--- title: "Números Complexos" book: "Matemática universitária — Graduação 1" subject: math language: pt chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos --- # Capítulo 3 — Números Complexos Os números complexos foram encontrados no volume do ensino médio como um recurso de cálculo para equações do segundo grau. Este capítulo os trata como objeto central: a forma exponencial e suas consequências (De Moivre, raízes $n$-ésimas, [raízes da unidade](#def-b1-complex-unity)), a tradução sistemática entre $\C$ e a geometria plana, e o uso de $\eu^{\iu\theta}$ como uma máquina para demonstrar identidades trigonométricas. ## 3.1 O corpo $\C$, módulo e conjugado **Definição 3.1 (O corpo dos complexos).** $\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ com a adição usual e a multiplicação determinada por $\iu^2 = -1$. Todo $z = a + \iu b$ não nulo tem um inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — na linguagem do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#ch-b1-structures), $\C$ é um corpo. Escreve-se $a = \Re(z)$, $b = \Im(z)$, $\conj{z} = a - \iu b$ (o *conjugado*) e $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (o *módulo*). **Proposição 3.2 (Regras do conjugado e do módulo).** Para $z, w \in \C$: 1. $\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ; 2. $z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ; 3. $\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , e $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ para $z \neq 0$ ; 4. (desigualdade triangular) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , com igualdade se, e somente se, $z$ e $w$ estão numa mesma semirreta com origem em $0$ ( $w = \lambda z$ ou $z = \lambda w$ com $\lambda \geq 0$ ); 5. (desigualdade triangular inversa) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ . **Demonstração.** (1) e (2) são cálculos diretos sobre as partes real e imaginária. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$, e depois extraia raízes quadradas; aplique a $z \cdot z^{-1} = 1$ para o inverso. (4) Os dois lados são não negativos; compare então os quadrados: $$ \abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w), $$ e $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ dá $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$. A igualdade força $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$, isto é, $z \conj w \in \R_+$; se $w \neq 0$, isso dá $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ com $\lambda \geq 0$ (e o caso $w = 0$ é trivial). (5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ dá $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$; troque $z$ e $w$ para o outro sinal. ∎ **Exemplo 3.3 (Um exercício completo de módulo e argumento).** Ponha $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ na forma algébrica e calcule o seu [módulo](#def-b1-complex-field) de duas maneiras. Multiplicando pelo [conjugado](#def-b1-complex-field) do denominador: $$ w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu . $$ Diretamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. Pela regra do quociente ([Proposição 3.2](#prop-b1-complex-rules) (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — mesma resposta, sem precisar da forma algébrica. A lição se generaliza: [módulos](#def-b1-complex-field) e argumentos viajam bem através de produtos e quocientes; partes reais e imaginárias viajam bem através de somas. Escolha a representação que corresponde às operações em jogo e converta apenas quando for obrigado. **Exemplo 3.4 (Equações que envolvem o conjugado).** Resolva em $\C$: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. Uma equação que mistura $z$ e $\conj z$ *não* é polinomial em $z$; a jogada segura é separar em coordenadas reais. Com $z = x + \iu y$: $$ z + 2\conj z = 3x - \iu y , $$ de modo que a equação diz que $3x = 6$ e $-y = 2$: a única solução é $z = 2 - 2\iu$. (Verificação: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) Alternativamente, conjugue a equação inteira para obter $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ e resolva o sistema linear nas incógnitas $z, \conj z$ — mesma resposta, e um truque útil quando os coeficientes são complexos. Equações em $z$ e $\conj z$ são realmente sistemas de duas equações reais; esperar “grau $1$, uma solução” é seguro aqui, mas $z\conj z = -1$ (sem solução) mostra a intuição polinomial falhando assim que aparecem produtos. ## 3.2 Forma exponencial **Definição 3.5 (Exponencial complexa de argumento imaginário).** Para $\theta \in \R$ define-se $$ \eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta . $$ Todo $z \neq 0$ pode ser escrito como $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ com $r = \abs z > 0$; $\theta$ é um *argumento* de $z$, determinado a menos de um múltiplo de $2\pi$. O valor em $\intoc{-\pi}{\pi}$ é o *argumento principal*, escrito $\arg z$. **Exemplo 3.6 (Primeiros valores, e uma identidade famosa).** Lendo a definição nos ângulos cardeais: $$ \eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) . $$ A segunda, reorganizada como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, é a célebre identidade de Euler, que liga $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ e $0$; nesta altura do livro ela é uma definição sendo desenrolada, e não um teorema, e o seu verdadeiro conteúdo — por que a função exponencial analítica do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions), estendida a argumentos imaginários, merece o mesmo nome — fica resolvido pelas séries de potências do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series). Enquanto isso, vale memorizar o destaque acima como tabela de conversão: ele é usado silenciosamente sempre que um argumento é lido numa figura. **Teorema 3.7 (A equação funcional).** Para todos $\theta, \varphi \in \R$: $$ \eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}. $$ Consequentemente, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ transporta também os argumentos: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$. **Demonstração.** Expanda o produto e use as fórmulas de adição: $$ (\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi), $$ que é $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$. O [módulo](#def-b1-complex-field) é $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$, e a fórmula do [conjugado](#def-b1-complex-field) é a paridade do cosseno e do seno; ela inverte $\eu^{\iu\theta}$, pois $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$. ∎ **Corolário 3.8 (Fórmula de De Moivre).** Para $\theta \in \R$ e $n \in \Z$: $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$. **Demonstração.