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title: "Integração num Segmento"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento
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# Capítulo 15 — Integração num Segmento

A [integral](#thm-b1-integration-def) do volume do ensino médio foi fundada em áreas tomadas intuitivamente. Este capítulo a constrói: primeiro para [funções escada](#def-b1-integration-step), em que a [integral](#thm-b1-integration-def) é uma soma finita, e depois para funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) (e [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) por partes) por aproximação uniforme — o lugar em que o teorema de Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-heine)) ganha o seu sustento. O teorema fundamental do cálculo conecta então a construção às primitivas, e as [somas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) a conectam às médias discretas.

Ao longo do capítulo, $a < b$ são reais.

## 15.1 Funções escada

**Definição 15.1.**

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ é uma *função escada* quando existe uma subdivisão $a = x_0
< x_1 < \dots < x_n = b$ tal que $\varphi$ é constante, igual a $c_i$, em cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) [aberto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (os valores nos nós não são restritos). A sua [integral](#thm-b1-integration-def) é

$$
\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),
$$

independente da subdivisão escolhida (refine duas subdivisões pela sua comum: cada lado fica inalterado por refinamento).

**Proposição 15.2.**

Nas [funções escada](#def-b1-integration-step), a [integral](#thm-b1-integration-def) é linear, crescente ($\varphi \leq
\psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$) e satisfaz a relação de Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ para $a < c < b$.

**Demonstração.** O motor é a *invariância por refinamento*, enunciada na definição: inserir um nó extra $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ numa subdivisão substitui o termo $c_i(x_i - x_{i-1})$ por $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ — o mesmo número — de modo que a [integral](#thm-b1-integration-def) não muda por refinamento finito algum. Tome agora $\varphi$ com subdivisão $\sigma$ e $\psi$ com subdivisão $\sigma'$: no refinamento comum $\sigma \cup \sigma'$, as duas são [funções escada](#def-b1-integration-step) com os *mesmos* nós e, em cada peça, $\varphi + \lambda\psi$ é constante igual a $c_i + \lambda
d_i$: a linearidade se reduz à linearidade de somas finitas. Crescimento: $c_i \leq d_i$ em cada peça dá $\sum c_i \Delta_i \leq \sum
d_i \Delta_i$ (comprimentos $\Delta_i \geq 0$). Chasles: insira o nó $c$ e separe a soma nele. ∎

## 15.2 Integral de uma função contínua

**Teorema 15.3 (Aproximação uniforme).**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$. Para todo $\varepsilon > 0$ existem [funções escada](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ com

$$
\varphi \leq f \leq \psi
\qquad\text{e}\qquad
\psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ em} \intcc{a}{b}.
$$

**Demonstração.** Pelo teorema de Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-heine)), $f$ é [uniformemente contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-uniform): tome $\delta$ para $\varepsilon$ e uma subdivisão de malha $< \delta$ (igualmente espaçada, digamos, com $n > \frac{b -
a}{\delta}$ peças). Em cada peça [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$, $f$ atinge um mínimo $m_i$ e um máximo $M_i$ ([Teorema 13.13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-evt)), e $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (os dois pontos extremais estão a menos de $\delta$). Defina $\varphi = m_i$ e $\psi = M_i$ em $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (e $\varphi = \psi = f$ nos nós). ∎

**Teorema 15.4 (Definição da integral).**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$. Os dois números

$$
I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ escada},\
\varphi \leq f\Bigr\},
\qquad
I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ escada},\ \psi \geq
f\Bigr\}
$$

são iguais; o seu valor comum é a *integral* $\int_a^b f$ (também escrita $\int_a^b
f(t)\,\dd t$). Ele coincide com a noção anterior nas [funções escada](#def-b1-integration-step) e se estende às funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) por partes, separando $\intcc{a}{b}$ nas descontinuidades (Chasles como definição ali).

**Demonstração.** Os dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) são não vazios ($f$ é limitada) e toda [integral](#thm-b1-integration-def) escada inferior é $\leq$ toda superior (monotonicidade nas [funções escada](#def-b1-integration-step)): assim, $I_-(f) \leq I_+(f)$. Pelo [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx), para todo $\varepsilon$ existe um par com $\int\psi - \int\varphi \leq
\varepsilon(b - a)$: o [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) e o [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) ficam comprimidos, $I_- =
I_+$. ∎

**Exemplo 15.5 (Contínua por partes, sem drama).**

A função [parte inteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#thm-b1-reals-floor) em $\intcc{0}{3}$ é uma [função escada](#def-b1-integration-step) disfarçada: separando nos seus saltos,

$$
\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t
= \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,
$$

e os valores *nos* pontos de salto $1, 2$ são irrelevantes: mudar uma função em finitos pontos não muda [integral](#thm-b1-integration-def) alguma (as [funções escada](#def-b1-integration-step) que a enquadram não são afetadas). É todo o conteúdo da extensão a “[contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) por partes”: corte nas finitas descontinuidades, integre cada peça [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) e some — Chasles como definição.

**Exemplo 15.6 (A definição calcula, uma vez).**

Seja $f(x) = x$ em $\intcc{0}{1}$ e corte em $n$ peças iguais. As melhores [funções escada](#def-b1-integration-step) constantes nas peças são $\varphi =
\frac{k-1}{n}$ e $\psi = \frac kn$ na $k$-ésima peça, com

$$
\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n-1}{2n},
\qquad
\int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n+1}{2n} .
$$

Toda [integral](#thm-b1-integration-def) inferior é $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ toda superior, de modo que $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq
\frac{n+1}{2n}$ para todo $n$: as duas se comprimem sobre $\frac12$, e $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ sai direto da definição. A ideia de fechamento: esta é a primeira e a última vez que integramos pela definição — o teorema fundamental, abaixo, substitui todos esses cálculos por uma consulta de primitiva, o que é todo o ponto econômico deste capítulo.

**Teorema 15.7 (Propriedades).**

Para $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) (ou [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) por partes) em $\intcc{a}{b}$ e $\lambda \in \R$:

1. linearidade: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
2. monotonicidade: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; e $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b -  a)\, \sup\abs f$ ;
3. Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (com a convenção $\int_b^a = -\int_a^b$ , válida para qualquer ordem dos limites);
4. positividade estrita: se $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) , $f \geq 0$ e $\int_a^b f = 0$ , então $f = 0$ em toda parte em $\intcc{a}{b}$ .

