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title: "Espaços Euclidianos"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos
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# Capítulo 23 — Espaços Euclidianos

Acrescentar um [produto interno](#def-b1-euclid-def) a um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) real compra as noções geométricas — comprimentos, ângulos, ortogonalidade, distâncias — e um teorema que domina o capítulo: todo [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) admite uma [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection), calculável por Gram–Schmidt, que realiza a menor distância. As [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano fecham o capítulo e a geometria do ano.

Ao longo do capítulo, $E$ é um [espaço vetorial](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-def) *real*.

## 23.1 Produtos internos

**Definição 23.1.**

Um *produto interno* em $E$ é uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilinear, simétrica e definida positiva ($\langle x, x\rangle >
0$ para $x \neq 0$). Um espaço de [dimensão finita](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#def-b1-findim-def) assim munido é um *espaço euclidiano*. A *norma* de $x$ é $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$, e $d(x, y) =
\norm{x - y}$.

**Exemplo 23.2.**

Em $\R^n$: o produto canônico $\langle x, y\rangle = \sum x_i
y_i$. Em $C(\intcc{a}{b})$: $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (a definição positiva é o [Teorema 15.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-props) (4)). Em $\R_n[X]$: $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$, ou $\sum_{i}
P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ pontos distintos.

**Exemplo 23.3 (O ângulo entre dois polinômios).**

Uma vez escolhido um [produto interno](#def-b1-euclid-def), *quaisquer* dois vetores não nulos têm um ângulo, via $\cos\theta = \frac{\langle x,
y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (um cosseno legítimo, por Cauchy–Schwarz). Para $X$ e $X^2$ em $\int_0^1$:

$$
\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad
\norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5},
\qquad
\cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4}
\approx 0.968 :
$$

um ângulo de cerca de $14.5$ graus — em $\intcc{0}{1}$, os gráficos de $x$ e $x^2$ são “quase paralelos” no sentido da média quadrática, e é por isso que remover essa direção comum (Gram–Schmidt, abaixo) deixa apenas a pequena correção $X^2 - X + \frac16$.

**Teorema 23.4 (Cauchy–Schwarz; propriedades da norma).**

Para todos $x, y \in E$:

$$
\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,
$$

com igualdade se e somente se $x, y$ são proporcionais. Por consequência, $\norm\cdot$ satisfaz a desigualdade triangular $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm
y$ (e $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$, $\norm x = 0 \iff
x = 0$). Além disso:

$$
\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2,
\qquad
\langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 -
\norm{x-y}^2\bigr) .
$$

**Demonstração.** Se $y = 0$, tudo é trivial. Caso contrário, a quadrática $t
\mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2
\norm y^2$ é $\geq 0$ para todo $t$: o seu discriminante é $\leq 0$, o que é Cauchy–Schwarz; a igualdade significa uma raiz dupla $t_0$, isto é, $x + t_0 y = 0$ (pela definição positiva): proporcionalidade. Desigualdade triangular: desenvolva,

$$
\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2
\leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2
= \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,
$$

sendo o passo do meio Cauchy–Schwarz; a igualdade força $\langle
x, y\rangle = \norm x\norm y$, o caso de igualdade *positivo*, isto é, proporcionalidade com razão não negativa — geometricamente, o triângulo só degenera quando os dois vetores apontam no mesmo sentido. As duas últimas identidades são desenvolvimentos diretos (a segunda, a *identidade de polarização*, recupera o produto a partir da norma). ∎

## 23.2 Ortogonalidade

**Definição 23.5.**

$x \perp y$ quando $\langle x, y \rangle = 0$. Uma família é *ortogonal* quando os seus vetores são dois a dois ortogonais, e *ortonormal* quando, além disso, cada um tem norma $1$. O *complemento ortogonal* de um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $F$ é

$$
F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle =
0\},
$$

um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) de $E$.

**Proposição 23.6.**

(Pitágoras) Se $x \perp y$, então $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$. Uma família [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) de vetores não nulos é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free). Numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots,
e_n)$, as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) e os produtos são

$$
x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i,
\qquad
\langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y,
e_i\rangle,
\qquad
\norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .
$$

**Demonstração.** Pitágoras: desenvolva. Liberdade: tome $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ de uma combinação nula: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$. [Coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates): escreva $x = \sum \lambda_i e_i$ e tome o produto com $e_j$: $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$; as duas fórmulas seguem por bilinearidade. ∎

**Exemplo 23.7 (Coordenadas ortonormais, com uma verificação de Parseval).**

Desenvolva $x = (1, 2, 3)$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) do [Exercício 23.3](#exo-b1-euclid-3),

$$
e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad
e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad
e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).
$$

Nenhum sistema a resolver — três [produtos internos](#def-b1-euclid-def):

$$
\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2},
\qquad
\langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} =
\frac{5}{\sqrt6},
\qquad
\langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} =
\frac{4}{\sqrt3}.
$$

Certificação pela fórmula da norma da [proposição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-statement):

$$
\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3}
= \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .
$$

Esta verificação por soma dos quadrados das [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) (uma identidade de Parseval finita) custa segundos e pega erros de sinal e de normalização com quase certeza — torne-a um hábito sempre que calcular um desenvolvimento [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal); a sua versão em dimensão infinita, para os coeficientes de Fourier do [Exemplo 23.14](#ex-b1-euclid-trigortho), é um teorema do volume do terceiro ano de graduação.

**Teorema 23.8 (Gram–Schmidt).**

Todo [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def) tem [bases](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormais](#def-b1-euclid-orthogonal). Explicitamente, a partir de qualquer [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $(v_1, \dots, v_n)$, a receita

$$
w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i ,
\qquad
e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}
$$

produz uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots, e_n)$ com $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1,
\dots, v_k)$ para todo $k$.

