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title: "Determinantes e Sistemas Lineares"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares
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# Capítulo 22 — Determinantes e Sistemas Lineares

O determinante condensa num único escalar a resposta à pergunta “estes $n$ vetores formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)?” — e, geometricamente, mede o volume que eles geram. Nós o caracterizamos pelas suas propriedades (multilinear, alternado, normalizado), o calculamos nas dimensões $2$ e $3$ e, em geral, por desenvolvimento em cofatores, e o pomos a trabalhar sobre [sistemas lineares](#def-b1-det-system), ao lado do algoritmo para todos os usos: a [eliminação de Gauss](#met-b1-det-gauss).

## 22.1 O determinante

**Teorema 22.1 (Caracterização).**

Existe exatamente uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$, vista como função das $n$ colunas, que é:

1. *[linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) em cada coluna* (as outras fixas);
2. *alternada* : trocar duas colunas muda o sinal (logo duas colunas iguais dão $0$ );
3. *normalizada* : $\det I_n = 1$ .

Para $n = 2$ e $3$:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(a regra de Sarrus $3 \times 3$: produtos das diagonais descendentes menos os das ascendentes).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 22.2.**

Para $n = 2$: desenvolver por bilinearidade nas colunas canônicas dá a fórmula, que reciprocamente satisfaz os axiomas — uma demonstração completa; $n = 3$ é idêntico, com mais termos. O caso geral (existência pela soma sobre permutações, unicidade pelo mesmo desenvolvimento) exige a assinatura de uma [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) e fica adiado para o segundo ano; usamos livremente os axiomas e as consequências abaixo.

O desenvolvimento para $n = 2$ por extenso, já que ele é o modelo: com colunas $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ e $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$, a bilinearidade dá

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

e a alternância mata os pares repetidos e inverte $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) inteira colapsa em $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ pela normalização. A unicidade é visível no próprio cálculo — os axiomas não deixaram escolha em passo algum — e este é exatamente o fato de unicidade a menos de escala usado na demonstração da regra do produto abaixo.

**Teorema 22.3 (Propriedades).**

Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

1. somar a uma coluna um múltiplo de outra não altera o determinante; multiplicar uma coluna por $\lambda$ multiplica-o por $\lambda$ (logo $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ é invertível $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ as colunas formam uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $K^n$ ; e então $\det(A^{-1}) = (\det  A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — de modo que toda regra sobre colunas é também uma regra sobre linhas;
5. o determinante de uma matriz triangular é o produto das suas entradas diagonais.

**Demonstração.** (1) Por linearidade, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$, onde o segundo determinante tem duas colunas iguais: nulo.

(2) Fixe $A$ e considere $\varphi(B) = \det(AB)$ como função das colunas de $B$: como $AB$ tem colunas $AB_j$, $\varphi$ é multilinear e alternada nos $B_j$. Admitimos, junto com o [Teorema 22.1](#thm-b1-det-def), o seu enunciado de unicidade em forma escalonada: *toda* [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) multilinear alternada $\varphi$ das colunas é igual a $\varphi(I_n) \cdot \det$. Aqui $\varphi(I_n) = \det A$, logo $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

(3) Se $A$ é invertível: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, logo $\det A \neq 0$ e a fórmula da inversa vale. Se $A$ não é invertível, as suas colunas são linearmente dependentes (o [Corolário 20.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#cor-b1-linmaps-samedim) e a [Proposição 20.2](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#prop-b1-linmaps-basis)); exprimir uma coluna através das outras e desenvolver por linearidade deixa determinantes com duas colunas iguais: $\det A = 0$. O enunciado sobre [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) é a [Proposição 19.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) Admitido junto com a construção geral (é imediato na fórmula das permutações); registramo-lo para poder usar [operações sobre linhas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#met-b1-matrices-gauss).

(5) Se alguma entrada diagonal se anula, as primeiras $k$ colunas são linearmente dependentes para algum $k$ (considerações de posto) e $\det = 0 =$ o produto. Caso contrário, zere cada coluna abaixo e à esquerda por operações do tipo (1) — possível na forma triangular —, chegando à matriz diagonal, cujo determinante é o produto das entradas por multilinearidade a partir de $I_n$. ∎

**Exemplo 22.4 (As regras, conferidas em números).**

Tome $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A =
-2$) e $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det
B = -1$). Então

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

Multiplicatividade e invariância por transposição confirmadas — ao passo que a *falsa* aditividade falha no mesmo par:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

Trinta segundos de aritmética deste tipo, depois de invocar qualquer identidade de determinantes, são o seguro contra erros mais barato disponível.

**Exemplo 22.5 (Determinantes como áreas).**

O paralelogramo gerado por $u = (2, 0)$ e $v = (1, 3)$ tem base $2$ e altura $3$: área $6$. E

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

o determinante $2\times2$ *é* a área com sinal do paralelogramo das suas colunas. Os axiomas recontam a geometria: somar a uma coluna um múltiplo da outra é um *cisalhamento*, que desliza o paralelogramo paralelamente a um lado sem alterar [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) nem altura (a operação (1) do [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props)); multiplicar uma coluna por um escalar multiplica a área; trocar as colunas inverte a orientação, donde o sinal, $\det(v, u) = -6$. Em $\R^3$ a mesma leitura dá volumes com sinal, e $\abs{\det}$ torna-se o fator universal de dilatação de volumes das [aplicações lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) — o fato por trás da fórmula de mudança de variáveis para integrais múltiplas no volume do segundo ano de graduação.

