--- title: "المجموعات والبنى" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2" subject: math language: ar chapter: 1 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures --- # الفصل 1 — المجموعات والبنى يشحذ هذا الفصل الافتتاحي الأسس الموضوعة في مجلد السنة الأولى ويحوّلها إلى أدوات عمل يومية: حساب المجموعات ومجموعات القسمة، ومقارنة المجموعات غير المنتهية (قابلية العد، كانتور–برنشتاين)، والنظرية البنيوية للزمر والحلقات — مبرهنة لاغرانج، والزمرة المتناظرة مع إشارتها، والمثاليات ومبرهنة البواقي الصينية. كل ما هنا يُستعمل بلا انقطاع في بقية الكتاب: الإشارة تبني المحدد ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg))، [وحلقات القسمة](#def-b2-structures-quotientring) تُدير الحساب، وقابلية العد تقوم تحت الطوبولوجيا والاحتمال معًا. ## 1.1 المجموعات والتطبيقات ومجموعات القسمة نستعمل بحرية لغة المجموعات والتطبيقات وعلاقات التكافؤ والترتيب التي أُرسيت في مجلد السنة الأولى. وهناك تحسينان يستحقان صياغة صريحة. **قضية 1.1 (صور العائلات وصورها العكسية).** ليكن $f \colon E \to F$ ولتكن $(A_i)_{i \in I}$ و$(B_j)_{j \in J}$ عائلتين من أجزاء $E$ و$F$ على التوالي. عندئذٍ $$ f^{-1}\Bigl(\bigcup_j B_j\Bigr) = \bigcup_j f^{-1}(B_j), \qquad f^{-1}\Bigl(\bigcap_j B_j\Bigr) = \bigcap_j f^{-1}(B_j), \qquad f^{-1}(F \setminus B) = E \setminus f^{-1}(B), $$ $$ f\Bigl(\bigcup_i A_i\Bigr) = \bigcup_i f(A_i), \qquad f\Bigl(\bigcap_i A_i\Bigr) \subseteq \bigcap_i f(A_i) \quad (\text{مع المساواة إذا كان } f). $$ متباينًا **برهان.** كل متطابقة هنا ليست إلا فكًّا للتعاريف؛ فمثلًا $x \in f^{-1}(\bigcap B_j) \iff f(x) \in B_j$ لكل $j$ $\iff x \in f^{-1}(B_j)$ لكل $j$. أما متطابقات الصورة وانعدام المساواة في حالة التقاطع (مع تصحيحها بالتباين) فقد بُرهنت في مجلد السنة الأولى من أجل مجموعتين؛ والحجج نفسها تصلح للعائلات. ∎ **مثال 1.2 (حيث يكون احتواء الصور تامًا).** لنأخذ $f \colon \R \to \R$، $f(x) = x^2$، مع $A_1 = \intcc{-1}{0}$ و$A_2 = \intcc{0}{1}$. عندئذٍ $$ f(A_1 \cap A_2) = f(\{0\}) = \{0\}, \qquad f(A_1) \cap f(A_2) = \intcc{0}{1} \cap \intcc{0}{1} = \intcc{0}{1} : $$ فالاحتواء في [القضية 1.1](#prop-b2-structures-images) تامّ إلى أقصى حدّ — إذ إن نقطتي الصورة العكسية $\pm x$ لقيمة مشتركة تقعان في $A_i$ مختلفين. والتباين هو بالضبط ما يمنع هذا الانفصال، ولهذا تُحقق الصور العكسية (التي لا تدمج نقطتين أبدًا) المتطابقات الأربع دون شرط، بينما تفقد الصور تلك المتعلقة بالتقاطع. قاعدة عملية للكتاب كله: مرّر *الصور العكسية* عبر عمليات المجموعات بلا تردد، وعامِل الصور بحذر. **تعريف 1.3 (مجموعة القسمة).** لتكن $\mathcal{R}$ علاقة تكافؤ على $E$. تُسمى *مجموعة القسمة* $E/\mathcal{R}$ مجموعة أصناف التكافؤ؛ والتطبيق الشامل $\pi \colon E \to E/\mathcal{R}$، $x \mapsto \mathrm{cl}(x)$، هو *الإسقاط القانوني*. *الخاصية الشمولية (التحليل إلى عوامل):* إذا كان $f \colon E \to F$ *متوافقًا* مع $\mathcal{R}$ (أي $x \mathbin{\mathcal{R}} y \implies f(x) = f(y)$)، فهناك تطبيق وحيد $\overline f \colon E/\mathcal{R} \to F$ يحقق $f = \overline f \circ \pi$. **برهان الخاصية الشمولية.** الوحدانية: الشرط $f = \overline f \circ \pi$ يُكتب $$ \overline f\bigl(\mathrm{cl}(x)\bigr) = f(x) \qquad (x \in E), $$ وبما أن $\pi$ شامل، فإن كل عنصر من $E/\mathcal{R}$ هو $\mathrm{cl}(x)$ ما: فقيم $\overline f$ كلها مفروضة. الوجود: نأخذ الصيغة المعروضة *تعريفًا* للتطبيق $\overline f$؛ وهي غير ملتبسة بالضبط بفضل التوافق — إذ إن $\mathrm{cl}(x) = \mathrm{cl}(y)$ يعطي $x \mathbin{\mathcal{R}} y$، ومنه $f(x) = f(y)$ فتتفق القيمتان المرشحتان — وهي تُحلّل $f$ بحكم الإنشاء. ولاحظ تقسيم العمل: شمول $\pi$ يعطي الوحدانية، والتوافق يعطي الوجود. ∎ **مثال 1.4.** $\Z/n\Z$ هي قسمة $\Z$ على التوافق ترديد $n$؛ وعمليات التحقق من حسن التعريف في مجلد السنة الأولى كانت حالات خاصة من الخاصية الشمولية. فمجموعات القسمة تحوّل “الإنشاءات المتوافقة على الممثلين” إلى تطبيقات صريحة — وهذا ما نستعمله باستمرار فيما يلي. ## 1.2 قابلية العد والقوة **تعريف 1.5 (تساوي القوة، قابلية العد).** تكون مجموعتان *متساويتي القوة* إذا وُجد تقابل بينهما. وتكون مجموعة *قابلة للعد* إذا كانت مساوية القوة للمجموعة $\N$ (يُدرج بعض المؤلفين المجموعات المنتهية؛ نقول نحن *قابلة للعد على الأكثر* بمعنى “منتهية أو قابلة للعد”). **قضية 1.6 (خواص الاستقرار).** 1. كل جزء غير منته من $\N$ قابل للعد؛ ومجموعة تكون [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) على الأكثر إذا وفقط إذا انغرست في $\N$ إذا وفقط إذا كانت خالية أو صورة شاملة للمجموعة $\N$ . 2. $\N \times \N$ [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) ؛ وجداء مجموعتين قابلتين للعد على الأكثر قابل للعد على الأكثر. 3. اتحاد قابل للعد على الأكثر من مجموعات [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) على الأكثر هو قابل للعد على الأكثر. 4. $\Z$ و $\Q$ قابلتان للعد. **برهان.** (1) نُرتّب جزءًا غير منته $A \subseteq \N$ بأخذ الأصغر تكرارًا: $a_0 = \min A$، $a_{k+1} = \min\,(A \setminus \{a_0, \dots, a_k\})$ (غير خالية لأن $A$ غير منتهية)؛ فالتطبيق $k \mapsto a_k$ متزايد تمامًا، ومتباين، وشامل على $A$ (فكل $a \in A$ يفوق عددًا منتهيًا فقط من عناصر $A$، ومن ثم يُبلَغ). وإذا انغرست $E$ في $\N$ بواسطة $\varphi$، فإن $E$ مساوية القوة للمجموعة $\varphi(E) \subseteq \N$: أي منتهية أو [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable). وإذا كان $s \colon \N \to E$ شاملًا، فإن $x \mapsto \min s^{-1}(\{x\})$ يغرس $E$ في $\N$. (2) التطبيق $(p, q) \mapsto 2^p(2q + 1) - 1$ تقابل $\N^2 \to \N$ (فلكل عدد صحيح موجب تفكيك وحيد إلى فردي وقوة للعدد 2 على الصورة $2^p m$ مع $m$ فردي، بحكم وحدانية التفكيك). أما الجداءات: فنركّب الغرسات. (3) لتكن مجموعات $E_n$ مع تطبيقات شاملة $s_n \colon \N \to E_n$ (ولا ضير إذا كانت بعض $E_n$ منتهية: نكرر القيم)، فالتطبيق $(n, k) \mapsto s_n(k)$ شامل من [المجموعة القابلة للعد](#def-b2-structures-countable) $\N^2$ على $\bigcup E_n$. (4) $\Z = \N \cup (-\N^*)$: اتحاد قابل للعد. و$\Q$ صورة شاملة للمجموعة $\Z \times \N^*$ (تطبيق الكسر)، ومن ثم [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) على الأكثر، وهي غير منتهية. ∎ **مثال 1.7 (دالة ازدواج، محسوبة).** التقابل $(p, q) \mapsto 2^p(2q + 1) - 1$ الوارد في البرهان جدير بأن نراه في العمل. وهذه قيمه الأولى: $$ \begin{array}{c|ccccc} & q = 0 & q = 1 & q = 2 & q = 3 & q = 4\\ \hline p = 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8\\ p = 1 & 1 & 5 & 9 & 13 & 17\\ p = 2 & 3 & 11 & 19 & 27 & 35\\ p = 3 & 7 & 23 & 39 & 55 & 71 \end{array} $$ يجمع السطر $p$ الأعداد الصحيحة $n$ التي يقبل من أجلها $n + 1$ القسمة تمامًا على $2^p$: فكل عدد طبيعي يظهر مرة واحدة بالضبط. وفكّ الترميز صريح كترميزه: من أجل $n = 43$، نفكك $n + 1 = 44 = 2^2\cdot 11 = 2^2(2\cdot5 + 1)$، ومنه $(p, q) = (2, 5)$. والفكرة الختامية: براهين قابلية العد كثيرًا ما تكون *خوارزميات* متخفية — وهي هنا “أخرِج قوى العدد 2”. **مثال 1.8 (الأعداد الجبرية قابلة للعد).** يكون عدد عقدي *جبريًا* إذا أعدم كثير حدود غير معدوم بمعاملات ناطقة. ومجموعة الأعداد الجبرية $\overline\Q$ [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable): فكثيرات الحدود من الدرجة $\leq d$ على $\Q$ تنغرس في $\Q^{d+1}$، وهو جداء منته لمجموعات [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) ([القضية 1.6](#prop-b2-structures-countablestable) (2))؛ والاتحاد على $d$ يُعدّد كثيرات الحدود الناطقة غير المعدومة على الصورة $P_0, P_1, P_2, \dots$؛ ولكل $P_k$ عدد منته من الجذور؛ و $$ \overline\Q = \bigcup_{k \in \N}\ \{\text{جذور } P_k\} $$ هو اتحاد قابل للعد لمجموعات منتهية ([القضية 1.6](#prop-b2-structures-countablestable) (3))، وهو غير منته لأنه يحتوي $\Q$. وباقتران ذلك بعدم قابلية $\R$ للعد ([المبرهنة 1.9](#thm-b2-structures-cantor) أدناه)، نبرهن — دون إبراز عدد واحد — على وجود الأعداد المتسامية وعلى أنها تشكّل الأغلبية غير [القابلة للعد](#def-b2-structures-countable): إنها حجة العدّ عند كانتور سنة 1874، وجودٌ بالقوة وحدها. **مبرهنة 1.9 (كانتور؛ عدم قابلية R\RR للعد).** 1. من أجل كل مجموعة $E$ ، لا يوجد تطبيق شامل $E \to \mathcal{P}(E)$ . 2. $\R$ *غير* [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) . **برهان.** (1) بُرهن عليه في مجلد السنة الأولى (المجموعة القطرية $D = \{x : x \notin f(x)\}$). (2) لنفترض أن $(x_n)_{n \in \N}$ يُعدّد $\R$. نبني قطعًا متداخلة $I_0 \supseteq I_1 \supseteq \dots$ بحيث $\abs{I_n} = 3^{-n}$ و $x_n \notin I_n$: نقسم القطعة الجارية إلى ثلاثة أثلاث مغلقة؛ فأحد الأثلاث على الأقل يتجنب $x_n$ (لأن نقطة تلتقي اثنين على الأكثر من الثلاثة). ومبرهنة القطع المتداخلة (بأطراف متجاورة) تعطي $\ell \in \bigcap_n I_n$؛ لكن $\ell = x_N$ من أجل $N$ ما، و$x_N \notin I_N$: تناقض. ∎ **مبرهنة 1.10 (كانتور–برنشتاين).** إذا انغرست $E$ في $F$ وانغرست $F$ في $E$، فإن $E$ و$F$ متساويتا القوة. **برهان.** ليكن $f \colon E \to F$ و$g \colon F \to E$ غرستين. من أجل كل نقطة (من $E$ أو $F$)، نتتبع *سلسلة أسلافها* من الصور العكسية المتتابعة، $x \mapsto g^{-1}(x) \mapsto f^{-1}(g^{-1}(x)) \mapsto \dots$ — وكل خطوة معرَّفة ما دامت النقطة الجارية تنتمي إلى صورة الغرسة المعنية، وهي عندئذٍ وحيدة بحكم التباين. وهناك ثلاثة مصائر يستبعد بعضها بعضًا: تتوقف السلسلة عند نقطة من $E \setminus g(F)$ (*المنشأ في $E$*)، أو تتوقف عند نقطة من $F \setminus f(E)$ (*المنشأ في $F$*)، أو لا تتوقف أبدًا. وهذا يقسم $E = E_E \cup E_F \cup E_\infty$ و$F = F_E \cup F_F \cup F_\infty$ حسب المنشأ. ولنلاحظ الآن: $f$ يرسل $E_E$ *على* $F_E$ — فسلسلة $f(x)$ هي سلسلة $x$ مسبوقة بخطوة واحدة، ومن ثم يتطابق المنشآن؛ ولكل $y \in F_E$ سلسلة فيها خطوة واحدة على الأقل (لأن منشأه يقع في $E$)، ومنه $y = f(x)$ مع $x \in E_E$. والحجة نفسها تعطي تقابلين $f \colon E_\infty \to F_\infty$ و$g \colon F_F \to E_F$. وباللصق، فإن $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{إذا كان } x \in E_E \cup E_\infty,\\ g^{-1}(x) & \text{إذا كان } x \in E_F, \end{cases} $$ تقابل من $E$ على $F = F_E \cup F_\infty \cup F_F$: فهو تقابل على كل قطعة، والقطع الثلاث في المجموعة الهدف منفصلة مثنى مثنى. ∎ **مثال 1.11.