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title: "Estruturas Algébricas"
book: "Matemática universitária — Graduação 1"
subject: math
language: pt
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas
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# Capítulo 7 — Estruturas Algébricas

As mesmas regras de cálculo reaparecem sem cessar: inteiros, números reais, números complexos, classes de [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) e, em breve, polinômios ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly)), vetores e matrizes (Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces) e [21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices)). A álgebra extrai os padrões comuns e lhes dá nome: *[grupo](#def-b1-structures-group)*, *[anel](#def-b1-structures-ring)*, *[corpo](#def-b1-structures-field)*. Demonstrar um fato uma vez, no nível da estrutura, demonstra-o para todos os exemplos de uma só vez.

## 7.1 Leis de composição

**Definição 7.1.**

Uma *lei de composição* num [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $E$ é uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $E \times E \to E$, escrita $(x, y) \mapsto x * y$. Ela é *associativa* quando $(x*y)*z = x*(y*z)$ sempre, e *comutativa* quando $x * y = y * x$ sempre. Um elemento $e$ é um *neutro* quando $e * x = x * e = x$ para todo $x$; então $x'$ é um *inverso* de $x$ quando $x * x' = x' * x = e$.

**Proposição 7.2 (Unicidade).**

Uma lei tem no máximo um neutro; para uma lei associativa com neutro, cada elemento tem no máximo um inverso.

**Demonstração.** Se $e$ e $e'$ são neutros: $e = e * e' = e'$. Se $x'$ e $x''$ invertem $x$: $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x''
= x''$. ∎

## 7.2 Grupos

**Definição 7.3 (Grupo).**

Um *grupo* $(G, *)$ é um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) munido de uma lei associativa que admite um neutro e no qual todo elemento tem um inverso. O grupo é *abeliano* quando a lei é comutativa.

**Exemplo 7.4.**

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ ([raízes da unidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-unity), [Definição 3.17](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-unity)); o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$ das bijeções de um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $E$ sobre si mesmo, com a composição — o *grupo simétrico* de $E$, não [abeliano](#def-b1-structures-group) assim que $\abs E \geq 3$. Não são [grupos](#def-b1-structures-group): $(\N, +)$ (sem inversos), $(\Z, \times)$ (só $\pm 1$ é invertível).

**Proposição 7.5 (Regras de cálculo).**

Num [grupo](#def-b1-structures-group) $G$ (escrito multiplicativamente, com neutro $e$):

1. cancelamento: $ax = ay \implies x = y$ e $xa = ya \implies  x = y$ ;
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ e $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
3. para $a, b \in G$ , cada equação $ax = b$ e $xa = b$ tem uma única solução ( $x = a^{-1}b$ , resp. $x = b a^{-1}$ ).

**Demonstração.** (1) Multiplique por $a^{-1}$ do lado apropriado, usando a associatividade. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b =
e$ e simetricamente; a unicidade do inverso conclui; o segundo ponto é a [Proposição 7.2](#prop-b1-structures-unique) aplicada a $a^{-1}$. (3) Substitua e use (1) para a unicidade. ∎

**Exemplo 7.6 (As simetrias de um retângulo).**

Um retângulo (não quadrado) admite exatamente quatro isometrias sobre si mesmo: a identidade $e$, a reflexão no eixo horizontal $h$, a reflexão no eixo vertical $v$ e a meia-volta $r$ em torno do centro. A composição faz desse [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de quatro elementos um [grupo](#def-b1-structures-group): cada elemento é o seu próprio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), e o produto de dois elementos distintos e diferentes do neutro é o terceiro ($hv = vh = r$: refletir nos dois eixos é a meia-volta). A tabela completa é simétrica, de modo que o [grupo](#def-b1-structures-group) é [abeliano](#def-b1-structures-group) — e no entanto ele *não* é o mesmo [grupo](#def-b1-structures-group) que as rotações $\mathbb U_4$ do [Exemplo 7.15](#ex-b1-structures-order): lá, $\iu$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $4$, ao passo que aqui todo elemento tem [ordem](#def-b1-structures-order) $\leq 2$. Dois [grupos](#def-b1-structures-group) do mesmo tamanho podem, assim, ter estruturas multiplicativas genuinamente diferentes — a figura abaixo exibe as duas tabelas lado a lado. Este [grupo](#def-b1-structures-group) de quatro elementos volta como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, e o [Exercício 7.7](#exo-b1-structures-7) explica por que todo [grupo](#def-b1-structures-group) em que os quadrados são triviais deve, como este, ser [abeliano](#def-b1-structures-group).

![Dois grupos com quatro elementos: U_4 = \e, , -1, - \ (à esquerda) e o grupo do retângulo (à direita), com as posições do neutro sombreadas. À esquerda, o neutro serpenteia (um elemento de ordem 4 gera tudo); à direita, ele preenche a diagonal (todo elemento tem quadrado e). Nenhuma renomeação transforma uma tabela na outra: os grupos não são isomorfos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*Dois [grupos](#def-b1-structures-group) com quatro elementos: $\mathbb U_4 = \{e, \iu,
-1, -\iu\}$ (à esquerda) e o [grupo](#def-b1-structures-group) do retângulo (à direita), com as posições do neutro sombreadas. À esquerda, o neutro serpenteia (um elemento de [ordem](#def-b1-structures-order) $4$ gera tudo); à direita, ele preenche a diagonal (todo elemento tem quadrado $e$). Nenhuma renomeação transforma uma tabela na outra: os [grupos](#def-b1-structures-group) não são isomorfos.*

**Definição 7.7 (Subgrupo).**

Um subconjunto $H$ de um [grupo](#def-b1-structures-group) $G$ é um *subgrupo* (escreve-se $H \leq G$) quando contém $e$ e é estável pela lei e pela inversão. Então $H$ é ele próprio um [grupo](#def-b1-structures-group).

*Critério:* um $H \subseteq G$ não vazio é um subgrupo se, e somente se,

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**Demonstração do critério.** Um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) obviamente o satisfaz. Reciprocamente, seja $H \neq \emptyset$ satisfazendo-o, e tome $x_0 \in H$. Então $e = x_0 x_0^{-1} \in H$; para $y \in H$, $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$; e, para $x, y \in H$, $xy =
x (y^{-1})^{-1} \in H$. ∎

**Exemplo 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: é não vazio e, para $z, w \in
\mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Os [subgrupos](#def-b1-structures-subgroup) de $(\Z, +)$ são exatamente os $n\Z$ (demonstrado no [Teorema 6.4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-gcd)). Uma interseção de [subgrupos](#def-b1-structures-subgroup) é sempre um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup), mas uma união quase nunca é ([Exercício 7.6](#exo-b1-structures-6)).

**Observação 7.9 (Armadilhas frequentes com estruturas).**

1. *A estabilidade pela lei não basta.* $\N$ é estável pela adição dentro de $\Z$ e contém $0$ , mas não é [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) : faltam os inversos. O critério $xy^{-1} \in H$ testa tudo de uma vez — mas apenas depois de verificar que $H \neq \emptyset$ .
2. *Reflexos não [abelianos](#def-b1-structures-group).* Num [grupo](#def-b1-structures-group) geral, $(ab)^2 =  abab$ , o que só é $a^2b^2$ quando $a$ e $b$ comutam; do mesmo modo, $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ , com a [ordem](#def-b1-structures-order) invertida. Toda identidade importada da álgebra escolar deve ser redemonstrada a partir dos axiomas ou marcada como comutativa.
3. *[Núcleo](#def-b1-structures-morphism) versus imagem.* $\ker f$ vive na *origem* , $\operatorname{im} f$ no destino; “ $f$ é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) se, e somente se, $\ker f$ é trivial” ( [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) não tem análogo com a imagem ( $\operatorname{im} f = G'$ é a sobrejetividade).
4. *Anéis não são [grupos](#def-b1-structures-group) para $\times$.* Num [anel](#def-b1-structures-ring) , a maioria dos elementos não precisa ser invertível, e cancelar por $a$ exige que $a$ seja uma unidade ou que o [anel](#def-b1-structures-ring) seja um [domínio de integridade](#def-b1-structures-field) : em $\Z/12\Z$ , $\overline3\,\overline2 =  \overline3\,\overline6$ , e no entanto $\overline2 \neq \overline6$ ( [Exemplo 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) ).

