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title: "Topologia da Reta Real"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real
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# Capítulo 12 — Topologia da Reta Real

Os limites remetem sempre ao mesmo vocabulário geométrico: pontos “próximos de” um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets), [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) “sem vazamentos pela [fronteira](#def-b1-topology-closure)”, [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) dos quais as sequências não conseguem escapar. Este capítulo fixa esse vocabulário — [conjuntos abertos](#def-b1-topology-open) e [fechados](#def-b1-topology-closed), [interior](#def-b1-topology-closure) e [fecho](#def-b1-topology-closure), [densidade](#def-b1-topology-dense) — na reta real, e demonstra a compacidade dos segmentos na sua forma sequencial. As mesmas noções, em espaços vetoriais normados, são matéria do segundo ano; em $\R$ elas estão ao alcance e são imediatamente úteis para o [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity).

## 12.1 Conjuntos abertos, conjuntos fechados

**Definição 12.1 (Vizinhança, conjunto aberto).**

Um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ é uma *vizinhança* de $x \in \R$ quando contém um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ para algum $r > 0$. Um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ é *aberto* quando é vizinhança de cada um dos seus pontos:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**Exemplo 12.2.**

Os [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) são [abertos](#def-b1-topology-open): para $x \in \intoo{a}{b}$, tome $r = \min(x -
a,\, b - x) > 0$. As semirretas $\intoo{a}{+\infty}$ são [abertas](#def-b1-topology-open); $\R$ e $\emptyset$ são [abertos](#def-b1-topology-open) (o último por vacuidade). $\intcc{0}{1}$ *não* é [aberto](#def-b1-topology-open): nenhum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de $0$ permanece dentro.

**Proposição 12.3 (Estabilidade dos abertos).**

Toda união de [abertos](#def-b1-topology-open) é [aberta](#def-b1-topology-open); uma interseção *finita* de [abertos](#def-b1-topology-open) é [aberta](#def-b1-topology-open). Interseções infinitas podem falhar: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, que não é [aberto](#def-b1-topology-open).

**Demonstração.** União: se $x \in \bigcup_i U_i$, então $x \in U_{i_0}$ para algum $i_0$, e o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) fornecido por $U_{i_0}$ cabe dentro da união. Interseção finita: se $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, tome $r = \min(r_1,
\dots, r_k) > 0$ dos raios fornecidos por cada $U_j$. Para o contraexemplo: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de $0$ contém algum $\frac{1}{n}$ (Arquimedes) e, portanto, sai da interseção. ∎

**Exemplo 12.4 (Certificando a abertura com raios explícitos).**

O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ é [aberto](#def-b1-topology-open)? Sim, e o certificado pode ser escrito: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup
\intoo{\sqrt2}{+\infty}$, uma união de duas semirretas [abertas](#def-b1-topology-open), [aberta](#def-b1-topology-open) pela [Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable). Alternativamente, argumente ponto a ponto: para $x \in U$ com $x > \sqrt 2$, tome $r = x -
\sqrt2 > 0$: todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ satisfaz $y >
\sqrt 2$, logo $y^2 > 2$; simetricamente à esquerda. Os dois estilos importam — o estrutural (construir a partir de [abertos](#def-b1-topology-open) conhecidos por uniões e interseções finitas) escala melhor, e o estilo $\varepsilon$ funciona quando nenhuma estrutura é visível; e o [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity) acrescentará um terceiro, o mais poderoso: $U$ é a [pré-imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) do [aberto](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ pela [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) contínua $x \mapsto x^2$.

**Definição 12.5 (Conjunto fechado).**

Um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ é *fechado* quando o seu complementar $\R \setminus F$ é [aberto](#def-b1-topology-open). Por de Morgan e pela [Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable): toda interseção de fechados é fechada, e uniões finitas de fechados são fechadas.

**Teorema 12.6 (Caracterização sequencial dos fechados).**

$F$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) se, e somente se: para toda sequência $(u_n)$ de pontos de $F$ que converge para algum $\ell \in \R$, o limite $\ell$ pertence a $F$. (“[Fechado](#def-b1-topology-closed)” $=$ “estável por limites”.)

**Demonstração.** ($\Rightarrow$) Seja $F$ [fechado](#def-b1-topology-closed), $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, e suponha $\ell \notin F$. O complementar é [aberto](#def-b1-topology-open): algum $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ evita $F$. Mas a convergência põe $u_n$ nesse [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) para $n$ grande: contradição com $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) Suponha que $F$ não seja [fechado](#def-b1-topology-closed): o complementar não é [aberto](#def-b1-topology-open), de modo que algum $x \notin F$ não tem [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ dentro do complementar; tomando $r = \frac{1}{n+1}$, escolha $u_n \in F$ com $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. Então $u_n \in F$, $u_n \to x \notin
F$: a propriedade sequencial falha. ∎

**Exemplo 12.7 (O teste sequencial, nos dois sentidos).**

*[Fechado](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Seja $u_k \in F$ com $u_k \to \ell$. A janela $\intcc{\ell -
1}{\ell + 1}$ contém apenas finitos pontos de $F$ (finitos inteiros, finitos $n + \frac1n$), e, a partir de certo posto, todos os $u_k$ estão nela: a sequência assume então finitos valores e, convergindo, é constante a partir de certo ponto (como no [Exercício 12.3](#exo-b1-topology-3)): $\ell \in F$. [Fechado](#def-b1-topology-closed) — embora $F$ contenha pares de pontos a distância $\frac1n$, arbitrariamente próximos.

*Não [fechado](#def-b1-topology-closed):* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. A sequência $\frac1n + \frac1n \in G$ tende a $0$, e $0 \notin G$ (soma de dois termos positivos): o teste sequencial falha, e $G$ não é [fechado](#def-b1-topology-closed). Curiosamente, cada $\frac1m$ *pertence* a $\overline G \cap G$: com efeito, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. A ideia de fechamento: para demonstrar que um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) é [fechado](#def-b1-topology-closed), controle *todas* as sequências convergentes de uma vez (em geral por finitude local ou por um argumento de fórmula [fechada](#def-b1-topology-closed)); para refutá-lo, basta uma sequência de fuga bem escolhida — a assimetria torna a direção negativa a fácil, e os contraexemplos deste capítulo têm todos essa forma de uma linha.

**Exemplo 12.8.**

Os segmentos $\intcc{a}{b}$, as semirretas $\intco{a}{+\infty}$, os [conjuntos finitos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) e $\Z$ (uma sequência convergente de inteiros é constante a partir de certo ponto) são [fechados](#def-b1-topology-closed). $\intoc{0}{1}$ não é [aberto](#def-b1-topology-open) (falha em $1$) nem [fechado](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0 \notin$ do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets)): a maioria dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não é nem uma coisa nem outra. $\R$ e $\emptyset$ são ao mesmo tempo [abertos](#def-b1-topology-open) e [fechados](#def-b1-topology-closed) — e são os únicos subconjuntos de $\R$ assim ([Exercício 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**Exemplo 12.9 (Um aberto montado a partir de infinitas peças).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: uma união infinita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open), [aberta](#def-b1-topology-open) pela [Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — de modo que $\Z$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) sem necessidade de argumento sequencial algum. Note a divisão de trabalho nas regras de estabilidade: as *uniões* de [abertos](#def-b1-topology-open) podem ser arbitrárias (cada ponto só precisa do seu próprio certificado, fornecido pelo único [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) que o contém), ao passo que as *interseções* devem permanecer finitas (os certificados têm de ser interceptados, e infinitos raios podem encolher a nada). O [Exercício 12.10](#exo-b1-topology-10) mostrará que este exemplo é a forma geral: todo subconjunto [aberto](#def-b1-topology-open) de $\R$ é uma união enumerável e disjunta de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open).

## 12.2 Interior, fecho, densidade

**Definição 12.10 (Interior, fecho, fronteira).**

Seja $A \subseteq \R$.

- Um ponto $x$ é *interior* a $A$ quando $A$ é uma [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ ; o *interior* $\mathring{A}$ é o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos pontos interiores.
- Um ponto $x$ é *aderente* a $A$ quando toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ encontra $A$ ; o *fecho* $\overline{A}$ é o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos pontos aderentes.
- A *fronteira* é $\partial A = \overline A \setminus  \mathring A$ .

Então $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**Proposição 12.11 (Propriedades principais).**

1. $\mathring A$ é o maior [aberto](#def-b1-topology-open) contido em $A$ ; $A$ é [aberto](#def-b1-topology-open) se, e somente se, $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ é o menor [fechado](#def-b1-topology-closed) que contém $A$ ; $A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) se, e somente se, $A = \overline A$ .
3. (Caracterização sequencial da aderência) $x \in \overline  A$ se, e somente se, $x$ é limite de uma sequência de pontos de $A$ .
4. A complementação troca as noções: $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**Demonstração.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ alguma [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ evita $A$ $\iff$ algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de $x$ está em $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ é [interior](#def-b1-topology-closure) a $\R \setminus A$.

