---
title: "Algebraïsche structuren"
book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1"
subject: math
language: nl
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren
---

# Hoofdstuk 7 — Algebraïsche structuren

Steeds weer duiken dezelfde rekenregels op: bij de gehele getallen, de reële getallen, de complexe getallen, de congruentieklassen, en straks bij veeltermen ([Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#ch-b1-poly)), vectoren en matrices (Hoofdstukken [18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces) en [21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). De algebra haalt de gemeenschappelijke patronen eruit en geeft ze een naam: *[groep](#def-b1-structures-group)*, *[ring](#def-b1-structures-ring)*, *[lichaam](#def-b1-structures-field)*. Een feit één keer bewijzen, op het niveau van de structuur, bewijst het in één klap voor elk voorbeeld.

## 7.1 Bewerkingen

**Definitie 7.1.**

Een *bewerking* op een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $E$ is een [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $E \times E \to E$, genoteerd $(x, y) \mapsto x * y$. Ze heet *associatief* wanneer steeds $(x*y)*z = x*(y*z)$, en *commutatief* wanneer steeds $x * y = y * x$. Een element $e$ is een *neutraal element* wanneer $e * x = x * e = x$ voor alle $x$; dan is $x'$ een *inverse* van $x$ wanneer $x * x' = x' * x = e$.

**Propositie 7.2 (Uniciteit).**

Een bewerking heeft hoogstens één neutraal element; bij een associatieve bewerking met neutraal element heeft elk element hoogstens één inverse.

**Bewijs.** Zijn $e$ en $e'$ neutrale elementen, dan is $e = e * e' = e'$. Inverteren $x'$ en $x''$ allebei $x$, dan is $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' *
x) * x'' = e * x'' = x''$. ∎

## 7.2 Groepen

**Definitie 7.3 (Groep).**

Een *groep* $(G, *)$ is een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) met een associatieve bewerking die een neutraal element bezit en waarin elk element een inverse heeft. De groep heet *abels* wanneer de bewerking commutatief is.

**Voorbeeld 7.4.**

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*,
\times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (de [eenheidswortels](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-unity), [Definitie 3.17](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-unity)); de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$ van de bijecties van een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $E$ op zichzelf, onder samenstelling — de *symmetrische groep* van $E$, niet [abels](#def-b1-structures-group) zodra $\abs E \geq 3$. Geen [groepen](#def-b1-structures-group): $(\N, +)$ (geen inversen), $(\Z,
\times)$ (alleen $\pm 1$ is inverteerbaar).

**Propositie 7.5 (Rekenregels).**

In een [groep](#def-b1-structures-group) $G$ (multiplicatief genoteerd, met neutraal element $e$) geldt:

1. schrappen: $ax = ay \implies x = y$ en $xa = ya \implies x = y$ ;
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ en $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
3. voor $a, b \in G$ heeft elk van de vergelijkingen $ax = b$ en $xa  = b$ precies één oplossing ( $x = a^{-1}b$ , respectievelijk $x = b  a^{-1}$ ).

**Bewijs.** (1) Vermenigvuldig aan de juiste kant met $a^{-1}$ en gebruik de associativiteit. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b =
e$, en symmetrisch; de uniciteit van de inverse maakt het af; het tweede punt is [Propositie 7.2](#prop-b1-structures-unique), toegepast op $a^{-1}$. (3) Substitueer, en gebruik (1) voor de uniciteit. ∎

**Voorbeeld 7.6 (De symmetrieën van een rechthoek).**

Een rechthoek die geen vierkant is, laat precies vier isometrieën op zichzelf toe: de identiteit $e$, de spiegeling $h$ in de horizontale as, de spiegeling $v$ in de verticale as, en de halve draai $r$ om het middelpunt. Samenstelling maakt van die [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) met vier elementen een [groep](#def-b1-structures-group): elk element is zijn eigen inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), en het product van twee verschillende elementen ongelijk aan $e$ is het derde ($hv = vh = r$: in beide assen spiegelen is de halve draai). De volledige tabel is symmetrisch, dus de [groep](#def-b1-structures-group) is [abels](#def-b1-structures-group) — en toch is het *niet* dezelfde [groep](#def-b1-structures-group) als de draaiingen $\mathbb U_4$ van [Voorbeeld 7.15](#ex-b1-structures-order): daar heeft $\iu$ [orde](#def-b1-structures-order) $4$, terwijl hier elk element [orde](#def-b1-structures-order) $\leq 2$ heeft. Twee [groepen](#def-b1-structures-group) van dezelfde grootte kunnen dus werkelijk verschillende vermenigvuldigingsstructuren hebben — de figuur hieronder zet beide tabellen naast elkaar. Deze [groep](#def-b1-structures-group) met vier elementen keert terug als $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, en [Oefening 7.7](#exo-b1-structures-7) legt uit waarom elke [groep](#def-b1-structures-group) waarin alle kwadraten triviaal zijn, net als deze, [abels](#def-b1-structures-group) moet zijn.

![Twee groepen met vier elementen: U_4 = \e, , -1, - \ (links) en de rechthoeksgroep (rechts), met de plaatsen van het neutrale element gearceerd. Links kronkelt het neutrale element (één element van orde 4 brengt alles voort); rechts vult het de diagonaal (elk element heeft kwadraat e). Geen enkele hernoeming maakt van de ene tabel de andere: de groepen zijn niet isomorf.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*Twee [groepen](#def-b1-structures-group) met vier elementen: $\mathbb U_4 = \{e, \iu, -1,
-\iu\}$ (links) en de rechthoeksgroep (rechts), met de plaatsen van het neutrale element gearceerd. Links kronkelt het neutrale element (één element van [orde](#def-b1-structures-order) $4$ brengt alles voort); rechts vult het de diagonaal (elk element heeft kwadraat $e$). Geen enkele hernoeming maakt van de ene tabel de andere: de [groepen](#def-b1-structures-group) zijn niet isomorf.*

**Definitie 7.7 (Deelgroep).**

Een deelverzameling $H$ van een [groep](#def-b1-structures-group) $G$ heet een *deelgroep* (genoteerd $H \leq G$) wanneer ze $e$ bevat en stabiel is onder de bewerking en onder inverteren. Dan is $H$ zelf een [groep](#def-b1-structures-group).

*Criterium:* een niet-lege $H \subseteq G$ is een deelgroep dan en slechts dan als

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**Bewijs van het criterium.** Een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) voldoet er duidelijk aan. Omgekeerd, zij $H \neq \emptyset$ die eraan voldoet, en kies $x_0 \in H$. Dan is $e = x_0 x_0^{-1} \in H$; voor $y \in H$ is $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$; en voor $x, y \in H$ is $xy
= x (y^{-1})^{-1} \in H$. ∎

**Voorbeeld 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: niet-leeg, en voor $z, w \in
\mathbb{U}_n$ is $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. De [deelgroepen](#def-b1-structures-subgroup) van $(\Z, +)$ zijn precies de $n\Z$ (bewezen in [Stelling 6.4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-gcd)). Een doorsnede van [deelgroepen](#def-b1-structures-subgroup) is altijd een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup), maar een vereniging vrijwel nooit ([Oefening 7.6](#exo-b1-structures-6)).

**Opmerking 7.9 (Veelgemaakte fouten met structuren).**

1. *Stabiliteit onder de bewerking volstaat niet.* $\N$ is binnen $\Z$ stabiel onder optellen en bevat $0$ , en is toch geen [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) : de inversen ontbreken. Het criterium $xy^{-1} \in H$ toetst alles in één keer — maar pas nadat je $H \neq  \emptyset$ hebt nagegaan.
2. *Niet-abelse reflexen.* In een algemene [groep](#def-b1-structures-group) is $(ab)^2 =  abab$ , wat alleen $a^2b^2$ is wanneer $a$ en $b$ commuteren; evenzo is $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ , met omgekeerde volgorde. Elke identiteit die je van de schoolalgebra meebrengt moet je opnieuw uit de axioma’s afleiden of als commutatief markeren.
3. *[Kern](#def-b1-structures-morphism) tegenover beeld.* $\ker f$ leeft in het *domein* , $\operatorname{im} f$ in het doel; “ $f$ is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) precies wanneer $\ker f$ triviaal is” ( [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) heeft geen tegenhanger met het beeld ( $\operatorname{im} f = G'$ is de surjectiviteit).
4. *[Ringen](#def-b1-structures-ring) zijn geen [groepen](#def-b1-structures-group) voor $\times$.* In een [ring](#def-b1-structures-ring) hoeven de meeste elementen niet inverteerbaar te zijn, en schrappen met $a$ vergt dat $a$ een eenheid is of dat de [ring](#def-b1-structures-ring) een [integriteitsdomein](#def-b1-structures-field) is: in $\Z/12\Z$ is $\overline3\,\overline2 =  \overline3\,\overline6$ terwijl $\overline2 \neq \overline6$ ( [Voorbeeld 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) ).

