---
title: "Eindige dimensie"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie
---

# Hoofdstuk 19 — Eindige dimensie

Een ruimte die door eindig veel vectoren wordt opgespannen draagt een welbepaalde *dimensie* — de gemeenschappelijke omvang van al haar [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). De bewijzen hieronder vloeien alle voort uit één combinatorische motor, het uitwisselingslemma: een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) kan een voortbrengende nooit in aantal overtreffen. Met de dimensie komen de gereedschappen die daarna overal worden gebruikt: de aanvullingsstelling voor [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), de [rang](#def-b1-findim-rank) van een familie en de formule van Grassmann.

## 19.1 Bestaan van bases

**Definitie 19.1.**

$E$ heet *eindigdimensionaal* wanneer zij een eindige voortbrengende familie heeft. (In het andere geval *oneindigdimensionaal*: zo is $K[X]$, waarvan eindige families alleen [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van begrensde graad opspannen.)

**Stelling 19.2 (Uitwisselingslemma).**

Zij $(g_1, \dots, g_n)$ voortbrengend voor $E$ en $(f_1, \dots,
f_p)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) in $E$. Dan is $p \leq n$.

**Bewijs.** We bewijzen met inductie op $k \leq p$: *na hernummering van de $g_j$ brengt de familie $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ de ruimte $E$ voort* — wat in elk stadium $k \leq n$ afdwingt, en aan het eind $p \leq n$.

$k = 0$: de hypothese. Stap: neem haar aan voor $k - 1$; dan is $f_k$ een combinatie van $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$. In die combinatie heeft een zekere $g_j$ ($j \geq k$) een coëfficiënt ongelijk aan nul — anders zou $f_k$ een combinatie van $f_1, \dots, f_{k-1}$ zijn, in tegenspraak met de vrijheid. Hernummer zo dat $j = k$, en los naar $g_k$ op: $g_k$ is een combinatie van $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$. Elke vector van $E$, uitgedrukt via de familie met $k-1$ vectoren, kan dan opnieuw via de familie met $k$ vectoren worden uitgedrukt: zij brengt voort. (Is $k - 1 = n$, dan blijft er geen $g$ over en zou $f_k$ een combinatie van de $f_i$ alleen zijn: onmogelijk; dus $k
\leq n$.) ∎

**Voorbeeld 19.3 (De uitwisseling, één keer bekeken).**

Neem in $\R^2$ de voortbrengende familie $\bigl(g_1, g_2\bigr) =
\bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ en de [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1,
f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. Stap $1$: $f_1 = 1\cdot g_1
+ 2\cdot g_2$; de coëfficiënt van $g_2$ is niet nul, dus wissel $g_2$ voor $f_1$: de familie $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ brengt nog steeds voort ($g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). Stap $2$: $f_2 = (3,4)
= 2\,f_1 + 1\cdot g_1$; de coëfficiënt van de overgebleven $g_1$ is niet nul (dat moet ook: $f_2$ is geen veelvoud van $f_1$), dus wissel opnieuw: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ brengt $\R^2$ voort. Was er een derde [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vector $f_3$ geweest, dan zou er geen $g$ meer over zijn om hem op te nemen — en dat is precies hoe het lemma $3$ [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren in $\R^2$ verbiedt. Het bewijs hierboven is deze boekhouding in het algemeen.

**Stelling 19.4 (Bases in eindige dimensie).**

Zij $E \neq \{0\}$ [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def).

1. Uit elke eindige voortbrengende familie kan men een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) halen.
2. (Aanvullingsstelling voor [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ) Elke [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) laat zich tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) aanvullen, met vectoren uit een willekeurig gekozen voortbrengende familie.
3. Alle [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$ zijn eindig en hebben evenveel elementen: de *dimensie* $\dim E$ . (Afspraak: $\dim\{0\} = 0$ .)

**Bewijs.** (1) Gooi, één voor één, elke vector weg die een combinatie van de andere is; de familie blijft voortbrengend, want in elke uitdrukking die de weggegooide vector gebruikt, mag men zijn combinatie van de overlevenden invullen. Het proces stopt — elke stap verkleint een eindige familie met één — en het houdt precies op wanneer geen overgebleven vector nog een combinatie van de andere is. De uiteindelijke familie is nog steeds voortbrengend, en zij is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free): een niet-triviale nulcombinatie zou een coëfficiënt ongelijk aan nul dragen, en delen daardoor zou de bijbehorende vector in de andere uitdrukken, waardoor die toch weggegooid had kunnen worden — in tegenspraak met het feit dat het proces was gestopt.

(2) Zij $(f_1, \dots, f_p)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en $(g_1, \dots, g_n)$ voortbrengend. Loop $g_1, \dots, g_n$ door en voeg $g_j$ aan de huidige familie toe telkens wanneer hij nog niet in haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) ligt ([Propositie 18.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) houdt de familie [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)). De uiteindelijke familie is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), en voortbrengend: elke $g_j$ ligt in haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) — ofwel werd hij toegevoegd, ofwel was hij al een combinatie.

(3) Twee [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zijn elk [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en elk voortbrengend: het uitwisselingslemma geeft beide ongelijkheden tussen hun [kardinaliteiten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card). (Eindigheid: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dus door uitwisseling niet groter dan een eindige voortbrengende familie.) ∎

**Voorbeeld 19.5.**

$\dim K^n = n$ (canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monomen); $\dim_\R \C = 2$; de oplossingsruimte van $y'' + ay' + by = 0$ heeft dimensie $2$ ([Stelling 5.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/5-lineaire-differentiaalvergelijkingen#thm-b1-diffeq-homogeneous2): de oplossingen worden [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en lineair geparametriseerd door $(\lambda, \mu)
\in K^2$).

**Voorbeeld 19.6 (Dezelfde verzameling, twee dimensies).**

De [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\C^2$ van paren complexe getallen is een $\C$-vectorruimte van dimensie $2$ (canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $e_1, e_2$) — en een $\R$-vectorruimte van dimensie $4$, met [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

elke $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ heeft eenduidig de reële [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b, c, d)$. De dimensie is geen eigenschap van de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) vectoren alleen: zij telt de vrijheidsgraden *ten opzichte van de toegelaten scalairen*, en het halveren van de voorraad scalairen van $\C$ tot $\R$ verdubbelt de telling. (De weekendopgave buit het uiterste geval van deze gevoeligheid uit, met scalairen die helemaal tot $\Q$ zijn gekrompen.)

**Voorbeeld 19.7 (Het aanvullingsalgoritme laten lopen).**

Vul de [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ aan tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\R^3$ met de canonieke vectoren. Laat het bewijs van [Stelling 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) lopen op de voortbrengende familie $(e_1, e_2, e_3)$: ligt $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$? Nee (veelvouden van $(1,1,1)$ hebben gelijke [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates)) — voeg hem toe. Ligt $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$? Een combinatie $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ heeft gelijke tweede en derde coördinaat, en $e_2$ niet — voeg hem toe. De familie $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) met $3$ vectoren: stop, zij is een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) zal deze reflex officieel maken). Merk op dat de uitkomst afhangt van de volgorde waarin de $g_j$ worden doorlopen: aanvullen is een algoritme, geen formule.