(1) $\mathring A$ é [aberto](#def-b1-topology-open): se $x \in \mathring A$, algum $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$; todo ponto $y$ desse [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) tem um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) menor em torno de si dentro dele, logo dentro de $A$: o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) inteiro está em $\mathring A$. Todo [aberto](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ é formado por pontos [interiores](#def-b1-topology-closure) de $A$, de modo que $U \subseteq \mathring A$: é o maior. A caracterização da abertura decorre daí.

(2) Em detalhe. Por (4), $\R \setminus \overline A$ é o [interior](#def-b1-topology-closure) de $\R \setminus A$, um [aberto](#def-b1-topology-open) por (1): logo, $\overline A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed), e contém $A$. Minimalidade: seja $F \supseteq A$ [fechado](#def-b1-topology-closed). Então $\R \setminus F$ é [aberto](#def-b1-topology-open) e está contido em $\R
\setminus A$, de modo que, pela maximalidade em (1),

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

e, tomando complementares de novo: $\overline A \subseteq F$. Assim, $\overline A$ é o menor [fechado](#def-b1-topology-closed) que contém $A$. Caracterização: se $A = \overline A$, então $A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) (acabamos de ver); se $A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed), ele próprio é um [fechado](#def-b1-topology-closed) que contém $A$, de modo que a minimalidade força $\overline A \subseteq A$, e daí a igualdade.

(3) Se $u_n \in A$, $u_n \to x$: toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ contém algum $u_n \in A$, de sorte que $x \in \overline A$. Reciprocamente, se $x \in
\overline A$: cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ encontra $A$ em algum $u_n$, e $u_n \to x$. ∎

**Exemplo 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} =
\{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A
\cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: pela [densidade](#def-b1-topology-dense) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)), todo real é aderente a $\Q$, de modo que $\overline{\Q} = \R$, ao passo que $\mathring{\Q} =
\emptyset$ (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) contém irracionais): a [fronteira](#def-b1-topology-closure) de $\Q$ é todo o $\R$.

**Exemplo 12.13 (Uma anatomia completa).**

Seja $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$. Calculamos os três [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) da [Definição 12.10](#def-b1-topology-closure), peça por peça.

*[Interior](#def-b1-topology-closure).* Um ponto de $\intoo{0}{1}$ tem um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) inteiro dentro de $A$: é [interior](#def-b1-topology-closure). O ponto $1$: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno dele vaza à direita de $1$, onde $A$ nada tem até $2$: não é [interior](#def-b1-topology-closure). Nenhum ponto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ é [interior](#def-b1-topology-closure) (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) contém irracionais, [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)); nem o ponto isolado $4$. Logo, $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[Fecho](#def-b1-topology-closure).* Limites de pontos de $A$: todo $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$, com $\frac 1n \in A$); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real ali é limite de racionais do [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), [densidade](#def-b1-topology-dense) de novo); e $4$. Nada mais: um ponto fora de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ tem distância positiva a esse [conjunto fechado](#def-b1-topology-closed). Logo, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup
\intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

*[Fronteira](#def-b1-topology-closure).* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A
= \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

A ideia de fechamento: as três operações agem *localmente* — cada peça de $A$ contribui conforme a sua própria natureza (um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) maciço guarda o seu [interior](#def-b1-topology-closure), uma peça [densa](#def-b1-topology-dense) mas porosa se transforma inteiramente em [fronteira](#def-b1-topology-closure), e um ponto isolado é pura [fronteira](#def-b1-topology-closure)) — e um desenho de duas linhas de $A$ prevê todas as respostas antes de escrita qualquer demonstração.

**Observação 12.14 (Armadilhas frequentes no raciocínio conjuntista).**

(i) *“Não [aberto](#def-b1-topology-open)” não significa “[fechado](#def-b1-topology-closed)”*: a maioria dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não é nem uma coisa nem outra ($\intoc{0}{1}$), e dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) são as duas coisas ($\emptyset$, $\R$) — [aberto](#def-b1-topology-open) e [fechado](#def-b1-topology-closed) não são opostos, e sim duais por complementação. (ii) *[Interior](#def-b1-topology-closure) e [fecho](#def-b1-topology-closure) não comutam*: para $A = \Q$,

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{ao passo que}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

os dois operadores iterados diferem o máximo que [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) podem diferir. (iii) *Uniões infinitas de [fechados](#def-b1-topology-closed) podem falhar em ser [fechadas](#def-b1-topology-closed)*: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — o espelho do contraexemplo da interseção da [Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (iv) *[Denso](#def-b1-topology-dense) não significa grande*: $\Q$ é [denso](#def-b1-topology-dense), enumerável, de [interior](#def-b1-topology-closure) vazio, e o seu complementar também é [denso](#def-b1-topology-dense); a [densidade](#def-b1-topology-dense) diz “arbitrariamente perto de tudo”, e não “quase tudo” — o [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) do problema de fim de semana ([Problema 12.1](#pb-b1-topology-1)) faz o ponto oposto: um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) topologicamente pequeno que é imenso em [cardinalidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card).

**Exemplo 12.15 (Um fecho calculado exatamente).**

Seja $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (do [Exemplo 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). Afirmação:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ e $0 = \lim_n \frac2n$: aderentes, pela caracterização sequencial. ($\subseteq$) Seja $x = \lim_k \bigl(
\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; ordene cada par de modo que $m_k \leq n_k$. Se $(m_k)$ é ilimitada, uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) tem $m_k
\to \infty$, donde $n_k \to \infty$ também, e $x = 0$. Caso contrário, $(m_k)$ assume finitos valores, um deles, digamos $m$, infinitas vezes; ao longo dessa [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence), $\frac{1}{n_k} \to x -
\frac1m$: se $(n_k)$ é limitada, ela assume algum valor $n$ infinitas vezes e $x = \frac1m + \frac1n \in G$; se não, $x =
\frac1m$. Todos os casos caem no [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) anunciado. A ideia de fechamento: calcular um [fecho](#def-b1-topology-closure) é uma análise de casos ao estilo da compacidade sobre os índices — índice limitado significa finitos valores (casa dos pombos), índice ilimitado significa um limite que escapa — e a resposta exibe a típica estrutura em duas camadas dos pontos-limite: o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets), os seus limites de primeira geração e o limite deles, $0$.

**Definição 12.16 (Densidade, forma topológica).**

$A$ é *denso* em $\R$ quando $\overline A = \R$ — equivalentemente, todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) não vazio encontra $A$; equivalentemente (pela [Proposição 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3)), todo real é limite de elementos de $A$. Exemplos: $\Q$, $\R \setminus
\Q$, os diádicos ([Exercício 10.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-8)), os [subgrupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) densos ([Exercício 10.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-9)).

**Exemplo 12.17 (A densidade é relativa).**

“[Denso](#def-b1-topology-dense)”, como definido aqui, significa [denso](#def-b1-topology-dense) *em $\R$*; um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) pode, em vez disso, ser [denso](#def-b1-topology-dense) apenas numa parte da reta. Os diádicos de $\intcc{0}{1}$, isto é, $D \cap \intcc{0}{1}$ ([Exercício 10.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-8)), encontram todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) contido em $\intcc{0}{1}$, mas evidentemente não tocam $\intoo{2}{3}$: eles são [densos](#def-b1-topology-dense) *em* $\intcc{0}{1}$, o que significa $\overline{D \cap
\intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. A expressão geral “$A$ é [denso](#def-b1-topology-dense) em $B$” abrevia $B \subseteq \overline A$ — nomeie sempre o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) ambiente, pois os extremos do problema de fim de semana são [densos](#def-b1-topology-dense) *no [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1)*, sendo nunca [densos](#def-b1-topology-dense) *em $\R$*: o mesmo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets), duas descrições verdadeiras e de som oposto.

**Exemplo 12.18 (Manejando a densidade).**

Três movimentos rápidos que recorrem constantemente. *Ampliar*: se $A$ é [denso](#def-b1-topology-dense) e $A \subseteq B$, então $B$ é [denso](#def-b1-topology-dense) (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) já encontra $A$). *Transportar*: se $A$ é [denso](#def-b1-topology-dense), então $\lambda A + \mu$ também o é, para $\lambda \neq 0$ — um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$ encontra $\lambda A + \mu$ se, e somente se, o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ encontra $A$; assim, os múltiplos ímpares de $10^{-9}$, digamos, são [densos](#def-b1-topology-dense). *Interceptar falha*: dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) [densos](#def-b1-topology-dense) podem não se tocar ($\Q$ e $\R \setminus \Q$): a [densidade](#def-b1-topology-dense) sobrevive a uniões e a aplicações afins, jamais a interseções.

