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title: "Matrizes"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes
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# Capítulo 21 — Matrizes

Uma matriz é uma [aplicação linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) escrita em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates). Este capítulo instala o dicionário — a composição torna-se produto de matrizes, a bijetividade torna-se invertibilidade, a [mudança de base](#def-b1-matrices-changeofbasis) torna-se conjugação — e o lado algorítmico: [operações sobre linhas](#met-b1-matrices-gauss), cálculo de postos e de inversas. Encontradas pela primeira vez no volume do ensino médio, as matrizes ganham agora o fundamento teórico do Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim) e [20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps).

## 21.1 Matrizes e aplicações lineares

**Definição 21.1.**

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ é o [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) dos quadros $n \times p$ de escalares $A
= (a_{ij})$ ($i$: linha, $j$: coluna), de dimensão $np$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free): as matrizes $E_{ij}$ com um único $1$). Dadas [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ e $\mathcal{C}$ de $F$ ($\dim F = n$), a *matriz de $u \in \mathcal{L}(E, F)$* é o quadro cuja $j$-ésima coluna lista as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) de $u(e_j)$ em $\mathcal{C}$:

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ é um isomorfismo de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (a [Proposição 20.2](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#prop-b1-linmaps-basis): uma [aplicação linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) é exatamente uma escolha de imagens dos $e_j$).

**Exemplo 21.2 (A derivada, como matriz).**

Seja $D(P) = P'$ em $\R_3[X]$. Na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) monomial $(1, X, X^2,
X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, logo

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) *dividida* $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\
\frac{X^3}6\bigr)$, cada vetor da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) é levado no anterior ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), e a matriz torna-se o deslocamento puro: uns na superdiagonal, zeros em todo o resto. Duas morais: a matriz pertence ao *par* ([aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map), [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)), e não à [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) sozinha; e uma boa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) torna a estrutura visível de relance — a forma de deslocamento mostra na hora que $D^4 = 0$ em $\R_3[X]$, cada potência da matriz empurrando a sua diagonal de uns um passo mais para fora.

**Definição 21.3 (Produto).**

Para $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ e $B \in \mathcal{M}_{p,q}$:

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

Isto é precisamente a matriz da composição: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (com as [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) coincidindo no meio). Do mesmo modo, se $X$ é a coluna das [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) de $x$, a coluna de $u(x)$ é $AX$.

**Demonstração da fórmula da composição.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**Proposição 21.4 (A álgebra Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

As matrizes quadradas $\mathcal{M}_n(K)$ formam um [anel](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-ring) (não comutativo para $n
\geq 2$), com identidade $I_n$; o seu [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) de unidades é o *grupo linear geral* $GL_n(K)$, correspondente aos endomorfismos [bijetivos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Para $A, B \in
\mathcal{M}_n(K)$:

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ e } B = A^{-1}
$$

(as inversas de um lado são inversas dos dois lados, pelo [Corolário 20.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#cor-b1-linmaps-samedim)).

**Demonstração.** Os axiomas de [anel](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-ring) transportam-se de $\mathcal{L}(E)$ através do isomorfismo da [Definição 21.1](#def-b1-matrices-def): ele converte composição em produto e soma em soma, logo a associatividade, a distributividade e o papel de $I_n$ são herdados dos fatos correspondentes sobre aplicações, sem nenhuma verificação entrada a entrada. Não comutatividade: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22}
= E_{21}E_{12}$. Se $AB = I_n$: o endomorfismo $a$ de $A$ satisfaz $a \circ b = \mathrm{id}$, logo $a$ é [sobrejetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) ($x =
a(b(x))$ exibe uma [pré-imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de todo $x$), e portanto [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) em [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) (o [Corolário 20.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#cor-b1-linmaps-samedim)); compondo $a
\circ b = \mathrm{id}$ com $a^{-1}$ à esquerda dá $b =
a^{-1}$, e então $b\circ a = \mathrm{id}$ também: a inversa de um lado era, o tempo todo, inversa dos dois lados — um favor estritamente de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def). ∎

**Definição 21.5 (Transposta; traço).**

A *transposta* de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ é $A^{\mathsf T}
= (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$; ela satisfaz $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}
A^{\mathsf T}$ e $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$. O *traço* de uma matriz quadrada é $\operatorname{tr} A
= \sum_i a_{ii}$; ele é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def), e

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**Demonstração da identidade do traço.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ e $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: a mesma soma dupla. ∎

**Exemplo 21.6 (O traço em ação).**

A [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, tem matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 &
0\end{pmatrix}$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica: de fato $A^2 = A$, e

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

ilustrando o [Exercício 21.8](#exo-b1-matrices-8): para idempotentes, o [traço](#def-b1-matrices-transpose) *conta* a dimensão da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim), seja qual for a [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) enviesada em que a matriz está escrita. O mecanismo da invariância é a identidade $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

logo todas as [matrizes semelhantes](#thm-b1-matrices-conjugation) a $A$ partilham o seu [traço](#def-b1-matrices-transpose) — o primeiro *invariante numérico* de um endomorfismo, ao qual se juntará o determinante no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) (o par $(s, p)$ do problema de fim de semana abaixo).

