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title: "Espaços Vetoriais"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais
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# Capítulo 18 — Espaços Vetoriais

A álgebra linear começa aqui: os axiomas dos [espaços vetoriais](#def-b1-vspaces-def) isolam o que $\R^2$, $\R^3$, os espaços de [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) e os espaços de funções têm em comum — pode-se somar e multiplicar por escalares. Dois capítulos constroem a teoria (o [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim) acrescenta a dimensão); a linguagem que eles instalam — [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span), [família livre](#def-b1-vspaces-free), [base](#def-b1-vspaces-free), [soma direta](#def-b1-vspaces-sum) — é o pão de cada dia de todos os capítulos seguintes. Ao longo do texto, $K$ designa $\R$ ou $\C$ (*escalares*).

## 18.1 Definição e exemplos

**Definição 18.1 (Espaço vetorial).**

Um *espaço vetorial sobre $K$* é um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $E$ munido de uma adição que faz de $(E, +)$ um [grupo abeliano](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) (o zero escrito $0_E$ ou $0$), e de uma multiplicação por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ e $x, y \in E$:

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

Consequências: $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$, e $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ ou $x = 0_E$ (multiplique por $\lambda^{-1}$).

**Demonstração das consequências.** Para $0\,x = 0_E$: de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ e $(0+0)x = 0x$, cancele $0x$ no [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) $(E, +)$. Para $\lambda\,0_E$: o mesmo truque em $\lambda(0_E + 0_E)$. Para $(-1)x$: some $x$,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

logo $(-1)x$ é o inverso aditivo de $x$. Por fim, se $\lambda x
= 0_E$ com $\lambda \neq 0$: multiplique por $\lambda^{-1}$ (os escalares formam um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field)) e use os dois axiomas $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ junto com $\lambda^{-1}0_E = 0_E$: $x = 0_E$. Por menores que sejam, estas quatro regras são usadas silenciosamente em cada página que se segue — e a última é exatamente onde os [corpos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) são necessários: sobre os escalares $\Z$, o “espaço” $\Z/2\Z$ a violaria com $2\,x = 0$. ∎

**Exemplo 18.2.**

$K^n$ (operações coordenada a coordenada); os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $K[X]$; as funções $\mathcal{F}(A, K)$ de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) qualquer $A$ em $K$ (operações ponto a ponto) — contendo as funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), as sequências $\mathcal{F}(\N, \R)$, etc.; $\C$ como [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$. Em cada caso os axiomas são herdados dos de $K$.

**Definição 18.3 (Subespaço).**

$F \subseteq E$ é um *subespaço* quando $0_E \in
F$ e $F$ é estável por adição e por multiplicação por escalares — equivalentemente:

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{e}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

Um subespaço é ele próprio um [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def). Toda interseção de subespaços é um subespaço; uma união quase nunca é (mesma demonstração do [Exercício 7.6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#exo-b1-structures-6)).

**Exemplo 18.4.**

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$: as funções [contínuas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous), as deriváveis, os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$), as soluções de uma equação diferencial linear homogênea (o [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#thm-b1-diffeq-homogeneous2) dizia exatamente isso). Não exemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (sem o zero), grau exatamente $n$ (não estável por adição).

**Exemplo 18.5 (Subespaço ou não: quatro veredictos, argumentados).**

No espaço das sequências reais:

- $\{u : u \text{ limitada}\}$ *é* um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) : $0$ é limitada, e se $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , então $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
- $\{u : u_n \to 1\}$ *não* é: falta a sequência nula (e a soma de dois membros tende a $2$ ).
- $\{u : u \text{ monotone}\}$ *não* é: $u_n = n$ e $v_n = -n + (-1)^n$ são monótonas, e a sua soma $(-1)^n$ não é; a estabilidade por adição é o axioma que falha, embora o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) contenha $0$ e todos os múltiplos escalares dos seus membros.
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ *não* é: contém $0$ , mas $2u$ escapa assim que $u$ é um membro não nulo ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ em geral) — a não linearidade está no quadrado.

A ordem de trabalho é sempre a mesma: teste $0$ primeiro (o mais barato), depois a estabilidade — e, para refutar, um único par explícito de contraexemplos vale mais do que qualquer dose de dúvida.

## 18.2 Espaço gerado, somas, somas diretas

**Definição 18.6 (Combinações lineares, espaço gerado).**

Uma *combinação linear* da família $(x_1, \dots, x_p)$ de vetores de $E$ é qualquer $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ($\lambda_i \in K$). O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de todas elas é o *espaço gerado* $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$: é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace), o menor que contém a família.

**Demonstração das duas afirmações.** Estabilidade: uma soma de duas combinações lineares $\sum\lambda_i x_i +
\sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ é ainda uma, e um múltiplo escalar $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i)
x_i$ também; a combinação nula mostra que $0$ pertence: o [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace). Minimalidade: seja $H$ um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) qualquer contendo $x_1,
\dots, x_p$. Pela estabilidade por multiplicação por escalares, cada $\lambda_i x_i \in H$, e pela estabilidade por adição a sua soma pertence a $H$: toda combinação linear pertence a $H$, isto é, $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$. Assim o [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) está contido em todo [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) que contém a família: é o menor deles. ∎

**Definição 18.7 (Soma, soma direta).**

Para [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ de $E$:

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) (o menor que contém $F \cup G$). A soma é *direta*, escrita $F \oplus G$, quando todo elemento de $F + G$ se decompõe de modo *único* como $u + v$; equivalentemente (veja abaixo) quando $F \cap G = \{0\}$. Quando $E = F \oplus
G$, os [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) são *suplementares* em $E$.

**Exemplo 18.8 (Uma soma de duas retas).**

Em $\R^3$, sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. A sua soma é

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

o plano pela origem que contém as duas retas. Ele é estritamente maior do que a união $F \cup G$ (a mera cruz das duas retas): o vetor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está na soma mas em nenhuma das duas retas. E $F \cap G = \{0\}$ (um vetor comum exigiria $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, cujas duas primeiras [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) forçam $a = b = 0$): a soma é direta, e $F \oplus
G$ é exatamente aquele plano.

