--- title: "Derivação" book: "Matemática universitária — Graduação 1" subject: math language: pt chapter: 14 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao --- # Capítulo 14 — Derivação As [derivadas](#def-b1-derivative-def) foram calculadas ao longo de todo o volume do ensino médio; o que faltava é a cadeia de teoremas que transforma cálculo em informação sobre as funções: o teorema de Rolle, o teorema do valor médio e as suas consequências — critérios de monotonicidade, estimativas de Lipschitz, [convexidade](#def-b1-derivative-convex). Tudo neste capítulo diz respeito a funções definidas num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$. ## 14.1 A derivada **Definição 14.1.** $f \colon I \to \R$ é *derivável em $x_0 \in I$* quando o quociente de diferenças $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ tem limite (finito) quando $x \to x_0$; o limite é escrito $f'(x_0)$. Equivalentemente: $$ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 , $$ admitindo então o gráfico a reta tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. A derivabilidade em $x_0$ implica a [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $x_0$ (leia a expressão). $f$ é derivável em $I$ quando o é em todo ponto; $f$ é de classe $C^1$ quando, além disso, $f'$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), e de classe $C^k$ quando $f$ pode ser derivada $k$ vezes com $f^{(k)}$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous). **Exemplo 14.2.** A recíproca de “[derivável](#def-b1-derivative-def) $\Rightarrow$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous)” falha: $\abs{\,\cdot\,}$ em $0$. Mais surpreendentemente, [derivável](#def-b1-derivative-def) não implica $C^1$: a função $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) é [derivável](#def-b1-derivative-def) em toda parte, com $f'(0) = 0$, mas $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ não tem limite em $0$ ([Exercício 14.2](#exo-b1-derivative-2)). **Exemplo 14.3 (Derivável em exatamente um ponto).** Sejam $f(x) = x^2$ para $x \in \Q$ e $f(x) = 0$ para $x \notin \Q$. Em $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, de modo que $f$ é [derivável](#def-b1-derivative-def) em $0$, com $f'(0) = 0$. Em qualquer $x_0 \neq 0$, $f$ nem sequer é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous): sequências racionais e irracionais que convergem a $x_0$ mandam $f$ a $x_0^2 \neq 0$ e a $0$, respectivamente ([densidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense), [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-density)). Assim, a [derivabilidade](#def-b1-derivative-def) é uma noção genuinamente *pontual*: ela pode valer num ponto de $\R$ e em nenhum outro. A moral para a prática: enunciados como o critério de monotonicidade ou Rolle exigem a [derivada](#def-b1-derivative-def) *num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)* — possuir $f'(x_0)$ em pontos isolados, por mais numerosos que sejam, não sustenta conclusão global alguma. **Teorema 14.4 (Operações).** Se $f, g$ são deriváveis em $x_0$ (e onde as fórmulas fazem sentido): $$ (f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, $$ e, se $g$ é [derivável](#def-b1-derivative-def) em $f(x_0)$: $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (regra da cadeia). **Demonstração.** Soma: imediata. Produto: escreva $$ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr), $$ divida por $x - x_0$ e faça $x \to x_0$ ($g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $x_0$). Quociente: trate $\frac 1g$ via $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ e aplique depois a regra do produto. Regra da cadeia: com $y_0 = f(x_0)$, defina $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ para $y \neq y_0$ e $\theta(y_0) = g'(y_0)$: $\theta$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $y_0$ e, para $x \neq x_0$, $$ \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0), $$ o primeiro fator pela composição de limites (esse artifício trata limpamente o caso $f(x) = f(x_0)$, em que o ingênuo “multiplicar e dividir por $f(x) - f(x_0)$” se quebra). ∎ **Teorema 14.5 (Derivada de uma função inversa).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) e estritamente monótona em $I$, [derivável](#def-b1-derivative-def) em $x_0$ com $f'(x_0) \neq 0$. Então $f^{-1}$ ([Teorema 13.16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-bijection)) é [derivável](#def-b1-derivative-def) em $y_0 = f(x_0)$, com $$ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} . $$ Se $f'(x_0) = 0$, a inversa tem tangente vertical em $y_0$. **Demonstração.** Para $y \to y_0$, ponha $x = f^{-1}(y)$: a [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ dá $x \to x_0$, e $$ \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} . $$ Afirmação da tangente vertical: se $f'(x_0) = 0$, o quociente exibido é o inverso de uma quantidade que tende a $0$ mantendo um sinal constante (para $f$ estritamente crescente, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ para todo $x \neq x_0$): o quociente de diferenças de $f^{-1}$ tende, portanto, a $+\infty$ (a $-\infty$ para $f$ decrescente). A inversa permanece [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), mas não é [derivável](#def-b1-derivative-def) em $y_0$ — o seu gráfico, reflexão do de $f$ na diagonal, fica vertical exatamente onde o de $f$ corria horizontal, como $x^{1/3}$ em $0$ ilustra contra $x^3$. ∎ **Exemplo 14.6 (Derivadas de inversas, duas vezes).** O teorema recalcula as [derivadas](#def-b1-derivative-def) clássicas sem nenhum trabalho com limites. Para $\ln = \exp^{-1}$: em $y = \eu^x$, $$ (\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y , $$ válido para todo $y > 0$, pois $\exp' = \exp$ nunca se anula. Para $\arctan = \tan^{-1}$: em $y = \tan x$, $$ (\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} , $$ usando $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. A ideia de fechamento: a fórmula converte conhecimento sobre uma função em conhecimento sobre a sua inversa ao preço de uma substituição — e a substituição ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) é exatamente a afirmação de que as duas variáveis vivem em lados opostos da bijeção. ## 14.2 Rolle e o teorema do valor médio **Proposição 14.7 (Extremo interior).** Se $f$ é [derivável](#def-b1-derivative-def) num ponto *[interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure)* $x_0$ de $I$ e tem ali um extremo local, então $f'(x_0) = 0$. **Demonstração.** Digamos que seja um máximo local: existe $r > 0$ com $f(x) \leq f(x_0)$ para $\abs{x - x_0} \leq r$, e a interioridade garante que os dois lados de $x_0$ estão disponíveis dentro de $I$. Para $0 < h \leq r$, o quociente $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ tem numerador $\leq 0$ e denominador $> 0$: ele é $\leq 0$, e o seu limite $f'(x_0)$ herda $\leq 0$ (desigualdades largas passam ao limite, [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#thm-b1-seq-order)); para $-r \leq h < 0$, o quociente é $\geq 0$, o que dá $f'(x_0) \geq 0$. Portanto, $f'(x_0) = 0$. (Numa extremidade, só um sinal está disponível: a conclusão falha ali — pense em $x$ em $\intcc{0}{1}$, máximo em $1$ com [derivada](#def-b1-derivative-def) $1$.) ∎ **Teorema 14.8 (Rolle).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$, [derivável](#def-b1-derivative-def) em $\intoo{a}{b}$, com $f(a) = f(b)$. Então $f'(c) = 0$ para algum $c \in \intoo{a}{b}$. **Demonstração.** Pelo teorema de Weierstrass ([Teorema 13.13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-evt)), $f$ atinge o seu máximo e o seu mínimo em $\intcc{a}{b}$. Se ambos são atingidos nas extremidades, então (como $f(a) = f(b)$) máximo $=$ mínimo e $f$ é constante: qualquer $c$ [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) serve. Caso contrário, um extremo é atingido num ponto [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) $c$, e a [Proposição 14.7](#prop-b1-derivative-fermat) dá $f'(c) = 0$. ∎ **Teorema 14.9 (Teorema do valor médio).