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title: "Aplicações Lineares"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares
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# Capítulo 20 — Aplicações Lineares

As aplicações que vale a pena estudar entre [espaços vetoriais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) são as compatíveis com a estrutura: as *[aplicações lineares](#def-b1-linmaps-def)*. Os seus dois [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) fundamentais — [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) — medem a injetividade e a sobrejetividade, e em [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) amarra os seus tamanhos numa única lei de conservação. Projeções e simetrias, e depois [formas lineares](#def-b1-linmaps-forms) e [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms), fecham o capítulo.

## 20.1 Definições e primeiras propriedades

**Definição 20.1.**

Sejam $E, F$ [espaços vetoriais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $K$. Uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $u \colon E \to F$ é *linear* quando

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

Então $u(0) = 0$ e $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$. O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ das aplicações lineares é ele próprio um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def); a composição de aplicações lineares é linear, e bilinear no par. Um *endomorfismo* é uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) linear $E \to E$; um *isomorfismo* é uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) linear [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (a sua inversa é então automaticamente linear); a inversa $u^{-1}$ de um isomorfismo e as compostas de isomorfismos são isomorfismos.

**Demonstração de que a inversa é linear.** Seja $u$ [linear](#def-b1-linmaps-def) [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), $y, y' \in F$ e $\lambda \in K$. Ponha $x = u^{-1}(y)$ e $x' = u^{-1}(y')$. Então

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

e aplicando $u^{-1}$ às duas pontas: $u^{-1}(y + \lambda y') = x
+ \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$. Nada sobre $u^{-1}$ foi calculado: a linearidade transporta-se apenas através da propriedade que define $u$ — um padrão que vale a pena reter, pois a estrutura muitas vezes viaja de graça ao longo das bijeções. ∎

**Proposição 20.2 (Uma aplicação linear é conhecida numa base).**

Seja $(e_1, \dots, e_n)$ uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$ e $(v_1, \dots, v_n)$ vetores arbitrários de $F$. Existe exatamente uma [aplicação linear](#def-b1-linmaps-def) $u \colon
E \to F$ com $u(e_i) = v_i$ para todo $i$. Além disso:

$$
u \text{ injetiva} \iff (v_i) \text{ livre};
\qquad
u \text{ sobrejetiva} \iff (v_i) \text{ gera } F .
$$

**Demonstração.** Existência e unicidade: todo $x$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) únicas $x = \sum
\lambda_i e_i$ (a [Proposição 18.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates)); a linearidade força $u(x) = \sum \lambda_i v_i$, e essa fórmula define de fato uma [aplicação linear](#def-b1-linmaps-def).

Injetividade: pela [Proposição 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) abaixo, $u$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) se e somente se o seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é trivial. Ora, $u\bigl(\sum\lambda_i
e_i\bigr) = 0$ significa exatamente $\sum\lambda_i v_i = 0$. Se $(v_i)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), isto força todo $\lambda_i = 0$, isto é, o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) reduz-se a $0$: [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Se $(v_i)$ é linearmente dependente, uma relação não trivial $\sum\lambda_i v_i = 0$ produz o vetor não nulo $\sum\lambda_i e_i$ no [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) ($(e_i)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)): não [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). As duas condições correspondem termo a termo.

Sobrejetividade: a [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) de $u$ é o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de todos os $\sum\lambda_i
v_i$, isto é, exatamente $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, que é igual a $F$ se e somente se a família é geradora. ∎

**Definição 20.3 (Núcleo e imagem).**

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

ambos [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) (verificação direta com o critério).

**Método 20.4 (Núcleo e imagem, na prática).**

*[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim)*: escreva $u(x) = 0$ como um sistema nas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) (ou nos coeficientes) de $x$, resolva e parametrize — o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) sai com uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) anexada (o [Método 19.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#met-b1-findim-computedim)). *[Imagem](#def-b1-linmaps-kerim)*: é o [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) pelas imagens de *qualquer* família geradora de $E$ — em geral uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), logo $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$; depois elimine as imagens redundantes para extrair uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). *Atalho*: calcule aquele dos dois que for mais fácil e obtenha de graça a dimensão do outro pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) ([Teorema 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)); quando se conhece um candidato plausível a [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) [imagem](#def-b1-linmaps-kerim), comparar dimensões promove a inclusão fácil a igualdade (o [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-subspaces)). Os dois atalhos são usados no [Exemplo 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) abaixo.

**Proposição 20.5.**

$u$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\ker u = \{0\}$; $u$ é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\operatorname{im} u = F$.

**Demonstração.** Como para os [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) (a [Proposição 7.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#prop-b1-structures-kernel)): $u(x) = u(y) \iff
u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$. O segundo ponto é a definição. ∎

## 20.2 O teorema do núcleo e da imagem

**Definição 20.6.**

O *posto* de $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ (com $E$ de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def)) é $\operatorname{rk} u = \dim
\operatorname{im} u$ — que é também o posto da família $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ para qualquer [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(e_i)$ de $E$.

**Teorema 20.7 (Teorema do núcleo e da imagem).**

Seja $E$ de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) e $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Então

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

Mais precisamente, se $S$ é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) qualquer de $\ker u$ em $E$, então $u$ se restringe a um *isomorfismo* de $S$ sobre $\operatorname{im} u$.

**Demonstração.** Seja $S$ tal que $E = \ker u \oplus S$ (o [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-subspaces)), e seja $v \colon S \to
\operatorname{im} u$ a restrição de $u$.

$v$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj): $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$.

$v$ é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj): todo $u(x)$ com $x = k + s$ ($k \in \ker u$, $s \in S$) é igual a $u(s) = v(s)$.

Logo $v$ é um isomorfismo; um isomorfismo leva uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), logo $\dim S = \dim\operatorname{im}
u$, e $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ conclui. ∎

**Exemplo 20.8 (Construir uma aplicação sob encomenda).**

Construa $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ com $\ker u =
\operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \{z =
0\}$. Primeiro a coerência: o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) exige $1 + 2 = 3$ — coerente, logo pode existir uma solução. Escolha uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) adaptada ao [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim), digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (o [Exemplo 19.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ex-b1-findim-completion)), e prescreva as imagens (a [Proposição 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)):

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

Então $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z =
0\}$; o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) força $\dim\ker u = 1$, logo o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é exatamente a reta prescrita. Explicitamente, decompondo $(x, y, z)
= z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

A receita generaliza-se: uma [aplicação linear](#def-b1-linmaps-def) com [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) prescrito $N$ e [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) prescrita $I$ existe exatamente quando $\dim N + \dim I = \dim E$ — a necessidade é o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim), e a suficiência é esta construção.