**Proposição 18.9.**

$F + G$ é direta se e somente se $F \cap G = \{0\}$.

**Demonstração.** Se algum $w \neq 0$ pertence a $F \cap G$: $w = w + 0 = 0 + w$ são duas decomposições de $w$. Reciprocamente, se $u + v = u' + v'$ com $u, u'
\in F$, $v, v' \in G$, então $u - u' = v' - v$ pertence a $F \cap G =
\{0\}$: as decomposições são únicas. ∎

**Método 18.10 (Demonstrar que E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G).**

Duas coisas a verificar, cada uma com o seu lance de abertura padrão.

1. *Interseção trivial.* Tome $x \in F \cap G$ , escreva as duas condições de pertinência e esprema até $x =  0$ . (Nunca argumente por desenho: cf. as armadilhas abaixo.)
2. *A soma é tudo.* Tome um $x \in E$ arbitrário e *produza* a decomposição $x = f + g$ — seja adivinhando $f$ a partir do alvo ( $f$ deve satisfazer a propriedade que define $F$ , o que em geral dita a sua fórmula), seja resolvendo o sistema linear que exprime $x$ contra geradores de $F$ e de $G$ .

Quando a fórmula da decomposição é adivinhada, a unicidade é automática pelo passo 1; quando só a existência é duvidosa, é no passo 2 que mora o trabalho. Os dois exemplos abaixo executam o método: para as funções pares e ímpares, a fórmula de $f$ é forçada avaliando a identidade desejada em $x$ e em $-x$; para os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que se anulam num ponto, avaliando em $a$.

**Exemplo 18.11.**

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$, as funções pares $\mathcal{P}$ e as funções ímpares $\mathcal{I}$ são [suplementares](#def-b1-vspaces-sum): toda $f$ se escreve

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{par}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ímpar}},
$$

e uma função ao mesmo tempo par e ímpar é nula. (Aplicado a $\exp$, isto é o par $(\cosh, \sinh)$ do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions).)

**Exemplo 18.12 (Um par suplementar em Kn[X]K_n[X]Kn​[X]).**

Fixe $a \in K$ e ponha $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G =
\operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). Então $K_n[X] = F \oplus
G$. De fato $F \cap G$ consiste nas constantes que se anulam em $a$, isto é, $\{0\}$; e todo $P$ se decompõe como

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

Vale a pena memorizar a decomposição: subtrair o valor num ponto é a maneira padrão de projetar sobre as “funções que se anulam em $a$”. Note que $F$ é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) grande e $G$ um pequeno; um par [suplementar](#def-b1-vspaces-sum) não precisa ser equilibrado em sentido algum.

**Exemplo 18.13 (Um subespaço suplementar nunca é único).**

Em $\R^2$, seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (o eixo $x$). Tanto $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ quanto $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ são [suplementares](#def-b1-vspaces-sum) de $F$: cada um encontra $F$ apenas em $0$, e cada par soma $\R^2$. As decomposições de um mesmo vetor diferem:

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

De fato, *toda* reta distinta do próprio $F$ é um [suplementar](#def-b1-vspaces-sum) de $F$ em $\R^2$: os [suplementares](#def-b1-vspaces-sum) são abundantes, e falar em “o” [suplementar](#def-b1-vspaces-sum) não faz sentido enquanto uma estrutura adicional (um produto interno, [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid)) não singularizar um deles.

![Duas decomposições do mesmo ponto de ℝ2 ao longo de F (o eixo x): com o suplementar G (queda vertical) e com o suplementar G' (queda oblíqua). As componentes em F diferem: uma projeção depende da direção da descida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*Duas decomposições do mesmo ponto de $\R^2$ ao longo de $F$ (o eixo $x$): com o [suplementar](#def-b1-vspaces-sum) $G$ (queda vertical) e com o [suplementar](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ (queda oblíqua). As componentes em $F$ diferem: uma projeção depende da direção da descida.*

## 18.3 Famílias livres, famílias geradoras, bases

**Definição 18.14.**

Uma família $(x_1, \dots, x_p)$ de vetores de $E$ é:

- *geradora* (de $E$ ) quando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
- *livre* (os seus vetores *linearmente independentes*) quando $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ caso contrário, *linearmente dependente*;
- uma *base* quando é livre e geradora.

**Proposição 18.15 (Coordenadas).**

$(e_1, \dots, e_n)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $E$ se e somente se todo $x \in E$ é de modo *único* uma combinação $x = \lambda_1 e_1 + \dots +
\lambda_n e_n$; os escalares $\lambda_i$ são as *coordenadas* de $x$ na [base](#def-b1-vspaces-free).

**Demonstração.** Geradora $=$ existência da decomposição. Unicidade $=$ liberdade: duas decomposições do mesmo $x$ diferem por uma combinação igual a $0$; a liberdade força todos os seus coeficientes — as diferenças de [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) — a se anularem. Reciprocamente, uma combinação nula não trivial dá as duas decomposições $0 = \sum \lambda_i
e_i = \sum 0\,e_i$. ∎

**Exemplo 18.16.**

A *[base](#def-b1-vspaces-free) canônica* de $K^n$: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($1$ na posição $i$). Os monômios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$ (liberdade: uma combinação nula é o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, logo todos os coeficientes se anulam, [Definição 8.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)). Em $\C$ sobre $\R$: a [base](#def-b1-vspaces-free) $(1, \iu)$.

**Observação 18.17 (As coordenadas são um trabalho de equipe).**

A primeira coordenada de $x$ numa [base](#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_n)$ depende de *todos* os vetores da [base](#def-b1-vspaces-free), e não apenas de $e_1$. Em $\R^2$: o vetor $(3, 1)$ tem primeira coordenada $3$ na [base](#def-b1-vspaces-free) canônica, mas primeira coordenada $2$ na [base](#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — resolva $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$: $b = 1$, $a = 2$. Trocar um vetor da [base](#def-b1-vspaces-free) embaralha *todas* as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates); o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) empacotará esse embaralhamento na matriz de mudança de [base](#def-b1-vspaces-free).

