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title: "Limites e Continuidade"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade
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# Capítulo 13 — Limites e Continuidade

O teorema do valor intermediário e o teorema de Weierstrass foram usados no nível do ensino médio por fé visual. Com as sequências ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq)) e a topologia de $\R$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#ch-b1-topology)) em mãos, este capítulo os demonstra — e completa a teoria com o teorema da bijeção monótona (que legitima $\arcsin$, $\operatorname{arcosh}$ e os seus semelhantes do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions)) e com o teorema de Heine sobre [continuidade uniforme](#def-b1-continuity-uniform).

Ao longo do capítulo, $I$ é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) e $f \colon I \to \R$; “$x_0 \in
\overline I$” permite limites nas extremidades.

## 13.1 Limites de funções

**Definição 13.1 (Limite num ponto).**

Sejam $x_0 \in \overline{I}$ e $\ell \in \R$. Então $f(x) \to \ell$ quando $x \to x_0$ se

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

Os limites em $\pm\infty$ e os limites infinitos são definidos pelo mesmo padrão ($\abs{x - x_0} \leq \delta$ passa a $x \geq M$; $\abs{f(x) -
\ell} \leq \varepsilon$ passa a $f(x) \geq M'$). Os limites laterais restringem $x$ a $x > x_0$ (escrito $x \to x_0^+$) ou a $x < x_0$. O limite é único quando existe (mesma demonstração da [Proposição 11.4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#prop-b1-seq-first)).

**Exemplo 13.2 (Um limite pelo confronto).**

Calcule $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. O enquadramento da [parte inteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-floor) $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq
\frac1x$ dá, após multiplicar por $x$ (atenção ao sinal!):

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

e os dois confrontos laterais se fecham sobre $1$: o limite é $1$. Note o que aconteceu: $\lfloor \frac1x\rfloor$ sozinha tem saltos selvagens perto de $0$, mas o fator $x$ doma cada salto ($x$ vezes um salto unitário é pequeno), e só o enquadramento sobrevive. A ideia de fechamento: limites de produtos de um fator pequeno por um fator de oscilação limitada são problemas de confronto, nunca problemas do teorema das operações — o teorema das operações precisa que *ambos* os fatores convirjam.

**Teorema 13.3 (Caracterização sequencial).**

$f(x) \to \ell$ quando $x \to x_0$ se, e somente se: para *toda* sequência $(u_n)$ de pontos de $I$ com $u_n \to x_0$, tem-se $f(u_n) \to \ell$.

**Demonstração.** ($\Rightarrow$) Sejam $u_n \to x_0$ e $\varepsilon > 0$. Tome $\delta$ da definição e depois $N$ com $\abs{u_n - x_0} \leq
\delta$ para $n \geq N$: além de $N$, $\abs{f(u_n) - \ell} \leq
\varepsilon$.

($\Leftarrow$) Contrapositiva. Se $f \not\to \ell$: algum $\varepsilon_0 > 0$ derrota todo $\delta$; escolhendo $\delta =
\frac{1}{n+1}$, produzem-se $u_n \in I$ com $\abs{u_n - x_0} \leq
\frac{1}{n+1}$ e $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$. Então $u_n
\to x_0$, mas $f(u_n) \not\to \ell$. ∎

**Corolário 13.4 (Operações, composição, ordem).**

Somas, produtos e quocientes (com limite não nulo no denominador) de limites se comportam como para as sequências; se $f \to \ell$ em $x_0$ e $g \to m$ em $\ell$, e $g$ está definida em torno de $\ell$ com $g(\ell) = m$ ou $f \neq \ell$ perto de $x_0$, então $g \circ f \to m$ em $x_0$; os limites preservam desigualdades largas, e vale o teorema do confronto.

**Demonstração.** Cada enunciado se transfere pelo [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) ao seu análogo para sequências (Teoremas [11.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-operations) e [11.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-order)). Para a composição, vale a pena escrever o encadeamento direto uma vez: dado $\varepsilon >
0$, o limite de $g$ em $\ell$ fornece $\eta > 0$ com

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ no domínio de} g),
$$

em que o caso $y = \ell$ está coberto porque $g(\ell) = m$; então o limite de $f$ em $x_0$ fornece $\delta > 0$ com $\abs{x -
x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$; encadeando, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ dá $\abs{g(f(x)) - m} \leq
\varepsilon$. Na hipótese alternativa ($f \neq \ell$ perto de $x_0$), o valor $y = \ell$ nunca é alimentado a $g$, e o valor dela ali é irrelevante. ∎

**Exemplo 13.5 (Por que a ressalva da composição existe).**

Sejam $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ e $g(0) = 1$, e seja $f$ identicamente $0$. Então $f(x) \to 0$ quando $x \to 0$, e $g(y) \to 0$ quando $y \to 0$; e, no entanto, $g(f(x)) = g(0) = 1$ para todo $x$, de modo que $g
\circ f \to 1 \neq 0$. A função interna fica *exatamente sobre* o valor proibido $\ell = 0$ para sempre, e o limite de $g$ em $0$ ignora o que $g$ faz em $0$. A ressalva do [Corolário 13.4](#cor-b1-continuity-operations) — ou $g(\ell) = m$ (isto é, $g$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\ell$), ou $f \neq \ell$ perto de $x_0$ — é precisamente o que exclui isso. A ideia de fechamento: na prática compõem-se funções *[contínuas](#def-b1-continuity-continuous)* e a ressalva é gratuita; ela morde apenas quando os limites são tomados ao longo de [vizinhanças](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) perfuradas, e é por isso que a definição de $\lim_{x \to x_0}$ usada neste livro inclui o ponto quando ele está no domínio.

## 13.2 Continuidade

**Definição 13.6.**

$f$ é *contínua em $x_0 \in I$* quando $f(x)
\to f(x_0)$ quando $x \to x_0$; *contínua em $I$* quando é contínua em todo ponto. Pelo [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar): $f$ é contínua em $x_0$ se, e somente se, $f(u_n) \to f(x_0)$ para toda sequência $u_n \to x_0$ em $I$.

**Exemplo 13.7 (Uma taxonomia das descontinuidades).**

Três modos de falhar num ponto, em ordem crescente de gravidade. *Removível*: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ em $\R^*$ tem limite $1$ em $0$; definir $f(0) = 1$ a conserta — a descontinuidade era um buraco, não uma característica. *Salto*: $\lfloor x \rfloor$ num inteiro tem limites laterais distintos ($n - 1$ e $n$); escolha alguma de valor pode reconciliá-los, mas os dois meios-limites existem. *Essencial*: $\sin\frac1x$ em $0$ não tem limite lateral algum ([Exercício 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — oscilação sem acomodação. As funções monótonas só produzem o tipo do meio (os seus limites laterais sempre existem, sendo [supremos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) e [ínfimos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds)), e é por isso que os seus [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de descontinuidade são no máximo enumeráveis — um racional por salto. As derivadas, pelo teorema de Darboux ([Exercício 14.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#exo-b1-derivative-10)), só produzem o último tipo: uma função com descontinuidade de salto nunca é derivada de coisa alguma.

