---
title: "الجبر الخطي"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2"
subject: math
language: ar
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/2-linear-algebra
---

# الفصل 2 — الجبر الخطي

كان [الجبر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra) الخطي في مجلد السنة الأولى يعمل على $\R$ أو $\C$ في البعد المنتهي، ويقبل [المحدد](#def-b2-linalg-det) العام دون برهان. ويرفع هذا الفصل القيود الثلاثة جميعًا: فتُصاغ النظرية على حقل كيفي $K$، ويُطوَّر بانتظام التفاعل بين فضاء و*ثنويّه* (الأسس الثنوية، والمُبيدات، والمنقولات)، و*يُبنى* [المحدد](#def-b2-linalg-det) أخيرًا انطلاقًا من الصيغ المتعددة الخطية المتناوبة ومن إشارة [الفصل 1](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#ch-b2-structures) — فيُسدَّد بذلك كل ما قُبل دون برهان في السنة الأولى.

وفي كل ما يلي، $K$ حقل ($\Q$ أو $\R$ أو $\C$ أو $\Z/p\Z$ — فالنظرية لا تعبأ بذلك)، والفضاءات، ما لم يُذكر خلاف ذلك، منتهية البعد على $K$. ونتائج السنة الأولى (الأسس، والبعد، ومبرهنة الرتبة، والمصفوفات) تنتقل حرفيًا: فبراهينها لم تستعمل قط شيئًا غير بديهيات الحقل.

## 2.1 الفضاء الثنوي

**تعريف 2.1 (الفضاء الثنوي، الأساس الثنوي).**

*الثنوي* للفضاء $E$ هو $E^* = \mathcal{L}(E,
K)$، أي فضاء الصيغ الخطية. وإذا كانت $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ أساسًا للفضاء $E$، فإن *صيغ الإحداثيات* $e_1^*, \dots, e_n^*$ المعرَّفة بالعلاقة $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (رمز كرونيكر: $1$ إذا كان $i = j$، و$0$ فيما عدا ذلك) تشكّل *الأساس الثنوي* $\mathcal{B}^*$ للفضاء $E^*$؛ وعلى الخصوص $\dim E^* = \dim E$، و

$$
x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E),
\qquad
\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in
E^*).
$$

**برهان أن $\mathcal{B}^*$ أساس.** حرّ: بتطبيق تركيب خطي معدوم $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ على $e_j$ نجد $\lambda_j = 0$. مولّد: من أجل $\varphi \in E^*$، تُعدم الصيغة $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ كل $e_j$، ومن ثم فهي معدومة (فالتطبيق الخطي المنعدم على أساس منعدم). والصيغتان المعروضتان هما الحسابان أنفسهما مقروءين في الاتجاه المباشر. ∎

**مثال 2.2.**

على $K_n[X]$ بالأساس $(1, X, \dots, X^n)$: [الأساس الثنوي](#def-b2-linalg-dual) هو $P
\mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (أي معاملات تايلور). وثمة أساس آخر للثنوي: التقييمات $P \mapsto P(x_i)$ عند $n + 1$ نقطة مختلفة — وأساسه “القبلي” في $K_n[X]$ هو بالضبط عائلة كثيرات حدود لاغرانج $L_i$ (مجلد السنة الأولى)، لأن $L_i(x_j) =
\delta_{ij}$. فالاستكمال *هو* الثنوية.

**طريقة 2.3 (الأساس الثنوي والأساس القَبْلي عمليًا).**

لنشر صيغة $\varphi$ على أساس $(e_i)$ للفضاء $E$: الإحداثيات هي *القيم* $\varphi(e_i)$ — ولا جملة تُحلّ. ولإيجاد الأساس $(u_j)$ للفضاء $E$ الذي ثنويّه أساس معطى $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ للفضاء $E^*$ (وهو *الأساس القبلي*): نحلّ الجمل الخطية $n$

$$
\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),
$$

عمودًا $u_j$ في كل مرة؛ وبلغة المصفوفات، إذا كانت أسطر $M$ تسرد معاملات العناصر $\varphi_i$ في أساس معلوم للفضاء $E^*$، فإن أعمدة $M^{-1}$ هي $u_j$. أما وجود الأساس القبلي ووحدانيته فيُبرهن عليهما في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل؛ والحساب هو هذا القلب دائمًا.