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$, [derivável](#def-b1-derivative-def) em $\intoo{a}{b}$. Existe $c \in \intoo{a}{b}$ com $$ f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) . $$ *Desigualdade do valor médio:* se, além disso, $m \leq f' \leq M$ em $\intoo{a}{b}$, então $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$; em particular, $\abs{f'} \leq K$ implica que $f$ é $K$-lipschitziana. **Demonstração.** Aplique Rolle a $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$: $g$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$, [derivável](#def-b1-derivative-def) no [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure), e $g(a) = f(a) = g(b)$. No ponto $c$ em que $g'(c) = 0$: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. A desigualdade decorre de estimar $f'(c)$; o enunciado de Lipschitz a aplica a todo par de pontos. ∎ ![O teorema do valor médio: alguma tangente (tracejada) é paralela à corda (cinza). A sua abscissa c é onde o teorema de Rolle, aplicado à função menos a sua corda, encontra um ponto crítico.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-derivative/fig-a2d4f0542a62.svg) *O teorema do valor médio: alguma tangente (tracejada) é paralela à corda (cinza). A sua abscissa $c$ é onde o teorema de Rolle, aplicado à função menos a sua corda, encontra um ponto crítico.* **Exemplo 14.10 (O método de Newton é o de Heron).** O método de Newton para resolver $f(x) = 0$ substitui a curva pela sua tangente na estimativa atual $x_n$ e toma a raiz da tangente como estimativa seguinte: $$ 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} . $$ Execute-o em $f(x) = x^2 - 2$: $$ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) : $$ exatamente a iteração de Heron ([Exemplo 11.24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ex-b1-seq-heron)), dois milênios antes. A velocidade quadrática ali observada fica agora explicada pelo retrato da tangente: perto de uma raiz simples, curva e tangente diferem por um erro de segunda ordem, de modo que cada passo aproximadamente eleva o erro ao quadrado — o enunciado geral decorre das estimativas de Taylor do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor). A ideia de fechamento: onde a dicotomia ([Exemplo 13.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ex-b1-continuity-dichotomy)) usa apenas [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) e ganha um bit por passo, Newton gasta uma [derivada](#def-b1-derivative-def) para dobrar o número de algarismos corretos por passo. **Exemplo 14.11 (O teorema do valor médio como estimador).** Quanto vale $\sqrt{101}$? Aplique o teorema a $f(t) = \sqrt t$ em $\intcc{100}{101}$: para algum $c \in \intoo{100}{101}$, $$ \sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{logo}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 , $$ e, como $\sqrt{101} < 10.05$, a estimativa da esquerda excede $\frac{1}{20.1} > 0.0497$: assim, $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valor verdadeiro: $10.049875\dots$) — três casas decimais corretas a partir de uma avaliação de [derivada](#def-b1-derivative-def). Do mesmo modo, $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (estimativa $\abs{\cos}\leq 1$): as estimativas de Lipschitz usadas desde o [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ch-b1-seq) são todas este teorema. A ideia de fechamento: o teorema do valor médio é uma fórmula de Taylor de ordem zero — ele troca um ponto desconhecido $c$ por uma desigualdade firme, e o [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor) iterará exatamente essa troca. **Corolário 14.12 (Critério de monotonicidade).** Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $I$ e [derivável](#def-b1-derivative-def) no [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure). 1. $f' \geq 0$ no [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) $\iff$ $f$ é crescente; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante. 2. Se $f' > 0$ salvo em finitos pontos em que ela se anula, $f$ é *estritamente* crescente. **Demonstração.** Se $f' \geq 0$: para $x < y$ em $I$, o teorema do valor médio em $\intcc{x}{y}$ dá $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$. Reciprocamente, os quocientes de diferenças de uma função crescente são $\geq 0$, de modo que os seus limites também. O caso constante: aplique o anterior a $f'$ e a $-f' \geq 0$. Versão estrita: $f$ é crescente; a igualdade $f(x) = f(y)$ para $x < y$ congelaria $f$ em $\intcc{x}{y}$, forçando $f' = 0$ ali — infinitos pontos. ∎ **Exemplo 14.13 (Derivadas iguais, funções diferentes).** Em $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$, tanto $f(x) = \ln\abs x$ quanto $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (some $1$ apenas na semirreta direita) satisfazem $f' = g' = \frac1x$. Elas não diferem por uma constante: o critério “$f' = 0 \implies f$ constante” é um enunciado de *[intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)* — a sua demonstração roda o teorema do valor médio entre dois pontos, o que exige que todo o segmento que os une esteja no domínio. Em cada semirreta separadamente, as primitivas de $\frac1x$ são $\ln\abs x + c$, com uma constante por semirreta, duas constantes independentes no total. O [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration) herda essa letra miúda: “a” primitiva de uma função fica bem definida a menos de uma constante *em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) do seu domínio*, e as tabelas de primitivas supõem silenciosamente a conexidade. **Exemplo 14.14 (Estrita de graça).** $x \mapsto x^3$ é *estritamente* crescente em $\R$, ainda que a sua [derivada](#def-b1-derivative-def) se anule em $0$: a cláusula do critério “$f' > 0$ salvo em finitos pontos” foi desenhada exatamente para tais pontos planos. Em contrapartida, $f' \geq 0$ sozinho só dá crescimento no sentido largo (uma função constante se qualifica), e uma [derivada](#def-b1-derivative-def) que se anula num subintervalo inteiro de fato congela a função ali. A regra prática: para afirmar monotonicidade estrita, liste os zeros de $f'$; finitos (ou, mais geralmente, nenhum em subintervalo algum) é inofensivo, e um [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) deles é fatal. **Exemplo 14.15 (Um estudo de variação completo).** Estude $f(x) = x^3 - 3x + 1$ em $\R$. [Derivada](#def-b1-derivative-def): $f'(x) = 3(x^2 - 1)$, positiva em $\intoo{-\infty}{-1}$, negativa em $\intoo{-1}{1}$, positiva em $\intoo{1}{+\infty}$: pelo critério de monotonicidade, $f$ cresce, depois decresce, depois cresce, com um máximo local $f(-1) = 3$ e um mínimo local $f(1) = -1$. Limites: $\mp\infty$ em $\mp\infty$. Consequências, lidas na tabela de variação com o teorema do valor intermediário em cada ramo monótono: $f$ se anula exatamente uma vez em cada um de $$ \intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty} $$ (os valores nas junções têm sinais opostos: $3 > 0 > -1$), de modo que a equação $x^3 - 3x + 1 = 0$ tem exatamente três raízes reais; numericamente, elas ficam perto de $-1.88$, $0.35$ e $1.53$. A ideia de fechamento: uma tabela de variação é um *instrumento de demonstração*, não um esboço — ramo monótono mais mudança de sinal é igual a exatamente uma raiz, e a tabela enumera os ramos exaustivamente. **Teorema 14.16 (Fórmula de Leibniz).** Se $f, g$ são $n$ vezes deriváveis, então $fg$ também é, e $$ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} . $$ **Demonstração.