**Proposição 13.8.**

Somas, produtos, quocientes (onde definidos) e compostas de funções [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) são [contínuos](#def-b1-continuity-continuous). Os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), as [frações racionais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#def-b1-fractions-field) (fora dos seus [polos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#def-b1-fractions-field)), $\abs{\,\cdot\,}$, $\exp$, $\ln$, as funções trigonométricas e hiperbólicas e as suas inversas ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions)) são [contínuos](#def-b1-continuity-continuous) nos seus domínios.

**Demonstração.** Operações: [Corolário 13.4](#cor-b1-continuity-operations). As constantes e a identidade são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) diretamente pela definição ($\delta = \varepsilon$ serve à identidade, e qualquer $\delta$ às constantes); sendo [contínuos](#def-b1-continuity-continuous) os produtos de funções [contínuas](#def-b1-continuity-continuous), cada monômio $a_k x^k$ decorre por indução em $k$, e as somas encerram os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def); uma [fração racional](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#def-b1-fractions-field) é um quociente de dois [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), [contínua](#def-b1-continuity-continuous) onde o denominador não se anula. $\abs{\,\cdot\,}$: desigualdade triangular inversa, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) -
f(x_0)}$, de modo que o mesmo $\delta$ serve. Para as funções clássicas, concedemos aqui a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous); a derivabilidade (demonstrada no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative)) é mais forte. ∎

**Exemplo 13.9 (Máximo e mínimo de funções contínuas).**

Se $f, g$ são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous), então $\max(f, g)$ e $\min(f, g)$ também são: sem nenhuma análise de casos, graças às identidades

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

e à [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) das somas e de $\abs{\,\cdot\,}$ ([Proposição 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). Em particular, $f^+ =
\max(f, 0)$ e $f^- = \max(-f, 0)$ são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous), com $f =
f^+ - f^-$: a separação por sinal usada para as séries ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series)) e, em escala plena, na teoria da integração do volume do terceiro ano de graduação, não custa nada em regularidade.

**Teorema 13.10 (Teorema do valor intermediário).**

Seja $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$ com $f(a) \leq 0 \leq
f(b)$. Então $f(c) = 0$ para algum $c \in \intcc{a}{b}$. Consequentemente, uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) assume todo valor entre dois quaisquer dos seus valores: $f(I)$ é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals).

**Demonstração.** Dicotomia. Ponha $a_0 = a$, $b_0 = b$. Dado $\intcc{a_n}{b_n}$ com $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, seja $m$ o ponto médio: se $f(m) \leq
0$, guarde $\intcc{m}{b_n}$; caso contrário, guarde $\intcc{a_n}{m}$; as condições de sinal persistem. As sequências $(a_n), (b_n)$ são adjacentes ($b_n -
a_n = \frac{b-a}{2^n}$), com limite comum $c$ ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-adjacent)). Pela [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) e pelo [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-order): $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ e $f(c) =
\lim f(b_n) \geq 0$, de modo que $f(c) = 0$.

Para a consequência: dados valores $f(u) < v < f(w)$, aplique o acima a $x \mapsto f(x) - v$ no segmento de extremidades $u$ e $w$; assim, $f(I)$ é convexo, isto é, um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) ([Proposição 10.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)). ∎

![Uma função contínua com f(a) < 0 < f(b) tem de cruzar o eixo: a demonstração por dicotomia do prende um ponto de cruzamento entre sequências adjacentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*Uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(a) < 0 < f(b)$ tem de cruzar o eixo: a demonstração por dicotomia do [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) prende um ponto de cruzamento entre [sequências adjacentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-adjacent).*

**Exemplo 13.11 (Uma equação, o protocolo completo).**

Resolva $\eu^x = 3 - x$ em $\R$: existência, unicidade, localização. Ponha $g(x) = \eu^x + x - 3$, [contínua](#def-b1-continuity-continuous). Localização e existência: $g(0) = -2 < 0$ e $g(1) = \eu - 2 > 0$, de modo que o teorema do valor intermediário planta uma solução em $\intoo{0}{1}$. Unicidade: $g$ é a soma da estritamente crescente $\eu^x$ com $x - 3$, logo estritamente crescente em $\R$; uma função estritamente monótona assume cada valor no máximo uma vez, de sorte que a solução é única em todo o $\R$ (e não apenas no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) sondado). O protocolo — rearranjar para $g = 0$, mudança de sinal para a existência, monotonicidade para a unicidade — resolve a maioria das perguntas do tipo “quantas soluções” em três linhas, e as tabelas de variação do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative) o estendem a $g$ não monótona, cortando $\R$ em ramos monótonos.

**Exemplo 13.12 (A dicotomia como algoritmo).**

A demonstração do [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) calcula. Tome $f(x) =
x^3 + x - 1$: $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$, de modo que uma raiz está em $\intoo{0}{1}$. Dividindo ao meio:

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

de sorte que a raiz fica sucessivamente presa em $\intoo{0.5}{1}$, depois em $\intoo{0.5}{0.75}$, depois em $\intoo{0.625}{0.75}$ (valor verdadeiro: $c \approx 0.6823$). Após $n$ passos, o erro é no máximo $\frac{b - a}{2^n}$: dez passos dão três casas decimais, vinte dão seis. A ideia de fechamento: o teorema do valor intermediário não é apenas um enunciado de existência — a sua demonstração por dicotomia é um algoritmo garantido, ainda que lento, de busca de raízes, contra o qual o método de Newton do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative), rápido mas local, deve ser medido.

**Teorema 13.13 (Teorema de Weierstrass).**

Uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num segmento $\intcc{a}{b}$ é limitada e atinge as suas cotas: existem $c, d \in \intcc{a}{b}$ com

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

Combinado com o [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt): *a imagem [contínua](#def-b1-continuity-continuous) de um segmento é um segmento* $\intcc{f(c)}{f(d)}$.

**Demonstração.** *Limitada superiormente:* caso contrário, tome $u_n$ com $f(u_n) \geq n$. Pela compacidade do segmento ([Teorema 12.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#thm-b1-topology-compact)), uma [subsequência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$; a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) dá $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$, mas $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n)
\to +\infty$: contradição.

*[Supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) atingido:* sejam $M = \sup f$ e $v_n$ com $f(v_n) >
M - \frac{1}{n+1}$ ([Proposição 10.4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-epsilon)). Extraia $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$: então $f(d) = \lim
f(v_{\varphi(n)}) = M$, pelo confronto. O [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) se trata com $-f$. ∎

**Exemplo 13.14 (Mínimo positivo num segmento).**

Seja $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$ com $f(x) > 0$ para todo $x$. Então $\inf f > 0$: pelo teorema de Weierstrass, o [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) é um *valor* $f(c)$, e $f(c) > 0$ por hipótese. Assim, uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) positiva num segmento fica afastada de $0$ — argumento de duas linhas usado uma dúzia de vezes nos capítulos que vêm (denominadores sob controle, enquadramentos por funções escada, estimativas de erro). Num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não compacto isso falha espetacularmente: $f(x) = x$ em $\intoc{0}{1}$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e positiva, com $\inf f = 0$ não atingido. A ideia de fechamento: “positiva” se promove a “uniformemente positiva” exatamente quando o domínio é compacto; toda hipótese do teorema de Weierstrass sustenta carga.