**Propositie 19.8 (De twee-uit-drieregel).**

Zij $\dim E = n$ en $\mathcal{F}$ een familie van precies $n$ vectoren van $E$. Dan geldt

$$
\mathcal{F} \text{ vrij} \iff \mathcal{F} \text{ voortbrengend}
\iff \mathcal{F} \text{ basis}.
$$

Bovendien heeft elke [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\leq n$ vectoren en elke voortbrengende familie $\geq n$.

**Bewijs.** De grenzen op de [kardinaliteiten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card) zijn het uitwisselingslemma tegen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). Is $\mathcal{F}$ (met $n$ vectoren) [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) maar niet voortbrengend, dan ligt een zekere $x$ buiten haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span); die $x$ toevoegen geeft een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $n + 1$ vectoren: onmogelijk. Is $\mathcal{F}$ voortbrengend maar niet [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dan geeft het uithalen van een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Stelling 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $< n$ vectoren: onmogelijk. ∎

**Voorbeeld 19.9 (Twee uit drie, het halve werk bespaard).**

Is $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\R^3$? Tellen: drie vectoren, dimensie drie — dus beslist de vrijheid alleen. Een nulcombinatie geeft $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c =
0$; door alle drie op te tellen krijgen we $2(a + b + c) = 0$, en door elke oorspronkelijke vergelijking van $a + b + c = 0$ af te trekken blijft $b = c = a = 0$ over: [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), en dus een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), waarbij de voortbrengende helft van de verificatie gratis door de stelling wordt geleverd. Vergelijk [Voorbeeld 18.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ex-b1-vspaces-testbasis), waar dezelfde dubbele verificatie met de hand moest gebeuren — één hoofdstuk theorie zet zich precies om in die besparing, bij elke basiscontrole in de rest van het boek.

**Methode 19.10 (Een dimensie berekenen).**

Drie standaardwegen, in afnemende volgorde van frequentie.

1. *Parametriseer en lees een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) af.* Los de definiërende voorwaarden op, druk het algemene element lineair uit in de overgebleven parameters, en ga na dat de vectoren waarmee de parameters worden vermenigvuldigd [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zijn: de dimensie is het aantal parameters. (Hieronder uitgevoerd op een concrete [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $\R^4$ .)
2. *Geef een [bijectieve](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) lineaire parametrisering.* Worden de elementen bepaald door eindig veel waarden — beginvoorwaarden van een recursie ( [Oefening 19.10](#exo-b1-findim-10) ), coëfficiënten van een oplossingsformule ( [Voorbeeld 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — dan is de dimensie het aantal van die waarden.
3. *Gebruik de formules.* Grassmann voor doorsneden en sommen, de [rang](#def-b1-findim-rank) voor [opspansels](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) , en later de dimensiestelling voor kernen en beelden: dimensies worden gewoonlijk *berekend* , niet geraden.

In alle drie de wegen is de twee-uit-drieregel de afmaker: zodra de telling klopt, besluit de vrijheid of de voortbrenging alleen.

**Voorbeeld 19.11 (Weg 1, volledig).**

Dimensie van $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ en } x = t\}$. Oplossen: $t = x$ en $y + z = -2x$, dus $z =
-2x - y$ met $x, y$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free):

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

De twee vectoren zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) (kijk naar de eerste twee [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates): $(x, y) = (0,0)$), dus vormen zij een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $H$ en is $\dim H
= 2$. De telling was te voorspellen — twee onafhankelijke lineaire voorwaarden in $\R^4$ zouden elk één dimensie moeten opeten — maar de parametrisering bewijst het *en* levert een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), wat de voorspelling alleen nooit doet; [Oefening 19.9](#exo-b1-findim-9) maakt van de slagzin “elke vergelijking eet hoogstens één dimensie” een stelling.

**Voorbeeld 19.12 (Weg 2, volledig).**

Dimensie van $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (voor $n
\geq 2$). Volgens de twee keer toegepaste factorstelling ([Stelling 8.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-factor); de wortels $1$ en $2$ zijn verschillend) geldt $P \in W$ precies wanneer $P = (X - 1)(X -
2)\,Q$ met $\deg Q \leq n - 2$. De correspondentie $Q \mapsto
(X-1)(X-2)Q$ is lineair, bereikt heel $W$ en is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) (een product is alleen nul als $Q = 0$): $W$ wordt [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en lineair geparametriseerd door $\R_{n-2}[X]$, dus

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

Een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) komt met de parametrisering mee: de beelden van de monomen, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. Elke nieuwe evaluatievoorwaarde in een vers punt kost precies één dimensie — de telkundige ruggengraat van de [Lagrange-interpolatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) ([Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange)).

**Voorbeeld 19.13 (Een integraalvoorwaarde kost ook één dimensie).**

Dimensie van $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. Met $P = a
+ bX + cX^2$ luidt de voorwaarde $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$; los naar $a$ op en parametriseer:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

dus $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$, van dimensie $2$ (de twee [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) hebben verschillende graden: [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)). Eén lineaire voorwaarde — of het nu een evaluatie, een [integraal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) of een ander lineair recept is — verwijdert hoogstens één dimensie, en precies één zodra de voorwaarde niet identiek nul is. [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) zal zulke recepten *lineaire vormen* noemen en hun oplossingsverzamelingen *hypervlakken*; de basisvectoren die hier zijn gevonden, duiken in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) weer op als het begin van de familie van Legendre.

## 19.2 Deelruimten, rang, Grassmann

**Stelling 19.14 (Deelruimten).**

Zij $E$ [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def) en $F$ een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace). Dan is $F$ [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def) met $\dim F \leq \dim E$, en geldt de gelijkheid dan en slechts dan als $F = E$. Bovendien heeft elke [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) een [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace).

**Bewijs.** [Vrije families](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$ hebben hoogstens $\dim E$ vectoren (uitwisselingslemma in $E$: een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$ is in het bijzonder [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) in $E$, en $E$ heeft een eindige voortbrengende familie). Kies onder de [vrije families](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$ er een van *maximale* omvang $p$ — mogelijk omdat de omvangen gehele getallen zijn die door $\dim E$ worden begrensd. Zij brengt $F$ voort: anders zou een zekere $x \in F$ buiten haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) liggen, en die $x$ toevoegen zou een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$ van omvang $p +
1$ geven ([Propositie 18.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), in tegenspraak met de maximaliteit. Omdat zij [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en voortbrengend is, is zij een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$, en is $\dim F = p \leq \dim E$. Is $p = \dim E = n$, dan is een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $n$ vectoren van $E$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$ ([Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), dus $F \supseteq
\operatorname{span} = E$. [Complementair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum): vul een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots,
f_p)$ van $F$ aan tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots,
g_n)$ van $E$ (aanvullingsstelling voor [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)); dan voldoet $G =
\operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ aan $E = F \oplus G$ (het bestaan en de eenduidigheid van de ontbindingen zijn de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) in de grote [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)). ∎

**Definitie 19.15 (Rang van een familie).**

De *rang* van een eindige familie vectoren is de dimensie van haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span): $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, met gelijkheid aan $p$ dan en slechts dan als de familie [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is.