**Definição 7.10 (Morfismo de grupos).**

Sejam $(G, *)$ e $(G', \star)$ [grupos](#def-b1-structures-group). Uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $f \colon G \to G'$ é um *morfismo* quando

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

Então $f(e_G) = e_{G'}$ e $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. O *núcleo* e a *imagem* de $f$ são

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

Um morfismo [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) é um *isomorfismo*; a sua [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) inversa é então automaticamente um morfismo.

**Demonstração das afirmações.** $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$, e cancelar $f(e)$ dá $e_{G'} = f(e)$. Então $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ identifica $f(x^{-1})$ como o inverso. [Núcleo](#def-b1-structures-morphism): $e \in \ker f$; se $x, y \in \ker f$, $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$; o critério se aplica. Imagem: mesmo critério com $f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})$. Inversa de um isomorfismo: para $u, v \in G'$, escreva $u = f(x)$, $v =
f(y)$; então $f^{-1}(u \star v) = f^{-1}(f(xy)) = xy =
f^{-1}(u) f^{-1}(v)$. ∎

**Proposição 7.11 (Injetividade via o núcleo).**

Um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) de [grupos](#def-b1-structures-group) $f$ é [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) se, e somente se, $\ker f =
\{e\}$.

**Demonstração.** Se $f$ é [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), $\ker f$ só pode conter a única [pré-imagem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) de $e_{G'}$, que é $e$. Reciprocamente, se $\ker f = \{e\}$ e $f(x) =
f(y)$, então $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$, de modo que $xy^{-1} = e$, isto é, $x = y$. ∎

**Exemplo 7.12.**

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) ([Proposição 4.1](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-expln)): as estruturas aditiva e multiplicativa são isomorfas — a razão de ser histórica dos logaritmos. Outro [morfismo](#def-b1-structures-morphism): $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre o círculo unitário $(\mathbb{U}, \times)$, com [núcleo](#def-b1-structures-morphism) $2\pi\Z$.

**Exemplo 7.13 (O morfismo sinal).**

A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envia $x$ ao seu sinal é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism): o sinal de um produto é o produto dos sinais. O seu [núcleo](#def-b1-structures-morphism) é $\intoo0{+\infty}$ (um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup), como a [Definição 7.10](#def-b1-structures-morphism) promete), e a sua imagem é todo o $\{\pm1\}$: [sobrejetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj), maciçamente não [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Duas lições gerais em miniatura. Primeira, um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) pode esmagar informação: $s$ nada guarda de $x$ além de um bit, e isso é a sua virtude — argumentos de sinal são exatamente os cálculos que se fatoram por $s$. Segunda, os [morfismos](#def-b1-structures-morphism) para $\{\pm1\}$ são os “invariantes” mais simples: o sinal das permutações, construído no problema de fim de semana deste capítulo, é o mesmo fenômeno no [grupo](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$, e os argumentos de paridade que ele alimenta descem todos por um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) de dois valores desse tipo.

**Definição 7.14 (Potências, ordem de um elemento).**

Num [grupo](#def-b1-structures-group) $G$ (notação multiplicativa), ponha $x^0 = e$, $x^{k+1} =
x^k x$ e $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ para $k \in \N$; então $x^{k+l} = x^k
x^l$ para todos $k, l \in \Z$, de modo que $k \mapsto x^k$ é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,
+) \to G$ cuja imagem $\langle x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup), o [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) *gerado* por $x$. A *ordem* de $x$ é o menor $m \geq
1$ com $x^m = e$, se existir (e então $\langle x\rangle = \{e, x,
\dots, x^{m-1}\}$ tem exatamente $m$ elementos, e $x^k = e \iff m
\mid k$), e $\infty$ caso contrário.

**Exemplo 7.15.**

Em $(\C^*, \times)$: $\iu$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $4$, com $\langle \iu \rangle
= \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; mais geralmente, $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $n$ e $\langle\omega\rangle =
\mathbb{U}_n$. Em $(\Z, +)$, todo $x \neq 0$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) infinita. Por que valem as afirmações da definição: se $x$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $m$, divida qualquer $k$ por $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, [Teorema 6.2](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-division)): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, de modo que as potências se repetem com período $m$, os elementos listados são dois a dois distintos pela minimalidade de $m$, e $x^k = e$ força $r = 0$. As ordens de permutações são calculadas no problema de fim de semana abaixo.

**Exemplo 7.16 (Ordens dentro de U12\mathbb U_{12}U12​).**

Qual é a [ordem](#def-b1-structures-order) de $\omega^k$ em $\mathbb U_n$, para $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$? Tem-se $(\omega^k)^m = 1$ se, e somente se, $n \mid km$ e, escrevendo $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ com $\gcd(n', k')
= 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, [Teorema 6.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-gauss)). O menor $m \geq 1$ desses é $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Em $\mathbb U_{12}$, por exemplo, $\omega^8$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (com efeito, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), ao passo que $\omega^5$ tem [ordem](#def-b1-structures-order) $12$: ele gera o [grupo](#def-b1-structures-group) inteiro, embora não seja o gerador “padrão”. Contar os geradores — os $k$ com $\gcd(k, n) = 1$ — recupera as contagens de números [primos entre si](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#cor-b1-arith-bezout) do [Exemplo 2.25](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#ex-b1-counting-coprime): a teoria de [grupos](#def-b1-structures-group) e a contagem se encontram.

## 7.3 Anéis e corpos

**Definição 7.17 (Anel).**

Um *anel* $(A, +, \times)$ é um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) com duas leis tais que: $(A, +)$ é um [grupo abeliano](#def-b1-structures-group) (neutro $0$); $\times$ é associativa com um neutro $1$; e $\times$ é distributiva em relação a $+$ dos dois lados. O anel é *comutativo* quando $\times$ o é. Um elemento $a$ é *invertível* (uma *unidade*) quando $ab = ba = 1$ para algum $b$; as unidades formam um [grupo](#def-b1-structures-group) $(A^\times, \times)$.

**Demonstração de que as unidades formam um grupo.** Estabilidade: se $a, a'$ são unidades com inversos $b, b'$, então

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

e simetricamente, de modo que $aa'$ é uma unidade. O elemento $1$ é uma unidade (o seu próprio inverso), a associatividade é herdada de $A$, e o inverso $b$ de uma unidade $a$ é ele próprio uma unidade (com inverso $a$). Logo, $(A^\times, \times)$ satisfaz todos os axiomas de [grupo](#def-b1-structures-group). Todo [grupo](#def-b1-structures-group) deste livro que não seja construído a partir de permutações surge assim: $\Q^* = \Q^\times$, $\R^*$, $\C^*$, as unidades de $\Z/n\Z$ abaixo e, mais tarde, as matrizes invertíveis ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices)). ∎

**Exemplo 7.18.**

$\Z, \Q, \R, \C$ são anéis comutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Mais adiante: os anéis de polinômios $K[X]$ ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly)), os anéis de matrizes (não comutativos, [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices)) e $\Z/n\Z$ abaixo. Em todo [anel](#def-b1-structures-ring), $0 \times
a = 0$ (por distributividade: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$) e $(-1)a = -a$.