** Para $n \geq 0$, faça indução. O caso $n = 0$ diz $1 = 1$. Supondo a fórmula para $n$, a equação funcional ([Teorema 3.7](#thm-b1-complex-funceq)) dá $$ \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} , $$ que é a fórmula no posto $n + 1$. Para $n < 0$, escreva $n = -m$ com $m > 0$: como $\eu^{\iu m\theta}$ tem inverso $\eu^{-\iu m\theta}$ ([Teorema 3.7](#thm-b1-complex-funceq), novamente), $$ \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere $$ ∎ **Exemplo 3.9 (Expandindo cos⁡3θ\cos 3\thetacos3θ por De Moivre).** Escreva $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. De Moivre e o teorema binomial dão $$ \cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3), $$ e, identificando as partes reais e substituindo depois $s^2 = 1 - c^2$: $$ \cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta . $$ A parte imaginária fornece $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ de graça: uma identidade complexa carrega sempre *duas* identidades reais. Lida ao contrário, a identidade em destaque é a chave da clássica equação da trissecção: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ significa resolver a cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$, e é aí que a álgebra do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly) assume o comando. **Proposição 3.10 (Fórmulas de Euler).** $$ \cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}. $$ **Demonstração.** Some e, respectivamente, subtraia $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ e $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$. ∎ **Método 3.11 (Trigonometria via exponenciais).** 1. *Linearizar* $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (converter potências numa soma de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): substitua as fórmulas de Euler, expanda com o teorema binomial ( [Teorema 2.16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#thm-b1-counting-binomial) ) e reagrupe os termos [conjugados](#def-b1-complex-field) . 2. *Expandir* $\cos n\theta$ como polinômio em $\cos\theta$ : escreva $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , expanda e converta as potências pares de $\sin$ por $\sin^2 = 1 - \cos^2$ . 3. *Somar séries trigonométricas* como $\sum_k \cos k\theta$ : reconheça a parte real de uma soma geométrica $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ . 4. A *fatoração do arco metade*: para todos $p, q$, $$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$$ **Exemplo 3.12 (Linearização).** $$ \cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}. $$ Essa forma se integra imediatamente — a razão exata pela qual a linearização importa no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration). Um produto misto funciona do mesmo modo, apenas com as duas fórmulas de Euler ao mesmo tempo: $$ \sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} , $$ em que o atalho do arco duplo, no primeiro passo, poupou uma expansão binomial — sempre vale procurar por ele antes de mecanizar. **Exemplo 3.13 (Uma soma trigonométrica binomial).** Para $n \in \N$ e $\theta \in \R$, avalie $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. Reconheça a parte real de uma expansão binomial: $$ S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n , $$ e depois fatore o arco metade ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, de modo que $$ S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 . $$ A parte imaginária fornece $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ de graça. Verificações de sanidade: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$, e $\theta = \pi$ dá $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada fator $\cos\frac\pi2$ se anula), isto é, a soma alternada de uma linha do [Exemplo 2.17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#ex-b1-counting-binomial). O método — “ver a soma de cossenos como a sombra de uma potência complexa e depois fatorar arcos metade” — é exatamente o do [Exercício 3.6](#exo-b1-complex-6), com o teorema binomial no lugar da série geométrica. ## 3.3 Raízes de números complexos **Teorema 3.14 (Raízes nnn-ésimas).** Sejam $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ e $n \in \N^*$. A equação $z^n = a$ tem exatamente $n$ soluções: $$ z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 . $$ **Demonstração.** Escreva $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ($\rho > 0$). Então $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ se, e somente se, $\rho^n = r$ ([módulos](#def-b1-complex-field)) e $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumentos), isto é, $\rho = r^{1/n}$ e $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ para algum $k \in \Z$. Resta ver quando dois inteiros $k, k'$ dão o mesmo número: isso acontece exatamente quando os ângulos diferem por um múltiplo de $2\pi$, $$ \frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' . $$ Pela divisão euclidiana, todo $k \in \Z$ é congruente módulo $n$ a exatamente um elemento de $\{0, 1, \dots, n-1\}$, de modo que esse intervalo lista cada solução uma única vez e a contagem é exatamente $n$. (O mesmo argumento, feito dentro de $\mathbb U_n$, mostra que as raízes formam um $n$-ágono regular: valores consecutivos de $k$ rodam pelo ângulo fixo $\frac{2\pi}n$.) ∎ **Exemplo 3.15 (Raízes cúbicas de −27-27−27).** Resolva $z^3 = -27$. Forma exponencial do lado direito: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, de modo que as três raízes são $$ z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} . $$ Duas verificações. Primeiro, a raiz real $-3$ é a evidente, e as outras duas são suas rotações de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ e $-3j^2$. Segundo, a álgebra confirma: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, e a equação do segundo grau tem discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ com raízes $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$. A ideia: para lados direitos reais, as raízes não reais vêm sempre em pares [conjugados](#def-b1-complex-field), de modo que uma figura do [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) solução é simétrica em relação ao eixo real — uma antecipação do teorema de fatoração real do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly). **Exemplo 3.16 (Um lado direito não real).** Resolva $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$. Forma exponencial do lado direito: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$, argumento $\theta$ com $\cos\theta = -\frac12$, $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$, isto é, $\theta = \frac{2\pi}3$. As quatro raízes são $$ z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3, $$ $$ z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 . $$ (Verificação: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$, logo $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$.) Uma vez encontrada *uma* raiz, as outras três saem de graça: são as suas rotações sucessivas de $\frac\pi2$, isto é, os seus produtos pelas raízes quartas da unidade — a estrutura geral por trás do [Teorema 3.14](#thm-b1-complex-roots), que vale explorar antes de recalcular cada raiz do zero. Desta vez não há simetria conjugada: o lado direito não é real. **Definição 3.17 (Raízes da unidade).