**Demonstração.** Indução sobre $k$. Supondo $(e_1, \dots, e_{k-1})$ [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) e gerando $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$: o vetor $w_k$ é [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) a cada $e_j$ ($j < k$) por construção ($\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k,
e_j\rangle$), e $w_k \neq 0$ pois $v_k \notin
\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$. Normalizar preserva a ortogonalidade; o enunciado sobre o [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) vale porque $e_k$ é combinação de $v_k$ e dos $e_i$ anteriores, de modo invertível. ∎

**Exemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinômios, por extenso).**

Ortonormalize $(1, X, X^2)$ em $\R_2[X]$ com $\langle P,
Q\rangle = \int_0^1 PQ$. *Passo 1*: $\norm{1}^2 = 1$, logo $e_1 = 1$. *Passo 2*: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X -
\frac12$, e $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2
\dd x = \frac1{12}$: $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$. *Passo 3*: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ e

$$
\langle X^2, e_2\rangle
= \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x
= \frac{\sqrt{12}}{12},
\qquad\text{logo}\qquad
w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr)
= X^2 - X + \frac16 .
$$

A sua norma foi calculada no [Exercício 23.9](#exo-b1-euclid-9): $\norm{w_3}^2 =
\frac1{180}$, donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X +
\frac16\bigr)$. Os [polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $1$, $X - \frac12$, $X^2 - X +
\frac16$ são, a menos de escala, os primeiros *[polinômios](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Legendre* do [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{0}{1}$; a construção prossegue um grau de cada vez, cada novo [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) a todos os seus antecessores. Note como o algoritmo reaproveita o trabalho anterior: a [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) subtraída no passo 3 é exatamente a melhor aproximação afim de $X^2$ encontrada no [Exemplo 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox) — Gram–Schmidt *é* [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) iterada.

**Teorema 23.10 (Projeção ortogonal).**

Seja $F$ um [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) do [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def) $E$. Então

$$
E = F \oplus F^{\perp},
$$

e a [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) associada $p_F$ sobre $F$ (a *projeção ortogonal*) é dada, em qualquer [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$, por $p_F(x) = \sum_i
\langle x, e_i\rangle e_i$. Ela realiza a distância a $F$: para todo $y \in F$,

$$
\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},
$$

com igualdade apenas para $y = p_F(x)$; escreve-se $d(x, F) = \norm{x -
p_F(x)}$.

**Demonstração.** Tome uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_i)_{i \leq k}$ de $F$ (o [Teorema 23.8](#thm-b1-euclid-gramschmidt) dentro de $F$) e ponha $\pi(x) =
\sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$. Então $x - \pi(x) \perp e_j$ para cada $j$ (o mesmo cancelamento de antes), logo $x - \pi(x) \in
F^\perp$: $E = F + F^\perp$. E $F \cap F^\perp = \{0\}$: tal vetor satisfaz $\langle x, x\rangle = 0$. Logo a soma é direta e $\pi = p_F$.

Distância: para $y \in F$, decomponha $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) -
y)$, pedaços [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) ($F^\perp$ e $F$); Pitágoras:

$$
\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2
\geq \norm{x - p_F(x)}^2,
$$

igualdade se e somente se $y = p_F(x)$. ∎

**Exemplo 23.11 (As projeções nunca alongam).**

Aplicando Pitágoras à decomposição $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$:

$$
\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq
\norm x^2 ,
$$

com igualdade se e somente se $x \in F$. Numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) $(e_1,
\dots, e_k)$ de $F$ isto lê-se $\sum_{i \leq k}\langle x,
e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (uma *desigualdade de Bessel*): por mais direções [ortonormais](#def-b1-euclid-orthogonal) que se meçam, as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) ao quadrado nunca ultrapassam o comprimento ao quadrado — compare com a igualdade exata do [Exemplo 23.7](#ex-b1-euclid-parsevalcheck) quando a família é uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) completa. Esta desigualdade de uma linha é o que torna somáveis os coeficientes de Fourier no volume do terceiro ano de graduação; aqui ela já explica por que acrescentar mais funções de [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) a um ajuste de mínimos quadrados só pode diminuir o resíduo.

**Exemplo 23.12 (Melhor aproximação quadrática).**

Em $C(\intcc{0}{1})$ com $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$, o [polinômio](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grau $\leq 1$ mais próximo de $f(x) = x^2$ na distância associada (em média quadrática) é $p_F(f)$, com $F = \R_1[X]$. Gram–Schmidt sobre $(1, X)$: $e_1 = 1$, $w_2 = X - \frac12$, $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$, $e_2 =
\sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$. Então

$$
p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2
= \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd
x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr)
= X - \frac{1}{6},
$$

usando $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 =
\frac{1}{12}$. A ideia dos “mínimos quadrados” numa linha de álgebra linear.

**Método 23.13 (Três vias para uma distância d(x,F)d(x, F)d(x,F)).**

1. *[Base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) de $F$*: então $p_F(x) = \sum_i  \langle x, e_i\rangle e_i$ e, por Pitágoras, $$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2  = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$$ muitas vezes mais barato do que calcular o próprio $x - p_F(x)$.
2. *Equações normais* : com qualquer família geradora de $F$ , resolva $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ para os coeficientes de $p$ (o [Exercício 23.5](#exo-b1-euclid-5) ) — sem nenhuma ortonormalização.
3. *Pelo complemento*: se $F^\perp$ é menor do que $F$ (por exemplo, $F$ um [hiperplano](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-forms) e $F^\perp$ uma reta $\operatorname{Vect}(n)$), projete sobre $F^\perp$ em vez disso: $$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} =  \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$$ que é a fórmula clássica da distância a um plano (o [Exercício 25.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#exo-b1-multivar-8) a usa).

A via 3 é um caso particular de um reflexo geral: projete sempre sobre aquele dentre $F$ e $F^\perp$ que tiver a menor dimensão.

**Exemplo 23.14 (Ortogonalidade trigonométrica: uma prévia de Fourier).**

Em $C(\intcc{0}{2\pi})$ com $\langle f, g\rangle =
\frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$, a família

$$
\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\
\dots\Bigr)
$$

é [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal): por exemplo $\langle \cos px, \cos qx\rangle =
\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ para $p \neq q$ (linearize o produto em $\frac12[\cos(p{-}q)x +
\cos(p{+}q)x]$ e integre sobre períodos completos), enquanto $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$. A [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) sobre o [espaço gerado](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-span) pelas primeiras $2N + 1$ destas funções tem portanto [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) $\langle f, e_i\rangle$ — integrais contra cossenos e senos. Estes são os *coeficientes de Fourier* de $f$, e a [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) é a sua melhor aproximação trigonométrica em média quadrática; o volume do terceiro ano de graduação estuda a sua convergência. A ortogonalidade faz todo o trabalho: as fórmulas dos coeficientes são o [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection), palavra por palavra.

