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title: "Dimensão Finita"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita
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# Capítulo 19 — Dimensão Finita

Um [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) por um número finito de vetores carrega uma *dimensão* bem definida — o tamanho comum de todas as suas [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). As demonstrações abaixo decorrem todas de um único motor combinatório, o lema da troca: uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) nunca pode ser mais numerosa do que uma geradora. Com a dimensão vêm as ferramentas usadas em toda parte depois: o teorema da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) incompleta, o [posto](#def-b1-findim-rank) de uma família, a fórmula de Grassmann.

## 19.1 Existência de bases

**Definição 19.1.**

$E$ tem *dimensão finita* quando possui uma família geradora finita. (Caso contrário, tem *dimensão infinita*: é o caso de $K[X]$, cujas famílias finitas só geram [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau limitado.)

**Teorema 19.2 (Lema da troca).**

Seja $(g_1, \dots, g_n)$ geradora de $E$ e $(f_1, \dots, f_p)$ [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em $E$. Então $p \leq n$.

**Demonstração.** Demonstramos por indução sobre $k \leq p$: *depois de renumerar os $g_j$, a família $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ gera $E$* — o que força $k \leq n$ em cada etapa, e $p \leq n$ no final.

$k = 0$: é a hipótese. Passo: suponha-o para $k - 1$; então $f_k$ é uma combinação de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$. Nessa combinação algum $g_j$ ($j \geq k$) tem coeficiente não nulo — caso contrário $f_k$ seria uma combinação de $f_1, \dots, f_{k-1}$, contradizendo a liberdade. Renumere de modo que $j = k$, e isole $g_k$: $g_k$ é uma combinação de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots,
g_n)$. Todo vetor de $E$, expresso através da família com $k - 1$ elementos, pode então ser reexpresso através da família com $k$ elementos: ela gera. (Se $k - 1 = n$, nenhum $g$ resta e $f_k$ seria uma combinação apenas dos $f_i$: impossível; logo $k \leq n$.) ∎

**Exemplo 19.3 (A troca, observada uma vez).**

Em $\R^2$, tome a família geradora $\bigl(g_1, g_2\bigr) =
\bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ e a [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1,
f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. Passo $1$: $f_1 = 1\cdot
g_1 + 2\cdot g_2$; o coeficiente de $g_2$ é não nulo, logo troque $g_2$ por $f_1$: a família $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ ainda gera ($g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). Passo $2$: $f_2 =
(3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$; o coeficiente do $g_1$ restante é não nulo (e tem de ser: $f_2$ não é múltiplo de $f_1$), logo troque de novo: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ gera $\R^2$. Se houvesse um terceiro vetor [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $f_3$, nenhum $g$ restaria para absorvê-lo — e é precisamente assim que o lema proíbe $3$ vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em $\R^2$. A demonstração acima é esta contabilidade feita em geral.

**Teorema 19.4 (Bases em dimensão finita).**

Seja $E \neq \{0\}$ de [dimensão finita](#def-b1-findim-def).

1. De toda família geradora finita pode-se extrair uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) .
2. (Teorema da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) incompleta) Toda [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) estende-se a uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) , usando vetores de qualquer família geradora escolhida.
3. Todas as [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$ são finitas e têm o mesmo número de elementos: a *dimensão* $\dim E$ . (Convenção: $\dim\{0\} = 0$ .)

**Demonstração.** (1) Descarte, um de cada vez, qualquer vetor que seja combinação dos outros; a família continua geradora, pois em qualquer expressão que use o vetor descartado pode-se substituir a sua combinação dos sobreviventes. O processo termina — cada passo encolhe em um uma família finita — e para exatamente quando nenhum vetor restante é combinação dos outros. A família final ainda é geradora, e é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free): uma combinação nula não trivial teria algum coeficiente não nulo, e dividir por ele permitiria isolar o vetor correspondente em função dos outros, tornando-o descartável afinal — em contradição com o fato de o processo já ter parado.

(2) Seja $(f_1, \dots, f_p)$ [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e $(g_1, \dots, g_n)$ geradora. Percorra $g_1, \dots, g_n$, acrescentando $g_j$ à família corrente sempre que ele ainda não estiver no [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) por ela (a [Proposição 18.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) mantém a [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)). A família final é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), e geradora: todo $g_j$ está no seu [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) — ou foi acrescentado, ou já era uma combinação.

(3) Duas [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) são cada uma [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e cada uma geradora: o lema da troca dá as duas desigualdades entre as suas [cardinalidades](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card). (Finitude: uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), logo, pela troca, não é maior do que uma família geradora finita.) ∎

**Exemplo 19.5.**

$\dim K^n = n$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monômios); $\dim_\R \C = 2$; o espaço das soluções de $y'' + ay' + by = 0$ tem dimensão $2$ ([Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#thm-b1-diffeq-homogeneous2): as soluções são parametrizadas [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e linearmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$).

**Exemplo 19.6 (O mesmo conjunto, duas dimensões).**

O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\C^2$ dos pares de números complexos é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $\C$ de dimensão $2$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica $e_1, e_2$) — e um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$ de dimensão $4$, com [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) reais $(a, b, c, d)$, de modo único. A dimensão não é uma propriedade do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de vetores sozinho: ela conta os graus de liberdade *relativamente aos escalares permitidos*, e reduzir pela metade o estoque de escalares, de $\C$ para $\R$, duplica a contagem. (O problema de fim de semana explora o caso extremo dessa sensibilidade, com os escalares encolhidos até $\Q$.)

**Exemplo 19.7 (Executando o algoritmo de completamento).**

Complete a [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$ usando os vetores canônicos. Execute a demonstração do [Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) sobre a família geradora $(e_1,
e_2, e_3)$: será $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$? Não (os múltiplos de $(1,1,1)$ têm [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) iguais) — acrescente-o. Será $e_2 \in
\operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$? Uma combinação $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ tem a segunda e a terceira [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) iguais, e $e_2$ não as tem — acrescente-o. A família $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e tem $3$ vetores: pare, ela é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) tornará esse reflexo oficial). Note que o resultado depende da ordem em que os $g_j$ são percorridos: completar é um algoritmo, não uma fórmula.