** $\intoo{0}{1}$ و$\intcc{0}{1}$ متساويتا القوة: فالمطابق يغرس في اتجاه، و$x \mapsto \frac{x + 1}{3}$ في الاتجاه الآخر؛ والمبرهنة تصنع التقابل (غير المتصل بالضرورة). وكذلك $\R$ و$\intoo{0}{1}$ (بتقابلات من نمط $\tanh$) و $\mathcal{P}(\N)$ (بالنشر الثنائي، [التمرين 1.3](#exo-b2-structures-3)) كلها متساوية القوة: إنها “قوة المتصل”. **مثال 1.12 (القطعة والمربع).** $\intcc{0}{1}$ و$\intcc{0}{1}^2$ متساويتا القوة — فالبعد غير مرئي للقوة. إحدى الغرستين بديهية: $x \mapsto (x, 0)$. أما الأخرى فنرسل $(x, y)$ إلى العدد الحقيقي الذي تتشابك أرقامه العشرية مع أرقام $x$ و$y$، $$ (0.x_1x_2x_3\dots,\ 0.y_1y_2y_3\dots) \;\longmapsto\; 0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\dots, $$ مع اختيار النشر الذي لا ينتهي بالرقم $9$ المتكرر من أجل كل إحداثي: وبهذا الاصطلاح تحدد أرقام الصورة أرقام $x$ و$y$، فالتطبيق متباين (ولا يلزم أن يكون شاملًا — إذ لا تحتوي الصور مثلًا على أرقام في المواضع الفردية تنتهي إلى $9$ — ولا ضير في ذلك). ومبرهنة كانتور–برنشتاين ([المبرهنة 1.10](#thm-b2-structures-cantorbernstein)) تُركّب تقابلًا حقيقيًا. أما الاتصال فميؤوس منه بالطبع: لا يمكن أن يوجد تقابل متصل بينهما — وفصول الفضاءات المترية تشرح السبب (الترابط يميز المستقيم عن المستوي، [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric)). ## 1.3 الزمر **تعريف 1.13 (الزمرة الجزئية المولَّدة؛ الرتبة).** لتكن $G$ زمرة وليكن $A \subseteq G$. الزمرة الجزئية *المولَّدة* بالجزء $A$، ويُرمز إليها $\langle A \rangle$، هي أصغر زمرة جزئية تحتوي $A$ — وهي بالتحديد مجموعة كل الجداءات المنتهية لعناصر $A$ ومقلوباتها. وتكون زمرة *دورية* إذا كانت مولَّدة بعنصر واحد: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$. و*رتبة* العنصر $a \in G$ هي $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (وقد تكون غير منتهية)؛ وإذا كانت منتهية فهي أصغر $n \geq 1$ يحقق $a^n = e$، ويكون $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$. **برهان توصيف الرتبة.** إذا وُجد $a^m = e$ يحقق $m \geq 1$، فليكن $n \geq 1$ أصغر عدد يحقق $a^n = e$. عندئذٍ تكون العناصر $e, a, \dots, a^{n-1}$ مختلفة مثنى مثنى (إذ إن $a^{i} = a^{j}$ مع $0 \leq i < j < n$ يعطي $a^{j-i} = e$، وهذا ينقض الأصغرية)، وكل $a^k$ يؤول إلى أحدها بالقسمة الإقليدية $k = nq + r$: فعدد عناصر $\langle a\rangle$ هو $n$ بالضبط، و$a^k = a^r = e \iff r = 0 \iff n \mid k$. وإذا لم تكن أي قوة محايدة، فإن جميع $a^k$ ($k \in \Z$) مختلفة (بحجة القسمة نفسها) والرتبة غير منتهية. ∎ **مبرهنة 1.14 (لاغرانج).** لتكن $G$ زمرة منتهية ولتكن $H$ زمرة جزئية منها. عندئذٍ يقسم $\abs H$ العدد $\abs G$. وعلى الخصوص تقسم رتبة كل عنصر $\abs G$، ويكون $a^{\abs G} = e$ لكل $a \in G$. **برهان.** العلاقة $x \sim y \iff x^{-1}y \in H$ علاقة تكافؤ (انعكاسية: $e \in H$؛ تناظرية: بالمقلوبات؛ متعدية: بالجداءات). وصنف $x$ هو *الصنف الجانبي الأيسر* $xH = \{xh : h \in H\}$، والتطبيق $h \mapsto xh$ تقابل $H \to xH$ (مقلوبه $y \mapsto x^{-1}y$): فلجميع الأصناف $\abs H$ عنصرًا. والأصناف تقسم $G$ (مبرهنة التقسيم العامة في مجلد السنة الأولى)، ومنه $\abs G = \abs H \times (\text{عدد الأصناف الجانبية})$. أما من أجل عنصر: فنطبق هذا على $H = \langle a\rangle$؛ فينتج $a^{\abs G} = (a^{\operatorname{ord} a})^{\abs G / \operatorname{ord} a} = e$. ∎ **مثال 1.15 (الأصناف الجانبية في العمل: A3A_3A3​ داخل S3\mathfrak{S}_3S3​).** لنأخذ $G = \mathfrak{S}_3$ (رتبتها $6$) و$H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$. الأصناف الجانبية اليسرى هي $$ H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} : $$ أي صنفان من ثلاثة عناصر يقسمان $G$، تمامًا كما يقتضي العدّ $\abs G = \abs H \times (\text{عدد الأصناف الجانبية})$ — وهو بوضوح التقسيم إلى تبديلات زوجية وفردية. ولاحظ أن $(1\,3)H = (1\,2)H$ رغم أن $(1\,3) \neq (1\,2)$: فالأصناف الجانبية *أصناف* لا تُسمّى بممثليها، و$x^{-1}y \in H$ هي المقارنة المشروعة الوحيدة. وهذه الصورة ذات الصنفين هي الصورة العامة للإشارة: فالزمرة $A_n$ وصنفها الجانبي الوحيد المرافق يقسمان $\mathfrak{S}_n$ نصفين، وهذا ما تعدّ به مسألة نهاية الأسبوع الوضعيات القابلة للبلوغ في الأحجية. **مثال 1.16.** فائدتان مباشرتان. *الزمر ذات الرتبة الأولية دورية:* إذا كان $\abs G = p$ أوليًا و$a \neq e$، فإن $\operatorname{ord}(a)$ يقسم $p$ ولا يساوي $1$، ومنه فهو $p$: أي $\langle a\rangle = G$. *شبكة الزمر الجزئية للزمرة $\Z/12\Z$:* حسب [القضية 1.17](#prop-b2-structures-cyclic) أدناه، هناك زمرة جزئية واحدة بالضبط لكل قاسم من قواسم $12$ — رتبها $1, 2, 3, 4, 6, 12$، مولَّدة على التوالي بالأصناف $\overline 0$ و$\overline 6$ و$\overline 4$ و$\overline 3$ و$\overline 2$ و$\overline 1$. والتنبيه الختامي: *عكس* مبرهنة لاغرانج خاطئ عمومًا — فرتبة $A_4$ هي $12$ ولا تملك زمرة جزئية رتبتها $6$، كما نبرهن في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل ([المسألة 1.1](#pb-b2-structures-1)، السؤال 14). فلاغرانج يُقيّد الرتب الممكنة، لكنه لا يَعِد بها. ![شبكة الزمر الجزئية للزمرة ℤ/12ℤ: زمرة جزئية واحدة لكل قاسم من قواسم 12 ()، مع حافة حين تحتوي إحداهما الأخرى بدليل أولي. والاحتواءات تسير عكس قابلية القسمة للمولّد: 4 ⊂eq 2 لأن 4 مضاعف للعدد 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-structures/fig-13fe47610c00.svg) *شبكة الزمر الجزئية للزمرة $\Z/12\Z$: زمرة جزئية واحدة لكل قاسم من قواسم $12$ ([القضية 1.17](#prop-b2-structures-cyclic))، مع حافة حين تحتوي إحداهما الأخرى بدليل أولي. والاحتواءات تسير *عكس* قابلية القسمة للمولّد: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ لأن $4$ مضاعف للعدد $2$.* **قضية 1.17 (الزمر الدورية).** لتكن $G = \langle a \rangle$ دورية رتبتها $n$. 1. $G$ متماثلة مع $(\Z/n\Z, +)$ ، بواسطة $\overline k \mapsto a^k$ . 2. كل زمرة جزئية من $G$ دورية؛ ولكل قاسم $d \mid n$ توجد زمرة جزئية وحيدة رتبتها $d$ ، وهي $\langle a^{n/d}\rangle$ . 3. يولّد $a^k$ الزمرة $G$ إذا وفقط إذا كان $\gcd(k, n) = 1$ : فعدد مولّدات $G$ يساوي $\varphi(n)$ (دالة أويلر). **برهان.** (1) التطبيق $k \mapsto a^k$ من $\Z$ على $G$ متوافق مع الترديد بترديد $n$ ($a^{k} = a^{k'} \iff n \mid k - k'$، حسب توصيف الرتبة)؛ والخاصية الشمولية ([التعريف 1.3](#def-b2-structures-quotient)) تعطي تشاكلًا تقابليًا معرَّفًا جيدًا انطلاقًا من $\Z/n\Z$. (2) لتكن $H \leq G$ غير محايدة وليكن $m$ أصغر $\geq 1$ يحقق $a^m \in H$. تُبيّن القسمة الإقليدية أن $H = \langle a^m\rangle$ (من أجل $a^k \in H$: يفرض $k = mq + r$ أن $a^r \in H$، ومنه $r = 0$)، وأن $m \mid n$ (بقسمة $n$ على $m$: $a^{n \bmod m} \in H$). عندئذٍ $\abs H = n/m$؛ وأخذ $m = n/d$ يحقق كل قاسم $d$. أما الوحدانية: فكل زمرة جزئية رتبتها $d$ هي، حسب ما تقدم، من الشكل $\langle a^m \rangle$ مع $n/m = d$ — ومن ثم يُفرض $m = n/d$ وتتحدد الزمرة الجزئية. (3) ندّعي أن $\operatorname{ord}(a^k) = \frac{n}{\gcd(k, n)}$. لنكتب $d = \gcd(k, n)$. من أجل أي $m \geq 1$، يعطي توصيف الرتبة في [التعريف 1.13](#def-b2-structures-generated) سلسلة التكافؤات $$ (a^k)^m = e \iff n \mid km \iff \frac{n}{d} \,\Big|\, \frac{k}{d}\,m \iff \frac{n}{d} \,\Big|\, m , $$ والخطوة الأخيرة بمبرهنة غاوس، لأن $\frac nd$ و$\frac kd$ أوليان فيما بينهما. وأصغر $m$ كهذا هو $\frac nd$: أي $\operatorname{ord}(a^k) = \frac n{\gcd(k,n)}$، وهو يساوي $n$ إذا وفقط إذا $\gcd(k, n) = 1$. وهناك $\varphi(n)$ صنفًا $k$ كهذه بترديد $n$. ∎ ## 1.4 الزمرة المتناظرة **تعريف 1.18.** $\mathfrak{S}_n$ هي زمرة تبديلات $\intint{1}{n}$ (رتبتها $n!$). و*الدورة* $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)$ ترسل $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ وتثبّت كل ما عداها؛ و$k$ هو *طولها*، والدورة ذات الطول $2$ تُسمى *مبادلة*. وتكون دورتان *منفصلتين* إذا كان حاملاهما (أي مجموعتا النقاط غير الثابتة) منفصلين. **مبرهنة 1.19 (التفكيك إلى دورات).** كل تبديلة $\sigma \neq \mathrm{id}$ جداء دورات منفصلة مثنى مثنى، وذلك بكيفية وحيدة إلى حدّ ترتيب العوامل. والدورات المنفصلة تتبادل، ورتبة $\operatorname{ord}(\sigma)$ هي المضاعف المشترك الأصغر للأطوال. **برهان.** لننظر في علاقة “المدار” على حامل $\sigma$: $x \sim y$ إذا وفقط إذا $y = \sigma^k(x)$ من أجل $k \in \Z$ ما — وهي علاقة تكافؤ. وكل صنف $\{x, \sigma(x), \dots, \sigma^{k-1}(x)\}$ (منته، فتعود التكرارات دوريًا — إذ يجب أن يعود أول تكرار إلى $x$ بحكم التباين) يحمل [الدورة](#def-b2-structures-sn) $(x\ \sigma(x)\ \cdots\ \sigma^{k-1}(x))$، و$\sigma$ هو جداء هذه الدورات: فعلى كل مدار لا تؤثر إلا [الدورة](#def-b2-structures-sn) الموافقة. أما الوحدانية: فكل تفكيك إلى دورات منفصلة يعيد إنتاج المدارات بالضبط (إذ يجب أن تكون [الدورة](#def-b2-structures-sn) المارّة بالنقطة $x$ هي $(x\ \sigma(x)\ \cdots)$). والدورات المنفصلة تتبادل لأنها تحرّك نقاطًا منفصلة؛ وينتج قول الرتبة لأن $\sigma^m = \mathrm{id}$ إذا وفقط إذا كانت قوة $m$ لكل دورة محايدة (بحكم الانفصال)، إذا وفقط إذا قسم كل طول $m$. ∎ **مثال 1.20 (نمط الدورات بوصفه إحصاءً).** كم عدد تبديلات $\mathfrak{S}_9$ ذات نمط الدورات $(4, 3, 2)$ — دورة من الطول $4$، ودورة من الطول $3$، [ومبادلة](#def-b2-structures-sn)؟ نختار الحوامل والترتيبات الدورية: $$ \frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 : $$ نرصّ الرموز التسعة في سطر ($9!