**Definitie 7.10 (Groepsmorfisme).**

Zij $(G, *)$ en $(G', \star)$ [groepen](#def-b1-structures-group). Een [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $f \colon G \to G'$ heet een *morfisme* wanneer

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

Dan is $f(e_G) = e_{G'}$ en $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. De *kern* en het *beeld* van $f$ zijn

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

Een [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) morfisme heet een *isomorfisme*; zijn inverse [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) is dan automatisch een morfisme.

**Bewijs van de beweringen.** $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$, en $f(e)$ schrappen geeft $e_{G'} =
f(e)$. Vervolgens wijst $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ het element $f(x^{-1})$ als de inverse aan. [Kern](#def-b1-structures-morphism): $e \in \ker f$; zijn $x, y
\in \ker f$, dan is $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$; het criterium is van toepassing. Beeld: hetzelfde criterium met $f(x)f(y)^{-1} =
f(xy^{-1})$. Inverse van een isomorfisme: schrijf voor $u, v \in G'$ de elementen $u = f(x)$ en $v = f(y)$; dan is $f^{-1}(u \star v) =
f^{-1}(f(xy)) = xy = f^{-1}(u) f^{-1}(v)$. ∎

**Propositie 7.11 (Injectiviteit via de kern).**

Een groepsmorfisme $f$ is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) dan en slechts dan als $\ker f =
\{e\}$.

**Bewijs.** Is $f$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), dan kan $\ker f$ alleen het ene [origineel](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) van $e_{G'}$ bevatten, en dat is $e$. Omgekeerd, is $\ker f = \{e\}$ en $f(x) = f(y)$, dan is $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$, dus $xy^{-1} = e$, oftewel $x = y$. ∎

**Voorbeeld 7.12.**

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ is een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) ($\eu^{x+y} =
\eu^x \eu^y$) en [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) ([Propositie 4.1](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-expln)): de additieve en de multiplicatieve structuur zijn isomorf — de historische bestaansreden van de logaritmen. Nog een [morfisme](#def-b1-structures-morphism): $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$ van $(\R, +)$ op de eenheidscirkel $(\mathbb{U},
\times)$, met [kern](#def-b1-structures-morphism) $2\pi\Z$.

**Voorbeeld 7.13 (Het tekenmorfisme).**

De [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ die $x$ naar zijn teken stuurt is een [morfisme](#def-b1-structures-morphism): het teken van een product is het product van de tekens. Haar [kern](#def-b1-structures-morphism) is $\intoo0{+\infty}$ (een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup), zoals [Definitie 7.10](#def-b1-structures-morphism) belooft), haar beeld heel $\{\pm1\}$: [surjectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj), en massaal [niet-injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). Twee algemene lessen in het klein. Ten eerste kan een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) informatie vermorzelen: $s$ onthoudt van $x$ niets dan één bit, en dat is juist haar deugd — argumenten met tekens zijn precies de berekeningen die door $s$ heen factoriseren. Ten tweede zijn [morfismen](#def-b1-structures-morphism) naar $\{\pm1\}$ de eenvoudigste “invarianten”: de signatuur van [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects), opgebouwd in de weekendopgave van dit hoofdstuk, is hetzelfde verschijnsel op de [groep](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$, en alle pariteitsargumenten die zij aandrijft dalen door zo’n tweewaardig [morfisme](#def-b1-structures-morphism) af.

**Definitie 7.14 (Machten, orde van een element).**

Zet in een [groep](#def-b1-structures-group) $G$ (multiplicatieve notatie) $x^0 = e$, $x^{k+1} = x^k
x$ en $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ voor $k \in \N$; dan is $x^{k+l} = x^k x^l$ voor alle $k, l \in \Z$, zodat $k \mapsto x^k$ een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) $(\Z, +) \to
G$ is waarvan het beeld $\langle x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) is, de [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) *voortgebracht* door $x$. De *orde* van $x$ is de kleinste $m \geq 1$ met $x^m = e$ als die bestaat (dan heeft $\langle x\rangle = \{e, x,
\dots, x^{m-1}\}$ precies $m$ elementen, en is $x^k = e \iff m \mid k$), en anders $\infty$.

**Voorbeeld 7.15.**

In $(\C^*, \times)$ heeft $\iu$ [orde](#def-b1-structures-order) $4$, met $\langle \iu \rangle = \{1,
\iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; algemener heeft $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ [orde](#def-b1-structures-order) $n$ met $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. In $(\Z, +)$ heeft elke $x \neq 0$ oneindige [orde](#def-b1-structures-order). Waarom de beweringen in de definitie kloppen: heeft $x$ [orde](#def-b1-structures-order) $m$, deel dan een willekeurige $k$ door $m$ ($k = mq + r$ met $0 \leq r < m$, [Stelling 6.2](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-division)): dan is $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, zodat de machten met periode $m$ rondgaan; de opgesomde elementen zijn twee aan twee verschillend wegens de minimaliteit van $m$, en $x^k = e$ dwingt $r = 0$ af. De [ordes](#def-b1-structures-order) van [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) worden in de weekendopgave hieronder berekend.

**Voorbeeld 7.16 (Ordes binnen U12\mathbb U_{12}U12​).**

Wat is de [orde](#def-b1-structures-order) van $\omega^k$ in $\mathbb U_n$, met $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$? Er geldt $(\omega^k)^m = 1$ precies wanneer $n \mid
km$, en met $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ en $\gcd(n', k') = 1$ is $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lemma van Gauss, [Stelling 6.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-gauss)). De kleinste zulke $m \geq 1$ is $n' =
\frac{n}{\gcd(n,k)}$. In $\mathbb U_{12}$ bijvoorbeeld heeft $\omega^8$ [orde](#def-b1-structures-order) $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (inderdaad is $\omega^8 =
\eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), terwijl $\omega^5$ [orde](#def-b1-structures-order) $12$ heeft: die brengt de hele [groep](#def-b1-structures-group) voort, hoewel het niet de “standaard” voortbrenger is. De voortbrengers tellen — de $k$ met $\gcd(k, n) = 1$ — geeft de tellingen van [relatief prieme](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#cor-b1-arith-bezout) getallen uit [Voorbeeld 2.25](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#ex-b1-counting-coprime) terug: groepentheorie en telkunde ontmoeten elkaar.

## 7.3 Ringen en lichamen

**Definitie 7.17 (Ring).**

Een *ring* $(A, +, \times)$ is een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) met twee bewerkingen zó dat $(A, +)$ een [abelse groep](#def-b1-structures-group) is (met neutraal element $0$), $\times$ associatief is met een neutraal element $1$, en $\times$ aan beide zijden distribueert over $+$. De ring heet *commutatief* wanneer $\times$ dat is. Een element $a$ heet *inverteerbaar* (een *eenheid*) wanneer $ab = ba = 1$ voor een zekere $b$; de eenheden vormen een [groep](#def-b1-structures-group) $(A^\times, \times)$.

**Bewijs dat de eenheden een groep vormen.** Stabiliteit: zijn $a, a'$ eenheden met inversen $b, b'$, dan is

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

symmetrisch, dus is $aa'$ een eenheid. Het element $1$ is een eenheid (zijn eigen inverse), de associativiteit wordt van $A$ overgeërfd, en de inverse $b$ van een eenheid $a$ is zelf een eenheid (met inverse $a$). Dus voldoet $(A^\times, \times)$ aan alle groepsaxioma’s. Elke [groep](#def-b1-structures-group) in dit boek die niet uit [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) is opgebouwd, ontstaat op deze manier: $\Q^* = \Q^\times$, $\R^*$, $\C^*$, de eenheden van $\Z/n\Z$ hieronder, en later de inverteerbare matrices ([Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). ∎

**Voorbeeld 7.18.**

$\Z, \Q, \R, \C$ zijn commutatieve [ringen](#def-b1-structures-ring); $\Z^\times = \{1, -1\}$ en $\Q^\times = \Q^*$. Later: veeltermringen $K[X]$ ([Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#ch-b1-poly)), matrixringen (niet-commutatief, [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)), en $\Z/n\Z$ hieronder. In elke [ring](#def-b1-structures-ring) is $0 \times a = 0$ (uit de distributiviteit: $0a
= (0+0)a = 0a + 0a$) en $(-1)a = -a$.

