--- title: "Polinômios" book: "Matemática universitária — Graduação 1" subject: math language: pt chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/8-polinomios --- # Capítulo 8 — Polinômios Os [polinômios](#def-b1-poly-def) são as funções prediletas do algebrista — salvo que aqui eles não são tratados como funções, e sim como expressões formais numa indeterminada $X$, somadas e multiplicadas pelas regras de um [anel](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-ring) comutativo. A teoria corre de modo notavelmente paralelo ao [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#ch-b1-arith): uma divisão euclidiana, um mdc e relações de Bézout, elementos irredutíveis e uma fatoração única. Ao longo do capítulo, $K$ denota $\Q$, $\R$ ou $\C$. ## 8.1 O anel $K[X]$ **Definição 8.1 (Polinômio, grau).** Um *polinômio* com coeficientes em $K$ é uma soma formal $$ P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k, $$ com $a_k \in K$ todos nulos a partir de um certo índice. Com a adição natural e o produto $$ \Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k, $$ o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) $K[X]$ é um [anel](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-ring) comutativo. O *grau* $\deg P$ de $P \neq 0$ é o maior $n$ com $a_n \neq 0$; $a_n$ é o *coeficiente líder* ($P$ é *mônico* quando $a_n = 1$) e, por convenção, $\deg 0 = -\infty$. Todo polinômio define uma função $x \mapsto P(x)$ em $K$ por substituição. **Proposição 8.2 (Regras dos graus; domínio de integridade).** Para $P, Q \in K[X]$: $$ \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q . $$ Consequentemente, $K[X]$ é um [domínio de integridade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field), e as suas unidades são as constantes não nulas. **Demonstração.** A regra da soma é clara (os coeficientes acima do máximo se anulam). Para o produto, sejam $a_m$ e $b_n$ os coeficientes líderes: o coeficiente de $X^{m+n}$ em $PQ$ é $a_m b_n \neq 0$ ($K$ é um [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field), logo um [domínio de integridade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field)), e todos os coeficientes superiores se anulam. Se $P, Q \neq 0$, então $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$, de modo que $PQ \neq 0$: [domínio de integridade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field). Se $PQ = 1$, então $\deg P + \deg Q = 0$ força $\deg P = \deg Q = 0$: os elementos invertíveis são as constantes invertíveis, isto é, todo o $K^*$. ∎ **Teorema 8.3 (Divisão euclidiana).** Sejam $A, B \in K[X]$ com $B \neq 0$. Existe exatamente um par $(Q, R)$ de [polinômios](#def-b1-poly-def) com $$ A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B . $$ **Demonstração.** *Existência*, por indução forte em $\deg A$. Se $\deg A < \deg B$, tome $(Q, R) = (0, A)$. Caso contrário, escreva $A = a X^m + \dots$, $B = b X^n + \dots$ com $m \geq n$; o [polinômio](#def-b1-poly-def) $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ tem grau $< m$ (os termos líderes se cancelam), de modo que, por indução, $A_1 = BQ_1 + R$ com $\deg R < \deg B$, e $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$. *Unicidade*: se $BQ + R = BQ' + R'$, então $B(Q - Q') = R' - R$ com $\deg(R' - R) < \deg B$; pela regra dos graus, isso força $Q - Q' = 0$ e, em seguida, $R = R'$. ∎ **Exemplo 8.4.** Divida $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ por $B = X^2 + 1$: $$ X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2). $$ (Cálculo: subtraia $X^2 B$, depois $X B$, depois $-B$; o resto $-3X + 2$ tem grau $1 < 2$.) **Método 8.5 (Esquema de Horner).** Para avaliar $P = a_nX^n + \dots + a_0$ em $x$, ou para dividir $P$ por $X - x$, evite calcular potências: leia os coeficientes da esquerda para a direita e itere *multiplique por $x$, some o próximo coeficiente*: $$ b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) . $$ Então $b_0 = P(x)$ e os $b_k$ anteriores são os coeficientes do quociente: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (expanda e compare). Exemplo: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ em $x = 2$: os $b$ valem $1, -3, 0, 4, 0$, de modo que $P(2) = 0$ e $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — uma linha em vez de uma longa divisão, e $n$ multiplicações em vez das $\approx n^2/2$ da avaliação ingênua. Iterar o esquema no mesmo ponto extrai as [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) (compare com o [Exemplo 8.12](#ex-b1-poly-multexample)). **Observação 8.6 (A aritmética de K[X]K[X]K[X]).** Com a divisão euclidiana em mãos, toda a aritmética do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#ch-b1-arith) se transfere para $K[X]$, com as mesmas demonstrações, sendo o grau o papel do valor absoluto: mdc (normalizado para ser [mônico](#def-b1-poly-def)), [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#met-b1-arith-euclid) estendido, identidade de Bézout, lema de Gauss, [polinômios](#def-b1-poly-def) irredutíveis e fatoração única. Usamos livremente esses resultados transferidos, e o [Exercício 8.6](#exo-b1-poly-6) reencena um deles. ## 8.2 Raízes **Teorema 8.7 (Teorema do fator).** Sejam $P \in K[X]$ e $a \in K$. O resto de $P$ na divisão por $X - a$ é a constante $P(a)$. Em particular, $$ P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P . $$ Mais geralmente, raízes distintas $a_1, \dots, a_r$ de $P$ dão a fatoração $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$. **Demonstração.** Divida: $P = (X - a) Q + R$ com $\deg R < 1$, de modo que $R$ é uma constante $c$; substituindo $X = a$ (a substituição respeita somas e produtos), obtém-se $P(a) = c$. A equivalência segue. Para várias raízes, faça indução em $r$: o caso $r = 1$ é a equivalência recém-demonstrada. Suponha o enunciado para $r - 1$ raízes e sejam $a_1, \dots, a_r$ raízes distintas de $P$. Escreva $P = (X - a_1)Q_1$; para cada $i \geq 2$, substituindo $a_i$: $$ 0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 , $$ e, como $K$ não tem divisores de zero, $Q_1(a_i) = 0$: os $r - 1$ pontos distintos $a_2, \dots, a_r$ são raízes de $Q_1$. A hipótese de indução fatora $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$, e substituir de volta dá a afirmação. ∎ **Corolário 8.8 (Um polinômio de grau nnn tem no máximo nnn raízes).** Um $P \in K[X]$ não nulo de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes distintas em $K$. Consequentemente, um [polinômio](#def-b1-poly-def) (de grau $\leq n$) que se anula em $n + 1$ pontos distintos é o [polinômio](#def-b1-poly-def) nulo, e dois [polinômios](#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ que coincidem em $n+1$ pontos são iguais. **Demonstração.** Se $a_1, \dots, a_r$ são raízes distintas, o [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor) dá $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$, de modo que $n = \deg P \geq r$. As duas consequências decorrem por absurdo e por diferença. ∎ **Exemplo 8.9 (O truque do polinômio auxiliar).