) in $\C$ opgevat als $\R$-vectorruimte, maar afhankelijk in $\C$ opgevat als $\C$-vectorruimte ($\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu =
0$). Weet altijd welk [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) werkt voordat je een familie [vrij](#def-b1-vspaces-free) noemt — de weekendopgave van [Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim) maakt van precies deze gevoeligheid irrationaliteitsbewijzen.

**Opmerking 18.24 (Waar deze taal heen gaat).**

Alles na dit hoofdstuk spreekt de taal die hier is opgezet. [Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim) telt basisvectoren en zet “[vrij](#def-b1-vspaces-free)” en “voortbrengend” om in ongelijkheden voor één geheel getal, de dimensie. [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) bestudeert de [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) die met de twee bewerkingen verenigbaar zijn; directe sommen worden daar projectoren. [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) codeert vectoren door hun [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) in een [basis](#def-b1-vspaces-free) — [Propositie 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) is de vergunning voor die codering — en [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) legt lengten en hoeken bovenop de lineaire structuur. In het volume van bachelorjaar 2 draaien dezelfde axioma’s, woordelijk, over willekeurige [lichamen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) en in oneindige dimensie; nergens in dit hoofdstuk werd eindigheid gebruikt.

**Opmerking 18.25 (Drie draden om door boek 3 heen te volgen).**

Volg drie bepaalde ideeën uit dit hoofdstuk terwijl zij groeien. *Het trapprincipe* ([Voorbeeld 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) keert terug als de [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) in de weekendopgave van dit hoofdstuk, als de binomiale [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ aldaar, en als de kunstgreep met de alternant van [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in de weekendopgave van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det): één lemma, drie determinantvrije dividenden. *Evalueren als vrijheidstoets* ([Voorbeeld 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) wordt het interpolatie-isomorfisme van [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps), daarna het criterium van Vandermonde uit [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det), en daarna de Gram-toets van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid): dezelfde reflex, drie keer aangescherpt. *Directe sommen* ([Definitie 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) worden projectoren in [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps), orthogonale splitsingen $E = F \oplus
F^\perp$ in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid), en de ontbinding in verklaard deel plus rest van de kleinste kwadraten in de weekendopgave van [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar). Erg weinig in dit boek is niet, in de grond, een van deze drie ideeën in nieuwe kleren.

## 18.4 Oefeningen

**Oefening 18.1 ★.**

Welke van de volgende [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace)?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ begrensd}\}$ .

**Oplossing van Oefening 18.1.**

1. Ja: bevat $0$ , en de definiërende vergelijking is lineair (stabiel onder $x + \lambda y$ ).
2. Nee: bevat $(0,0,0)$ niet.
3. Nee: $(1, 0)$ en $(0, -1)$ horen erbij ( $xy = 0$ ), hun som $(1, -1)$ niet ( $xy = -1 < 0$ ).
4. Ja: $0$ wordt nul in $1$ ; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) +  \lambda Q(1) = 0$ .
5. Ja: de nulfunctie is begrensd; is $\abs f \leq M$ en $\abs  g \leq M'$ , dan is $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda  M'$ .

**Oefening 18.2 ★.**

Ligt $(1, 2, 1)$ in $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\,
(1,1,0)\bigr)$ in $\R^3$? En $(2, 1, 1)$? Beschrijf $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ met een vergelijking.

**Oplossing van Oefening 18.2.**

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ vereist $a + b = 1$, $b = 2$, $a =
1$: onverenigbaar ($a + b = 3 \neq 1$): niet in het [opspansel](#def-b1-vspaces-span). $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$: $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$: verenigbaar, dus $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$, wel in het [opspansel](#def-b1-vspaces-span).

Vergelijking: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ betekent $x = y + z$: het [opspansel](#def-b1-vspaces-span) is het vlak $\{x - y - z = 0\}$.

**Oefening 18.3 ★.**

Beslis over de vrijheid in $\R^3$: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1),
(0,1,1)\bigr)$; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$.

**Oplossing van Oefening 18.3.**

Eerste familie: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ geeft $\lambda + \mu = 0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$: optellen geeft $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$, en door elke vergelijking af te trekken $\lambda = \mu = \nu = 0$: [vrij](#def-b1-vspaces-free).

Tweede: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$: afhankelijk.

