---
title: "Lineaire afbeeldingen"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen
---

# Hoofdstuk 20 — Lineaire afbeeldingen

De [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) tussen [vectorruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) die de moeite van het bestuderen waard zijn, zijn die welke met de structuur verenigbaar zijn: de *[lineaire afbeeldingen](#def-b1-linmaps-def)*. Hun twee fundamentele [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) — [kern](#def-b1-linmaps-kerim) en [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) — meten de injectiviteit en de surjectiviteit, en in [eindige dimensie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) bindt de dimensiestelling hun omvang tot één behoudswet. [Projecties](#def-b1-linmaps-projection) en symmetrieën, en daarna [lineaire vormen](#def-b1-linmaps-forms) en [hypervlakken](#def-b1-linmaps-forms), sluiten het hoofdstuk af.

## 20.1 Definities en eerste eigenschappen

**Definitie 20.1.**

Zij $E, F$ $K$-vectorruimten. Een [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $u \colon E \to F$ heet *lineair* wanneer

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

Dan is $u(0) = 0$ en $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i
u(x_i)$. De [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ van de lineaire [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) is zelf een [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def); de samenstelling van lineaire [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) is lineair, en bilineair in het paar. Een *endomorfisme* is een lineaire $E \to E$; een *isomorfisme* is een [bijectieve](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) lineaire [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) (haar inverse is dan automatisch lineair); de $u^{-1}$ van een isomorfisme en samenstellingen van isomorfismen zijn isomorfismen.

**Bewijs dat de inverse lineair is.** Zij $u$ [lineair](#def-b1-linmaps-def) en [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), $y, y' \in F$ en $\lambda \in K$. Stel $x = u^{-1}(y)$ en $x' = u^{-1}(y')$. Dan is

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

en toepassing van $u^{-1}$ op beide uiteinden geeft $u^{-1}(y +
\lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$. Er werd niets over $u^{-1}$ berekend: de lineariteit reist mee langs de definiërende eigenschap van $u$ alleen — een patroon dat het onthouden waard is, want structuur lift vaak gratis mee met bijecties. ∎

**Propositie 20.2 (Een lineaire afbeelding is bekend op een basis).**

Zij $(e_1, \dots, e_n)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$ en $(v_1, \dots, v_n)$ willekeurige vectoren van $F$. Er is precies één [lineaire afbeelding](#def-b1-linmaps-def) $u \colon E \to F$ met $u(e_i) = v_i$ voor alle $i$. Bovendien:

$$
u \text{ injectief} \iff (v_i) \text{ vrij};
\qquad
u \text{ surjectief} \iff (v_i) \text{ brengt } F \text{ voort} .
$$

**Bewijs.** Bestaan en eenduidigheid: elke $x$ heeft eenduidige [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $x
= \sum \lambda_i e_i$ ([Propositie 18.15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates)); de lineariteit dwingt $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ af, en die formule definieert inderdaad een [lineaire afbeelding](#def-b1-linmaps-def).

Injectiviteit: volgens [Propositie 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) hieronder is $u$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) dan en slechts dan als haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim) triviaal is. Nu betekent $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ precies dat $\sum\lambda_i v_i = 0$. Is $(v_i)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dan dwingt dit elke $\lambda_i = 0$ af, dat wil zeggen dat de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) tot $0$ herleidt: [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). Is $(v_i)$ afhankelijk, dan levert een niet-triviale betrekking $\sum\lambda_i v_i = 0$ de vector $\sum\lambda_i e_i$ ongelijk aan nul in de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) ($(e_i)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)): niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). De twee voorwaarden komen term voor term overeen.

Surjectiviteit: het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) van $u$ is de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van alle $\sum\lambda_i v_i$, dat wil zeggen precies $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, en dat is gelijk aan $F$ dan en slechts dan als de familie voortbrengt. ∎

**Definitie 20.3 (Kern en beeld).**

Voor $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

beide [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) (rechtstreekse verificatie met het criterium).

**Methode 20.4 (Kern en beeld, in de praktijk).**

*[Kern](#def-b1-linmaps-kerim)*: schrijf $u(x) = 0$ als een stelsel voor de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) (of coëfficiënten) van $x$, los het op en parametriseer — de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) komt met een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) eraan vast ([Methode 19.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#met-b1-findim-computedim)). *[Beeld](#def-b1-linmaps-kerim)*: het is het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) van de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) van *elke* voortbrengende familie van $E$ — gewoonlijk een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dus $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$; verwijder daarna de overtollige [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) om er een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) uit te halen. *Kortere weg*: bereken welke van de twee het gemakkelijkst is en krijg de dimensie van de andere gratis via de dimensiestelling ([Stelling 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)); is er een aannemelijke [kandidaat-deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) voor het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) bekend, dan tilt het vergelijken van de dimensies de gemakkelijke insluiting op tot een gelijkheid ([Stelling 19.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-subspaces)). Beide kortere wegen worden hieronder in [Voorbeeld 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) gebruikt.

**Propositie 20.5.**

$u$ is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\ker u = \{0\}$; $u$ is [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\operatorname{im} u = F$.

**Bewijs.** Zoals voor [groepen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-group) ([Propositie 7.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#prop-b1-structures-kernel)): $u(x) = u(y)
\iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$. Het tweede punt is de definitie. ∎

## 20.2 De dimensiestelling

**Definitie 20.6.**

De *rang* van $u \in
\mathcal{L}(E, F)$ (met $E$ [eindigdimensionaal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def)) is $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — tevens de rang van de familie $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ voor elke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_i)$ van $E$.

**Stelling 20.7 (Dimensiestelling).**

Zij $E$ [eindigdimensionaal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) en $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Dan geldt

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

Preciezer: is $S$ een willekeurige [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $\ker u$ in $E$, dan beperkt $u$ zich tot een *isomorfisme* van $S$ op $\operatorname{im} u$.

**Bewijs.** Zij $S$ zo dat $E = \ker u \oplus S$ ([Stelling 19.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-subspaces)), en zij $v \colon S \to
\operatorname{im} u$ de beperking van $u$.

$v$ is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj): $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$.

$v$ is [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj): elke $u(x)$ met $x = k + s$ ($k \in \ker u$, $s
\in S$) is gelijk aan $u(s) = v(s)$.

Dus is $v$ een isomorfisme; een isomorfisme stuurt een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) naar een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), dus $\dim S =
\dim\operatorname{im} u$, en $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ besluit. ∎

**Voorbeeld 20.8 (Een afbeelding op bestelling bouwen).**

Construeer $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ met $\ker u =
\operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Eerst een controle: de dimensiestelling eist $1 + 2 = 3$ — consistent, dus er mag een oplossing bestaan. Kies een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) die aan de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) is aangepast, zeg $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ ([Voorbeeld 19.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ex-b1-findim-completion)), en schrijf de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) voor ([Propositie 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)):

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

Dan is $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ en $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z =
0\}$; de dimensiestelling dwingt $\dim\ker u = 1$ af, dus is de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) precies de voorgeschreven rechte. Expliciet, met de ontbinding $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

Het recept veralgemeent: een [lineaire afbeelding](#def-b1-linmaps-def) met voorgeschreven [kern](#def-b1-linmaps-kerim) $N$ en [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) $I$ bestaat precies wanneer $\dim
N + \dim I = \dim E$ — de noodzaak is de dimensiestelling, de voldoendheid deze constructie.