**Voorbeeld 7.19 (Idempotenten: nieuwe verschijnselen in nieuwe ringen).**

In $\Z$ heeft de vergelijking $x^2 = x$, oftewel $x(x - 1) = 0$, alleen de oplossingen $0$ en $1$. In $\Z/6\Z$ geeft het aflopen van alle klassen: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ en $\overline4^2 = \overline{16}
= \overline4$ — *vier* idempotenten. De twee exotische komen van nuldelers: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times
\overline2 = \overline6 = \overline0$, terwijl geen van beide factoren nul is. Zulke berekeningen ijken je instinct: vertrouwde feiten over vergelijkingen overleven in [integriteitsdomeinen](#def-b1-structures-field) en [lichamen](#def-b1-structures-field), maar een algemene [ring](#def-b1-structures-ring) kan zich anders gedragen, en doet dat ook — zie ook de booleaanse [ringen](#def-b1-structures-ring) van [Oefening 7.10](#exo-b1-structures-10), waar *elk* element idempotent is.

**Propositie 7.20 (Binomium in een commutatieve ring).**

Zijn $a, b$ elementen van een commutatieve [ring](#def-b1-structures-ring) (algemener: geldt $ab =
ba$), dan is voor $n \in \N$

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**Bewijs.** De bewijzen van [Stelling 2.16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#thm-b1-counting-binomial) en van de meetkundige identiteit gebruiken alleen de associativiteit, de commutativiteit van de twee elementen en de distributiviteit — ze gelden letterlijk. ∎

**Voorbeeld 7.21 (Het binomium in een ongewone ring).**

Twee snelle opbrengsten van de algemeenheid. In $\Z/p\Z$ ($p$ [priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-prime)) verdwijnen de middelste [binomiaalcoëfficiënten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) (de eerste stap van [Stelling 6.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-fermat)), zodat de stelling instort tot de *droom van de eerstejaars*

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{in } \Z/p\Z ,
$$

daar een echte identiteit, hoe misdadig ze over $\R$ ook oogt. En in elke commutatieve [ring](#def-b1-structures-ring) met een element $\varepsilon$ waarvoor $\varepsilon^2 =
0$, knot de stelling af: $(a + \varepsilon)^n = a^n +
n\,a^{n-1}\varepsilon$, want alle hogere termen dragen een factor $\varepsilon^2 = 0$. De coëfficiënt $n\,a^{n-1}$ van $\varepsilon$ is de afgeleide van $x^n$ — geen toeval, en een eerste aanwijzing dat afgeleiden evenzeer algebra als analyse zijn (vergelijk de formele afgeleide van [Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#ch-b1-poly)).

**Definitie 7.22 (Integriteitsdomein, lichaam).**

Een commutatieve [ring](#def-b1-structures-ring) $A \neq \{0\}$ heet een *integriteitsdomein* wanneer ze geen nuldelers heeft: $ab = 0 \implies a = 0$ of $b = 0$. Ze heet een *lichaam* wanneer elk element ongelijk aan nul inverteerbaar is. Elk lichaam is een integriteitsdomein (uit $ab = 0$ en $a \neq 0$ volgt $b = a^{-1}ab = 0$).

**Voorbeeld 7.23.**

$\Q$, $\R$ en $\C$ zijn [lichamen](#def-b1-structures-field); $\Z$ is een [integriteitsdomein](#def-b1-structures-field) maar geen [lichaam](#def-b1-structures-field). In een [integriteitsdomein](#def-b1-structures-field) mag je schrappen bij $\times$: uit $ab = ac$ en $a \neq 0$ volgt $b = c$.

## 7.4 De ring $\Z/n\Z$

**Definitie 7.24.**

Leg $n \in \N^*$ vast. De congruentieklassen modulo $n$ ([Voorbeeld 1.32](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#ex-b1-logic-congruence)) vormen een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\Z/n\Z$ met $n$ elementen, genoteerd $\overline 0,
\overline 1, \dots, \overline{n-1}$. De bewerkingen

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

zijn welgedefinieerd — de klassen van de resultaten hangen niet van de vertegenwoordigers af, juist omdat de [congruentie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-congruence) verenigbaar is met $+$ en $\times$ ([Definitie 6.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-congruence)) — en maken van $\Z/n\Z$ een commutatieve [ring](#def-b1-structures-ring).

**Stelling 7.25 (Eenheden van Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ; de lichamen Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. $\overline a$ is inverteerbaar in $\Z/n\Z$ dan en slechts dan als $\gcd(a, n) = 1$ .
2. $\Z/n\Z$ is een [lichaam](#def-b1-structures-field) dan en slechts dan als $n$ [priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-prime) is.

**Bewijs.** (1) is [Propositie 6.20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#prop-b1-arith-invmod), herschreven met klassen.

(2) Is $n = p$ [priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-prime), dan geldt voor elke $\overline a \neq \overline 0$ dat $p \nmid a$, dus $\gcd(a, p) = 1$: inverteerbaar volgens (1) — een [lichaam](#def-b1-structures-field). Is $n = ab$ met $1 < a, b < n$, dan is $\overline a\, \overline b
= \overline n = \overline 0$ met $\overline a, \overline b \neq \overline
0$: nuldelers, dus zelfs geen [integriteitsdomein](#def-b1-structures-field); en $n = 1$ geeft de nulring, die uitgesloten is. ∎

**Voorbeeld 7.26 (Hoeveel vierkantswortels van 111?).**

Los $x^2 = \overline 1$ op in $\Z/8\Z$ en in $\Z/7\Z$. De acht klassen modulo $8$ aflopen: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — *vier* oplossingen $\{\overline1,
\overline3, \overline5, \overline7\}$, hoewel de veelterm $X^2 - 1$ graad $2$ heeft. In het [lichaam](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$ daarentegen betekent $x^2 =
\overline1$ dat $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, en een [lichaam](#def-b1-structures-field) heeft geen nuldelers: $x = \pm\overline1$, slechts twee oplossingen. Het falen modulo $8$ is na te speuren: $(3-1)(3+1) = 2 \times
4 = 8 \equiv 0$ zonder dat een van beide factoren nul wordt. Moraal: de vertrouwde regel “een vergelijking van graad $d$ heeft hoogstens $d$ wortels” is een stelling over *[integriteitsdomeinen](#def-b1-structures-field)* ([Gevolg 8.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#cor-b1-poly-nroots) bewijst haar over [lichamen](#def-b1-structures-field)); in [ringen](#def-b1-structures-ring) met nuldelers faalt ze stilzwijgend — en precies daarom had het koppelbewijs van de stelling van Wilson ([Oefening 6.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#exo-b1-arith-11)) een [priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-prime) $p$ nodig.

**Voorbeeld 7.27 (Rekenen in Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ).**

In $\Z/12\Z$ zijn de eenheden $\overline 1, \overline 5, \overline 7,
\overline{11}$ (de klassen die [relatief priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#cor-b1-arith-bezout) zijn met $12$), en elk is zijn eigen inverse ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121
\equiv 1$). De vergelijking $\overline 3\, x = \overline 6$ heeft *drie* oplossingen ($x \in \{\overline 2, \overline 6,
\overline{10}\}$): zonder inverteerbaarheid mag je niet schrappen. In $\Z/11\Z$ daarentegen heeft elke vergelijking $\overline a x = \overline
b$ met $\overline a \neq \overline 0$ precies één oplossing.

**Voorbeeld 7.28 (De groepsaxioma’s als oplosvergunning).**

Los in de [groep](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$ de vergelijking $\overline 3\,x = \overline 5$ op. Volgens [Propositie 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3) bestaat de oplossing, is ze uniek en is ze gelijk aan $\overline3^{-1}\, \overline5$; omdat $\overline3 \times
\overline5 = \overline{15} = \overline1$, is de inverse van $\overline 3$ gelijk aan $\overline 5$, zodat

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{controle: } \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

Het gaat minder om het antwoord dan om de garantie: in een [groep](#def-b1-structures-group) is elke zulke vergelijking al vóór enige berekening op precies één manier oplosbaar, zodat een oplosprocedure nooit op “geen oplossing” of “meerdere” kan stuiten. Vergelijk $\overline3\,x = \overline6$ in $\Z/12\Z$ hierboven, waar die garantie faalt — weten in welke structuur je zit, is weten wat je als vanzelfsprekend mag aannemen.