** Indução em $n$, exatamente paralela ao teorema binomial. O caso $n = 1$ é a regra do produto. Supondo a fórmula no posto $n$, derive mais uma vez: $$ (fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr), $$ depois reindexe a primeira soma com $j = k + 1$ e reúna o coeficiente de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$: ele é $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$, pela regra de Pascal ([Proposição 2.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#prop-b1-counting-identities)), com os termos de [fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) $j = 0$ e $j = n + 1$ carregando $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$, como devem. ∎ **Exemplo 14.17 (Leibniz em ação).** Calcule $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ para $n \geq 2$. Tome $f = x^2$, cujas [derivadas](#def-b1-derivative-def) morrem depressa ($f' = 2x$, $f'' = 2$, $f^{(k)} = 0$ para $k \geq 3$), e $g = \eu^x$: só três termos da soma de Leibniz sobrevivem, $$ \bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr). $$ Verificação de sanidade em $n = 1$: $\eu^x(x^2 + 2x)$, que é de fato $(x^2\eu^x)'$. A ideia de fechamento: use Leibniz quando um dos fatores for um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) — a soma tem então apenas $\deg + 1$ termos, e a fórmula é uma forma [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed), não uma identidade abstrata. (Para dois fatores infinitamente vivos, como $\eu^x\sin x$, as exponenciais complexas do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ch-b1-complex) são a ferramenta melhor.) ## 14.3 Convexidade **Definição 14.18.** $f \colon I \to \R$ é *convexa* quando toda corda fica acima do gráfico: $$ \forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y). $$ ($f$ é *côncava* quando $-f$ é convexa.) **Teorema 14.19 (Caracterizações diferenciais).** Seja $f$ [derivável](#def-b1-derivative-def) em $I$. São equivalentes: 1. $f$ é [convexa](#def-b1-derivative-convex) ; 2. $f'$ é crescente em $I$ ; 3. o gráfico fica acima de toda tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ para todos $x, y \in I$ . Se $f$ é duas vezes [derivável](#def-b1-derivative-def): $f$ [convexa](#def-b1-derivative-convex) $\iff f'' \geq 0$. **Demonstração.** (1 $\Rightarrow$ 3) A [convexidade](#def-b1-derivative-convex) escrita como $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ para $t \in \intoc{0}{1}$; faça $t \to 0^+$: $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$. (3 $\Rightarrow$ 2) Para $x < y$, as duas desigualdades de tangente em $x$ e em $y$ dão $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$, donde $f'(x) \leq f'(y)$. (2 $\Rightarrow$ 1) Fixe $x < y$ e $t \in \intoo{0}{1}$, e seja $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$. Pelo teorema do valor médio em $\intcc{x}{z}$ e em $\intcc{z}{y}$, existem $c_1 < z < c_2$ com $$ \frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} , $$ e eliminar denominadores ($z - x = (1-t)(y-x)$, $y - z = t(y-x)$) rearranja exatamente na desigualdade de [convexidade](#def-b1-derivative-convex). Caso duas vezes [derivável](#def-b1-derivative-def): $f'' \geq 0 \iff f'$ crescente ([Corolário 14.12](#cor-b1-derivative-monotone)). ∎ ![Convexidade, duas vezes: toda corda (cinza) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de toda tangente (tracejada).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-derivative/fig-d730906df39f.svg) *[Convexidade](#def-b1-derivative-convex), duas vezes: toda corda (cinza) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de toda tangente (tracejada).* **Exemplo 14.20 (Desigualdades clássicas de convexidade).** $\exp$ é [convexa](#def-b1-derivative-convex) ($\exp'' = \exp > 0$): a sua tangente em $0$ dá $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$. $\ln$ é côncava: a sua tangente em $1$ dá $\ln x \leq x - 1$; as suas cordas dão, para $0 < a \leq b$, a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética: tomando $t = \frac12$ na concavidade, $$ \ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{logo}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} . $$ A desigualdade aritmético-geométrica geral é o [Exercício 14.9](#exo-b1-derivative-9). **Exemplo 14.21 (Uma desigualdade de convexidade do zero).** A função $f(t) = t\ln t$ é [convexa](#def-b1-derivative-convex) em $\intoo{0}{+\infty}$: $f''(t) = \frac1t > 0$. A sua desigualdade do ponto médio, multiplicada por $2$, diz: para todos $a, b > 0$, $$ a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} , $$ com igualdade se, e somente se, $a = b$ ([convexidade](#def-b1-derivative-convex) estrita). Teste: $a = 1$, $b = 3$ dá $3\ln 3 = 3.296$ contra $4\ln 2 = 2.773$. Esta desigualdade inócua é o caso de dois pontos da comparação de *entropia* que reaparece com a desigualdade de Jensen ([Exercício 14.9](#exo-b1-derivative-9)) e nas assintóticas da teoria da informação do volume do terceiro ano. A ideia de fechamento: para fabricar uma desigualdade, encontre uma função cuja segunda [derivada](#def-b1-derivative-def) tenha sinal e escreva o que a [convexidade](#def-b1-derivative-convex) diz — a caracterização diferencial converte uma verificação de sinal em infinitas desigualdades. **Observação 14.22 (Armadilhas frequentes com derivadas).** (i) *Uma [derivada](#def-b1-derivative-def) positiva num ponto não dá monotonicidade perto dele*: $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (com $f(0) = 0$) tem $f'(0) = \frac12 > 0$ e, no entanto, $$ f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x $$ vale $-\frac12$ em cada $x_n = \frac{1}{2\pi n}$: toda [vizinhança](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) de $0$ contém descidas. A monotonicidade exige $f' \geq 0$ *num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)* ([Corolário 14.12](#cor-b1-derivative-monotone)); o sinal pontual só controla o cruzamento da reta tangente. (ii) *As três hipóteses de Rolle estão todas ativas*: $\abs x$ em $\intcc{-1}{1}$ (sem [derivabilidade](#def-b1-derivative-def) [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure)), $x$ em $\intcc{0}{1}$ (extremidades não iguais) e $x - \lfloor x\rfloor$ em $\intcc{0}{1}$ (a [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) falha em $1$) quebram cada uma exatamente uma hipótese e a conclusão. (iii) *As [derivadas](#def-b1-derivative-def) podem ser descontínuas, mas não arbitrariamente*: $f'$ pode oscilar ([Exemplo 14.2](#ex-b1-derivative-notc1)) e, ainda assim, sempre satisfaz a propriedade do valor intermediário (Darboux, [Exercício 14.10](#exo-b1-derivative-10)): uma [derivada](#def-b1-derivative-def) nunca salta — se você calcular um “limite de [derivada](#def-b1-derivative-def)” lateral com salto, terá derivado uma função não [derivável](#def-b1-derivative-def). (iv) *A fórmula da inversa precisa de $f' \neq 0$*: $x \mapsto x^3$ é uma bijeção suave estritamente crescente cuja inversa $x^{1/3}$ tem tangente vertical em $0$ — a [derivabilidade](#def-b1-derivative-def) da inversa se perde exatamente onde $f'$ se anula ([Teorema 14.5](#thm-b1-derivative-inverse)). **Observação 14.23 (Onde o teorema do valor médio trabalha em seguida).** Quase todo enunciado quantitativo dos próximos capítulos é o teorema do valor médio deste capítulo fantasiado: o teorema fundamental do cálculo ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration)) deriva a função área e conclui com o critério de monotonicidade; a fórmula de Taylor–Lagrange ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor)) é o teorema do valor médio iterado $n$ vezes; a análise de erro do método de Newton e das iterações de ponto fixo ([Exercício 14.11](#exo-b1-derivative-11)) é a forma de Lipschitz; e o problema de fim de semana deste capítulo ([Problema 14.1](#pb-b1-derivative-1)) converte a mesma estimativa de Lipschitz em teoria dos números — uma desigualdade de repulsão entre [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) e racionais, que produz o primeiro [número transcendente](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) da história. No volume do segundo ano, a *desigualdade* do valor médio sobrevive em várias variáveis, quando a igualdade não sobrevive. **Exemplo 14.24 (A desigualdade de Young a partir da concavidade).