**Observação 13.15 (Armadilhas frequentes em torno dos três teoremas).**

(i) *Imagens [contínuas](#def-b1-continuity-continuous)*: só os *segmentos* são robustos. A imagem [contínua](#def-b1-continuity-continuous) de um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) não precisa ser [aberta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) ($x \mapsto x^2$ leva $\intoo{-1}{1}$ sobre $\intco{0}{1}$), a imagem de um [fechado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) não precisa ser [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) ($\arctan$ leva o [fechado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) $\R$ sobre o [aberto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$); mas a imagem de um segmento é um segmento ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)). (ii) *O teorema do valor intermediário precisa de um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)*: a função $x
\mapsto \frac1x$, [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intco{-1}{0} \cup
\intoc{0}{1}$, assume os valores $-1$ e $1$ e, no entanto, nunca se anula — o seu domínio são duas peças disjuntas, e o valor $0$ cai no vão; nomeie sempre o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) em que o teorema é aplicado. (iii) *A [continuidade uniforme](#def-b1-continuity-uniform) é propriedade do par (função, [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets))*: $x^2$ é [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform) em todo segmento e, ainda assim, não em $\R$ ([Exemplo 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — as palavras “[uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform)” sem um domínio não significam nada. (iv) *A [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) da inversa não é formal*: ela vale em [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) por monotonicidade ([Teorema 13.16](#thm-b1-continuity-bijection)), mas uma bijeção [contínua](#def-b1-continuity-continuous) entre uniões de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) pode ter inversa descontínua — a observação após aquele teorema existe porque os estudantes o citam sem a hipótese de [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals).

## 13.3 Funções monótonas e funções inversas

**Teorema 13.16 (Teorema da bijeção monótona).**

Seja $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e estritamente monótona num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$. Então

1. $f$ é uma bijeção de $I$ sobre o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ ;
2. a inversa $f^{-1} \colon J \to I$ é estritamente monótona (no mesmo sentido) e *[contínua](#def-b1-continuity-continuous)* .

**Demonstração.** Digamos que $f$ seja estritamente crescente. (1) A injetividade é imediata pela monotonicidade estrita; a sobrejetividade sobre $f(I)$ é trivial, e $f(I)$ é um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) pelo [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt).

(2) $f^{-1}$ é estritamente crescente: se $y < y'$ em $J$, mas $f^{-1}(y)
\geq f^{-1}(y')$, aplicar a crescente $f$ dá $y \geq y'$, absurdo. [Continuidade](#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ em $y_0 = f(x_0) \in J$: seja $\varepsilon > 0$. Suponha primeiro $x_0$ [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) a $I$ e encolha $\varepsilon$ de modo que $x_0 \pm \varepsilon \in I$: as suas imagens satisfazem $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 +
\varepsilon)$. Tome $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 +
\varepsilon) - y_0\bigr) > 0$: para $\abs{y - y_0} \leq \delta$, a monotonicidade de $f^{-1}$ comprime $f^{-1}(y)$ entre $x_0 -
\varepsilon$ e $x_0 + \varepsilon$. Se $x_0$ é, digamos, a extremidade esquerda de $I$, só $x_0 + \varepsilon$ está disponível: então $y_0 = \min J$ (monotonicidade), todo $y \in J$ com $y - y_0
\leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ satisfaz $x_0 \leq f^{-1}(y)
\leq x_0 + \varepsilon$, e a estimativa unilateral é exatamente a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) numa extremidade; a extremidade direita é simétrica. (Note: a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ *não* foi deduzida da de $f$ por simetria — é a monotonicidade num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) que faz o trabalho.) ∎

**Observação 13.17.**

Este teorema é o que a [Definição 4.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#def-b1-functions-arc) e a [Proposição 4.21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-invhyp) usaram silenciosamente: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\operatorname{arsinh}$, … são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous). Um complemento ([Exercício 13.10](#exo-b1-continuity-10)): uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e *[injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj)* num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) é automaticamente estritamente monótona, de modo que a hipótese de monotonicidade nada custa.

**Exemplo 13.18 (Raízes de todas as ordens).**

Para $n \in \N^*$, a função $f(x) = x^n$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$, com $f(0) = 0$ e $f(x) \to +\infty$: a sua imagem é $\intco{0}{+\infty}$ ([Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) para a estrutura de [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)). O teorema da bijeção monótona entrega então, de uma só vez, uma inversa *[contínua](#def-b1-continuity-continuous)* estritamente crescente

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

existência, unicidade e [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) das raízes $n$-ésimas, sem cálculo algum. Compare com o [Exercício 10.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-12), que construiu $\sqrt y$ à mão a partir do [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds): um capítulo de teoria comprimiu aquela página de trabalho em duas linhas, e as mesmas duas linhas legitimaram $\arcsin$, $\arctan$ e $\operatorname{arsinh}$ antes dela. A ideia de fechamento: um bom teorema é trabalho armazenado.

## 13.4 Continuidade uniforme

**Definição 13.19.**

$f \colon I \to \R$ é *uniformemente contínua* quando

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

O ponto: $\delta$ depende apenas de $\varepsilon$, e não da localização em $I$. A [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) uniforme implica a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous); uma função *lipschitziana* ($\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$) é uniformemente [contínua](#def-b1-continuity-continuous) ($\delta = \varepsilon/k$).

**Exemplo 13.20.**

$x \mapsto x^2$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\R$, mas *não* é [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform): $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$, embora os argumentos estejam à distância $\frac 1n \to 0$. Em qualquer [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) limitado ela é lipschitziana, logo [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform) — coerente com o teorema de Heine, abaixo.

**Exemplo 13.21 (Módulos uniformes, explicitamente).**

Num segmento, Heine garante um $\delta$ uniforme; muitas vezes também se pode *calculá-lo*. Para $f(x) = x^2$ em $\intcc{0}{10}$:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

de modo que $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ serve uniformemente (um [módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field) lipschitziano, linear em $\varepsilon$). Para $\sqrt x$ em $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$ ([Exercício 13.9](#exo-b1-continuity-9)), de sorte que $\delta = \varepsilon^2$ serve — uniforme, mas *não* linear: perto de $0$ a raiz quadrada é íngreme, e o preço aparece no expoente de $\varepsilon$, não numa falha de uniformidade. A ideia de fechamento: a [continuidade uniforme](#def-b1-continuity-uniform) é um espectro, não um sim/não — a função $\delta(\varepsilon)$, chamada [módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field), mede o quão cara é a uniformidade, e ser lipschitziana é simplesmente a sua melhor nota.

**Teorema 13.22 (Heine).**

Uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num *segmento* $\intcc{a}{b}$ é [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform).