## 12.3 Compacidade dos segmentos

**Teorema 12.19 (Os segmentos são sequencialmente compactos).**

Seja $a \leq b$. Toda sequência de pontos de $\intcc{a}{b}$ tem uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) que converge para um ponto *de* $\intcc{a}{b}$.

Mais geralmente, os subconjuntos de $\R$ com essa propriedade (toda sequência tem uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) que converge no [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets)) são exatamente os [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) *[fechados](#def-b1-topology-closed) e limitados*.

**Demonstração.** Uma sequência em $\intcc{a}{b}$ é limitada, de modo que Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-bw)) extrai uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) convergente; o seu limite permanece em $\intcc{a}{b}$, pois os segmentos são [fechados](#def-b1-topology-closed) ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

Caso geral. *([Fechado](#def-b1-topology-closed) e limitado $\Rightarrow$ compacto)*: sejam $F$ [fechado](#def-b1-topology-closed) e limitado e $(u_n)$ uma sequência em $F$. A limitação de $F$ limita a sequência, de modo que Bolzano–Weierstrass extrai $u_{\varphi(n)} \to \ell$; e $\ell \in F$, pois $F$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) e a [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) é uma sequência convergente de pontos de $F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): as duas hipóteses são consumidas uma a uma, a limitação para a existência do limite e o fechamento para a sua pertinência. *(Compacto $\Rightarrow$ [fechado](#def-b1-topology-closed) e limitado)*: se $F$ é ilimitado, tome $u_n \in F$ com $\abs{u_n} \geq
n$; toda [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) é ilimitada e, portanto, divergente ([Proposição 11.4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#prop-b1-seq-first)): nenhuma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) convergente. Se $F$ não é [fechado](#def-b1-topology-closed), tome $u_n \in F$ com $u_n \to \ell \notin F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): toda [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) converge para $\ell \notin F$, de modo que [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) alguma converge *em* $F$. ∎

**Exemplo 12.20 (Compactos encaixados).**

Um primeiro exercício para o teorema. Sejam $K_0 \supseteq K_1 \supseteq
K_2 \supseteq \dots$ subconjuntos compactos ([fechados](#def-b1-topology-closed) e limitados) não vazios de $\R$. Então $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. Com efeito, tome $x_n
\in K_n$ para cada $n$: a sequência vive no compacto $K_0$, de modo que uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ converge para algum $x$ ([Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact)). Para todo $m$ fixado, os termos $x_{\varphi(n)}$ com $\varphi(n) \geq m$ estão todos no [fechado](#def-b1-topology-closed) $K_m$, de sorte que o limite $x$ está em $K_m$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)); e, como $m$ era arbitrário, $x \in
\bigcap_n K_n$. Um companheiro útil: se um [aberto](#def-b1-topology-open) $U$ contém $\bigcap_n K_n$, então $U \supseteq K_n$ para algum $n$ — aplique o mesmo argumento a pontos $x_n \in K_n \setminus U$; o limite $x$ estaria em $\bigcap K_n \subseteq U$, e, no entanto, $U$ [aberto](#def-b1-topology-open) força $x_{\varphi(n)} \in U$ a partir de certo ponto, uma contradição. Os dois enunciados falham sem compacidade: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac
1n} = \emptyset$ e $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. A ideia de fechamento: a compacidade converte uma cadeia infinita de afirmações de não vacuidade num único ponto-limite — é a ferramenta que sobrevive à passagem à interseção infinita, e o problema de fim de semana ([Problema 12.1](#pb-b1-topology-1)) se apoiará nela duas vezes.

![Os quatro primeiros estágios da construção dos terços médios: cada segmento de C_n perde o seu terço médio aberto, restando os 2n+1 segmentos de C_n+1, de comprimento total (2/3)n+1. O conjunto de Cantor C = _n C_n — o tema do problema de fim de semana — é o resíduo compacto não vazio garantido pelo argumento dos compactos encaixados acima: comprimento zero e, ainda assim, uma quantidade não enumerável de pontos sobrevive.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*Os quatro primeiros estágios da construção dos terços médios: cada segmento de $C_n$ perde o seu terço médio [aberto](#def-b1-topology-open), restando os $2^{n+1}$ segmentos de $C_{n+1}$, de comprimento total $(\frac23)^{n+1}$. O [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — o tema do problema de fim de semana [Problema 12.1](#pb-b1-topology-1) — é o resíduo compacto não vazio garantido pelo argumento dos compactos encaixados acima: comprimento zero e, ainda assim, uma quantidade não enumerável de pontos sobrevive.*

**Observação 12.21.**

Este é o motor por trás do teorema de Weierstrass ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity)) e do teorema de Heine sobre continuidade uniforme. O nome “compacto” ganhará a sua definição geral (por coberturas) no segundo ano; em $\R$, a compacidade sequencial é tudo de que precisamos, e “compacto $=$ [fechado](#def-b1-topology-closed) $+$ limitado” é o enunciado a guardar.

**Exemplo 12.22 (Fronteiras sob uniões).**

Sempre $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial
B$: um ponto de $\partial(A \cup B)$ tem toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) encontrando $A \cup B$ (logo, $A$ ou $B$, um deles infinitas vezes) e encontrando o complementar de $A \cup B$, que está contido nos dois complementares — uma verificação curta põe então o ponto em $\partial A$ ou em $\partial B$. A inclusão pode ser espetacularmente estrita: com $A = \Q$ e $B = \R\setminus\Q$,

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) esfarrapados podem se colar num [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) sem costuras, com as suas [fronteiras](#def-b1-topology-closure) se aniquilando. A ideia de fechamento: os [interiores](#def-b1-topology-closure) e os [fechos](#def-b1-topology-closure) se comportam *monotonamente* sob uniões e interseções, mas as [fronteiras](#def-b1-topology-closure) não — trate $\partial$ como uma grandeza derivada ($\overline A \setminus \mathring A$), nunca como um operador com álgebra própria.

**Observação 12.23 (Perspectivas dentro deste volume).**

O vocabulário aqui construído é consumido mais duas vezes neste livro. No [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity), todo teorema é um enunciado de topologia disfarçado: o teorema do valor intermediário diz que as aplicações contínuas preservam a propriedade de [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), e o teorema de Weierstrass diz que elas preservam a compacidade — e as demonstrações chamam o Teoremas [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) e [12.19](#thm-b1-topology-compact) pelo nome. No [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), as mesmas definições são relidas em $\R^2$, com discos no lugar de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals): [abertos](#def-b1-topology-open), [fechos](#def-b1-topology-closure) e compacidade se transferem palavra por palavra, e o teorema de Weierstrass a duas variáveis cavalga de novo sobre Bolzano–Weierstrass (extraia em cada coordenada). A única noção que *não* se generaliza sem dor é o próprio [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) — no plano, a conexidade substitui a convexidade, história que começa com o “só $\emptyset$ e $\R$ são [abertos](#def-b1-topology-open) e [fechados](#def-b1-topology-closed)” do [Exercício 12.9](#exo-b1-topology-9).

## 12.4 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

Para cada [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets), diga se ele é [aberto](#def-b1-topology-open), [fechado](#def-b1-topology-closed), os dois ou nenhum (com justificativa): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$; $\;\intco{0}{1}$; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$; $\;\R \setminus \Z$; $\;\Q \cap
\intoo{0}{1}$.

**Solução de Exercício 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [aberto](#def-b1-topology-open) (união de [abertos](#def-b1-topology-open)), não [fechado](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0$ fora dele).

$\intco{0}{1}$: nenhum dos dois. Não é [aberto](#def-b1-topology-open) (nenhum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de $0$ está dentro); não é [fechado](#def-b1-topology-closed) ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [fechado](#def-b1-topology-closed) (união finita de [fechados](#def-b1-topology-closed)), não [aberto](#def-b1-topology-open) (falha em $0$).

$\R \setminus \Z$: [aberto](#def-b1-topology-open) ($\Z$ é [fechado](#def-b1-topology-closed)), não [fechado](#def-b1-topology-closed): a sequência $\bigl(\frac 1n\bigr)$ está nele, mas o seu limite $0$ pertence a $\Z$, isto é, escapa do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: nenhum dos dois. Não é [aberto](#def-b1-topology-open): todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de um racional contém irracionais. Não é [fechado](#def-b1-topology-closed): ele contém sequências que tendem ao irracional $\frac{\sqrt 2}{2}$ ([densidade](#def-b1-topology-dense)).