**Teorema 22.6 (Desenvolvimento por cofatores).**

Seja $A \in \mathcal{M}_n(K)$ e $\Delta_{ij}$ o determinante de $A$ com a linha $i$ e a coluna $j$ suprimidas. Então, para qualquer coluna $j$ fixa (ou linha, por transposição):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 22.7.**

Desenvolvendo ao longo da primeira coluna:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

Estratégia: crie zeros primeiro ([operações sobre linhas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#met-b1-matrices-gauss) ou colunas), e depois desenvolva ao longo da linha mais vazia.

**Exemplo 22.8 (A inversa por cofatores, uma vez à mão).**

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. Os nove cofatores $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ montam-se em

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

a fórmula citada no [Exercício 22.8](#exo-b1-det-8). Confira um par linha-coluna: (linha $1$ de $A$)(coluna $1$ de $A^{-1}$) $= \frac12(1 + 1
+ 0) = 1$, e contra a coluna $2$: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$. Nove determinantes $2\times2$ para uma inversa $3\times3$: já neste tamanho, a redução por linhas (o [Exercício 22.3](#exo-b1-det-3)) sai mais barata — o valor da fórmula dos cofatores é teórico (a integralidade no [Exercício 22.8](#exo-b1-det-8), a diferenciabilidade da inversa em volumes posteriores), não computacional.

**Exemplo 22.9 (A regra triangular por blocos, em tamanho 444).**

Afirmação: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M\,\det P$ para blocos $2\times2$. Zere o bloco $N$ por operações sobre colunas: somar às colunas $3, 4$ combinações adequadas das colunas $1, 2$ elimina $N$ *quando $M$ é invertível* (resolva $M\Lambda = -N$ para os coeficientes de combinação $\Lambda$), deixando $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$; então o [desenvolvimento por cofatores](#thm-b1-det-cofactor) ao longo da primeira coluna, duas vezes, dá $\det
M\det P$ para esta forma diagonal por blocos. Se $M$ não é invertível, as suas colunas são linearmente dependentes, logo as duas primeiras colunas da matriz grande também o são (as suas metades inferiores são nulas): os dois lados se anulam. A regra estende-se a blocos de tamanhos quaisquer pelo mesmo argumento em dois casos — e ela é o motor do [Exercício 22.10](#exo-b1-det-10).

**Exemplo 22.10 (Um determinante 4×44 \times 44×4, com estratégia).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Toda linha soma $10$: a operação $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 +
C_3 + C_4$ torna a primeira coluna constante, e fatorar $10$ deixa uns. Em seguida $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) zera a primeira coluna:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

desenvolvendo o último determinante $3\times3$ ao longo da sua primeira linha: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$. Moral: uma única operação bem escolhida (perceber a soma constante das linhas) vence dezesseis cofatores.

**Método 22.11 (Escolher uma estratégia de determinante).**

Examine a matriz antes de calcular qualquer coisa.

1. *Somas constantes de linhas ou de colunas* : some tudo numa linha, fatore o valor comum (o [Exemplo 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , o [Exercício 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *Estrutura repetitiva* : subtraia linhas ou colunas vizinhas para criar zeros; padrões em escada colapsam rumo à forma triangular, cujo determinante se lê na diagonal.
3. *Zeros isolados* : desenvolva ao longo da linha mais vazia (o [Exemplo 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ); famílias recursivas (tridiagonais, o [Exercício 22.6](#exo-b1-det-6) ) produzem assim recorrências.
4. *Um parâmetro* : o determinante é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nele; encontre as suas raízes localizando os valores degenerados (linhas iguais, colunas proporcionais), e depois fixe o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) pelo grau e pelo coeficiente dominante. Para a matriz do [Exercício 22.7](#exo-b1-det-7) : $m = 1$ dá três linhas iguais (posto $1$ , uma raiz dupla), e $m = -2$ faz as linhas somarem zero (mais uma raiz); o determinante tem grau $3$ em $m$ com termo dominante $-m^3$ (o produto antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , cujo sinal de Sarrus é $-1$ ), logo ele tem de ser $-(m+2)(m-1)^2$ — sem nenhum desenvolvimento, e os dois métodos conferem um com o outro.

**Exemplo 22.12 (Determinante de Vandermonde).**

Para escalares $x_1, \dots, x_n$:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

Esboço da demonstração (detalhada no [Exercício 22.5](#exo-b1-det-5)): as operações sobre colunas $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ feitas da direita para a esquerda zeram a primeira linha, e fatorar cada linha restante reduz a $V(x_2, \dots, x_n)$. Não nulo se e somente se os $x_i$ são dois a dois distintos — o determinante por trás da [interpolação de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) (o [Exemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 Sistemas lineares

**Definição 22.13.**

Um sistema [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) de $n$ equações em $p$ incógnitas é $AX = B$ com $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in
K^n$; ele é *homogêneo* quando $B = 0$. O seu [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções, quando não vazio, é $X_0 + \ker A$: uma solução particular mais a solução geral do homogêneo — um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) afim de dimensão $p -
\operatorname{rk} A$ (teorema do núcleo e da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim)).

