---
title: "Determinanten en lineaire stelsels"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels
---

# Hoofdstuk 22 — Determinanten en lineaire stelsels

De determinant perst in één scalair het antwoord samen op de vraag “vormen deze $n$ vectoren een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free)?” — en meet, meetkundig, het volume dat zij opspannen. Wij karakteriseren hem met zijn eigenschappen (multilineair, alternerend, genormaliseerd), berekenen hem in dimensie $2$ en $3$ en in het algemeen met [cofactorontwikkeling](#thm-b1-det-cofactor), en zetten hem aan het werk op [lineaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) stelsels, naast het algoritme voor alles: de [Gauss-eliminatie](#met-b1-det-gauss).

## 22.1 De determinant

**Stelling 22.1 (Karakterisering).**

Er is precies één [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$, opgevat als functie van de $n$ kolommen, die

1. *[lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) in elke kolom* is (met de andere vast);
2. *alternerend* is: twee kolommen verwisselen verandert het teken (dus twee gelijke kolommen geven $0$ );
3. *genormaliseerd* is: $\det I_n = 1$ .

Voor $n = 2$ en $3$:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(de $3 \times 3$ regel van Sarrus: de producten van de dalende diagonalen min die van de stijgende).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 22.2.**

Voor $n = 2$ geeft het ontwikkelen met bilineariteit op de canonieke kolommen de formule, die omgekeerd aan de axioma’s voldoet — een volledig bewijs; $n = 3$ verloopt identiek met meer termen. Het algemene geval (bestaan via de som over [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects), eenduidigheid via dezelfde ontwikkeling) vraagt het teken van een [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) en wordt uitgesteld tot het tweede jaar; wij gebruiken de axioma’s en de gevolgen hieronder vrijelijk.

De ontwikkeling voor $n = 2$ volledig, want zij is het sjabloon: met kolommen $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ en $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ geeft de bilineariteit

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

en het alterneren doodt de herhaalde paren en klapt $\det(e_2,
e_1) = -\det(e_1, e_2)$ om: het geheel stort in tot $(ad -
bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ wegens de normalisatie. De eenduidigheid is in de berekening zelf zichtbaar — de axioma’s lieten bij geen enkele stap een keuze — en dat is precies het feit over eenduidigheid op een schaalfactor na dat in het bewijs van de productregel hieronder wordt gebruikt.

**Stelling 22.3 (Eigenschappen).**

Voor $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

1. een veelvoud van een kolom bij een andere optellen verandert de determinant niet; een kolom met $\lambda$ vermenigvuldigen vermenigvuldigt hem met $\lambda$ (dus $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ is inverteerbaar $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ de kolommen vormen een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $K^n$ ; en dan is $\det(A^{-1})  = (\det A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — dus is elke kolomregel ook een rijregel;
5. de determinant van een driehoeksmatrix is het product van haar diagonaalingangen.

**Bewijs.** (1) Wegens de lineariteit is $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots)
= \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$, waarbij de tweede determinant twee gelijke kolommen heeft: nul.

(2) Leg $A$ vast en beschouw $\varphi(B) = \det(AB)$ als functie van de kolommen van $B$: omdat $AB$ de kolommen $AB_j$ heeft, is $\varphi$ multilineair en alternerend in de $B_j$. Wij nemen, samen met [Stelling 22.1](#thm-b1-det-def), de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over de eenduidigheid in geschaalde vorm aan: *elke* multilineaire alternerende [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\varphi$ van de kolommen is gelijk aan $\varphi(I_n)
\cdot \det$. Hier is $\varphi(I_n) = \det A$, dus $\det(AB) = \det A
\cdot \det B$.

(3) Is $A$ inverteerbaar, dan is $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, dus $\det A \neq 0$ en geldt de formule voor de inverse. Is $A$ niet inverteerbaar, dan zijn haar kolommen afhankelijk ([Gevolg 20.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#cor-b1-linmaps-samedim) en [Propositie 20.2](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#prop-b1-linmaps-basis)); één kolom via de andere uitdrukken en met lineariteit ontwikkelen laat determinanten met twee gelijke kolommen over: $\det A = 0$. De [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over de [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) is [Propositie 19.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) Aangenomen samen met de algemene constructie (op de formule met [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) is zij onmiddellijk); wij noteren haar om [rij-operaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) te kunnen gebruiken.

(5) Wordt een diagonaalingang nul, dan zijn de eerste $k$ kolommen voor zekere $k$ afhankelijk (rangoverwegingen) en is $\det = 0 =$ het product. Anders veegt men elke kolom linksonder schoon met bewerkingen van type (1) — mogelijk in de driehoeksgedaante — en bereikt men de diagonaalmatrix, waarvan de determinant met multilineariteit vanuit $I_n$ het product van de ingangen is. ∎

**Voorbeeld 22.4 (De regels, getoetst aan getallen).**

Neem $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A =
-2$) en $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det B
= -1$). Dan is

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

Multiplicativiteit en invariantie onder transponeren bevestigd — terwijl de *valse* additiviteit op hetzelfde paar faalt:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

Dertig seconden rekenwerk van dit soort, na elk beroep op een identiteit met determinanten, is de goedkoopste foutverzekering die er is.

**Voorbeeld 22.5 (Determinanten als oppervlakten).**

Het parallellogram opgespannen door $u = (2, 0)$ en $v = (1, 3)$ heeft [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $2$ en hoogte $3$: oppervlakte $6$. En

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

de $2\times2$ determinant *is* de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram van zijn kolommen. De axioma’s vertellen de meetkunde opnieuw: een veelvoud van de ene kolom bij de andere optellen is een *afschuiving*, die het parallellogram evenwijdig met een zijde verschuift zonder [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) of hoogte te veranderen (bewerking (1) van [Stelling 22.3](#thm-b1-det-props)); een kolom schalen schaalt de oppervlakte; de kolommen verwisselen klapt de oriëntatie om, vandaar het teken $\det(v, u) = -6$. In $\R^3$ geeft dezelfde lezing georiënteerde volumes, en wordt $\abs{\det}$ de universele volumeschaalfactor van [lineaire afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) — het feit achter de formule voor verandering van veranderlijken in meervoudige [integralen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) in het volume van bachelorjaar 2.

