---
title: "Matrices"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices
---

# Hoofdstuk 21 — Matrices

Een matrix is een [lineaire afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def), opgeschreven in [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates). Dit hoofdstuk zet het woordenboek op — samenstelling wordt matrixproduct, bijectiviteit wordt inverteerbaarheid, [basisverandering](#def-b1-matrices-changeofbasis) wordt conjugatie — en de algoritmische kant: [rij-operaties](#met-b1-matrices-gauss), berekening van rangen en inversen. Matrices, voor het eerst ontmoet in het bovenbouwvolume, worden nu gefundeerd in de theorie van Hoofdstukken [18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim) en [20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps).

## 21.1 Matrices en lineaire afbeeldingen

**Definitie 21.1.**

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ is de [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) van de $n \times p$ tabellen $A = (a_{ij})$ scalairen ($i$: rij, $j$: kolom), van dimensie $np$ ([basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free): de matrices $E_{ij}$ met één enkele $1$). Gegeven [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ van $E$ en $\mathcal{C}$ van $F$ ($\dim F = n$), is de *matrix van $u \in
\mathcal{L}(E, F)$* de tabel waarvan de $j$-de kolom de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) van $u(e_j)$ in $\mathcal{C}$ opsomt:

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

De [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $u \mapsto
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ is een isomorfisme van $\mathcal{L}(E, F)$ op $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ ([Propositie 20.2](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#prop-b1-linmaps-basis): een [lineaire afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) is precies een keuze van [beelden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) van de $e_j$).

**Voorbeeld 21.2 (De afgeleide, als matrix).**

Zij $D(P) = P'$ op $\R_3[X]$. In de monomiale [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2,
X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, dus

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

In de *gedeelde* [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\
\frac{X^3}6\bigr)$ wordt elke basisvector op de vorige afgebeeld ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), en wordt de matrix de zuivere verschuiving: enen op de superdiagonaal, nullen elders. Twee moralen: de matrix hoort bij het *paar* ([afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map), [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)), niet bij de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) alleen; en een goede [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) maakt structuur in één oogopslag zichtbaar — de verschuivingsvorm toont ogenblikkelijk dat $D^4 = 0$ op $\R_3[X]$, waarbij elke macht van de matrix haar diagonaal enen één stap verder naar buiten duwt.

**Definitie 21.3 (Product).**

Voor $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ en $B \in \mathcal{M}_{p,q}$:

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

Dit is precies de matrix van de samenstelling: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (met in het midden overeenstemmende [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)). Evenzo is, als $X$ de kolom [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) van $x$ is, de kolom van $u(x)$ gelijk aan $AX$.

**Bewijs van de formule voor de samenstelling.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**Propositie 21.4 (De algebra Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

De vierkante matrices $\mathcal{M}_n(K)$ vormen een (voor $n \geq
2$ niet-commutatieve) [ring](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-ring), met eenheidselement $I_n$; haar [groep](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-group) van eenheden is de *algemene lineaire groep* $GL_n(K)$, die overeenkomt met de [bijectieve](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) endomorfismen. Voor $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ geldt

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ en } B = A^{-1}
$$

(eenzijdige inversen zijn tweezijdig, volgens [Gevolg 20.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#cor-b1-linmaps-samedim)).

**Bewijs.** De ringaxioma’s reizen mee vanuit $\mathcal{L}(E)$ langs het isomorfisme van [Definitie 21.1](#def-b1-matrices-def): dat zet samenstelling om in product en som in som, zodat de associativiteit, de distributiviteit en de rol van $I_n$ worden geërfd van de overeenkomstige feiten over [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map), zonder enige verificatie per ingang. Niet-commutativiteit: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22}
= E_{21}E_{12}$. Is $AB = I_n$, dan voldoet het endomorfisme $a$ van $A$ aan $a \circ b = \mathrm{id}$, zodat $a$ [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is ($x =
a(b(x))$ toont een [origineel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van elke $x$), en dus [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) in [eindige dimensie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) ([Gevolg 20.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#cor-b1-linmaps-samedim)); links met $a^{-1}$ samenstellen van $a \circ b = \mathrm{id}$ geeft $b = a^{-1}$, en dan ook $b\circ a = \mathrm{id}$: de eenzijdige inverse was al die tijd tweezijdig — een strikt [eindigdimensionale](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#def-b1-findim-def) gunst. ∎

**Definitie 21.5 (Getransponeerde; spoor).**

De *getransponeerde* van $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ is $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$; zij voldoet aan $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ en $(A^{\mathsf
T})^{\mathsf T} = A$. Het *spoor* van een vierkante matrix is $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$; het is [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def), en

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**Bewijs van de identiteit voor het spoor.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ en $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: dezelfde dubbele som. ∎

**Voorbeeld 21.6 (Het spoor aan het werk).**

De [projectie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) uit [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) op $\operatorname{Vect}(1,1)$ langs $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x,
y) = (x, x)$, heeft in de canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) de matrix $A =
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$: inderdaad is $A^2 =
A$, en

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

wat [Oefening 21.8](#exo-b1-matrices-8) illustreert: voor idempotenten *telt* het [spoor](#def-b1-matrices-transpose) de dimensie van het [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim), in welke scheve [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) de matrix ook is geschreven. Het mechanisme van de invariantie is de identiteit $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$:

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

zodat alle matrices die gelijkvormig zijn met $A$ haar [spoor](#def-b1-matrices-transpose) delen — de eerste *numerieke invariant* van een endomorfisme, waar in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) de determinant zich bij zal voegen (het paar $(s, p)$ van de weekendopgave hieronder).