**Exemplo 7.19 (Idempotentes: fenômenos novos em anéis novos).**

Em $\Z$, a equação $x^2 = x$, isto é, $x(x - 1) = 0$, só tem as soluções $0$ e $1$. Em $\Z/6\Z$, testando todas as classes: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ e $\overline4^2 =
\overline{16} = \overline4$ — *quatro* idempotentes. Os dois exóticos vêm dos divisores de zero: $\overline3\,(\overline3 -
\overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 =
\overline0$, sem que nenhum dos fatores seja nulo. Cálculos assim calibram os instintos: fatos familiares sobre equações sobrevivem em [domínios de integridade](#def-b1-structures-field) e [corpos](#def-b1-structures-field), mas um [anel](#def-b1-structures-ring) geral pode se comportar — e se comporta — de outro modo; veja também os anéis booleanos do [Exercício 7.10](#exo-b1-structures-10), em que *todo* elemento é idempotente.

**Proposição 7.20 (Teorema binomial num anel comutativo).**

Se $a, b$ são elementos de um [anel](#def-b1-structures-ring) comutativo (mais geralmente, se $ab = ba$), então, para $n \in \N$:

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**Demonstração.** As demonstrações do [Teorema 2.16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#thm-b1-counting-binomial) e da identidade geométrica usam apenas a associatividade, a comutatividade dos dois elementos e a distributividade — elas se aplicam literalmente. ∎

**Exemplo 7.21 (O teorema binomial num anel pouco familiar).**

Dois dividendos rápidos da generalidade. Em $\Z/p\Z$ ($p$ [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime)), os [coeficientes binomiais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) intermediários se anulam (primeiro passo do [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-fermat)), de modo que o teorema colapsa no *sonho do calouro*

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{em} \Z/p\Z ,
$$

uma identidade genuína ali, por mais criminosa que pareça sobre $\R$. E, em qualquer [anel](#def-b1-structures-ring) comutativo que contenha um elemento $\varepsilon$ com $\varepsilon^2 = 0$, o teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, com todos os termos superiores carregando um fator $\varepsilon^2 = 0$. O coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ é a derivada de $x^n$ — o que não é acidente, e é um primeiro indício de que as derivadas são tanto álgebra quanto análise (compare com a derivada formal do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly)).

**Definição 7.22 (Domínio de integridade, corpo).**

Um [anel](#def-b1-structures-ring) comutativo $A \neq \{0\}$ é um *domínio de integridade* quando não tem divisores de zero: $ab = 0
\implies a = 0$ ou $b = 0$. Ele é um *corpo* quando todo elemento não nulo é invertível. Todo corpo é um domínio de integridade ($ab = 0$ e $a \neq 0$ dão $b = a^{-1}ab = 0$).

**Exemplo 7.23.**

$\Q$, $\R$, $\C$ são [corpos](#def-b1-structures-field); $\Z$ é um [domínio de integridade](#def-b1-structures-field), mas não é [corpo](#def-b1-structures-field). Num [domínio de integridade](#def-b1-structures-field) vale o cancelamento para $\times$: $ab =
ac$ e $a \neq 0$ implicam $b = c$.

## 7.4 O anel $\Z/n\Z$

**Definição 7.24.**

Fixe $n \in \N^*$. As classes de [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) módulo $n$ ([Exemplo 1.32](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#ex-b1-logic-congruence)) formam um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\Z/n\Z$ de $n$ elementos, escritas $\overline 0,
\overline 1, \dots, \overline{n-1}$. As operações

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

estão bem definidas — as classes dos resultados não dependem dos representantes, precisamente porque a [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) é compatível com $+$ e $\times$ ([Definição 6.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence)) — e fazem de $\Z/n\Z$ um [anel](#def-b1-structures-ring) comutativo.

**Teorema 7.25 (Unidades de Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ; os corpos Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. $\overline a$ é invertível em $\Z/n\Z$ se, e somente se, $\gcd(a, n) = 1$ .
2. $\Z/n\Z$ é um [corpo](#def-b1-structures-field) se, e somente se, $n$ é [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) .

**Demonstração.** (1) é a [Proposição 6.20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#prop-b1-arith-invmod) reescrita com classes.

(2) Se $n = p$ é [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime), todo $\overline a \neq \overline 0$ tem $p
\nmid a$, de modo que $\gcd(a, p) = 1$: invertível por (1) — um [corpo](#def-b1-structures-field). Se $n =
ab$ com $1 < a, b < n$, então $\overline a\, \overline b = \overline
n = \overline 0$ com $\overline a, \overline b \neq \overline 0$: divisores de zero, logo nem sequer um [domínio de integridade](#def-b1-structures-field); e $n = 1$ dá o [anel](#def-b1-structures-ring) nulo, excluído. ∎

**Exemplo 7.26 (Quantas raízes quadradas de 111?).**

Resolva $x^2 = \overline 1$ em $\Z/8\Z$ e em $\Z/7\Z$. Testando as oito classes módulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25
\equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — *quatro* soluções $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, embora o polinômio $X^2 - 1$ tenha grau $2$. No [corpo](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$, em contrapartida, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x +
\overline1) = \overline0$, e um [corpo](#def-b1-structures-field) não tem divisores de zero: $x =
\pm\overline1$, apenas duas soluções. A falha módulo $8$ é rastreável: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$, sem que nenhum dos fatores se anule. Moral: a regra familiar “uma equação de grau $d$ tem no máximo $d$ raízes” é um teorema sobre *[domínios de integridade](#def-b1-structures-field)* (o [Corolário 8.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots) a demonstra sobre [corpos](#def-b1-structures-field)); em anéis com divisores de zero ela falha silenciosamente — e é exatamente por isso que a demonstração por emparelhamento do teorema de Wilson ([Exercício 6.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-11)) precisou de $p$ [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime).

**Exemplo 7.27 (Calculando em Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ).**

Em $\Z/12\Z$: as unidades são $\overline 1, \overline 5, \overline 7,
\overline{11}$ (as classes primas com $12$), e cada uma é a sua própria inversa ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv
1$). A equação $\overline 3\, x = \overline 6$ tem *três* soluções ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): sem invertibilidade, não há cancelamento. Em $\Z/11\Z$, em contrapartida, toda equação $\overline a x = \overline b$ com $\overline a \neq
\overline 0$ tem exatamente uma solução.

**Exemplo 7.28 (Os axiomas de grupo como licença para resolver).**

No [grupo](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, resolva $\overline
3\,x = \overline 5$. Pela [Proposição 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3), a solução existe, é única e vale $\overline3^{-1}\,
\overline5$; como $\overline3 \times \overline5 = \overline{15}
= \overline1$, o inverso de $\overline 3$ é $\overline 5$, de modo que

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{verificação:} \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

O ponto não é tanto a resposta quanto a garantia: num [grupo](#def-b1-structures-group), toda equação desse tipo é solúvel de modo único *antes* de qualquer cálculo, de sorte que um procedimento de resolução nunca pode esbarrar em “nenhuma solução” ou “várias”. Compare com $\overline3\,x = \overline6$ em $\Z/12\Z$ acima, em que a garantia falha — saber em que estrutura se está é saber o que se pode dar por certo.

**Exemplo 7.29 (Produtos diretos).**

Se $G$ e $H$ são [grupos](#def-b1-structures-group), o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) produto $G \times H$ com a lei componente a componente $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ é um [grupo](#def-b1-structures-group): os axiomas se verificam coordenada a coordenada, com neutro $(e_G, e_H)$ e inversos $(g^{-1}, h^{-1})$. As ordens se combinam pelo mmc: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ é o neutro se, e somente se, a [ordem](#def-b1-structures-order) de $g$ e a [ordem](#def-b1-structures-order) de $h$ [dividem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) ambas $m$. Assim, em $\Z/2\Z
\times \Z/2\Z$ (aditivo) todo elemento não nulo tem [ordem](#def-b1-structures-order) $2$ — este é exatamente o [grupo](#def-b1-structures-group) do retângulo do [Exemplo 7.6](#ex-b1-structures-klein) em coordenadas — ao passo que $\Z/4\Z$ tem um elemento de [ordem](#def-b1-structures-order) $4$: uma segunda demonstração, sem cálculo, de que os dois [grupos](#def-b1-structures-group) de tamanho $4$ não são isomorfos (um isomorfismo preserva as ordens). Os produtos são o modo mais fácil de fabricar [grupos](#def-b1-structures-group) novos a partir de antigos, e o plano $\R^2 = \R \times
\R$ do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces) é a instância mais importante da construção.