## 23.3 Isometrias do plano

**Definição 23.15.**

Um endomorfismo $u$ de um [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def) é uma *isometria* (ou [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)) quando preserva a norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ — equivalentemente (por polarização), quando preserva o [produto interno](#def-b1-euclid-def); equivalentemente, quando a sua matriz $A$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) satisfaz $A^{\mathsf T} A = I$. As isometrias formam um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group), o [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) $O(E)$.

**Exemplo 23.16 (Reconhecer uma isometria de relance).**

Será $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)? Colunas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ e $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$; produto $\frac1{25}(3\cdot(-4) +
4\cdot3) = 0$. Sim — e $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$, logo ela é a rotação $R_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$ (a “rotação $3$-$4$-$5$”, cujo ângulo não é fração notável alguma de $\pi$). Em contraste, $B =
\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tem aparência de determinante unitário mas primeira coluna de norma diferente de $1$ ($\frac1{\sqrt2}$): não é [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) — determinante $\pm1$ sozinho não certifica nada, as colunas têm de ser verificadas.

**Teorema 23.17 (Isometrias do plano).**

Numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) de um plano euclidiano, as matrizes das [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) são exatamente

$$
R_\theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\quad (\text{rotação de ângulo } \theta,\ \det = 1),
$$

$$
S_\theta = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta
\end{pmatrix}
\quad (\det = -1),
$$

sendo a última a reflexão na reta que faz ângulo $\frac\theta2$ com o primeiro vetor da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free).

**Demonstração.** Seja $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ com $A^{\mathsf T}A = I$: as colunas são unitárias e [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal). A primeira coluna é $(\cos\theta, \sin\theta)$ para algum $\theta$; a segunda, unitária e [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) a ela, é $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$. O sinal $+$ dá $R_\theta$; o sinal $-$ dá $S_\theta$. Verifica-se que $S_\theta^2 = I$ e que o vetor $(\cos\frac\theta2,
\sin\frac\theta2)$ é fixo enquanto o seu [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) é invertido: uma reflexão. (E $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$: o [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) das rotações é o [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) dos ângulos — compare com o [Teorema 3.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#thm-b1-complex-funceq).) ∎

![Duas reflexões fazem uma rotação: refletir M = (2, 0.5) no eixo x e depois na reta y = x leva a (-0.5, 2) — a imagem de M pela rotação de ângulo π2 em torno da origem, o dobro do ângulo π4 entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na lei de composição de todas as isometrias do plano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-euclid/fig-e2a4668b34d9.svg)

*Duas reflexões fazem uma rotação: refletir $M = (2,
0.5)$ no eixo $x$ e depois na reta $y = x$ leva a $(-0.5, 2)$ — a [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim) de $M$ pela rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno da origem, o *dobro* do ângulo $\frac\pi4$ entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na [lei de composição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-law) de todas as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano.*

**Observação 23.18 (Armadilhas comuns).**

*A fórmula da [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) precisa de uma [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal)*: para uma família $(v_i)$ apenas geradora de $F$, a soma $\sum_i\langle
x, v_i\rangle v_i$ *não* é $p_F(x)$ (teste $F = \R^2$, $v_1
= e_1$, $v_2 = e_1 + e_2$); com uma família não [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal), resolva antes as equações normais (o [Método 23.13](#met-b1-euclid-distance) (2)). *As famílias [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) têm de evitar o $0$ para serem [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)*: o vetor nulo é [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) a tudo, inclusive a si mesmo — a liberdade na [Proposição 23.6](#prop-b1-euclid-orthfree) exige vetores não nulos. *$F^\perp$ depende do [produto interno](#def-b1-euclid-def)*: em $\R_1[X]$, o complemento de $\operatorname{Vect}(X)$ para $\int_0^1 PQ$ não são as constantes, mas $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — calcule $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$; “perpendicular” não faz sentido enquanto o produto não for nomeado. *Não desenvolva $\norm{x + y}$ linearmente*: a identidade correta é $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle +
\norm y^2$; o termo cruzado só se anula sob ortogonalidade (Pitágoras), e a desigualdade triangular é uma *desigualdade*. *Levar vetores unitários em vetores unitários não basta*: $u(x,
y) = (x + y,\ 0)$ leva os dois vetores da [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica no vetor unitário $(1, 0)$, e no entanto $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$: nenhuma [isometria](#def-b1-euclid-isometry). A definição exige $\norm{u(x)} = \norm x$ para *todo* $x$; em termos matriciais $A^{\mathsf T}A = I$, isto é, colunas unitárias *e dois a dois [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal)* — as duas condições, verificadas juntas.

**Observação 23.19 (Para onde vai o produto interno).**

A [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) é o teorema mais aplicado do capítulo: ela sustenta os mínimos quadrados (o problema de fim de semana do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar) constrói retas de regressão sobre ela), os coeficientes de Fourier (o [Exemplo 23.14](#ex-b1-euclid-trigortho)) e as equações normais do [Exercício 23.5](#exo-b1-euclid-5), que a análise numérica resolve em grande escala. A classificação $R_\theta / S_\theta$ é completada abaixo: o problema de fim de semana classifica *todas* as transformações do plano que preservam distâncias, [lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) ou não, e os seus [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finitos — a matemática das rosetas e dos polígonos regulares. No volume do segundo ano de graduação o [produto interno](#def-b1-euclid-def) encontra a teoria dos autovalores (matrizes simétricas, formas quadráticas); no terceiro ano, a geometria euclidiana em dimensão infinita torna-se a teoria dos espaços de Hilbert.

**Observação 23.20 (Perspectivas dentro do Livro 3).**

Duas pontes saem deste capítulo. *Para trás*, rumo à álgebra linear: a matriz de Gram do [Exercício 23.11](#exo-b1-euclid-11) empacota [produtos internos](#def-b1-euclid-def) na maquinaria de determinantes do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det), e a [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) é o projetor especial do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) cujo núcleo é $F^\perp$ — toda a sua álgebra ($p^2 = p$, $s = 2p -
\mathrm{id}$) aplica-se palavra por palavra, agora com o bônus de que $\norm{x
- p(x)}$ é uma *distância*. *Para a frente*, rumo à análise: o [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) mede comprimentos de arco com a norma deste capítulo e não classifica nada sem as suas [isometrias](#def-b1-euclid-isometry); o [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar) lê o gradiente através de Cauchy–Schwarz (a subida mais íngreme) e fecha o volume com os mínimos quadrados, que são o [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection) aplicado a um vetor de dados em $\R^n$. O [produto interno](#def-b1-euclid-def) é o ponto em que a álgebra e a análise do livro finalmente se encontram.