**Voorbeeld 7.29 (Directe producten).**

Zijn $G$ en $H$ [groepen](#def-b1-structures-group), dan is de productverzameling $G \times H$ met de componentsgewijze bewerking $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ een [groep](#def-b1-structures-group): de axioma’s ga je coördinaat voor coördinaat na, met neutraal element $(e_G,
e_H)$ en inversen $(g^{-1}, h^{-1})$. [Ordes](#def-b1-structures-order) combineren via het kgv: $(g,
h)^m = (g^m, h^m)$ is het neutrale element precies wanneer de [orde](#def-b1-structures-order) van $g$ en die van $h$ beide $m$ delen. Zo heeft in $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (additief) elk element ongelijk aan nul [orde](#def-b1-structures-order) $2$ — dat is precies de rechthoeksgroep van [Voorbeeld 7.6](#ex-b1-structures-klein) in coördinaten — terwijl $\Z/4\Z$ een element van [orde](#def-b1-structures-order) $4$ bezit: een tweede, rekenvrij bewijs dat de twee [groepen](#def-b1-structures-group) van grootte $4$ niet isomorf zijn (een isomorfisme bewaart [ordes](#def-b1-structures-order)). Producten zijn de makkelijkste manier om uit oude [groepen](#def-b1-structures-group) nieuwe te maken, en het vlak $\R^2 = \R \times \R$ van [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces) is het belangrijkste geval van die constructie.

**Opmerking 7.30 (Fermat, structureel bekeken).**

In het [lichaam](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$ vormen de klassen ongelijk aan nul een multiplicatieve [groep](#def-b1-structures-group) met $p - 1$ elementen, en de kleine stelling van Fermat ([Stelling 6.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-fermat)) zegt: elk element $x$ van die [groep](#def-b1-structures-group) voldoet aan $x^{p-1} = \overline 1$. Dat is een geval van een algemeen feit over eindige [groepen](#def-b1-structures-group) (de stelling van Lagrange), bewezen in het tweede jaar; het koppelbewijs van de stelling van Wilson ([Oefening 6.11](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#exo-b1-arith-11)) had die groepentheoretische smaak al.

**Opmerking 7.31 (Tussenspel: wat abstractie oplevert).**

Je mag je afvragen wat er gewonnen werd door bijvoorbeeld [Propositie 7.2](#prop-b1-structures-unique) voor een abstracte bewerking te bewijzen in plaats van voor getallen. Het antwoord luidt: hefboomwerking. Dat argument van twee regels dekt nu in één klap: inversen van functies onder samenstelling ([Stelling 1.24](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#thm-b1-logic-inverse), waarvan het uniciteitsbewijs het woord voor woord herhaalt), inversen modulo $n$ ([Propositie 6.20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#prop-b1-arith-invmod)), inversen van reële getallen ongelijk aan nul, eenheden in elke [ring](#def-b1-structures-ring), en — ongezien — de inverteerbare matrices van [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices), waar de uniciteit van $A^{-1}$ geen enkele regel bewijs meer zal vergen. Dezelfde zuinigheid geldt voor [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) (één injectiviteitscriterium, hergebruikt voor lineaire [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) in [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps)) en voor het deelgroepcriterium. Abstractie is hier geen algemeenheid om de algemeenheid: het is de weigering hetzelfde lemma vijfmaal onder vijf namen te bewijzen. De prijs — bijhouden welke axioma’s elke [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) werkelijk gebruikte — is precies wat de oefeningen van dit hoofdstuk trainen.

**Opmerking 7.32 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt).**

Het vocabulaire van dit hoofdstuk is de grammatica van de rest van het volume. [Ringen](#def-b1-structures-ring) en [lichamen](#def-b1-structures-field) ordenen [Hoofdstuk 8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen#ch-b1-poly) ($K[X]$ is een [ring](#def-b1-structures-ring) die $\Z$ nabootst) en [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#ch-b1-fractions) ($K(X)$ is haar breukenlichaam); vectorruimten ([Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces)) zijn [abelse groepen](#def-b1-structures-group) waarop een [lichaam](#def-b1-structures-field) werkt; matrices ([Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)) vormen de eerste serieus niet-commutatieve [ring](#def-b1-structures-ring) van het volume, en hun inverteerbare elementen een [groep](#def-b1-structures-group) waarvan de studie de lineaire algebra zelf is. [Morfismen](#def-b1-structures-morphism) en [kernen](#def-b1-structures-morphism) keren terug als lineaire [afbeeldingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) en [kernen](#def-b1-structures-morphism) in [Hoofdstuk 20](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/20-lineaire-afbeeldingen#ch-b1-linmaps) — [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) *is* het injectiviteitscriterium van dat hoofdstuk, hier eens en voor altijd bewezen. De [symmetrische groep](#ex-b1-structures-groups), de ster van de weekendopgave hieronder, levert de signatuur waarop de determinanten in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) gebouwd worden.

## 7.5 Oefeningen

**Oefening 7.1 ★.**

Definieer op $E = \R \setminus \{1\}$ de bewerking $x * y = x + y - xy$. Bewijs dat $(E, *)$ een [abelse groep](#def-b1-structures-group) is. *(Wijs het neutrale element en de inverse van $x$ aan; ga de stabiliteit na: waarom is $x * y \neq
1$?)*

**Oplossing van Oefening 7.1.**

*Stabiliteit:* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$, onmogelijk voor $x, y \neq 1$. De sleutelidentiteit is namelijk

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

de [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ stuurt $(E, *)$ naar $(\R^*, \times)$ met $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — een [bijectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) [morfisme](#def-b1-structures-morphism). Alle axioma’s reizen nu mee: de associativiteit en de commutativiteit volgen uit die van $\times$; het neutrale element is $\varphi^{-1}(1) = 0$ (controle: $x * 0 = x$); de inverse van $x$ is $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) = 1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x -
1}$ (en die is $\neq 1$). Dus is $(E, *)$ een [abelse groep](#def-b1-structures-group).

**Oefening 7.2 ★.**

Welke van de volgende zijn [groepen](#def-b1-structures-group)?

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
3. $(\Q^*, \times)$ ;
4. de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de oneven gehele getallen onder optelling.

**Oplossing van Oefening 7.2.**

1. Ja: een product van positieve getallen is positief, het neutrale element is $1$ , de inverse $\frac 1x$ , en de associativiteit wordt van $\R^*$ overgeërfd.
2. Nee: niet stabiel ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
3. Ja: het standaardvoorbeeld.
4. Nee: niet stabiel (oneven $+$ oneven $=$ even), en geen neutraal element ( $0$ is even).

**Oefening 7.3 ★.**

Schrijf de samenstellingstabel van de [symmetrische groep](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ van $\{1,2,3\}$ op (zes bijecties: de identiteit, drie transposities en twee $3$-cykels), en wijs twee elementen aan die niet commuteren.

**Oplossing van Oefening 7.3.**

Noteer $\mathrm{id}$, de transposities $\tau_{12}, \tau_{13}, \tau_{23}$ (die de twee genoemde punten verwisselen), en de cykels $c = (1\,2\,3)$ (dus $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) en $c^2 = (1\,3\,2)$. De tabel van $\sigma\rho$ (rij $\sigma$, kolom $\rho$, met $\rho$ eerst toegepast):

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

Een paar dat niet commuteert: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$ terwijl $\tau_{13}\tau_{12} = c$. (Eén element ter controle: $\tau_{12}\tau_{13}$ stuurt $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3 \xmapsto{\tau_{12}}
3$, $3 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 2 \mapsto 1$: dat is $1 \mapsto 3
\mapsto 2 \mapsto 1$, de cykel $c^2 = (1\,3\,2)$.)

**Oefening 7.4 ★.**

Bewijs dat $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) van $(\C^*,
\times)$ is, en dat $\R_+^*$ er nog een is; is $H \cup \R_+^*$ een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup)?

**Oplossing van Oefening 7.4.**

$H$: er is $1 \in H$, en voor $z, w \in H$ is $\abs{zw^{-1}} = \abs z /
\abs w = 1$: het criterium is van toepassing. $\R_+^*$: net zo, met positiviteit in de plaats van $\abs{xy^{-1}}$. Vereniging: $\iu \in H$ en $2 \in \R_+^*$, maar $2\iu$ heeft [modulus](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-field) $2 \neq 1$ en is geen positief reëel getal: $2\iu \notin H \cup \R_+^*$, dus de vereniging is niet stabiel — geen [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) (zoals [Oefening 7.6](#exo-b1-structures-6) voorspelt: geen van beide [deelgroepen](#def-b1-structures-subgroup) bevat de andere).