**Voorbeeld 19.16 (Een rang berekenen met eliminatie).**

[Rang](#def-b1-findim-rank) van $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ in $\R^3$. Het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) verandert niet wanneer men van een vector een combinatie van de andere aftrekt (beide families spannen dezelfde combinaties op): vervang $(2,3,4)$ door $(2,3,4) -
(1,2,3) = (1,1,1)$ en $(3,4,5)$ door $(3,4,5) - (1,2,3) =
(2,2,2)$. Het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) is nu $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),
(1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) =
\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, en die twee vectoren zijn niet evenredig: de [rang](#def-b1-findim-rank) is $2$. Deze procedure van aftrekken en weggooien wordt in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) tot Gauss-eliminatie gesystematiseerd.

**Voorbeeld 19.17 (Sommeren door aaneenschakelen).**

Neem in $\R^3$

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

De som $F + G$ wordt opgespannen door de aaneengeschakelde familie van alle drie de voortbrengers, en

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

laat zien dat de derde overbodig is: $F + G = F$, van dimensie $2$ — equivalent $G \subseteq F$, wat de betrekking toont. Grassmann bevestigt: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Sommen berekent men door voortbrengers aaneen te schakelen en de stapel daarna met het rangalgoritme te reduceren; een nieuwe techniek is nooit nodig.

**Stelling 19.18 (Formule van Grassmann).**

Voor [eindigdimensionale](#def-b1-findim-def) [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ van $E$ geldt:

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

In het bijzonder is $F + G$ direct dan en slechts dan als $\dim(F +
G) = \dim F + \dim G$.

**Bewijs.** Vertrek van een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ van $F \cap G$; vul haar aan tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ van $F$ en tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ van $G$ ([Stelling 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). Wij beweren dat

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is van $F + G$; de formule volgt dan door te tellen: $(r +
s) + (r + t) - r = r + s + t$.

$\mathcal{B}$ brengt $F + G$ voort: elke $u + v$ ($u \in F$, $v \in
G$) ontwikkelt erin. Vrijheid: stel $\sum \alpha_i e_i + \sum
\beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. De vector $w = \sum \gamma_k
g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ ligt in $G \cap F$, dus ontwikkelt hij op de $(e_i)$ alleen; maar $w$ ontwikkelt ook op de $(g_k)$, en in de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $G$ moeten die twee uitdrukkingen samenvallen: alle $\gamma_k = 0$ (en de $e$-coördinaten komen overeen). De betrekking herleidt zich tot $\sum\alpha_i e_i +
\sum\beta_j f_j = 0$, een betrekking in de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$: alle overige coëfficiënten worden nul. ∎

**Voorbeeld 19.19.**

Twee verschillende vlakken $F, G$ (dimensie $2$) van $\R^3$ voldoen aan $F + G = \R^3$ (hun som bevat strikt een vlak), dus $\dim(F \cap
G) = 2 + 2 - 3 = 1$: zij snijden elkaar altijd langs een rechte — er bestaan geen “evenwijdige vlakken” door de oorsprong.

**Voorbeeld 19.20 (Grassmann in actie, in R4\R^4R4).**

Zij $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ en $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ in $\R^4$. Dimensies: $\dim F
= 3$ (de derde voortbrenger heeft een derde coördinaat ongelijk aan nul en ligt buiten $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) en $\dim G
= 2$. Som: $F + G$ bevat $e_1, e_2, e_4$ en $e_3 = (1,1,1,0) - e_1
- e_2$: zij is heel $\R^4$. Grassmann *berekent* dan de omvang van de doorsnede zonder enige eliminatie:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

Om de rechte te bepalen, kijk binnen $G$: een vector $(0, 0, c,
d)$ ligt in $F$ precies wanneer hij $a e_1 + b e_2 +
\lambda(1,1,1,0)$ is, wat $\lambda = -a = -b$ en $d = 0$ afdwingt: de doorsnede is $\operatorname{Vect}(e_3)$ — consistent, want $e_3$ werd hierboven in $F$ getoond en ligt per definitie in $G$. Een typische taakverdeling: Grassmann voorspelt *hoeveel* er te zoeken valt, het lineaire stelsel vindt daarna *wat*.

**Voorbeeld 19.21 (Doorsnijden met vergelijkingen).**

Komen beide [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) als oplossingsverzamelingen, dan is doorsnijden niets anders dan de vergelijkingen op elkaar stapelen. In $\R^3$ geven $F = \{x + y + z = 0\}$ en $G = \{x = y\}$

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

een rechte. Toets met Grassmann: $F + G = \R^3$ (de vlakken zijn verschillend, dus hun som bevat strikt een vlak), en dus $\dim(F\cap
G) = 2 + 2 - 3 = 1$. De twee beschrijvingen van een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) — met vergelijkingen, met voortbrengers — maken elk één bewerking triviaal: vergelijkingen doorsnijden door te stapelen, voortbrengers sommeren door aaneen te schakelen; tussen beide omzetten is precies wat het oplossen van een lineair stelsel betekent ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det)).

**Opmerking 19.22 (Veelgemaakte fouten).**

*Dimensies tellen niet op langs sommen* tenzij de som direct is: twee vlakken van $\R^3$ hebben $\dim(F + G) = 3$, niet $4$; corrigeer altijd met de doorsnedeterm (Grassmann). *Een insluiting vereist de dimensie *en* de insluiting*: $\dim F = \dim G$ alleen geeft nooit $F = G$ (twee verschillende rechten van $\R^2$); het gelijkheidsgeval van [Stelling 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) vereist eerst $F \subseteq G$. *Parameters tellen is nog geen bewijs*: “twee vergelijkingen in $\R^4$, dus dimensie $2$” faalt wanneer de vergelijkingen afhankelijk zijn ($x + y = 0$ en $2x + 2y = 0$ laten dimensie $3$ over); alleen een echte parametrisering of een rangberekening beslist. *Spreek niet over de dimensie van een [niet-deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace)*: de oplossingsverzamelingen van *inhomogene* stelsels missen $0$; hun “dimensie” is die van de bijbehorende homogene oplossingsruimte ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) maakt dit precies). *Oneindige dimensie bestaat*: $K[X]$ bevat [vrije families](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van elke omvang (de monomen), dus kan er geen eindige voortbrengende familie bestaan — [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) als de twee-uit-drieregel zijn strikt [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def) en falen jammerlijk op $K[X]$ ([Gevolg 20.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#cor-b1-linmaps-samedim) zal hetzelfde tonen voor injectiviteit en surjectiviteit). *[Rang](#def-b1-findim-rank) gaat over het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span), niet over de lijst*: een vector herhalen, herordenen of met constanten ongelijk aan nul herschalen laat de [rang](#def-b1-findim-rank) ongewijzigd, en $\operatorname{rk} = p$ (het aantal vectoren) is een *te bewijzen eigenschap* — het is precies de vrijheid. Een familie van $5$ vectoren van [rang](#def-b1-findim-rank) $2$ draagt de overtolligheid van drie vectoren, die de eliminatie ([Voorbeeld 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) expliciet lokaliseert.