**مثال 2.4 (أساس ثنوي للفضاء R2\R^2R2، محسوب بالكامل).**

من أجل الأساس $b_1 = (1, 1)$، $b_2 = (1, -1)$ للفضاء $\R^2$: يجب أن يحقق [الأساس الثنوي](#def-b2-linalg-dual) $(b_1^*, b_2^*)$ الشرط $b_i^*(b_j) =
\delta_{ij}$. وبكتابة $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$، يعطي الشرطان $\alpha + \beta = 1$ و$\alpha - \beta = 0$

$$
b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2},
\qquad\text{وكذلك}\qquad
b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .
$$

وللتحقق: $b_1^*$ *ليست* $e_1^* + e_2^*$ مقيَّمة ببساطة — [فالأساس الثنوي](#def-b2-linalg-dual) يتعلق بالأساس كله، لا بكل متجهة على حدة (فتعويض $b_2$ بالمتجهة $(0, 1)$ يحوّل $b_1^*$ إلى $x \mapsto x$). وصيغة النشر تعمل: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$، وهو تفكيك الزوج إلى جزء زوجي وآخر فردي — فالأسس الثنوية مستخرِجات إحداثيات، وهذا الأساس يستخرج الجزأين المتماثل وضدّ المتماثل.

**تعريف 2.5 (المُبيد).**

من أجل فضاء جزئي $F \subseteq E$، يكون *المُبيد* هو

$$
F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},
$$

وهو فضاء جزئي من $E^*$.

**مبرهنة 2.6 (بعد المُبيد).**

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$. زيادة على ذلك، يعكس التطبيق $F \mapsto F^\circ$ الاحتواءات، ويُستعاد $F$ من مُبيده:

$$
F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.
$$

ومن ثم فكل فضاء جزئي بعده $p$ في بعد $n$ هو مجموعة حلول $n - p$ معادلة خطية مستقلة — والعكس بالعكس.

**برهان.** لنختر أساسًا $(e_1, \dots, e_p)$ للفضاء $F$ ونُتمّه إلى أساس للفضاء $E$. تُبيد الصيغة $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ الفضاء $F$ إذا وفقط إذا انعدمت معاملاتها $p$ الأولى: أي $F^\circ =
\operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$، وبعده $n - p$. وعكس الاحتواءات مباشر. وأما الاستعادة: فالطرف الأيمن يحتوي $F$؛ وعكسيًا، إذا كان $x \notin F$، فنُتمّ أساسًا للفضاء $F$ بالمتجهة $x$ ثم بمتجهات أخرى؛ فصيغة إحداثيات $x$ في هذا الأساس تُبيد $F$ ولا تُبيد $x$. وأما القراءة بلغة “المعادلات” فتأخذ أساسًا $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ للفضاء $F^\circ$: فيكون عندئذٍ $F =
\bigcap \ker\varphi_j$، وهو تقاطع $n - p$ فضاء فوقي مستقلًا. ∎

**مثال 2.7 (مُبيد، في الاتجاهين).**

ليكن $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr)
\subseteq \R^3$. تُبيد الصيغة $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ الفضاء $F$ إذا وفقط إذا

$$
a + 2b + c = 0
\qquad\text{و}\qquad
a - c = 0 ,
$$

أي $c = a$ و$b = -a$: ومنه $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* +
e_3^*)$، وبعده $3 - 2 = 1$ كما تقتضي [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator). وبقراءتها في الاتجاه المعاكس: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — فقد استُعيد المستوي بوصفه نواة الصيغة الوحيدة التي تولّد $F^\circ$. فالانتقال من عائلة مولّدة إلى معادلات *هو* حساب مُبيد؛ والانتقال من المعادلات إلى تمثيل وسيطي هو حساب مُبيد قَبْلي. (وللتحقق: المتجهتان المولّدتان تحققان $x - y +
z = 0$.)

**تعريف 2.8 (التطبيق المنقول).**

من أجل $u \in \mathcal{L}(E, F)$، يكون *المنقول* $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ هو

$$
u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .
$$

وهو يحقق $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf
T}$، ومصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي منقول مصفوفة $u$ — وهذا ما *يفسّر* أخيرًا منقول السنة الأولى.

