--- title: "Números Reais" book: "Matemática universitária — Graduação 1" subject: math language: pt chapter: 10 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais --- # Capítulo 10 — Números Reais Toda a análise repousa sobre uma propriedade que distingue $\R$ de $\Q$: todo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não vazio limitado superiormente tem uma *menor* [cota superior](#def-b1-reals-bounds). Este capítulo a enuncia com precisão, extrai as suas primeiras consequências — a [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes), a função [parte inteira](#thm-b1-reals-floor), a densidade dos racionais e dos irracionais — e monta o vocabulário (sup, inf, máx, mín) usado constantemente a partir do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq). ## 10.1 A propriedade do supremo **Definição 10.1 (Cotas, sup e inf).** Seja $A \subseteq \R$ não vazio. Um real $M$ é uma *cota superior* de $A$ quando $a \leq M$ para todo $a \in A$; $A$ é *limitado superiormente* quando tem uma cota superior (analogamente por baixo, com cotas inferiores; *limitado* significa as duas coisas). Um *máximo* de $A$ é uma cota superior que pertence a $A$. O *supremo* $\sup A$ é a menor cota superior de $A$, quando existe; o *ínfimo* $\inf A$ é a maior cota inferior. **Teorema 10.2 (Axioma da completude de R\RR).** $\R$ é um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) ordenado que contém $\Q$ no qual *todo subconjunto não vazio limitado superiormente tem [supremo](#def-b1-reals-bounds)*. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 10.3.** Tomamos isso como axioma definidor de $\R$; construir um modelo (por cortes de Dedekind ou por sequências de Cauchy de racionais) e demonstrar a sua unicidade é honesto, mas longo, e fica para estudo posterior. Note que $\Q$ falha a propriedade: $\{x \in \Q : x^2 < 2\}$ é limitado superiormente, mas não tem menor [cota superior](#def-b1-reals-bounds) *em $\Q$* — o seu candidato, $\sqrt 2$, está faltando ([Exemplo 1.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#ex-b1-logic-sqrt2)). Passando aos opostos ($\sup(-A) = -\inf A$), todo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não vazio limitado inferiormente tem [ínfimo](#def-b1-reals-bounds). **Proposição 10.4 (A caracterização por ε\varepsilonε).** Seja $A \neq \emptyset$ limitado superiormente e $s \in \R$. Então $s = \sup A$ se, e somente se, 1. $s$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) : $\forall a \in A$ , $a \leq s$ ; e 2. nada menor o é: $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists a \in A$ , $a > s - \varepsilon$ . **Demonstração.** Se $s = \sup A$: (1) vale por definição e, para (2), $s - \varepsilon < s$ não é [cota superior](#def-b1-reals-bounds), o que é exatamente a existência de $a > s - \varepsilon$. Reciprocamente, (1) diz que $s$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds); (2) diz que nenhum $t < s$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) (tome $\varepsilon = s - t$): $s$ é a menor delas. ∎ **Exemplo 10.5.** $\sup \intoo{0}{1} = 1$, não atingido (sem máximo); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$. Para $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$: $\sup A = 1$, não atingido; $\inf A = \min A = 0$. Um máximo, quando existe, é o [supremo](#def-b1-reals-bounds); toda a razão de ser do $\sup$ é dispor de um substituto quando o máximo não existe. ![O conjunto A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ na reta numérica: os seus pontos se acumulam rumo a 1 sem alcançá-lo. Todo número ≥ 1 é cota superior (a semirreta), e nada menor o é, pois um elemento de A entra em cada intervalo (1 - , 1): as duas cláusulas da numa só figura. O supremo é a extremidade esquerda da semirreta das cotas superiores — e o axioma da completude é precisamente a garantia de que essa semirreta sempre tem extremidade esquerda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-reals/fig-1f2247d880be.svg) *O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ na reta numérica: os seus pontos se acumulam rumo a $1$ sem alcançá-lo. Todo número $\geq 1$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) (a semirreta), e nada menor o é, pois um elemento de $A$ entra em cada [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$: as duas cláusulas da [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) numa só figura. O [supremo](#def-b1-reals-bounds) é a extremidade esquerda da semirreta das [cotas superiores](#def-b1-reals-bounds) — e o axioma da completude é precisamente a garantia de que essa semirreta sempre tem extremidade esquerda.* **Exemplo 10.6 (Calculando supremos na prática).** Dois exercícios completos da [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon). *O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$.* Para todo $x > 0$, $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$, de modo que $2$ é cota inferior; e $2 = 1 + \frac11 \in A$: portanto, $\inf A = \min A = 2$, atingido em $x = 1$. Por cima, $A$ é ilimitado ($x + \frac1x > x$ pode exceder qualquer $M$ pelo [Teorema 10.10](#thm-b1-reals-archimedes)): $\sup A$ não existe em $\R$ (vale $+\infty$ em $\overline\R$). *O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$.* Todo elemento está em $\intoo{0}{1}$, de modo que $0$ e $1$ são cotas. Nenhuma delas é atingida: $\frac{m}{m+n} = 1$ forçaria $n = 0$. Para o [supremo](#def-b1-reals-bounds), congele $n = 1$ e faça $m$ crescer: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ assim que $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Arquimedes): $\sup B = 1$. Simetricamente ($m = 1$, $n$ grande), $\inf B = 0$. A ideia de fechamento: para fixar um [supremo](#def-b1-reals-bounds), basta um *caminho a um parâmetro* bem escolhido dentro do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) — aqui o caminho $n = 1$ — e a caracterização por $\varepsilon$ nada mais exige. **Exemplo 10.7 (O espelho do ínfimo).** O [ínfimo](#def-b1-reals-bounds) tem a sua própria caracterização por $\varepsilon$, obtida da [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) por meio de $\inf A = -\sup(-A)$: $i = \inf A$ se, e somente se, $i$ limita $A$ inferiormente e, para todo $\varepsilon > 0$, algum $a \in A$ tem $a < i + \varepsilon$. Um exercício com as duas cotas ao mesmo tempo: seja $$ A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} . $$ Os índices pares dão $1 + \frac1n \leq \frac32$, com igualdade em $n = 2$: como também os valores de índice ímpar são $\leq 0 < \frac32$, obtemos $\sup A = \max A = \frac32$. Os índices ímpares dão $-1 + \frac1n > -1$, decrescendo rumo a $-1$: todo elemento de $A$ é $> -1$, e $-1 + \varepsilon$ é superado por $-1 + \frac1n$ para $n$ ímpar com $n > \frac1\varepsilon$: $\inf A = -1$, não atingido. Um só [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets), com os quatro comportamentos à mostra: um [supremo](#def-b1-reals-bounds) que é máximo e um [ínfimo](#def-b1-reals-bounds) que não é mínimo. **Observação 10.8 (Armadilhas frequentes com sup e inf).** Quatro erros respondem pela maioria dos pontos perdidos. (i) *Confundir $\sup$ e $\max$*: $\sup A$ não precisa pertencer a $A$; escreva $\max$ apenas depois de exibir um elemento de $A$ que seja [cota superior](#def-b1-reals-bounds). (ii) *Passar desigualdades estritas ao [supremo](#def-b1-reals-bounds)*: se $a < b$ para todo $a \in A$, só se pode concluir $\sup A \leq b$ — testemunha: $A = \intoo{0}{1}$, $b = 1$. (iii) *Escrever $\sup A$ antes de verificar a legalidade*: o símbolo exige $A$ não vazio e limitado superiormente ([Método 10.18](#met-b1-reals-supproofs)); $\sup \emptyset$ e $\sup \N$ não estão definidos em $\R$ (as convenções de $\overline\R$ são um ato separado e explícito). (iv) *Operações com [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets)*: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ sempre, mas nada geral vale para $A \cap B$ — ele pode ser vazio e, mesmo quando não é, $\sup(A \cap B)$ pode ficar muito abaixo de $\min(\sup A, \sup B)$: tome $A = \{0, 2\}$ e $B = \{0, 3\}$, em que $\sup(A \cap B) = 0$. **Exemplo 10.9 (Conjuntos finitos têm máximo — um lema usado em silêncio).