**Exercício 12.2 ★.**

Determine $\mathring A$, $\overline A$ e $\partial A$ para: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$; $\;A = \R \setminus \Q$; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**Solução de Exercício 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: $\mathring A = \emptyset$ (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) contém racionais), $\overline A = \R$ ([densidade](#def-b1-topology-dense) dos irracionais), $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: os termos de índice par tendem a $1$, e os de índice ímpar a $-1$, e nenhum deles pertence a $A$. $\mathring A =
\emptyset$ (pontos isolados), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$, $\partial A = \overline A$.

**Exercício 12.3 ★.**

Demonstre que um [conjunto finito](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) é [fechado](#def-b1-topology-closed), primeiro por complementos e depois pela caracterização sequencial.

**Solução de Exercício 12.3.**

*Complementos.* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: o complementar é a união dos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$, $\intoo{a_k}{+\infty}$ — [abertos](#def-b1-topology-open) pela [Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*Sequências.* Sejam $u_n \in F$, $u_n \to \ell$. Com $\varepsilon
= \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (ou qualquer $\varepsilon$, se $F$ é unitário): a partir de certo posto, todos os termos estão a menos de $\varepsilon$ de $\ell$, logo a menos de $2\varepsilon$ uns dos outros, o que os força a ser um único $a_i$ a partir desse posto; então $\ell = a_i \in F$.

**Exercício 12.4 ★.**

Demonstre que, para quaisquer $A, B \subseteq \R$: $\overline{A \cup B} =
\overline A \cup \overline B$. Mostre com um exemplo que $\overline{A \cap B}$ pode diferir de $\overline A \cap \overline
B$.

**Solução de Exercício 12.4.**

$\subseteq$: $\overline A \cup \overline B$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) (união finita) e contém $A \cup B$, de modo que contém o *menor* [fechado](#def-b1-topology-closed) que contém $\overline{A \cup B}$. $\supseteq$: $A \subseteq A \cup B$ dá $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (o [fecho](#def-b1-topology-closure) é monótono: pontos aderentes a $A$ são aderentes ao [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) maior), e o mesmo para $B$.

Contraexemplo para as interseções: $A = \intoo{0}{1}$, $B =
\intoo{1}{2}$: $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$, ao passo que $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**Exercício 12.5 ★★.**

Seja $u_n \to \ell$ em $\R$. Demonstre que o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in \N\}
\cup \{\ell\}$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) (logo compacto, se acrescentarmos que ele é limitado — e ele é).

**Solução de Exercício 12.5.**

Use a caracterização sequencial ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). Sejam $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ e $(v_k)$ uma sequência em $S$ com $v_k \to m$; mostremos que $m \in S$. Dois casos. Se algum valor $v \in S$ é assumido por $(v_k)$ infinitas vezes, uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) constante dá $m = v \in S$. Caso contrário, todo valor é assumido finitas vezes; em particular, para cada $n$, o termo $u_n$ aparece finitas vezes, e $\ell$ também. Então, para todo $N$, os índices $k$ com $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ são em número finito: os demais $v_k$ são termos $u_n$ com $n > N$. Dado $\varepsilon > 0$, escolha $N$ com $\abs{u_n - \ell} \leq
\varepsilon$ para $n > N$: todos os $v_k$, salvo finitos, satisfazem $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$. Portanto, $v_k \to \ell$, de modo que $m =
\ell \in S$.

**Exercício 12.6 ★★.**

Sejam $U$ [aberto](#def-b1-topology-open) e $A$ arbitrário. Demonstre que $U + A = \{u + a\}$ é [aberto](#def-b1-topology-open). Deduza que a soma de um [aberto](#def-b1-topology-open) com um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) qualquer é [aberta](#def-b1-topology-open), e contraste: exiba dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) *[fechados](#def-b1-topology-closed)* cuja soma não é [fechada](#def-b1-topology-closed). *(Tente $\Z$ e $\sqrt 2\,\Z$, com o [Exercício 10.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-9).)*

**Solução de Exercício 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, e cada transladado $U + a$ é [aberto](#def-b1-topology-open) (transladando os certificados de [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)). Uma união de [abertos](#def-b1-topology-open) é [aberta](#def-b1-topology-open) ([Proposição 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

[Conjuntos fechados](#def-b1-topology-closed): $\Z$ e $\sqrt 2\,\Z$ são [fechados](#def-b1-topology-closed) (como $\alpha\Z$: sequências convergentes são constantes a partir de certo ponto, cf. [Exemplo 12.8](#ex-b1-topology-closed)). A sua soma $\Z + \sqrt 2\,\Z$ é [densa](#def-b1-topology-dense) em $\R$ ([Exercício 10.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-9)), mas não é $\R$ (ela é enumerável ou, simplesmente: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$, caso contrário $\sqrt 2$ seria racional — escrever $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ força $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$, de modo que $\sqrt 2 \in \Q$, a menos que $n =
\frac12$, o que é impossível). Um subconjunto próprio e [denso](#def-b1-topology-dense) não é [fechado](#def-b1-topology-closed): o seu [fecho](#def-b1-topology-closure) é $\R \neq$ ele mesmo.

**Exercício 12.7 ★★.**

Um ponto $x \in A$ é *isolado* em $A$ quando alguma [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ encontra $A$ apenas em $x$. Demonstre que todo ponto de $\Z$ é isolado em $\Z$, que $A = \{\frac1n\}$ tem todos os seus pontos isolados e, ainda assim, $\overline A \neq A$, e que um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) cujos pontos são todos isolados tem [interior](#def-b1-topology-closure) vazio.

**Solução de Exercício 12.7.**

$\Z$: a [vizinhança](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ encontra $\Z$ apenas em $n$.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: em torno de $\frac 1n$, o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) de raio $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (dividido ao meio, digamos) o isola dos seus vizinhos — todos os pontos são isolados. E, no entanto, $0 \in
\overline A \setminus A$: pontos isolados não impedem forasteiros aderentes.

Se todos os pontos de $A$ são isolados: nenhum ponto de $A$ é [interior](#def-b1-topology-closure), pois um ponto [interior](#def-b1-topology-closure) tem um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) inteiro de vizinhos em $A$ em torno de si (um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) é infinito), o que contradiz o isolamento. Logo, $\mathring A
= \emptyset$.

**Exercício 12.8 ★★.**

Demonstre que o [fecho](#def-b1-topology-closure) de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) limitado é limitado e que $\sup \overline A = \sup A$ para $A$ não vazio e limitado superiormente. Deduza que $\sup A \in \overline A$: o [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) é sempre aderente.

**Solução de Exercício 12.8.**

Se $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, o [fechado](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ contém $A$ e, portanto, contém $\overline A$ (o menor [fechado](#def-b1-topology-closed) que o contém): $\overline A$ é limitado.

Seja $s = \sup A$ (finito). Como $A \subseteq \overline A$, $\sup
\overline A \geq s$. Reciprocamente, $\overline A \subseteq
\intoc{-\infty}{s}$: a semirreta é [fechada](#def-b1-topology-closed) e contém $A$; de modo que todo elemento de $\overline A$ é $\leq s$, o que dá $\sup\overline A
\leq s$. Igualdade.

$s \in \overline A$: pela caracterização por $\varepsilon$ ([Proposição 10.4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-epsilon)), todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s -
\varepsilon}{s + \varepsilon}$ contém um elemento de $A$: $s$ é aderente.

**Exercício 12.9 ★★★.**

Demonstre que os únicos subconjuntos de $\R$ que são ao mesmo tempo [abertos](#def-b1-topology-open) e [fechados](#def-b1-topology-closed) são $\emptyset$ e $\R$. *Sugestão: suponha $A$ [aberto](#def-b1-topology-open), [fechado](#def-b1-topology-closed), com $A \neq \emptyset$ e $\R \setminus A \neq \emptyset$; tome $a \in
A$, $b \notin A$, digamos $a < b$, e considere $s = \sup\,(A \cap
\intcc{a}{b})$; decida se $s$ pode pertencer a $A$ ou ao seu complementar.*

**Solução de Exercício 12.9.**

Suponha $A$ [aberto](#def-b1-topology-open) e [fechado](#def-b1-topology-closed), com $a \in A$ e $b \in \R
\setminus A$; sem perda de generalidade, $a < b$. O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $B = A \cap
\intcc{a}{b}$ é não vazio ($a$) e limitado: seja $s = \sup B$. Pelo [Exercício 12.8](#exo-b1-topology-8), $s \in \overline B \subseteq \overline A =
A$ ($A$ [fechado](#def-b1-topology-closed)). Note que $s \leq b$ e, como $b \notin A$: $s < b$. Ora, $A$ é [aberto](#def-b1-topology-open): algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s + r}$ está em $A$, e podemos tomar $r < b - s$. Então $s + \frac{r}{2}$ pertence a $A
\cap \intcc{a}{b} = B$ e excede $s$ — contradizendo $s = \sup
B$. Portanto, não existe tal par $(a, b)$: um dentre $A$ e $\R \setminus A$ é vazio.