## 23.4 Exercícios

**Exercício 23.1 ★.**

Em $\R^3$ canônico: calcule $\langle u, v\rangle$, $\norm u$, $\norm v$ e o ângulo entre $u = (1, 2, 2)$ e $v = (2, -2,
1)$. Verifique Cauchy–Schwarz numericamente.

**Solução de Exercício 23.1.**

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$; $\norm u = \norm v = 3$. Os vetores são [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal): o ângulo é $\frac\pi2$. Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$, com folga.

**Exercício 23.2 ★.**

Demonstre a identidade do paralelogramo $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 =
2\norm x^2 + 2\norm y^2$ em qualquer [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def), e use-a para mostrar que a norma do [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds) em $\R^2$, $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x,
\abs y)$, não provém de um [produto interno](#def-b1-euclid-def).

**Solução de Exercício 23.2.**

Desenvolva as duas normas ao quadrado com a identidade do [Teorema 23.4](#thm-b1-euclid-cs) e some: os termos cruzados se cancelam.

Norma do [supremo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#def-b1-reals-bounds): tome $x = (1, 0)$, $y = (0, 1)$. Então $\norm{x + y}_\infty
= \norm{x - y}_\infty = 1$ e a identidade exigiria $1 + 1 =
2(1) + 2(1) = 4$: falso. Uma norma que viola a identidade do paralelogramo não provém de nenhum [produto interno](#def-b1-euclid-def).

**Exercício 23.3 ★.**

Aplique Gram–Schmidt a $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ no $\R^3$ canônico.

**Solução de Exercício 23.3.**

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$.

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) -
\frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$, logo $e_2 =
\frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$.

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot,
e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) =
\bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$; normalizando, $e_3 =
\frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$.

(Verificação: os produtos dois a dois se anulam; cada um tem norma $1$.)

**Exercício 23.4 ★.**

Em $\R^3$, seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$. Determine $F^\perp$ (equação e [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free)), a matriz de $p_F$ na [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) canônica, e $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$.

**Solução de Exercício 23.4.**

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$, [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,-1,0),
(1,0,-1)\bigr)$. Com $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$: $p_F(x) =
\langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$, logo

$$
\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13
\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.
$$

Para $x = (1,2,3)$: $p_F(x) = (2,2,2)$ e $d(x, F) = \norm{(1,2,3)
- (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$.

**Exercício 23.5 ★★.**

(Equações normais) Sejam $F =
\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ e $x = (1, 1, 4)$. Calcule $p_F(x)$ resolvendo $\langle x - p, v
\rangle = 0$ para os dois geradores ($p = \alpha(1,0,1) +
\beta(0,1,1)$), e depois $d(x, F)$. Por que Gram–Schmidt é desnecessário aqui?

**Solução de Exercício 23.5.**

Seja $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha +
\beta)$. Ortogonalidade de $x - p$ aos geradores:

$$
\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta)
= 0,
\qquad
\langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta)
= 0,
$$

isto é, $2\alpha + \beta = 5$ e $\alpha + 2\beta = 5$: $\alpha =
\beta = \frac53$. Logo $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53,
\frac{10}{3}\bigr)$ e

$$
d(x, F) = \norm{x - p} =
\norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} =
\frac{2}{\sqrt 3} .
$$

Gram–Schmidt é desnecessário porque a propriedade que define a [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection) — $x - p \perp F$ — é ela própria um [sistema linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#def-b1-det-system) (“equações normais”) sobre os coeficientes em *qualquer* família geradora.

**Exercício 23.6 ★★.**

Para $f$ [contínua](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous) em $\intcc{0}{1}$, demonstre

$$
\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,
$$

com o caso de igualdade, como instância de Cauchy–Schwarz em $C(\intcc{0}{1})$. Demonstre em seguida $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq
n \sum a_i^2$ para reais $a_i$.

**Solução de Exercício 23.6.**

Cauchy–Schwarz com $g = 1$:

$$
\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1
1^2 = \int_0^1 f^2 ,
$$

igualdade se e somente se $f$ é proporcional a $1$, isto é, constante. Versão discreta: em $\R^n$ com $x = (a_1, \dots, a_n)$, $y = (1, \dots,
1)$: $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$, com igualdade se e somente se todos os $a_i$ são iguais.

**Exercício 23.7 ★★.**

Demonstre que, para todo [subespaço](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) $F$ de um [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def): $(F^{\perp})^{\perp} = F$ e $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$.

**Solução de Exercício 23.7.**

Pelo [Teorema 23.10](#thm-b1-euclid-projection), $E = F \oplus F^\perp$, logo as dimensões se somam: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$. A inclusão $F
\subseteq (F^\perp)^\perp$ é imediata (os vetores de $F$ são [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) a tudo em $F^\perp$). Dimensões: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$; uma inclusão com dimensões (finitas) iguais é uma igualdade (o [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#thm-b1-findim-subspaces)).

**Exercício 23.8 ★★.**

Identifique as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano de matrizes

$$
A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix},
\qquad
B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}
$$

(tipo, ângulo ou eixo). Calcule $A^8$ e $B^2$ sem multiplicar matrizes.

**Solução de Exercício 23.8.**

$A$: colunas unitárias, determinante $+1$: uma rotação, com $\cos\theta =
\frac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$: $\theta =
\frac\pi4$. Logo $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$.

$B$: determinante $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$: uma reflexão $S_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$; o seu eixo faz o ângulo $\frac\theta2$ com o eixo $x$, isto é, a reta dirigida por $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concretamente, o eixo é $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$, pois $B(2,1)^{\mathsf T} =
\frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$. Sendo uma reflexão, $B^2 = I$.

**Exercício 23.9 ★★★.**

(Mínimo como [projeção](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-projection)) Calcule

$$
\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,
$$

usando o [Exemplo 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox): o mínimo é $\norm{f -
p_F(f)}^2$ para $f = X^2$, $F = \R_1[X]$.

**Solução de Exercício 23.9.**

A quantidade é $\norm{f - (a + bX)}^2$ em $C(\intcc{0}{1})$ com o [produto interno](#def-b1-euclid-def) [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def): mínima exatamente na [projeção ortogonal](#thm-b1-euclid-projection) $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (o [Exemplo 23.12](#ex-b1-euclid-bestapprox)). O mínimo é

$$
\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2}
\dd x .
$$

Desenvolva: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3
+ \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 -
\frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$. Logo o mínimo vale $\dfrac{1}{180}$.