**Demonstração.** (1)–(3) passam das [funções escada](#def-b1-integration-step) ao limite pela definição por sup/inf. A linearidade merece os detalhes uma vez: dado $\varepsilon > 0$, enquadre $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ e $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ com folgas $\leq \varepsilon$ ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)). Para $\lambda \geq 0$, $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f +
\lambda\psi_g$ é um enquadramento por [funções escada](#def-b1-integration-step) de folga $\leq
(1 + \lambda)\varepsilon$, e as suas integrais escada valem $\int
\varphi_f + \lambda\int\varphi_g$, etc. ([Proposição 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)): fazer $\varepsilon \to
0$ comprime $\int(f + \lambda g)$ sobre $\int f + \lambda\int g$. Para $\lambda < 0$, multiplicar por $\lambda$ *inverte* o enquadramento de $g$ — a [função escada](#def-b1-integration-step) inferior de $\lambda g$ é $\lambda \psi_g$ — e a mesma compressão roda com os papéis trocados. A estimativa $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ vem de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ e da monotonicidade.

(4) Contrapositiva: se $f(x_0) = m > 0$, a [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) fornece um subintervalo de comprimento $\eta > 0$ no qual $f \geq \frac m2$; a [função escada](#def-b1-integration-step) que vale $\frac m2$ ali e $0$ no resto é $\leq f$, de modo que $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$. ∎

**Exemplo 15.8 (Chasles em ação: integrais com valores absolutos).**

Para integrar um valor absoluto, corte onde o sinal muda.

$$
\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x
= \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x
= \frac12 + \frac12 = 1 ,
$$

e, cortando $\intcc{0}{2\pi}$ em $\pi$:

$$
\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t
= \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t
= 2 + 2 = 4 ,
$$

ao passo que $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$: o cancelamento é real, e é por isso que o enunciado de positividade estrita ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) carrega a hipótese $f
\geq 0$ — sem ela, uma [integral](#thm-b1-integration-def) nula nada demonstra sobre $f$. A ideia de fechamento: $\int \abs f$ mede *área*, e $\int f$ mede *balanço com sinal*; a desigualdade $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ é o registro exato do que o cancelamento pode destruir.

## 15.3 O teorema fundamental do cálculo

**Teorema 15.9 (Teorema fundamental do cálculo).**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$ e $a \in I$. A função

$$
F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t
$$

é de classe $C^1$ em $I$, com $F' = f$: toda função [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) tem primitivas. Consequentemente, para *qualquer* primitiva $G$ de $f$:

$$
\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .
$$

**Demonstração.** Fixe $x_0 \in I$ e $\varepsilon > 0$; a [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $x_0$ fornece $\delta$ com $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ para $\abs{t -
x_0} \leq \delta$. Para $0 < \abs{h} \leq \delta$ (e $x_0 + h \in
I$), Chasles dá

$$
\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)
= \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,
$$

cujo valor absoluto é $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\,
\varepsilon = \varepsilon$ (estimativa (2), válida para qualquer ordem dos limites). Assim, $F'(x_0) = f(x_0)$; $F' = f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous): $F$ é $C^1$. Se $G' = f$ também, então $(G - F)' = 0$ no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), de modo que $G =
F + c$ ([Corolário 14.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#cor-b1-derivative-monotone)), e $G(b) - G(a) = F(b)
- F(a) = \int_a^b f$. ∎

**Exemplo 15.10 (Simetria antes do cálculo).**

Num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) simétrico, a paridade faz o trabalho: se $f$ é ímpar, a substituição $t \mapsto -t$ leva $\int_{-a}^{0} f$ a $-\int_0^a f$, de modo que

$$
\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ;
\qquad\text{se $f$ é par,}\quad
\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .
$$

Assim, $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ sem primitiva à vista (o integrando é ímpar), e $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\,
\dd t$. Verifique a simetria antes de recorrer a técnicas: a [integral](#thm-b1-integration-def) mais rápida é a que nunca é calculada.

**Exemplo 15.11 (Reconhecendo uma derivada de imediato).**

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$. A identidade do arco metade $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ transforma o integrando em $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac
x2\bigr)$, que é exatamente a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) de $\tan\frac x2$:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}
= \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .
$$

Nenhuma maquinaria de substituição foi necessária — apenas o reflexo de ler um integrando como a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) de alguém, com o teorema fundamental fazendo o resto. (A ferramenta sistemática por trás de tais integrais trigonométricas, a substituição $t = \tan\frac x2$, pertence ao instrumental padrão construído a partir do [Teorema 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2).)

**Exemplo 15.12 (Funções definidas por integrais).**

O teorema fundamental fabrica funções. Seja

$$
F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .
$$

Nenhuma combinação de funções clássicas tem [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) $\eu^{-t^2}$ (um teorema de Liouville, admitido); e, no entanto, $F$ existe, é $C^1$ com $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$, estritamente crescente, ímpar (substitua $t \mapsto -t$) e limitada: para $x \geq 1$,

$$
F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t
\leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,
$$

de modo que $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$. (O limite exato, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, é calculado com integrais duplas no volume do terceiro ano.) Regra da cadeia para limites móveis: $\frac{\dd}{\dd
x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$. A ideia de fechamento: a integração *cria* funções novas a partir de antigas, com todas as suas propriedades legíveis no integrando — a primitiva que você não consegue escrever é ainda uma função que você controla plenamente.

**Exemplo 15.13 (Estimar sem avaliar).**

As integrais $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ não têm forma [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) agradável e, no entanto, a monotonicidade as fixa com precisão: em $\intcc{0}{1}$, $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$, de modo que

$$
\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t
\;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :
$$

a ordem exata de decaimento ($R_n \sim$ um múltiplo de $\frac1n$, de fato $R_n \sim \frac{1}{2n}$) com duas linhas e sem primitiva alguma. Os problemas de fim de semana deste capítulo e do próximo rodam exatamente sobre enquadramentos desses — o primeiro instinto do analista diante de uma [integral](#thm-b1-integration-def) deve ser *estimá-la* e só depois, se necessário, calculá-la.

**Exemplo 15.14 (Valores médios).**

A *média* de uma $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$ é $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Para o arco do seno:

$$
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi}
\approx 0.637 :
$$

um arco positivo completo tem média não $\frac12$, mas $\frac2\pi$ — a curva passa mais tempo alta do que um triângulo passaria. Pelo [Exercício 15.11](#exo-b1-integration-11) (teorema do valor médio para integrais, $g = 1$), a média é um *valor*: $\sin c =
\frac2\pi$ para algum $c \in \intoo{0}{\pi}$. E, pelas [somas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) deste capítulo, a média é o limite de médias comuns de $n$ amostras — a ponte entre a média discreta de dados e a média [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) de um sinal, que é como a [integral](#thm-b1-integration-def) entra na física.