**Voorbeeld 21.7 (Symmetrisch plus antisymmetrisch).**

Noem $A$ *symmetrisch* wanneer $A^{\mathsf T} = A$, en *antisymmetrisch* wanneer $A^{\mathsf T} = -A$. Elke vierkante matrix splitst zich eenduidig als de ene plus de andere:

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{symmetrisch}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisymmetrisch}},
$$

en een matrix die beide is, is nul ($A = -A$): de twee [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) zijn [complementaire deelruimten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) van $\mathcal{M}_n(K)$ — het exacte analogon van de splitsing in even en oneven functies ([Voorbeeld 18.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ex-b1-vspaces-evenodd)), waarbij het transponeren de rol van $x \mapsto -x$ speelt. Dimensies: een symmetrische matrix is [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) op en boven de diagonaal, een antisymmetrische strikt erboven (met nuldiagonaal):

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

en dat de telling klopt, is de bevestiging van de directheid door Grassmann. Voor $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 &
2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Symmetrische matrices keren terug als de gegevens van de tweede [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) in [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) (het drietal $r, s, t$ van Monge), en de symmetrisch-orthogonale worden in [Oefening 23.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#exo-b1-euclid-12) geclassificeerd.

## 21.2 Basisverandering

**Definitie 21.8.**

Zij $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$. De matrix van *basisverandering* $P =
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ heeft als kolommen de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) van de *nieuwe* basisvectoren in de *oude* [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). Zij is inverteerbaar, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, en de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) transformeren volgens $X = PX'$ (oud $=$ $P\,\cdot$ nieuw).

**Voorbeeld 21.9 (De matrix van basisverandering lezen).**

In $\R^2$, van de canonieke $\mathcal B$ naar $\mathcal B' =
\bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(de nieuwe vectoren geschreven in oude [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates), kolom voor kolom). De vector met oude [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ heeft nieuwe [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 -
1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$: inderdaad is $2(1,1) +
1(1,-1) = (3,1)$. Let op de richting — de matrix $P$ wordt uit de *nieuwe* [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) gebouwd maar zet *nieuw om in oud* ($X =
PX'$); van oud naar nieuw gaan kost de inverse. De controle $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ opschrijven na elke omzetting vangt de fout met de omgekeerde $P$ op, die de meest voorkomende fout van het hoofdstuk is.

**Stelling 21.10 (Basisverandering voor een afbeelding).**

Zij $u \in \mathcal{L}(E)$ met matrix $A$ in $\mathcal{B}$ en $A'$ in $\mathcal{B}'$, en $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Dan is

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

Twee matrices die zo verwant zijn, heten *gelijkvormig*. (Voor $u \colon E
\to F$ met twee paren [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) luidt de formule $A' = Q^{-1} A P$ — *equivalente* matrices.)

**Bewijs.** Voor elke $x$ geldt $X = PX'$ en voldoet het [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) aan $Y = AX$, $Y
= PY'$. Dus $PY' = APX'$, dat wil zeggen $Y' = (P^{-1}AP)X'$ voor alle $X'$: de matrix van $u$ in de nieuwe [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is $P^{-1}AP$ (neem voor $X'$ de canonieke kolommen). ∎

**Voorbeeld 21.11 (Een goede basis maakt een afbeelding doorzichtig).**

Zij $u(x, y) = (y, x)$ (verwisseling), met matrix $A =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ in de canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). In de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

Er was eigenlijk geen matrixproduct nodig: $u$ houdt $(1,1)$ vast en keert $(1,-1)$ om, dus *moet* haar matrix in $\mathcal B'$ gelijk zijn aan $\operatorname{diag}(1, -1)$ — de verwisseling is de spiegeling in de rechte $y = x$. Voor een gegeven endomorfisme een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vinden waarin zijn matrix diagonaal wordt, is het centrale probleem van het volume van bachelorjaar 2 (reductietheorie); de weekendopgave hieronder toont hoe ver veeltermidentiteiten alleen al reiken.

**Voorbeeld 21.12 (Basisverandering, achterstevoren gelopen).**

De [projectie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G =
\operatorname{Vect}(1,-1)$ heeft, in de aangepaste [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\mathcal
B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, de doorzichtige matrix $A' =
\operatorname{diag}(1, 0)$. Om haar matrix in de canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) te krijgen, laat men [Stelling 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) achterstevoren lopen, $A = P A' P^{-1}$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

Controle: $A^2 = A$ (idempotent), $\operatorname{tr} A = 1 =
\operatorname{rk} A$, en $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, zoals voorgeschreven. Deze omgekeerde richting — ontwerp de matrix in de goede [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) en conjugeer terug — is hoe matrices van rotaties, spiegelingen en [projecties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) in de praktijk werkelijk worden gemaakt.

**Stelling 21.13 (Normaalvorm van de rang).**

De *rang* van een matrix (de rang van haar kolommen, equivalent die van de bijbehorende [lineaire afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def)) is de enige invariant van de equivalentie: elke $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ van rang $r$ is equivalent met

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

en $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: de rijrang is gelijk aan de kolomrang.

**Bewijs.** Zij $u \colon E \to F$ van rang $r$. Kies een [complementaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-sum) $S$ van $\ker u$ ($\dim S = r$, [Stelling 20.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#thm-b1-linmaps-ranknullity)) met [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$, aangevuld met een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\ker u$ tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E$; de [beelden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) $f_i = u(e_i)$, $i \leq r$, vormen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\operatorname{im} u$ (de beperking is een isomorfisme), aangevuld tot een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $F$. In die [bases](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is de matrix van $u$ precies $J_r$. Dus $A = Q J_r P^{-1}$ met inverteerbare $P, Q$.

Transponeren: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T}
Q^{\mathsf T}$ met $J_r^{\mathsf T}$ van dezelfde gedaante (rang $r$) en met inverteerbare buitenste factoren (de getransponeerde van een inverteerbare is inverteerbaar, uit $(AB)^{\mathsf T} =
B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ toegepast op $AA^{-1} = I$): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 Rij-operaties

**Methode 21.14 (Gauss-eliminatie op matrices).**

De drie *elementaire rij-operaties* — twee rijen verwisselen, een rij met $\lambda \neq 0$ vermenigvuldigen, een veelvoud van een rij bij een andere optellen — veranderen de rang niet (elk is een linkse vermenigvuldiging met een inverteerbare matrix). Algoritme: maak een spil (de meest linkse ingang ongelijk aan nul), veeg haar kolom eronder schoon, en ga naar de volgende rij en kolom; het aantal spillen van de resulterende trapvorm is de rang.