$ طريقة)، ونُقوّس الأربعة الأولى ثم الثلاثة التالية ثم الأخيرين في دورات، ونقسم على الدورانات داخل كل قوس ($4$ و$3$ و$2$ منها) التي تعطي التبديلة نفسها. (والأطوال هنا *مختلفة*، فلا قسمة إضافية؛ أما الأطوال المتساوية فتقتضي أيضًا القسمة على تبديلات الأقواس المتساوية.) ورتبة كل تبديلة كهذه $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ وإشارتها $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ ([المبرهنة 1.19](#thm-b2-structures-cycles) ومبرهنة الإشارة أدناه). تقسيم واحد للعدد $9$، وصنف تقارن واحد، وإحصاء واحد — فتوافقيات $\mathfrak{S}_n$ هي حساب التقسيمات. **مبرهنة 1.21 (الإشارة).** يوجد تشاكل زمر وحيد $\varepsilon \colon \mathfrak{S}_n \to \{\pm 1\}$ (من أجل $n \geq 2$) يأخذ القيمة $-1$ على المبادلات: وهو *الإشارة*. زيادة على ذلك، $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}$ حيث $I(\sigma)$ هو عدد *الانقلابات* (أي الأزواج $i < j$ التي $\sigma(i) > \sigma(j)$)، وإشارة [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $k$ هي $(-1)^{k-1}$، ورتبة *الزمرة المتناوبة* $A_n = \ker\varepsilon$ هي $\frac{n!}{2}$. **برهان.** *الوجود.* من أجل $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ نضع $$ \varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i} . $$ تتضاعف القيم المطلقة للعوامل فيعطي جداؤها $1$ (لأن الأزواج غير المرتبة $\{\sigma(i), \sigma(j)\}$ تجري على كل الأزواج)، ومنه $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)} \in \{\pm1\}$. أما التشاكل: فمن أجل $\sigma, \tau$، $$ \varepsilon(\sigma\tau) = \prod_{i \tau(j)$، هي $$ (a, j) \ \text{من أجل } a < j < b, \qquad (i, b) \ \text{من أجل } a < i < b, \qquad (a, b) \ \text{نفسه}, $$ أي $(b - a - 1) + (b - a - 1) + 1 = 2(b - a) - 1$ منها، وهو عدد فردي. (أو بديلًا: نتحقق مباشرة من $(1\,2)$، وفيها انقلاب واحد، ثم نُقارن — فللمقارنات إشارة واحدة لأن $\varepsilon$ تشاكل نحو زمرة تبادلية.) ومنه $\varepsilon((a\,b)) = (-1)^{2(b-a)-1} = -1$. *الوحدانية.* تولّد المبادلات $\mathfrak{S}_n$ (فكل دورة $(a_1\cdots a_k) = (a_1\,a_k)(a_1\,a_{k-1})\cdots(a_1\,a_2)$، و[المبرهنة 1.19](#thm-b2-structures-cycles) يُتمّ العمل)؛ والتشاكل نحو $\{\pm1\}$ يتحدد بقيمه على المولّدات. *النتائج.* تكتب متطابقة الدورات أعلاه [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $k$ جداءَ $k - 1$ [مبادلة](#def-b2-structures-sn): فإشارتها $(-1)^{k-1}$. وأما $A_n$: فالتشاكل $\varepsilon$ شامل (إذ توجد مبادلات من أجل $n \geq 2$)، و“الصنفان الجانبيان” $A_n$ و$(1\,2)A_n$ متساويا القوة ويقسمان $\mathfrak{S}_n$ (بحجة لاغرانج): ومنه $\abs{A_n} = \frac{n!}{2}$. ∎ **مثال 1.22.** $\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 3&6&5&4&1&2 \end{pmatrix} = (1\,3\,5)(2\,6)$: الرتبة $\operatorname{lcm}(3,2) = 6$، والإشارة $(-1)^{2}\cdot(-1)^{1} = -1$. والإشارة أسرع اختبار للتماثل في الخلط — وهي محرّك المحدد في [الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg). **مثال 1.23 (ثلاث طرق إلى إشارة واحدة).** ليكن $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ يرسل $1, 2, 3, 4, 5$ إلى $3, 5, 4, 1, 2$. *عبر الدورات:* $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ و$2 \mapsto 5 \mapsto 2$، ومنه $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ و $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. *عبر الانقلابات:* في قائمة القيم $3, 5, 4, 1, 2$ تكون الأزواج غير المرتبة هي $(3,1)$ و$(3,2)$ و$(5,4)$ و$(5,1)$ و$(5,2)$ و$(4,1)$ و$(4,2)$: أي سبعة، ومنه $(-1)^7 = -1$. *عبر المبادلات:* $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$، ثلاثة عوامل، ومنه $(-1)^3 = -1$. ثلاث حسابات، وتماثل واحد: فالوحدانية في [المبرهنة 1.21](#thm-b2-structures-signature) تضمن ألا يختلف أي نظام مسك دفاتر عن غيره — وهذا بالضبط ما يجعل $\varepsilon$ صالحة بوصفها لا متغيّرًا (انظر مسألة نهاية الأسبوع). **ملاحظة 1.24 (إلى أين تمضي الإشارة من هنا).** الإشارة بذرة ثلاثة حصادات لاحقة: فهي تبني المحدد وقاعدة جدائه في [الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg)؛ وتُشغّل لا متغيّرات التماثل في الأحاجي التوافقية (وتحلّ مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل أحجية الخمسة عشر بها)؛ والزمر المتناوبة $A_n$ التي تعرّفها تصبح مركزية في مجلد السنة الثالثة، حيث تشرح بساطتها من أجل $n \geq 5$ لماذا لا تُحلّ المعادلات من الدرجة $5$ بالجذور. ## 1.5 الحلقات والمثاليات ومجموعات القسمة **تعريف 1.25 (المثالي).** لتكن $A$ حلقة تبادلية. *المثالي* $I \subseteq A$ هو زمرة جزئية جمعية تحقق $a x \in I$ لكل $a \in A$ و$x \in I$. ونوى تشاكلات الحلقات مثاليات؛ ويكون $I = A$ إذا وفقط إذا $1 \in I$ إذا وفقط إذا احتوى $I$ وحدة. والمثالي *المولَّد* بالعنصر $x$ هو $xA = \{xa\}$ (ويُسمى مثاليًا *رئيسيًا*). **مبرهنة 1.26 (مثاليات Z\ZZ ومثاليات K[X]K[X]K[X]).** كل [مثالي](#def-b2-structures-ideal) في $\Z$ هو $n\Z$ من أجل $n \in \N$ وحيد؛ وكل [مثالي](#def-b2-structures-ideal) في $K[X]$ (حيث $K$ حقل) هو $P\,K[X]$ من أجل $P$ موحَّد وحيد (أو معدوم). ومن ثم يوجد القاسم المشترك الأكبر في الحلقتين مع علاقات بيزو: $x\Z + y\Z = \gcd(x,y)\Z$، وكذلك من أجل كثيرات الحدود. **برهان.** من أجل $\Z$ كان هذا مبرهنة الزمر الجزئية في مجلد السنة الأولى ([فالمثالي](#def-b2-structures-ideal) زمرة جزئية على الخصوص، و$n\Z$ [مثالي](#def-b2-structures-ideal)). ومن أجل $K[X]$: ليكن $I \neq \{0\}$ مثاليًا وليكن $P \in I$ غير معدوم من درجة دنيا، مُوحَّدًا بعد النظم. من أجل $F \in I$، تعطي القسمة الإقليدية $F = PQ + R$ كتابة $R = F - PQ \in I$ مع $\deg R < \deg P$: فتفرض الأصغرية أن $R = 0$، ومنه $I = P\,K[X]$. أما الوحدانية: فمولّدان موحَّدان يقسم كل منهما الآخر. وقولا بيزو هما تساوي [المثالي](#def-b2-structures-ideal) $x\Z + y\Z$ (أو نظيره لكثيرات الحدود) مع [المثالي](#def-b2-structures-ideal) الرئيسي المولَّد بالقاسم المشترك الأكبر — وهو نفسه تعريف القاسم المشترك الأكبر المستعمل في السنة الأولى، وقد صار الآن قولًا عن المثاليات. ∎ **مثال 1.27 (قاسم مشترك أكبر لكثيري حدود، بطريقتين).** لنحسب $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ في $\Q[X]$. *بخوارزمية إقليدس:* $$ X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 , $$ فالقاسم المشترك الأكبر هو $X - 1$، ويعطي التعويض الرجوعي علاقة بيزو $$ X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1). $$ *بالمثاليات:* [المثالي](#def-b2-structures-ideal) $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ رئيسي ([المبرهنة 1.26](#thm-b2-structures-principal))؛ وهو يحتوي $X - 1$ (حسب الصيغة المعروضة) ومحتوى في $(X - 1)\Q[X]$ (لأن المولّدين ينعدمان عند $1$، ومن ثم فهما مضاعفان لكثير الحدود $X - 1$): فالمولّد الموحَّد هو $X - 1$. والفكرة الختامية: وجهة نظر المثاليات تحدد القاسم المشترك الأكبر *دون قسمة* — فالجذور المشتركة تحدد موقع [المثالي](#def-b2-structures-ideal)، وإقليدس لا يفعل سوى التصديق عليه. **تعريف 1.28 (حلقة القسمة Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ، من جديد).** من أجل [مثالي](#def-b2-structures-ideal) $I$ في $A$، تكون العلاقة $x \sim y \iff x - y \in I$ علاقة تكافؤ متوافقة مع $+$ و$\times$؛ وترث [مجموعة القسمة](#def-b2-structures-quotient) $A/I$ بنية حلقة — هي *حلقة القسمة* — تجعل $\pi \colon A \to A/I$ تشاكلًا نواته $I$. ومن أجل $A = \Z$ و$I = n\Z$ نجد $\Z/n\Z$ المعروفة من مجلد السنة الأولى، ولكن بخاصيتها الشمولية الآن: فكل تشاكل يُعدم $I$ يتحلل عبر $A/I$. **مبرهنة 1.29 (مبرهنة البواقي الصينية، بصيغة الحلقات).** إذا كان $\gcd(m, n) = 1$، فإن التطبيق $$ \Z/mn\Z \longrightarrow \Z/m\Z \times \Z/n\Z, \qquad \overline{x} \longmapsto (x \bmod m,\; x \bmod n) $$ تماثل حلقات. ومن ثم $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ من أجل $m, n$ أوليين فيما بينهما، و $$ \varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \Bigl(1 - \frac 1p\Bigr) \quad (p \text{ أولي}). $$ **برهان.** التطبيق تشاكل حلقات معرَّف جيدًا (فأوجه التوافق مباشرة). أما التباين: فإن $x \equiv 0$ بترديد $m$ وبترديد $n$ مع $\gcd(m,n) = 1$ يفرض $mn \mid x$ (بمبرهنة غاوس). وأما الشمول: فللطرفين $mn$ عنصرًا، فيكفي التباين (تساوي القوى المنتهية) — أو صراحةً: انطلاقًا من علاقة بيزو $um + vn = 1$، فإن صنف $$ x = b\,um + a\,vn $$ يُرسَل إلى $(a \bmod m,\ b \bmod n)$، لأن $vn = 1 - um \equiv 1 \pmod m$ يجعل $x \equiv a \pmod m$، وبالتناظر بترديد $n$ — وهي الوصفة المستعملة عدديًا في [المثال 1.30](#ex-b2-structures-crtinverse). وتوافق الوحدات أزواجَ الوحدات (فوحدات حلقة الجداء هي أزواج الوحدات)، ومنه $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$. ومن أجل قوة أولية، $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}$ (فغير الوحدات بترديد $p^k$ هي مضاعفات $p$)؛ وتُركّب الضربية صيغة الجداء. ∎ **مثال 1.30 (قلب التماثل الصيني).** لنأخذ $m = 8$ و$n = 9$. يُصرَّح بمقلوب التماثل بواسطة العنصرين *المتساويي القوى*: نبحث عن $u \equiv 1 \pmod 8$ بحيث $u \equiv 0 \pmod 9$ و$v \equiv 0 \pmod 8$، وعن $v \equiv 1 \pmod 9$. من $u = 9k \equiv 1 \pmod 8$: نجد $k \equiv 1$، ومنه $u = 9$؛ ومن $v = 8k \equiv 1 \pmod 9$: نجد $-k \equiv 1$ و$k \equiv 8$، ومنه $v = 64$. عندئذٍ يكون صنف $x = 9a + 64b$ بترديد $72$ هو الحل الوحيد للشرطين $x \equiv a \pmod 8$ و$x \equiv b \pmod 9$: فمن أجل $a = 3$ و$b = 5$ نجد $27 + 320 = 347 \equiv 59 \pmod{72}$ — وهي بالضبط القيمة الوسطى الموجودة بالتعويض في [التمرين 1.8](#exo-b2-structures-8). والفكرة الختامية: يحقق $u$ و$v$ العلاقات $u + v \equiv 1$ و$uv \equiv 0$ و$u^2 \equiv u$ و$v^2 \equiv v$ بترديد $72$؛ وهما صورتا $(1, 0)$ و$(0, 1)$، وكل تفكيك صيني هو في جوهره تفكيك للواحد $1$ إلى عناصر متساوية القوى ومتعامدة. **مبرهنة 1.31 (أويلر؛ فيرما من جديد).