---
title: "الصيغ التربيعية"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2"
subject: math
language: ar
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/12-quadratic-forms
---

# الفصل 12 — الصيغ التربيعية

[الصيغة التربيعية](#def-b2-quadratic-def) هي الظلّ الجبري لهندسة ما: فالأجزاء ذوات التوقيع المعدوم تُسطّح، والموجبة تُقوّس في اتجاه، والسالبة في الاتجاه الآخر. ويُرجع هذا الفصل كل [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) حقيقية إلى مجموع $\pm$ مربّعًا (غاوس)، ويبرهن على أن عدّ الإشارات ذاتي (سيلفستر)، ثم يتوّج الهندسة الإقليدية *بالمبرهنة الطيفية*: فالتشاكلات الذاتية المتماثلة تتقطّر في أسس متعامدة ممنظمة — وهي المبرهنة الأكثر استعمالًا في [الجبر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra) الخطي التطبيقي.

## 12.1 الصيغ ثنائية الخطية والتربيعية

**تعريف 12.1.**

*الصيغة ثنائية الخطية المتماثلة* على فضاء متجهي حقيقي $E$ هي صيغة ثنائية الخطية $\varphi \colon E \times E \to \R$ تحقق $\varphi(x, y) =
\varphi(y, x)$؛ و*الصيغة التربيعية* المرافقة هي $q(x) = \varphi(x, x)$. وتُستعاد الصيغة $\varphi$ من $q$ *بالاستقطاب*:

$$
\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).
$$

وفي أساس $(e_i)$، تكون *مصفوفة* $\varphi$ هي المصفوفة المتماثلة $B = (\varphi(e_i, e_j))$، مع $q(x) = X^{\mathsf T} B X$؛ ويعوّض تغيير الأساس بمصفوفة $P$ المصفوفةَ $B$ بالمصفوفة $P^{\mathsf T} B P$ (*التوافق* — لا التشابه!). و*رتبة* $q$ هي $\operatorname{rk} B$ (وهي لا متغيّرة: لأن التوافق يضرب في مصفوفات قابلة للقلب).

**مثال 12.2.**

على $\R^2$: للصيغة $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ المصفوفةُ $\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$. والجداء السلّمي هو بالضبط صيغة ثنائية الخطية متماثلة صيغتها التربيعية معرَّفة موجبة؛ ويدرس هذا الفصل الحالة العامة غير محدَّدة الإشارة.

**مثال 12.3 (التوافق في العمل).**

لنأخذ $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (بالمصفوفة $B = \begin{pmatrix} 1
& 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$) والأساس الجديد $e_1' = (1, 1)$، $e_2' = (1, -1)$، أي $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 &
-1\end{pmatrix}$. عندئذٍ

$$
P^{\mathsf T}BP
= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :
$$

وفي الإحداثيات $(u, v)$ على امتداد الأساس الجديد، $q = 6u^2 -
2v^2$ — وللتحقق: يعطي $x = u + v$، $y = u - v$ أن $x^2 + 4xy +
y^2 = 6u^2 - 2v^2$ مباشرةً. ولاحظ أن العناصر القطرية الجديدة $6,
-2$ *ليست* [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ للمصفوفة $B$: فالتوافق يعيد تحجيم السلّم، ولا يحفظ الأطياف إلا التشابه — لكن الإشارات تتفق، كما تقتضي مبرهنة سيلفستر. (والأساس هنا متعامد لكنه غير ممنظم؛ ونظمُه بالمقدار $\frac{1}{\sqrt2}$ يقسم القطر على $2$ و يستعيد [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen).)

**مثال 12.4 (محددات غرام تقيس المساحة).**

من أجل $v_1, v_2$ في فضاء إقليدي، تحزم مصفوفة غرام $G =
\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ الأطوالَ والزاوية؛ ويحزم محددها *المساحة*:

$$
\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2
= \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr)
= \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,
$$

وهو مربّع مساحة متوازي الأضلاع المبني على $v_1, v_2$ — ومتراجحة كوشي–شوارتز هي بالضبط القول $\det G \geq 0$. ومثال منفَّذ: $v_1 = (1, 2, 2)$، $v_2 = (2, 1, -2)$ في $\R^3$:

$$
G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix},
\qquad
\det G = 81 :
$$

فالمتجهتان متعامدتان وطولهما $3$، وتولّدان متوازي أضلاع (وهو هنا مربّع) مساحته $\sqrt{81} = 9$. والفكرة الختامية: لم يُستعمل أي جداء شعاعي ولا أي سحر خاص بالبعد $3$ — فالمقدار $\sqrt{\det G}$ يقيس الحجم ذا البعد $k$ في *أي* بعد، وهو منطلق الجزء الأول من مسألة نهاية الأسبوع وتكاملات مساحة السطوح لاحقًا في هذا المجلد.

## 12.2 اختزال غاوس وقصور سيلفستر الذاتي

**مبرهنة 12.5 (اختزال غاوس).**

كل [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) $q$ على فضاء حقيقي منتهي البعد يمكن كتابتها

$$
q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,
$$

حيث $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ صيغ خطية مستقلة خطيًا؛ وبكيفية مكافئة، يجعل أساسٌ ما مصفوفةَ $q$ قطرية بعناصر $+1$ ($s$ مرة)، و$-1$ ($t$ مرة)، و$0$.

**برهان.** بالتراجع على عدد المتغيرات، بالإحداثيات: $q(x_1,
\dots, x_n)$.

*الحالة 1: يظهر مربّع ما*، وليكن معامل $a$ للمتغير $x_1^2$ غير معدوم. نجمّع كل الحدود التي فيها $x_1$ ونُتمّم المربّع:

$$
q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots,
x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),
$$

حيث $\lambda$ خطية و$q_1$ تربيعية في المتغيرات الباقية: فقد انفصلت صيغة مستقلة واحدة (فهي تشمل $x_1$، وأما الأخريات فلا)، وينطبق التراجع على $q_1$، وتأتي إشارات $\pm$ من إشارة $a$ بعد تغيير السلّم بالمعامل $\sqrt{\abs a}$.

*الحالة 2: لا مربّع، لكن ثمة حدّ متقاطع*، وليكن $b\,x_1x_2$ مع $b \neq 0$. نستعمل المتطابقة

$$
x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)
$$

بعد التجميع: فبكتابة $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha + x_2\beta +
q_2$ (مع $\alpha, \beta, q_2$ في المتغيرات الأخرى)، نتحقق من أن

$$
q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha +
\beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta -
\alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,
$$

مع $\widetilde q$ خالية من $x_1, x_2$: فتنفصل صيغتان مستقلتان، ويُنهي التراجع العمل.

استقلال الصيغ المجموعة: نرتّب الدفعات كما أُنتجت. فصيغ الدفعة الأولى تحتوي $x_1$ (في الحالة 1) أو $x_1, x_2$ (في الحالة 2)؛ وكل الصيغ اللاحقة خالية من تلك المتغيرات. ولنفترض انعدام تركيب خطي لكل الصيغ المجموعة. فبقراءة معامل $x_1$ (و$x_2$): لا تسهم إلا الدفعة الأولى، وداخل تلك الدفعة تكون الصيغة أو الصيغتان مستقلتين بوضوح ($\ell$ وحدها؛ أو $\ell \pm
m$ مع $\ell, m$ مستقلتين): فتنعدم معاملات الدفعة الأولى. ثم نجرّد الدفعة ونكرّر: فبالتراجع على امتداد الدفعات، تنعدم كل المعاملات — فالعائلة كلها حرة، وقد صار التثليث صريحًا. ∎

**مبرهنة 12.6 (قانون سيلفستر للقصور الذاتي).**

لا يتعلق الزوج $(s, t)$ في [المبرهنة 12.5](#thm-b2-quadratic-gauss) إلا بالصيغة $q$، لا بالاختزال: وهو *توقيع* الصيغة $q$. زيادةً على ذلك،

$$
s = \max\{\dim F : q|_F \text{ معرَّفة موجبة}\},
$$

وبالتناظر من أجل $t$.

**برهان.** ليكن $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ وليكن $F_+$ الفضاء المولَّد بالمتجهات (القبلية) التي تقتصر عليها $(\ell_i)$ لتصير إحداثيات — وبالتحديد: نُتمّ العائلة المستقلة $(\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t)$ إلى [أساس للثنوي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-dual) $E^*$، ولتكن $(u_1, \dots, u_n)$ الأساس للفضاء $E$ الذي تكون هذه صيغَ إحداثياته (وهو الأساس القبلي: $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ من أجل $k \leq s$، وتنعدم الصيغ اللاحقة على المتجهات السابقة). ونضع $F_+ =
\operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$: فمن أجل $x = \sum_{i\leq
s}x_iu_i \in F_+$،

$$
\ell_i(x) = x_i,
\qquad m_j(x) = 0,
\qquad\text{ومنه}\qquad
q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :
$$

فالصيغة $q|_{F_+}$ معرَّفة موجبة وتكون الأعظمية في الصيغة المعروضة $\geq s$. وعكسيًا، ليكن $F$ أي فضاء جزئي تكون عليه $q|_F$ معرَّفة موجبة، وليكن $G = \{x : \ell_1(x) = \dots = \ell_s(x) =
0\}$، وبعده [المرافق](#def-b2-quadratic-adjoint) $\leq s$؛ وعلى $G$، $q(x) = -\sum m_j^2 \leq 0$. عندئذٍ $F \cap G = \{0\}$ (فمتجهة غير معدومة هناك ستحقق $q > 0$ و$q \leq 0$)، ومنه $\dim F \leq \dim E - \dim G \leq s$. ومن ثم تساوي الأعظمية $s$ من أجل *كل* اختزال: أي إن $s$ ذاتي، وكذلك $t
= \operatorname{rk} q - s$. ∎

**مثال 12.7.**

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (لا مربّعات). ومع $x_1 = x$، $x_2 =
y$: $q = xy + z(x + y)$، وتعطي متطابقة المربّعين

$$
q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,
$$

(انشر للتحقق). ثلاث صيغ مستقلة: فالتوقيع $(1, 2)$، والرتبة $3$. اتجاه موجب واحد، واتجاهان سالبان: أي هندسة “مخروط الضوء” لهذه الصيغة.