**Observação 7.30 (Fermat, estruturalmente).**

No [corpo](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$, as classes não nulas formam um [grupo](#def-b1-structures-group) multiplicativo com $p - 1$ elementos, e o pequeno teorema de Fermat ([Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-fermat)) diz: todo elemento $x$ desse [grupo](#def-b1-structures-group) satisfaz $x^{p-1} = \overline 1$. Trata-se de uma instância de um fato geral sobre [grupos](#def-b1-structures-group) finitos (teorema de Lagrange), demonstrado no segundo ano; a demonstração por emparelhamento do teorema de Wilson ([Exercício 6.11](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#exo-b1-arith-11)) já tinha esse sabor de teoria de [grupos](#def-b1-structures-group).

**Observação 7.31 (Interlúdio: o que a abstração compra).**

É justo perguntar o que se ganhou ao demonstrar, digamos, a [Proposição 7.2](#prop-b1-structures-unique) para uma lei abstrata em vez de para números. A resposta é alavancagem. Aquele argumento de duas linhas cobre agora, de uma só vez: os inversos de funções pela composição ([Teorema 1.24](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#thm-b1-logic-inverse), cuja demonstração de unicidade ele repete palavra por palavra), os inversos módulo $n$ ([Proposição 6.20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#prop-b1-arith-invmod)), os inversos de reais não nulos, das unidades de qualquer [anel](#def-b1-structures-ring) e — sem sequer serem vistas — das matrizes invertíveis do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices), em que a unicidade de $A^{-1}$ não precisará de uma única linha de demonstração. A mesma economia vale para a [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) (um critério de injetividade, reutilizado para as aplicações lineares no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps)) e para o critério de [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup). A abstração aqui não é generalidade por si mesma: é a recusa a demonstrar o mesmo lema cinco vezes sob cinco nomes. O preço — controlar quais axiomas cada enunciado realmente usou — é exatamente o que os exercícios deste capítulo treinam.

**Observação 7.32 (Onde este capítulo é usado).**

O vocabulário deste capítulo é a gramática do restante do volume. Anéis e [corpos](#def-b1-structures-field) organizam o [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly) ($K[X]$ é um [anel](#def-b1-structures-ring) que imita $\Z$) e o [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#ch-b1-fractions) ($K(X)$ é o seu [corpo](#def-b1-structures-field) de frações); os espaços vetoriais ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces)) são [grupos abelianos](#def-b1-structures-group) com um [corpo](#def-b1-structures-field) agindo sobre eles; as matrizes ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/21-matrizes#ch-b1-matrices)) formam o primeiro [anel](#def-b1-structures-ring) seriamente não comutativo do volume, e os seus elementos invertíveis formam um [grupo](#def-b1-structures-group) cujo estudo é a própria álgebra linear. [Morfismos](#def-b1-structures-morphism) e [núcleos](#def-b1-structures-morphism) voltam como aplicações lineares e [núcleos](#def-b1-structures-morphism) no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/20-aplicacoes-lineares#ch-b1-linmaps) — a [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) *é* o critério de injetividade daquele capítulo, demonstrado aqui de uma vez por todas. O [grupo simétrico](#ex-b1-structures-groups), estrela do problema de fim de semana abaixo, fornece o sinal sobre o qual os determinantes são construídos no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det).

## 7.5 Exercícios

**Exercício 7.1 ★.**

Em $E = \R \setminus \{1\}$, defina $x * y = x + y - xy$. Demonstre que $(E, *)$ é um [grupo abeliano](#def-b1-structures-group). *(Identifique o neutro e o inverso de $x$; verifique a estabilidade: por que $x * y \neq 1$?)*

**Solução de Exercício 7.1.**

*Estabilidade:* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$, impossível para $x, y \neq 1$. Com efeito, a identidade-chave é

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

a [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ leva $(E, *)$ em $(\R^*, \times)$ com $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) [bijetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Todos os axiomas se transportam agora: a associatividade e a comutatividade decorrem das de $\times$; o neutro é $\varphi^{-1}(1) = 0$ (verificação: $x *
0 = x$); o inverso de $x$ é $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) =
1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ (que é $\neq 1$). Logo, $(E, *)$ é um [grupo abeliano](#def-b1-structures-group).

**Exercício 7.2 ★.**

Quais dos seguintes são [grupos](#def-b1-structures-group)?

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
3. $(\Q^*, \times)$ ;
4. o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) dos inteiros ímpares com a adição.

**Solução de Exercício 7.2.**

1. Sim: o produto de positivos é positivo, o neutro é $1$ , o inverso é $\frac 1x$ , e a associatividade é herdada de $\R^*$ .
2. Não: não é estável ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
3. Sim: o exemplo padrão.
4. Não: não é estável (ímpar $+$ ímpar $=$ par) e não há neutro ( $0$ é par).

**Exercício 7.3 ★.**

Escreva a tabela de composição do [grupo simétrico](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ de $\{1,2,3\}$ (seis bijeções: identidade, três transposições, dois $3$-ciclos) e exiba dois elementos que não comutam.

**Solução de Exercício 7.3.**

Escreva $\mathrm{id}$, as transposições $\tau_{12}, \tau_{13},
\tau_{23}$ (que trocam os dois pontos nomeados) e os ciclos $c =
(1\,2\,3)$ (isto é, $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) e $c^2 =
(1\,3\,2)$. A tabela de $\sigma\rho$ (linha $\sigma$, coluna $\rho$, aplicando $\rho$ primeiro):

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

Par que não comuta: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$, ao passo que $\tau_{13}\tau_{12} = c$. (Para conferir uma entrada: $\tau_{12}\tau_{13}$ envia $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3
\xmapsto{\tau_{12}} 3$, $3 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 2 \mapsto
1$: isto é, $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$, o ciclo $c^2 =
(1\,3\,2)$.)

**Exercício 7.4 ★.**

Demonstre que $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) de $(\C^*,
\times)$, e que $\R_+^*$ é outro; $H \cup \R_+^*$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup)?

**Solução de Exercício 7.4.**

$H$: $1 \in H$; para $z, w \in H$, $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w =
1$: o critério se aplica. $\R_+^*$: idem, com $\abs{xy^{-1}}$ substituído pela positividade. União: $\iu \in H$ e $2 \in \R_+^*$, mas $2\iu$ tem módulo $2 \neq 1$ e não é um real positivo: $2\iu \notin H \cup
\R_+^*$, de modo que a união não é estável — não é [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) (como previsto pelo [Exercício 7.6](#exo-b1-structures-6), já que nenhum dos [subgrupos](#def-b1-structures-subgroup) contém o outro).

**Exercício 7.5 ★★.**

Seja $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$, $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$. Demonstre que $f$ é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism), calcule $\ker f$ e $\operatorname{im} f$, e deduza da [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) que $f$ não é [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Restrinja o domínio de modo a torná-lo [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) num intervalo o maior possível.

**Solução de Exercício 7.5.**

[Morfismo](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} =
\eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([Teorema 3.7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#thm-b1-complex-funceq)). [Núcleo](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in 2\pi\Z$, de modo que $\ker f =
2\pi\Z \neq \{0\}$: não [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj). Imagem: todo número complexo de módulo $1$ é $\eu^{\iu\theta}$ para algum $\theta$ (forma polar), de modo que $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$, o círculo unitário. A restrição de $f$ a um intervalo semiaberto de comprimento $2\pi$, como $\intco{0}{2\pi}$ ou $\intoc{-\pi}{\pi}$, é [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) (dois ângulos com a mesma imagem diferem por um múltiplo de $2\pi$, e só um representante de cada classe cabe no intervalo); nenhum intervalo de comprimento maior funciona, pois ele contém dois pontos à distância $2\pi$.