**Proposição 19.8 (A regra dois em três).**

Seja $\dim E = n$ e $\mathcal{F}$ uma família de exatamente $n$ vetores de $E$. Então

$$
\mathcal{F} \text{ livre} \iff \mathcal{F} \text{ geradora} \iff
\mathcal{F} \text{ base}.
$$

Além disso, toda [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) tem $\leq n$ vetores, e toda família geradora $\geq n$.

**Demonstração.** As cotas de [cardinalidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card) são o lema da troca contra uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). Se $\mathcal{F}$ (de tamanho $n$) é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) mas não geradora, algum $x$ está fora do seu [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span); acrescentar $x$ dá uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) com $n + 1$ vetores: impossível. Se $\mathcal{F}$ é geradora mas não [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), extrair uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (o [Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) dá uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) com $< n$ vetores: impossível. ∎

**Exemplo 19.9 (Dois em três, poupando metade do trabalho).**

Será $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$? Conte: três vetores, dimensão três — logo só a liberdade decide. Uma combinação nula dá $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b +
c = 0$; somando as três, $2(a + b + c) = 0$, e subtraindo cada equação original de $a + b + c = 0$ resta $b = c = a =
0$: [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), logo uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), com a metade “geradora” da verificação fornecida de graça pelo teorema. Compare com o [Exemplo 18.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ex-b1-vspaces-testbasis), em que a mesma verificação dupla teve de ser feita à mão — um capítulo de teoria converte-se exatamente nessa economia, em cada verificação de [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do resto do livro.

**Método 19.10 (Calcular uma dimensão).**

Três vias padrão, em ordem decrescente de frequência.

1. *Parametrize e leia uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).* Resolva as restrições que definem o espaço, exprima o elemento geral linearmente nos parâmetros sobreviventes, e verifique que os vetores que multiplicam os parâmetros são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) : a dimensão é o número de parâmetros. (Executada abaixo num [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) concreto de $\R^4$ .)
2. *Exiba uma parametrização linear [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj).* Quando os elementos são determinados por um número finito de valores — condições iniciais de uma recorrência ( [Exercício 19.10](#exo-b1-findim-10) ), coeficientes de uma fórmula de solução (o [Exemplo 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — a dimensão é o número desses valores.
3. *Use as fórmulas.* Grassmann para interseções e somas, o [posto](#def-b1-findim-rank) para [espaços gerados](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) , e mais tarde o teorema do núcleo e da imagem para núcleos e imagens: as dimensões são em geral *calculadas* , não adivinhadas.

Nas três vias, a regra dois em três é o remate: assim que a contagem bate, só a liberdade ou só a geração já concluem.

**Exemplo 19.11 (Via 1, por extenso).**

Dimensão de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ e } x = t\}$. Resolva: $t = x$ e $y + z = -2x$, logo $z =
-2x - y$ com $x, y$ [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free):

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

Os dois vetores são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (olhe para as duas primeiras [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates): $(x, y) = (0,0)$), logo formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $H$ e $\dim H = 2$. A contagem era previsível — duas restrições lineares independentes em $\R^4$ deveriam comer uma dimensão cada — mas a parametrização a demonstra *e* entrega uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), o que a previsão sozinha nunca faz; o [Exercício 19.9](#exo-b1-findim-9) transforma o lema “cada equação come no máximo uma dimensão” num teorema.

**Exemplo 19.12 (Via 2, por extenso).**

Dimensão de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (para $n
\geq 2$). Pelo teorema do fator aplicado duas vezes ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor); as raízes $1$ e $2$ são distintas), $P \in W$ exatamente quando $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ com $\deg Q \leq
n - 2$. A correspondência $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ é linear, atinge todo o $W$ e é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (um produto só é nulo se $Q = 0$): $W$ é parametrizado [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e linearmente por $\R_{n-2}[X]$, logo

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

Uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) vem junto com a parametrização: as imagens dos monômios, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. Cada nova restrição de avaliação num ponto novo custa exatamente uma dimensão — a espinha dorsal de contagem da [interpolação de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)).

**Exemplo 19.13 (Uma restrição integral também custa uma dimensão).**

Dimensão de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. Escrevendo $P = a + bX + cX^2$, a restrição lê-se $a + \frac b2 + \frac
c3 = 0$; isole $a$ e parametrize:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

logo $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$, dimensão $2$ (os dois [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) têm graus distintos: [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)). Uma condição linear — seja uma avaliação, uma [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) ou qualquer outra receita linear — remove no máximo uma dimensão, e exatamente uma assim que a condição não é identicamente nula. O [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) chamará tais receitas de *formas lineares* e os seus [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções de *hiperplanos*; os vetores de [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) encontrados aqui reaparecem no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) como o início da família de Legendre.

## 19.2 Subespaços, posto, Grassmann

**Teorema 19.14 (Subespaços).**

Seja $E$ de [dimensão finita](#def-b1-findim-def) e $F$ um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace). Então $F$ tem [dimensão finita](#def-b1-findim-def), $\dim F \leq \dim E$, com igualdade se e somente se $F = E$. Além disso, todo [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) tem um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum).

**Demonstração.** As [famílias livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$ têm no máximo $\dim E$ vetores (lema da troca em $E$: uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$ é em particular [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em $E$, e $E$ tem uma família geradora finita). Entre as [famílias livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$ escolha uma de tamanho *máximo* $p$ — possível, pois os tamanhos são inteiros majorados por $\dim E$. Ela gera $F$: caso contrário algum $x \in F$ ficaria fora do seu [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span), e acrescentar $x$ daria uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$ de tamanho $p + 1$ (a [Proposição 18.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), contradizendo a maximalidade. Sendo [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e geradora, é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$, e $\dim F = p \leq \dim E$. Se $p = \dim E = n$: uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $n$ vetores de $E$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$ (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), logo $F
\supseteq \operatorname{span} = E$. [Suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum): complete uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1},
\dots, g_n)$ de $E$ (teorema da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) incompleta); então $G =
\operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ satisfaz $E = F \oplus G$ (existência e unicidade das decomposições = [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) grande). ∎

**Definição 19.15 (Posto de uma família).**

O *posto* de uma família finita de vetores é a dimensão do seu [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span): $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, com igualdade a $p$ se e somente se a família é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).

