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title: "Curvas Planas"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas
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# Capítulo 24 — Curvas Planas

O cálculo do Capítulos [14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative) e [16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor) foi construído para funções $y = f(x)$; a maioria das curvas da geometria e da mecânica — trajetórias, círculos rolando sobre círculos, órbitas — recusa essa forma e apresenta-se antes como curvas *parametrizadas* $t \mapsto (x(t),
y(t))$ ou como curvas *polares* $r = r(\theta)$. Este capítulo clássico estuda as duas, e fecha com as [cônicas](#def-b1-curves-conics).

## 24.1 Curvas parametrizadas

**Definição 24.1.**

Uma *curva parametrizada* é uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $f
\colon I \to \R^2$, $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$, com $x, y$ de classe $C^1$ (no mínimo) no [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) $I$. O *vetor velocidade* é $f'(t) = (x'(t), y'(t))$; o ponto $M(t_0)$ é *regular* quando $f'(t_0) \neq (0,0)$, e a *tangente* nesse ponto é a reta por $M(t_0)$ dirigida por $f'(t_0)$.

**Por que $f'$ dirige a tangente.** Por Taylor–Young componente a componente, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) +
o(t - t_0)$: a direção da corda $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tende a $f'(t_0)$. A hipótese de regularidade é o que faz do limite uma *direção*: se $f'(t_0) = 0$, a fórmula exibida colapsa em $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ e nada diz sobre como a curva deixa o ponto — daí o tratamento separado dos pontos singulares no método abaixo, em que a primeira [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) *não nula* assume o papel de $f'$. Note também que a reta tangente é um objeto geométrico: toda reparametrização muda $f'$ por um fator escalar não nulo e deixa a reta inalterada. ∎

**Método 24.2 (Estudar uma curva parametrizada).**

1. *Reduza o domínio* usando simetrias: relações entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … e $M(t)$ (reflexões, translações, periodicidade), e depois desenhe apenas a parte reduzida.
2. *Variações* : tabule os sinais de $x'$ e de $y'$ conjuntamente; a curva move-se para a direita ou para a esquerda conforme $x'$ , e para cima ou para baixo conforme $y'$ .
3. *Pontos notáveis* : tangente horizontal ( $y' = 0 \neq  x'$ ), tangente vertical ( $x' = 0 \neq y'$ ); num ponto *singular* ( $f' = 0$ ), examine as [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) de ordem superior para obter a direção da tangente.
4. *Comportamento assintótico* nas extremidades de $I$ , e depois esboce.

**Exemplo 24.3 (Ramos assintóticos, trabalhados).**

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ em $\intoo{0}{+\infty}$. Quando $t
\to 0^{+}$: $x \to 0$ enquanto $y \to +\infty$ — a curva sobe ao longo da *assíntota vertical* $x = 0$ (limite finito para uma coordenada, infinito para a outra). Quando $t \to +\infty$: as duas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) explodem, logo teste uma reta: a diferença

$$
y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}
$$

exibe a *assíntota oblíqua* $y = x$, aproximada por cima. No meio disso, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ anula-se em $t = 1$: o ponto $(1, 2)$ é o ponto mais baixo do ramo, e $x' = 1 >
0$ em toda parte, logo a curva avança sempre para a direita. Um arco, duas assíntotas, um mínimo: um quadro completo a partir de três cálculos — com a receita geral visível por baixo: quando $x, y \to \infty$ juntos, examine $y/x$ à procura de um coeficiente angular candidato (aqui $\to 1$), e depois $y - (\text{inclinação})\,x$ para a ordenada na origem e para o lado da aproximação.

**Exemplo 24.4 (A astroide).**

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Simetrias: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estude um período); $M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$; $M(\pi - t)$, no eixo $y$; $M(\frac\pi2 -
t)$, na diagonal $y = x$: basta estudar $t \in
\intcc{0}{\frac\pi4}$ e desdobrar.

Velocidade: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos os pontos são regulares, com tangente dirigida por $(-\cos t, \sin t)$; em $t = 0$ (o ponto $(1,0)$) a velocidade se anula: uma *cúspide*, em que a curva inverte o sentido ao longo da direção tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetria, as quatro [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) ficam em $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

**Exemplo 24.5 (Um oito, estudado por completo).**

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (uma *curva de Lissajous*). *Simetrias*: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflexão no eixo $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetria central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexão no eixo $x$): basta estudar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ e desdobrar. *Variações*: $x' = \cos t \geq 0$ em toda parte, ao passo que $y' =
2\cos 2t$ é positiva antes de $t = \frac\pi4$ e negativa depois: o arco sobe para a direita até o cume $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ em $t = \frac\pi4$ (tangente horizontal), e depois desce para a direita até $(1, 0)$ em $t =
\frac\pi2$, onde $x' = 0 \neq y'$: tangente vertical. *Ponto duplo*: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, com duas velocidades diferentes

$$
f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :
$$

dois ramos *regulares* cruzando-se na origem sob ângulos distintos — um ponto duplo, não um ponto singular: cada passagem é perfeitamente suave, e as duas passagens apenas partilham a sua localização. A curva inteira é o oito abaixo.

![A curva de Lissajous ( t, 2t): um ponto duplo na origem, onde dois ramos regulares se cruzam com velocidades (1, 2) e (-1, 2), e tangentes horizontais nos quatro cumes. A simetria reduziu todo o trabalho a um quarto de período.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-53dc09dad46f.svg)

*A curva de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$: um ponto duplo na origem, onde dois ramos regulares se cruzam com velocidades $(1, 2)$ e $(-1, 2)$, e tangentes horizontais nos quatro cumes. A simetria reduziu todo o trabalho a um quarto de período.*

![A astroide ( 3 t, 3 t): quatro arcos que se encontram em quatro cúspides. É a curva traçada por um ponto de um círculo de raio 1/4 rolando dentro do círculo unitário.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8dd6fa9b9d24.svg)

*A astroide $(\cos^3 t, \sin^3 t)$: quatro arcos que se encontram em quatro [cúspides](#ex-b1-curves-astroid). É a curva traçada por um ponto de um círculo de raio $\frac14$ rolando dentro do círculo unitário.*

## 24.2 Curvas polares

**Definição 24.6.**

Uma *curva polar* é dada por $r = r(\theta)$: o ponto de parâmetro $\theta$ é

$$
M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta),
\qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).
$$

Com $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec
u\,'(\theta)$, a velocidade é

$$
M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec
v(\theta) .
$$

Consequências: onde $r \neq 0$, o ponto é regular, e a tangente faz com o raio o ângulo $V$ dado por $\tan V =
\frac{r}{r'}$ (ângulo entre $M'$ e $\vec u$); onde $r(\theta_0)
= 0$, a curva passa pela origem *com tangente o raio $\theta = \theta_0$* (direção $\vec u(\theta_0)$, lida em $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$, ou a partir da corda limite: a corda de $O$ a $M(\theta)$ é carregada pelo próprio $\vec
u(\theta)$, que tende a $\vec u(\theta_0)$ — de modo que a regra vale mesmo quando $r'(\theta_0) = 0$ e o ponto é singular, razão pela qual as [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) polares na origem, como a da cardioide, ganham a sua tangente de graça).