**Stelling 22.6 (Cofactorontwikkeling).**

Zij $A \in \mathcal{M}_n(K)$ en $\Delta_{ij}$ de determinant van $A$ met rij $i$ en kolom $j$ geschrapt. Dan geldt, voor elke vaste kolom $j$ (of rij, door te transponeren):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 22.7.**

Ontwikkeling langs de eerste kolom:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

Strategie: maak eerst nullen (rij- en kolomoperaties), en ontwikkel daarna langs de leegste lijn.

**Voorbeeld 22.8 (De inverse met cofactoren, één keer met de hand).**

Voor $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$ is $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. De negen cofactoren $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ voegen zich samen tot

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

de formule die in [Oefening 22.8](#exo-b1-det-8) wordt aangehaald. Controleer één paar rij-kolom: (rij $1$ van $A$)(kolom $1$ van $A^{-1}$) $=
\frac12(1 + 1 + 0) = 1$, en tegen kolom $2$: $\frac12(-1 + 1 + 0)
= 0$. Negen $2\times2$ determinanten voor één $3\times3$ inverse: al bij deze omvang is rijreductie ([Oefening 22.3](#exo-b1-det-3)) goedkoper — de waarde van de cofactorformule is theoretisch (geheeltalligheid in [Oefening 22.8](#exo-b1-det-8), [afleidbaarheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def) van de inverse in latere volumes), niet rekenkundig.

**Voorbeeld 22.9 (De blokdriehoeksregel, in omvang 444).**

Bewering: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M\,\det P$ voor $2\times2$ blokken. Veeg het $N$-blok schoon met kolomoperaties: geschikte combinaties van de kolommen $1, 2$ bij de kolommen $3, 4$ optellen verwijdert $N$ *wanneer $M$ inverteerbaar is* (los $M\Lambda = -N$ op voor de combinatiecoëfficiënten $\Lambda$), zodat $\det\begin{pmatrix} M &
0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ overblijft; daarna geeft de [cofactorontwikkeling](#thm-b1-det-cofactor) langs de eerste kolom, twee keer, de waarde $\det M\det P$ voor deze blokdiagonale gedaante. Is $M$ niet inverteerbaar, dan zijn haar kolommen afhankelijk, en dus zijn de eerste twee kolommen van de grote matrix afhankelijk (hun onderste helften zijn nul): beide leden worden nul. De regel breidt zich met hetzelfde argument in twee gevallen uit tot willekeurige blokomvangen — en zij is de motor van [Oefening 22.10](#exo-b1-det-10).

**Voorbeeld 22.10 (Een 4×44 \times 44×4 determinant, strategisch).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Elke rij sommeert tot $10$: de bewerking $C_1 \leftarrow C_1 + C_2
+ C_3 + C_4$ maakt de eerste kolom constant, en het afsplitsen van $10$ laat enen over. Daarna veegt $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i
\geq 2$) de eerste kolom schoon:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

waarbij de laatste $3\times3$ determinant langs zijn eerste rij wordt ontwikkeld: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12
= 16$. Moraal: één goedgekozen bewerking (het opmerken van de constante rijsom) verslaat zestien cofactoren.

**Methode 22.11 (Een strategie voor determinanten kiezen).**

Bekijk de matrix voordat je iets berekent.

1. *Constante rij- of kolomsommen* : tel alles bij één lijn op en splits de gemeenschappelijke waarde af ( [Voorbeeld 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , [Oefening 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *Repetitieve structuur* : trek naburige rijen of kolommen van elkaar af om nullen te maken; trappatronen storten in naar de driehoeksvorm, waarvan de determinant op de diagonaal wordt afgelezen.
3. *Geïsoleerde nullen* : ontwikkel langs de leegste lijn ( [Voorbeeld 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ); recursieve families (tridiagonaal, [Oefening 22.6](#exo-b1-det-6) ) leveren zo recursies op.
4. *Een parameter* : de determinant is een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) daarin; vind zijn wortels door de ontaarde waarden op te merken (gelijke rijen, evenredige kolommen), en pin de [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) daarna vast met de graad en de kopcoëfficiënt. Voor de matrix van [Oefening 22.7](#exo-b1-det-7) : $m = 1$ geeft drie gelijke rijen (rang $1$ , een dubbele wortel), $m = -2$ maakt de som van de rijen nul (nog een wortel); de determinant heeft graad $3$ in $m$ met kopterm $-m^3$ (het product van de antidiagonaal $m\cdot m\cdot m$ , waarvan het teken bij Sarrus $-1$ is), dus moet hij $-(m+2)(m-1)^2$ zijn — geen ontwikkeling nodig, en de twee methoden controleren elkaar.

**Voorbeeld 22.12 (Vandermonde-determinant).**

Voor scalairen $x_1, \dots, x_n$:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

Schets van het bewijs (uitgewerkt in [Oefening 22.5](#exo-b1-det-5)): de kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ van rechts af vegen de eerste rij schoon, en het afsplitsen van elke resterende rij herleidt alles tot $V(x_2, \dots, x_n)$. Ongelijk aan nul dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — de determinant achter de [Lagrange-interpolatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) ([Voorbeeld 20.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 Lineaire stelsels

**Definitie 22.13.**

Een [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) stelsel van $n$ vergelijkingen in $p$ onbekenden is $AX = B$ met $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in
K^n$; het is *homogeen* wanneer $B = 0$. Zijn oplossingsverzameling is, indien niet leeg, gelijk aan $X_0 + \ker
A$: een bijzondere oplossing plus de algemene homogene oplossing — een affiene [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $p - \operatorname{rk} A$ (dimensiestelling).