** Todo $F \subseteq \R$ finito e não vazio tem máximo (e mínimo). Indução no número de elementos: um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) unitário $\{a\}$ tem $\max = a$; se a afirmação vale para [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de $n$ elementos e $F$ tem $n + 1$ elementos, tome $a \in F$ qualquer: o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $F \setminus \{a\}$ tem um máximo $m$, e $\max F$ é $m$ se $a \leq m$, e $a$ caso contrário. Nenhuma completude está envolvida — é pura ordem mais indução, válida já em $\Q$ — e, ainda assim, o lema merece um enunciado honesto, porque as demonstrações que virão o invocam silenciosamente: a construção da [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) abaixo (“um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de inteiros preso a um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) finito tem maior elemento”), toda estimativa $\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \dots)$ do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq), todo “tome o maior dos finitos $\delta$” do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity). É nos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) infinitos que os máximos morrem e os [supremos](#def-b1-reals-bounds) assumem: este capítulo existe para o caso infinito. **Teorema 10.10 (Propriedade arquimediana).** Para todo $x \in \R$ existe $n \in \N$ com $n > x$. Equivalentemente: para todos $\varepsilon > 0$ e $y > 0$, algum múltiplo $n\varepsilon$ excede $y$. **Demonstração.** Suponha que não: algum $x$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) de $\N$. Então $s = \sup \N$ existe ([Teorema 10.2](#thm-b1-reals-sup)). Pela [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) (2) com $\varepsilon = 1$, existe $n \in \N$ com $n > s - 1$; mas então $n + 1 \in \N$ e $n + 1 > s$, contradizendo que $s$ seja [cota superior](#def-b1-reals-bounds). Para a segunda forma, sejam $\varepsilon > 0$ e $y > 0$: a primeira forma aplicada a $x = \frac{y}{\varepsilon}$ produz $n \in \N$ com $n > \frac{y}{\varepsilon}$, e multiplicar por $\varepsilon > 0$ (o que preserva desigualdades estritas) dá $n\varepsilon > y$. Reciprocamente, a segunda forma com $\varepsilon = 1$ e $y = x$ recupera a primeira para $x > 0$, e $n = 1$ trata $x \leq 0$: os dois enunciados são estritamente equivalentes. ∎ **Exemplo 10.11 (Arquimedes em ação).** Três usos imediatos, constantemente necessários mais adiante. (i) *Nenhum real positivo fica abaixo de todos os $\frac1n$*: se $0 < \varepsilon$, tome $n > \frac1\varepsilon$; então $\frac1n < \varepsilon$. Em outras palavras, $\R$ não contém infinitésimos — o informal “$\frac1n$ fica arbitrariamente pequeno” é exatamente este teorema. (ii) *Limiares explícitos*: quão grande deve ser $n$ para que $\frac{1}{n^2} \leq 10^{-6}$? Basta que $n \geq 10^3$ — Arquimedes garante que tais $n$ existem, e a álgebra os localiza. (iii) *As potências vencem qualquer cota*: $2^n \geq n + 1$ (indução), de modo que, para todo $M$, alguma potência de $2$ excede $M$: o crescimento geométrico usado para os diádicos no [Exercício 10.8](#exo-b1-reals-8). A ideia de fechamento: a [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes) é a licença por trás de toda frase do tipo “tome $n$ suficientemente grande” — daqui em diante usamos essa frase livremente, e este exemplo é a sua justificativa de uma vez por todas. **Teorema 10.12 (Função parte inteira).** Para todo $x \in \R$ existe exatamente um inteiro, a *parte inteira* $\lfloor x \rfloor$, com $$ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 . $$ **Demonstração.** *Existência.* O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $E = \{k \in \Z : k \leq x\}$ é não vazio: pelo [Teorema 10.10](#thm-b1-reals-archimedes) existe $m \in \N$ com $m > -x$, e então $-m < x$, de modo que $-m \in E$. Ele é limitado superiormente (por qualquer inteiro $n > x$, que existe pela mesma razão), de sorte que, sendo um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de inteiros preso ao [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) finito $\intint{-m}{n}$, tem maior elemento $k = \max E$. Então $k \leq x$, e $k + 1 \notin E$ significa $x < k + 1$. *Unicidade.* Se $k$ e $k'$ satisfazem ambos as desigualdades, então $k \leq x < k' + 1$ dá $k \leq k'$ e, simetricamente, $k' \leq k$. ∎ **Exemplo 10.13 (Partes inteiras na prática).** $\lfloor 3.7 \rfloor = 3$, $\lfloor 5 \rfloor = 5$ e $\lfloor -3.7 \rfloor = -4$: a [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) vai para *baixo*, não em direção a $0$. Duas consequências da unicidade no [Teorema 10.12](#thm-b1-reals-floor) que usaremos silenciosamente. Primeira, para $n \in \Z$, $$ \lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n , $$ porque $\lfloor x \rfloor + n$ é um inteiro que satisfaz as duas desigualdades definidoras para $x + n$ — e só um inteiro as satisfaz. Segunda, $\lfloor \, \cdot \, \rfloor$ é não decrescente: se $x \leq y$, então $\lfloor x \rfloor \leq x \leq y < \lfloor y \rfloor + 1$, e um inteiro $< \lfloor y \rfloor + 1$ é $\leq \lfloor y \rfloor$. Cuidado, porém: $\lfloor 2x \rfloor \neq 2\lfloor x \rfloor$ em geral: $x = 0.6$ dá $\lfloor 1.2 \rfloor = 1 \neq 0 = 2\lfloor 0.6 \rfloor$. O que *é* verdade é uma identidade trabalhada que vale guardar (a de Hermite, no seu caso mais simples): para todo real $x$, $$ \lfloor x \rfloor + \Bigl\lfloor x + \frac12 \Bigr\rfloor = \lfloor 2x \rfloor . $$ Escreva $x = \lfloor x\rfloor + u$ com $u \in \intco{0}{1}$ e separe dois casos. Se $u < \frac12$: o lado esquerdo é $\lfloor x\rfloor + \lfloor x\rfloor = 2\lfloor x\rfloor$, e $2x = 2\lfloor x\rfloor + 2u$ com $2u \in \intco{0}{1}$, de modo que o lado direito é $2\lfloor x\rfloor$ também. Se $u \geq \frac12$: o lado esquerdo é $\lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor + 1)$, e $2u \in \intco{1}{2}$ faz do lado direito $2\lfloor x\rfloor + 1$. A ideia de fechamento: $\lfloor x + \frac12\rfloor$ é o *arredondamento* de $x$ ao inteiro mais próximo, de modo que a identidade diz que [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) mais arredondamento é igual à [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) do dobro — e a separação em casos pela parte fracionária $u$ é a técnica padrão por trás de toda identidade de [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) (o Exercícios [10.2](#exo-b1-reals-2) e [10.3](#exo-b1-reals-3) também se apoia nela). **Teorema 10.14 (Densidade de Q\QQ e de R∖Q\R \setminus \QR∖Q).** Entre dois reais quaisquer $x < y$ existem um racional e um irracional. **Demonstração.** *Um racional.* Pelo [Teorema 10.10](#thm-b1-reals-archimedes), tome $n \in \N^*$ com $n > \frac{1}{y - x}$, de modo que $ny - nx > 1$. Seja $m = \lfloor nx \rfloor + 1$. De um lado, $nx < \lfloor nx \rfloor + 1 = m$ ([Teorema 10.12](#thm-b1-reals-floor)); do outro, $m = \lfloor nx \rfloor + 1 \leq nx + 1 < ny$. Dividindo por $n$: $x < \frac mn < y$. *Um irracional.* Aplique o ponto anterior ao par $x - \sqrt 2 < y - \sqrt 2$: algum racional $q$ fica entre eles, e então $q + \sqrt 2 \in \intoo{x}{y}$ é irracional (se $q + \sqrt 2$ fosse racional, $\sqrt 2$ também seria). ∎ **Exemplo 10.15 (Executando a demonstração da densidade).** A demonstração é um algoritmo; executemo-lo em $x = 1.414$ e $y = \sqrt 2$. Como $1.4142^2 = 1.99996164 < 2$, temos $\sqrt 2 > 1.4142$, de modo que $y - x > 0.0002$ e $\frac{1}{y - x} < 5000$: a escolha $n = 5000$ é legítima. Então $nx = 7070$, de sorte que $m = \lfloor 7070 \rfloor + 1 = 7071$, e o racional produzido é $$ \frac{m}{n} = \frac{7071}{5000} = 1.4142, \qquad 1.414 < 1.4142 < \sqrt 2 . $$ A ideia de fechamento: a demonstração precisa de $n$ apenas ligeiramente maior que $\frac{1}{y-x}$, e devolve o primeiro múltiplo de $\frac 1n$ além de $x$. A densidade não é um milagre abstrato — é uma divisão longa disfarçada, tema desenvolvido a fundo no problema de fim de semana ([Problema 10.1](#pb-b1-reals-1)). **Observação 10.16 (Onde a completude é usada em seguida).