** Sejam $p, q > 1$ com $\frac1p + \frac1q = 1$. Para todos $a, b > 0$: $$ ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} . $$ Demonstração por uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) da concavidade de $\ln$ com pesos $\frac1p, \frac1q$ (a desigualdade de Jensen em dois pontos, como no [Exercício 14.9](#exo-b1-derivative-9)): $$ \ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab), $$ e, sendo $\ln$ crescente, a desigualdade dos logaritmos se converte na afirmação; a igualdade vale se, e somente se, $a^p = b^q$ (concavidade estrita). O caso $p = q = 2$ é a desigualdade aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfarçada. A ideia de fechamento: a desigualdade de Young é a semente algébrica das desigualdades de Hölder e Minkowski do volume do segundo ano — um enunciado de concavidade sobre $\ln$, colhido para normas. **Observação 14.25 (Perspectivas dentro deste volume).** A [derivada](#def-b1-derivative-def) ganha três vidas novas antes que o volume termine. No [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor) ela itera: $n$ [derivadas](#def-b1-derivative-def) num ponto se comprimem num [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) mais um erro controlado, e o teorema do valor médio se torna o resto de Lagrange. No [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves), a derivação se torna geométrica: para uma curva parametrizada $t \mapsto (x(t), y(t))$, o par $(x'(t), y'(t))$ é um *vetor* velocidade, a tangência se torna colinearidade, e os pontos críticos se tornam cúspides a classificar. No [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), uma variável é congelada de cada vez: as [derivadas](#def-b1-derivative-def) parciais repetem este capítulo duas vezes, e a reta tangente cresce num plano tangente. Os três capítulos herdam a mesma gramática — aproximação linear local mais um termo de erro — falada aqui pela primeira vez. ## 14.4 Exercícios **Exercício 14.1 ★.** Derive (especificando os domínios): $x^x$; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$; $\;\arctan\frac{1}{x}$; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$. **Solução de Exercício 14.1.** $x^x = \eu^{x\ln x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$: [derivada](#def-b1-derivative-def) $(\ln x + 1)\,x^x$. $\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ em $\R$ (o argumento é sempre $> 0$): [derivada](#def-b1-derivative-def) $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculada na [Proposição 4.21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-invhyp) — é $\operatorname{arsinh}$). $\arctan\frac1x$ em $\R^*$: [derivada](#def-b1-derivative-def) $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (coerente com a [Proposição 4.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-arcidentities) (2): a função é $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ em cada semirreta). $\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ em $\R$: [derivada](#def-b1-derivative-def) $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$. **Exercício 14.2 ★.** Complete o [Exemplo 14.2](#ex-b1-derivative-notc1): demonstre que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$, $f(0) = 0$, é [derivável](#def-b1-derivative-def) em $0$ com $f'(0) = 0$, e que $f'$ não tem limite em $0$. **Solução de Exercício 14.2.** Em $0$: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$, de modo que $f'(0) = 0$. Para $x \neq 0$, as regras usuais dão $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$. Ao longo de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$: $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$; ao longo de $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$: $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$. Duas sequências que tendem a $0$ com limites diferentes de $f'$: não há limite ([Teorema 13.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-seqchar)), de modo que $f'$ não é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $0$ e $f$ é [derivável](#def-b1-derivative-def) sem ser $C^1$. **Exercício 14.3 ★.** Usando o teorema do valor médio ou as desigualdades de tangente, demonstre que, para todo $x > 0$: $$ \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x . $$ Deduza que $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ para todo $x > 0$. **Solução de Exercício 14.3.** $\ln(1+x) < x$ para $x > 0$: desigualdade de tangente por concavidade em $0$ (estrita fora do ponto de contato, pois $\ln$ é estritamente côncava; ou aplique o teorema do valor médio: $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ para algum $c \in \intoo{0}{x}$, e $\frac{x}{1+c} < x$). A mesma identidade do valor médio dá a estimativa inferior: $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$. Consequência: com $x/n$ no lugar de $x$, $$ \frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x . $$ O membro da esquerda tende a $x$: pelo confronto, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$, e, pela [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) de $\exp$, $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$. **Exercício 14.4 ★.** Seja $P$ um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) real com $k$ raízes reais distintas. Demonstre que $P'$ tem pelo menos $k - 1$ raízes reais distintas, intercaladas com as de $P$. Deduza que, se $P$ tem todas as raízes reais, então $P'$ também tem. **Solução de Exercício 14.4.** Sejam $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ raízes distintas de $P$. Em cada $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$, Rolle ([Teorema 14.8](#thm-b1-derivative-rolle)) produz $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ com $P'(c_i) = 0$: são $k - 1$ raízes de $P'$, distintas porque os [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [abertos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) são disjuntos — e intercaladas por construção. Se $P$ (de grau $n$) tem todas as raízes reais, escreva-as com [multiplicidades](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-derivative) $m_1 + \dots + m_k = n$. Cada raiz de [multiplicidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-derivative) $m_i \geq 2$ é raiz de $P'$ de [multiplicidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-derivative) $m_i - 1$ ([Proposição 8.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity)), contribuindo com $\sum (m_i - 1) = n - k$; Rolle contribui com mais $k - 1$, todas distintas dessas. Total $\geq n - 1 = \deg P'$: todas as raízes de $P'$ são reais. **Exercício 14.5 ★★.** Seja $f$ [derivável](#def-b1-derivative-def) em $\R$ com $f' (x)\to \ell$ quando $x \to +\infty$. Demonstre que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ *(teorema do valor médio em $\intcc{A}{x}$)*. E $f(x+1) - f(x) \to \ell$, também vale? **Solução de Exercício 14.5.** Fixe $\varepsilon > 0$ e $A$ com $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ para $t \geq A$. Para $x > A$, o teorema do valor médio em $\intcc{A}{x}$ dá $c \in \intoo{A}{x}$ com $$ f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{logo}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon . $$ Para $x$ grande, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$: portanto, $\frac{f(x)}{x} \to \ell$. Sim: $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ com $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ (teorema do valor médio em $\intcc{x}{x+1}$), e $c_x \to +\infty$, de modo que $f(x+1) - f(x) \to \ell$. **Exercício 14.6 ★★.