**Exemplo 22.14 (A estrutura afim, tornada visível).**

Resolva

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

Subtraindo as equações: $2y - z = 1$, logo $z = 2y - 1$ e $x =
3 - y - z = 4 - 3y$. As soluções formam a reta

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

a solução particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (a escolha $y = 0$) mais a reta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ do sistema homogêneo associado — verificação: $(-3) + 1 + 2 = 0$ e $(-3) - 1 + 4 = 0$. Geometricamente, dois planos não paralelos de $\R^3$ intersectam-se ao longo de uma reta, e a contagem de dimensões $p -
\operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ já sabia disso antes de resolvermos coisa alguma. Mudar a solução particular (digamos $y = 1$: $X_0' =
(1, 1, 1)$) muda a descrição, não a reta: um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) afim tem muitas origens e uma só direção.

**Teorema 22.15 (Sistemas quadrados de Cramer).**

Se $A \in GL_n(K)$, o sistema $AX = B$ tem a solução única $X =
A^{-1}B$, cujas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) são

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ com a coluna } j \text{ substituída por } B .
$$

**Demonstração.** A unicidade e a existência são a invertibilidade. Para a fórmula: escreva $B = \sum_k x_k C_k$ (colunas de $A$); então, por multilinearidade e alternância,

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

todo termo exceto $k = j$ tendo uma coluna repetida. ∎

**Exemplo 22.16 (Cramer com um parâmetro, por extenso).**

Para $m \in \R$, resolva

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

O determinante é $1 - m^2$. *Caso genérico* $m \neq \pm1$: Cramer dá

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

uma solução limpa para cada $m$ admissível (confira em $m = 0$: $(1, 2)$, obviamente correto). *Casos degenerados*: em $m = 1$ as equações leem-se $x + y = 1$ e $x + y = 2$: incompatíveis; em $m = -1$ elas leem-se $x - y = 1$ e $-x + y = 2$, isto é, $x - y =
1$ e $x - y = -2$: incompatíveis de novo. O anulamento do determinante anuncia que *alguma coisa* degenera, mas nunca diz o quê — vazio ou infinito tem de ser decidido olhando para o lado direito. Note também como as fórmulas sinalizam os seus próprios limites: quando $m \to 1^{-}$, $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to
-\infty$; o ponto solução foge à medida que as duas retas se tornam paralelas.

**Método 22.17 (Eliminação de Gauss em sistemas).**

Reduza por linhas a matriz ampliada $(A \mid B)$ à forma escalonada.

1. Se aparecer um pivô na última coluna (uma linha $0 = 1$ ): nenhuma solução.
2. Caso contrário, as incógnitas separam-se em *incógnitas pivô* e *incógnitas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)* (parâmetros); a substituição regressiva exprime as primeiras em função das segundas: o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções é um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) afim de dimensão $=$ número de incógnitas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) .

As fórmulas de Cramer servem para a teoria e para sistemas pequenos; a eliminação é o algoritmo prático.

**Exemplo 22.18 (Uma discussão com parâmetro).**

Para $m \in \R$, considere

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

A matriz tem determinante $-(m+2)(m-1)^2$ (calculado no [Exercício 22.7](#exo-b1-det-7) somando todas as colunas à primeira). Para $m
\neq 1, -2$: solução única $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (por simetria). Para $m = 1$: uma única equação repetida três vezes, um plano de soluções. Para $m = -2$: somar as três equações dá $0 = 3$, nenhuma solução.

**Observação 22.19 (Armadilhas comuns).**

*O determinante não é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) na matriz*: $\det(A + B)
\neq \det A + \det B$ (já $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$); ele é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) em cada *coluna* separadamente, o que é coisa inteiramente diferente. *Escala*: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, e não $\lambda\det A$ — cada uma das $n$ colunas é multiplicada. *As [operações sobre linhas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#met-b1-matrices-gauss) não são todas gratuitas*: $L_i \leftarrow L_i +
\lambda L_j$ preserva o determinante, mas uma troca muda o sinal e $L_i \leftarrow \lambda L_i$ o multiplica por $\lambda$ — erros de contabilidade aqui são a fonte clássica de sinais errados nos cálculos baseados em eliminação. *Um determinante nulo é o começo, não o fim*: ele diz “posto $< n$” mas não qual posto; só trabalho adicional (forma escalonada, ou os menores do [Exercício 22.12](#exo-b1-det-12)) o localiza — cf. o caso $m = 1$ contra $m = -2$ no [Exemplo 22.18](#ex-b1-det-parameter). *Cramer precisa de invertibilidade*: quando $\det A = 0$ as fórmulas $x_j = \det A_j/\det A$ não fazem sentido, e o sistema pode perfeitamente ter (infinitas) soluções. *Só matrizes quadradas têm determinante*: para um sistema retangular, a eliminação é a única ferramenta.

**Observação 22.20 (Para onde vão os determinantes).**

Três vidas esperam por este escalar. *Geométrica*: $\abs{\det}$ é o fator de dilatação de áreas ou de volumes da [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) associada — tornado preciso para o plano no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid) e, como jacobiano de uma mudança de variáveis, nas integrais múltiplas do volume do segundo ano de graduação. *Algébrica*: $\det(A - \lambda I)$, o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) característico, abre a teoria dos autovalores no segundo ano — a identidade $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ do problema de fim de semana do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) é a sua primeira sombra. *Analítica*: os determinantes de matrizes especiais (Vandermonde, Cauchy, Gram) decidem quando os problemas de interpolação, de decomposição e de [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) são bem postos; o problema de fim de semana abaixo avalia por completo as duas primeiras famílias.