**Voorbeeld 22.14 (De affiene structuur, zichtbaar gemaakt).**

Los op:

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

Aftrekken van de vergelijkingen geeft $2y - z = 1$, dus $z = 2y -
1$ en $x = 3 - y - z = 4 - 3y$. De oplossingen vormen de rechte

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

de bijzondere oplossing $X_0 = (4, 0, -1)$ (de keuze $y = 0$) plus de kernrechte $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ van het bijbehorende homogene stelsel — controle: $(-3) + 1 + 2 = 0$ en $(-3) - 1 + 4 = 0$. Meetkundig snijden twee niet-evenwijdige vlakken van $\R^3$ elkaar langs een rechte, en de dimensietelling $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ wist dat al voordat wij iets oplosten. De bijzondere oplossing veranderen (zeg $y = 1$: $X_0' =
(1, 1, 1)$) verandert de beschrijving, niet de rechte: een affiene [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) heeft vele oorsprongen en één richting.

**Stelling 22.15 (Vierkante stelsels van Cramer).**

Is $A \in GL_n(K)$, dan heeft het stelsel $AX = B$ de eenduidige oplossing $X = A^{-1}B$, waarvan de [coördinaten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#prop-b1-vspaces-coordinates)

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ met kolom } j \text{ vervangen door } B
$$

zijn.

**Bewijs.** Het bestaan en de eenduidigheid zijn de inverteerbaarheid. Voor de formule: schrijf $B = \sum_k x_k C_k$ (de kolommen van $A$); dan geeft de multilineariteit met het alterneren

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

waarbij elke term behalve $k = j$ een herhaalde kolom heeft. ∎

**Voorbeeld 22.16 (Cramer met een parameter, volledig).**

Los voor $m \in \R$ op:

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

De determinant is $1 - m^2$. *Generiek geval* $m \neq \pm1$: Cramer geeft

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

één nette oplossing voor elke toelaatbare $m$ (controle bij $m =
0$: $(1, 2)$, uiteraard juist). *Ontaarde gevallen*: bij $m =
1$ luiden de vergelijkingen $x + y = 1$ en $x + y = 2$: onverenigbaar; bij $m = -1$ luiden zij $x - y = 1$ en $-x + y = 2$, dat wil zeggen $x - y = 1$ en $x - y = -2$: opnieuw onverenigbaar. Dat de determinant nul wordt, kondigt aan dat er *iets* ontaardt, maar zegt nooit wat — leeg of oneindig moet worden beslist door naar het rechterlid te kijken. Merk ook op hoe de formules hun eigen grenzen aangeven: als $m \to 1^{-}$, gaat $x =
\frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$; het oplossingspunt loopt weg naarmate de twee rechten evenwijdig worden.

**Methode 22.17 (Gauss-eliminatie op stelsels).**

Reduceer de aangevulde matrix $(A \mid B)$ met rijoperaties tot de trapvorm.

1. Verschijnt er een spil in de laatste kolom (een regel $0 =  1$ ), dan is er geen oplossing.
2. Anders splitsen de onbekenden zich in *spilonbekenden* en *[vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) onbekenden* (parameters); terugsubstitutie drukt de eerste in de tweede uit: de oplossingsverzameling is een affiene [deelruimte](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-subspace) van dimensie $=$ het aantal [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) onbekenden.

De formules van Cramer zijn er voor de theorie en voor kleine stelsels; de eliminatie is het praktische algoritme.

**Voorbeeld 22.18 (Een bespreking met parameter).**

Beschouw voor $m \in \R$

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

De matrix heeft determinant $-(m+2)(m-1)^2$ (berekend in [Oefening 22.7](#exo-b1-det-7) door alle kolommen bij de eerste op te tellen). Voor $m \neq 1, -2$: één oplossing $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (uit symmetrie). Voor $m = 1$: één vergelijking die drie keer wordt herhaald, een vlak van oplossingen. Voor $m = -2$: het optellen van de drie vergelijkingen geeft $0 = 3$, geen oplossing.

**Opmerking 22.19 (Veelgemaakte fouten).**

*De determinant is niet [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) in de matrix*: $\det(A + B)
\neq \det A + \det B$ (al $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$); hij is [lineair](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) in elke *kolom* afzonderlijk, en dat is iets heel anders. *Schalen*: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, niet $\lambda\det A$ — elk van de $n$ kolommen wordt geschaald. *[Rij-operaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) zijn niet alle gratis*: $L_i \leftarrow L_i +
\lambda L_j$ bewaart de determinant, maar een verwisseling verandert het teken en $L_i \leftarrow \lambda L_i$ vermenigvuldigt hem met $\lambda$ — boekhoudfouten hier zijn de klassieke bron van verkeerde tekens in berekeningen met eliminatie. *Een determinant nul is het begin, niet het einde*: hij zegt “rang $< n$” maar niet welke rang; alleen verder werk (trapvorm, of de minoren van [Oefening 22.12](#exo-b1-det-12)) lokaliseert hem — vergelijk het geval $m = 1$ met $m = -2$ in [Voorbeeld 22.18](#ex-b1-det-parameter). *Cramer vereist inverteerbaarheid*: is $\det A = 0$, dan zijn de formules $x_j = \det A_j/\det A$ betekenisloos, en kan het stelsel best (oneindig veel) oplossingen hebben. *Alleen vierkante matrices hebben determinanten*: voor een rechthoekig stelsel is de eliminatie het enige gereedschap.

**Opmerking 22.20 (Waar determinanten heen gaan).**

Drie levens wachten deze scalair. *Meetkundig*: $\abs{\det}$ is de schaalfactor voor oppervlakte of volume van de bijbehorende [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) — precies gemaakt voor het vlak in [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid) en, als jacobiaan van een verandering van veranderlijken, in de meervoudige [integralen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#thm-b1-integration-def) van het volume van bachelorjaar 2. *Algebraïsch*: $\det(A - \lambda I)$, de [karakteristieke veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/5-lineaire-differentiaalvergelijkingen#def-b1-diffeq-linear2), opent de theorie van de eigenwaarden in bachelorjaar 2 — de identiteit $A^2 - (\operatorname{tr} A)A +
(\det A)I = 0$ van de weekendopgave van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) is haar eerste schaduw. *Analytisch*: determinanten van bijzondere matrices (Vandermonde, Cauchy, Gram) beslissen wanneer problemen van interpolatie, ontbinding en [projectie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-projection) goed gesteld zijn; de weekendopgave hieronder evalueert de eerste twee families volledig.