**Exemplo 19.16 (Calcular um posto por eliminação).**

[Posto](#def-b1-findim-rank) de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ em $\R^3$. O [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) não muda quando se subtrai de um vetor uma combinação dos outros (as duas famílias geram as mesmas combinações): substitua $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ e $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. O [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) é agora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2),
(1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, e estes dois vetores não são proporcionais: o [posto](#def-b1-findim-rank) é $2$. Este procedimento de subtrair e descartar é sistematizado como eliminação de Gauss no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det).

**Exemplo 19.17 (Somar por concatenação).**

Tome, em $\R^3$,

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

A soma $F + G$ é gerada pela família concatenada dos três geradores, e

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

mostra que o terceiro é redundante: $F + G = F$, de dimensão $2$ — equivalentemente $G \subseteq F$, o que a relação exibe. Grassmann confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. As somas calculam-se concatenando geradores e depois reduzindo a pilha pelo algoritmo do [posto](#def-b1-findim-rank); nenhuma técnica nova é jamais necessária.

**Teorema 19.18 (Fórmula de Grassmann).**

Para [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ de $E$ de [dimensão finita](#def-b1-findim-def):

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

Em particular, $F + G$ é direta se e somente se $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$.

**Demonstração.** Parta de uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$; complete-a numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ e numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$ (o [Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). Afirmamos que

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F + G$; a fórmula segue por contagem: $(r + s) +
(r + t) - r = r + s + t$.

$\mathcal{B}$ gera $F + G$: todo $u + v$ ($u \in F$, $v \in G$) se desenvolve nela. Liberdade: suponha $\sum \alpha_i e_i + \sum
\beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. O vetor $w = \sum \gamma_k
g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ está em $G \cap F$, logo desenvolve-se apenas nos $(e_i)$; mas $w$ também se desenvolve nos $(g_k)$, e na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $G$ essas duas expressões devem coincidir: todos os $\gamma_k = 0$ (e as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) em $e$ coincidem). A relação reduz-se a $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$, uma relação na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$: todos os coeficientes restantes se anulam. ∎

**Exemplo 19.19.**

Dois planos distintos $F, G$ (dimensão $2$) de $\R^3$ satisfazem $F + G
= \R^3$ (a sua soma contém estritamente um plano), logo $\dim(F \cap G) =
2 + 2 - 3 = 1$: eles sempre se intersectam ao longo de uma reta — não há “planos paralelos” pela origem.

**Exemplo 19.20 (Grassmann em ação, em R4\R^4R4).**

Sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ em $\R^4$. Dimensões: $\dim F = 3$ (o terceiro gerador tem terceira coordenada não nula, fora de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) e $\dim G = 2$. Soma: $F + G$ contém $e_1, e_2, e_4$ e $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 -
e_2$: é todo o $\R^4$. Grassmann então *calcula* o tamanho da interseção sem eliminação alguma:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

Para identificar a reta, olhe dentro de $G$: um vetor $(0, 0, c, d)$ está em $F$ exatamente quando é $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$, o que força $\lambda = -a = -b$ e $d = 0$: a interseção é $\operatorname{Vect}(e_3)$ — coerente, pois $e_3$ foi exibido em $F$ acima e está em $G$ por definição. Divisão de trabalho típica: Grassmann prevê *quanto* procurar, e o sistema linear encontra *o quê*.

**Exemplo 19.21 (Intersectar por equações).**

Quando os dois [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) vêm como [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções, intersectar é apenas empilhar as equações. Em $\R^3$: $F = \{x + y + z = 0\}$ e $G = \{x = y\}$ dão

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

uma reta. Confira por Grassmann: $F + G = \R^3$ (os planos são distintos, logo a sua soma contém estritamente um plano), donde $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$. As duas descrições de um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) — por equações e por geradores — tornam trivial, cada uma, uma operação: as equações intersectam-se empilhando, os geradores somam-se concatenando; converter de uma para a outra é exatamente o que significa resolver um sistema linear ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det)).

**Observação 19.22 (Armadilhas comuns).**

*As dimensões não se somam ao longo das somas* a não ser que a soma seja direta: dois planos de $\R^3$ têm $\dim(F + G) = 3$, e não $4$; corrija sempre pelo termo de interseção (Grassmann). *Uma inclusão precisa da dimensão *e* da inclusão*: $\dim F = \dim G$ sozinho nunca dá $F = G$ (duas retas distintas de $\R^2$); o caso de igualdade do [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) exige antes $F \subseteq G$. *Contar parâmetros ainda não é uma demonstração*: “duas equações em $\R^4$, logo dimensão $2$” falha quando as equações são dependentes ($x + y = 0$ e $2x + 2y = 0$ deixam dimensão $3$); só uma parametrização efetiva ou um cálculo de [posto](#def-b1-findim-rank) decide. *Não fale da dimensão de algo que não é [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace)*: os [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções de sistemas *não homogêneos* não contêm $0$; a sua “dimensão” é a do espaço de soluções homogêneas associado (o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) torna isto preciso). *A dimensão infinita existe*: $K[X]$ contém [famílias livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de todo tamanho (os monômios), logo nenhuma família geradora finita pode existir — enunciados como a regra dois em três são estritamente de [dimensão finita](#def-b1-findim-def) e falham feio em $K[X]$ (o [Corolário 20.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#cor-b1-linmaps-samedim) mostrará o mesmo para injetividade e sobrejetividade). *O [posto](#def-b1-findim-rank) diz respeito ao [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span), não à lista*: repetir um vetor, reordenar ou reescalar por constantes não nulas deixa o [posto](#def-b1-findim-rank) inalterado, e $\operatorname{rk} = p$ (o número de vetores) é uma *propriedade a demonstrar* — ela é exatamente a liberdade. Uma família de $5$ vetores de [posto](#def-b1-findim-rank) $2$ carrega redundância equivalente a três vetores, que a eliminação (o [Exemplo 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) localiza explicitamente.