**Observação 22.21 (Perspectivas dentro do Livro 3).**

Este capítulo fecha a espinha dorsal de álgebra linear do volume, e os seus dois capítulos restantes recolhem os dividendos. No [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid): a matriz de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ testa a liberdade por um determinante (o [Exercício 23.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#exo-b1-euclid-11)), e as isometrias do plano separam-se em rotações e reflexões conforme o sinal do seu determinante — a classificação do problema de fim de semana de lá funciona sobre isso. No [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar): a quantidade de Monge $rt -
s^2$ é o determinante da matriz simétrica das [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) segundas, e as equações normais dos mínimos quadrados formam um sistema de Cramer cuja matriz é uma matriz de Gram (logo, de momentos) — invertível precisamente pelos critérios de sabor Vandermonde estabelecidos aqui. Quando aqueles capítulos afirmarem “invertível” ou “positiva”, os recibos estão neste.

## 22.3 Exercícios

**Exercício 22.1 ★.**

Calcule:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**Solução de Exercício 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

Segundo: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sobre as linhas originais) dão as linhas $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$: duas linhas iguais, determinante $0$. (Sarrus confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 -
72 = 0$.)

Terceiro: é um Vandermonde com $x = 1, 2, 3$ (o [Exemplo 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**Exercício 22.2 ★.**

Para quais $\lambda \in \R$ a família $\bigl((1, 1, \lambda),
(1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$?

**Solução de Exercício 22.2.**

O determinante é igual a (some todas as colunas à primeira e fatore) $(\lambda + 2)$ vezes

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(zere com $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ e desenvolva), o que dá $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$. [Base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**Exercício 22.3 ★.**

Resolva pela regra de Cramer:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{e depois}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**Solução de Exercício 22.3.**

Primeiro sistema: $\det = -7$; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. Verificação: $2(2) + 1 = 5$; $3(2) - 2 = 4$.

Segundo sistema: depois de $L_2 - L_1$ e $L_3 - 2L_1$, as linhas tornam-se $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$, logo

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

Cramer, substituindo as colunas por $(6,2,1)^{\mathsf T}$:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(os numeradores calculados do mesmo modo). Verificação: $1 + 2 + 3 = 6$; $1 -
2 + 3 = 2$; $2 + 2 - 3 = 1$.

**Exercício 22.4 ★.**

Resolva por [eliminação de Gauss](#met-b1-det-gauss), descrevendo o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**Solução de Exercício 22.4.**

Reduza a matriz ampliada: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Incógnitas pivô $x, z$; incógnitas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $y, t$. Substituição regressiva: $z =
1 + t$, $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. [Conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções:

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

um plano afim (dimensão $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) de $\R^4$.

**Exercício 22.5 ★★.**

Demonstre a fórmula de Vandermonde do [Exemplo 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) por indução sobre $n$, com as operações sobre colunas $C_k \leftarrow C_k -
x_1 C_{k-1}$ efetuadas de $k = n$ até $k = 2$.

**Solução de Exercício 22.5.**

Indução; $n = 1$ é o produto vazio $= 1$. Para o passo, efetue $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ para $k = n, n-1, \dots, 2$ (nesta ordem, de modo que cada operação use uma coluna ainda não modificada). A primeira linha torna-se $(1, 0, \dots, 0)$; na linha $i \geq 2$, a $k$-ésima entrada torna-se $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$. Desenvolvendo ao longo da primeira linha e fatorando $(x_i - x_1)$ em cada linha $i$:

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

e a hipótese de indução completa o produto $\prod_{i<j}(x_j
- x_i)$.

**Exercício 22.6 ★★.**

(Tridiagonal) Seja $D_n$ o determinante $n \times n$ com $2$ na diagonal, $1$ nas duas diagonais adjacentes e $0$ em todo o resto. Desenvolvendo ao longo da primeira linha, demonstre $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ e calcule $D_n$ ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$).

**Solução de Exercício 22.6.**

Desenvolvendo $D_n$ ao longo da primeira linha: $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-block}
\end{vmatrix}$; o segundo determinante, desenvolvido ao longo da sua primeira coluna, é $D_{n-2}$. Logo $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, isto é, $D_n -
D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: as diferenças são constantes, iguais a $D_2 - D_1 = 1$. Logo $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$. (Verificação: $D_2 = 3$, e o caso $3\times3$ é o [Exemplo 22.7](#ex-b1-det-cofactor): $D_3 = 4$.)

**Exercício 22.7 ★★.**

Complete o [Exemplo 22.18](#ex-b1-det-parameter): calcule o determinante $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ pela operação $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, e realize a discussão completa do sistema.

**Solução de Exercício 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ torna a primeira coluna constante e igual a $(m+2)$; fatore-a:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(desenvolva ao longo da primeira coluna: a única entrada $1$ carrega sinal $+$, e o determinante $2 \times 2$ restante é $0 \cdot 0 -
(m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

Discussão. $m \notin \{1, -2\}$: sistema de Cramer; pela simetria das equações, $x = y = z$, e cada equação dá $(m + 2)x = 1$: solução única $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2},
\frac{1}{m+2}\bigr)$. $m = 1$: as três equações leem-se todas $x + y
+ z = 1$: as soluções formam o plano afim $x + y + z = 1$. $m = -2$: somar as três equações dá $0 = 3$: [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de soluções vazio.