**Opmerking 22.21 (Vooruitzichten binnen boek 3).**

Dit hoofdstuk sluit de ruggengraat van de [lineaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) algebra van het volume af, en de twee resterende hoofdstukken innen de dividenden. In [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#ch-b1-euclid): de grammatrix $\bigl(\langle v_i,
v_j\rangle\bigr)$ toetst de vrijheid met een determinant ([Oefening 23.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/23-euclidische-ruimten#exo-b1-euclid-11)), en de isometrieën van het vlak splitsen zich in rotaties en spiegelingen volgens het teken van hun determinant — de classificatie van de weekendopgave aldaar draait erop. In [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/25-functies-van-twee-veranderlijken#ch-b1-multivar): de grootheid $rt - s^2$ van Monge is de determinant van de symmetrische matrix van de tweede [afgeleiden](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#def-b1-derivative-def), en de normaalvergelijkingen van de kleinste kwadraten vormen een stelsel van Cramer waarvan de matrix een grammatrix (en dus een momentenmatrix) is — inverteerbaar precies volgens de criteria in de geest van Vandermonde die hier zijn vastgesteld. Wanneer die hoofdstukken “inverteerbaar” of “positief” beweren, liggen de bewijsstukken in dit hoofdstuk.

## 22.3 Oefeningen

**Oefening 22.1 ★.**

Bereken:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**Oplossing van Oefening 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

Tweede: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (op de oorspronkelijke rijen) geven de rijen $(1,2,3), (3,3,3),
(3,3,3)$: twee gelijke rijen, determinant $0$. (Sarrus bevestigt: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$.)

Derde: het is Vandermonde met $x = 1, 2, 3$ ([Voorbeeld 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**Oefening 22.2 ★.**

Voor welke $\lambda \in \R$ is de familie $\bigl((1, 1, \lambda),
(1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ een [basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van $\R^3$?

**Oplossing van Oefening 22.2.**

De determinant is gelijk aan (tel alle kolommen bij de eerste op en splits af) $(\lambda + 2)$ maal

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(veeg schoon met $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 -
L_3$ en ontwikkel), wat $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ geeft. [Basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**Oefening 22.3 ★.**

Los op met de regel van Cramer:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{en daarna}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**Oplossing van Oefening 22.3.**

Eerste stelsel: $\det = -7$; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. Controle: $2(2) + 1 = 5$; $3(2) - 2 = 4$.

Tweede stelsel: na $L_2 - L_1$ en $L_3 - 2L_1$ worden de rijen $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$, dus

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

Cramer, met de kolommen vervangen door $(6,2,1)^{\mathsf T}$:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(de tellers op dezelfde wijze berekend). Controle: $1 + 2 + 3 = 6$; $1 - 2 + 3 = 2$; $2 + 2 - 3 = 1$.

**Oefening 22.4 ★.**

Los op met [Gauss-eliminatie](#met-b1-det-gauss), met beschrijving van de oplossingsverzameling:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**Oplossing van Oefening 22.4.**

Reduceer de aangevulde matrix: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Spilonbekenden $x, z$; [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) onbekenden $y, t$. Terugsubstitutie: $z = 1 + t$, $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. Oplossingsverzameling:

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

een affien vlak (dimensie $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) van $\R^4$.

**Oefening 22.5 ★★.**

Bewijs de formule van Vandermonde uit [Voorbeeld 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) met inductie op $n$, met de kolomoperaties $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uitgevoerd van $k
= n$ omlaag tot $k = 2$.

**Oplossing van Oefening 22.5.**

Inductie; $n = 1$ is het lege product $= 1$. Voer voor de stap $C_k
\leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ uit voor $k = n, n-1, \dots, 2$ (in die volgorde, zodat elke bewerking een nog niet gewijzigde kolom gebruikt). De eerste rij wordt $(1, 0, \dots, 0)$; in rij $i \geq 2$ wordt de $k$-de ingang $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i -
x_1)$. Ontwikkelen langs de eerste rij en $(x_i - x_1)$ uit elke rij $i$ afsplitsen geeft

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

en de inductiehypothese vervolledigt het product $\prod_{i<j}(x_j -
x_i)$.

**Oefening 22.6 ★★.**

(Tridiagonaal) Zij $D_n$ de $n \times n$ determinant met $2$ op de diagonaal, $1$ op de twee aangrenzende diagonalen en $0$ elders. Bewijs door langs de eerste rij te ontwikkelen dat $D_n = 2D_{n-1}
- D_{n-2}$, en bereken $D_n$ ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$).

**Oplossing van Oefening 22.6.**

Ontwikkeling van $D_n$ langs de eerste rij: $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-blok}
\end{vmatrix}$; de tweede determinant is, ontwikkeld langs zijn eerste kolom, gelijk aan $D_{n-2}$. Dus $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, dat wil zeggen $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: de verschillen zijn constant, gelijk aan $D_2 - D_1 = 1$. Bijgevolg is $D_n = D_1 +
(n - 1) = n + 1$. (Controle: $D_2 = 3$, en het geval $3\times3$ is [Voorbeeld 22.7](#ex-b1-det-cofactor): $D_3 = 4$.)

**Oefening 22.7 ★★.**

Vul [Voorbeeld 22.18](#ex-b1-det-parameter) aan: bereken de determinant $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ met de bewerking $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, en voer de volledige bespreking van het stelsel uit.

**Oplossing van Oefening 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant gelijk aan $(m+2)$; splits die af:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(ontwikkel langs de eerste kolom: de enige ingang $1$ draagt teken $+$, en de resterende $2 \times 2$ determinant is $0 \cdot 0 -
(m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

Bespreking. $m \notin \{1, -2\}$: een stelsel van Cramer; wegens de symmetrie van de vergelijkingen is $x = y = z$, en geeft elke vergelijking $(m + 2)x = 1$: eenduidige oplossing $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$. $m = 1$: alle drie de vergelijkingen luiden $x + y + z = 1$: de oplossingen vormen het affiene vlak $x + y + z = 1$. $m = -2$: het optellen van de drie vergelijkingen geeft $0 = 3$: lege oplossingsverzameling.