**Opmerking 19.23 (Waar de dimensie aan het werk gaat).**

De dimensie is vanaf hier het favoriete telargument van het boek. [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) bewijst de dimensiestelling, de functionele versie van de formule van Grassmann; [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) berekent [rangen](#def-b1-findim-rank) met rijreductie; [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) maakt van “$n$ vectoren van $K^n$ vormen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)” de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) dat één getal niet nul is. De weekendopgave hieronder laat de dimensie *rekenkunde* doen: dimensies tellen over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $\Q$ bewijst irrationaliteitsuitspraken die met de hand onaantastbaar lijken. In het volume van bachelorjaar 3 beslissen dezelfde dimensietellingen, verfijnd met groepentheorie, welke klassieke constructieproblemen oplosbaar zijn — dat verhaal is de galoistheorie.

**Opmerking 19.24 (Vooruitzichten binnen boek 3).**

De dimensie is de behouden grootheid van de rest van dit volume, en het loont de behoudswetten op voorhand te benoemen. [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) bewijst $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$: wat een lineaire [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) vermorzelt plus wat zij behoudt, is altijd samen het vertrekpunt. [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) verfijnt dit tot de structuur van oplossingsverzamelingen: $p$ onbekenden min $\operatorname{rk} A$ spillen laat de dimensie van de oplossingsruimte over, die de Gauss-eliminatie als [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) parameters toont. [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) splitst $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ orthogonaal, en de weekendopgave van [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) geeft precies dit budget uit: $n$ gegevenspunten, $2$ aangepaste parameters, $n - 2$ dimensies rest. Weigert in een later hoofdstuk een telling te kloppen, dan is de fout een vergeten kern of een niet-directe som — keer eerst terug naar de formule van Grassmann.

## 19.3 Oefeningen

**Oefening 19.1 ★.**

Geef een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en de dimensie van:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**Oplossing van Oefening 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; de twee vectoren zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ( [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) ): $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ betekent $(X-1)^2 \mid P$ ( [Propositie 8.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#prop-b1-poly-multiplicity) ): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [Basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensie $2$ .

**Oefening 19.2 ★.**

Bereken de [rang](#def-b1-findim-rank) van de familie $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7),
(0,1,2)\bigr)$ in $\R^3$, en haal er een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van haar [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) uit.

**Oplossing van Oefening 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ en $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: beide zijn combinaties van de eerste twee, die [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zijn (niet evenredig). [Rang](#def-b1-findim-rank) $2$; [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**Oefening 19.3 ★.**

Vul de [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ aan tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\R^4$ met canonieke vectoren, en verantwoord dit.

**Oplossing van Oefening 19.3.**

Probeer $e_1 = (1,0,0,0)$ en $e_3 = (0,0,1,0)$ toe te voegen. De familie $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free): een nulcombinatie $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 +
\delta e_3 = 0$ luidt $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta,
\beta) = 0$, dus $\alpha = \beta = 0$, en daarna $\gamma = \delta =
0$. Vier [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren in dimensie $4$: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**Oefening 19.4 ★.**

Bewijs dat $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is van $\R_3[X]$, en bepaal de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) van $X^3$ daarin.

**Oplossing van Oefening 19.4.**

De graden $0, 1, 2, 3$ zijn paarsgewijs verschillend: [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 18.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-freecriteria)), vier vectoren in dimensie $4$: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). Voor $X^3$: ontwikkel naar beneden,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

dus $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$; en $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X
= 3\,X(X-1) + X$. Bijgevolg

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ op $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (Dat zijn vermomde stirlinggetallen.)

**Oefening 19.5 ★★.**

Zij $F$ en $G$ [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $4$ en $5$ van een ruimte $E$ met $\dim E = 7$. Wat zijn de mogelijke waarden van $\dim(F \cap
G)$? Geef bij elke waarde een voorbeeld met $E = \R^7$.

**Oplossing van Oefening 19.5.**

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, en $F + G$ is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $E$ die $G$ bevat: $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. Bijgevolg $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. Realisaties in $\R^7$ met canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_7)$, waarbij $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G =  \R^7$ , doorsnede $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensie $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : doorsnede van dimensie $3$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensie $4$ .

**Oefening 19.6 ★★.**

Zij $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. Bewijs dat $H$ een hypervlak is van $\R_n[X]$ (een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $n$), geef een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $H$ *(denk aan de factorstelling: $P = (X-1)Q$)*, en geef een [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) rechte.

**Oplossing van Oefening 19.6.**

$H$ is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) ([Oefening 18.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#exo-b1-vspaces-1) (4), woordelijk). Volgens de factorstelling ([Stelling 8.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-factor)) geldt $P \in H
\iff P = (X-1)Q$ met $\deg Q \leq n - 1$: de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $Q \mapsto
(X-1)Q$ is een lineaire bijectie van $\R_{n-1}[X]$ op $H$, dus is een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $H$

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

Een [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) rechte: $\operatorname{Vect}(1)$ (de constanten). Inderdaad is $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (een constante ongelijk aan nul wordt niet nul in $1$) en tellen de dimensies op tot $n + 1$: volgens Grassmann is $H \oplus \operatorname{Vect}(1) =
\R_n[X]$.

**Oefening 19.7 ★★.**

Zij $u_1, \dots, u_p$ vectoren van [rang](#def-b1-findim-rank) $r$. Bewijs dat het verwijderen van één vector een familie van [rang](#def-b1-findim-rank) $r$ of $r - 1$ oplevert, en dat het toevoegen van één vector [rang](#def-b1-findim-rank) $r$ of $r + 1$ geeft. Leid af dat de [rang](#def-b1-findim-rank) bij elke afzonderlijke invoeging of verwijdering met hoogstens $1$ verandert.

**Oplossing van Oefening 19.7.**

Verwijderen: laat men $u_p$ weg, dan kan het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) alleen krimpen; en het krimpt met hoogstens één dimensie, want $u_p$ weer toevoegen aan een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van het kleinere [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) geeft een voortbrengende familie van het grotere met hoogstens één extra vector. Symmetrisch bij het toevoegen van een vector $v$: het nieuwe [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) bevat het oude met hoogstens één extra voortbrenger, dus is zijn dimensie $r$ (lag $v$ al in het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span)) of $r + 1$ (anders, want volgens [Propositie 18.19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) laat een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zich uitbreiden). Beide [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) samen geven het besluit dat de [rang](#def-b1-findim-rank) “$1$-lipschitziaans” is.