** تشكّل وحدات $\Z/n\Z$ زمرة رتبتها $\varphi(n)$؛ ومنه من أجل $\gcd(a, n) = 1$: $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n \qquad (\text{مبرهنة أويلر}), $$ ومبرهنة فيرما الصغرى هي الحالة $n = p$ أولي، وقد صارت على بعد سطر واحد من لاغرانج. **برهان.** الأصناف القابلة للقلب هي بالضبط أصناف الأعداد الصحيحة الأولية مع $n$ (مجلد السنة الأولى): وعددها $\varphi(n)$، وهي تشكّل زمرة بالضرب. ولاغرانج ([المبرهنة 1.14](#thm-b2-structures-lagrange)): كل عنصر مرفوع إلى رتبة الزمرة يساوي المحايد. ∎ **مثال 1.32 (زمرة وحدات بلا مولّد).** للزمرة $(\Z/15\Z)^*$ عدد عناصره $\varphi(15) = \varphi(3)\varphi(5) = 8$. هل هي دورية؟ لنحسب الرتب مستعملين التماثل الصيني $(\Z/15\Z)^* \simeq (\Z/3\Z)^* \times (\Z/5\Z)^*$ (فالوحدة بترديد $15$ زوج من الوحدات): رتبتا العاملين هما $2$ و$4$، ومنه تقسم رتبة كل عنصر $\operatorname{lcm}(2, 4) = 4 < 8$ — فلا عنصر يولّدها. وبالتحديد: $$ 2^4 = 16 \equiv 1, \qquad 4^2 = 16 \equiv 1, \qquad 7^4 \equiv 1, \qquad 11^2 = 121 \equiv 1, \qquad 14^2 \equiv 1 \pmod{15} : $$ رتب هي $4, 2, 4, 2, 2$ ولا تبلغ $8$ أبدًا. وقارِن ذلك بالحالة [التمرين 1.10](#exo-b2-structures-10): فالزمرة $(\Z/p\Z)^*$ *دورية* من أجل $p$ أولي، لأن زمرة الوحدات تقع هناك داخل حقل. وتبقى مبرهنة أويلر صالحة بالأس $\varphi(15) = 8$، لكن الأس الشمولي الحقيقي هنا هو $4$ — فأويلر حدّ أعلى، وليس دائمًا الحدّ الأمثل. **تعريف 1.33 (الجبر).** *الجبر* على $K$ هو فضاء متجهي $K$ على $A$ مزوَّد ببنية حلقة ضربها ثنائي الخطية على $K$. أمثلة: $K[X]$ و$\mathcal{M}_n(K)$ و$\mathcal{L}(E)$، وفضاءات الدوال $\mathcal{F}(X, K)$، و$\C$ بوصفه جبرًا على $\R$. وتشاكلات الجبور هي تشاكلات الحلقات الخطية؛ و*تطبيق التقييم* $P \mapsto P(u)$ من $K[X]$ نحو $\mathcal{L}(E)$ (أو $\mathcal{M}_n(K)$) هو المثال المركزي، وهو محرّك [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction). **مثال 1.34 (تشاكل تقييم ونواته).** لنأخذ $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ وتطبيق التقييم $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$، $P \mapsto P(A)$. بما أن $A^2 = 0$، فإن $$ P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix}, $$ (إذ لا يبقى من $P$ إلا الحدّان الثابت والخطي). ومنه $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: وهو [مثالي](#def-b2-structures-ideal) رئيسي، تمامًا كما تتنبأ به [المبرهنة 1.26](#thm-b2-structures-principal)، ومولَّد بكثير الحدود $X^2$ الموحَّد ذي الدرجة الدنيا في النواة — أي *كثير الحدود الأدنى* للمصفوفة $A$، بطل [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction). والصورة هي [الجبر](#def-b2-structures-algebra) التبادلي ذو البعد اثنين $\{aI + bA\}$: فتشاكلات التقييم تقلّص $\R[X]$ غير المنتهي البعد إلى جبور صغيرة قابلة للحساب. **ملاحظة 1.35 (آفاق: ثلاثة ألحان ينبغي الإصغاء إليها).** ثلاث أفكار بنيوية من هذا الفصل تتكرر في المجلد كله، في توزيع أوركسترالي أثقل في كل مرة. *التحليل عبر مجموعة قسمة* ([التعريف 1.3](#def-b2-structures-quotient)): فهو يبني $\Z/n\Z$ هنا، ويعرّف تطبيقات على مجموعات حلول الجمل الخطية في [الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg)، ويقوم صامتًا تحت كل حجة من نوع “معرَّف جيدًا على الأصناف”. *اللامتغيّرات*: فالإشارة تشاكل نحو $\{\pm1\}$ لا تستطيع أي نقلة مشروعة أن تراوغه — والمنطق نفسه يعطي قاعدة جداء المحدد ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg))، ولا تغيّر الأثر بالتشابه، والمقادير المصونة في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq). *العدّ في مقابل بنية*: فلاغرانج يعدّ عبر الأصناف الجانبية، والبعد يُعدّ عبر الأسس ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg))، والتضاعف يُعدّ عبر درجات كثيرات الحدود ([الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction))؛ وكلما بدا حدّ ما معجزًا، فثمة تقسيم أو تدريج يقوم بالعدّ. **ملاحظة 1.36 (مزالق شائعة).** أربعة كلاسيكية. (1) يجب التحقق من أن تطبيقًا على مجموعة قسمة *معرَّف جيدًا*: فالكتابة “$\overline x \mapsto$ (صيغة في $x$)” مشروعة فقط إذا كانت الصيغة ثابتة على الأصناف — أي توافق [التعريف 1.3](#def-b2-structures-quotient)، وليست شكلية. (2) العلاقة $\operatorname{ord}(ab) = \operatorname{lcm}(\operatorname{ord}a, \operatorname{ord}b)$ *خاطئة* عمومًا، حتى من أجل عنصرين متبادلين ($a$ و$a^{-1}$)؛ و[التمرين 1.4](#exo-b2-structures-4) يعطي القول الصحيح في حالة التبادل مع رتبتين أوليتين فيما بينهما، والدورات المنفصلة تعطي الصيغة الصحيحة للتبديلات. (3) تصمد قابلية العد أمام *الاتحادات* [القابلة للعد](#def-b2-structures-countable) و*الجداءات* المنتهية، لكن ليس أمام الجداءات [القابلة للعد](#def-b2-structures-countable): فالمجموعة $\{0,1\}^{\N}$ غير [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) ([التمرين 1.3](#exo-b2-structures-3)) رغم أن لكل عامل عنصرين اثنين. (4) لا تحتاج مبرهنة كانتور–برنشتاين إلا إلى غرستين في الاتجاهين، لكن التقابل الذي تبنيه غير متصل عادة وغير صريح — فلا تنتظر صيغة ([المثال 1.11](#ex-b2-structures-cbexample)). **ملاحظة 1.37 (أين يُستعمَل هذا الفصل).** في كل مكان تقريبًا. فالإشارة تبني المحددات ([الفصل 2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#ch-b2-linalg))؛ وتشاكل التقييم $P \mapsto P(u)$ والمثاليات الرئيسية في $K[X]$ تنتج كثيرات الحدود الدنيا وتفكيكات النواة في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction)؛ وقابلية العد هي المسرح الذي يؤدي عليه [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) (الاحتمال على الفضاءات [القابلة للعد](#def-b2-structures-countable)) والسبب في أن الطوبولوجيا لا تكفّ عن إنتاج مجموعات كثيفة [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) ([الفصل 4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric)). ويُعاد نشر إنشاء القسمة $A/I$ في مجلد السنة الثالثة لبناء الحقول $K[X]/(P)$، ومنها نظرية غالوا: فالخاصية الشمولية المبرهَنة هنا تُستعمل هناك حرفيًا. ## 1.6 تمارين **تمرين 1.1 ★.** أي المجموعات التالية [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable)؟ مجموعة الأجزاء المنتهية من $\N$؛ ومجموعة *كل* أجزاء $\N$؛ و$\R \setminus \Q$؛ ومجموعة كثيرات الحدود ذات المعاملات الناطقة؛ ومجموعة المتتاليات المكوَّنة من $0$ و$1$ والمنعدمة ابتداءً من رتبة ما. **حل التمرين 1.1.** *الأجزاء المنتهية من $\N$:* [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) — فمجموعة أجزاء $\intint{0}{n}$ منتهية، والأجزاء المنتهية تشكّل الاتحاد القابل للعد على $n$ لهذه المجموعات ([القضية 1.6](#prop-b2-structures-countablestable) (3))؛ وهي غير منتهية لأنها تحتوي كل المجموعات الأحادية. *كل أجزاء $\N$:* غير [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable)، بمبرهنة كانتور ([المبرهنة 1.9](#thm-b2-structures-cantor) (1) مع $E = \N$). *$\R \setminus \Q$:* غير [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) — وإلا لكانت $\R = \Q \cup (\R\setminus\Q)$ اتحاد مجموعتين قابلتين للعد، وهذا يناقض [المبرهنة 1.9](#thm-b2-structures-cantor) (2). *كثيرات الحدود على $\Q$:* [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) — فكثيرات الحدود من الدرجة $\leq n$ تنغرس في $\Q^{n+1}$ (جداءات منتهية لمجموعات [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable))، ثم نأخذ الاتحاد على $n$. *المتتاليات الثنائية المنعدمة ابتداءً من رتبة ما:* [قابلة للعد](#def-b2-structures-countable) — فهي تتقابل مع الأجزاء المنتهية من $\N$ (الحامل). **تمرين 1.2 ★.** في $\mathfrak{S}_7$، ليكن $\sigma = (1\,4\,2\,6)(3\,5)$ و$\tau = (2\,3\,7)$. احسب $\sigma\tau$ و$\tau\sigma$ على صورة دورات منفصلة، ورتب التبديلات الأربع وإشاراتها، و$\sigma^{2026}$. **حل التمرين 1.2.** نحسب عنصرًا عنصرًا، مع تطبيق العامل الأيمن أولًا. يرسل $\sigma\tau$ العناصر $1 \mapsto \sigma(1) = 4$، $\;2 \mapsto \sigma(3) = 5$، $\;3 \mapsto \sigma(7) = 7$، $\;4 \mapsto \sigma(4) = 2$، $\;5 \mapsto \sigma(5) = 3$، $\;6 \mapsto \sigma(6) = 1$، $\;7 \mapsto \sigma(2) = 6$: $$ \sigma\tau = (1\,4\,2\,5\,3\,7\,6), $$ أي دورة ذات الطول $7$. وكذلك يرسل $\tau\sigma$ العناصر $1 \mapsto \tau(4) = 4$، $\;2 \mapsto \tau(6) = 6$، $\;3 \mapsto \tau(5) = 5$، $\;4 \mapsto \tau(2) = 3$، $\;5 \mapsto \tau(3) = 7$، $\;6 \mapsto \tau(1) = 1$، $\;7 \mapsto \tau(7) = 2$: $$ \tau\sigma = (1\,4\,3\,5\,7\,2\,6), $$ أي دورة ذات الطول $7$ أيضًا (كما هو متوقع: $\sigma\tau$ و$\tau\sigma$ متقارنان، ومن ثم لهما نمط الدورات نفسه). الرتب والإشارات: نمط دورات $\sigma$ هو $(4,2)$: الرتبة $\operatorname{lcm}(4,2) = 4$، والإشارة $(-1)^3(-1)^1 = +1$؛ و$\tau$ دورة ذات الطول $3$: الرتبة $3$، والإشارة $+1$؛ والجداءان دورتان ذواتَا الطول $7$: الرتبة $7$، والإشارة $(-1)^6 = +1$. $\sigma^{2026}$: $2026 = 4 \times 506 + 2$، ومنه $\sigma^{2026} = \sigma^2 = (1\,2)(4\,6)$ (نربّع [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $4$؛ أما [المبادلة](#def-b2-structures-sn) فيزيلها التربيع). **تمرين 1.3 ★.** أنشئ غرسات صريحة تُبيّن أن $\mathcal{P}(\N)$ و$\intcc{0}{1}$ ومجموعة المتتاليات الثنائية $\{0,1\}^{\N}$ متساوية القوة مثنى مثنى *(بالنشر الثنائي في الاتجاهين؛ وتستوعب مبرهنة كانتور–برنشتاين إزعاج التمثيل المزدوج)*. **حل التمرين 1.3.** $\{0,1\}^{\N} \to \mathcal{P}(\N)$: نرسل كل متتالية إلى حاملها — وهذا تقابل (بالدوال المميّزة)، ولا حاجة إلى أي مبرهنة. $\{0,1\}^{\N} \to \intcc{0}{1}$: التطبيق بالأساس $3$، أي $(a_n) \mapsto \sum 2a_n 3^{-n-1}$، متباين (فمتتاليتان مختلفتان تختلفان أول ما تختلفان عند الرتبة $N$؛ ولا تستطيع الذيول تعويض فرق قدره $2\cdot 3^{-N-1}$، لأن $\sum_{n > N} 2\cdot 3^{-n-1} = 3^{-N-1} < 2\cdot3^{-N-1}$). $\intcc{0}{1} \to \{0,1\}^{\N}$: النشر الثنائي، مع اختيار (مثلًا) النشر الذي لا ينتهي بالرقم $1$ المتكرر: وهو متباين. وبمبرهنة كانتور–برنشتاين ([المبرهنة 1.10](#thm-b2-structures-cantorbernstein)) مطبَّقة على الغرستين الأخيرتين، تكون $\intcc{0}{1}$ و $\{0,1\}^{\N}$ [متساويتي القوة](#def-b2-structures-countable)، ومنه فالمجموعات الثلاث كلها كذلك. **تمرين 1.4 ★.