** O [Teorema 10.2](#thm-b1-reals-sup) é o único axioma não algébrico deste livro, e todo teorema de existência da análise é esse axioma vestindo roupas diferentes: o teorema da convergência monótona ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq)), o teorema de Bolzano–Weierstrass ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#ch-b1-topology)), os teoremas do valor intermediário e de Weierstrass ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity)) e a própria definição da integral como [supremo](#def-b1-reals-bounds) de somas inferiores ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration)). O volume do terceiro ano de graduação constrói a teoria da medida e os espaços de Hilbert sobre esse mesmo único axioma. Quando uma demonstração dos capítulos seguintes produzir um número real do nada, procure o [supremo](#def-b1-reals-bounds) escondido. **Observação 10.17 (Entre a discretude e a densidade).** $\Z$ e $\Q$ ocupam extremos opostos dentro de $\R$: em torno de cada inteiro há um vão de comprimento $1$ sem nenhum outro (discretude — é isso que torna a [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) bem definida), ao passo que entre dois reais quaisquer há infinitos racionais (densidade). Notavelmente, para *[subgrupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) aditivos* de $\R$ não há nada intermediário: o [Exercício 10.9](#exo-b1-reals-9) demonstra que um tal [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) é ou da forma $\alpha\Z$ (discreto), ou denso — dicotomia que alimenta a densidade de $\{\sin n\}$ no [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq) e o monstro construtivo do [Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#pb-b1-continuity-1). [Conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) gerais, é claro, misturam os comportamentos livremente: $\Z \cup \Q\cap\intcc{0}{1}$ é discreto ao longe e denso no meio. **Método 10.18 (Demonstrando igualdades com sup e inf).** Para demonstrar que $\sup A = s$: verifique que $s$ limita $A$ superiormente e depois produza, para cada $\varepsilon > 0$ (ou para uma sequência $\varepsilon = \frac 1n$), um elemento de $A$ acima de $s - \varepsilon$. Para comparar [supremos](#def-b1-reals-bounds), use: $A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B$; e, para todos $a, b$: $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$, em que $A + B = \{a + b\}$ ([Exercício 10.5](#exo-b1-reals-5)). Nunca escreva $\sup A$ antes de saber que $A$ é não vazio e limitado superiormente. ## 10.2 Intervalos **Proposição 10.19 (Caracterização dos intervalos).** Um subconjunto $I \subseteq \R$ é um *intervalo* (um dos tipos familiares $\intoo{a}{b}$, $\intcc{a}{b}$, $\intco{a}{b}$, $\intoc{a}{b}$, semirretas, $\R$, $\emptyset$, [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) unitários) se, e somente se, é *convexo*: $$ \forall x, y \in I,\ \forall z \in \R, \quad x \leq z \leq y \implies z \in I . $$ **Demonstração.** Todo tipo da lista é claramente convexo. Reciprocamente, seja $I$ convexo e não vazio. Ponha $a = \inf I$ se $I$ é limitado inferiormente, e $a = -\infty$ caso contrário; do mesmo modo, $b = \sup I$ ou $+\infty$. Afirmamos que $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ (com as convenções óbvias em $\pm\infty$). A segunda inclusão é a definição de cotas. Para a primeira, seja $z \in \intoo{a}{b}$: como $z > a$, $z$ não é cota inferior (ou $a = -\infty$), de modo que algum $x \in I$ tem $x < z$; analogamente, algum $y \in I$ tem $y > z$; a convexidade põe $z \in I$. Resta ler o tipo a partir da dupla inclusão $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$: os [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) espremidos entre um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) aberto e o seu fecho diferem de $\intoo{a}{b}$ apenas pela presença ou ausência das extremidades (finitas). Explicitamente: se $a, b \in \R$, as quatro possibilidades para $(a \in I,\ b \in I)$ dão $\intoo{a}{b}$, $\intco{a}{b}$, $\intoc{a}{b}$, $\intcc{a}{b}$ (incluindo os casos degenerados $a = b$: [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) unitário se $a \in I$); se $a = -\infty$ e $b \in \R$, obtêm-se $\intoo{-\infty}{b}$ ou $\intoc{-\infty}{b}$; simetricamente para $a \in \R$, $b = +\infty$; e $a = -\infty$, $b = +\infty$ dá $I = \R$. Todo caso está na lista: pronto. ∎ **Observação 10.20 (Por que a convexidade é o teste certo).** A [proposição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-statement) converte uma definição *geométrica* (uma lista de dez formas) num teste *lógico de uma linha*, e o teste é o que de fato se usa: para demonstrar que um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) é um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals), nunca caçe qual das dez formas ele é — verifique a convexidade e deixe a [proposição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-statement) decidir o tipo. O teorema do valor intermediário do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity) será enunciado exatamente assim (“a imagem contínua de um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) é um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals)”), e a sua demonstração produz a convexidade, não a forma. **Observação 10.21 (A reta real estendida).** É conveniente adjungir dois símbolos e trabalhar em $\overline\R = \R \cup \{-\infty, +\infty\}$, com as convenções $\sup A = +\infty$ quando $A$ não é limitado superiormente e $\sup \emptyset = -\infty$. Então *todo* subconjunto de $\R$ tem [supremo](#def-b1-reals-bounds) em $\overline\R$ — um conforto notacional usado livremente para limites no [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq). **Exemplo 10.22 (Calculando em R‾\overline\RR).** Com as convenções em vigor: $\sup \Z = +\infty$, $\inf \Z = -\infty$; para $A = \{n + (-1)^n n : n \in \N\} = \{0, 4, 0, 8, \dots\} \cup \{0\}$, $\sup A = +\infty$ (os termos pares $2n$ são ilimitados) e $\inf A = \min A = 0$; e $\sup\emptyset = -\infty \leq \inf\emptyset = +\infty$ — o único [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) cujo [supremo](#def-b1-reals-bounds) é *menor* que o seu [ínfimo](#def-b1-reals-bounds), lembrete de que as convenções são escolhidas para tornar o $\sup$ crescente e o $\inf$ decrescente em relação à inclusão: $$ A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B \quad\text{e}\quad \inf A \geq \inf B , $$ válido agora sem nenhuma ressalva de não vacuidade. O que as convenções *não* fornecem é aritmética: $+\infty + (-\infty)$ e $0 \times (+\infty)$ permanecem indefinidos, e toda manipulação algébrica de [supremos](#def-b1-reals-bounds) deve antes verificar que nunca os forma. A reta estendida é escrituração, não um sistema numérico. **Exemplo 10.23 (O supremo que escapou de Q\QQ).** Volte ao [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) da observação de abertura, $A = \{x \in \Q : x^2 < 2\}$, e calcule o seu [supremo](#def-b1-reals-bounds) *em $\R$*. Ele é não vazio ($1 \in A$) e limitado superiormente por $1.5$ (se $x > 1.5$, então $x^2 > 2.25 > 2$), de modo que $s = \sup A$ existe. Afirmamos que $s = \sqrt 2$ (o número real construído no [Exercício 10.12](#exo-b1-reals-12)). [Cota superior](#def-b1-reals-bounds): todo $a \in A$ satisfaz $a < \sqrt2$ — para $a \leq 0$ isso é claro, e, para $a > 0$, $a \geq \sqrt2$ daria $a^2 \geq 2$. Nada menor funciona: dado $t < \sqrt2$, a densidade ([Teorema 10.14](#thm-b1-reals-density)) fornece um racional $q$ com $\max(1, t) < q < \sqrt 2$, e então $q^2 < 2$, de modo que $q \in A$ excede $t$. Pela [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon), $s = \sqrt2 \notin \Q$. A ideia de fechamento: o [supremo](#def-b1-reals-bounds) de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de racionais não precisa ser racional — a completude é precisamente a promessa de que $\R$, ao contrário de $\Q$, nunca deixa um [supremo](#def-b1-reals-bounds) escapar; este exemplo é a observação de abertura do capítulo, agora demonstrada em vez de apenas apontada. **Observação 10.24 (Perspectivas dentro deste volume).