**Oefening 19.8 ★★★.**

Zij $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $E$ ($\dim E = n$) met $F_i \neq F_{i+1}$ voor alle $i$. Bewijs dat $k \leq n + 1$. Leid af dat een strikt stijgende keten [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $\R^n$ lengte hoogstens $n + 1$ heeft, en geef er een van maximale lengte.

**Oplossing van Oefening 19.8.**

Langs een strikt stijgende keten stijgen de dimensies strikt ($F_i
\subseteq F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ en [Stelling 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): gelijkheid van de dimensies zou gelijkheid van de ruimten afdwingen). Dus is $\dim F_1 < \dim F_2 <
\dots < \dim F_k$ een strikt stijgende rij gehele getallen in $\intint{0}{n}$: hoogstens $n + 1$ waarden, dus $k \leq n + 1$. Een maximale keten in $\R^n$:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

van lengte precies $n + 1$.

**Oefening 19.9 ★★★.**

Zij $E$ van dimensie $n$ en $F$, $G$ twee hypervlakken (dimensie $n
- 1$) met $F \neq G$. Bereken $\dim(F \cap G)$. Veralgemeen: de doorsnede van $k$ hypervlakken heeft dimensie $\geq n - k$.

**Oplossing van Oefening 19.9.**

$F + G$ bevat $F$ strikt (want $G \not\subseteq F$), dus $\dim(F +
G) = n$ en geeft Grassmann $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n -
2$.

Algemene bewering, met inductie op $k$: de doorsnede $I_k$ van $k$ hypervlakken heeft $\dim I_k \geq n - k$. Waar voor $k = 1$. Stap: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$, en Grassmann binnen $E$ geeft

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**Oefening 19.10 ★★.**

Zij $E$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de reële rijen die voor alle $n$ voldoen aan $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$.

1. Toon aan dat $E$ een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) is van de ruimte van de rijen, en dat een rij van $E$ volledig en lineair wordt bepaald door het paar $(u_0, u_1)$ ; leid af dat $\dim E =  2$ .
2. Ga na dat de constante rij $(1)$ en de meetkundige rij $(2^n)$ in $E$ liggen en een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$ vormen.
3. Bepaal de rij van $E$ met $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

**Oplossing van Oefening 19.10.**

1. De voorwaarde $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ is lineair en wordt door de nulrij vervuld: $E$ is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) . Met inductie bepalen $u_0$ en $u_1$ elke $u_n$ , en de afhankelijkheid is lineair (elke stap is een lineaire combinatie van de twee vorige waarden); omgekeerd komt elk paar $(a, b)$ van precies één rij van $E$ (definieer $u_n$ met de recursie). Zoals in [Voorbeeld 19.5](#ex-b1-findim-dims) wordt $E$ [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en lineair geparametriseerd door $(u_0, u_1)  \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
2. Constanten: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Meetkundig: $3\cdot  2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Beide liggen in $E$ . Vrijheid: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ voor alle $n$ geeft, in $n = 0$ en $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , dus $a = b = 0$ . Twee [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren in dimensie $2$ : een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ( [Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. Los $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ op: $b = 1$ , $a = -1$ , dus $u_n = 2^n - 1$ (de rij van Mersenne).

**Oefening 19.11 ★★.**

Zij $E$ van dimensie $n$.

1. Zijn $F, G$ [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) met $\dim F + \dim G > n$ , bewijs dan dat $F \cap G \neq \{0\}$ . Illustratie: twee [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $51$ en $50$ van $\R^{100}$ delen altijd een vector ongelijk aan nul.
2. Is $H$ een hypervlak en $F$ een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) met $F \cap H =  \{0\}$ , bewijs dan dat $\dim F \leq 1$ .

**Oplossing van Oefening 19.11.**

1. Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G)  \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , dus $F \cap G \neq \{0\}$ . Met $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , de doorsnede bevat een rechte.
2. Is $F \cap H = \{0\}$ , dan is de som direct en geldt $\dim F  + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , dus $\dim F \leq 1$ . (Omgekeerd voldoet een rechte die niet in $H$ ligt hier wel aan: hypervlakken missen bijna niets.)

**Oefening 19.12 ★★★.**

(Gemeenschappelijke [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum)) Zij $F, G$ [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $E$ ([eindige dimensie](#def-b1-findim-def)) met $\dim F = \dim G$. Bewijs dat $F$ en $G$ een *gemeenschappelijke* [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) toelaten: er is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) $S$ met $E = F \oplus S = G \oplus S$. *(Neerwaartse inductie op $\dim F$: is $F \neq G \neq E$, kies dan $x \notin F
\cup G$ — [Oefening 18.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#exo-b1-vspaces-12) staat dat toe — en beschouw $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ en $G \oplus
\operatorname{Vect}(x)$.)*

**Oplossing van Oefening 19.12.**

Neerwaartse inductie op $d = \dim F = \dim G$, van $d = n$ tot $d =
0$. Is $d = n$, dan is $F = G = E$ en voldoet $S = \{0\}$. Neem aan dat de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) geldt voor paren [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $d + 1
\leq n$, en zij $\dim F = \dim G = d < n$.

Is $F = G$: neem voor $S$ een willekeurige [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) van $F$ ([Stelling 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). Is $F \neq G$: beide zijn echt, dus bestaat er volgens [Oefening 18.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#exo-b1-vspaces-12) een $x \notin F \cup
G$. De sommen $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ en $G' = G
\oplus \operatorname{Vect}(x)$ zijn direct ($x \notin F$, $x \notin
G$) en hebben dimensie $d + 1$; volgens de inductiehypothese laten zij een gemeenschappelijke [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) $S'$ toe: $E = F' \oplus
S' = G' \oplus S'$. Stel $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — direct, want $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' =
\{0\}$.

Dan is $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, en $F \cap S = \{0\}$: is $f = \lambda x + s'$ met $f \in F$ en $s' \in
S'$, dan is $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, dus $f =
\lambda x$, wat $\lambda = 0$ afdwingt ($x \notin F$) en $f = 0$. Bijgevolg $E = F \oplus S$, en symmetrisch $E = G \oplus S$.

## 19.4 Opgave: de torenwet van Dedekind

**Probleem 19.1.**

Niets in de hoofdstukken 18–19 gebruikte over de scalairen iets meer dan de lichaamsaxioma’s ([Definitie 7.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field)): men mag dus $K = \Q$ nemen en [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) *reële getallen* meten met de meetlat van de $\Q$-dimensie. Deze opgave berekent de dimensie van $\Q(\sqrt2,
\sqrt3)$, bewijst de *[torenwet](#pb-b1-findim-1) van Dedekind* $\dim_\Q M =
\dim_\Q K \cdot \dim_K M$, en oogst irrationaliteitsstellingen door zuiver dimensies te tellen — geen $\varepsilon$, geen decimalen, alleen [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free).