**مثال 12.8 (صيغة منحلّة، مختزَلة بالكامل).**

$q(x, y, z) = xy + yz$ على $\R^3$: لا مربّعات، فالحالة 2 مع التجميع $q = y(x + z)$. ومتطابقة المربّعين على جداء الصيغتين المستقلتين $y$ و$x + z$:

$$
q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 -
\frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .
$$

والصيغتان الخطيتان $y + x + z$ و$y - x - z$ مستقلتان (ففرقهما $2(x+z)$، ومجموعهما $2y$)، ومن ثم يقرأ سيلفستر: التوقيع $(1, 1)$، والرتبة $2$ — فهي *منحلّة*. وتُوجَد نواة الصيغة القطبية بحلّ $\varphi(v, \cdot) = 0$: فبالمصفوفة $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$، تكون النواة $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1, 0, -1)$، وهو الاتجاه الذي لا ترى $q$ عليه شيئًا. والفكرة الختامية: يظهر نقص الرتبة في غاوس بوصفه “نفاد المتغيرات” — فقد أنتج الاختزال مربّعين فقط من ثلاثة أبعاد، والبعد الناقص هو النواة بالضبط.

**مثال 12.9 (صيغة واحدة، وطريقان إلى التوقيع).**

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$، بالمصفوفة $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}$. *الطريق 1، غاوس:* نُتمّم المربّعات بالترتيب،

$$
q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2
= 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2}
+ \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :
$$

فثلاثة مربّعات موجبة على صيغ مستقلة، والتوقيع $(3,
0)$: أي معرَّفة موجبة. *الطريق 2، [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen):* المصفوفة هي المصفوفة ثلاثية الأقطار $2I + N$ مع $N$ مصفوفة الجوار؛ وقيمها الذاتية $2 + \sqrt2$ و$2$ و$2 - \sqrt2$ (تحقق من [المتجهات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $(1, \pm\sqrt2, 1)$ و$(1, 0, -1)$)، وكلها موجبة: أي الحكم نفسه، حسب [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes). وغاوس أسرع؛ [والقيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) تقول أكثر (فهي تعطي المحاور الرئيسية والقيم الحدّية للصيغة $q$ على الكرة). والفكرة الختامية: المحاور الموجبة $2, \frac32, \frac43$ عند غاوس هي بالضبط نسب $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ الأقصرات الرئيسية الرائدة ($\Delta_1 = 2$، $\Delta_2 = 3$، $\Delta_3 = 4$) — وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على ذلك عمومًا.

**طريقة 12.10 (كيف نحسب توقيعًا: ثلاثة طرق).**

1. *غاوس* (يعمل دائمًا، وهو الأسرع يدويًا): أتمِم المربّعات بالترتيب، وانتقل إلى الحالة 2 حين لا يتوفر مربّع؛ ثم عُدّ الإشارات. وتحقق من أن الصيغ الخطية المجموعة مستقلة — فعدد صيغ أقلّ من عدد المتغيرات يعني وجود نواة ( [المثال 12.8](#ex-b2-quadratic-degenerate) ).
2. *الأقصرات الرائدة* (من أجل اختبارات التحديد): كل $\Delta_k > 0$ إذا وفقط إذا كانت معرَّفة موجبة ( [التمرين 12.8](#exo-b2-quadratic-8) )؛ بل إن المحاور $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ تعطي معاملات غاوس (مسألة نهاية الأسبوع). ويفشل هذا صامتًا إذا كان $\Delta_k = 0$ ما معدومًا: فارجع إلى الطريق 1.
3. *[القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen)* (الأكثر إفادةً والأكثر كلفة): إشارات [الطيف](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) ( [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) )؛ وهي تعطي أيضًا المحاور الرئيسية والقيم الحدّية للصيغة $q$ على كرة الوحدة. وفضّلها حين تكون البنية الذاتية مطلوبة أصلًا.

## 12.3 المبرهنة الطيفية

وليكن الآن $E$ فضاءً إقليديًا (بجداء سلّمي $\langle\cdot,\cdot\rangle$، مجلد السنة الأولى).

**تعريف 12.11 (المرافق؛ التشاكلات الذاتية المتماثلة).**

من أجل $u \in \mathcal{L}(E)$، يكون *المرافق* $u^*$ هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحقق

$$
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle
\qquad (x, y \in E);
$$

وفي أساس متعامد ممنظم، $\operatorname{Mat}(u^*) =
\operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$. ويكون $u$ *متماثلًا* (ذاتي المرافق) إذا كان $u^* = u$ — وبكيفية مكافئة، إذا كانت مصفوفته في أساس متعامد ممنظم متماثلة.

**وجود المرافق ووحدانيته.** من أجل $y$ ثابتة، تكون الصيغة $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ خطية، ومن ثم (في البعد المنتهي) من الشكل $\langle x,
z_y\rangle$ من أجل $z_y$ وحيدة — ويكون التطبيق $y \mapsto z_y =:
u^*(y)$ خطيًا بالوحدانية. وأما المماهاة المصفوفية: فالعلاقة $\langle u(e_i), e_j\rangle$ مقروءةً في الاتجاهين. ∎

**مثال 12.12 (المرافق يتعلق بالجداء السلّمي).**

على $\R^2$ نأخذ الجداء السلّمي *الموزون* $\langle x,
y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (بالمصفوفة $D =
\operatorname{diag}(1,2)$) ونأخذ $u$ بالمصفوفة $A =
\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني. ومن $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy =
x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ ومن $\langle x, u^*(y)\rangle_D
= x^{\mathsf T}(DA^*)y$، تكون مصفوفة [المرافق](#def-b2-quadratic-adjoint)

$$
A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D
= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix}
\neq A^{\mathsf T} .
$$

وللتحقق على $x = (1,0)$، $y = (0,1)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D
= \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;
$$

وعلى $x = (0,1)$، $y = (1,0)$:

$$
\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1,
\quad
\langle x, u^*(y)\rangle_D =
\langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .
$$

والفكرة الختامية: قولُ “$\operatorname{Mat}(u^*)
= \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$” قولٌ في الأسس *المتعامدة الممنظمة* فقط؛ وعمومًا يتدخل المتري $D$، تمامًا كما في الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع.

**مبرهنة 12.13 (المبرهنة الطيفية).**

ليكن $u$ تشاكلًا ذاتيًا [متماثلًا](#def-b2-quadratic-adjoint) لفضاء إقليدي $E$. عندئذٍ يملك $E$ *أساسًا متعامدًا ممنظمًا من [المتجهات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen)* للتشاكل $u$؛ وكل [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) حقيقية، [والفضاءات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الموافقة لقيم ذاتية مختلفة متعامدة. والصيغة المصفوفية: كل مصفوفة حقيقية متماثلة $A$ تُكتب

$$
A = P\,D\,P^{\mathsf T},
\qquad P \text{ متعامدة } (P^{\mathsf T} P = I),\ D
\text{ قطرية}.
$$

**برهان.** *وجود [متجهة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen).* الدالة $x \mapsto \langle u(x),
x\rangle$ متصلة على كرة الوحدة $S$ من $E$، وهي متراصة (فالبعد منته، [المبرهنة 5.13](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/5-normed-vector-spaces#thm-b2-nvs-finitedim)): فتبلغ أعظميتها $\lambda$ عند $a \in S$ ما. وندّعي أن $u(a) = \lambda
a$. فمن أجل أي $y \perp a$ تحقق $\norm y = 1$ و$t \in \R$، تقع المتجهة $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ على $S$ (لأن $\norm{a + ty}^2 = 1 + t^2$ بمبرهنة فيثاغورس)؛ وبنشر الدالة المعظَّمة،

$$
g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle
= \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle +
t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}
$$

(فقد دمج تماثل $u$ الحدّين المتقاطعين: $\langle u(a),
y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$). و$g$ دالة قابلة للاشتقاق في $t$ لها أعظمية عند $t =
0$؛ وتعطي قاعدة خارج القسمة عند $0$ أن

$$
g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a),
a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .
$$

ومن ثم فإن $u(a)$ متعامدة مع الفضاء الفوقي $a^\perp$ كله: أي $u(a)
\in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$، أي $u(a) = \mu a$؛ و$\mu =
\langle u(a), a\rangle = \lambda$.

*التراجع.* المتممة المتعامدة $F = a^\perp$ مستقرة تحت $u$: فمن أجل $x \perp a$، $\langle u(x), a\rangle = \langle x,
u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$. والمقصور $u|_F$ متماثل من أجل الجداء السلّمي المستحثّ؛ وبالتراجع على البعد، يملك $F$ أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا؛ ونضيف $a$ في المقدمة.

