--- title: "Veeltermen" book: "Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1" subject: math language: nl chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/8-veeltermen --- # Hoofdstuk 8 — Veeltermen [Veeltermen](#def-b1-poly-def) zijn de lievelingsfuncties van de algebraïcus — behalve dat ze hier niet als functies behandeld worden, maar als formele uitdrukkingen in een onbepaalde $X$, opgeteld en vermenigvuldigd volgens de regels van een commutatieve [ring](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-ring). De theorie loopt opvallend parallel met [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#ch-b1-arith): een euclidische deling, een ggd met betrekkingen van Bézout, irreducibele elementen en een unieke ontbinding. Overal noteert $K$ hetzij $\Q$, hetzij $\R$, hetzij $\C$. ## 8.1 De ring $K[X]$ **Definitie 8.1 (Veelterm, graad).** Een *veelterm* met coëfficiënten in $K$ is een formele som $$ P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k, $$ met $a_k \in K$ die vanaf een zekere index alle nul zijn. Met de natuurlijke optelling en het product $$ \Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k $$ is de [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) $K[X]$ een commutatieve [ring](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-ring). De *graad* $\deg P$ van $P \neq 0$ is de grootste $n$ met $a_n \neq 0$; $a_n$ is de *kopcoëfficiënt* ($P$ heet *monisch* wanneer $a_n = 1$), en per afspraak is $\deg 0 = -\infty$. Elke veelterm definieert door substitutie een functie $x \mapsto P(x)$ op $K$. **Propositie 8.2 (Graadregels; integriteitsdomein).** Voor $P, Q \in K[X]$ geldt $$ \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q . $$ Bijgevolg is $K[X]$ een [integriteitsdomein](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field), en zijn de eenheden ervan de constanten ongelijk aan nul. **Bewijs.** De somregel is duidelijk (voorbij het maximum verdwijnen de coëfficiënten). Voor het product: zij $a_m$ en $b_n$ de kopcoëfficiënten, dan is de coëfficiënt van $X^{m+n}$ in $PQ$ gelijk aan $a_m b_n \neq 0$ ($K$ is een [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) en dus een [integriteitsdomein](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field)), en alle hogere coëfficiënten verdwijnen. Zijn $P, Q \neq 0$, dan is $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$, dus $PQ \neq 0$: een [integriteitsdomein](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field). Is $PQ = 1$, dan dwingt $\deg P + \deg Q = 0$ af dat $\deg P = \deg Q = 0$: de inverteerbare elementen zijn de inverteerbare constanten, dus heel $K^*$. ∎ **Stelling 8.3 (Euclidische deling).** Zij $A, B \in K[X]$ met $B \neq 0$. Er is precies één paar $(Q, R)$ [veeltermen](#def-b1-poly-def) met $$ A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B . $$ **Bewijs.** *Bestaan*, met sterke inductie naar $\deg A$. Is $\deg A < \deg B$, neem dan $(Q, R) = (0, A)$. Anders schrijf je $A = a X^m + \dots$ en $B = b X^n + \dots$ met $m \geq n$; de [veelterm](#def-b1-poly-def) $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ heeft graad $< m$ (de kopterme heffen elkaar op), dus is volgens de inductie $A_1 = BQ_1 + R$ met $\deg R < \deg B$, en $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$. *Uniciteit:* is $BQ + R = BQ' + R'$, dan is $B(Q - Q') = R' - R$ met $\deg(R' - R) < \deg B$; de graadregel dwingt dan $Q - Q' = 0$ af, waarna $R = R'$. ∎ **Voorbeeld 8.4.** Deel $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ door $B = X^2 + 1$: $$ X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2). $$ (Reken na: trek $X^2 B$ af, dan $X B$, dan $-B$; de rest $-3X + 2$ heeft graad $1 < 2$.) **Methode 8.5 (Het schema van Horner).** Om $P = a_nX^n + \dots + a_0$ in $x$ te evalueren, of om $P$ door $X - x$ te delen, vermijd je het berekenen van machten: lees de coëfficiënten van links naar rechts en herhaal *vermenigvuldig met $x$, tel de volgende coëfficiënt op*: $$ b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) . $$ Dan is $b_0 = P(x)$, en de eerdere $b_k$ zijn de coëfficiënten van het quotiënt: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (werk uit en vergelijk). Voorbeeld: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ in $x = 2$: de $b$’s zijn $1, -3, 0, 4, 0$, dus $P(2) = 0$ en $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — één regel in plaats van een staartdeling, en $n$ vermenigvuldigingen in plaats van de $\approx n^2/2$ van de naïeve evaluatie. Het schema in hetzelfde punt herhalen haalt de [multipliciteiten](#def-b1-poly-derivative) naar boven (vergelijk [Voorbeeld 8.12](#ex-b1-poly-multexample)). **Opmerking 8.6 (De rekenkunde van K[X]K[X]K[X]).** Met de euclidische deling in handen draagt de hele rekenkunde van [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#ch-b1-arith) over naar $K[X]$, met dezelfde bewijzen en met de graad in de rol van de absolute waarde: ggd (genormaliseerd tot een [monische veelterm](#def-b1-poly-def)), uitgebreid [algoritme van Euclides](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#met-b1-arith-euclid), identiteit van Bézout, lemma van Gauss, irreducibele [veeltermen](#def-b1-poly-def) en unieke ontbinding. We gebruiken die overgedragen resultaten vrijelijk, en [Oefening 8.6](#exo-b1-poly-6) oefent er één van in. ## 8.2 Wortels **Stelling 8.7 (Factorstelling).** Zij $P \in K[X]$ en $a \in K$. De rest van $P$ bij deling door $X - a$ is de constante $P(a)$. In het bijzonder geldt $$ P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P . $$ Algemener leveren verschillende wortels $a_1, \dots, a_r$ van $P$ de ontbinding $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ op. **Bewijs.** Deel: $P = (X - a) Q + R$ met $\deg R < 1$, zodat $R$ een constante $c$ is; substitutie van $X = a$ (substitueren respecteert sommen en producten) geeft $P(a) = c$. De equivalentie volgt. Voor meerdere wortels voer je inductie naar $r$: het geval $r = 1$ is de zojuist bewezen equivalentie. Neem de [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) aan voor $r - 1$ wortels en zij $a_1, \dots, a_r$ verschillende wortels van $P$. Schrijf $P = (X - a_1)Q_1$; substitutie van $a_i$ voor elke $i \geq 2$ geeft $$ 0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 , $$ en omdat $K$ geen nuldelers heeft, is $Q_1(a_i) = 0$: de $r - 1$ verschillende punten $a_2, \dots, a_r$ zijn wortels van $Q_1$. De inductiehypothese ontbindt $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$, en terugsubstitueren geeft de bewering. ∎ **Gevolg 8.8 (Een veelterm van graad nnn heeft hoogstens nnn wortels).** Een $P \in K[X]$ ongelijk aan nul en van graad $n$ heeft hoogstens $n$ verschillende wortels in $K$. Bijgevolg is een [veelterm](#def-b1-poly-def) (van graad $\leq n$) die in $n + 1$ verschillende punten nul is, de nulveelterm, en zijn twee [veeltermen](#def-b1-poly-def) van graad $\leq n$ die in $n+1$ punten overeenstemmen gelijk. **Bewijs.** Zijn $a_1, \dots, a_r$ verschillende wortels, dan geeft [Stelling 8.7](#thm-b1-poly-factor) dat $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$, zodat $n = \deg P \geq r$. De twee gevolgen volgen uit het ongerijmde, respectievelijk door het verschil te beschouwen. ∎ **Voorbeeld 8.9 (De truc met de hulpveelterm).** Zij $P$ de [veelterm](#def-b1-poly-def) van graad $\leq n$ met $$ P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ; $$ hij bestaat en is uniek wegens de [Lagrange-interpolatie](#thm-b1-poly-lagrange) hieronder. Wat is $P(n+1)$? Werk de noemers weg: de [veelterm](#def-b1-poly-def) $Q = (X+1)P - X$ heeft graad $\leq n + 1$ en is nul in de $n + 1$ punten $0, 1, \dots, n$, dus volgens [Stelling 8.7](#thm-b1-poly-factor) is $$ Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n) $$ voor een zekere constante $c$. Evalueer waar $Q$ onafhankelijk bekend is: in $X = -1$ is $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$, terwijl het product $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ oplevert; dus $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$. Evalueer nu in $X = n + 1$: $$ (n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} , $$ zodat $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$: gelijk aan $1$ voor oneven $n$ en aan $\frac{n}{n+2}$ voor even $n$ — de interpolerende [veelterm](#def-b1-poly-def) zet het patroon $\frac{n+1}{n+2}$ dus *niet* voort. De truc om te onthouden: codeer de gegevens als wortels van een hulpveelterm, bepaal de onbekende constante in een punt buiten de gegevens, en oogst. **Definitie 8.10 (Afgeleide, multipliciteit).