Derde: vier vectoren in $\R^3$ — noodzakelijk afhankelijk zodra de dimensie beschikbaar is ([Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim)); rechtstreeks: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, inderdaad $(-1,0,0)
+ (1,1,1) = (0,1,1)$: een niet-triviale betrekking.

**Oefening 18.4 ★.**

Bewijs dat $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) is van $\R_3[X]$, en geef de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van $X^3$ daarin. *(Taylor in $1$!)*

**Oplossing van Oefening 18.4.**

De [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ hebben verschillende graden $0, 1, 2, 3$: [vrij](#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)); vier [vrije](#def-b1-vspaces-free) vectoren die voortbrengen (elke $P \in \R_3[X]$ ontwikkelt in machten van $X -
1$, bijvoorbeeld via Taylor voor [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def), vergelijk het bewijs van [Propositie 8.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#prop-b1-poly-multiplicity)): een [basis](#def-b1-vspaces-free). Voor $X^3$, Taylor in $1$: $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) =
6$:

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

[coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (een rij van Pascal, zoals te verwachten uit $X^3 = ((X-1)+1)^3$).

**Oefening 18.5 ★★.**

Zij in $\R^4$ $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ en $G = \{(x,y,z,t) :
x = t = 0\}$. Bewijs dat $F \oplus G = \R^4$, en ontbind $(1,2,3,4)$ overeenkomstig.

**Oplossing van Oefening 18.5.**

$F \cap G$: de voorwaarden $x = y = z$ en $x = t = 0$ geven samen $x
= 0$, dus $y = z = 0$, en $t = 0$: de doorsnede is $\{0\}$. Som: zoek bij gegeven $(x,y,z,t)$ een $(a,a,a,b) \in F$ en een $(0,c,d,0)
\in G$ die daartoe sommeren: $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d = z -
x$: altijd mogelijk. Dus $\R^4 = F \oplus G$, en

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**Oefening 18.6 ★★.**

Zij in de ruimte van de rijen $F$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de convergente rijen en $G = \operatorname{Vect}(u)$ met $u_n = (-1)^n$. Bewijs dat $F \cap G = \{0\}$. Is $F + G$ de hele ruimte van de rijen?

**Oplossing van Oefening 18.6.**

Een element van $G$ is $\lambda u$; convergeert het, dan is noodzakelijk $\lambda = 0$ (want $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ heeft de twee deelrijlimieten $\pm \lambda$): $F \cap G = \{0\}$.

$F + G$ is niet alles: die som bestaat uit rijen van de vorm $c_n +
\lambda(-1)^n$ met $(c_n)$ convergent. De rij $v_n = n$ is niet van die vorm ($v_n - \lambda(-1)^n$ is onbegrensd, nooit convergent). Dus $F \oplus G \subsetneq$ (de ruimte van alle rijen).

**Oefening 18.7 ★★.**

Zij $F, G, H$ [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) van $E$. Bewijs dat

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

en toon met een voorbeeld in $\R^2$ aan dat de onbeperkte distributiviteit $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ faalt.

**Oplossing van Oefening 18.7.**

($\supseteq$) Zowel $F \cap G$ als $F \cap H$ ligt in $F$, en hun som ligt in $G + (F \cap H)$: de insluiting volgt omdat het linkerlid een [deelruimte](#def-b1-vspaces-subspace) is die beide stukken bevat — concreet ligt een element $g + h$ met $g \in F\cap G$ en $h \in F \cap H$ in $F$ (som van twee elementen van $F$) en in $G + (F \cap H)$.

($\subseteq$) Zij $x \in F$ met $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F \cap
H$. Dan is $g = x - h \in F$ (verschil van elementen van $F$), dus $g \in F \cap G$, en $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

Tegenvoorbeeld tegen de volledige distributiviteit in $\R^2$: $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Dan is $G + H = \R^2$, dus $F \cap (G+H) =
F$, terwijl $F \cap G = F \cap H = \{0\}$: het rechterlid is $\{0\}
\neq F$.

**Oefening 18.8 ★★★.**

Bewijs dat de volgende families van $\mathcal{F}(\R, \R)$ [vrij](#def-b1-vspaces-free) zijn:

1. $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ voor $a_1 < \dots <  a_p$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ voor verschillende $a_i$ *(de [afleidbaarheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) faalt in precies één punt per functie)* .