** لتكن $G$ زمرة وليكن $a, b \in G$ عنصرين متبادلين رتبتاهما المنتهيتان $m$ و$n$ أوليتان فيما بينهما. برهن على أن $\operatorname{ord}(ab) = mn$. بيّن بمثال في $\mathfrak{S}_3$ أن التبادل شرط جوهري. **حل التمرين 1.4.** ليكن $c = ab = ba$ و$d = \operatorname{ord}(c)$. أولًا $c^{mn} = a^{mn} b^{mn} = e$ (التبادل يسمح بتفكيك القوة)، ومنه $d \mid mn$. وعكسيًا يعطي $c^d = e$ أن $a^d = b^{-d}$؛ وهذا العنصر يقع في $\langle a\rangle \cap \langle b\rangle$، وهي زمرة جزئية تقسم رتبتها كلًا من $m$ و$n$ (لاغرانج في كل [زمرة دورية](#def-b2-structures-generated))، ومن ثم فهي محايدة: $a^d = b^d = e$، ومنه $m \mid d$ و$n \mid d$، وبالأولية فيما بينهما $mn \mid d$. ومنه $d = mn$. وفي $\mathfrak{S}_3$: نأخذ $a = (1\,2)$ (رتبتها $2$) و$b = (1\,2\,3)$ (رتبتها $3$)، ورتبتاهما أوليتان فيما بينهما، وهما لا تتبادلان: فرتبة $ab = (2\,3)$ هي $2 \neq 6$ — وفعلًا ليس في $\mathfrak{S}_3$ عنصر رتبته $6$. فالتبادل شرط جوهري. **تمرين 1.5 ★★.** لتكن $G$ زمرة منتهية رتبتها زوجية. برهن على أن $G$ تحتوي عنصرًا رتبته $2$. *(قابِل بين كل عنصر ومقلوبه؛ وعُدّ العناصر المقابَلة بنفسها.)* **حل التمرين 1.5.** نقابل بين كل $x \in G$ و$x^{-1}$. الأزواج $\{x, x^{-1}\}$ التي $x \neq x^{-1}$ ذات عنصرين وتقسم اتحادها؛ والعناصر الباقية هي بالضبط تلك التي $x = x^{-1}$، أي $x^2 = e$. وبما أن $\abs G$ زوجي وأن الأزواج ذات العنصرين تغطي عددًا زوجيًا من العناصر، فإن قوة المجموعة $\{x : x^2 = e\}$ زوجية؛ وهي تحتوي $e$، ومن ثم تحتوي عنصرًا آخر $x \neq e$ على الأقل — أي عنصرًا رتبته $2$. **تمرين 1.6 ★★.** برهن على أن $A_n$ (من أجل $n \geq 3$) مولَّدة بالدورات ذات الطول $3$. *(جداء مبادلتين هو دورة ذات الطول $3$ أو جداء دورتين ذواتَي الطول $3$.)* **حل التمرين 1.6.** كل عنصر من $A_n$ جداء عدد زوجي من المبادلات ([المبرهنة 1.21](#thm-b2-structures-signature): نفكك إلى مبادلات؛ والعدد زوجي لأن الإشارة $+1$). ويكفي أن نكتب كل جداء مبادلتين بدورات ذات الطول $3$: $$ (a\,b)(a\,c) = (a\,c\,b), \qquad (a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d) \quad (\text{مختلفة } a,b,c,d), $$ (بالتحقق عبر التقييم)، و$(a\,b)(a\,b) = \mathrm{id}$. ومنه فالدورات ذات الطول $3$ تولّد $A_n$. **تمرين 1.7 ★★.** عيّن كل تشاكلات الزمر: من $(\Q, +)$ نحو $(\Z, +)$؛ ومن $(\Z/n\Z, +)$ نحو $(\Z/m\Z, +)$ *(عُدّها: $\gcd(m,n)$)*؛ ومن $(\Q, +)$ نحو $(\Q_+^*, \times)$. **حل التمرين 1.7.** *$(\Q,+) \to (\Z,+)$:* التشاكل المعدوم وحده. فمن أجل أي $x$ ومن أجل كل $n \geq 1$، يقبل $f(x) = n f\bigl(\frac xn\bigr)$ القسمة على $n$ في $\Z$؛ والعدد الصحيح الوحيد الذي يقبل القسمة على كل $n$ هو $0$، ومنه $f(x) = 0$ لكل $x$. *$(\Z/n\Z, +) \to (\Z/m\Z, +)$:* يتحدد التشاكل بالقيمة $c = f(\overline 1)$، التي يجب أن تحقق $n c \equiv 0 \pmod m$، أي أن $c$ مضاعف للعدد $\frac{m}{\gcd(m,n)}$؛ وهناك $\gcd(m,n)$ صنفًا كهذه، وكل اختيار يعرّف تشاكلًا فعلًا (نحلّل $k \mapsto kc$ عبر $\Z/n\Z$ بالخاصية الشمولية). *$(\Q, +) \to (\Q_+^*, \times)$:* التشاكل المحايد وحده. فإذا كان $f(x) = y$، فمن أجل كل $n$ لدينا $y = f(n \cdot \frac xn) = f(\frac xn)^n$، أي إن هذه القيمة قوة $n$-ية في $\Q_+^*$. لكن عددًا ناطقًا $y \neq 1$ لا يمكن أن يكون قوة $n$ من أجل كل $n$: إذ يظهر عدد أولي ما في $y$ بأس غير معدوم $v$، و$n \nmid v$ من أجل $n > \abs v$ (فأسس القوى ذوات الأس $n$ مضاعفات للعدد $n$، بحكم وحدانية التفكيك). ومنه $f \equiv 1$. **تمرين 1.8 ★★.** باستعمال مبرهنة البواقي الصينية، احسب $\varphi(360)$، وجد كل $x$ بحيث $x \equiv 3 \pmod 8$ و$x \equiv 5 \pmod 9$ و$x \equiv 2 \pmod 5$، واحسب الرقمين الأخيرين من $3^{2026}$ *(أويلر بترديد $100$؛ وانتبه: اعمل بترديد $4$ وبترديد $25$)*. **حل التمرين 1.8.** $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$: $\varphi(360) = 360\bigl(1 - \tfrac12\bigr)\bigl(1 - \tfrac13\bigr)\bigl(1 - \tfrac15\bigr) = 360 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac23 \cdot \tfrac45 = 96$. الجملة: القياسات $8, 9, 5$ أولية فيما بينها مثنى مثنى، وجداؤها $360$. من $x \equiv 3 \pmod 8$ و$x \equiv 5 \pmod 9$: نجد $x = 3 + 8k$ مع $3 + 8k \equiv 5 \pmod 9$، أي $-k \equiv 2$، و$k \equiv -2 \equiv 7 \pmod 9$: ومنه $x \equiv 3 + 56 = 59 \pmod{72}$. ثم $59 + 72\ell \equiv 2 \pmod 5$: $4 + 2\ell \equiv 2$، $2\ell \equiv 3 \equiv 8$، $\ell \equiv 4 \pmod 5$: ومنه $x \equiv 59 + 288 = 347 \pmod{360}$. الرقمان الأخيران من $3^{2026}$: بترديد $4$، $3^{2026} = 9^{1013} \equiv 1$. وبترديد $25$: $\varphi(25) = 20$ و$2026 = 20\cdot101 + 6$، ومنه $3^{2026} \equiv 3^6 = 729 \equiv 4 \pmod{25}$. نحلّ $x \equiv 1 \pmod 4$، $x \equiv 4 \pmod{25}$: يعطي $x = 4 + 25k \equiv 1 \pmod 4$ أن $k \equiv 1 \pmod 4$: ومنه $x \equiv 29 \pmod{100}$. والرقمان الأخيران هما $29$. **تمرين 1.9 ★★★.** برهن على أن كل حلقة تامة منتهية حقل. استنتج أن $\Z/n\Z$ حقل إذا وفقط إذا كان $n$ أوليًا (مرة أخرى). **حل التمرين 1.9.** لتكن $A$ حلقة تامة منتهية وليكن $a \in A$، $a \neq 0$. التطبيق $x \mapsto ax$ متباين ($ax = ay \implies a(x - y) = 0 \implies x = y$، إذ لا قواسم للصفر)؛ وكل تطبيق متباين من مجموعة منتهية إلى نفسها يكون شاملًا (مجلد السنة الأولى، تكافؤ مبدأ الجحور). ومنه $1 = ab$ من أجل $b$ ما: فكل عنصر غير معدوم قابل للقلب، و$A$ حقل. $\Z/n\Z$: إذا كان $n$ أوليًا فهي حلقة تامة ($n \mid ab \implies n \mid a$ أو $n \mid b$، بمبرهنة إقليدس المساعدة)، ومنتهية، ومن ثم حقل؛ وإذا كان $n = rs$ مركّبًا فإن $\overline r\,\overline s = \overline 0$ يُبرز قواسم للصفر. **تمرين 1.10 ★★★.** (كلاسيكي) ليكن $K$ حقلًا ولتكن $G$ زمرة جزئية *منتهية* من $(K^*, \times)$. برهن على أن $G$ دورية. *إرشاد: ليكن $m$ أكبر رتبة بين عناصر $G$؛ بيّن أن رتبة كل عنصر تقسم $m$ (باستعمال [التمرين 1.4](#exo-b2-structures-4) على أجزاء أولية فيما بينها مناسبة)، فتحقق $G$ كلها $x^m = 1$؛ ثم عُدّ جذور $X^m - 1$.* وعلى الخصوص فإن $(\Z/p\Z)^*$ دورية. **حل التمرين 1.10.** ليكن $m = \max\{\operatorname{ord}(x) : x \in G\}$، وهي مبلوغة عند $a$. *الادعاء: رتبة كل $x \in G$ تقسم $m$.* لنفترض أن رتبة $x$ ما هي $q$ مع $q \nmid m$: عندئذٍ توجد قوة أولية $p^k$ تقسم $q$ ولا تقسم $m$. لنكتب $m = p^j m'$ مع $p \nmid m'$ و$j < k$. رتبة العنصر $a^{p^j}$ هي $m'$؛ ورتبة العنصر $x^{q/p^k}$ هي $p^k$؛ والرتبتان أوليتان فيما بينهما والعنصران يتبادلان (لأن $G \subseteq K^*$ تبادلية)، ومنه حسب [التمرين 1.4](#exo-b2-structures-4) تكون رتبة جدائهما $p^k m' > p^j m' = m$: وهذا يناقض الأعظمية. فتحقق إذن كل $x \in G$ العلاقة $x^m = 1$: أي أن لكثير الحدود $X^m - 1$ $\abs G$ جذرًا على الأقل في الحقل $K$، ومنه $\abs G \leq m$ (فكثير حدود غير معدوم من الدرجة $m$ له $m$ جذرًا على الأكثر، مجلد السنة الأولى). لكن $m = \operatorname{ord}(a) \leq \abs G$ بمبرهنة لاغرانج. ومنه $m = \abs G$، وتكون $\langle a \rangle$، وقوتها $m = \abs G$، هي $G$ كلها: أي إنها دورية. ومن أجل $K = \Z/p\Z$: تكون $(\Z/p\Z)^*$ زمرة جزئية منتهية من $K^*$، ومن ثم دورية (رتبتها $p - 1$). **تمرين 1.11 ★★★.** برهن على أن الزمرة $(\Q, +)$ ليست دورية، والأسوأ: أنها ليست حتى مولَّدة بجزء منته. وبرهن في المقابل على أن كل زمرة جزئية من $(\Q, +)$ مولَّدة بجزء منته تكون دورية. **حل التمرين 1.11.** *ليست دورية:* تتكوّن الزمرة الجزئية $\langle \frac pq\rangle$ من المضاعفات الصحيحة للعدد $\frac pq$، وكلها ذات مقام يقسم $q$ (بعد الاختزال)؛ ومن ثم لا تحتوي $\frac{1}{2q}$. فلا يستطيع مولّد وحيد أن يبلغ المقامات غير المحدودة في $\Q$. *ليست مولَّدة بجزء منته:* تتكوّن الزمرة الجزئية [المولَّدة](#def-b2-structures-generated) بالعناصر $\frac{p_1}{q_1}, \dots, \frac{p_k}{q_k}$ من الأعداد الناطقة التي تقسم مقاماتها $Q = q_1 \cdots q_k$ (فالتراكيب الصحيحة لها مقام يقسم $Q$): وهي لا تحتوي $\frac{1}{2Q}$. *الزمر الجزئية [المولَّدة](#def-b2-structures-generated) بجزء منته دورية:* مع $Q$ كما تقدم، تكون الزمرة الجزئية $H = \langle \frac{p_1}{q_1}, \dots, \frac{p_k}{q_k}\rangle$ محتواة في $\frac{1}{Q}\Z$. والتطبيق $x \mapsto Qx$ تماثل من $\frac1Q\Z$ على $\Z$ يحمل $H$ إلى زمرة جزئية من $\Z$، وهي $n\Z$ من أجل $n$ ما (مجلد السنة الأولى): ومنه فالزمرة $H = \frac{n}{Q}\Z$ دورية، مولَّدة بالعنصر $\frac nQ$. **تمرين 1.12 ★★.** (محك ديدكيند) برهن على أن كل مجموعة غير منتهية تحتوي جزءًا قابلًا للعد، واستنتج أن مجموعة $E$ غير منتهية إذا وفقط إذا كانت مساوية القوة لجزء صحيح منها. *(من أجل الاتجاه المباشر، أزِح جزءًا قابلًا للعد خطوة واحدة؛ ومن أجل العكس، تذكّر مبدأ الجحور.)* **حل التمرين 1.12.** *جزء قابل للعد.* لتكن $E$ غير منتهية. نبني $a_0, a_1, a_2, \dots$ بالتراجع: $E$ غير خالية، فنختار $a_0 \in E$؛ وإذا اختيرت $a_0, \dots, a_n$، فإن $E \setminus \{a_0, \dots, a_n\}$ غير خالية (لأن $E$ غير منتهية)، فنختار $a_{n+1}$ فيها. والعناصر $a_n$ مختلفة مثنى مثنى بحكم الإنشاء، ومنه فإن $A = \{a_n : n \in \N\}$ جزء قابل للعد من $E$. *مجموعة غير منتهية $\implies$ مساوية القوة لجزء صحيح منها.* نعرّف $f \colon E \to E \setminus \{a_0\}$ بالعلاقتين $f(a_n) = a_{n+1}$ و $f(x) = x$ من أجل $x \notin A$. وهو متباين (فالقطعتان متباينتان وصورتاهما منفصلتان) وشامل على $E \setminus \{a_0\}$: فكل $a_{n+1}$ مبلوغ، وكل $x \notin A$ مبلوغ. ومنه فإن $E$ مساوية القوة للجزء الصحيح $E \setminus \{a_0\}$. *العكس.