**Teorema 15.15 (Integração por partes; substituição).**

1. Se $u, v$ são $C^1$ em $\intcc{a}{b}$: $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$
2. Se $\varphi$ é $C^1$ em $\intcc{\alpha}{\beta}$ e $f$ é [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$: $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,  \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$

**Demonstração.** (1) $(uv)' = u'v + uv'$; integre em $\intcc{a}{b}$ e aplique o teorema fundamental à função $C^1$ $uv$.

(2) Seja $F$ uma primitiva de $f$ no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) imagem ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)). Então $(F \circ \varphi)' = (f
\circ \varphi)\,\varphi'$ (regra da cadeia), de modo que os dois lados valem $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$. ∎

**Exemplo 15.16.**

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1
\eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. E, com a substituição $x =
\sin t$ ($t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$):

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x
= \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t
= \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,
$$

— um quarto do disco unitário, como a geometria exige. (A linearização do [Método 3.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#met-b1-complex-trig) em ação.)

**Observação 15.17 (Armadilhas frequentes no cálculo integral).**

(i) *As substituições devem ser $C^1$ em todo o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals)*: a mudança $x = \frac1t$ é ilegal atravessando $0$; aplicada às cegas a $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$, ela “demonstra” que a [integral](#thm-b1-integration-def) é igual ao seu próprio oposto. Quando uma substituição tem singularidade, corte antes o [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) (Chasles), substitua em cada peça e só então recombine. (ii) *As primitivas logarítmicas precisam de valores absolutos*: $\int \frac{\dd x}{x - 2} =
\ln\abs{x - 2} + C$ em cada lado de $2$ separadamente — escrever $\ln(x - 2)$ em $\intoo{0}{1}$ é escrever o logaritmo de um número negativo; e a constante $C$ pode diferir nos dois lados da singularidade. (iii) *Uma [integral](#thm-b1-integration-def) nula não mata a função*: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$; a positividade do integrando é exigida antes de concluir que $f = 0$ ([Exemplo 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork)). (iv) *As [somas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) devem ser calibradas*: em $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a +
k\frac{b-a}{n}\bigr)$, o passo fora e os pontos dentro devem corresponder à mesma subdivisão — o erro frequente é uma soma $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *sem* o fator $\frac1n$, que diverge em vez de convergir a $\int_0^1
f$. Lista de verificação antes de invocar o [Teorema 15.20](#thm-b1-integration-riemann): coloque $\frac1n$ em evidência, reescreva a parcela como $f$ de $\frac kn$, nomeie $f$ e verifique a sua [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous).

**Exemplo 15.18 (Adivinhe, derive, ajuste).**

Quanto vale $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$? Adivinhe uma primitiva da forma $t\,P(\ln t)$ com $P$ [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) e derive:

$$
\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .
$$

Precisamos de $P(u) + P'(u) = u^2$: tome $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (igualando coeficientes de cima para baixo a partir de $u^2$). Portanto,

$$
\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t
= \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x
= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,
$$

resultado que de outro modo se alcançaria com duas [integrações por partes](#thm-b1-integration-parts). A ideia de fechamento: para integrandos da forma ([polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) em $\ln t$) ou ([polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) vezes $\eu^{\lambda t}$), a primitiva tem a mesma forma — derivar um palpite com forma converte a integração em álgebra linear sobre coeficientes, mais rápida e menos sujeita a erro que partes iteradas.

**Exemplo 15.19 (A integral bumerangue).**

Calcule $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$. Integre por partes duas vezes, derivando o fator trigonométrico a cada vez:

$$
I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2}
- \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x
= \eu^{\pi/2} - J,
\qquad
J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2}
+ \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .
$$

A [integral](#thm-b1-integration-def) voltou a si mesma: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$, donde

$$
I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .
$$

A ideia de fechamento: quando o integrando é um produto de duas funções que se reproduzem sob derivação ($\eu^{ax}$, $\cos bx$, $\sin bx$), duas [integrações por partes](#thm-b1-integration-parts) produzem uma equação linear para a [integral](#thm-b1-integration-def) desconhecida — resolva-a em vez de integrar; equivalentemente, passe por $\eu^{(a + \iu b)x}$ ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ch-b1-complex)) e tome partes reais. Os dois caminhos dão a mesma resposta, e conferir que dão é um teste de sanidade gratuito.

## 15.4 Somas de Riemann

**Teorema 15.20 (Somas de Riemann).**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$. Então

$$
S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1}
f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr)
\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,
$$

e o mesmo com quaisquer pontos de avaliação dentro dos subintervalos.

**Demonstração.** $S_n$ é a [integral](#thm-b1-integration-def) da [função escada](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$, igual a $f(a + k\frac{b-a}{n})$ no $k$-ésimo subintervalo. Dado $\varepsilon > 0$, a [continuidade uniforme](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-uniform) (Heine) fornece $\delta$; para $n > \frac{b-a}{\delta}$, todo ponto de um subintervalo está a menos de $\delta$ do seu ponto de avaliação, de modo que $\abs{f - \varphi_n} \leq
\varepsilon$ em $\intcc{a}{b}$, donde

$$
\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr|
= \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr|
\leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere
$$

∎

![Uma soma de Riemann à esquerda com n = 8 retângulos: quando a malha encolhe, a continuidade uniforme força a área da escada rumo a ∈t_ab f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg)

*Uma soma de Riemann à esquerda com $n = 8$ retângulos: quando a malha encolhe, a [continuidade uniforme](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-uniform) força a área da escada rumo a $\int_a^b f$.*

**Exemplo 15.21.**

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{}
\int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$: um limite invisível a estimativas elementares, transparente como soma de Riemann.

**Exemplo 15.22 (Uma segunda soma de Riemann, com calibração).**

Encontre $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$. Calibre:

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}
= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2}
= \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,
$$

uma soma de Riemann da função [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ em $\intcc{0}{1}$: o limite é

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .
$$

A ideia de fechamento: toda a arte está na linha do meio — force a parcela à forma $f(\frac kn)$ ao custo de extrair exatamente um fator $\frac1n$; uma vez certa a forma, o teorema faz a análise e o teorema fundamental faz a aritmética.