**Oplossing van Oefening 18.8.**

1. Stel $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ voor alle $x$ . Vermenigvuldig met $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p}  \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ als $x \to  +\infty$ (elke exponent $a_i - a_p < 0$ ). Het linkerlid is identiek $0$ , dus $\lambda_p = 0$ ; herhaal naar beneden.
2. Zij $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ voor alle $x$ . Evalueer in $x = 0$ : $a + c = 0$ ; in $x = \pi$ : $-a + c = 0$ ; dus $a = c = 0$ , en de betrekking herleidt zich tot $b\sin x + d \sin 2x = 0$ . Evalueer in $x =  \frac\pi2$ : $b = 0$ ; daarna in $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
3. Stel $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ voor alle $x$ . De functie $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ is [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in $a_j$ (elke term is dat, buiten zijn eigen knik), dus moet $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , hun verschil, eveneens [afleidbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) zijn in $a_j$ — wat $\lambda_j = 0$ afdwingt ( $\abs{\,\cdot\,}$ heeft daar een knik). Dit geldt voor elke $j$ .

**Oefening 18.9 ★★★.**

Zij $E$ een $K$-vectorruimte en $F, G, H$ [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) met $F + G = F
+ H$, $F \cap G = F \cap H$ en $G \subseteq H$. Bewijs dat $G = H$. Geef een tegenvoorbeeld zonder de hypothese $G \subseteq H$.

**Oplossing van Oefening 18.9.**

Zij $h \in H$. Omdat $h \in H \subseteq F + H = F + G$, schrijf $h =
f + g$ met $f \in F$, $g \in G$. Dan is $f = h - g \in H$ (beide termen in $H$, met $G \subseteq H$), dus $f \in F \cap H = F \cap G
\subseteq G$, en $h = f + g \in G$. Bijgevolg $H \subseteq G$, en met de hypothese $G \subseteq H$: gelijkheid.

Tegenvoorbeeld zonder $G \subseteq H$: neem in $\R^2$ $F =
\operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H =
\operatorname{Vect}(1,1)$: dan is $F + G = F + H = \R^2$ en $F \cap
G = F \cap H = \{0\}$, en toch $G \neq H$.

**Oefening 18.10 ★★.**

Zij in $\R[X]$ $\mathcal P$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de *even* [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ($P(-X) = P(X)$) en $\mathcal I$ die van de *oneven* ($P(-X) = -P(X)$). Bewijs dat $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal
I$, en toon aan dat $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4,
\dots)$, dat wil zeggen dat de even [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) precies de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in $X^2$ zijn.

**Oplossing van Oefening 18.10.**

Beide [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) (de definiërende voorwaarden zijn lineair en gelden voor $0$). Ontbinding: voor $P \in \R[X]$,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

en een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) die zowel even als oneven is voldoet aan $P = -P$, dus $P = 0$: de som is direct en gelijk aan $\R[X]$.

Zij nu $P = \sum_k a_k X^k$ even. Dan is $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k
\text{ oneven}} a_k X^k$ de nulveelterm, dus verdwijnt elke coëfficiënt van oneven graad ([Definitie 8.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def)): $P \in
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, dat wil zeggen $P =
Q(X^2)$ voor een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $Q$. Omgekeerd is elke [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in $X^2$ even.

**Oefening 18.11 ★★.**

Zij $(x_1, x_2, x_3)$ een [vrije familie](#def-b1-vspaces-free) van een reële [vectorruimte](#def-b1-vspaces-def) $E$. Bewijs dat $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ [vrij](#def-b1-vspaces-free) is. Is de overeenkomstige familie van vier vectoren $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\
x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ [vrij](#def-b1-vspaces-free) wanneer $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ dat is?

**Oplossing van Oefening 18.11.**

Stel $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$. Hergroeperen op de [vrije familie](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$ geeft

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

Aftrekken van de eerste twee vergelijkingen geeft $c = b$; de derde geeft dan $2b = 0$, dus $b = c = 0$, en daarna $a = 0$: de familie is [vrij](#def-b1-vspaces-free).

Voor vier vectoren is de overeenkomstige familie *altijd* afhankelijk:

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

is een niet-triviale nulcombinatie (coëfficiënten $1, -1, 1, -1$), wat $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ ook is. De pariteit van de cycluslengte beslist.