**Exemplo 18.18 (Testar uma candidata a base, do início ao fim).**

Será $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_2[X]$? Escreva $u_1, u_2, u_3$ para os três [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def). *Liberdade*: uma combinação nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 =
0$ dá, coeficiente a coeficiente,

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

subtraindo as duas primeiras, $b = c$, e então a terceira dá $2b =
0$: $a = b = c = 0$, [livre](#def-b1-vspaces-free). *Geradora*: em vez de resolver três sistemas, note a combinação simétrica

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

logo $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; então

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

Os monômios estão no [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span), logo tudo está: $\mathcal{F}$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free). Como bônus, juntar as três fórmulas exibidas dá as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de qualquer $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

(Verificação de coerência com $P = X$: [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12,
-\frac12, \frac12\bigr)$, como encontrado acima.) Duas lições: a simetria numa família costuma esconder uma combinação atalho; e assim que a dimensão estiver disponível ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim)), toda a metade “geradora” deste trabalho virá sem custo algum — três vetores [livres](#def-b1-vspaces-free) de um espaço de dimensão $3$ formam sempre uma [base](#def-b1-vspaces-free).

**Proposição 18.19 (Critérios úteis de liberdade).**

1. Uma família de *[polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulos de graus dois a dois distintos* é [livre](#def-b1-vspaces-free) .
2. Acrescentar um vetor a uma [família livre](#def-b1-vspaces-free) mantém-na [livre](#def-b1-vspaces-free) se e somente se o vetor está fora do [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) pela família.
3. Toda subfamília de uma [família livre](#def-b1-vspaces-free) é [livre](#def-b1-vspaces-free) ; toda família que contém uma família geradora é geradora.

**Demonstração.** (1) Numa combinação nula, olhe para o maior grau presente: o seu coeficiente deve se anular (nada cancela esse grau), e desça em cascata.

(2) Se $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, a relação $x
- \sum\lambda_i x_i = 0$ é não trivial. Reciprocamente, uma combinação nula não trivial de $(x_1, \dots, x_p, x)$ deve envolver $x$ com coeficiente não nulo (senão contradiz a liberdade da família pequena), e isolar $x$ o coloca no [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span).

(3) Subfamília: uma combinação nula da subfamília é uma da família inteira com os coeficientes ausentes postos a $0$; a liberdade da família grande mata todos eles. Superfamília: todo vetor de $E$ já é uma combinação da parte geradora; dê aos vetores extras o coeficiente $0$. ∎

**Exemplo 18.20 (O princípio da escada).**

Sejam $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ com $\deg P_k = k$ para cada $k$ (uma “escada” de graus). Então $(P_0, \dots, P_n)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$. A liberdade é a [Proposição 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1). Para a propriedade geradora, argumente por descida finita sobre o grau: seja $Q \in
K_n[X]$, $Q \neq 0$, de grau $d$, com coeficiente dominante $a$, e seja $b \neq 0$ o coeficiente dominante de $P_d$. Então $Q -
\frac ab P_d$ tem grau $< d$ (os termos de topo cancelam-se); substituindo $Q$ por essa diferença e iterando, após no máximo $n + 1$ passos chega-se ao [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, e desfazer as subtrações exprime $Q$ como combinação dos $P_k$. Duas escadas já encontradas: as potências transladadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k
\leq n}$ ([Exercício 18.4](#exo-b1-vspaces-4)), e os produtos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq
n}$, postos a trabalhar no problema de fim de semana.

**Exemplo 18.21 (Liberdade em espaços de funções).**

Em $\mathcal{F}(\R,\R)$, a família $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p
x})$ com $a_1 < \dots < a_p$ é [livre](#def-b1-vspaces-free): divida uma combinação nula por $\eu^{a_p x}$ e faça $x \to +\infty$; o último coeficiente morre, e desce-se em cascata (o [Exercício 18.8](#exo-b1-vspaces-8) detalha isto e as suas variantes). A liberdade de funções demonstra-se *avaliando*: em pontos bem escolhidos, no infinito, ou depois de derivar.

**Exemplo 18.22 (Uma relação escondida encolhe um espaço gerado).**

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$, o que é $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? A identidade $\cos^2 + \sin^2 = 1$ é uma combinação nula não trivial

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

a família é linearmente dependente, e o [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) já é gerado apenas por $(1, \cos^2)$ ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Essa família menor é [livre](#def-b1-vspaces-free): $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ dá, em $x = 0$ e $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ e $a = 0$. Logo o [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) é um *plano* dentro do espaço de funções — e ele contém também $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: famílias de funções trigonométricas com ar de independentes colapsam rotineiramente sob identidades, razão pela qual a liberdade deve ser *demonstrada*, nunca suposta a partir do tamanho da lista.

**Observação 18.23 (Armadilhas comuns).**

Quatro armadilhas clássicas. *Dois a dois não basta*: em $\R^2$, os vetores $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ são dois a dois não proporcionais, e no entanto linearmente dependentes — a liberdade é uma propriedade da família *inteira*, testada por uma única combinação global, nunca duas a duas. *O vetor nulo envenena tudo*: toda família que contém $0$ é linearmente dependente ($1\cdot 0 = 0$ é uma relação não trivial), por mais inocentes que sejam os outros vetores. *União não é soma*: $F \cup G$ quase nunca é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) ([Definição 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)); o menor [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) que contém ambos é $F + G$, em geral muito maior do que a união — em $\R^2$, duas retas distintas têm por união uma cruz e por soma o plano inteiro. *Direta exige interseção trivial, não disjunção*: dois [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) nunca são disjuntos (ambos contêm $0$); a condição correta é $F \cap G = \{0\}$, e ela deve ser *demonstrada*, não lida num desenho — cf. o [Exemplo 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements), em que muitos $G$ diferentes servem. *A liberdade depende dos escalares*: o par $(1, \iu)$ é [livre](#def-b1-vspaces-free) em $\C$ visto como [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$, mas linearmente dependente em $\C$ visto como [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\C$ ($\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$). Saiba sempre qual [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) está agindo antes de declarar [livre](#def-b1-vspaces-free) uma família — o problema de fim de semana do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim) transforma exatamente essa sensibilidade em demonstrações de irracionalidade.