* إذا كانت $E$ منتهية وكان $g \colon E \to F$ تقابلًا على $F \subseteq E$ مع $F \neq E$، فإن $g$ غرسة من $E$ في نفسها وليست شاملة، وهذا يناقض مبدأ الجحور (مجلد السنة الأولى: كل تطبيق ذاتي متباين على مجموعة منتهية تقابلي). ومنه فكل مجموعة مساوية القوة لجزء صحيح منها تكون غير منتهية. ## 1.7 مسألة: أحجية الخمسة عشر أحجية الخمسة عشر لوحة من الحجم $4 \times 4$ تحمل خمس عشرة قطعة منزلقة مرقّمة من $1$ إلى $15$ وخانة فارغة واحدة؛ وتنقل النقلةُ إحدى القطع المجاورة للخانة الفارغة إليها. وفي تسعينيات القرن التاسع عشر روّج سام لويد للأحجية بعرضه $1000 لمن يستطيع أن يبادل بين القطعتين $14$ و$15$ ويعيد كل قطعة أخرى إلى مكانها. ولم يقبض أحد الجائزة قط، وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع هذه على شقّي السبب: فإشارة [المبرهنة 1.21](#thm-b2-structures-signature) تمنع [مبادلة](#def-b2-structures-sn) لويد، و— وهذا هو الشق الأصعب، الإنشائي — *كل* ما تسمح به الإشارة قابل للحلّ فعلًا. والصياغة الكاملة هي مبرهنة جونسون–ستوري (1879). ![الوضعية المحلولة ووضعية 14–15 عند سام لويد. والسؤال بجائزة $1000: هل تستطيع نقلات مشروعة أن تحوّل اللوحة اليمنى إلى اليسرى؟](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-structures/fig-f6b468375255.svg) ![الوضعية المحلولة ووضعية 14–15 عند سام لويد. والسؤال بجائزة $1000: هل تستطيع نقلات مشروعة أن تحوّل اللوحة اليمنى إلى اليسرى؟](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-structures/fig-983ed15774f0.svg) *الوضعية المحلولة ووضعية $14$–$15$ عند سام لويد. والسؤال بجائزة $1000: هل تستطيع نقلات مشروعة أن تحوّل اللوحة اليمنى إلى اليسرى؟* **مسألة 1.1.** مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة جونسون–ستوري في قابلية الحلّ رقّم الخانات من $1$ إلى $16$ بترتيب القراءة (من اليسار إلى اليمين، ومن الأعلى إلى الأسفل)، بحيث تقع الخانة $k$ في السطر $i$ والعمود $j$ مع $k = 4(i - 1) + j$. والخانة $16$ (أسفل اليمين) هي *موطن* الخانة الفارغة؛ ونعامل الخانة الفارغة كقطعة سادسة عشرة، تُكتب $b$ وتُماهى مع العدد $16$. وتكون *الوضعية* تقابلًا $\sigma \colon \intint1{16} \to \intint1{16}$، أي خانة $\mapsto$ محتواها؛ والوضعية *المحلولة* هي $\sigma = \mathrm{id}$. وفي كل ما يلي، $\varepsilon$ هي إشارة [المبرهنة 1.21](#thm-b2-structures-signature)، وتكون خانتان *متجاورتين* إذا اشتركتا في حافة من اللوحة. **الجزء الأول — الوضعيات والنقلات والإشارات.** 1. برّر أن الوضعيات هي بالضبط عناصر $\mathfrak{S}_{16}$ ، فيكون عددها $16! = 20\,922\,789\,888\,000$ ، وأن عدد النقلات المشروعة انطلاقًا من وضعية معطاة هو $2$ أو $3$ أو $4$ ، تبعًا لوقوع الخانة الفارغة في زاوية أو على حافة أو في الداخل. 2. لتكن $\sigma$ وضعية، ولتكن $p = \sigma^{-1}(16)$ خانة الفراغ، ولتكن $c$ خانة مجاورة للخانة $p$ . بيّن أن انزلاق قطعة $c$ إلى $p$ يعطي الوضعية $\sigma' = \sigma \circ \tau$ مع $\tau = (p\ c)$ ، واستنتج أن كل نقلة تقلب الإشارة: $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ . 3. لوّن اللوحة كرقعة شطرنج: $\chi(k) = (-1)^{i+j}$ من أجل الخانة $k$ في السطر $i$ والعمود $j$ . بيّن أن كل نقلة تقلب $\chi(\text{خانة الفراغ})$ ، واستنتج أن كل متتالية نقلات تعيد الفراغ إلى خانته الابتدائية يكون طولها زوجيًا. 4. بيّن أن $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\, \chi\bigl(\sigma^{-1}(16)\bigr)$$ لا متغيّر تحت كل نقلة مشروعة، واحسب $I(\mathrm{id})$. **الجزء الثاني — جائزة لويد: اللامتغيّر في العمل.** 5. توافق وضعية لويد $\sigma_L$ الوضعية المحلولة إلا في أن الخانتين $14$ و $15$ تحملان القطعتين $15$ و $14$ . احسب $I(\sigma_L)$ واستنتج أن لا متتالية نقلات تربط $\sigma_L$ بالوضعية المحلولة: فجائزة لويد لم تكن في خطر قط. 6. بيّن أن نصف الوضعيات بالضبط يحقق $I = +1$ : أي $\abs{\{\sigma : I(\sigma) = +1\}} = 16!/2$ . *(من أجل خانة فراغ ثابتة، قابِل بين الوضعيات بالتركيب مع [مبادلة](#def-b2-structures-sn) ثابتة لخانتين أخريين.)* 7. بيّن أن كل نقلة تُلغى بنقلة مشروعة، وأن “ $\sigma'$ قابلة للبلوغ من $\sigma$ بنقلات مشروعة” علاقة تكافؤ، وأن صنف $R$ الوضعية المحلولة يحقق $R \subseteq \{I = +1\}$ . استنتج أن هناك صنفين على الأقل. 8. لنفترض أن الفراغ في موطنه: $\sigma(16) = 16$ . بيّن أن $I(\sigma) = \varepsilon(\rho)$ حيث $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ مقصور $\sigma$ على الخانات $1, \dots, 15$ ، وأن كل وضعية يمكن نقلها بنقلات مشروعة إلى وضعية فراغها في موطنه. استنتج: لبرهان $R = \{I = +1\}$ يكفي أن نحقق كل تبديلة *زوجية* للخانات الخمس عشرة غير الموطن بمتتالية نقلات تبدأ وتنتهي والفراغ في موطنه. **الجزء الثالث — جولات الفراغ وزمرة البرامج.** *البرنامج* متتالية منتهية من النقلات المشروعة، تبدأ من وضعية فراغها في موطنه، وتكون وضعيتها النهائية بفراغ في موطنه أيضًا. و*أثره* هو التبديلة $\pi$ للخانات المعرَّفة بما يلي: محتوى الخانة $x$ ينتهي في الخانة $\pi(x)$. 9. بيّن أن برنامجًا يُنفَّذ انطلاقًا من $\sigma$ ينتهي عند $\sigma \circ \pi^{-1}$ ؛ وأن تنفيذ برنامجين متتاليين يركّب أثريهما؛ وأن مجموعة $H$ كل الآثار زمرة جزئية من $\mathfrak{S}_{15}$ (تبديلات الخانات $1, \dots, 15$ ) محتواة في الزمرة المتناوبة $A_{15}$ . 10. (الجولة الأولية) انطلاقًا من الفراغ في موطنه، أزلق الفراغ حول المربّع $2 \times 2$ أسفل اليمين: أي الخانات $16 \to 12 \to 11 \to 15 \to 16$ . بيّن أن الأثر هو [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $3$ ، أي $(11\ 12\ 15)$ ، وأن الجولة العكسية تعطي $(11\ 15\ 12)$ . وكلاهما في $H$ . 11. (الجولة الكبرى) تحقّق من أن $$16 \to 15 \to 14 \to 13 \to 9 \to 5 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 8 \to 7 \to 6 \to 10 \to 11 \to 12 \to 16$$ مسير مغلق يمرّ بالخانات الست عشرة كلها (بخطوات بين متجاورين فقط)، وأن أثره هو [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $15$ $$\zeta = (15\ 12\ 11\ 10\ 6\ 7\ 8\ 4\ 3\ 2\ 1\ 5\ 9\ 13\ 14) .$$ وبكتابة $x_0 = 15$ و$x_1 = 12$ و$x_2 = 11$، …، و$x_{14} = 14$ لترتيبها الدوري، تحقّق من أن الجولة الأولية العكسية في السؤال 10 هي بالضبط $(x_0\ x_1\ x_2)$. 12. برهن على صيغة المقارنة في أي $\mathfrak{S}_n$: من أجل تبديلة $g$ ودورة ذات الطول $3$، $$g\,(a\ b\ c)\,g^{-1} = \bigl(g(a)\ g(b)\ g(c)\bigr),$$ ولاحظ أن $H$، بوصفها زمرة، مغلقة تحت المقارنة بعناصرها. 13. استنتج أن $H$ تحتوي كل الدورات *المتتالية* الخمس عشرة ذات الطول $3$ في الجولة الكبرى: $$s_t = (x_t\ x_{t+1}\ x_{t+2}) \qquad (t \in \Z/15\Z, \text{ بأدلة بترديد } 15).$$ **الجزء الرابع — توليد الزمرة المتناوبة.** 14. (المبرهنة المساعدة أ) لتكن $s$ و $t$ دورتين ذواتَي الطول $3$ يشترك حاملاهما في نقطتين بالضبط، وليكن حاملاهما $\{a, b, c\}$ و $\{b, c, d\}$ . بيّن أنه بعد تعويض $s$ أو $t$ بمقلوبها عند الاقتضاء (وهذا لا يغيّر شيئًا في الزمرة الجزئية [المولَّدة](#def-b2-structures-generated) )، يكون الجداء $st$ [مبادلة](#def-b2-structures-sn) مضاعفة؛ وبيّن أن $A_4$ لا تحتوي زمرة جزئية رتبتها $6$ *(فالزمرة الجزئية ذات الدليل $2$ تحتوي كل مربّع؛ عُدّ الدورات ذات الطول $3$ بين المربعات)* ؛ واستنتج أن $\langle s, t\rangle$ هي الزمرة المتناوبة كاملةً على الحروف الأربعة $\{a, b, c, d\}$ . 15. (المبرهنة المساعدة ب) لتكن $X$ مجموعة من $k \geq 4$ حرفًا، مع $w \notin X$ ، ولتكن $G$ زمرة جزئية من $\mathfrak{S}_n$ ما تحتوي كل تبديلة زوجية للمجموعة $X$ ودورة واحدة ذات الطول $3$ هي $(u\ v\ w)$ مع $u, v \in X$ . بيّن أنه من أجل كل $a, b \in X$ مختلفة توجد تبديلة *زوجية* $g$ للمجموعة $X$ تحقق $g(u) = a$ و $g(v) = b$ ، ثم استنتج أن $(a\ b\ w) \in G$ . 16. استنتج أن الزمرة $G$ في المبرهنة المساعدة ب تحتوي كل تبديلة زوجية للمجموعة $X \cup \{w\}$ *(استعمل [التمرين 1.6](#exo-b2-structures-6): فالدورات ذات الطول $3$ تولّد)* . ثم، بتسلسل المبرهنتين المساعدتين أ وب على الدورات المتتالية ذوات الطول $3$ ، أي $s_0, s_1, \dots, s_{12}$ ، في السؤال 13، برهن على أن $\langle s_0, \dots, s_{12}\rangle = A_{15}$ . 17. استنتج أن $H = A_{15}$ : *أي أن كل إعادة ترتيب زوجية للقطع الخمس عشرة قابلة للتحقيق ببرنامج* ، وأن $H$ تحتوي $15!/2 = 653\,837\,184\,000$ عنصرًا. 18. (مبرهنة جونسون–ستوري، 1879) اجمع الأسئلة 6 و7 و8 و17: الوضعيات القابلة للبلوغ من الوضعية المحلولة هي *بالضبط* الوضعيات $16!/2 = 10\,461\,394\,944\,000$ التي تحقق $I = +1$ ؛ وللبلوغ صنفان *اثنان* بالضبط، صنف الوضعية المحلولة وصنف وضعية لويد $\sigma_L$ . *(من أجل النقطة الثانية، أعِد تسمية القطعتين $14$ و$15$: بيّن أن $\sigma \mapsto (14\ 15) \circ \sigma$ يرسل متتاليات النقلات إلى متتاليات نقلات ويبادل بين $\{I = +1\}$ و$\{I = -1\}$.)* **الجزء الخامس — المحكّات والمتغيّرات والنظرة من فوق.** 19. (المحك العملي) اقرأ القطع الخمس عشرة بترتيب قراءة خاناتها، متجاوزًا الفراغ، وليكن $N$ عدد انقلابات هذه القائمة؛ وليكن $r$ سطر الفراغ محسوبًا من *الأسفل* . بيّن أن $I(\sigma) = (-1)^{N + r + 1}$ ، فتكون $\sigma$ قابلة للحلّ إذا وفقط إذا كان $N + r$ فرديًا. 20. (فعل الزمر) *فعل* زمرة $G$ على مجموعة $X$ هو تطبيق $G \times X \to X$ ، $(g, x) \mapsto g \cdot x$ ، يحقق $e \cdot x = x$ و $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ ؛ و *مدار* $x$ هو $G \cdot x$ ، ويكون الفعل *حرًا* إذا كان $g \cdot x = x$ يفرض $g = e$ . بيّن أن $h \cdot \sigma = \sigma \circ h^{-1}$ يعرّف فعلًا حرًا للزمرة $H$ على مجموعة الوضعيات ذوات الفراغ في الموطن، وأن مداراته هي بالضبط أصناف البلوغ المتبادل بالبرامج، واستنتج من عدد المدارات أن هذه الوضعيات تنقسم إلى $15!\,/\,\abs H = 2$ صنفًا بالضبط. 21. (عائق $3 \times 3$ ) بيّن أن اللوحة $3 \times 3$ لا تقبل *أي* مسير مغلق يزور كل خانة مرة واحدة بالضبط: فتفشل استراتيجية الجولة الكبرى في الجزء الثالث من أجل أحجية الثمانية. *(لوّن الخانات التسع كرقعة شطرنج.)