**Observação 15.23 (Onde a integral trabalha em seguida).**

Cada construção do capítulo tem a sua sequência. As [somas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) voltam no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) como ponte entre séries e integrais (comparação de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ com $\int
\frac{\dd t}{t^\alpha}$); o resto integral é a forma mais fina da fórmula de Taylor no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor); a definição baseada no $\sup$ é o protótipo da [integral](#thm-b1-integration-def) de Lebesgue do volume do terceiro ano, em que as mesmas três propriedades (linearidade, monotonicidade, um teorema de convergência) são reconstruídas numa classe de funções muito maior. E o problema de fim de semana abaixo converte a [integração por partes](#thm-b1-integration-parts) em aritmética: a irracionalidade de $\pi^2$.

## 15.5 Exercícios

**Exercício 15.1 ★.**

Calcule: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(frações parciais, [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#ch-b1-fractions))*; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$.

**Solução de Exercício 15.1.**

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (multiplicação-avaliação), de modo que

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}
= \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1
= \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.
$$

Por partes ($u' = 1$, $v = \ln t$): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t =
\bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) =
1$.

Por partes ($u' = \sin t$, $v = t$): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t =
\bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 =
\pi$.

**Exercício 15.2 ★.**

Calcule $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (substituição) e $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (escreva $\cos^3 =
\cos(1 - \sin^2)$).

**Solução de Exercício 15.2.**

Substituição $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$:

$$
\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2}
= \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2}
= \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .
$$

Com $u = \sin t$: $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2}
(1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3
t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$.

**Exercício 15.3 ★.**

Encontre os limites, como [somas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann):

$$
u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2},
\qquad
v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}}
\ \emph{(take logarithms)}.
$$

**Solução de Exercício 15.3.**

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$: uma soma de Riemann de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ em $\intcc{0}{1}$, de modo que $u_n \to
\int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$.

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n
\sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd
x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$. Portanto, $v_n \to
\eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$. (Verificação da identificação: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$.)

**Exercício 15.4 ★.**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$. Calcule $\lim_{n\to\infty}
\int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$. *(Corte $\intcc{0}{1}$ em $1 -
\delta$.)*

**Solução de Exercício 15.4.**

O limite é $0$. Sejam $M = \sup \abs f$ e $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$. Corte em $1 - \varepsilon$:

$$
\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr|
\leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1
x^n \abs f
\leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .
$$

Como $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([Exercício 11.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#exo-b1-seq-3)), o limite superior do lado esquerdo é $\leq M\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: a [integral](#thm-b1-integration-def) tende a $0$.

**Exercício 15.5 ★★.**

(Cauchy–Schwarz) Para $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$, demonstre que

$$
\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,
$$

expandindo $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ como um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) do segundo grau em $\lambda$. Quando há igualdade?

**Solução de Exercício 15.5.**

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int
fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ para todo $\lambda$. Se $\int g^2 =
0$, então $g = 0$ (positividade estrita, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)), e a desigualdade é $0 \leq
0$. Caso contrário, $Q$ é um genuíno [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) do segundo grau, sempre $\geq 0$: o seu discriminante é $\leq 0$, isto é, $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int
f^2 \int g^2$.

Igualdade se, e somente se, o discriminante se anula, se, e somente se, $Q(\lambda_0) = 0$ para algum $\lambda_0$, isto é, $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, ou seja (de novo por positividade estrita), $f = -\lambda_0 g$: a igualdade vale exatamente quando $f$ e $g$ são proporcionais.

**Exercício 15.6 ★★.**

Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\R$ e $T$-periódica. Demonstre que $\int_a^{a+T}
f$ não depende de $a$, e que $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t
\to \frac 1T \int_0^T f$ quando $x \to +\infty$.

**Solução de Exercício 15.6.**

Seja $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$. Pelo teorema fundamental ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)), $\Phi$ é [derivável](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) com $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$: constante.

Para $x > 0$, escreva $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ ($n = \lfloor x/T
\rfloor$). Chasles:

$$
\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f,
\qquad
\Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f
= C .
$$

Então $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f +
O\bigl(\frac 1x\bigr)$, e $\frac{nT}{x} \to 1$: o limite é $\frac1T \int_0^T f$.

**Exercício 15.7 ★★.**

Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$ com $\int_0^1 f = \frac12$, demonstre que $f$ tem um ponto fixo em $\intcc{0}{1}$. *(Integre $f(x) - x$ e use a positividade estrita, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), pela sua contrapositiva combinada com o teorema do valor intermediário.)*

**Solução de Exercício 15.7.**

Seja $g(x) = f(x) - x$: [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), com

$$
\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .
$$

Se $g$ nunca se anulasse, o teorema do valor intermediário forçaria um sinal constante (uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) que assume os dois sinais se anula); digamos $g > 0$. Então, pela positividade estrita ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4) aplicada a $g > 0$, dando $\int g > 0$): contradição com $\int g = 0$. Logo, $g(c) = 0$ para algum $c$: $f(c) = c$.

**Exercício 15.8 ★★★.**

(Integrais de Wallis) Seja $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$.

1. Demonstre a recorrência $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) por partes, e calcule $W_0, W_1$ , e depois $W_{2p}$ e $W_{2p+1}$ em forma [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) .
2. Demonstre que $(W_n)$ é decrescente com $\frac{W_{n+1}}{W_n}  \to 1$ ; demonstre que a quantidade $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ é constante, igual a $\frac\pi2$ ; e deduza a equivalência $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ .

**Solução de Exercício 15.8.**

1. Por partes, com $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$: $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2}  + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t  = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ de modo que $nW_n = (n-1)W_{n-2}$. De $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$: $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\,  \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2,  \qquad  W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3}  = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$
2. Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, de modo que $\sin^{n+1} <  \sin^n$ e $(W_n)$ é (estritamente) decrescente e positiva. Comprimindo com a recorrência: $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}  \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1  \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ Invariante: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ satisfaz $a_n = a_{n-1}$ pela recorrência $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$, de modo que $a_n = a_0 =  1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$. Então $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2  \quad\implies\quad  W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$

**Exercício 15.9 ★★★.**

(Niven: $\pi$ é irracional) Suponha $\pi = \frac ab$ com $a, b \in
\N^*$, e ponha, para um $n$ a ser escolhido,

$$
P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!},
\qquad
I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .
$$

1. Demonstre que $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que é $< 1$ para $n$ grande.
2. Demonstre que $P$ e todas as suas [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) assumem valores *inteiros* em $0$ e em $\pi = \frac ab$ . *(Expansão binomial: os coeficientes de $P$ vezes $k!$ são inteiros para $k \geq n$; e $P(\pi - x) = P(x)$.)*
3. Ponha $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (uma soma finita). Verifique que $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , e deduza que $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ é um inteiro.
4. Conclua.