**مثال 2.9 (المنقول، عنصرًا عنصرًا).**

ليكن للتطبيق $u \colon \R^2 \to \R^3$ المصفوفة $A =
\left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ في الأسس القانونية. من أجل $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^*
\in (\R^3)^*$، نحسب $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ على أساس الفضاء $\R^2$:

$$
(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3,
\qquad
(\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .
$$

ومنه $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 +
b_2)\,e_2^*$، وتكون مصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي

$$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
= A^{\mathsf T} :
$$

[فالمنقول](#def-b2-linalg-transpose) المجرد *هو* المصفوفة المقلوبة، ولم يبقَ حساب يُؤخذ على الثقة. ولاحظ الآلية: صار *العمود* رقم $j$ من $A$ هو *السطر* رقم $j$ في المصفوفة الجديدة لأن $\psi \circ u$ يقرأ مخرجات $u$ عبر معاملات $\psi$.

**قضية 2.10.**

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ و $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$. ومن ثم $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$: أي إن رتبة الأسطر تساوي رتبة الأعمدة، وقد بُرهن على ذلك بنيويًا.

**برهان.** تُعدم $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ الفضاء $\operatorname{im} u$: وهذه هي المتطابقة الأولى. وأما الثانية: فتُعدم $u^{\mathsf
T}(\psi) = \psi \circ u$ الفضاء $\ker u$ دائمًا، ومنه $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$؛ وتتطابق الأبعاد بمبرهنة الرتبة وبالعلاقة [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator):

$$
\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr)
= \operatorname{rk} u
= \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere
$$

∎

**مثال 2.11 (الرتبة مقروءة من الجهتين).**

ليكن

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix} .
$$

*رتبة الأعمدة:* السطر الثالث مجموع الأولين، ومنه $\operatorname{rk} A \leq 2$؛ والعمودان $1$ و$2$ حرّان: ومنه $\operatorname{rk} A = 2$. *نواة [المنقول](#def-b2-linalg-transpose):* يعطي حلّ $A^{\mathsf T}y = 0$ أن $y \in \R\,(1, 1, -1)$، ومنه فبعد $\ker
A^{\mathsf T}$ هو $1 = 3 - 2$: أي بالضبط $(\operatorname{im} A)^\circ$ بمماهاة $(\R^3)^*$ مع متجهات الأسطر، كما تؤكد [القضية 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank) — فالعلاقة الوحيدة “السطر$_3$ = السطر$_1$ + السطر$_2$” *هي* مُبيد فضاء الأعمدة. ورتبة الأسطر ($2$ سطرًا حرًّا) ورتبة الأعمدة تتفقان لا مصادفةً بل لأن كلتيهما تساوي $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

**مثال 2.12 (الثنوية تقرأ قاعدة تكميم).**

لماذا توجد قاعدة مثل قاعدة سيمبسون ([التمرين 2.4](#exo-b2-linalg-4)) ولماذا هي وحيدة؟ تجيب الثنوية قبل أي حساب. على الفضاء $E = \R_2[X]$، يكون التكامل $P \mapsto \int_0^1 P$ متجهة واحدة بعينها في [الثنوي](#def-b2-linalg-dual) $E^*$ ذي البعد ثلاثة؛ والتقييمات عند $0$ و$\frac12$ و$1$ تشكّل *أساسًا* للفضاء $E^*$؛ ومن ثم ينتشر التكامل عليها بكيفية وحيدة — وهذا النشر *هو* قاعدة سيمبسون بمعاملاتها. ويعاير عدّ الأبعاد التوقعات أيضًا: فعلى الفضاء $\R_3[X]$، لا يمكن عمومًا لثلاثة تقييمات أن تولّد أربعة أبعاد من الصيغ، ومن ثم فالضبط على كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة ليس دينًا تؤديه الثنوية؛ وأما كون سيمبسون يكامل كثيرات الحدود التكعيبية بالضبط رغم ذلك فمكافأة تماثل (تلاشي الدرجات الفردية حول $\frac12$)، ينبغي التحقق منها يدويًا. فالقواعد ذات $n + 1$ عقدة نشرٌ لصيغة التكامل في أساس من التقييمات للفضاء $\R_n[X]^*$: ويكلّف الوجود والوحدانية مبرهنة [أساس ثنوي](#def-b2-linalg-dual) واحدة؛ ولا تكلّف جهدًا إلا الدرجات الإضافية.