**Demonstração.** Por absurdo: suponha que algum $\varepsilon_0 > 0$ derrote todo $\delta$. Com $\delta = \frac{1}{n+1}$, tome $x_n, y_n \in
\intcc{a}{b}$ com $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ e $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$. A compacidade ([Teorema 12.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#thm-b1-topology-compact)) extrai $x_{\varphi(n)} \to c \in
\intcc{a}{b}$; então $y_{\varphi(n)} \to c$ também (confronto sobre $\abs{x -
y}$). A [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em $c$ dá $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ e $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, de modo que $\abs{f(x_{\varphi(n)}) -
f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$: contradição. ∎

**Exemplo 13.23 (Limitada, contínua e, ainda assim, não uniformemente).**

A função $f(x) = \sin(x^2)$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e limitada em $\R$, mas não é [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform). Tome

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

e, no entanto, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) -
\sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ para todo $n$: nenhum $\delta$ único pode servir a $\varepsilon = \frac12$ em toda parte. Geometricamente, as oscilações de $\sin(x^2)$ *aceleram*: o gráfico completa uma onda inteira em janelas cada vez mais curtas, de modo que a escala horizontal que um dado $\varepsilon$ exige encolhe a zero quando $x$ cresce. A ideia de fechamento: a limitação não compra uniformidade (este exemplo), e a ilimitação não a impede ($\sqrt x$, [Exercício 13.9](#exo-b1-continuity-9)); o que decide é o *módulo de oscilação*, e o teorema de Heine diz que domínios compactos o disciplinam automaticamente.

**Exemplo 13.24 (A experiência da calculadora, explicada).**

Digite um número qualquer numa calculadora e aperte $\cos$ repetidamente: o visor trava em $0.7390851\dots$ Por quê? Após um toque, o valor está em $\intcc{-1}{1}$; após dois, em $\intcc{\cos 1}{1}
\subseteq \intcc{0.54}{1}$, um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) estável para $\cos$. Nele, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ com $\sin 1 =
0.841\dots < 1$ (a estimativa de produto em soma do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#pb-b1-seq-1), ou a desigualdade do valor médio do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative)): a iteração contrai, de modo que, pelo passo de controle do erro do [Método 11.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#met-b1-seq-recurrent),

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

em que $c$ é o único ponto fixo $\cos c = c$ ([Exercício 13.6](#exo-b1-continuity-6)). Cerca de $40$ toques compram três casas decimais ($0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — uma taxa geométrica, mais branda que o $2^{-n}$ por passo da dicotomia, mas cada toque custa uma tecla, ao passo que cada passo de dicotomia custa uma avaliação completa de sinal. A ideia de fechamento: o retrato de ponto fixo do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq) e os teoremas de existência deste capítulo são duas metades de uma mesma história — o TVI encontra $c$, e a contração o alcança.

**Observação 13.25 (Onde estes teoremas trabalham em seguida).**

Os três pilares deste capítulo alimentam cada um deles um capítulo posterior. O teorema do valor intermediário alimenta todo argumento de existência de soluções e o teorema da bijeção monótona; o teorema de Weierstrass transforma problemas de otimização em teoremas (Rolle e o teorema do valor médio no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative) começam exatamente ali); o teorema de Heine é a razão pela qual funções [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) em segmentos podem ser integradas no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration) — o $\delta$ uniforme é o que faz as somas de Riemann convergirem. No volume do segundo ano de graduação, o mesmo trio reaparece em espaços vetoriais normados, com a compacidade fazendo o trabalho que os segmentos fazem aqui.

**Observação 13.26 (Perspectivas dentro deste volume).**

A [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) está prestes a ser superada, mas nunca aposentada. O [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative) a fortalece em derivabilidade e retribui o favor (derivável implica [contínua](#def-b1-continuity-continuous)); o [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration) se apoia nela duas vezes, por Heine para a construção e pelo teorema fundamental, cujo objeto central $x \mapsto \int_a^x f$ promove um $f$ meramente [contínuo](#def-b1-continuity-continuous) a uma primitiva $C^1$. No [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em duas variáveis guarda uma armadilha que vale antecipar: a função $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (estendida por $0$) é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $x$ para cada $y$ fixado e em $y$ para cada $x$ fixado e, ainda assim, não é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) na origem — ao longo da diagonal $x = y$ ela vale constantemente $\frac12$. A [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) separada é estritamente mais fraca que a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous): a caracterização sequencial sobrevive à mudança para $\R^2$, mas as sequências devem poder se aproximar de *todas* as direções, e não apenas ao longo dos eixos.

## 13.5 Exercícios

**Exercício 13.1 ★.**

Usando a caracterização sequencial, demonstre que $x \mapsto
\sin\frac 1x$ não tem limite em $0^+$ *(exiba duas sequências)*. E $x \mapsto x \sin\frac 1x$, tem?

**Solução de Exercício 13.1.**

Tome $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ e $v_n = \frac{1}{2\pi n}$: ambas tendem a $0^+$ e, no entanto, $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ e $\sin\frac{1}{v_n} = 0$. Duas sequências, dois limites diferentes das imagens: pelo [Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar), não há limite em $0^+$.

$x \sin\frac1x$: comprimida por $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, de modo que o limite em $0$ existe e vale $0$.

**Exercício 13.2 ★.**

Estude a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$ e de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$, e de $h(x) = \lfloor x \rfloor +
(x - \lfloor x\rfloor)^2$.

**Solução de Exercício 13.2.**

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\R \setminus \Z$ (localmente constante) e descontínua em cada $n \in \Z$: limite à esquerda $n - 1$, valor $n$.

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$: mesmos pontos de descontinuidade (a identidade é [contínua](#def-b1-continuity-continuous), de modo que $g$ herda os saltos de $f$); em $n \in
\Z$, o limite à esquerda é $1 \neq 0 = g(n)$.

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$: em $\intco{n}{n
+ 1}$, $h(x) = n + (x - n)^2$, [contínua](#def-b1-continuity-continuous) ali; em $x = n$, o limite à esquerda é $(n-1) + 1 = n = h(n)$: os saltos se cancelam. $h$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\R$ (e estritamente crescente).

**Exercício 13.3 ★.**

Demonstre que a equação $x^5 - 3x + 1 = 0$ tem pelo menos três soluções reais *(avalie em pontos bem escolhidos e aplique o [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) em três segmentos disjuntos)*.

**Solução de Exercício 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$: $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$; $P(0) = 1 >
0$; $P(1) = -1 < 0$; $P(2) = 27 > 0$. Três mudanças de sinal nos segmentos disjuntos $\intcc{-2}{0}$, $\intcc{0}{1}$, $\intcc{1}{2}$: pelo [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), ao menos três raízes. (Sendo de grau $5$, $P$ tem no máximo cinco; um estudo de variação mostraria exatamente três.)

**Exercício 13.4 ★.**

Demonstre que todo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau ímpar tem uma raiz real.

**Solução de Exercício 13.4.**

Seja $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ com $a_{2m+1} > 0$ (caso contrário, troque $P$ por $-P$). Fatorando o termo dominante, $P(x) = a_{2m+1}
x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ quando $x \to \pm\infty$: assim, $P(x) \to
+\infty$ em $+\infty$ e $-\infty$ em $-\infty$. Tome $a$ com $P(a) < 0$ e $b$ com $P(b) > 0$: o teorema do valor intermediário em $\intcc{a}{b}$ fornece uma raiz.

**Exercício 13.5 ★★.**

(Ponto fixo) Seja $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous). Demonstre que $f$ tem um ponto fixo: $f(c) = c$ para algum $c$. Ilustre que nem a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) nem o segmento podem ser abandonados.

**Solução de Exercício 13.5.**

Seja $g(x) = f(x) - x$, [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$. Como $f$ leva em $\intcc{0}{1}$: $g(0) = f(0) \geq 0$ e $g(1) = f(1) - 1 \leq
0$. Pelo [Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), $g(c) = 0$ para algum $c$: um ponto fixo.