**Exercício 12.10 ★★★.**

(Estrutura dos [abertos](#def-b1-topology-open)) Seja $U \subseteq \R$ [aberto](#def-b1-topology-open) e não vazio. Para $x \in U$, seja $I_x$ a união de todos os [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) que contêm $x$ e estão contidos em $U$. Demonstre que $I_x$ é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open), que dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $I_x$, $I_y$ são iguais ou disjuntos, e que $U$ é uma união de *enumeravelmente muitos* [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) dois a dois disjuntos *(escolha um racional em cada um)*.

**Solução de Exercício 12.10.**

$I_x$ é uma união de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) que contêm todos $x$: é [aberto](#def-b1-topology-open), e é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), por ser convexo — se $u < z < v$ com $u, v \in
I_x$, então $u$ e $v$ estão em subintervalos [abertos](#def-b1-topology-open) $J_u \ni x$, $J_v \ni
x$ de $U$, e $J_u \cup J_v$ é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) (ambos contêm $x$) dentro de $U$ que contém $z$; de modo que $z \in I_x$ ([Proposição 10.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)).

Se $I_x \cap I_y \neq \emptyset$: $I_x \cup I_y$ é então um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) (convexo: dois [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) que se sobrepõem) contido em $U$ e que contém $x$ e $y$, de sorte que $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ e $\subseteq I_y$, pela maximalidade de cada um: $I_x = I_y$.

Assim, $U$ é a união disjunta dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) distintos $I_x$ (cada $x \in
U$ está no seu próprio $I_x$). Enumerabilidade: cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) não vazio $I$ da família contém um racional $q_I$ ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)), e [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) disjuntos distintos recebem racionais distintos: a família se injeta em $\Q$, que é enumerável (está indexado por pares de inteiros). Logo, há no máximo enumeravelmente muitos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals).

**Exercício 12.11 ★★.**

Um ponto $x \in \R$ é *ponto de acumulação* de $A$ quando toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ encontra $A \setminus \{x\}$; o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) deles é o *[conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) derivado* $A'$. Demonstre que $\overline A = A \cup A'$ e que $A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) se, e somente se, $A' \subseteq A$. Determine $A'$ para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$, para $A = \Z$ e para $A = \Q$.

**Solução de Exercício 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) $A \subseteq \overline
A$ sempre; e, se $x \in A'$, toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ encontra $A
\setminus \{x\} \subseteq A$, de modo que $x$ é aderente. ($\subseteq$) Seja $x \in \overline A$. Se $x \in A$, pronto. Se $x \notin A$, toda [vizinhança](#def-b1-topology-open) de $x$ encontra $A = A \setminus \{x\}$: $x \in
A'$.

Consequentemente, $A$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$: $0$ é ponto de acumulação ($\frac 1n \to
0$, com termos $\neq 0$); cada $\frac 1n$ é isolado ([Exercício 12.7](#exo-b1-topology-7)), logo não está em $A'$; e um ponto $x
\notin A \cup \{0\}$ tem um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) inteiro que evita $A$ (entre os dois vizinhos de $x$ em $A \cup \{0\}$, ou além de $1$). Portanto, $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$: todo inteiro é isolado, e todo não inteiro tem uma [vizinhança](#def-b1-topology-open) dentro de $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de qualquer real contém infinitos racionais ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)), em particular um diferente do centro.

**Exercício 12.12 ★★★.**

Para $A \subseteq \R$ não vazio, defina $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a}
: a \in A\}$. Demonstre:

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ para todos $x, y$ ( $d_A$ é $1$ -lipschitziana);
2. $d_A(x) = 0$ se, e somente se, $x \in \overline A$ ; em particular, se $F$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) e $x \notin F$ , então $d_F(x) > 0$ ;
3. para todo $\varepsilon > 0$ , o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ é [aberto](#def-b1-topology-open) , contém $F$ e $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ para $F$ [fechado](#def-b1-topology-closed) : todo [fechado](#def-b1-topology-closed) é uma interseção enumerável de [abertos](#def-b1-topology-open) .

**Solução de Exercício 12.12.**

1. Para todo $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} +  \abs{y - a}$ , de modo que $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; tomando o [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) em $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} +  d_A(y)$ . Trocando $x$ e $y$ , obtém-se a outra desigualdade: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ para todo $\varepsilon > 0$ existe $a \in A$ com $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em torno de $x$ encontra $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Se $F$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) e $x \notin F = \overline F$ , então $d_F(x) \neq 0$ , isto é, $d_F(x) > 0$ .
3. Se $d_F(x) < \varepsilon$ , ponha $r = \varepsilon -  d_F(x) > 0$ : para $\abs{y - x} < r$ , a parte (1) dá $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ está em $V_\varepsilon$ , que é, portanto, [aberto](#def-b1-topology-open) ; ele contém $F$ , pois $d_F = 0$ ali. Por fim, $x \in \bigcap_{\varepsilon>0}  V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline  F = F$ . Como $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , todo [fechado](#def-b1-topology-closed) é uma interseção enumerável de [abertos](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 Problema: O conjunto de Cantor, pequeno e enorme ao mesmo tempo

**Problema 12.1.**

Problema de fim de semana — o [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) dos terços médios: comprimento zero, não enumerável, perfeito e $C + C =
\intcc{0}{2}$

Retire de $\intcc{0}{1}$ o seu terço médio [aberto](#def-b1-topology-open), depois o terço médio de cada segmento restante, e repita para sempre: o que sobrevive é o *[conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1)* $C$, a fábrica fundamental de contraexemplos da análise. Este problema o constrói, lê-o pela maquinaria da base $3$ do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) e estabelece o seu retrato paradoxal: comprimento total zero e, ainda assim, não enumerável; [interior](#def-b1-topology-closure) vazio e, ainda assim, sem ponto isolado; totalmente desconexo e, ainda assim, $C + C$ preenche todo o segmento $\intcc{0}{2}$. Formalmente: $C_0 = \intcc{0}{1}$, e $C_{n+1}$ se obtém de $C_n$ apagando o terço médio [aberto](#def-b1-topology-open) de cada segmento de $C_n$; por fim, $C = \bigcap_{n \geq 0}
C_n$. Ao longo do problema, um *código ternário* de $x \in \intcc{0}{1}$ é qualquer cadeia de algarismos $(d_k)_{k\geq1}$ com $d_k \in \{0, 1, 2\}$ cujo valor $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ seja igual a $x$ — os códigos impróprios (iguais a $2$ a partir de certo ponto) são permitidos; pelo [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questões 9–11), todo $x \in
\intcc{0}{1}$ tem um ou dois códigos, dois exatamente quando $x = m/3^N
\in \intoo{0}{1}$.

**Parte I — A construção.**

1. Descreva $C_1$ e $C_2$ explicitamente como uniões de segmentos e demonstre por indução: $C_n$ é uma união disjunta de $2^n$ segmentos [fechados](#def-b1-topology-closed) , cada um de comprimento $3^{-n}$ .
2. Mostre que $C$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) , limitado — logo compacto ( [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — e não vazio, e que toda extremidade de todo segmento de todo $C_n$ pertence a $C$ .
3. O comprimento total de $C_n$ é $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Deduza que, para todo $\varepsilon > 0$ , o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $C$ pode ser coberto por finitos segmentos de comprimento total $\leq \varepsilon$ : o [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) tem *comprimento zero* .
4. Mostre que um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) contido em $C$ tem comprimento $\leq  3^{-n}$ para todo $n$ e, portanto, é vazio ou um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) unitário: $\mathring C = \emptyset$ . Sendo [fechado](#def-b1-topology-closed) de [interior](#def-b1-topology-closure) vazio, $C$ é *nunca [denso](#def-b1-topology-dense)* .