*التتمات.* [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) هي الأعداد الحقيقية $\langle u(e),
e\rangle$ على الأساس الذاتي. وتعامد [الفضاءات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen): يعطي $u(x) =
\lambda x$، $u(y) = \mu y$ أن $\lambda\langle x, y\rangle =
\langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x,
y\rangle$، ومنه $\langle x, y\rangle = 0$ حين $\lambda \neq \mu$. والصيغة المصفوفية: أعمدة $P$ هي الأساس الذاتي المتعامد الممنظم. ∎

**مثال 12.14 (تشغيلة طيفية كاملة).**

لنقطّر تعامديًا $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 &
1\end{pmatrix}$. [كثير الحدود المميز](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-charpoly) $(1 - \lambda)^2 -
4$: فالقيمتان الذاتيتان $3$ و$-1$. والمتجهتان الذاتيتان: يعطي $(A - 3I)v = 0$ أن $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$؛ ويعطي $(A + I)v = 0$ أن $v_2
= \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ — وهما متعامدتان، كما تضمن [المبرهنة 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral) بلا حساب. ومع $P = (v_1\ v_2)$ (وهي دوران بزاوية $\frac\pi4$):

$$
P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1
\end{pmatrix},
\qquad
x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2
\quad\text{في المعلم المُدار} .
$$

ومن ثم فصيغة [التمرين 12.1](#exo-b2-quadratic-1) من نمط القطع الزائد: بتوقيع $(1,1)$، وهو متوافق مع [اختزال غاوس](#thm-b2-quadratic-gauss) لها $(x + 2y)^2 - 3y^2$ — مربّعات مختلفة، وتوقيع واحد، كما تقتضي مبرهنة سيلفستر. والفكرة الختامية: أعطى غاوس الجواب أسرع، لكن الطريق الطيفي يفيد أيضًا بأن $q$ تجري على دائرة الوحدة على $\intcc{-1}{3}$ بالضبط، وتُبلغ على امتداد $v_2$ و$v_1$: فالعمل الإضافي يشتري هندسة.

**نتيجة 12.15 (المحاور الرئيسية؛ اختبارات الإيجابية).**

1. كل [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) $q$ على فضاء إقليدي تتقطّر في أساس *متعامد ممنظم* ما: $q(x) = \sum_i \lambda_i  x_i^2$ مع $\lambda_i$ [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة المتماثلة للصيغة $q$ ؛ ويعدّ التوقيع [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الموجبة والسالبة.
2. تكون المصفوفة المتماثلة شبه معرَّفة موجبة (أو معرَّفة موجبة) إذا وفقط إذا كانت كل قيمها الذاتية $\geq 0$ (أو $>  0$)؛ وعندئذٍ تكون القيم الحدّية لخارج قسمة رايلي هي $$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min},  \qquad  \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$$

**برهان.** (1) نكتب $q(x) = \langle A x, x\rangle$ مع $A$ متماثلة (وهي مصفوفة $q$ في أساس متعامد ممنظم)؛ ونقطّر $A$ بالمبرهنة الطيفية: فمن أجل $x = \sum x_ie_i$ في الأساس الذاتي المتعامد الممنظم،

$$
q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j
x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2
$$

(فالتعامد والتنظيم يقتلان الحدود المتقاطعة). وتعدّ إشارات $\pm$ للقيم $\lambda_i$ التوقيعَ بمبرهنة سيلفستر: فتغيير سلّم كل إحداثية بالمعامل $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ يُبرز اختزالَ غاوس بصيغ مستقلة.

(2) في الأساس الذاتي، $\langle Ax, x\rangle = \sum \lambda_i
x_i^2$، وهو محصور بين $\lambda_{\min}\norm x^2$ و $\lambda_{\max}\norm x^2$، مع المساواة عند [المتجهات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الموافقة؛ ومن ثم فإيجابية كل [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) مكافئة لإيجابية الصيغة. ∎

**مثال 12.16.**

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: القيمتان الذاتيتان $3$ ([بمتجهة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$) و$1$ (بالمتجهة $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$). وتصير [الصيغة التربيعية](#def-b2-quadratic-def) $2x^2 + 2xy + 2y^2$ هي $3X^2 + Y^2$ في المعلم المتعامد الممنظم المُدار: أي المحاور الرئيسية لقطع ناقص، محسوبةً. ويبلغ [اختزال غاوس](#thm-b2-quadratic-gauss) صيغة قطرية أيضًا، لكن المبرهنة الطيفية وحدها تبلغها *دون تشويه الأطوال*.

**مثال 12.17 (قطع ناقص معيَّن بالكامل).**

أي منحنٍ هو $5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$؟ لمصفوفته $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ كثيرُ الحدود المميز $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda -
6)$: فالقيمتان الذاتيتان $1$ و$6$، وكلتاهما موجبة — أي إنه قطع ناقص. والمتجهتان الذاتيتان المتعامدتان الممنظمتان: من أجل $\lambda = 1$، نحلّ $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}v = 0$: فنجد $v_1 =
\frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$؛ ومن أجل $\lambda = 6$: $v_2 =
\frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$. وفي الإحداثيات المُدارة $(X, Y)$ على امتداد $(v_2, v_1)$ تصير المعادلة

$$
6X^2 + Y^2 = 6,
\qquad\text{أي}\qquad
X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :
$$

فأنصاف المحاور $1$ (على امتداد $v_2$) و$\sqrt6$ (على امتداد $v_1$). والفكرة الختامية: كان الشكل التقريبي مجانيًا — فالشرط $\det
= 6 > 0$ والأثر الموجب يعلنان قطعًا ناقصًا قبل حساب أي [متجهة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) — لكن المبرهنة الطيفية وحدها تعطي اتجاهات المحاور وأطوالها، أي الهندسة الفعلية.

**مثال 12.18 (الحدود القصوى على الكرة، مقروءةً من الطيف).**

ما القيم الحدّية للصيغة $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ على كرة الوحدة؟ لمصفوفتها (وهي التي كل عناصرها خارج القطر واحد في [التمرين 12.2](#exo-b2-quadratic-2)) القيمتان الذاتيتان $2$ و$-1$ (مضاعفة)، ومن ثم يعطي البند (2) في [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes):

$$
\max_{\norm v = 1} q(v) = 2
\ \text{ عند } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1),
\qquad
\min_{\norm v = 1} q(v) = -1
\ \text{ على الدائرة } x + y + z = 0 .
$$

فلا تفاضل ولا مضاعفات لاغرانج: فالمبرهنة الطيفية تحلّ هذا التحسين المقيَّد فورًا — وتُبرز المعظِّم. والفكرة الختامية: قارِن بطريقة المضاعفات في فصل حساب التفاضل، التي تجد النقاط الحرجة نفسها بجهد أكبر؛ ومن أجل الدوال الهدف *التربيعية* على الكرات، تكون الأطياف الطريق الملكي (وتبني مسألة نهاية الأسبوع في الفصل الهرميتي نظريةَ كوران–فيشر كلها على هذه الملاحظة).

**ملاحظة 12.19 (مزالق شائعة).**

*(1) التوافق ليس تشابهًا:* فتغيير الأساس من أجل صيغة يؤثّر بالقانون $P^{\mathsf T}BP$ لا $P^{-1}BP$؛ [والقيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) *ليست* لا متغيّرات [لصيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) (فالمصفوفتان $I$ و$4I$ متوافقتان عبر $P = 2I$) — ولا تكون كذلك إلا إشاراتها (سيلفستر). فلا تتحدث عن [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) لصيغة إلا بعد تثبيت جداء سلّمي. *(2) العناصر الموجبة لا تبرهن على شيء:* فللمصفوفة $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ كل العناصر موجبة ومع ذلك توقيعها $(1,1)$ (لأن $\det = -3$)؛ وعكسيًا قد يكون للمصفوفة المعرَّفة الموجبة عناصر سالبة خارج القطر (فالمصفوفة [المثال 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads) مزاحةً: $2I - N$ تفي كذلك). فاستعمل [الطريقة 12.10](#met-b2-quadratic-signature). *(3) المربّعات المرتبطة:* فكتابة $q = \ell_1^2 - \ell_2^2$ لا تقول شيئًا إذا كانت $\ell_1, \ell_2$ متناسبة — فرتبة $x^2 + 2xy + y^2 =
(x+y)^2$ هي $1$ لا $2$؛ فتحقق دائمًا من الاستقلال قبل قراءة التوقيع. *(4) الحدود القصوى على الكرة دون تراص:* فحدود رايلي في [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) مبلوغة لأن الكرة متراصة؛ وعلى الكرة [المفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) أو على الفضاء كله، لا تملك الصيغة غير محدَّدة الإشارة أعظمية ولا أصغرية.

**ملاحظة 12.20 (أين يُستعمَل هذا).**

المبرهنة الطيفية أكثر نتائج هذا الكتاب تصديرًا: فالإحصاء يقطّر بها مصفوفات التباين المشترك (تحليل المركّبات الرئيسية)، والميكانيك يستخرج بها الأنماط الطبيعية للتذبذب (وهي الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع)، والتحليل العددي يبني عليها [تفكيك تشوليسكي](#pb-b2-quadratic-1) وتفكيك القيم المنفردة (المسألة نفسها)، وينقلها الفصل التالي إلى الفضاءات الهرميتية العقدية. ويبرهن مجلد السنة الثالثة على نظيرها غير المنتهي البعد من أجل المؤثرات المتراصة ذاتية [المرافق](#def-b2-quadratic-adjoint)، حيث تصير حجة التراص في البرهان المنتهي البعد الحكايةَ كلها.