**Observação 18.24 (Para onde vai esta linguagem).**

Tudo o que vem depois deste capítulo fala a linguagem instalada aqui. O [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim) conta vetores de uma [base](#def-b1-vspaces-free) e transforma “[livre](#def-b1-vspaces-free)” e “geradora” em desigualdades sobre um único inteiro, a dimensão. O [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) estuda as aplicações compatíveis com as duas operações; as [somas diretas](#def-b1-vspaces-sum) tornam-se lá projetores. O [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) codifica vetores pelas suas [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) numa [base](#def-b1-vspaces-free) — a [Proposição 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) é a licença para essa codificação — e o [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) acrescenta comprimentos e ângulos sobre a estrutura linear. No volume do segundo ano de graduação os mesmos axiomas, palavra por palavra, valem sobre [corpos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) arbitrários e em dimensão infinita; nada neste capítulo usou a finitude em lugar algum.

**Observação 18.25 (Três fios a seguir ao longo do Livro 3).**

Observe três ideias específicas deste capítulo crescerem. *O princípio da escada* ([Exemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) reaparece como a [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton no problema de fim de semana deste capítulo, como a [base](#def-b1-vspaces-free) binomial $(B_k)$ ali, e como o truque do alternante polinomial no problema de fim de semana do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det): um lema, três dividendos sem determinantes. *A avaliação como teste de liberdade* ([Exemplo 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) torna-se o isomorfismo de interpolação do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps), depois o critério de Vandermonde do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det), depois o teste de Gram do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid): o mesmo reflexo, afiado três vezes. *As [somas diretas](#def-b1-vspaces-sum)* ([Definição 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) tornam-se projetores no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps), decomposições ortogonais $E =
F \oplus F^\perp$ no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), e a decomposição explicado-mais-resíduo dos mínimos quadrados no problema de fim de semana do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar). Muito pouco deste livro não é, no fundo, uma destas três ideias vestindo roupa nova.

## 18.4 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Quais dos seguintes são [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace)?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ limitada}\}$ .

**Solução de Exercício 18.1.**

1. Sim: contém $0$ , e a equação que o define é linear (estável por $x + \lambda y$ ).
2. Não: não contém $(0,0,0)$ .
3. Não: $(1, 0)$ e $(0, -1)$ pertencem ( $xy = 0$ ), mas a sua soma $(1,  -1)$ não ( $xy = -1 < 0$ ).
4. Sim: $0$ se anula em $1$ ; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) +  \lambda Q(1) = 0$ .
5. Sim: a função nula é limitada; se $\abs f \leq M$ e $\abs g \leq M'$ , então $\abs{f + \lambda g} \leq M +  \abs\lambda M'$ .

**Exercício 18.2 ★.**

Em $\R^3$, $(1, 2, 1)$ pertence a $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$? E $(2, 1,
1)$? Descreva $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ por uma equação.

**Solução de Exercício 18.2.**

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ exige $a + b = 1$, $b = 2$, $a =
1$: incompatível ($a + b = 3 \neq 1$): não está no [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span). $(2,1,1) =
a(1,0,1) + b(1,1,0)$: $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$: compatível, logo $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$, está no [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span).

Equação: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ significa $x = y + z$: o [espaço gerado](#def-b1-vspaces-span) é o plano $\{x - y - z = 0\}$.

**Exercício 18.3 ★.**

Decida a liberdade em $\R^3$: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1),
(0,1,1)\bigr)$; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$.

**Solução de Exercício 18.3.**

Primeira família: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ dá $\lambda + \mu = 0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$: somando, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$, e subtraindo cada equação, $\lambda = \mu = \nu = 0$: [livre](#def-b1-vspaces-free).

Segunda: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$: linearmente dependente.

Terceira: quatro vetores em $\R^3$ — necessariamente dependentes assim que a dimensão estiver disponível ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim)); diretamente: $(0,1,1) = -(1,0,0) +
0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, de fato $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$: uma relação não trivial.

**Exercício 18.4 ★.**

Demonstre que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$, e dê as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ nela. *(Taylor em $1$!)*

**Solução de Exercício 18.4.**

Os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ têm graus distintos $0,
1, 2, 3$: [livres](#def-b1-vspaces-free) ([Proposição 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)); quatro vetores [livres](#def-b1-vspaces-free) e geradores (todo $P \in \R_3[X]$ se desenvolve em potências de $X - 1$, por exemplo por Taylor para [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), cf. a demonstração da [Proposição 8.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity)): uma [base](#def-b1-vspaces-free). Para $X^3$, Taylor em $1$: $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) =
6$:

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

[coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (a linha de Pascal, como se espera de $X^3 =
((X-1)+1)^3$).

**Exercício 18.5 ★★.**

Em $\R^4$, sejam $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ e $G = \{(x,y,z,t)
: x = t = 0\}$. Demonstre que $F \oplus G = \R^4$, e decomponha $(1,2,3,4)$ em consequência.

**Solução de Exercício 18.5.**

$F \cap G$: as condições $x = y = z$ e $x = t = 0$ dão juntas $x = 0$, donde $y = z = 0$, e $t = 0$: a interseção é $\{0\}$. Soma: dado $(x,y,z,t)$, procure $(a,a,a,b) \in F$ e $(0,c,d,0) \in G$ cuja soma seja ele: $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d =
z - x$: sempre possível. Logo $\R^4 = F \oplus G$, e

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**Exercício 18.6 ★★.**

No espaço das sequências, seja $F$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das sequências convergentes e $G = \operatorname{Vect}(u)$, onde $u_n = (-1)^n$. Demonstre que $F \cap G = \{0\}$. Será $F + G$ o espaço inteiro das sequências?

**Solução de Exercício 18.6.**

Um elemento de $G$ é $\lambda u$; se ele converge, então (como $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ tem os dois limites de [subsequências](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/11-sequencias#def-b1-seq-subsequence) $\pm
\lambda$) necessariamente $\lambda = 0$: $F \cap G = \{0\}$.