**Deel I — Rationale scalairen.**

1. Ga na dat $\Q$ een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) is en dat elke definitie en elk bewijs uit de hoofdstukken 18–19 alleen de lichaamsaxioma’s van de scalairen gebruikt; besluit dat $\R$ een $\Q$ -vectorruimte is en dat het uitwisselingslemma, de stellingen over [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en de formule van Grassmann over $\Q$ gelden. Wijs de ene stap in het bewijs van [Stelling 19.2](#thm-b1-findim-exchange) aan waar door een scalair ongelijk aan nul wordt gedeeld.
2. Toon aan dat $(1, \sqrt2)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ maar afhankelijk over $\R$ . Stel $\Q(\sqrt2) =  \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in  \Q\}$ ; wat is $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
3. Toon aan dat $\Q(\sqrt2)$ stabiel is onder vermenigvuldiging. Stel voor $u = a + b\sqrt2$ dat $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ en $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 -  2b^2$ . Toon aan dat $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , leid af dat $N(uv) = N(u)N(v)$ , en toon aan dat $N(u) \neq 0$ zodra $u \neq 0$ .
4. Leid af dat elke $u \in \Q(\sqrt2)$ ongelijk aan nul zijn inverse in $\Q(\sqrt2)$ heeft, namelijk $u^{-1} =  \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ is een deellichaam van $\R$ . Bereken $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ en $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**Deel II — $\sqrt3$ toevoegen.**

5. Bewijs dat $\sqrt6 \notin \Q$ *(vergelijk de exponent van $2$ aan beide zijden van $6q^2 = p^2$, zoals in [Oefening 6.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#exo-b1-arith-7))* , en daarna dat $\sqrt3 \notin  \Q(\sqrt2)$ *(kwadrateer $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ en bespreek de gevallen $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$)* .
6. Zij $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . Toon aan dat $M$ stabiel is onder vermenigvuldiging *(een tabel van de producten van de basisvectoren volstaat)* .
7. Schrijf $K = \Q(\sqrt2)$ . Toon aan dat $(1, \sqrt3)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is *over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $K$* , en leid af dat $M = K +  K\sqrt3$ een $K$ -vectorruimte is van dimensie $2$ met [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ .
8. Bewijs dat $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ , en dus $\dim_\Q M = 4$ . *(Groepeer een nulbetrekking als $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ en pas eerst vraag 7 en daarna vraag 2 toe.)*

**Deel III — De [torenwet](#pb-b1-findim-1).** Zij $\Q \subseteq K
\subseteq M \subseteq \R$ waarbij $K$ en $M$ deellichamen zijn, $(e_1, \dots, e_m)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $K$ als $\Q$-vectorruimte, en $(f_1, \dots, f_n)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $M$ als $K$-vectorruimte.

9. Toon aan dat de $mn$ producten $(e_i f_j)$ de ruimte $M$ over $\Q$ voortbrengen.
10. Toon aan dat de familie $(e_i f_j)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ . *(Herorden een $\Q$-nulcombinatie als $\sum_j  \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$, waarvan de binnenste coëfficiënten in $K$ leven.)*
11. Besluit met de *[torenwet](#pb-b1-findim-1) van Dedekind*: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ en toets haar op $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ aan de vragen 7 en 8.
12. ( [Lichamen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) voor niets) Zij $A \subseteq \R$ een [eindigdimensionale](#def-b1-findim-def) $\Q$ -deelruimte die $1$ bevat en stabiel is onder vermenigvuldiging, en zij $u \in A$ , $u \neq 0$ . Toon aan dat als $(a_1, \dots, a_d)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $A$ is, $(u a_1, \dots, u a_d)$ opnieuw een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $A$ is; leid af dat $u$ een inverse *in $A$* heeft: $A$ is een deellichaam van $\R$ . Welke eerdere vragen vindt men hiermee terug?
13. Toon aan dat voor elke $x \in A$ (als in vraag 12, $\dim_\Q  A = d$ ) de familie $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ afhankelijk is: elk element van $A$ is een wortel van een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ongelijk aan nul met rationale coëfficiënten, van graad hoogstens $d$ .

**Deel IV — Eén getal brengt alles voort.** Stel $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. Bereken de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) van $s^2$ , $s^3$ en $s^4$ in de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ van $M$ .
15. Toon aan dat $(1, s, s^2, s^3)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ , en leid af dat $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : elk element van $M$ is een rationale [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in $s$ . Druk $\sqrt2$ en $\sqrt3$ als zulke [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) uit.
16. Ga na dat $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , en toon aan dat $X^4 -  10X^2 + 1$ de *[monische veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van kleinste graad* is die in $s$ nul wordt. Bepaal haar vier reële wortels.
17. Leid af: $1/s = 10s - s^3$ ; identificeer dit getal. Toon aan dat $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in  \Q$ ) rationaal is dan en slechts dan als $b = c = d = 0$ ; in het bijzonder is $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ irrationaal (een versterking van [Oefening 10.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-7) ).

**Deel V — De derdemachtswortel blijft buiten.** Stel $t = 2^{1/3}$.

18. Toon aan dat $X^3 - 2$ geen rationale wortel heeft *(het criterium voor rationale wortels uit [Oefening 8.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#exo-b1-poly-5), of een valuatietelling)* ; leid af dat $(1, t)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ .
19. Toon aan dat $(1, t, t^2)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is over $\Q$ . *(Doodt een zekere $P \in \Q[X]$ ongelijk aan nul van graad $\leq  2$ de $t$, neem er dan een van kleinste graad en deel $X^3  - 2$ erdoor, [Stelling 8.3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-division); besluit dat $X^3  - 2$ een rationale wortel zou hebben.)* Leid af dat $A =  \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ dimensie $3$ heeft, stabiel is onder vermenigvuldiging, en een deellichaam van $\R$ is.
20. Bewijs dat $t \notin M$ : anders zou $M$ een [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $A$ zijn, en zou de [torenwet](#pb-b1-findim-1) $3 \mid 4$ afdwingen. Dus is $2^{1/3}$ geen rationale combinatie van $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. Leid af dat $t \notin \Q(\sqrt2)$ , dat $t + \sqrt2$ irrationaal is, en dat geen rationale getallen $a, b$ voldoen aan $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**Deel VI — Alle deellichamen, en synthese.**

22. Bewijs de [deelbaarheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) van de graden: zijn $\Q \subseteq A  \subseteq B \subseteq \R$ deellichamen met $\dim_\Q B$ eindig, dan [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $\dim_\Q A$ de dimensie $\dim_\Q B$ . Wat zijn de mogelijke dimensies van deellichamen van $M$ ?
23. Bepaal *alle* deellichamen van $M$ van dimensie $2$ over $\Q$ . *(Herleid dit tot het vinden van de $w = a  + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ met $w^2  \in \Q$: werk $w^2$ uit en maak de drie irrationale [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) nul.)*
24. Druk $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ uit in de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(vermenigvuldig met goedgekozen toegevoegden)* .
25. Synthese, in vier zinnen: waarom de $\Q$ -dimensie een *rekenkundige* invariant van een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) reële getallen is; wat de eindigheid van de dimensie over elk element afdwingt (vraag 13); hoe de twee-uit-drieregel inversen uit het niets tevoorschijn toverde (vraag 12); en wat de [torenwet](#pb-b1-findim-1) verbiedt (vraag 20). Benoem de stelling die in deel III is bewezen.