**Observação 19.23 (Onde a dimensão vai trabalhar).**

Daqui em diante, a dimensão é o argumento de contagem favorito do livro. O [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) demonstra o teorema do núcleo e da imagem, a versão funcional da fórmula de Grassmann; o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) calcula [postos](#def-b1-findim-rank) por redução de linhas; o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) transforma “$n$ vetores de $K^n$ formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)” num único número ser não nulo. O problema de fim de semana abaixo mostra a dimensão fazendo *aritmética*: contar dimensões sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) $\Q$ demonstra afirmações de irracionalidade que parecem intocáveis à mão. No volume do terceiro ano de graduação, as mesmas contagens de dimensão, refinadas pela teoria de [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group), decidem quais problemas clássicos de construção são solúveis — essa história é a teoria de Galois.

**Observação 19.24 (Perspectivas dentro do Livro 3).**

A dimensão é a grandeza conservada do resto deste volume, e vale a pena nomear as leis de conservação com antecedência. O [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) demonstra $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$: o que uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) linear esmaga mais o que ela conserva totaliza sempre o espaço de partida. O [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) refina isto na estrutura dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções: $p$ incógnitas menos $\operatorname{rk} A$ pivôs deixam a dimensão do espaço de soluções, que a eliminação de Gauss exibe como parâmetros [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). O [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $\dim E = \dim F + \dim
F^\perp$ ortogonalmente, e o problema de fim de semana do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar) gasta exatamente este orçamento: $n$ pontos de dados, $2$ parâmetros ajustados, $n - 2$ dimensões de resíduo. Sempre que uma contagem se recusar a fechar num capítulo posterior, o erro é um núcleo esquecido ou uma soma não direta — volte primeiro à fórmula de Grassmann.

## 19.3 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Dê uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e a dimensão de:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**Solução de Exercício 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; os dois vetores são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) ( [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) ): $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ significa $(X-1)^2 \mid P$ ( [Proposição 8.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity) ): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [Base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensão $2$ .

**Exercício 19.2 ★.**

Calcule o [posto](#def-b1-findim-rank) da família $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ em $\R^3$, e extraia uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do seu [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span).

**Solução de Exercício 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ e $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: ambos são combinações dos dois primeiros, que são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (não proporcionais). [Posto](#def-b1-findim-rank) $2$; [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**Exercício 19.3 ★.**

Complete a [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\R^4$ usando vetores canônicos, e justifique.

**Solução de Exercício 19.3.**

Tente acrescentar $e_1 = (1,0,0,0)$ e $e_3 = (0,0,1,0)$. A família $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free): uma combinação nula $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta
e_3 = 0$ lê-se $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) =
0$, logo $\alpha = \beta = 0$, e depois $\gamma = \delta = 0$. Quatro vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em dimensão $4$: uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**Exercício 19.4 ★.**

Demonstre que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$, e encontre as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ nela.

**Solução de Exercício 19.4.**

Graus $0, 1, 2, 3$ dois a dois distintos: [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 18.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-freecriteria)), quatro vetores em dimensão $4$: [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). Para $X^3$: desenvolva para baixo,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

logo $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$; e $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X
= 3\,X(X-1) + X$. Logo

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ em $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (São números de Stirling disfarçados.)

**Exercício 19.5 ★★.**

Sejam $F$ e $G$ [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensões $4$ e $5$ de um espaço $E$ com $\dim E = 7$. Quais são os valores possíveis de $\dim(F \cap
G)$? Dê um exemplo realizando cada valor com $E = \R^7$.

**Solução de Exercício 19.5.**

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, e $F + G$ é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ que contém $G$: $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. Logo $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. Realizações em $\R^7$ com a [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica $(e_1, \dots, e_7)$, tomando $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , interseção $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensão $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : interseção de dimensão $3$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensão $4$ .

**Exercício 19.6 ★★.**

Seja $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. Demonstre que $H$ é um hiperplano de $\R_n[X]$ (um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensão $n$), exiba uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $H$ *(pense no teorema do fator: $P = (X-1)Q$)*, e dê uma reta [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum).

**Solução de Exercício 19.6.**

$H$ é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) (o [Exercício 18.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#exo-b1-vspaces-1) (4), palavra por palavra). Pelo teorema do fator ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), $P \in H \iff P =
(X-1)Q$ com $\deg Q \leq n - 1$: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ é uma bijeção linear de $\R_{n-1}[X]$ sobre $H$, logo uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $H$ é

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

Uma reta [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum): $\operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). De fato $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (uma constante não nula não se anula em $1$) e as dimensões somam $n + 1$: por Grassmann, $H
\oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$.

**Exercício 19.7 ★★.**

Sejam $u_1, \dots, u_p$ vetores de [posto](#def-b1-findim-rank) $r$. Demonstre que retirar um vetor dá uma família de [posto](#def-b1-findim-rank) $r$ ou $r - 1$, e que acrescentar um vetor dá [posto](#def-b1-findim-rank) $r$ ou $r + 1$. Deduza que o [posto](#def-b1-findim-rank) varia no máximo em $1$ sob qualquer inserção ou remoção isolada.

**Solução de Exercício 19.7.**

Remoção: retirando $u_p$, o [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) só pode encolher; e encolhe no máximo uma dimensão, pois recolocar $u_p$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do espaço menor dá uma família geradora do maior com no máximo um vetor a mais. Simetricamente, ao acrescentar um vetor $v$: o novo [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) contém o antigo com no máximo um gerador a mais, logo a sua dimensão é $r$ (se $v$ já estava no [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span)) ou $r + 1$ (caso contrário, pela [Proposição 18.19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) se estende). Os dois enunciados juntos dão a conclusão “o [posto](#def-b1-findim-rank) é $1$-lipschitziano”.

**Exercício 19.8 ★★★.**

Sejam $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ ($\dim E = n$) com $F_i \neq F_{i+1}$ para todo $i$. Demonstre que $k
\leq n + 1$. Deduza que uma cadeia estritamente crescente de [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de $\R^n$ tem comprimento no máximo $n + 1$, e exiba uma de comprimento máximo.