**Exemplo 24.7 (A cardioide).**

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$. Simetria: $r(-\theta)
= r(\theta)$: reflexão no eixo $x$; estude $\theta \in
\intcc{0}{\pi}$. $r$ decresce de $2$ a $0$; em $\theta = \pi$, $r = 0$: a curva atinge a origem tangencialmente ao raio $\theta = \pi$ (o eixo $x$), formando ali uma [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) — a ponta do coração. Tangente em $\theta = 0$: $r' = 0$, logo $\tan V = \infty$: perpendicular ao eixo.

O ângulo $V$ merece mais uma leitura. Em $\theta =
\frac\pi2$: $r = 1$ e $r' = -1$, logo $\tan V = \frac{r}{r'} =
-1$: a tangente faz três quartos de um ângulo reto com o raio que sai — a curva já está dobrando de volta rumo à sua [cúspide](#ex-b1-curves-astroid). A fórmula $\tan V = r/r'$ entrega direções tangentes ao longo de toda a curva sem calcular $M'(\theta)$ coisa alguma: é o análogo polar de ler um coeficiente angular.

**Exemplo 24.8 (De polar a cartesiana: um círculo escondido).**

O que é a [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r = 2\cos\theta$? Multiplique por $r$: $r^2 = 2r\cos\theta$, isto é, $x^2 + y^2 = 2x$, isto é,

$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1 :
$$

o círculo de centro $(1, 0)$ e raio $1$, que passa pela origem. A contabilidade importa: quando $\theta$ percorre $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, o círculo inteiro é varrido exatamente uma vez ($r$ anula-se nas duas extremidades), e em $\theta =
\pm\frac\pi2$ a regra “tangente na origem ao longo do raio $\theta = \theta_0$” dá ali uma tangente *vertical* — coerente com a geometria, já que o eixo vertical é de fato tangente a este círculo em $O$. Para $\theta$ além desse [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), $r < 0$ percorre de novo o mesmo círculo: um lembrete de que uma [curva polar](#def-b1-curves-polar) é um objeto *parametrizado*, autorizado a passar por cima de si mesmo.

![A rosácea de quatro pétalas r = 2 (o ). As pétalas ao longo do eixo y são traçadas com r < 0 (o ponto é marcado no raio oposto a ); as diagonais tracejadas = ± π4 são as tangentes na origem, onde r se anula.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8c1ed6913fd9.svg)

*A rosácea de quatro pétalas $r = \cos 2\theta$ (o [Exercício 24.4](#exo-b1-curves-4)). As pétalas ao longo do eixo $y$ são traçadas com $r < 0$ (o ponto é marcado no raio oposto a $\theta$); as diagonais tracejadas $\theta = \pm\frac\pi4$ são as tangentes na origem, onde $r$ se anula.*

![A cardioide r = 1 +. As curvas polares leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que gira.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-de2f8edc9e4e.svg)

*A cardioide $r = 1 + \cos\theta$. As [curvas polares](#def-b1-curves-polar) leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que $\theta$ gira.*

## 24.3 Comprimento de arco

**Definição 24.9 (Comprimento de um arco).**

O *comprimento* de um arco $C^1$ $f \colon
\intcc{a}{b} \to \R^2$ é a [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) da velocidade escalar:

$$
L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t
= \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .
$$

(Motivação: num [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) pequeno, $M(t + h) \approx M(t) + h
f'(t)$, logo o arco é próximo de uma poligonal cujos comprimentos de segmento somam uma soma de Riemann de $\norm{f'}$, o [Teorema 15.20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-riemann).) Para uma [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r =
r(\theta)$, a velocidade $r'\vec u + r\vec v$ tem componentes [ortogonais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#def-b1-euclid-orthogonal), logo

$$
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}
\sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .
$$

O comprimento não depende da parametrização (monótona, $C^1$) escolhida: substituir $t = \varphi(s)$ na [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) (o [Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-parts)) multiplica $f'$ por $\varphi'$ e $\dd t$ por $\varphi'^{-1}$.

**Exemplo 24.10 (Verificação de coerência: o círculo).**

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ em $\intcc{0}{2\pi}$: $\norm{f'} =
R$, logo $L = 2\pi R$ — a definição devolve a circunferência. Teste de reparametrização: a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ em $\intcc{0}{\pi}$ desenha o *mesmo* círculo ao dobro da velocidade $\norm{g'} = 2R$, e

$$
\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R
$$

de novo: metade do tempo, o dobro da velocidade, o mesmo [comprimento](#def-b1-curves-arclength) — a invariância prometida na definição, observada uma vez em números. (Rodar $g$ em todo o $\intcc{0}{2\pi}$ daria $4\pi R$: uma curva percorrida duas vezes é duas vezes mais longa *como percurso*; o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) mede o caminho parametrizado, e a contabilidade honesta do [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals) faz parte do cálculo.) Para a astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$: $\norm{f'} = 3\abs{\sin
t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, e por simetria $L = 4\int_0^{\pi/2}
\tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$: uma curva desenhada dentro do círculo unitário, de [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $6 < 2\pi$. O problema de fim de semana mede o arco mais famoso de todos.

![Um arco da cicloide (raio R = 1), o círculo rolante em t = 2, e as duas retas guia do problema de fim de semana: a corda MC até o ponto de contato é normal à curva, e a corda MT até o topo do círculo é tangente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-5f3d2a84c663.svg)

*Um arco da cicloide (raio $R = 1$), o círculo rolante em $t = 2$, e as duas retas guia do problema de fim de semana: a corda $MC$ até o ponto de contato é *normal* à curva, e a corda $MT$ até o topo do círculo é *tangente*.*

## 24.4 Cônicas

**Definição 24.11 (Definição por foco e diretriz).**

Fixe um ponto $F$ (*foco*), uma reta $D$ que não passa por $F$ (*diretriz*) e $e > 0$ (*excentricidade*). A *cônica* destes dados é

$$
\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:
$$

uma *elipse* para $e < 1$, uma *parábola* para $e = 1$, uma *hipérbole* para $e > 1$. (O círculo aparece como o limite degenerado $e \to 0$.)