**Oefening 18.12 ★★★.**

Zij $E$ een [vectorruimte](#def-b1-vspaces-def) over $\R$ (of $\C$) en $F_1, \dots, F_k$ *echte* [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) van $E$ (elke $F_i \neq E$).

1. Behandel het geval $k = 2$ rechtstreeks: geldt $F_1  \not\subseteq F_2$ en $F_2 \not\subseteq F_1$ , kies dan $x  \in F_1 \setminus F_2$ en $y \in F_2 \setminus F_1$ en lokaliseer $x + y$ .
2. Bewijs in het algemeen dat $E \neq F_1 \cup \dots \cup  F_k$ : een [vectorruimte](#def-b1-vspaces-def) over een oneindig [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) is nooit een eindige vereniging van echte [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) . *(Neem $k$ minimaal, kies $x \in F_1$ buiten de overige $F_i$, kies $y \notin F_1$, en volg de rechte $t \mapsto y + tx$.)*

**Oplossing van Oefening 18.12.**

1. Geldt $F_1 \subseteq F_2$ of $F_2 \subseteq F_1$ , dan is de vereniging een van beide, en dus echt. Kies anders $x \in  F_1 \setminus F_2$ en $y \in F_2 \setminus F_1$ , en beschouw $x + y$ . Is $x + y \in F_1$ , dan is $y = (x + y) -  x \in F_1$ : tegenspraak. Is $x + y \in F_2$ , dan is $x \in  F_2$ : tegenspraak. Dus $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , en $E  \neq F_1 \cup F_2$ .
2. Stel voor een bewijs uit het ongerijmde dat $E = F_1 \cup  \dots \cup F_k$ , met $k$ *minimaal* gekozen onder alle zulke overdekkingen. De minimaliteit verbiedt $F_1  \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ (anders laat men $F_1$ vallen), dus is er een $x \in F_1$ met $x \notin F_i$ voor alle $i \geq 2$ . Omdat $F_1$ echt is, kies $y \notin F_1$ . Voor elke scalair $t$ ligt de vector $y + t x$ in een zekere $F_i$ . Hij ligt nooit in $F_1$ : anders zou $y = (y +  tx) - tx \in F_1$ (want $x \in F_1$ ). Het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) is oneindig, dus kies $k$ verschillende scalairen $t_1, \dots,  t_k$ : de $k$ vectoren $y + t_j x$ vallen in de $k - 1$ [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) $F_2, \dots, F_k$ , en twee ervan, zeg $y + t x$ en $y + t' x$ met $t \neq t'$ , liggen in dezelfde $F_i$ ( $i  \geq 2$ ). Dan is hun verschil $(t - t')x \in F_i$ , dus $x  \in F_i$ : tegenspraak. Er bestaat dus geen eindige overdekking door echte [deelruimten](#def-b1-vspaces-subspace) .

## 18.5 Opgave: interpolatie, drie bases voor één ruimte

**Probleem 18.1.**

Leg $n + 1$ *verschillende* punten $x_0, x_1, \dots, x_n$ van $\R$ vast. Deze opgave herbekijkt de [Lagrange-interpolatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) ([Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange)) met de ogen van dit hoofdstuk: de ruimte $\R_n[X]$ draagt drie natuurlijke [bases](#def-b1-vspaces-free) — die van Lagrange, die van Newton, en (voor gelijkmatig verdeelde punten) de binomiale [basis](#def-b1-vspaces-free) — en elke [basis](#def-b1-vspaces-free) maakt één vraag gemakkelijk. De weg eindigt bij een echte rekenkundige stelling: de karakterisering van Pólya van de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) die $\Z$ in $\Z$ afbeelden.

**Deel I — De [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free).** Stel voor $0 \leq
i \leq n$

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. Ga na dat $\deg L_i = n$ en dat $L_i(x_j) = 1$ als $j = i$ , en $0$ als $j \neq i$ .
2. Bewijs dat de familie $(L_0, \dots, L_n)$ [vrij](#def-b1-vspaces-free) is.
3. Bewijs dat voor elke $P \in \R_n[X]$ $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ en besluit dat $(L_0, \dots, L_n)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) is van $\R_n[X]$. *(Beschouw het verschil van de twee leden en tel zijn wortels, [Gevolg 8.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#cor-b1-poly-nroots).)*
4. Leid de interpolatiestelling af: voor willekeurige waarden $y_0, \dots, y_n \in \R$ bestaat er precies *één* $P  \in \R_n[X]$ met $P(x_i) = y_i$ voor alle $i$ . Wat zijn de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P$ in de [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free) ?
5. Bewijs de identiteiten $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{en, voor } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**Deel II — De [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) en de [gedeelde differenties](#pb-b1-vspaces-1).** Stel $N_0 = 1$ en $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots
(X - x_{k-1})$ voor $1 \leq k \leq n$. Definieer voor een functie $f$ die in de knooppunten is gedefinieerd de *[gedeelde differenties](#pb-b1-vspaces-1)* door $f[x_i] = f(x_i)$ en