**Solução de Exercício 19.8.**

Ao longo de uma cadeia estritamente crescente, as dimensões crescem estritamente ($F_i \subseteq F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ e o [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): a igualdade das dimensões forçaria a igualdade dos espaços). Logo $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ é uma sequência estritamente crescente de inteiros em $\intint{0}{n}$: no máximo $n + 1$ valores, $k \leq n + 1$. Cadeia maximal em $\R^n$:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

de comprimento exatamente $n + 1$.

**Exercício 19.9 ★★★.**

Seja $E$ de dimensão $n$ e $F$, $G$ dois hiperplanos (dimensão $n - 1$), $F \neq G$. Calcule $\dim(F \cap G)$. Generalize: a interseção de $k$ hiperplanos tem dimensão $\geq n - k$.

**Solução de Exercício 19.9.**

$F + G$ contém estritamente $F$ (pois $G \not\subseteq F$), logo $\dim(F + G) = n$ e Grassmann dá $\dim(F \cap G) = (n-1) +
(n-1) - n = n - 2$.

Afirmação geral, por indução sobre $k$: a interseção $I_k$ de $k$ hiperplanos tem $\dim I_k \geq n - k$. Verdadeira para $k = 1$. Passo: $I_{k+1}
= I_k \cap H_{k+1}$, e Grassmann dentro de $E$:

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**Exercício 19.10 ★★.**

Seja $E$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das sequências reais que satisfazem $u_{n+2} =
3u_{n+1} - 2u_n$ para todo $n$.

1. Mostre que $E$ é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) do espaço das sequências, e que uma sequência de $E$ está inteiramente determinada, de modo linear, pelo par $(u_0, u_1)$ ; deduza $\dim E = 2$ .
2. Verifique que a sequência constante $(1)$ e a sequência geométrica $(2^n)$ estão em $E$ e formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$ .
3. Encontre a sequência de $E$ com $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

**Solução de Exercício 19.10.**

1. A condição $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ é linear e satisfeita pela sequência nula: $E$ é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) . Por indução, $u_0$ e $u_1$ determinam todo $u_n$ , e a dependência é linear (cada passo é uma combinação linear dos dois valores anteriores); reciprocamente, todo par $(a, b)$ provém de exatamente uma sequência de $E$ (defina $u_n$ pela recorrência). Como no [Exemplo 19.5](#ex-b1-findim-dims) , $E$ é parametrizado [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e linearmente por $(u_0, u_1) \in  \R^2$ : $\dim E = 2$ .
2. Constantes: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geométrica: $3\cdot  2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Ambas estão em $E$ . Liberdade: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ para todo $n$ dá, em $n = 0$ e $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , logo $a = b = 0$ . Dois vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em dimensão $2$ : uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. Resolva $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , logo $u_n = 2^n - 1$ (a sequência de Mersenne).

**Exercício 19.11 ★★.**

Seja $E$ de dimensão $n$.

1. Se $F, G$ são [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) com $\dim F + \dim G > n$ , demonstre que $F \cap G \neq \{0\}$ . Ilustre: dois [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensões $51$ e $50$ de $\R^{100}$ sempre partilham um vetor não nulo.
2. Se $H$ é um hiperplano e $F$ um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) com $F \cap H =  \{0\}$ , demonstre que $\dim F \leq 1$ .

**Solução de Exercício 19.11.**

1. Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F +  G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , logo $F \cap G \neq  \{0\}$ . Com $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , e a interseção contém uma reta.
2. Se $F \cap H = \{0\}$ , a soma é direta e $\dim F +  (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , logo $\dim F \leq 1$ . (Reciprocamente, uma reta não contida em $H$ satisfaz isto: os hiperplanos deixam escapar quase nada.)

**Exercício 19.12 ★★★.**

([Suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) comum) Sejam $F, G$ [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ (de [dimensão finita](#def-b1-findim-def)) com $\dim F = \dim G$. Demonstre que $F$ e $G$ admitem um [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) *comum*: existe um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $S$ com $E = F
\oplus S = G \oplus S$. *(Faça indução decrescente sobre $\dim F$: se $F
\neq G \neq E$, escolha $x \notin F \cup G$ — o [Exercício 18.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#exo-b1-vspaces-12) o permite — e considere $F \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ e $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$.)*

**Solução de Exercício 19.12.**

Indução decrescente sobre $d = \dim F = \dim G$, de $d = n$ até $d = 0$. Se $d = n$: $F = G = E$ e $S = \{0\}$ serve. Suponha o enunciado válido para pares de [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensão $d + 1 \leq n$, e seja $\dim F = \dim G = d < n$.

Se $F = G$: tome para $S$ um [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) qualquer de $F$ (o [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). Se $F \neq G$: ambos são próprios, logo pelo [Exercício 18.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#exo-b1-vspaces-12) existe $x \notin F \cup G$. As somas $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ e $G' = G \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ são diretas ($x \notin F$, $x \notin G$) e têm dimensão $d + 1$; pela hipótese de indução elas admitem um [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) comum $S'$: $E = F' \oplus S' = G' \oplus
S'$. Ponha $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — direta, porque $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' =
\{0\}$.

Então $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, e $F \cap S = \{0\}$: se $f = \lambda x + s'$ com $f \in F$, $s'
\in S'$, então $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, logo $f
= \lambda x$, o que força $\lambda = 0$ ($x \notin F$) e $f = 0$. Logo $E = F \oplus S$, e simetricamente $E = G \oplus S$.

## 19.4 Problema: a lei das torres de Dedekind

**Problema 19.1.**

Nada nos Capítulos 18–19 usou coisa alguma sobre os escalares além dos axiomas de [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) (a [Definição 7.22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field)): pode-se portanto tomar $K = \Q$ e medir [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de *números reais* com a régua da $\Q$-dimensão. Este problema calcula a dimensão de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$, demonstra a *[lei das torres](#pb-b1-findim-1) de Dedekind* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$, e colhe teoremas de irracionalidade por pura contagem de dimensões — sem $\varepsilon$, sem decimais, apenas [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).