** (Um Rolle discreto) Seja $f$ $n$ vezes [derivável](#def-b1-derivative-def) em $I$ e que se anule em $n + 1$ pontos distintos. Demonstre que $f^{(n)}$ se anula ao menos uma vez. Aplicação: um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ que se anula em $n+1$ pontos é nulo (de novo). **Solução de Exercício 14.6.** Indução em $n$. Para $n = 1$: Rolle. Se a afirmação vale para $n - 1$: $f$ se anula em $n+1$ pontos, de modo que, por Rolle aplicado nos $n$ [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), $f'$ se anula em $n$ pontos distintos; a hipótese de indução aplicada a $f'$ ($n-1$ vezes [derivável](#def-b1-derivative-def), com $n$ zeros) faz $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ se anular em algum ponto. Aplicação: se $P$ de grau $\leq n$ se anula em $n+1$ pontos, então $P^{(n)}$, uma constante igual a $n!$ vezes o coeficiente líder, se anula: o coeficiente líder é $0$, e conclui-se por indução descendente (ou diretamente: todos os coeficientes se anulam). **Exercício 14.7 ★★.** Seja $f$ duas vezes [derivável](#def-b1-derivative-def) em $\intcc{a}{b}$ com $f(a) = f(b) = 0$ e $f(x_0) > 0$ para algum $x_0$ [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure). Demonstre que $f''(c) < 0$ para algum $c \in \intoo{a}{b}$. *(Dois teoremas do valor médio e uma comparação de inclinações.)* **Solução de Exercício 14.7.** Pelo teorema do valor médio em $\intcc{a}{x_0}$ e em $\intcc{x_0}{b}$: $$ f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0, $$ com $c_1 < x_0 < c_2$. Então o teorema do valor médio aplicado a $f'$ em $\intcc{c_1}{c_2}$ dá $c$ com $$ f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere $$ **Exercício 14.8 ★★.** Estude a função $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ em $\intoo{0}{+\infty}$: variações, limites, máximo. Deduza que $a^b > b^a$ para todos os reais $\eu \leq a < b$, e resolva o famoso caso particular: qual é maior, $\eu^\pi$ ou $\pi^\eu$? Confira contra os pares de inteiros pequenos $(2,3)$ e $(2,4)$: por que eles se comportam de modo diferente? **Solução de Exercício 14.8.** $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$: $f$ cresce em $\intoc{0}{\eu}$, decresce em $\intco{\eu}{+\infty}$, com máximo $f(\eu) = \frac1\eu$; limites $-\infty$ em $0^+$ e $0$ em $+\infty$ ([comparação de crescimentos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-powerrules)). Para $\eu \leq a < b$: $f$ estritamente decrescente ali dá $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$, isto é, $b \ln a > a \ln b$, ou seja, $a^b > b^a$. Com $a = \eu < b = \pi$: $\eu^\pi > \pi^\eu$. Pares pequenos: $(2, 3)$: $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — invertido! A razão: $2 < \eu$, e em $\intoo{0}{\eu}$ a função $f$ é *crescente*, de modo que a comparação se inverte quando os dois números ficam abaixo de $\eu$, e é imprevisível quando eles cercam $\eu$ ($f(2) = f(4)$ explica o empate $2^4 = 4^2 = 16$). **Exercício 14.9 ★★.** (Desigualdade aritmético-geométrica) Usando a concavidade de $\ln$ com pesos gerais (a desigualdade de Jensen para $n$ pontos, a ser demonstrada por indução em $n$), mostre que, para reais positivos $a_1, \dots, a_n$: $$ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n}, $$ com igualdade se, e somente se, todos os $a_i$ forem iguais. **Solução de Exercício 14.9.** *Jensen para $\ln$, por indução em $n$.* Afirmação: para $x_i$ positivos e pesos $\lambda_i > 0$ com $\sum \lambda_i = 1$: $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$. Para $n = 2$ isso é a concavidade. Passo: com $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ e $y = \sum_{i 0$. Pelo teorema de Weierstrass, $g$ atinge o seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ em algum $c$. Não é em $a$: como $g'(a) < 0$, pontos logo à direita de $a$ têm $g < g(a)$. Não é em $b$: como $g'(b) > 0$, pontos logo à esquerda de $b$ têm $g < g(b)$. Logo, $c$ é [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure), e a [Proposição 14.7](#prop-b1-derivative-fermat) dá $g'(c) = 0$, isto é, $f'(c) = v$. **Exercício 14.11 ★★★.** Seja $f \colon \R \to \R$ [derivável](#def-b1-derivative-def) com $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ para todo $x$ (uma *contração*). Demonstre que $f$ tem exatamente um ponto fixo $\ell$ e que toda sequência $u_{n+1} = f(u_n)$ converge para $\ell$, com $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$. *(Existência: aplique o teorema do valor intermediário a $f(x) - x$ num segmento grande, usando a estimativa de Lipschitz; ou use a completude com o critério de Cauchy.)* **Solução de Exercício 14.11.** *Unicidade:* dois pontos fixos $\ell \neq \ell'$ dariam $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$, absurdo. *Existência:* $g(x) = f(x) - x$ satisfaz, pela desigualdade do valor médio, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$; de modo que, para $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$, $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ e, simetricamente, $g(-x) \geq 0$ para $x$ grande. O teorema do valor intermediário dá um zero $\ell$ de $g$: um ponto fixo. *Convergência:* de novo a desigualdade do valor médio: $$ \abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell}, $$ de modo que, por indução, $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$. **Exercício 14.12 ★★★.** (Teorema do valor médio de Cauchy e regra de l’Hôpital) 1. Sejam $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$, deriváveis em $\intoo{a}{b}$, com $g'$ nunca nula ali. Demonstre que $g(b) \neq g(a)$ e que algum $c \in \intoo{a}{b}$ satisfaz $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$ *(aplique Rolle a $h = f - \lambda g$ para a constante $\lambda$ certa)*. 2. Deduza a regra de l’Hôpital na forma $\frac00$ num ponto: se $f(a) = g(a) = 0$ e $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ quando $x \to a^+$ , então $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ . 3. Mostre que a recíproca falha: para $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) e $g(x) = x$ , o quociente $\frac{f}{g}$ tem limite em $0$ , mas $\frac{f'}{g'}$ não tem. **Solução de Exercício 14.12.** 1. Se $g(b) = g(a)$ , Rolle daria um zero [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) de $g'$ : excluído. Ponha $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ e $h = f - \lambda g$ : $h$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$ , [derivável](#def-b1-derivative-def) no [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) , e $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . Rolle fornece $c$ com $h'(c) = 0$ , isto é, $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; divida por $g'(c) \neq 0$ . 2. Para $x > a$ próximo de $a$, a parte (1) em $\intcc{a}{x}$ (em que $g' \neq 0$) dá $g(x) \neq 0$ e $c_x \in \intoo{a}{x}$ com $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$$ Quando $x \to a^+$, $c_x \to a^+$ (confronto), de modo que o lado direito tende a $\ell$: $\frac{f}{g} \to \ell$. 3. $\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , ao passo que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ não tem limite em $0$ ( [Exercício 14.2](#exo-b1-derivative-2) ): a regra de l’Hôpital transfere informação apenas de $\frac{f'}{g'}$ para $\frac fg$ , nunca de volta. ## 14.5 Problema: A desigualdade de Liouville e o primeiro número transcendente **Problema 14.1.** Problema de fim de semana — os [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) repelem os racionais: $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$, e a transcendência de $\sum 10^{-n!