** Seja $P$ o [polinômio](#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ com $$ P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ; $$ ele existe e é único pela [interpolação de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange), abaixo. Quanto vale $P(n+1)$? Elimine os denominadores: o [polinômio](#def-b1-poly-def) $Q = (X+1)P - X$ tem grau $\leq n + 1$ e se anula nos $n + 1$ pontos $0, 1, \dots, n$, de modo que, pelo [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor), $$ Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n) $$ para alguma constante $c$. Avalie onde $Q$ é conhecido de modo independente: em $X = -1$, $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$, ao passo que o produto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$; portanto, $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$. Agora avalie em $X = n + 1$: $$ (n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} , $$ de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$: igual a $1$ para $n$ ímpar, e a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — o [polinômio](#def-b1-poly-def) interpolador *não* continua o padrão $\frac{n+1}{n+2}$. O truque a reter: codifique os dados como raízes de um [polinômio](#def-b1-poly-def) auxiliar, identifique a constante desconhecida num ponto fora dos dados e colha o resultado. **Definição 8.10 (Derivada, multiplicidade).** A *derivada formal* de $P = \sum a_k X^k$ é $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$; ela satisfaz as regras usuais $(P+Q)' = P' + Q'$, $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (verificadas nos monômios e estendidas por linearidade). Uma raiz $a$ de $P$ tem *multiplicidade* $m \geq 1$ quando $(X-a)^m \mid P$, mas $(X-a)^{m+1} \nmid P$; a raiz é *simples* se $m = 1$, e *múltipla* se $m \geq 2$. **Proposição 8.11 (Multiplicidade via derivadas).** $a$ é raiz de $P$ de [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) $\geq m$ se, e somente se, $$ P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 . $$ Em particular, $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, $P(a) = P'(a) = 0$. **Demonstração.** Escreva $P = (X - a)^m Q + R$, em que $R$ é o resto da divisão por $(X-a)^m$, $\deg R < m$. Derivando $k \leq m - 1$ vezes e avaliando em $a$: o primeiro termo contribui com $0$ (cada derivada retém um fator $(X-a)$), de modo que $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$. Ora, um [polinômio](#def-b1-poly-def) $R$ de grau $< m$ fica determinado por $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$: escrevendo $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (o que é possível: expanda as potências de $X = (X - a) + a$), encontra-se $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$. Portanto: todos os $P^{(k)}(a) = 0$ para $k < m$ $\iff$ todos os $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$. ∎ **Exemplo 8.12 (Calculando uma multiplicidade).** Qual é a [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) da raiz $2$ em $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Avalie as derivadas sucessivas em $2$: $$ P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0, $$ $$ P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0 $$ (com $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Três valores nulos e depois um não nulo: [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) exatamente $3$. Dividindo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — o que se confere expandindo $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ e multiplicando por $X + 1$. A ideia: as [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) são lidas em *avaliações*, sem necessidade de fatoração — e é exatamente assim que se as detecta quando a fatoração está fora de alcance. **Exemplo 8.13 (Detectando raízes múltiplas com um mdc).** Quando nenhuma raiz é conhecida, a [Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) ainda fornece um detector *global* de raízes múltiplas: $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, é raiz comum de $P$ e $P'$, de modo que $P$ tem raiz múltipla (em $\C$) se, e somente se, $\gcd(P, P') \neq 1$ — o que é computável pelo [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#met-b1-arith-euclid) sem resolver nada. Exemplo: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Testando as raízes $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$: $P(1) = 0$, mas $P(-1) = 4$, logo $$ \gcd(P, P') = X - 1 : $$ a raiz $1$ é múltipla; dividindo duas vezes, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. O mdc chega a relatar o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) completo das raízes múltiplas, cada uma com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) abaixada de uma unidade — fato que todo sistema de álgebra computacional explora para “fatorar sem quadrados” antes de qualquer caça a raízes, e o gêmeo polinomial dos argumentos de ausência de raiz múltipla do [Exercício 8.9](#exo-b1-poly-9). **Teorema 8.14 (Teorema fundamental da álgebra).** Todo [polinômio](#def-b1-poly-def) não constante de $\C[X]$ tem uma raiz em $\C$. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 8.15.** Apesar do nome, o teorema é um enunciado de *análise*: toda demonstração conhecida usa a completude de $\R$ de alguma forma, e nenhuma é puramente algébrica — a demonstração honesta é dada no volume do terceiro ano de graduação, uma vez disponíveis a integração complexa ou argumentos de compacidade. O que este capítulo genuinamente demonstra é a *redução*: concedida uma raiz para todo [polinômio](#def-b1-poly-def) não constante, as fatorações completas sobre $\C$ e sobre $\R$ abaixo decorrem por pura álgebra. **Corolário 8.16 (Fatoração sobre C\CC e sobre R\RR).** 1. Todo $P \in \C[X]$ não nulo se fatora como $$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$$ com $c$ o coeficiente líder, $a_i$ as raízes complexas distintas e $\sum m_i = \deg P$: *contadas com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative), um [polinômio](#def-b1-poly-def) de grau $n$ tem exatamente $n$ raízes complexas*. 2. Todo $P \in \R[X]$ não nulo se fatora sobre $\R$ como $$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$$ sendo os fatores quadráticos distintos e com $p_j^2 - 4q_j < 0$ (sem raízes reais). **Demonstração.** (1) Indução no grau, destacando uma raiz de cada vez pelo [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor); a contagem dos graus fecha em cada passo. (2) Seja $P$ com coeficientes reais. Se $z$ é raiz complexa de [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) $m$, então $\conj z$ também é: conjugar $P(z) = 0$ dá $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (os coeficientes são os seus próprios conjugados), e o mesmo se aplica às derivadas ([Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)). Agrupe as raízes não reais em pares conjugados: cada par contribui com $$ (X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 , $$ uma quadrática real de discriminante negativo. As raízes reais contribuem com os fatores lineares. ∎ **Exemplo 8.17.** $X^4 + 4$ foi fatorado sobre $\R$ no [Exercício 3.5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#exo-b1-complex-5), emparelhando as quatro raízes complexas $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Nenhuma das quadráticas se decompõe sobre $\R$ (discriminantes $-4$). Note: um [polinômio](#def-b1-poly-def) real *irredutível* tem grau $1$ ou $2$ — é exatamente o que o teorema de fatoração diz. O mesmo emparelhamento de conjugados aplicado a $X^4 + 1$, cujas raízes são $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ e $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: cada par contribui com $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, de modo que $$ X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) , $$ uma identidade invisível a tentativas ingênuas de fatoração sobre $\Q$ — o preço de insistir em coeficientes reais (aqui, até irracionais) e um insumo padrão para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration). ![O polinômio de Chebyshev T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X em ∈tcc-11: ele oscila exatamente entre -1 e 1, tocando os limites em seis pontos (marcados). Essa equioscilação é o que faz de 2-4T_5 a quíntica mônica de menor norma do supremo no intervalo ( e problema de fim de semana).