**Exemplo 21.7 (Simétrica mais antissimétrica).**

Chame $A$ de *simétrica* quando $A^{\mathsf T} = A$, e de *antissimétrica* quando $A^{\mathsf T} = -A$. Toda matriz quadrada se decompõe de modo único como uma mais a outra:

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{simétrica}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antissimétrica}},
$$

e uma matriz que é as duas coisas é nula ($A = -A$): os dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) são [subespaços suplementares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) de $\mathcal{M}_n(K)$ — o análogo exato da decomposição par/ímpar de funções (o [Exemplo 18.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ex-b1-vspaces-evenodd)), com a transposição a fazer o papel de $x \mapsto -x$. Dimensões: uma matriz simétrica é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) na diagonal e acima dela, e uma antissimétrica estritamente acima (diagonal nula):

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

e o fechamento da contagem é a confirmação, por Grassmann, do caráter direto. Para $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 &
2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. As matrizes simétricas voltam como os dados de segunda ordem do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar) (a tripla de Monge $r, s,
t$), e as simétricas ortogonais são classificadas no [Exercício 23.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#exo-b1-euclid-12).

## 21.2 Mudança de base

**Definição 21.8.**

Sejam $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$. A *matriz de mudança de base* $P =
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ tem por colunas as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) dos vetores da *nova* [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) *antiga*. Ela é invertível, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, e as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) transformam-se por $X = PX'$ (antigas $=$ $P\,\cdot$ novas).

**Exemplo 21.9 (Ler a matriz de mudança de base).**

Em $\R^2$, da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica $\mathcal B$ para $\mathcal B' =
\bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(os vetores novos escritos em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) antigas, coluna a coluna). O vetor de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) antigas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) novas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} =
(2, 1)^{\mathsf T}$: de fato $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Atenção ao sentido — a matriz $P$ é construída a partir da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) *nova* mas converte [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) *novas em antigas* ($X = PX'$); passar de antigas para novas custa a inversa. Escrever a verificação $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ depois de cada conversão pega o erro do $P$ invertido, que é o mais comum do capítulo.

**Teorema 21.10 (Mudança de base para uma aplicação).**

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ com matriz $A$ em $\mathcal{B}$ e $A'$ em $\mathcal{B}'$, e $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Então

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

Duas matrizes relacionadas desta maneira dizem-se *semelhantes*. (Para $u \colon E \to F$ com dois pares de [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), a fórmula é $A' = Q^{-1} A P$ — matrizes *equivalentes*.)

**Demonstração.** Para todo $x$: $X = PX'$ e a [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) satisfaz $Y = AX$, $Y = PY'$. Logo $PY' = APX'$, isto é, $Y' = (P^{-1}AP)X'$ para todo $X'$: a matriz de $u$ na nova [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) é $P^{-1}AP$ (tome para $X'$ as colunas canônicas). ∎

**Exemplo 21.11 (Uma boa base torna uma aplicação transparente).**

Seja $u(x, y) = (y, x)$ (a troca), com matriz $A = \begin{pmatrix} 0
& 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica. Na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

Nenhum produto de matrizes foi realmente necessário: $u$ fixa $(1,1)$ e inverte $(1,-1)$, logo em $\mathcal B'$ a sua matriz *tem de* ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — a troca é a reflexão em torno da reta $y = x$. Encontrar, para um dado endomorfismo, uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em que a sua matriz se torne diagonal é o problema central do volume do segundo ano de graduação (a teoria da redução); o problema de fim de semana abaixo mostra quão longe as identidades polinomiais sozinhas já levam.

**Exemplo 21.12 (Mudança de base, executada ao contrário).**

A [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G =
\operatorname{Vect}(1,-1)$ tem, na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) adaptada $\mathcal
B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, a matriz transparente $A' =
\operatorname{diag}(1, 0)$. Para obter a sua matriz na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica, execute o [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) ao contrário, $A = P A'
P^{-1}$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

Verificação: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 =
\operatorname{rk} A$, e $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, como prescrito. Este sentido inverso — desenhar a matriz na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) boa e depois conjugar de volta — é como as matrizes de rotação, de reflexão e de [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) são de fato produzidas na prática.

**Teorema 21.13 (Forma normal do posto).**

O *posto* de uma matriz (o posto das suas colunas, equivalentemente o da [aplicação linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) associada) é o único invariante da equivalência: toda $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ de posto $r$ é equivalente a

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

e $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: o posto por linhas é igual ao posto por colunas.

**Demonstração.** Seja $u \colon E \to F$ de posto $r$. Escolha um [suplementar](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-sum) $S$ de $\ker u$ ($\dim S = r$, o [Teorema 20.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#thm-b1-linmaps-ranknullity)) com [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$, completada por uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\ker u$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E$; as imagens $f_i = u(e_i)$, $i \leq r$, formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$ (a restrição é um isomorfismo), completada numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $F$. Nestas [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) a matriz de $u$ é exatamente $J_r$. Logo $A = Q J_r P^{-1}$ para $P, Q$ invertíveis.

Transpondo: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ com $J_r^{\mathsf T}$ da mesma forma (posto $r$) e os fatores externos invertíveis (a [transposta](#def-b1-matrices-transpose) de uma invertível é invertível, a partir de $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ aplicado a $AA^{-1} = I$): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 Operações sobre linhas

**Método 21.14 (Eliminação de Gauss em matrizes).**

As três *operações elementares sobre linhas* — trocar duas linhas, multiplicar uma linha por $\lambda \neq 0$, somar a uma linha um múltiplo de outra — não alteram o posto (cada uma é uma multiplicação à esquerda por uma matriz invertível). Algoritmo: crie um pivô (a entrada não nula mais à esquerda), zere a sua coluna abaixo, passe à linha e à coluna seguintes; o número de pivôs da forma escalonada resultante é o posto.