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. Bewijs dat $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) is van $\R_n[X]$ .
7. Bereken $f[x_0, x_1]$ en $f[x_0, x_1, x_2]$ in termen van de waarden van $f$ , en bereken daarna alle [gedeelde differenties](#pb-b1-vspaces-1) van $f(x) = x^2$ in drie willekeurige knooppunten.
8. (Lemma van Aitken) Zij $R$ de interpolant van $f$ in $x_0,  \dots, x_{n-1}$ en $Q$ die van $f$ in $x_1, \dots, x_n$, beide van graad $\leq n - 1$. Bewijs dat $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ $f$ interpoleert in $x_0, x_1, \dots, x_n$.
9. Leid met inductie op het aantal knooppunten af dat de coëfficiënt van $X^{k}$ in de interpolant van $f$ in $x_0,  \dots, x_k$ precies $f[x_0, \dots, x_k]$ is.
10. Bewijs de *interpolatieformule van Newton*: de interpolant van $f$ in $x_0, \dots, x_n$ is $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ en leid de [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) formule $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)}$$ af, waaruit blijkt dat $f[x_0, \dots, x_k]$ niet afhangt van de volgorde van de knooppunten.

**Deel III — Gelijkmatig verdeelde knooppunten: de differentieoperator.** Vanaf nu zijn de knooppunten $0, 1, 2,
\dots$ en stellen we, voor een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P$,

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. Toon aan dat als $\deg P = m \geq 1$ met kopcoëfficiënt $a$ , dan $\deg \Delta P = m - 1$ met kopcoëfficiënt $m\,a$ , en dat $\Delta$ constanten doodt.
12. Toon aan dat $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ een [basis](#def-b1-vspaces-free) is van $\R_n[X]$ en dat $\Delta B_k = B_{k-1}$ voor $k \geq 1$ .
13. (Voorwaartse-differentieformule van Newton) Bewijs dat elke $P \in \R_n[X]$ voldoet aan $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. Bewijs dat voor elke $k \geq 0$ $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. Toon aan dat als $\deg P = n$ met kopcoëfficiënt $a_n$ , dan $\Delta^{n} P$ de constante $n!\,a_n$ is en $\Delta^{n+1} P  = 0$ .

**Deel IV — [Geheelwaardige veeltermen](#pb-b1-vspaces-1).** Een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P \in \R[X]$ heet *geheelwaardig* wanneer $P(m) \in
\Z$ voor elke $m \in \Z$.

16. Bewijs dat elke $B_k$ geheelwaardig is. *(Behandel $m  \geq k$, $0 \leq m < k$ en $m < 0$ afzonderlijk; toon voor $m = -q < 0$ aan dat $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k -  1}{k}$.)*
17. Bewijs de *karakterisering van Pólya* : $P \in \R_n[X]$ is geheelwaardig dan en slechts dan als zijn [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_0, \dots, B_n)$ gehele getallen zijn.
18. Leid af: neemt $P \in \R_n[X]$ gehele waarden aan in $n +  1$ *opeenvolgende* gehele getallen $a, a+1, \dots,  a+n$ , dan is $P$ geheelwaardig. *(Verschuif: pas het onderzoek toe op $Q(X) = P(X + a)$.)*
19. Leid uit vraag 16 af dat een product van $k$ opeenvolgende gehele getallen altijd [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) is door $k!$ .
20. Zij $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Bereken zijn Newton-tabel in $0, 1, 2, 3$ , schrijf $P$ in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ , en besluit dat $P$ geheelwaardig is hoewel geen van zijn monomiale coëfficiënten geheel is. Ga na dat $\Delta P = (X+1)^2$ en leid af dat $P(m) = 1^2 + 2^2 +  \dots + m^2$ voor $m \in \N$ .