**Oplossing van Probleem 19.1.**

**1.** $\Q$ bevat $0 \neq 1$, is stabiel onder optelling, vermenigvuldiging en tegengestelden, en elk rationaal getal ongelijk aan nul heeft een rationale inverse: een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) ([Definitie 7.22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field)). De definities van [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span), vrijheid en [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en de bewijzen uit de hoofdstukken 18–19 gebruiken alleen de optelling van vectoren, de distributiviteit en de rekenkunde van de scalairen in een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) — nooit een absolute waarde, een ordening of een limiet. Dus is $\R$, met zijn eigen optelling en de vermenigvuldiging $\Q \times \R \to \R$, een $\Q$-vectorruimte, en gelden alle stellingen. Delen door een scalair gebeurt één keer in het bewijs van [Stelling 19.2](#thm-b1-findim-exchange): om “naar $g_k$ op te lossen” [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) men door zijn coëfficiënt ongelijk aan nul.

**2.** Is $a + b\sqrt2 = 0$ met $a, b \in \Q$ niet beide nul, dan zou $b \neq 0$ geven dat $\sqrt2 = -a/b \in \Q$, in tegenspraak met de irrationaliteit van $\sqrt2$ ([Oefening 6.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#exo-b1-arith-7) met $p =
2$); dus $b = 0$ en daarna $a = 0$: [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) over $\Q$. Over $\R$ is de betrekking $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ niet-triviaal: afhankelijk. Bijgevolg is $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, met eenduidige [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b)$.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. Dan is

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

dus $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. Was $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ met $u \neq 0$, dan zou $b \neq 0$ geven dat $(a/b)^2 = 2$, een rationale vierkantswortel van $2$; dus $b = 0$, en daarna $a = 0$ en $u = 0$: tegenspraak. Bijgevolg is $N(u) \neq 0$ voor $u \neq 0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} =
1$, en $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: elk element ongelijk aan nul is inverteerbaar binnen $\Q(\sqrt2)$, dat dus een deellichaam van $\R$ is. Voorbeelden: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$, dus

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** Is $\sqrt6 = p/q$, dan is $6q^2 = p^2$; links is de exponent van $2$ gelijk aan $1 + 2v_2(q)$, oneven, en rechts aan $2v_2(p)$, even: onmogelijk. Stel nu $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ met $a,
b \in \Q$. Kwadrateren: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. Is $ab \neq
0$, dan is $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: onmogelijk. Is $b = 0$, dan is $\sqrt3 = a \in \Q$, in tegenspraak met [Oefening 6.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). Is $a = 0$, dan is $\sqrt3 =
b\sqrt2$, en vermenigvuldiging met $\sqrt2$ geeft $\sqrt6 = 2b \in
\Q$: onmogelijk. Dus $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** De producten van de basisvectoren zijn

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

alle in $M$. Een product van twee elementen van $M$ ontwikkelt door bilineariteit tot rationale combinaties hiervan: $M$ is stabiel onder vermenigvuldiging.

**7.** Zij $x + y\sqrt3 = 0$ met $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. Is $y \neq 0$, dan is $\sqrt3 = -x/y \in K$ (vraag 4: $K$ is een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field)), in tegenspraak met vraag 5. Dus $y = 0$, en daarna $x =
0$: $(1, \sqrt3)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) over $K$. Zij brengt ook voort: $K +
K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} =
\operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. Bijgevolg is $\dim_K M = 2$.

**8.** Een betrekking $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ hergroepeert zich als $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ met coëfficiënten in $K$; volgens vraag 7 worden beide nul, en volgens vraag 2 is $a = b = 0$ en $c = d = 0$. De familie is dus [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en $\dim_\Q M = 4$.

**9.** Elke $x \in M$ schrijft zich als $x = \sum_j y_j f_j$ met $y_j \in K$ ([basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $M$ over $K$), en elke $y_j = \sum_i
\lambda_{ij} e_i$ met $\lambda_{ij} \in \Q$ ([basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $K$ over $\Q$); invullen geeft $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$: de producten brengen $M$ over $\Q$ voort.

**10.** Stel $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ met $\lambda_{ij} \in \Q$. Hergroepeer: $\sum_j \bigl(\sum_i
\lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$, en de binnenste sommen horen bij $K$. De vrijheid van $(f_j)$ over $K$ geeft $\sum_i \lambda_{ij}
e_i = 0$ voor elke $j$; de vrijheid van $(e_i)$ over $\Q$ geeft dan $\lambda_{ij} = 0$ voor alle $i, j$.

**11.** Volgens de vragen 9 en 10 is $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j
\leq n}$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $M$ over $\Q$ met $mn$ elementen:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

Controle: $\dim_\Q K = 2$ en $\dim_K M = 2$ (de vragen 2 en 7) geven $\dim_\Q M = 4$, en dat is vraag 8.

**12.** De vectoren $u a_1, \dots, u a_d$ horen bij $A$ (stabiliteit). Zij zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free): is $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, dan is $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ in $\R$, en $u \neq 0$ dwingt $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ af, dus $\lambda_i = 0$ (de $a_i$ vormen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)). Dus is $(u a_1, \dots, u a_d)$ een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $d$ vectoren in $A$ met $\dim_\Q A = d$: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). In het bijzonder ontbindt $1
\in A$ als $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ met $v = \sum_i \mu_i
a_i \in A$: de inverse van $u$ ligt in $A$. Hiermee vindt men vraag 4 terug ($A = \Q(\sqrt2)$), en men bewijst in één klap dat $M$ een deellichaam van $\R$ is (met vraag 6).

**13.** De $d + 1$ vectoren $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ liggen alle in $A$ (stabiliteit onder producten); een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $A$ heeft hoogstens $d$ vectoren ([Propositie 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), dus zijn zij afhankelijk: er zijn rationale getallen $\lambda_0, \dots, \lambda_d$, niet alle nul, met $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. De [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $P = \sum_k
\lambda_k X^k$ is ongelijk aan nul, heeft rationale coëfficiënten en graad $\leq d$, en $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0, 2)$. Dan is

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ (met $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ en $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). Ten slotte is $s^4 = (s^2)^2 = 25 +
20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$: [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** Stel $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. Aflezen van de vier [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) op $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ geeft

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

Dus $c = 0$ en daarna $a = 0$; door de middelste vergelijkingen af te trekken volgt $2d = 0$ en daarna $b = 0$: $(1, s, s^2, s^3)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). Vier [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren in $M$ van dimensie $4$: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dus $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. Uit vraag 14 volgt $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ en $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) +
1 = 0$. Een [monische veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $\leq 3$ die in $s$ nul wordt zou een niet-triviale nulcombinatie van $(1, s, s^2, s^3)$ opleveren, in tegenspraak met vraag 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ heeft de kleinste graad. Haar wortels: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$, dus zijn de vier reële wortels $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ en $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$, dat wil zeggen $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$.