**Solução de Exercício 15.9.**

1. Em $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) =  b(\pi - x) > 0$ e $\sin x > 0$ , de modo que o integrando é $> 0$ e $I_n > 0$ (positividade estrita). Estimativa: em $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ e $a - bx \leq a$ , de modo que $P  \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ e $I_n \leq  \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que tende a $0$ (o fatorial vence o termo geométrico: é o termo geral da série exponencial convergente, cf. [Exemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ex-b1-seq-e) ); em particular, $I_n < 1$ para $n$ grande.
2. Expanda $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j}  (-b)^j x^{n+j}$ : assim, $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ com $c_j$ inteiros. Então $P^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ (valoração) e, para $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) =  \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , um inteiro, pois $n! \mid k!$ . Além disso, $P(\pi - x) = P(x)$ (substitua: $\pi - x$ troca os fatores, usando $a - b(\pi - x) = bx$ ), de modo que $P^{(k)}(\pi)  = \pm P^{(k)}(0)$ : também inteiros.
3. Com $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (finita: $P$ tem grau $2n$): $Q + Q'' = P$, e $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ Portanto, $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi)  + Q(0)$, uma soma de valores $P^{(2k)}$ em $0$ e em $\pi$: um inteiro, por (2).
4. Para $n$ grande, $I_n$ é um inteiro com $0 < I_n < 1$ : impossível. A suposição $\pi = \frac ab$ falha: $\pi$ é irracional.

**Exercício 15.10 ★★★.**

Seja $f$ de classe $C^1$ em $\intcc{a}{b}$. Demonstre o limite do tipo Riemann–Lebesgue

$$
\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to
+\infty]{} 0
$$

integrando por partes. Depois demonstre-o de novo para $f$ apenas [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), por aproximação uniforme com [funções escada](#def-b1-integration-step) ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)).

**Solução de Exercício 15.10.**

Caso $C^1$: por partes,

$$
\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t
= \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b
+ \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,
$$

limitado em valor absoluto por $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}}
{\lambda} \to 0$.

Caso [contínuo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous): seja $\varepsilon > 0$ e tome uma [função escada](#def-b1-integration-step) $\varphi$ com $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (o [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx) fornece $\varphi \leq f \leq
\psi$ com folga $\leq\varepsilon$; tome $\varphi$). Então

$$
\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr|
\leq \int_a^b \abs{f - \varphi}
+ \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr|
\leq (b-a)\varepsilon
+ \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd
t\Bigr| ,
$$

e cada $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda
x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$: o segundo termo tende a $0$. Portanto, o limite superior é $\leq
(b-a)\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: o limite é $0$.

**Exercício 15.11 ★★.**

(Teorema do valor médio para integrais) Sejam $f, g$ [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$ com $g \geq 0$. Demonstre que existe $c \in
\intcc{a}{b}$ com

$$
\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,
$$

e mostre, com um exemplo, que a hipótese $g \geq 0$ não pode ser abandonada.

**Solução de Exercício 15.11.**

Sejam $m = \min f$ e $M = \max f$, atingidos pelo teorema de Weierstrass. Como $g \geq 0$: $m\,g \leq fg \leq M\,g$, de modo que, por monotonicidade,

$$
m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .
$$

Se $\int_a^b g = 0$: a positividade estrita ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) força $g \equiv 0$, os dois lados se anulam, e qualquer $c$ serve. Caso contrário, $t = \frac{\int
fg}{\int g}$ está em $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Teoremas [13.13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-evt) e [13.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#thm-b1-continuity-ivt)), de modo que $t =
f(c)$ para algum $c$.

O sinal importa: em $\intcc{-1}{1}$, com $f(t) = g(t) = t$: $\int
fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, ao passo que $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t
= 0$ para todo $c$.

**Exercício 15.12 ★★★.**

(Os momentos forçam zeros) Seja $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{a}{b}$ com

$$
\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{para} k = 0, 1,
\dots, n .
$$

Demonstre que $f$ se anula em $n + 1$ pontos distintos de $\intoo{a}{b}$. *(Se $f$ muda de sinal apenas em $z_1 < \dots
< z_m$ com $m \leq n$, integre $f$ contra $P(t) = (t - z_1)
\cdots (t - z_m)$ e use a positividade estrita.)*

**Solução de Exercício 15.12.**

Se $f \equiv 0$, a afirmação é vazia (todo ponto é zero). Suponha, então, $f \not\equiv 0$ e que ela tenha no máximo $n$ zeros distintos em $\intoo{a}{b}$; sejam $z_1 < \dots < z_m$ ($m \leq n$) os zeros em que $f$ *muda de sinal* (possivelmente nenhum). Ponha $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (produto vazio $= 1$), de grau $m \leq n$. Em cada subintervalo cortado pelos $z_i$, tanto $f$ quanto $P$ têm sinal constante, e ambos trocam de sinal ao cruzar algum $z_i$: o produto $fP$ tem um único sinal constante em todo $\intoo{a}{b}$. Sendo [contínuo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), não identicamente nulo e de sinal constante, ele tem $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (positividade estrita aplicada a $\abs{fP}$). Mas $\int f P$ é uma combinação linear dos momentos $\int f\,t^k$, $k \leq n$, todos nulos: contradição. Portanto, $f$ tem ao menos $n + 1$ zeros distintos em $\intoo{a}{b}$.

**Observação 15.24 (Perspectivas dentro deste volume).**

Três capítulos adiante se apoiam diretamente neste. O [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor) carrega o resto integral — a mais fina das três fórmulas de Taylor é uma [integração por partes](#thm-b1-integration-parts) iterada $n$ vezes. O [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) converte o enquadramento de somas por integrais no teste decisivo para $\sum n^{-\alpha}$, e o seu problema de fim de semana refina esse enquadramento na constante de Euler. O [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) torna a [integral](#thm-b1-integration-def) geométrica: o comprimento de um arco parametrizado é $\int \sqrt{x'(t)^2 +
y'(t)^2}\,\dd t$, [integral](#thm-b1-integration-def) de uma função [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) num segmento — precisamente o objeto aqui construído, sem necessidade de teoria imprópria alguma. O fato mais reutilizado será o mais humilde: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$, a desigualdade que converte toda estimativa pontual numa estimativa [integral](#thm-b1-integration-def).