## 2.2 الصيغ المتعددة الخطية المتناوبة

**تعريف 2.13.**

يكون التطبيق $f \colon E^n \to K$ *$n$-خطي* إذا كان خطيًا في كل متغيّر، و*متناوبًا* إذا انعدم كلما تساوى وسيطان. ويستلزم التناوبُ *ضدّ التماثل*: فتبديل وسيطين يغيّر الإشارة (بنشر $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$)؛ وبعبارة أعمّ، من أجل $\sigma \in \mathfrak{S}_n$،

$$
f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) =
\varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),
$$

وذلك بتفكيك $\sigma$ إلى مبادلات ([المبرهنة 1.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#thm-b2-structures-signature)).

**مبرهنة 2.14 (المبرهنة الأساسية للمحددات).**

ليكن $\dim E = n$ وليكن $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ أساسًا. بعد فضاء الصيغ $n$-الخطية المتناوبة على $E$ هو $1$: فكل صيغة كهذه مضاعف للصيغة

$$
\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma)
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i},
\qquad
x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,
$$

و$\det_{\mathcal{B}}$ هي الوحيدة التي تأخذ القيمة $1$ عند $\mathcal{B}$.

**برهان.** لتكن $f$ صيغة $n$-خطية متناوبة. بنشر كل وسيط على $\mathcal{B}$ بتعدد الخطية،

$$
f(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\,
f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).
$$

تنعدم الحدود ذات الدليل المتكرر (بالتناوب)؛ والمجموعات $(i_1, \dots, i_n)$ الباقية هي المتباينة، أي $i_k =
\sigma(k)$ من أجل تبديلة $\sigma$، ويُعيد ضدّ التماثل ترتيب $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)
f(e_1, \dots, e_n)$. ومنه

$$
f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :
$$

فكل [صيغة متناوبة](#def-b2-linalg-alternating) هي ذلك المضاعف، بشرط أن تكون $\det_{\mathcal{B}}$ نفسها (أي المجموع المعروض) *هي* الصيغة $n$-الخطية المتناوبة تأخذ القيمة $1$ عند $\mathcal B$. وتعدد الخطية واضح (فكل حدّ خطي في كل عمود). والقيمة عند $\mathcal B$: الحدّ غير المعدوم الوحيد هو $\sigma =
\mathrm{id}$. والتناوب: لنفترض أن $x_j = x_k$ (مع $j \neq k$)، بحيث تحقق أعمدة الإحداثيات $a_{i j} = a_{i k}$ من أجل كل $i$. نقابل بين كل $\sigma$ و$\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ — وهو تقابل ذاتي من الرتبة اثنين بلا نقاط ثابتة على $\mathfrak{S}_n$. والجداءان المتقابلان متطابقان:

$$
\prod_i a_{\sigma'(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j}
\prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i}
= \prod_i a_{\sigma(i),\,i},
$$

باستعمال تساوي العمودين $j$ و$k$؛ في حين أن $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$. فيسهم كل زوج بالصفر: ومنه ينعدم المجموع. ∎

**مثال 2.15 (قاعدة ساروس، مستنبطةً ومهدومة).**

من أجل $n = 3$ يكون في صيغة التبديلات $3! = 6$ حدود بالضبط. وبسرد $\mathfrak{S}_3$ حسب الإشارة — $\mathrm{id}$ و$(1\,2\,3)$ و$(1\,3\,2)$ زوجية؛ و$(1\,2)$ و$(1\,3)$ و$(2\,3)$ فردية — نجد

$$
\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} +
a_{31}a_{12}a_{23}
- a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} -
a_{11}a_{32}a_{23} :
$$

وهي بالضبط قاعدة “الأقطار” عند ساروس التي تُدرَّس في المدرسة — وقد صارت الآن مبرهنة، بإشارات غامضة تبيّن أنها إشارات التبديلات. وأما الهدم: فمن أجل $n = 4$ هناك $24$ تبديلة، لا يلتقط منها أي مخطط أقطار سوى $8$؛ فليس لقاعدة ساروس نسخة من الدرجة $4$، ويحلّ محلها النشر بالعوامل المرافقة ([المبرهنة 2.17](#thm-b2-linalg-detrules) (4)). وعدّ الحدود تحذير أيضًا: ففي صيغة التبديلات $n!$ حدًّا، ومن ثم فهي *تعريف* لا خوارزمية — إذ يحسب اختزال الأسطر [المحدد](#def-b2-linalg-det) $\det$ في $O(n^3)$ عملية بدلًا من ذلك.