**Parte I — Escalares racionais.**

1. Verifique que $\Q$ é um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) e que toda definição e toda demonstração dos Capítulos 18–19 usam apenas os axiomas de [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) dos escalares; conclua que $\R$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $\Q$ e que o lema da troca, os teoremas sobre [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e a fórmula de Grassmann valem sobre $\Q$ . Aponte o único passo da demonstração do [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange) em que se efetua uma divisão por um escalar não nulo.
2. Mostre que $(1, \sqrt2)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ mas linearmente dependente sobre $\R$ . Ponha $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1,  \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; quanto vale $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
3. Mostre que $\Q(\sqrt2)$ é estável por multiplicação. Para $u = a + b\sqrt2$ ponha $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ e $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Mostre que $\sigma(uv) =  \sigma(u)\sigma(v)$ , deduza $N(uv) = N(u)N(v)$ , e mostre que $N(u) \neq 0$ sempre que $u \neq 0$ .
4. Deduza que todo $u \in \Q(\sqrt2)$ não nulo tem o seu inverso em $\Q(\sqrt2)$ , a saber $u^{-1} =  \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ é um subcorpo de $\R$ . Calcule $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ e $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**Parte II — Adjungindo $\sqrt3$.**

5. Demonstre que $\sqrt6 \notin \Q$ *(compare o expoente de $2$ nos dois lados de $6q^2 = p^2$, como no [Exercício 6.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-7))* , e depois que $\sqrt3 \notin  \Q(\sqrt2)$ *(eleve $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ ao quadrado e discuta os casos $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$)* .
6. Seja $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . Mostre que $M$ é estável por multiplicação *(basta uma tabela dos produtos dos vetores da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free))* .
7. Escreva $K = \Q(\sqrt2)$ . Mostre que $(1, \sqrt3)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) *sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) $K$* , e deduza que $M = K +  K\sqrt3$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $K$ de dimensão $2$ com [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ .
8. Demonstre que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ , logo $\dim_\Q M = 4$ . *(Agrupe uma relação nula como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ e aplique as questões 7 e depois 2.)*

**Parte III — A [lei das torres](#pb-b1-findim-1).** Sejam $\Q \subseteq K
\subseteq M \subseteq \R$, onde $K$ e $M$ são subcorpos, $(e_1,
\dots, e_m)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $K$ como [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $\Q$, e $(f_1,
\dots, f_n)$ uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $M$ como [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $K$.

9. Mostre que os $mn$ produtos $(e_i f_j)$ geram $M$ sobre $\Q$ .
10. Mostre que a família $(e_i f_j)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ . *(Reorganize uma $\Q$-combinação nula como $\sum_j  \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$, cujos coeficientes internos vivem em $K$.)*
11. Conclua com a *[lei das torres](#pb-b1-findim-1) de Dedekind*: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ e verifique-a em $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ contra as questões 7 e 8.
12. ( [Corpos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) de graça) Seja $A \subseteq \R$ um $\Q$ -subespaço de [dimensão finita](#def-b1-findim-def) contendo $1$ e estável por multiplicação, e seja $u \in A$ , $u \neq  0$ . Mostre que se $(a_1, \dots, a_d)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $A$ , então $(u a_1, \dots, u a_d)$ é ainda uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $A$ ; deduza que $u$ tem um inverso *em $A$* : $A$ é um subcorpo de $\R$ . Que questões anteriores isto recupera?
13. Mostre que para todo $x \in A$ (como na questão 12, $\dim_\Q  A = d$ ) a família $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ é linearmente dependente: todo elemento de $A$ é raiz de um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo com coeficientes racionais, de grau no máximo $d$ .

**Parte IV — Um número gera tudo.** Ponha $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. Calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) de $s^2$ , $s^3$ e $s^4$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
15. Mostre que $(1, s, s^2, s^3)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ , e deduza $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : todo elemento de $M$ é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) racional em $s$ . Exprima $\sqrt2$ e $\sqrt3$ como tais [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) .
16. Verifique $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , e mostre que $X^4 - 10X^2  + 1$ é o *[polinômio mônico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de menor grau* que se anula em $s$ . Determine as suas quatro raízes reais.
17. Deduza: $1/s = 10s - s^3$ ; identifique este número. Mostre que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) é racional se e somente se $b = c = d = 0$ ; em particular $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ é irracional (o que reforça o [Exercício 10.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-7) ).

**Parte V — A raiz cúbica fica de fora.** Ponha $t
= 2^{1/3}$.

18. Mostre que $X^3 - 2$ não tem raiz racional *(o critério da raiz racional do [Exercício 8.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-5), ou uma contagem de valorações)* ; deduza que $(1, t)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ .
19. Mostre que $(1, t, t^2)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ . *(Se algum $P \in \Q[X]$ não nulo de grau $\leq 2$ anula $t$, tome um de menor grau e divida $X^3 - 2$ por ele, [Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division); conclua que $X^3 - 2$ teria uma raiz racional.)* Deduza que $A =  \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ tem dimensão $3$ , é estável por multiplicação e é um subcorpo de $\R$ .
20. Demonstre que $t \notin M$ : caso contrário $M$ seria um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) $A$ , e a [lei das torres](#pb-b1-findim-1) forçaria $3 \mid 4$ . Logo $2^{1/3}$ não é uma combinação racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. Deduza que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ é irracional, e que nenhuns racionais $a, b$ satisfazem $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**Parte VI — Todos os subcorpos, e síntese.**

22. Demonstre a [divisibilidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) dos graus: se $\Q \subseteq A  \subseteq B \subseteq \R$ são subcorpos com $\dim_\Q B$ finita, então $\dim_\Q A$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $\dim_\Q B$ . Quais são as dimensões possíveis dos subcorpos de $M$ ?
23. Determine *todos* os subcorpos de $M$ de dimensão $2$ sobre $\Q$ . *(Reduza a encontrar os $w = a + b\sqrt2  + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ com $w^2 \in  \Q$: desenvolva $w^2$ e anule as três [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) irracionais.)*
24. Exprima $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(multiplique por conjugados bem escolhidos)* .
25. Síntese, em quatro frases: por que a $\Q$ -dimensão é um invariante *aritmético* de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de reais; o que a finitude da dimensão força sobre cada elemento (questão 13); como a regra dois em três produziu inversos do nada (questão 12); e o que a [lei das torres](#pb-b1-findim-1) proíbe (questão 20). Nomeie o teorema demonstrado na Parte III.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** $\Q$ contém $0 \neq 1$, é estável por adição, multiplicação e opostos, e todo racional não nulo tem inverso racional: um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) (a [Definição 7.22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field)). As definições de [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span), liberdade e [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e as demonstrações dos Capítulos 18–19 usam apenas a adição de vetores, a distributividade e a aritmética dos escalares num [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) — nunca um valor absoluto, uma ordem ou um limite. Logo $\R$, com a sua própria adição e a multiplicação $\Q \times \R \to \R$, é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $\Q$, e todos os teoremas se aplicam. A divisão por um escalar ocorre uma única vez na demonstração do [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange): para “isolar $g_k$” divide-se pelo seu coeficiente não nulo.