**Exemplo 24.12 (A definição, conferida numa parábola).**

Tome a parábola $y^2 = 4x$, isto é, $2p = 4$: foco $F = (1, 0)$ e diretriz $D : x = -1$ (a forma reduzida do [Teorema 24.13](#thm-b1-curves-reduced) os coloca em $\pm\frac p2$). No ponto $M = (1, 2)$ da curva:

$$
MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2,
\qquad
d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :
$$

iguais, como $e = 1$ exige. Em $M' = (4, 4)$: $MF' = \sqrt{9 +
16} = 5$ e $d(M', D) = 5$ de novo. A definição por foco e diretriz não é uma abstração: é um par de distâncias que se pode medir em qualquer ponto, e a álgebra das equações reduzidas nada mais é do que essa medição feita uma vez por todas.

**Teorema 24.13 (Equações reduzidas).**

Num referencial [ortonormal](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#def-b1-euclid-orthogonal) bem escolhido:

$$
\text{elipse: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\quad (a \geq b > 0),
\qquad
\text{hipérbole: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
\qquad
\text{parábola: } y^2 = 2px,
$$

com, para a elipse: focos em $(\pm c, 0)$, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, $e = \frac ca$, e a caracterização bifocal $MF + MF' = 2a$; para a hipérbole: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $e = \frac ca$, $\abs{MF - MF'} = 2a$, assíntotas $y = \pm\frac ba x$.

**Demonstração.** Tome o foco na origem e a diretriz vertical, $x = -h$ ($h > 0$): a condição $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ lê-se $x^2 + y^2 =
e^2 (x + h)^2$. Para $e = 1$: $y^2 = 2hx + h^2$, uma parábola depois do deslocamento $x \mapsto x - \frac h2$ (logo $p = h$). Para $e \neq 1$: completando o quadrado em $x$,

$$
(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2
= e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2}
= \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .
$$

Ponha $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (um deslocamento do referencial). Quando $e < 1$, divida pelo lado direito, que é positivo: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ com $a = \frac{eh}{1 -
e^2}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$; quando $e > 1$, os dois lados da fórmula exibida trocam de sinal adequadamente e a mesma divisão dá $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ com $a = \frac{eh}{e^2 -
1}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$. Os valores indicados de $c$ seguem ($c^2 = a^2 - b^2$ ou $a^2 + b^2$ dá $c = ea$ nos dois casos, colocando o foco corretamente), e as propriedades bifocais são verificações diretas nas equações reduzidas. Em detalhe para a elipse, com $F' = (c, 0)$ e $M = (X, y)$ sobre a curva:

$$
MF'^2 = (X - c)^2 + y^2
= X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr)
= \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2
= (a - eX)^2 ,
$$

usando $c^2 + b^2 = a^2$ e $e = \frac ca$; como $\abs X \leq
a$ e $e < 1$, $a - eX > 0$, logo $MF' = a - eX$, sem nunca extrair raiz quadrada alguma. O cálculo espelhado dá $MF = a + eX$, donde $MF + MF' = 2a$, constante. Para a hipérbole a mesma álgebra dá $MF = \abs{a + eX}$ e $MF' = \abs{eX - a}$, com diferença $\pm2a$ conforme o ramo. ∎

**Exemplo 24.14.**

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$: elipse, $a = 5$, $b = 3$, $c = 4$: focos $(\pm4, 0)$, excentricidade $\frac45$. A sua parametrização: $(5\cos t, 3\sin t)$ — um círculo esticado anisotropicamente; a soma das distâncias aos focos, para qualquer um dos seus pontos, é $10$.

**Exemplo 24.15 (Ler uma órbita a partir da sua equação polar).**

A [cônica](#def-b1-curves-conics) polar $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (o [Exercício 24.7](#exo-b1-curves-7) com $p = 1$, $e = \frac12$) é uma elipse com um *foco na origem* — a geometria de uma órbita planetária com o sol em $O$. Extraia tudo de $p$ e de $e$: pela redução do [Teorema 24.13](#thm-b1-curves-reduced), $a = \dfrac{p}{1 - e^2} =
\dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ e $c = ea = \dfrac23$. As duas ápsides conferem isso sem teoria alguma:

$$
r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c
\quad (\text{periélio}),
\qquad
r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c
\quad (\text{afélio}),
$$

e a sua soma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera o eixo maior. A forma polar é a natural sempre que um foco é fisicamente distinguido; a forma cartesiana reduzida, sempre que o são os eixos de simetria. Converter entre as duas é exatamente o que faz o cálculo do quadrado completado do teorema.

A excentricidade como um botão, por fim: mantenha $p = 1$ e gire $e$ em $r
= \frac{1}{1 + e\cos\theta}$. Em $e = 0$: o círculo $r = 1$. Em $e = \frac12$: a elipse que acabamos de estudar, com $r$ oscilando entre $\frac23$ e $2$. Em $e = 1$: $r(\theta) \to \infty$ quando $\theta
\to \pi$ — a curva já não se fecha: uma parábola, com o seu ponto mais distante empurrado para o infinito. Em $e = 2$: o denominador anula-se em $\cos\theta = -\frac12$, e só $\theta \in
\intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ sobrevive: um ramo de hipérbole, escapando ao longo de duas direções assintóticas. Uma fórmula, a família das [cônicas](#def-b1-curves-conics) inteira, e o ponto de transição $e = 1$ visível como o instante em que o denominador atinge zero pela primeira vez.

**Observação 24.16 (Armadilhas comuns).**

*Pontos duplos não são pontos singulares*: num autocruzamento, cada ramo é regular; “singular” refere-se a $f'(t_0) = 0$ para um valor do parâmetro (o [Exemplo 24.5](#ex-b1-curves-lissajous), contra as [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) da astroide). *Tangente vertical versus [cúspide](#ex-b1-curves-astroid)*: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ é um ponto regular com tangente vertical; só $x' = y' = 0$ exige a expansão de ordem superior. *Raios negativos marcam-se no raio oposto*: para $r(\theta) <
0$ o ponto é $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$, no ângulo $\theta +
\pi$ (o [Exercício 24.5](#exo-b1-curves-5)); esquecer isso perde laços internos ou duplica curvas. *O [comprimento de arco](#def-b1-curves-arclength) integra $\norm{f'}$, e não $f'$*: separe a [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) nos zeros da velocidade escalar — para a astroide, integrar $\frac32\sin 2t$ ao longo de um período completo sem valores absolutos dá $0$, e não $6$. *As [cônicas](#def-b1-curves-conics) têm de ser reduzidas antes de serem lidas*: em $9x^2 +
25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$, nem os eixos, nem o centro, nem a excentricidade são visíveis antes de completar os quadrados (o [Exercício 24.6](#exo-b1-curves-6)); e uma parte quadrática que se anula numa variável significa parábola, não “elipse degenerada”.