**تعريف 2.16 (المحددات).**

*محدد عائلة* في أساس هو $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$؛ و*محدد المصفوفة* $A$ هو محدد أعمدتها في الأساس القانوني — أي صيغة التبديلات أعلاه؛ و*محدد التشاكل الذاتي* $u$ هو العدد $\det u$ الذي يحقق

$$
\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr)
= \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)
\quad \text{من أجل كل } x_i
$$

(فالطرف الأيسر صيغة $n$-خطية متناوبة، ومن ثم فهو مضاعف للصيغة $\det_\mathcal{B}$ حسب [المبرهنة 2.14](#thm-b2-linalg-detspace)؛ والعامل لا يتعلق بالأساس $\mathcal{B}$).

**مبرهنة 2.17 (حساب المحددات، مبرهَنًا).**

1. $\det(uv) = \det u\,\det v$ ؛ و $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
2. تكون $u$ قابلة للقلب $\iff \det u \neq 0$ ؛ وتكون عائلة أساسًا $\iff$ كان محددها في أساس ما غير معدوم.
3. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
4. يصحّ النشر بالعوامل المرافقة على أي سطر أو عمود، كما ورد في مجلد السنة الأولى؛ وللمصفوفتين المتشابهتين [المحدد](#def-b2-linalg-det) نفسه.

**برهان.** (1) نطبّق العلاقة المعرِّفة مرتين: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal
B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$.

(2) إذا كان $u$ قابلًا للقلب، فإن $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} =
1 \neq 0$. وإلا فالصور $u(e_i)$ مرتبطة؛ وبالتعبير عن إحداها بدلالة الأخريات ثم النشر، نجد $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (فالتناوب يقتل الاتجاهات المتكررة)، ومنه $\det u = 0$. ومحك الأساس هو القول نفسه من أجل العائلات.

(3) في صيغة التبديلات، نعيد ترقيم كل جداء بالدليل $j =
\sigma(i)$، أي $i = \tau(j)$ مع $\tau = \sigma^{-1}$: فالعوامل هي الأعداد نفسها بترتيب آخر، ومنه

$$
\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n}
a_{j,\,\tau(j)} ,
$$

و$\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} =
\varepsilon(\sigma)$ (فالقيم $\pm1$؛ و$\varepsilon$ تشاكل). والمجموع على $\sigma$ هو نفسه المجموع على $\tau$ (فالقلب تقابل على $\mathfrak{S}_n$):

$$
\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)}
= \det(A^{\mathsf T}),
$$

والمجموع الأخير هو صيغة التبديلات مطبَّقة على العناصر المنقولة $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$.

(4) نثبّت العمود $j$ ونُفكك $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ بالخطية: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$، ونقلُ $e_i$ إلى الموضع الأخير ($n - i$ [مبادلة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-sn) للأسطر و$n - j$ للأعمدة، عبر (3)) يماهي $\det(\dots, e_i, \dots) =
(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ مع الأقصر: وهي بالضبط قاعدة العوامل المرافقة في السنة الأولى. وأما التشابه: فلدينا $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P =
\det A$ حسب (1). ∎

**مثال 2.18 (النشر بالعوامل المرافقة، منفَّذًا).**

لنحسب

$$
\det\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3\\
0 & 4 & 1\\
1 & 2 & 0
\end{pmatrix}
$$

على العمود الأول (بكسلٍ يساوي صفرين: أي واحدًا). وتتبع الإشارات رقعة الشطرنج $(-1)^{i+j}$:

$$
2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}
- 0
+ 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix}
= 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .
$$

وللتحقق المتقاطع بقاعدة ساروس ([المثال 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)): $0 + 1 + 0
- 12 - 0 - 4 = -15$. إنها استراتيجية لا عقيدة: انشر على الخط الأكثر أصفارًا، وإذا لم يكن في أي خط صفر فاصنع أصفارًا أولًا بعمليات على الأسطر — فجولة اختزال واحدة تكلّف أقلّ من طبقتَي عوامل مرافقة.