**2.** Se $a + b\sqrt2 = 0$ com $a, b \in \Q$ não ambos nulos: $b \neq 0$ daria $\sqrt2 = -a/b \in \Q$, contradizendo a irracionalidade de $\sqrt2$ (o [Exercício 6.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-7) com $p = 2$); logo $b = 0$, e então $a = 0$: [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$. Sobre $\R$ a relação $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ é não trivial: linearmente dependente. Logo $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, com [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b)$ únicas.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. Então

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

logo $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. Se $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ com $u \neq 0$: $b \neq 0$ daria $(a/b)^2 = 2$, uma raiz quadrada racional de $2$; logo $b = 0$, e então $a = 0$ e $u = 0$: contradição. Portanto $N(u) \neq 0$ para $u \neq
0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)}
= 1$, e $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: todo elemento não nulo é invertível dentro de $\Q(\sqrt2)$, que é portanto um subcorpo de $\R$. Exemplos: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$, logo

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** Se $\sqrt6 = p/q$ então $6q^2 = p^2$; o expoente de $2$ é $1 + 2v_2(q)$, ímpar, à esquerda, e $2v_2(p)$, par, à direita: impossível. Agora suponha $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ com $a, b \in \Q$. Elevando ao quadrado: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. Se $ab
\neq 0$, então $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: impossível. Se $b = 0$: $\sqrt3 = a \in \Q$, contradizendo o [Exercício 6.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). Se $a = 0$: $\sqrt3 = b\sqrt2$, e multiplicando por $\sqrt2$: $\sqrt6 = 2b \in \Q$: impossível. Logo $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** Os produtos dos vetores da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) são

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

todos em $M$. Um produto de dois elementos de $M$ desenvolve-se por bilinearidade em combinações racionais destes: $M$ é estável por multiplicação.

**7.** Seja $x + y\sqrt3 = 0$ com $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. Se $y \neq 0$, então $\sqrt3 = -x/y \in K$ (questão 4: $K$ é um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field)), contradizendo a questão 5. Logo $y = 0$, e então $x = 0$: $(1,
\sqrt3)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $K$. E gera: $K + K\sqrt3 =
\{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q
(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. Logo $\dim_K M = 2$.

**8.** Uma relação $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ reagrupa-se como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ com coeficientes em $K$; pela questão 7 ambos se anulam, e pela questão 2 $a = b = 0$ e $c = d = 0$. Logo a família é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e $\dim_\Q M
= 4$.

**9.** Todo $x \in M$ se escreve $x = \sum_j y_j f_j$ com $y_j
\in K$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $M$ sobre $K$), e cada $y_j = \sum_i
\lambda_{ij} e_i$ com $\lambda_{ij} \in \Q$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $K$ sobre $\Q$); substituindo, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$: os produtos geram $M$ sobre $\Q$.

**10.** Suponha $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ com $\lambda_{ij} \in \Q$. Reagrupe: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij}
e_i\bigr) f_j = 0$, e as somas internas pertencem a $K$. A liberdade de $(f_j)$ sobre $K$ dá $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ para cada $j$; a liberdade de $(e_i)$ sobre $\Q$ dá então $\lambda_{ij} = 0$ para todos $i, j$.

**11.** Pelas questões 9 e 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j
\leq n}$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $M$ sobre $\Q$ com $mn$ elementos:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

Verificação: $\dim_\Q K = 2$ e $\dim_K M = 2$ (questões 2 e 7) dão $\dim_\Q M = 4$, que é a questão 8.

**12.** Os vetores $u a_1, \dots, u a_d$ pertencem a $A$ (estabilidade). Eles são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free): se $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, então $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ em $\R$, e $u \neq 0$ força $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, donde $\lambda_i = 0$ (os $a_i$ formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)). Logo $(u a_1, \dots, u a_d)$ é uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $d$ vetores em $A$, $\dim_\Q A = d$: uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). Em particular, $1 \in A$ decompõe-se como $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ com $v = \sum_i
\mu_i a_i \in A$: o inverso de $u$ está em $A$. Isto recupera a questão 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) e demonstra de uma só vez que $M$ é um subcorpo de $\R$ (com a questão 6).

**13.** Os $d + 1$ vetores $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ estão todos em $A$ (estabilidade por produtos); uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $A$ tem no máximo $d$ vetores (a [Proposição 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), logo eles são linearmente dependentes: existem racionais $\lambda_0, \dots, \lambda_d$, não todos nulos, com $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. O [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P
= \sum_k \lambda_k X^k$ é não nulo, tem coeficientes racionais, grau $\leq d$, e $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0, 2)$. Então

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ (usando $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). Por fim $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 +
24 = 49 + 20\sqrt6$: [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** Suponha $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. Lendo as quatro [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) em $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$:

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

Logo $c = 0$, e então $a = 0$; subtraindo as equações do meio, $2d = 0$, e então $b = 0$: $(1, s, s^2, s^3)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). Quatro vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em $M$, de dimensão $4$: uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), logo $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. Da questão 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ e $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 +
2\sqrt6) + 1 = 0$. Um [polinômio mônico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq 3$ que se anulasse em $s$ produziria uma combinação nula não trivial de $(1, s, s^2, s^3)$, contradizendo a questão 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ tem grau mínimo. As suas raízes: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$, logo as quatro raízes reais são $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ e $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$, isto é, $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$.