**Oefening 7.5 ★★.**

Zij $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$, $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$. Bewijs dat $f$ een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) is, bereken $\ker f$ en $\operatorname{im} f$, en leid uit [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) af dat $f$ niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is. Beperk het domein zó dat ze [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) wordt op een zo groot mogelijk interval.

**Oplossing van Oefening 7.5.**

[Morfisme](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} = \eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([Stelling 3.7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#thm-b1-complex-funceq)). [Kern](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in
2\pi\Z$, dus $\ker f = 2\pi\Z \neq \{0\}$: niet [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj). Beeld: elk complex getal van [modulus](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-field) $1$ is $\eu^{\iu\theta}$ voor een zekere $\theta$ (poolvorm), dus $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$, de eenheidscirkel. De beperking van $f$ tot een halfopen interval van lengte $2\pi$, zoals $\intco{0}{2\pi}$ of $\intoc{-\pi}{\pi}$, is [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) (twee hoeken met hetzelfde beeld verschillen een veelvoud van $2\pi$, en per klasse past er precies één vertegenwoordiger in het interval); geen enkel langer interval voldoet, want dat bevat twee punten op afstand $2\pi$.

**Oefening 7.6 ★★.**

Zij $H, K$ [deelgroepen](#def-b1-structures-subgroup) van $G$. Bewijs dat $H \cap K$ een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) is, en dat $H \cup K$ *alleen* een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) is wanneer $H \subseteq K$ of $K \subseteq H$. *(Als $h \in H \setminus K$ en $k \in K \setminus
H$, waar kan $hk$ dan leven?)*

**Oplossing van Oefening 7.6.**

Doorsnede: $e \in H \cap K$, en voor $x, y \in H \cap K$ ligt $xy^{-1}$ zowel in $H$ als in $K$. Vereniging: is $H \subseteq K$, dan is de vereniging $K$, een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) (en symmetrisch). Omgekeerd, stel dat geen van beide inclusies geldt: kies $h \in H \setminus K$ en $k \in K
\setminus H$, en stel dat $H \cup K$ een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) zou zijn; dan is $hk
\in H \cup K$. Is $hk \in H$, dan is $k = h^{-1}(hk) \in H$: tegenspraak. Is $hk \in K$, dan is $h = (hk)k^{-1} \in K$: tegenspraak. Dus is $H \cup
K$ geen [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup).

**Oefening 7.7 ★★.**

Een [groep](#def-b1-structures-group) $G$ voldoet aan $x^2 = e$ voor alle $x \in G$. Bewijs dat $G$ [abels](#def-b1-structures-group) is. *(Werk $(xy)^2$ uit.)*

**Oplossing van Oefening 7.7.**

Merk eerst op dat $x^2 = e$ betekent dat $x^{-1} = x$ voor elke $x$. Dan is voor $x, y \in G$

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

volgens [Propositie 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2). Dus is $G$ [abels](#def-b1-structures-group).

**Oefening 7.8 ★★.**

In $\Z/18\Z$: som de eenheden op en bepaal de inverse van $\overline 5$; los $\overline 5\, x = \overline 7$ op; los $\overline 6\, x = \overline
3$ en $\overline 6\, x = \overline{12}$ op.

**Oplossing van Oefening 7.8.**

Eenheden van $\Z/18\Z$: de klassen die [relatief priem](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#cor-b1-arith-bezout) zijn met $18 = 2
\times 3^2$: $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11},
\overline{13}, \overline{17}$. Inverse van $\overline 5$: $5 \times 11 =
55 = 3\times 18 + 1$, dus $\overline 5^{-1} = \overline{11}$.

$\overline 5 x = \overline 7$: vermenigvuldig met $\overline{11}$: $x =
\overline{77} = \overline 5$ (want $77 = 4\times 18 + 5$). Eén oplossing.

$\overline 6 x = \overline 3$: de vergelijking $6x \equiv 3 \pmod{18}$ betekent $18 \mid 6x - 3$. Maar $6x - 3 = 3(2x - 1)$ is oneven, terwijl $18$ even is: een even getal kan geen oneven getal delen. Geen oplossing.

$\overline 6 x = \overline{12}$: $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x \equiv 2
\pmod 3$: de oplossingen zijn $x \in \{\overline 2, \overline 5, \overline
8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — zes stuks.

**Oefening 7.9 ★★.**

Bewijs dat de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ een [ring](#def-b1-structures-ring) is (een deelring van $\R$), en dat $1 + \sqrt 2$ er een eenheid van is met oneindig veel verschillende machten — zodat $\Z[\sqrt
2]^\times$ oneindig is, anders dan $\Z^\times$.

**Oplossing van Oefening 7.9.**

$\Z[\sqrt 2]$ bevat $0$ en $1$ en is stabiel onder aftrekken en vermenigvuldigen:

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

dus is het een deelring van $\R$ (commutativiteit, associativiteit en distributiviteit worden overgeërfd). Eenheid: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt
2) = 2 - 1 = 1$, dus $1 + \sqrt 2$ is inverteerbaar met inverse $\sqrt 2
- 1 \in \Z[\sqrt 2]$. Haar machten $(1 + \sqrt 2)^n$ zijn strikt stijgend (het grondtal is $> 1$) en dus twee aan twee verschillend, en elk is een eenheid ($\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 - 1)^n$): de [groep](#def-b1-structures-group) van de eenheden is oneindig.

**Oefening 7.10 ★★★.**

(Booleaanse [ringen](#def-b1-structures-ring)) Zij $A$ een [ring](#def-b1-structures-ring) waarin $x^2 = x$ voor elke $x$. Bewijs dat $x + x = 0$ voor alle $x$, en dat $A$ commutatief is. *(Werk $(x+x)^2$ en $(x+y)^2$ uit.)* Geef een voorbeeld van zo’n [ring](#def-b1-structures-ring) met $\mathcal{P}(E)$, waarbij je het symmetrisch verschil als optelling en de doorsnede als vermenigvuldiging neemt.

**Oplossing van Oefening 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — dus $2x = 4x$, wat $2x = 0$ geeft, oftewel $x + x = 0$ (elk element is zijn eigen tegengestelde). Vervolgens is

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

dus $xy + yx = 0$, oftewel $xy = -yx = yx$ (met $-z = z$). Bijgevolg is $A$ commutatief.

Voorbeeld: definieer op $\mathcal{P}(E)$ de bewerkingen $A + B = (A \cup
B) \setminus (A \cap B)$ (het symmetrisch verschil) en $A \times B = A
\cap B$. Je gaat na: $(\mathcal{P}(E), +)$ is een [abelse groep](#def-b1-structures-group) met neutraal element $\emptyset$ waarin elke [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) haar eigen inverse is; $\cap$ is associatief en commutatief met neutraal element $E$; en de distributiviteit $A \cap (B + C) = (A \cap B) + (A \cap C)$ geldt (een element ligt in het linkerlid precies wanneer het in $A$ ligt en in precies één van $B, C$). En $A \cap A = A$: elk element is idempotent, zoals gevraagd.

**Oefening 7.11 ★★★.**

Zij $G$ een [groep](#def-b1-structures-group) waarin, voor een zekere vaste $n \geq 1$, geldt $(xy)^n
= x^n y^n$, $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ en $(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ voor alle $x, y$. Bewijs dat $G$ [abels](#def-b1-structures-group) is. *(Leid uit de drie identiteiten eerst $y^n x = x y^n$ af, dan $y^{n+1} x = x
y^{n+1}$, en besluit.)*

**Oplossing van Oefening 7.11.**

Schrijf de hypothese voor $n$ en $n+1$ op:

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{en}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

Gelijkstellen geeft $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$; schrap links $x$ en rechts $y^n$: $x^n y = y x^n$. Dezelfde berekening één graad hoger ($n+1$ en $n+2$) geeft $x^{n+1} y = y x^{n+1}$. Dan is

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

en na $x^n$ rechts te schrappen in $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$ volgt $yx = xy$. Dus is $G$ [abels](#def-b1-structures-group).