**Corolário 20.9.**

Se $\dim E = \dim F$ (finitas), então para $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
u \text{ injetiva} \iff u \text{ sobrejetiva} \iff u \text{bijetiva}.
$$

Em particular isto vale para os endomorfismos em [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). (Falha em dimensão infinita: em $K[X]$, a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) mas não [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), e $P \mapsto XP$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) mas não [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj).)

**Demonstração.** [Injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E =
\dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensão máxima é o espaço inteiro, o [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). ∎

**Exemplo 20.10 (Interpolação, estruturalmente).**

Fixe $x_0, \dots, x_n$ distintos e seja $u \colon \R_n[X] \to
\R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: [linear](#def-b1-linmaps-def). O seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ roots}\} = \{0\}$ (o [Corolário 8.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)). Dimensões iguais $n + 1$: $u$ é um isomorfismo — existência *e* unicidade do interpolante de Lagrange (o [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)) numa linha.

O mesmo padrão de uma linha trata dados que misturam valores e [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def): $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0),
P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ é [linear](#def-b1-linmaps-def), e o seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) consiste nos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq 3$ com raízes duplas em $0$ *e* em $1$, isto é, divisíveis por $X^2(X-1)^2$, de grau $4$: só $P = 0$. Dimensões iguais de novo: toda quádrupla de dados $(P(0),
P'(0), P(1), P'(1))$ é realizada por exatamente uma cúbica — a interpolação de Hermite, garantida por um cálculo de [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) antes de escrever qualquer fórmula (o problema de fim de semana do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) encontra o seu determinante).

**Exemplo 20.11 (O teorema do núcleo e da imagem em ação: o operador de diferenças).**

Seja $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) -
P(X)$: [linear](#def-b1-linmaps-def). [Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): se $\Delta P = 0$, então $P(0) = P(1) =
P(2) = \dots$, logo $P - P(0)$ tem infinitas raízes e se anula (o [Corolário 8.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)): $\ker\Delta$ é a reta das constantes. Pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1
= n$. Como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ não constante (os termos de topo se cancelam), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, que tem dimensão exatamente $n$: a inclusão é uma igualdade. Conclusão, sem calcular nenhuma [pré-imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map): *todo* [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q$ de grau $\leq n - 1$ é uma diferença $Q = P(X+1)
- P(X)$ — a primitiva discreta existe. (Compare com o problema de fim de semana do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces), em que $\Delta$ foi invertido explicitamente na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) binomial.)

**Exemplo 20.12 (Contabilidade do posto ao longo de uma composição).**

Em $\R_2[X]$, componha a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) $D(P) = P'$ ([posto](#def-b1-linmaps-rank) $2$: [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) as constantes) consigo mesma. Então $D
\circ D = D^2$ leva $P \mapsto P''$, com [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$: [posto](#def-b1-linmaps-rank) $1$. Compare com as cotas gerais: a grosseira dá $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$; a fórmula exata do [Exercício 20.12](#exo-b1-linmaps-12) contabiliza a perda com precisão,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

pois as constantes ([núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) do $D$ externo) ficam dentro de $\R_1[X]$ ([imagem](#def-b1-linmaps-kerim) do $D$ interno) com dimensão $1$. Perde-se [posto](#def-b1-linmaps-rank) exatamente onde o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) externo embosca a [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) interna — a frase a reter quando os [postos](#def-b1-linmaps-rank) de uma composição se comportam mal.

**Exemplo 20.13 (Núcleo e imagem do operador de Euler).**

Em $\R_n[X]$, seja $u(P) = X\,P'$ ([linear](#def-b1-linmaps-def): derivar e multiplicar por $X$ o são). *[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim)*: $XP' = 0$ força $P' = 0$ (um produto de [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) só se anula se um dos fatores se anular), logo $\ker u$ é a reta das constantes. *[Imagem](#def-b1-linmaps-kerim)*: na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) monomial,

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

logo $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots,
nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$: os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) com termo constante nulo. Confira contra o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, que é de fato a dimensão encontrada. Duas observações a guardar. Primeiro, aqui $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — mas isso é um *feliz acaso* deste operador, não um teorema: para o operador do tipo deslocamento $v(P) = P'$ em $\R_1[X]$, $\ker v = \operatorname{im}
v = \R_0[X]$ e a soma não é direta. Segundo, a relação $u(X^k) = kX^k$ diz que cada monômio é apenas reescalado por $u$ — uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) adaptada à [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map), o germe da ideia de autovalor desenvolvida no volume do segundo ano de graduação.

## 20.3 Projeções e simetrias

**Definição 20.14.**

Seja $E = F \oplus G$. A *projeção sobre $F$ ao longo de $G$* leva $x = f + g$ (decomposição única) em $p(x) = f$; a *simetria* associada é $s(x)
= f - g$. Ambas são [lineares](#def-b1-linmaps-def), e $s = 2p - \mathrm{id}$.

**Teorema 20.15 (Caracterização algébrica).**

1. Um endomorfismo $p$ é uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection) (sobre algum $F$ ao longo de algum $G$ ) se e somente se $p \circ p = p$ ; então $F =  \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ e $G = \ker  p$ .
2. Um endomorfismo $s$ é uma simetria se e somente se $s \circ s  = \mathrm{id}$ ; então $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus  \ker(s + \mathrm{id})$ .

**Demonstração.** (1) Uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection) satisfaz $p(f + g) = f$ e $p(f) = f$: $p^2 = p$. Reciprocamente, seja $p^2 = p$; ponha $F = \operatorname{im} p$, $G = \ker
p$. Todo $x$ se escreve $x = p(x) + (x - p(x))$ com $p(x) \in F$ e $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$: $E = F + G$. Se $y \in
F \cap G$: $y = p(z)$ e $p(y) = 0$, logo $y = p(z) = p^2(z) = p(y) =
0$: [soma direta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum), e $p$ é a [projeção](#def-b1-linmaps-projection) sobre $F$ ao longo de $G$. Por fim, em $F$: $y = p(z)$ dá $p(y) = y$, logo $F \subseteq
\ker(p - \mathrm{id})$, e reciprocamente $p(y) = y$ põe $y$ na [imagem](#def-b1-linmaps-kerim).