** As *raízes $n$-ésimas da unidade* são as soluções de $z^n = 1$: $$ \mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}. $$ Elas formam um grupo com a multiplicação ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#ch-b1-structures)) e ocupam os vértices de um $n$-ágono regular inscrito no círculo unitário. ![As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: um pentágono regular no círculo unitário.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-8a472e96bb29.svg) *As raízes quintas da unidade, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: um pentágono regular no círculo unitário.* **Proposição 3.18 (Soma das raízes da unidade).** Para $n \geq 2$, as raízes $n$-ésimas da unidade somam zero: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$. **Demonstração.** Soma geométrica de razão $\omega \neq 1$: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$, pois $\omega^n = 1$. ∎ **Exemplo 3.19 (Lendo as partes real e imaginária).** Separar $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ em partes real e imaginária fornece duas identidades trigonométricas de graça: $$ \sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2). $$ Geometricamente: o baricentro de um $n$-ágono regular inscrito no círculo unitário é o seu centro — os vértices se equilibram exatamente. Para $n = 5$, a primeira identidade dá $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (emparelhando $k$ com $n - k$), ponto de partida do cálculo de $\cos\frac{2\pi}5$ feito no [Exercício 3.8](#exo-b1-complex-8). **Exemplo 3.20 (Raízes quadradas na forma algébrica).** Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sem trigonometria, ponha $z = x + \iu y$: $$ x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 . $$ Somando a primeira e a última: $x^2 = 4$, logo $x = \pm 2$, e então $y = 2/x = \pm 1$ com o *mesmo* pareamento de sinais ($xy = 2 > 0$): $z = \pm(2 + \iu)$. Combinado com a fórmula usual, isso resolve toda equação do segundo grau com coeficientes complexos ([Exercício 3.7](#exo-b1-complex-7)). ## 3.4 Números complexos e geometria plana **Proposição 3.21 (Dicionário geométrico).** Identifique o ponto $M(x, y)$ do plano com o seu *afixo* $z = x + \iu y$. Para pontos distintos $A, B, C$ de afixos $a, b, c$: 1. $\abs{b - a}$ é a distância $AB$ ; 2. $\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ é o ângulo entre os vetores $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ (mód. $2\pi$ ); 3. $A, B, C$ são colineares se, e somente se, $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; as retas $AB$ e $AC$ são perpendiculares se, e somente se, $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ . **Demonstração.** (1) é a definição do [módulo](#def-b1-complex-field) aplicada a $b - a$, o afixo de $\vect{AB}$. (2): escreva $b - a = r\eu^{\iu\theta}$, $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$; então $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ tem argumento $\varphi - \theta$, o ângulo de $\vect{AB}$ a $\vect{AC}$. (3): a colinearidade significa ângulo $0$ ou $\pi$, isto é, argumento em $\pi\Z$, isto é, o quociente é real; a perpendicularidade significa ângulo $\pm\frac\pi2$, isto é, o quociente é puramente imaginário. (O quociente é não nulo, pois $C \neq A$.) ∎ **Observação 3.22 (Interlúdio: C\CC é o plano com uma multiplicação).** Vale a pena parar para pensar no que torna este capítulo possível: o plano $\R^2$ carrega adições em todas as direções, mas nenhuma multiplicação dada de antemão — e $\C$ *é* o plano equipado com uma, na qual multiplicar por um número fixo gira e dilata. Essa única estrutura será explorada mais três vezes neste volume. No [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices), a multiplicação por $a + \iu b$ reaparece como a matriz $2 \times 2$ de linhas $(a, -b)$ e $(b, a)$: a aritmética complexa é uma primeira família, inteiramente concreta, de produtos de matrizes. No [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), a fórmula $\Re(\conj z\,w)$ revela-se o produto interno, e $\abs z$ a norma euclidiana: a desigualdade triangular demonstrada aqui é o modelo da história de Cauchy–Schwarz de lá. E no [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves), um ponto em movimento é mais bem escrito como $t \mapsto z(t)$, de modo que a velocidade e a aceleração se tornam derivadas de valores complexos — o movimento circular, por exemplo, é simplesmente $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$. Uma boa multiplicação, quatro capítulos de dividendos. **Proposição 3.23 (Aplicações z↦az+bz \mapsto az + bz↦az+b).** Sejam $a \in \C^*$, $b \in \C$. A transformação $f(z) = az + b$ do plano: - é uma translação se $a = 1$ ; - caso contrário, tem um único ponto fixo $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , e $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ é a rotação de centro $\zeta$ e ângulo $\arg a$ , composta com a homotetia de centro $\zeta$ e razão $\abs a$ . Em particular, $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ é a rotação de ângulo $\theta$ em torno da origem, e $\conj z$ é a reflexão no eixo real. **Demonstração.** Se $a = 1$, $f(z) = z + b$ translada pelo vetor de afixo $b$. Se $a \neq 1$, a equação de ponto fixo $z = az + b$ tem a única solução $\zeta = \frac{b}{1-a}$, e então $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$. Escrevendo $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$, a multiplicação por $a$ dilata as distâncias a $\zeta$ pelo fator $\abs a$ e soma $\arg a$ aos ângulos em $\zeta$, o que é a composição anunciada. ∎ **Exemplo 3.24 (Classificando uma aplicação z↦az+bz \mapsto az+bz↦az+b).** Tome $f(z) = \iu z + 1$. Aqui $a = \iu \neq 1$: o ponto fixo é $$ \zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2}, $$ e, como $\abs a = 1$, não há dilatação alguma: $f$ é a rotação pura de centro $\frac{1+\iu}2$ e ângulo $\arg \iu = \frac\pi2$. Verificação: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$, e $f(0) = 1$, $f(1) = 1 + \iu$, $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$: os quatro pontos $0, 1, 1+\iu, \iu$ do quadrado unitário giram em torno do seu centro $\zeta$, um quarto de volta de cada vez — exatamente o que uma rotação de $\frac\pi2$ em torno do centro do quadrado deve fazer. ![A aplicação f(z) = z + 1 do : uma rotação de um quarto de volta em torno do ponto fixo = 1+ 2. Os vértices do quadrado unitário percorrem o ciclo 0 1 1+ 0; nenhum ponto se move ao longo de uma reta, e no entanto o quadrado inteiro gira rigidamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-93c487327b70.svg) *A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $f(z) = \iu z + 1$ do [Exemplo 3.24](#ex-b1-complex-classify): uma rotação de um quarto de volta em torno do ponto fixo $\zeta = \frac{1+\iu}2$. Os vértices do quadrado unitário percorrem o ciclo $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$; nenhum ponto se move ao longo de uma reta, e no entanto o quadrado inteiro gira rigidamente.