**Oefening 7.12 ★★.**

1. Bepaal alle groepsmorfismen van $(\Z, +)$ naar $(\Z, +)$ .
2. Bewijs dat het enige groepsmorfisme van $(\Q, +)$ naar $(\Z, +)$ het nulmorfisme is. *(Vergelijk voor $x \in \Q$ en $n \in  \N^*$ de waarden $f(x)$ en $n\,f(x/n)$.)*

**Oplossing van Oefening 7.12.**

1. Zij $f \colon \Z \to \Z$ additief en $a = f(1)$ . Met inductie is $f(k) = ka$ voor $k \in \N$ , en $f(-k) = -f(k) = -ka$ : dus is $f$ de vermenigvuldiging met $a$ . Omgekeerd is elke [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $k  \mapsto ak$ een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) : de [morfismen](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,+) \to (\Z,+)$ zijn precies de vermenigvuldigingen met een vast geheel getal.
2. Zij $f \colon \Q \to \Z$ een [morfisme](#def-b1-structures-morphism), $x \in \Q$ en $n \in  \N^*$. Dan is $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ zodat het gehele getal $f(x)$ door elke $n \geq 1$ [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) is. Het enige zulke gehele getal is $0$: $f \equiv 0$.

## 7.6 Opgave: de symmetrische groep en de schuifpuzzel

**Probleem 7.1.**

De [groep](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ van de [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) van $\intint1n$ is de oudste [groep](#def-b1-structures-group) in de wiskunde en nog altijd de leerzaamste. Deze opgave bouwt haar structuurtheorie vanaf nul op — cykels, voortbrenging door transposities, het [morfisme](#def-b1-structures-morphism) *signatuur* $\varepsilon \colon
\mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (waarvan het bestaan werkelijk niet-triviaal is), en de [alternerende groep](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ voortgebracht door $3$-cykels — en verzilvert die dan op een klassieke puzzel: in het schuifspel van $3 \times 3$ kan geen enkele reeks zetten twee steentjes verwisselen en al het overige op zijn plaats laten. [Permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) werken op $\intint1n$; het product $\sigma\tau$ betekent “pas eerst $\tau$ toe”; en $[\,v_1, \dots, v_n]$ noteert de [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) die $i$ naar $v_i$ stuurt.

**Deel I — Cykels en transposities.**

1. Verantwoord $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ ( [Stelling 2.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#thm-b1-counting-counts) ). Bereken in $\mathfrak S_3$ beide producten van $\sigma = [2, 3, 1]$ en $\tau = [1, 3, 2]$ , en besluit dat $\mathfrak S_3$ niet [abels](#def-b1-structures-group) is.
2. Een *$k$-cykel* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , de $a_i$ twee aan twee verschillend) stuurt $a_1 \mapsto a_2  \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ en houdt al het overige vast; zijn *drager* is $\{a_1, \dots, a_k\}$ . Bewijs dat twee cykels met disjuncte dragers commuteren.
3. Bewijs dat elke $\sigma \in \mathfrak S_n$ een product is van cykels met twee aan twee disjuncte dragers, en dat die ontbinding uniek is op de volgorde van de factoren na. *(Beschouw voor elke $i$ de rij $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$: ze moet naar $i$ terugkeren; de zo verkregen *banen* partitioneren $\intint1n$, en $\sigma$ werkt op elk ervan als een cykel.)*
4. Ontbind $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in \mathfrak S_8$ in disjuncte cykels. Definieer de *[orde](#def-b1-structures-order)* van $\sigma$ als in [Definitie 7.14](#def-b1-structures-order) , bewijs dat de [orde](#def-b1-structures-order) van een product van disjuncte cykels het kgv van hun lengtes is, en bereken de [orde](#def-b1-structures-order) van deze $\sigma$ .
5. Bewijs de telescoperende identiteit $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ en besluit dat elke [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) een product van transposities is. Schrijf de $\sigma$ van vraag 4 als zo’n product.
6. Toon bovendien aan dat de *naburige* transposities $(i\ \  i{+}1)$ volstaan: voor $a < b$ is $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ een product van $2(b - a) - 1$ naburige transposities — een *oneven* aantal (die pariteit doet er hieronder tweemaal toe).

**Deel II — De signatuur bestaat.** Zij voor $\sigma \in
\mathfrak S_n$

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

haar aantal *inversies*, en zet $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$.

7. Bereken $N$ en $\varepsilon$ voor de identiteit, voor een transpositie $(i\ \ i{+}1)$ , en voor $[2, 3, 1]$ .
8. Bewijs dat voor elke $\sigma$ en elke naburige transpositie $\tau = (i\ \ i{+}1)$ geldt: $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . *(Rechts samenstellen met $\tau$ verwisselt de waarden op de plaatsen $i$ en $i + 1$; precies één paar verandert van inversiestatus.)*
9. Leid met vraag 6 af dat voor *elke* transpositie $\tau$ geldt $\varepsilon(\sigma\tau) = -\varepsilon(\sigma)$ ; besluit dat wanneer $\sigma$ een product van $p$ transposities is, $\varepsilon(\sigma) = (-1)^p$ — in het bijzonder hangt de pariteit van $p$ alleen van $\sigma$ af en niet van de gekozen ontbinding — en dat $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to  \{\pm 1\}$ een groepsmorfisme is.
10. Toon aan dat een $k$ -cykel signatuur $(-1)^{k-1}$ heeft, en dat in het algemeen $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n - c(\sigma)}$ , waarbij $c(\sigma)$ het aantal banen van $\sigma$ is (vaste punten meegerekend).
11. De *[alternerende groep](#pb-b1-structures-1)* is $\mathfrak A_n =  \ker\varepsilon$ . Verantwoord dat het een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) is en bewijs $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ voor $n \geq 2$ . *(Leg een transpositie $\tau_0$ vast en beschouw $\sigma \mapsto  \sigma\tau_0$.)*
12. Controle op $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : bereken $\varepsilon(\sigma)$ op drie manieren — door de inversies te tellen, uit het cykeltype via vraag 10, en uit je aantal transposities in vraag 5.

**Deel III — $\mathfrak A_n$ wordt voortgebracht door $3$-cykels.**

13. Zij $a, b, c, d$ twee aan twee verschillend. Ga de twee identiteiten $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d)$$ na.
14. Bewijs dat voor $n \geq 3$ elk element van $\mathfrak A_n$ een product van $3$ -cykels is. *(Een even [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) is een product van een even aantal transposities; slik ze twee aan twee in.)*
15. Schrijf $(1\ 2)(3\ 4)$ en de $5$ -cykel $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ expliciet als producten van $3$ -cykels.
16. Bewijs de conjugatieformule: voor elke $\sigma \in \mathfrak  S_n$ geldt $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**Deel IV — De schuifpuzzel.** De steentjes $1, \dots, 8$ schuiven in een raamwerk van $3 \times 3$ met één leeg vakje; een *zet* schuift een steentje dat aan het lege vakje grenst daarin. Nummer de vakjes $1, \dots, 9$ (rij voor rij; in de opgeloste stand ligt steentje $i$ in vakje $i$ en is vakje $9$ leeg). Behandel het lege vakje als een negende steentje, zodat een stand een [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) $\sigma \in \mathfrak
S_9$ is (steentje $\sigma(i)$ ligt in vakje $i$).

17. Toon aan dat een zet $\sigma$ vervangt door $\sigma \circ \tau$ , waarbij $\tau$ de transpositie van de twee betrokken vakjes is; leid af dat elke zet $\varepsilon(\sigma)$ omklapt.
18. Zij $d(\sigma)$ de manhattanafstand (rijen plus kolommen) tussen het huidige vakje van het lege vakje en zijn thuisvakje $9$. Toon aan dat elke zet $d$ met $\pm1$ verandert, zodat elke zet ook $(-1)^{d(\sigma)}$ omklapt. Besluit dat $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ *invariant* is onder elke zet.
19. Bewijs de klassieke onmogelijkheid van de puzzel: de stand waarin de steentjes $7$ en $8$ verwisseld zijn en al het overige (het lege vakje inbegrepen) op zijn plaats ligt, is vanuit de opgeloste stand onbereikbaar.
20. We nemen de omkering aan (het bewijs is een leerzame maar lange inductie): elke stand met $I = +1$ is bereikbaar. Leid af dat precies de helft van de $8!$ standen met het lege vakje thuis oplosbaar is, dat wil zeggen $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
21. Leid uit vraag 20 af dat de bereikbare schikkingen van de steentjes met het lege vakje thuis precies de [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ vormen.
22. Toepassingen van de invariant: kun je (a) de stand bereiken waarin de steentjes $1, 2, 3$ cyclisch verwisseld zijn en al het overige, het lege vakje inbegrepen, thuis ligt? (b) de stand waarin steentje $5$ en het lege vakje van plaats gewisseld zijn en alle andere steentjes thuis liggen? Verantwoord beide antwoorden met $I$ .