**Observação 24.17 (Para onde vão estas curvas).**

As [curvas parametrizadas](#def-b1-curves-def) são a língua da mecânica: as trajetórias são curvas, os vetores velocidade são vetores tangentes, e o [comprimento de arco](#def-b1-curves-arclength) da [Definição 24.9](#def-b1-curves-arclength) é a distância percorrida. As [cônicas](#def-b1-curves-conics) reaparecem onde quer que atue uma lei do inverso do quadrado — as órbitas planetárias são elipses com o sol num foco. No [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), as curvas tornam-se os [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de nível de funções de duas variáveis, e a tangente deste capítulo encontra o gradiente do próximo. O volume do segundo ano de graduação acrescenta a curvatura e a forma canônica local de uma curva; o problema de fim de semana abaixo já extrai, apenas com as ferramentas deste ano, tudo o que o século XVII sabia sobre a sua curva mais celebrada.

**Observação 24.18 (Perspectivas dentro do Livro 3).**

Este capítulo consome toda a primeira metade do volume e alimenta o último capítulo. *Consumido*: os vetores tangentes são [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) (o [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative)), o [comprimento de arco](#def-b1-curves-arclength) e as áreas são integrais (o [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration)), as [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) são resolvidas por expansões de Taylor (o [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor)), a tautócrona é uma equação diferencial [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) (o [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#ch-b1-diffeq)), e toda distância e todo ângulo são euclidianos (o [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid)). *Alimentado*: no [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/25-funcoes-de-duas-variaveis#ch-b1-multivar), uma curva $t \mapsto (x(t),
y(t))$ traçada dentro de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de nível $\{f = c\}$ é [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) pela regra da cadeia, e a identidade resultante $\langle \nabla f,\
f'(t)\rangle = 0$ casa os vetores tangentes deste capítulo com os gradientes do próximo — a reta tangente da curva e a direção normal da superfície são o mesmo cálculo visto das duas margens.

## 24.5 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

Estude e esboce a curva $x(t) = t^2$, $y(t) = t^3$ (simetrias, variações, comportamento no ponto singular $t = 0$).

**Solução de Exercício 24.1.**

$M(-t) = (t^2, -t^3)$: reflexão no eixo $x$; estude $t \geq 0$. Tanto $x' = 2t$ quanto $y' = 3t^2$ são $\geq 0$: o ramo move-se para a direita e para cima, de $(0,0)$ ao infinito. Em $t = 0$ a velocidade se anula; as expansões $x = t^2$, $y = t^3$ mostram que a tangente é o eixo $x$ ($y/x = t \to 0$), com $y$ mudando de sinal enquanto $x \geq 0$: uma *[cúspide](#ex-b1-curves-astroid)* apontando para a esquerda. A curva é a parábola semicúbica $y^2 = x^3$.

**Exercício 24.2 ★.**

Para a cicloide $x(t) = t - \sin t$, $y(t) = 1 - \cos t$ (a trajetória de um ponto de uma roda de raio $1$ que rola): identifique a simetria de translação por período, os pontos singulares, e a direção da tangente em $t = 0$ *(expanda $x$ e $y$ até as primeiras ordens não nulas)*.

**Solução de Exercício 24.2.**

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$: a curva se repete, transladada por uma circunferência de roda; estude um período. $x'(t) = 1 - \cos t \geq
0$, $y'(t) = \sin t$: o arco sobe em $\intoo{0}{\pi}$, desce em $\intoo{\pi}{2\pi}$, culminando em $(\pi, 2)$. Pontos singulares onde $x' = y' = 0$: $t \in 2\pi\Z$, no solo. Perto de $t = 0$:

$$
x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3),
\qquad
y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):
$$

$x$ muda de sinal, $y \geq 0$, e $\frac{x}{y^{3/2}}$ é limitado: a tangente é *vertical* (direção $(0,1)$), uma [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) em que o ponto acompanhado tem momentaneamente velocidade nula — a assinatura física do rolamento sem escorregamento.

**Exercício 24.3 ★.**

Dê a reta tangente à curva $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ em $t =
\frac\pi4$, e verifique que o segmento dessa tangente cortado pelos eixos tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $1$ — uma propriedade famosa da astroide (verdadeira em todo ponto regular).

**Solução de Exercício 24.3.**

Em $t = \frac\pi4$: $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4},
\frac{\sqrt2}{4}\bigr)$, direção tangente $(-\cos t, \sin t) =
\frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (o [Exemplo 24.4](#ex-b1-curves-astroid)). Reta tangente: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$, isto é, $x +
y = \frac{\sqrt2}{2}$. Interseções com os eixos: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2},
0\bigr)$ e $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$; o segmento entre eles tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$.

(Ponto geral $t$: a tangente em $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ corta os eixos em $(\cos t, 0)$ e $(0, \sin t)$ — verifique que a reta por esses pontos tem direção $(-\cos t, \sin t)$ e passa por $M(t)$ — e o segmento cortado tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $\sqrt{\cos^2 t +
\sin^2 t} = 1$.)

**Exercício 24.4 ★.**

Esboce as [curvas polares](#def-b1-curves-polar) $r = \cos 2\theta$ (rosácea de quatro pétalas) e $r = \frac{1}{\cos\theta}$ em $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconheça uma reta).

**Solução de Exercício 24.4.**

$r = \cos 2\theta$: período $\pi$ em $\theta$, simétrica nos dois eixos; $r$ anula-se em $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes na origem ao longo das diagonais) e é negativo para $\theta \in
\intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$, onde os pontos são marcados no raio oposto — produzindo quatro pétalas ao longo das direções dos eixos $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$, cada uma de raio máximo $1$.

$r\cos\theta = 1$ é a equação $x = 1$: a [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r =
\frac{1}{\cos\theta}$ é a reta vertical $x = 1$ (percorrida uma vez para $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$).

**Exercício 24.5 ★★.**

Estude a [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r = 1 + 2\cos\theta$ (uma limaçon): domínio em que $r \geq 0$ contra $r < 0$ (os pontos marcados com raio negativo ficam no raio oposto), passagem pela origem, laço interno, esboço.