** De *formele afgeleide* van $P = \sum a_k X^k$ is $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$; ze voldoet aan de gewone regels $(P+Q)' = P' + Q'$ en $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (na te gaan op monomen en uit te breiden met de lineariteit). Een wortel $a$ van $P$ heeft *multipliciteit* $m \geq 1$ wanneer $(X-a)^m \mid P$ maar $(X-a)^{m+1} \nmid P$; de wortel heet *enkelvoudig* als $m = 1$ en *meervoudig* als $m \geq 2$. **Propositie 8.11 (Multipliciteit via afgeleiden).** $a$ is een wortel van $P$ van [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) $\geq m$ dan en slechts dan als $$ P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 . $$ In het bijzonder is $a$ een meervoudige wortel van $P$ dan en slechts dan als $P(a) = P'(a) = 0$. **Bewijs.** Schrijf $P = (X - a)^m Q + R$, waarbij $R$ de rest van de deling door $(X-a)^m$ is, met $\deg R < m$. Differentiëren we $k \leq m - 1$ maal en evalueren we in $a$, dan draagt de eerste term $0$ bij (elke afgeleide houdt een factor $(X-a)$ over), zodat $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$. Nu ligt een [veelterm](#def-b1-poly-def) $R$ van graad $< m$ vast door $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$: schrijf $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (dat kan: werk de machten van $X = (X - a) + a$ uit), dan vind je $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$. Bijgevolg: alle $P^{(k)}(a) = 0$ voor $k < m$ $\iff$ alle $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$. ∎ **Voorbeeld 8.12 (Een multipliciteit berekenen).** Wat is de [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) van de wortel $2$ in $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Evalueer de opeenvolgende afgeleiden in $2$: $$ P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0, $$ $$ P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0 $$ (met $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ en $P''' = 24X - 30$). Drie waarden nul en dan een waarde ongelijk aan nul: [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) precies $3$. Delen geeft $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — wat je nagaat door $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ uit te werken en met $X + 1$ te vermenigvuldigen. Het inzicht: [multipliciteiten](#def-b1-poly-derivative) lees je af aan *evaluaties*, zonder ontbinding — en precies zo spoor je ze op wanneer de ontbinding buiten bereik ligt. **Voorbeeld 8.13 (Meervoudige wortels opsporen met een ggd).** Ook zonder één bekende wortel levert [Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) nog een *globale* detector van meervoudige wortels: $a$ is een meervoudige wortel van $P$ precies wanneer het een gemeenschappelijke wortel van $P$ en $P'$ is, zodat $P$ een meervoudige wortel (in $\C$) heeft precies wanneer $\gcd(P, P') \neq 1$ — berekenbaar met het [algoritme van Euclides](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#met-b1-arith-euclid) zonder ook maar iets op te lossen. Voorbeeld: $P = X^3 - 3X + 2$ met $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. De wortels $\pm1$ van $P'$ in $P$ toetsen: $P(1) = 0$ maar $P(-1) = 4$, dus $$ \gcd(P, P') = X - 1 : $$ de wortel $1$ is meervoudig; tweemaal delen geeft $P = (X - 1)^2(X + 2)$. De ggd meldt zelfs de volledige [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) meervoudige wortels, elk met een [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) die één lager ligt — het feit dat elk computeralgebrasysteem uitbuit om “kwadraatvrij te ontbinden” vóór er naar wortels gejaagd wordt, en de veeltermtegenhanger van de argumenten zonder meervoudige wortels in [Oefening 8.9](#exo-b1-poly-9). **Stelling 8.14 (Hoofdstelling van de algebra).** Elke niet-constante [veelterm](#def-b1-poly-def) van $\C[X]$ heeft een wortel in $\C$. **Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎ **Opmerking 8.15.** Ondanks haar naam is de stelling een [uitspraak](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) uit de *analyse*: elk bekend bewijs gebruikt de volledigheid van $\R$ in een of andere vorm, en geen enkel is zuiver algebraïsch — het eerlijke bewijs wordt gegeven in het volume van bachelorjaar 3, zodra ofwel complexe integratie ofwel compactheidsargumenten beschikbaar zijn. Wat dit hoofdstuk werkelijk bewijst, is de *herleiding*: gegeven één wortel voor elke niet-constante [veelterm](#def-b1-poly-def), volgen de volledige ontbindingen over $\C$ en $\R$ hieronder met zuivere algebra. **Gevolg 8.16 (Ontbinding over C\CC en over R\RR).** 1. Elke $P \in \C[X]$ ongelijk aan nul ontbindt als $$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$$ met $c$ de kopcoëfficiënt, $a_i$ de verschillende complexe wortels en $\sum m_i = \deg P$: *met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) geteld heeft een [veelterm](#def-b1-poly-def) van graad $n$ precies $n$ complexe wortels*. 2. Elke $P \in \R[X]$ ongelijk aan nul ontbindt over $\R$ als $$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$$ waarbij de kwadratische factoren verschillend zijn met $p_j^2 - 4q_j < 0$ (geen reële wortels). **Bewijs.** (1) Inductie naar de graad, waarbij je telkens één wortel afsplitst met [Stelling 8.7](#thm-b1-poly-factor); de graden kloppen bij elke stap. (2) Zij $P$ met reële coëfficiënten. Is $z$ een complexe wortel van [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) $m$, dan is $\conj z$ dat ook: toevoegen in $P(z) = 0$ geeft $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (de coëfficiënten zijn hun eigen toegevoegde), en hetzelfde geldt voor de afgeleiden ([Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)). Groepeer de niet-reële wortels in toegevoegde paren: elk paar draagt $$ (X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 $$ bij, een reële tweedegraadsveelterm met negatieve discriminant. De reële wortels leveren de lineaire factoren. ∎ **Voorbeeld 8.17.** $X^4 + 4$ werd in [Oefening 3.5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#exo-b1-complex-5) over $\R$ ontbonden door de vier complexe wortels $\pm 1 \pm \iu$ te koppelen: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Geen van beide kwadratische factoren splitst over $\R$ (discriminanten $-4$). Merk op: een *irreducibele* reële [veelterm](#def-b1-poly-def) heeft graad $1$ of $2$ — en dat is precies wat de ontbindingsstelling zegt. Hetzelfde koppelen van toegevoegde wortels toegepast op $X^4 + 1$, waarvan de wortels $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ en $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ zijn: elk paar draagt $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ bij, dus $$ X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) , $$ een identiteit die onzichtbaar blijft voor naïeve ontbindingspogingen over $\Q$ — de prijs van het aandringen op reële (hier zelfs irrationale) coëfficiënten, en een standaardingrediënt voor het integreren van $\frac1{x^4 + 1}$ in [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ch-b1-integration). ![De Tsjebysjev-veelterm T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X op ∈tcc-11: hij oscilleert precies tussen -1 en 1 en raakt de grenzen in zes punten (gemarkeerd). Die equi-oscillatie is wat van 2-4T_5 de monische vijfdegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op het interval maakt ( en de weekendopgave).