## 15.6 Problema: A máquina integral de irracionalidade

**Problema 15.1.**

Problema de fim de semana — $\eu$ e $\pi^2$ são irracionais, $\eu$ com seis casas decimais, e $\frac{22}{7} > \pi$ com demonstração

Um único mecanismo alimenta todo este problema: *uma expressão que deve ser um inteiro positivo e que, no entanto, é comprovadamente menor que $1$, não pode existir*. O [Exercício 15.9](#exo-b1-integration-9) (Niven) o rodou uma vez para demonstrar que $\pi \notin \Q$; aqui nós o industrializamos. A máquina precisa de três partes: uma entrada de *integralidade* (valores nas extremidades de [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) bem escolhidos), uma entrada de *pequenez* (um fator $\frac{1}{n!}$ esmagando a [integral](#thm-b1-integration-def)) e uma *ponte* (a [integração por partes](#thm-b1-integration-parts)) que as conecta. Demonstramos que $\eu$ é irracional e o calculamos com erro certificado, demonstramos o teorema mais fino de Legendre de que $\pi^2$ é irracional, e terminamos com a [integral](#thm-b1-integration-def) mais encantadora da análise: $\int_0^1 \frac{x^4(1 -
x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$, que enquadra $\pi$ à mão.

**Parte I — Combustível.**

1. Demonstre que $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ para todo $c  > 0$ fixado *(a partir de $n \geq 2c$, cada passo [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) ao menos ao meio o termo)* .
2. (Integrais beta) Demonstre, por indução em $m$ com [integração por partes](#thm-b1-integration-parts): $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x =  \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!}  \qquad (k, m \in \N).$$
3. Deduza que $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x  = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ e — comparando com a estimativa $x(1 - x) \leq \frac14$ — a estimativa $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , que corresponde a $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#pb-b1-seq-1) .
4. Demonstre o lema da pequenez usado duas vezes abaixo: para toda $g$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) e $> 0$ em $\intoo{0}{1}$, $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x  \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$

**Parte II — $\eu$: irracionalidade e depois seis casas decimais.** Ponha $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$.

1. Calcule $A_0$ e $A_1$ , demonstre a recorrência $A_n = \eu  - n A_{n-1}$ e as estimativas $0 < A_n \leq  \dfrac{\eu}{n+1}$ .
2. Mostre por indução que $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ com $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
3. Deduza que $\eu$ é irracional *(se $\eu = \frac  pq$, então $q A_n$ é um inteiro preso em $\intoo{0}{1}$ para $n$ grande)* . Compare com a demonstração do [Exercício 11.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#exo-b1-seq-9) : mesma conclusão, combustível diferente.
4. Demonstre, por indução e [integração por partes](#thm-b1-integration-parts), a fórmula exata do resto $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n,  \qquad  R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t,  \qquad  \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$
5. Tome $n = 9$ : estime $R_9$ usando $\eu < 2.75$ (a partir de $b_2 = 2.75$ no [Exemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#ex-b1-seq-e) ), avalie a soma e conclua o enquadramento certificado $2.7182818 \leq  \eu \leq 2.7182823$ — seis casas decimais, $\eu \approx  2.718282$ , com demonstração.

**Parte III — O teorema de Legendre: $\pi^2$ é irracional.** Seja $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, e suponha que $\pi^2 = \frac ab$ com $a, b \in \N^*$.

1. Mostre que $f(1 - x) = f(x)$ e $0 < f \leq  \dfrac{1}{4^n\,n!}$ em $\intoo{0}{1}$ .
2. Mostre que $f^{(k)}(0)$ e $f^{(k)}(1)$ são inteiros para todo $k \geq 0$ *(expanda $x^n(1-x)^n$ com coeficientes inteiros; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ para $k \geq n$; depois use a simetria)* .
3. Defina $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,  \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ Mostre que $G(0)$ e $G(1)$ são inteiros *(cada $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*.
4. Verifique o telescopamento $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f  = \pi^2 a^n f$ e depois $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos  \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$
5. Integre em $\intcc{0}{1}$ e conclua que $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1)  \in \Z ,$$ é um inteiro *positivo* limitado por $\dfrac{\pi  a^n}{4^n\,n!}$.
6. Conclua, com a questão 1, que $\pi^2$ é irracional (Legendre, 1794) e que isso reforça o [Exercício 15.9](#exo-b1-integration-9) : por que a irracionalidade de $\pi^2$ implica a de $\pi$ , e não o contrário?

**Parte IV — Entendendo a máquina.**

1. Localize as duas forças opostas (integralidade dos dados nas extremidades; pequenez analítica da [integral](#thm-b1-integration-def) ) e a ponte, nas Partes II e III. Depois explique por que o fator $\frac{1}{n!}$ em $f$ é o ponto crucial: se ele for removido, a integralidade sobrevive, mas que desigualdade morre, e para que frações $\frac ab$ alegadas a demonstração passa então a falhar?
2. Efetividade: suponha que alguém alegue que $\pi^2 = \frac ab$ com $a \leq 10$ . Mostre que a contradição já aparece em $n = 7$ : calcule $\pi\,(10/4)^7/7! \approx  0.38 < 1$ . A máquina não apenas refuta; ela refuta num estágio fixo e computável.
3. Verifique a ponte incondicionalmente: demonstre, por duas [integrações por partes](#thm-b1-integration-parts), que $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ e reconcilie com a questão 14 em $n = 1$ (mantenha $\pi^2$ simbólico: a identidade telescopada diz $\pi^3  \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$).
4. O que torna $\eu^x$ e $\sin \pi x$ elegíveis como núcleos da máquina? Identifique a propriedade (cada uma satisfaz uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, de modo que [integrações por partes](#thm-b1-integration-parts) repetidas retornam ao início) e nomeie a [fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) : a mesma máquina, refinada por Hermite e Lindemann, demonstra que $\eu$ e $\pi$ são *transcendentes* — além deste volume.