(2) A correspondência $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s +
\mathrm{id}}2$ é uma bijeção entre endomorfismos, e sob ela

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

as simetrias correspondem exatamente às projeções. Traduzindo os [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace): $s(x) = x \iff p(x) = x$, logo $\ker(s - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p = F$; e $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x
\in \ker p = G$, logo $\ker(s + \mathrm{id}) = G$. A [soma direta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ do ponto (1) torna-se a decomposição anunciada nos vetores fixos e nos vetores invertidos de $s$. ∎

**Exemplo 20.16 (Uma projeção e a sua simetria, explicitamente).**

Em $\R^2$, projete sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Decomponha $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$: a primeira coordenada dá $a = x$, e a segunda $b = y - x$. Logo

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

Confira a álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, e $s(s(x,y)) =
s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Geometricamente, $s$ é a “reflexão oblíqua” em torno da reta $y = x$ na direção vertical: fixa $F$ ponto a ponto e inverte $G$. Se tivéssemos projetado sobre o mesmo $F$ ao longo de $G' =
\operatorname{Vect}(1,-1)$, a fórmula mudaria para $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$: uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection) é determinada pela sua [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) *e* pelo seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim), nunca pela [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) sozinha.

![A projeção sobre F = Vect(1,1) ao longo de G = Vect(0,1) e a sua simetria, no ponto M = (2,\ 0.5): deslizando verticalmente, M atinge F em p(M) = (2,2) e vai parar em s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tão acima de F (medido ao longo de G) quanto M estava abaixo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*A [projeção](#def-b1-linmaps-projection) sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ e a sua simetria, no ponto $M
= (2,\ 0.5)$: deslizando verticalmente, $M$ atinge $F$ em $p(M) = (2,2)$ e vai parar em $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$, tão acima de $F$ (medido ao longo de $G$) quanto $M$ estava abaixo.*

## 20.4 Formas lineares e hiperplanos

**Definição 20.17.**

Uma *forma linear* em $E$ é uma [aplicação linear](#def-b1-linmaps-def) $\varphi \colon E \to K$. Um *hiperplano* de $E$ ($\dim E = n$) é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensão $n - 1$.

**Exemplo 20.18 (Uma forma de avaliação e o seu hiperplano).**

Em $\R_2[X]$, a avaliação $\varphi(P) = P(2)$ é uma [forma linear](#def-b1-linmaps-forms), não nula ($\varphi(1) = 1$). O seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é o [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) dos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que se anulam em $2$, isto é (teorema do fator, [Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), os múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$:

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

Em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a +
2b + 4c$: toda [forma linear](#def-b1-linmaps-forms) num espaço de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) é, uma vez fixada uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), uma expressão [linear](#def-b1-linmaps-def) fixa nas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) — as formas são “vetores linha”, como o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) tornará literal, e a linha de coeficientes aqui, $(1, 2, 4)$, é uma linha de Vandermonde: as formas de avaliação são o modo como a teoria da interpolação do problema de fim de semana do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) entra na álgebra linear.

**Teorema 20.19.**

Os [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms) de $E$ são exatamente os [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) das [formas lineares](#def-b1-linmaps-forms) não nulas. Duas formas não nulas têm o mesmo [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) se e somente se são proporcionais.

**Demonstração.** Se $\varphi \neq 0$: $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (a [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) não nulo de $K$), logo $\dim\ker\varphi = n - 1$: um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms). Reciprocamente, seja $H$ um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms), $(e_1, \dots, e_{n-1})$ uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $H$ completada por $e_n$: a forma “última coordenada” tem [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) $H$.

Formas proporcionais partilham o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim). Reciprocamente, suponha $\ker\varphi = \ker\psi = H$ e escolha $a \notin H$: todo $x$ se escreve $x = h + \lambda a$ (pois $E = H \oplus Ka$), e

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

logo $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$. ∎

**Exemplo 20.20.**

Em $K^n$, um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) é um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções $\{a_1 x_1 + \dots + a_n
x_n = 0\}$ com nem todos os $a_i$ nulos — a familiar equação de um plano pela origem em $\R^3$. Em espaços de funções, formas de avaliação como $P \mapsto P(1)$ ou $f \mapsto \int_0^1 f$ definem [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms) de $\R_n[X]$ e de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. o [Exercício 19.6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#exo-b1-findim-6)).

**Exemplo 20.21 (Um hiperplano, trabalhado de três maneiras).**

Tome $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ em $\R^3$ e $H =
\ker\varphi$. *[Base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)*: resolva $x = 2y - 3z$:

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

dois vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free): $\dim H = 2$, um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms), como o [Teorema 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) prevê a partir de $\varphi \neq
0$. *Reta [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum)*: qualquer vetor fora de $H$ gera uma, por exemplo $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); a decomposição de um $v$ arbitrário é explícita:

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

pois $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$. *Proporcionalidade*: se $\psi(x,y,z)
= -2x + 4y - 6z$, então $\psi = -2\varphi$ e ambas têm [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) $H$; reciprocamente, toda forma que se anula em $H$ é um múltiplo de $\varphi$ (o [Exercício 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — a equação de um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) é única a menos de escala, fato usado constantemente para planos em geometria.

**Observação 20.22 (Armadilhas comuns).**

*[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) vivem em espaços diferentes*: $\ker u
\subseteq E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$; a soma $\ker u
+ \operatorname{im} u$ só faz sentido para endomorfismos, e mesmo então não precisa ser direta ($u(x, y) = (y, 0)$ tem $\ker u
= \operatorname{im} u$; o [Exercício 20.7](#exo-b1-linmaps-7) caracteriza quando a soma é direta). *$u^2 = 0$ não significa $u = 0$*: o mesmo $u(x,y) =
(y, 0)$ tem quadrado nulo sem se anular — o que $u^2 = 0$ realmente diz é $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (o [Exercício 20.5](#exo-b1-linmaps-5)). *[Injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) $\iff$ [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) exige dimensões finitas iguais*: em $K[X]$, a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) é [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e não [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), e $P \mapsto XP$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e não [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (o [Corolário 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)); e entre espaços de dimensões *diferentes* uma das implicações é simplesmente impossível ($\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$). *Prescrever imagens funciona numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), não numa família qualquer*: exigir $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ superdetermina $u$ a não ser que $c = a + b$; uma [aplicação linear](#def-b1-linmaps-def) é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) e escrava em todo o resto. *O [posto](#def-b1-linmaps-rank) não se preserva por composição*: ele só pode cair, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u,
\operatorname{rk} v)$ (o [Exercício 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), com a perda exata medida no [Exercício 20.12](#exo-b1-linmaps-12).