**ملاحظة 12.21 (آفاق داخل هذا المجلد).**

تخترق الصيغ التربيعية بقية الكتاب الرابع بثلاثة أزياء. بوصفها *مصفوفات هيسي*: فيصنّف فصل حساب التفاضل النقاطَ الحرجة بتوقيع الصيغة من الرتبة الثانية، ومن ثم فلا تغيّر سيلفستر هو ما يجعل كلمة “سرج” معرَّفة جيدًا. وبوصفها *طاقات*: فمتذبذبات فصل المعادلات التفاضلية تحمل الطاقة التربيعية $\frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$، والاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل هو بالضبط استخراج الأنماط الطبيعية. وبوصفها *هندسة*: فمخروطيات هذا الفصل تكبر لتصير السطوح التربيعية في فصول الهندسة، حيث تكون للصيغة الأساسية الثانية لسطح — وهي [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) على كل مستوٍ مماسّ — توقيعٌ يقرّر ما إذا كان السطح ينحني كوعاء أم كسرج. ويعيد الفصل الهرميتي التالي عزف المقطوعة كلها على $\C$.

## 12.4 تمارين

**تمرين 12.1 ★.**

اختزل بغاوس وأعطِ الرتبة والتوقيع:

$$
q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2,
\qquad
q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .
$$

**حل التمرين 12.1.**

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$: الرتبة $2$، والتوقيع $(1, 1)$ (وهي صيغة من نمط القطع الزائد).

$q_2$: نُتمّم المربّع في $x$: $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz +
3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$: فالرتبة $3$، والتوقيع $(3, 0)$ — أي معرَّفة موجبة.

**تمرين 12.2 ★.**

قطّر تعامديًا $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ([بالقيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) من حساب [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction)؛ واجعل الأساس الآن متعامدًا ممنظمًا) واختزل الصيغة $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ إلى المحاور الرئيسية.

**حل التمرين 12.2.**

القيمتان الذاتيتان $2$ (على $\operatorname{Vect}(1,1,1)$) و$-1$ (على المستوي $x + y + z = 0$). ونُنظّم: $e_1 =
\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$؛ وفي المستوي، يعطي غرام–شميت على $(1,-1,0),
(1,0,-1)$ أن $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$، $e_3 =
\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$. وعندئذٍ تكون $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ متعامدة مع $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$.

وللصيغة $q = 2xy + 2yz + 2zx$ المصفوفةُ $A$: ففي الإحداثيات المُدارة $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ — أي المحاور الرئيسية؛ والتوقيع $(1,2)$، وهو يوافق [المثال 12.7](#ex-b2-quadratic-gaussexample) (فهي الصيغة نفسها!).

**تمرين 12.3 ★.**

برهن على أن $u^{**} = u$، $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$، وأن $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$. استنتج $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$.

**حل التمرين 12.3.**

$u^{**} = u$: $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle =
\langle ux, y\rangle$ من أجل كل $y$. و$(uv)^* = v^*u^*$: $\langle
uvx, y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x,
v^*u^*y\rangle$. والنواة: $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y
\rangle = 0\ \forall x \iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x
\iff y \perp \operatorname{im} u$. والرتب: $\dim\ker u^* = n -
\operatorname{rk} u$ (بالمتممة المتعامدة)، ومنه $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ بمبرهنة الرتبة — وهو النظير الإقليدي لمبرهنة رتبة [المنقول](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-transpose).

**تمرين 12.4 ★★.**

لتكن $A$ حقيقية متماثلة مع $A^3 = A$. برهن على أن $A^2$ مصفوفة إسقاط متعامد. وبعبارة أعمّ، اربط بين التفكيكين الطيفيين للمصفوفتين $A$ و$P(A)$ من أجل كثير حدود $P$.

**حل التمرين 12.4.**

طيفيًا: $A = PDP^{\mathsf T}$، مع $D$ قطرية بعناصر $\lambda_i$ تحقق $\lambda_i^3 = \lambda_i$: أي $\lambda_i \in
\{-1, 0, 1\}$. عندئذٍ $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ مع $D^2$ قطرية بعناصر $0/1$: فالمصفوفة $A^2$ متماثلة ومتساوية القوى (لأن $(A^2)^2 = A^4 = A\cdot A^3 = A^2$) — والمصفوفة المتماثلة المتساوية القوى $=$ إسقاط متعامد (وهو الإسقاط على $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ بموازاة $\ker A$، وهذان متعامدان بالمبرهنة الطيفية).

وعمومًا، $P(A) = P\!\left(\text{قطرية}\right)$: فللمصفوفة $P(A)$ [المتجهات الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) نفسها، وقيمها الذاتية $P(\lambda_i)$ — وهو “الرسم الطيفي” على مستوى [القابل للتقطير](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-diag).

**تمرين 12.5 ★★.**

برهن على أن $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ جزء متراص من $\mathcal{M}_n(\R)$ *(مغلق: فهو الصورة العكسية للمجموعة $\{I\}$ بتطبيق [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity)؛ ومحدود: فالأعمدة متجهات واحدية)*. وهل هو مترابط؟

**حل التمرين 12.5.**

مغلقة: $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ من أجل التطبيق [المتصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) $g(P) =
P^{\mathsf T}P$ (بعناصر كثيرة الحدود). ومحدودة: فكل عمود من $P
\in O(n)$ متجهة واحدية، ومن ثم تقع كل العناصر في $\intcc{-1}{1}$. ومغلقة ومحدودة في $\mathcal{M}_n(\R) \simeq \R^{n^2}$: فهي متراصة ([المبرهنة 4.16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#thm-b2-metric-compactprops) (2)).

وليست مترابطة: [فالمحدد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) $\det$ يأخذ القيمتين $\pm1$ على $O(n)$، والتطبيق [المتصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) الشامل على $\{-1, 1\}$ يقسم الفضاء (بحجة [المثال 4.28](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ex-b2-metric-glnr)).

**تمرين 12.6 ★★.**

(الجذر التربيعي) لتكن $A$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة. أنشئ مصفوفة متماثلة شبه معرَّفة موجبة $B$ تحقق $B^2 = A$، وبرهن على أنها *وحيدة* *(الوجود: خذ الجذور التربيعية للقيم الذاتية في أساس طيفي؛ والوحدانية: كل مرشح $B$ يتبادل مع $A = B^2$، ومن ثم يحفظ فضاءاتها الذاتية — فأرجِع المسألة إلى الحالة العددية على كل منها)*.

**حل التمرين 12.6.**

*الوجود:* $A = PDP^{\mathsf T}$ مع $D =
\operatorname{diag}(\lambda_i)$، $\lambda_i \geq 0$؛ ونضع $B =
P\sqrt D P^{\mathsf T}$ مع $\sqrt D =
\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$: فهي متماثلة وشبه معرَّفة موجبة، و$B^2 = A$.

*الوحدانية:* لتكن $B$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة مع $B^2 = A$. فالمصفوفة $B$ تتبادل مع $A$؛ ومن ثم تحفظ $B$ كل فضاء ذاتي $E_\lambda(A)$ (فمن أجل $Ax = \lambda x$: $A(Bx) = BAx = \lambda Bx$). وعلى $E_\lambda(A)$، يكون مقصور $B$ [متماثلًا](#def-b2-quadratic-adjoint) شبه معرَّف موجب مع مربّع $\lambda\,\mathrm{id}$؛ وتحقق قيمه الذاتية $\mu$ أن $\mu^2
= \lambda$، $\mu \geq 0$: أي $\mu = \sqrt\lambda$ — ومن ثم فإن المقصور، كونه [قابلًا للتقطير](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-diag) [بقيمة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) وحيدة $\sqrt\lambda$، *هو* $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$. وبما أن $E =
\bigoplus E_\lambda(A)$، تتحدد $B$: أي $B = \sqrt A$.

**تمرين 12.7 ★★.**

من أجل $A$ حقيقية متماثلة، برهن على أن $\vertiii{A}_2 :=
\sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (وهو نصف القطر الطيفي)، واحسب $\vertiii{A}_2$ من أجل $A =
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$.

**حل التمرين 12.7.**

في أساس ذاتي متعامد ممنظم، $\norm{Ax}_2^2 = \sum \lambda_i^2
x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$، مع المساواة عند [المتجهة الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الموافقة: أي $\vertiii A_2 = \max\abs{\lambda_i}$. ومن أجل المصفوفة المعطاة: [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $3, -1$ (توأم [المثال 12.16](#ex-b2-quadratic-spectralexample)): $\vertiii A_2 = 3$.