*Berekening van de inverse:* laat het algoritme lopen op het blok $(A \mid I_n)$ tot het linkerblok $I_n$ wordt (mogelijk dan en slechts dan als $A$ inverteerbaar is); het rechterblok is dan $A^{-1}$ — immers, het product van de gebruikte elementaire matrices is gelijk aan $A^{-1}$.

**Voorbeeld 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: reduceer $(A
\mid I_2)$:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(bewerkingen: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$; daarna $L_1 \leftarrow
L_1 + L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). Dus $A^{-1} =
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$. *Controle:* $AA^{-1} = I_2$.

**Voorbeeld 21.16 (Rang met een parameter, alleen met rijen).**

Voor $m \in \R$ de rang van $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 &
m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$. Reduceer: $L_2 \leftarrow L_2 -
L_1$ en $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ geven de rijen

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*Geval $m = 1$*: de laatste twee rijen worden nul — één spil, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (alle drie de oorspronkelijke rijen waren gelijk). *Geval $m \neq 1$*: schaal $L_2$ met $\frac1{m-1}$ en $L_3$ met $\frac1{1-m}$ om $(0, 1, -1)$ en $(0,
1, 1 + m)$ te krijgen, en daarna $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0,
0, m + 2)$. Is $m = -2$: twee spillen, rang $2$; anders drie spillen, rang $3$. Samengevat:

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{anders}.
\end{cases}
$$

Dezelfde drempels zullen uit één determinantberekening in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) rollen (de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ van [Oefening 22.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#exo-b1-det-7)) — maar merk op wat de eliminatie geeft en de determinant niet: de *waarde* van de rang in de ontaarde gevallen, en niet alleen het feit dat zij daalde.

**Voorbeeld 21.17 (Machten berekenen).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ met $N =
E_{12}$ en $N^2 = 0$. Omdat $I$ en $N$ commuteren, breekt het binomium ([Propositie 7.20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#prop-b1-structures-binomial)) af:

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ en } k \in \Z \text{ met } A^{-1} = I -
N).
$$

**Methode 21.18 (AnA^nAn berekenen: de drie wegen).**

1. *Binomiale weg* : is $A = \lambda I + N$ met $N$ nilpotent, dan breekt het binomium af ( [Voorbeeld 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , [Oefening 21.5](#exo-b1-matrices-5) ); het is toepasbaar omdat $\lambda I$ met alles commuteert.
2. *Veeltermweg* : zoek een veeltermidentiteit waaraan $A$ voldoet (in dimensie $2$ altijd $A^2 = sA - pI$ ) en reduceer $X^n$ modulo die identiteit; de weekendopgave hieronder bouwt deze weg volledig op.
3. *Gelijkvormigheidsweg* : zoek een inverteerbare $P$ met $P^{-1}AP = D$ eenvoudig (diagonaal, of een verschuiving), bereken $D^n$ , en draai terug: $A^n = P D^n P^{-1}$ ( [Stelling 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , [Voorbeeld 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ); het systematisch zoeken naar zo’n $P$ is de reductietheorie van bachelorjaar 2.

Welke weg men ook neemt, controleer het resultaat bij $n = 0, 1,
2$: drie goedkope tests die vrijwel elke misstap opvangen.

**Opmerking 21.19 (Veelgemaakte fouten: de prijs van de niet-commutativiteit).**

Elke identiteit uit de scalaire algebra waarvan het bewijs factoren herordent, sterft in $\mathcal{M}_n(K)$ met $n \geq 2$. *Kwadraten*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, en het midden stort alleen in tot $2AB$ als $AB = BA$ ([Oefening 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *Machten van producten*: $(AB)^k$ is $ABAB\cdots$, niet $A^kB^k$. *Nuldelers*: $E_{12}E_{12} = 0$ met $E_{12} \neq 0$; bijgevolg *geen wegstrepen*: $AB = AC$ impliceert $B = C$ alleen wanneer $A$ inverteerbaar is (vermenigvuldig met $A^{-1}$ — aan de juiste kant). *[Sporen](#def-b1-matrices-transpose)*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ geldt altijd, maar $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ in het algemeen (neem $A = B
= I_2$: $2 \neq 4$), en $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (cyclisch) terwijl $\operatorname{tr}(ACB)$ kan verschillen. *Getransponeerden keren om*: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf
T}A^{\mathsf T}$ — de omkering vergeten is de meest voorkomende fout in berekeningen met orthogonaliteit ([Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid)). Bij twijfel: toets elke beweerde identiteit op $E_{12}$ en $E_{21}$; het kleinste niet-commuterende paar weerlegt de meeste valse formules in één regel.

**Opmerking 21.20 (Waar het woordenboek heen gaat).**

Het matrixwoordenboek wordt op elke resterende bladzijde van dit volume gebruikt: [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) hangt aan elke vierkante matrix één getal dat over de inverteerbaarheid beslist, en lost $AX = B$ systematisch op; [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) zondert de matrices af die lengten bewaren (orthogonale matrices); en in [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) is het gedrag van tweede orde van een functie van twee veranderlijken een symmetrische $2 \times 2$ matrix. Het [spoor](#def-b1-matrices-transpose), hierboven bijna terloops ingevoerd, wordt een krachtige invariant: Oefeningen [21.6](#exo-b1-matrices-6) en [21.8](#exo-b1-matrices-8) geven een eerste voorproef, en het volume van bachelorjaar 2 bouwt er de theorie van de eigenwaarden op. De weekendopgave ontwikkelt het andere werkpaard: veeltermidentiteiten waaraan een matrix voldoet, die de berekening van $A^n$ omzetten in een [lineaire recurrentie](#pb-b1-matrices-1) met twee termen.