** As três ferramentas do capítulo têm carreiras distintas pela frente. O [supremo](#def-b1-reals-bounds) conduz a metade analítica: os limites monótonos ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq)), a própria definição da integral ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration)) e, na geometria do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), a distância de um ponto a um subespaço — um [ínfimo](#def-b1-reals-bounds) que a projeção ortogonal transforma em mínimo. A função [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) volta sempre que o discreto encontra o contínuo: as expansões em algarismos (o problema de fim de semana deste capítulo), a aproximação de Dirichlet por casa dos pombos ([Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1)), as comparações integrais de somas ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series)). Os argumentos de densidade se promovem a método no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity): uma identidade entre funções contínuas só precisa ser verificada em $\Q$ — metade da equação funcional de Cauchy ([Problema 13.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#pb-b1-continuity-1)) é exatamente essa jogada. Quando houver dúvida sobre de onde uma demonstração deste volume tira os seus enunciados de existência, a resposta é quase sempre: deste capítulo. ## 10.3 Exercícios **Exercício 10.1 ★.** Determine (com demonstrações) sup, inf, máx e mín — quando existirem — de: $$ A = \Bigl\{\frac{1}{n} : n \in \N^*\Bigr\}, \qquad B = \Bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\Bigr\}, \qquad C = \{x \in \R : x^2 < 3\}. $$ **Solução de Exercício 10.1.** $A$: todo elemento é $\leq 1$ e $1 \in A$: $\sup A = \max A = 1$. Cotas inferiores: $0$ limita por baixo; para $\varepsilon > 0$, Arquimedes fornece $n$ com $\frac 1n < \varepsilon$, de modo que nenhum número positivo limita $A$ por baixo: $\inf A = 0$, não atingido (sem mínimo). $B$: termos $0, -\frac12, \frac23, -\frac34, \frac45, \dots$ Os termos de índice par $\frac{n}{n+1}$ ($n$ par) crescem rumo a $1$ sem alcançá-lo; os de índice ímpar $-\frac{n}{n+1}$ decrescem rumo a $-1$. Logo, $\sup B = 1$ e $\inf B = -1$, nenhum atingido: sem máximo, sem mínimo. (Cotas: $\abs{b} < 1$ para todo $b \in B$; e $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon$ para $n$ grande, analogamente por baixo.) $C = \intoo{-\sqrt 3}{\sqrt 3}$: $\sup C = \sqrt 3$, $\inf C = -\sqrt 3$, nenhum atingido. **Exercício 10.2 ★.** Demonstre que, para todos $x, y \in \R$: $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$, e que as duas estimativas são atingidas. **Solução de Exercício 10.2.** Escreva $x = \lfloor x \rfloor + u$, $y = \lfloor y \rfloor + v$ com $u, v \in \intco{0}{1}$. Então $x + y = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + (u + v)$ com $u + v \in \intco{0}{2}$. Se $u + v < 1$, $\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x\rfloor + \lfloor y \rfloor$; se $1 \leq u + v < 2$, $\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$. Os dois casos ocorrem: $(x, y) = (0.2,\, 0.3)$ dá a igualdade da esquerda, e $(0.7,\, 0.8)$, a da direita. **Exercício 10.3 ★.** Demonstre que, para todo $x \in \R$ e todo $n \in \N^*$: $\Bigl\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$. **Solução de Exercício 10.3.** Seja $k = \lfloor x \rfloor$, de modo que $k \leq x < k + 1$. Multiplicando por $n$: $nk \leq nx < nk + n$ e, tomando [partes inteiras](#thm-b1-reals-floor) (operação crescente): $nk \leq \lfloor nx \rfloor \leq nk + n - 1$. Dividindo por $n$: $k \leq \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$, de modo que a [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) externa é $k$. **Exercício 10.4 ★.** Sejam $A \subseteq B$ subconjuntos não vazios de $\R$, com $B$ limitado. Demonstre que $\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$. **Solução de Exercício 10.4.** Todo elemento de $A$ está em $B$, de sorte que $\sup B$ limita $A$ superiormente: portanto, $\sup A \leq \sup B$ ($\sup A$ é a *menor* [cota superior](#def-b1-reals-bounds)). Simetricamente, $\inf B \leq \inf A$. Por fim, $\inf A \leq \sup A$, pois $A$ é não vazio: qualquer $a \in A$ fica entre eles. **Exercício 10.5 ★★.** Para $A, B \subseteq \R$ não vazios e limitados, defina $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$ e $-A = \{-a : a \in A\}$. Demonstre: $$ \sup(A + B) = \sup A + \sup B, \qquad \sup(-A) = -\inf A . $$ **Solução de Exercício 10.5.** Sejam $s = \sup A$, $t = \sup B$. Todo $a + b \leq s + t$: [cota superior](#def-b1-reals-bounds). Para $\varepsilon > 0$, escolha $a > s - \frac\varepsilon2$ e $b > t - \frac\varepsilon2$ ([Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon)): então $a + b > s + t - \varepsilon$. Pela caracterização por $\varepsilon$, $\sup(A+B) = s + t$. Para $-A$: $m$ limita $-A$ superiormente $\iff$ $-m$ limita $A$ inferiormente; a menor [cota superior](#def-b1-reals-bounds) de $-A$ corresponde, portanto, à maior cota inferior de $A$: $\sup(-A) = -\inf A$. **Exercício 10.6 ★★.** Sejam $f, g \colon E \to \R$ funções limitadas. Demonstre que $$ \sup_{x \in E}\, \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \leq \sup_{x \in E} f(x) + \sup_{x \in E} g(x), $$ e dê um exemplo em que a desigualdade é estrita. Por que isso não contradiz o [Exercício 10.5](#exo-b1-reals-5)? **Solução de Exercício 10.6.** Para todo $x$: $f(x) + g(x) \leq \sup f + \sup g$; tomando o [supremo](#def-b1-reals-bounds) do lado esquerdo, obtém-se a desigualdade. Exemplo estrito: $E = \{0, 1\}$, $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ (valor $1$ em $0$, e $0$ no resto), $g = \mathbf{1}_{\{1\}}$: $\sup(f + g) = 1 < 2 = \sup f + \sup g$. Nenhuma contradição com o [Exercício 10.5](#exo-b1-reals-5): lá, $a \in A$ e $b \in B$ variam *independentemente*; aqui o mesmo $x$ alimenta $f$ e $g$ — o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\{f(x) + g(x) : x \in E\}$ é menor que o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\{f(x) + g(y) : x, y \in E\}$. **Exercício 10.7 ★★.** Demonstre que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ é irracional. *(Eleve ao quadrado e use a irracionalidade de $\sqrt 6$, a ser demonstrada via [Exercício 6.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-7).)* **Solução de Exercício 10.7.** $\sqrt 6$ é irracional: $6 = 2 \times 3$ não é quadrado perfeito, e $v_2(6q^2) = 1 + 2v_2(q)$ ímpar impede $6q^2 = r^2$ (como no [Exercício 6.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-7)). Suponha agora que $x = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \Q$. Então $x^2 = 5 + 2\sqrt 6 \in \Q$, de modo que $\sqrt 6 = \frac{x^2 - 5}{2} \in \Q$: contradição. Portanto, $\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \Q$. **Exercício 10.8 ★★.** Demonstre que o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $D = \bigl\{\frac{m}{2^n} : m \in \Z,\ n \in \N\bigr\}$ dos racionais diádicos é denso em $\R$: entre dois reais quaisquer há um racional diádico. **Solução de Exercício 10.8.** Sejam $x < y$. Tome $n \in \N$ com $2^n > \frac{1}{y - x}$ (Arquimedes: $2^n \geq n + 1$ por uma indução fácil, de modo que alguma potência de $2$ excede qualquer real). Então, como na demonstração do [Teorema 10.14](#thm-b1-reals-density), com $2^n$ no lugar de $n$: $m = \lfloor 2^n x \rfloor + 1$ satisfaz $x < \frac{m}{2^n} < y$. Logo, $D$ é denso. **Exercício 10.9 ★★★.** Seja $G$ um [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) de $(\R, +)$ com $G \neq \{0\}$. Ponha $\alpha = \inf\,(G \cap \intoo{0}{+\infty})$. Demonstre: 1. se $\alpha > 0$ , então $G = \alpha\Z$ ; 2. se $\alpha = 0$ , então $G$ é denso em $\R$ . Deduza que $\Z + \sqrt 2\,\Z$ é denso em $\R$. **Solução de Exercício 10.9.