**17.** De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$: $s\,(10s - s^3) = 1$, logo

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

coerente com $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. Se $a +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, então $(a - r) + b\sqrt2
+ c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$, e a liberdade (questão 8) força $b = c
= d = 0$ (e $a = r$). Para $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$, as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ não são dessa forma: irracional — um enunciado mais forte do que o [Exercício 10.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#exo-b1-reals-7), obtido sem nenhum truque de elevar ao quadrado.

**18.** Uma raiz racional $p/q$ (em forma irredutível) de $X^3 - 2$ satisfaz $p^3 = 2q^3$, e o critério do [Exercício 8.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-5) dá $p \mid 2$, $q \mid 1$: candidatos $\pm1, \pm2$, cujos cubos são $\pm1, \pm8 \neq 2$. Nenhuma raiz racional; em particular $t = 2^{1/3} \notin \Q$, logo $(1, t)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ (como na questão 2).

**19.** Suponha $(1, t, t^2)$ linearmente dependente: algum $P \in
\Q[X]$ não nulo com $\deg P \leq 2$ tem $P(t) = 0$; escolha um tal $P$ de grau *mínimo* $d \geq 1$. Pela questão 18, $d \neq 1$, logo $d = 2$. Divisão euclidiana ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division)): $X^3 - 2
= PQ + R$ com $Q, R \in \Q[X]$, $\deg R < 2$. Avaliando em $t$: $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$, logo $R$ se anula em $t$; a minimalidade de $d$ força $R = 0$. Então $X^3 - 2 = PQ$ com $\deg Q = 1$: a raiz racional de $Q$ é uma raiz racional de $X^3 - 2$, contradizendo a questão 18. Logo $(1, t, t^2)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e $\dim_\Q A = 3$. Estabilidade: $t^3 = 2$ reduz todo produto de $1, t, t^2$ a uma combinação deles ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot
t^2 = 2t$); $A$ contém $1$: pela questão 12, $A$ é um subcorpo de $\R$.

**20.** Suponha $t \in M$. Então $t^2 \in M$ (estabilidade), logo $A \subseteq M$, e $M$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) $A$: os axiomas são os da aritmética de $\R$, restrita. Ele tem [dimensão finita](#def-b1-findim-def) sobre $A$ (uma família $\Q$-geradora finita gera a fortiori sobre $A \supseteq \Q$). A [lei das torres](#pb-b1-findim-1) para $\Q \subseteq A \subseteq M$ dá

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

impossível: $3$ não [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $4$. Logo $2^{1/3} \notin M$: nenhuma combinação racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ é igual a $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, logo $t \notin \Q(\sqrt2)$. Se $t + \sqrt2 = r \in \Q$, então $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$: contradição — $2^{1/3} + \sqrt2$ é irracional. Se $t = a +
b\sqrt3$, então $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq
M$: contradição de novo.

**22.** $B$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) $A$ (restrição dos escalares), de [dimensão finita](#def-b1-findim-def) já que $\dim_\Q B$ é finita. A [lei das torres](#pb-b1-findim-1) para $\Q \subseteq A \subseteq B$ dá $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$: o fator da esquerda [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides). Os subcorpos de $M$ têm portanto $\Q$-dimensão $1$, $2$ ou $4$: a dimensão $1$ é o próprio $\Q$, e a dimensão $4$ é $M$.

**23.** Seja $F \subseteq M$ um subcorpo com $\dim_\Q F =
2$, e $w \in F \setminus \Q$: $(1, w)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), logo uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$. Pela questão 13 ($d = 2$), $w^2 = \alpha + \beta w$ para racionais $\alpha, \beta$. Pondo $v = w - \beta/2 \in F
\setminus \Q$:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

e $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. Escreva agora $v = a + b\sqrt2 +
c\sqrt3 + d\sqrt6$ e desenvolva:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

As três [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) irracionais se anulam: $ab + 3cd = ac + 2bd =
ad + bc = 0$. Se $a \neq 0$: $b = -3cd/a$, e a segunda condição torna-se $c(a^2 - 6d^2) = 0$; como $a^2 = 6d^2$ com $d
\neq 0$ tornaria $\sqrt6 = \abs{a/d}$ racional, ou $c = 0$ ou $d = 0$, e nos dois casos as condições restantes forçam $b =
c = d = 0$, isto é, $v \in \Q$: excluído. Logo $a = 0$, e as condições leem-se $3cd = 2bd = bc = 0$: no máximo um dentre $b, c, d$ é não nulo. Portanto $v$ é um múltiplo racional de $\sqrt2$, $\sqrt3$ ou $\sqrt6$, e

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

cada um dos quais é de fato um subcorpo de dimensão $2$ (estabilidade como na questão 6, inversos pela questão 12): exatamente três subcorpos quadráticos.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 +
\sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$, logo

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(Verificação: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ após o desenvolvimento.)

**25.** (i) A $\Q$-dimensão associa um *inteiro* a cada subcorpo de $\R$, e a [lei das torres](#pb-b1-findim-1) faz esses inteiros multiplicarem-se ao longo das inclusões: a dimensão comporta-se como um invariante aritmético, e as restrições de [divisibilidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) tornam-se demonstrações de impossibilidade. (ii) A [dimensão finita](#def-b1-findim-def) força todo elemento a satisfazer uma equação polinomial racional não nula de grau no máximo igual à dimensão: finitude significa algebricidade. (iii) A regra dois em três transformou “a multiplicação por $u$ leva uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) numa [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de tamanho máximo” em sobrejetividade, produzindo $u^{-1}$ sem nenhuma fórmula: os inversos vieram da contagem. (iv) A [lei das torres](#pb-b1-findim-1) proíbe um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) de dimensão $3$ dentro de um de dimensão $4$, e é por isso que $2^{1/3}$ não pode ser alcançado a partir de $\sqrt2$ e $\sqrt3$. O teorema da Parte III é a *[lei das torres](#pb-b1-findim-1) de Dedekind*, o lance de abertura da teoria de Galois, desenvolvida no volume do terceiro ano de graduação.