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-poly/fig-ce798e953ef6.svg) *De [Tsjebysjev-veelterm](#pb-b1-poly-1) $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ op $\intcc{-1}1$: hij oscilleert precies tussen $-1$ en $1$ en raakt de grenzen in zes punten (gemarkeerd). Die *equi-oscillatie* is wat van $2^{-4}T_5$ de [monische](#def-b1-poly-def) vijfdegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op het interval maakt ([Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10) en de weekendopgave).* **Opmerking 8.18 (Veelgemaakte fouten met veeltermen).** 1. *[Veelterm](#def-b1-poly-def) tegenover functie.* Over $K = \Q, \R, \C$ vallen beide begrippen samen (gelijke functies hebben gelijke coëfficiënten, wegens [Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots) en de oneindigheid van $K$ ), maar begripsmatig *is* een [veelterm](#def-b1-poly-def) zijn lijst coëfficiënten: over het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) $\Z/2\Z$ met twee elementen uit [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#ch-b1-structures) is $X^2 + X$ nul in beide punten, en toch niet de nulveelterm. 2. *Graden bij optelling.* $\deg(P + Q)$ kan onder $\max(\deg P, \deg Q)$ zakken wanneer de koptermen elkaar opheffen; “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” schrijven is alleen veilig bij verschillende graden. 3. *Wortels correct tellen.* “ $n$ wortels” in [Gevolg 8.16](#cor-b1-poly-factorization) betekent *met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative), in $\C$* : $X^2 + 1$ heeft geen reële wortels, en $(X-1)^2$ heeft één verschillende wortel maar twee met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) . [Uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) die de drie tellingen door elkaar halen zijn de meest voorkomende bron van valse bewijzen. 4. *Irreducibiliteit hangt van het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) af.* $X^2 - 2$ is irreducibel over $\Q$ en splitst over $\R$ ; $X^2 + 1$ is irreducibel over $\R$ en splitst over $\C$ . Het kale woord “irreducibel” betekent niets zolang het [lichaam](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/7-algebraische-structuren#def-b1-structures-field) van de coëfficiënten niet genoemd is. ## 8.3 Coëfficiënten en wortels **Stelling 8.19 (Formules van Vieta).** Zij $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ [monisch](#def-b1-poly-def) met wortels $a_1, \dots, a_n \in \C$ (met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative)). Dan is $$ \sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 , $$ waarbij de $k$-de symmetrische functie van de wortels gelijk is aan $(-1)^k c_{n-k}$. **Bewijs.** Volgens [Gevolg 8.16](#cor-b1-poly-factorization) is $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ ([monisch](#def-b1-poly-def), alle wortels opgesomd). Het product distributief uitwerken levert één term per manier om in elke factor hetzij $X$, hetzij de wortelterm $-a_i$ te kiezen: de wortels kiezen in de factoren met index $i_1 < \dots < i_k$ en $X$ in de $n - k$ andere draagt $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ bij. Groeperen naar de macht van $X$: $$ P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} , $$ en gelijkstellen met $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (de coëfficiënten zijn uniek, [Definitie 8.1](#def-b1-poly-def)) geeft $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$, oftewel $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$, waarbij $\sigma_k$ de $k$-de symmetrische functie hierboven noteert. De drie getoonde gevallen zijn $k = 1$, $k = 2$ en $k = n$. ∎ **Voorbeeld 8.20.** Voor de tweedegraadsveelterm $X^2 - sX + p$: de som van de wortels is $s$ en het product $p$ — al herhaaldelijk gebruikt ([Oefening 3.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#exo-b1-complex-8)). Voor een [monische](#def-b1-poly-def) derdegraadsveelterm $X^3 + aX^2 + bX + c$ met wortels $\alpha, \beta, \gamma$: $$ \alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c , $$ waarmee je symmetrische grootheden als $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ berekent zonder op te lossen. **Voorbeeld 8.21 (De wortels transformeren zonder ze te vinden).** Zij $\alpha, \beta$ de wortels van $X^2 - 3X + 1$. Welke [monische](#def-b1-poly-def) tweedegraadsveelterm heeft $\alpha^2, \beta^2$ als wortels? Volgens Vieta is $\alpha + \beta = 3$ en $\alpha\beta = 1$, dus $$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 : $$ het antwoord is $X^2 - 7X + 1$ — verkregen zonder $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ te berekenen. (Controle: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$, en inderdaad is $\alpha^2 + \beta^2 = 7$.) Dezelfde strategie behandelt omgekeerden (transformaties van het type $X^2 - \frac ba X + \frac ca$), verschuivingen en alle symmetrische gegevens: Vieta zet vragen over *onbekende* wortels om in algebra op *bekende* coëfficiënten. Ze zal voortdurend van pas komen wanneer de wortels eigenwaarden zijn ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det)). **Voorbeeld 8.22 (Palindromische vergelijkingen).** Los $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ op. De coëfficiënten lezen in beide richtingen hetzelfde, dus $0$ is geen wortel en delen door $X^2$ verliest geen oplossingen: $$ X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 . $$ Zet $y = X + \frac1X$: dan is $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$, en de vergelijking stort in tot $$ y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 . $$ Ontrol elke waarde via $X^2 - yX + 1 = 0$: voor $y = 2$ geeft $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ de dubbele wortel $1$; voor $y = -3$ geeft $X^2 + 3X + 1 = 0$ de wortels $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$. Vier wortels met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) voor een vierdegraadsveelterm, zoals [Gevolg 8.16](#cor-b1-poly-factorization) eist — verkregen door twee tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. De truc werkt bij elke *palindromische* [veelterm](#def-b1-poly-def): hun wortels komen in omgekeerde paren $\{x, 1/x\}$ (vervang $X$ door $1/X$ en werk de noemers weg), en $y = X + \frac1X$ is juist de grootheid die op zulke paren constant is, wat de graad halveert. **Stelling 8.23 (Lagrange-interpolatie).** Zij $x_0, \dots, x_n$ verschillende punten van $K$ en $y_0, \dots, y_n \in K$. Er is precies één $P \in K[X]$ van graad $\leq n$ met $P(x_i) = y_i$ voor alle $i$, namelijk $$ P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} . $$ **Bewijs.** Elke $L_i$ heeft graad $n$ en voldoet aan $L_i(x_i) = 1$ en $L_i(x_j) = 0$ voor $j \neq i$ (telkens wordt één factor nul in het overeenkomstige $x_j$). De getoonde $P$ heeft dus graad $\leq n$ en interpoleert. Uniciteit: twee interpolerende [veeltermen](#def-b1-poly-def) van graad $\leq n$ stemmen overeen in de $n+1$ punten $x_i$ en zijn dus gelijk ([Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). ∎ **Opmerking 8.24 (Tussenspel: veeltermen zijn ook vectoren).