**Deel V — Synthese.**

23. Bewijs dat voor $n \geq 3$ de enige groepsmorfismen $f \colon  \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ het constante [morfisme](#def-b1-structures-morphism) en $\varepsilon$ zijn. *(Toon met vraag 16 en de commutativiteit van $\{\pm1\}$ aan dat $f$ op alle transposities dezelfde waarde aanneemt.)*
24. Waar precies gebruikte de opgave: (i) het begrip [morfisme](#def-b1-structures-morphism) en [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ; (ii) de telprincipes van [Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#ch-b1-counting) ; (iii) de kwestie van de welgedefinieerdheid die de vragen 8–9 beslechten? Eén zin per onderdeel.
25. Synthese, in een korte alinea: één pariteitsfunctie, één keer welgedefinieerd bewezen, ordent tegelijk de inwendige structuur van $\mathfrak S_n$ (de [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ ), beslist een fysieke puzzel, en zal — via de formule $\det = \sum_\sigma  \varepsilon(\sigma)\cdots$ — de determinanten in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det) definiëren. Becommentarieer het terugkerende patroon: invarianten zetten “probeer alle reeksen zetten” om in één berekening.

**Oplossing van Probleem 7.1.**

**1.** Een [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) is een bijectie van $\intint1n$, dat wil zeggen een $n$-variatie van $n$ objecten: er zijn er $n!$ ([Stelling 2.12](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#thm-b1-counting-counts)). Met $\sigma = [2,3,1]$ en $\tau =
[1,3,2]$: $\sigma\tau$ stuurt $1 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3
\mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 3$, dus $\sigma\tau = [2,1,3]$; en $\tau\sigma$ stuurt $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $2 \mapsto 3 \mapsto 2$, $3
\mapsto 1 \mapsto 1$, dus $\tau\sigma = [3,2,1] \neq \sigma\tau$.

**2.** Zij $\gamma, \gamma'$ met disjuncte dragers $S, S'$. Voor $x
\in S$ is $\gamma'(x) = x$ en $\gamma(x) \in S$, dus $\gamma\gamma'(x) =
\gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$. Symmetrisch voor $x \in S'$; en beide leden houden elke $x \notin S \cup S'$ vast. Dus $\gamma\gamma' =
\gamma'\gamma$.

**3.** Voor $i \in \intint1n$ leven de waarden $i, \sigma(i),
\sigma^2(i), \dots$ in een [eindige verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-card), dus is $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$ voor zekere $a < b$; de injectiviteit geeft $\sigma^{b-a}(i)
= i$: de rij keert naar $i$ terug. Noem de *baan* van $i$ de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$, met $k \geq 1$ minimaal zodat $\sigma^k(i) = i$. Twee banen die elkaar in één punt ontmoeten vallen samen (beide zijn de voorwaartse $\sigma$-beelden van dat punt), zodat de banen $\intint1n$ partitioneren; $\sigma$ werkt op elke baan van grootte $k \geq 2$ als de $k$-cykel $(i\ \sigma(i)\ \cdots\
\sigma^{k-1}(i))$ en houdt de singletons vast. Het product van die disjuncte cykels stemt overal met $\sigma$ overeen. Uniciteit: in elke ontbinding in disjuncte cykels moet de cykel door $i$ gelijk zijn aan $(i\
\sigma(i)\ \cdots)$ — de cykels zijn gedwongen de banen met hun geïnduceerde werking te zijn.

**4.** De banen volgend: $1 \to 4 \to 2 \to 1$, $3 \to 5 \to 3$, $6
\to 7 \to 8 \to 6$:

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

Is $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ met disjuncte cykels van lengte $k_1,
\dots, k_r$, dan geeft de commutativiteit (vraag 2) dat $\sigma^m =
\gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$, en omdat de dragers disjunct zijn, is $\sigma^m = \mathrm{id}$ precies wanneer elke $\gamma_i^m = \mathrm{id}$, dus wanneer $k_i \mid m$ voor alle $i$ (een $k$-cykel heeft [orde](#def-b1-structures-order) $k$: $\gamma^m$ stuurt $a_1$ naar $a_{1 + (m \bmod k)}$). De kleinste zulke $m$ is $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$. Hier: $\operatorname{lcm}(3, 2,
3) = 6$.

**5.** Pas het rechterlid punt voor punt toe, met de meest rechtse factor eerst. $a_1 \mapsto a_2$ door $(a_1\ a_2)$, waarna elke latere factor $a_2$ vasthoudt: netto $a_1 \mapsto a_2$. Voor $2 \leq i < k$ blijft $a_i$ onaangeroerd tot $(a_1\ a_i)$ hem naar $a_1$ stuurt, waarna de eerstvolgende factor $(a_1\ a_{i+1})$ het element $a_1$ naar $a_{i+1}$ stuurt en niets het daarna nog verplaatst: netto $a_i \mapsto a_{i+1}$. Ten slotte wordt $a_k$ door alle factoren vastgehouden behalve door de meest linkse, die hem naar $a_1$ stuurt. Dat is precies de cykel. Omdat elke [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) een product van cykels is (vraag 3), is ze een product van transposities. Voor de $\sigma$ van vraag 4:

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

vijf transposities.

**6.** Inductie naar $b - a$. Voor $b = a + 1$ is de identiteit triviaal ($1 = 2\cdot1 - 1$ factor). Voor $b > a + 1$ ga je rechtstreeks na dat $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$: het rechterlid stuurt $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$, $b \mapsto b
\mapsto a{+}1 \mapsto a$ en $a{+}1 \mapsto a \mapsto a \mapsto a{+}1$, en houdt de rest vast. Volgens de inductiehypothese is $(a{+}1\ \ b)$ een palindroom product van $2(b - a - 1) - 1$ naburige transposities, zodat $(a\ b)$ er een van $2(b - a) - 1$ is: een oneven aantal.

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$ en $\varepsilon = +1$. Voor $(i\ \
i{+}1)$ is het enige omgekeerde paar $(i, i+1)$: $N = 1$ en $\varepsilon =
-1$. Voor $[2, 3, 1]$ zijn de omgekeerde paren $(1, 3)$ (waarden $2 > 1$) en $(2, 3)$ (waarden $3 > 1$): $N = 2$ en $\varepsilon = +1$.

**8.** De waardenlijsten van $\sigma$ en $\sigma\tau$ verschillen alleen door de verwisseling van de plaatsen $i$ en $i + 1$. Voor een paar plaatsen dat $i, i+1$ niet betreft, verandert er niets. Voor $k < i$ wisselen de twee paren $(k, i)$ en $(k, i+1)$ van inversiestatus (dezelfde twee waarden worden met $\sigma(k)$ vergeleken, in de andere volgorde van plaatsen): hun totale bijdrage blijft ongewijzigd; evenzo voor $k > i +
1$. Het ene resterende paar $(i, i+1)$ klapt van status om. Bijgevolg is $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$.

**9.** Zij $\tau = (a\ b)$ een willekeurige transpositie: volgens vraag 6 is ze een product van een oneven aantal naburige transposities, zodat rechts vermenigvuldigen met $\tau$ het getal $N$ in totaal met een oneven aantal verandert (vraag 8, herhaald toegepast): $\varepsilon(\sigma \tau) = -\varepsilon(\sigma)$. Is nu $\sigma =
\tau_1\cdots \tau_p$ (transposities), bouw haar dan vanaf de identiteit op met $p$ vermenigvuldigingen rechts: $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$. Omdat $\varepsilon(\sigma)$ via de inversies gedefinieerd is — onafhankelijk van elke ontbinding — is de pariteit van $p$ een invariant van $\sigma$. [Morfisme](#def-b1-structures-morphism): schrijf $\sigma$ met $p$ en $\sigma'$ met $q$ transposities, dan gebruikt $\sigma\sigma'$ er $p + q$: $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$.

**10.** Een $k$-cykel is een product van $k - 1$ transposities (vraag 5): $\varepsilon = (-1)^{k-1}$. Voor een algemene $\sigma$ met banen van grootte $k_1, \dots, k_r$ (met $k_i \geq 2$) plus $f$ vaste punten is $c(\sigma) = r + f$ en $n = k_1 + \dots + k_r + f$, dus

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ is een [deelgroep](#def-b1-structures-subgroup) als [kern](#def-b1-structures-morphism) van een [morfisme](#def-b1-structures-morphism) ([Definitie 7.10](#def-b1-structures-morphism)). Leg een transpositie $\tau_0$ vast (die bestaat voor $n \geq 2$). De [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $\sigma \mapsto
\sigma\tau_0$ is een bijectie van $\mathfrak S_n$ (haar eigen inverse) die $\mathfrak A_n$ verwisselt met de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) van de oneven [permutaties](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) (vraag 9). Die twee [verzamelingen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) partitioneren $\mathfrak S_n$ en zijn even groot: $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$.