**Exercício 23.10 ★★★.**

Seja $u$ uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) de um [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def) $E$. Demonstre que $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$, e deduza $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u -
\mathrm{id})$. *(Calcule $\langle x - u(x), y\rangle$ para $u(y) = y$, usando a preservação do produto.)*

**Solução de Exercício 23.10.**

Seja $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (isto é, $u(y) = y$) e $x \in E$. Então, usando a preservação do [produto interno](#def-b1-euclid-def) ($\langle u(a),
u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$):

$$
\langle x - u(x),\, y\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle
= \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :
$$

todo vetor de $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ é [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) a todo vetor fixo.

Portanto $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u -
\mathrm{id})^{\perp}$, e pelo teorema do núcleo e da [imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-kerim), mais o [Exercício 23.7](#exo-b1-euclid-7), ambos têm dimensão $\dim E - \dim\ker(u -
\mathrm{id})$: eles são iguais. Então $E = \ker(u - \mathrm{id})
\oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus
\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$.

**Exercício 23.11 ★★.**

(Matriz de Gram) Para vetores $v_1, \dots, v_k$ de um [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def), seja $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j
\leq k}$ a sua *matriz de Gram*.

1. Demonstre que $(v_1, \dots, v_k)$ é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) se e somente se $G$ é invertível. *(Se $Gc = 0$, calcule $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$.)*
2. Calcule a matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ em $\R_2[X]$ com $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , reconheça a [matriz de Hilbert](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#pb-b1-det-1) $H_3$ do problema de fim de semana do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) , e conclua a liberdade a partir de $\det H_3 =  \frac1{2160} \neq 0$ .

**Solução de Exercício 23.11.**

1. Suponha $Gc = 0$ para uma coluna $c = (c_1, \dots,  c_k)^{\mathsf T}$. Então $$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2  = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle  = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$$ logo $\sum_i c_i v_i = 0$. Se a família é [livre](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free), isto força $c = 0$: $G$ é invertível. Reciprocamente, uma relação não trivial $\sum_j c_j v_j = 0$ dá, tomando o produto com cada $v_i$, a relação não trivial $Gc = 0$: $G$ singular. Liberdade $\iff \det G \neq 0$.
2. $\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd  x = \frac{1}{i+j-1}$ : a matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ é exatamente a [matriz de Hilbert](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#pb-b1-det-1) $H_3$ , cujo determinante $\frac1{2160}$ foi calculado no problema de fim de semana do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) : não nulo, logo os monômios são [livres](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) — como se esperava, mas agora certificado por um número.

**Exercício 23.12 ★★★.**

Seja $u$ um endomorfismo de um [espaço euclidiano](#def-b1-euclid-def) $E$ cuja matriz $A$ numa [base](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](#def-b1-euclid-orthogonal) é ao mesmo tempo [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) ($A^{\mathsf T}A
= I$) e simétrica ($A^{\mathsf T} = A$).

1. Mostre que $A^2 = I$ , e deduza (via o [Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#thm-b1-linmaps-projchar) ) que $E = \ker(u -  \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
2. Mostre que os dois [subespaços](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#def-b1-vspaces-subspace) são [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) , de modo que $u$ é a *simetria [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal)* em relação a $F =  \ker(u - \mathrm{id})$ : a reflexão através de $F$ . *(Para $u(x) = x$ e $u(y) = -y$, calcule $\langle  x, y\rangle$ de duas maneiras.)*
3. Classifique o caso plano: quais matrizes do [Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane) são simétricas, e quais são as aplicações correspondentes?

**Solução de Exercício 23.12.**

1. $A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , logo $u^2 =  \mathrm{id}$ : $u$ é uma simetria, e o [Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#thm-b1-linmaps-projchar) (2) dá $E = \ker(u -  \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
2. Sejam $u(x) = x$ e $u(y) = -y$. Como $u$ preserva o [produto interno](#def-b1-euclid-def), $$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle  = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$$ logo $\langle x, y\rangle = 0$: os dois autoespaços são [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal), $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ para $F =  \ker(u - \mathrm{id})$, e $u$ é a simetria [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal) em relação a $F$.
3. $R_\theta$ é simétrica se e somente se $-\sin\theta = \sin\theta$ , isto é, $\theta \in \{0, \pi\}$ : as aplicações $\pm\mathrm{id}$ (identidade e simetria central). Toda $S_\theta$ é simétrica: as reflexões em retas. Estas são exatamente as simetrias [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) do plano, com $F$ igual ao plano inteiro, a $\{0\}$ , ou ao eixo da reflexão.

## 23.5 Problema: isometrias do plano e o teorema de Leonardo

**Problema 23.1.**

Uma *[isometria](#def-b1-euclid-isometry) do plano* é qualquer [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $f \colon \R^2 \to
\R^2$ que preserva distâncias: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ para todos $x, y$ — sem nenhuma hipótese de linearidade. Este problema demonstra que tais aplicações são exatamente as translações, as rotações, as reflexões e as [reflexões deslizantes](#pb-b1-euclid-1) (a classificação das [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano), calcula as suas composições e determina todos os seus [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) *finitos*: o teorema de Leonardo, a matemática por trás dos padrões em roseta. A partir da Parte II identificamos $\R^2$ com $\C$ (o [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ch-b1-complex)): o [produto interno](#def-b1-euclid-def) canônico é $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ e a norma é o [módulo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-field).

**Parte I — Toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) é afim.**

1. Verifique que as translações $t_a(x) = x + a$ , as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) [lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) e todas as suas composições são [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) , e que as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) formam um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) sob composição.
2. Seja $f$ uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) com $f(0) = 0$ . Mostre que $f$ preserva normas e, em seguida — por polarização, o [Teorema 23.4](#thm-b1-euclid-cs) —, que $\langle f(x),  f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ para todos $x, y$ .
3. Ainda com $f(0) = 0$ : desenvolva $\norm{f(x + y) - f(x) -  f(y)}^2$ e $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ usando a questão 2, e conclua que $f$ é *[linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def)* : $f \in O(\R^2)$ .
4. Deduza que toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) $f$ se escreve de modo *único* como $f = t_a \circ g$ com $a = f(0)$ e $g$ uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) (a *parte [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def)* de $f$ ).
5. Chame $f$ de *direta* se $\det g = 1$ , e de *indireta* se $\det g = -1$ . Mostre que a parte [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) de uma composição é a composição das partes [lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) , e enuncie a regra de sinais resultante (direta/indireta compõem-se como $+1/-1$ ).