**Exercício 22.8 ★★.**

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ com entradas *inteiras*. Demonstre que $A$ tem inversa com entradas inteiras se e somente se $\det A
= \pm 1$. *(Para o sentido direto, tome determinantes; para o recíproco, admita — ou demonstre para $n \leq 3$ via cofatores — que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ com matriz de cofatores inteira.)*

**Solução de Exercício 22.8.**

($\Rightarrow$) Se $A^{-1}$ tem entradas inteiras: $\det A \cdot \det
A^{-1} = 1$, com ambos os determinantes inteiros (somas de produtos de entradas): dois inteiros de produto $1$ são ambos $\pm1$.

($\Leftarrow$) A fórmula dos cofatores $A^{-1} = \frac{1}{\det
A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (conferida para $n \leq 3$ por desenvolvimento direto, admitida em geral) tem $\operatorname{Com}(A)$ com entradas inteiras (cada cofator é um determinante inteiro); dividir por $\det A = \pm 1$ mantém os inteiros.

**Exercício 22.9 ★★★.**

Calcule o determinante $n \times n$ da matriz $aI + bJ$ (o [Exercício 21.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#exo-b1-matrices-9)), isto é, com $a + b$ na diagonal e $b$ em todo o resto. *(Some todas as colunas à primeira, fatore e depois zere.)* Recupere a condição de invertibilidade $a \neq 0$, $a + nb
\neq 0$.

**Solução de Exercício 22.9.**

Some todas as colunas à primeira: cada entrada da nova primeira coluna é $a + nb$; fatore-a, de modo que a primeira coluna fique só de uns. Então as [operações sobre linhas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) zeram toda entrada abaixo do $1$ superior esquerdo e deixam $a$ na diagonal e $0$ no resto dessas linhas: a matriz é triangular superior com diagonal $(1, a, \dots, a)$. Logo

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

não nulo se e somente se $a \neq 0$ e $a + nb \neq 0$: a condição do [Exercício 21.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#exo-b1-matrices-9).

**Exercício 22.10 ★★★.**

Sejam $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Demonstre que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

por operações de colunas e de linhas em blocos ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, e depois $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, em forma de blocos), admitindo a regra triangular por blocos natural $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — demonstrada para blocos $2 \times 2$ no [Exemplo 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**Solução de Exercício 22.10.**

Operações por blocos (cada uma é uma composição das $n$ operações escalares correspondentes, permitidas pelo [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (1)):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

usando a regra triangular por blocos no último passo.

**Exercício 22.11 ★★.**

(Circulante de ordem $3$) Sejam $a, b, c \in \C$ e

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

Demonstre que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -
ca)$, e fatore completamente sobre $\C$ usando $j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(Comece por $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$; para a forma complexa, note que a coluna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ se comporta quase como um autovetor.)*

**Solução de Exercício 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ torna a primeira coluna constante e igual a $(a + b + c)$; fatore-a, e depois $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

e, desenvolvendo, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc
- ca$. Sobre $\C$, com $j^3 = 1$ e $1 + j + j^2 = 0$:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

donde a fatoração completa. (Estruturalmente: a coluna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ satisfaz $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T}
= (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$, e do mesmo modo para $j^2$ e $1$: os três fatores são os três “autovalores” da circulante, uma história sistematizada no volume do segundo ano de graduação.)

**Exercício 22.12 ★★★.**

(Posto e menores) Seja $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. Demonstre que $\operatorname{rk} A$ é igual ao maior tamanho $r$ de uma submatriz $r \times r$ invertível de $A$ (uma submatriz conserva as entradas nos cruzamentos de $r$ linhas e $r$ colunas escolhidas). *(Se $\operatorname{rk} A = r$, selecione $r$ colunas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), e depois $r$ linhas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do bloco $n \times r$ resultante; reciprocamente, uma submatriz invertível força as colunas correspondentes de $A$ a serem [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).)*

**Solução de Exercício 22.12.**

Escreva $r = \operatorname{rk} A$.

*Existe uma submatriz $r \times r$ invertível.* Escolha $r$ colunas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) de $A$ e seja $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ a matriz que elas formam: $\operatorname{rk} B = r$. Como o posto por linhas é igual ao posto por colunas (o [Teorema 21.13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#thm-b1-matrices-rank)), $B$ tem $r$ linhas [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free); conservar essas linhas dá uma submatriz $r \times r$ de $A$ de posto $r$, isto é, invertível.

*Nenhuma maior existe.* Seja $S$ uma submatriz $s \times s$ invertível, tomada das colunas $j_1, \dots, j_s$ e das linhas $i_1,
\dots, i_s$ de $A$. Se uma combinação $\sum_k \lambda_k
C_{j_k} = 0$ das colunas *inteiras* correspondentes se anula, então ler apenas as linhas $i_1, \dots, i_s$ dá $\sum_k
\lambda_k S_k = 0$ nas colunas de $S$, logo todos os $\lambda_k = 0$ ($S$ invertível): as colunas $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), e $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

Logo $\operatorname{rk} A$ é exatamente o maior tamanho de uma submatriz invertível.