**Gevolg 20.9.**

Is $\dim E = \dim F$ (eindig), dan geldt voor $u \in \mathcal{L}(E,
F)$:

$$
u \text{ injectief} \iff u \text{ surjectief} \iff u \text{
bijectief}.
$$

In het bijzonder geldt dit voor endomorfismen in [eindige dimensie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def). (In oneindige dimensie faalt het: op $K[X]$ is de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) maar niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), en is $P \mapsto XP$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) maar niet [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj).)

**Bewijs.** [Injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E =
\dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van volle dimensie is alles, [Stelling 19.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). ∎

**Voorbeeld 20.10 (Interpolatie, structureel).**

Leg verschillende $x_0, \dots, x_n$ vast en zij $u \colon \R_n[X]
\to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: [lineair](#def-b1-linmaps-def). Haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim) is $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ wortels}\} = \{0\}$ ([Gevolg 8.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#cor-b1-poly-nroots)). Gelijke dimensies $n + 1$: $u$ is een isomorfisme — het bestaan *en* de eenduidigheid van de interpolant van Lagrange ([Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange)) in één regel.

Hetzelfde patroon van één regel behandelt gegevens die waarden en [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) mengen: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto
\bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ is [lineair](#def-b1-linmaps-def), en haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim) bestaat uit [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $\leq 3$ met dubbele wortels in $0$ *en* $1$, dus [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $X^2(X-1)^2$ van graad $4$: alleen $P = 0$. Opnieuw gelijke dimensies: elk viertal gegevens $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ wordt door precies één derdegraads [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) gerealiseerd — de interpolatie van Hermite, verleend door een kernberekening nog vóór er een formule wordt geschreven (de weekendopgave van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) ontmoet haar determinant).

**Voorbeeld 20.11 (De dimensiestelling aan het werk: de differentieoperator).**

Zij $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) -
P(X)$: [lineair](#def-b1-linmaps-def). [Kern](#def-b1-linmaps-kerim): is $\Delta P = 0$, dan is $P(0) = P(1) =
P(2) = \dots$, dus heeft $P - P(0)$ oneindig veel wortels en is het nul ([Gevolg 8.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#cor-b1-poly-nroots)): $\ker\Delta$ is de rechte van de constanten. Dimensiestelling: $\operatorname{rk}\Delta = (n +
1) - 1 = n$. Omdat $\deg \Delta P < \deg P$ voor niet-constante $P$ (de koptermen heffen elkaar op), is $\operatorname{im}\Delta
\subseteq \R_{n-1}[X]$, wat precies dimensie $n$ heeft: de insluiting is een gelijkheid. Besluit, zonder enige berekening van origineelverzamelingen: *elke* [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $Q$ van graad $\leq n
- 1$ is een verschil $Q = P(X+1) - P(X)$ — de discrete primitieve bestaat. (Vergelijk de weekendopgave van [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces), waar $\Delta$ expliciet in de binomiale [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) werd geïnverteerd.)

**Voorbeeld 20.12 (Rangboekhouding langs een samenstelling).**

Stel op $\R_2[X]$ de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) $D(P) = P'$ ([rang](#def-b1-linmaps-rank) $2$: [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, [kern](#def-b1-linmaps-kerim) de constanten) met zichzelf samen. Dan beeldt $D
\circ D = D^2$ af volgens $P \mapsto P''$, met [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$: [rang](#def-b1-linmaps-rank) $1$. Vergelijk met de algemene grenzen: de grove geeft $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$; de exacte formule van [Oefening 20.12](#exo-b1-linmaps-12) verantwoordt het verlies precies,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

omdat de constanten (de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) van de buitenste $D$) binnen $\R_1[X]$ liggen (het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) van de binnenste $D$) met dimensie $1$. [Rang](#def-b1-linmaps-rank) gaat precies daar verloren waar de buitenste [kern](#def-b1-linmaps-kerim) het binnenste [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) in een hinderlaag lokt — de zin om te onthouden wanneer [rangen](#def-b1-linmaps-rank) van samenstellingen zich misdragen.

**Voorbeeld 20.13 (Kern en beeld van de operator van Euler).**

Zij op $\R_n[X]$ $u(P) = X\,P'$ ([lineair](#def-b1-linmaps-def): afleiden en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat). *[Kern](#def-b1-linmaps-kerim)*: $XP' = 0$ dwingt $P' = 0$ af (een product van [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) wordt alleen nul als een factor dat doet), dus is $\ker u$ de rechte van de constanten. *[Beeld](#def-b1-linmaps-kerim)*: op de monomiale [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

dus $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots,
nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$: de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) met constante term nul. Toets met de dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, wat inderdaad de gevonden dimensie is. Twee opmerkingen zijn het bewaren waard. Ten eerste is hier $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — maar dat is een *gelukkig toeval* van deze operator, geen stelling: voor de verschuivingsachtige $v(P) = P'$ op $\R_1[X]$ is $\ker v =
\operatorname{im} v = \R_0[X]$ en is de som niet direct. Ten tweede zegt de betrekking $u(X^k) = kX^k$ dat elk monoom door $u$ slechts wordt herschaald — een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) die aan de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) is aangepast, de kiem van het idee van de eigenwaarde dat in het volume van bachelorjaar 2 wordt ontwikkeld.

## 20.3 Projecties en symmetrieën

**Definitie 20.14.**

Zij $E = F \oplus G$. De *projectie op $F$ langs $G$* beeldt $x = f + g$ (eenduidige ontbinding) af op $p(x) = f$; de bijbehorende *symmetrie* is $s(x) = f - g$. Beide zijn [lineair](#def-b1-linmaps-def), en $s = 2p - \mathrm{id}$.

**Stelling 20.15 (Algebraïsche karakterisering).**

1. Een endomorfisme $p$ is een [projectie](#def-b1-linmaps-projection) (op zekere $F$ langs zekere $G$ ) dan en slechts dan als $p \circ p = p$ ; dan is $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ en $G =  \ker p$ .
2. Een endomorfisme $s$ is een symmetrie dan en slechts dan als $s \circ s = \mathrm{id}$ ; dan is $E = \ker(s - \mathrm{id})  \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

**Bewijs.** (1) Een [projectie](#def-b1-linmaps-projection) voldoet aan $p(f + g) = f$ en $p(f) = f$: $p^2 =
p$. Omgekeerd, zij $p^2 = p$; stel $F = \operatorname{im} p$ en $G =
\ker p$. Elke $x$ schrijft zich als $x = p(x) + (x - p(x))$ met $p(x) \in F$ en $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$: $E = F
+ G$. Is $y \in F \cap G$, dan is $y = p(z)$ en $p(y) = 0$, dus $y =
p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$: een [directe som](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum), en $p$ is de [projectie](#def-b1-linmaps-projection) op $F$ langs $G$. Ten slotte op $F$: uit $y = p(z)$ volgt $p(y) =
y$, dus $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$, en omgekeerd plaatst $p(y) = y$ de $y$ in het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim).