$F + G$ não é tudo: consiste nas sequências da forma $c_n + \lambda(-1)^n$ com $(c_n)$ convergente. A sequência $v_n =
n$ não é dessa forma ($v_n - \lambda(-1)^n$ é ilimitada, nunca convergente). Logo $F \oplus G \subsetneq$ (espaço de todas as sequências).

**Exercício 18.7 ★★.**

Sejam $F, G, H$ [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) de $E$. Demonstre que

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

e mostre por um exemplo em $\R^2$ que a distributividade irrestrita $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ é falsa.

**Solução de Exercício 18.7.**

($\supseteq$) Tanto $F \cap G$ quanto $F \cap H$ estão em $F$, e a sua soma está em $G + (F \cap H)$: a inclusão segue porque o lado esquerdo é um [subespaço](#def-b1-vspaces-subspace) que contém as duas partes — concretamente, um elemento $g + h$ com $g \in F\cap G$, $h \in F \cap H$ está em $F$ (soma de dois elementos de $F$) e em $G + (F \cap H)$.

($\subseteq$) Seja $x \in F$ com $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F
\cap H$. Então $g = x - h \in F$ (diferença de elementos de $F$), logo $g \in F \cap G$, e $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

Contraexemplo à distributividade plena em $\R^2$: $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Então $G + H = \R^2$, logo $F \cap (G+H) =
F$, ao passo que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$: o lado direito é $\{0\}
\neq F$.

**Exercício 18.8 ★★★.**

Demonstre que as seguintes famílias de $\mathcal{F}(\R, \R)$ são [livres](#def-b1-vspaces-free):

1. $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ para $a_1 < \dots < a_p$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ para $a_i$ distintos *(a [derivabilidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) falha em exatamente um ponto por função)* .

**Solução de Exercício 18.8.**

1. Suponha $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ para todo $x$ . Multiplique por $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p}  \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ quando $x \to  +\infty$ (cada expoente $a_i - a_p < 0$ ). O lado esquerdo é identicamente $0$ , logo $\lambda_p = 0$ ; itere para baixo.
2. Seja $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ para todo $x$ . Avalie em $x = 0$ : $a + c = 0$ ; em $x = \pi$ : $-a + c  = 0$ ; logo $a = c = 0$ , e a relação reduz-se a $b\sin  x + d \sin 2x = 0$ . Avalie em $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; depois em $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
3. Suponha $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ para todo $x$ . A função $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ é [derivável](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) em $a_j$ (cada termo o é, longe do seu próprio bico), logo $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , a diferença delas, também deve ser [derivável](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) em $a_j$ — o que força $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ tem um bico). Isto vale para todo $j$ .

**Exercício 18.9 ★★★.**

Seja $E$ um [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $K$ e $F, G, H$ [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) com $F + G =
F + H$, $F \cap G = F \cap H$ e $G \subseteq H$. Demonstre que $G = H$. Dê um contraexemplo sem a hipótese $G \subseteq H$.

**Solução de Exercício 18.9.**

Seja $h \in H$. Como $h \in H \subseteq F + H = F + G$, escreva $h = f
+ g$ com $f \in F$, $g \in G$. Então $f = h - g \in H$ (os dois termos em $H$, usando $G \subseteq H$), logo $f \in F \cap H = F \cap G
\subseteq G$, e $h = f + g \in G$. Portanto $H \subseteq G$, e com a hipótese $G \subseteq H$: igualdade.

Contraexemplo sem $G \subseteq H$: em $\R^2$, tome $F =
\operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H =
\operatorname{Vect}(1,1)$: então $F + G = F + H = \R^2$ e $F \cap G
= F \cap H = \{0\}$, mas $G \neq H$.

**Exercício 18.10 ★★.**

Em $\R[X]$, seja $\mathcal P$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) *pares* ($P(-X) = P(X)$) e $\mathcal I$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos *ímpares* ($P(-X) = -P(X)$). Demonstre que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal
I$, e mostre que $\mathcal P =
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, isto é, que os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) pares são exatamente os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) em $X^2$.

**Solução de Exercício 18.10.**

Os dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) são [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) (as condições que os definem são lineares e valem para $0$). Decomposição: para $P \in \R[X]$,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

e um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) ao mesmo tempo par e ímpar satisfaz $P = -P$, logo $P = 0$: a soma é direta e vale $\R[X]$.

Agora seja $P = \sum_k a_k X^k$ par. Então $P(X) - P(-X) = 2
\sum_{k \text{ ímpar}} a_k X^k$ é o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, logo todo coeficiente de grau ímpar se anula ([Definição 8.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)): $P \in
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, isto é, $P = Q(X^2)$ para um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q$. Reciprocamente, todo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) em $X^2$ é par.

**Exercício 18.11 ★★.**

Seja $(x_1, x_2, x_3)$ uma [família livre](#def-b1-vspaces-free) de um [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) real $E$. Demonstre que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ é [livre](#def-b1-vspaces-free). A família análoga de quatro vetores $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 +
x_4,\ x_4 + x_1)$ é [livre](#def-b1-vspaces-free) quando $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ o é?

**Solução de Exercício 18.11.**

Suponha $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$. Reagrupando na [família livre](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$:

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

Subtrair as duas primeiras equações dá $c = b$; a terceira então dá $2b = 0$, logo $b = c = 0$, e depois $a = 0$: a família é [livre](#def-b1-vspaces-free).

Para quatro vetores a família análoga é *sempre* linearmente dependente:

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

é uma combinação nula não trivial (coeficientes $1, -1, 1, -1$), qualquer que seja $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. É a paridade do comprimento do ciclo que decide.

**Exercício 18.12 ★★★.**

Seja $E$ um [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$ (ou $\C$) e $F_1, \dots,
F_k$ [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) *próprios* de $E$ (cada $F_i \neq E$).