**Opmerking 21.21 (Vooruitzichten binnen boek 3).**

Drie families matrices die hier zijn ingevoerd, hebben verderop in dit volume een afspraak. *Symmetrische matrices* ([Voorbeeld 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) dragen de gegevens van de tweede orde van functies van twee veranderlijken: de toets van Monge uit [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar) is een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over het tekengedrag van een symmetrische $2\times2$ matrix, en haar determinant $rt - s^2$ wordt met de machinerie van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) berekend. *Orthogonale matrices* ($A^{\mathsf T}A = I$) zijn de isometrieën van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid), waar de getransponeerde eindelijk haar meetkundige betekenis krijgt: zij is de algebraïsche schaduw van het inproduct. *Inverteerbare matrices* ontmoeten hun praktische toets in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) — één getal, $\det A \neq 0$ — waarmee de zoektocht wordt [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) die dit hoofdstuk met rijreductie begon. [Spoor](#def-b1-matrices-transpose) en determinant reizen daarna verder als het invariante paar $(s, p)$ van de weekendopgave, helemaal tot in de theorie van de eigenwaarden van bachelorjaar 2.

## 21.4 Oefeningen

**Oefening 21.1 ★.**

Zij $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ en $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Bereken $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ en $(A+B)(A-B)$; leg uit waarom de laatste twee verschillen.

**Oplossing van Oefening 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

Zij verschillen met $BA - AB \neq 0$: de identiteit $(a+b)(a-b) =
a^2 - b^2$ vereist commutativiteit, en die faalt hier.

**Oefening 21.2 ★.**

Bereken de rang van

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**Oplossing van Oefening 21.2.**

$M$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ doodt de tweede rij; $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ geeft $(0, -1, -2)$. Twee spillen: $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$: $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ geeft $(0,1,1,1) = L_2$; daarna $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$. Twee spillen: $\operatorname{rk} N
= 2$.

**Oefening 21.3 ★.**

Inverteer met rijreductie $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 &
1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, en controleer met één product.

**Oplossing van Oefening 21.3.**

Reductie van $(A \mid I_3)$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

daarna $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$:

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*Controle:* de eerste rij van $A$ maal de eerste kolom van $A^{-1}$: $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$; maal de tweede kolom: $1 - 0 - 1 = 0$; maal de derde: $-1 + 0 + 1 = 0$.

**Oefening 21.4 ★.**

Schrijf de matrix, in de canonieke [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\R_2[X]$, van het endomorfisme $u(P) = P(X + 1)$. Leg zonder berekening uit waarom zij inverteerbaar is, en geef de matrix van $u^{-1}$.

**Oplossing van Oefening 21.4.**

$u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: de kolommen [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates) in $(1, X, X^2)$ geven

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

$u$ is inverteerbaar omdat zij de voor de hand liggende inverse $P
\mapsto P(X - 1)$ heeft (samenstelling van substituties). Haar matrix wordt op dezelfde wijze verkregen uit $u^{-1}(X^k) =
(X-1)^k$:

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Oefening 21.5 ★★.**

Zij $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Schrijf $A =
2I + N$, bereken $N^2$, en leid met het binomium $A^k$ af voor alle $k \in \N$.

**Oplossing van Oefening 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Omdat $2I$ en $N$ commuteren, breekt de binomiale ontwikkeling na twee termen af:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(Controle bij $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 &
4\end{pmatrix}$, juist volgens het rechtstreekse product.)

**Oefening 21.6 ★★.**

Bewijs dat er geen matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (met $K =
\R$ of $\C$) bestaan met $AB - BA = I_n$. *(Neem [sporen](#def-b1-matrices-transpose).)*

**Oplossing van Oefening 21.6.**

[Sporen](#def-b1-matrices-transpose): $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ ([Definitie 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), terwijl $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ in $\R$ of $\C$. Geen oplossing. (Op oneindigdimensionale ruimten *is* de identiteit wel realiseerbaar — afleiden en vermenigvuldigen met $x$ voldoen eraan — precies omdat er daar geen [spoor](#def-b1-matrices-transpose) bestaat.)

**Oefening 21.7 ★★.**

Een matrix $A$ heet *nilpotent* wanneer $A^m = 0$ voor zekere $m$. Bewijs dat $I - A$ dan inverteerbaar is, met

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

Toepassing: inverteer $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 &
0 & 1\end{pmatrix}$.

**Oplossing van Oefening 21.7.**

Telescoperend product, waarbij alle machten van $A$ commuteren:

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

en [Propositie 21.4](#prop-b1-matrices-ring) tilt de eenzijdige inverse op. Voor de toepassing: de gegeven matrix is $I + N$ met

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

dus, met $-N$ in plaats van $A$ in de formule:

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Oefening 21.8 ★★.**

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ met $A^2 = A$ (idempotent). Bewijs dat $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(Vat $A$ op als een [projectie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) en kies een aangepaste [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free); [Stelling 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) zegt dat het [spoor](#def-b1-matrices-transpose) niet van de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) afhangt, want $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**Oplossing van Oefening 21.8.**

$A^2 = A$: het endomorfisme $a$ is een [projectie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) ([Stelling 20.15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#thm-b1-linmaps-projchar)), $E = \operatorname{im} a \oplus
\ker a$ met $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. In een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) die aan deze ontbinding is aangepast ($r$ vectoren van het [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim), daarna een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van de kern) is de matrix van $a$ gelijk aan $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, met [spoor](#def-b1-matrices-transpose) $r$. Het [spoor](#def-b1-matrices-transpose) is invariant onder [basisverandering](#def-b1-matrices-changeofbasis): $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ volgens de cyclische identiteit. Bijgevolg is $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**Oefening 21.9 ★★★.**

Zij $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ de matrix met overal enen. Bereken $J^2$, en leid daaruit voor $a, b \in \R$ de voorwaarde voor de inverteerbaarheid van $M = aI + bJ$ af, samen met $M^{-1}$ *(zoek een inverse van dezelfde vorm $\alpha I + \beta J$)*.