**Parte II — O código ternário.**

1. Demonstre a recursão de autossemelhança $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{logo}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ sendo as duas peças disjuntas: $C$ são duas cópias de si mesmo na escala $\frac13$.
2. Demonstre por indução em $n$ : $x \in C_n$ se, e somente se, $x$ tem um código ternário cujos $n$ primeiros algarismos estão em $\{0, 2\}$ . Deduza, usando o fato de que $x$ tem no máximo dois códigos: $x \in C$ se, e somente se, $x$ tem um código *sem nenhum algarismo igual a $1$* (um código *sem $1$* ).
3. Códigos em ação: dê códigos sem $1$ para $0$ , $1$ , $\frac13$ e $\frac23$ ; mostre que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ e $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de modo que ambos pertencem a $C$ ; e verifique que $\frac14$ *não* é extremidade de nenhum $C_n$ (as extremidades têm a forma $m/3^n$ ).
4. Mostre que cada $x \in C$ tem *exatamente um* código sem $1$ *(quando $x$ tem dois códigos, demonstre que exatamente um do par contém o algarismo $1$)* . Conclua: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) valor é uma bijeção das cadeias de $\{0,2\}$ sobre $C$ .
5. (Diagonal) Seja $k \mapsto x_k$ uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) qualquer $\N^* \to C$ . Construa uma cadeia de $\{0, 2\}$ que difira no índice $k$ do código de $x_k$ , e conclua que $C$ é não enumerável — ao passo que, em contraste, a questão 3 diz que ele é metricamente desprezível.

**Parte III — Retrato topológico.**

1. Reúna o registro até aqui: $C$ é compacto, não enumerável, de comprimento zero e nunca [denso](#def-b1-topology-dense) . Que única inclusão $C \subseteq C_n$ carrega cada propriedade?
2. ( $C$ é perfeito) Seja $x \in C$ com código sem $1$ $(d_k)$ . Inverter o algarismo $d_n$ ( $0 \leftrightarrow  2$ ) produz $x_n \in C$ com $\abs{x_n - x} = 2 \cdot  3^{-n}$ . Conclua que $C$ não tem ponto isolado: todo ponto de $C$ é limite de *outros* pontos de $C$ .
3. Mostre que as extremidades da questão 2 formam um subconjunto enumerável e [denso](#def-b1-topology-dense) de $C$ *(trunque o código após $n$ algarismos e continue com $0$s; enumerabilidade como no [Exercício 12.10](#exo-b1-topology-10))* . Conclua: o ponto típico de $C$ — como $\frac14$ — *não* é extremidade: as extremidades são um esqueleto enumerável dentro de um corpo não enumerável.
4. (Totalmente desconexo) Sejam $x < y$ em $C$ . Escolha $n$ com $3^{-n} < y - x$ e produza um ponto $z \in  \intoo{x}{y}$ com $z \notin C$ . Conclua que os únicos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não vazios contidos em $C$ são [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) unitários.

**Parte IV — Aritmética de $C$.**

1. Mostre que $1 - C = C$ *(o que $x \mapsto 1 - x$ faz a um código sem $1$? lembre que $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
2. (Adição de códigos) Mostre que, se $x$ e $x'$ têm códigos $(a_k)$ e $(b_k)$ , então $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , em que $t_n, t'_n$ são as somas parciais. Deduza: todo $y  \in \intcc{0}{1}$ é o *ponto médio* de dois pontos de $C$ — dado um código $(e_k)$ de $y$ , escolha algarismos $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ com $\frac{a_k + b_k}{2} =  e_k$ .
3. Conclua que $C + C = \intcc{0}{2}$ e, com a questão 14, que $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Instância concreta: escreva $1$ como soma dos dois pontos que não são extremidades encontrados na questão 7.
4. Reflita: um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de comprimento zero cujo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das diferenças preenche $\intcc{-1}{1}$ . Por que não há contradição entre “ $C$ é metricamente desprezível” e “ $C + C$ tem comprimento pleno”? (Uma frase; pense no que o comprimento controla e no que ele não controla.)

**Parte V — Membros, racionais e irracionais.**

1. Combine a questão 8 com o critério de periodicidade do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) : um ponto de $C$ é racional se, e somente se, o seu código sem $1$ é periódico a partir de certo ponto. Execute a divisão longa na base $3$ para verificar que $\frac1{13} =  (0.\overline{002})_3 \in C$ .
2. Produza um membro explicitamente *irracional* de $C$ : o valor do código com $d_k = 2$ nas posições triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ e $d_k = 0$ nas demais. Justifique a irracionalidade pelo argumento dos espaçamentos crescentes do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 20).
3. (Sobre um segmento inteiro) Considere $h$ que leva o ponto de $C$ de código sem $1$ $(d_k)$ ao valor da cadeia *binária* $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , isto é, $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Mostre que $h$ leva $C$ *sobre* $\intcc{0}{1}$ . Assim, o desprezível $C$ se projeta sobrejetivamente num segmento de comprimento pleno — uma segunda demonstração de que $C$ é não enumerável.
4. (Comprimento autossemelhante) Suponha que alguma noção de comprimento $L$ estivesse definida para $C$ e para as suas cópias encolhidas, respeitando a escala ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), a invariância por translação e a aditividade sobre a decomposição disjunta da questão 5. Mostre que então $L(C) = \frac23\,L(C)$ , o que força $L(C) = 0$ : só a autossemelhança já condena $C$ a comprimento zero.

**Parte VI — Um [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) gordo e a moral.**

1. ( [Conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) gordo) Repita a construção, mas, no estágio $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ), retire de cada um dos $2^n$ segmentos atuais apenas um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) central de comprimento $4^{-(n+1)}$ . Mostre que os comprimentos $l_n$ dos segmentos obedecem a $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n =  \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que o $K = \bigcap K_n$ resultante é compacto de [interior](#def-b1-topology-closure) vazio e que o comprimento total retirado é $\sum_{n\geq0} 2^n  4^{-(n+1)} = \frac12$ . Admitindo a aditividade (intuitiva, do terceiro ano) do comprimento para uniões finitas de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) , e usando os dois enunciados do [Exemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested) , mostre que toda família finita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) que cubra $K$ tem comprimento total $\geq \frac12$ : $K$ é nunca [denso](#def-b1-topology-dense) , mas *não* é desprezível. Pequenez tem vários significados não equivalentes.
2. (Distâncias) Mostre que, para um [fechado](#def-b1-topology-closed) não vazio $F \subseteq  \R$ e $x \in \R$, o [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ é *atingido* *(sequência minimizante mais Bolzano–Weierstrass)*. Depois calcule $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ atingido exatamente no centro $y = \frac12$ *(um ponto de um vão criado no estágio $n$ está a menos de $\frac{3^{-n}}{2}$ das extremidades do vão, que estão em $C$)*.
3. (Todo ponto é limite subsequencial) Usando as questões 12 e 2, produza uma única sequência em $C$ cujo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de limites subsequenciais seja *todo* o $C$ . (Compare: para uma sequência convergente esse [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) é um único ponto — $C$ realiza o extremo oposto entre os compactos.)
4. Síntese, uma frase para cada: (i) que teoremas deste capítulo a construção de fato consumiu (estabilidade dos [fechados](#def-b1-topology-closed) , compacidade, caracterizações sequenciais)? (ii) liste os quatro pares paradoxais do retrato (comprimento zero/não enumerável, [fechado](#def-b1-topology-closed) / [interior](#def-b1-topology-closure) vazio, perfeito/totalmente desconexo, desprezível/ $C+C$ pleno); (iii) onde $C$ ressurge mais adiante (a escada do diabo construída sobre $h$ na teoria da continuidade e a teoria da medida do volume do terceiro ano, em que $C$ separa “enumerável” de “desprezível”)?

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ e

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

Indução: se $C_n$ é uma união disjunta de $2^n$ segmentos [fechados](#def-b1-topology-closed) de comprimento $3^{-n}$, apagar o terço médio [aberto](#def-b1-topology-open) de cada um deixa dois segmentos [fechados](#def-b1-topology-closed) de comprimento $3^{-n-1}$ por segmento pai: $2^{n+1}$ segmentos, dois a dois disjuntos (filhos de pais distintos ficam separados porque os pais ficavam; filhos de um mesmo pai ficam separados pelo vão retirado).

**2.** Cada $C_n$ é uma união finita de segmentos, logo [fechado](#def-b1-topology-closed); $C = \bigcap C_n$ é uma interseção de [fechados](#def-b1-topology-closed): [fechado](#def-b1-topology-closed) ([Definição 12.5](#def-b1-topology-closed)); limitado ($\subseteq
\intcc{0}{1}$): compacto pelo [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact). Não vazio: $0$ está no segmento mais à esquerda de todo $C_n$. Seja $a$ uma extremidade de um segmento $S$ de $C_n$. Para $m \leq n$, $a \in C_n \subseteq C_m$. Para os estágios posteriores: a supressão do terço médio nunca retira uma extremidade, e $a$ é de novo extremidade de um dos dois filhos de $S$ (o filho que toca $a$); por indução, $a \in C_m$ para todo $m \geq n$: $a \in C$.