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-poly/fig-ce798e953ef6.svg) *O [polinômio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ em $\intcc{-1}1$: ele oscila exatamente entre $-1$ e $1$, tocando os limites em seis pontos (marcados). Essa *equioscilação* é o que faz de $2^{-4}T_5$ a quíntica [mônica](#def-b1-poly-def) de menor norma do supremo no intervalo ([Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10) e problema de fim de semana).* **Observação 8.18 (Armadilhas frequentes com polinômios).** 1. *[Polinômio](#def-b1-poly-def) versus função.* Sobre $K = \Q, \R, \C$ as duas noções coincidem (funções iguais têm coeficientes iguais, pelo [Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots) e pela infinitude de $K$ ), mas conceitualmente um [polinômio](#def-b1-poly-def) é a sua lista de coeficientes: sobre o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) de dois elementos $\Z/2\Z$ do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#ch-b1-structures) , $X^2 + X$ se anula nos dois pontos e, no entanto, não é o [polinômio](#def-b1-poly-def) nulo. 2. *Graus sob adição.* $\deg(P + Q)$ pode cair abaixo de $\max(\deg P, \deg Q)$ quando os termos líderes se cancelam; escrever “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” só é seguro para graus distintos. 3. *Contar as raízes corretamente.* “ $n$ raízes” no [Corolário 8.16](#cor-b1-poly-factorization) significa *com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative), em $\C$* : $X^2 + 1$ não tem raízes reais, e $(X-1)^2$ tem uma raiz distinta, mas duas com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) . Enunciados que misturam as três contagens são a fonte mais comum de demonstrações falsas. 4. *A irredutibilidade depende do [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field).* $X^2 - 2$ é irredutível sobre $\Q$ e se decompõe sobre $\R$ ; $X^2 + 1$ é irredutível sobre $\R$ e se decompõe sobre $\C$ . A palavra solta “irredutível” nada significa enquanto não se nomear o [corpo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-field) dos coeficientes. ## 8.3 Coeficientes e raízes **Teorema 8.19 (Relações de Girard).** Seja $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ [mônico](#def-b1-poly-def), com raízes $a_1, \dots, a_n \in \C$ (com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative)). Então $$ \sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 , $$ sendo a $k$-ésima função simétrica das raízes igual a $(-1)^k c_{n-k}$. **Demonstração.** Pelo [Corolário 8.16](#cor-b1-poly-factorization), $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ ([mônico](#def-b1-poly-def), todas as raízes listadas). Expandir o produto distributivamente produz um termo por escolha, em cada fator, de $X$ ou do termo de raiz $-a_i$: escolher as raízes nos fatores de índices $i_1 < \dots < i_k$ e $X$ nos $n - k$ restantes contribui com $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$. Agrupando pela potência de $X$: $$ P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} , $$ e identificar com $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (os coeficientes são únicos, [Definição 8.1](#def-b1-poly-def)) dá $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$, isto é, $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$, em que $\sigma_k$ denota a $k$-ésima função simétrica exibida acima. Os três casos exibidos são $k = 1$, $k = 2$ e $k = n$. ∎ **Exemplo 8.20.** Para a quadrática $X^2 - sX + p$: soma das raízes $s$, produto $p$ — já usados repetidamente ([Exercício 3.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#exo-b1-complex-8)). Para uma cúbica [mônica](#def-b1-poly-def) $X^3 + aX^2 + bX + c$ com raízes $\alpha, \beta, \gamma$: $$ \alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c , $$ o que permite calcular grandezas simétricas como $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sem resolver nada. **Exemplo 8.21 (Transformar as raízes sem encontrá-las).** Sejam $\alpha, \beta$ as raízes de $X^2 - 3X + 1$. Que quadrática [mônica](#def-b1-poly-def) tem raízes $\alpha^2, \beta^2$? Por Girard, $\alpha + \beta = 3$ e $\alpha\beta = 1$, de modo que $$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 : $$ a resposta é $X^2 - 7X + 1$ — obtida sem calcular $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$. (Verificação: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$, e de fato $\alpha^2 + \beta^2 = 7$.) A mesma estratégia trata os inversos (transformações do tipo $X^2 - \frac ba X + \frac ca$), translações e quaisquer dados simétricos: as [relações de Girard](#thm-b1-poly-vieta) convertem perguntas sobre raízes *desconhecidas* em álgebra sobre coeficientes *conhecidos*. Elas servirão constantemente quando as raízes forem autovalores ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det)). **Exemplo 8.22 (Equações recíprocas).** Resolva $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$. Os coeficientes se leem do mesmo modo nos dois sentidos, de sorte que $0$ não é raiz e dividir por $X^2$ não perde soluções: $$ X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 . $$ Ponha $y = X + \frac1X$: então $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$, e a equação colapsa em $$ y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 . $$ Desdobre cada valor por meio de $X^2 - yX + 1 = 0$: para $y = 2$, $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ dá a raiz dupla $1$; para $y = -3$, $X^2 + 3X + 1 = 0$ dá $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$. Quatro raízes com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) para uma quártica, como o [Corolário 8.16](#cor-b1-poly-factorization) exige — obtidas resolvendo duas quadráticas. O truque cobre todo [polinômio](#def-b1-poly-def) *recíproco*: as suas raízes vêm em pares inversos $\{x, 1/x\}$ (substitua $X$ por $1/X$ e elimine denominadores), e $y = X + \frac1X$ é precisamente a grandeza constante em tais pares, reduzindo o grau à metade. **Teorema 8.23 (Interpolação de Lagrange).** Sejam $x_0, \dots, x_n$ pontos distintos de $K$ e $y_0, \dots, y_n \in K$. Existe exatamente um $P \in K[X]$ de grau $\leq n$ com $P(x_i) = y_i$ para todo $i$, a saber $$ P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} . $$ **Demonstração.** Cada $L_i$ tem grau $n$ e satisfaz $L_i(x_i) = 1$, $L_i(x_j) = 0$ para $j \neq i$ (cada fator se anula no $x_j$ correspondente). Logo, o $P$ exibido tem grau $\leq n$ e interpola. Unicidade: dois [polinômios](#def-b1-poly-def) interpoladores de grau $\leq n$ coincidem nos $n+1$ pontos $x_i$ e, portanto, são iguais ([Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). ∎ **Observação 8.24 (Interlúdio: polinômios também são vetores).** Uma mudança de ponto de vista que o [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/18-espacos-vetoriais#ch-b1-vspaces) tornará oficial: os [polinômios](#def-b1-poly-def) de grau $\leq n$ formam um espaço em que a adição e a multiplicação por escalar se comportam exatamente como coordenadas — um [polinômio](#def-b1-poly-def) *é* a sua lista de $n + 1$ coeficientes. Três enunciados deste capítulo são álgebra linear disfarçada. A [interpolação de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) diz que os dados de avaliação $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ determinam $P$ de modo único: avaliar em $n + 1$ pontos é uma bijeção linear, e os $L_i$ são a base adaptada a ela. A expansão $R = \sum c_k(X - a)^k$ na demonstração da [Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) diz que as potências de $(X - a)$ formam outro sistema de coordenadas, com $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ como coordenadas. E o [Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots) — mais raízes que o grau força o [polinômio](#def-b1-poly-def) nulo — é o motor de todas as unicidades: ele se tornará “uma [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) linear [injetiva](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj) num espaço de dimensão $n + 1$” no [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/19-dimensao-finita#ch-b1-findim). Quando esses capítulos chegarem, o espaço $K_n[X]$ será o seu exemplo predileto; vale chegar lá já fluente nele. **Observação 8.25 (Onde este capítulo é usado).