**Oplossing van Oefening 21.9.**

$J^2 = nJ$ (elke ingang van $J^2$ telt $n$ enen op). Zoek $M^{-1} =
\alpha I + \beta J$:

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

Dit is gelijk aan $I$ dan en slechts dan als $a\alpha = 1$ en $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$, dat wil zeggen $\alpha =
\frac1a$ en $\beta(a + nb) = -\frac ba$. Is $a \neq 0$ en $a + nb
\neq 0$, dan

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

Omgekeerd: is $a = 0$, dan heeft $M = bJ$ rang $\leq 1 < n$ (voor $n \geq 2$): niet inverteerbaar ($n = 1$ is het scalaire geval). Is $a + nb = 0$, dan voldoet de vector $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ aan $Mv = (a + nb)v = 0$ met $v \neq 0$: niet inverteerbaar. Dus $M
\in GL_n \iff a \neq 0$ en $a + nb \neq 0$.

**Oefening 21.10 ★★★.**

(Ongelijkheden voor de rang) Bewijs voor $A, B \in
\mathcal{M}_n(K)$:

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(Pas voor de tweede — de ongelijkheid van Sylvester — de dimensiestelling toe op de beperking van de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van $A$ tot $\operatorname{im} B$.)*

**Oplossing van Oefening 21.10.**

*Som:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A
+ \operatorname{im} B$ (elke $(A+B)x = Ax + Bx$), en Grassmann begrenst de dimensie van een som door de som van de dimensies.

*Sylvester:* zij $a$ de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van $A$, beperkt tot $V =
\operatorname{im} B$ (van dimensie $\operatorname{rk} B$). Haar [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) is $\operatorname{im}(AB)$ (want $a(Bx) = ABx$), en de dimensiestelling in $V$ geeft

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

Nu is $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, van dimensie $n -
\operatorname{rk} A$: dus

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**Oefening 21.11 ★★.**

Zij $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ met de $d_i$ *paarsgewijs verschillend*.

1. Bewijs dat een matrix $A$ met $D$ commuteert dan en slechts dan als $A$ diagonaal is. *(Vergelijk de ingangen $(i,j)$ van $AD$ en $DA$.)*
2. Leid het *centrum* van $\mathcal{M}_n(K)$ af: de matrices die met *elke* matrix commuteren, zijn precies de scalaire matrices $\lambda I_n$ . *(Toets tegen $D$, en daarna tegen de matrices $E_{ij}$.)*

**Oplossing van Oefening 21.11.**

1. Per ingang is $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ en $(DA)_{ij} =  d_i\,a_{ij}$ . Dus $AD = DA$ dan en slechts dan als $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ voor alle $i, j$ ; voor $i \neq j$ is de factor $d_j - d_i$ niet nul, wat $a_{ij} = 0$ afdwingt: $A$ is diagonaal. Omgekeerd commuteren diagonale matrices met elkaar.
2. Commuteert $A$ met elke matrix, dan commuteert zij met $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , dus is $A =  \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ volgens (1). Dan is $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (alleen rij $i$ van $E_{ij}$ overleeft) terwijl $E_{ij} A = \lambda_j  E_{ij}$ : commuteren met $E_{ij}$ dwingt $\lambda_i =  \lambda_j$ af. Bijgevolg $A = \lambda I_n$ ; en scalaire matrices commuteren inderdaad met alles. Het centrum van $\mathcal{M}_n(K)$ is $K\,I_n$ .

**Oefening 21.12 ★★★.**

(Matrices van rang één) Zij $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$.

1. Bewijs dat $\operatorname{rk} A = 1$ dan en slechts dan als $A = CL$ voor een kolom $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ ongelijk aan nul en een rij $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ ongelijk aan nul.
2. Bewijs voor zo’n $A$ dat $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; leid af dat een matrix van rang één nilpotent is dan en slechts dan als haar [spoor](#def-b1-matrices-transpose) nul is.
3. Bewijs dat als $\operatorname{tr} A \neq -1$, de matrix $I_n + A$ inverteerbaar is met $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ en dat $I_n + A$ *niet* inverteerbaar is wanneer $\operatorname{tr} A = -1$. *(Zoek een vector die door $I_n + A$ wordt gedood.)*

**Oplossing van Oefening 21.12.**

1. Is $\operatorname{rk} A = 1$ , dan is het [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) van $A$ een rechte $\operatorname{Vect}(C)$ met $C \neq 0$ , dus is de $j$ -de kolom van $A$ gelijk aan $\ell_j\,C$ voor scalairen $\ell_j$ (niet alle nul), dat wil zeggen $A = C L$ met $L =  (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ . Omgekeerd, is $A = CL \neq  0$ , dan zijn alle kolommen veelvouden van $C$ : rang $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , en $LC$ is de scalair $\sum_i \ell_i  c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ . Dus $A^2  = (\operatorname{tr} A)\,A$ , en met inductie $A^m =  (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Is $\operatorname{tr} A \neq  0$ , dan wordt geen enkele macht nul; is $\operatorname{tr} A  = 0$ , dan is $A^2 = 0$ : een matrix van rang één is nilpotent dan en slechts dan als haar [spoor](#def-b1-matrices-transpose) nul is.
3. Met $t = \operatorname{tr} A \neq -1$: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ met $A^2 = tA$. Is $t = -1$, dan is $(I_n + A)A = A + A^2 =  A - A = 0$ met $A \neq 0$, zodat $I_n + A$ elke kolom van $A$ ongelijk aan nul doodt: niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), niet inverteerbaar.