1. Trate diretamente o caso $k = 2$ : se $F_1 \not\subseteq  F_2$ e $F_2 \not\subseteq F_1$ , tome $x \in F_1  \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ e localize $x  + y$ .
2. Demonstre em geral que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : um [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) sobre um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) infinito nunca é uma união finita de [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) próprios. *(Tome $k$ mínimo, escolha $x \in F_1$ fora dos outros $F_i$, escolha $y \notin F_1$, e siga a reta $t \mapsto y + tx$.)*

**Solução de Exercício 18.12.**

1. Se $F_1 \subseteq F_2$ ou $F_2 \subseteq F_1$ , a união é um dos dois, logo própria. Caso contrário, escolha $x \in F_1  \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ , e considere $x + y$ . Se $x + y \in F_1$ , então $y = (x + y) - x \in  F_1$ : contradição. Se $x + y \in F_2$ , então $x \in F_2$ : contradição. Logo $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , e $E \neq  F_1 \cup F_2$ .
2. Suponha, por absurdo, que $E = F_1 \cup \dots \cup  F_k$ , com $k$ escolhido *mínimo* entre todas essas coberturas. A minimalidade proíbe $F_1 \subseteq F_2 \cup  \dots \cup F_k$ (senão descarte $F_1$ ), logo existe $x \in F_1$ com $x \notin F_i$ para todo $i \geq 2$ . Como $F_1$ é próprio, escolha $y \notin F_1$ . Para cada escalar $t$ , o vetor $y + t x$ está em algum $F_i$ . Ele nunca está em $F_1$ : caso contrário $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (pois $x \in  F_1$ ). O [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) é infinito, logo escolha $k$ escalares distintos $t_1, \dots, t_k$ : os $k$ vetores $y + t_j x$ caem nos $k - 1$ [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) $F_2, \dots, F_k$ , e dois deles, digamos $y + t x$ e $y + t' x$ com $t \neq t'$ , estão no mesmo $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Então a sua diferença $(t - t')x \in F_i$ , logo $x \in F_i$ : contradição. Portanto não existe cobertura finita por [subespaços](#def-b1-vspaces-subspace) próprios.

## 18.5 Problema: interpolação, três bases para um espaço

**Problema 18.1.**

Fixe $n + 1$ pontos *distintos* $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$. Este problema revisita a [interpolação de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) (o [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)) com os olhos deste capítulo: o espaço $\R_n[X]$ carrega três [bases](#def-b1-vspaces-free) naturais — a de Lagrange, a de Newton e (para pontos igualmente espaçados) a [base](#def-b1-vspaces-free) binomial — e cada [base](#def-b1-vspaces-free) torna fácil uma pergunta. O caminho termina num teorema aritmético genuíno: a caracterização de Pólya dos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que levam $\Z$ em $\Z$.

**Parte I — A [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange.** Para $0 \leq i
\leq n$ ponha

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. Verifique que $\deg L_i = n$ e que $L_i(x_j) = 1$ se $j =  i$ , e $0$ se $j \neq i$ .
2. Demonstre que a família $(L_0, \dots, L_n)$ é [livre](#def-b1-vspaces-free) .
3. Demonstre que para todo $P \in \R_n[X]$, $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ e conclua que $(L_0, \dots, L_n)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$. *(Considere a diferença dos dois lados e conte as suas raízes, [Corolário 8.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots).)*
4. Deduza o teorema da interpolação: para quaisquer valores $y_0,  \dots, y_n \in \R$ existe um *único* $P \in  \R_n[X]$ com $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ . Na [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange, quais são as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P$ ?
5. Demonstre as identidades $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{e, para } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**Parte II — A [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton e as [diferenças divididas](#pb-b1-vspaces-1).** Ponha $N_0 = 1$ e $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots
(X - x_{k-1})$ para $1 \leq k \leq n$. Para uma função $f$ definida nos nós, defina as *[diferenças divididas](#pb-b1-vspaces-1)* por $f[x_i] = f(x_i)$ e

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. Demonstre que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ .
7. Calcule $f[x_0, x_1]$ e $f[x_0, x_1, x_2]$ em termos dos valores de $f$ , e depois calcule todas as [diferenças divididas](#pb-b1-vspaces-1) de $f(x) = x^2$ em três nós arbitrários.
8. (Lema de Aitken) Seja $R$ interpolando $f$ em $x_0, \dots,  x_{n-1}$ e $Q$ interpolando $f$ em $x_1, \dots, x_n$, ambos de grau $\leq n - 1$. Demonstre que $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ interpola $f$ em $x_0, x_1, \dots, x_n$.
9. Deduza, por indução sobre o número de nós, que o coeficiente de $X^{k}$ no interpolante de $f$ em $x_0,  \dots, x_k$ é exatamente $f[x_0, \dots, x_k]$ .
10. Demonstre a *fórmula de interpolação de Newton*: o interpolante de $f$ em $x_0, \dots, x_n$ é $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ e deduza a fórmula [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$$ que mostra que $f[x_0, \dots, x_k]$ não depende da ordenação dos nós.

**Parte III — Nós igualmente espaçados: o operador de diferenças.** A partir daqui os nós são $0, 1, 2, \dots$ e, para um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P$, pomos

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. Mostre que se $\deg P = m \geq 1$ com coeficiente dominante $a$ , então $\deg \Delta P = m - 1$ com coeficiente dominante $m\,a$ , e que $\Delta$ mata as constantes.
12. Mostre que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ é uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ e que $\Delta B_k = B_{k-1}$ para $k \geq 1$ .
13. (Fórmula das diferenças progressivas de Newton) Demonstre que todo $P  \in \R_n[X]$ satisfaz $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. Demonstre que para todo $k \geq 0$, $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. Mostre que se $\deg P = n$ com coeficiente dominante $a_n$ , então $\Delta^{n} P$ é a constante $n!\,a_n$ e $\Delta^{n+1} P = 0$ .

**Parte IV — [Polinômios a valores inteiros](#pb-b1-vspaces-1).** Um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P \in \R[X]$ é *a valores inteiros* quando $P(m) \in
\Z$ para todo $m \in \Z$.