**تمرين 12.8 ★★★.**

(محك سيلفستر) لتكن $A$ حقيقية متماثلة بأقصرات رئيسية رائدة $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ (وهي محددات الكتل العليا اليسرى). برهن على أن $A$ معرَّفة موجبة إذا وفقط إذا كانت كل $\Delta_k > 0$. *(من أجل $\Rightarrow$: مقصورات الصيغة المعرَّفة معرَّفة، [ومحدد المصفوفة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) المعرَّفة الموجبة — وهو جداء قيمها الذاتية — موجب. ومن أجل $\Leftarrow$: استعمل التراجع على $n$؛ فالكتلة العليا اليسرى ذات القياس $(n-1)$ معرَّفة موجبة، فقطّر الصيغة على ذلك الفضاء الجزئي و أتمِم المربّع في المتغير الأخير؛ وتحكم $\det A = \Delta_n > 0$ إشارةَ العنصر القطري الأخير.)*

**حل التمرين 12.8.**

($\Rightarrow$) الكتلة العليا اليسرى $A_k$ ذات القياس $k \times k$ هي مصفوفة مقصور الصيغة (المعرَّفة) على الفضاء المولَّد بمتجهات الأساس $k$ الأولى: فهي معرَّفة موجبة، ومن ثم فقيمها الذاتية موجبة و$\Delta_k = \det A_k > 0$.

($\Leftarrow$) بالتراجع على $n$؛ والحالة $n = 1$ واضحة. ولنفترض أن كل $\Delta_k > 0$. فبالتراجع تكون $A_{n-1}$ معرَّفة موجبة: أي إن الصيغة $q$ مقصورةً على $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots,
e_{n-1})$ معرَّفة. ونقطّر $q|_F$ (بغاوس): فنحصل على إحداثيات $y_1, \dots, y_{n-1}$ مع $q|_F = \sum y_i^2$. وفي الفضاء الكامل، وبإتمام المربّع في المتغير الأخير،

$$
q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2
$$

من أجل ثوابت مناسبة (بجمع الحدود المتقاطعة في المربّعات). ويُبرز الاختزال التوقيع $(n-1 + \epsilon, \cdot)$ مع $\epsilon$ إسهام إشارة $c$؛ ويحفظ [المحدد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det) إشارة جداء المعاملات القطرية تحت التوافق ($\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det A$): ومن ثم يفرض $\Delta_n
> 0$ أن $c > 0$. ومنه فإن $q$ مجموع $n$ مربّعًا لصيغ مستقلة: أي إنها معرَّفة موجبة.

**تمرين 12.9 ★★★.**

(كوران–فيشر، [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الثانية) لتكن $u$ متماثلة بقيم ذاتية $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$. برهن على أن

$$
\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ فضاء فوقي}}}\;
\max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .
$$

*(من أجل $\leq$: يلتقي أي فضاء فوقي المستوي $2$ المولَّد بالمتجهتين الذاتيتين العلييين. ومن أجل $\geq$: اختر $H =
(e_1)^{\perp}$.)*

**حل التمرين 12.9.**

ليكن $(e_1, \dots, e_n)$ أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا من أجل $\lambda_1
\geq \dots \geq \lambda_n$.

*$\lambda_2 \leq$ الأصغرية العظمى:* من أجل أي فضاء فوقي $H$، يحقق الفضاء $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ذو البعد $2$ أن $\dim(H \cap V) \geq 1$ (بصيغة غراسمان): فنختار متجهة واحدية $x \in H \cap V$، $x = ae_1 + be_2$، $a^2 + b^2 = 1$:

$$
\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq
\lambda_2 :
$$

فأعظمية كل فضاء فوقي $\geq \lambda_2$.

*$\geq$:* من أجل $H = e_1^{\perp}$، تحقق كل متجهة واحدية $x = \sum_{i\geq2}
x_ie_i \in H$ أن $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i \geq 2}
\lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$، وهو مبلوغ عند $e_2$: فأعظمية هذا الفضاء الفوقي هي $\lambda_2$ بالضبط. ومن ثم فالأصغرية على $H$ هي $\lambda_2$.

**تمرين 12.10 ★★.**

عيّن رتبة وتوقيع الصيغة $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i <
j} x_ix_j$ على $\R^n$ (مع $n \geq 2$)، بطريقتين: بالمتطابقة الجبرية $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ مع مقصور $q$ على الفضاء الفوقي $\sum x_i = 0$؛ وبحساب [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) لمصفوفتها $\frac12(J - I)$، حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد.

**حل التمرين 12.10.**

*الطريق الجبري:* $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum
x_i^2$. وعلى الفضاء الفوقي $H : \sum x_i = 0$ (بالبعد $n -
1$)، تكون $q = -\frac12\sum x_i^2$ معرَّفة سالبة؛ وعلى المستقيم $\R(1, \dots, 1)$، $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$. وأي فضاء جزئي تكون عليه $q$ معرَّفة موجبة يلتقي $H$ بداهةً، ومن ثم فبعده $\leq 1$: فبسيلفستر ([المبرهنة 12.6](#thm-b2-quadratic-sylvester))، $s = 1$، و$t \geq n-1$ من $H$؛ وتفرض الرتبة $\leq n$ التوقيعَ $(1, n-1)$، والرتبة $n$.

*الطريق الطيفي:* المصفوفة هي $\frac12(J - I)$؛ وللمصفوفة $J$ القيمتان الذاتيتان $n$ (على $(1,\dots,1)$) و$0$ (على $H$)، ومن ثم فللمصفوفة $\frac12(J-I)$ القيمتان الذاتيتان $\frac{n-1}{2}$ (مرة واحدة) و $-\frac12$ ($n-1$ مرة): أي واحدة موجبة و$n-1$ سالبة — أي التوقيع نفسه، حسب [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes).

**تمرين 12.11 ★★.**

لتكن $A$ و$B$ حقيقيتين متماثلتين مع $B$ شبه معرَّفة موجبة. برهن على أن

$$
\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B
\;\leq\;
\operatorname{tr}(AB)
\;\leq\;
\lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .
$$

*(اكتب $B = C^{\mathsf T}C$ و$\operatorname{tr}(AB) =
\sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ على أعمدة $c_i$ للمصفوفة $C^{\mathsf T}$.)* وعلى الخصوص $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ حين تكون كلتاهما شبه معرَّفة موجبة.

**حل التمرين 12.11.**

نكتب $B = C^{\mathsf T}C$ (مع [التمرين 12.6](#exo-b2-quadratic-6) عبر $C =
\sqrt B$). عندئذٍ، مع $c_1, \dots, c_n$ أعمدة $C^{\mathsf T}$:

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C)
= \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T})
= \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .
$$

وحسب البند (2) في [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes)، يقع كل حدّ بين $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ و $\lambda_{\max}(A)\norm{c_i}^2$، و$\sum\norm{c_i}^2 =
\operatorname{tr}(C^{\mathsf T}C)^{\vphantom1} =
\operatorname{tr} B$: فتنتج المتراجحة المزدوجة. وإذا كانت $A$ شبه معرَّفة موجبة أيضًا، فإن $\lambda_{\min}(A) \geq 0$: أي $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$.

**تمرين 12.12 ★★★.**

على $E = \mathcal{M}_n(\R)$، لننظر في $q(M) =
\operatorname{tr}(M^2)$.

1. بيّن أن $q$ [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) صيغتها القطبية $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ .
2. بيّن أن المصفوفات المتماثلة وضدّ المتماثلة تشكّل فضاءين جزئيين متعامدين من أجل $\varphi$ تكون $q$ عليهما معرَّفة موجبة ومعرَّفة سالبة على التوالي *(احسب $\operatorname{tr}(M^2)$ عنصرًا عنصرًا في كل حالة)* .
3. اختم: توقيع $q$ هو $\bigl(\frac{n(n+1)}{2},  \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ ورتبتها $n^2$ .

**حل التمرين 12.12.**

1. $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ ثنائية الخطية و متماثلة (لأن $\operatorname{tr}(MN) =  \operatorname{tr}(NM)$ )، و $\varphi(M, M) = q(M)$ : أي إن $q$ هي [الصيغة التربيعية](#def-b2-quadratic-def) للصيغة $\varphi$ .
2. من أجل $S$ متماثلة و $K$ ضدّ متماثلة: $\operatorname{tr}(SK) =  \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) =  \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) =  -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ ، ومنه $\varphi(S, K) = 0$ : أي إن الفضاءين الجزئيين متعامدان من أجل $\varphi$ . وعنصرًا عنصرًا، $\operatorname{tr}  (M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : فمن أجل $M$ المتماثلة يكون هذا $\sum m_{ij}^2 > 0$ (لأن $M \neq 0$ )؛ ومن أجل $M$ ضدّ المتماثلة يكون $-\sum m_{ij}^2 < 0$ .
3. $\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ بأبعاد $\frac{n(n+1)}2$ و $\frac{n(n-1)}2$ ؛ ويكتب [اختزال غاوس](#thm-b2-quadratic-gauss) المكيَّف على هذا الفصل المتعامد من أجل $\varphi$ الصيغةَ $q$ بعدد $\frac{n(n+1)}2$ من المربّعات الموجبة و $\frac{n(n-1)}2$ من السالبة: فالتوقيع $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (سيلفستر)، والرتبة $n^2$ : أي إن الصيغة غير منحلّة.

## 12.5 مسألة: تشوليسكي وهادامار والتفكيك القطبي

**مسألة 12.1.**

المبرهنة الطيفية مجهر؛ وتستعملها هذه المسألة مصنعًا. فمن مصفوفات غرام نصنع *تفكيك تشوليسكي* (ونعيّن محاور غاوس بوصفها نسب أقصرات)، ثم نبرهن على *متراجحة هادامار* للمحددات، ونبني *التفكيك القطبي* $A =
QS$ و*تفكيك القيم المنفردة*، ونصنّف مخروطيات المستوي، ونُختم بالاختزال المتزامن لصيغتين — وهي المبرهنة وراء الأنماط الطبيعية للتذبذب. وفي كل ما يلي، $E =
\R^n$ بجدائه السلّمي القياسي.