## 21.5 Opgave: machten van een matrix via veeltermdeling

**Probleem 21.1.**

$A^{100}$ ingang voor ingang berekenen is hopeloos; het berekenen via een veeltermidentiteit waaraan $A$ voldoet, kost drie regels. Deze opgave bouwt de methode vanaf nul op: de euclidische deling van $X^n$, de identiteit $A^2 - sA + pI = 0$ waaraan elke $2 \times
2$ matrix voldoet (de stelling van Cayley–Hamilton in dimensie $2$), en het woordenboek tussen machten van matrices en [lineaire recurrenties](#pb-b1-matrices-1) — met de fibonaccigetallen als doorlopend voorbeeld.

**Deel I — Het rekenen met resten.** Leg $s, p \in
K$ vast en stel $D = X^2 - sX + p$.

1. Verantwoord dat er voor elke $n \in \N$ eenduidige $Q_n \in  K[X]$ en $(a_n, b_n) \in K^2$ bestaan met $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ en bereken $(a_0, b_0)$ en $(a_1, b_1)$.
2. Stel, door met $X$ te vermenigvuldigen en opnieuw te delen, de recursies $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n$$ vast, en leid af dat $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: de rij coëfficiënten gehoorzaamt aan de [lineaire recurrentie](#pb-b1-matrices-1) die bij $D$ hoort.
3. Stel dat $D$ twee verschillende wortels $\lambda \neq \mu$ heeft. Bewijs door de delingsidentiteit te evalueren dat $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. Stel dat $D = (X - \lambda)^2$ . Bewijs met de [afgeleide](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) van de delingsidentiteit dat $a_n = n\lambda^{n-1}$ en $b_n =  (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. Toon aan dat het invullen van een vaste matrix $M \in  \mathcal{M}_k(K)$ in [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) sommen en producten respecteert: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. Leid af dat als $D(M)  = 0$, dan $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**Deel II — Dimensie 2: [spoor](#def-b1-matrices-transpose), determinantgetal, Cayley–Hamilton.** Stel voor $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c &
d\end{pmatrix}$ dat $s = a + d = \operatorname{tr} A$ en $p = ad -
bc$ (het getal dat [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) de determinant zal noemen).

6. Ga door rechtstreekse berekening de *identiteit van Cayley–Hamilton in dimensie $2$* na: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. Bewijs door rechtstreeks uit te werken dat $p$ multiplicatief is: met de voor de hand liggende notatie, $p(AB) = p(A)\,p(B)$. Toon daarna aan dat $A$ inverteerbaar is dan en slechts dan als $p \neq 0$, en dat dan $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. Zij $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Bereken $s$ , $p$ en de wortels van $D$ , en leid een [gesloten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/12-topologie-van-de-reele-rechte#def-b1-topology-closed) formule voor $A^n$ af; toets haar aan een rechtstreekse berekening van $A^2$ .
9. Zij $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Toon aan dat $D$ een dubbele wortel heeft en bereken $A^n$ ; controleer bij $n = 2$ .
10. Zij $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en definieer de fibonaccigetallen door $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Bewijs dat $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ leid de formule van Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n -  \psi^n}{\sqrt5}$ af, met $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ en $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$, en met vraag 7 de identiteit van Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**Deel III — [Lineaire recurrenties](#pb-b1-matrices-1), structureel.** Leg $s, p \in K$ met $p \neq 0$ vast, en zij $E_D$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de rijen met $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ voor alle $n$.

11. Toon aan dat $E_D$ een [vectorruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-def) van dimensie $2$ is (pas [Oefening 19.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#exo-b1-findim-10) aan).
12. Toon aan dat de rij $(a_n)$ uit deel I het element van $E_D$ is met beginwaarden $0, 1$, en dat elke $u \in E_D$ voldoet aan $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ met $(b_n)$ als in deel I: de resten van de deling lossen *alle* recurrenties tegelijk op.
13. Zijn $\lambda \neq \mu$ de wortels van $D$ , toon dan aan dat $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $E_D$ is; is $D = (X-\lambda)^2$ met $\lambda \neq 0$ , toon dan aan dat $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ er een is.
14. Los volledig op: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; toets het antwoord aan $u_2$ en $u_3$ .
15. Zij $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (de *begeleidende matrix* van $D$). Toon aan dat $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ en dat $\operatorname{tr} C = s$ en $p(C) = p$: de recurrentie en de matrix dragen dezelfde [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $D$.

**Deel IV — Graad drie.** Zij $D_3 = X^3 - \alpha
X^2 - \beta X - \gamma$ en

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. Toon aan dat $D_3(C_3) = 0$ . *(Bereken de [beelden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) van de canonieke basisvectoren onder machten van $C_3$: de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van $C_3$ stuurt $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ een combinatie die door de laatste rij wordt afgedwongen.)*
17. Toon aan dat als $D_3$ drie verschillende wortels $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ heeft, de rest $R_n$ van $X^n$ gedeeld door $D_3$ de *interpolant van Lagrange* is van de waarden $\lambda_i^n$ in de knooppunten $\lambda_i$ ( [Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) ); leid af dat elke ingang van $C_3^{\,n}$ een vaste [lineaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) combinatie is van $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. Los op: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ met $u_0 =  0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . *(Ontbind $D_3 = (X - 1)(X +  1)(X - 2)$.)* Controleer bij $u_3$ .
19. Bereken de rest van $X^n$ modulo $(X - \lambda)^3$ *(taylorontwikkeling van $X^n$ in $\lambda$)* , en leid een formule af voor $(\lambda I + N)^n$ wanneer $N^3 = 0$ en $N$ met alles in zicht commuteert; toets haar aan het binomium.
20. Toon aan dat voor $D_3$ met verschillende wortels de algemene oplossing van de recurrentie van orde $3$ gelijk is aan $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n +  c_3\lambda_3^n$ : bewijs dat de drie meetkundige rijen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van de oplossingsruimte vormen. *(Evalueer voor de vrijheid een nulcombinatie bij $n = 0, 1, 2$ en herken een interpolatiestelsel in de verschillende knooppunten $\lambda_i$.)*