(2) De correspondentie $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s +
\mathrm{id}}2$ is een bijectie tussen endomorfismen, en daaronder geldt

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

symmetrieën corresponderen precies met [projecties](#def-b1-linmaps-projection). De vertaling van de [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace): $s(x) = x \iff p(x) = x$, dus $\ker(s -
\mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$; en $s(x) = -x \iff 2p(x) =
0 \iff x \in \ker p = G$, dus $\ker(s + \mathrm{id}) = G$. De [directe som](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ uit punt (1) wordt de aangekondigde ontbinding in de vaste vectoren en de omgekeerde vectoren van $s$. ∎

**Voorbeeld 20.16 (Een projectie en haar symmetrie, expliciet).**

Projecteer in $\R^2$ op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Ontbind $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$: de eerste coördinaat geeft $a = x$, de tweede $b = y - x$. Bijgevolg

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

Controleer de algebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, en $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Meetkundig is $s$ de “schuine spiegeling” in de rechte $y = x$ volgens de verticale richting: zij houdt $F$ puntsgewijs vast en keert $G$ om. Hadden we op dezelfde $F$ geprojecteerd maar langs $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$, dan zou de formule veranderen in $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$: een [projectie](#def-b1-linmaps-projection) wordt bepaald door haar [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) *en* haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim), nooit door het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) alleen.

![De projectie op F = Vect(1,1) langs G = Vect(0,1) en haar symmetrie, op het punt M = (2,\ 0.5): verticaal glijdend raakt M de rechte F in p(M) = (2,2) en landt hij in s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), even ver boven F (gemeten langs G) als M eronder lag.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*De [projectie](#def-b1-linmaps-projection) op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G =
\operatorname{Vect}(0,1)$ en haar symmetrie, op het punt $M = (2,\
0.5)$: verticaal glijdend raakt $M$ de rechte $F$ in $p(M) =
(2,2)$ en landt hij in $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$, even ver boven $F$ (gemeten langs $G$) als $M$ eronder lag.*

## 20.4 Lineaire vormen en hypervlakken

**Definitie 20.17.**

Een *lineaire vorm* op $E$ is een [lineaire afbeelding](#def-b1-linmaps-def) $\varphi \colon E \to K$. Een *hypervlak* van $E$ ($\dim E = n$) is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $n - 1$.

**Voorbeeld 20.18 (Een evaluatievorm en haar hypervlak).**

Op $\R_2[X]$ is de evaluatie $\varphi(P) = P(2)$ een [lineaire vorm](#def-b1-linmaps-forms), ongelijk aan nul ($\varphi(1) = 1$). Haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim) is het [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms) van de [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) die in $2$ nul worden, dat wil zeggen (factorstelling, [Stelling 8.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-factor)) de veelvouden van $X -
2$ binnen $\R_2[X]$:

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

In [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) op $(1, X, X^2)$ is $\varphi(a + bX + cX^2) = a +
2b + 4c$: elke [lineaire vorm](#def-b1-linmaps-forms) op een [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) ruimte is, zodra een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is vastgelegd, een vaste [lineaire](#def-b1-linmaps-def) uitdrukking in de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) — vormen zijn “rijvectoren”, zoals [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) letterlijk zal maken, en de rij coëfficiënten hier, $(1, 2, 4)$, is een rij van Vandermonde: evaluatievormen zijn de manier waarop de interpolatietheorie van de weekendopgave van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) de [lineaire](#def-b1-linmaps-def) algebra binnenkomt.

**Stelling 20.19.**

De [hypervlakken](#def-b1-linmaps-forms) van $E$ zijn precies de [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) van [lineaire vormen](#def-b1-linmaps-forms) ongelijk aan nul. Twee zulke vormen hebben dezelfde [kern](#def-b1-linmaps-kerim) dan en slechts dan als zij evenredig zijn.

**Bewijs.** Is $\varphi \neq 0$, dan is $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) is een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van $K$ ongelijk aan nul), dus $\dim\ker\varphi = n - 1$: een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms). Omgekeerd, zij $H$ een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms), $(e_1, \dots, e_{n-1})$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $H$ aangevuld met $e_n$: de vorm “laatste coördinaat” heeft [kern](#def-b1-linmaps-kerim) $H$.

Evenredige vormen delen hun [kern](#def-b1-linmaps-kerim). Omgekeerd, stel $\ker\varphi =
\ker\psi = H$ en kies $a \notin H$: elke $x$ schrijft zich als $x =
h + \lambda a$ (want $E = H \oplus Ka$), en

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

dus $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$. ∎

**Voorbeeld 20.20.**

In $K^n$ is een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms) een oplossingsverzameling $\{a_1 x_1 +
\dots + a_n x_n = 0\}$ met niet alle $a_i$ nul — de vertrouwde vergelijking van een vlak door de oorsprong in $\R^3$. In functieruimten definiëren evaluatievormen $P \mapsto P(1)$ of $f
\mapsto \int_0^1 f$ [hypervlakken](#def-b1-linmaps-forms) van $\R_n[X]$ en van $C(\intcc{0}{1})$ (vergelijk [Oefening 19.6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#exo-b1-findim-6)).

**Voorbeeld 20.21 (Eén hypervlak, op drie manieren behandeld).**

Neem $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ op $\R^3$ en $H =
\ker\varphi$. *[Basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)*: los $x = 2y - 3z$ op:

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

twee [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren: $\dim H = 2$, een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms), zoals [Stelling 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) uit $\varphi \neq 0$ voorspelt. *[Complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) rechte*: elke vector buiten $H$ spant er een op, bijvoorbeeld $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1
\neq 0$); de ontbinding van een willekeurige $v$ is expliciet:

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

want $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$. *Evenredigheid*: is $\psi(x,y,z) =
-2x + 4y - 6z$, dan is $\psi = -2\varphi$ en hebben beide de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) $H$; omgekeerd is elke vorm die op $H$ nul wordt een veelvoud van $\varphi$ ([Oefening 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — de vergelijking van een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms) is op een schaalfactor na eenduidig, een feit dat voor vlakken in de meetkunde voortdurend wordt gebruikt.

**Opmerking 20.22 (Veelgemaakte fouten).**

*[Kern](#def-b1-linmaps-kerim) en [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) leven in verschillende ruimten*: $\ker u
\subseteq E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$; de som $\ker u +
\operatorname{im} u$ heeft alleen zin voor endomorfismen, en zelfs dan hoeft zij niet direct te zijn ($u(x, y) = (y, 0)$ heeft $\ker
u = \operatorname{im} u$; [Oefening 20.7](#exo-b1-linmaps-7) karakteriseert wanneer de directheid geldt). *$u^2 = 0$ betekent niet $u = 0$*: dezelfde $u(x,y) = (y, 0)$ kwadrateert tot nul zonder zelf nul te zijn — wat $u^2 = 0$ werkelijk zegt, is $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ ([Oefening 20.5](#exo-b1-linmaps-5)). *[Injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) $\iff$ [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) vereist gelijke [eindige dimensies](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def)*: op $K[X]$ is de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), en is $P \mapsto XP$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en niet [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) ([Gevolg 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)); en tussen ruimten van *verschillende* dimensie is één implicatie eenvoudigweg onmogelijk ($\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$). *[Beelden](#def-b1-linmaps-kerim) voorschrijven werkt op een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), niet op een willekeurige familie*: eisen dat $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ overbepaalt $u$ tenzij $c = a + b$; een [lineaire afbeelding](#def-b1-linmaps-def) is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) op een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en overal elders geketend. *[Rang](#def-b1-linmaps-rank) blijft niet behouden onder samenstelling*: zij kan alleen dalen, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk}
u, \operatorname{rk} v)$ ([Oefening 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), met het exacte verlies gemeten in [Oefening 20.12](#exo-b1-linmaps-12).