**Solução de Exercício 24.5.**

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ anula-se para $\cos\theta = -\frac12$: $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$. Simetria no eixo $x$; estude $\theta \in \intcc{0}{\pi}$. Para $\theta \in
\intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$: $r > 0$, decrescente de $3$ a $0$: arco externo, entrando na origem tangente ao raio $\theta =
\frac{2\pi}{3}$. Para $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$: $r < 0$: os pontos $r\vec u(\theta)$ ficam no raio oposto (ângulo $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$), com distância $\abs r$ crescendo de $0$ a $1$: isto desenha um pequeno *laço interno* pela origem. Em $\theta = \pi$, $r = -1$ e o ponto é $-\vec u(\pi) = (1, 0)$: o laço fecha-se no semieixo $x$ positivo. Esboço: uma grande curva externa em forma de coração, com alcance máximo $3$ em $\theta = 0$, mais um laço dentro dela, por $O$ e por $(1,0)$.

**Exercício 24.6 ★★.**

Identifique a [cônica](#def-b1-curves-conics) $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$: reduza completando quadrados, e dê o centro, os semieixos, os focos e a excentricidade.

**Solução de Exercício 24.6.**

Complete os quadrados:

$$
9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164
\iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .
$$

Dividindo por $225$: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$: uma elipse de centro $(2, 1)$, semieixos $a = 5$ (horizontal) e $b = 3$; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$: focos $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ e $(6, 1)$; excentricidade $e = \frac45$.

**Exercício 24.7 ★★.**

Demonstre que a equação polar de uma [cônica](#def-b1-curves-conics) com foco na origem é

$$
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}
$$

(diretriz vertical à distância $\frac pe$ à direita do foco). Quais valores de $\theta$ são permitidos quando $e > 1$?

**Solução de Exercício 24.7.**

Foco na origem, diretriz $D: x = d$ com $d = \frac pe > 0$. Para um ponto $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ com $r > 0$:

$$
MF = r,
\qquad
d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},
$$

e a condição da [cônica](#def-b1-curves-conics) $MF = e\,d(M, D)$, no regime em que $M$ está do lado do foco em relação à diretriz ($r\cos\theta < d$), lê-se $r
= e(d - r\cos\theta)$, isto é,

$$
r(1 + e\cos\theta) = ed = p,
\qquad
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .
$$

Para $e < 1$ o denominador nunca se anula: todos os $\theta$ são permitidos (elipse). Para $e = 1$: $\theta \neq \pi$ (parábola, [aberta](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/12-topologia-da-reta-real#def-b1-topology-open) para o lado oposto ao da diretriz). Para $e > 1$: é preciso $1 + e\cos\theta > 0$, isto é, $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ com $\theta_0 =
\arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$: um *ramo* da hipérbole (o outro ramo corresponde à escolha de sinal $r < 0$, ou ao segundo foco).

**Exercício 24.8 ★★.**

A partir da propriedade bifocal $MF + MF' = 2a$, deduza a “construção do jardineiro” da elipse, e demonstre que a tangente em $M$ faz ângulos iguais com $MF$ e $MF'$ *(propriedade de reflexão; derive $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ e interprete a soma nula de produtos de vetores unitários)*.

**Solução de Exercício 24.8.**

*Jardineiro:* amarre um barbante de [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $2a$ a duas estacas $F, F'$ e mantenha-o esticado com o ponto traçador $M$: a restrição é exatamente $MF + MF' = 2a$, logo a curva traçada é a elipse.

*Propriedade de reflexão:* seja $t \mapsto M(t)$ uma parametrização regular e $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$, sendo $u'(t)$ o vetor unitário análogo em direção a $F'$. Derivando $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$, usando $\frac{\dd}{\dd
t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\,
M'\bigr\rangle$ (regra da cadeia em $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$):

$$
\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .
$$

Logo a direção tangente $M'$ é [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#def-b1-euclid-orthogonal) à direção bissetriz $u + u'$ dos dois raios focais: a tangente faz ângulos iguais com $MF$ e $MF'$. (Um raio de luz que parte de um foco reflete-se na elipse para o outro foco.)

**Exercício 24.9 ★★★.**

A *lemniscata de Bernoulli* é a [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r^2 = \cos
2\theta$ (tome $r = \sqrt{\cos2\theta}$ onde estiver definida).

1. Dê o seu domínio, as suas simetrias, as tangentes na origem, e esboce-a.
2. Demonstre que ela é o lugar dos pontos $M$ com $MF \cdot MF'  = \frac12$ , onde $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2},  0\bigr)$ . *(Calcule $MF^2\,MF'^2$ em [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#prop-b1-vspaces-coordinates) polares.)*

**Solução de Exercício 24.9.**

1. Domínio: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in  \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup  \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Simetrias: $\theta  \mapsto -\theta$ (eixo $x$ ) e $\theta \mapsto \pi -  \theta$ (eixo $y$ ): estude $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ decresce de $1$ a $0$ . Em $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r =  0$ , tangentes na origem ao longo das diagonais. A curva é o símbolo $\infty$ : dois laços simétricos que se encontram em $O$ , atingindo $(\pm 1, 0)$ .
2. Com $F, F' = (\pm c, 0)$, $c = \frac{1}{\sqrt 2}$, e $M  = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $$MF^2\, MF'^2  = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$$ pela identidade $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ com $A = r^2  + c^2$, $B = 2rc\cos\theta$. Com $c^2 = \frac12$: $$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta  = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14  = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$$ Sobre a lemniscata, $r^2 = \cos 2\theta$: os dois primeiros termos se cancelam, restando $MF^2MF'^2 = \frac14$, isto é, $MF \cdot MF' =  \frac12$. Reciprocamente, o cálculo lido ao contrário mostra que a equação do lugar $MF\,MF' = \frac12$ é $r^2 = \cos  2\theta$ (para $r \neq 0$; e $O$ satisfaz as duas).

**Exercício 24.10 ★★.**

Calcule o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) total da cardioide $r = 1 + \cos\theta$ usando a fórmula polar da [Definição 24.9](#def-b1-curves-arclength) *(a identidade $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ transforma a raiz quadrada em $2\abs{\cos\frac\theta2}$)*.

**Solução de Exercício 24.10.**

$r = 1 + \cos\theta$, $r' = -\sin\theta$:

$$
r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta
= 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,
$$

logo $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ e, pela simetria no eixo $x$,

$$
L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta
= 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .
$$

Mais um perímetro algébrico, sem $\pi$.

**Exercício 24.11 ★★.**

Mostre que a tangente à elipse $(a\cos t, b\sin t)$ no ponto de parâmetro $t$ tem equação

$$
\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,
$$

e deduza a tangente a $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ num ponto $(x_0, y_0)$ da elipse: $\frac{x\,x_0}{a^2} +
\frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (a regra do “desdobramento dos quadrados”).