## 22.4 Problema: o duplo alternante de Cauchy

**Problema 22.1.**

Dois determinantes governam as aplicações deste capítulo: o [determinante de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde), avaliado no [Exercício 22.5](#exo-b1-det-5), e o *[determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i +
b_j}\bigr)$, avaliado aqui. Em torno deles este problema reúne a caixa de ferramentas dos alternantes: truques polinomiais sobre colunas, interpolação por Cramer, a [matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1), o discriminante de uma cúbica e o método dos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternantes. Ao longo do texto, $V(x_1,
\dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ designa o valor de Vandermonde.

**Parte I — A caixa de ferramentas de Vandermonde.**

1. Calcule $V(1, 2, 3, 4)$ , e lembre por que a interpolação em $n$ nós dois a dois distintos é um sistema de Cramer.
2. (Alternante polinomial) Sejam $P_0, \dots, P_{n-1}$ *[mônicos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)* com $\deg P_k = k$. Demonstre $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ as operações sobre colunas substituem cada coluna de potências por qualquer escada [mônica](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), de graça.
3. Aplique a questão 2 aos [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) binomiais $B_k =  \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$: demonstre que, para *inteiros* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$, $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ o produto de todas as diferenças dois a dois de $n$ inteiros é divisível pelo superfatorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. Demonstre $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} =  x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (as potências começando agora em $1$ ).
5. (Matriz de momentos) Seja $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq  i, j \leq n}$, onde $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. Demonstre que $S = W^{\mathsf T} W$ para a matriz $W =  (x_i^{\,j-1})_{ij}$, deduza $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ e conclua: $n$ números *reais* são dois a dois distintos se e somente se a sua matriz de momentos é invertível, e $\det S \geq 0$ sempre.

**Parte II — A interpolação revisitada.** Nós $x_1 < \dots < x_n$, valores $y_1, \dots, y_n$.

6. Escreva as condições “ $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ interpola” como um [sistema linear](#def-b1-det-system) nos $c_k$ com matriz $W$ , e recupere de $\det W = V \neq  0$ a existência e a unicidade do interpolante (compare com as duas demonstrações anteriores, o [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) e o [Exemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. Pela regra de Cramer e pelo desenvolvimento em cofatores do determinante relevante ao longo da sua última coluna, demonstre que o coeficiente dominante do interpolante é $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (Vandermonde confluente) Calcule $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ e interprete: os dados $\bigl(P(x_1), P'(x_1),  P(x_2)\bigr)$ determinam um único $P \in \R_2[X]$ quando $x_1 \neq x_2$ (interpolação de Hermite).
9. Encontre o único $P \in \R_2[X]$ com $P(0) = 1$ , $P'(0)  = 0$ , $P(1) = 2$ , e confira a sua resposta contra a questão 8.

**Parte III — O [determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1).** Sejam $a_1,
\dots, a_n$ e $b_1, \dots, b_n$ escalares com $a_i + b_j
\neq 0$ para todos $i, j$, e

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. Calcule $C_2$ à mão e ponha-o na forma “produtos de diferenças sobre produtos de somas”.
11. Para $n \geq 2$, efetue $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ($i <  n$) e fatore linhas e colunas para demonstrar $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ onde $M$ coincide com a matriz de Cauchy nas linhas $i < n$ e tem por última linha $(1, 1, \dots, 1)$.
12. Efetue $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) em $M$, fatore de novo, e conclua por indução o *duplo alternante de Cauchy*: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. Deduza o critério de invertibilidade (os $a_i$ dois a dois distintos e os $b_j$ dois a dois distintos). Para a *[matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j -  1}\bigr)$ : calcule $\det H_2$ e $\det H_3$ pela fórmula, e verifique que $H_2^{-1}$ tem entradas inteiras.
14. Mostre que, para $b_j$ dois a dois distintos e qualquer lado direito, o sistema $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) tem solução única, e relacione isto com a existência e a unicidade das decomposições em frações parciais com [polos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#def-b1-fractions-field) simples (o [Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#thm-b1-fractions-complex) ).

**Parte IV — O discriminante de uma cúbica.** Sejam $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ as raízes (em $\C$) de $X^3
+ pX + q$, e $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. Usando $\lambda^3 = -p\lambda - q$ em cada raiz e Viète ( $p_1 = 0$ ), calcule $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ e $p_4 = 2p^2$ .
16. Com a questão 5 (sobre $\C$, mantendo $\det S = V^2$), calcule $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. Deduza: $X^3 + pX + q$ tem uma raiz múltipla se e somente se $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; confira em $X^3 - 3X + 2 = (X -  1)^2(X + 2)$ .
18. Suponha $p, q$ reais. Demonstre que a cúbica tem três raízes reais distintas se e somente se $\operatorname{disc}  > 0$ , e uma raiz real mais duas raízes complexas conjugadas se e somente se $\operatorname{disc} < 0$ . *(Se $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ e $\lambda_1 \in \R$, mostre que $V$ é imaginário puro.)*