**Opmerking 20.23 (Waar deze afbeeldingen heen gaan).**

[Lineaire afbeeldingen](#def-b1-linmaps-def) staan op het punt *matrices* te worden: zodra [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zijn vastgelegd, codeert [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) elke $u \in \mathcal{L}(E, F)$ met een rechthoekige tabel, en wordt de samenstelling het matrixproduct — de dimensiestelling drijft dan de theorie van de [lineaire](#def-b1-linmaps-def) stelsels in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) aan. [Projecties](#def-b1-linmaps-projection) keren terug in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) in hun nuttigste bijzondere geval, de *orthogonale* [projectie](#def-b1-linmaps-projection), waar de [kern](#def-b1-linmaps-kerim) loodrecht op het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) wordt gekozen. De weekendopgave hieronder drijft de algebra van de projectoren zo ver als het gereedschap van het eerste jaar reikt, tot het lemma van Fitting; het volume van bachelorjaar 2 gaat verder met het spoor en met de theorie van de eigenwaarden, waarvoor projectoren op stabiele [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) de basisbouwstenen zijn.

**Opmerking 20.24 (Vooruitzichten binnen boek 3: de dimensiestelling nog drie keer).**

De behoudswet $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ zal vóór het einde van het volume nog drie keer worden herlezen. In [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) wordt zij de gedaante van de oplossingsverzamelingen: een verenigbaar stelsel met $p$ onbekenden en [rang](#def-b1-linmaps-rank) $r$ heeft een oplossingsverzameling van dimensie $p - r$ — de dimensie van een [kern](#def-b1-linmaps-kerim) in vermomming. In [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) splitst zij orthogonaal, $\dim F + \dim
F^\perp = \dim E$, en drijft zij elke afstandsberekening aan. In de weekendopgave van [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) is zij de boekhouder van de kleinste kwadraten: $n$ waarnemingen, $2$ aangepaste parameters, $n - 2$ dimensies rest, en de identiteit van Pythagoras $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ is de euclidische schaduw van de dimensiestelling. Eén stelling, vier kostuums.

## 20.5 Oefeningen

**Oefening 20.1 ★.**

Welke [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) zijn [lineair](#def-b1-linmaps-def)?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**Oplossing van Oefening 20.1.**

(1) [Lineair](#def-b1-linmaps-def): [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) zijn [lineaire](#def-b1-linmaps-def) uitdrukkingen. (2) Niet [lineair](#def-b1-linmaps-def): $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$. (3) [Lineair](#def-b1-linmaps-def): afleiden en vermenigvuldigen met $X$ zijn dat, en sommen van [lineaire afbeeldingen](#def-b1-linmaps-def) ook. (4) [Lineair](#def-b1-linmaps-def): de evaluatie respecteert de puntsgewijze bewerkingen.

**Oefening 20.2 ★.**

Zij $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y
+ z,\; 3x + 2y)$. Bepaal $\ker u$ ([basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), dimensie), $\operatorname{rk} u$, en een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\operatorname{im} u$. Is $u$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj)? [Surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj)?

**Oplossing van Oefening 20.2.**

[Kern](#def-b1-linmaps-kerim): los $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$ op. Uit de derde volgt $y = -\frac{3x}{2}$; de eerste geeft $z = x + y =
-\frac x2$; controle in de tweede: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 =
0$: voldaan. Dus $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3,
-1)\bigr)$ (met $x = 2$), van dimensie $1$.

Dimensiestelling: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$. [Beeld](#def-b1-linmaps-kerim): opgespannen door de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) van de canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), $u(e_1) =
(1,2,3)$, $u(e_2) = (1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$; de eerste twee zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), en de [rang](#def-b1-linmaps-rank) is $2$: [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,2,3),
(1,1,2)\bigr)$.

Niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) ($\ker \neq \{0\}$), niet [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) ([rang](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$): in overeenstemming met [Gevolg 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim).

**Oefening 20.3 ★.**

Zij $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$. Bewijs dat $u$ een isomorfisme is: één keer via $\ker u$, één keer door de inverse te geven *(beschouw $P + P' + P'' + \dots$)*.

**Oplossing van Oefening 20.3.**

*[Kern](#def-b1-linmaps-kerim):* $P = P'$ dwingt $\deg P = \deg P'$ af tenzij $P = 0$; maar $\deg P' < \deg P$ voor $P \neq 0$: dus $\ker u = \{0\}$, en $u$, een [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) endomorfisme van het [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) $\R_n[X]$, is een isomorfisme ([Gevolg 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

*Inverse:* zij $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (een eindige som op $\R_n[X]$). Dan is

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

telescoperend, want $P^{(n+1)} = 0$. Dus $v = u^{-1}$.

**Oefening 20.4 ★.**

Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$ en $v \in \mathcal{L}(F, G)$, met [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) ruimten. Bewijs:

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**Oplossing van Oefening 20.4.**

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$: de [rang](#def-b1-linmaps-rank) is $\leq \operatorname{rk} v$. En $v$ beperkt tot $\operatorname{im} u$ heeft als [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(vu)$, waarop de dimensiestelling binnen $\operatorname{im} u$ geeft: $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$.

**Oefening 20.5 ★★.**

Zij $u$ een endomorfisme van $E$ ([eindigdimensionaal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def)) met $u^2 =
0$. Bewijs dat $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$, en dus $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$. Geef voor $E = \R^2$ een voorbeeld met gelijkheid.

**Oplossing van Oefening 20.5.**

$u^2 = 0$ betekent $u(u(x)) = 0$ voor alle $x$: elke $u(x)$ ligt in $\ker u$, dat wil zeggen $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$. Dan geeft de dimensiestelling

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

Voorbeeld met gelijkheid in $\R^2$: $u(x, y) = (y, 0)$: $u^2 = 0$, $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$.

**Oefening 20.6 ★★.**

Zij $p, q$ [projecties](#def-b1-linmaps-projection) van $E$ met $p \circ q = q \circ p$. Bewijs dat $p \circ q$ een [projectie](#def-b1-linmaps-projection) is, met

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**Oplossing van Oefening 20.6.**

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (commutatie): een [projectie](#def-b1-linmaps-projection) ([Stelling 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

[Beeld](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$, en $=
\operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$: bevat in de doorsnede. Omgekeerd, is $x \in \operatorname{im} p \cap
\operatorname{im} q$, dan is $p(x) = x$ en $q(x) = x$ (de vaste punten karakteriseren het [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) van een [projectie](#def-b1-linmaps-projection)), dus $pq(x) =
x$: $x \in \operatorname{im}(pq)$.

[Kern](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ en evenzo $\ker q
\subseteq \ker(pq)$: de som is erin bevat. Omgekeerd, zij $pq(x) =
0$, en schrijf

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

de eerste term voldoet aan $p(q(x)) = 0$ en ligt dus in $\ker p$; de tweede ligt in $\ker q$ omdat $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$. Bijgevolg $x \in \ker p + \ker q$.