**Deel V — Dividenden.**

21. Zij $P \in \R_n[X]$ de interpolant van de waarden $2^i$ in $i = 0, 1, \dots, n$ . Toon aan dat $P = B_0 + B_1 + \dots +  B_n$ en dat $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : het “verdubbelingspatroon” breekt altijd in het eerstvolgende punt.
22. (Discrete primitieve) Bewijs dat voor alle gehele getallen $m \geq 1$ en $k \geq 0$ $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ dat wil zeggen de hockeystick-identiteit $\sum_{j=k}^{m-1}  \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$.
23. Ontwikkel $X^2$ en $X^3$ in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ en leid [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) formules af voor $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ en $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; vind de identiteit van Nicomachus $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ terug.
24. Neem $n = 2$ en knooppunten $0, 1, 2$ . Schrijf de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van $X^2$ in de drie [bases](#def-b1-vspaces-free) van deze opgave: de monomiale [basis](#def-b1-vspaces-free) , de [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free) en de [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) . Toets de drie antwoorden aan de vragen 4 en 9.
25. Synthese. In vier zinnen: welk begrip uit de theorie van de [vectorruimten](#def-b1-vspaces-def) vraag 4 automatisch maakt; waarom de [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) *recursief* berekent terwijl de [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free) ze *onmiddellijk* aflezen laat; welk vrijheidscriterium beide [bases](#def-b1-vspaces-free) delen; en in welke precieze zin de stelling van Pólya zegt dat de geheeltalligheid van een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) een eigenschap is van zijn [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) *in de juiste [basis](#def-b1-vspaces-free)* .

**Oplossing van Probleem 18.1.**

**1.** $L_i$ is een product van $n$ lineaire factoren gedeeld door een constante ongelijk aan nul (de $x_i$ zijn verschillend), dus $\deg L_i = n$. Evaluatie in $x_j$ met $j \neq i$: de factor $X - x_j$ van de teller wordt nul, dus $L_i(x_j) = 0$. In $x_i$ vallen teller en noemer samen: $L_i(x_i) = 1$.

**2.** Stel $\sum_i \lambda_i L_i = 0$. Evalueer in $x_j$: alle termen sterven behalve $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$, dus $\lambda_j = 0$ voor elke $j$: de familie is [vrij](#def-b1-vspaces-free).

**3.** Zij $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$. Dan is $\deg D \leq n$ en, volgens vraag 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ in de $n + 1$ verschillende punten $x_0, \dots, x_n$. Een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ongelijk aan nul van graad $\leq n$ heeft hoogstens $n$ wortels ([Gevolg 8.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#cor-b1-poly-nroots)), dus $D = 0$. Elke $P \in \R_n[X]$ is dus een combinatie van de $L_i$: de familie is voortbrengend, en met vraag 2 een [basis](#def-b1-vspaces-free).

**4.** Gegeven $y_0, \dots, y_n$ heeft de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P = \sum_i
y_i L_i$ graad $\leq n$ en interpoleert hij. Eenduidigheid: een interpolerende $P$ heeft volgens vraag 3 [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0),
\dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(L_i)$, en [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) in een [basis](#def-b1-vspaces-free) zijn eenduidig ([Propositie 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates)). De [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van $P$ in de [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free) zijn zijn *waarden in de knooppunten* — dat is het hele punt van die [basis](#def-b1-vspaces-free).

**5.** Pas vraag 3 toe op $P = X^k$ ($0 \leq k \leq n$):

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

en $k = 0$ geeft $\sum_i L_i = 1$.

**6.** $\deg N_k = k$ precies: de familie $(N_0, \dots, N_n)$ is een trap van graden in $\R_n[X]$, dus een [basis](#def-b1-vspaces-free) volgens [Voorbeeld 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) (vrijheid uit [Propositie 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1), voortbrenging met eindige afdaling op de graad).