**مثال 2.19 (محدد بالقواعد).**

لتكن $J \in \mathcal{M}_n(K)$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد ولتكن $a \in K$؛ ونحسب $\det(aI_n + J)$ بالأدوات التي بُرهن عليها للتوّ. فمجموع كل عمود من أعمدة $aI_n + J$ يُحسب بالطريقة نفسها: نضيف كل الأسطر إلى الأول (فلا يتغير [المحدد](#def-b2-linalg-det) — إذ إن إضافة مضاعف لسطر إلى سطر آخر تضيف حدًّا باتجاه متكرر، يقتله التناوب). فيصير السطر الأول $(a + n, a + n, \dots, a + n)$؛ ثم نُخرج العامل $a + n$ بالخطية في ذلك السطر، ثم نطرح العمود الأول من كل عمود آخر: فيبقى ما هو مثلثي بقطر $(1, a, \dots, a)$. ومنه

$$
\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.
$$

والفكرة الختامية: الجذران $a = 0$ (بتضاعف $n - 1$) و $a = -n$ يقولان إن للمصفوفة $J$ القيمة الذاتية $0$ بتضاعف $n - 1$ والقيمة الذاتية $n$ مرة واحدة — أي طيف المصفوفة ذات الرتبة واحد $J$، قبل فصل كامل (وستجعل [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction) هذا منهجيًا).

**مثال 2.20 (محدد بصيغة التبديلات).**

من أجل مصفوفة كثيرة الأصفار تكون الصيغة عملية بذاتها: ففي

$$
A = \begin{pmatrix}
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 0\\
0 & 0 & 0 & c\\
d & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
$$

التبديلة الوحيدة التي تلتقط عناصر غير معدومة هي [الدورة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-sn) ذات الطول $4$، أي $\sigma = (1\,2\,3\,4)$، التي ترسل العمود $1 \to$ إلى السطر $4$، وهكذا؛ و$\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$، ومنه $\det A = -abcd$. (وللتحقق بثلاث مبادلات أعمدة نبلغ مصفوفة قطرية.)

**مثال 2.21 (محدد فاندرموند بصيغة الجداء).**

من أجل العقد $0, 1, 2$ (المستعملة في قواعد التكميم مثل قاعدة [التمرين 2.4](#exo-b2-linalg-4))، يُحسب [محدد](#def-b2-linalg-det) فاندرموند للفضاء [التمرين 2.11](#exo-b2-linalg-11) بنظرة واحدة:

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}
= (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,
$$

وبالنشر المباشر على العمود الأول: $1\cdot(4 - 2)
= 2$: وهو التوافق نفسه. وعدم الانعدام من أجل عقد مختلفة هو نظرية الاستكمال كلها في [محدد](#def-b2-linalg-det) واحد: فصيغ التقييم $P \mapsto P(a_i)$ أساسٌ للثنوي بالضبط حين يكون هذا [المحدد](#def-b2-linalg-det) غير معدوم، أي دائمًا من أجل $a_i$ مختلفة — أي [المثال 2.2](#ex-b2-linalg-dualexamples) مقدَّرةً كمًّا.

## 2.3 الأثر، من جديد

**قضية 2.22.**

الأثر $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ هو الصيغة الخطية الوحيدة التي تحقق $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$ و$\operatorname{tr}(I_n) = n$ (من أجل $\operatorname{char} K = 0$)؛ وأثر التشاكل الذاتي معرَّف جيدًا عبر أي تمثيل مصفوفي، ويكون

$$
\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)
$$

في أي أساس — فالثنوية تكتب الأثر بلا أساس.

**برهان.** بُرهن على $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ وعلى عدم التعلق بالأساس في السنة الأولى. أما الوحدانية: فالصيغة الخطية $t$ التي $t(AB) =
t(BA)$ تُعدم كل مبدّل $AB - BA$. وندّعي أن المبدّلات تولّد الفضاء الفوقي المعدوم الأثر، وبعده $n^2 - 1$. وتكفي عائلتان من المبدّلات. فقاعدة ضرب المصفوفات الأولية هي $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$. ومن أجل $i \neq j$ تعطي

$$
E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}
$$

(فالجداء الثاني $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$ لأن $j \neq i$): فكل مصفوفة $E_{ij}$ خارج القطر مبدّل. و