**الجزء الأول — مصفوفات غرام وتشوليسكي.** من أجل متجهات $v_1, \dots, v_n \in E$، تكون *مصفوفة غرام* الخاصة بها هي $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$.

1. بيّن أن $G$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة، و معرَّفة موجبة إذا وفقط إذا كانت $(v_1, \dots, v_n)$ مستقلة خطيًا *(احسب $X^{\mathsf T}GX$)* .
2. وعكسيًا، بيّن أن كل مصفوفة متماثلة شبه معرَّفة موجبة $A$ مصفوفةُ غرام: أي $A = C^{\mathsf T}C$ من أجل $C$ ما (استعمل الجذر التربيعي للمصفوفة [التمرين 12.6](#exo-b2-quadratic-6) )، مع $C$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كانت $A$ معرَّفة.
3. استنتج أن المصفوفة شبه المعرَّفة الموجبة $A$ تحقق $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ من أجل كل $i,  j$ *(اقصر على إحداثيتين)* — أي متراجحة كوشي–شوارتز، مقروءةً مصفوفيًا.
4. (تشوليسكي) لتكن $A$ معرَّفة موجبة. برهن على أنه توجد مصفوفة مثلثية عليا *وحيدة* $T$ بعناصر قطرية موجبة تحقق $$A = T^{\mathsf T}\,T$$ *(الوجود: طبّق غرام–شميت على متجهات تحقق $A$ بوصفها مصفوفة غرام؛ والوحدانية: إذا كان $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$، فبيّن أن $T_1T_2^{-1}$ متعامدة ومثلثية بقطر موجب، ومن ثم $I$)*.
5. بيّن أن الأقصرات الرئيسية الرائدة تحقق $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$، واستنتج أن المحاور التي يُنتجها [اختزال غاوس](#thm-b2-quadratic-gauss) لصيغة معرَّفة موجبة، مأخوذةً بترتيب المتغيرات الطبيعي، هي $$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}  \qquad (\Delta_0 = 1) :$$ فأقصرات محك سيلفستر ([التمرين 12.8](#exo-b2-quadratic-8)) ومحاور غاوس هما المعطى نفسه. وتحقق على [المثال 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads).

**الجزء الثاني — متراجحة هادامار.**

6. لتكن $A$ معرَّفة موجبة. برهن على أن $$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$$ *(نظّم: فالمصفوفة $B = DAD$ مع $D =  \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ لها قطر واحدي؛ وحُدّ $\det B = \prod \mu_i$ بمتراجحة الحسابي والهندسي في مقابل $\operatorname{tr} B = n$)*.
7. بيّن أن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا كانت $A$ قطرية.
8. استنتج *متراجحة هادامار*: من أجل كل مصفوفة مربّعة حقيقية $M$ بأعمدة $c_1, \dots, c_n$، $$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$$ مع المساواة (من أجل $M$ القابلة للقلب) إذا وفقط إذا كانت الأعمدة متعامدة مثنى مثنى *(طبّق السؤالين 6–7 على $M^{\mathsf T}M$)*.
9. أرباح هندسية وتوافقية: فسّر السؤال 8 هكذا: “حجم متوازي السطوح لا يتجاوز جداء أطوال أحرفه”؛ وبيّن أن المصفوفة التي كل عناصرها في $\intcc{-1}{1}$ تحقق $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (والمصفوفات التي تبلغ هذا الحدّ — أي مصفوفات هادامار — موجودة من أجل $n = 1, 2$ وكثير من مضاعفات $4$ ؛ وأما وجودها من أجل *كل* مضاعفات $4$ فمسألة [مفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) شهيرة.)

**الجزء الثالث — [التفكيك القطبي](#pb-b2-quadratic-1) والقيم المنفردة.**

10. لتكن $A$ قابلة للقلب. بيّن أن $A^{\mathsf T}A$ معرَّفة موجبة، وأن $$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}  \quad\text{(الجذر التربيعي للمصفوفة  \text{التمرين 12.6})},  \qquad Q = AS^{-1}$$ يعطيان تفكيكًا $A = QS$ مع $Q$ متعامدة و $S$ معرَّفة موجبة.
11. برهن على أن هذا التفكيك لمصفوفة $A$ قابلة للقلب وحيد.
12. مدّد الوجود إلى $A$ كيفية: اختر $\varepsilon_k \to 0$ بحيث تكون $A + \varepsilon_k I$ قابلة للقلب، واكتب $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ ، و استعمل تراص $O(n)$ ( [التمرين 12.5](#exo-b2-quadratic-5) ) لاستخراج $Q_k \to Q$ ؛ وبيّن أن $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A + \varepsilon_kI)$ تتقارب إلى مصفوفة شبه معرَّفة موجبة $S$ تحقق $A =  QS$ و $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . وأين تفشل الوحدانية من أجل $A$ الشاذة؟
13. (تفكيك القيم المنفردة) استنتج أن كل مصفوفة مربّعة حقيقية $A$ تُكتب $$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T},  \qquad U, V \in O(n),\quad  \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots,  \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$$ حيث الأعداد $\sigma_i$ (وهي *القيم المنفردة*) هي [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$.
14. ثلاث نتائج: $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ من أجل *كل* مصفوفة حقيقية $A$ (وهذا يعمّم [التمرين 12.7](#exo-b2-quadratic-7) )؛ و $\abs{\det A} =  \sigma_1\cdots\sigma_n$ ؛ وصورة كرة الوحدة بالتطبيق $A$ القابل للقلب هي مجسّم ناقص بأنصاف محاور $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ على امتداد أعمدة $U$ .

**الجزء الرابع — المخروطيات، بالمبرهنة الطيفية.** المخروطية المستوية هي مجموعة أصفار $f(x) = q(x) + \langle b,
x\rangle + c$، مع $q \neq 0$ [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) مصفوفتها $A$، و$b \in \R^2$، و$c \in \R$.

15. اختزل $f$ بدوران (المحاور الرئيسية، [النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes) ) متبوعًا بانسحاب، وصنّف الأشكال الممكنة غير الخالية وغير المنحلّة بتوقيع $q$ : قطع ناقص ( $\det A > 0$ )، وقطع زائد ( $\det A < 0$ )، وقطع مكافئ ( $\det A = 0$ ، بالرتبة $1$ ، مع عدم امتصاص الحدّ الخطي).
16. شغّل الاختزال كاملًا من أجل $$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$$ الإحداثيات المُدارة، والمعادلة المختزَلة، وطبيعة المخروطية ومركزها.
17. (المخروطيات المركزية) لنفترض $\det A \neq 0$. بيّن أن *المركز* هو $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$، وأن التوافق بالمصفوفة $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &  1\end{pmatrix}$ للمصفوفة $\widetilde Q  = \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 &  c\end{pmatrix}$ ذات القياس $3\times3$ يعطي $$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$$ فتكون المخروطية المركزية منحلّة (نقطة أو مستقيمين) بالضبط حين $\det\widetilde Q = 0$.
18. تحقق من السؤال 17 على مثال السؤال 16: احسب $x_0$ و $f(x_0)$ و $\det\widetilde Q$ ، و اختم من جديد بأن المخروطية قطع زائد غير منحلّ.
19. (حزمة تربيعية) من أجل $\lambda \in \R$، صنّف السطح $$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$$ [بالقيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) لمصفوفته *(ببنية الواحدات: القيمتان الذاتيتان $1 + 2\lambda$ و$1 -  \lambda$ مضاعفة)*: كرة أو مجسّم ناقص، أو أسطوانة، أو زوج مستويات، أو مجسّم زائد ذو طبقة واحدة أو طبقتين، تبعًا للمقدار $\lambda$.

**الجزء الخامس — صيغتان معًا: الاختزال المتزامن.**

20. لتكن $q$ معرَّفة موجبة ولتكن $q'$ [صيغة تربيعية](#def-b2-quadratic-def) كيفية على $E$ . برهن على أنه يوجد أساس للفضاء $E$ متعامد ممنظم من أجل $q$ ومتعامد من أجل $q'$ : وفيه، $q = \sum x_i^2$ و $q' = \sum \mu_i  x_i^2$ *(استعمل $q$ جداءً سلّميًا وطبّق المبرهنة الطيفية على التشاكل الذاتي الممثِّل للصيغة $q'$)* .
21. الصيغة المصفوفية: من أجل $A$ معرَّفة موجبة و $B$ متماثلة، توجد مصفوفة $P$ قابلة للقلب تحقق $P^{\mathsf T}AP = I$ و $P^{\mathsf T}BP =  \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ ، حيث الأعداد $\mu_i$ هي جذور $\det(B - \mu A) = 0$ .
22. شغّله كاملًا من أجل $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$$ أي [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) المعمَّمة $\mu_\pm$، والمتجهات التي تقطّر الصيغتين معًا.
23. بيّن أنه لا يمكن إسقاط شرط التعريف الموجب: فمن أجل $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},  \qquad  B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$$ لا يقطّر أي أساس الصيغتين معًا *(فلو قطّرت $P$ كلتيهما، لانحلّ $\det(B - \mu A)$ بجذور حقيقية؛ فاحسبه)*.
24. بيّن أن الأعداد $\mu_i$ في السؤال 21 هي [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة $A^{-1}B$ ، وأن $A^{-1}B$ ، وإن لم تكن متماثلة عمومًا، تكون دائمًا قابلة للتقطير بقيم ذاتية حقيقية *(قارِن بالمصفوفة $\sqrt A$)* .
25. تركيب. بجملة واحدة لكل بند: (1) المبرهنة الواحدة التي اتّكأ عليها كل جزء؛ (2) وأي نتائج الأجزاء الأول–الثالث تصمد من أجل المصفوفات *شبه* المعرَّفة الموجبة، وأيها يحتاج التعريف الموجب؛ (3) والجملة الفيزيائية التي تقطّر الأسئلة 20–22 تذبذباتها الصغيرة (بالطاقتين الحركية والكامنة بوصفهما الصيغتين)، وماذا تعني الأعداد $\mu_i$ هناك.