**7.** Uit de recursie:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

Voor $f(x) = x^2$:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

en vervolgens

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** $\deg S \leq n$ omdat $Q$ en $R$ graad $\leq n - 1$ hebben. In $x_0$: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} =
R(x_0) = f(x_0)$. In $x_n$: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0)
Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$. In een [inwendig](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closure) knooppunt $x_i$ ($1 \leq i \leq n-1$) nemen zowel $Q$ als $R$ de waarde $f(x_i)$ aan, dus

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** Inductie op het aantal knooppunten. Eén knooppunt: de interpolant is de constante $f(x_0) = f[x_0]$. Neem de bewering aan voor $k$ knooppunten en zij $S$ de interpolant in $x_0, \dots,
x_k$; wegens de eenduidigheid (vraag 4) wordt $S$ gegeven door het lemma van Aitken uit $R$ (knooppunten $x_0, \dots, x_{k-1}$) en $Q$ (knooppunten $x_1, \dots, x_k$). De coëfficiënt van $X^{k}$ in $S$ is

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

volgens de inductiehypothese en de definiërende recursie.

**10.** Zij $P_k$ de interpolant van $f$ in $x_0, \dots, x_k$. Het verschil $P_k - P_{k-1}$ heeft graad $\leq k$ en wordt nul in $x_0, \dots, x_{k-1}$, dus is het volgens de $k$ keer toegepaste factorstelling ([Stelling 8.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-factor)) gelijk aan $c\,N_k$ voor een constante $c$; vergelijking van de coëfficiënten van $X^{k}$ en vraag 9 geven $c = f[x_0, \dots, x_k]$. Telescoperen vanaf $P_0 =
f(x_0) N_0$ levert de formule van Newton. Voor de gesloten vorm schrijf $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, op de knooppunten $x_0, \dots, x_k$) en lees de coëfficiënt van $X^{k}$ af: elke $L_i$ draagt $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$ bij, waaruit

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

Het rechterlid is invariant onder elke [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) van de knooppunten, dus hangt de gedeelde differentie niet van hun volgorde af.

**11.** Is $P = a X^m + (\text{lagere graden})$, dan geeft het binomium

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{lagere graden}),
$$

omdat $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ en het deel van $P$ van lagere graad na $\Delta$ hoogstens graad $m - 2$ bijdraagt. Dus $\deg \Delta P = m - 1$ met kopcoëfficiënt $m a$. Een constante $c$ geeft $\Delta c = c - c = 0$.

**12.** $\deg B_k = k$: een trap, dus een [basis](#def-b1-vspaces-free) van $\R_n[X]$ ([Voorbeeld 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)). Voor $\Delta B_k$ ($k \geq 1$) zonder je het gemeenschappelijke product af:

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

dus $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$.

**13.** Schrijf $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ ([basis](#def-b1-vspaces-free), vraag 12). Pas $\Delta^{j}$ toe: volgens vraag 12 is $\Delta^{j} P =
\sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$. Evalueer in $0$: $B_0(0) = 1$ en $B_m(0) = 0$ voor $m \geq 1$ (de factor $X$ wordt nul), dus $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$. Dat is de voorwaartse-differentieformule.

**14.** Inductie op $k$. Voor $k = 0$ luidt de identiteit $P(0) = P(0)$. Neem haar aan voor $k$ en pas haar toe op $\Delta
P$:

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

Verzamel de coëfficiënt van $P(i)$: die is $(-1)^{k-i+1}\binom
k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ uit de eerste som (verschoven) en $-(-1)^{k-i}\binom ki$ uit de tweede — samen

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

volgens de regel van Pascal, en dat is de identiteit op rang $k +
1$.

**15.** Herhaal vraag 11 vanaf graad $n$ met kopcoëfficiënt $a_n$: na één $\Delta$ graad $n-1$ met kopcoëfficiënt $n a_n$; na twee $n(n-1)a_n$; na $n$ stappen graad $0$ met waarde $n(n-1)\cdots
1\, a_n = n!\,a_n$, een constante. Nog één $\Delta$ doodt haar: $\Delta^{n+1}P = 0$.

**16.** Is $m \geq k$, dan is $B_k(m) = \binom mk \in \N$. Is $0 \leq m < k$, dan is één factor van $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ nul, dus $B_k(m) = 0$. Is $m = -q$ met $q \geq 1$, dan is

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

een geheel getal. Elke $B_k$ beeldt dus $\Z$ in $\Z$ af.

**17.** ($\Leftarrow$) Is $P = \sum_k c_k B_k$ met $c_k \in
\Z$, dan is voor $m \in \Z$ de waarde $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in
\Z$ volgens vraag 16. ($\Rightarrow$) Is $P$ geheelwaardig, dan zijn zijn [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) =
\sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (de vragen 13 en 14), een gehele combinatie van de gehele getallen $P(0), \dots, P(k)$. Dat is de karakterisering van Pólya van de [geheelwaardige veeltermen](#pb-b1-vspaces-1).