**Observação 20.23 (Para onde vão estas aplicações).**

As [aplicações lineares](#def-b1-linmaps-def) estão prestes a tornar-se *matrizes*: uma vez fixadas as [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) codifica cada $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ por um quadro retangular, e a composição torna-se o produto de matrizes — o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) conduz então a teoria dos sistemas [lineares](#def-b1-linmaps-def) no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det). As projeções voltam no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) no seu caso particular mais útil, a [projeção](#def-b1-linmaps-projection) *ortogonal*, em que o [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é escolhido perpendicular à [imagem](#def-b1-linmaps-kerim). O problema de fim de semana abaixo leva a álgebra dos projetores tão longe quanto as ferramentas do primeiro ano alcançam, até o lema de Fitting; o volume do segundo ano de graduação vai além, com o traço e com a teoria dos autovalores, para a qual os projetores sobre [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) estáveis são os blocos de construção básicos.

**Observação 20.24 (Perspectivas dentro do Livro 3: núcleo e imagem mais três vezes).**

A lei de conservação $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ será relida três vezes antes do fim do volume. No [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) ela torna-se a forma dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções: um sistema compatível com $p$ incógnitas e [posto](#def-b1-linmaps-rank) $r$ tem um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções de dimensão $p - r$ — a dimensão do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) disfarçada. No [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) ela se [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) ortogonalmente, $\dim F + \dim
F^\perp = \dim E$, e alimenta todo cálculo de distância. No problema de fim de semana do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), ela é a contadora dos mínimos quadrados: $n$ observações, $2$ parâmetros ajustados, $n - 2$ dimensões de resíduo, e a identidade pitagórica $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ é a sombra euclidiana do teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim). Um teorema, quatro fantasias.

## 20.5 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Quais destas aplicações são [lineares](#def-b1-linmaps-def)?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**Solução de Exercício 20.1.**

(1) [Linear](#def-b1-linmaps-def): as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) são expressões [lineares](#def-b1-linmaps-def). (2) Não [linear](#def-b1-linmaps-def): $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$. (3) [Linear](#def-b1-linmaps-def): derivar e multiplicar por $X$ o são, e somas de [aplicações lineares](#def-b1-linmaps-def) também. (4) [Linear](#def-b1-linmaps-def): a avaliação respeita as operações ponto a ponto.

**Exercício 20.2 ★.**

Seja $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y
+ z,\; 3x + 2y)$. Determine $\ker u$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), dimensão), $\operatorname{rk} u$, e uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$. $u$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj)? [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj)?

**Solução de Exercício 20.2.**

[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): resolva $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$. Da terceira, $y = -\frac{3x}{2}$; a primeira dá $z = x + y =
-\frac x2$; verifique na segunda: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$: satisfeita. Logo $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (tomando $x = 2$), dimensão $1$.

Pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$. [Imagem](#def-b1-linmaps-kerim): gerada pelas imagens da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica, $u(e_1) = (1,2,3)$, $u(e_2) =
(1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$; as duas primeiras são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), e o [posto](#def-b1-linmaps-rank) é $2$: [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$.

Não [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) ($\ker \neq \{0\}$), não [sobrejetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) ([posto](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$): coerente com o [Corolário 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim).

**Exercício 20.3 ★.**

Seja $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$. Demonstre que $u$ é um isomorfismo: uma vez via $\ker u$, e outra exibindo a inversa *(considere $P + P' + P'' + \dots$)*.

**Solução de Exercício 20.3.**

*[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim):* $P = P'$ força $\deg P = \deg P'$ a não ser que $P = 0$; mas $\deg P' < \deg P$ para $P \neq 0$: logo $\ker u = \{0\}$, e $u$, endomorfismo [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) do espaço de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) $\R_n[X]$, é um isomorfismo (o [Corolário 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

*Inversa:* seja $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (uma soma finita em $\R_n[X]$). Então

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

telescopando, pois $P^{(n+1)} = 0$. Logo $v = u^{-1}$.

**Exercício 20.4 ★.**

Sejam $u \in \mathcal{L}(E, F)$ e $v \in \mathcal{L}(F, G)$, com os espaços de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). Demonstre:

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**Solução de Exercício 20.4.**

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$: [posto](#def-b1-linmaps-rank) $\leq \operatorname{rk} v$. E $v$ restrita a $\operatorname{im} u$ tem [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(vu)$, com o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) dentro de $\operatorname{im} u$: $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$.

**Exercício 20.5 ★★.**

Seja $u$ um endomorfismo de $E$ (de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def)) com $u^2 = 0$. Demonstre que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$, logo $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$. Para $E = \R^2$, dê um exemplo com igualdade.

**Solução de Exercício 20.5.**

$u^2 = 0$ significa $u(u(x)) = 0$ para todo $x$: todo $u(x)$ está em $\ker u$, isto é, $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$. Então, pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim):

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

Exemplo de igualdade em $\R^2$: $u(x, y) = (y, 0)$: $u^2 = 0$, $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$.

**Exercício 20.6 ★★.**

Sejam $p, q$ projeções de $E$ com $p \circ q = q \circ p$. Demonstre que $p \circ q$ é uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection), com

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**Solução de Exercício 20.6.**

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (comutação): uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection) (o [Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

[Imagem](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$, e $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$: contida na interseção. Reciprocamente, se $x \in \operatorname{im} p \cap
\operatorname{im} q$, então $p(x) = x$ e $q(x) = x$ (os pontos fixos caracterizam a [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) de uma [projeção](#def-b1-linmaps-projection)), logo $pq(x) = x$: $x \in
\operatorname{im}(pq)$.

[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ e do mesmo modo $\ker q
\subseteq \ker(pq)$: a soma está contida. Reciprocamente, seja $pq(x) =
0$, e escreva

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

o primeiro termo satisfaz $p(q(x)) = 0$, logo está em $\ker p$; o segundo está em $\ker q$ pois $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$. Logo $x \in \ker p + \ker q$.

**Exercício 20.7 ★★.**

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$, com $E$ de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). Demonstre a equivalência de:

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**Solução de Exercício 20.7.**

Note primeiro as inclusões gerais $\ker u \subseteq \ker u^2$ e $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$, e, pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim), (2) $\iff$ (3) ([núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) iguais $\iff$ [postos](#def-b1-linmaps-rank) iguais $\iff$ imagens iguais, dadas as inclusões).

(1 $\Rightarrow$ 2): seja $u^2(x) = 0$; então $u(x) \in \ker u \cap
\operatorname{im} u = \{0\}$, logo $x \in \ker u$.