*Cálculo da inversa:* execute o algoritmo no bloco $(A \mid
I_n)$ até que o bloco da esquerda se torne $I_n$ (possível se e somente se $A$ é invertível); o bloco da direita é então $A^{-1}$ — de fato, o produto das matrizes elementares usadas é igual a $A^{-1}$.

**Exemplo 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: reduza $(A \mid
I_2)$:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(operações: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$; depois $L_1 \leftarrow L_1
+ L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). Logo $A^{-1} =
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$. *Verificação:* $AA^{-1} = I_2$.

**Exemplo 21.16 (Posto com um parâmetro, só por linhas).**

Para $m \in \R$, o posto de $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{pmatrix}$. Reduza: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ e $L_3
\leftarrow L_3 - mL_1$ dão as linhas

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*Caso $m = 1$*: as duas últimas linhas se anulam — um pivô, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (as três linhas originais eram iguais). *Caso $m \neq 1$*: multiplique $L_2$ por $\frac1{m-1}$ e $L_3$ por $\frac1{1-m}$ para obter $(0, 1, -1)$ e $(0, 1, 1 + m)$, e depois $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$. Se $m = -2$: dois pivôs, posto $2$; caso contrário três pivôs, posto $3$. Resumo:

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{caso contrário}.
\end{cases}
$$

Os mesmos limiares sairão de um único cálculo de determinante no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) (o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ do [Exercício 22.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#exo-b1-det-7)) — mas note o que a eliminação dá e o determinante não: o *valor* do posto nos casos degenerados, e não apenas o fato de ele ter caído.

**Exemplo 21.17 (Calcular potências).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ com $N =
E_{12}$, $N^2 = 0$. Como $I$ e $N$ comutam, o teorema binomial (a [Proposição 7.20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#prop-b1-structures-binomial)) trunca:

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ e } k \in \Z \text{ usando } A^{-1} = I -
N).
$$

**Método 21.18 (Calcular AnA^nAn: as três vias).**

1. *Via binomial* : se $A = \lambda I + N$ com $N$ nilpotente, o teorema binomial trunca (o [Exemplo 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , o [Exercício 21.5](#exo-b1-matrices-5) ); ele se aplica porque $\lambda I$ comuta com tudo.
2. *Via polinomial* : encontre uma identidade polinomial satisfeita por $A$ (em dimensão $2$ , sempre $A^2 = sA -  pI$ ) e reduza $X^n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field) ela; o problema de fim de semana abaixo constrói esta via por completo.
3. *Via da semelhança* : encontre um $P$ invertível com $P^{-1}AP = D$ simples (diagonal, ou deslocamento), calcule $D^n$ , e desfaça: $A^n = P D^n P^{-1}$ (o [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , o [Exemplo 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ); a busca sistemática de tal $P$ é a teoria da redução do segundo ano.

Qualquer que seja a via, confira o resultado em $n = 0, 1, 2$: três testes baratos que pegam quase todo deslize.

**Observação 21.19 (Armadilhas comuns: o preço da não comutatividade).**

Toda identidade da álgebra escalar cuja demonstração reordena fatores morre em $\mathcal{M}_n(K)$, $n \geq 2$. *Quadrados*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, e o meio colapsa em $2AB$ apenas se $AB = BA$ (o [Exercício 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *Potências de produtos*: $(AB)^k$ é $ABAB\cdots$, e não $A^kB^k$. *Divisores de zero*: $E_{12}E_{12} = 0$ com $E_{12} \neq 0$; por consequência, *nada de cancelamento*: $AB = AC$ implica $B = C$ apenas quando $A$ é invertível (multiplique por $A^{-1}$ — do lado correto). *[Traços](#def-b1-matrices-transpose)*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ sempre, mas $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ em geral (tome $A = B =
I_2$: $2 \neq 4$), e $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (cíclico), ao passo que $\operatorname{tr}(ACB)$ pode diferir. *As [transpostas](#def-b1-matrices-transpose) invertem*: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf
T}A^{\mathsf T}$ — esquecer a inversão é o erro mais comum nos cálculos de ortogonalidade (o [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid)). Na dúvida, teste qualquer identidade alegada em $E_{12}$ e $E_{21}$: o menor par que não comuta refuta a maioria das fórmulas falsas numa linha.

**Observação 21.20 (Para onde vai o dicionário).**

O dicionário matricial é usado em cada página restante deste volume: o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) associa a cada matriz quadrada um único número que decide a invertibilidade, e resolve $AX = B$ de modo sistemático; o [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) singulariza as matrizes que preservam comprimentos (as matrizes ortogonais); e no [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), o comportamento de segunda ordem de uma função de duas variáveis é uma matriz simétrica $2 \times 2$. O [traço](#def-b1-matrices-transpose), introduzido acima quase de passagem, torna-se um invariante poderoso: os Exercícios [21.6](#exo-b1-matrices-6) e [21.8](#exo-b1-matrices-8) dão um primeiro gostinho, e o volume do segundo ano de graduação constrói sobre ele a teoria dos autovalores. O problema de fim de semana desenvolve o outro cavalo de batalha: as identidades polinomiais satisfeitas por uma matriz, que transformam o cálculo de $A^n$ numa [recorrência linear](#pb-b1-matrices-1) de dois termos.