16. Demonstre que cada $B_k$ é a valores inteiros. *(Trate $m  \geq k$, $0 \leq m < k$ e $m < 0$ separadamente; para $m =  -q < 0$, mostre que $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$.)*
17. Demonstre a *caracterização de Pólya* : $P \in \R_n[X]$ é a valores inteiros se e somente se as suas [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) na [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_0, \dots, B_n)$ são inteiras.
18. Deduza: se $P \in \R_n[X]$ assume valores inteiros em $n + 1$ inteiros *consecutivos* $a, a+1, \dots, a+n$ , então $P$ é a valores inteiros. *(Translade: aplique o estudo a $Q(X)  = P(X + a)$.)*
19. Deduza da questão 16 que um produto de $k$ inteiros consecutivos é sempre divisível por $k!$ .
20. Seja $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calcule a sua tabela de Newton em $0, 1, 2, 3$ , escreva $P$ na [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ , e conclua que $P$ é a valores inteiros embora nenhum dos seus coeficientes monomiais seja inteiro. Verifique $\Delta P =  (X+1)^2$ e deduza $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ para $m \in \N$ .

**Parte V — Dividendos.**

21. Seja $P \in \R_n[X]$ interpolando os valores $2^i$ em $i =  0, 1, \dots, n$ . Mostre que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ e que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : o “padrão de duplicação” quebra sempre no ponto imediatamente seguinte.
22. (Primitiva discreta) Demonstre que para todos os inteiros $m  \geq 1$ e $k \geq 0$, $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ isto é, a identidade do taco de hóquei $\sum_{j=k}^{m-1}  \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$.
23. Expanda $X^2$ e $X^3$ na [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ e deduza fórmulas [fechadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) para $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ e $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; recupere a identidade de Nicômaco $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
24. Tome $n = 2$ e os nós $0, 1, 2$ . Escreva as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^2$ nas três [bases](#def-b1-vspaces-free) deste problema: a [base](#def-b1-vspaces-free) monomial, a [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange, a [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton. Confira as três respostas contra as questões 4 e 9.
25. Síntese. Em quatro frases: qual conceito de [espaço vetorial](#def-b1-vspaces-def) torna a questão 4 automática; por que a [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton calcula as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) *recursivamente* enquanto a [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange as lê *instantaneamente* ; qual critério de liberdade as duas [bases](#def-b1-vspaces-free) partilham; e em que sentido preciso o teorema de Pólya diz que a integralidade de um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) é uma propriedade das suas [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) *na [base](#def-b1-vspaces-free) certa* .

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $L_i$ é um produto de $n$ fatores lineares dividido por uma constante não nula (os $x_i$ são distintos), logo $\deg L_i = n$. Avaliando em $x_j$ com $j \neq i$: o fator $X - x_j$ do numerador se anula, logo $L_i(x_j) = 0$. Em $x_i$, numerador e denominador coincidem: $L_i(x_i) = 1$.

**2.** Suponha $\sum_i \lambda_i L_i = 0$. Avalie em $x_j$: todos os termos morrem exceto $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$, logo $\lambda_j = 0$ para todo $j$: a família é [livre](#def-b1-vspaces-free).

**3.** Seja $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$. Então $\deg D \leq n$ e, pela questão 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ nos $n + 1$ pontos distintos $x_0, \dots, x_n$. Um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo de grau $\leq n$ tem no máximo $n$ raízes ([Corolário 8.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)), logo $D = 0$. Assim todo $P \in \R_n[X]$ é uma combinação dos $L_i$: a família é geradora e, com a questão 2, uma [base](#def-b1-vspaces-free).

**4.** Dados $y_0, \dots, y_n$, o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P = \sum_i
y_i L_i$ tem grau $\leq n$ e interpola. Unicidade: um $P$ interpolador tem, pela questão 3, [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0), \dots,
P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ na [base](#def-b1-vspaces-free) $(L_i)$, e as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) numa [base](#def-b1-vspaces-free) são únicas ([Proposição 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates)). As [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ na [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange são os seus *valores nos nós* — é este todo o interesse da [base](#def-b1-vspaces-free).

**5.** Aplique a questão 3 a $P = X^k$ ($0 \leq k \leq n$):

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

e $k = 0$ dá $\sum_i L_i = 1$.

**6.** $\deg N_k = k$ exatamente: a família $(N_0, \dots, N_n)$ é uma escada de graus em $\R_n[X]$, logo uma [base](#def-b1-vspaces-free) pelo [Exemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) (liberdade pela [Proposição 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1), geração por descida finita sobre o grau).

**7.** Da recorrência,

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

Para $f(x) = x^2$:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

e então

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** $\deg S \leq n$, pois $Q, R$ têm grau $\leq n - 1$. Em $x_0$: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} =
R(x_0) = f(x_0)$. Em $x_n$: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0)
Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$. Num nó [interior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closure) $x_i$ ($1 \leq i \leq n-1$), tanto $Q$ quanto $R$ tomam o valor $f(x_i)$, logo

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** Indução sobre o número de nós. Um nó: o interpolante é a constante $f(x_0) = f[x_0]$. Suponha a afirmação para $k$ nós e seja $S$ interpolando em $x_0, \dots, x_k$; pela unicidade (questão 4), $S$ é dado pelo lema de Aitken a partir de $R$ (nós $x_0, \dots, x_{k-1}$) e $Q$ (nós $x_1, \dots, x_k$). O coeficiente de $X^{k}$ em $S$ é

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

pela hipótese de indução e pela recorrência que as define.

**10.** Seja $P_k$ o interpolante de $f$ em $x_0, \dots, x_k$. A diferença $P_k - P_{k-1}$ tem grau $\leq k$ e anula-se em $x_0, \dots, x_{k-1}$, logo, pelo teorema do fator aplicado $k$ vezes ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), ela vale $c\,N_k$ para uma constante $c$; comparando os coeficientes de $X^{k}$ e usando a questão 9, $c =
f[x_0, \dots, x_k]$. Telescopando a partir de $P_0 = f(x_0) N_0$ obtém-se a fórmula de Newton. Para a forma [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed), escreva $P_k = \sum_{i \leq
k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, nos nós $x_0, \dots, x_k$) e leia o coeficiente de $X^{k}$: cada $L_i$ contribui com $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$, donde

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

O lado direito é invariante por qualquer [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) dos nós, logo a diferença dividida não depende da ordenação deles.