** A fatoração sobre $\R$ e $\C$ ([Corolário 8.16](#cor-b1-poly-factorization)) é o motor das frações parciais no [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/9-fracoes-racionais#ch-b1-fractions), logo de uma vasta classe de integrais no [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/15-integracao-num-segmento#ch-b1-integration). A expansão de um [polinômio](#def-b1-poly-def) em potências de $(X - a)$, encontrada na demonstração da [Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity), é a sombra algébrica das fórmulas de Taylor do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor). Os [polinômios](#def-b1-poly-def) característicos já apareceram para as equações diferenciais ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/5-equacoes-diferenciais-lineares#ch-b1-diffeq)) e voltam para as matrizes no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/22-determinantes-e-sistemas-lineares#ch-b1-det); a [interpolação de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange) é o primeiro teorema de existência e unicidade da análise numérica, e os [polinômios de Chebyshev](#pb-b1-poly-1) do [Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10) — cuja otimalidade o problema de fim de semana abaixo estabelece — dizem a essa disciplina *onde* interpolar. Por fim, toda a aritmética de $K[X]$, copiada do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#ch-b1-arith), alimenta o estudo dos ideais de $K[X]$ e dos anéis quocientes no volume do segundo ano de graduação. ## 8.4 Exercícios **Exercício 8.1 ★.** Efetue as divisões euclidianas: $X^5 - 1$ por $X^2 + X + 1$; depois $2X^4 + X^3 - X + 3$ por $X^2 - 2$. **Solução de Exercício 8.1.** $X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$. Passos: subtraia $X^3 B$, depois $-X^2 B$, depois $B$; o resto $-X - 2$ tem grau $1 < 2$. *Verificação em $X = 1$:* $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$. $2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$. *Verificação em $X = 0$:* $\;3 = (-2)(4) + 11$. **Exercício 8.2 ★.** Para quais $n \in \N$ o [polinômio](#def-b1-poly-def) $X^2 + X + 1$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $X^{2n} + X^n + 1$? *Sugestão: as raízes de $X^2 + X + 1$ são $j$ e $j^2$, com $j = \eu^{2\iu\pi/3}$; discuta $n$ módulo $3$.* **Solução de Exercício 8.2.** $X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ com $j = \eu^{2\iu\pi/3}$, $j^3 = 1$. Ele [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ se, e somente se, $j$ e $j^2$ são raízes de $Q_n$; como $Q_n$ tem coeficientes reais, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$, de modo que a condição é apenas $Q_n(j) = 0$. Ora, $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ depende de $n$ módulo $3$: - $n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ; - $n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ; - $n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ . Logo, $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exatamente quando $3 \nmid n$. **Exercício 8.3 ★.** Determine os reais $a, b$ para que $(X-1)^2$ divida $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$, e depois fatore $P$ sobre $\R$ para esses valores. **Solução de Exercício 8.3.** Pela [Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity), $(X-1)^2 \mid P$ se, e somente se, $P(1) = P'(1) = 0$: $$ P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 . $$ Resolvendo: $b = -a - 2$ e $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$, de modo que $a = 0$, $b = -2$: $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$, que é a fatoração real. **Exercício 8.4 ★.** Fatore sobre $\C$ e sobre $\R$: $X^3 - 1$; $\;X^4 + X^2 + 1$; $\;X^6 - 1$. **Solução de Exercício 8.4.** $X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sobre $\C$ ($j = \eu^{2\iu\pi/3}$) e $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sobre $\R$. $X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sobre $\R$ (efetue o produto, ou note que $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$); sobre $\C$, cada quadrática se decompõe: raízes $j, j^2$ e $-j, -j^2$, isto é, $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$. $X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sobre $\C$ e, sobre $\R$: $$ X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1), $$ agrupando os pares conjugados $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ e $\eu^{\pm \iu\pi/3}$. **Exercício 8.5 ★★.** Seja $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 1. Encontre as raízes racionais *(uma raiz racional $p/q$ na forma irredutível de um [polinômio](#def-b1-poly-def) inteiro [mônico](#def-b1-poly-def) é um inteiro que [divide](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) o termo constante — demonstre-o)* e fatore $P$ . 2. Sem resolver, calcule a soma dos quadrados e a soma dos inversos das raízes pelas [relações de Girard](#thm-b1-poly-vieta) , e confira na fatoração. **Solução de Exercício 8.5.** 1. Seja $p/q$ (irredutível) uma raiz do [polinômio](#def-b1-poly-def) inteiro [mônico](#def-b1-poly-def) $X^3 + \dots + c_0$ : eliminar denominadores em $P(p/q) = 0$ dá $p^3 = -q\,(\text{inteiro})$ , de modo que $q \mid p^3$ ; a coprimalidade força $q = \pm 1$ : a raiz é um inteiro $p$ , e $p \mid c_0$ (isole $c_0$ ). Aqui os candidatos [dividem](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $6$ : testando, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Logo, $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ . 2. Girard: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Soma dos quadrados: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , como esperado. Soma dos inversos: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , como esperado. **Exercício 8.6 ★★.** Calcule $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ pelo [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#met-b1-arith-euclid) e escreva-o como combinação $AU + BV$ dos dois [polinômios](#def-b1-poly-def). **Solução de Exercício 8.6.** Primeiro passo de divisão do [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#met-b1-arith-euclid): $$ (X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 , $$ de modo que a divisão de $X^4 - 1$ por $X^3 - X^2 + X - 1$ é exata (quociente $X + 1$, resto $0$), e o algoritmo para de imediato: $$ \gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1 $$ (já [mônico](#def-b1-poly-def)). A relação de Bézout é a trivial: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$. Verificação de coerência por fatoração: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$, que é de fato o produto dos fatores irredutíveis comuns de $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$. **Exercício 8.7 ★★.