(2 $\Rightarrow$ 1): por Grassmann e pelo teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim), $\dim(\ker u +
\operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u -
\dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap
\operatorname{im} u)$: a soma é $E$ se e somente se a interseção é $\{0\}$. Seja $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$: $y = u(x)$ e $u(y) = 0$, logo $u^2(x) = 0$, e então (por (2)) $u(x) = 0$: $y = 0$. Logo $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$.

**Exercício 20.8 ★★.**

Sejam $\varphi, \psi$ [formas lineares](#def-b1-linmaps-forms) em $E$ com $\ker\varphi
\subseteq \ker\psi$. Demonstre que $\psi = \lambda\varphi$ para algum $\lambda \in K$ (incluindo os casos degenerados).

**Solução de Exercício 20.8.**

Se $\varphi = 0$: então $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ força $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$. Se $\varphi \neq 0$: $\ker\varphi$ é um [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms); escolha $a \notin \ker\varphi$. Ponha $\lambda =
\frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$. A forma $\psi - \lambda\varphi$ se anula em $\ker\varphi$ (ambas se anulam, pela inclusão) e em $a$: ela se anula em $\ker\varphi \oplus Ka = E$. Logo $\psi =
\lambda\varphi$.

**Exercício 20.9 ★★★.**

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ com $\dim E = n$, e suponha $u^n = 0$ mas $u^{n-1} \neq 0$ (um endomorfismo *maximamente nilpotente*). Escolha $x$ com $u^{n-1}(x) \neq 0$; demonstre que $\bigl(x, u(x), \dots,
u^{n-1}(x)\bigr)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$. *(Aplique potências de $u$ a uma combinação nula, começando por $u^{n-1}$.)*

**Solução de Exercício 20.9.**

Suponha $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1}
u^{n-1}(x) = 0$. Aplique $u^{n-1}$: todos os termos com um fator $u^{\geq
n}$ morrem, restando $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$, logo $\lambda_0 = 0$. Aplique $u^{n-2}$ à relação restante: $\lambda_1 u^{n-1}(x) =
0$, logo $\lambda_1 = 0$; e assim por diante. A família é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free); tendo tamanho $n = \dim E$, é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) (a [Proposição 19.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#prop-b1-findim-twoofthree)). (Nesta [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), $u$ age como um deslocamento — o modelo da nilpotência maximal.)

**Exercício 20.10 ★★★.**

Seja $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ com $f \circ f = -\mathrm{id}$.

1. Demonstre que $f$ é um isomorfismo e que nenhum $x \neq 0$ satisfaz $f(x) = \lambda x$ com $\lambda \in \R$ .
2. Demonstre que $n$ é par. *Sugestão: escolha $x_1 \neq 0$; mostre que $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ é um plano estável por $f$; escolha $x_2$ fora dele e itere, demonstrando que $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ continua [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).*

**Solução de Exercício 20.10.**

1. $f \circ f = -\mathrm{id}$ é [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) , logo $f$ também é (a [Proposição 1.26](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#prop-b1-logic-comp) adaptada: $f$ tem a inversa bilateral $-f$ ). Se $f(x) = \lambda x$ com $x \neq 0$ : aplicando $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , logo $\lambda^2 = -1$ : impossível em $\R$ .
2. Construa a família de modo guloso. Tome $x_1 \neq 0$: $(x_1,  f(x_1))$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) por (1). Se $\operatorname{Vect}$ da família corrente $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k,  f(x_k)\bigr)$, que chamamos $V_k$ — um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) estável por $f$ (cada gerador é levado noutro gerador ou no seu oposto: $f(f(x_i)) = -x_i$) — não é todo o $E$, escolha $x_{k+1}  \notin V_k$. *Afirmação: a família aumentada é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).* Suponha $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ com $v  \in V_k$ e $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. Aplique $f$: $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ com $f(v)  \in V_k$. Elimine $f(x_{k+1})$ entre as duas relações (multiplique a primeira por $\alpha$, a segunda por $-\beta$, e some): $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ e $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ força $x_{k+1} \in V_k$: contradição. Logo a construção continua, acrescentando vetores *dois a dois*, até $V_k = E$: a família final é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de tamanho par, e $n$ é par.

**Exercício 20.11 ★★.**

Sejam $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, com os espaços de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). Demonstre a estimativa bilateral

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*(Para a [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds), compare $\operatorname{im}(u+v)$ com $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$; para a inferior, aplique a [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) com esperteza.)*

**Solução de Exercício 20.11.**

[Cota superior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds): para todo $x$, $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in
\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$, logo

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(Grassmann, o [Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-grassmann)). Cota inferior: aplique a [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) ao par $(u + v, -v)$, cuja soma é $u$:

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

logo $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq
\operatorname{rk}(u+v)$; trocar $u$ e $v$ dá o valor absoluto.

**Exercício 20.12 ★★★.**

(Desigualdade de Frobenius) Sejam $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in
\mathcal{L}(F, G)$ e $v \in \mathcal{L}(G, H)$, com todos os espaços de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). Demonstre a fórmula exata

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

e deduza a desigualdade de Frobenius

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

Verifique que o caso $w = \mathrm{id}_F$ é a desigualdade de Sylvester, demonstrada em forma matricial no [Exercício 21.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#exo-b1-matrices-10).

**Solução de Exercício 20.12.**

*Fórmula exata.* Seja $v'$ a restrição de $v$ ao [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$. A sua [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) é $v(w(F)) =
\operatorname{im}(v \circ w)$, e o seu [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) é $\ker v \cap
\operatorname{im} w$. O teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) para $v'$ no espaço $\operatorname{im} w$:

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*Frobenius.* Aplique a fórmula exata duas vezes, a $w$ e a $w \circ u$:

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

Como $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im}
w$, a segunda interseção está contida na primeira, e a sua dimensão não é maior:

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

o que se rearranja na desigualdade de Frobenius. Com $w =
\mathrm{id}_F$ ([posto](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, e $\operatorname{im}\,
\mathrm{id}_F = F$): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u
\leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$, a desigualdade de Sylvester — demonstrada de novo, em forma matricial, no [Exercício 21.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#exo-b1-matrices-10).