}$ Um número real é *algébrico* quando é raiz de um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo com coeficientes inteiros, e *transcendente* caso contrário. Em 1844, Liouville produziu o primeiro número jamais *demonstrado* transcendente, e o motor da sua demonstração é o teorema do valor médio deste capítulo: um [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) de grau $d$ não pode ser aproximado por racionais melhor do que $C/q^d$ — de modo que um número aproximável *mais depressa que qualquer potência* não pode ser algébrico. Este problema constrói a desigualdade, constrói o número de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (uns nas posições fatoriais, via a maquinaria de algarismos do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1)), demonstra a sua transcendência e termina com a demonstração rival de Cantor e com estimativas efetivas para $\sqrt2$ e $2^{1/3}$. **Parte I — Quão bem os racionais podem ser aproximados?** 1. Mostre que dois racionais distintos $\frac ab \neq \frac pq$ (escritos com $b, q \geq 1$ ) satisfazem $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . Deduza: se $x = \frac ab$ e $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , então $\frac pq$ algum assim existe — um racional repele todos os outros racionais na escala $\frac 1q$ . 2. Demonstre que, para *todo* racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ *(se a distância excede $1$, isso é claro; caso contrário, estime $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ e use o inteiro não nulo $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$)* . 3. Na outra direção: verifique que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ preserva $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$, gere a partir de $(1,1)$ os pares $(3,2)$, $(7,5)$, $(17,12)$, $(41,29)$, $(99,70)$, e mostre que cada um satisfaz $$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$$ infinitas aproximações de ordem $2$. Com a questão 2: o expoente de aproximação de $\sqrt 2$ é *exatamente* $2$. 4. (Dirichlet) Seja $x$ irracional e $N \in \N^*$ . Considere as $N + 1$ partes fracionárias de $0, x, 2x, \dots, Nx$ nas $N$ casas $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : pelo princípio da casa dos pombos ( [Corolário 2.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#cor-b1-counting-pigeonhole) ), duas caem numa mesma casa. Deduza a existência de $q \leq N$ e de $p$ com $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , e portanto de infinitos racionais com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : *todo* irracional é aproximável na ordem $2$ . **Parte II — A desigualdade de Liouville.** Seja $x$ irracional e algébrico. 1. Mostre que, entre os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) inteiros não nulos que se anulam em $x$ , existe um, digamos $P$ de grau $d$ , *sem raiz racional* ; e verifique que $d \geq 2$ *(divida por um fator $X - \frac ab$ sobre $\Q$ e elimine denominadores; grau $1$ tornaria $x$ racional)* . 2. Mostre que, para todo racional $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ): $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ *($q^d P(p/q)$ é um inteiro não nulo)* . 3. Seja $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ ([Teorema 13.13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-evt)). Usando o teorema do valor médio entre $x$ e $\frac pq$, demonstre a *desigualdade de Liouville*: com $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$, $$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{para todo racional} \frac pq,\ q \geq 1 .$$ 4. Chame $x$ de *número de Liouville* quando, para todo $n \in \N$ , existir um racional $\frac pq$ com $q \geq 2$ e $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . Demonstre que um número de Liouville é irracional *(questão 1: escolha $n$ com $2^{\,n-1} > b$)* . 5. Demonstre o teorema de Liouville: *um número de Liouville é transcendente* *(combine as questões 7 e 8: a desigualdade $C < q^{\,d-n}$ falha para $n$ grande)* . **Parte III — O número $L$.** 1. Seja $L$ o valor (no sentido do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) ) da cadeia decimal de algarismos com algarismo $1$ nas posições $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) e $0$ nas demais, isto é, $L = \sup_k t_k$ com $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Escreva os $25$ primeiros algarismos de $L$ . 2. Demonstre o enquadramento da cauda, para todo $k \geq 1$: $$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$$ *(estime toda soma parcial além de $t_k$ por uma soma geométrica finita)*. 3. Escreva $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ com $q_k = 10^{k!}$ . Mostre que $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ e conclua que $L$ é um número de Liouville no sentido da questão 8. 4. Conclua: $L$ é transcendente — o primeiro exemplo explícito da história (Liouville, 1844). Verifique diretamente a sua irracionalidade: os seus algarismos não são periódicos a partir de ponto algum (espaçamentos crescentes, como no [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) , questão 20). 5. Generalize: substitua cada algarismo $1$ por um algarismo não nulo arbitrário $d_n \in \intint{1}{9}$ . Mostre que o valor ainda é um número de Liouville e deduza — pelo argumento diagonal do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 22), aplicado a essas escolhas de algarismos — que existe uma quantidade não enumerável de [números transcendentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) dessa forma. **Parte IV — A hierarquia das ordens de aproximação.** Diga que $x$ é *aproximável na ordem $\mu$* quando, para alguma constante $c > 0$, infinitos racionais satisfazem $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$. 1. Monte a hierarquia a partir das Partes I–III: os racionais são aproximáveis na ordem $1$ e não melhor; $\sqrt 2$ na ordem $2$ e não melhor; todo irracional em ordem pelo menos $2$ ; um [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) de grau $d$ em ordem alguma além de $d$ ; os números de Liouville em toda ordem. Justifique cada afirmação citando a questão pertinente. 2. Mostre que $L + r$ é um número de Liouville para todo racional $r = \frac ab$ *(translade os aproximantes: os novos denominadores são $b\,q_k$)* . Conclua que os números de Liouville — logo, os transcendentes — são [densos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R$ . 3. (Cantor, 1874) Demonstre que o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) é enumerável: há finitos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) inteiros com grau mais soma dos $\abs{\text{coeficientes}}$ limitados por $h$ , cada um com no máximo $\deg$ raízes; e uma união enumerável de [conjuntos finitos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) é enumerável. Como sequência alguma esgota $\R$ ( [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) , questão 22), existem [números transcendentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) — de fato, eles formam um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não enumerável. Compare as duas demonstrações: o que a de Liouville dá que a de Cantor não pode dar? 4. Demonstre diretamente, a partir da questão 2, que $\sqrt 2$ *não* é um número de Liouville *(para $n \geq 3$, a desigualdade $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ limita $q$; restam então apenas finitos racionais candidatos, todos a distância positiva de $\sqrt2$)* . Generalize: nenhum [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) é de Liouville. **Parte V — Constantes efetivas.** 1. Para o par de Pell $(99, 70)$: verifique que $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ e avalie o erro exato $$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$$ cinco algarismos corretos a partir de uma fração de três algarismos. 