Necessidade das hipóteses: em $\intcc{0}{1}$, a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) descontínua $f(x) = 1$ para $x \leq \frac12$, $f(x) = 0$ para $x > \frac12$, não tem ponto fixo; no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (que não é segmento), $f(x) =
\frac x2$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intoo{0}{1}$, sem ponto fixo (o candidato $0$ está faltando); em $\R$, $f(x) = x + 1$.

**Exercício 13.6 ★★.**

Demonstre que a equação $\cos x = x$ tem exatamente uma solução real, e que ela está em $\intoo{0}{1}$.

**Solução de Exercício 13.6.**

$g(x) = \cos x - x$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = \cos 1 -
1 < 0$: existe uma solução em $\intoo{0}{1}$ ([Teorema 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)). Unicidade: $g$ é estritamente decrescente em $\R$ — para $x \leq 0$, $g(x) \geq 1 - x > 0$ não tem zero, de qualquer modo; e $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$, com igualdade apenas em pontos isolados ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$), de sorte que $g$ é estritamente decrescente ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative); alternativamente: em $\intcc{0}{1}$, $\cos$ é estritamente decrescente e $-x$ também, logo $g$ é). Uma função estritamente monótona se anula no máximo uma vez.

**Exercício 13.7 ★★.**

Seja $f \colon \R \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(x) \to +\infty$ quando $x
\to \pm\infty$. Demonstre que $f$ atinge um mínimo global em $\R$. *(Reduza a um segmento que contenha um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de subnível.)*

**Solução de Exercício 13.7.**

Fixe $M = f(0) + 1$. Existe $A > 0$ com $f(x) \geq M$ para $\abs x
\geq A$ (definição dos dois limites infinitos; tome o maior limiar). No segmento $\intcc{-A}{A}$, o teorema de Weierstrass ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) fornece $c$ com $f(c) =
\inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$. Para $\abs x \geq A$: $f(x) \geq M
> f(0) \geq f(c)$. Logo, $f(c)$ é o mínimo global.

**Exercício 13.8 ★★.**

Seja $f \colon \R \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e periódica (de período $T >
0$). Demonstre que $f$ é limitada e atinge as suas cotas, e que existe $c$ com $f(c + \frac T2) = f(c)$. *(Para o segundo ponto, estude $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ ao longo de um período.)*

**Solução de Exercício 13.8.**

No segmento $\intcc{0}{T}$, $f$ é limitada e atinge as suas cotas ([Teorema 13.13](#thm-b1-continuity-evt)); pela periodicidade, essas são as cotas em todo o $\R$, ainda atingidas.

Seja $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$, [contínua](#def-b1-continuity-continuous). Então

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

$g(0)$ e $g(\frac T2)$ têm sinais opostos (ou um deles se anula), de modo que o teorema do valor intermediário em $\intcc{0}{T/2}$ dá $c$ com $g(c) = 0$, isto é, $f(c + \frac T2) = f(c)$.

**Exercício 13.9 ★★.**

Demonstre que $x \mapsto \sqrt x$ é [uniformemente contínua](#def-b1-continuity-uniform) em $\intco{0}{+\infty}$, embora não seja lipschitziana perto de $0$. *(Demonstre e use $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$.)*

**Solução de Exercício 13.9.**

Primeiro a desigualdade: para $0 \leq y \leq x$,

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

de modo que $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$, isto é, $\sqrt x - \sqrt y
\leq \sqrt{x - y}$. Portanto, $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$ para todos $x, y \geq 0$.

[Continuidade uniforme](#def-b1-continuity-uniform): dado $\varepsilon > 0$, tome $\delta =
\varepsilon^2$; então $\abs{x - y} \leq \delta$ implica $\abs{\sqrt x
- \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$.

Não lipschitziana perto de $0$: $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} =
\frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ quando $x \to 0^+$, de sorte que constante $k$ alguma pode dominar todos os quocientes de diferenças.

**Exercício 13.10 ★★★.**

Seja $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$. Demonstre que $f$ é estritamente monótona. *Sugestão: se não, existem $a < b < c$ com, digamos, $f(b) > f(a)$ e $f(b) > f(c)$; aplique o teorema do valor intermediário a um valor entre $\max(f(a), f(c))$ e $f(b)$ dos dois lados de $b$.*

**Solução de Exercício 13.10.**

Suponha $f$ [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e não estritamente monótona. Então existem $a < b < c$ em $I$ com $f(b)$ não entre $f(a)$ e $f(c)$ — com efeito, se, para *todas* as triplas, o valor do meio estivesse entre os das pontas, $f$ seria monótona (compare dois pares quaisquer; uma curta verificação por casos). Digamos que $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (o outro caso é simétrico: troque $f$ por $-f$). Escolha $v$ com $\max(f(a),
f(c)) < v < f(b)$. Pelo teorema do valor intermediário aplicado em $\intcc{a}{b}$ e em $\intcc{b}{c}$, existem $u_1 \in
\intoo{a}{b}$ e $u_2 \in \intoo{b}{c}$ com $f(u_1) = v = f(u_2)$: dois pontos distintos com imagens iguais, contradizendo a injetividade.

**Exercício 13.11 ★★★.**

(Equação funcional de Cauchy, caso [contínuo](#def-b1-continuity-continuous)) Seja $f \colon \R \to
\R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y$. Demonstre que $f(x) = f(1)\,x$ para todo $x$: primeiro em $\N$, $\Z$ e $\Q$ (só pela aditividade) e depois em $\R$, por [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) e [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)).

**Solução de Exercício 13.11.**

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ dá $f(0) = 0$; $f(-x) = -f(x)$ vem de $0 =
f(x - x)$. Ponha $\alpha = f(1)$. Indução: $f(n) = n\alpha$ para $n
\in \N$, e depois para $n \in \Z$, pela imparidade. Para $q \in \N^*$: $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (some $\frac pq$ a si mesmo $q$ vezes), de modo que $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$: $f = \alpha\,
\mathrm{id}$ em $\Q$.

Sejam agora $x \in \R$ e $(r_n)$ uma sequência de racionais com $r_n \to
x$ ([densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense), [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density), aplicada em [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) encaixados; ou $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$). [Continuidade](#def-b1-continuity-continuous): $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$.

**Exercício 13.12 ★★★.**

Seja $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(x) \to \ell \in \R$ quando $x \to +\infty$. Demonstre que $f$ é *uniformemente* [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intco{0}{+\infty}$. *(Corte num $A$ grande: Heine em $\intcc{0}{A+1}$, e o limite além de $A$; faça os dois regimes se sobreporem.)*

**Solução de Exercício 13.12.**

Seja $\varepsilon > 0$. Pelo limite em $+\infty$, existe $A$ com $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ para $x \geq A$; logo, para $x, y \geq A$: $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (sem necessidade de proximidade).

No segmento $\intcc{0}{A + 1}$, o teorema de Heine ([Teorema 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) dá $\delta_0 > 0$ para esse $\varepsilon$; ponha $\delta = \min(\delta_0, 1)$.