* **Observação 3.25 (Armadilhas frequentes com módulos e argumentos).** 1. *Não há desigualdades em $\C$.* Escrever $z \leq w$ para números não reais não faz sentido; só [módulos](#def-b1-complex-field) , partes reais e partes imaginárias podem ser comparados. 2. *$\sqrt{\phantom z}$ está reservado a $\R_+$.* Todo número complexo não nulo tem *duas* raízes quadradas e nenhuma delas é privilegiada: escreva “seja $\delta$ uma raiz quadrada de $\Delta$ ” (calculada como no [Exemplo 3.20](#ex-b1-complex-sqrt) ), nunca $\sqrt\Delta$ — a regra $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ já falha em $a = b = -1$ . 3. *Os argumentos vivem módulo $2\pi$.* De $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ conclua $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , e não $\alpha = \beta$ ; esquecer o $2k\pi$ é como os [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) solução de $z^n = a$ perdem $n - 1$ dos seus $n$ elementos. 4. *$\abs{z + w}$ não é $\abs z + \abs w$.* A igualdade na desigualdade triangular é o caso excepcional de alinhamento ( [Proposição 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)); em geral, o [módulo](#def-b1-complex-field) de uma soma deve ser estimado, e não calculado. **Exemplo 3.26.** $A, B, C$ (de afixos $a, b, c$, dois a dois distintos) formam um triângulo equilátero com os vértices em ordem direta (anti-horária) se, e somente se, $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$: a rotação de centro $A$ e ângulo $\frac\pi3$ leva $B$ em $C$. As duas orientações juntas ficam captadas pela equação simétrica $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ ([Exercício 3.10](#exo-b1-complex-10)). **Observação 3.27 (Onde este capítulo é usado).** A forma exponencial é o recurso de cálculo mais reutilizado do volume. As [raízes da unidade](#def-b1-complex-unity) tornam-se o exemplo padrão de grupo cíclico no [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#ch-b1-structures) e conduzem a fatoração de $X^n - 1$ no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly); agrupar ali as raízes conjugadas produz as fatorações reais usadas pelas frações parciais no [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#ch-b1-fractions). A linearização ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig)) é a preparação usual para integrar potências trigonométricas no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration), e as equações características do [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#ch-b1-diffeq) têm raízes complexas cujas partes real e imaginária produzem as soluções oscilantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$. O dicionário geométrico volta em roupagem matricial: rotações e semelhanças tornam-se as matrizes ortogonais do Capítulos [21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) e [23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), e as curvas parametrizadas do [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) são muitas vezes mais bem escritas como aplicações $t \mapsto z(t) \in \C$. ## 3.5 Exercícios **Exercício 3.1 ★.** Ponha na forma exponencial: $1 + \iu$; $\;\sqrt 3 - \iu$; $\;-5$; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$. Deduza $\cos\frac{5\pi}{12}$ e $\sin\frac{5\pi}{12}$. **Solução de Exercício 3.1.** $1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$; $$ \frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}. $$ Calculando o mesmo quociente algebricamente (multiplique pelo [conjugado](#def-b1-complex-field)): $$ \frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}. $$ Identificando com $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$: $$ \cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}. $$ **Exercício 3.2 ★.** Calcule $(1 + \iu)^{20}$. Para quais $n \in \N$ o número $(1 + \iu)^n$ é real? **Solução de Exercício 3.2.** $(1+\iu)^2 = 2\iu$, logo $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$. Na forma exponencial, $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$, que é real se, e somente se, $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$, isto é, $4 \mid n$. Logo $(1+\iu)^n \in \R$ exatamente para os múltiplos de $4$ (com valor $(-4)^{n/4}$). **Exercício 3.3 ★.** Descreva geometricamente o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos $z \in \C$ tais que: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; $\;\abs{z - 1} = 2$; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (para $z \neq -1$). **Solução de Exercício 3.3.** $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$: equidistância dos pontos $2$ e $-\iu$ — a mediatriz do segmento que liga $(2, 0)$ a $(0, -1)$. $\abs{z - 1} = 2$: o círculo de centro $1$ e raio $2$. $\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$: pela [Proposição 3.21](#prop-b1-complex-geometry) (3), os pontos $M(z)$, $A(1)$, $B(-1)$ satisfazem: as retas $MA$ e $MB$ são perpendiculares (ou $z = 1$, caso em que o quociente é $0 \in \iu\R$). O [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) é o círculo de diâmetro $[-1, 1]$ (o círculo unitário), menos o ponto $-1$, em que o quociente não está definido. *Verificação por cálculo:* $z = \eu^{\iu\theta}$ dá $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$. **Exercício 3.4 ★.** Linearize $\sin^4\theta$ e expanda $\cos 4\theta$ como polinômio em $\cos\theta$. **Solução de Exercício 3.4.** Linearização: $$ \sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}. $$ Expansão: por De Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ com $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$; substituindo $s^2 = 1 - c^2$: $$ \cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 . $$ **Exercício 3.5 ★.** Resolva $z^3 = 8\iu$ e situe as soluções numa figura. Resolva $z^4 = -4$ e fatore $X^4 + 4$ em dois polinômios reais do segundo grau. **Solução de Exercício 3.5.** $8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$, de modo que as raízes cúbicas são $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$, $k = 0, 1, 2$: $$ z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu : $$ um triângulo equilátero no círculo de raio $2$. $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$, de modo que $z^4 = -4$ tem soluções $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$: $\;1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$. Emparelhando as raízes conjugadas: $$ X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr), $$ pois $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$, e analogamente para o outro par. (Expanda para conferir.) **Exercício 3.6 ★★.