**3.** Comprimento total de $C_n$: $2^n \cdot 3^{-n} =
(\frac23)^n \to 0$. Dado $\varepsilon > 0$, escolha $n$ com $(\frac23)^n \leq \varepsilon$: então $C \subseteq C_n$, uma união de finitos segmentos de comprimento total $\leq \varepsilon$.

**4.** Seja $I \subseteq C$ um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) com dois pontos distintos. Para todo $n$: $I \subseteq C_n$ e, sendo convexo, $I$ deve estar dentro de um *único* segmento de $C_n$ (encontrar dois segmentos forçaria $I$ a conter um ponto do vão entre eles, que está fora de $C_n$). Logo, o comprimento de $I$ é $\leq
3^{-n}$ para todo $n$: contradição. Assim, os únicos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) dentro de $C$ são vazios ou unitários; em particular, nenhum $\intoo{x-r}{x+r}$ cabe dentro de $C$: $\mathring C = \emptyset$. Como $C$ é [fechado](#def-b1-topology-closed), $\overline C = C$ tem [interior](#def-b1-topology-closure) vazio: $C$ é nunca [denso](#def-b1-topology-dense).

**5.** Escreva $\varphi_0(x) = \frac x3$ e $\varphi_2(x) =
\frac{2 + x}{3}$, bijeções afins crescentes de $\intcc{0}{1}$ sobre $\intcc{0}{\frac13}$ e $\intcc{\frac23}{1}$. Afirmação: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. Para $n = 0$ isso é a questão 1. Indução: uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) afim crescente leva o terço médio de um segmento ao terço médio do segmento imagem, de modo que apagar terços médios comuta com $\varphi_0$ e $\varphi_2$; aplicar o passo de supressão a $C_{n+1} =
\varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ dá $C_{n+2} =
\varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$. Interceptando sobre $n$: para $x \leq \frac13$, $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ para todo $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$; do mesmo modo em $\intcc{\frac23}{1}$; e nenhum ponto de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ está em $C_1$. Portanto, $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$, disjuntamente.

**6.** Indução em $n$; o caso $n = 0$ diz que todo $x \in
\intcc{0}{1}$ tem um código, o que é o [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 9 para $x < 1$; $1 = (0.\overline 2)_3$). Suponha a equivalência no posto $n$. Se $x \in C_{n+1}$: pela questão 5, $x =
\varphi_i(z)$ com $z \in C_n$ e $i \in \{0, 2\}$; se $(e_k)$ é um código de $z$ cujos $n$ primeiros algarismos são sem $1$, então $(i, e_1,
e_2, \dots)$ tem somas parciais $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m}
e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$: um código de $x$ cujos $n + 1$ primeiros algarismos são sem $1$. Reciprocamente, se $x$ tem um código $(d_k)$ com $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$: a cadeia deslocada $(d_2,
d_3, \dots)$ tem algum valor $z \in \intcc{0}{1}$, os seus $n$ primeiros algarismos são sem $1$, e o cálculo das somas parciais lido ao contrário dá $x = \varphi_{d_1}(z)$; por indução, $z \in
C_n$, de modo que $x \in C_{n+1}$ pela questão 5. Por fim: um código inteiramente sem $1$ põe $x$ em todo $C_n$, logo em $C$; reciprocamente, se $x \in C$, então, para todo $n$, um dos no máximo dois códigos de $x$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1), questão 11) tem os seus $n$ primeiros algarismos sem $1$; um mesmo código fixado deve servir para $n$ arbitrariamente grandes (casa dos pombos entre dois códigos), e um código cujos $n$ primeiros algarismos são sem $1$ para $n$ arbitrariamente grandes é sem $1$ por completo.

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (o gêmeo impróprio de $(0.1)_3$), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. Somas geométricas:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

ambos sem $1$: $\frac14, \frac34 \in C$. (As somas infinitas abreviam [supremos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) de somas parciais, como no [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1).) As extremidades dos segmentos de $C_n$ são da forma $m/3^n$ (indução: as extremidades dos filhos são extremidades do pai ou diferem de uma delas por um múltiplo de $3^{-n-1}$). Se $\frac14 =
\frac{m}{3^n}$, então $3^n = 4m$, e $4 \nmid 3^n$: impossível. Logo, $\frac14 \in C$ sem jamais ser extremidade.

**8.** Suponha que $x$ tivesse dois códigos sem $1$ distintos. Ter dois códigos, para começar, significa ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1), questão 11, base $3$) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ e que os dois códigos são: o que termina, com último algarismo não nulo $d_N \in \{1, 2\}$ seguido de $0$s, e o seu gêmeo, com $d_N - 1$ na posição $N$ seguido de $2$s. Se $d_N = 1$, o primeiro contém um $1$; se $d_N
= 2$, o gêmeo carrega $d_N - 1 = 1$. De um jeito ou de outro, no máximo um do par é sem $1$: contradição. Logo, cada $x \in C$ tem exatamente um código sem $1$ (existência pela questão 6), e cadeias de $\{0,2\}$ distintas têm valores distintos. Toda cadeia de $\{0,2\}$ tem valor em $\intcc{0}{1}$ (somas parciais $\leq
1$) com todos os prefixos sem $1$, logo valor em todo $C_n$, isto é, em $C$: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) valor é uma bijeção das cadeias de $\{0,2\}$ sobre $C$.

**9.** Seja $(d^{(k)})$ o código sem $1$ de $x_k$ e ponha $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$: uma cadeia de $\{0,2\}$ cujo valor $y$ está em $C$ e tem $(e_k)$ como o seu único código sem $1$ (questão 8). Para cada $k$, os códigos de $y$ e de $x_k$ diferem na posição $k$, de modo que $y \neq x_k$: nenhuma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não enumerável de comprimento zero: grandeza em [cardinalidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) e pequenez em medida — simultaneamente.

**10.** Compacidade: o fechamento da interseção infinita mais a limitação (questão 2) — a única propriedade não carregada por uma única inclusão. Comprimento zero: $C \subseteq
C_n$, de comprimento total $(\frac23)^n$ (questão 3). Nunca [denso](#def-b1-topology-dense): $C \subseteq C_n$ força os [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) dentro de $C$ a terem comprimento $\leq 3^{-n}$ (questão 4). A não enumerabilidade não cavalga em inclusão alguma: ela precisa da estrutura completa da interseção, codificada na bijeção da questão 8.

**11.** Inverta $d_n$ para $2 - d_n$: a nova cadeia continua sendo uma cadeia de $\{0,2\}$, de modo que o seu valor $x_n$ está em $C$; as somas parciais além do posto $n$ diferem exatamente de $2\cdot3^{-n}$, de sorte que $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$. Assim, $x_n \neq x$ e $x_n \to
x$: todo ponto de $C$ é limite de outros pontos de $C$ — $C$ é *perfeito*, sem ponto isolado.

**12.** Pela indução da questão 5, os segmentos de $C_n$ são exatamente os $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$, em que $t$ percorre os valores das cadeias de $\{0,2\}$ de comprimento $n$. Dado $x \in C$ com código $(d_k)$, a truncagem $t_n$ (algarismos $d_1 \dots d_n$ e depois $0$s) é, portanto, uma extremidade esquerda, e $0 \leq x - t_n
\leq 3^{-n}$: as extremidades são [densas](#def-b1-topology-dense) em $C$. Elas formam um subconjunto de $\{m/3^n : m, n\}$, um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) indexado por pares de inteiros, logo enumerável (como para $\Q$ no [Exercício 12.10](#exo-b1-topology-10)). Como $C$ é não enumerável (questão 9), todos os pontos de $C$, salvo enumeravelmente muitos, não são extremidades — $\frac14$ (questão 7) é a ponta visível desse iceberg.

**13.** Tome $n$ com $3^{-n} < y - x$. Ambos $x, y \in
C_n$, e eles não podem estar no mesmo segmento (comprimento $3^{-n} <
y - x$): o vão retirado entre os seus segmentos fornece $z$ com $x < z < y$ e $z \notin C_n \supseteq C$. Portanto, dois pontos quaisquer de $C$ são separados pelo complementar: os únicos subconjuntos convexos de $C$ são unitários — $C$ é totalmente desconexo.

**14.** Se $(d_k)$ é o código sem $1$ de $x$, a cadeia $(2 - d_k)$ é de novo uma cadeia de $\{0,2\}$, com somas parciais

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

de modo que $1 - x \in C$. Assim, $1 - C \subseteq C$ e, aplicando a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) duas vezes, $1 - C = C$: o [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) é simétrico em relação a $\frac12$.