* 22. (الإصلاح) على اللوحة $3 \times 3$ ذات الخانات من $1$ إلى $9$ بترتيب القراءة وموطنٍ هو $9$ : احسب أثري جولة المحيط $9 \to 8 \to 7 \to 4 \to 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9$ (وهي دورة ذات الطول $7$ ، أي $\zeta'$ ، تثبّت المركز $5$ ) وجولة الزوايا $9 \to 6 \to 5 \to 8 \to 9$ (وهي دورة ذات الطول $3$ تمرّ بالمركز). وبمقارنة الثانية بقوى $\zeta'$ وتسلسل المبرهنتين المساعدتين أ وب، برهن على أن زمرة برامج أحجية الثمانية هي $A_8$ كاملةً، ومن ثم على أن $9!/2 = 181\,440$ بالضبط من الوضعيات $9! = 362\,880$ قابلة للحلّ. 23. (لوحة فقيرة) لتكن اللوحة الآن دورة واحدة من $n \geq 4$ خانة تحمل $n - 1$ قطعة. بيّن أن الترتيب الدوري للقطع لا متغيّر، وأن كل صنف بلوغ يحتوي بالضبط $n(n - 1)$ وضعية *(فالأصناف هي مدارات [زمرة دورية](#def-b2-structures-generated) رتبتها $\operatorname{lcm}(n, n-1) = n(n-1)$)* ، وأن عدد الأصناف هو $(n - 2)!$ — وهو من أجل $n \geq 5$ أكبر بكثير من $2$ : فعلى لوحة نحيلة لا يلتقط لا متغيّر التماثل شيئًا يُذكر، والهندسة هي الحاكمة. 24. حكمان بمحك السؤال 19: اللوحة المقلوبة كليًا (القطع $15, 14, \dots, 1$ في الخانات $1$ إلى $15$ ، والفراغ في موطنه)، واللوحة التي فيها الفراغ في الخانة $1$ تتلوه القطع $15, 14, \dots, 1$ في الخانات $2$ إلى $16$ . أيهما قابلة للحلّ؟ 25. (تركيب) للبرهان ركيزتان مستقلتان: *لا متغيّر* ( $I$ ، مبني على تشاكل الإشارة) يبيّن أن نصف الوضعيات على الأكثر قابل للبلوغ، ومبرهنة *توليد صريح* ( $H = A_{15}$ ) تبيّن أن نصفها على الأقل قابل للبلوغ. بجملة واحدة لكل منها، قل أين دخل ما يلي: خاصية التشاكل في $\varepsilon$ ؛ ومبرهنة لاغرانج؛ وتوليد $A_n$ بالدورات ذات الطول $3$ ؛ والمقارنة. وصُغ المبدأ الشامل في سطر واحد. **حل المسألة 1.1.** **1.** تُسند الوضعية إلى كل خانة من الخانات $16$ محتوى من المحتويات $16$ (القطع $1$–$15$ أو الفراغ $b = 16$)، مرة واحدة بالضبط لكل منها: أي بالضبط تقابل $\intint1{16} \to \intint1{16}$، وهو عنصر من $\mathfrak{S}_{16}$؛ وعددها $16! = 20\,922\,789\,888\,000$. وتُزلق النقلة المشروعة قطعة واحدة مجاورة للفراغ، فيكون عدد النقلات هو عدد جيران خانة الفراغ: $2$ من أجل الخانات الزاوية الأربع، و$3$ من أجل الخانات الحافية الثماني، و$4$ من أجل الخانات الداخلية الأربع. **2.** بعد الانزلاق، تحمل الخانة $p$ المحتوى السابق للخانة $c$ وتحمل الخانة $c$ الفراغ؛ وتبقى كل الخانات الأخرى دون تغيير: $\sigma'(p) = \sigma(c)$، $\sigma'(c) = \sigma(p) = 16$، و$\sigma' = \sigma$ في ما عدا ذلك. وهذا بالضبط $\sigma' = \sigma \circ (p\ c)$. وبما أن $\varepsilon$ تشاكل وأن $\varepsilon\bigl((p\ c)\bigr) = -1$: $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$. **3.** تختلف الخانتان المتجاورتان بخطوة واحدة في إحدى الإحداثيتين دون الأخرى، ومن ثم يتغير تماثل $i + j$: فتأخذ $\chi$ قيمتين متعاكستين على خانتين متجاورتين. وتنقل النقلةُ الفراغ من $p$ إلى $c$ المجاورة، فتقلب $\chi(\text{خانة الفراغ})$. وعلى امتداد مسير مغلق للفراغ، تنقلب $\chi$ مرة واحدة في كل نقلة وتعود إلى قيمتها الابتدائية: فعدد النقلات زوجي. **4.** حسب السؤالين 2 و3، تقلب النقلة الواحدة عاملَي $I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\chi(\sigma^{-1}(16))$ كليهما؛ فلا يتغير جداؤهما. ومن أجل الوضعية المحلولة: $\varepsilon(\mathrm{id}) = +1$ والفراغ في الخانة $16$، أي السطر $4$ والعمود $4$: ومنه $\chi(16) = (-1)^{8} = +1$، فيكون $I(\mathrm{id}) = +1$. **5.** $\sigma_L$ هي [مبادلة](#def-b2-structures-sn) الخانتين $(14\ 15)$: $\varepsilon(\sigma_L) = -1$؛ وفراغها في موطنه، $\chi(16) = +1$: ومنه $I(\sigma_L) = -1 \neq +1 = I(\mathrm{id})$. وبما أن $I$ تصمد أمام كل نقلة، فلا متتالية نقلات تربط $\sigma_L$ بالوضعية $\mathrm{id}$. فالجائزة كانت في أمان بنيوي. **6.** نثبّت خانة $p$ وخانتين أخريين $c \neq d$ مختلفتين عن $p$، ونضع $\tau_0 = (c\ d)$. وعلى مجموعة الوضعيات ذات الفراغ في $p$، يكون التطبيق $\sigma \mapsto \sigma \circ \tau_0$ تقابلًا ذاتيًا من الرتبة اثنين (فهو يحافظ على $\sigma(p) = 16$ لأن $\tau_0$ يثبّت $p$) ويقلب $\varepsilon$، ومن ثم يقلب $I$: فهو يقابل الوضعيات ذات $I = +1$ تقابلًا مع تلك ذات $I = -1$. ومنه فكل موضع من مواضع الفراغ $16$ يسهم بعدد $15!/2$ من الوضعيات تحقق $I = +1$، ويكون $$ \abs{\{I = +1\}} = 16 \cdot \frac{15!}{2} = \frac{16!}{2}. $$ **7.** النقلة التي تُزلق قطعة $c$ إلى $p$ تُلغى بإزلاق القطعة نفسها (وهي الآن في $p$) عائدةً إلى $c$: فالتركيب مع $(p\ c)$ مرتين هو المطابق. ومنه: الانعكاسية (بالمتتالية الخالية)، والتناظر (بعكس المتتالية وإلغاء كل نقلة)، والتعدي (بالتلاصق): أي علاقة تكافؤ. وكل $\sigma \in R$ يحقق $I(\sigma) = I(\mathrm{id}) = +1$ حسب السؤال 4، ومنه $R \subseteq \{I = +1\}$؛ و$\sigma_L \notin R$ يعطي صنفًا ثانيًا. **8.** إذا كان $\sigma(16) = 16$، فإن $\sigma$ يبدّل الخانات $1, \dots, 15$؛ ولنُسمّ $\rho$ هذا المقصور. وإضافة نقطة ثابتة لا تغيّر نمط الدورات ولا الإشارة (نفكك $\rho$ إلى مبادلات؛ والجداء نفسه صالح في $\mathfrak{S}_{16}$)، ومنه $\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\rho)$، ويعطي $\chi(16) = +1$ أن $I(\sigma) = \varepsilon(\rho)$. وكل وضعية يمكن نقلها إلى وضعية فراغها في موطنه: فالشبكة مترابطة، فنسير بالفراغ على مسير من خانات متجاورة إلى الخانة $16$ (وكل خطوة نقلة مشروعة). ولنفترض الآن أن كل $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ زوجية محقَّقة ببرنامج. فلتكن $\sigma$ مع $I(\sigma) = +1$: نسير بالفراغ إلى موطنه فنبلغ $\widetilde\sigma$ (وهي مكافئة للوضعية $\sigma$)، مع $I(\widetilde\sigma) = +1$، أي إن مقصورها $\rho$ زوجي؛ والبرنامج الذي يحقق $\rho$ ينقل $\widetilde\sigma$ إلى $\widetilde\sigma \circ \rho^{-1} = \mathrm{id}$ (انظر السؤال 9). وبالتعدي $\sigma \in R$، ومنه $\{I = +1\} \subseteq R$ والمساواة. **9.** *نقلة واحدة:* ينتهي محتوى $c$ في $p$ والفراغ في $c$: فالأثر هو $\pi = (p\ c)$، وفعلًا $\sigma' = \sigma \circ (p\ c) = \sigma \circ \pi^{-1}$. *بالتراجع:* إذا كان لمتتالية أثر $\pi_1$ وكانت تنقل $\sigma$ إلى $\sigma \circ \pi_1^{-1}$، فإن إتباعها بنقلة أثرها $\pi_2 = (p'\ c')$ يعطي $(\sigma \circ \pi_1^{-1}) \circ \pi_2^{-1} = \sigma \circ (\pi_2\pi_1)^{-1}$، وتنتقل المحتويات بالتبديلة $\pi_2 \circ \pi_1$ (أولًا $\pi_1$، ثم $\pi_2$). فالآثار تتركّب، والبرنامج المنفَّذ انطلاقًا من $\sigma$ ينتهي عند $\sigma \circ \pi^{-1}$. *الزمرة الجزئية:* أثر البرنامج الخالي هو $\mathrm{id}$؛ والتلاصق يعطي الجداءات؛ وعكس البرنامج (السؤال 7) يعطي المقلوبات. وأثر البرنامج يثبّت الخانة $16$ (فالفراغ يبدأ وينتهي في موطنه)، ومنه $H \leq \mathfrak{S}_{15}$. *الزوجية:* برنامج من $k$ نقلة له $k$ زوجي (السؤال 3)، ويفرض $\varepsilon(\sigma \circ \pi^{-1}) = (-1)^k\varepsilon(\sigma)$ أن $\varepsilon(\pi) = +1$: ومنه $H \subseteq A_{15}$. **10.** نتتبع الانزلاقات الأربعة انطلاقًا من الفراغ في $16$: النقلة $16 \to 12$ ترسل محتوى $12$ إلى $16$؛ والنقلة $12 \to 11$ ترسل محتوى $11$ إلى $12$؛ والنقلة $11 \to 15$ ترسل محتوى $15$ إلى $11$؛ والنقلة $15 \to 16$ ترسل المحتوى المركون في $16$ (وأصله في $12$) إلى $15$. والحصيلة: $11 \mapsto 12$، $12 \mapsto 15$، $15 \mapsto 11$، والفراغ في موطنه: فالأثر هو $(11\ 12\ 15)$. والجولة العكسية تلغيه: أثرها $(11\ 12\ 15)^{-1} = (11\ 15\ 12)$. وكلاهما أثر برنامج، ومن ثم في $H$. **11.** تجاور الخانات المتتالية: ففي كل زوج مذكور تختلف الخانتان بمقدار $1$ في السطر نفسه ($16{-}15$، $15{-}14$، $14{-}13$؛ $1{-}2$، $2{-}3$، $3{-}4$؛ $8{-}7$، $7{-}6$؛ $10{-}11$، $11{-}12$) أو بمقدار $4$ داخل عمود ($13{-}9$، $9{-}5$، $5{-}1$؛ $4{-}8$؛ $6{-}10$؛ $12{-}16$): أي مسير مغلق عبر الخانات $16$ كلها، طوله $16$. أما الأثر: فكما في السؤال 10، بكتابة الخانات المزارة $c_0 = 16, c_1 = 15, \dots, c_{15} = 12$: ينتقل محتوى $c_i$ إلى $c_{i-1}$ من أجل $i = 2, \dots, 15$، ويُحمل محتوى $c_1$، المركون في $16$ بعد النقلة الأولى، إلى $c_{15}$ بالنقلة الأخيرة. فيرسل الأثر إذن $15 \mapsto 12$، و$14 \mapsto 15$، $13 \mapsto 14$، $9 \mapsto 13$، $5 \mapsto 9$، $1 \mapsto 5$، $2 \mapsto 1$، $3 \mapsto 2$، $4 \mapsto 3$، $8 \mapsto 4$، $7 \mapsto 8$، $6 \mapsto 7$، $10 \mapsto 6$، $11 \mapsto 10$، $12 \mapsto 11$: أي بالضبط [الدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $15$، وهي $\zeta$. ويبدأ ترتيبها الدوري بالخانة $x_0 = 15$، $x_1 = 12$، $x_2 = 11$، ويرسل $(x_0\ x_1\ x_2) = (15\ 12\ 11)$ العنصر $15 \mapsto 12 \mapsto 11 \mapsto 15$ — وهو بالضبط $(11\ 15\ 12)$، أي الجولة الأولية العكسية. **12.** ليكن $\gamma = (a\ b\ c)$ و$x \in \intint1n$. إذا كان $x = g(a)$: فإن $g\gamma g^{-1}(x) = g(\gamma(a)) = g(b)$؛ وكذلك $g(b) \mapsto g(c)$ و$g(c) \mapsto g(a)$. وإذا كان $x \notin \{g(a), g(b), g(c)\}$، فإن $g^{-1}(x) \notin \{a,b,c\}$ مثبَّت بالتبديلة $\gamma$، ومن ثم يبقى $x$ ثابتًا. ومنه $g\gamma g^{-1} = (g(a)\ g(b)\ g(c))$. ومن أجل $g, h \in H$، نجد $ghg^{-1} \in H$ بحكم بديهيات الزمرة الجزئية. **13.** $\zeta \in H$ (السؤال 11) و$s_0 = (x_0\ x_1\ x_2) \in H$ (السؤالان 10–11). وبما أن $\zeta(x_i) = x_{i+1}$ (بأدلة بترديد $15$)، يعطي السؤال 12 أن $$ \zeta^{t}\,s_0\,\zeta^{-t} = \bigl(\zeta^t(x_0)\ \zeta^t(x_1)\ \zeta^t(x_2)\bigr) = (x_t\ x_{t+1}\ x_{t+2}) = s_t \in H \qquad (t = 0, 1, \dots, 14). $$ **14.