**Exercício 7.6 ★★.**

Sejam $H, K$ [subgrupos](#def-b1-structures-subgroup) de $G$. Demonstre que $H \cap K$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) e que $H \cup K$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) *apenas* quando $H \subseteq K$ ou $K \subseteq H$. *(Se $h \in H \setminus K$ e $k \in K
\setminus H$, onde pode viver $hk$?)*

**Solução de Exercício 7.6.**

Interseção: $e \in H \cap K$, e $x, y \in H \cap K$ dá $xy^{-1}$ tanto em $H$ quanto em $K$. União: se $H \subseteq K$, a união é $K$, um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) (e simetricamente). Reciprocamente, suponha que nenhuma das inclusões valha: tome $h \in H \setminus K$ e $k \in K \setminus
H$, e suponha que $H \cup K$ fosse um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup); então $hk \in H \cup K$. Se $hk \in H$, então $k = h^{-1}(hk) \in H$: contradição. Se $hk \in
K$, então $h = (hk)k^{-1} \in K$: contradição. Logo, $H \cup K$ não é [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup).

**Exercício 7.7 ★★.**

Um [grupo](#def-b1-structures-group) $G$ satisfaz $x^2 = e$ para todo $x \in G$. Demonstre que $G$ é [abeliano](#def-b1-structures-group). *(Expanda $(xy)^2$.)*

**Solução de Exercício 7.7.**

Note primeiro que $x^2 = e$ significa $x^{-1} = x$ para todo $x$. Então, para $x, y \in G$:

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

usando a [Proposição 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2). Logo, $G$ é [abeliano](#def-b1-structures-group).

**Exercício 7.8 ★★.**

Em $\Z/18\Z$: liste as unidades e encontre a inversa de $\overline 5$; resolva $\overline 5\, x = \overline 7$; resolva $\overline 6\, x =
\overline 3$ e $\overline 6\, x = \overline{12}$.

**Solução de Exercício 7.8.**

Unidades de $\Z/18\Z$: as classes primas com $18 = 2 \times 3^2$: $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}, \overline{13},
\overline{17}$. Inversa de $\overline 5$: $5 \times 11 = 55 = 3\times
18 + 1$, de modo que $\overline 5^{-1} = \overline{11}$.

$\overline 5 x = \overline 7$: multiplique por $\overline{11}$: $x =
\overline{77} = \overline 5$ (pois $77 = 4\times 18 + 5$). Solução única.

$\overline 6 x = \overline 3$: a equação $6x \equiv 3 \pmod{18}$ significa que $18 \mid 6x - 3$. Mas $6x - 3 = 3(2x - 1)$ é ímpar, ao passo que $18$ é par: um número par não pode dividir um ímpar. Sem solução.

$\overline 6 x = \overline{12}$: $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x
\equiv 2 \pmod 3$: soluções $x \in \{\overline 2, \overline 5,
\overline 8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — seis delas.

**Exercício 7.9 ★★.**

Demonstre que o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ é um [anel](#def-b1-structures-ring) (um subanel de $\R$) e que $1 + \sqrt 2$ é uma unidade dele com infinitas potências distintas — de modo que $\Z[\sqrt 2]^\times$ é infinito, ao contrário de $\Z^\times$.

**Solução de Exercício 7.9.**

$\Z[\sqrt 2]$ contém $0$ e $1$, e é estável por subtração e por produto:

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

de modo que é um subanel de $\R$ (comutatividade, associatividade e distributividade são herdadas). Unidade: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2) =
2 - 1 = 1$, de modo que $1 + \sqrt 2$ é invertível, com inversa $\sqrt 2 - 1
\in \Z[\sqrt 2]$. As suas potências $(1 + \sqrt 2)^n$ são estritamente crescentes (a base é $> 1$), logo duas a duas distintas, e cada uma é uma unidade ($\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 - 1)^n$): o [grupo](#def-b1-structures-group) das unidades é infinito.

**Exercício 7.10 ★★★.**

(Anéis booleanos) Seja $A$ um [anel](#def-b1-structures-ring) em que $x^2 = x$ para todo $x$. Demonstre que $x + x = 0$ para todo $x$ e que $A$ é comutativo. *(Expanda $(x+x)^2$ e $(x+y)^2$.)* Dê um exemplo de um [anel](#def-b1-structures-ring) desses com $\mathcal{P}(E)$, tomando a diferença simétrica como adição e a interseção como multiplicação.

**Solução de Exercício 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — de modo que $2x =
4x$, o que dá $2x = 0$, isto é, $x + x = 0$ (cada elemento é o seu próprio inverso aditivo). Então

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

de modo que $xy + yx = 0$, isto é, $xy = -yx = yx$ (usando $-z = z$). Portanto, $A$ é comutativo.

Exemplo: em $\mathcal{P}(E)$, defina $A + B = (A \cup B) \setminus (A
\cap B)$ (diferença simétrica) e $A \times B = A \cap B$. Verifica-se que: $(\mathcal{P}(E), +)$ é um [grupo abeliano](#def-b1-structures-group) com neutro $\emptyset$ e cada [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) é o seu próprio inverso; $\cap$ é associativa, comutativa, com neutro $E$; a distributividade $A \cap (B + C) = (A
\cap B) + (A \cap C)$ vale (um elemento está no lado esquerdo se, e somente se, está em $A$ e em exatamente um dentre $B, C$). E $A \cap A = A$: todo elemento é idempotente, como exigido.

**Exercício 7.11 ★★★.**

Seja $G$ um [grupo](#def-b1-structures-group) em que, para algum $n \geq 1$ fixado, $(xy)^n =
x^n y^n$, $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ e $(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ para todos $x, y$. Demonstre que $G$ é [abeliano](#def-b1-structures-group). *(Das três identidades, deduza primeiro $y^n x = x y^n$, depois $y^{n+1} x = x y^{n+1}$, e conclua.)*

**Solução de Exercício 7.11.**

Escreva a hipótese para $n$ e $n+1$:

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{e}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

Igualando: $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$; cancele $x$ à esquerda e $y^n$ à direita: $x^n y = y x^n$. O mesmo cálculo um grau acima ($n+1$ e $n+2$) dá $x^{n+1} y = y x^{n+1}$. Então

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

e, cancelando $x^n$ à direita em $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$: $yx = xy$. Logo, $G$ é [abeliano](#def-b1-structures-group).

**Exercício 7.12 ★★.**

1. Determine todos os [morfismos](#def-b1-structures-morphism) de [grupos](#def-b1-structures-group) de $(\Z, +)$ em $(\Z, +)$ .
2. Demonstre que o único [morfismo](#def-b1-structures-morphism) de [grupos](#def-b1-structures-group) de $(\Q, +)$ em $(\Z, +)$ é o [morfismo](#def-b1-structures-morphism) nulo. *(Para $x \in \Q$ e $n \in \N^*$, compare $f(x)$ e $n\,f(x/n)$.)*

**Solução de Exercício 7.12.**

1. Seja $f \colon \Z \to \Z$ aditiva e $a = f(1)$ . Por indução, $f(k) = ka$ para $k \in \N$ , e $f(-k) = -f(k) =  -ka$ : logo, $f$ é a multiplicação por $a$ . Reciprocamente, toda [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $k \mapsto ak$ é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) : os [morfismos](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,+) \to (\Z,+)$ são exatamente as multiplicações por um inteiro fixado.
2. Seja $f \colon \Q \to \Z$ um [morfismo](#def-b1-structures-morphism), $x \in \Q$ e $n \in \N^*$. Então $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ de modo que o inteiro $f(x)$ é divisível por todo $n \geq 1$. O único inteiro assim é $0$: $f \equiv 0$.