**حل المسألة 12.1.**

**1.** $G$ متماثلة بتماثل الجداء السلّمي، و

$$
X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle
= \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,
$$

مع المساواة إذا وفقط إذا $\sum x_iv_i = 0$: أي إن $G$ معرَّفة إذا وفقط إذا كان التركيب المنعدم الوحيد هو المحايد، أي إذا وفقط إذا كانت العائلة مستقلة.

**2.** مع $B = \sqrt A$ (مع [التمرين 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): $A
= B^2 = B^{\mathsf T}B$، وهي مصفوفة غرام لأعمدة $B$؛ فنأخذ $C = B$. و$X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$، ومنه فإن $A$ معرَّفة إذا وفقط إذا $CX \neq 0$ من أجل $X \neq 0$، إذا وفقط إذا كانت $C$ قابلة للقلب.

**3.** مقصور الصيغة على $\operatorname{Vect}(e_i, e_j)$ له المصفوفة $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj}
\end{pmatrix}$، وهي ما تزال شبه معرَّفة موجبة: فمحددها (جداء قيمها الذاتية غير السالبة) $\geq 0$: أي $a_{ij}^2 \leq a_{ii}a_{jj}$. وهذه هي متراجحة كوشي–شوارتز من أجل المتجهات $v_i, v_j$ في تحقيق غرامي.

**4.** *الوجود:* نكتب $A$ بوصفها مصفوفة غرام لعائلة مستقلة $(v_1, \dots, v_n)$ (السؤالان 1–2). ويُنتج غرام–شميت أساسًا متعامدًا ممنظمًا $(e_1, \dots, e_n)$ يحقق

$$
v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i,
\qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k
\bigr\| > 0 ,
$$

ومن ثم تكون $T = (t_{ik})$ مثلثية عليا بقطر موجب، و

$$
a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle
= \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .
$$

*الوحدانية:* إذا كان $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ فإن $R = T_1T_2^{-1}$ تحقق $R^{\mathsf T}R = I$: أي إن $R$ متعامدة، وهي أيضًا مثلثية عليا بقطر موجب (جداء مصفوفتين كهاتين). وعندئذٍ تكون $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ مثلثية عليا (مقلوب العليا) وسفلى (منقول العليا) معًا: أي قطرية؛ وللمصفوفة القطرية المتعامدة عناصر $\pm1$، وتفرض الإيجابية أن $R = I$: أي $T_1 = T_2$.

**5.** من أجل $i, j \leq k$، لا يشمل $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m
t_{mi}t_{mj}$ إلا $m \leq \min(i,j) \leq k$: ومن ثم فالكتلة الرائدة ذات القياس $k\times k$ من $A$ هي $T_k^{\mathsf T}T_k$ مع $T_k$ الكتلة الرائدة من $T$. ومنه $\Delta_k = (\det T_k)^2
= (t_{11}\cdots t_{kk})^2$. والآن لا يلقى [اختزال غاوس](#thm-b2-quadratic-gauss) لصيغة معرَّفة موجبة بالترتيب الطبيعي معاملَ مربّع معدومًا أبدًا (فالمحاور هي العناصر القطرية للكتل المعرَّفة الموجبة المختزَلة تباعًا): فهو يُنتج $q
= \sum_k d_k\ell_k^2$ مع $\ell_k = x_k + (\text{حدود في }
x_{k+1}, \dots)$، أي $A = L^{\mathsf T}DL$ مع $L$ مثلثية واحدية؛ وعندئذٍ تكون $T = \sqrt D\,L$ عامل تشوليسكي، ومن ثم بالوحدانية $t_{kk}^2 = d_k$ و

$$
d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2}
{(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2}
= \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .
$$

وعلى [المثال 12.9](#ex-b2-quadratic-tworoads): $\Delta_1, \Delta_2,
\Delta_3 = 2, 3, 4$ وكانت المحاور $2, \frac32, \frac43$.

**6.** كل $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$. وليكن $D =
\operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ ولتكن $B = DAD$: فهي معرَّفة موجبة (بالتوافق)، مع $b_{ii} = 1$، ومنه $\operatorname{tr}
B = n$. وتحقق قيمها الذاتية $\mu_i > 0$، بمتراجحة الحسابي والهندسي، أن

$$
\det B = \prod_i\mu_i
\leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,
$$

و$\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod
a_{ii}}$: أي $\det A \leq \prod a_{ii}$.

**7.** تكون متراجحة الحسابي والهندسي مساواةً إذا وفقط إذا تساوت كل $\mu_i$ (بالقيمة $1$)؛ والمصفوفة المتماثلة ذات [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) الوحيدة $1$ هي $PIP^{\mathsf T} = I$. ومن ثم فالمساواة إذا وفقط إذا $B = I$ إذا وفقط إذا $a_{ij} = 0$ من أجل $i \neq j$: أي إن $A$ قطرية.

**8.** إذا كانت $M$ شاذة فالطرفان $\geq 0 =
\abs{\det M}$. وإلا فإن $A = M^{\mathsf T}M$ معرَّفة موجبة مع $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ و$\det A = (\det
M)^2$: فيعطي السؤال 6 أن $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$. والمساواة إذا وفقط إذا كانت $A = M^{\mathsf T}M$ قطرية (السؤال 7)، أي إذا وفقط إذا كانت الأعمدة متعامدة مثنى مثنى.

**9.** $\abs{\det M}$ هو حجم متوازي السطوح المولَّد بالأعمدة: فالحجم لا يتجاوز جداء أطوال الأحرف، مع المساواة عند صناديق مستطيلة بالضبط. وإذا كان $\abs{m_{ij}} \leq 1$ فإن $\norm{c_i} \leq \sqrt n$، ومنه $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$. (وبلوغه يفرض أعمدة متعامدة بعناصر $\pm1$: أي مصفوفة هادامار.)

**10.** $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ من أجل $X \neq 0$ (لأن $A$ قابلة للقلب): أي إن $A^{\mathsf T}A$ معرَّفة موجبة. وجذرها التربيعي $S$ معرَّف موجب (بقيم ذاتية $\sqrt{\lambda_i} > 0$)، ومن ثم فهو قابل للقلب، وتحقق $Q = AS^{-1}$ أن

$$
Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1}
= S^{-1}S^2S^{-1} = I :
$$

أي $A = QS$ مع $Q$ متعامدة و$S$ معرَّفة موجبة.

**11.** إذا كان $A = QS = Q'S'$ فإن $S'^{\,2} =
S'^{\mathsf T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$؛ ومصفوفتان شبه معرَّفتين موجبتين لهما المربّع نفسه تتطابقان ([التمرين 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): أي $S' = S$، ثم $Q' = AS^{-1} =
Q$.

**12.** $\det(A + \varepsilon I)$ كثير حدود غير معدوم في $\varepsilon$: فله عدد منته من الجذور، ومن ثم توجد متتالية $\varepsilon_k \to 0$ تتجنبها. ونكتب $A + \varepsilon_kI =
Q_kS_k$ (السؤال 10). و$O(n)$ متراصة ([التمرين 12.5](#exo-b2-quadratic-5)): فتعطي متتالية جزئية $Q_{\varphi(k)}
\to Q \in O(n)$. وعندئذٍ

$$
S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T}
\bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr)
\longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,
$$

وهي متماثلة شبه معرَّفة موجبة بوصفها نهاية لمثيلاتها (فالشروط مغلقة)، و$A = QS$. زيادةً على ذلك $S^2 = S^{\mathsf T}S =
A^{\mathsf T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$، ومنه $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$ بالوحدانية. ومن أجل $A$ الشاذة، تكون $S$ شاذة ولا تكون $Q$ وحيدة: إذ يمكن تعديلها كيفما شئنا على $(\operatorname{im} S)^{\perp}$ — والحالة القصوى $A = 0$، حيث تفي كل مصفوفة متعامدة $Q$ بالغرض.

**13.** نقطّر $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ (بالمبرهنة الطيفية)، $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ مع $\sigma_i \geq 0$ [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة $S =
\sqrt{A^{\mathsf T}A}$. عندئذٍ

$$
A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T},
\qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .
$$

**14.** $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq
\sigma_{\max}^2\norm x^2$ مع المساواة عند [متجهة ذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) عليا للمصفوفة $S$: أي $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$ — ومن أجل $A$ المتماثلة، تكون للمصفوفة $S = \sqrt{A^2}$ [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $\abs{\lambda_i}$، فنستعيد [التمرين 12.7](#exo-b2-quadratic-7). [والمحدد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra#def-b2-linalg-det): $\abs{\det A} =
\abs{\det U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$. والكرة: بكتابة $x = Vy$ مع $\norm y = 1$، تكون للمتجهة $Ax = U\Sigma y$ الإحداثيات $z_i = \sigma_iy_i$ في المعلم المتعامد الممنظم لأعمدة $U$: فالصورة هي $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 =
1\}$، وهي مجسّم ناقص بأنصاف محاور $\sigma_i$.