## 20.6 Problema: cálculo de projetores e o lema de Fitting

**Problema 20.1.**

As projeções são os endomorfismos que as [somas diretas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) produzem, e reciprocamente: toda identidade $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ é, secretamente, uma família de projetores cuja soma é a identidade. Este problema desenvolve esse dicionário — a álgebra de um projetor, de dois, de $k$ — e depois aplica as mesmas ideias de estabilização a um endomorfismo arbitrário e demonstra o *lema de Fitting*: todo endomorfismo de um espaço de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) se decompõe numa parte nilpotente e numa parte invertível. Ao longo do texto, $E$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) sobre $K$ de dimensão $n$, e *projetor* significa $p \in \mathcal{L}(E)$ com $p^2 = p$ (o [Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

**Parte I — A álgebra em torno de um projetor.** Seja $p$ um projetor, $p \neq 0$, $p \neq \mathrm{id}$.

1. Mostre que $\mathrm{id} - p$ é um projetor e identifique $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ e $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
2. Calcule $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ e determine todos os pares $(\lambda, \mu) \in K^2$ para os quais $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ é um projetor.
3. Mostre que o plano $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ é estável por composição, e que para todo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q \in K[X]$, $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. Determine para quais $(\lambda, \mu)$ a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ é invertível, e dê a sua inversa na forma $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interprete a resposta através da ação de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ sobre $\operatorname{im} p$ e sobre $\ker p$ .
5. Seja $p'$ outro projetor com a *mesma [imagem](#def-b1-linmaps-kerim)* $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Mostre que $p\,p' = p'$ e $p'\,p = p$ . O que dizem estas identidades sobre compor projeções sobre o mesmo [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) ao longo de [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) diferentes?

**Parte II — Dois projetores.** Sejam $p, q$ projetores de $E$; suponha que a característica não é $2$ (verdade para $K = \R, \C$).

6. Suponha que $p + q$ é um projetor. Desenvolvendo $(p + q)^2$ , mostre que $pq + qp = 0$ ; compondo com $p$ à esquerda e depois à direita, deduza $pq = qp$ , e conclua $pq = qp =  0$ .
7. Reciprocamente, suponha $pq = qp = 0$. Mostre que $p + q$ é um projetor, com $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. Mostre que $p - q$ é um projetor se e somente se $pq = qp  = q$ . *(Aplique as questões 6–7 a $\mathrm{id} - p$ e a $q$.)*
9. Mostre o significado geométrico de $pq = qp = q$ : vale se e somente se $\operatorname{im} q \subseteq  \operatorname{im} p$ e $\ker p \subseteq \ker q$ . (Escreve-se então $q \leq p$ : “ $q$ projeta sobre menos, ao longo de mais”.)
10. Agora suponha que $p$ e $q$ comutam. Lembre do [Exercício 20.6](#exo-b1-linmaps-6) que $pq$ é o projetor sobre $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ ao longo de $\ker p + \ker q$. Mostre que $r = p + q - pq$ é um projetor com $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *(Considere $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} -  p)(\mathrm{id} - q)$.)*

**Parte III — Decomposições da identidade.**

11. Seja $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ e, para $x = x_1 +  \dots + x_k$ (decomposição única, $x_i \in F_i$ ), ponha $p_i(x) = x_i$ . Mostre que cada $p_i$ é um projetor, que $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ , e que $p_1 + \dots + p_k  = \mathrm{id}$ ; identifique $\operatorname{im} p_i$ e $\ker p_i$ .
12. Reciprocamente, sejam $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ satisfazendo $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ e $p_i p_j =  0$ para todos $i \neq j$ . Mostre que cada $p_i$ é um projetor e que $E = \operatorname{im} p_1 \oplus  \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
13. Dois projetores com $p + q = \mathrm{id}$ : mostre que $pq  = qp = 0$ vale automaticamente.
14. Três projetores com $p + q + r = \mathrm{id}$ : mostre que $p + q$ é um projetor, e deduza da questão 6 que *todos* os produtos dois a dois se anulam — logo $E =  \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus  \operatorname{im} r$ , sem hipótese alguma sobre os produtos.
15. Para $k$ projetores com $p_1 + \dots + p_k =  \mathrm{id}$ : mostre primeiro que, para [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) quaisquer, $\dim  (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , com igualdade se e somente se a soma é direta; depois mostre que $E = \operatorname{im} p_1 + \dots +  \operatorname{im} p_k$ , e demonstre que *se* além disso $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , a soma é direta e $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ .

**Parte IV — [Núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) iterados: o lema de Fitting.** Seja $u \in \mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$.

16. Mostre as duas cadeias, válidas para todo $k \geq 0$: $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. Mostre que se $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ para algum $r$ , então $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ para todo $k \geq r$ ; enuncie e demonstre a estabilização análoga para as imagens.
18. Deduza que existe um menor inteiro $r$ com $\ker  u^{r} = \ker u^{r+1}$ , que $r \leq n$ , e que as imagens estabilizam no mesmo $r$ .
19. (Lema de Fitting) Demonstre que $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. Mostre que os dois [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) são estáveis por $u$ , que a restrição de $u$ a $\ker u^{r}$ é nilpotente, e que a restrição de $u$ a $\operatorname{im} u^{r}$ é um isomorfismo de $\operatorname{im} u^{r}$ : todo endomorfismo é, sobre uma [soma direta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) canônica, “nilpotente mais invertível”.
21. Seja $\pi$ o projetor sobre $\ker u^{r}$ ao longo de $\operatorname{im} u^{r}$ . Mostre que $\pi \circ u = u  \circ \pi$ .

**Parte V — Um caso trabalhado, e síntese.**

22. Seja $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ em $\R^3$ . Calcule $u^2$ e $u^3$ , determine o índice de estabilização $r$ , os [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $\ker u^{r}$ e $\operatorname{im} u^{r}$ , o projetor de Fitting $\pi$ , e verifique nas fórmulas que $\pi u = u\pi$ e que $u$ é nilpotente num dos fatores e [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) no outro.
23. Mostre as equivalências: $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} =  E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; e deduza que um endomorfismo nilpotente de um espaço de dimensão $n$ satisfaz sempre $u^{n} = 0$ (o índice de nilpotência nunca ultrapassa a dimensão).
24. (Unicidade) Suponha $E = A \oplus B$ com $A, B$ estáveis por $u$ , a restrição $u|_A$ nilpotente e $u|_B$ [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) . Demonstre que $A = \ker u^{r}$ e $B =  \operatorname{im} u^{r}$ : a decomposição de Fitting é única.
25. Síntese, em quatro frases: que dicionário a Parte III estabelece entre [somas diretas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) e famílias de projetores; por que a questão 14 não precisou de hipóteses sobre produtos enquanto a questão 15 precisou de uma hipótese sobre [postos](#def-b1-linmaps-rank) (e qual ferramenta do segundo ano, o traço, a remove); em que sentido o lema de Fitting é a versão estabilizada do [Exercício 20.7](#exo-b1-linmaps-7) ; e no que se tornam os dois fatores de Fitting na teoria dos autovalores do volume do segundo ano de graduação. Nomeie o teorema demonstrado na Parte IV.