** 1. Suponha $\alpha > 0$ . Primeiro, $\alpha \in G$ . Suponha que não: pela caracterização por $\varepsilon$ do [ínfimo](#def-b1-reals-bounds) com $\varepsilon = \alpha$ , existe $g \in G$ com $\alpha < g < 2\alpha$ (estrita à esquerda, pois $\alpha \notin G$ ); então, com $\varepsilon = g - \alpha$ , existe $h \in G$ com $\alpha < h < g$ . Ora, $g - h \in G$ e $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$ : um elemento de $G \cap \intoo{0}{+\infty}$ abaixo do seu [ínfimo](#def-b1-reals-bounds) , absurdo. Logo, $\alpha \in G$ , e $\alpha\Z \subseteq G$ ( $G$ é [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) ). Reciprocamente, para $x \in G$ , seja $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$ : então $x - k\alpha \in G$ e $0 \leq x - k\alpha < \alpha$ , e a definição de $\alpha$ força $x - k\alpha = 0$ . Portanto, $G = \alpha\Z$ . 2. Suponha $\alpha = 0$ e sejam $x < y$ . Existe $g \in G$ com $0 < g < y - x$ . O múltiplo $kg$ com $k = \lfloor x/g \rfloor + 1$ satisfaz $x < kg \leq x + g < y$ , e $kg \in G$ : densidade. $G = \Z + \sqrt 2\,\Z$ é um [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) de $(\R, +)$. Ele não é da forma $\alpha\Z$: caso contrário, $1 = p\alpha$ e $\sqrt 2 = q\alpha$ ($p, q \in \Z$) dariam $\sqrt 2 = \frac qp \in \Q$, contradição. Pela dicotomia, $G$ é denso em $\R$. **Exercício 10.10 ★★★.** Para $A, B$ [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não vazios de reais positivos, seja $AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$. Demonstre que $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ (caso limitado) e mostre, com um exemplo, que a positividade é essencial. **Solução de Exercício 10.10.** Sejam $s = \sup A > 0$, $t = \sup B > 0$. Para $a \in A$, $b \in B$: $ab \leq st$ (multiplicando desigualdades entre números *positivos*). Para $0 < \varepsilon < \min(s, t)$: escolha $a > s - \varepsilon$ e $b > t - \varepsilon$; então $$ ab > (s - \varepsilon)(t - \varepsilon) = st - \varepsilon(s + t) + \varepsilon^2 > st - \varepsilon (s + t), $$ e $\varepsilon(s+t)$ pode ser tornado arbitrariamente pequeno: pela caracterização por $\varepsilon$ (na forma: nenhum número $< st$ limita $AB$ superiormente), $\sup AB = st$. A positividade é essencial: $A = B = \{-1, 0\}$ dá $AB = \{0, 1\}$, $\sup AB = 1$, ao passo que $\sup A \cdot \sup B = 0 \times 0 = 0$. **Exercício 10.11 ★★.** Para $A \subseteq \R$ não vazio e limitado, defina o *diâmetro* $$ \operatorname{diam} A = \sup\,\{\abs{a - a'} : a, a' \in A\} . $$ Demonstre que $\operatorname{diam} A = \sup A - \inf A$ e que $\intcc{\inf A}{\sup A}$ é o menor [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) fechado que contém $A$. **Solução de Exercício 10.11.** Escreva $s = \sup A$, $i = \inf A$. Para $a, a' \in A$: $a \leq s$ e $a' \geq i$ dão $a - a' \leq s - i$; por simetria, $\abs{a - a'} \leq s - i$, de modo que $s - i$ limita superiormente o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das distâncias. Para $\varepsilon > 0$, escolha $a > s - \frac\varepsilon2$ e $a' < i + \frac\varepsilon2$ ([Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) e o seu espelho para o [ínfimo](#def-b1-reals-bounds)): então $\abs{a - a'} \geq a - a' > s - i - \varepsilon$. Pela caracterização por $\varepsilon$, $\operatorname{diam} A = s - i$. Todo $a \in A$ satisfaz $i \leq a \leq s$, de modo que $A \subseteq \intcc{i}{s}$, um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) fechado de comprimento $\operatorname{diam} A$. Se um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) fechado $\intcc{u}{v}$ contém $A$, então $v$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) e $u$ é cota inferior de $A$, de sorte que $u \leq i$ e $v \geq s$: $\intcc{i}{s} \subseteq \intcc{u}{v}$. Portanto, $\intcc{i}{s}$ é o menor deles. **Exercício 10.12 ★★★.** Sejam $y > 0$ e $E = \{x \geq 0 : x^2 \leq y\}$. Demonstre que $E$ é não vazio e limitado superiormente, e que $s = \sup E$ satisfaz $s^2 = y$ *(descarte $s^2 < y$ e $s^2 > y$ exibindo, em cada caso, um pequeno $h > 0$ que contradiz a definição do [supremo](#def-b1-reals-bounds))*. Deduza que todo $y > 0$ tem uma única raiz quadrada $\sqrt y > 0$ e que $y \mapsto \sqrt y$ é crescente em $\intoo{0}{+\infty}$. **Solução de Exercício 10.12.** $0 \in E$, logo $E \neq \emptyset$. Se $x > \max(1, y)$, então $x^2 > x > y$, de modo que $E$ é limitado superiormente por $\max(1, y)$: $s = \sup E$ existe ([Teorema 10.2](#thm-b1-reals-sup)), e $s \geq \min(1, y) > 0$, pois $\min(1, y) \in E$: com efeito, se $y \geq 1$, então $1^2 = 1 \leq y$, e, se $y < 1$, então $y^2 < y$. *$s^2 < y$ é impossível.* Escolha $0 < h < 1$ com $h < \frac{y - s^2}{2s + 1}$. Então $$ (s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 \leq s^2 + (2s + 1)h < y , $$ de modo que $s + h \in E$, contradizendo que $s$ limita $E$ superiormente. *$s^2 > y$ é impossível.* Escolha $0 < h < s$ com $h < \frac{s^2 - y}{2s}$. Então $(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh > y$; todo $x \in E$ satisfaz $x^2 \leq y < (s - h)^2$, logo $x < s - h$ (ambos são $\geq 0$): $s - h$ é uma [cota superior](#def-b1-reals-bounds) de $E$ menor que $s$, contradizendo a minimalidade. Portanto, $s^2 = y$. Unicidade: se $0 < s < s'$, então $s^2 < s'^2$, de modo que duas raízes positivas distintas não podem ambas ter quadrado $y$. Monotonicidade: se $0 < y < y'$, então $\sqrt y \neq \sqrt{y'}$ e $\sqrt y > \sqrt{y'}$ daria $y > y'$ ao elevar ao quadrado: logo, $\sqrt y < \sqrt{y'}$. ## 10.4 Problema: Expansões em algarismos e o ritmo dos racionais **Problema 10.1.** Problema de fim de semana — expansões $b$-ádicas: existência, unicidade e a periodicidade que caracteriza $\Q$ Todo real de $\intco{0}{1}$ tem uma expansão em algarismos em toda base $b \geq 2$; a expansão é única desde que se proíbam cadeias finais do algarismo $b - 1$; e ela é periódica a partir de certo ponto exatamente quando o número é racional. Este problema demonstra os três fatos apenas a partir do axioma da completude — sem sequências, sem séries: só o [supremo](#def-b1-reals-bounds), a [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes) e a função [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) — e se encerra com o argumento diagonal de Cantor em forma de algarismos. Ao longo do problema, $b \geq 2$ é um inteiro fixado (a *base*), um *algarismo* é um elemento de $\intint{0}{b-1}$, e uma cadeia de algarismos $(d_n)_{n \geq 1}$ é *própria* quando não é igual a $b - 1$ a partir de certo ponto (isto é: para todo $N$ existe $n > N$ com $d_n \leq b - 2$). **Parte I — Algarismos à mão.** Divisão longa de $p$ por $q$ na base $b$: multiplique o resto atual por $b$, divida por $q$, registre o quociente como o algarismo seguinte e guarde o resto. 1. Na base $10$ , execute o algoritmo em $\frac 18$ e em $\frac 17$ , registrando a cada passo o algarismo *e* o resto. Confira que os restos de $\frac 17$ percorrem o ciclo $1, 3, 2, 6, 4, 5$ e que os algarismos $142857$ se repetem para sempre. 2. Calcule as expansões na base $2$ de $\frac 13$ e de $\frac{5}{16}$ , e a expansão na base $3$ de $\frac 12$ . Observe: um número termina, e os outros dois se repetem — e $\frac 12$ , tão dócil na base $10$ , repete-se para sempre na base $3$ . 3. Para $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ na forma irredutível, mostre que os algarismos produzidos pelo algoritmo são, a partir de certo ponto, todos $0$ se, e somente se, o resto $b^N p \bmod q$ se anula para algum $N$ , se, e somente se, $q$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) alguma potência $b^N$ , se, e somente se, todo fator [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) de $q$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b$ . Confira: $\frac{1}{20}$ termina na base $10$ , mas não na base $3$ . 