**11.** Se $P = a X^m + (\text{graus inferiores})$, o teorema binomial dá

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{graus inferiores}),
$$

pois $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ e a parte de grau inferior de $P$ contribui com grau $\leq m - 2$ depois de $\Delta$ (ou seja, com termos de grau $\leq m-2$). Logo $\deg \Delta P = m - 1$ com coeficiente dominante $m a$. Uma constante $c$ dá $\Delta c = c - c = 0$.

**12.** $\deg B_k = k$: escada, logo uma [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ ([Exemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)). Para $\Delta B_k$ ($k \geq 1$), fatore o produto comum:

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

logo $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$.

**13.** Escreva $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ ([base](#def-b1-vspaces-free), questão 12). Aplique $\Delta^{j}$: pela questão 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k
\geq j} c_k B_{k-j}$. Avalie em $0$: $B_0(0) = 1$ e $B_m(0) =
0$ para $m \geq 1$ (o fator $X$ se anula), logo $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$. Esta é a fórmula das diferenças progressivas.

**14.** Indução sobre $k$. Para $k = 0$ a identidade lê-se $P(0) = P(0)$. Suponha-a para $k$ e aplique-a a $\Delta P$:

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

Junte o coeficiente de $P(i)$: ele é $(-1)^{k-i+1}\binom
k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ na primeira soma (deslocada) e $-(-1)^{k-i}\binom ki$ na segunda — juntos

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

pela regra de Pascal, que é a identidade na ordem $k + 1$.

**15.** Iterando a questão 11 a partir do grau $n$, com coeficiente dominante $a_n$: depois de um $\Delta$, grau $n-1$ e coeficiente dominante $n a_n$; depois de dois, $n(n-1)a_n$; depois de $n$ passos, grau $0$ e valor $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$, uma constante. Mais um $\Delta$ a mata: $\Delta^{n+1}P = 0$.

**16.** Se $m \geq k$: $B_k(m) = \binom mk \in \N$. Se $0
\leq m < k$: um fator de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ é nulo, logo $B_k(m) = 0$. Se $m = -q$ com $q \geq 1$:

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

um inteiro. Logo todo $B_k$ leva $\Z$ em $\Z$.

**17.** ($\Leftarrow$) Se $P = \sum_k c_k B_k$ com $c_k \in
\Z$, então para $m \in \Z$, $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ pela questão 16. ($\Rightarrow$) Se $P$ é a valores inteiros, as suas [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) são $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k
(-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (questões 13 e 14), uma combinação inteira dos inteiros $P(0), \dots, P(k)$. Esta é a caracterização de Pólya dos [polinômios a valores inteiros](#pb-b1-vspaces-1).

**18.** Ponha $Q(X) = P(X + a)$, um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ com $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$. As suas [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) em $(B_k)_{k \leq n}$ são $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj
Q(j) \in \Z$ (a questão 14 usa apenas os valores em $0, \dots, k
\leq n$). Pela questão 17 ($\Leftarrow$), $Q$ é a valores inteiros em todo o $\Z$, e portanto $P(X) = Q(X - a)$ também.

**19.** Um produto de $k$ inteiros consecutivos é $m(m-1)
\cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ para algum $m \in \Z$, e $B_k(m) \in
\Z$ pela questão 16: o produto é divisível por $k!$.

**20.** Valores de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ em $0,1,2,3$: $0, 1, 5, 14$. Tabela de diferenças: linha $\Delta$: $1, 4, 9$; linha $\Delta^2$: $3, 5$; linha $\Delta^3$: $2$. Logo, pela questão 13,

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

com [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) inteiras: $P$ é a valores inteiros (questão 17), ao passo que os seus coeficientes monomiais $\frac13, \frac12, \frac16$ não são inteiros. Cálculo direto:

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

Telescopando $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m}
j^2$ (com $P(0) = 0$): a fórmula da soma dos quadrados.

**21.** Os valores $2^i$ em $i = 0, \dots, n$ têm tabela de diferenças constantemente igual a $1$ na borda esquerda: $\Delta^k$ da sequência $(2^i)$ é de novo $(2^i)$ (pois $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), logo $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ para todo $k \leq n$, e $P =
B_0 + B_1 + \dots + B_n$ pela questão 13. Então

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

o padrão quebra no primeiro ponto não controlado.

**22.** Pela questão 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$, logo

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

Para $j < k$ os termos $B_k(j)$ se anulam, logo a soma começa de fato em $j = k$: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$, a identidade do taco de hóquei.

**23.** As tabelas de diferenças (ou o desenvolvimento direto) dão

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(verificação: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$; em $X = 1, 2, 3$ o segundo dá $1, 8, 27$). A questão 22 fornece então

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

Desenvolvendo a última expressão: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom
m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) +
\frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$. Substituindo $m$ por $m + 1$: $1^3 + \dots + m^3 =
\bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$, a identidade de Nicômaco.

**24.** Nós $0, 1, 2$, [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $X^2$. [Base](#def-b1-vspaces-free) monomial $(1, X, X^2)$: [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$. [Base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange: as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) são os valores $(0, 1, 4)$ (questão 4). [Base](#def-b1-vspaces-free) de Newton $(1, X, X(X-1))$: [diferenças divididas](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] = 1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (questão 9), logo [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1)$ — de fato $X + X(X-1) = X^2$. Três [bases](#def-b1-vspaces-free), três vetores de [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates), um só [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def).

**25.** (i) A questão 4 é automática porque $(L_i)$ é uma *[base](#def-b1-vspaces-free)*: existência e unicidade da interpolação são exatamente existência e unicidade das [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates). (ii) A [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton é uma escada, de modo que as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) se calculam por divisões sucessivas — cada novo nó acrescenta um termo sem perturbar os anteriores — ao passo que as [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ na [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange são os valores $P(x_i)$, disponíveis sem cálculo algum. (iii) As duas [bases](#def-b1-vspaces-free) são [livres](#def-b1-vspaces-free) pelos mesmos dois critérios da [Proposição 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria): graus distintos para Newton, avaliação nos nós para Lagrange. (iv) O teorema de Pólya diz que “$P(\Z) \subseteq \Z$”, uma propriedade dos valores, equivale à integralidade das [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) na [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ — a aritmética de um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) só se torna visível na [base](#def-b1-vspaces-free) adaptada à pergunta.