** Een verandering van standpunt die [Hoofdstuk 18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/18-vectorruimten#ch-b1-vspaces) officieel zal maken: de [veeltermen](#def-b1-poly-def) van graad $\leq n$ vormen een ruimte waarin optellen en schalen zich precies als bij coördinaten gedragen — een [veelterm](#def-b1-poly-def) *is* zijn lijst van $n + 1$ coëfficiënten. Drie [uitspraken](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-statement) van dit hoofdstuk zijn stiekem lineaire algebra. De [Lagrange-interpolatie](#thm-b1-poly-lagrange) ([Stelling 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) zegt dat de evaluatiegegevens $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ de [veelterm](#def-b1-poly-def) $P$ ondubbelzinnig vastleggen: evalueren in $n + 1$ punten is een lineaire bijectie, en de $L_i$ vormen de basis die daarbij past. De ontwikkeling $R = \sum c_k(X - a)^k$ in het bewijs van [Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) zegt dat de machten van $(X - a)$ een ander coördinatenstelsel vormen, met $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ als coördinaten. En [Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots) — meer wortels dan de graad dwingt de nulveelterm af — is de motor van elke uniciteit: ze zal in [Hoofdstuk 19](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/19-eindige-dimensie#ch-b1-findim) “een lineaire [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) die [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is op een ruimte van dimensie $n + 1$” worden. Wanneer die hoofdstukken komen, zal de ruimte $K_n[X]$ hun lievelingsvoorbeeld zijn; het loont er al vloeiend in te zijn wanneer je er aankomt. **Opmerking 8.25 (Waar dit hoofdstuk gebruikt wordt).** De ontbinding over $\R$ en $\C$ ([Gevolg 8.16](#cor-b1-poly-factorization)) is de motor van de partieelbreuksplitsing in [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/9-rationale-breuken#ch-b1-fractions), en dus van een grote klasse integralen in [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/15-integratie-op-een-segment#ch-b1-integration). De ontwikkeling van een [veelterm](#def-b1-poly-def) naar machten van $(X - a)$, tegengekomen in het bewijs van [Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity), is de algebraïsche schaduw van de Taylorformules van [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/16-formules-van-taylor-en-asymptotische-ontwikkelingen#ch-b1-taylor). [Karakteristieke veeltermen](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/5-lineaire-differentiaalvergelijkingen#def-b1-diffeq-linear2) verschenen al bij de differentiaalvergelijkingen ([Hoofdstuk 5](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/5-lineaire-differentiaalvergelijkingen#ch-b1-diffeq)) en keren terug bij matrices in [Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/22-determinanten-en-lineaire-stelsels#ch-b1-det); de [Lagrange-interpolatie](#thm-b1-poly-lagrange) is de eerste bestaans- en uniciteitsstelling van de numerieke wiskunde, en de [Tsjebysjev-veeltermen](#pb-b1-poly-1) van [Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10) — waarvan de weekendopgave hieronder de optimaliteit vaststelt — vertellen die discipline *waar* je moet interpoleren. Ten slotte voedt de hele rekenkunde van $K[X]$, gekopieerd van [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#ch-b1-arith), de studie van $K[X]$-idealen en quotiëntringen in het volume van bachelorjaar 2. ## 8.4 Oefeningen **Oefening 8.1 ★.** Voer de euclidische delingen uit: $X^5 - 1$ door $X^2 + X + 1$; en vervolgens $2X^4 + X^3 - X + 3$ door $X^2 - 2$. **Oplossing van Oefening 8.1.** $X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$. Stappen: trek $X^3 B$ af, dan $-X^2 B$, dan $B$; de rest $-X - 2$ heeft graad $1 < 2$. *Controle in $X = 1$:* $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$. $2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$. *Controle in $X = 0$:* $\;3 = (-2)(4) + 11$. **Oefening 8.2 ★.** Voor welke $n \in \N$ [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $X^2 + X + 1$ de [veelterm](#def-b1-poly-def) $X^{2n} + X^n + 1$? *Aanwijzing: de wortels van $X^2 + X + 1$ zijn $j$ en $j^2$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$; bespreek $n$ modulo $3$.* **Oplossing van Oefening 8.2.** $X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ en $j^3 = 1$. Hij [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ precies wanneer $j$ en $j^2$ wortels van $Q_n$ zijn; omdat $Q_n$ reële coëfficiënten heeft, is $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$, zodat de voorwaarde alleen $Q_n(j) = 0$ is. Nu hangt $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ af van $n$ modulo $3$: - $n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ; - $n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ; - $n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ . Dus $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ precies wanneer $3 \nmid n$. **Oefening 8.3 ★.** Bepaal de reële $a, b$ zó dat $(X-1)^2$ de [veelterm](#def-b1-poly-def) $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides), en ontbind $P$ voor die waarden over $\R$. **Oplossing van Oefening 8.3.** Volgens [Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) geldt $(X-1)^2 \mid P$ precies wanneer $P(1) = P'(1) = 0$: $$ P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 . $$ Oplossen: $b = -a - 2$ en $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$, dus $a = 0$ en $b = -2$: $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$, en dat is de reële ontbinding. **Oefening 8.4 ★.** Ontbind over $\C$ en over $\R$: $X^3 - 1$; $\;X^4 + X^2 + 1$; $\;X^6 - 1$. **Oplossing van Oefening 8.4.** $X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ over $\C$ (met $j = \eu^{2\iu\pi/3}$), en $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ over $\R$. $X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ over $\R$ (werk uit, of merk op dat $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$); over $\C$ splitst elke kwadratische factor: wortels $j, j^2$ en $-j, -j^2$, dus $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ en $\eu^{\pm\iu\pi/3}$. $X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ over $\C$, en over $\R$: $$ X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1), $$ na groepering van de toegevoegde paren $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ en $\eu^{\pm \iu\pi/3}$. **Oefening 8.5 ★★.** Zij $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 1. Bepaal de rationale wortels *(een onvereenvoudigbare rationale wortel $p/q$ van een [monische veelterm](#def-b1-poly-def) met gehele coëfficiënten is een geheel getal dat de constante term [deelt](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) — bewijs dat)* , en ontbind $P$ . 2. Bereken zonder op te lossen, via Vieta, de som van de kwadraten en de som van de omgekeerden van de wortels, en toets ze aan de ontbinding. **Oplossing van Oefening 8.5.** 1. Zij $p/q$ (onvereenvoudigbaar) een wortel van de [monische veelterm](#def-b1-poly-def) $X^3 + \dots + c_0$ met gehele coëfficiënten: de noemers wegwerken in $P(p/q) = 0$ geeft $p^3 = -q\,(\text{geheel getal})$ , dus $q \mid p^3$ ; de onderlinge ondeelbaarheid dwingt $q = \pm 1$ af: de wortel is een geheel getal $p$ , en $p \mid c_0$ (isoleer $c_0$ ). Hier delen de kandidaten $6$ : toetsen geeft $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Dus $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ . 2. Vieta: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Som van de kwadraten: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , zoals verwacht. Som van de omgekeerden: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , zoals verwacht. **Oefening 8.6 ★★.** Bereken $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ met het [algoritme van Euclides](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#met-b1-arith-euclid), en schrijf hem als een combinatie $AU + BV$ van de twee [veeltermen](#def-b1-poly-def). **Oplossing van Oefening 8.6.** De eerste delingsstap van het [algoritme van Euclides](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#met-b1-arith-euclid): $$ (X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 , $$ zodat de deling van $X^4 - 1$ door $X^3 - X^2 + X - 1$ opgaat (quotiënt $X + 1$, rest $0$) en het algoritme meteen stopt: $$ \gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1 $$ (al [monisch](#def-b1-poly-def)). De betrekking van Bézout is de triviale: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$. Controle via ontbinding: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$, en dat is inderdaad het product van de gemeenschappelijke irreducibele factoren van $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$. **Oefening 8.7 ★★.