**15.** As somas parciais $t_n \to x$ e $t'_n \to x'$ (sequências crescentes convergem para o seu [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds), isto é, para o valor), de modo que $t_n + t'_n \to x + x'$, pelo [Teorema 11.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-operations). Dado $y \in \intcc{0}{1}$ com código $(e_k)$, escolha $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ conforme $e_k = 0, 1, 2$: então $a_k + b_k = 2e_k$, as cadeias $(a_k)$ e $(b_k)$ são cadeias de $\{0,2\}$ com valores $x,
x' \in C$, e

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

todo $y \in \intcc{0}{1}$ é o ponto médio de dois pontos de $C$.

**16.** A questão 15 dá $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1}
\subseteq C + C$, e $C + C \subseteq \intcc{0}{1} +
\intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$: igualdade. Então, usando $1 - C = C$:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

Instância concreta: $1 = \frac14 + \frac34$, uma soma de dois membros de $C$ que não são extremidades.

**17.** O comprimento mede quanto da reta o próprio [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) ocupa; ele nada diz sobre o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das *somas*, que é a imagem da família a dois parâmetros $C \times C$ pela [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $(x,
x') \mapsto x + x'$ — as duas cadeias de algarismos são escolhidas independentemente, e essa liberdade é exatamente o que preenche $\intcc{0}{2}$. Teorema algum limita o comprimento de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) soma pelos comprimentos das parcelas, e $C$ é a prova de que nenhum pode.

**18.** Pelo [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 18), $x$ é racional se, e somente se, a sua expansão própria é periódica a partir de certo ponto. O código sem $1$ de $x \in C$ é ou essa expansão própria, ou o gêmeo impróprio de uma que termina; uma cadeia que termina e o seu gêmeo (constante $2$ a partir de certo ponto) são ambos periódicos a partir de certo ponto, de modo que a periodicidade do código sem $1$ é equivalente à racionalidade de $x$. Divisão longa de $\frac1{13}$ na base $3$ ($r_0 = 1$): $3 = 13\cdot0 + 3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 =
13\cdot2 + 1$, e o resto volta a $1$: algarismos $\overline{002}$, de modo que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$, sem $1$ e periódico: um membro racional de $C$. (Verificação: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$.)

**19.** A cadeia com $d_k = 2$ nas posições triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ e $0$ nas demais é uma cadeia de $\{0,2\}$, de modo que o seu valor $x^*$ pertence a $C$ (questão 8). Ela tem infinitos $2$s com espaçamentos $j + 1 \to \infty$ entre consecutivos, de sorte que não é periódica a partir de ponto algum (um período $T$ acabaria forçando $2$s com espaçamentos $\leq T$: o argumento dos espaçamentos crescentes do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1), questão 20); pela questão 18, $x^* \notin \Q$. E, pela questão 9 mais a enumerabilidade de $\Q$, todos os membros de $C$, salvo enumeravelmente muitos, são irracionais: $x^*$ é a norma, não a exceção.

**20.** Seja $y \in \intcc{0}{1}$: ele tem um código binário $(c_k)$ com $c_k \in \{0, 1\}$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1), questão 9, base $2$; $y = 1$ toma a cadeia só de $1$s). Então $(2c_k)$ é uma cadeia de $\{0,2\}$, o seu valor $x$ está em $C$, e $h(x)$ é o valor de $(c_k)$, ou seja, $y$: $h$ leva $C$ sobre $\intcc{0}{1}$. Se $C$ fosse imagem de uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de $\N^*$, compor com $h$ listaria todo $\intco{0}{1}$, contradizendo o teorema diagonal do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 22): $C$ é não enumerável, de novo. Um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de comprimento zero que se projeta sobrejetivamente num segmento inteiro.

**21.** Pela questão 5, $C$ é a união disjunta de $\varphi_0(C)$ e $\varphi_2(C)$, cada um um transladado da cópia reescalonada $\frac13 C$. A aditividade, a escala e a invariância por translação dão

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

de modo que $\frac13 L(C) = 0$: $L(C) = 0$. Só a autossemelhança já condena $C$ a comprimento zero — a questão 3 apenas executou a sentença.

**22.** Um segmento de comprimento $l_n$ perde um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) central de comprimento $4^{-(n+1)}$, restando dois segmentos de comprimento $l_{n+1}
= \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$; a partir de $l_0 = 1$, a indução confirma que $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$: com efeito, $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr)
= \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$, e $l_n > 0$ sempre: a construção nunca passa fome. $K = \bigcap K_n$ é [fechado](#def-b1-topology-closed) e limitado, logo compacto; um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) dentro de $K$ está num segmento de $K_n$, de comprimento $l_n \to 0$: [interior](#def-b1-topology-closure) vazio. Comprimento retirado: $\sum_{n\geq0} 2^n
\cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n =
\frac12$, e cada $K_n$ tem comprimento total $2^n l_n = \frac{2^n +
1}{2^{n+1}} > \frac12$. Seja agora uma família finita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](#def-b1-topology-open) de união $U \supseteq K$. Pelo enunciado companheiro do [Exemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested), $U \supseteq K_n$ para algum $n$; admitindo a aditividade do comprimento em uniões finitas de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), o comprimento total dos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) da cobertura é ao menos o de $K_n$, que excede $\frac12$. Assim, $K$ é nunca [denso](#def-b1-topology-dense) e, ainda assim, não existe cobertura barata: pequenez topológica (nunca [denso](#def-b1-topology-dense)) e pequenez métrica (comprimento zero) são noções genuinamente diferentes, e $K$ as separa.

**23.** Atingimento: sejam $d = d(x, F)$ e $a_k \in F$ com $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$: os $a_k$ são limitados, de modo que Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-bw)) extrai $a_{\varphi(k)} \to a$, com $a \in F$ ($F$ [fechado](#def-b1-topology-closed), [Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) e $\abs{x - a} = \lim
\abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. Agora, o máximo: se $y \in C$, $d(y, C) = 0$; caso contrário, $y$ está num vão retirado em algum estágio $n \geq 1$, um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](#def-b1-topology-open) de comprimento $3^{-n}$ cujas duas extremidades pertencem a $C$ (questão 2), de modo que $d(y, C) \leq
\frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, com igualdade exigindo $n = 1$ e $y$ no centro do vão $\intoo{\frac13}{\frac23}$, isto é, $y = \frac12$; e, de fato, $d\bigl(\frac12, C\bigr) =
\frac16$, pois $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ e $\frac13, \frac23 \in C$. Portanto, $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C)
= \frac16$, atingido exatamente em $\frac12$.

**24.** As extremidades formam um subconjunto enumerável e [denso](#def-b1-topology-dense) de $C$ (questão 12): liste-as como uma única sequência $(e_j)_{j\geq1}$, uma sequência em $C$. Os seus limites subsequenciais estão todos em $C$ ($C$ [fechado](#def-b1-topology-closed)). Reciprocamente, fixe $x \in C$: para cada $n$, os segmentos dos $C_m$ que contêm $x$ ($m \geq n$) têm as suas extremidades a menos de $3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$, de modo que infinitas extremidades distintas ficam a menos de $3^{-n}$ de $x$; escolha índices $j_1 < j_2
< \dots$ com $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$: uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) que converge para $x$. Assim, o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos limites subsequenciais de $(e_j)$ é exatamente $C$ — uma única sequência se acumulando em uma quantidade não enumerável de pontos, o extremo oposto de uma sequência convergente, cujo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de acumulação é unitário.

**25.** (i) A construção consumiu: a estabilidade dos [fechados](#def-b1-topology-closed) por interseção arbitrária (existência de $C$ como [fechado](#def-b1-topology-closed)), o teorema de compacidade [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) (questões 2, 22 e 23) e as caracterizações sequenciais do fechamento e da aderência (o argumento dos compactos encaixados do [Exemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested) e a questão 23). (ii) Os quatro pares: comprimento zero e, ainda assim, não enumerável (questões 3 e 9); [fechado](#def-b1-topology-closed) e, ainda assim, de [interior](#def-b1-topology-closure) vazio (questão 4); perfeito — sem ponto isolado — e, ainda assim, totalmente desconexo (questões 11 e 13); desprezível e, ainda assim, com $C + C = \intcc{0}{2}$ (questão 16). (iii) A sobrejeção $h$ da questão 20, tornada contínua e não decrescente, torna-se a escada do diabo na teoria das funções contínuas; e, na teoria da medida do volume do terceiro ano, $C$ é a testemunha padrão de que “desprezível” não significa “enumerável”, com o seu [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) gordo (questão 22) separando “nunca [denso](#def-b1-topology-dense)” de “desprezível”.