**Solução de Exercício 24.11.**

O ponto $(a\cos t, b\sin t)$ satisfaz a equação: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. O vetor normal da reta é $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$, e o seu produto com a velocidade $(-a\sin t, b\cos t)$ é $-\sin t\cos t +
\sin t\cos t = 0$: a reta passa pelo ponto com a direção tangente — ela é a tangente. Para $(x_0, y_0)$ sobre a elipse, escreva $\cos t = \frac{x_0}a$, $\sin t = \frac{y_0}b$ e substitua:

$$
\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,
$$

obtida da equação da elipse “desdobrando” $x^2 \mapsto
x\,x_0$ e $y^2 \mapsto y\,y_0$.

**Exercício 24.12 ★★★.**

A *espiral logarítmica* é a [curva polar](#def-b1-curves-polar) $r =
\eu^{k\theta}$ ($k > 0$ fixo, $\theta \in \R$).

1. Mostre que o ângulo $V$ entre o raio e a tangente é *constante* ( $\tan V = \frac1k$ ) — a espiral cruza todo raio sob o mesmo ângulo.
2. Mostre que girar a espiral por um ângulo $c$ a leva na sua homotética de razão $\eu^{-kc}$ : toda rotação da espiral é uma ampliação dela (autossemelhança).
3. Calcule o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) do arco $\theta \in  \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (como limite dos [comprimentos](#def-b1-curves-arclength) em $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) e observe que ele é finito: uma curva que espirala infinitas vezes em torno da origem, de [comprimento](#def-b1-curves-arclength) finito.

**Solução de Exercício 24.12.**

1. $r' = k\eu^{k\theta}$ , logo $\tan V = \frac{r}{r'} =  \frac1k$ : constante. A espiral corta todo raio a partir da origem sob o mesmo ângulo $V = \arctan\frac1k$ .
2. Em notação complexa a espiral é $\{\eu^{k\theta}  \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$. Girar por $c$ multiplica por $\eu^{\iu c}$: $$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)}  = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$$ e, à medida que $\theta + c$ percorre $\R$, isto descreve $\eu^{-kc}$ vezes a espiral: rotação $=$ homotetia. Nenhuma outra curva suave, além das retas e dos círculos, tem essa propriedade.
3. $\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$, logo em $\intcc{A}{\theta_0}$ o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) é $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} -  \eu^{kA}\bigr)$, e quando $A \to -\infty$: $$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$$ infinitas voltas em torno da origem, [comprimento](#def-b1-curves-arclength) total finito (as voltas encolhem geometricamente).

## 24.6 Problema: a cicloide, rainha das curvas

**Problema 24.1.**

Uma roda de raio $R$ rola sem escorregar ao longo do eixo $x$; o ponto do aro inicialmente na origem traça a *cicloide*. O século XVII brigou por causa desta curva — Galileu pesou recortes de papel dela, Wren mediu-a, Roberval calculou a sua área, Huygens construiu relógios sobre ela — e cada um desses resultados está ao alcance deste capítulo. Demonstramos os quatro clássicos: a construção da tangente, o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $8R$ de Wren, a área $3\pi R^2$, e a propriedade tautócrona de Huygens.

**Parte I — O rolamento e a tangente.**

1. Depois de a roda ter girado um ângulo $t$, o seu centro fica em $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rolamento sem escorregamento: distância de contato $=$ arco rolado). Mostre que o ponto marcado está em $$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$$
2. Calcule $f'(t)$ e mostre que $\norm{f'(t)} =  2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localize os pontos singulares ( [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) — cf. o [Exercício 24.2](#exo-b1-curves-2) ) e o topo de cada arco.
3. Seja $C(t) = (Rt, 0)$ o ponto de contato e $T(t) =  (Rt, 2R)$ o topo da roda. Demonstre que, para $0 < t <  2\pi$ , o vetor $M - C$ é *normal* à curva em $M(t)$ e o vetor $T - M$ é *tangente* : para traçar a tangente a uma cicloide, ligue o ponto ao topo do seu círculo rolante. *(Fatore tudo através de $\sin\frac t2$ e $\cos\frac t2$.)*
4. Interprete a questão 3 cinematicamente: o ponto de contato é o *centro instantâneo de rotação* , e a velocidade escalar de $M$ é igual à sua distância a $C$ (para velocidade angular unitária). Verifique $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
5. Demonstre a relação altura–velocidade $$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$$ numa cicloide percorrida com velocidade angular unitária, a velocidade escalar em cada ponto é exatamente a velocidade de queda livre para uma descida igual à altura corrente. (Guarde isto para a Parte IV.)

**Parte II — O teorema de Wren: o arco tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $8R$.**

6. Usando a [Definição 24.9](#def-b1-curves-arclength), calcule o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) de um arco: $$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$$ (teorema de Wren, 1658). Quatro diâmetros de roda, e nenhum $\pi$ em lugar algum.
7. Calcule o [comprimento de arco](#def-b1-curves-arclength) a partir da [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) : $s(t) =  4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , e verifique $s(2\pi) =  8R$ .
8. Meça agora o arco a partir do *ápice* $t = \pi$: $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$. Demonstre a relação intrínseca $$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$$ o quadrado da distância de arco desde o topo é proporcional à queda de altura abaixo do topo.
9. Verificações de coerência: recupere da questão 8 que o meio arco do ápice à [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $4R$ , e compare com o cálculo da astroide do [Exemplo 24.10](#ex-b1-curves-circlelength) — as duas curvas têm [comprimentos](#def-b1-curves-arclength) algébricos, sem $\pi$ ; explique o que torna isso possível, embora ambas sejam construídas a partir de círculos. *(Olhe para a forma de $\norm{f'}$.)*

**Parte III — A área de Roberval: $3\pi R^2$.**

10. Justifique que a área entre um arco e o solo é $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ *(a substituição $x = x(t)$ em $\int y\,\dd x$, o [Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-parts); $x$ é crescente)* .
11. Calcule $$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$$ exatamente *três* vezes a área da roda — a razão que Galileu havia adivinhado pesando.
12. Mesmo método para a astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : mostre que a área encerrada é $\frac{3\pi}8$ *(linearize $\sin^4 t\cos^2 t$; só o termo constante sobrevive ao longo de um período completo)* .
13. Confira a fórmula da questão 10 no semicírculo unitário superior $(\cos t, \sin t)$ , com $t$ indo de $\pi$ a $0$ : ela devolve $\frac\pi2$ ?

**Parte IV — A tautócrona de Huygens.** Vire o arco: uma conta desliza sem atrito, sob a gravidade $g$, dentro da tigela cicloidal

$$
x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t)
\qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),
$$

cujo ponto mais baixo é a origem ($y$ medido para cima).