** Seja $P \in \R[X]$ com $P(x) \geq 0$ para todo $x \in \R$. Demonstre que $P$ é uma soma de dois quadrados de [polinômios](#def-b1-poly-def) reais: $P = A^2 + B^2$. *Sugestão: na fatoração real, as raízes reais têm [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) par; escreva os fatores quadráticos como $(X - z)(X - \conj z)$ e use $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ no produto dos $(X - z)$.* **Solução de Exercício 8.7.** Como $P \geq 0$ em $\R$, as suas raízes reais têm [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) par (numa raiz de [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) ímpar, $P$ muda de sinal). Usando o [Corolário 8.16](#cor-b1-poly-factorization) e o emparelhamento, escreva $$ P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j}, $$ com $c > 0$ (comportamento em $+\infty$). Seja $$ S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X], $$ de modo que $P = S\,\conj S$, em que $\conj S$ tem os coeficientes conjugados. Separe $S = A + \iu B$ com $A, B \in \R[X]$: então $$ P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 . $$ **Exercício 8.8 ★★.** Encontre o [polinômio](#def-b1-poly-def) $P$ de grau $\leq 2$ com $P(0) = 1$, $P(1) = 3$, $P(2) = 2$, primeiro pela fórmula de Lagrange e depois resolvendo o sistema linear nos coeficientes. Verifique que as duas respostas coincidem. **Solução de Exercício 8.8.** Lagrange ([Teorema 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) com nós $0, 1, 2$: $$ P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1). $$ Expandindo: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$. Sistema: $P = aX^2 + bX + c$ com $c = 1$; $a + b + 1 = 3$; $4a + 2b + 1 = 2$. Subtraindo o dobro da segunda da terceira: $2a - 1 = -4$, de modo que $a = -\frac32$, $b = \frac72$. Mesmo [polinômio](#def-b1-poly-def): $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$. (Verificação: $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$.) **Exercício 8.9 ★★.** Demonstre que $P = X^{2n+1} - 1$ tem exatamente uma raiz real e que, para todo $n \geq 1$, o [polinômio](#def-b1-poly-def) $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ não tem raiz múltipla *(compare $P$ e $P'$)*. **Solução de Exercício 8.9.** $P = X^{2n+1} - 1$: $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$, de modo que a função polinomial é crescente (estritamente, exceto em $0$), com limites $\mp\infty$: ela se anula exatamente uma vez em $\R$ (em $x = 1$). Seja $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$. Então $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$. Uma raiz múltipla $a$ satisfaria $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ ([Proposição 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)), donde $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$, de modo que $a = 0$; mas $E_n(0) = 1 \neq 0$. Nenhuma raiz múltipla. **Exercício 8.10 ★★★.** ([Polinômios de Chebyshev](#pb-b1-poly-1)) Defina $T_0 = 1$, $T_1 = X$ e $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$. 1. Demonstre por indução que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ . 2. Deduza as $n$ raízes de $T_n$ e o seu coeficiente líder. 3. Demonstre que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , atingido em $n + 1$ pontos de $\intcc{-1}{1}$ . **Solução de Exercício 8.10.** 1. Indução (os dois casos base valem). Usando $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: $$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$$ 2. $T_n(\cos\theta) = 0$ se, e somente se, $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$: os números $$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$$ são $n$ pontos distintos de $\intoo{-1}{1}$ (os ângulos ficam em $\intoo{0}{\pi}$, onde $\cos$ é [injetivo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-inj)), todos raízes de $T_n$; como $\deg T_n = n$ (pela recorrência, com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$, por indução), essas são *todas* as raízes, cada uma simples. 3. Para $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , com igualdade se, e somente se, $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , isto é, nos $n+1$ pontos $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , em que $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Essa equioscilação faz de $2^{1-n}T_n$ o [polinômio mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ de menor norma do supremo em $\intcc{-1}{1}$ — demonstrado no problema de fim de semana deste capítulo.) **Exercício 8.11 ★★★.** Seja $P \in \C[X]$ não constante, com raízes distintas $a_1, \dots, a_r$ (de [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) $m_1, \dots, m_r$). Demonstre a identidade de funções racionais $$ \frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i}, $$ e deduza o teorema de Gauss–Lucas: toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$ *(avalie a identidade numa raiz $w$ de $P'$ que não seja raiz de $P$, tome conjugados e leia o resultado como sendo $w$ uma média ponderada dos $a_i$)*. **Solução de Exercício 8.11.** Escreva $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$. A regra do produto (estendida a vários fatores) dá $$ P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k}, $$ e, dividindo por $P$: $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (como funções racionais, isto é, longe das raízes). Seja $w$ uma raiz de $P'$. Se $w$ é um dos $a_i$, ele está na envoltória convexa trivialmente. Caso contrário, avaliando em $w$: $$ 0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} . $$ Conjugando: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$, em que $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$. Portanto, $$ w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} : $$ uma combinação convexa (pesos positivos com soma $1$ após normalização) das raízes $a_i$. Logo, toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$. **Exercício 8.12 ★★.** (Filtro das [raízes da unidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#def-b1-complex-unity)) Sejam $n \in \N^*$ e $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. Avaliando $(1 + X)^n$ em $1$, $j$ e $j^2$, demonstre que $$ \sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} , $$ e confira a fórmula para $n = 3$ e $n = 6$. *Sugestão: $1 + j^m + j^{2m}$ vale $3$ se $3 \mid m$ e $0$ caso contrário; e $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$.* **Solução de Exercício 8.12.** Some as avaliações de $(1 + X)^n$ nas três raízes cúbicas da unidade: $$ 2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk , $$ pois $1 + j^k + j^{2k}$ é uma soma geométrica igual a $3$ quando $3 \mid k$ e a $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ caso contrário. Ora, $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ e $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$, de modo que $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ e $$ \sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} . $$ Verificações: $n = 3$: $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$; $n = 6$: $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$. ## 8.5 Problema: Polinômios de Chebyshev e o polinômio mais achatado **Problema 8.1.