## 7.6 Problema: O grupo simétrico e o jogo dos oito

**Problema 7.1.**

O [grupo](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ das permutações de $\intint1n$ é o [grupo](#def-b1-structures-group) mais antigo da matemática e ainda o mais instrutivo. Este problema constrói a sua teoria estrutural do zero — ciclos, geração por transposições, o [morfismo](#def-b1-structures-morphism) *sinal* $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (cuja existência é genuinamente não trivial) e o [grupo alternado](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ gerado pelos $3$-ciclos — e depois a converte num quebra-cabeça clássico: no jogo de peças deslizantes $3 \times 3$, nenhuma sequência de movimentos consegue trocar duas peças deixando todo o resto no lugar. As permutações agem sobre $\intint1n$; os produtos $\sigma\tau$ significam “aplique $\tau$ primeiro”; $[\,v_1, \dots, v_n]$ denota a [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) que envia $i$ a $v_i$.

**Parte I — Ciclos e transposições.**

1. Justifique que $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ ( [Teorema 2.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#thm-b1-counting-counts) ). Em $\mathfrak S_3$ , calcule os dois produtos de $\sigma = [2, 3, 1]$ e $\tau =  [1, 3, 2]$ , e conclua que $\mathfrak S_3$ não é [abeliano](#def-b1-structures-group) .
2. Um *$k$-ciclo* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , com os $a_i$ dois a dois distintos) envia $a_1 \mapsto a_2  \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ e fixa todo o resto; o seu *suporte* é $\{a_1, \dots,  a_k\}$ . Demonstre que dois ciclos com suportes disjuntos comutam.
3. Demonstre que toda $\sigma \in \mathfrak S_n$ é um produto de ciclos com suportes dois a dois disjuntos, e que essa decomposição é única a menos da [ordem](#def-b1-structures-order) dos fatores. *(Considere, para cada $i$, a sequência $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$: ela deve voltar a $i$; as *órbitas* resultantes formam uma [partição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#thm-b1-logic-partition) de $\intint1n$, e $\sigma$ age em cada uma delas como um ciclo.)*
4. Decomponha $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in  \mathfrak S_8$ em ciclos disjuntos. Definindo a *[ordem](#def-b1-structures-order)* de $\sigma$ como na [Definição 7.14](#def-b1-structures-order) , demonstre que a [ordem](#def-b1-structures-order) de um produto de ciclos disjuntos é o mmc dos seus comprimentos, e calcule a [ordem](#def-b1-structures-order) desse $\sigma$ .
5. Demonstre a identidade telescópica $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ e conclua que toda [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) é um produto de transposições. Escreva o $\sigma$ da questão 4 como um tal produto.
6. Mostre ainda que as transposições *adjacentes* $(i\ \ i{+}1)$ bastam: para $a < b$, $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ um produto de $2(b - a) - 1$ transposições adjacentes — um número *ímpar* (essa paridade importará duas vezes mais abaixo).

**Parte II — O sinal existe.** Para $\sigma
\in \mathfrak S_n$, seja

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

o seu número de *inversões*, e ponha $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$.

1. Calcule $N$ e $\varepsilon$ para a identidade, para uma transposição $(i\ \ i{+}1)$ e para $[2, 3, 1]$ .
2. Demonstre que, para toda $\sigma$ e toda transposição adjacente $\tau = (i\ \ i{+}1)$ : $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . *(Compor com $\tau$ à direita troca os valores nas posições $i$ e $i + 1$; exatamente um par muda o seu estado de inversão.)*
3. Deduza, usando a questão 6, que, para *qualquer* transposição $\tau$ , $\varepsilon(\sigma\tau) =  -\varepsilon(\sigma)$ ; conclua que, se $\sigma$ é um produto de $p$ transposições, então $\varepsilon(\sigma)  = (-1)^p$ — em particular, a paridade de $p$ depende apenas de $\sigma$ , e não da fatoração escolhida — e que $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ é um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) de [grupos](#def-b1-structures-group) .
4. Mostre que um $k$ -ciclo tem sinal $(-1)^{k-1}$ , e que, em geral, $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n -  c(\sigma)}$ , em que $c(\sigma)$ é o número de órbitas de $\sigma$ (pontos fixos incluídos).
5. O *[grupo alternado](#pb-b1-structures-1)* é $\mathfrak A_n =  \ker\varepsilon$ . Justifique que ele é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) e demonstre que $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ para $n \geq 2$ . *(Fixe uma transposição $\tau_0$ e considere $\sigma  \mapsto \sigma\tau_0$.)*
6. Verificação de coerência em $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : calcule $\varepsilon(\sigma)$ de três maneiras — contando inversões, pelo tipo de ciclo via a questão 10, e pela sua contagem de transposições na questão 5.

**Parte III — $\mathfrak A_n$ é gerado por $3$-ciclos.**

1. Sejam $a, b, c, d$ dois a dois distintos. Verifique as duas identidades $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$$
2. Demonstre que, para $n \geq 3$ , todo elemento de $\mathfrak  A_n$ é um produto de $3$ -ciclos. *(Uma [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) par é um produto de um número par de transposições; absorva-as duas a duas.)*
3. Escreva $(1\ 2)(3\ 4)$ e o $5$ -ciclo $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ explicitamente como produtos de $3$ -ciclos.
4. Demonstre a fórmula de conjugação: para toda $\sigma \in  \mathfrak S_n$, $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**Parte IV — O jogo dos oito.** As peças $1, \dots, 8$ deslizam num quadro $3 \times 3$ com uma casa vazia; um *movimento* desliza para a casa vazia uma peça adjacente a ela. Numere as casas $1, \dots, 9$ (linha por linha; a posição resolvida tem a peça $i$ na casa $i$ e a casa vazia na casa $9$). Trate a casa vazia como uma nona peça, de modo que uma posição é uma [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) $\sigma \in \mathfrak
S_9$ (a peça $\sigma(i)$ está na casa $i$).

1. Mostre que um movimento substitui $\sigma$ por $\sigma \circ \tau$ , em que $\tau$ é a transposição das duas casas envolvidas; deduza que cada movimento inverte $\varepsilon(\sigma)$ .
2. Seja $d(\sigma)$ a distância de Manhattan (linhas mais colunas) entre a casa atual da casa vazia e a sua casa de origem $9$. Mostre que cada movimento altera $d$ de $\pm1$, de modo que cada movimento também inverte $(-1)^{d(\sigma)}$. Conclua que $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ é *invariante* por todo movimento.
3. Demonstre a impossibilidade clássica do quebra-cabeça: a posição que troca as peças $7$ e $8$ e deixa todo o resto (inclusive a casa vazia) no lugar não pode ser alcançada a partir da posição resolvida.
4. Admitimos a recíproca (a sua demonstração é uma indução instrutiva, porém longa): toda posição com $I = +1$ é alcançável. Deduza que exatamente metade das $8!$ posições com a casa vazia em casa é solúvel, isto é, $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
5. Deduza da questão 20 que os arranjos de peças alcançáveis com a casa vazia em casa formam exatamente o [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ .
6. Aplicações do invariante: é possível alcançar (a) a posição em que as peças $1, 2, 3$ estão ciclicamente permutadas e todo o resto, casa vazia inclusive, está em casa? (b) a posição em que a peça $5$ e a casa vazia trocaram de lugar e todas as demais peças estão em casa? Justifique as duas respostas com $I$ .