** Para $\theta \in \R$ com $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ e $n \in \N$, calcule $$ C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{e}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta $$ somando a série geométrica $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ e usando a fatoração do arco metade. **Solução de Exercício 3.6.** $C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (soma geométrica, de razão $\eu^{\iu\theta} \neq 1$). Fatoração do arco metade ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)) no numerador e no denominador: $$ \frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}. $$ Tomando as partes real e imaginária: $$ C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}. $$ **Exercício 3.7 ★★.** Resolva em $\C$: $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$. *(Calcule o discriminante e extraia suas raízes quadradas como no [Exemplo 3.20](#ex-b1-complex-sqrt).)* **Solução de Exercício 3.7.** Discriminante: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$. Raízes quadradas de $-3 + 4\iu$: resolva $x^2 - y^2 = -3$, $2xy = 4$, $x^2 + y^2 = 5$; então $x^2 = 1$, $y = 2/x$, com os mesmos sinais: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$. Portanto $$ z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}. $$ *Verificação:* a soma vale $= 3 + 4\iu$ e o produto $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$, como os coeficientes exigem. **Exercício 3.8 ★★.** Seja $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$. 1. Justifique que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ . 2. Ponha $u = \omega + \omega^4$ e $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calcule $u + v$ e $uv$ , e deduza que $u$ e $v$ são as raízes de $X^2 + X - 1$ . 3. Conclua que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ . **Solução de Exercício 3.8.** 1. [Proposição 3.18](#prop-b1-complex-sumroots) com $n = 5$ . 2. $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$, por (1). Para o produto, expanda e reduza os expoentes módulo $5$: $$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$$ Assim, $u$ e $v$ têm soma $-1$ e produto $-1$: são as duas raízes de $X^2 + X - 1$. 3. $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (o ângulo é agudo), e a raiz positiva de $X^2 + X - 1$ é $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Portanto, $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ . **Exercício 3.9 ★★.** Demonstre que, para todos $z, w \in \C$ (identidade do paralelogramo): $$ \abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 , $$ e interprete-a geometricamente no paralelogramo de vértices $0, z, w, z + w$. **Solução de Exercício 3.9.** Expanda os dois quadrados como na demonstração da [Proposição 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4): $$ \abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w), $$ e some. Geometricamente, $\abs{z+w}$ e $\abs{z-w}$ são os comprimentos das duas diagonais do paralelogramo de vértices $0, z, z+w, w$, ao passo que $\abs z$ e $\abs w$ são os comprimentos dos lados: a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados. **Exercício 3.10 ★★★.** Demonstre que três pontos dois a dois distintos, de afixos $a, b, c$, formam um triângulo equilátero (em qualquer orientação) se, e somente se, $$ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca . $$ *Sugestão: o caso direto é $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ e o caso indireto $\frac{c-a}{b-a} = -j$, em que $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ satisfaz $j^2 + j + 1 = 0$; ou fatore $a + jb + j^2c$ e $a + j^2 b + jc$.* **Solução de Exercício 3.10.** Seja $j = \eu^{2\iu\pi/3}$, de modo que $j^2 + j + 1 = 0$ e $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$, $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$. O triângulo é equilátero direto se, e somente se, $c - a = -j^2 (b - a)$, e indireto se, e somente se, $c - a = -j(b - a)$ ([Exemplo 3.26](#ex-b1-complex-equilateral)). Considere $P = a + jb + j^2 c$ e $Q = a + j^2 b + jc$. Usando $1 + j^2 = -j$ e $j^3 = 1$: $$ c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP, $$ de modo que o caso direto diz $jP = 0 \iff P = 0$; o mesmo cálculo com $j$ no lugar de $j^2$ dá $c - a + j(b - a) = j^2 Q$, de sorte que o caso indireto diz $Q = 0$. Portanto: equilátero (em qualquer orientação) $\iff PQ = 0$. Expandindo, com $j + j^2 = -1$: $$ PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca). $$ Assim, o triângulo é equilátero se, e somente se, $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$. **Exercício 3.11 ★★★.** Para $n \in \N^*$, avalie $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$, em que $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$. *Sugestão: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$; divida por $X - 1$ e avalie em $X = 1$.* Deduza que $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$. **Solução de Exercício 3.11.** Como os $\omega^k$, $k = 0, \dots, n-1$, são exatamente as $n$ raízes de $X^n - 1$ ([Teorema 3.14](#thm-b1-complex-roots)), e o polinômio é mônico: $$ X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k). $$ Dividindo por $X - 1$: $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$. Avaliando em $X = 1$, obtém-se $P = n$. Agora, $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$, de modo que, tomando [módulos](#def-b1-complex-field) em $P = n$ (cada $\sin\frac{k\pi}n > 0$ para $1 \leq k \leq n-1$): $$ n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{logo}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} . $$ **Exercício 3.12 ★★.** Seja $n \geq 2$. Resolva a equação $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ em $\C$: mostre que ela tem exatamente $n - 1$ soluções, todas puramente imaginárias, a saber, $$ z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 . $$ *Sugestão: $z = 1$ não é solução; divida e use as [raízes da unidade](#def-b1-complex-unity); depois aplique a fatoração do arco metade do [Método 3.11](#met-b1-complex-trig).* **Solução de Exercício 3.12.