**Oefening 20.7 ★★.**

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $E$ [eindigdimensionaal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def). Bewijs de equivalentie van:

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**Oplossing van Oefening 20.7.**

Merk eerst de algemene insluitingen $\ker u \subseteq \ker u^2$ en $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ op, en dat volgens de dimensiestelling (2) $\iff$ (3) (gelijke [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) $\iff$ gelijke [rangen](#def-b1-linmaps-rank) $\iff$ gelijke [beelden](#def-b1-linmaps-kerim), gegeven de insluitingen).

(1 $\Rightarrow$ 2): zij $u^2(x) = 0$; dan is $u(x) \in \ker u \cap
\operatorname{im} u = \{0\}$, dus $x \in \ker u$.

(2 $\Rightarrow$ 1): volgens Grassmann en de dimensiestelling is $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk}
u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u
\cap \operatorname{im} u)$: de som is $E$ dan en slechts dan als de doorsnede $\{0\}$ is. Zij $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$: $y = u(x)$ en $u(y) = 0$, dus $u^2(x) = 0$, dus (wegens (2)) $u(x) =
0$: $y = 0$. Bijgevolg $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$.

**Oefening 20.8 ★★.**

Zij $\varphi, \psi$ [lineaire vormen](#def-b1-linmaps-forms) op $E$ met $\ker\varphi
\subseteq \ker\psi$. Bewijs dat $\psi = \lambda\varphi$ voor een zekere $\lambda \in K$ (met inbegrip van de ontaarde gevallen).

**Oplossing van Oefening 20.8.**

Is $\varphi = 0$, dan dwingt $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ af dat $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$. Is $\varphi \neq 0$, dan is $\ker\varphi$ een [hypervlak](#def-b1-linmaps-forms); kies $a \notin \ker\varphi$. Stel $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$. De vorm $\psi -
\lambda\varphi$ wordt nul op $\ker\varphi$ (beide worden dat, wegens de insluiting) en in $a$: zij wordt nul op $\ker\varphi \oplus Ka =
E$. Dus $\psi = \lambda\varphi$.

**Oefening 20.9 ★★★.**

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met $\dim E = n$, en stel $u^n = 0$ maar $u^{n-1} \neq 0$ (een *maximaal nilpotent* endomorfisme). Kies $x$ met $u^{n-1}(x) \neq 0$; bewijs dat $\bigl(x, u(x), \dots,
u^{n-1}(x)\bigr)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$ is. *(Pas machten van $u$ toe op een nulcombinatie, te beginnen met $u^{n-1}$.)*

**Oplossing van Oefening 20.9.**

Stel $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1}
u^{n-1}(x) = 0$. Pas $u^{n-1}$ toe: alle termen met een factor $u^{\geq n}$ sterven, zodat $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ overblijft, dus $\lambda_0 = 0$. Pas $u^{n-2}$ toe op de overgebleven betrekking: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$, dus $\lambda_1 = 0$; enzovoort. De familie is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free); met $n = \dim E$ elementen is zij een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) ([Propositie 19.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#prop-b1-findim-twoofthree)). (In die [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) werkt $u$ als een verschuiving — het model van de maximale nilpotentie.)

**Oefening 20.10 ★★★.**

Zij $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ met $f \circ f = -\mathrm{id}$.

1. Bewijs dat $f$ een isomorfisme is en dat geen enkele $x  \neq 0$ voldoet aan $f(x) = \lambda x$ met $\lambda \in  \R$ .
2. Bewijs dat $n$ even is. *Aanwijzing: kies $x_1 \neq  0$; toon aan dat $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ een vlak is dat onder $f$ stabiel is; kies $x_2$ daarbuiten en herhaal, waarbij je bewijst dat $\bigl(x_1, f(x_1), x_2,  f(x_2), \dots\bigr)$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) blijft.*

**Oplossing van Oefening 20.10.**

1. $f \circ f = -\mathrm{id}$ is [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) , dus $f$ ook ( [Propositie 1.26](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#prop-b1-logic-comp) , aangepast: $f$ heeft de tweezijdige inverse $-f$ ). Is $f(x) = \lambda x$ met $x  \neq 0$ , dan geeft toepassing van $f$ dat $-x = \lambda^2  x$ , dus $\lambda^2 = -1$ : onmogelijk in $\R$ .
2. Bouw de familie gulzig op. Neem $x_1 \neq 0$: $(x_1,  f(x_1))$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) volgens (1). Is het [opspansel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-span) van de huidige familie $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k,  f(x_k)\bigr)$, noem het $V_k$ — een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) die onder $f$ stabiel is (elke voortbrenger wordt op een andere voortbrenger of diens tegengestelde afgebeeld: $f(f(x_i)) =  -x_i$) — niet heel $E$, kies dan $x_{k+1} \notin V_k$. *Bewering: de vergrote familie is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free).* Stel $\alpha  x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ met $v \in V_k$ en $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. Pas $f$ toe: $\alpha  f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ met $f(v) \in V_k$. Elimineer $f(x_{k+1})$ tussen beide betrekkingen (vermenigvuldig de eerste met $\alpha$, de tweede met $-\beta$, en tel op): $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ en $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ dwingt $x_{k+1} \in V_k$ af: tegenspraak. De constructie gaat dus door en voegt telkens *twee* vectoren toe, totdat $V_k = E$: de uiteindelijke familie is een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van even omvang, en $n$ is even.

**Oefening 20.11 ★★.**

Zij $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, met [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) ruimten. Bewijs de tweezijdige grens

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*(Vergelijk voor de [bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) $\operatorname{im}(u+v)$ met $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$; pas voor de ondergrens de [bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) listig toe.)*

**Oplossing van Oefening 20.11.**

[Bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds): voor elke $x$ is $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in
\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$, dus

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(Grassmann, [Stelling 19.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-grassmann)). Ondergrens: pas de [bovengrens](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/10-reele-getallen#def-b1-reals-bounds) toe op het paar $(u + v, -v)$, waarvan de som $u$ is:

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

dus $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq
\operatorname{rk}(u+v)$; verwisseling van $u$ en $v$ geeft de absolute waarde.

**Oefening 20.12 ★★★.**

(Ongelijkheid van Frobenius) Zij $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in
\mathcal{L}(F, G)$ en $v \in \mathcal{L}(G, H)$, met alle ruimten [eindigdimensionaal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def). Bewijs de exacte formule

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

en leid de ongelijkheid van Frobenius af:

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

Ga na dat het geval $w = \mathrm{id}_F$ de ongelijkheid van Sylvester is, die in matrixvorm wordt bewezen in [Oefening 21.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

**Oplossing van Oefening 20.12.**

*Exacte formule.* Zij $v'$ de beperking van $v$ tot de [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$. Haar [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) is $v(w(F)) =
\operatorname{im}(v \circ w)$, en haar [kern](#def-b1-linmaps-kerim) is $\ker v \cap
\operatorname{im} w$. De dimensiestelling voor $v'$ op de ruimte $\operatorname{im} w$ geeft

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*Frobenius.* Pas de exacte formule twee keer toe, op $w$ en op $w \circ u$:

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

Omdat $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$, is de tweede doorsnede in de eerste bevat en is haar dimensie niet groter:

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

wat zich herschikt tot de ongelijkheid van Frobenius. Met $w =
\mathrm{id}_F$ ([rang](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, en $\operatorname{im}\,
\mathrm{id}_F = F$): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u
\leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$, de ongelijkheid van Sylvester — opnieuw bewezen, in matrixvorm, in [Oefening 21.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

## 20.6 Opgave: rekenen met projectoren en het lemma van Fitting

**Probleem 20.1.**

[Projecties](#def-b1-linmaps-projection) zijn de endomorfismen die directe sommen voortbrengen, en omgekeerd: elke identiteit $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ is heimelijk een familie projectoren die tot de identiteit sommeert. Deze opgave ontwikkelt dat woordenboek — de algebra van één projector, van twee, van $k$ — en past daarna dezelfde ideeën over stabilisatie toe op een willekeurig endomorfisme, met als resultaat het *lemma van Fitting*: elk endomorfisme van een [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) ruimte splitst in een nilpotent deel en een inverteerbaar deel. Overal is $E$ een $K$-vectorruimte van dimensie $n$, en betekent *projector* een $p \in
\mathcal{L}(E)$ met $p^2 = p$ ([Stelling 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

**Deel I — De algebra rond één projector.** Zij $p$ een projector met $p \neq 0$ en $p \neq \mathrm{id}$.

1. Toon aan dat $\mathrm{id} - p$ een projector is en identificeer $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ en $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
2. Bereken $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ en bepaal alle paren $(\lambda, \mu) \in K^2$ waarvoor $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ een projector is.
3. Toon aan dat het vlak $\operatorname{Vect}(\mathrm{id},  p)$ van $\mathcal{L}(E)$ stabiel is onder samenstelling, en dat voor elke [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $Q \in K[X]$ $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. Bepaal voor welke $(\lambda, \mu)$ de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ inverteerbaar is, en geef haar inverse in de vorm $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interpreteer het antwoord via de werking van $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ op $\operatorname{im} p$ en op $\ker p$ .
5. Zij $p'$ een andere projector met *hetzelfde [beeld](#def-b1-linmaps-kerim)* $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Toon aan dat $p\,p' = p'$ en $p'\,p = p$ . Wat zeggen deze identiteiten over het samenstellen van [projecties](#def-b1-linmaps-projection) op dezelfde [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) langs verschillende [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) ?

**Deel II — Twee projectoren.** Zij $p, q$ projectoren van $E$; neem aan dat de karakteristiek niet $2$ is (waar voor $K = \R, \C$).

6. Stel dat $p + q$ een projector is. Toon door $(p + q)^2$ uit te werken aan dat $pq + qp = 0$ ; leid, door links en daarna rechts met $p$ samen te stellen, af dat $pq = qp$ , en besluit dat $pq = qp = 0$ .
7. Stel omgekeerd dat $pq = qp = 0$. Toon aan dat $p + q$ een projector is, met $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. Toon aan dat $p - q$ een projector is dan en slechts dan als $pq = qp = q$ . *(Pas de vragen 6–7 toe op $\mathrm{id} - p$ en $q$.)*
9. Toon de meetkundige betekenis van $pq = qp = q$ : die geldt dan en slechts dan als $\operatorname{im} q \subseteq  \operatorname{im} p$ en $\ker p \subseteq \ker q$ . (Men schrijft dan $q \leq p$ : “ $q$ projecteert op minder, langs meer”.)
10. Zij nu $p, q$ commuterend. Herinner uit [Oefening 20.6](#exo-b1-linmaps-6) dat $pq$ de projector is op $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ langs $\ker  p + \ker q$. Toon aan dat $r = p + q - pq$ een projector is met $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *(Beschouw $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} -  p)(\mathrm{id} - q)$.)*

**Deel III — Ontbindingen van de identiteit.**

11. Zij $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ en stel, voor $x =  x_1 + \dots + x_k$ (eenduidige ontbinding, $x_i \in F_i$ ), $p_i(x) = x_i$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is, dat $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ , en dat $p_1 + \dots +  p_k = \mathrm{id}$ ; identificeer $\operatorname{im} p_i$ en $\ker p_i$ .
12. Zij omgekeerd $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ met $p_1  + \dots + p_k = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$ voor alle $i  \neq j$ . Toon aan dat elke $p_i$ een projector is en dat $E  = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus  \operatorname{im} p_k$ .
13. Twee projectoren met $p + q = \mathrm{id}$ : toon aan dat $pq = qp = 0$ automatisch geldt.
14. Drie projectoren met $p + q + r = \mathrm{id}$ : toon aan dat $p + q$ een projector is, en leid met vraag 6 af dat *alle* paarsgewijze producten nul zijn — en dus $E =  \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus  \operatorname{im} r$ , zonder enige hypothese over de producten.
15. Voor $k$ projectoren met $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : toon eerst aan dat voor willekeurige [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) $\dim (F_1  + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , met gelijkheid dan en slechts dan als de som direct is; toon daarna aan dat $E = \operatorname{im} p_1 + \dots +  \operatorname{im} p_k$ , en bewijs dat *als* bovendien $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , de som direct is en $p_i p_j = 0$ voor $i \neq j$ .

**Deel IV — Herhaalde [kernen](#def-b1-linmaps-kerim): het lemma van Fitting.** Zij $u \in \mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$.

16. Toon de twee ketens aan, geldig voor elke $k \geq 0$: $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. Toon aan dat als $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ voor zekere $r$ , dan $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ voor alle $k \geq r$ ; formuleer en bewijs de overeenkomstige stabilisatie voor de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) .
18. Leid af dat er een kleinste geheel getal $r$ is met $\ker  u^{r} = \ker u^{r+1}$ , dat $r \leq n$ , en dat de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) bij dezelfde $r$ stabiliseren.
19. (Lemma van Fitting) Bewijs dat $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. Toon aan dat beide [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) stabiel zijn onder $u$ , dat de beperking van $u$ tot $\ker u^{r}$ nilpotent is, en dat de beperking van $u$ tot $\operatorname{im} u^{r}$ een isomorfisme van $\operatorname{im} u^{r}$ is: elk endomorfisme is, op een canonieke [directe som](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) , “nilpotent plus inverteerbaar”.
21. Zij $\pi$ de projector op $\ker u^{r}$ langs $\operatorname{im} u^{r}$ . Toon aan dat $\pi \circ u = u  \circ \pi$ .

**Deel V — Een uitgewerkt geval, en synthese.**

22. Zij $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ op $\R^3$ . Bereken $u^2$ en $u^3$ , bepaal de stabilisatie-index $r$ , de [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) $\ker u^{r}$ en $\operatorname{im} u^{r}$ , de Fitting-projector $\pi$ , en ga aan de formules na dat $\pi  u = u\pi$ en dat $u$ nilpotent is op de ene factor en [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) op de andere.
23. Toon de equivalenties aan: $u$ nilpotent $\iff$ $\ker  u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; en leid af dat een nilpotent endomorfisme van een $n$ -dimensionale ruimte altijd voldoet aan $u^{n} = 0$ (de nilpotentie-index overtreft de dimensie nooit).
24. (Eenduidigheid) Stel $E = A \oplus B$ met $A, B$ stabiel onder $u$ , met $u|_A$ nilpotent en $u|_B$ [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) . Bewijs dat $A = \ker u^{r}$ en $B = \operatorname{im} u^{r}$ : de ontbinding van Fitting is eenduidig.
25. Synthese, in vier zinnen: welk woordenboek deel III legt tussen directe sommen en families projectoren; waarom vraag 14 geen hypothesen over producten nodig had terwijl vraag 15 een hypothese over de [rang](#def-b1-linmaps-rank) nodig had (en welk gereedschap van bachelorjaar 2, het spoor, die verwijdert); in welke zin het lemma van Fitting de gestabiliseerde versie van [Oefening 20.7](#exo-b1-linmaps-7) is; en wat de twee factoren van Fitting worden in de theorie van de eigenwaarden van het volume van bachelorjaar 2. Benoem de stelling die in deel IV is bewezen.