**12.** *Inversies* van $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$: bij waarde $4$: boven $1, 2, 3$: drie; bij $5$: boven $2, 3$: twee; bij $7$: boven $6$: één; bij $8$: boven $6$: één. $N = 7$ en $\varepsilon = -1$. *Cykeltype:* $c = 3$ banen en $n = 8$: $\varepsilon = (-1)^{8-3} =
-1$. *Aantal transposities:* vijf in vraag 5: $(-1)^5 = -1$. Alle drie komen overeen.

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (meest rechtse eerst): $a \mapsto c \mapsto
c$; $c \mapsto a \mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$: de $3$-cykel $(a\ c\
b)$. En $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$: $a \mapsto c \mapsto b$; $b \mapsto b
\mapsto a$; $c \mapsto d \mapsto d$; $d \mapsto a \mapsto c$: dat is $(a\
b)(c\ d)$, zoals beweerd.

**14.** Zij $\sigma \in \mathfrak A_n$: volgens vraag 9 is $\sigma =
\tau_1\cdots\tau_{2m}$ met een even aantal transposities. Groepeer ze in opeenvolgende paren $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$: zijn de twee gelijk, dan is het paar de identiteit en verdwijnt het; delen ze precies één punt, dan schrijft de eerste identiteit van vraag 13 het paar als één $3$-cykel; zijn ze disjunct, dan schrijft de tweede identiteit het als twee $3$-cykels. Bijgevolg is $\sigma$ een product van $3$-cykels (of de identiteit, een leeg product — en voor $n \geq 3$ ook $(1\ 2\ 3)^3$).

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (vraag 13 met $a{=}1,
b{=}2, c{=}3, d{=}4$). Voor de $5$-cykel: volgens vraag 5 is $(1\ 2\ 3\ 4\
5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$, en per paar: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$ en $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$:

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

(Controle op $3$: $(1\ 2\ 3)$ stuurt $3 \to 1$, waarna $(1\ 4\ 5)$ het element $1 \to 4$ stuurt: netto $3 \to 4$, correct.)

**16.** Pas beide leden toe op een willekeurig punt. Voor $i =
\sigma(a_j)$ geeft het linkerlid $\sigma\bigl((a_1\ \dots\
a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (indices modulo $k$), en dat is wat het rechterlid met $\sigma(a_j)$ doet. Is $i$ niet van die vorm, dan ligt $\sigma^{-1}(i)$ buiten de drager, zodat het linkerlid $i$ vasthoudt, en het rechterlid eveneens. Overal gelijk.

**17.** Het steentje uit vakje $c'$ in het lege vakje $c$ schuiven verwisselt de inhoud van de vakjes $c$ en $c'$ (steentje $9$, het lege vakje, gaat naar $c'$). Lag steentje $\sigma(i)$ in vakje $i$, dan is de nieuwe stand $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$: dezelfde inhoud, behalve dat de vakjes $c, c'$ elkaars vroegere inhoud lezen. Volgens vraag 9 is $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$.

**18.** Een zet stuurt het lege vakje naar een aangrenzend vakje: zijn rij of zijn kolom verandert met precies $1$, zodat de manhattanafstand $d$ tot vakje $9$ met $\pm1$ verandert en $(-1)^d$ omklapt. Omdat elke zet zowel $\varepsilon(\sigma)$ als $(-1)^{d(\sigma)}$ omklapt, blijft hun product $I(\sigma)$ bij elke zet ongewijzigd: een invariant.

**19.** De opgeloste stand heeft $\varepsilon = +1$ en $d = 0$: $I =
+1$. De doelstand (steentjes $7, 8$ verwisseld, lege vakje thuis) is de transpositie van de inhoud van de vakjes $7$ en $8$: $\varepsilon = -1$ en $d = 0$, dus $I = -1$. Omdat $I$ invariant is en de twee waarden verschillen, verbindt geen enkele reeks zetten ze.

**20.** Een stand met het lege vakje thuis is een [permutatie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) van de $8$ steentjes over de vakjes $1, \dots, 8$, dus een element van $\mathfrak
S_8$; ze heeft $d = 0$, zodat $I = \varepsilon(\sigma)$. Bereikbaarheid dwingt $I = +1$ af, dus $\sigma \in \mathfrak A_8$; de aangenomen omkering zegt dat heel $\mathfrak A_8$ bereikt wordt. Telling: $\abs{\mathfrak
A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (vraag 11).

**21.** Volgens vraag 20 vormen de bereikbare schikkingen met het lege vakje thuis precies $\mathfrak A_8$ — in het bijzonder een *[deelgroep](#def-b1-structures-subgroup)* van $\mathfrak S_8$: twee oplosbare verhaspelingen samenstellen, of er één inverteren, blijft oplosbaar, wat met puur puzzelredeneren verre van vanzelfsprekend is.

**22.** (a) Een $3$-cykel van steentjes met het lege vakje thuis: $\varepsilon = +1$ (vraag 10), $d = 0$, dus $I = +1$: bereikbaar (wegens de aangenomen omkering) — drie steentjes cyclisch verwisselen kan. (b) Steentje $5$ en het lege vakje verwisseld: de stand is de transpositie van de inhoud van de vakjes $5$ en $9$, dus $\varepsilon = -1$; het lege vakje ligt in het midden, op manhattanafstand $d = 2$ van thuis, dus $(-1)^d = +1$ en $I = -1$: onbereikbaar. Je kunt het lege vakje niet zomaar “in het midden parkeren” met de steentjes voor het overige op [orde](#def-b1-structures-order).

**23.** Zij $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ een [morfisme](#def-b1-structures-morphism). Voor elke twee transposities $\tau, \tau'$ levert vraag 16 een $\sigma$ met $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (beeld de twee verplaatste punten op de twee andere af; $n \geq 3$ garandeert de ruimte daarvoor, al is zelfs $n =
2$ hier triviaal). Dan is $f(\tau') = f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} =
f(\tau)$, want $\{\pm1\}$ is [abels](#def-b1-structures-group): $f$ is constant op de transposities. Is die constante $+1$, dan is $f = 1$ op alle producten van transposities, dus overal (vraag 5). Is ze $-1$, dan is $f(\sigma) = (-1)^p =
\varepsilon(\sigma)$ op een product van $p$ transposities. Dus $f \in \{1,
\varepsilon\}$.

**24.** (i) De morfisme-eigenschap van $\varepsilon$ en de machinerie van de [kern](#def-b1-structures-morphism) gaven $\mathfrak A_n$ haar deelgroepstructuur en haar grootte, en redeneringen in de trant van [Propositie 7.11](#prop-b1-structures-kernel) lopen door de vragen 11 en 21. (ii) Tellen: $\abs{\mathfrak S_n} = n!$, het halveringsargument van vraag 11 en de telling $20\,160$ van vraag 20 zijn [Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#ch-b1-counting) aan het werk. (iii) De vragen 8–9 beslechten een echt probleem van welgedefinieerdheid — “de pariteit van het aantal transposities” veronderstelt dat die pariteit niet van de ontbinding afhangt, net zoals de bewerkingen van $\Z/n\Z$ onafhankelijkheid van de vertegenwoordigers vergden in [Definitie 7.24](#def-b1-structures-zn).

**25.** De signatuur is één enkele berekening met waarden in $\{\pm1\}$, één keer welgedefinieerd bewezen, en ze doet drie dingen tegelijk: intern snijdt ze $\mathfrak S_n$ doormidden en isoleert ze $\mathfrak A_n$ met haar voortbrengende $3$-cykels; extern beslist ze in één regel een vraag (“kunnen deze twee steentjes verwisseld worden?”) die zoeken nooit kon beslechten, want geen enkele eindige lijst mislukte zetreeksen bewijst onmogelijkheid; en structureel is ze de motor van de wisselende tekens in de formule $\det A = \sum_\sigma
\varepsilon(\sigma)\, a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ van [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det). Het patroon — zoek een grootheid die door elke elementaire zet bewaard blijft, en bereken haar in de begin- en in de doelstand — is het standaardwapen van de wiskundige tegen vragen van het type “kan het?”, en het keert terug telkens als een [groep](#def-b1-structures-group) op een [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) toestanden werkt.