4. Defina o *truncamento* $s_n = \lfloor b^n x \rfloor / b^n$ . Para $x = \sqrt 2$ e $b = 10$ , calcule $s_0, \dots, s_4$ verificando a cada passo que dois quadrados consecutivos cercam $2$ (por exemplo, $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ ), e confira $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ em cada caso. **Parte II — Existência, a partir do [supremo](#def-b1-reals-bounds).** Fixe $x \in \intco{0}{1}$ e ponha $A_n = \lfloor b^n x \rfloor$ e $d_n = A_n - b\,A_{n-1}$ para $n \geq 1$. 1. Mostre que $A_0 = 0$ e $b\,A_{n-1} \leq A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ ; conclua que cada $d_n$ é um algarismo. 2. Mostre que $s_n := A_n b^{-n}$ satisfaz $$s_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\,b^{-k} \qquad\text{e}\qquad s_n \leq x < s_n + b^{-n} .$$ 3. Demonstre que $b^n \geq n + 1$ por indução e mostre depois que $(s_n)$ é não decrescente e que $x = \sup_n s_n$ *(use a [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) e o [Teorema 10.10](#thm-b1-reals-archimedes))* . 4. Mostre que a cadeia $(d_n)$ é própria: se $d_k = b - 1$ para todo $k > N$ , calcule $s_n$ para $n > N$ por uma soma geométrica finita e contradiga a questão 6. 5. Reciprocamente, seja $(e_n)_{n \geq 1}$ uma cadeia própria de algarismos qualquer e $t_n = \sum_{k=1}^n e_k b^{-k}$ . Mostre que $y = \sup_n t_n$ existe, está em $\intco{0}{1}$ e satisfaz $t_n \leq y < t_n + b^{-n}$ para todo $n$ *(para a desigualdade estrita, use um algarismo $e_m \leq b - 2$ com $m > n$)* . Deduza que $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ e, em seguida, que os algarismos de $y$ , no sentido da questão 5, são exatamente os $e_n$ . **Parte III — Unicidade, ordem, deslocamento.** 1. Reúna as questões 5–9 no *teorema da expansão $b$-ádica* : as aplicações $x \mapsto (d_n)$ e $(e_n) \mapsto \sup_n t_n$ são bijeções inversas uma da outra entre $\intco{0}{1}$ e o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das cadeias próprias de algarismos. Em particular, duas cadeias próprias distintas nunca têm o mesmo valor. 2. Permita agora cadeias impróprias. Mostre que uma cadeia com $e_n = b - 1$ para todo $n > M$ (com $M \geq 0$ mínimo) tem valor $t_M + b^{-M}$ ; conclua que $0.999\dots = 1$ na base $10$ e que os reais com duas representações em algarismos são exatamente as frações $b$ -ádicas $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ — todo outro real tem apenas uma, mesmo entre as cadeias impróprias. 3. Demonstre que a bijeção da questão 10 preserva a ordem lexicográfica: se as cadeias próprias de $x$ e de $y$ diferem pela primeira vez no índice $m$ , então $x < y$ se, e somente se, $d_m < e_m$ . 4. (Lema do deslocamento) Seja $x \in \intco{0}{1}$ com algarismos $(d_n)$ . Mostre que a parte fracionária de $bx$ tem algarismos $(d_{n+1})_{n \geq 1}$ *(calcule $\lfloor b^n(bx - A_1)\rfloor$ usando $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ para $K$ inteiro)* e deduza por indução que a parte fracionária de $b^m x$ tem algarismos $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ . **Parte IV — Racionalidade é periodicidade.** Seja $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ na forma irredutível e $r_n = b^n p \bmod q$ o resto da divisão euclidiana de $b^n p$ por $q$. 1. Mostre que $A_n = \dfrac{b^n p - r_n}{q}$ e $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ . 2. Mostre que $d_n = \Bigl\lfloor \dfrac{b\,r_{n-1}}{q} \Bigr\rfloor$ : cada algarismo é função apenas do resto anterior. É exatamente a divisão longa da Parte I. 3. Aplique o princípio da casa dos pombos ( [Corolário 2.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#cor-b1-counting-pigeonhole) ) a $r_0, \dots, r_q$ e conclua: a expansão de todo racional é periódica a partir de certo ponto, com pré-período e período no máximo $q$ . 4. Reciprocamente, suponha que os algarismos de $y \in \intco{0}{1}$ sejam *puramente* periódicos: $d_{n+T} = d_n$ para todo $n \geq 1$ . Usando o lema do deslocamento e a unicidade da questão 10, mostre que a parte fracionária de $b^T y$ é igual a $y$ e deduza que $(b^T - 1)\,y \in \N$ : assim, $y$ é racional, com denominador que [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b^T - 1$ . Verifique o mecanismo em $0.(142857)$ : $142857 \times 7 = 999999$ . 5. Trate o caso periódico a partir de certo ponto por deslocamento e enuncie o *critério de periodicidade* : $x \in \intco{0}{1}$ é racional se, e somente se, a sua expansão $b$ -ádica própria é periódica a partir de certo ponto — numa base se, e somente se, em todas. 6. Para $x = \frac 1q$ com $\gcd(q, b) = 1$ , mostre que a expansão é puramente periódica e que o seu menor período é o menor $T \geq 1$ com $b^T \equiv 1 \pmod q$ (a ordem multiplicativa de $b$ módulo $q$ ). Confira que, para $q = 7$ , $b = 10$ , as potências de $10$ módulo $7$ percorrem $3, 2, 6, 4, 5, 1$ : ordem $6$ , coincidindo com a questão 1. **Parte V — Dividendos e a diagonal.** 1. Seja $x^*$ o real de $\intco{0}{1}$ cujos algarismos na base $10$ valem $1$ nas posições triangulares $\frac{j(j + 1)}{2}$ ( $j \geq 1$ ) e $0$ nas demais: $x^* = 0.101001000100001\dots$ Mostre que a sua cadeia de algarismos é própria, mas não periódica a partir de certo ponto *(um período $T$ obrigaria a haver uns com espaçamento no máximo $T$, mas os espaçamentos crescem)* , e conclua que $x^*$ é irracional: um número demonstrado irracional por puro ritmo. 2. Mostre que, para toda base $b$ , o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\{m/b^n : m \in \Z, n \in \N\}$ é denso em $\R$ (generalizando o [Exercício 10.8](#exo-b1-reals-8) ) e que todo racional $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ tem expansão *finita* na base $q$ . Moral: terminar é uma propriedade do par (número, base); a periodicidade — a racionalidade — é intrínseca. 3. (Diagonal de Cantor) Seja $k \mapsto x_k$ uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) qualquer de $\N^*$ em $\intco{0}{1}$ . Defina a cadeia de algarismos $e_k = 1$ se o $k$ -ésimo algarismo de $x_k$ for diferente de $1$ , e $e_k = 2$ caso contrário. Mostre que $(e_k)$ é própria, que o seu valor $y$ está em $\intco{0}{1}$ e que $y \neq x_k$ para todo $k$ . Conclua: nenhuma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\N^* \to \intco{0}{1}$ é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) . (O vocabulário da enumerabilidade, e o lugar próprio deste teorema, está no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#ch-b1-topology) .) 4. Mostre que, se as expansões próprias de $x$ e de $y$ coincidem até o índice $n$ , então $\abs{x - y} < b^{-n}$ , e refute a recíproca com $x = 0.1$ , $y = 0.0999$ na base $10$ : a proximidade dos números não força a coincidência dos algarismos. De quem é a culpa? 5. Execute a Parte IV em $x = \frac{1}{10}$ na base $b = 2$ : calcule restos e algarismos até que ciclem e conclua que $\frac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2$ , com pré-período $1$ e período $4$ . Explique, via a questão 3, por que nenhuma cadeia binária finita jamais será igual a $\frac{1}{10}$ — a razão pela qual, em ponto flutuante, $0.1 + 0.2$ não é exatamente $0.3$ num computador. 6. Síntese. Em uma frase cada: onde a demonstração usou (i) a completude, (ii) a [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes) , (iii) a cláusula de unicidade da [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) , (iv) o princípio da casa dos pombos? E a moral: $\intco{0}{1}$ é fielmente codificado por cadeias próprias de algarismos, e a racionalidade se lê como periodicidade — e, ainda assim, a análise prefere o [supremo](#def-b1-reals-bounds) aos algarismos. Por quê? (Pense em somar duas cadeias de algarismos.) **Solução de Problema 10.1.** **1.** Para $\frac 18$: $10 = 8 \cdot 1 + 2$, $20 = 8 \cdot 2 + 4$, $40 = 8 \cdot 5 + 0$; algarismos $1, 2, 5$, resto $0$ e, depois, só zeros: $\frac 18 = 0.125$. Para $\frac 17$: $10 = 7 \cdot 1 + 3$, $30 = 7 \cdot 4 + 2$, $20 = 7 \cdot 2 + 6$, $60 = 7 \cdot 8 + 4$, $40 = 7 \cdot 5 + 5$, $50 = 7 \cdot 7 + 1$: algarismos $1, 4, 2, 8, 5, 7$, restos $3, 2, 6, 4, 5, 1$. O resto voltou a $r = 1$, de modo que os seis passos se repetem literalmente para sempre: $\frac 17 = 0.