** Entre todos os [polinômios](#def-b1-poly-def) *[mônicos](#def-b1-poly-def)* de grau $n$, qual deles fica mais próximo de zero em $\intcc{-1}1$? A resposta — o teorema de Chebyshev, a certidão de nascimento da teoria da aproximação — é $2^{1-n}T_n$, em que $T_n$ é o [polinômio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev do [Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10), e nenhum concorrente [mônico](#def-b1-poly-def) consegue superar o seu desvio $2^{1-n}$. Este problema desenvolve a álgebra da família $(T_n)$ ([lei de composição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-law), coeficientes explícitos, a família de segunda espécie $U_n$, uma equação diferencial), demonstra o teorema de extremalidade com o seu caso de igualdade e recolhe aplicações: nós ótimos de interpolação, o valor exato de $\cos 36^\circ$ e uma [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) $T_p \equiv X^p \pmod p$. Ao longo do problema, $T_0 = 1$, $T_1 = X$, $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$, e usamos livremente $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ do [Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10). **Parte I — A família $(T_n)$.** 1. Calcule $T_2, T_3, T_4, T_5$ pela recorrência. (Compare $T_3$ com a identidade $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ do [Exemplo 3.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ex-b1-complex-cos3) .) 2. Demonstre por indução que $\deg T_n = n$ , com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , e que $T_n$ tem a paridade de $n$ (só aparecem potências pares ou só ímpares). 3. Demonstre o princípio de unicidade: $T_n$ é o *único* [polinômio](#def-b1-poly-def) que satisfaz $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ . (Dois [polinômios](#def-b1-poly-def) que coincidem em $\intcc{-1}1$ coincidem em toda parte: [Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots) .) 4. Deduza as [leis de composição](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/7-estruturas-algebricas#def-b1-structures-law) e de produto: $$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$$ 5. Recorde do [Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10) as raízes $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ e os pontos de equioscilação $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ , com $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Escreva a fatoração completa de $T_n$ sobre $\R$ e justifique que os $y_k$ se intercalam: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . 6. Demonstre que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ para todo $t \in \R$ (mesma indução, usando a [Proposição 4.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-hyprules)) e deduza, para $x \geq 1$, a forma fechada $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$$ de modo que $T_n(x) > 1$ para $x > 1$: fora de $\intcc{-1}1$ o [polinômio](#def-b1-poly-def) escapa imediatamente. **Parte II — Coeficientes, a família $U_n$ e uma equação diferencial.** 1. A partir da fórmula de De Moivre ([Corolário 3.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#cor-b1-complex-demoivre)), demonstre a expressão explícita $$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$$ e verifique-a para $n = 3$. 2. Calcule $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ e $T_n(0)$ para todo $n$ . 3. Defina $U_n$ ( *de segunda espécie* ) por $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Demonstre que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ para $\theta \notin \pi\Z$ , e que $T_n' = n\,U_{n-1}$ para $n \geq 1$ . 4. Demonstre que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ para todo $\theta$ (indução) e deduza a estimativa do tipo Markov $$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{em} \intcc{-1}1, \qquad\text{com} T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$$ 5. Mostre que $y = T_n$ satisfaz a equação diferencial $$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$$ derivando a identidade $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ em relação a $\theta$; verifique diretamente para $T_2$. **Parte III — O teorema de extremalidade de Chebyshev.** Seja $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ ([mônico](#def-b1-poly-def) pela questão 2) e escreva $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$. 1. Justifique que $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , atingido com sinais alternados nos $n + 1$ pontos $y_n < \dots < y_0$ . 2. Suponha que algum $P$ [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ tivesse $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , e ponha $D = \widetilde T_n - P$ . Mostre que $\deg D \leq n - 1$ e que $D(y_k)$ tem o sinal estrito de $(-1)^k$ para cada $k = 0, \dots, n$ . 3. Deduza que $D$ tem pelo menos $n$ raízes reais distintas (uma em cada intervalo, pela propriedade do valor intermediário, usada aqui no nível do ensino médio e demonstrada no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity)) e conclua o *teorema de Chebyshev*: todo $P$ [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ satisfaz $$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$$ 4. (Caso de igualdade, primeiro passo) Suponha agora $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exatamente, com $P$ [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ , e seja $D = \widetilde T_n - P$ . Mostre que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ para todo $k$ e que, se $D(y_k) = 0$ num ponto *interior* $y_k$ ( $0 < k < n$ ), então $D'(y_k) = 0$ também. *(Num $y_k$ interior, tanto $\widetilde T_n$ quanto $P$ atingem um extremo de valor absoluto $\norm{\cdot} _\infty$; uma função derivável tem derivada nula num extremo interior — usado no nível do ensino médio, demonstrado no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative).)* 5. (Caso de igualdade, conclusão) Conte as raízes de $D$ com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) para mostrar que $D = 0$ : o minimizante é *único* , $P = \widetilde T_n$ . 6. Transporte para um segmento arbitrário $\intcc ab$ : mostre que a norma do supremo mínima de um [polinômio mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ em $\intcc ab$ é $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , atingida por um [polinômio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev reescalonado. *(Substitua $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ e acompanhe o coeficiente líder.)* **Parte IV — Aplicações.** 1. Trabalhe o caso $n = 3$ à mão: localize os extremos de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ em $\intcc{-1}1$ , verifique a equioscilação em quatro pontos com valor $\frac14$ e conclua que nenhuma cúbica [mônica](#def-b1-poly-def) faz melhor. 2. (Nós ótimos de interpolação) Para $n + 1$ nós $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , o erro de interpolação é governado por $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (como o [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/16-formulas-de-taylor-e-expansoes-assintoticas#ch-b1-taylor) quantificará). Demonstre que a escolha que minimiza $\norm\omega_\infty$ é o [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) das $n + 1$ raízes de $T_{n+1}$ , com $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : os nós de Chebyshev são os lugares certos para interpolar. 3. Usando $T_5$, demonstre que $c = \cos 36^\circ$ satisfaz $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$, fatore esse [polinômio](#def-b1-poly-def) como $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ e conclua que $$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$$ Verifique a coerência com $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ do [Exercício 3.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#exo-b1-complex-8). 4. Estime $T_{10}(1.1)$ com a forma fechada da questão 6 (dois algarismos significativos bastam) e interprete: um [polinômio](#def-b1-poly-def) limitado por $1$ em $\intcc{-1}1$ já pode exceder $40$ em $x = 1.1$ . (Que $T_n$ cresça *o mais rápido* entre tais [polinômios](#def-b1-poly-def) é outra propriedade extremal da família, além deste problema.) 