Tome agora quaisquer $x, y \geq 0$ com $\abs{x - y} \leq \delta$, digamos $x
\leq y$. Se $y \leq A + 1$: os dois estão no segmento, e o $\delta_0$ de Heine se aplica. Caso contrário, $y > A + 1$ e, então, $x \geq y - 1 >
A$: os dois estão em $\intco{A}{+\infty}$, onde o argumento do limite se aplica. Nos dois casos, $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$: [continuidade uniforme](#def-b1-continuity-uniform).

## 13.6 Problema: A equação funcional de Cauchy e as suas irmãs

**Problema 13.1.**

Problema de fim de semana — $f(x + y) = f(x) + f(y)$: a regularidade força a linearidade, e o retrato dos monstros

Que funções satisfazem $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos os reais $x$ e $y$? Cauchy levantou a questão em 1821; a resposta é um paradigma. O [Exercício 13.11](#exo-b1-continuity-11) mostra que uma tal função *aditiva* é linear em $\Q$ e que a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) plena força $f(x)
= cx$. Este problema afia a hipótese dramaticamente — [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) num *único* ponto, ou monotonicidade, ou mera limitação num pequeno [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), cada uma basta — e depois pinta o retrato de uma hipotética solução não linear (o seu gráfico preenche o plano), resolve as equações irmãs que caracterizam $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$ e $cx^2$, e se encerra com a equação de Jensen e o teorema *convexa no ponto médio $+$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ convexa*. Ao longo do problema, *aditiva* significa: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y \in \R$.

**Parte I — $\Q$-linearidade e um ponto de [continuidade](#def-b1-continuity-continuous).**

1. Seja $f$ aditiva. Pelo [Exercício 13.11](#exo-b1-continuity-11) , $f(r) = f(1)\,r$ para $r$ racional. Demonstre o enunciado mais fino usado abaixo: para *todo* $x \in \R$ e todo $r  \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ é $\Q$ - *linear* ).
2. Suponha a $f$ aditiva [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num único ponto $x_0$ . Mostre que $f$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em toda parte *(calcule $f(x + h) - f(x)$ em termos de $f(x_0 + h)  - f(x_0)$)* , e portanto $f(x) = f(1)\,x$ .
3. Mostre que uma função aditiva fica determinada pela sua restrição a qualquer [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) : se duas funções aditivas coincidem em $\Z + \sqrt2\,\Z$ e ambas são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) , elas são iguais — ao passo que, sem [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) , prescrever $f(1) = 0$ e $f(\sqrt 2) = 1$ é compatível com a $\Q$ -linearidade no [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) . Calcule $f(m +  n\sqrt2)$ para essa prescrição.
4. Seja $f$ aditiva e limitada superiormente por $M$ em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a}{b}$ com $a < b$ . Mostre que $f$ é limitada superiormente em $\intcc{0}{\ell}$ , com $\ell = b - a$ *(translade por $a$)* .

**Parte II — A escada da regularidade.**

1. Continuando a questão 4: usando $f(\ell - t) + f(t) =  f(\ell)$ , mostre que $f$ é também limitada *inferiormente* em $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ ali.
2. Mostre que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ para $t \in  \intcc{0}{\ell/n}$ , e deduza que $f$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $0$ *(a imparidade trata o lado esquerdo)* , logo em toda parte (questão 2): uma função aditiva limitada em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) é linear.
3. Deduza o caso monótono: uma função aditiva não decrescente em algum $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) é $f(x)  = cx$ com $c \geq 0$ .
4. Monte a *escada da regularidade* : para uma $f$ aditiva, são equivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) ; (c) $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num ponto; (d) $f$ monótona em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado; (e) $f$ limitada em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado. Organize as implicações de modo que cada uma seja trivial ou já demonstrada.
5. Verifique que as questões 4–6 consumiram apenas uma estimativa *superior* : uma função aditiva limitada superiormente num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado já é linear. Deduza o enunciado espelhado para uma estimativa inferior e registre a forma mais forte assim obtida do degrau (e) da escada.

**Parte III — Retrato de um monstro.** Suponha agora que $f$ seja aditiva, mas *não* linear.

1. Mostre que existem reais não nulos $u, v$ com $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , e que os vetores $(u, f(u))$ e $(v, f(v))$ geram o plano (o seu determinante $u f(v) - v f(u)$ é não nulo).
2. Mostre que o gráfico de $f$ contém todos os pontos $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$$ e deduza que o gráfico é *[denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R^2$*: para todo ponto $(x_0, y_0)$ do plano e todo $\varepsilon > 0$, algum $(x, f(x))$ está a menos de $\varepsilon$ dele *(resolva o sistema real $2\times2$ e depois aproxime os coeficientes reais por racionais)*.
3. Deduza da questão 11 o retrato completo: uma função aditiva não linear é ilimitada em todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado, descontínua em todo ponto, monótona em [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) nenhum, e a sua imagem de qualquer [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) é [densa](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R$ . Reconcilie com a questão 8.
4. Monstros existem — num [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) , construtivamente: em $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ , defina $f(m + n\sqrt2) = n$ . Mostre que $f$ está bem definida e é aditiva em $G$ , e que $f$ é ilimitada em $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon > 0$ *(para $N$ fixado, apenas finitos $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ têm $\abs n \leq N$; e, no entanto, $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ é infinito)* . Explique num parágrafo por que estender uma tal $f$ a todo o $\R$ exige uma base de $\R$ como $\Q$ -espaço vetorial (uma *base de Hamel* ), cuja existência é uma questão de axioma da escolha, além deste volume.

**Parte IV — As equações irmãs.** Todas as funções aqui são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous).

1. Seja $f \colon \R \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) , não identicamente $0$ , com $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Mostre que $f(x) =  f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , depois que $f > 0$ em toda parte, e depois que $f(x) = \eu^{cx}$ para algum $c$ : as exponenciais são exatamente os [morfismos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-morphism) [contínuos](#def-b1-continuity-continuous) de $(\R, +)$ em $(\R^*, \times)$ .
2. Seja $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Mostre que $f(x) = c\ln x$ *(transporte por $\exp$)* .
3. Seja $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f(xy) = f(x)f(y)$ . Mostre que $f(x) = x^c$ .
4. Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) com $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *(Estude $h = 1 + f$; trate o caso degenerado separadamente.)*
5. (Paralelogramo) Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) com $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : mostre que $f$ é par, que $f(0) = 0$ , que $f(nx) = n^2 f(x)$ por indução, e depois que $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Esta equação é a impressão digital das formas quadráticas — a lei do paralelogramo que detecta, no volume do segundo ano, quais normas provêm de um produto interno.)

**Parte V — Jensen e a convexidade no ponto médio.**

1. (Equação de Jensen) Seja $f \colon \R \to \R$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x)  + f(y)}{2}$ . Mostre que $g = f - f(0)$ satisfaz $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , deduza que $g$ é aditiva e conclua que $f(x) = cx + d$ .
2. Suponha agora apenas a *desigualdade*: $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) com $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ Demonstre por indução em $n$ que, para todos os pesos diádicos $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$: $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
3. Estenda por [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) e pela [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) dos diádicos ( [Exercício 10.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-8) ) a todo $\lambda \in  \intcc{0}{1}$ : uma função [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e convexa no ponto médio satisfaz a desigualdade de convexidade plena (noção estudada sistematicamente no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative) ).
4. Mostre que a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) não pode ser abandonada: uma $f$ aditiva não linear satisfaz a *igualdade no ponto médio* da questão 19 e, ainda assim, nenhuma desigualdade de convexidade em [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) algum (questão 12). Moral: a convexidade no ponto médio é uma propriedade de estágios enumeráveis (os diádicos), e a convexidade, uma propriedade do [contínuo](#def-b1-continuity-continuous) ; a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) é a ponte — exatamente como nas Partes I–II.