** $z = 1$ não é solução ($2^n \neq 0$), de modo que a equação é equivalente a $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$, isto é, $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ com $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ e $k \in \{0, \dots, n-1\}$. O valor $k = 0$ está excluído ($z + 1 = z - 1$ é impossível). Para $1 \leq k \leq n - 1$, resolver $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ dá $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$, de modo que, com $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ e as fatorações do arco metade $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$, $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$: $$ z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} , $$ puramente imaginário, como afirmado. A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $t \mapsto \cos t/\sin t$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) em $\intoo0\pi$ (é estritamente decrescente), de modo que os $n - 1$ valores $z_k$ são dois a dois distintos: a equação, de grau $n - 1$ uma vez expandida (os termos $z^n$ se cancelam), tem exatamente essas $n - 1$ soluções. ## 3.6 Problema: O teorema de Napoleão **Problema 3.1.** Erga um triângulo equilátero para fora sobre cada lado de um triângulo *arbitrário*: os três centros desses triângulos formam sempre um triângulo equilátero. Este é o teorema de Napoleão — um enunciado sem razão visível para ser verdadeiro, que a álgebra de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ demonstra em três linhas de cálculo. Este problema constrói todo o instrumental (rotações, semelhanças diretas, o critério de $j$ do [Exercício 3.10](#exo-b1-complex-10)), demonstra o teorema de Napoleão nas versões interna e externa, localiza o caso degenerado e se encerra com uma segunda joia da mesma escola: o teorema de van Schooten sobre triângulos equiláteros e a desigualdade de Ptolomeu. Ao longo do problema, os pontos do plano são identificados com os seus afixos. **Parte I — O número $j$ e as rotações.** 1. Calcule a forma algébrica de $j$ , depois $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ e $j^{-1}$ . Situe $1$ , $j$ , $j^2$ num esboço do círculo unitário. 2. Mostre que a rotação de centro $a$ e ângulo $\theta$ é $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , e que a composta de duas rotações, de ângulos $\theta$ e $\theta'$ , é uma rotação de ângulo $\theta + \theta'$ se $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , e uma translação caso contrário. (Use a [Proposição 3.23](#prop-b1-complex-similitude) .) 3. Sejam $b \neq c$ . Mostre que existem exatamente dois pontos $p$ que tornam $(b, c, p)$ equilátero, a saber, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para um triângulo *direto* $(a, b, c)$ , verifique no exemplo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ que a escolha $\eu^{-\iu\pi/3}$ é a que fica do lado da reta $BC$ oposto a $a$ — o ápice *externo* . 4. Pela solução do [Exercício 3.10](#exo-b1-complex-10), $(a, b, c)$ é equilátero direto se, e somente se, $a + jb + j^2c = 0$. Demonstre as duas identidades de rotação $$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$$ e deduza que o critério é invariante por [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) cíclica de $(a, b, c)$. 5. Mostre que, se $a + jb + j^2c = 0$ e dois dos três pontos coincidem, então os três coincidem. (Assim, o critério caracteriza exatamente: triângulo equilátero direto, ou um único ponto.) **Parte II — Semelhanças diretas.** 1. Mostre que as aplicações $f(z) = az + b$ com $a \in \C^*$ ( *semelhanças diretas* ) são estáveis por composição e por inversão: a composta de duas delas, e a inversa de qualquer uma delas, é de novo dessa forma. (Na linguagem do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#ch-b1-structures) : elas formam um grupo.) 2. Dados $z_1 \neq z_2$ e $w_1 \neq w_2$ , mostre que existe uma *única* semelhança direta $f$ com $f(z_1) = w_1$ e $f(z_2) = w_2$ , e dê $a$ e $b$ explicitamente. 3. Mostre que uma semelhança direta $f(z) = az + b$ multiplica todas as distâncias por $\abs a$ e preserva a *forma* $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de qualquer triângulo $(a', b', c')$ *(numerador e denominador são ambos multiplicados por $a$)* . Deduza que dois triângulos são diretamente semelhantes exatamente quando as suas formas são iguais. 4. Determine completamente a semelhança direta com $f(0) = 1$ e $f(1) = \iu$ : dê $a$ , $b$ , o ponto fixo, a razão e o ângulo. 5. Seja $\alpha + \beta = 1$ . Mostre que o “ponto ponderado” $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ comuta com toda semelhança direta: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Deduza que baricentros, pontos médios e os centros de Napoleão abaixo são todos transportados pelas semelhanças — a licença algébrica por trás de todo argumento do tipo “sem perda de generalidade, coloque o círculo circunscrito no círculo unitário”. **Parte III — O teorema de Napoleão.** Seja $(a, b, c)$ um triângulo direto. Sobre cada lado, erga o triângulo equilátero externo (questão 3) e sejam $n_a$, $n_b$, $n_c$ os centros (baricentros) dos triângulos erguidos sobre $[b, c]$, $[c, a]$ e $[a, b]$, respectivamente. 1. Mostre que $$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{com}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$$ 2. Verifique que $\alpha + \beta = 1$ e deduza que o triângulo $(n_a, n_b, n_c)$ tem o *mesmo baricentro* que $(a, b, c)$ . 3. Usando as identidades da questão 4, mostre que $$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$$ 4. Calcule $\alpha j + \beta$ e conclua: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , de modo que $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ para *todo* triângulo: o triângulo externo de Napoleão é equilátero direto (ou um ponto). O teorema de Napoleão está demonstrado. 5. Erga os triângulos equiláteros *para dentro* (escolha $\eu^{+\iu\pi/3}$ na questão 3) e sejam $m_a, m_b, m_c$ os seus centros. Mostre que $m_a = \beta b + \alpha c$ (e ciclicamente), e depois demonstre que $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : o triângulo interno de Napoleão também é equilátero, com a orientação oposta. 6. Localize a degenerescência: mostre que $n_a = n_b = n_c$ acontece exatamente quando $a + j^2 b + jc = 0$ , isto é, quando $(a, b, c)$ é um triângulo equilátero *indireto* . *(Dois pontos entre $n_a, n_b, n_c$ coincidem se, e somente se, os três coincidem, pela questão 5; depois use $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ e verifique que $\alpha + \beta j \neq 0$.)* 7. Faça o cálculo completo no triângulo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : dê $n_a, n_b, n_c$ exatamente e verifique, pelo cálculo direto dos três quadrados dos comprimentos dos lados, que o triângulo é equilátero, de lado ao quadrado $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ . **Parte IV — Ptolomeu e van Schooten.** 1. Demonstre a identidade, válida para todos os complexos $a, b, c, d$: $$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$$ 2. Deduza a *desigualdade de Ptolomeu*: para quaisquer quatro pontos $A, B, C, D$, $$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$$ com igualdade se, e somente se, $(a-b)(c-d)$ e $(a-d)(b-c)$ estão numa mesma semirreta com origem em $0$. 