**Parte V — Síntese.**

1. Demonstre que, para $n \geq 3$ , os únicos [morfismos](#def-b1-structures-morphism) de [grupos](#def-b1-structures-group) $f  \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ são o [morfismo](#def-b1-structures-morphism) constante e $\varepsilon$ . *(Usando a questão 16 e a comutatividade de $\{\pm1\}$, mostre que $f$ assume o mesmo valor em todas as transposições.)*
2. Onde exatamente o problema usou: (i) o conceito de [morfismo](#def-b1-structures-morphism) e a [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ; (ii) os princípios de contagem do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#ch-b1-counting) ; (iii) a questão da boa definição que as questões 8–9 resolvem? Uma frase para cada.
3. Síntese, num parágrafo curto: uma única função de paridade, demonstrada bem definida uma só vez, organiza simultaneamente a estrutura interna de $\mathfrak S_n$ (o [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ ), decide um quebra-cabeça físico e — através da fórmula $\det = \sum_\sigma  \varepsilon(\sigma)\cdots$ — definirá os determinantes no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det) . Comente o padrão recorrente: os invariantes convertem “experimentar todas as sequências de movimentos” num único cálculo.

**Solução de Problema 7.1.**

**1.** Uma [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) é uma bijeção de $\intint1n$, isto é, um $n$-arranjo de $n$ objetos: há $n!$ delas ([Teorema 2.12](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#thm-b1-counting-counts)). Com $\sigma = [2,3,1]$, $\tau =
[1,3,2]$: $\sigma\tau$ envia $1 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3
\mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 3$: $\sigma\tau = [2,1,3]$; e $\tau\sigma$ envia $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $2 \mapsto 3 \mapsto
2$, $3 \mapsto 1 \mapsto 1$: $\tau\sigma = [3,2,1] \neq
\sigma\tau$.

**2.** Sejam $\gamma, \gamma'$ com suportes disjuntos $S, S'$. Para $x \in S$: $\gamma'(x) = x$ e $\gamma(x) \in S$, de modo que $\gamma\gamma'(x) = \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$. Simetricamente para $x \in S'$; e os dois lados fixam todo $x \notin S \cup S'$. Logo, $\gamma\gamma' = \gamma'\gamma$.

**3.** Para $i \in \intint1n$, os valores $i, \sigma(i),
\sigma^2(i), \dots$ vivem num [conjunto finito](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-card), de modo que $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$ para certos $a < b$; a injetividade dá $\sigma^{b-a}(i)
= i$: a sequência volta a $i$. Chame de *órbita* de $i$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$, com $k \geq 1$ mínimo tal que $\sigma^k(i) = i$. Duas órbitas que se encontram num ponto coincidem (as duas são as imagens de $\sigma$ para a frente desse ponto), de modo que as órbitas formam uma [partição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#thm-b1-logic-partition) de $\intint1n$; $\sigma$ age em cada órbita de tamanho $k \geq 2$ como o $k$-ciclo $(i\ \sigma(i)\ \cdots\
\sigma^{k-1}(i))$ e fixa os pontos isolados. O produto desses ciclos disjuntos coincide com $\sigma$ em toda parte. Unicidade: em qualquer decomposição em ciclos disjuntos, o ciclo que passa por $i$ tem de ser $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ — os ciclos ficam forçados a serem as órbitas com a ação induzida.

**4.** Seguindo as órbitas: $1 \to 4 \to 2 \to 1$, $3 \to 5
\to 3$, $6 \to 7 \to 8 \to 6$:

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

Se $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ com ciclos disjuntos de comprimentos $k_1, \dots, k_r$, a comutação (questão 2) dá $\sigma^m = \gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$ e, como os suportes são disjuntos, $\sigma^m = \mathrm{id}$ se, e somente se, cada $\gamma_i^m =
\mathrm{id}$, isto é, $k_i \mid m$ para todo $i$ (um $k$-ciclo tem [ordem](#def-b1-structures-order) $k$: $\gamma^m$ envia $a_1$ a $a_{1 + (m \bmod k)}$). O menor $m$ desses é $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$. Aqui: $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 6$.

**5.** Aplique o lado direito a cada ponto, começando pelo fator mais à direita. $a_1 \mapsto a_2$ por $(a_1\ a_2)$, e depois todo fator posterior fixa $a_2$: no total, $a_1 \mapsto a_2$. Para $2 \leq i < k$: $a_i$ fica intocado até que $(a_1\ a_i)$ o envie a $a_1$, e o fator imediatamente seguinte $(a_1\ a_{i+1})$ envia $a_1$ a $a_{i+1}$, após o que nada mais o move: no total, $a_i \mapsto a_{i+1}$. Por fim, $a_k$ é fixado por todos os fatores, salvo o mais à esquerda, que o envia a $a_1$. Isto é exatamente o ciclo. Como toda [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) é um produto de ciclos (questão 3), ela é um produto de transposições. Para o $\sigma$ da questão 4:

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

cinco transposições.

**6.** Indução em $b - a$. Para $b = a + 1$, a identidade é trivial ($1 = 2\cdot1 - 1$ fator). Para $b > a + 1$, verifique diretamente que $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$: o lado direito envia $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$, $b
\mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$, $a{+}1 \mapsto a \mapsto a
\mapsto a{+}1$, e fixa o resto. Por indução, $(a{+}1\ \ b)$ é um produto palindrômico de $2(b - a - 1) - 1$ transposições adjacentes, de modo que $(a\ b)$ é um produto de $2(b - a) - 1$: um número ímpar.

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$, $\varepsilon = +1$. Para $(i\ \
i{+}1)$, o único par invertido é $(i, i+1)$: $N = 1$, $\varepsilon = -1$. Para $[2, 3, 1]$: os pares invertidos são $(1,
3)$ (valores $2 > 1$) e $(2, 3)$ (valores $3 > 1$): $N = 2$, $\varepsilon = +1$.

**8.** As listas de valores de $\sigma$ e de $\sigma\tau$ diferem apenas pela troca das posições $i$ e $i + 1$. Para um par de posições que não envolva $i, i+1$, nada muda. Para $k < i$, os dois pares $(k, i)$ e $(k, i+1)$ trocam os seus estados de inversão (os mesmos dois valores são comparados com $\sigma(k)$, na outra [ordem](#def-b1-structures-order) de posições): a sua contribuição total fica inalterada; do mesmo modo para $k > i + 1$. O único par restante $(i,
i+1)$ inverte o seu estado. Portanto, $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$.

**9.** Seja $\tau = (a\ b)$ uma transposição qualquer: pela questão 6 ela é um produto de um número ímpar de transposições adjacentes, de modo que multiplicar à direita por $\tau$ altera $N$ de um total ímpar (questão 8, aplicada repetidamente): $\varepsilon(\sigma
\tau) = -\varepsilon(\sigma)$. Agora, se $\sigma = \tau_1\cdots
\tau_p$ (transposições), construa-a a partir da identidade por $p$ multiplicações à direita: $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$. Como $\varepsilon(\sigma)$ é definido por inversões — independentemente de qualquer fatoração — a paridade de $p$ é um invariante de $\sigma$. [Morfismo](#def-b1-structures-morphism): escrevendo $\sigma$ com $p$ e $\sigma'$ com $q$ transposições, $\sigma\sigma'$ usa $p + q$ delas: $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$.

**10.** Um $k$-ciclo é um produto de $k - 1$ transposições (questão 5): $\varepsilon = (-1)^{k-1}$. Para um $\sigma$ geral com órbitas de tamanhos $k_1, \dots, k_r$ ($k_i \geq 2$) mais $f$ pontos fixos, $c(\sigma) = r + f$ e $n = k_1 + \dots + k_r + f$, de modo que

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ é um [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup), por ser o [núcleo](#def-b1-structures-morphism) de um [morfismo](#def-b1-structures-morphism) ([Definição 7.10](#def-b1-structures-morphism)). Fixe uma transposição $\tau_0$ (existe para $n \geq 2$). A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) $\sigma
\mapsto \sigma\tau_0$ é uma bijeção de $\mathfrak S_n$ (a sua própria inversa) que troca $\mathfrak A_n$ pelo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das permutações ímpares (questão 9). Os dois [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) formam uma [partição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#thm-b1-logic-partition) de $\mathfrak S_n$ e têm o mesmo tamanho: $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$.