**Oefening 22.8 ★★.**

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ met *gehele* ingangen. Bewijs dat $A$ een inverse met gehele ingangen heeft dan en slechts dan als $\det A = \pm 1$. *(Neem voor de rechte richting determinanten; neem voor de omkering aan — of bewijs voor $n \leq
3$ met cofactoren — dat $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,
\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ met een gehele cofactormatrix.)*

**Oplossing van Oefening 22.8.**

($\Rightarrow$) Heeft $A^{-1}$ gehele ingangen, dan is $\det A \cdot
\det A^{-1} = 1$ met beide determinanten geheel (sommen van producten van ingangen): twee gehele getallen met product $1$ zijn beide $\pm1$.

($\Leftarrow$) De cofactorformule $A^{-1} = \frac{1}{\det A}
\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (voor $n \leq 3$ door rechtstreeks ontwikkelen nagegaan, in het algemeen aangenomen) heeft een $\operatorname{Com}(A)$ met gehele ingangen (elke cofactor is een gehele determinant); delen door $\det A = \pm 1$ behoudt de geheeltalligheid.

**Oefening 22.9 ★★★.**

Bereken de $n \times n$ determinant van de matrix $aI + bJ$ ([Oefening 21.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9)), dus met $a + b$ op de diagonaal en $b$ elders. *(Tel alle kolommen bij de eerste op, splits af, en veeg schoon.)* Vind de voorwaarde voor inverteerbaarheid $a \neq
0$, $a + nb \neq 0$ terug.

**Oplossing van Oefening 22.9.**

Tel alle kolommen bij de eerste op: elke ingang van de nieuwe eerste kolom is $a + nb$; splits die af, zodat de eerste kolom uit enen bestaat. De [rij-operaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) vegen dan elke ingang onder de $1$ linksboven schoon en laten $a$ op de diagonaal en $0$ elders in die rijen: de matrix is een bovenste driehoeksmatrix met diagonaal $(1, a, \dots, a)$. Bijgevolg

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

ongelijk aan nul dan en slechts dan als $a \neq 0$ en $a + nb \neq
0$: de voorwaarde van [Oefening 21.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9).

**Oefening 22.10 ★★★.**

Zij $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Bewijs dat

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

met blokoperaties op kolommen en rijen ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, daarna $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, in blokvorm), waarbij je de natuurlijke blokdriehoeksregel $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M \det P$ aanneemt — bewezen voor $2 \times
2$ blokken in [Voorbeeld 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**Oplossing van Oefening 22.10.**

Blokoperaties (elk een samenstelling van de overeenkomstige $n$ scalaire bewerkingen, toegestaan door [Stelling 22.3](#thm-b1-det-props) (1)):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

met de blokdriehoeksregel voor de laatste stap.

**Oefening 22.11 ★★.**

(Circulant van orde $3$) Zij $a, b, c \in \C$ en

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

Bewijs dat $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$, en ontbind volledig over $\C$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(Begin met $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$; merk voor de complexe vorm op dat de kolom $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ zich bijna als een eigenvector gedraagt.)*

**Oplossing van Oefening 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ maakt de eerste kolom constant gelijk aan $(a + b + c)$; splits die af, en daarna $L_2 \leftarrow
L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

en uitgewerkt is $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc
- ca$. Over $\C$, met $j^3 = 1$ en $1 + j + j^2 = 0$:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

waaruit de volledige ontbinding volgt. (Structureel: de kolom $(1,
j, j^2)^{\mathsf T}$ voldoet aan $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a +
jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$, en net zo voor $j^2$ en $1$: de drie factoren zijn de drie “eigenwaarden” van de circulant, een verhaal dat in het volume van bachelorjaar 2 wordt gesystematiseerd.)

**Oefening 22.12 ★★★.**

(Rang en minoren) Zij $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. Bewijs dat $\operatorname{rk} A$ gelijk is aan de grootste omvang $r$ van een inverteerbare $r \times r$ deelmatrix van $A$ (een deelmatrix behoudt de ingangen op de kruisingen van $r$ gekozen rijen en $r$ gekozen kolommen). *(Is $\operatorname{rk} A = r$, kies dan $r$ [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) kolommen, en daarna $r$ [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) rijen van het resulterende $n
\times r$ blok; omgekeerd dwingt een inverteerbare deelmatrix af dat de bijbehorende kolommen van $A$ [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) zijn.)*

**Oplossing van Oefening 22.12.**

Schrijf $r = \operatorname{rk} A$.

*Er bestaat een inverteerbare $r \times r$ deelmatrix.* Kies $r$ [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) kolommen van $A$ en zij $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ de matrix die zij vormen: $\operatorname{rk} B = r$. Omdat de rijrang gelijk is aan de kolomrang ([Stelling 21.13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#thm-b1-matrices-rank)), heeft $B$ $r$ [vrije](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) rijen; die rijen behouden levert een $r \times r$ deelmatrix van $A$ van rang $r$, dus inverteerbaar.

*Een grotere bestaat niet.* Zij $S$ een inverteerbare $s \times
s$ deelmatrix, genomen uit de kolommen $j_1, \dots, j_s$ en de rijen $i_1, \dots, i_s$ van $A$. Wordt een combinatie $\sum_k
\lambda_k C_{j_k} = 0$ van de bijbehorende *volledige* kolommen nul, dan geeft alleen de rijen $i_1, \dots, i_s$ lezen dat $\sum_k
\lambda_k S_k = 0$ op de kolommen van $S$, dus zijn alle $\lambda_k
= 0$ ($S$ is inverteerbaar): de kolommen $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ van $A$ zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free), en $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

Bijgevolg is $\operatorname{rk} A$ precies de grootste omvang van een inverteerbare deelmatrix.