5. Demonstre a [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) : para todo [primo](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-prime) ímpar $p$ , todos os coeficientes de $T_p - X^p$ são divisíveis por $p$ . *(Use a questão 7 e $p \mid \binom p{2j}$ para $0 < 2j < p$, da demonstração do [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-fermat).)* Verifique em $T_3$ e $T_5$ . **Parte V — Síntese.** 1. Calcule explicitamente a quadrática [mônica](#def-b1-poly-def) de norma do supremo mínima em $\intcc01$ e o seu desvio. (Questão 17 com $n = 2$ .) 2. Onde exatamente o problema usou: (i) a rigidez dos [polinômios](#def-b1-poly-def) ( [Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots) ); (ii) a trigonometria do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ch-b1-complex) e do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions) ; (iii) a aritmética dos [coeficientes binomiais](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/2-contagem#def-b1-counting-objects) do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#ch-b1-arith) ? Uma frase para cada. 3. Síntese, num parágrafo curto: o teorema diz que o [polinômio mônico](#def-b1-poly-def) mais achatado é aquele que *equioscila* , e a demonstração converte a otimalidade numa contagem de raízes. Comente esse mecanismo, o papel da substituição $x = \cos\theta$ como ponte entre álgebra e trigonometria, e nomeie os dois lugares em que o problema precisou de fatos de análise (TVI, extremo interior) que capítulos posteriores demonstram. **Solução de Problema 8.1.** **1.** $T_2 = 2X^2 - 1$; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$. A identidade $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ é exatamente $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ do [Exemplo 3.9](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ex-b1-complex-cos3). **2.** Verdadeiro para $n = 1, 2$. Se $T_{n-1}$ e $T_n$ têm graus $n-1$ e $n$ e coeficientes líderes $2^{n-2}$ e $2^{n-1}$, então $2X\,T_n$ tem grau $n+1$ e coeficiente líder $2^n$, ao passo que $T_{n-1}$ tem grau menor: $T_{n+1}$ tem grau $n + 1$ e coeficiente líder $2^n$. Paridade: se $T_{n-1}$ tem a paridade de $n - 1$ e $T_n$ a de $n$, então $2X\,T_n$ e $T_{n-1}$ têm ambos a paridade de $n + 1$, e portanto $T_{n+1}$ também. **3.** Se $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$, então $P$ e $T_n$ coincidem em todo ponto de $\intcc{-1}1$ — um [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-sets) infinito — de modo que $P - T_n$ tem infinitas raízes e é o [polinômio](#def-b1-poly-def) nulo ([Corolário 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). **4.** Para $x = \cos\theta$: $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$, e $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$. As duas identidades valem em $\intcc{-1}1$ e, portanto, como identidades polinomiais, pelo argumento da questão 3. **5.** Os $x_k$ são $n$ raízes simples distintas e o coeficiente líder é $2^{n-1}$: $$ T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) . $$ Intercalação: os ângulos $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ alternam entre os ângulos $y$, $\frac{k\pi}n$, e os ângulos $x$, $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$; como $\cos$ é estritamente decrescente em $\intcc0\pi$, os valores se intercalam na ordem inversa: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$. Entre dois extremos consecutivos há exatamente uma raiz, como uma figura de $\cos n\theta$ sugere. **6.** Indução com $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ ([Proposição 4.18](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#prop-b1-functions-hyprules)): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$. Para $x \geq 1$, escreva $x = \cosh t$ com $t \geq 0$; então $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ e $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$, de modo que $$ T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 . $$ Para $x > 1$, o primeiro termo excede $\frac12(1)^n$ estritamente e cresce geometricamente: $T_n(x) > 1$. **7.** De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$, e $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$. Substituindo $x = \cos\theta$ e invocando a questão 3: $$ T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j . $$ Para $n = 3$: $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$, como na questão 1. **8.** $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$, que vale $0$ para $n$ ímpar e $(-1)^{n/2}$ para $n$ par. **9.** Indução para $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$: verdadeiro para $U_0 = 1$ e $U_1 = 2X$ ($\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$); o passo é a identidade de transformação em produto $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$. Agora derive $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ em $\theta$: $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$, de modo que, para $\theta \notin \pi\Z$: $$ T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) , $$ e os [polinômios](#def-b1-poly-def) $T_n'$ e $nU_{n-1}$, que coincidem em $\intoo{-1}1$, são iguais. **10.** $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$, e a indução dá $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$. Portanto, $\abs{U_{n-1}} \leq n$ em $\intoo{-1}1$ e $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ ali; em $\pm1$ a estimativa se estende por limites (ou diretamente: $U_{n-1}(1) = n$ pela recorrência, $U_n(1) = n + 1$ por indução, e a paridade dá $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$). Assim, $T_n'(1) = n^2$ e $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$: a estimativa $n^2$ é atingida nas extremidades. **11.** Derive $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (questão 9) em relação a $\theta$: $$ \cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) . $$ Com $x = \cos\theta$ e $\sin^2\theta = 1 - x^2$: $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ em $\intcc{-1}1$, logo em toda parte: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ para $y = T_n$. Verificação para $T_2 = 2x^2 - 1$: $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$. **12.** $\widetilde T_n$ é [mônico](#def-b1-poly-def) (questão 2) e $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ em $\intcc{-1}1$, com $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ nos $n + 1$ pontos $y_k$ ([Exercício 8.10](#exo-b1-poly-10)): a norma vale exatamente $2^{1-n}$, atingida com sinais alternados. **13.** $\widetilde T_n$ e $P$ são ambos [mônicos](#def-b1-poly-def) de grau $n$, de modo que os termos líderes se cancelam: $\deg D \leq n - 1$. Em $y_k$: $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$, e $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ força o sinal de $D(y_k)$ a ser o de $(-1)^k2^{1-n}$, estritamente. **14.** $D$ muda de sinal entre $y_{k+1}$ e $y_k$ para cada $k = 0, \dots, n-1$: pela propriedade do valor intermediário, $D$ tem uma raiz em cada um desses $n$ intervalos abertos dois a dois disjuntos — $n$ raízes distintas para um [polinômio](#def-b1-poly-def) não nulo de grau $\leq n - 1$, o que é impossível. E $D = 0$ também é impossível (as normas diferem). Contradição: nenhum $P$ [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$ tem $\norm P_\infty < 2^{1-n}$, o que é o teorema de Chebyshev. **15.