**Parte II — Os quatro tipos.** Pelo [Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane), as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) [lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) de $\C$ são $z
\mapsto az$ e $z \mapsto a\conj z$ com $\abs a = 1$; logo toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) do plano é

$$
f(z) = a z + b \quad (\text{direta}) \qquad\text{ou}\qquad
f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indireta}), \qquad \abs a = 1 .
$$

6. Verifique o dicionário: $R_\theta$ é $z \mapsto  \eu^{\iu\theta}z$ e $S_\theta$ é $z \mapsto  \eu^{\iu\theta}\conj z$ (confira ambos em $1$ e em $\iu$ ).
7. (Caso direto) Seja $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Mostre: se $a = 1$ , $f$ é uma translação; se $a \neq 1$ , $f$ tem o único ponto fixo $z_0 = b/(1 - a)$ e $f(z) - z_0  = a(z - z_0)$ : uma *rotação* de centro $z_0$ e ângulo $\arg a$ .
8. (Caso indireto) Seja $f(z) = a\conj z + b$ , e $v =  a\conj b + b$ . Mostre que $f \circ f = t_v$ e $f \circ t_v =  t_v \circ f$ . Se $v = 0$ : mostre que o ponto médio de $z$ e $f(z)$ é um ponto fixo, e que $f$ é uma *reflexão* numa reta. Se $v \neq 0$ : mostre que $r  = t_{-v/2}\circ f$ é uma reflexão cujo eixo é paralelo a $v$ , de modo que $f = t_{v/2} \circ r$ é uma *[reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1)* . Conclua: toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) do plano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) (a classificação das [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano).
9. (Composições) Mostre: a composição de rotações de ângulos $\alpha$ e $\beta$ é uma rotação de ângulo $\alpha + \beta$ (uma translação se $\alpha + \beta \in  2\pi\Z$ ); a composição de duas reflexões é uma rotação de ângulo igual ao dobro do ângulo entre os eixos (uma translação se os eixos são paralelos).
10. Deduza que toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) do plano é composição de no máximo três reflexões.

**Parte III — Três identificações.**

11. Classifique completamente $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : tipo, eixo, vetor de deslizamento.
12. Seja $f$ a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $0$ e $g$ a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $1$ . Calcule $g \circ f$ na forma $z \mapsto az + b$ e identifique-a (tipo, centro, ângulo).
13. Sejam $r_1(z) = \conj z$ (reflexão no eixo real) e $r_2(z) = \iu\conj z$ (reflexão na reta $y = x$ ). Calcule $r_2 \circ r_1$ e confira a questão 9 neste exemplo.

**Parte IV — [Grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finitos: o teorema de Leonardo.** Seja $G$ um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) *finito* de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano.

14. Mostre que as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) preservam baricentros: se $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ e $f = t_a \circ  g$ ( $g$ [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) ), então $f\bigl(\sum_i \lambda_i  x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
15. Ponha $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ para um $x_0$ escolhido qualquer. Mostre que todo $h \in G$ fixa $c$ : um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) tem um ponto fixo comum.
16. Deduza que, depois de conjugar por $t_{-c}$ , pode-se supor $G \subseteq O(\R^2)$ . Seja $G^{+} = \{g \in G :  \det g = 1\}$ ; mostre que ou $G = G^{+}$ , ou $G^{+}$ tem exatamente índice $2$ em $G$ (exiba uma bijeção $G^+  \to G \setminus G^+$ ).
17. Mostre que um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito de *rotações* em torno de $c$ é cíclico: entre os seus elementos escolha a rotação $R_{\theta_0}$ de menor ângulo $\theta_0 \in  \intoo{0}{2\pi}$ , e use a divisão euclidiana de ângulos para demonstrar que ela gera o [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) ; conclua $\theta_0 =  \frac{2\pi}n$ e $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong  C_n$ .
18. Suponha $G \neq G^{+}$ e escolha uma reflexão $s \in G$ . Mostre que $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , que $s r s = r^{-1}$ para toda rotação $r \in G^{+}$ , e que todos os $n$ elementos de $sG^{+}$ são reflexões: $G$ é o *[grupo diedral](#pb-b1-euclid-1)* $D_n$ , de ordem $2n$ .
19. Conclua ( *teorema de Leonardo* ): todo [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano é cíclico $C_n$ ou diedral $D_n$ .

**Parte V — Dividendos, e síntese.**

20. Mostre diretamente que um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) não pode conter nenhuma translação nem nenhuma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) além da identidade (considere as potências de tal elemento).
21. Seja $P_n$ o $n$ -ágono regular cujos vértices são as raízes $n$ -ésimas da unidade ( $n \geq 3$ ). Mostre que o seu [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) de simetrias é exatamente $D_n$ : as $n$ rotações $z  \mapsto \omega^k z$ e as $n$ reflexões $z \mapsto  \omega^k \conj z$ , $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , e nenhuma outra.
22. Exiba figuras planas cujos [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) de simetria sejam, respectivamente, $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ e $C_3$ .
23. Liste os oito elementos do [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) de simetrias do quadrado de vértices $\pm1, \pm\iu$ como aplicações $z \mapsto  \omega^k z$ ou $z \mapsto \omega^k\conj z$ , e dê o eixo de cada uma das quatro reflexões.
24. Sejam $f, g$ rotações do mesmo ângulo $\theta  \notin 2\pi\Z$ em torno de centros *distintos* $c_1 \neq  c_2$ . Calcule $f\circ g - g\circ f$ ponto a ponto e mostre que $f\circ g \neq g\circ f$ ; mostre além disso que $(f \circ  g)\circ(g\circ f)^{-1}$ é uma translação não trivial, de modo que todo [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) que contenha $f$ e $g$ é infinito — uma segunda explicação para o centro único no teorema de Leonardo.
25. Síntese, em quatro frases: quais dois resultados estruturais reduzem [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) arbitrárias à álgebra linear (questões 3–4) e [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finitos arbitrários a [subgrupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) de $O(2)$ (questão 15); qual é a lista completa das [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano e quais invariantes (direta/indireta, pontos fixos) separam os quatro tipos; por que as regras de composição da questão 9 fazem das reflexões os geradores de tudo; e o que o teorema de Leonardo acrescenta na escala finita. Nomeie os dois teoremas demonstrados nas Partes II e IV.