(142857)$, com os restos ciclando por $1, 3, 2, 6, 4, 5$. **2.** $\frac 13$ na base $2$ ($r_0 = 1$): $2 = 3 \cdot 0 + 2$, $4 = 3 \cdot 1 + 1$, e $r = 1$ retorna: $\frac 13 = (0.\overline{01})_2$. $\frac{5}{16}$ na base $2$: $10 = 16 \cdot 0 + 10$, $20 = 16 \cdot 1 + 4$, $8 = 16 \cdot 0 + 8$, $16 = 16 \cdot 1 + 0$: $\frac{5}{16} = (0.0101)_2$, terminando. $\frac 12$ na base $3$: $3 = 2 \cdot 1 + 1$, e $r = 1$ retorna de imediato: $\frac 12 = (0.\overline{1})_3$. **3.** O resto do algoritmo após $N$ passos é $r_N = b^N p \bmod q$ (demonstrado formalmente na questão 14; aqui é a observação de que cada passo multiplica o resto por $b$ e o reduz módulo $q$). Todos os algarismos posteriores são $0$ se, e somente se, algum $r_N = 0$, isto é, $q \mid b^N p$; como $\gcd(p, q) = 1$, o lema de Gauss dá $q \mid b^N$. Se $q \mid b^N$, todo fator [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) de $q$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b^N$ e, portanto, [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b$ (primalidade). Reciprocamente, se todo [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) de $q = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b$, então, com $A = \max_i a_i$, cada $p_i^{a_i}$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b^A$, e os $p_i^{a_i}$ são dois a dois [primos entre si](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#cor-b1-arith-bezout), de modo que $q \mid b^A$. Para $q = 20 = 2^2 \cdot 5$: os dois [primos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) [dividem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $10$ ($\frac{1}{20} = 0.05$), mas $2 \nmid 3$, de sorte que $\frac{1}{20}$ se repete para sempre na base $3$. **4.** $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ dá $s_0 = 1$. Depois, $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$: $\lfloor 10\sqrt 2 \rfloor = 14$, $s_1 = 1.4$. Em seguida, $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$: $s_2 = 1.41$; $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$: $s_3 = 1.414$; $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$: $s_4 = 1.4142$. Em cada caso, as desigualdades exibidas dizem exatamente $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$, que é a definição da [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) de $10^n \sqrt 2$. **5.** $A_0 = \lfloor x \rfloor = 0$, pois $0 \leq x < 1$. De $A_{n-1} \leq b^{n-1} x < A_{n-1} + 1$, multiplique por $b$: $$ b\,A_{n-1} \leq b^n x < b\,A_{n-1} + b . $$ O inteiro $b\,A_{n-1}$ é $\leq b^n x$, de modo que $b\,A_{n-1} \leq A_n$; e $b^n x < b\,A_{n-1} + b$, com $b\,A_{n-1} + b$ inteiro, força $A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$. Portanto, $0 \leq d_n = A_n - b\,A_{n-1} \leq b - 1$: um algarismo. **6.** Telescopando: $d_k b^{-k} = A_k b^{-k} - A_{k-1} b^{-(k-1)}$, de modo que $$ \sum_{k=1}^n d_k b^{-k} = A_n b^{-n} - A_0 = s_n . $$ Dividir $A_n \leq b^n x < A_n + 1$ por $b^n$ dá $s_n \leq x < s_n + b^{-n}$. **7.** Indução: $b^0 = 1 \geq 1$ e $b^{n+1} = b \cdot b^n \geq 2(n + 1) \geq n + 2$. Monotonicidade: $s_n - s_{n-1} = d_n b^{-n} \geq 0$. Cada $s_n \leq x$ (questão 6): $x$ é [cota superior](#def-b1-reals-bounds) de $\{s_n\}$. Para $\varepsilon > 0$, a [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes) fornece $n$ com $n + 1 > \frac1\varepsilon$, donde $b^{-n} < \varepsilon$, e então $s_n > x - b^{-n} > x - \varepsilon$, pela questão 6. Pela [Proposição 10.4](#prop-b1-reals-epsilon), $x = \sup_n s_n$. **8.** Suponha $d_k = b - 1$ para todo $k > N$. Para $n > N$, a soma geométrica finita dá $$ s_n = s_N + (b - 1)\sum_{k=N+1}^{n} b^{-k} = s_N + b^{-N} - b^{-n} . $$ Assim, $x \geq s_n = s_N + b^{-N} - b^{-n}$ para todo $n$; fazendo o último termo encolher abaixo de qualquer $\varepsilon$ (questão 7), $x \geq s_N + b^{-N}$. Mas a questão 6 no posto $N$ diz que $x < s_N + b^{-N}$: contradição. A cadeia $(d_n)$ é própria. **9.** Limitada: $t_n \leq (b-1)\sum_{k=1}^n b^{-k} = 1 - b^{-n} < 1$, e $(t_n)$ é não decrescente, de modo que $y = \sup t_n$ existe, com $0 \leq y \leq 1$. Fixe $n$. Para a estimativa bilateral: $t_n \leq y$ é claro. Pela propriedade de ser própria, tome $m > n$ com $e_m \leq b - 2$. Para $p \geq m$: $$ t_p - t_n = \sum_{k=n+1}^{p} e_k b^{-k} \leq (b^{-n} - b^{-p}) - b^{-m} < b^{-n} - b^{-m}, $$ com a soma do meio perdendo ao menos $b^{-m}$ contra o máximo com todos os algarismos $(b-1)$; para $p \leq m$, também $t_p \leq t_m \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ (monotonicidade mais o caso $p = m$). Portanto, todo $t_p \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$, de modo que $y \leq t_n + b^{-n} - b^{-m} < t_n + b^{-n}$. (Com $n = 0$: $y < 1$, logo $y \in \intco{0}{1}$.) Ora, $b^n t_n = \sum_{k \leq n} e_k b^{n-k}$ é um inteiro, e $b^n t_n \leq b^n y < b^n t_n + 1$: assim, $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$. Por fim, os algarismos de $y$: $d_n(y) = b^n t_n - b \cdot b^{n-1} t_{n-1} = b^n(t_n - t_{n-1}) = e_n$. **10.** A questão 9 diz: (valor de uma cadeia) tem por algarismos (a cadeia); as questões 5–8 dizem: (algarismos de $x$) formam uma cadeia própria cujas truncagens têm [supremo](#def-b1-reals-bounds) $x$ (questão 7). Logo, as duas aplicações se compõem dando a identidade nas duas ordens: são bijeções inversas uma da outra entre $\intco{0}{1}$ e as cadeias próprias. Se duas cadeias próprias tivessem o mesmo valor, aplicar a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) dos algarismos as tornaria iguais: unicidade. Este é o *teorema da expansão $b$-ádica*. **11.** Seja $e_n = b - 1$ para $n > M$, com $M \geq 0$ mínimo. Como na questão 8, $t_n = t_M + b^{-M} - b^{-n}$ para $n \geq M$, de modo que o valor é $\sup t_n = t_M + b^{-M}$. Se $M = 0$, o valor é $0 + 1 = 1$: na base $10$, $0.999\dots = 1$ exatamente — e não aproximadamente. Se $M \geq 1$, a minimalidade dá $e_M \leq b - 2$, e o valor é $$ t_M + b^{-M} = \frac{b^M t_M + 1}{b^M} \in \intoo{0}{1}, $$ uma fração $b$-ádica, cuja expansão *própria* é $e_1 \dots e_{M-1}\,(e_M + 1)\,000\dots$ (uma cadeia que termina é própria, e o seu valor é o mesmo número). Reciprocamente, um real com duas representações deve ter uma imprópria (ser própria fixa a representação, questão 10) e, portanto, ser dessa forma. E cada $m/b^N \in \intoo{0}{1}$, escrito com último algarismo não nulo $d_N$, de fato tem o gêmeo impróprio $d_1 \dots d_{N-1}(d_N - 1)(b-1)(b-1)\dots$: exatamente as frações $b$-ádicas carregam dois nomes, e todos os demais reais, um só. **12.** Digamos que as cadeias coincidam até $m - 1$, com truncagem comum $P = s_{m-1}$, e que $d_m < e_m$. Pela questão 9 (estimativa superior estrita no posto $m$), $x < P + d_m b^{-m} + b^{-m} = P + (d_m + 1)b^{-m} \leq P + e_m b^{-m} \leq y$, o último passo porque $P + e_m b^{-m}$ é a truncagem $t_m \leq y$ de $y$. Logo, $d_m < e_m \implies x < y$; trocando os papéis, $e_m < d_m \implies y < x$; e, como as cadeias diferem em $m$, uma das duas coisas ocorre. As duas direções seguem. **13.** Seja $z = bx - A_1 \in \intco{0}{1}$ (com efeito, $A_1 \leq bx < A_1 + 1$). Para $n \geq 0$: $b^n z = b^{n+1} x - b^n A_1$ com $b^n A_1 \in \Z$, de modo que, por $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ ($K$ inteiro), $$ A_n(z) = A_{n+1}(x) - b^n A_1(x) . $$ Portanto, $d_n(z) = A_n(z) - b\,A_{n-1}(z) = A_{n+1} - b^n A_1 - b\,A_n + b^n A_1 = d_{n+1}(x)$. Assim, a parte fracionária de $bx$ carrega os algarismos deslocados; iterando $m$ vezes, a parte fracionária de $b^m x$ tem algarismos $(d_{n+m})_{n \geq 1}$. **14.** Divisão euclidiana: $b^n p = q\,Q_n + r_n$ com $0 \leq r_n < q$. Divida por $q$: $b^n x = Q_n + \frac{r_n}{q}$ com $0 \leq \frac{r_n}{q} < 1$, de modo que $Q_n = \lfloor b^n x \rfloor = A_n$, o que dá $A_n = \frac{b^n p - r_n}{q}$. Quanto à recorrência: $b^n p = b(q\,A_{n-1} + r_{n-1}) = q\,(b\,A_{n-1}) + b\,r_{n-1}$, de sorte que $b^n p$ e $b\,r_{n-1}$ diferem por um múltiplo de $q$: $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$. **15.