** Zij $P \in \R[X]$ met $P(x) \geq 0$ voor alle $x \in \R$. Bewijs dat $P$ een som van twee kwadraten van reële [veeltermen](#def-b1-poly-def) is: $P = A^2 + B^2$. *Aanwijzing: in de reële ontbinding hebben reële wortels een even [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative); schrijf de kwadratische factoren als $(X - z)(X - \conj z)$ en gebruik $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ op het product van de $(X - z)$’s.* **Oplossing van Oefening 8.7.** Omdat $P \geq 0$ op $\R$, hebben haar reële wortels een even [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) (in een wortel van oneven [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) wisselt $P$ van teken). Met [Gevolg 8.16](#cor-b1-poly-factorization) en koppeling schrijf je $$ P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j}, $$ met $c > 0$ (gedrag in $+\infty$). Zet $$ S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X], $$ zodat $P = S\,\conj S$, waarbij $\conj S$ de toegevoegde coëfficiënten heeft. Splits $S = A + \iu B$ met $A, B \in \R[X]$: dan is $$ P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 . $$ **Oefening 8.8 ★★.** Bepaal de [veelterm](#def-b1-poly-def) $P$ van graad $\leq 2$ met $P(0) = 1$, $P(1) = 3$ en $P(2) = 2$, eerst met de formule van Lagrange en daarna door het lineaire stelsel voor de coëfficiënten op te lossen. Ga na dat beide antwoorden overeenstemmen. **Oplossing van Oefening 8.8.** Lagrange ([Stelling 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) met knooppunten $0, 1, 2$: $$ P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1). $$ Uitwerken: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$. Stelsel: $P = aX^2 + bX + c$ met $c = 1$; $a + b + 1 = 3$; $4a + 2b + 1 = 2$. De tweede tweemaal van de derde aftrekken geeft $2a - 1 = -4$, dus $a = -\frac32$ en $b = \frac72$. Dezelfde [veelterm](#def-b1-poly-def): $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$. (Controle: $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$.) **Oefening 8.9 ★★.** Bewijs dat $P = X^{2n+1} - 1$ precies één reële wortel heeft, en dat voor elke $n \geq 1$ de [veelterm](#def-b1-poly-def) $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ geen meervoudige wortel heeft *(vergelijk $P$ en $P'$)*. **Oplossing van Oefening 8.9.** $P = X^{2n+1} - 1$: er is $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$, zodat de veeltermfunctie stijgend is (strikt behalve in $0$), met limieten $\mp\infty$: ze wordt precies één keer nul op $\R$ (in $x = 1$). Zij $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$. Dan is $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$. Een meervoudige wortel $a$ zou voldoen aan $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ ([Propositie 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)), dus aan $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$, waaruit $a = 0$; maar $E_n(0) = 1 \neq 0$. Geen meervoudige wortel. **Oefening 8.10 ★★★.** ([Tsjebysjev-veeltermen](#pb-b1-poly-1)) Definieer $T_0 = 1$, $T_1 = X$ en $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$. 1. Bewijs met inductie dat $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ voor alle $\theta$ . 2. Leid de $n$ wortels van $T_n$ en zijn kopcoëfficiënt af. 3. Bewijs dat $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , en dat die waarde in $n + 1$ punten van $\intcc{-1}{1}$ bereikt wordt. **Oplossing van Oefening 8.10.** 1. Inductie (de twee basisgevallen kloppen). Met $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: $$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$$ 2. $T_n(\cos\theta) = 0$ precies wanneer $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$: de getallen $$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$$ zijn $n$ verschillende punten van $\intoo{-1}{1}$ (de hoeken liggen in $\intoo{0}{\pi}$, waar $\cos$ [injectief](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-inj) is) en alle wortels van $T_n$; omdat $\deg T_n = n$ (uit de recursie, met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$, met inductie), zijn dat *alle* wortels, elk enkelvoudig. 3. Voor $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ is $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , met gelijkheid precies wanneer $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , dus in de $n+1$ punten $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ met $k = 0, \dots, n$ , waar $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Die equi-oscillatie maakt van $2^{1-n}T_n$ de [monische veelterm](#def-b1-poly-def) van graad $n$ met de kleinste supremumnorm op $\intcc{-1}{1}$ — bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk.) **Oefening 8.11 ★★★.** Zij $P \in \C[X]$ niet-constant met verschillende wortels $a_1, \dots, a_r$ ([multipliciteiten](#def-b1-poly-derivative) $m_1, \dots, m_r$). Bewijs de identiteit van rationale functies $$ \frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i}, $$ en leid daaruit de stelling van Gauss–Lucas af: elke wortel van $P'$ ligt in het convexe omhulsel van de wortels van $P$ *(evalueer de identiteit in een wortel $w$ van $P'$ die geen wortel van $P$ is, neem toegevoegden, en lees het resultaat als: $w$ is een gewogen gemiddelde van de $a_i$)*. **Oplossing van Oefening 8.11.** Schrijf $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$. De productregel (uitgebreid tot meerdere factoren) geeft $$ P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k}, $$ en deling door $P$ levert $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (als rationale functies, dus buiten de wortels). Zij $w$ een wortel van $P'$. Is $w$ een van de $a_i$, dan ligt hij triviaal in het convexe omhulsel. Anders geeft evalueren in $w$ $$ 0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} . $$ Toevoegen geeft $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ met $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$. Bijgevolg is $$ w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} : $$ een convexe combinatie (positieve gewichten die na normalisatie tot $1$ optellen) van de wortels $a_i$. Elke wortel van $P'$ ligt dus in het convexe omhulsel van de wortels van $P$. **Oefening 8.12 ★★.** (Filter met [eenheidswortels](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-unity)) Zij $n \in \N^*$ en $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. Bewijs, door $(1 + X)^n$ te evalueren in $1$, $j$ en $j^2$, dat $$ \sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} , $$ en toets de formule voor $n = 3$ en $n = 6$. *Aanwijzing: $1 + j^m + j^{2m}$ is gelijk aan $3$ als $3 \mid m$ en anders aan $0$; en $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$.* **Oplossing van Oefening 8.12.** Tel de evaluaties van $(1 + X)^n$ in de drie derde [eenheidswortels](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#def-b1-complex-unity) op: $$ 2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk , $$ want $1 + j^k + j^{2k}$ is een meetkundige som die $3$ is wanneer $3 \mid k$ en anders $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$. Nu is $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ en $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$, zodat $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ en $$ \sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} . $$ Controles: $n = 3$ geeft $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$; $n = 6$ geeft $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$. ## 8.5 Opgave: Tsjebysjev-veeltermen en de vlakste veelterm **Probleem 8.1.