**Parte V — Dividendos, e o método dos alternantes.**

19. Para $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , mostre que $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. Calcule $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ para $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , primeiro pelas questões 2–3 e depois por desenvolvimento direto.
21. Sejam $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ dois a dois distintos e não nulos. Usando uma matriz de Vandermonde invertível, demonstre de novo que as sequências geométricas $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ formam uma [família livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) do espaço das sequências.
22. Calcule $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ a partir do duplo alternante.
23. ( [Polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternantes) Chame um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $F$ nas variáveis $x_1,  \dots, x_n$ de *alternante* quando trocar duas variáveis quaisquer muda o seu sinal. Mostre que um $F$ alternante se anula sempre que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), e deduza — uma variável de cada vez, pelo teorema do fator — que $F$ é divisível por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. Use a questão 23 para redemonstrar a fórmula de Vandermonde sem indução: o determinante $\det(x_i^{\,j-1})$ é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternante de grau total $\binom n2$ , logo um múltiplo *constante* de $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ ; identifique a constante comparando um monômio.
25. Síntese, em quatro frases: qual propriedade única do determinante (qual axioma) gera todas as fatorações deste problema; por que a identidade da matriz de momentos da questão 5 transforma um enunciado sobre distinção *complexa* num teste de sinal *real* computável; quais duas matrizes clássicas foram completamente avaliadas aqui e quais problemas [lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) elas governam; e como o método dos alternantes das questões 23–24 explica, de uma só vez, por que $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ não para de aparecer. Nomeie o teorema da Parte III.

**Solução de Problema 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1
\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. A interpolação em nós distintos pede os coeficientes de $P$ que resolvem $W c = y$ com $W = (x_i^{\,j-1})$, e $\det W = V \neq 0$: um sistema de Cramer.

**2.** Percorra as colunas da esquerda para a direita. $C_1$ é a coluna constante $P_0(x_i) = 1$ ($P_0$ [mônico](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $0$). Suponha que as colunas $1, \dots, j-1$ já foram reduzidas às potências puras $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. Como $P_{j-1}
= X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, subtrair de $C_j$ a combinação $\sum_k \alpha_k\,(\text{coluna de } x_i^k)$ — operação que não altera o determinante — deixa a coluna de potências puras $x_i^{\,j-1}$. Depois da última coluna, a matriz é a matriz de Vandermonde: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** Os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ são [mônicos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $j - 1$, logo a questão 2 dá

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

O lado esquerdo é o determinante de uma matriz com entradas *inteiras* ($B_k$ assume valores inteiros em $\Z$: questões 16–17 do problema de fim de semana [Problema 18.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#pb-b1-vspaces-1)), logo um inteiro; e ele é positivo, pois $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ para $m_1 <
\dots < m_n$. Logo o superfatorial [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) o produto de todas as diferenças dois a dois.

**4.** Fatore $x_i$ em cada linha $i$: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\,
\det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$: $S = W^{\mathsf T}W$. Logo $\det S =
\det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (o [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). Para $x_i$ reais: $\det S = V^2
\geq 0$, e $S$ é invertível se e somente se $V \neq 0$, isto é, se e somente se os $x_i$ são dois a dois distintos — um teste de sinal definido, computável apenas a partir das somas de potências.

**6.** As condições de interpolação $\sum_{k}
c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ formam o sistema $Wc = y$; $\det W = V \neq
0$ dá existência e unicidade de uma só vez. Esta é a terceira demonstração do livro: fórmula explícita no [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange), argumento de núcleo no [Exemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ex-b1-linmaps-interpolation), Cramer aqui.

**7.** Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$, onde $W'$ é $W$ com a sua última coluna substituída por $y$. Desenvolvendo $\det W'$ ao longo dessa coluna:

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

Ora, $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i}
(x_j - x_i)$, e converter o segundo produto custa $(-1)^{n-i}$:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

donde $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — de novo a fórmula das [diferenças divididas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#pb-b1-vspaces-1).

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá as linhas $(1, x_1,
x_1^2)$, $(0, 1, 2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$; desenvolvendo ao longo da primeira coluna e fatorando $(x_2 - x_1)$:

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

Não nulo para $x_1 \neq x_2$: o [sistema linear](#def-b1-det-system) que exprime $P(x_1) = u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ nos coeficientes de $P \in \R_2[X]$ é de Cramer — a interpolação de Hermite com um nó duplicado é bem posta.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ com $a = P(0) = 1$, $b = P'(0)
= 0$, $a + b + c = P(1) = 2$: $c = 1$, logo $P = 1 + X^2$, único. Coerência: aqui $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ e o determinante da questão 8 é $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** Cálculo direto:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

e o numerador desenvolve-se em $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1
= (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$: diferenças sobre somas.

**11.** Para $i < n$, a nova entrada da linha $i$ é

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

Fatore $(a_n - a_i)$ em cada linha $i < n$, e depois $\frac1{a_n + b_j}$ em cada coluna $j$: o que resta tem entradas $\frac1{a_i + b_j}$ nas linhas $i < n$ e a constante $1$ na linha $n$ — a matriz $M$, com o prefator anunciado.

**12.** Em $M$, para $j < n$ a operação $C_j \leftarrow
C_j - C_n$ transforma a linha $n$ em $(0, \dots, 0, 1)$ e, na linha $i < n$,

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

Fatore $(b_n - b_j)$ em cada coluna $j < n$ e $\frac1{a_i +
b_n}$ em cada linha $i < n$, e depois desenvolva ao longo da última linha (sinal $(-1)^{n+n} = +1$): o determinante restante é $C_{n-1}$. Reunindo os fatores das questões 11–12:

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

e a indução ([base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) monta exatamente o duplo alternante de Cauchy: os fatores $(a_j - a_i)(b_j
- b_i)$ para todos os pares, sobre todas as somas $(a_i + b_j)$.