2. Execute a Parte II em $x = 2^{1/3}$, $P = X^3 - 2$: verifique que $P$ não tem raiz racional, estime $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ e conclua a desigualdade efetiva $$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{para todos} \frac pq .$$ 3. Recompensa: mostre que todo racional que aproxime $2^{1/3}$ a menos de $10^{-6}$ deve ter denominador $q \geq 40$ . 4. Mostre que a base $10$ é irrelevante: o análogo binário $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valor da cadeia binária com uns nas posições fatoriais) também é um número de Liouville, logo transcendente. **Parte VI — [Fronteiras](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) e síntese.** 1. Seja $x^\dagger$ o valor da cadeia decimal com uns exatamente nas posições $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Mostre que $x^\dagger$ é aproximável na ordem $3$ e deduza, da desigualdade de Liouville, que $x^\dagger$ não é racional nem um irracional quadrático. Explique por que o método empaca aí: ordem $3$ é compatível com algebricidade de grau $\geq 3$ , e fechar essa lacuna (qualquer expoente $> 2$ basta, para todo [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) ) é o teorema de Roth, muito além deste volume. 2. Quantifique Cantor: mostre que os [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) de grau $\leq d$ dados por [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) com coeficientes em $\intint{-H}{H}$ são no máximo $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (Essa finitude é o que fez a questão 17 funcionar.) 3. Síntese, uma frase para cada: (i) localize o único ingrediente analítico da demonstração de Liouville (qual teorema deste capítulo, usado onde); (ii) enuncie a tensão que a alimenta (a integralidade força $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , e a suavidade proíbe $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ); (iii) contraste as demonstrações de Liouville e de Cantor da existência de [números transcendentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) ; (iv) nomeie onde este volume reencontra o tema — o problema de fim de semana do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration) demonstra que $\pi$ é irracional pelo mesmo confronto entre integralidade e pequenez, com integrais no lugar de [derivadas](#def-b1-derivative-def) . **Solução de Problema 14.1.** **1.** $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$, e $aq - bp$ é um inteiro não nulo quando as frações diferem: a distância é $\geq \frac{1}{bq}$. Assim, nenhum racional além do próprio $x$ entra no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) perfurado de raio $\frac{1}{bq}$ em torno de $x = \frac ab$. **2.** Se $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$, pronto. Caso contrário, $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$, de modo que $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$. Como $\sqrt 2 \notin \Q$, $p^2 - 2q^2$ é um inteiro não nulo, e $$ \Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} . $$ **3.** $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$: o valor $\pm1$ se propaga. A partir de $(1,1)$: $$ (3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70), $$ com $p^2 - 2q^2$ alternando $-1, +1, \dots$ Para esses, $\frac pq \geq 1$, de modo que $\sqrt2 + \frac pq > 2$ e $$ \Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} , $$ com $q \to \infty$: infinitas aproximações de ordem $2$. Com a questão 2, o expoente $2$ é exato para $\sqrt 2$. **4.** Os $N + 1$ números $kx - \lfloor kx\rfloor$ ($0 \leq k \leq N$) ficam nas $N$ casas $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$: dois partilham uma casa ([Corolário 2.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#cor-b1-counting-pigeonhole)), digamos para $i < j$. Com $q = j - i \leq N$ e $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$: $\abs{qx - p} < \frac1N$, de modo que $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$. Fazendo $N \to \infty$: como $x$ é irracional, cada fração fixada está a distância positiva de $x$, ao passo que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ força novas frações a aparecer: infinitos $\frac pq$ distintos com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$. **5.** Parta de um inteiro não nulo $P_0$ qualquer com $P_0(x) = 0$. Se $P_0$ tem uma raiz racional $\frac ab$, o teorema do fator ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)) escreve $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ com $Q \in \Q[X]$; como $x \neq \frac ab$ ($x$ irracional), $Q(x) = 0$ e, eliminando denominadores, obtém-se um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) *inteiro* não nulo de grau menor que se anula em $x$. O grau cai a cada passo, de modo que o processo para: chegamos a $P \in \Z[X]$, $P(x) = 0$, sem raiz racional, de certo grau $d$. Se $d \leq 1$, $P = uX + v$ faria de $x = -\frac vu$ um racional: logo, $d \geq 2$. **6.** $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ é um inteiro, e é não nulo, pois $P$ não tem raiz racional: $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$. **7.** Note que $M > 0$: $P'$ é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo ($d \geq 2$), de modo que não pode se anular identicamente em $\intcc{x-1}{x+1}$. Se $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$, então ele excede $\frac{C}{q^d}$ trivialmente. Caso contrário, $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$, e o teorema do valor médio ([Teorema 14.9](#thm-b1-derivative-mvt)) dá $c$ entre $x$ e $\frac pq$ com $$ \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| , $$ de modo que, com a questão 6: $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$. **8.** Suponha que $x = \frac ab$ seja de Liouville. Tome $n$ com $2^{n-1} > b$ e o correspondente $\frac pq$, com $q \geq 2$: $$ 0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} , $$ contradizendo a questão 1. Logo, os números de Liouville são irracionais. **9.** Se um $x$ de Liouville fosse algébrico: ele é irracional (questão 8), de modo que as questões 5–7 fornecem $d \geq 2$ e $C > 0$ com $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ sempre. Para cada $n$, o aproximante de Liouville dá $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$, isto é, $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (pois $q \geq 2$). Para $n$ grande, $2^{d-n} < C$: contradição. Os números de Liouville são transcendentes. **10.** Uns nas posições $1, 2, 6, 24$; todos os demais algarismos entre os $25$ primeiros se anulam: $$ L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots $$ **11.** Para $m > k$, as posições $n!$ com $n > k$ são inteiros distintos $\geq (k+1)!$, de modo que a soma geométrica finita dá $$ t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ; $$ tomando o [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) em $m$: $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$. Estimativa inferior: $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$. **12.** $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$, $q_k = 10^{k!}$, e $(k+1)! = (k+1)\,k!$ dá $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$: a questão 11 diz que $$ 0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} . $$ Dado $n$: para $k \geq n$, $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (com efeito, $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$), e $q_k \geq 2$: a definição da questão 8 está satisfeita. $L$ é um número de Liouville. **13.** Pela questão 9, $L$ é transcendente — o primeiro número da história demonstrado transcendente (Liouville, 1844). Verificação pelos algarismos: a cadeia tem infinitos uns com espaçamentos consecutivos $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$, de modo que ela não é periódica a partir de ponto algum, e $L \notin \Q$ pelo critério de periodicidade do [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 18) — coerente. **14.