** Welke van alle *[monische](#def-b1-poly-def)* [veeltermen](#def-b1-poly-def) van graad $n$ blijft het dichtst bij nul op $\intcc{-1}1$? Het antwoord — de stelling van Tsjebysjev, de geboorteakte van de approximatietheorie — is $2^{1-n}T_n$, met $T_n$ de [Tsjebysjev-veelterm](#pb-b1-poly-1) van [Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10), en geen enkele [monische](#def-b1-poly-def) mededinger komt onder haar afwijking $2^{1-n}$. Deze opgave ontwikkelt de algebra van de familie $(T_n)$ (samenstellingswet, expliciete coëfficiënten, de familie $U_n$ van de tweede soort, een differentiaalvergelijking), bewijst de extremaliteitsstelling met haar gelijkheidsgeval, en verzamelt toepassingen: optimale interpolatiepunten, de exacte waarde van $\cos 36^\circ$, en een [congruentie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-congruence) $T_p \equiv X^p \pmod p$. Overal is $T_0 = 1$, $T_1 = X$ en $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$, en gebruiken we vrijelijk $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ uit [Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10). **Deel I — De familie $(T_n)$.** 1. Bereken $T_2, T_3, T_4, T_5$ met de recursie. (Vergelijk $T_3$ met de identiteit $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ van [Voorbeeld 3.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ex-b1-complex-cos3) .) 2. Bewijs met inductie: $\deg T_n = n$ met kopcoëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ , en $T_n$ heeft de pariteit van $n$ (er komen alleen even of alleen oneven machten in voor). 3. Bewijs het uniciteitsbeginsel: $T_n$ is de *enige* [veelterm](#def-b1-poly-def) die aan $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ voldoet voor alle $\theta$ . (Twee [veeltermen](#def-b1-poly-def) die op $\intcc{-1}1$ overeenstemmen, stemmen overal overeen: [Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots) .) 4. Leid de samenstellings- en de productwet af: $$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$$ 5. Herinner uit [Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10) de wortels $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ en de equi-oscillatiepunten $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ met $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Schrijf de volledige ontbinding van $T_n$ over $\R$ op, en verantwoord dat de $y_k$ ertussen liggen: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . 6. Bewijs dat $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ voor alle $t \in \R$ (dezelfde inductie, met [Propositie 4.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-hyprules)), en leid voor $x \geq 1$ de gesloten vorm $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2}$$ af, zodat $T_n(x) > 1$ voor $x > 1$: buiten $\intcc{-1}1$ ontsnapt de [veelterm](#def-b1-poly-def) onmiddellijk. **Deel II — Coëfficiënten, de familie $U_n$, een differentiaalvergelijking.** 7. Bewijs met de formule van de Moivre ([Gevolg 3.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#cor-b1-complex-demoivre)) de expliciete uitdrukking $$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$$ en ga haar na voor $n = 3$. 8. Bereken $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ en $T_n(0)$ voor alle $n$ . 9. Definieer $U_n$ ( *van de tweede soort* ) door $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ en $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Bewijs dat $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ voor $\theta \notin \pi\Z$ , en dat $T_n' = n\,U_{n-1}$ voor $n \geq 1$ . 10. Bewijs dat $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ voor alle $\theta$ (inductie), en leid de afschatting van markovtype af: $$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{op } \intcc{-1}1, \qquad\text{met } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$$ 11. Toon aan dat $y = T_n$ voldoet aan de differentiaalvergelijking $$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$$ door de identiteit $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ naar $\theta$ te differentiëren; ga dat rechtstreeks na voor $T_2$. **Deel III — De extremaliteitsstelling van Tsjebysjev.** Zij $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ ([monisch](#def-b1-poly-def) wegens vraag 2) en schrijf $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$. 12. Verantwoord $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , bereikt met afwisselende tekens in de $n + 1$ punten $y_n < \dots < y_0$ . 13. Stel dat een [monische](#def-b1-poly-def) $P$ van graad $n$ zou voldoen aan $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , en zet $D = \widetilde T_n - P$ . Toon aan dat $\deg D \leq n - 1$ , en dat $D(y_k)$ voor elke $k = 0, \dots, n$ strikt het teken van $(-1)^k$ heeft. 14. Leid af dat $D$ minstens $n$ verschillende reële wortels heeft (één in elk tussenstuk, wegens de tussenwaarde-eigenschap, hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume en bewezen in [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity)), en besluit met de *stelling van Tsjebysjev*: elke [monische](#def-b1-poly-def) $P$ van graad $n$ voldoet aan $$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$$ 15. (Gelijkheidsgeval, eerste stap) Neem nu aan dat $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ precies, met $P$ [monisch](#def-b1-poly-def) van graad $n$ , en zet $D = \widetilde T_n - P$ . Toon aan dat $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ voor alle $k$ , en dat uit $D(y_k) = 0$ voor een *inwendig* punt $y_k$ ( $0 < k < n$ ) ook $D'(y_k) = 0$ volgt. *(In een inwendig punt $y_k$ bereiken zowel $\widetilde T_n$ als $P$ een extremum met absolute waarde $\norm{\cdot}_\infty$; een afleidbare functie heeft in een inwendig extremum afgeleide nul — hier gebruikt zoals bekend uit het bovenbouwvolume, bewezen in [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative).)* 16. (Gelijkheidsgeval, besluit) Tel de wortels van $D$ met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) om aan te tonen dat $D = 0$ : de minimaliserende [veelterm](#def-b1-poly-def) is *uniek* , $P = \widetilde T_n$ . 17. Vervoer alles naar een willekeurig segment $\intcc ab$ : toon aan dat de minimale supremumnorm van een [monische veelterm](#def-b1-poly-def) van graad $n$ op $\intcc ab$ gelijk is aan $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , bereikt door een herschaalde [Tsjebysjev-veelterm](#pb-b1-poly-1) . *(Substitueer $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ en volg de kopcoëfficiënt.)* **Deel IV — Toepassingen.** 18. Werk het geval $n = 3$ met de hand uit: lokaliseer de extrema van $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ op $\intcc{-1}1$ , ga de viervoudige equi-oscillatie met waarde $\frac14$ na, en besluit dat geen enkele [monische](#def-b1-poly-def) derdegraadsveelterm het beter doet. 19. (Optimale interpolatiepunten) Voor $n + 1$ punten $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ wordt de interpolatiefout beheerst door $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (zoals [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/16-formules-van-taylor-en-asymptotische-ontwikkelingen#ch-b1-taylor) zal kwantificeren). Bewijs dat de keuze die $\norm\omega_\infty$ minimaliseert bestaat uit de $n + 1$ wortels van $T_{n+1}$ , met $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : de punten van Tsjebysjev zijn de juiste plaatsen om te interpoleren. 20. Bewijs met $T_5$ dat $c = \cos 36^\circ$ voldoet aan $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$, ontbind die [veelterm](#def-b1-poly-def) als $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$, en besluit $$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$$ Ga de overeenstemming na met $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ uit [Oefening 3.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#exo-b1-complex-8). 21. Schat $T_{10}(1.1)$ met de gesloten vorm van vraag 6 (twee beduidende cijfers volstaan) en duid het resultaat: een [veelterm](#def-b1-poly-def) die op $\intcc{-1}1$ door $1$ begrensd is, kan in $x = 1.1$ al boven $40$ uitkomen. (Dat $T_n$ onder zulke [veeltermen](#def-b1-poly-def) het *snelst* groeit, is nog een extremale eigenschap van de familie, buiten deze opgave.) 