**Observação 21.21 (Perspectivas dentro do Livro 3).**

Três famílias de matrizes introduzidas aqui têm encontros marcados mais adiante neste volume. As *matrizes simétricas* (o [Exemplo 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) carregam os dados de segunda ordem das funções de duas variáveis: o teste de Monge do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar) é um enunciado sobre o comportamento de sinal de uma matriz simétrica $2\times2$, e o seu determinante $rt - s^2$ é calculado pela maquinaria do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det). As *matrizes ortogonais* ($A^{\mathsf T}A = I$) são as isometrias do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), onde a [transposta](#def-b1-matrices-transpose) finalmente adquire o seu significado geométrico: é a sombra algébrica do produto interno. As *matrizes invertíveis* encontram o seu teste prático no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) — um único número, $\det A \neq 0$ — fechando a busca que este capítulo abriu com a redução por linhas. O [traço](#def-b1-matrices-transpose) e o determinante viajam então como o par invariante $(s, p)$ do problema de fim de semana, até a teoria dos autovalores do segundo ano.

## 21.4 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Sejam $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Calcule $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ e $(A+B)(A-B)$; explique por que as duas últimas diferem.

**Solução de Exercício 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

Elas diferem por $BA - AB \neq 0$: a identidade $(a+b)(a-b) = a^2 -
b^2$ exige a comutatividade, que aqui falha.

**Exercício 21.2 ★.**

Calcule o posto de

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**Solução de Exercício 21.2.**

$M$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ anula a segunda linha; $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ dá $(0, -1, -2)$. Dois pivôs: $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$: $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá $(0,1,1,1) = L_2$; depois $L_3
\leftarrow L_3 - L_2 = 0$. Dois pivôs: $\operatorname{rk} N = 2$.

**Exercício 21.3 ★.**

Inverta, por redução de linhas, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 &
1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, e confira num produto.

**Solução de Exercício 21.3.**

Reduzindo $(A \mid I_3)$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

depois $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$:

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*Verificação:* primeira linha de $A$ vezes primeira coluna de $A^{-1}$: $1
\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$; vezes a segunda coluna: $1 - 0 -
1 = 0$; vezes a terceira: $-1 + 0 + 1 = 0$.

**Exercício 21.4 ★.**

Escreva a matriz, na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica de $\R_2[X]$, do endomorfismo $u(P) = P(X + 1)$. Explique, sem calcular, por que ela é invertível, e dê a matriz de $u^{-1}$.

**Solução de Exercício 21.4.**

$u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: as colunas de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) em $(1, X, X^2)$ dão

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

$u$ é invertível porque tem a inversa óbvia $P \mapsto P(X
- 1)$ (composição de substituições). A sua matriz obtém-se do mesmo modo a partir de $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$:

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Exercício 21.5 ★★.**

Seja $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Escreva $A =
2I + N$, calcule $N^2$, e deduza $A^k$ para todo $k \in \N$ pelo teorema binomial.

**Solução de Exercício 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Como $2I$ e $N$ comutam, o desenvolvimento binomial trunca após dois termos:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(Verificação em $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, correto pelo produto direto.)

**Exercício 21.6 ★★.**

Demonstre que não existem matrizes $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (com $K = \R$ ou $\C$) tais que $AB - BA = I_n$. *(Tome [traços](#def-b1-matrices-transpose).)*

**Solução de Exercício 21.6.**

[Traços](#def-b1-matrices-transpose): $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ (a [Definição 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), ao passo que $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ em $\R$ ou $\C$. Nenhuma solução. (Em espaços de dimensão infinita a identidade *é* realizável — a derivação e a multiplicação por $x$ a satisfazem — precisamente porque ali não existe [traço](#def-b1-matrices-transpose).)

**Exercício 21.7 ★★.**

Uma matriz $A$ é *nilpotente* quando $A^m = 0$ para algum $m$. Demonstre que $I - A$ é então invertível, com

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

Aplicação: inverta $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &
1\end{pmatrix}$.

**Solução de Exercício 21.7.**

Produto telescópico, com todas as potências de $A$ comutando:

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

e a [Proposição 21.4](#prop-b1-matrices-ring) promove a inversa de um lado. Para a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map): a matriz dada é $I + N$ com

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

logo, substituindo $A$ por $-N$ na fórmula:

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Exercício 21.8 ★★.**

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ satisfazendo $A^2 = A$ (idempotente). Demonstre que $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(Interprete $A$ como uma [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) e escolha uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) adaptada; o [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) diz que o [traço](#def-b1-matrices-transpose) não depende da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), pois $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**Solução de Exercício 21.8.**

$A^2 = A$: o endomorfismo $a$ é uma [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) (o [Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#thm-b1-linmaps-projchar)), $E = \operatorname{im} a \oplus
\ker a$ com $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. Numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) adaptada a esta decomposição ($r$ vetores da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim), e depois uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do núcleo), a matriz de $a$ é $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, de [traço](#def-b1-matrices-transpose) $r$. O [traço](#def-b1-matrices-transpose) é invariante por [mudança de base](#def-b1-matrices-changeofbasis): $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ pela identidade cíclica. Logo $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**Exercício 21.9 ★★★.**

Seja $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ a matriz com todas as entradas iguais a $1$. Calcule $J^2$ e deduza, para $a, b \in \R$, a condição de invertibilidade de $M
= aI + bJ$ junto com $M^{-1}$ *(procure uma inversa da mesma forma $\alpha I + \beta J$)*.