**Parte V — $\frac{22}{7}$ contra $\pi$, e a moral.**

1. Estabeleça a divisão polinomial $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2}  = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$$ e deduza a célebre identidade $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x  = \frac{22}{7} - \pi .$$
2. O integrando é positivo: conclua que $\pi <  \frac{22}{7}$. Depois, limitando $\frac{1}{1+x^2}$ entre $\frac12$ e $1$ e usando $\int_0^1 (x(1-x))^4 =  \frac{1}{630}$ (questão 3), demonstre que $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\;  \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ isto é, $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$: duas casas decimais corretas, à mão.
3. Generalize: dividindo $x^{4m}(1-x)^{4m}$ por $1 + x^2$, mostre que o resto é a constante $(-4)^m$ *(trabalhe módulo $x^2 + 1$: $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, deduza racionais $r_m$ com $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ e verifique que $m = 1$ reproduz as questões 20–21.
4. Confronte esses racionais com a teoria de aproximação do [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1) : calcule $\abs{\pi -  \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ contra a garantia de Dirichlet $\frac{1}{49}$ , e cite $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ contra $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : existem aproximações racionais excepcionalmente boas para $\pi$ — coerente, pois não se sabe que $\pi$ seja mal aproximável.
5. (A armadilha do inteiro, abstraída) Demonstre o lema que unifica tudo: *se $x \in \R$ e existem inteiros $a_n, b_n$ com $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, então $x$ é irracional.* Liste as suas instâncias neste problema, no [Exercício 15.9](#exo-b1-integration-9) , no [Exercício 11.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#exo-b1-seq-9) e no [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1) .
6. Síntese, uma frase para cada: (i) as três partes da máquina e onde cada uma vive no instrumental deste capítulo; (ii) o que a [integral](#thm-b1-integration-def) contribui que o teorema do valor médio do [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1) não podia; (iii) o inventário dos resultados extraídos (duas irracionalidades, uma constante com seis casas decimais, um enquadramento de $\pi$ , uma estimativa binomial); (iv) a [fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) (Hermite, Lindemann; e a mesma armadilha, rodada em $\zeta(2)$ e $\zeta(3)$ , na aritmética do século XX).

**Solução de Problema 15.1.**

**1.** Seja $N = \lceil 2c \rceil$. Para $n \geq N$: $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, de modo que $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$: confronto.

**2.** Fixe $k$; indução em $m$. Para $m = 0$: $\int_0^1
x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$. Passo, por partes ($u = (1-x)^m$, $v' = x^k$):

$$
\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x
= \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1
+ \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x
= \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,
$$

que é $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$.

**3.** $k = m = n$: $\int_0^1 (x(1-x))^n =
\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$. Como $x(1-x) \leq \frac14$ em $\intcc{0}{1}$, a [integral](#thm-b1-integration-def) é $\leq
4^{-n}$, donde $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — coerente com $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ ([Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#pb-b1-seq-1)).

**4.** O integrando é [contínuo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), $\geq 0$ e positivo em $\intoo{0}{1}$, logo não identicamente nulo: a sua [integral](#thm-b1-integration-def) é $> 0$ ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)). Estimativa superior: $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ e $g \leq \sup\abs g$, e depois monotonicidade.

**5.** $A_0 = \eu - 1$; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1
\eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Por partes: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 -
n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$. Estimativas: o integrando é positivo, de modo que $A_n > 0$; e $\eu^x \leq \eu$ dá $A_n \leq
\eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$.

**6.** $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$. Se $A_{n-1} = \alpha_{n-1} +
\beta_{n-1}\eu$ com entradas inteiras, então

$$
A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu
= \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n}
+ \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,
$$

ambos inteiros.

**7.** Se $\eu = \frac pq$: $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n
\in \Z$, e $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ para $n$ grande: um inteiro estritamente entre $0$ e $1$ — impossível. Logo, $\eu
\notin \Q$. No [Exercício 11.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#exo-b1-seq-9), o inteiro preso era $q!\,\frac pq - q!\,a_q$; aqui é $qA_n$: mesma armadilha, combustível [integral](#thm-b1-integration-def).

**8.** $n = 0$: $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, de modo que $\eu =
1 + R_0$. Por partes ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$):

$$
R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}
\eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr)
= \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,
$$

de modo que a fórmula se propaga de $n$ a $n + 1$. Estimativas: $1 \leq
\eu^t \leq \eu$ em $\intcc{0}{1}$ e $\int_0^1 (1-t)^n =
\frac{1}{n+1}$ dão $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq
\frac{\eu}{(n+1)!}$.

**9.** $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880}
= 2.71828152\dots$, e

$$
\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq
\frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,
$$

de modo que $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$: com demonstração, $\eu =
2.718282$ com seis casas decimais (valor verdadeiro $2.7182818\dots$).

**10.** $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$. Em $\intoo{0}{1}$: $0 < x(1-x) \leq \frac14$, de modo que $0 < f \leq
\frac{1}{4^n\,n!}$.

**11.** $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom
nj\,x^{n+j}$, de modo que $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ com $c_j \in \Z$. Portanto, $f^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ ou $k > 2n$, e, para $n \leq k \leq 2n$: $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\,
c_{k-n}$, um inteiro, pois $n! \mid k!$. A simetria dá $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$.

**12.** $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac
ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, de modo que $G(0) =
\sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ e, do mesmo modo, $G(1)$ são inteiros pela questão 11.

**13.** Em $\pi^2 G + G''$, o termo $k$ de $\pi^2 G$ carrega $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$, e o termo $j = k - 1$ de $G''$ carrega $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$: tudo se cancela, exceto $k = 0$ na primeira soma e $j = n$ na segunda, isto é,

$$
G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr)
= b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f
$$

($f$ tem grau $2n$, de modo que $f^{(2n+2)} = 0$; e $b^n\pi^{2n} =
a^n$). Então

$$
\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)'
= (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .
$$

**14.** Integrando em $\intcc{0}{1}$:

$$
\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x
= \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1
= \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,
$$

de modo que $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$. Em $\intoo{0}{1}$, $f > 0$ e $\sin\pi x > 0$: o lado esquerdo é positivo, logo $G(0) + G(1) \geq 1$; e $\sin \leq 1$, com a questão 10, o limita por $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.

**15.** Pela questão 1 (com $c = \frac a4$), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$: para $n$ grande, ele é $< 1$, contradizendo $G(0) + G(1) \geq 1$. Assim, fração $\frac ab$ alguma é igual a $\pi^2$: o teorema de Legendre. Se $\pi$ fosse racional, $\pi^2$ também seria: logo, $\pi \notin \Q$ — e a implicação só corre nesse sentido ($\sqrt2$ é irracional com quadrado racional), e é por isso que $\pi^2 \notin \Q$ é estritamente mais forte que o [Exercício 15.9](#exo-b1-integration-9).