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 =
\mathrm{id} - p$: um projetor. Se $y = x - p(x)$, então $p(y) =
p(x) - p^2(x) = 0$, e reciprocamente $x \in \ker p$ dá $x =
(\mathrm{id} - p)(x)$: $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker
p$. E $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in
\operatorname{im} p$ (pontos fixos, o [Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)): $\ker(\mathrm{id} - p) =
\operatorname{im} p$.

**2.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 =
\lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$. O par $(\mathrm{id}, p)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em $\mathcal{L}(E)$: $p = c\,
\mathrm{id}$ daria $c^2 = c$, logo $p = 0$ ou $\mathrm{id}$, o que está excluído. Identificando coeficientes, a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) é um projetor se e somente se $\lambda^2 = \lambda$ e $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$. Para $\lambda = 0$: $\mu \in \{0, 1\}$. Para $\lambda = 1$: $\mu^2 +
\mu = 0$, $\mu \in \{0, -1\}$. Exatamente quatro projetores no plano: $0$, $p$, $\mathrm{id}$, $\mathrm{id} - p$.

**3.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id}
+ \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' +
\mu\lambda' + \mu\mu')\,p$: o plano é estável por composição. Como $p^k = p$ para todo $k \geq 1$, para $Q =
\sum_k a_k X^k$:

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** Em $\operatorname{im} p$ (onde $p$ age como a identidade), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ multiplica por $\lambda
+ \mu$; em $\ker p$, por $\lambda$. Como $E = \operatorname{im} p
\oplus \ker p$, a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) é [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) se e somente se $\lambda \neq 0$ e $\lambda + \mu \neq 0$. Resolvendo $\lambda\alpha = 1$, $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ na regra de composição da questão 3:

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

cuja ação é por $1/\lambda$ em $\ker p$ e por $1/(\lambda +
\mu)$ em $\operatorname{im} p$, como tem de ser.

**5.** Escreva $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im}
p'$. Para todo $x$, $p'(x) \in F$ e $p$ fixa $F$ ponto a ponto: $p(p'(x)) = p'(x)$, isto é, $p\,p' = p'$; simetricamente $p'\,p =
p$. Quando duas projeções partilham a [imagem](#def-b1-linmaps-kerim), aquela aplicada *primeiro* decide: a sua saída já está em $F$, onde a [projeção](#def-b1-linmaps-projection) externa age como a identidade e nada muda.

**6.** $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq +
qp$, logo, sendo $p + q$ um projetor, $pq + qp = 0$. Componha à esquerda com $p$: $pq + pqp = 0$; à direita com $p$: $pqp + qp
= 0$. Subtraindo, $pq = qp$; então $pq + qp = 2pq = 0$ e a característica não é $2$: $pq = qp = 0$.

**7.** Com $pq = qp = 0$, o mesmo desenvolvimento dá $(p +
q)^2 = p + q$. [Imagem](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(p + q) \subseteq
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ sempre. Reciprocamente, para $x \in \operatorname{im} p$: $q(x) = q(p(x)) = 0$, logo $(p +
q)(x) = p(x) = x$ e $x \in \operatorname{im}(p+q)$; o mesmo para $\operatorname{im} q$. Caráter direto: $x \in \operatorname{im} p
\cap \operatorname{im} q$ dá $x = p(x) = p(q(x)) = 0$. [Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): se $p(x) + q(x) = 0$, aplicar $p$ dá $p(x) +
p(q(x)) = p(x) = 0$, e aplicar $q$ dá $q(x) = 0$: $\ker(p
+ q) = \ker p \cap \ker q$ (a inclusão recíproca é clara).

**8.** $p - q$ é um projetor se e somente se $\mathrm{id} - (p - q) =
(\mathrm{id} - p) + q$ o for (questão 1 duas vezes). Pelas questões 6–7 aplicadas aos projetores $\mathrm{id} - p$ e $q$, isto vale se e somente se $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, isto é, se e somente se $pq = q$ e $qp = q$.

**9.** $pq = q$ significa que $p$ fixa todo $q(x)$, isto é, $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p$. E $qp = q$ significa $q\bigl((\mathrm{id} -
p)(x)\bigr) = 0$ para todo $x$, isto é, $q$ se anula em $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$: $\ker p \subseteq
\ker q$. Os dois passos são equivalências: a ordem $q \leq p$ diz que $q$ projeta sobre uma [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) menor, ao longo de um [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) maior.

**10.** Desenvolvendo, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) =
\mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$. Os projetores $\mathrm{id} - p$ e $\mathrm{id} - q$ comutam, logo, pelo [Exercício 20.6](#exo-b1-linmaps-6), o seu produto $\mathrm{id} - r$ é o projetor sobre $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap
\operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ ao longo de $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$. Pela questão 1, $r =
\mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ é então o projetor com $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im}
q$ e $\ker r = \ker p \cap \ker q$.

**11.** $p_i$ está bem definido (unicidade da decomposição) e é [linear](#def-b1-linmaps-def) (a decomposição de $x + \lambda y$ é a soma das decomposições, de novo por unicidade). Para $x_i
\in F_i$ a decomposição é o próprio $x_i$, logo $p_i(x_i) = x_i$: $p_i^2 = p_i$, e $p_j(x_i) = 0$ para $j \neq i$: $p_i p_j = 0$ ($p_j(x) \in F_j$). Somando as componentes, $\sum_i p_i =
\mathrm{id}$. Por fim, $\operatorname{im} p_i = F_i$ e $\ker
p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$.

**12.** $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j =
p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$: cada $p_i$ é um projetor. Todo $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ está em $\sum_i \operatorname{im} p_i$: as imagens somam $E$. Caráter direto: suponha $y_1 + \dots + y_k = 0$ com $y_i \in
\operatorname{im} p_i$, de modo que $p_i(y_i) = y_i$. Aplique $p_j$: $p_j
(y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ para $i \neq j$, logo $0 = p_j\bigl(\sum
y_i\bigr) = y_j$, para todo $j$. Portanto $E = \bigoplus_i
\operatorname{im} p_i$.

**13.** $q = \mathrm{id} - p$, e a questão 1 dá $pq =
p - p^2 = 0 = qp$ diretamente: para dois projetores, somar a identidade já força a ortogonalidade do par.