**Solução de Exercício 21.9.**

$J^2 = nJ$ (cada entrada de $J^2$ soma $n$ uns). Procure $M^{-1} =
\alpha I + \beta J$:

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

Isto é igual a $I$ se e somente se $a\alpha = 1$ e $a\beta + b\alpha + nb\beta =
0$, isto é, $\alpha = \frac1a$ e $\beta(a + nb) = -\frac ba$. Se $a
\neq 0$ e $a + nb \neq 0$:

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

Reciprocamente, se $a = 0$: $M = bJ$ tem posto $\leq 1 < n$ (para $n \geq
2$): não invertível ($n = 1$ é o caso escalar). Se $a + nb = 0$: o vetor $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ satisfaz $Mv = (a +
nb)v = 0$ com $v \neq 0$: não invertível. Logo $M \in GL_n \iff a
\neq 0$ e $a + nb \neq 0$.

**Exercício 21.10 ★★★.**

(Desigualdades de posto) Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$, demonstre

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(Para a segunda — a desigualdade de Sylvester — aplique o teorema do núcleo e da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) à restrição da [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de $A$ a $\operatorname{im} B$.)*

**Solução de Exercício 21.10.**

*Soma:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A
+ \operatorname{im} B$ (cada $(A+B)x = Ax + Bx$), e Grassmann majora a dimensão de uma soma pela soma das dimensões.

*Sylvester:* seja $a$ a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de $A$ restrita a $V =
\operatorname{im} B$ (dimensão $\operatorname{rk} B$). A sua [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) é $\operatorname{im}(AB)$ ($a(Bx) = ABx$), e o teorema do núcleo e da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) em $V$:

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

Ora, $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, de dimensão $n -
\operatorname{rk} A$: logo

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**Exercício 21.11 ★★.**

Seja $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ com os $d_i$ *dois a dois distintos*.

1. Demonstre que uma matriz $A$ comuta com $D$ se e somente se $A$ é diagonal. *(Compare as entradas $(i,j)$ de $AD$ e de $DA$.)*
2. Deduza o *centro* de $\mathcal{M}_n(K)$ : as matrizes que comutam com *toda* matriz são exatamente as matrizes escalares $\lambda I_n$ . *(Teste contra $D$, e depois contra as matrizes $E_{ij}$.)*

**Solução de Exercício 21.11.**

1. Entrada a entrada, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ e $(DA)_{ij} =  d_i\,a_{ij}$ . Logo $AD = DA$ se e somente se $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ para todos $i, j$ ; quando $i \neq j$ o fator $d_j - d_i$ é não nulo, o que força $a_{ij} = 0$ : $A$ é diagonal. Reciprocamente, matrizes diagonais comutam entre si.
2. Se $A$ comuta com toda matriz, comuta com $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , logo $A =  \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ por (1). Então $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (só a linha $i$ de $E_{ij}$ sobrevive), ao passo que $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : comutar com $E_{ij}$ força $\lambda_i = \lambda_j$ . Logo $A = \lambda I_n$ ; e as matrizes escalares de fato comutam com tudo. O centro de $\mathcal{M}_n(K)$ é $K\,I_n$ .

**Exercício 21.12 ★★★.**

(Matrizes de posto um) Seja $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$.

1. Demonstre que $\operatorname{rk} A = 1$ se e somente se $A =  CL$ para uma coluna não nula $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ e uma linha não nula $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
2. Para tal $A$ , demonstre $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; deduza que uma matriz de posto um é nilpotente se e somente se o seu [traço](#def-b1-matrices-transpose) é nulo.
3. Se $\operatorname{tr} A \neq -1$, demonstre que $I_n + A$ é invertível com $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ e que $I_n + A$ *não* é invertível quando $\operatorname{tr} A = -1$. *(Encontre um vetor aniquilado por $I_n + A$.)*

**Solução de Exercício 21.12.**

1. Se $\operatorname{rk} A = 1$ : a [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) de $A$ é uma reta $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , logo a $j$ -ésima coluna de $A$ é $\ell_j\,C$ para escalares $\ell_j$ (não todos nulos), isto é, $A = C L$ com $L = (\ell_1, \dots,  \ell_n) \neq 0$ . Reciprocamente, se $A = CL \neq 0$ , todas as colunas são múltiplos de $C$ : posto $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , e $LC$ é o escalar $\sum_i  \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr}  A$ . Logo $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , e por indução $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Se $\operatorname{tr} A \neq 0$ , nenhuma potência se anula; se $\operatorname{tr} A = 0$ , então $A^2 = 0$ : uma matriz de posto um é nilpotente se e somente se o seu [traço](#def-b1-matrices-transpose) é nulo.
3. Com $t = \operatorname{tr} A \neq -1$: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ usando $A^2 = tA$. Se $t = -1$: $(I_n + A)A = A + A^2 = A  - A = 0$ com $A \neq 0$, logo $I_n + A$ aniquila toda coluna (não nula) de $A$: não [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), não invertível.