** Agora vale apenas $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$, de modo que $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$. Suponha que $D(y_k) = 0$ num $y_k$ interior ($0 < k < n$): então $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$, de sorte que $\abs P$ atinge o seu supremo $2^{1-n}$ no ponto interior $y_k$, donde $P'(y_k) = 0$ (extremo interior); e $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$, pois $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — de modo que $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ também, e $D'(y_k) = 0$: $y_k$ é raiz de $D$ de [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative) pelo menos $2$. **16.** Conte as raízes de $D$ com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative). Seja $z$ o número de pontos interiores $y_k$ com $D(y_k) = 0$ (cada um uma raiz dupla, pela questão 15) e $e \in \{0, 1, 2\}$ o número de extremidades ($y_0$ ou $y_n$) com $D = 0$ (cada uma ao menos uma raiz simples). Um intervalo $(y_{k+1}, y_k)$ cujas duas extremidades têm ambas $D \neq 0$ carrega sinais estritamente alternados, logo uma raiz interior. Cada ponto interior que se anula estraga no máximo os dois intervalos adjacentes, e cada extremidade que se anula, no máximo um intervalo: pelo menos $n - 2z - e$ intervalos ainda contribuem com uma raiz cada, todas distintas das raízes $y$. Total: pelo menos $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ raízes com [multiplicidade](#def-b1-poly-derivative), para um [polinômio](#def-b1-poly-def) de grau $\leq n - 1$: logo $D = 0$ e $P = \widetilde T_n$. O minimizante é único. **17.** A [aplicação](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/1-logica-conjuntos-e-aplicacoes#def-b1-logic-map) afim $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ é uma bijeção $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$. Se $P$ é [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n$, então $Q(t) = P(x(t))$ é um [polinômio](#def-b1-poly-def) em $t$ com coeficiente líder $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$, e $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$. O [polinômio mônico](#def-b1-poly-def) $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ tem norma do supremo $\geq 2^{1-n}$ (questões 13–14), de modo que $$ \sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n , $$ com igualdade exatamente para $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (questão 16). **18.** $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ se anula em $\pm\frac12$. Valores: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$, $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$, $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$, $\widetilde T_3(1) = \frac14$: quatro extremos alternados de valor absoluto $\frac14$ — de modo que $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$, e, pelo teorema de Chebyshev, nenhuma cúbica [mônica](#def-b1-poly-def) tem norma do supremo menor em $\intcc{-1}1$. **19.** $\omega$ é [mônico](#def-b1-poly-def) de grau $n + 1$, de modo que $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ pelo teorema de Chebyshev (grau $n+1$), com igualdade se, e somente se, $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (questão 16), isto é, se, e somente se, os nós são as $n + 1$ raízes de $T_{n+1}$. Com os nós de Chebyshev, o fator de erro $\norm\omega_\infty$ vale $2^{-n}$ — o menor possível. **20.** $5 \times 36^\circ = 180^\circ$, de modo que $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$: $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$. Testando $x = -1$: $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$, e a expansão confirma que $$ 16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 . $$ Como $c = \cos36^\circ \neq -1$, $c$ é raiz de $4x^2 - 2x - 1$, cujas raízes são $\frac{1 \pm \sqrt5}4$; como $c > 0$, $$ \cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 . $$ Coerência: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$, o valor encontrado no [Exercício 3.8](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#exo-b1-complex-8). **21.** $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$, de modo que $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ e $(1.558)^{10} \approx 84.5$, ao passo que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$: $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$. Um [polinômio](#def-b1-poly-def) preso a $\intcc{-1}1$ no intervalo já cresceu além de $40$ a um décimo fora da sua borda: ser limitado num segmento nada diz uma polegada fora dele. **22.** Na fórmula da questão 7 para $T_p$, o termo $j = 0$ é $X^p$; todo outro termo carrega $\binom p{2j}$ com $0 < 2j < p$ (note que $2j \neq p$, pois $p$ é ímpar), que é divisível por $p$ pelo primeiro passo da demonstração do [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#thm-b1-arith-fermat). Portanto, todo coeficiente de $T_p - X^p$ é múltiplo de $p$. Verificações: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$. **23.** Pela questão 17 com $\intcc ab = \intcc01$ e $n = 2$: desvio mínimo $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$, atingido por $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$. A quadrática [mônica](#def-b1-poly-def) mais próxima de zero em $\intcc01$ é $x^2 - x + \frac18$, com norma do supremo $\frac18$. **24.** (i) A rigidez — um [polinômio](#def-b1-poly-def) com mais raízes que o seu grau é nulo — alimentou o princípio de unicidade (questão 3), a transferência de identidades trigonométricas para identidades polinomiais (questões 4, 7, 9 e 11) e os dois argumentos de contagem de raízes da demonstração de extremalidade (questões 14 e 16). (ii) A trigonometria do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/3-numeros-complexos#ch-b1-complex) (De Moivre, transformação em produto) e as [funções hiperbólicas](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#def-b1-functions-hyperbolic) do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/4-funcoes-usuais#ch-b1-functions) forneceram todas as identidades por trás da família; a substituição $x = \cos\theta$ é a ponte. (iii) A [divisibilidade](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-divides) $p \mid \binom p{2j}$ do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#ch-b1-arith) transformou a fórmula dos coeficientes na [congruência](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/6-aritmetica-dos-inteiros#def-b1-arith-congruence) da questão 22. **25.** O teorema de Chebyshev converte uma otimização sobre uma família de dimensão infinita (todos os [polinômios mônicos](#def-b1-poly-def)) em combinatória finita: um concorrente melhor que $\widetilde T_n$ difereria dele por um [polinômio](#def-b1-poly-def) de grau baixo obrigado a mudar de sinal $n$ vezes — uma raiz a mais do que o seu grau permite. O padrão de equioscilação não é, portanto, uma curiosidade, mas o próprio certificado de otimalidade, e o caso de igualdade refina a contagem de raízes com [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative). A substituição $x = \cos\theta$ merece a última palavra: ela transporta o mundo rígido e discreto dos [polinômios](#def-b1-poly-def) para o mundo periódico da trigonometria, em que as raízes e os extremos de $T_n$ são simplesmente a grade regular de $\cos n\theta$. Os dois fatos de análise tomados emprestados — a propriedade do valor intermediário (questão 14; demonstrada no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/13-limites-e-continuidade#ch-b1-continuity)) e a derivada nula num extremo interior (questão 15; demonstrada no [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/pt/chapter/14-derivacao#ch-b1-derivative)) — são exatamente as ferramentas que esses capítulos posteriores devolverão, fechando o ciclo.