$$
E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .
$$

والمصفوفات $E_{ij}$ (مع $i \neq j$، وعددها $n^2 - n$) مع المصفوفات $E_{11} - E_{jj}$ (مع $j \geq 2$، وعددها $n - 1$) تشكّل $n^2 - 1$ مصفوفة معدومة الأثر ومستقلة خطيًا: فهي تولّد الفضاء الفوقي $\ker\operatorname{tr}$. ومنه فإن $t$ تنعدم حيث تنعدم $\operatorname{tr}$ وتتحلل عبرها: أي $t =
c\operatorname{tr}$؛ ثم يفرض $t(I) = n$ أن $c = 1$. وأما الصيغة المعروضة: فالعنصر القطري رقم $i$ في مصفوفة $u$ هو بالضبط $e_i^*(u(e_i))$. ∎

**ملاحظة 2.23 (مزالق شائعة).**

(1) [المحدد](#def-b2-linalg-det) $n$-خطي في *الأعمدة*، لا خطي في المصفوفة: فلدينا $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ عمومًا، و$\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ لا $\lambda\det A$. (2) النقل يعكس الجداءات: $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$؛ ونسيان هذا العكس يُفسد كل حساب فيه مقلوبات. (3) [المُبيد](#def-b2-linalg-annihilator) $F^\circ$ يقع في $E^*$ لا في $E$: ولا يصير “المتممة المتعامدة” المألوفة إلا بعد أن يماهي جداءٌ سلّمي $E$ مع $E^*$ ([الفصل 12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic))؛ ولا شيء في هذه المماهاة قانوني. (4) قولُ “رتبة الأسطر تساوي رتبة الأعمدة” لا يعني أن *فضاء* الأسطر يساوي فضاء الأعمدة — فهما يقعان في فضاءين مختلفين ($K^n$ و$K^m$) ويرتبطان عبر [القضية 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank) لا بالتساوي. (5) صيغة التبديلات أداة برهان: أما من أجل الأعداد فاستعمل عمليات الأسطر والعوامل المرافقة ([المثال 2.15](#ex-b2-linalg-sarrus)).

**مثال 2.24 (جداء الأثر يفكك فضاء المصفوفات).**

على $\mathcal{M}_2(\R)$ بالجداء $\langle A, B\rangle =
\operatorname{tr}(AB)$ الوارد في [التمرين 2.9](#exo-b2-linalg-9): نفكك $M =
\left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ إلى جزء متماثل وآخر ضدّ متماثل،

$$
M = S + A, \qquad
S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix},
\qquad
A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) =
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
$$

عندئذٍ $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}
\left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: فالجزآن “متعامدان” من أجل جداء الأثر — وهي حالة خاصة من الواقعة العامة (المبرهَن عليها في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل) القائلة إن المصفوفات ضدّ المتماثلة تشكّل بالضبط مُبيد المصفوفات المتماثلة. فالثنوية ترى التفكيك $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus
\mathcal{A}_n$ قبل اختيار أي جداء سلّمي.

**ملاحظة 2.25 (آفاق داخل هذا المجلد).**

راقب إنشاءات هذا الفصل الثلاثة وهي تغيّر أزياءها فيما يأتي. يعود *[المنقول](#def-b2-linalg-transpose)* في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction): فالتطبيقان $u$ و$u^{\mathsf T}$ يشتركان في القيم الذاتية بتضاعفات هندسية متساوية (مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل، السؤال 15)، ولهذا لا يختلف تحليل الأسطر عن تحليل الأعمدة أبدًا. ويصير *[المحدد](#def-b2-linalg-det)* دالة وسيط في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction) ($\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$) وياكوبيًا في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/20-line-integrals-and-multiple-integrals#ch-b2-multint)، حيث يتحول تعدد خطيته إلى عامل تغيير المتغيرات. ويبذر *الأثر* لا متغيّرات التشابه: فهو المعامل الثاني في $\chi_u$، ومجموع القيم الذاتية، ثم تكاملَ القطر في متطابقات من نمط [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ch-b2-fourier). فصلٌ واحد في [الجبر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra) الخطي، وثلاثة ظلال طويلة.