**13.** A fórmula se anula se e somente se algum $a_j = a_i$ ou $b_j =
b_i$: a matriz de Cauchy é invertível se e somente se as duas famílias são dois a dois distintas. Hilbert: $a_i = i$, $b_j = j - 1$. Para $n = 2$: numerador $(2-1)(1-0) = 1$, denominador $1\cdot2\cdot2\cdot3
= 12$: $\det H_2 = \frac1{12}$. Para $n = 3$: numerador $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, denominador $(1\cdot2\cdot3)
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$: $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. Inversa para $n = 2$:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

todos inteiros (fenômeno verdadeiro para todo $n$).

**14.** A matriz do sistema é a matriz de Cauchy, invertível pela questão 13 quando os $b_j$ (e os $a_i$) são dois a dois distintos: solução única. Interpretação: uma função racional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ com [polos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#def-b1-fractions-field) simples é determinada por $n$ dos seus valores $R(a_1), \dots, R(a_n)$, e reciprocamente qualquer tal folha de dados é realizada exatamente uma vez — a contrapartida amostral do teorema de existência e unicidade das frações parciais (o [Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** Viète para $X^3 + pX + q$: $\lambda_1 + \lambda_2 +
\lambda_3 = 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, logo $p_1 = 0$ e $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. Cada raiz satisfaz $\lambda^3 =
-p\lambda - q$; somando: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. Multiplicando por $\lambda$ e somando: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$.

**16.** Pela questão 5 (a identidade $S = W^{\mathsf T}W$ e $\det S = V^2$ valem sobre $\C$),

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

desenvolvendo ao longo da primeira linha.

**17.** Uma raiz múltipla significa dois $\lambda_i$ iguais, isto é, $V = 0$, isto é, $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$. Para $X^3 - 3X + 2$: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$, coerente com a raiz dupla $1$ de $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** As raízes não reais de uma cúbica real vêm em pares conjugados, logo ocorrem exatamente dois casos quando $\operatorname{disc} \neq
0$. Três raízes reais distintas: $V$ é real e não nulo, logo $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. Uma raiz real $\lambda_1$ e $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$: então

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

logo $V$ é um número imaginário puro não nulo e $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. Os dois sinais caracterizam os dois casos.

**19.** Tome $b_i = a_i$ no duplo alternante: o numerador é $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ e o denominador $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (todas as entradas positivas): o determinante é positivo. (Em linguagem posterior: o núcleo $\frac1{x+y}$ é positivo definido.)

**20.** Pelas questões 2–3, o determinante vale $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} =
\frac{30}{2} = 15$. Diretamente, a matriz é

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** Suponha $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ como sequência. Ler em $k = 0, 1, \dots, n-1$ dá $W^{\mathsf
T}c = 0$ com $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ invertível ($\det = V
\neq 0$, com $\lambda_i$ distintos): $c = 0$. As sequências geométricas são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: numerador $\bigl[(2-1)(3-1)
(3-2)\bigr]^2 = 4$; denominador $\prod_{i,j}(i + j) =
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120
= 172800$. Logo $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800}
= \frac1{43200}$.

**23.** Se $x_i = x_j$, a troca das duas variáveis fixa o ponto mas deve mudar o sinal de $F$: $F = -F$, logo $F = 0$ ali. [Divisibilidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides): veja $F$ como um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) na única variável $x_n$ com coeficientes nas outras variáveis; ele se anula nos $n - 1$ “valores” $x_1, \dots, x_{n-1}$, logo fatorações repetidas (o [Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)) dão $F =
\prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ com $G$ polinomial. O prefator é invariante pelas trocas de dois índices $i, j < n$, logo $G$ é alternante em $x_1, \dots, x_{n-1}$, e a indução completa: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ é um [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nos $x_i$; trocar duas variáveis troca duas linhas, logo $D$ é alternante e, pela questão 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ para algum [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $c$. Graus totais: $D$ tem grau $\leq 0 +
1 + \dots + (n-1) = \binom n2$, e o produto tem grau exatamente $\binom n2$: $c$ é uma constante. O monômio $x_2\,x_3^2\cdots
x_n^{\,n-1}$ tem coeficiente $1$ em $D$ (produto diagonal) e $1$ no produto (escolha a variável de índice maior em cada fator): $c = 1$, e a fórmula de Vandermonde sai sem indução alguma.

**25.** (i) A alternância — o axioma “duas colunas iguais matam o determinante” — é o motor: foi ela que produziu cada fator $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ do problema. (ii) A identidade $\det S = V^2$ substitui as raízes complexas individuais, inatingíveis, pelas suas somas de potências, que são [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) reais nos coeficientes, de modo que a distinção se torna o sinal de um número real computável. (iii) O [determinante de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde) governa a interpolação polinomial, e o [determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1) governa as frações parciais e as funções racionais amostradas (com a [matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1) como o seu caso particular mais famoso). (iv) Todo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternante é divisível por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$, e uma contagem de graus fixa então tal [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) a menos de uma constante — razão pela qual este produto não para de reaparecer sempre que um determinante se anula sobre coincidências. O teorema da Parte III é o *duplo alternante de Cauchy*.