**Deel V — Fibonacci-dividenden, en synthese.**

21. Bewijs dat $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. Leid uit $F^{m+n} = F^m F^n$ de somformule $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$$ af, en daaruit $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. Bewijs dat $F_n$ voor elke $n \geq 0$ het dichtstbijzijnde gehele getal bij $\varphi^n/\sqrt5$ is.
24. Zij $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (de *lucasgetallen* $L_n$ ). Toon aan dat $t_{n+2} = t_{n+1}  + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , dat $L_n = \varphi^n +  \psi^n$ , en vind $F_{2n} = F_n L_n$ terug.
25. Synthese, in vier zinnen: waarom de machten van een $2  \times 2$ matrix in het vlak $\operatorname{Vect}(I, A)$ van $\mathcal{M}_2(K)$ leven (welk dimensieargument een kwadratische identiteit garandeert, en welke expliciete identiteit deel II opleverde); hoe de euclidische deling machtsverheffen omzet in een recurrentie met twee termen; welke [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) van deze opgave het geval $n = 2$ is van een stelling die in alle dimensies geldt (benoem haar, en zeg waar zij in deze [reeks](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/17-getallenreeksen#def-b1-series-def) wordt bewezen); en wat de constructie met de begeleidende matrix aan het [beeld](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-kerim) toevoegt.

**Oplossing van Probleem 21.1.**

**1.** Euclidische deling van $X^n$ door de [monische](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $D$ van graad $2$ ([Stelling 8.3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-division)): quotiënt en rest bestaan en zijn eenduidig, en de rest heeft graad $\leq 1$: $X^n = Q_n D +
a_n X + b_n$. Voor $n = 0$: $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0, 1)$; voor $n = 1$: $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** Vermenigvuldig met $X$ en reduceer $X^2 = D + sX - p$:

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

De laatste uitdrukking heeft de gedaante van een rest (graad $\leq
1$), dus geeft de eenduidigheid $a_{n+1} = s a_n + b_n$ en $b_{n+1}
= -p a_n$. Invullen van $b_{n+1} = -pa_n$ in $a_{n+2} = s a_{n+1} +
b_{n+1}$ geeft $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** Evalueer $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ in de wortels: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ en $\mu^n = a_n\mu + b_n$. Aftrekken en delen door $\lambda - \mu \neq 0$ geeft

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** In de dubbele wortel: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. Afleiden van de identiteit geeft $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2
+ 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$, en evaluatie in $\lambda$: $a_n =
n\lambda^{n-1}$; daarna $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 -
n)\lambda^{n}$.

**5.** Voor $P = \sum_i p_i X^i$ en $Q = \sum_j q_j X^j$ is

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

omdat de machten van de ene matrix $M$ met elkaar commuteren (de sommen zijn duidelijk wegens de lineariteit). Is $D(M) = 0$, dan geeft het invullen van $M$ in $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ dat $M^n
= Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** Rechtstreekse producten:

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

dus heeft $A^2 - sA$ nullen buiten de diagonaal en op de diagonaal de waarden $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: $A^2 - sA + pI_2 =
0$.

**7.** Met $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' &
d'\end{pmatrix}$ geeft het uitwerken van $p(AA') = (aa' + bc')(cb'
+ dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$: de termen $aa'cb'$ en $ab'ca'$ heffen elkaar op, de termen $bc'dd'$ en $bd'dc'$ eveneens, en wat overblijft is

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

Is $p \neq 0$, dan geeft Cayley–Hamilton dat $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$, waaruit de inverse volgt (en [Propositie 21.4](#prop-b1-matrices-ring) maakt haar tweezijdig). Is $p = 0$ en zou $A$ inverteerbaar zijn, dan geeft de multiplicativiteit $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$: onmogelijk. Dus $A \in GL_2 \iff p \neq 0$.

**8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$: $\lambda = 2$, $\mu = 1$, dus $a_n = 2^n - 1$ en $b_n = 2 - 2^n$ (vraag 3). Bijgevolg

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

Controle: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, zowel volgens de formule als door rechtstreeks te kwadrateren.

**9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 - 4X
+ 4 = (X - 2)^2$, met dubbele wortel $\lambda = 2$. Vraag 4: $a_n =
n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, dus

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

Bij $n = 2$: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, en dat is $A^2$ rechtstreeks berekend.

**10.** Inductie: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 &
F_0\end{pmatrix}$, en

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

Hier is $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$ met wortels $\varphi$ en $\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$). De rij $(F_n)$ heeft $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ en gehoorzaamt aan dezelfde recurrentie als $(a_n)$: $F_n = a_n = (\varphi^n -
\psi^n)/\sqrt5$, de formule van Binet. Cassini: toepassing van de multiplicativiteit uit vraag 7 op $F^n$ geeft

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** De voorwaarde is [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) en bevat de nulrij: een [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace). Met inductie bepalen $u_0, u_1$ de rij $u$ [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def), en wordt elk paar beginwaarden door precies één oplossing gerealiseerd: zoals in [Oefening 19.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#exo-b1-findim-10) wordt $E_D$ [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) en [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) geparametriseerd door $(u_0, u_1) \in K^2$: $\dim E_D = 2$.

**12.** $(a_n)$ gehoorzaamt aan de recurrentie (vraag 2) met $a_0 = 0$, $a_1 = 1$. Hetzelfde geldt voor $(b_n)$: $b_{n+2} =
-p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (met twee keer $b_{n+1} = -pa_n$), met $b_0 = 1$, $b_1 = 0$. De combinatie $v_n =
u_1 a_n + u_0 b_n$ is dan een oplossing met $v_0 = u_0$, $v_1 =
u_1$; twee oplossingen met dezelfde beginwaarden vallen samen (inductie), dus is $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ voor alle $n$.