## 22.4 Opgave: de dubbele alternant van Cauchy

**Probleem 22.1.**

Twee determinanten beheersen de toepassingen van dit hoofdstuk: de [Vandermonde-determinant](#ex-b1-det-vandermonde), geëvalueerd in [Oefening 22.5](#exo-b1-det-5), en de *[Cauchy-determinant](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$, die hier wordt geëvalueerd. Rond hen verzamelt deze opgave het gereedschap van de alternanten: kunstgrepen met veeltermkolommen, interpolatie via Cramer, de [Hilbert-matrix](#pb-b1-det-1), de discriminant van een derdegraadsveelterm, en de methode van de alternerende [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def). Overal noteert $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ de waarde van Vandermonde.

**Deel I — Het gereedschap van Vandermonde.**

1. Bereken $V(1, 2, 3, 4)$ , en breng in herinnering waarom interpolatie in $n$ paarsgewijs verschillende knooppunten een stelsel van Cramer is.
2. (Veeltermalternant) Zij $P_0, \dots, P_{n-1}$ *[monisch](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def)* met $\deg P_k = k$. Bewijs dat $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ kolomoperaties vervangen elke machtskolom gratis door een willekeurige [monische](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) trap.
3. Pas vraag 2 toe op de binomiale [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $B_k =  \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$: bewijs dat voor *gehele* getallen $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ het product van alle paarsgewijze verschillen van $n$ gehele getallen is [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door de superfaculteit $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. Bewijs dat $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (met de machten nu beginnend bij $1$ ).
5. (Momentenmatrix) Zij $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i,  j \leq n}$ met $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. Bewijs dat $S  = W^{\mathsf T} W$ voor de matrix $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$, leid af dat $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ en besluit: $n$ *reële* getallen zijn paarsgewijs verschillend dan en slechts dan als hun momentenmatrix inverteerbaar is, en $\det S \geq 0$ altijd.

**Deel II — Interpolatie, herbekeken.** Knooppunten $x_1 < \dots < x_n$, waarden $y_1, \dots, y_n$.

6. Schrijf de voorwaarden “ $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ interpoleert” als een [lineair stelsel](#def-b1-det-system) in de $c_k$ met matrix $W$ , en vind uit $\det W = V \neq 0$ het bestaan en de eenduidigheid van de interpolant terug (vergelijk de twee eerdere bewijzen, [Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange) en [Voorbeeld 20.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. Bewijs met de regel van Cramer en [cofactorontwikkeling](#thm-b1-det-cofactor) van de betreffende determinant langs haar laatste kolom dat de kopcoëfficiënt van de interpolant gelijk is aan $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (Confluente Vandermonde) Bereken $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ en interpreteer: de gegevens $\bigl(P(x_1), P'(x_1),  P(x_2)\bigr)$ bepalen een eenduidige $P \in \R_2[X]$ wanneer $x_1 \neq x_2$ (interpolatie van Hermite).
9. Bepaal de eenduidige $P \in \R_2[X]$ met $P(0) = 1$ , $P'(0)  = 0$ , $P(1) = 2$ , en toets je antwoord aan vraag 8.

**Deel III — De [Cauchy-determinant](#pb-b1-det-1).** Zij $a_1,
\dots, a_n$ en $b_1, \dots, b_n$ scalairen met $a_i + b_j \neq 0$ voor alle $i, j$, en

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. Bereken $C_2$ met de hand en breng hem in de gedaante “producten van verschillen gedeeld door producten van sommen”.
11. Voer voor $n \geq 2$ de bewerkingen $L_i \leftarrow L_i -  L_n$ ($i < n$) uit en splits rijen en kolommen af om te bewijzen dat $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ waarbij $M$ op de rijen $i < n$ met de Cauchy-matrix overeenstemt en als laatste rij $(1, 1, \dots, 1)$ heeft.
12. Voer $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) uit op $M$, splits opnieuw af, en besluit met inductie tot de *dubbele alternant van Cauchy*: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. Leid het criterium voor inverteerbaarheid af (de $a_i$ paarsgewijs verschillend en de $b_j$ paarsgewijs verschillend). Voor de *[Hilbert-matrix](#pb-b1-det-1)* $H_n =  \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : bereken $\det H_2$ en $\det H_3$ met de formule, en ga na dat $H_2^{-1}$ gehele ingangen heeft.
14. Toon aan dat voor paarsgewijs verschillende $b_j$ en een willekeurig rechterlid het stelsel $\sum_j \frac{c_j}{a_i +  b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) een eenduidige oplossing heeft, en breng dit in verband met het bestaan en de eenduidigheid van de splitsing in partieelbreuken met enkelvoudige [polen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#def-b1-fractions-field) ( [Stelling 9.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#thm-b1-fractions-complex) ).

**Deel IV — De discriminant van een derdegraadsveelterm.** Zij $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ de wortels (in $\C$) van $X^3 + pX + q$, en $p_k = \lambda_1^k +
\lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. Bereken met $\lambda^3 = -p\lambda - q$ in elke wortel en met Vieta ( $p_1 = 0$ ) de waarden $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ en $p_4 = 2p^2$ .
16. Bereken met vraag 5 (over $\C$, waarbij $\det S = V^2$ behouden blijft) $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. Leid af: $X^3 + pX + q$ heeft een herhaalde wortel dan en slechts dan als $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; toets dit op $X^3 - 3X  + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
18. Stel $p, q$ reëel. Bewijs dat de derdegraadsveelterm drie verschillende reële wortels heeft dan en slechts dan als $\operatorname{disc} > 0$ , en één reële plus twee niet-reële toegevoegde wortels dan en slechts dan als $\operatorname{disc} < 0$ . *(Is $\lambda_3 =  \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ en $\lambda_1 \in \R$, toon dan aan dat $V$ zuiver imaginair is.)*