22. Bewijs de [congruentie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-congruence) : voor elk oneven [priemgetal](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-prime) $p$ zijn alle coëfficiënten van $T_p - X^p$ [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $p$ . *(Gebruik vraag 7 en $p \mid \binom p{2j}$ voor $0 < 2j < p$, uit het bewijs van [Stelling 6.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-fermat).)* Ga dat na op $T_3$ en $T_5$ . **Deel V — Synthese.** 23. Bereken expliciet de [monische](#def-b1-poly-def) tweedegraadsveelterm met de kleinste supremumnorm op $\intcc01$ , en haar afwijking. (Vraag 17 met $n = 2$ .) 24. Waar precies gebruikte de opgave: (i) de starheid van [veeltermen](#def-b1-poly-def) ( [Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots) ); (ii) de goniometrie van [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ch-b1-complex) en [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#ch-b1-functions) ; (iii) de rekenkunde van de [binomiaalcoëfficiënten](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/2-telkunde#def-b1-counting-objects) uit [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#ch-b1-arith) ? Eén zin per onderdeel. 25. Synthese, in een korte alinea: de stelling zegt dat de vlakste [monische veelterm](#def-b1-poly-def) die is welke *equi-oscilleert* , en het bewijs zet optimaliteit om in het tellen van wortels. Becommentarieer dat mechanisme, de rol van de substitutie $x = \cos\theta$ als brug tussen algebra en goniometrie, en noem de twee plaatsen waar de opgave feiten uit de analyse nodig had (tussenwaardestelling, inwendig extremum) die latere hoofdstukken bewijzen. **Oplossing van Probleem 8.1.** **1.** $T_2 = 2X^2 - 1$; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$. De identiteit $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ is precies $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ uit [Voorbeeld 3.9](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ex-b1-complex-cos3). **2.** Waar voor $n = 1, 2$. Hebben $T_{n-1}$ en $T_n$ graad $n-1$ en $n$ met kopcoëfficiënten $2^{n-2}$ en $2^{n-1}$, dan heeft $2X\,T_n$ graad $n+1$ met kopcoëfficiënt $2^n$, terwijl $T_{n-1}$ een lagere graad heeft: $T_{n+1}$ heeft graad $n + 1$ en kopcoëfficiënt $2^n$. Pariteit: heeft $T_{n-1}$ de pariteit van $n - 1$ en $T_n$ die van $n$, dan hebben $2X\,T_n$ en $T_{n-1}$ beide de pariteit van $n + 1$, en dus ook $T_{n+1}$. **3.** Geldt $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ voor alle $\theta$, dan stemmen $P$ en $T_n$ overeen in elk punt van $\intcc{-1}1$ — een oneindige [verzameling](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-sets) — zodat $P - T_n$ oneindig veel wortels heeft en de nulveelterm is ([Gevolg 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). **4.** Voor $x = \cos\theta$: $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$, en $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$. Beide identiteiten gelden op $\intcc{-1}1$ en dus als veeltermidentiteiten, met het argument van vraag 3. **5.** De $x_k$ zijn $n$ verschillende enkelvoudige wortels en de kopcoëfficiënt is $2^{n-1}$: $$ T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) . $$ Afwisseling: de hoeken $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ wisselen tussen de $y$-hoeken $\frac{k\pi}n$ en de $x$-hoeken $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$; omdat $\cos$ strikt dalend is op $\intcc0\pi$, liggen de waarden in de omgekeerde volgorde afwisselend: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$. Tussen twee opeenvolgende extrema ligt precies één wortel, zoals een tekening van $\cos n\theta$ suggereert. **6.** Inductie met $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ ([Propositie 4.18](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#prop-b1-functions-hyprules)): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$. Voor $x \geq 1$ schrijf je $x = \cosh t$ met $t \geq 0$; dan is $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ en $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$, zodat $$ T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 . $$ Voor $x > 1$ overtreft de eerste term $\frac12(1)^n$ strikt en groeit hij meetkundig: $T_n(x) > 1$. **7.** De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$, en $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$. Substitutie van $x = \cos\theta$ en beroep op vraag 3 geven $$ T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j . $$ Voor $n = 3$: $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$, als in vraag 1. **8.** $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$, wat $0$ is voor oneven $n$ en $(-1)^{n/2}$ voor even $n$. **9.** Inductie voor $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$: waar voor $U_0 = 1$ en $U_1 = 2X$ ($\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$); de stap is de identiteit $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$. Differentieer nu $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ naar $\theta$: $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$, dus voor $\theta \notin \pi\Z$: $$ T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) , $$ en de [veeltermen](#def-b1-poly-def) $T_n'$ en $nU_{n-1}$, die op $\intoo{-1}1$ overeenstemmen, zijn gelijk. **10.** $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$, en inductie geeft $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$. Bijgevolg is $\abs{U_{n-1}} \leq n$ op $\intoo{-1}1$ en $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ daar; in $\pm1$ breidt de grens zich uit door limieten te nemen (of rechtstreeks: $U_{n-1}(1) = n$ uit de recursie, $U_n(1) = n + 1$ met inductie, en de pariteit geeft $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$). Dus is $T_n'(1) = n^2$ en $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$: de grens $n^2$ wordt in de randpunten bereikt. **11.** Differentieer $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (vraag 9) naar $\theta$: $$ \cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) . $$ Met $x = \cos\theta$ en $\sin^2\theta = 1 - x^2$: $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ op $\intcc{-1}1$, en dus overal: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ voor $y = T_n$. Controle voor $T_2 = 2x^2 - 1$: $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$. **12.** $\widetilde T_n$ is [monisch](#def-b1-poly-def) (vraag 2) en $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ op $\intcc{-1}1$, met $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ in de $n + 1$ punten $y_k$ ([Oefening 8.10](#exo-b1-poly-10)): de norm is precies $2^{1-n}$, bereikt met afwisselende tekens. **13.** $\widetilde T_n$ en $P$ zijn allebei [monisch](#def-b1-poly-def) van graad $n$, zodat de koptermen elkaar opheffen: $\deg D \leq n - 1$. In $y_k$ is $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$, en $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ dwingt af dat het teken van $D(y_k)$ strikt dat van $(-1)^k2^{1-n}$ is. **14.** $D$ wisselt van teken tussen $y_{k+1}$ en $y_k$ voor elke $k = 0, \dots, n-1$: wegens de tussenwaarde-eigenschap heeft $D$ een wortel in elk van die $n$ twee aan twee disjuncte open intervallen — $n$ verschillende wortels voor een [veelterm](#def-b1-poly-def) ongelijk aan nul van graad $\leq n - 1$, wat onmogelijk is. En $D = 0$ is evenmin mogelijk (de normen verschillen). Tegenspraak: geen enkele [monische](#def-b1-poly-def) $P$ van graad $n$ heeft $\norm P_\infty < 2^{1-n}$, en dat is de stelling van Tsjebysjev. **15.