**16.** Integralidade: questões 11–12 ([derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) nas extremidades); pequenez: questões 10 e 1; ponte: questões 13–14 (a dupla [integração por partes](#thm-b1-integration-parts) telescopada). Sem $\frac{1}{n!}$, os dados nas extremidades continuam inteiros (com ainda mais facilidade), mas a estimativa se torna $\frac{\pi a^n}{4^n}$, que tende a $0$ apenas quando $a < 4$ — e todo candidato tem $a =
b\,\pi^2 > 9$. O fatorial é exatamente o que ultrapassa o crescimento geométrico $a^n$: sem fatorial, sem teorema.

**17.** Para $a \leq 10$, o inteiro $G(0) + G(1)$ é positivo e no máximo $\pi\,(10/4)^n/n!$. Em $n = 7$: $2.5^7 = 610.35\dots$, de modo que a estimativa é $\frac{\pi \times
610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (em $n = 6$ ela ainda vale $1{,}07$): a contradição aparece no sétimo estágio, explicitamente.

**18.** Duas [integrações por partes](#thm-b1-integration-parts):

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x
= \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}
$$

(os termos de [fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) se anulam: $x(1-x)$ em $0, 1$, e $\sin\pi x$ em $0, 1$). Simbolicamente, o telescópio $n = 1$ (sem suposição sobre $\pi$) diz $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) +
f_1''(1))$ com $f_1 = x(1 - x)$, $f_1'' = -2$: lado direito $4$ — os dois cálculos concordam.

**19.** $\eu^x$ resolve $y' = y$ e $\sin\pi x$ resolve $y'' = -\pi^2 y$: equações lineares com coeficientes constantes, de modo que a [integração por partes](#thm-b1-integration-parts) faz o núcleo circular de volta a si mesmo e mantém todos os dados de [fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) dentro de $\Z + \Z\eu$ (resp. [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) inteiros em $\pi^2$). Essa propriedade de fechamento é o que a máquina precisa. Refinado com núcleos adaptados a vários pontos ao mesmo tempo, o mesmo mecanismo produz o teorema de Hermite ($\eu$ transcendente, 1873) e o de Lindemann ($\pi$ transcendente, 1882) — além deste volume.

**20.** Divisão polinomial (ou multiplique de volta e confira):

$$
x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .
$$

Integrando a identidade exibida, dividida por $1 + x^2$:

$$
\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x
= \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr)
- 4\arctan 1
= \frac{22}{7} - \pi ,
$$

usando $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ e $\arctan 1 = \frac\pi4$.

**21.** O integrando é [contínuo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) e positivo em $\intoo{0}{1}$: a [integral](#thm-b1-integration-def) é $> 0$, de modo que $\pi < \frac{22}{7}$. Além disso, $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ em $\intcc{0}{1}$ e $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} =
\frac{1}{630}$ (questão 3):

$$
\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630}
\quad\Longrightarrow\quad
3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .
$$

**22.** [Módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field) $x^2 + 1$: $x^2 \equiv -1$, de modo que $x^{4m} =
(x^2)^{2m} \equiv 1$ e $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, donde $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv
(-4)^m$: o resto é a constante $(-4)^m$, e o quociente $Q_m$ tem coeficientes inteiros (divisão por um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) inteiro [mônico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)). Dividindo a identidade por $1 + x^2$ e integrando:

$$
J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x
= s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4},
\qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .
$$

Resolvendo para $\pi$: com $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in
\Q$, $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq
4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$. Para $m = 1$: $s_1 =
\frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, estimativa $4^{-4} =
\frac{1}{256}$ — de novo as questões 20–21.

**23.** $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} -
\pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$, dezesseis vezes melhor que o padrão de ordem $2$, $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$, garantido por Dirichlet ([Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1), questão 4); e $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ supera $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ por um fator $\approx 300$. Nenhuma contradição com o que foi demonstrado: as desigualdades de Liouville *limitam inferiormente* os erros de aproximação apenas para [números algébricos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#pb-b1-logic-1), e nenhuma estimativa dessas para $\pi$ está disponível neste nível — $\pi$ está livre para ser aproximado espetacularmente bem.

**24.** Lema: suponha $x = \frac pq$ e $0 < \abs{a_n +
b_n x} \to 0$. Então $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p
b_n}}{q}$, com $q a_n + p b_n$ um inteiro não nulo (não nulo, porque o valor absoluto é $> 0$): assim, $\abs{a_n + b_n x}
\geq \frac1q$ para todo $n$, contradizendo a convergência a $0$. Instâncias: questão 7 ($x = \eu$, $a_n = \alpha_n$, $b_n =
\beta_n$); [Exercício 11.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#exo-b1-seq-9) ($x = \eu$ de novo, com $a_q =
-q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$); e o [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1), questão 1, é a sua forma geométrica. Na Parte III e no [Exercício 15.9](#exo-b1-integration-9), a armadilha roda *dentro* da contradição: supor a racionalidade converte uma expressão num inteiro, que a análise em seguida comprime em $\intoo{0}{1}$ — o mesmo princípio, transposto.

**25.** (i) A integralidade vive no cálculo nas extremidades de [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) (questões 6, 11–12), a pequenez nas estimativas que a monotonicidade do $\sup$ dá (questões 4 e 10), e a ponte na [integração por partes](#thm-b1-integration-parts) (questões 8, 13–14) — os três são teoremas deste capítulo. (ii) A [integral](#thm-b1-integration-def) fornece o que o teorema do valor médio não podia: uma identidade *exata* entre o objeto analítico e os dados aritméticos (igualdade, e não apenas uma desigualdade com um $c$ desconhecido), e é por isso que a máquina alcança $\pi^2$, ao passo que o [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#pb-b1-derivative-1) alcançou apenas expoentes de aproximação. (iii) Extraídos: $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (logo, $\pi \notin \Q$), $\eu = 2.718282$ certificado, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$, e $\binom{2n}{n} \geq
\frac{4^n}{2n+1}$. (iv) [Fronteira](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure): Hermite e Lindemann empurram a mesma máquina até a transcendência; e Apéry (1979) rodou a armadilha do inteiro em $\zeta(3)$ — a máquina ainda está produzindo matemática do século XX.