**Oplossing van Probleem 20.1.**

**1.** $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 =
\mathrm{id} - p$: een projector. Is $y = x - p(x)$, dan is $p(y) =
p(x) - p^2(x) = 0$, en omgekeerd geeft $x \in \ker p$ dat $x =
(\mathrm{id} - p)(x)$: $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker
p$. En $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in
\operatorname{im} p$ (vaste punten, [Stelling 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)): $\ker(\mathrm{id} - p) =
\operatorname{im} p$.

**2.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 =
\lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$. Het paar $(\mathrm{id}, p)$ is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) in $\mathcal{L}(E)$: uit $p = c\,
\mathrm{id}$ zou $c^2 = c$ volgen, dus $p = 0$ of $\mathrm{id}$, wat is uitgesloten. Door de coëfficiënten te identificeren is de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) een projector dan en slechts dan als $\lambda^2 =
\lambda$ en $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$. Voor $\lambda = 0$: $\mu
\in \{0, 1\}$. Voor $\lambda = 1$: $\mu^2 + \mu = 0$, dus $\mu \in
\{0, -1\}$. Precies vier projectoren in het vlak: $0$, $p$, $\mathrm{id}$, $\mathrm{id} - p$.

**3.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id}
+ \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' +
\mu\lambda' + \mu\mu')\,p$: het vlak is stabiel onder samenstelling. Omdat $p^k = p$ voor elke $k \geq 1$, is voor $Q =
\sum_k a_k X^k$

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** Op $\operatorname{im} p$ (waar $p$ als de identiteit werkt) vermenigvuldigt $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ met $\lambda
+ \mu$; op $\ker p$ met $\lambda$. Omdat $E = \operatorname{im} p
\oplus \ker p$, is de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) dan en slechts dan als $\lambda \neq 0$ en $\lambda + \mu \neq 0$. Oplossen van $\lambda\alpha = 1$ en $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ in de samenstellingsregel van vraag 3 geeft

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

waarvan de werking $1/\lambda$ is op $\ker p$ en $1/(\lambda +
\mu)$ op $\operatorname{im} p$, zoals het moet.

**5.** Schrijf $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im}
p'$. Voor elke $x$ is $p'(x) \in F$ en houdt $p$ de ruimte $F$ puntsgewijs vast: $p(p'(x)) = p'(x)$, dus $p\,p' = p'$; symmetrisch $p'\,p = p$. Delen twee [projecties](#def-b1-linmaps-projection) hun [beeld](#def-b1-linmaps-kerim), dan beslist degene die *eerst* wordt toegepast: haar uitvoer ligt al in $F$, waar de buitenste [projectie](#def-b1-linmaps-projection) als de identiteit werkt en niets verandert.

**6.** $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$, dus dwingt “$p + q$ is een projector” af dat $pq + qp = 0$. Stel links met $p$ samen: $pq + pqp = 0$; rechts met $p$: $pqp + qp =
0$. Aftrekken geeft $pq = qp$; dan is $pq + qp = 2pq = 0$ en is de karakteristiek niet $2$: $pq = qp = 0$.

**7.** Met $pq = qp = 0$ geeft dezelfde uitwerking $(p + q)^2
= p + q$. [Beeld](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(p + q) \subseteq
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ geldt altijd. Omgekeerd is voor $x \in \operatorname{im} p$: $q(x) = q(p(x)) = 0$, dus $(p
+ q)(x) = p(x) = x$ en $x \in \operatorname{im}(p+q)$; net zo voor $\operatorname{im} q$. Directheid: $x \in \operatorname{im} p \cap
\operatorname{im} q$ geeft $x = p(x) = p(q(x)) = 0$. [Kern](#def-b1-linmaps-kerim): is $p(x)
+ q(x) = 0$, dan geeft toepassing van $p$ dat $p(x) + p(q(x)) =
p(x) = 0$, en toepassing van $q$ dat $q(x) = 0$: $\ker(p + q) =
\ker p \cap \ker q$ (de omgekeerde insluiting is duidelijk).

**8.** $p - q$ is een projector dan en slechts dan als $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ er een is (twee keer vraag 1). Volgens de vragen 6–7, toegepast op de projectoren $\mathrm{id} - p$ en $q$, geldt dit dan en slechts dan als $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, dat wil zeggen dan en slechts dan als $pq = q$ en $qp = q$.

**9.** $pq = q$ betekent dat $p$ elke $q(x)$ vasthoudt, dat wil zeggen $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p$. En $qp = q$ betekent dat $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ voor alle $x$, dat wil zeggen dat $q$ nul wordt op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) =
\ker p$: $\ker p \subseteq \ker q$. Beide stappen zijn equivalenties: de ordening $q \leq p$ zegt dat $q$ op een kleiner [beeld](#def-b1-linmaps-kerim) projecteert, langs een grotere [kern](#def-b1-linmaps-kerim).

**10.** Uitwerken geeft $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) =
\mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$. De projectoren $\mathrm{id} - p$ en $\mathrm{id} - q$ commuteren, dus is hun product $\mathrm{id} - r$ volgens [Oefening 20.6](#exo-b1-linmaps-6) de projector op $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap
\operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ langs $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im}
p + \operatorname{im} q$. Volgens vraag 1 is $r = \mathrm{id} -
(\mathrm{id} - r)$ dan de projector met $\operatorname{im} r =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ en $\ker r = \ker p \cap
\ker q$.

**11.** $p_i$ is welgedefinieerd (eenduidigheid van de ontbinding) en [lineair](#def-b1-linmaps-def) (de ontbinding van $x + \lambda y$ is de som van de ontbindingen, opnieuw wegens de eenduidigheid). Voor $x_i
\in F_i$ is de ontbinding $x_i$ zelf, dus $p_i(x_i) = x_i$: $p_i^2
= p_i$, en $p_j(x_i) = 0$ voor $j \neq i$: $p_i p_j = 0$ (want $p_j(x) \in F_j$). Optelling van de componenten geeft $\sum_i p_i =
\mathrm{id}$. Ten slotte is $\operatorname{im} p_i = F_i$ en $\ker
p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$.

**12.** $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 +
\sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$: elke $p_i$ is een projector. Elke $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ ligt in $\sum_i
\operatorname{im} p_i$: de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) sommeren tot $E$. Directheid: stel $y_1 + \dots + y_k = 0$ met $y_i \in \operatorname{im} p_i$, zodat $p_i(y_i) = y_i$. Pas $p_j$ toe: $p_j(y_i) = p_j p_i (y_i) =
0$ voor $i \neq j$, dus $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$, voor elke $j$. Bijgevolg $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$.