## 21.5 Problema: potências de uma matriz por divisão polinomial

**Problema 21.1.**

Calcular $A^{100}$ entrada a entrada é desesperador; calculá-lo através de uma identidade polinomial satisfeita por $A$ leva três linhas. Este problema constrói o método do zero: a divisão euclidiana de $X^n$, a identidade $A^2 - sA + pI = 0$ verificada por toda matriz $2
\times 2$ (o teorema de Cayley–Hamilton em dimensão $2$), e o dicionário entre potências de matrizes e [recorrências lineares](#pb-b1-matrices-1) — com os [números de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) como exemplo condutor.

**Parte I — O cálculo dos restos.** Fixe $s, p
\in K$ e $D = X^2 - sX + p$.

1. Justifique que para cada $n \in \N$ existem únicos $Q_n  \in K[X]$ e $(a_n, b_n) \in K^2$ com $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ e calcule $(a_0, b_0)$ e $(a_1, b_1)$.
2. Multiplicando por $X$ e dividindo de novo, estabeleça as recorrências $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ e deduza $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: a sequência dos coeficientes obedece à [recorrência linear](#pb-b1-matrices-1) associada a $D$.
3. Suponha que $D$ tem duas raízes distintas $\lambda \neq \mu$. Avaliando a identidade da divisão, demonstre $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. Suponha $D = (X - \lambda)^2$ . Usando a [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) da identidade da divisão, demonstre $a_n = n\lambda^{n-1}$ e $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. Mostre que substituir uma matriz fixa $M \in  \mathcal{M}_k(K)$ em [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) respeita somas e produtos: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. Deduza que se $D(M) =  0$, então $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**Parte II — Dimensão 2: [traço](#def-b1-matrices-transpose), número determinante, Cayley–Hamilton.** Para $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c &
d\end{pmatrix}$ ponha $s = a + d = \operatorname{tr} A$ e $p = ad
- bc$ (o número que o [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) chamará de determinante).

6. Verifique por cálculo direto a *identidade de Cayley–Hamilton em dimensão $2$*: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. Demonstre por desenvolvimento direto que $p$ é multiplicativo: com a notação óbvia, $p(AB) = p(A)\,p(B)$. Mostre então: $A$ é invertível se e somente se $p \neq 0$, e nesse caso $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. Seja $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Calcule $s$ , $p$ , as raízes de $D$ , e deduza uma fórmula [fechada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-closed) para $A^n$ ; confira-a contra um cálculo direto de $A^2$ .
9. Seja $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Mostre que $D$ tem uma raiz dupla e calcule $A^n$ ; confira em $n = 2$ .
10. Seja $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ e defina os [números de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Demonstre $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ deduza a fórmula de Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n -  \psi^n}{\sqrt5}$, onde $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$, e, usando a questão 7, a identidade de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**Parte III — [Recorrências lineares](#pb-b1-matrices-1), estruturalmente.** Fixe $s, p \in K$ com $p \neq 0$, e seja $E_D$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das sequências com $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ para todo $n$.

11. Mostre que $E_D$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) de dimensão $2$ (adapte o [Exercício 19.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#exo-b1-findim-10) ).
12. Mostre que a sequência $(a_n)$ da Parte I é o elemento de $E_D$ com valores iniciais $0, 1$, e que todo $u  \in E_D$ satisfaz $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ com $(b_n)$ como na Parte I: os restos da divisão resolvem *todas* as recorrências de uma só vez.
13. Se $\lambda \neq \mu$ são as raízes de $D$ , mostre que $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $E_D$ ; se $D = (X-\lambda)^2$ com $\lambda \neq 0$ , mostre que $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ é uma.
14. Resolva completamente: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; confira a resposta em $u_2$ e $u_3$ .
15. Seja $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (a *matriz companheira* de $D$). Mostre que $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ e que $\operatorname{tr} C = s$ e $p(C) = p$: a recorrência e a matriz carregam o mesmo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $D$.

**Parte IV — Grau três.** Seja $D_3 = X^3 -
\alpha X^2 - \beta X - \gamma$ e

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. Mostre que $D_3(C_3) = 0$ . *(Calcule as imagens dos vetores da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica pelas potências de $C_3$: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de $C_3$ leva $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ uma combinação forçada pela última linha.)*
17. Mostre que se $D_3$ tem três raízes distintas $\lambda_1,  \lambda_2, \lambda_3$ , o resto $R_n$ da divisão de $X^n$ por $D_3$ é o *interpolante de Lagrange* dos valores $\lambda_i^n$ nos nós $\lambda_i$ (o [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ); deduza que toda entrada de $C_3^{\,n}$ é uma combinação linear fixa de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. Resolva: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ com $u_0 =  0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . *(Fatore $D_3 = (X - 1)(X  + 1)(X - 2)$.)* Confira em $u_3$ .
19. Calcule o resto de $X^n$ módulo $(X -  \lambda)^3$ *(expansão de Taylor de $X^n$ em $\lambda$)* , e deduza uma fórmula para $(\lambda I +  N)^n$ quando $N^3 = 0$ e $N$ comuta com tudo o que estiver à vista; confira-a contra o teorema binomial.
20. Mostre que, para $D_3$ com raízes distintas, a solução geral da recorrência de ordem $3$ é $u_n = c_1  \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : demonstre que as três sequências geométricas formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do espaço de soluções. *(Para a liberdade, avalie uma combinação nula em $n = 0, 1, 2$ e reconheça um sistema de interpolação nos nós distintos $\lambda_i$.)*