** Divida $b\,r_{n-1}$ por $q$: $b\,r_{n-1} = q\,c + r_n$ com $c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$. Substituindo na expressão da questão 14: $b^n p = q(b\,A_{n-1} + c) + r_n$, e a unicidade da divisão euclidiana identifica $A_n = b\,A_{n-1} + c$, isto é, $d_n = c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$. O algarismo $n$ depende apenas de $r_{n-1}$ — o laço da divisão longa da Parte I, agora certificado. **16.** Os $q + 1$ restos $r_0, \dots, r_q$ assumem valores no [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de $q$ elementos $\intint{0}{q-1}$: pelo princípio da casa dos pombos ([Corolário 2.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#cor-b1-counting-pigeonhole)), dois coincidem, digamos $r_N = r_{N+T}$ com $0 \leq N < N + T \leq q$. Como $r_n$ determina $r_{n+1}$ (questão 14), a indução dá $r_{n+T} = r_n$ para todo $n \geq N$; e, como $r_{n-1}$ determina $d_n$ (questão 15), $d_{n+T} = d_n$ para todo $n \geq N + 1$. A expansão de todo racional é periódica a partir de certo ponto, com pré-período $\leq q$ e período $\leq q$. **17.** Os algarismos da parte fracionária de $b^T y$ são $(d_{n+T}) = (d_n)$ (lema do deslocamento, e depois periodicidade pura): a mesma cadeia própria que a de $y$. Pela questão 10, os valores são iguais: $b^T y - \lfloor b^T y \rfloor = y$, de modo que $(b^T - 1)\,y = \lfloor b^T y \rfloor = A_T \in \N$ e $$ y = \frac{A_T}{b^T - 1} , $$ racional, com denominador que [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $b^T - 1$; o numerador $A_T$ é o inteiro cujos algarismos na base $b$ são $d_1 \dots d_T$. Verificação: $0.(142857) = \frac{142857}{999999}$, e $142857 \times 7 = 999999$, de modo que isso é $\frac 17$. **18.** Se $d_{n+T} = d_n$ para $n > N$, a parte fracionária $z$ de $b^N x$ tem algarismos $(d_{N+n})_{n\geq1}$ (lema do deslocamento), que são puramente periódicos; pela questão 17, $z \in \Q$. Então $b^N x = A_N + z$ dá $x = (A_N + z)/b^N \in \Q$. Com a questão 16: $x$ racional $\iff$ expansão periódica a partir de certo ponto. O lado direito menciona a base, e o esquerdo não: a periodicidade numa base é equivalente à racionalidade e, portanto, à periodicidade em toda base. **19.** Para $x = \frac 1q$, $r_n = b^n \bmod q$. Se $\gcd(b, q) = 1$, então $r_T = r_0 = 1$ se, e somente se, $b^T \equiv 1 \pmod q$; tal $T$ existe (a casa dos pombos dá $b^i \equiv b^j$, $i < j$, e $b$ é invertível módulo $q$, de modo que $b^{j-i} \equiv 1$), e o menor deles — a ordem multiplicativa — torna os restos, e portanto os algarismos, puramente periódicos de período $T$. Nenhum período menor é possível: um período $T'$ daria $(b^{T'} - 1)\frac1q \in \N$ (questão 17), isto é, $q \mid b^{T'} - 1$. Para $q = 7$, $b = 10$: $10 \equiv 3$, $10^2 \equiv 2$, $10^3 \equiv 6$, $10^4 \equiv 4$, $10^5 \equiv 5$, $10^6 \equiv 1 \pmod 7$: ordem $6$ e, de fato, $\frac 17$ tem período seis. **20.** A cadeia tem infinitos $0$s (os algarismos de $x^*$ são quase todos nulos), de modo que é própria, e $x^*$ está bem definido (questão 9). Suponha os algarismos periódicos a partir de $N$, com período $T$. Infinitos algarismos valem $1$ (um por número triangular), de sorte que algum $1$ ocupa uma posição $j > N$; então a periodicidade põe um $1$ em toda posição $j + kT$: de $j$ em diante, os espaçamentos entre $1$s consecutivos são no máximo $T$. Mas os $1$s ficam exatamente nos números triangulares, cujos espaçamentos consecutivos $\frac{(j+1)(j+2)}{2} - \frac{j(j+1)}{2} = j + 1$ excedem $T$ a partir de certo ponto: contradição. Não é periódica a partir de ponto algum, de modo que, pela questão 18, $x^* \notin \Q$ — irracionalidade lida apenas no ritmo dos algarismos. **21.** Dados $x < y$, a questão 7 fornece $n$ com $b^{-n} < y - x$; ponha $m = \lfloor b^n x \rfloor + 1$. Então $b^n x < m \leq b^n x + 1 < b^n y$, de modo que $x < \frac{m}{b^n} < y$: densidade, para toda base de uma só vez ($b = 2$ recupera o [Exercício 10.8](#exo-b1-reals-8)). Para $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ na base $b = q$: o primeiro algarismo é $\lfloor q \cdot \frac pq \rfloor = p$, e a parte fracionária de $q \cdot \frac pq = p$ é $0$: todos os algarismos posteriores se anulam, uma expansão finita $\frac pq = (0.p)_q$. Terminar depende da base; a periodicidade — a racionalidade — não (questão 18). **22.** Cada $e_k \in \{1, 2\}$ é um algarismo da base $10$, e a cadeia nunca termina só com $9$s: é própria. O seu valor $y$ está em $\intco{0}{1}$ e tem por algarismos exatamente os $(e_k)$ (questão 9). Fixe $k$: o $k$-ésimo algarismo de $y$ é $e_k$, escolhido $\neq$ do $k$-ésimo algarismo de $x_k$, de modo que as cadeias próprias de $y$ e de $x_k$ diferem e, portanto, $y \neq x_k$ (questão 10: a codificação é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj)). Assim, $y$ não está em lista alguma: nenhuma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\N^* \to \intco{0}{1}$ é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Os reais, ao contrário dos racionais, não podem ser enumerados — a não enumerabilidade, cuja teoria o [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#ch-b1-topology) desenvolve. **23.** Se as expansões coincidem até $n$, então $x$ e $y$ têm a mesma truncagem $s_n$, e a questão 6 põe os dois em $\intco{s_n}{s_n + b^{-n}}$, um [intervalo](#prop-b1-reals-intervals) de comprimento $b^{-n}$: $\abs{x - y} < b^{-n}$. Recíproca: $x = 0.1$ e $y = 0.0999$ (finita, logo própria) satisfazem $\abs{x - y} = 10^{-4} < 10^{-3}$, e ainda assim as suas expansões diferem já no primeiro algarismo. Os culpados são as frações $b$-ádicas da questão 11: perto delas, um movimento minúsculo inverte todo algarismo exibido ($0.0999 \to 0.1000$), porque elas são precisamente os reais em que espreita o gêmeo impróprio. **24.** $p = 1$, $q = 10$, $b = 2$, $r_0 = 1$: $2 = 10 \cdot 0 + 2$, $4 = 10 \cdot 0 + 4$, $8 = 10 \cdot 0 + 8$, $16 = 10 \cdot 1 + 6$, $12 = 10 \cdot 1 + 2$ — e $r_5 = 2 = r_1$: os restos ciclam por $(2, 4, 8, 6)$ a partir do índice $1$. Algarismos: $d_1 = 0$, e depois o bloco que se repete $d_2 d_3 d_4 d_5 = 0, 0, 1, 1$: $$ \tfrac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2 , $$ pré-período $1$, período $4$. Pela questão 3, uma expansão finita na base $2$ exigiria que todo [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) de $10$ dividisse $2$; o [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) $5$ se recusa. Assim, $0.1$ *não* é representável por cadeia binária finita alguma — um computador que armazena finitos bits guarda apenas uma truncagem, e os erros de truncagem acumulados são a razão pela qual, em ponto flutuante, $0.1 + 0.2$ difere de $0.3$ nos últimos bits. **25.** (i) A completude produziu os valores: $x = \sup s_n$ e $y = \sup t_n$ (questões 7 e 9) — só com $\Q$, a cadeia própria de $\sqrt 2$ não nomearia nada. (ii) A [propriedade arquimediana](#thm-b1-reals-archimedes) fez $b^{-n}$ ficar, a partir de certo ponto, menor que qualquer $\varepsilon$, forçando as truncagens a se fecharem sobre o seu [supremo](#def-b1-reals-bounds) (questões 7 e 21). (iii) A cláusula de unicidade da [parte inteira](#thm-b1-reals-floor) identificou $Q_n = A_n$ na questão 14 e legitimou toda extração de algarismo $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ (questão 13). (iv) O princípio da casa dos pombos, aplicado a finitos restos, é o único motor da periodicidade (questão 16). Moral: as cadeias próprias codificam $\intco{0}{1}$ fielmente e convertem a racionalidade num ritmo visível; mas somar cadeias de algarismos exige transportes vindos de infinitamente longe, à direita, de modo que regra alguma em estágios finitos calcula sequer o primeiro algarismo de uma soma — ao passo que a interface do [supremo](#def-b1-reals-bounds) do [Teorema 10.2](#thm-b1-reals-sup) dá conta de toda a análise com um único axioma. Os algarismos são um magnífico *retrato* de $\R$; o [supremo](#def-b1-reals-bounds) é o seu *motor*.