**15.** يحوّل دوران إلى المحاور الرئيسية ([النتيجة 12.15](#cor-b2-quadratic-principalaxes)) المقدارَ $f$ إلى $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$، مع $\lambda_1\lambda_2 = \det A$. فإذا كان $\det A \neq 0$، امتصّ الحدود الخطية بالانسحاب $X \mapsto X -
\frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (وكذلك $Y$): $\lambda_1X'^2
+ \lambda_2Y'^2 = c'$. ومن أجل $\det A > 0$ (بإشارتين متساويتين): قطع ناقص (إذا كان $c'$ بالإشارة الصحيحة)، أو نقطة، أو مجموعة خالية. ومن أجل $\det
A < 0$: قطع زائد ($c' \neq 0$) أو مستقيمان متقاطعان. وإذا كان $\det A = 0$ بالرتبة $1$ (وليكن $\lambda_2 = 0 \neq
\lambda_1$): $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$، وهو قطع مكافئ حين $\beta_2 \neq 0$؛ وإلا فمستقيمان متوازيان، أو مستقيم واحد، أو مجموعة خالية. والأشكال غير المنحلّة: قطع ناقص، وقطع زائد، وقطع مكافئ، تحكمها إشارة $\det A$.

**16.** للجزء التربيعي $x^2 + 4xy + y^2$ المصفوفةُ $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$، وقيمتاها الذاتيتان $3$ و$-1$ باتجاهين متعامدين ممنظمين $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$، $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$. وفي الإحداثيات المُدارة $u =
\frac{x+y}{\sqrt2}$، $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$: $x^2 + y^2 = u^2
+ v^2$، $2xy = u^2 - v^2$، ومن ثم فالصيغة $3u^2 - v^2$، و$2x
- 2y = 2\sqrt2\,v$. وتصير المعادلة

$$
3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4
\quad\Longleftrightarrow\quad
3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :
$$

أي قطع زائد، مركزه عند $(u, v) = (0, \sqrt2)$، أي $(x, y) =
(1, -1)$، ومحاوره على امتداد المعلم المُدار.

**17.** $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ كلما كان $Ax_0 = -\frac b2$، أي $x_0 = -\frac12A^{-1}b$: فينعدم تدرّج $f$ هناك بالضبط (فالنقطة $x_0$ مركز التناظر). ومع $M = \begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 &
1\end{pmatrix}$:

$$
M^{\mathsf T}\widetilde QM
= \begin{pmatrix}
A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt]
\bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} &
x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},
$$

و$\det M = 1$: أي $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$. و تُقرأ المعادلة المركزية $q(X) = -f(x_0)$: فمن أجل $f(x_0) = 0$ تنحلّ إلى $q(X) = 0$ (أي مستقيمين عبر المركز إذا كان التوقيع $(1,1)$، أو النقطة الوحيدة $x_0$ إذا كانت $q$ معرَّفة)؛ ومن أجل $f(x_0) \neq 0$ تكون المخروطية قطعًا ناقصًا حقيقيًا أو قطعًا زائدًا.

**18.** $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 &
1\end{pmatrix}$، $\frac b2 = (1, -1)$: $x_0 =
-A^{-1}\frac b2 = (1, -1)$، كما وُجد في السؤال 16. و$f(x_0) =
q(1,-1) + 2 + 2 - 4 = (1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$، و $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A = (-2)(-3) = 6 \neq 0$: فهي غير منحلّة؛ و$\det A = -3 < 0$: أي قطع زائد — وفعلًا تطابق المعادلة المركزية $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 = -f(x_0) = 2$ السؤالَ 16.

**19.** المصفوفة هي $(1-\lambda)I + \lambda J$: [والقيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $1 + 2\lambda$ (بالاتجاه $(1,1,1)$) و$1 -
\lambda$ (مضاعفة، على $x + y + z = 0$). والحالات:

- $-\frac12 < \lambda < 1$ : كل [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) موجبة: فمجسّم ناقص دوراني حول $(1,1,1)$ (وكرة من أجل $\lambda = 0$ )؛
- $\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ : فتعطي المعادلة المستويين المتوازيين $x + y + z = \pm1$ ؛
- $\lambda = -\frac12$ : [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) $0, \frac32,  \frac32$ : فأسطوانة دائرية محورها $(1,1,1)$ ؛
- $\lambda > 1$ : التوقيع $(1, 2)$ : فمجسّم زائد ذو طبقتين؛
- $\lambda < -\frac12$ : التوقيع $(2, 1)$ : فمجسّم زائد ذو طبقة واحدة.

**20.** الصيغة القطبية للصيغة $q$ جداء سلّمي $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ على $E$. ومن أجل $x$ ثابتة، تكون $y \mapsto
\varphi'(x, y)$ (وهي الصيغة القطبية للصيغة $q'$) خطية، ومن ثم تساوي $\langle z_x, y\rangle_q$ من أجل $z_x$ وحيدة؛ و$u(x) := z_x$ خطي (بالوحدانية)، و$\langle u(x), y\rangle_q =
\varphi'(x,y) = \varphi'(y,x) = \langle u(y), x\rangle_q$: أي إن $u$ متماثل في الفضاء الإقليدي $(E,
\langle\cdot,\cdot\rangle_q)$. وتعطي المبرهنة الطيفية ([المبرهنة 12.13](#thm-b2-quadratic-spectral)) أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا من أجل $q$، أي $(\varepsilon_i)$، $u(\varepsilon_i) =
\mu_i\varepsilon_i$: وفيه $q(x) = \sum x_i^2$ و$q'(x) =
\langle u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$.

**21.** لتكن $P$ مصفوفة ذلك الأساس: فيعطي التوافق أن $P^{\mathsf T}AP = I$ و$P^{\mathsf T}BP =
\operatorname{diag}(\mu_i)$. وعندئذٍ

$$
\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T})
\det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr)
\det(P^{-1})
= (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :
$$

فالأعداد $\mu_i$ هي جذور الحزمة $\det(B - \mu A)$.

**22.** $\det(B - \mu A) =
\det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\ 1-\mu & -\mu\end{pmatrix}
= 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$: بجذرين $\mu_\pm = -1
\pm \sqrt2$. وبحلّ $(B - \mu_\pm A)v = 0$: $v_\pm = (1 -
\mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (وتؤكد ذلك متطابقة السطر الثاني $(1-\mu)^2 =
2\mu^2$ عند الجذرين). وتخرج المعايير من أجل $A$ نظيفة: $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$، ويُتحقق من $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ باستعمال $\mu_+ + \mu_- = -2$، $\mu_+\mu_- = -1$. والأساس $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 +
\mu_+^2)}}, \frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ متعامد ممنظم من أجل $A$ ويقطّر $B$ بعناصر $\mu_\pm$.

**23.** لو قطّرت مصفوفة قابلة للقلب $P$ ما الصيغتين معًا، لأعطى حساب السؤال 21 أن $\det(B - \mu A) = (\det
P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$، وهو كثير حدود حقيقي منحلّ إلى عوامل خطية حقيقية. لكن هنا

$$
\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 &
\mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,
$$

وهو من الدرجة $2$ بلا أي جذر حقيقي: وهو تناقض. (فالتوقيع اللورنتسي $A$ يقبل “دورانات” $B$ بلا محاور حقيقية.)

**24.** $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr)
A^{1/2}$ مع $A^{1/2} = \sqrt A$ معرَّفة موجبة ([التمرين 12.6](#exo-b2-quadratic-6)): ومن ثم فإن $A^{-1}B$ مشابهة للمصفوفة *المتماثلة* $A^{-1/2}BA^{-1/2}$، فهي قابلة للتقطير بقيم ذاتية حقيقية. و$\det(B - \mu A) = \det A\cdot
\det(A^{-1}B - \mu I)$: فجذور الحزمة $\mu_i$ في السؤال 21 هي بالضبط [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) للمصفوفة $A^{-1}B$.

**25.** (1) اتّكأ كل جزء على المبرهنة الطيفية: عبر الجذر التربيعي (تشوليسكي والقطبي)، وحدود [القيم الذاتية](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#def-b2-reduction-eigen) (هادامار)، والمحاور الرئيسية (المخروطيات)، و النسخة المكيَّفة على $q$ (الاختزال المتزامن). (2) وتصمد التحقيقات الغرامية وهادامار [والتفكيك القطبي](#pb-b2-quadratic-1) في عالم شبه المعرَّف؛ أما وحدانية تشوليسكي وصيغة المحاور والاختزال المتزامن فتحتاج التعريف الموجب (ويبيّن السؤالان 12 و23 كيف تفشل بالضبط). (3) والتذبذبات الصغيرة المقترنة: فالطاقة الحركية (معرَّفة موجبة) والطاقة الكامنة صيغتان تربيعيتان؛ وأساس السؤالين 20–22 هو *الأنماط الطبيعية* للجملة، والأعداد $\mu_i$ هي مربّعات التواترات الزاوية.