3. Mostre que, para $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ . 4. (Teorema de van Schooten) Seja $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — pela Parte II, isso não implica perda de generalidade entre os triângulos equiláteros diretos — e seja $p = \eu^{\iu\theta}$ com $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, um ponto do círculo circunscrito sobre o arco $BC$ que não contém $A$. Demonstre que $$PA = PB + PC .$$ *(Exprima as três distâncias com a questão 20 e use uma fórmula de transformação de soma em produto.)* 5. Verifique em $p = -1$ que isso é exatamente o caso de igualdade da desigualdade de Ptolomeu para a ordem cíclica $A, B, P, C$ : calcule $(a - b)(p - c)$ e $(a - c)(b - p)$ e confira que a razão entre eles é um real positivo. **Parte V — Síntese.** 1. Calcule o triângulo externo de Napoleão do próprio triângulo equilátero $(1, j, j^2)$ e descreva o resultado geometricamente. 2. Onde exatamente o problema usou: (i) a multiplicação como rotação; (ii) a estrutura de grupo das semelhanças e o invariante de forma; (iii) a fatoração do arco metade do [Método 3.11](#met-b1-complex-trig) ? Uma frase para cada. 3. Num parágrafo curto, articule a moral do problema: o que o dicionário entre a geometria plana e a álgebra de $\C$ compra, o que ele custa e qual dos dois passos da demonstração — a identidade $\alpha j + \beta = 0$ ou a figura clássica — *explica* melhor, a seu ver, o teorema de Napoleão. Mencione um lugar em que o dicionário reaparecerá em forma matricial mais adiante neste volume. **Solução de Problema 3.1.** **1.** $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$; $j^3 = 1$; $1 + j + j^2 = 0$ (soma das raízes cúbicas da unidade, [Proposição 3.18](#prop-b1-complex-sumroots)); $j^{-1} = j^2$ (pois $j \cdot j^2 = 1$). No círculo unitário, $1$, $j$, $j^2$ são os vértices de um triângulo equilátero direto. **2.** A rotação de centro $a$ e ângulo $\theta$ fixa $a$ e gira de $\theta$ todo vetor com origem em $a$: $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$, isto é, $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$. Compondo $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ e $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$: $$ r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constante}, $$ uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) da forma $Az + B$ com $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de módulo $1$. Pela [Proposição 3.23](#prop-b1-complex-similitude), trata-se de uma rotação de ângulo $\arg A = \theta + \theta'$ se $A \neq 1$, e de uma translação se $A = 1$, isto é, se $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$. **3.** $(b, c, p)$ é equilátero se, e somente se, $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$. Escrevendo $q = \frac{p - b}{c - b}$, a primeira igualdade diz que $\abs q = 1$ e a segunda que $\abs{q - 1} = 1$; juntas, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (os dois pontos de interseção dos círculos $\abs q = 1$ e $\abs{q - 1} = 1$ são $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$). Portanto, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$. Para $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$ (um triângulo direto): a escolha $\eu^{-\iu\pi/3}$ dá $$ p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu , $$ que fica do lado da reta $BC$ ($x + y = 1$) oposto a $a = 0$: para fora. A escolha $\eu^{+\iu\pi/3}$ dá $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$, do mesmo lado que $a$: para dentro. **4.** Multiplique $P = a + jb + j^2c$ por $j^2$: $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (usando $j^3 = 1$, $j^4 = j$); e por $j$: $jP = ja + j^2 b + c$. Estas são as duas identidades. Se $P = 0$, então $j^2 P = jP = 0$: o critério vale também para $(b, c, a)$ e $(c, a, b)$ — invariância cíclica (como deve ser: um triângulo equilátero não se importa com qual vértice é listado primeiro). **5.** Se $a = b$: $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (usando $1 + j = -j^2$), logo $c = a$. Se $b = c$: $0 = a + b(j + j^2) = a - b$, logo $a = b$. Se $a = c$: $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$, logo $a = b$. Em cada caso, os três pontos coincidem. **6.** $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ com $a'a \neq 0$: mesma forma. A inversa de $z \mapsto az + b$ é $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$, de novo da mesma forma. Com a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) identidade como elemento neutro, as semelhanças diretas formam um grupo com a composição. **7.** $f(z) = az + b$ satisfaz $f(z_1) = w_1$, $f(z_2) = w_2$ se, e somente se, $a z_1 + b = w_1$ e $a z_2 + b = w_2$; subtraindo, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$, de modo que $$ a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1 $$ ficam forçados e, reciprocamente, essa escolha funciona: existência e unicidade. **8.** $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$: todas as distâncias são multiplicadas por $\abs a$. Quanto à forma: $$ \frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} . $$ Se dois triângulos $(a', b', c')$ e $(a'', b'', c'')$ têm formas iguais, seja $f$ a única semelhança direta com $f(a') = a''$ e $f(b') = b''$ (questão 7); então a forma de $(a'', b'', f(c'))$ é igual à de $(a', b', c')$ e, portanto, à de $(a'', b'', c'')$, e a forma determina o terceiro vértice a partir dos dois primeiros: $f(c') = c''$. Reciprocamente, a igualdade das formas decorre da invariância exibida. **9.** $b = f(0) = 1$; $a + b = f(1) = \iu$ dá $a = \iu - 1$. Razão $\abs a = \sqrt2$, ângulo $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$. Ponto fixo: $$ \zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 . $$ Assim, $f$ é a semelhança direta de centro $\frac{2+\iu}5$, razão $\sqrt2$ e ângulo $\frac{3\pi}4$. **10.** Com $\alpha + \beta = 1$ e $f(z) = az + b$: $$ f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') , $$ sendo a chave $b = (\alpha + \beta)b$. Os pontos médios ($\alpha = \beta = \frac12$), os baricentros (itere) e os centros de Napoleão $\alpha b + \beta c$ abaixo são, portanto, *equivariantes*: transformar o triângulo os transforma na mesma medida. Assim, demonstrar um enunciado invariante por semelhança para um triângulo bem posicionado demonstra-o para todos — a licença usada na questão 21. **11.** O ápice externo sobre $[b, c]$ é $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (questão 3), de modo que o centro é $$ n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c , $$ com $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ e $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$. O mesmo cálculo sobre os lados $[c, a]$ e $[a, b]$ dá $n_b = \alpha c + \beta a$ e $n_c = \alpha a + \beta b$ (deslocamento cíclico dos papéis). **12.