14. Calcule a velocidade escalar $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$, o [comprimento de arco](#def-b1-curves-arclength) a partir do fundo $s(t) = 4R\sin\frac t2$, e demonstre a identidade-chave $$y = \frac{s^2}{8R} .$$
15. A conta solta em repouso a partir do ponto de parâmetro $t_0 > 0$ obedece à conservação da energia: se $s(\tau)$ designa a sua posição de arco no instante $\tau$, então $\frac12\bigl(  \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$. Reescreva isto, usando a questão 14, como $$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2}  = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr),  \qquad s_0 = s(t_0).$$
16. Derive em relação a $\tau$ e obtenha o oscilador harmônico $$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$$ resolva-o com o [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#thm-b1-diffeq-homogeneous2) e as condições iniciais: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$, $\omega = \sqrt{g/4R}$.
17. Deduza a *propriedade tautócrona* (Huygens, 1659): o tempo para chegar ao fundo, $$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}  = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$$ não depende do ponto de largada — contas soltas ao mesmo tempo de quaisquer duas alturas da tigela chegam juntas.
18. Verifique por substituição que $s(\tau) =  s_0\cos\omega\tau$ satisfaz exatamente a equação de energia de primeira ordem da questão 15 (e não apenas a equação [derivada](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#def-b1-derivative-def) ), e explique numa frase por que um pêndulo circular é apenas *aproximadamente* isócrono ao passo que a cicloide o é exatamente.
19. Numericamente: qual raio $R$ faz o tempo de descida ser exatamente um segundo ( $g = 9.81$ )? Note quão perto a resposta está de um metro, e como o período completo de oscilação $2\pi\sqrt{4R/g}$ se compara com a fórmula do pêndulo de pequenas oscilações $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para $\ell = 4R$ .

**Parte V — Dividendos, e síntese.**

20. Aplique a regra da tangente da questão 3 em $t =  \frac\pi2$ (tome $R = 1$ ): calcule $M$ , $T$ , a direção de $MT$ , e confira contra $f'(\frac\pi2)$ .
21. (Trocoides) Marque em vez disso um ponto à distância $d$ do centro ( $d \neq R$ ): a curva é $x = Rt -  d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Mostre que, para $d < R$ , a curva é regular em toda parte e não apresenta comportamento singular algum ( $x' > 0$ : ela avança), ao passo que, para $d  > R$ , a abscissa $x'$ muda de sinal e a curva faz laços — a roda ferroviária com friso, cujos pontos do aro viajam *para trás* .
22. (Prévia da braquistócrona) Da [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ da tigela até o fundo, compare o tempo de descida pela cicloide $\pi\sqrt{R/g}$ com o tempo ao longo da rampa reta que liga os mesmos pontos *(aceleração constante $g\sin\alpha$ ao longo da corda)* : mostre que a corda leva $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . A curva vence a reta — ela é, de fato, a mais rápida de todas as curvas, um resultado do cálculo das variações.
23. Mostre que, no arco ($0 < t < 2\pi$), $$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2,  \qquad  \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} =  -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$$ o arco é côncavo, com tangentes verticais exatamente nas [cúspides](#ex-b1-curves-astroid).
24. Recupere geometricamente a tangente vertical na [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) do [Exercício 24.2](#exo-b1-curves-2) : calcule a direção limite da corda $MT$ da questão 3 quando $t \to  0^{+}$ , sem expansão alguma.
25. Síntese, em quatro frases: quais três teoremas nomeados este problema demonstrou (com os seus números $8R$ , $3\pi  R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ e os seus autores); qual único artifício de cálculo (as fatorações $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ ) alimentou todas as Partes I, II e IV; como a relação intrínseca $y = s^2/8R$ converteu geometria numa equação diferencial [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) ; e em qual capítulo deste livro cada Parte se apoiou.

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** Rolar sem escorregar significa que o ponto de contato percorreu uma distância igual ao arco de roda desenrolado: depois de girar por $t$, o centro está em $(Rt, R)$. O ponto marcado fica no aro, num ângulo $t$ *atrás* da vertical descendente (a roda gira no sentido horário enquanto avança):

$$
M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t)
= \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),
$$

o que é correto em $t = 0$ ($M = (0,0)$) e em $t = \pi$ ($M =
(\pi R, 2R)$, o topo).

**2.** $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ e

$$
\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr)
= 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,
$$

logo $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$. Pontos singulares em $t \in
2\pi\Z$: as [cúspides](#ex-b1-curves-astroid) no solo (o [Exercício 24.2](#exo-b1-curves-2)); o topo do arco é $t = \pi$, onde a velocidade $2R$ é máxima.

**3.** Fatorações de meio ângulo:

$$
f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr),
\quad
M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),
$$

$$
T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr)
= 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).
$$

Para $0 < t < 2\pi$, $\sin\frac t2 \neq 0$: $M - C$ é [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#def-b1-euclid-orthogonal) à direção tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac
t2\bigr)$ (o produto deles é $-\sin\frac t2\cos\frac t2 +
\sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$), e $T - M$ é paralelo a ela. A corda até o topo da roda *é* a tangente; a corda até o ponto de contato é a normal.

**4.** A cada instante a roda pivota em torno do seu ponto de contato (esse ponto tem velocidade nula: rolamento sem escorregamento), logo todo ponto rígido da roda move-se [ortogonalmente](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#def-b1-euclid-orthogonal) à reta que o liga a $C$, com velocidade escalar (velocidade angular $1$) igual a essa distância. Verificação: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} =
\norm{f'(t)}$.

**5.** $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 =
4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$. A velocidade escalar à altura $y$ é $\sqrt{2R\,y}$ — formalmente a lei $v = \sqrt{2gh}$ da queda livre, com o solo fazendo o papel de teto; a Parte IV transforma esta observação em maquinaria de relógio.

**6.** Pela [Definição 24.9](#def-b1-curves-arclength) e pela questão 2 ($\sin\frac t2 \geq 0$ em $\intcc{0}{2\pi}$):

$$
L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t
= 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .
$$

O teorema de Wren: exatamente quatro diâmetros.

**7.** $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u =
4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$, coerente.

**8.** $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 -
\cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$, logo $\sigma^2 =
16R^2\cos^2\frac t2$; e $2R - y = R(1 + \cos t) =
2R\cos^2\frac t2$, donde $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 =
\sigma^2$.