** إلى حدّ القلب، لنفترض أن $s = (a\ b\ c)$ و$t = (b\ c\ d)$ ([فالدورة](#def-b2-structures-sn) ذات الطول $3$ على $\{a,b,c\}$ هي $(a\ b\ c)$ أو مقلوبها؛ وكذلك على $\{b,c,d\}$؛ وتعويض مولّد بمقلوبه لا يغيّر $\langle s, t\rangle$). عندئذٍ، بتطبيق $t$ أولًا، $$ st \colon a \mapsto b,\quad b \mapsto a,\quad c \mapsto d,\quad d \mapsto c, \qquad\text{أي}\quad st = (a\ b)(c\ d), $$ وهي [مبادلة](#def-b2-structures-sn) مضاعفة. وتتكوّن الزمرة الجزئية $G = \langle s, t\rangle$ من التبديلات الزوجية للحروف الأربعة، ومنه $G \leq A_4$ و$\abs G \mid 12$؛ وهي تحتوي عنصرًا رتبته $3$ وآخر رتبته $2$، ومن ثم $6 \mid \abs G$ (لاغرانج، [المبرهنة 1.14](#thm-b2-structures-lagrange)، مطبَّقة على الزمرتين الدوريتين الجزئيتين). ولو كانت في $A_4$ زمرة جزئية $K$ رتبتها $6$، لكان دليلها $2$، ولكان عندئذٍ $g^2 \in K$ من أجل كل $g \in A_4$: فمن أجل $g \in K$ هذا واضح؛ ومن أجل $g \notin K$ لا يوجد إلا الصنفان الجانبيان $K$ و$gK$، ومن ثم فالصنف $g^2K$ هو $K$ أو $gK$، ويفرض $g^2K = gK$ أن $g \in K$. فكل مربّع يقع إذن في $K$. لكن كل دورة ذات الطول $3$، أي $\gamma$، مربّع، إذ $\gamma = (\gamma^2)^2$، و$A_4$ تحتوي ثماني دورات ذات الطول $3$: ومنه $8 > 6$، وهو تناقض. ومنه $\abs G = 12$: أي $G = A_4$. **15.** نمدّد $u \mapsto a$ و$v \mapsto b$ إلى تقابل $g_0$ على $X$ (بإرسال الحروف $k - 2$ الباقية تقابليًا إلى متممة $\{a, b\}$ كيفما اتفق). وإذا كانت $g_0$ فردية، نختار حرفين مختلفين $s_1, t_1 \in X \setminus \{u, v\}$ (وهذا ممكن لأن $k \geq 4$) ونعوّض $g_0$ بالتبديلة $g_0 \circ (s_1\ t_1)$، وهي زوجية وما تزال ترسل $u \mapsto a$، $v \mapsto b$. ثم نمدّد بالمطابق خارج $X$: فنحصل على تبديلة زوجية $g \in G$ (فهي تبديلة زوجية للمجموعة $X$). عندئذٍ يعطي السؤال 12: $$ g\,(u\ v\ w)\,g^{-1} = (g(u)\ g(v)\ g(w)) = (a\ b\ w) \in G, $$ باستعمال $g(w) = w$. **16.** كل دورة ذات الطول $3$ في $X \cup \{w\}$ تقع في $G$: فالدورات المحمولة في $X$ تبديلات زوجية للمجموعة $X$؛ وأما دورة حاملها $\{a, b, w\}$ فهي $(a\ b\ w)$ أو $(b\ a\ w)$، وكلتاهما يعطيها السؤال 15. وحسب [التمرين 1.6](#exo-b2-structures-6)، تولّد الدورات ذات الطول $3$ في المجموعة $X \cup \{w\}$ ذات $(k+1)$ عنصرًا زمرتَها المتناوبة، ومنه فإن $G$ تحتوي كل تبديلة زوجية للمجموعة $X \cup \{w\}$. *التسلسل:* ليكن $G = \langle s_0, \dots, s_{12}\rangle$. تعطي المبرهنة المساعدة أ مطبَّقة على $s_0 = (x_0\ x_1\ x_2)$ و $s_1 = (x_1\ x_2\ x_3)$ (وحاملاهما يشتركان في $\{x_1, x_2\}$) كل التبديلات الزوجية للمجموعة $X_4 = \{x_0, x_1, x_2, x_3\}$. وإذا كانت $G$ تحتوي كل التبديلات الزوجية للمجموعة $X_m = \{x_0, \dots, x_{m-1}\}$ ($4 \leq m \leq 14$)، فإن $s_{m-2} = (x_{m-2}\ x_{m-1}\ x_m)$ فيها $u = x_{m-2}, v = x_{m-1} \in X_m$ والحرف الجديد $w = x_m$: فتعطي المبرهنة المساعدة ب مع الجزء الأول كل التبديلات الزوجية للمجموعة $X_{m+1}$. وبالتراجع إلى غاية $m = 14$: $G \supseteq A_{15}$ (كل التبديلات الزوجية للخانات الخمس عشرة)، و$G \subseteq A_{15}$ لأن كل $s_t$ زوجية: ومنه $\langle s_0, \dots, s_{12}\rangle = A_{15}$. **17.** السؤالان 13 و16: $A_{15} = \langle s_0, \dots, s_{12}\rangle \subseteq H$؛ والسؤال 9: $H \subseteq A_{15}$. ومنه $H = A_{15}$، ورتبتها $15!/2 = 653\,837\,184\,000$: فكل إعادة ترتيب زوجية للقطع الخمس عشرة أثرُ برنامج. **18.** أرجع السؤال 8 إثبات $R = \{I = +1\}$ إلى تحقيق كل $\rho \in \mathfrak{S}_{15}$ زوجية ببرنامج: وقد تمّ ذلك في السؤال 17. ومع السؤال 6، نجد $\abs R = 16!/2 = 10\,461\,394\,944\,000$. *الصنفان:* ليؤثّر $t_0 = (14\ 15)$ على *المحتويات*: $\varphi(\sigma) = t_0 \circ \sigma$. فالنقلة المشروعة انطلاقًا من $\sigma$ نقلة مشروعة انطلاقًا من $\varphi(\sigma)$ (فخانة الفراغ لا تتغير: $(t_0\sigma)^{-1}(16) = \sigma^{-1}(t_0(16)) = \sigma^{-1}(16)$، والخانة المنقولة هي نفسها)، و$\varphi(\sigma \circ \tau) = \varphi(\sigma) \circ \tau$: ومنه فإن $\varphi$ يرسل متتاليات النقلات إلى متتاليات نقلات، تقابليًا (فهو تقابل ذاتي من الرتبة اثنين). وهو يقلب $I$: $\varepsilon(t_0\sigma) = -\varepsilon(\sigma)$، مع خانة الفراغ نفسها. ومنه فإن $\varphi$ يرسل صنف $R = \{I = +1\}$ الوضعية $\mathrm{id}$ تقابليًا على صنف $\varphi(\mathrm{id}) = \sigma_L$، وهو من ثم كل $\{I = -1\}$: أي صنفان اثنان بالضبط. وهذه هي مبرهنة جونسون–ستوري. **19.** نرقّم الخانات بترتيب القراءة ولتكن $k = 4(i - 1) + j$ خانة الفراغ. نعدّ انقلابات $\sigma$ (أي أزواج الخانات $x < y$ التي $\sigma(x) > \sigma(y)$): تسهم أزواج خانتَي قطعتين بمقدار $N$؛ وأما الأزواج التي تشمل الفراغ: فالخانات التي بعد الفراغ تحمل كلها قطعًا $< 16$، وكل منها منقلب ($16 - k$ زوجًا)، والخانات التي قبله لا تنقلب أبدًا. ومنه $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{N + 16 - k} = (-1)^{N + k}$. وبما أن $k = 4(i-1) + j \equiv j \pmod 2$، $$ I(\sigma) = (-1)^{N + j}\,(-1)^{i + j} = (-1)^{N + i} = (-1)^{N + r + 1} $$ باستعمال $i = 5 - r$. وحسب السؤال 18، تكون $\sigma$ قابلة للحلّ إذا وفقط إذا $I(\sigma) = +1$ إذا وفقط إذا كان $N + r$ فرديًا. وللتحقق: الوضعية المحلولة، $N = 0$، $r = 1$: فردي، فهي قابلة للحلّ؛ ووضعية لويد، $N = 1$، $r = 1$: زوجي، فهي غير قابلة للحلّ. **20.** *الفعل:* $e \cdot \sigma = \sigma \circ \mathrm{id} = \sigma$ و$g \cdot (h \cdot \sigma) = \sigma \circ h^{-1} \circ g^{-1} = \sigma \circ (gh)^{-1} = (gh) \cdot \sigma$؛ و$\sigma \circ h^{-1}$ وضعية فراغها في موطنه من جديد (لأن $h$ يثبّت الخانة $16$). *الحرية:* يعطي $\sigma \circ h^{-1} = \sigma$ أن $h^{-1} = \mathrm{id}$ (بالتركيب مع $\sigma^{-1}$). *المدارات = أصناف البرامج:* يقول السؤال 9 إن الوضعيات القابلة للبلوغ من $\sigma$ بالبرامج هي بالضبط $\sigma \circ \pi^{-1}$، $\pi \in H$: أي المدار $H \cdot \sigma$. *العدّ:* تجعل الحرية $h \mapsto h \cdot \sigma$ متباينًا، فيكون لكل مدار $\abs H = 15!/2$ عنصرًا؛ ومن ثم تنقسم الوضعيات $15!$ ذات الفراغ في الموطن إلى $15!\,/\,(15!/2) = 2$ مدارًا — وهي ظلّ صنفَي جونسون–ستوري في الوضعيات ذات الفراغ في الموطن. **21.** الشبكة $3 \times 3$ ثنائية التجزئة بتلوين رقعة الشطرنج: فكل خطوة في مسير تغيّر اللون، ومن ثم يكون طول كل مسير *مغلق* زوجيًا. ولو وُجد مسير مغلق يزور كلًا من الخانات $9$ مرة واحدة بالضبط لكان طوله $9$، وهو فردي: وهذا مستحيل. فإنشاء الجولة الكبرى في الجزء الثالث غير متاح إذن في أحجية الثمانية. **22.** *جولة المحيط* $9 \to 8 \to 7 \to 4 \to 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9$ (وكل خطواتها بين متجاورين؛ وطولها $8$، وهو زوجي): حسب حساب السؤال 11 مع $c_1 = 8, c_2 = 7, c_3 = 4, c_4 = 1, c_5 = 2, c_6 = 3, c_7 = 6$، يكون الأثر $$ \zeta' = (8\ 6\ 3\ 2\ 1\ 4\ 7), $$ أي دورة ذات الطول $7$ تثبّت المركز $5$ (فمحتوى $7$ ينتقل إلى $8$، ومحتوى $4$ إلى $7$، ومحتوى $1$ إلى $4$، ومحتوى $2$ إلى $1$، ومحتوى $3$ إلى $2$، ومحتوى $6$ إلى $3$، ومحتوى $8$ إلى $6$). *جولة الزوايا* $9 \to 6 \to 5 \to 8 \to 9$: أثرها $(6\ 8\ 5)$ (فمحتوى $5$ ينتقل إلى $6$، ومحتوى $8$ إلى $5$، ومحتوى $6$ — المركون في $9$ — إلى $8$). ونضع $y_t = \zeta'^{\,t}(8)$: فنجد $y_0 = 8, y_1 = 6, y_2 = 3, y_3 = 2, y_4 = 1, y_5 = 4, y_6 = 7$. والمقارنة (السؤال 12): $$ \zeta'^{\,t}\,(6\ 8\ 5)\,\zeta'^{-t} = (y_{t+1}\ y_t\ 5) =: T_t \in H_{3\times3}, $$ لأن $\zeta'$ يثبّت $5$. وحاملا $T_0 = (y_1\ y_0\ 5)$ و$T_1 = (y_2\ y_1\ 5)$ يشتركان بالضبط في $\{y_1, 5\}$: فتعطي المبرهنة المساعدة أ كل التبديلات الزوجية للمجموعة $\{y_0, y_1, y_2, 5\}$. ثم يضيف $T_2 = (y_3\ y_2\ 5)$ العنصر $y_3$ بالمبرهنة المساعدة ب (فحروفه $y_2, 5$ تقع في المجموعة الجارية، و$k = 4$)، وتضيف $T_3, T_4, T_5$ بدورها $y_4, y_5, y_6$: فتقع كل التبديلات الزوجية للخانات الثماني غير الموطن في زمرة البرامج، التي تتكوّن هي أيضًا من تبديلات زوجية (فحجة السؤال 9 لا تتعلق باللوحة). ومنه $H_{3\times3} = A_8$، ويبيّن استدلال الأسئلة 6 و8 و18 — وهو أيضًا لا يتعلق باللوحة — أن الوضعيات القابلة للبلوغ هي بالضبط تلك التي $I = +1$: أي نصف $9!$، أي $181\,440$. **23.** نُسمّي الخانات $0, \dots, n-1$ حول [الدورة](#def-b2-structures-sn). وتبادل النقلةُ الفراغ مع أحد جاريه. ونقرأ القطع بالترتيب الدوري ابتداءً من موضع بُعيد الفراغ: فنحصل على كلمة $w$ تسرد القطع $n - 1$. وتقديم الفراغ خطوة واحدة يعوّض $(p, w)$ بالزوج $(p + 1, \rho w)$، حيث $p$ خانة الفراغ و$\rho$ يدير الكلمة دوريًا بمقدار واحد؛ والنقلة الرجوعية هي المقلوب. فالترتيب *الدوري* للقطع (أي الكلمة إلى حدّ الدوران) لا متغيّر إذن. وصنف بلوغ $(p, w)$ هو مدار التطبيق $g \colon (p, w) \mapsto (p+1, \rho w)$، وهو عنصر رتبته $\operatorname{lcm}(n, n-1) = n(n-1)$ في جداء الزمرتين الدوريتين (انسحابات $\Z/n\Z$ ودورانات مواضع الكلمة $n-1$)، والمضاعف المشترك الأصغر هو $n(n-1)$ لأن $\gcd(n, n-1) = 1$: فلكل صنف بالضبط $n(n-1)$ وضعية، ولها جميعًا القلادة نفسها. والأصناف: $n!\,/\,\bigl(n(n-1)\bigr) = (n-2)!$. ومن أجل $n \geq 5$، $(n-2)! > 2$: فلا متغيّر التماثل (صنفان في أحسن الأحوال) أعمى عن كل العائق تقريبًا؛ وثراء اللوحة $4 \times 4$ — حيث التماثل هو العائق *الوحيد* — واقعة هندسية أصيلة، لا شكلية. **24.** في اللوحتين ترتيب القطع مقلوب كليًا، ومنه $N = \binom{15}{2} = 105$ في الحالتين (فكل زوج من القطع منقلب). *الفراغ في موطنه:* $r = 1$، و$N + r = 106$ زوجي: فهي غير قابلة للحلّ. *الفراغ في الخانة $1$:* الفراغ في السطر الأعلى، و$r = 4$، و$N + r = 109$ فردي: فهي قابلة للحلّ. لوحتان لا تختلفان إلا في موضع الثقب تقعان على جانبَي الجدار. **25.** *خاصية التشاكل:* تحوّل “نقلة واحدة = [مبادلة](#def-b2-structures-sn) واحدة” إلى “نقلة واحدة = قلب إشارة واحد” (السؤالان 2 و4)، فتجعل $I$ قابلة للحساب نقلةً نقلة. *لاغرانج:* فرض $6 \mid \abs{\langle s, t\rangle}$ في المبرهنة المساعدة أ وحدّد حجم الأصناف الجانبية في استبعاد الرتبة $6$ (السؤال 14). *التوليد بالدورات ذات الطول $3$:* حوّل “$H$ تحتوي ما يكفي من الدورات ذات الطول $3$” إلى “$H$ تحتوي $A_{15}$ كلها” (السؤال 16). *المقارنة:* صنعت الدورات المتتالية الخمس عشرة ذوات الطول $3$ انطلاقًا من جولة $2 \times 2$ واحدة منقولة بالجولة الكبرى (السؤالان 12–13)، وصنعت الدورات ذوات الطول $3$، أي $(a\ b\ w)$، في المبرهنة المساعدة ب. *المبدأ الشامل:* لا متغيّرٌ يبرهن على الاستحالة، وإنشاءٌ صريح يبرهن على الإمكان، ولا تُحلّ المسألة تمامًا إلا حين يلتقي الحدّان — وهنا يلتقيان عند النصف.