**14.** $p + q = \mathrm{id} - r$ com $r$ um projetor, e $(\mathrm{id} - r)$ é um projetor (questão 1): logo $p + q$ é um projetor, e a questão 6 dá $pq = qp = 0$. Por simetria ($q +
r = \mathrm{id} - p$ e $p + r = \mathrm{id} - q$), todos os produtos dois a dois se anulam, e a questão 12 conclui: $E =
\operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus
\operatorname{im} r$, automaticamente.

**15.** *Lema.* Por indução com Grassmann (o [Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-grassmann)):

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

Se o total é uma igualdade, cada passo o é: $(F_1 + \dots +
F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ para todo $j$, e uma relação $y_1 +
\dots + y_k = 0$ ($y_i \in F_i$) colapsa a partir da direita: $y_k
\in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$, depois $y_{k-1} =
0$, etc.: a soma é direta. Reciprocamente, uma [soma direta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) tem dimensões aditivas (concatene [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)). *Aplicação:* $x = \sum_i p_i(x)$ mostra que $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, logo $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$; a hipótese dá a igualdade, e portanto o caráter direto. Produtos: fixe $j$ e $y \in
\operatorname{im} p_j$. Então $y = \sum_i p_i(y)$ com $p_i(y)
\in \operatorname{im} p_i$, ao passo que $y = y$ é também uma decomposição (só a componente $j$); a unicidade força $p_i(y)
= 0$ para $i \neq j$. Aplicado a $y = p_j(x)$: $p_i p_j = 0$.

**16.** Se $u^k(x) = 0$ então $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$. E $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq
u^k(E) = \operatorname{im} u^k$.

**17.** Suponha $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ e seja $x \in
\ker u^{r+2}$: então $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, logo $u^{r+1}(x) = 0$: $x \in \ker u^{r+1}$. Com a questão 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$, e por indução todos os [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) posteriores coincidem com $\ker u^{r}$. Para as imagens: o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) dá $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$, logo as dimensões das imagens congelam exatamente quando as dos [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) congelam, e, com as inclusões da questão 16, dimensões iguais significam [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) iguais (o [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-subspaces)).

**18.** A sequência $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ é não decrescente com valores em $\intint{0}{n}$; ela não pode crescer estritamente $n + 1$ vezes, logo algum $\dim\ker u^{r} = \dim\ker
u^{r+1}$ com $r \leq n$, donde $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusão mais igualdade de dimensões). Tome $r$ mínimo; a questão 17 congela tudo a partir de $r$, imagens incluídas.

**19.** Interseção: seja $x \in \ker u^{r} \cap
\operatorname{im} u^{r}$, digamos $x = u^{r}(y)$ com $u^{r}(x) =
0$. Então $u^{2r}(y) = 0$, e $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (questão 17), logo $x = u^{r}(y) = 0$. Dimensões: o teorema do [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) e da [imagem](#def-b1-linmaps-kerim) para $u^{r}$ dá $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r}
= n$; com interseção trivial, Grassmann faz da soma um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de dimensão $n$: $E = \ker u^{r} \oplus
\operatorname{im} u^{r}$.

**20.** Estabilidade: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ para $x
\in \ker u^{r}$; e $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in
\operatorname{im} u^{r}$. Em $N = \ker u^{r}$: $(u|_N)^{r} = 0$ por definição de $N$: nilpotente. Em $I = \operatorname{im}
u^{r}$: $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I
= \{0\}$, logo $u|_I$ é um endomorfismo [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) do espaço de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) $I$, e portanto [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (o [Corolário 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

**21.** Seja $x = a + b$ com $a \in N$, $b \in I$. Então $u(x) = u(a) + u(b)$ com $u(a) \in N$ e $u(b) \in I$ (questão 20): esta *é* a decomposição de $u(x)$, logo $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$: $\pi u = u\pi$.

**22.** $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ e $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$. [Núcleos](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker u
= \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z =
0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$: estabilização em $r = 2$. Imagens: $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im} u^2 =
\operatorname{Vect}(e_3)$. Fitting: $\R^3 =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$, e $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$. Verificação: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0,
z) = (y, 0, 0)$ e $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$: iguais. No primeiro fator $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, cujo quadrado é $0$: nilpotente; no segundo $u(0,0,z) = (0,0,z)$: a identidade, [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj).

**23.** Se $u^m = 0$ então $\ker u^m = E$; como os [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) estão congelados a partir de $r$, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$. Reciprocamente, $\ker u^{r} = E$ significa $u^{r} = 0$. E $\ker u^{r} =
E \iff$ o projetor de Fitting é sobre $E$ ao longo de $\{0\}$, isto é, $\pi = \mathrm{id}$. Por fim, $r \leq n$ (questão 18) dá: todo endomorfismo nilpotente satisfaz $u^{n} = 0$ — o índice de nilpotência nunca ultrapassa a dimensão.

**24.** Seja $m$ um índice de nilpotência de $u|_A$: $A
\subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$. Como $u|_B$ é [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq
\operatorname{im} u^{k}$ para todo $k$, em particular $B
\subseteq \operatorname{im} u^{r}$. Então

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

as duas inclusões são igualdades de dimensões, e portanto de [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace): $A = \ker u^{r}$, $B = \operatorname{im} u^{r}$.

**25.** (i) A Parte III é um dicionário: as decomposições $E = F_1
\oplus \dots \oplus F_k$ correspondem exatamente a famílias de projetores com $\sum p_i = \mathrm{id}$ e $p_i p_j = 0$, sendo os $F_i$ as imagens. (ii) Para $k = 3$ os complementares $\mathrm{id} - p_i$ são eles próprios projetores, o que fechou o argumento sem hipótese adicional; para $k$ geral é preciso $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$, uma desigualdade que o traço do segundo ano dá de graça ($\operatorname{tr} p = \operatorname{rk}
p$ para um projetor, e os traços somam $\operatorname{tr}
\mathrm{id} = n$). (iii) O [Exercício 20.7](#exo-b1-linmaps-7) é o lema de Fitting no caso já estabilizado $r \leq 1$; em geral deixa-se as cadeias de [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) e de imagens congelarem, o que leva no máximo $n$ passos. (iv) No volume do segundo ano de graduação, aplicado a $u - \lambda\,
\mathrm{id}$, o fator nilpotente torna-se o autoespaço generalizado em $\lambda$ e os projetores da Parte III tornam-se os projetores espectrais da teoria da redução. O teorema da Parte IV é o *lema de Fitting*.