**Parte VI — Últimas variações e síntese.**

1. Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) com $f(x + y)  = f(x) + f(y) + xy$ *(subtraia a solução particular $\frac{x^2}{2}$)* .
2. Demonstre: se $f \colon \R \to \R$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e aditiva apenas num *[subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense)* $G$ (isto é, $f(g + g') = f(g) + f(g')$ para $g, g' \in G$ ), então $f$ é aditiva em $\R$ . Mais geralmente, duas funções [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) que coincidem num subconjunto [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) de $\R$ são iguais.
3. Síntese, uma frase para cada: (i) enuncie de memória a escada da regularidade da questão 8; (ii) explique por que “gráfico [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) no plano” é a imagem mental certa para a falha da regularidade; (iii) liste as cinco funções clássicas caracterizadas nas Partes IV–V e o método único que capturou todas elas; (iv) nomeie os dois lugares em que a [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) de $\Q$ (ou dos diádicos) em $\R$ carregou o argumento, e o lugar em que ela não pôde (questão 13).

**Solução de Problema 13.1.**

**1.** Para $n \in \N$: $f(nx) = n f(x)$, por indução ($f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$). Além disso, $f(0) = 2f(0)$ dá $f(0) =
0$, e $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ dá a imparidade, de modo que $f(nx) =
nf(x)$ para $n \in \Z$. Para $r = \frac pq$: $q\,f\bigl(\tfrac
pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$, logo $f(rx) = r f(x)$: $f$ é $\Q$-linear.

**2.** A aditividade dá, para todos $x$ e $h$:

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

Quando $h \to 0$, o lado direito tende a $0$ pela [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em $x_0$; portanto, $f(x + h) \to f(x)$: [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em todo $x$. Então o [Exercício 13.11](#exo-b1-continuity-11) fornece $f(x) = f(1)\,x$.

**3.** Duas funções aditivas [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) são da forma $cx$ e $c'x$ (questão 2); se elas coincidem no [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) $\Z + \sqrt2\,\Z$ ([Exercício 10.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-9)), então $c\,g = c'g$ para algum $g \neq 0$ nele: $c = c'$, e as funções são iguais. Sem [continuidade](#def-b1-continuity-continuous): a $\Q$-linearidade só amarra valores em $\Q$-combinações, e $1, \sqrt2$ são $\Q$-independentes ($\sqrt2
\notin \Q$), de modo que $f(1) = 0$, $f(\sqrt2) = 1$ é compatível e força, no [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup),

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** Para $t \in \intcc{0}{\ell}$: $a + t \in
\intcc{a}{b}$, de modo que $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$.

**5.** Para $t \in \intcc{0}{\ell}$, também $\ell - t \in
\intcc{0}{\ell}$, e a aditividade dá $f(t) = f(\ell) - f(\ell
- t) \geq f(\ell) - M'$. Portanto, $\abs{f} \leq C$ em $\intcc{0}{\ell}$, com $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) -
M'}\bigr)$.

**6.** Para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$: $nt \in
\intcc{0}{\ell}$ e $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (questão 1), de modo que $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$. Dado $\varepsilon > 0$, escolha $n >
\frac C\varepsilon$: para $0 \leq h \leq \frac\ell n$, $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$, e, para $h$ negativo, use $f(h) =
-f(-h)$. Assim, $f(h) \to 0 = f(0)$ quando $h \to 0$: [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) em $0$, logo em toda parte (questão 2), logo $f(x) = f(1)x$.

**7.** Se $f$ é não decrescente em $\intcc{a}{b}$, então $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ ali: limitada, logo linear pela questão 6, $f(x) = cx$; e $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ força $c
\geq 0$.

**8.** (a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c): trivial. (c)$\Rightarrow$(a): questão 2. (a)$\Rightarrow$(d): uma função linear é monótona em toda parte. (d)$\Rightarrow$(e): uma função monótona em $\intcc{a}{b}$ é limitada ali pelos seus valores nas extremidades. (e)$\Rightarrow$(a): questões 4–6. Os cinco enunciados são equivalentes — a escada da regularidade.

**9.** A questão 4 usou apenas a [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) $M$; a questão 5 *deduziu* a cota inferior da superior via a reflexão $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$; a questão 6 rodou então sobre $\abs f \leq C$. Assim: aditiva e limitada *superiormente* num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado já implica linear. Para uma cota inferior, aplique isso a $-f$ (aditiva, limitada superiormente). Degrau (e) mais forte: uma cota unilateral num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) basta.

**10.** Se $\frac{f(x)}{x}$ fosse uma mesma constante $c$ para todo $x \neq 0$, $f$ seria linear; assim, existem $u, v$ não nulos com $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$, isto é, $u f(v) - v f(u)
\neq 0$: o determinante dos vetores $(u, f(u))$, $(v,
f(v))$ é não nulo, e eles geram $\R^2$.

**11.** Para $r, s \in \Q$: $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (questão 1 duas vezes mais aditividade), de modo que o gráfico contém

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

Dados $(x_0, y_0)$ e $\varepsilon > 0$: o sistema real $2 \times 2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ tem uma (única) solução $(a, b)$, pois o determinante é não nulo. Tome racionais $r_n \to a$, $s_n \to b$: então $r_n(u, f(u)) +
s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coordenada a coordenada, e cada um desses pontos está no gráfico: o gráfico é [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R^2$.

**12.** Sejam $I$ um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado, $x_0$ o seu ponto médio e $M$ arbitrário: a [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) fornece um ponto do gráfico a menos de $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M + 1)$, isto é, $x \in I$ com $f(x) > M$: ilimitada em $I$, logo (questão 8) descontínua em todo ponto e monótona em [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) nenhum; e, para qualquer alvo $y_0$, pontos do gráfico perto de $(x_0, y_0)$ dão $f(x)$ arbitrariamente próximo de $y_0$ com $x \in I$: $f(I)$ é [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R$. Isto é a questão 8 lida ao contrário: como todos os degraus são equivalentes, uma função aditiva não linear deve falhar em *todos* eles, em toda parte.

**13.** Bem definida: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ força $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$, de modo que $n = n'$ (caso contrário, $\sqrt2 \in
\Q$) e $m = m'$. A aditividade em $G$ é então clara, coordenada a coordenada. Ilimitação perto de $0^+$: fixe $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$ e $N \in \N$. Para cada $n$ fixado com $\abs n
\leq N$, a condição $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ prende $m$ dentro de um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) de comprimento $1$: no máximo um inteiro $m$ por $n$, de modo que no máximo $2N + 1$ elementos de $G \cap \intoo{0}{1}$ têm $\abs{f} \leq N$. Mas $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ é infinito ($G$ é [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense), [Exercício 10.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-9)); logo, ele contém algum $g$ com $\abs{f(g)} > N$: $f$ é ilimitada em toda [vizinhança](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) à direita de $0$. Estender $f$ a uma função aditiva em $\R$ significa escolher valores coerentemente numa família de reais que seja $\Q$-linearmente independente e gere $\R$ sobre $\Q$ — uma base de Hamel; produzir uma exige o axioma da escolha, e fórmula explícita alguma o consegue: construtivamente, só possuímos o monstro em $G$.