**Deel V — Dividenden, en de alternerende methode.**

19. Toon voor $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ aan dat $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. Bereken $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq  3}$ voor $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , eerst met de vragen 2–3, daarna door rechtstreeks te ontwikkelen.
21. Zij $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ paarsgewijs verschillend en ongelijk aan nul. Bewijs met een inverteerbare Vandermonde-matrix opnieuw dat de meetkundige rijen $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ een [vrije familie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) van de ruimte van de rijen vormen.
22. Bereken $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq  3}$ met de dubbele alternant.
23. (Alternerende [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) ) Noem een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $F$ in $x_1,  \dots, x_n$ *alternerend* wanneer het verwisselen van twee willekeurige veranderlijken zijn teken verandert. Toon aan dat een alternerende $F$ nul wordt zodra $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), en leid — één veranderlijke tegelijk, met de factorstelling — af dat $F$ [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) is door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. Gebruik vraag 23 om de formule van Vandermonde opnieuw te bewijzen zonder inductie: de determinant $\det(x_i^{\,j-1})$ is een alternerende [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van totale graad $\binom n2$ , en dus een *constant* veelvoud van $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ ; bepaal de constante door één monoom te vergelijken.
25. Synthese, in vier zinnen: welke enkele eigenschap van de determinant (welk axioma) alle ontbindingen van deze opgave voortbrengt; waarom de identiteit voor de momentenmatrix uit vraag 5 een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) over *complexe* onderscheidbaarheid omzet in een berekenbare *reële* tekentoets; welke twee klassieke matrices hier volledig zijn geëvalueerd en welke [lineaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) problemen zij besturen; en hoe de alternerende methode van de vragen 23–24 in één klap verklaart waarom $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ steeds weer opduikt. Benoem de stelling van deel III.

**Oplossing van Probleem 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1
\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. Interpolatie in verschillende knooppunten vraagt om de coëfficiënten van $P$ die $W c = y$ oplossen met $W = (x_i^{\,j-1})$, en $\det W = V \neq 0$: een stelsel van Cramer.

**2.** Werk de kolommen van links naar rechts af. $C_1$ is de constante kolom $P_0(x_i) = 1$ ($P_0$ is [monisch](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $0$). Neem aan dat de kolommen $1, \dots, j-1$ al zijn gereduceerd tot de zuivere machten $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. Omdat $P_{j-1} =
X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, laat het aftrekken van de combinatie $\sum_k \alpha_k\,(\text{kolom van } x_i^k)$ van $C_j$ — een bewerking die de determinant niet verandert — de zuivere machtskolom $x_i^{\,j-1}$ over. Na de laatste kolom is de matrix de Vandermonde-matrix: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** De [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ zijn [monisch](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) van graad $j - 1$, dus geeft vraag 2

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

Het linkerlid is de determinant van een matrix met *gehele* ingangen ($B_k$ is geheelwaardig op $\Z$: de vragen 16–17 van de weekendopgave [Probleem 18.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#pb-b1-vspaces-1)), dus een geheel getal; en het is positief omdat $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ voor $m_1 < \dots <
m_n$. De superfaculteit [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) dus het product van alle paarsgewijze verschillen.

**4.** Splits $x_i$ af uit elke rij $i$: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\,
\det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$: $S = W^{\mathsf T}W$. Bijgevolg is $\det
S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ ([Stelling 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). Voor reële $x_i$ is $\det S =
V^2 \geq 0$, en is $S$ inverteerbaar dan en slechts dan als $V \neq
0$, dus dan en slechts dan als de $x_i$ paarsgewijs verschillend zijn — een tekenbepaalde toets, berekenbaar uit de machtsommen alleen.

**6.** De interpolatievoorwaarden $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} =
y_i$ vormen het stelsel $Wc = y$; $\det W = V \neq 0$ geeft het bestaan en de eenduidigheid in één keer. Dit is het derde bewijs in het boek: de expliciete formule in [Stelling 8.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-lagrange), het argument met de kern in [Voorbeeld 20.10](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ex-b1-linmaps-interpolation), en Cramer hier.

**7.** Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ met $W'$ gelijk aan $W$ met haar laatste kolom vervangen door $y$. Ontwikkeling van $\det W'$ langs die kolom geeft

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

Nu is $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i}
(x_j - x_i)$, en het omzetten van het tweede product kost $(-1)^{n-i}$:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

waaruit $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — opnieuw de formule van de [gedeelde differenties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#pb-b1-vspaces-1).

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ geeft de rijen $(1, x_1,
x_1^2)$, $(0, 1, 2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\
(x_2-x_1)(x_2+x_1))$; ontwikkeling langs de eerste kolom en het afsplitsen van $(x_2 - x_1)$ geven

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

Ongelijk aan nul voor $x_1 \neq x_2$: het [lineaire](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#def-b1-linmaps-def) stelsel dat $P(x_1) = u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ uitdrukt in de coëfficiënten van $P \in \R_2[X]$ is een stelsel van Cramer — de interpolatie van Hermite met een verdubbeld knooppunt is goed gesteld.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ met $a = P(0) = 1$, $b = P'(0) =
0$, $a + b + c = P(1) = 2$: $c = 1$, dus $P = 1 + X^2$, eenduidig. Consistentie: hier is $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ en is de determinant van vraag 8 gelijk aan $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** Rechtstreekse berekening:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

en de teller werkt uit tot $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 =
(a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$: verschillen gedeeld door sommen.

**11.** Voor $i < n$ is de nieuwe ingang van rij $i$

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

Splits $(a_n - a_i)$ af uit elke rij $i < n$, en daarna $\frac1{a_n + b_j}$ uit elke kolom $j$: wat overblijft heeft ingangen $\frac1{a_i + b_j}$ in de rijen $i < n$ en constant $1$ in rij $n$ — de matrix $M$, met de aangekondigde voorfactor.

**12.** Op $M$ maakt de bewerking $C_j \leftarrow C_j - C_n$ voor $j < n$ van rij $n$ de rij $(0, \dots, 0, 1)$, en in rij $i <
n$

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

Splits $(b_n - b_j)$ af uit elke kolom $j < n$ en $\frac1{a_i +
b_n}$ uit elke rij $i < n$, en ontwikkel daarna langs de laatste rij (teken $(-1)^{n+n} = +1$): de overblijvende determinant is $C_{n-1}$. Het verzamelen van de factoren uit de vragen 11–12 geeft

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

en de inductie ([basis](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free) $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) zet precies de dubbele alternant van Cauchy in elkaar: de factoren $(a_j -
a_i)(b_j - b_i)$ voor alle paren, gedeeld door alle sommen $(a_i +
b_j)$.