**Solução de Problema 23.1.**

**1.** $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$; uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) preserva normas, logo distâncias ($\norm{g(x) - g(y)} =
\norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$); e uma composição de aplicações que preservam distâncias preserva distâncias. Toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (pontos distintos ficam a distância positiva) e, pela classificação abaixo, [bijetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj); a identidade e as inversas são [isometrias](#def-b1-euclid-isometry): um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group).

**2.** $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} =
\norm x$. Polarização:

$$
\langle f(x), f(y)\rangle
= \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) -
f(y)}^2}{2}
= \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2}
= \langle x, y\rangle .
$$

**3.** Desenvolvendo com a questão 2 (cada produto de $f$ é igual ao produto dos argumentos):

$$
\begin{align*}
\norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2
&= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\
&\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle
+ 2\langle x, y\rangle = 0 ,
\end{align*}
$$

como mostra uma verificação direta; do mesmo modo $\norm{f(\lambda x) -
\lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda
x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$. Logo $f(x + y) = f(x) +
f(y)$ e $f(\lambda x) = \lambda f(x)$: $f$ é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) e preserva normas: $f \in O(\R^2)$.

**4.** Ponha $a = f(0)$ e $g = t_{-a}\circ f$: uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) que fixa $0$, logo uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) (questão 3), e $f = t_a
\circ g$. Unicidade: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ avaliado em $0$ dá $a = a'$, e então $g = g'$.

**5.** $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a +
g(a')}\circ(g\circ g')$, pois $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ para $g$ [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def). Logo a parte [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) de uma composição é $g \circ g'$, e $\det(gg') = \det g \det g'$: direta$\circ$direta $=$ indireta$\circ$indireta $=$ direta, e direta$\circ$indireta $=$ indireta — a regra de sinais de $\pm1$.

**6.** $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ leva $1$ em $(\cos\theta, \sin\theta)$ e $\iu$ em $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$: as colunas de $R_\theta$. E $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ leva $1$ em $(\cos\theta, \sin\theta)$ e $\iu$ em $-\iu\eu^{\iu\theta} =
(\sin\theta, -\cos\theta)$: as colunas de $S_\theta$.

**7.** $a = 1$: $f = t_b$. $a \neq 1$: a equação de ponto fixo $az_0 + b = z_0$ tem a solução única $z_0 = b/(1 -
a)$, e então

$$
f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):
$$

no referencial centrado em $z_0$, $f$ é a multiplicação por $a
= \eu^{\iu\arg a}$: a rotação de centro $z_0$ e ângulo $\arg a$.

**8.** $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z
+ a\conj b + b = z + v$: $f^2 = t_v$. Comutação: $f(z + v) =
a\conj z + a\conj v + b$ e $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)}
= b + a\conj b = v$, logo $f\circ t_v = t_v\circ f$.

*Caso $v = 0$*: $f^2 = \mathrm{id}$. Para qualquer $z$, o ponto médio $m = \frac{z + f(z)}2$ satisfaz (sendo as [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) afins, Parte I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$: existem pontos fixos. Conjugando pela translação até um ponto fixo, $f$ torna-se uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) indireta, isto é, algum $S_\theta$ (o [Teorema 23.17](#thm-b1-euclid-plane)): uma reflexão numa reta.

*Caso $v \neq 0$*: $r = t_{-v/2}\circ f$ é indireta e

$$
r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2
= t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}
$$

(usando a comutação), logo $r$ é uma reflexão, e $f =
t_{v/2}\circ r$. O seu eixo é paralelo a $v$: $r$ comuta com $t_v$ (tanto $f$ quanto $t_{v/2}$ comutam), logo $t_v$ leva o eixo (a reta fixa de $r$) nele mesmo, o que força $v$ a dirigi-lo. Portanto $f$ é uma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) com vetor de deslizamento $v/2$. Toda [isometria](#def-b1-euclid-isometry) está agora classificada: translação ou rotação (direta), reflexão ou [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) (indireta).

**9.** Rotações $f(z) = az + b$, $g(z) = a'z + b'$ com $a = \eu^{\iu\alpha}$, $a' = \eu^{\iu\beta}$: $g\circ f(z) =
a'az + (a'b + b')$ tem coeficiente [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$: uma rotação de ângulo $\alpha + \beta$ pela questão 7, ou uma translação quando $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} =
1$. Reflexões $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ com $a_i =
\eu^{\iu\theta_i}$ (eixo no ângulo $\theta_i/2$):

$$
r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),
$$

direta com ângulo $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2
- \tfrac{\theta_1}2\bigr)$: o dobro do ângulo entre os eixos; eixos paralelos ($\theta_1 = \theta_2$) dão uma translação.

**10.** Uma rotação de centro $c$ e ângulo $\theta$ é o produto de duas reflexões em retas por $c$ que fazem ângulo $\theta/2$ (questão 9, lida ao contrário); uma translação $t_v$ é o produto de duas reflexões em retas paralelas [ortogonais](#def-b1-euclid-orthogonal) a $v$ à distância $\norm v/2$; uma reflexão é uma reflexão; uma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) é uma reflexão composta com uma translação, logo três. Máximo: três.

**11.** $a = \iu$, $b = 1 + \iu$: $v = a\conj b + b =
\iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq
0$: uma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) com vetor de deslizamento $v/2 = 1 + \iu$. A reflexão $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ é $r(z) = \iu\conj z$, cujo eixo é a reta no ângulo $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$: a reta $y = x$. Logo $f$ é a [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) de eixo $y = x$ e vetor $(1, 1)$.

**12.** $f(z) = \iu z$ e $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z
+ 1 - \iu$, logo

$$
g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :
$$

coeficiente [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) $-1 = \eu^{\iu\pi}$, uma rotação de ângulo $\pi$ (uma meia-volta), de centro $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)}
= \frac{1 - \iu}{2}$.

**13.** $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$: a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $0$. Os eixos (o eixo real, ângulo $0$; a reta $y = x$, ângulo $\frac\pi4$) encontram-se num ângulo $\frac\pi4$, e o dobro disso é $\frac\pi2$: questão 9 confirmada.

**14.** Com $f = t_a\circ g$, $g$ [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def), e $\sum_i
\lambda_i = 1$:

$$
f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr)
= a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i)
= \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr)
= \sum_i \lambda_i f(x_i) .
$$

**15.** Para $h \in G$, usando a questão 14 (os coeficientes $\frac1{\abs G}$ somam $1$):

$$
h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr)
= \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,
$$

pois $g \mapsto hg$ é uma bijeção de $G$ sobre si mesmo.