** Nu is $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ zonder meer, dus $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$. Stel $D(y_k) = 0$ in een inwendig punt $y_k$ ($0 < k < n$): dan is $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$, zodat $\abs P$ haar supremum $2^{1-n}$ bereikt in het inwendige punt $y_k$, waaruit $P'(y_k) = 0$ volgt (inwendig extremum); en $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ omdat $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — dus ook $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ en $D'(y_k) = 0$: $y_k$ is een wortel van $D$ van [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative) minstens $2$. **16.** Tel de wortels van $D$ met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative). Zij $z$ het aantal inwendige punten $y_k$ met $D(y_k) = 0$ (elk een dubbele wortel, wegens vraag 15) en $e \in \{0, 1, 2\}$ het aantal randpunten ($y_0$ of $y_n$) met $D = 0$ (elk minstens een enkelvoudige wortel). Een tussenstuk $(y_{k+1}, y_k)$ waarvan beide uiteinden $D \neq 0$ hebben, draagt strikt afwisselende tekens en dus een inwendige wortel. Elk inwendig punt waar $D$ nul wordt bederft hoogstens zijn twee aangrenzende tussenstukken, en elk randpunt hoogstens één: minstens $n - 2z - e$ tussenstukken leveren nog elk één wortel, alle verschillend van de $y$-wortels. In totaal: minstens $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ wortels met [multipliciteit](#def-b1-poly-derivative), voor een [veelterm](#def-b1-poly-def) van graad $\leq n - 1$: dus $D = 0$ en $P = \widetilde T_n$. De minimaliserende [veelterm](#def-b1-poly-def) is uniek. **17.** De affiene [afbeelding](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/1-logica-verzamelingen-en-afbeeldingen#def-b1-logic-map) $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ is een bijectie $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$. Is $P$ [monisch](#def-b1-poly-def) van graad $n$, dan is $Q(t) = P(x(t))$ een [veelterm](#def-b1-poly-def) in $t$ met kopcoëfficiënt $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$, en $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$. De [monische veelterm](#def-b1-poly-def) $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ heeft supremumnorm $\geq 2^{1-n}$ (vragen 13–14), zodat $$ \sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n , $$ met gelijkheid precies voor $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (vraag 16). **18.** $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$; en $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ wordt nul in $\pm\frac12$. Waarden: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$, $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$, $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$, $\widetilde T_3(1) = \frac14$: vier afwisselende extrema met absolute waarde $\frac14$ — dus $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$, en volgens de stelling van Tsjebysjev heeft geen enkele [monische](#def-b1-poly-def) derdegraadsveelterm een kleinere supremumnorm op $\intcc{-1}1$. **19.** $\omega$ is [monisch](#def-b1-poly-def) van graad $n + 1$, dus $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ volgens de stelling van Tsjebysjev (graad $n+1$), met gelijkheid dan en slechts dan als $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (vraag 16), dus dan en slechts dan als de knooppunten de $n + 1$ wortels van $T_{n+1}$ zijn. Met de punten van Tsjebysjev is de foutfactor $\norm\omega_\infty$ gelijk aan $2^{-n}$ — het kleinst mogelijke. **20.** $5 \times 36^\circ = 180^\circ$, dus $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$: $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$. Toetsen van $x = -1$: $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$, en uitwerken bevestigt $$ 16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 . $$ Omdat $c = \cos36^\circ \neq -1$, is $c$ een wortel van $4x^2 - 2x - 1$, waarvan de wortels $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ zijn; omdat $c > 0$, is $$ \cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 . $$ Overeenstemming: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$, de waarde uit [Oefening 3.8](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#exo-b1-complex-8). **21.** $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$, dus $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ en $(1.558)^{10} \approx 84.5$, terwijl $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$: $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$. Een [veelterm](#def-b1-poly-def) die op het interval binnen $\intcc{-1}1$ opgesloten zit, is een tiende voorbij de rand al boven $40$ gegroeid: begrensdheid op een segment zegt niets over wat een duim ernaast gebeurt. **22.** In de formule voor $T_p$ uit vraag 7 is de term $j = 0$ gelijk aan $X^p$; elke andere term draagt $\binom p{2j}$ met $0 < 2j < p$ (merk op dat $2j \neq p$ omdat $p$ oneven is), en dat is [deelbaar](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) door $p$ wegens de eerste stap van het bewijs van [Stelling 6.23](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#thm-b1-arith-fermat). Bijgevolg is elke coëfficiënt van $T_p - X^p$ een veelvoud van $p$. Controles: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ en $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$. **23.** Volgens vraag 17 met $\intcc ab = \intcc01$ en $n = 2$: minimale afwijking $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$, bereikt door $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$. De [monische](#def-b1-poly-def) tweedegraadsveelterm die op $\intcc01$ het dichtst bij nul blijft is dus $x^2 - x + \frac18$, met supremumnorm $\frac18$. **24.** (i) De starheid — een [veelterm](#def-b1-poly-def) met meer wortels dan zijn graad is nul — dreef het uniciteitsbeginsel aan (vraag 3), de overdracht van goniometrische identiteiten naar veeltermidentiteiten (vragen 4, 7, 9 en 11), en beide telargumenten van het extremaliteitsbewijs (vragen 14 en 16). (ii) De goniometrie van [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/3-complexe-getallen#ch-b1-complex) (de Moivre, som naar product) en de [hyperbolische functies](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#def-b1-functions-hyperbolic) van [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/4-standaardfuncties#ch-b1-functions) leverden elke identiteit achter de familie; de substitutie $x = \cos\theta$ is de brug. (iii) De [deelbaarheid](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-divides) $p \mid \binom p{2j}$ uit [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#ch-b1-arith) maakte van de formule voor de coëfficiënten de [congruentie](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/6-getaltheorie-in-z#def-b1-arith-congruence) van vraag 22. **25.** De stelling van Tsjebysjev zet een optimalisatie over een oneindigdimensionale familie (alle [monische veeltermen](#def-b1-poly-def)) om in eindige combinatoriek: een mededinger die beter is dan $\widetilde T_n$ zou er een [veelterm](#def-b1-poly-def) van lage graad van verschillen die $n$ keer van teken moet wisselen — één wortel meer dan zijn graad toestaat. Het patroon van de equi-oscillatie is dus geen curiositeit maar juist het bewijsstuk van de optimaliteit, en het gelijkheidsgeval verfijnt het tellen van wortels met [multipliciteiten](#def-b1-poly-derivative). De substitutie $x = \cos\theta$ verdient het laatste woord: ze vervoert de starre, discrete wereld van de [veeltermen](#def-b1-poly-def) naar de periodieke wereld van de goniometrie, waar de wortels en de extrema van $T_n$ simpelweg het regelmatige rooster van $\cos n\theta$ zijn. De twee geleende feiten uit de analyse — de tussenwaarde-eigenschap (vraag 14; bewezen in [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/13-limieten-en-continuiteit#ch-b1-continuity)) en de nul wordende afgeleide in een inwendig extremum (vraag 15; bewezen in [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/math/3/nl/chapter/14-differentiaalrekening#ch-b1-derivative)) — zijn precies het gereedschap dat die latere hoofdstukken teruggeven, waarmee de kring gesloten is.