**13.** De formule wordt nul dan en slechts dan als een $a_j =
a_i$ of een $b_j = b_i$: de Cauchy-matrix is inverteerbaar dan en slechts dan als beide families paarsgewijs verschillend zijn. Hilbert: $a_i = i$, $b_j = j - 1$. Voor $n = 2$: teller $(2-1)(1-0)
= 1$, noemer $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$: $\det H_2 = \frac1{12}$. Voor $n = 3$: teller $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, noemer $(1\cdot2\cdot3)(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 =
8640$: $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. Inverse voor $n =
2$:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

allemaal gehele getallen (een verschijnsel dat voor elke $n$ waar is).

**14.** De matrix van het stelsel is de Cauchy-matrix, volgens vraag 13 inverteerbaar wanneer de $b_j$ (en de $a_i$) paarsgewijs verschillend zijn: een eenduidige oplossing. Interpretatie: een rationale functie $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ met enkelvoudige [polen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#def-b1-fractions-field) wordt bepaald door $n$ van haar waarden $R(a_1), \dots, R(a_n)$, en omgekeerd wordt elk zo’n gegevensblad precies één keer gerealiseerd — de bemonsteringstegenhanger van de stelling over het bestaan en de eenduidigheid van de splitsing in partieelbreuken ([Stelling 9.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** Vieta voor $X^3 + pX + q$: $\lambda_1 + \lambda_2 +
\lambda_3 = 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, dus $p_1 = 0$ en $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. Elke wortel voldoet aan $\lambda^3 =
-p\lambda - q$; sommeren geeft $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. Vermenigvuldigen met $\lambda$ en sommeren geeft $p_4 = -p\,p_2 -
q\,p_1 = 2p^2$.

**16.** Volgens vraag 5 (de identiteit $S = W^{\mathsf T}W$ en $\det S = V^2$ gelden over $\C$) is

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

ontwikkeld langs de eerste rij.

**17.** Een herhaalde wortel betekent twee gelijke $\lambda_i$, dus $V = 0$, dus $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2
= 0$. Voor $X^3 - 3X + 2$: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$, in overeenstemming met de dubbele wortel $1$ van $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** De niet-reële wortels van een reële derdegraadsveelterm komen in toegevoegde paren, dus doen zich bij $\operatorname{disc} \neq 0$ precies twee gevallen voor. Drie verschillende reële wortels: $V$ is reëel en ongelijk aan nul, dus $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. Eén reële wortel $\lambda_1$ en $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$: dan is

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

zodat $V$ een zuiver imaginair getal ongelijk aan nul is en $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. De twee tekens karakteriseren de twee gevallen.

**19.** Neem $b_i = a_i$ in de dubbele alternant: de teller is $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ en de noemer $\prod_{i,j}(a_i + a_j)
> 0$ (alle ingangen positief): de determinant is positief. (In latere taal: de kern $\frac1{x+y}$ is positief definiet.)

**20.** Volgens de vragen 2–3 is de determinant gelijk aan $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} =
15$. Rechtstreeks is de matrix

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** Stel $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ als rij. Aflezen bij $k = 0, 1, \dots, n-1$ geeft $W^{\mathsf T}c = 0$ met $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ inverteerbaar ($\det = V \neq 0$, want de $\lambda_i$ zijn verschillend): $c = 0$. De meetkundige rijen zijn [vrij](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: teller $\bigl[(2-1)(3-1)
(3-2)\bigr]^2 = 4$; noemer $\prod_{i,j}(i + j) =
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 =
172800$. Bijgevolg is $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) =
\frac{4}{172800} = \frac1{43200}$.

**23.** Is $x_i = x_j$, dan houdt de verwisseling van de twee veranderlijken het punt vast maar moet zij het teken van $F$ veranderen: $F = -F$, dus $F = 0$ daar. [Deelbaarheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides): vat $F$ op als [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in de enkele veranderlijke $x_n$ met coëfficiënten in de overige veranderlijken; zij wordt nul in de $n - 1$ “waarden” $x_1, \dots, x_{n-1}$, dus geeft herhaald afsplitsen ([Stelling 8.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#thm-b1-poly-factor)) dat $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ met $G$ een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def). De voorfactor is invariant onder verwisselingen van twee indices $i, j < n$, dus is $G$ alternerend in $x_1, \dots, x_{n-1}$, en de inductie voltooit het bewijs: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ is een [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in de $x_i$; twee veranderlijken verwisselen verwisselt twee rijen, dus is $D$ alternerend, en volgens vraag 23 is $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ voor een zekere [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) $c$. Totale graden: $D$ heeft graad $\leq 0
+ 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$, en het product heeft graad precies $\binom n2$: $c$ is een constante. Het monoom $x_2\,x_3^2\cdots
x_n^{\,n-1}$ heeft coëfficiënt $1$ in $D$ (het diagonale product) en $1$ in het product (kies in elke factor de veranderlijke met de grootste index): $c = 1$, en de formule van Vandermonde valt eruit zonder enige inductie.

**25.** (i) Het alterneren — het axioma “twee gelijke kolommen doden de determinant” — is de motor: het bracht elke factor $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ van deze opgave voort. (ii) De identiteit $\det S = V^2$ vervangt de afzonderlijk complexe, onbereikbare wortels door hun machtsommen, die reële [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) in de coëfficiënten zijn, zodat de onderscheidbaarheid het teken van een berekenbaar reëel getal wordt. (iii) De [Vandermonde-determinant](#ex-b1-det-vandermonde) bestuurt de interpolatie met [veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def), en de [Cauchy-determinant](#pb-b1-det-1) bestuurt de partieelbreuken en de bemonsterde rationale functies (met de [Hilbert-matrix](#pb-b1-det-1) als beroemdste bijzondere geval). (iv) Elke alternerende [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) is [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$, en een graadtelling pint zo’n [veelterm](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#def-b1-poly-def) daarna op een constante na vast — en dat is waarom dit product overal blijft opduiken waar een determinant op samenvallingen nul wordt. De stelling van deel III is de *dubbele alternant van Cauchy*.