**17.** Uit $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ volgt $s\,(10s - s^3) = 1$, dus

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

in overeenstemming met $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. Is $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, dan is $(a - r) +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$, en dwingt de vrijheid (vraag 8) af dat $b = c = d = 0$ (en $a = r$). Voor $\sqrt2 + \sqrt3 +
\sqrt6$ zijn de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ niet van die vorm: irrationaal — een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) die sterker is dan [Oefening 10.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#exo-b1-reals-7), verkregen zonder enige kwadrateertruc.

**18.** Een rationale wortel $p/q$ (onvereenvoudigbaar) van $X^3 - 2$ voldoet aan $p^3 = 2q^3$, en het criterium van [Oefening 8.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#exo-b1-poly-5) geeft $p \mid 2$, $q \mid 1$: de kandidaten $\pm1, \pm2$, waarvan de derde machten $\pm1, \pm8 \neq 2$ zijn. Geen rationale wortel; in het bijzonder is $t = 2^{1/3} \notin \Q$, dus is $(1, t)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) over $\Q$ (zoals in vraag 2).

**19.** Stel dat $(1, t, t^2)$ afhankelijk is: een zekere $P
\in \Q[X]$ ongelijk aan nul met $\deg P \leq 2$ heeft $P(t) = 0$; kies zo’n $P$ van *kleinste* graad $d \geq 1$. Volgens vraag 18 is $d \neq 1$, dus $d = 2$. Euclidische deling ([Stelling 8.3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-division)): $X^3 - 2 = PQ + R$ met $Q, R \in
\Q[X]$ en $\deg R < 2$. Evaluatie in $t$: $0 = P(t)Q(t) + R(t) =
R(t)$, dus wordt $R$ nul in $t$; de minimaliteit van $d$ dwingt $R
= 0$ af. Dan is $X^3 - 2 = PQ$ met $\deg Q = 1$: de rationale wortel van $Q$ is een rationale wortel van $X^3 - 2$, in tegenspraak met vraag 18. Bijgevolg is $(1, t, t^2)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en $\dim_\Q A = 3$. Stabiliteit: $t^3 = 2$ herleidt elk product van $1, t, t^2$ tot een combinatie ervan ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot
t^2 = 2t$); $A$ bevat $1$: volgens vraag 12 is $A$ een deellichaam van $\R$.

**20.** Stel $t \in M$. Dan is $t^2 \in M$ (stabiliteit), dus $A \subseteq M$, en is $M$ een [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $A$: de axioma’s zijn die van de rekenkunde in $\R$, beperkt. Zij is [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def) over $A$ (een eindige $\Q$-voortbrengende familie brengt a fortiori voort over $A \supseteq \Q$). De [torenwet](#pb-b1-findim-1) voor $\Q \subseteq A \subseteq M$ geeft

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

onmogelijk: $3$ [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $4$ niet. Dus $2^{1/3} \notin M$: geen enkele rationale combinatie van $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ is gelijk aan $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, dus $t \notin \Q(\sqrt2)$. Was $t + \sqrt2 = r \in \Q$, dan zou $t = r - \sqrt2 \in
\Q(\sqrt2)$: tegenspraak — $2^{1/3} + \sqrt2$ is irrationaal. Was $t = a + b\sqrt3$, dan zou $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1,
\sqrt3) \subseteq M$: opnieuw een tegenspraak.

**22.** $B$ is een [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $A$ (beperking van de scalairen), en [eindigdimensionaal](#def-b1-findim-def) omdat $\dim_\Q
B$ eindig is. De [torenwet](#pb-b1-findim-1) voor $\Q \subseteq A \subseteq B$ geeft $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$: de linkerfactor [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides). Deellichamen van $M$ hebben dus $\Q$-dimensie $1$, $2$ of $4$: dimensie $1$ is $\Q$ zelf, dimensie $4$ is $M$.

**23.** Zij $F \subseteq M$ een deellichaam met $\dim_\Q F =
2$, en $w \in F \setminus \Q$: $(1, w)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), en dus een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$. Volgens vraag 13 ($d = 2$) is $w^2 = \alpha + \beta w$ voor rationale $\alpha, \beta$. Met $v = w - \beta/2 \in F
\setminus \Q$:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

en $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. Schrijf nu $v = a + b\sqrt2 +
c\sqrt3 + d\sqrt6$ en werk uit:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

De drie irrationale [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) worden nul: $ab + 3cd = ac + 2bd =
ad + bc = 0$. Is $a \neq 0$, dan is $b = -3cd/a$, en wordt de tweede voorwaarde $c(a^2 - 6d^2) = 0$; omdat $a^2 = 6d^2$ met $d
\neq 0$ zou maken dat $\sqrt6 = \abs{a/d}$ rationaal is, geldt $c =
0$ of $d = 0$, en in beide gevallen dwingen de overige voorwaarden $b = c = d = 0$ af, dus $v \in \Q$: uitgesloten. Dus $a = 0$, en de voorwaarden luiden $3cd = 2bd = bc = 0$: hoogstens één van $b, c,
d$ is ongelijk aan nul. Bijgevolg is $v$ een rationaal veelvoud van $\sqrt2$, $\sqrt3$ of $\sqrt6$, en

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

en elk daarvan is inderdaad een $2$-dimensionaal deellichaam (stabiliteit als in vraag 6, inversen volgens vraag 12): precies drie kwadratische deellichamen.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 +
\sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$, dus

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(Controle: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ na uitwerken.)

**25.** (i) De $\Q$-dimensie hangt aan elk deellichaam van $\R$ een *geheel getal*, en de [torenwet](#pb-b1-findim-1) laat die gehele getallen langs insluitingen vermenigvuldigen: de dimensie gedraagt zich als een rekenkundige invariant, en deelbaarheidsvoorwaarden worden onmogelijkheidsbewijzen. (ii) De [eindige dimensie](#def-b1-findim-def) dwingt elk element te voldoen aan een rationale veeltermvergelijking ongelijk aan nul van graad hoogstens de dimensie: eindigheid betekent algebraïciteit. (iii) De twee-uit-drieregel maakte van “vermenigvuldigen met $u$ beeldt een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) af op een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van maximale omvang” de surjectiviteit, en bracht $u^{-1}$ zonder formule voort: de inversen kwamen uit het tellen. (iv) De [torenwet](#pb-b1-findim-1) verbiedt een $3$-dimensionaal [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) binnen een $4$-dimensionaal, en daarom is $2^{1/3}$ niet vanuit $\sqrt2$ en $\sqrt3$ bereikbaar. De stelling van deel III is de *[torenwet](#pb-b1-findim-1) van Dedekind*, de openingszet van de galoistheorie, die in het volume van bachelorjaar 3 wordt ontwikkeld.