** Com algarismos $d_n \in \intint{1}{9}$ nas posições fatoriais: a estimativa da cauda da questão 11 é multiplicada no máximo por $9$: $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (a positividade vem de o algarismo na posição $(k+1)!$ ser não nulo). Para $k \geq n$: $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$, pois $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$: de novo um número de Liouville, logo transcendente. Esses valores são dois a dois distintos para escolhas distintas de algarismos (as cadeias são próprias — há zeros em abundância — e cadeias próprias determinam o seu valor, [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1), questão 10). Dada qualquer lista $k \mapsto x_k$ deles, escolha o $k$-ésimo algarismo fatorial em $\intint{1}{9}$ diferente do de $x_k$: um número da mesma forma que falta na lista. Uma quantidade não enumerável de transcendentes explícitos. **15.** Primeiro um lema: *se $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ para todo $\frac pq \neq x$, então $x$ não é aproximável em ordem $\mu > s$ alguma.* Com efeito, infinitos $\frac pq \neq x$ com $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forçariam $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$, isto é, $q^{\mu - s} < \frac cC$: os $q$ ficam limitados, e há uma quantidade limitada de frações a distância $1$ de $x$ — finitos candidatos, não infinitos. Agora a hierarquia: os racionais são aproximáveis na ordem $1$ ($\frac pq$ com $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ dá erro $\leq \frac1q < \frac2q$) e em ordem $\mu > 1$ alguma (a questão 1 dá a hipótese do lema com $s = 1$, $C = \frac1b$); $\sqrt2$: ordem $2$ (questão 3) e não mais (questão 2 e o lema); todo irracional: ao menos $2$ (questão 4); algébrico de grau $d$: no máximo $d$ (questão 7 e o lema); números de Liouville: toda ordem (a expressão da questão 12, com $c = 2$). **16.** Com $r = \frac ab$: $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$, $Q_k = b q_k \geq 2$, e $$ \Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} . $$ Dado $n$: para $k$ grande, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (o fatorial esmaga a potência), de modo que o erro é $< Q_k^{-n}$: $L + r$ é de Liouville. Como $\Q$ é [denso](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) e cada $L + r$ é transcendente, os [números transcendentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) são [densos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-dense) em $\R$. **17.** Para $h \geq 1$ há finitos $P \in \Z[X]$ com $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (grau $\leq h$ e cada coeficiente em $\intint{-h}{h}$: no máximo $(2h+1)^{h+1}$). Todo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) inteiro não nulo tem uma tal altura e tem no máximo $\deg P$ raízes reais: os [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) formam uma união enumerável (em $h$) de [conjuntos finitos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) e, portanto, podem ser listados como uma única sequência. Se os transcendentes também pudessem ser listados, intercalar as duas listas listaria $\R$, contradizendo o [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#pb-b1-reals-1) (questão 22). Assim, os [números transcendentes](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) formam um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) não enumerável. Comparação: Cantor demonstra que *quase todos* os reais são transcendentes sem exibir nenhum; Liouville exibe um, com constantes efetivas (Parte V) — existência por abundância contra existência por construção. **18.** Pela questão 2, a hipótese do lema vale com $s = 2$, $C = \frac14$. Se $\sqrt2$ fosse de Liouville, então, para $n = 3$: $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ forçaria $q < 4$, de modo que $q \in \{2, 3\}$; apenas finitos $\frac pq$ com esses $q$ ficam a menos de $1$ de $\sqrt2$, cada um a alguma distância positiva $\geq \varepsilon_0$ ($\sqrt2$ irracional); escolher $n$ com $2^{-n} < \varepsilon_0$ não deixa $\frac pq$ admissível algum: contradição. O mesmo argumento com $\frac{C}{q^d}$ mostra que nenhum [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) é de Liouville — a questão 9 em roupagem efetiva. **19.** $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$. Portanto, $$ \sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} : $$ $\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ contra $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinco algarismos corretos. **20.** Teste da raiz racional para $P = X^3 - 2$: candidatos $\pm1, \pm2, \pm\frac12$, nenhum deles raiz. Logo, $d = 3$, e a Parte II se aplica a $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ Em $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$: $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$, de modo que $M < 16$ e $C \geq \frac{1}{16}$: $$ \Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{para todos os racionais.} $$ **21.** Se $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$, então $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$, isto é, $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$; como $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$: $q \geq 40$. **22.** Execute a Parte III na base $2$: $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$, $q_k = 2^{k!}$, e a cauda geométrica (razão $\frac12$) dá $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ para $k \geq n$. Assim, $B$ é de Liouville, logo transcendente: nada no argumento é decimal. **23.** Com uns nas posições $3^k$: $q_k = 10^{3^k}$ e a estimativa da cauda dá $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (pois $3^{k+1} = 3\cdot3^k$): infinitas aproximações de ordem $3$. Pelo lema da questão 15: ordem $3 > 1$ exclui a racionalidade, e ordem $3 > 2$ exclui ser um irracional quadrático (cuja desigualdade de Liouville tem $s = d = 2$). Mas um [número algébrico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) de grau $\geq 3$ só é repelido em ordem $d \geq 3$: o método de Liouville não consegue separar $x^\dagger$ dos cúbicos. A lacuna é [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) pelo teorema de Roth — todo irracional algébrico tem ordem de aproximação exatamente $2$ — um resultado do século XX muito além deste volume; admitido ele, $x^\dagger$ também é transcendente. **24.** Há no máximo $(2H+1)^{d+1}$ uplas $(a_0, \dots, a_d)$ com entradas em $\intint{-H}{H}$, e cada [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo entre elas tem no máximo $d$ raízes reais: surgem no máximo $d\,(2H+1)^{d+1}$ [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1) — a finitude que permitiu à questão 17 enumerá-los todos. **25.** (i) O único ingrediente analítico é o teorema do valor médio, na questão 7, convertendo o anulamento $P(x) = 0$ na repulsão lipschitziana $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$. (ii) A tensão: a integralidade empurra $\abs{P(p/q)}$ para cima até $q^{-d}$, e a suavidade a puxa para baixo até $M\abs{x - p/q}$ — um racional próximo demais de $x$ seria esmagado entre as duas. (iii) Liouville constrói um transcendente com constantes efetivas; Cantor mostra que quase todos os reais são transcendentes sem nomear nenhum: construção contra [cardinalidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card). (iv) O problema de fim de semana do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration) demonstra a irracionalidade de $\pi$ pelo mesmo confronto — uma integral que seria um inteiro positivo e, no entanto, fica presa em $\intoo{0}{1}$ — com a integração substituindo a derivação como metade analítica.