**18.** Stel $Q(X) = P(X + a)$, een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $\leq
n$ met $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$. Zijn [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) in $(B_k)_{k \leq n}$ zijn $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj
Q(j) \in \Z$ (vraag 14 gebruikt alleen de waarden in $0, \dots, k
\leq n$). Volgens vraag 17 ($\Leftarrow$) is $Q$ geheelwaardig op heel $\Z$, en dus ook $P(X) = Q(X - a)$.

**19.** Een product van $k$ opeenvolgende gehele getallen is $m(m-1)\cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ voor zekere $m \in \Z$, en $B_k(m) \in \Z$ volgens vraag 16: het product is [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $k!$.

**20.** Waarden van $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ in $0,1,2,3$: $0, 1, 5, 14$. Differentietabel: de $\Delta$-rij is $1, 4, 9$; de $\Delta^2$-rij $3, 5$; de $\Delta^3$-rij $2$. Bijgevolg is volgens vraag 13

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

met gehele [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates): $P$ is geheelwaardig (vraag 17), terwijl zijn monomiale coëfficiënten $\frac13, \frac12, \frac16$ dat niet zijn. Rechtstreekse berekening:

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

Telescoperen geeft $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) =
\sum_{j=1}^{m} j^2$ (met $P(0) = 0$): de formule voor de som van de kwadraten.

**21.** De waarden $2^i$ in $i = 0, \dots, n$ hebben een differentietabel die op de linkerrand constant $1$ is: $\Delta^k$ van de rij $(2^i)$ is opnieuw $(2^i)$ (want $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), dus $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ voor alle $k \leq n$, en $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ volgens vraag 13. Dan is

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

het patroon breekt in het eerste onbeheerste punt.

**22.** Volgens vraag 12 is $B_k = \Delta B_{k+1}$, dus

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

Voor $j < k$ zijn de termen $B_k(j)$ nul, dus begint de som in werkelijkheid bij $j = k$: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom
m{k+1}$, de hockeystick-identiteit.

**23.** Differentietabellen (of rechtstreeks ontwikkelen) geven

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(controle: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$; in $X = 1, 2, 3$ geeft de tweede $1, 8, 27$). Vraag 22 levert dan

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

Uitwerken van de laatste uitdrukking: $\binom m2 + 6\binom m3 +
6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) +
\frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$. Vervang $m$ door $m + 1$: $1^3 + \dots + m^3 =
\bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$, de identiteit van Nicomachus.

**24.** Knooppunten $0, 1, 2$, [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $X^2$. Monomiale [basis](#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2)$: [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$. [Lagrange-basis](#def-b1-vspaces-free): de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) zijn de waarden $(0, 1, 4)$ (vraag 4). [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X(X-1))$: [gedeelde differenties](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] = 1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (vraag 9), dus [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1,
1)$ — inderdaad $X + X(X-1) = X^2$. Drie [bases](#def-b1-vspaces-free), drie coördinaatvectoren, één [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def).

**25.** (i) Vraag 4 is automatisch omdat $(L_i)$ een *[basis](#def-b1-vspaces-free)* is: het bestaan en de eenduidigheid van de interpolatie zijn precies het bestaan en de eenduidigheid van [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates). (ii) De [Newton-basis](#def-b1-vspaces-free) is een trap, zodat [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) door opeenvolgende delingen worden berekend — elk nieuw knooppunt voegt één term toe zonder de vorige te verstoren — terwijl de [Lagrange-coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) van $P$ de waarden $P(x_i)$ zijn, zonder enige berekening beschikbaar. (iii) Beide [bases](#def-b1-vspaces-free) zijn [vrij](#def-b1-vspaces-free) volgens dezelfde twee criteria van [Propositie 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria): verschillende graden voor Newton, evaluatie in de knooppunten voor Lagrange. (iv) De stelling van Pólya zegt dat “$P(\Z) \subseteq
\Z$”, een eigenschap van waarden, equivalent is met de geheeltalligheid van de [coördinaten](#prop-b1-vspaces-coordinates) in de [basis](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ — de rekenkunde van een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) wordt pas zichtbaar in de [basis](#def-b1-vspaces-free) die aan de vraag is aangepast.