**Parte V — Dividendos de Fibonacci, e síntese.**

21. Demonstre $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. De $F^{m+n} = F^m F^n$, obtenha a fórmula de adição $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ e deduza $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. Demonstre que $F_n$ é o inteiro mais próximo de $\varphi^n/\sqrt5$ para todo $n \geq 0$ .
24. Seja $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (os *números de Lucas* $L_n$ ). Mostre que $t_{n+2} =  t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , que $L_n =  \varphi^n + \psi^n$ , e recupere $F_{2n} = F_n L_n$ .
25. Síntese, em quatro frases: por que as potências de uma matriz $2  \times 2$ vivem no plano $\operatorname{Vect}(I, A)$ de $\mathcal{M}_2(K)$ (qual argumento de dimensão garante uma identidade quadrática, e qual identidade explícita a Parte II produziu); como a divisão euclidiana converte a exponenciação numa recorrência de dois termos; qual enunciado deste problema é o caso $n =  2$ de um teorema válido em todas as dimensões (nomeie-o, e diga onde ele é demonstrado nesta [série](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#def-b1-series-def) ); e o que a construção da matriz companheira acrescenta ao quadro.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** Divisão euclidiana de $X^n$ pelo [mônico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $D$ de grau $2$ (o [Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division)): quociente e resto existem e são únicos, e o resto tem grau $\leq 1$: $X^n =
Q_n D + a_n X + b_n$. Para $n = 0$: $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0,
1)$; para $n = 1$: $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** Multiplique por $X$ e reduza $X^2 = D + sX - p$:

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

A última expressão tem forma de resto (grau $\leq 1$), logo, por unicidade, $a_{n+1} = s a_n + b_n$ e $b_{n+1} = -p a_n$. Substituindo $b_{n+1} = -pa_n$ em $a_{n+2} = s a_{n+1} +
b_{n+1}$ obtém-se $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** Avalie $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ nas raízes: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ e $\mu^n = a_n\mu + b_n$. Subtraindo e dividindo por $\lambda - \mu \neq 0$:

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** Na raiz dupla: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. Derivando a identidade, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2
+ 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$, e avaliando em $\lambda$: $a_n
= n\lambda^{n-1}$; e então $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 -
n)\lambda^{n}$.

**5.** Para $P = \sum_i p_i X^i$ e $Q = \sum_j q_j X^j$,

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

porque as potências da única matriz $M$ comutam entre si (as somas são claras por linearidade). Se $D(M) = 0$, substituir $M$ em $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ dá $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n
M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** Produtos diretos:

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

logo $A^2 - sA$ tem entradas fora da diagonal nulas e entradas diagonais $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: $A^2 - sA + pI_2 = 0$.

**7.** Com $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' &
d'\end{pmatrix}$, desenvolvendo $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') -
(ab' + bd')(ca' + dc')$: os termos $aa'cb'$ e $ab'ca'$ cancelam-se, os termos $bc'dd'$ e $bd'dc'$ cancelam-se, e o que resta é

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

Se $p \neq 0$, Cayley–Hamilton dá $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 -
A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$, donde a inversa (e a [Proposição 21.4](#prop-b1-matrices-ring) a torna bilateral). Se $p = 0$ e $A$ fosse invertível, a multiplicatividade daria $1 = p(I_2) =
p(A)\,p(A^{-1}) = 0$: impossível. Logo $A \in GL_2 \iff p \neq 0$.

**8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X -
2)$: $\lambda = 2$, $\mu = 1$, logo $a_n = 2^n - 1$ e $b_n = 2 -
2^n$ (questão 3). Logo

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

Verificação: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, tanto pela fórmula quanto elevando ao quadrado diretamente.

**9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, raiz dupla $\lambda = 2$. Questão 4: $a_n
= n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, logo

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

Em $n = 2$: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, que é $A^2$ calculado diretamente.

**10.** Indução: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 &
F_0\end{pmatrix}$, e

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

Aqui $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$ com raízes $\varphi,
\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$). A sequência $(F_n)$ tem $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ e obedece à mesma recorrência que $(a_n)$: $F_n = a_n = (\varphi^n -
\psi^n)/\sqrt5$, a fórmula de Binet. Cassini: aplicando a multiplicatividade da questão 7 a $F^n$,

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** A condição é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) e contém a sequência nula: um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace). Por indução, $u_0, u_1$ determinam $u$ linearmente, e todo par de valores iniciais é realizado por exatamente uma solução: como no [Exercício 19.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#exo-b1-findim-10), $E_D$ é parametrizado [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) e linearmente por $(u_0, u_1) \in K^2$: $\dim E_D = 2$.

**12.** $(a_n)$ obedece à recorrência (questão 2) com $a_0 =
0$, $a_1 = 1$. E $(b_n)$ também: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} =
-p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (usando $b_{n+1} = -pa_n$ duas vezes), com $b_0 = 1$, $b_1 = 0$. A combinação $v_n =
u_1 a_n + u_0 b_n$ é então uma solução com $v_0 = u_0$, $v_1 =
u_1$; duas soluções com os mesmos valores iniciais coincidem (indução), logo $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ para todo $n$.