**12.** *Inversões* de $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$: a partir do valor $4$: sobre $1, 2, 3$: três; a partir de $5$: sobre $2, 3$: duas; a partir de $7$: sobre $6$: uma; a partir de $8$: sobre $6$: uma. $N = 7$, $\varepsilon = -1$. *Tipo de ciclo*: $c = 3$ órbitas, $n = 8$: $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$. *Contagem de transposições*: cinco transposições na questão 5: $(-1)^5 = -1$. As três concordam.

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (o mais à direita primeiro): $a \mapsto c
\mapsto c$; $c \mapsto a \mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$: o $3$-ciclo $(a\ c\ b)$. E $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$: $a \mapsto c
\mapsto b$; $b \mapsto b \mapsto a$; $c \mapsto d \mapsto d$; $d
\mapsto a \mapsto c$: isto é, $(a\ b)(c\ d)$, como afirmado.

**14.** Seja $\sigma \in \mathfrak A_n$: pela questão 9, $\sigma = \tau_1\cdots\tau_{2m}$ com um número par de transposições. Agrupe-as em pares consecutivos $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$: se as duas são iguais, o par é a identidade e desaparece; se elas partilham exatamente um ponto, a primeira identidade da questão 13 escreve o par como um $3$-ciclo; se são disjuntas, a segunda identidade o escreve como dois $3$-ciclos. Portanto, $\sigma$ é um produto de $3$-ciclos (ou a identidade, um produto vazio — e, para $n \geq 3$, também $(1\ 2\
3)^3$).

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (questão 13 com $a{=}1, b{=}2, c{=}3, d{=}4$). Para o $5$-ciclo: pela questão 5, $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$ e, emparelhando: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$, $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$:

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

(Verificação em $3$: $(1\ 2\ 3)$ envia $3 \to 1$, e depois $(1\ 4\ 5)$ envia $1 \to 4$: no total, $3 \to 4$, correto.)

**16.** Aplique os dois lados a um ponto arbitrário. Para $i =
\sigma(a_j)$: o lado esquerdo dá $\sigma\bigl((a_1\ \dots\
a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (índices módulo $k$), que é o que o lado direito faz com $\sigma(a_j)$. Para $i$ que não seja dessa forma: $\sigma^{-1}(i)$ está fora do suporte, de modo que o lado esquerdo fixa $i$, e o lado direito também. Iguais em toda parte.

**17.** Deslizar a peça da casa $c'$ para a casa vazia $c$ troca os conteúdos das casas $c$ e $c'$ (a peça $9$, o vazio, passa para $c'$). Se a peça $\sigma(i)$ estava na casa $i$, a nova posição é $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$: mesmos conteúdos, salvo que as casas $c, c'$ passam a ler o antigo conteúdo uma da outra. Pela questão 9, $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$.

**18.** Um movimento leva a casa vazia a uma casa adjacente: a sua linha ou a sua coluna muda exatamente de $1$, de modo que a distância de Manhattan $d$ até a casa $9$ muda de $\pm1$, e $(-1)^d$ se inverte. Como cada movimento inverte tanto $\varepsilon(\sigma)$ quanto $(-1)^{d(\sigma)}$, o produto deles, $I(\sigma)$, fica inalterado por todo movimento: um invariante.

**19.** A posição resolvida tem $\varepsilon = +1$, $d = 0$: $I = +1$. O alvo (peças $7, 8$ trocadas, vazio em casa) é a transposição dos conteúdos das casas $7$ e $8$: $\varepsilon
= -1$, $d = 0$: $I = -1$. Como $I$ é invariante e os dois valores diferem, nenhuma sequência de movimentos os liga.

**20.** Uma posição com o vazio em casa é uma [permutação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) das $8$ peças entre as casas $1, \dots, 8$, isto é, um elemento de $\mathfrak S_8$; ela tem $d = 0$, de modo que $I = \varepsilon(\sigma)$. Ser alcançável força $I = +1$, isto é, $\sigma \in \mathfrak A_8$; a recíproca admitida diz que todo $\mathfrak A_8$ é alcançado. Contagem: $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (questão 11).

**21.** Pela questão 20, os arranjos alcançáveis com o vazio em casa formam exatamente $\mathfrak A_8$ — em particular, um *[subgrupo](#def-b1-structures-subgroup)* de $\mathfrak S_8$: compor dois embaralhamentos solúveis, ou inverter um deles, continua solúvel, o que está longe de ser óbvio por puro raciocínio sobre o quebra-cabeça.

**22.** (a) Um $3$-ciclo de peças com o vazio em casa: $\varepsilon = +1$ (questão 10), $d = 0$, logo $I = +1$: alcançável (pela recíproca admitida) — é possível ciclar três peças. (b) Peça $5$ e vazio trocados: a posição é a transposição dos conteúdos das casas $5$ e $9$, de modo que $\varepsilon = -1$; o vazio fica no centro, à distância de Manhattan $d = 2$ da sua casa, logo $(-1)^d = +1$ e $I = -1$: inalcançável. Não é possível simplesmente “estacionar o vazio no meio” deixando as peças de resto ordenadas.

**23.** Seja $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ um [morfismo](#def-b1-structures-morphism). Para duas transposições quaisquer $\tau, \tau'$, a questão 16 fornece $\sigma$ com $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (leve os dois pontos movidos sobre os outros dois; $n \geq 3$ garante espaço para fazê-lo, embora mesmo $n = 2$ seja trivial aqui). Então $f(\tau') =
f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$, pois $\{\pm1\}$ é [abeliano](#def-b1-structures-group): $f$ é constante nas transposições. Se essa constante é $+1$, então $f = 1$ em todos os produtos de transposições, isto é, em toda parte (questão 5). Se ela é $-1$, então $f(\sigma) =
(-1)^p = \varepsilon(\sigma)$ num produto de $p$ transposições. Logo, $f \in \{1, \varepsilon\}$.

**24.** (i) A propriedade de [morfismo](#def-b1-structures-morphism) de $\varepsilon$ e a maquinaria dos [núcleos](#def-b1-structures-morphism) deram a $\mathfrak A_n$ a sua estrutura de [subgrupo](#def-b1-structures-subgroup) e o seu tamanho, e raciocínios ao estilo da [Proposição 7.11](#prop-b1-structures-kernel) percorrem as questões 11 e 21. (ii) Contagem: $\abs{\mathfrak S_n} = n!$, o argumento de metade da questão 11 e a contagem $20\,160$ da questão 20 são o [Capítulo 2](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#ch-b1-counting) em ação. (iii) As questões 8–9 resolvem um genuíno problema de boa definição — “a paridade do número de transposições” pressupõe que essa paridade não dependa da fatoração, exatamente como as operações de $\Z/n\Z$ exigiram independência do representante na [Definição 7.24](#def-b1-structures-zn).

**25.** O sinal é um único cálculo com valores em $\{\pm1\}$, demonstrado uma só vez ser bem definido, e ele faz três trabalhos ao mesmo tempo: internamente, corta $\mathfrak S_n$ ao meio e isola $\mathfrak A_n$ com os seus geradores $3$-ciclos; externamente, decide numa linha uma questão (“estas duas peças podem ser trocadas?”) que uma busca ingênua jamais resolveria, pois nenhuma lista finita de sequências de movimentos fracassadas demonstra impossibilidade; e, estruturalmente, é o motor de sinais alternados dentro da fórmula $\det A = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\,
a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ do [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det). O padrão — encontrar uma grandeza conservada por todo movimento elementar, calculá-la no início e no alvo — é a arma padrão do matemático contra perguntas do tipo “é possível?”, e ele voltará sempre que um [grupo](#def-b1-structures-group) agir sobre um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) de estados.