**9.** Na [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) $t = 0$ (ou $2\pi$): $\sigma = 4R$, metade de $8R$: o ápice [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) o arco ao meio. Nos dois cálculos a velocidade escalar é $\abs{\text{polinômio trigonométrico em } t/2}$, cuja primitiva é de novo trigonométrica: o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) é uma diferença de *valores* de cossenos — números racionais vezes $R$ — sem nenhum arco de círculo a medir, logo sem $\pi$. O próprio círculo tem velocidade constante, de modo que a sua [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) de [comprimento](#def-b1-curves-arclength) produz o [comprimento](#def-b1-curves-arclength) total do [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/10-numeros-reais#prop-b1-reals-intervals), $2\pi$; a velocidade da cicloide anula-se nas extremidades e integra-se algebricamente.

**10.** O arco é percorrido com $x$ crescendo de $0$ a $2\pi R$ ($x' = R(1 - \cos t) \geq 0$, anulando-se apenas em pontos isolados). Substituir $x = x(t)$ na [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) de área $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (o [Teorema 15.15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-parts)) dá $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$.

**11.**

$$
A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t
= R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t
= R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,
$$

usando $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$. Exatamente três áreas de roda: a balança de Galileu dizia “cerca de $3$”; o cálculo de Roberval diz “exatamente”.

**12.** Com $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$: $y\,x' =
-3\sin^4 t\cos^2 t$. Linearize:

$$
\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2
2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,
$$

e em $\intcc{0}{2\pi}$: $\int\sin^2 2t = \pi$, $\int \sin^2
2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$. Logo $\oint
y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$, e a área encerrada é $\frac{3\pi}8$ (o sinal registra a orientação anti-horária).

**13.** Para $(\cos t, \sin t)$ com $t$ indo de $\pi$ a $0$, $x$ cresce de $-1$ a $1$ e

$$
\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t
= \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :
$$

a fórmula devolve a área do semidisco superior, como deve.

**14.** $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$, $y' =
R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$, logo $\norm{f'} =
2R\cos\frac t2$ (não negativa em $\intcc{-\pi}{\pi}$). Arco a partir do fundo: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u =
4R\sin\frac t2$. Então

$$
y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2
= 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .
$$

**15.** Conservação da energia com $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ e $y = \frac{s^2}{8R}$, $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$:

$$
\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y)
= \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr)
= \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).
$$

**16.** Derivando em $\tau$: $2s's'' =
-\frac{g}{4R}\,2ss'$, logo, onde quer que $s' \neq 0$ (e portanto em toda parte, por [continuidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#def-b1-continuity-continuous)), $s'' = -\frac{g}{4R}s$: o oscilador harmônico. Pelo [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#thm-b1-diffeq-homogeneous2), $s(\tau) =
A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ com $\omega =
\sqrt{g/(4R)}$; as condições iniciais $s(0) = s_0$, $s'(0) = 0$ dão $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$.

**17.** A conta atinge o fundo quando $s = 0$, isto é, em $\omega\tau = \frac\pi2$:

$$
T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}
= \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

independente de $s_0$: soltas de qualquer lugar da tigela, todas as contas chegam no mesmo instante — a tautócrona.

**18.** Substituindo $s = s_0\cos\omega\tau$: o lado esquerdo é $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ e o lado direito é $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) =
s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$: igualdade exata, logo nenhuma solução espúria foi introduzida. Para um arco circular, $y$ não é proporcional a $s^2$ ($y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) =
\frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$): o termo restaurador é apenas *aproximadamente* [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def), de modo que o período de um pêndulo circular varia com a amplitude, ao passo que o da cicloide é rigorosamente constante.

**19.** $\pi\sqrt{R/g} = 1$ dá $R = \frac{g}{\pi^2}
\approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — quase exatamente um metro. A oscilação completa leva $\frac{2\pi}\omega =
2\pi\sqrt{4R/g}$, que é precisamente a fórmula de pequenas oscilações $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para um pêndulo de [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $\ell = 4R$: Huygens suspendeu o seu pêndulo entre faces cicloidais exatamente dessa proporção.

**20.** Em $t = \frac\pi2$, $R = 1$: $M = \bigl(\frac\pi2 -
1,\ 1\bigr)$, $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$, logo $T - M = (1,
1)$. E $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$: a corda até o topo é a velocidade, como prometido.

**21.** Para a trocoide, $x'(t) = R - d\cos t$ e $y'(t)
= d\sin t$. Se $d < R$: $x' \geq R - d > 0$, o ponto sempre avança; a velocidade nunca se anula (a sua primeira componente é positiva): nenhum ponto singular, uma onda regular. Se $d > R$: $x'(0)
= R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$, logo o ponto move-se para trás perto dos instantes de contato e para a frente nos demais: a curva cruza-se a si mesma em laços. Um ponto no friso de uma roda ferroviária (abaixo do boleto do trilho, $d > R$) viaja para trás a cada volta.

**22.** A corda da [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ até a origem tem [comprimento](#def-b1-curves-arclength) $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ e ângulo de inclinação $\alpha$ com $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$. Deslizando do repouso com aceleração constante $g\sin\alpha$: $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$, logo

$$
T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}}
= \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg}
\approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

contra $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ para a cicloide: o caminho curvo é mais rápido. Ele é, de fato, o mais rápido possível — a braquistócrona — um teorema do cálculo das variações, além deste volume.

**23.** $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} =
\dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (fórmulas de meio ângulo). Então

$$
\frac{\dd^2y}{\dd x^2}
= \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)}
= -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2}
= -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :
$$

côncavo ao longo de todo o arco; quando $t \to 0^+$ ou $2\pi^-$, o coeficiente angular $\cot\frac t2 \to \pm\infty$: tangentes verticais nas [cúspides](#ex-b1-curves-astroid).

**24.** A direção da corda é $T - M \parallel
\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$, que tende a $(0, 1)$ quando $t \to 0^{+}$: a tangente na [cúspide](#ex-b1-curves-astroid) é vertical — recuperada por pura geometria, sem nenhuma expansão de Taylor.

**25.** (i) O teorema de Wren, $L = 8R$; a área de Roberval, $A =
3\pi R^2$ (a razão $3$ conjecturada por Galileu); a tautócrona de Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$. (ii) Todo cálculo apoiou-se nas fatorações de meio ângulo $f' =
2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ e no seu análogo para a tigela — uma única identidade alimentando tangente, [comprimento](#def-b1-curves-arclength) e relógio. (iii) A relação intrínseca $y = s^2/8R$ converteu a equação de energia em $s'' = -\frac{g}{4R}s$, uma equação [linear](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#def-b1-linmaps-def) de coeficientes constantes cujas soluções são exatamente isócronas. (iv) A Parte I usou o cálculo diferencial do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative), as Partes II–III a [integral](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#thm-b1-integration-def) do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration), e a Parte IV as equações diferenciais do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#ch-b1-diffeq) — a cicloide é o currículo deste livro enrolado numa só curva.