**13.** $(\lambda^n)$ é uma solução se e somente se $\lambda^{n+2} =
s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ para todo $n$, isto é, $D(\lambda) = 0$ (depois de dividir por $\lambda^n \neq 0$; note que $\lambda, \mu \neq
0$, pois $p = \lambda\mu \neq 0$). Liberdade de $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$: uma relação em $n = 0, 1$ dá $c + c' = 0$, $c\lambda + c'\mu = 0$, logo $c(\lambda - \mu)
= 0$: $c = c' = 0$. Dois vetores [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em dimensão $2$: uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). Raiz dupla: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ é uma solução pois, com $s = 2\lambda$, $p = \lambda^2$:

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

liberdade em $n = 0, 1$: $c = 0$, e então $c'\lambda = 0$ com $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. Solução geral $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$; as condições iniciais dão $A + B = 1$ e $3A - 2B = 8$, logo $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

Verificação: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$; $u_3 = 54 + 8 = 62 =
u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, e a indução dá a fórmula com $C^n$. Além disso $\operatorname{tr} C = 0
+ s = s$ e $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: a matriz companheira tem exatamente $D$ como [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Cayley–Hamilton.

**16.** Para qualquer solução $u$ de $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} +
\beta u_{n+1} + \gamma u_n$, os vetores de estado $v_n = (u_n,
u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ satisfazem $C_3 v_n = v_{n+1}$ (as duas primeiras linhas deslocam, e a última aplica a recorrência). Logo

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

cujas três componentes são $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta
u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ($k = 0, 1, 2$). Como o estado inicial $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ percorre *todo* o $K^3$ (os valores iniciais são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)), a matriz $D_3(C_3)$ aniquila todo vetor: $D_3(C_3) = 0$.

**17.** Escreva $X^n = Q\,D_3 + R_n$ com $\deg R_n \leq 2$ e avalie em cada raiz: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. Logo $R_n$ é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq 2$ que interpola os três valores $\lambda_i^n$ nos três nós distintos $\lambda_i$: pela unicidade no [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange), $R_n = \sum_i
\lambda_i^n L_i$ com $(L_i)$ a [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de Lagrange dos nós. Substituindo $C_3$ (questões 5 e 16):

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

com as três matrizes $L_i(C_3)$ independentes de $n$: toda entrada de $C_3^{\,n}$ é uma combinação fixa de $\lambda_1^n,
\lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. Solução geral $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. Condições iniciais: $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C = 1$. Subtraindo a primeira da terceira: $3C = 1$, $C = \frac13$; e então $A + B = -\frac13$ e $A - B = \frac13$: $A = 0$, $B =
-\frac13$. Logo

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(os números de Jacobsthal). Verificação: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 =
2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** Expansão de Taylor do [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $X^n$ em $\lambda$:

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

e todos os termos com $k \geq 3$ são divisíveis por $(X -
\lambda)^3$: o resto é

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

Para $M = \lambda I + N$ com $N^3 = 0$: $(M - \lambda I)^3 = N^3
= 0$, logo a questão 5 dá

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

que é exatamente o desenvolvimento binomial de $(\lambda I + N)^n$ truncado em $N^2$ — os dois métodos concordam.

**20.** O espaço de soluções tem dimensão $3$ (mesma parametrização por $(u_0, u_1, u_2)$ que na questão 11), e cada $(\lambda_i^n)$ é uma solução. Liberdade: suponha $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ para $n =
0, 1, 2$. Fixe $i$ e seja $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Lagrange dos nós, com $L_i(\lambda_j) =
\delta_{ij}$. Então

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

Logo todos os $c_i = 0$: três soluções [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) em dimensão $3$, uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free); a solução geral é $c_1\lambda_1^n +
c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** De $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, a soma telescopa:

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** Tome a entrada $(1,2)$ de $F^{m+n} = F^m F^n$: o lado esquerdo é $F_{m+n}$; o direito é (linha $1$ de $F^m$) vezes (coluna $2$ de $F^n$), isto é, $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$. Com $m = n$:

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** Por Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} =
-\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, e $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 <
1$, logo

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

$F_n$ é o inteiro mais próximo de $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ é uma combinação de sequências de Fibonacci deslocadas, logo satisfaz a mesma recorrência: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$; e $t_1 = F_2 + F_0 =
1$, $t_2 = F_3 + F_1 = 3$: estes são os números de Lucas $L_n$. A sequência $\varphi^n + \psi^n$ é uma solução com os mesmos dois primeiros valores ($\varphi + \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = (
\varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$), logo $L_n = \varphi^n +
\psi^n$. Por fim,

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

recuperando a questão 22.

**25.** (i) As cinco matrizes $I, A, A^2, A^3, A^4$ vivem em $\mathcal{M}_2(K)$, de dimensão $4$, logo *algum* [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) não nulo de grau $\leq 4$ anula $A$; a Parte II afinou isto para a quadrática explícita $A^2 = sA - pI$, que tranca todas as potências no plano $\operatorname{Vect}(I, A)$. (ii) A divisão euclidiana reduz $X^n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field) essa quadrática, e os dois coeficientes do resto obedecem à recorrência de dois termos $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: a exponenciação tornou-se iteração. (iii) A questão 6 é o caso $n = 2$ do *teorema de Cayley–Hamilton*, válido em toda dimensão e demonstrado no volume do segundo ano de graduação. (iv) A matriz companheira fecha o ciclo: toda [recorrência linear](#pb-b1-matrices-1) *é* uma potência de matriz, com o mesmo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $D$ aparecendo como dado de [traço](#def-b1-matrices-transpose) e determinante, de modo que o cálculo dos restos resolve recorrências e calcula potências de uma só vez.