**13.** $(\lambda^n)$ is een oplossing dan en slechts dan als $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ voor alle $n$, dat wil zeggen $D(\lambda) = 0$ (na deling door $\lambda^n \neq 0$; merk op dat $\lambda, \mu \neq 0$ omdat $p = \lambda\mu \neq 0$). Vrijheid van $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$: een betrekking bij $n = 0, 1$ geeft $c + c' = 0$ en $c\lambda + c'\mu = 0$, dus $c(\lambda - \mu) = 0$: $c = c' = 0$. Twee [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) vectoren in dimensie $2$: een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free). Dubbele wortel: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ is een oplossing want, met $s = 2\lambda$ en $p = \lambda^2$,

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

de vrijheid bij $n = 0, 1$: $c = 0$, en daarna $c'\lambda = 0$ met $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. Algemene oplossing $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$; de beginvoorwaarden geven $A +
B = 1$ en $3A - 2B = 8$, dus $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

Controle: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$; $u_3 = 54 + 8 = 62 =
u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, en inductie geeft de formule met $C^n$. Bovendien is $\operatorname{tr} C = 0 + s =
s$ en $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: de begeleidende matrix heeft precies $D$ als haar [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van Cayley–Hamilton.

**16.** Voor elke oplossing $u$ van $u_{n+3} = \alpha u_{n+2}
+ \beta u_{n+1} + \gamma u_n$ voldoen de toestandsvectoren $v_n =
(u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ aan $C_3 v_n = v_{n+1}$ (de eerste twee rijen verschuiven, de laatste rij past de recurrentie toe). Bijgevolg is

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

waarvan de drie componenten $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta
u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ zijn ($k = 0, 1, 2$). Omdat de begintoestand $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ *heel* $K^3$ doorloopt (de beginwaarden zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)), doodt de matrix $D_3(C_3)$ elke vector: $D_3(C_3) = 0$.

**17.** Schrijf $X^n = Q\,D_3 + R_n$ met $\deg R_n \leq 2$ en evalueer in elke wortel: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. Dus is $R_n$ een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $\leq 2$ die de drie waarden $\lambda_i^n$ in de drie verschillende knooppunten $\lambda_i$ interpoleert: wegens de eenduidigheid in [Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) is $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$ met $(L_i)$ de [Lagrange-basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van de knooppunten. Invullen van $C_3$ (de vragen 5 en 16) geeft

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

met de drie matrices $L_i(C_3)$ onafhankelijk van $n$: elke ingang van $C_3^{\,n}$ is een vaste combinatie van $\lambda_1^n,
\lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. Algemene oplossing $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. Beginvoorwaarden: $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C =
1$. Aftrekken van de eerste van de derde: $3C = 1$, dus $C =
\frac13$; daarna $A + B = -\frac13$ en $A - B = \frac13$: $A = 0$, $B = -\frac13$. Bijgevolg

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(de jacobsthalgetallen). Controle: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 =
2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** Taylorontwikkeling van de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $X^n$ in $\lambda$:

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

en alle termen met $k \geq 3$ zijn [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $(X -
\lambda)^3$: de rest is

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

Voor $M = \lambda I + N$ met $N^3 = 0$ is $(M - \lambda I)^3 = N^3
= 0$, dus geeft vraag 5

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

en dat is precies de binomiale ontwikkeling van $(\lambda I +
N)^n$, afgebroken bij $N^2$ — de twee methoden stemmen overeen.

**20.** De oplossingsruimte heeft dimensie $3$ (dezelfde parametrisering door $(u_0, u_1, u_2)$ als in vraag 11), en elke $(\lambda_i^n)$ is een oplossing. Vrijheid: stel $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ voor $n = 0,
1, 2$. Leg $i$ vast en zij $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van Lagrange van de knooppunten met $L_i(\lambda_j) =
\delta_{ij}$. Dan is

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

Dus zijn alle $c_i = 0$: drie [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) oplossingen in dimensie $3$, een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free); de algemene oplossing is $c_1\lambda_1^n +
c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** Uit $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ telescopeert de som:

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** Neem de ingang $(1,2)$ van $F^{m+n} = F^m F^n$: het linkerlid is $F_{m+n}$; het rechterlid is (rij $1$ van $F^m$) maal (kolom $2$ van $F^n$), dat wil zeggen $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$. Met $m = n$:

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** Volgens Binet is $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} =
-\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, en $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$, dus

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

$F_n$ is het dichtstbijzijnde gehele getal bij $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ is een combinatie van verschoven fibonaccirijen en voldoet dus aan dezelfde recurrentie: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$; en $t_1 = F_2 + F_0 = 1$, $t_2 = F_3 +
F_1 = 3$: dit zijn de lucasgetallen $L_n$. De rij $\varphi^n +
\psi^n$ is een oplossing met dezelfde eerste twee waarden ($\varphi
+ \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = (\varphi + \psi)^2 -
2\varphi\psi = 3$), dus $L_n = \varphi^n + \psi^n$. Ten slotte is

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

waarmee vraag 22 wordt teruggevonden.

**25.** (i) De vijf matrices $I, A, A^2, A^3, A^4$ leven in het $4$-dimensionale $\mathcal{M}_2(K)$, dus doodt *een* [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ongelijk aan nul van graad $\leq 4$ de matrix $A$; deel II scherpte dit aan tot de expliciete kwadratische $A^2 = sA -
pI$, die alle machten in het vlak $\operatorname{Vect}(I, A)$ opsluit. (ii) De euclidische deling reduceert $X^n$ modulo die kwadratische [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def), en de twee coëfficiënten van de rest gehoorzamen aan de recurrentie met twee termen $a_{n+2} =
s\,a_{n+1} - p\,a_n$: machtsverheffen is iteratie geworden. (iii) Vraag 6 is het geval $n = 2$ van de *stelling van Cayley–Hamilton*, die in elke dimensie geldt en in het volume van bachelorjaar 2 wordt bewezen. (iv) De begeleidende matrix sluit de kring: elke [lineaire recurrentie](#pb-b1-matrices-1) *is* een macht van een matrix, met dezelfde [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $D$ die als gegevens van [spoor](#def-b1-matrices-transpose) en determinant verschijnt, zodat het rekenen met resten recurrenties oplost en machten berekent in één beweging.