** $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$. Portanto, $$ \frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 : $$ os dois triângulos têm o mesmo baricentro. **13.** Agrupe por $\alpha$ e $\beta$ e aplique as identidades da questão 4 a $P = a + jb + j^2c$: $$ n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P . $$ **14.** Com $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$: $$ \alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta , $$ logo $\alpha j + \beta = 0$, e portanto $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$, e a questão 13 dá $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ para todo triângulo $(a, b, c)$. Pelo critério (questões 4–5), os centros formam um triângulo equilátero direto ou um único ponto: o teorema de Napoleão. **15.** O ápice interno é $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$, e o cálculo da questão 11 com $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ troca $\alpha$ por $\beta$: $m_a = \beta b + \alpha c$, $m_b = \beta c + \alpha a$, $m_c = \beta a + \alpha b$. Usando as identidades análogas $b + j^2c + ja = j\,Q$ e $c + j^2a + jb = j^2 Q$ para $Q = a + j^2b + jc$: $$ m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 , $$ pois $\alpha j = -\beta$ (questão 14). Assim, os centros internos satisfazem o critério equilátero *indireto*: equiláteros com a orientação oposta (ou um ponto). **16.** Pela questão 5 aplicada à tripla $(n_a, n_b, n_c)$ (que satisfaz o critério direto), dois centros coincidem se, e somente se, os três coincidem; e os três coincidem se, e somente se, *ambos* os critérios valem, isto é, se, adicionalmente, $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$. Calcule como na questão 13, com as identidades $b + j^2c + ja = jQ$, $c + j^2a + jb = j^2Q$: $$ n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q . $$ Diretamente: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$, de modo que $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$. Portanto, o triângulo externo de Napoleão degenera se, e somente se, $Q = a + j^2b + jc = 0$, isto é, se, e somente se, $(a, b, c)$ é um triângulo equilátero indireto — caso em que as construções “para fora” apontam todas para a região circunscrita ao triângulo e partilham um mesmo centro. **17.** Com $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$: $$ n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 . $$ Lados ao quadrado: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ dá $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ dá $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ dá de novo o mesmo valor. Os três lados ao quadrado valem $\frac{2 + \sqrt3}3$: equilátero, como prometido. **18.** Expandindo: $$ (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd , $$ e $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$: iguais. **19.** Tome [módulos](#def-b1-complex-field) na questão 18 e aplique a desigualdade triangular ([Proposição 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)): $$ AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC , $$ com igualdade se, e somente se, as duas parcelas estão numa mesma semirreta com origem em $0$ (o caso de igualdade da desigualdade triangular). **20.** Fatoração do arco metade ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$, e tomar [módulos](#def-b1-complex-field) mata os fatores de módulo $1$: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$. **21.** Com $p = \eu^{\iu\theta}$, $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, a questão 20 dá $$ PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} . $$ No arco, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$: então $\sin\frac\theta2 > 0$; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$, de modo que o segundo seno é positivo; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$, de modo que o terceiro é negativo e $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$. Transformando soma em produto: $$ \sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 , $$ logo $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$: o teorema de van Schooten. **22.** Em $p = -1$: $PA = 2$, $PB = PC = 1$ e todos os lados do triângulo equilátero têm comprimento $\sqrt3$, de modo que os dois lados de Ptolomeu valem $2\sqrt3$. Algebricamente, usando $-1 - j^2 = j$ e $1 + j = -j^2$: $$ (a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 , $$ $$ (a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 . $$ Os dois termos são iguais, logo a sua razão é $1 \in \R_{>0}$: o caso de igualdade da questão 19, correspondendo exatamente a $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$. **23.** Para $(a, b, c) = (1, j, j^2)$: $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (questão 14) $= \beta(j^2 - 1)$; numericamente, $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$. Do mesmo modo, $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ e $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$. O triângulo externo de Napoleão de $(1, j, j^2)$ é $(-1, -j, -j^2)$: o triângulo original refletido através do seu baricentro $0$ — mesmo tamanho, girado de meia volta. Um triângulo equilátero é uma forma fixa da construção de Napoleão, e não um limite que encolhe. **24.** (i) A multiplicação por um número de módulo $1$ como rotação construiu os ápices e os centros (questões 2–3 e 11) e converteu distâncias no círculo em senos (questão 20). (ii) A estrutura de grupo e o invariante de forma justificaram normalizar o círculo circunscrito ao círculo unitário e o triângulo a $(1, j, j^2)$ na questão 21, via a equivariância da questão 10. (iii) A fatoração do arco metade alimentou tanto a questão 20 quanto o passo de soma em produto que encerra van Schooten. **25.** O dicionário converte enunciados geométricos em identidades polinomiais nas quais toda hipótese é uma equação: o que ele compra é mecanização — o teorema de Napoleão reduzido a $\alpha j + \beta = 0$, uma linha de aritmética em $\Q(\iu\sqrt3)$; o que ele custa é visibilidade geométrica — o cálculo certifica, mas não mostra *por que* os centros se fecham num triângulo equilátero. Uma resposta justa é que a identidade explica a *inevitabilidade* do teorema (ela vale identicamente em $a, b, c$, de modo que nenhuma esperteza de configuração está em jogo), ao passo que a figura explica o seu *conteúdo*. O mesmo dicionário volta em forma matricial quando as rotações se tornam as matrizes ortogonais $2 \times 2$ do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices) e do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/23-espacos-euclidianos#ch-b1-euclid), em que “multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$” é o protótipo de uma isometria linear.