**14.** $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq
0$. Se $f(x_0) = 0$, então $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ para todo $x$: excluído. Logo, $f > 0$ e $g = \ln \circ f$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) ([Proposição 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)), com $g(x + y) = g(x) +
g(y)$: pelo [Exercício 13.11](#exo-b1-continuity-11), $g(x) = cx$, de modo que $f(x) =
\eu^{cx}$. Reciprocamente, cada $\eu^{cx}$ serve: os [morfismos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-morphism) [contínuos](#def-b1-continuity-continuous) $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ são exatamente as exponenciais.

**15.** $g(u) = f(\eu^u)$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e $g(u + v) =
f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$: $g(u) = cu$, e todo $x > 0$ se escreve $x = \eu^u$ com $u = \ln x$: $f(x) = c\ln x$.

**16.** $h = \ln \circ f$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) em $\intoo{0}{+\infty}$ com $h(xy) = h(x) + h(y)$: pela questão 15, $h(x) = c\ln x$, de modo que $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$.

**17.** $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$, de modo que $f(0)(1 +
f(0)) = 0$. Se $f(0) = -1$: fazendo $y = 0$, $f(x) = f(x) +
f(0) + f(x)f(0) = -1$ para todo $x$: a constante $f \equiv -1$ (que de fato satisfaz a equação). Caso contrário, $f(0) = 0$; $h
= 1 + f$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous), $h(0) = 1$, e

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

pela questão 14, $h(x) = \eu^{cx}$, isto é, $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (o caso $c = 0$ dando $f \equiv 0$). Lista completa: $f
\equiv -1$ e $f(x) = \eu^{cx} - 1$, com $c \in \R$.

**18.** $x = y = 0$: $2f(0) = 4f(0)$, de modo que $f(0) = 0$. $x =
0$: $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, de sorte que $f$ é par. $y = x$: $f(2x) =
4f(x)$. Indução usando $(x, y) \to (nx, x)$:

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

Então $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac
xq\bigr)$ dá $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$: $f(r) = r^2 f(1)$ em $\Q$ (a paridade trata os sinais). As duas funções [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) $f$ e $x \mapsto f(1)x^2$ coincidem no [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) $\Q$, logo em toda parte (questão 24): $f(x) =
f(1)\,x^2$; e todo $cx^2$ satisfaz a equação.

**19.** $g = f - f(0)$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 0$, e satisfaz a equação de Jensen (as constantes se cancelam). Fazendo $y =
0$: $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$. Então, para todos $x,
y$:

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

de modo que $g$ é aditiva e [contínua](#def-b1-continuity-continuous): $g(x) = cx$ (questão 2), e $f(x) = cx + d$ com $d = f(0)$. Todas as funções afins satisfazem Jensen: a lista está completa.

**20.** Indução em $n$. Para $n = 0$: $\lambda \in \{0,
1\}$, trivial. Suponha a desigualdade para todos os pesos $\frac{k}{2^n}$. Um peso $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ com $k$ par se reduz ao nível $n$; para $k = 2j + 1$, $\lambda$ é o ponto médio de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ e $\lambda_2 =
\frac{j+1}{2^n}$. Com $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$: $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$, de modo que

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** Fixe $x, y$. As aplicações $\lambda \mapsto f(\lambda x +
(1 - \lambda)y)$ e $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 -
\lambda)f(y)$ são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$ (composição e álgebra, [Proposição 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). A desigualdade vale nos pesos diádicos, que são [densos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\intcc{0}{1}$ ([Exercício 10.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-8)); para $\lambda$ arbitrário, tome diádicos $\lambda_n \to \lambda$ e passe ao limite ([Teorema 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) e [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-order)): a desigualdade de convexidade vale para todo $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ — convexidade no ponto médio mais [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) é igual a convexidade (a noção do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative)).

**22.** Uma $f$ aditiva não linear satisfaz $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ exatamente (questão 1 com $r = \frac12$, e depois aditividade): ela é convexa no ponto médio, e até afim no ponto médio. Se ela satisfizesse a desigualdade de convexidade plena em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{x}{y}$, então, para $\lambda \in \intcc{0}{1}$: $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq
\max(f(x), f(y))$ — limitada superiormente num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) não degenerado, logo linear pela questão 9: contradição. Assim, a [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) na questão 21 não é luxo: sem ela, a convexidade no ponto médio controla apenas o esqueleto diádico enumerável, e o [contínuo](#def-b1-continuity-continuous) entre eles corre solto.

**23.** $p(x) = \frac{x^2}{2}$ satisfaz $p(x+y) = p(x) +
p(y) + xy$. Se $f$ é uma solução [contínua](#def-b1-continuity-continuous) qualquer, $g = f - p$ é [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e aditiva, de modo que $g(x) = cx$:

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

e cada uma delas é solução: a lista está completa.

**24.** Princípio geral: se $u, v$ são [contínuas](#def-b1-continuity-continuous) e coincidem num [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) $D \subseteq \R$, então, para $x \in \R$, escolha $d_n \in D$ com $d_n \to x$ ([Proposição 12.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#prop-b1-topology-closureprops)); $u(x) = \lim u(d_n) =
\lim v(d_n) = v(x)$. Seja agora $f$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) e aditiva no [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) $G$. Fixe $x, y \in \R$ e tome $g_n \to x$, $g'_n \to y$ com $g_n, g'_n \in G$; então $g_n + g'_n \to x + y$ e, pela [continuidade](#def-b1-continuity-continuous) sequencial em $x + y$, em $x$ e em $y$:

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

$f$ é aditiva em todo o $\R$ (logo linear, pela questão 2).

**25.** (i) Para $f$ aditiva: linear $\iff$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ [contínua](#def-b1-continuity-continuous) num ponto $\iff$ monótona em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\iff$ limitada (mesmo de um só lado) em algum [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals). (ii) A [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) do gráfico no plano mostra que a falha não é um defeito local, e sim uma explosão global: acima de todo subintervalo os valores se espalham por todo o $\R$, de modo que toda propriedade de regularidade falha em toda parte de uma vez. (iii) A pescaria: $cx$, $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$, $cx^2$ e $cx + d$ — seis caracterizações e um método: transporte a equação para a de Cauchy, demonstre o esqueleto em $\Q$ por indução, e promova a $\R$ por [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) mais [continuidade](#def-b1-continuity-continuous). (iv) A [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) de $\Q$ (ou dos diádicos) carregou as promoções no [Exercício 13.11](#exo-b1-continuity-11) e na questão 21; ela nada carregou na questão 13, porque, sem [continuidade](#def-b1-continuity-continuous), os valores não se propagam de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) ao seu [fecho](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) — a [densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) transfere informação apenas ao longo da [continuidade](#def-b1-continuity-continuous).