**13.** $q = \mathrm{id} - p$, en vraag 1 geeft rechtstreeks $pq = p - p^2 = 0 = qp$: voor twee projectoren dwingt het sommeren tot de identiteit de orthogonaliteit van het paar al af.

**14.** $p + q = \mathrm{id} - r$ met $r$ een projector, en $(\mathrm{id} - r)$ is een projector (vraag 1): dus is $p + q$ een projector, en geeft vraag 6 dat $pq = qp = 0$. Uit symmetrie ($q +
r = \mathrm{id} - p$ en $p + r = \mathrm{id} - q$) worden alle paarsgewijze producten nul, en besluit vraag 12: $E =
\operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus
\operatorname{im} r$, automatisch.

**15.** *Lemma.* Met inductie en Grassmann ([Stelling 19.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-grassmann)):

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

Is het totaal een gelijkheid, dan is elke stap dat: $(F_1 + \dots +
F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ voor elke $j$, en een betrekking $y_1 +
\dots + y_k = 0$ ($y_i \in F_i$) stort van rechts in: $y_k \in (F_1
+ \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$, dan $y_{k-1} = 0$, enzovoort: de som is direct. Omgekeerd heeft een [directe som](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) optelbare dimensies (schakel de [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) aaneen). *Toepassing:* $x = \sum_i p_i(x)$ toont $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, dus $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$; de hypothese geeft gelijkheid, en dus directheid. Producten: leg $j$ vast en zij $y
\in \operatorname{im} p_j$. Dan is $y = \sum_i p_i(y)$ met $p_i(y)
\in \operatorname{im} p_i$, terwijl $y = y$ ook een ontbinding is (component $j$ alleen); de eenduidigheid dwingt $p_i(y) = 0$ af voor $i \neq j$. Toegepast op $y = p_j(x)$: $p_i p_j = 0$.

**16.** Is $u^k(x) = 0$, dan is $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$. En $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) =
\operatorname{im} u^k$.

**17.** Neem aan dat $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ en zij $x \in
\ker u^{r+2}$: dan is $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, dus $u^{r+1}(x) = 0$: $x \in \ker u^{r+1}$. Met vraag 16 volgt $\ker
u^{r+1} = \ker u^{r+2}$, en met inductie vallen alle latere [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) samen met $\ker u^{r}$. Voor de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim): de dimensiestelling geeft $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$, dus bevriezen de dimensies van de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) precies wanneer die van de [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) dat doen, en met de insluitingen van vraag 16 betekenen gelijke dimensies gelijke [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) ([Stelling 19.14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#thm-b1-findim-subspaces)).

**18.** De rij $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ is stijgend met waarden in $\intint{0}{n}$; zij kan niet $n + 1$ keer strikt stijgen, dus is voor zekere $r \leq n$ $\dim\ker u^{r} = \dim\ker
u^{r+1}$, en dus $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (insluiting plus gelijke dimensie). Neem $r$ minimaal; vraag 17 bevriest alles vanaf $r$, de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) inbegrepen.

**19.** Doorsnede: zij $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im}
u^{r}$, zeg $x = u^{r}(y)$ met $u^{r}(x) = 0$. Dan is $u^{2r}(y) =
0$, en $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (vraag 17), dus $x = u^{r}(y) =
0$. Dimensies: de dimensiestelling voor $u^{r}$ geeft $\dim\ker
u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$; met de triviale doorsnede maakt Grassmann de som tot een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $n$: $E =
\ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$.

**20.** Stabiliteit: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ voor $x
\in \ker u^{r}$; en $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in
\operatorname{im} u^{r}$. Op $N = \ker u^{r}$ is $(u|_N)^{r} = 0$ per definitie van $N$: nilpotent. Op $I = \operatorname{im} u^{r}$ is $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I =
\{0\}$, dus is $u|_I$ een [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) endomorfisme van het [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) $I$, en bijgevolg [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) ([Gevolg 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

**21.** Zij $x = a + b$ met $a \in N$ en $b \in I$. Dan is $u(x) = u(a) + u(b)$ met $u(a) \in N$ en $u(b) \in I$ (vraag 20): dat *is* de ontbinding van $u(x)$, dus $\pi(u(x)) = u(a) =
u(\pi(x))$: $\pi u = u\pi$.

**22.** $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ en $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$. [Kernen](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker u =
\{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z = 0\} =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$: stabilisatie bij $r = 2$. [Beelden](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im} u^2 =
\operatorname{Vect}(e_3)$. Fitting: $\R^3 =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$, en $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$. Controle: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z)
= (y, 0, 0)$ en $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$: gelijk. Op de eerste factor is $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, waarvan het kwadraat $0$ is: nilpotent; op de tweede is $u(0,0,z) = (0,0,z)$: de identiteit, [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj).

**23.** Is $u^m = 0$, dan is $\ker u^m = E$; omdat de [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) vanaf $r$ bevroren zijn, is $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$. Omgekeerd betekent $\ker u^{r} = E$ dat $u^{r} = 0$. En $\ker u^{r}
= E \iff$ de Fitting-projector projecteert op $E$ langs $\{0\}$, dat wil zeggen $\pi = \mathrm{id}$. Ten slotte geeft $r \leq n$ (vraag 18): elk nilpotent endomorfisme voldoet aan $u^{n} = 0$ — de nilpotentie-index overtreft de dimensie nooit.

**24.** Zij $m$ een nilpotentie-index van $u|_A$: $A \subseteq
\ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$. Omdat $u|_B$ [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is, is $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im}
u^{k}$ voor elke $k$, in het bijzonder $B \subseteq
\operatorname{im} u^{r}$. Dan is

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

beide insluitingen zijn gelijkheden van dimensies, en dus van [deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace): $A = \ker u^{r}$ en $B = \operatorname{im} u^{r}$.

**25.** (i) Deel III is een woordenboek: splitsingen $E = F_1
\oplus \dots \oplus F_k$ corresponderen precies met families projectoren met $\sum p_i = \mathrm{id}$ en $p_i p_j = 0$, waarbij de $F_i$ de [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) zijn. (ii) Voor $k = 3$ zijn de complementen $\mathrm{id} - p_i$ zelf projectoren, wat het argument zonder extra hypothese sloot; voor algemene $k$ heeft men $\sum_i
\operatorname{rk} p_i \leq n$ nodig, een ongelijkheid die het spoor uit bachelorjaar 2 gratis levert ($\operatorname{tr} p =
\operatorname{rk} p$ voor een projector, en sporen tellen op tot $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$). (iii) [Oefening 20.7](#exo-b1-linmaps-7) is het lemma van Fitting in het reeds gestabiliseerde geval $r \leq 1$; in het algemeen laat men de ketens van [kernen](#def-b1-linmaps-kerim) en [beelden](#def-b1-linmaps-kerim) bevriezen, wat hoogstens $n$ stappen kost. (iv) In het volume van bachelorjaar 2 wordt, toegepast op $u
- \lambda\,\mathrm{id}$, de nilpotente factor de veralgemeende eigenruimte bij $\lambda$, en worden de projectoren van deel III de spectrale projectoren van de reductietheorie. De stelling van deel IV is het *lemma van Fitting*.