**16.** Os conjugados $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ($g \in G$) formam um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) que fixam $0$, logo de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) *[lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def)* (questão 3): um [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) finito de $O(\R^2)$. Se algum $s \in G$ é indireto, a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $g \mapsto sg$ leva $G^+$ injetivamente em $G\setminus G^+$ e $h \mapsto s^{-1}h$ é a sua inversa (regra de sinais da questão 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$; caso contrário $G = G^+$.

**17.** Se $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$, ele é $C_1$. Caso contrário, escreva os seus elementos como $R_\theta$, $\theta \in
\intco{0}{2\pi}$, e seja $\theta_0$ o menor ângulo positivo que ocorre. Para $R_\theta \in G^{+}$, a divisão euclidiana $\theta = k\theta_0 + \rho$ com $0 \leq \rho < \theta_0$ dá $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$, logo $\rho = 0$ por minimalidade: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$. Dividir $2\pi$ por $\theta_0$ do mesmo modo mostra que $2\pi = n\theta_0$: $G^{+} \cong C_n$, gerado pela rotação de ângulo $\frac{2\pi}n$.

**18.** $G = G^{+} \cup sG^{+}$ pela contagem da questão 16. Com $s(z) = a\conj z$ e $r(z) = \omega z$ ([formas lineares](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-forms), depois da questão 16; $\abs a = \abs\omega = 1$):

$$
s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z}
= a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .
$$

Cada elemento $sr^k$ de $sG^{+}$ é indireto e satisfaz $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$: uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) indireta involutiva que fixa $c$, isto é, uma reflexão. Logo $G$ consiste em $n$ rotações e $n$ reflexões, com as relações $r^n = s^2 = \mathrm{id}$, $srs = r^{-1}$: o [grupo diedral](#pb-b1-euclid-1) $D_n$.

**19.** Reunindo: um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito de [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano fixa um ponto $c$ (questão 15), reduz-se a um [subgrupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-subgroup) finito de $O(2)$ (questão 16), e é $C_n$ se contém apenas rotações (questão 17), e $D_n$ caso contrário (questão 18): o *teorema de Leonardo*.

**20.** Uma translação $t_v \neq \mathrm{id}$ tem potências $t_{kv}$, todas distintas ($kv$ dois a dois distintos para $v \neq 0$): ordem infinita. Uma [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1) $f$ tem $f^2 = t_v$ com $v
\neq 0$: de novo ordem infinita. Nenhuma das duas cabe num [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito — coerentemente com as questões 15–19, que produziram apenas rotações e reflexões.

**21.** As $2n$ aplicações preservam o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos vértices: $\omega^k
\omega^j = \omega^{k+j}$ e $\omega^k\conj{\omega^j} =
\omega^{k-j}$; sendo [isometrias](#def-b1-euclid-isometry), elas preservam o polígono (segmentos vão em segmentos). Reciprocamente, uma simetria preserva o baricentro $0$ dos vértices (questão 14), logo é [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def), e permuta os vértices (que são os pontos do polígono a distância máxima de $0$). Uma [isometria](#def-b1-euclid-isometry) [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) que leva o vértice $1$ em $\omega^k$ é $z \mapsto \omega^k z$ se direta, e $z \mapsto \omega^k\conj z$ se indireta (a sua matriz é determinada por uma coluna e pelo sinal): no máximo $2n$ simetrias, logo exatamente o $D_n$ acima.

**22.** $C_1$: um triângulo escaleno (nenhuma simetria não trivial). $D_1$: um triângulo isósceles não equilátero (uma reflexão). $D_2$: um retângulo não quadrado (identidade, meia-volta em torno do centro, as duas reflexões nos eixos). $C_3$: um trisquel — três braços dobrados congruentes fixados a [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) de $120$ graus; a dobra mata toda reflexão mas deixa as rotações de ordem $3$.

**23.** Com $\omega = \iu$: as rotações $z \mapsto z$, $\iu z$, $-z$, $-\iu z$ (ângulos $0, \frac\pi2, \pi,
\frac{3\pi}2$), e as reflexões

$$
z \mapsto \conj z \ (\text{eixo } y = 0), \quad
\iu\conj z \ (y = x), \quad
-\conj z \ (x = 0), \quad
-\iu\conj z \ (y = -x):
$$

as duas diagonais e as duas medianas do quadrado — o [grupo diedral](#pb-b1-euclid-1) $D_4$, de ordem $8$.

**24.** Escreva $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$: $f(z) = az +
c_1(1 - a)$ e $g(z) = az + c_2(1 - a)$. Então

$$
f\circ g(z) - g\circ f(z)
= (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr)
= -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,
$$

logo $f g \neq g f$. As duas composições têm coeficiente [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) $a^2$, logo $(fg)\circ(gf)^{-1}$ tem coeficiente [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) $1$: é a translação por $fg(z) - gf(z)$, a constante não nula acima. Um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) que contenha $f$ e $g$ contém essa translação e todas as suas potências: ele é infinito. Dois centros de rotação são um a mais do que um [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito suporta — o coração geométrico do teorema de Leonardo.

**25.** (i) As questões 3–4 mostram que toda [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) que preserva distâncias é afim com parte [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) [ortogonal](#def-b1-euclid-orthogonal), e a questão 15 prende todo [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) finito a um ponto fixo: os dois resultados convertem geometria métrica em álgebra linear na origem. (ii) A lista completa é translação, rotação, reflexão e [reflexão deslizante](#pb-b1-euclid-1); o determinante da parte [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) separa as diretas das indiretas, e a existência de pontos fixos separa os dois tipos dentro de cada paridade. (iii) Pela questão 9, duas reflexões compõem-se em qualquer rotação ou translação, logo as reflexões geram o [grupo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) inteiro — no máximo três bastam para qualquer [isometria](#def-b1-euclid-isometry). (iv) Na escala finita só duas famílias sobrevivem, os [grupos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-group) cíclicos e os diedrais, e é por isso que os ornamentos em roseta vêm em exatamente dois tipos (com ou sem eixos de espelho). A Parte II demonstrou a *classificação das [isometrias](#def-b1-euclid-isometry) do plano*; a Parte IV demonstrou o *teorema de Leonardo*.