**ملاحظة 2.26 (أين يُستعمَل هذا الفصل).**

ليس [الفضاء الثنوي](#def-b2-linalg-dual) تجريدًا لذاته: فالمبيدات والمنقولات تُدير نظرية قابلية حلّ الجمل الخطية (وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل على بديل فريدهولم في البعد المنتهي انطلاقًا منها)، وتعود الجداءات غير المنحلة على صورة الصيغة القطبية في [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) والمرافق في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/13-hermitian-forms#ch-b2-hermitian)، ويُشغّل [المحدد](#def-b2-linalg-det) المبني هنا [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction) كله. وفي مجلد السنة الثالثة تصير الثنوية نفسها، منقولةً إلى البعد غير المنتهي، مبرهنةَ التمثيل عند ريس ونظريةَ فريدهولم على فضاءات هيلبرت — مع التراص بديلًا عن عدّ الأبعاد المستعمل هنا.

## 2.4 تمارين

**تمرين 2.1 ★.**

في $\R^3$، لتكن $\varphi_1(x,y,z) = x + y$، $\varphi_2 = y + z$، $\varphi_3 = x + z$. برهن على أن $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ أساس للفضاء $(\R^3)^*$ وجد الأساس للفضاء $\R^3$ الذي هو ثنويّه.

**حل التمرين 2.1.**

ثلاث صيغ في ثنوي بعده $3$: فتكفي الحرية. فالعلاقة $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ مقيَّمة عند $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ تعطي $\alpha + \gamma = 0$، $\alpha +
\beta = 0$، $\beta + \gamma = 0$، ومنه $\alpha = \beta = \gamma =
0$.

الأساس القبلي $(u_1, u_2, u_3)$: نحلّ $\varphi_i(u_j) =
\delta_{ij}$. وبكتابة $u_j = (x, y, z)$: من أجل $u_1$: تعطي $x + y = 1$، $y + z = 0$، $x + z = 0$ أن $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12,
-\tfrac12\bigr)$؛ وبالتناظر $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12,
\tfrac12\bigr)$، $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$.

**تمرين 2.2 ★.**

احسب بصيغة التبديلات محددَي المصفوفتين

$$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0\\
c & d & 0 & 0\\
0 & 0 & e & f\\
0 & 0 & g & h
\end{pmatrix},
$$

وصُغ قاعدة الكتل القطرية التي توحي بها الثانية.

**حل التمرين 2.2.**

المصفوفة الأولى: التبديلة الوحيدة ذات الجداء غير المعدوم ترسل $1 \mapsto
3$، $2 \mapsto 2$، $3 \mapsto 1$ — أي [المبادلة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-sn) $(1\,3)$، وإشارتها $-1$: [فالمحدد](#def-b2-linalg-det) $-abc$.

الثانية: لا تستطيع تبديلة ذات جداء غير معدوم أن تخلط الكتلتين (فكل عنصر يربط بينهما يساوي $0$)، ومن ثم تتفكك إلى تبديلة للمجموعة $\{1,2\}$ مضروبة في تبديلة للمجموعة $\{3,4\}$، وتكون الإشارة جداء الإشارتين: فيتفكك المجموع إلى

$$
(ad - bc)(eh - fg) .
$$

والقاعدة العامة التي توحي بها (وهي صحيحة، بالبرهان نفسه): [محدد المصفوفة](#def-b2-linalg-det) القطرية الكتل هو جداء محددات الكتل.

**تمرين 2.3 ★.**

ليكن $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ و} x = 2y\}$. أعطِ أساسًا للفضاء $F^\circ$ وتحقق من [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) على الأبعاد.

**حل التمرين 2.3.**

يُعرَّف $F$ بالمعادلتين المستقلتين $\varphi_1(x,y,z,t)
= x + y - z - t = 0$ و$\varphi_2 = x - 2y = 0$: وحسب [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) مقروءةً في الاتجاه المعاكس، $F^\circ =
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — فهما في $F^\circ$ بحكم الإنشاء، وحرّتان (غير متناسبتين)، و$\dim F^\circ
= 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ لأن $\dim F = 2$ (معادلتان مستقلتان في $\R^4$). الأساس: $(\varphi_1, \varphi_2)$؛ والأبعاد: $2 + 2 = 4$، كما تقتضي المبرهنة.

**تمرين 2.4 ★★.**

لتكن $a_0, \dots, a_n$ نقاطًا مختلفة من $K$ ولتكن $\varphi_i \colon
P \mapsto P(a_i)$ على $K_n[X]$. برهن على أن $(\varphi_0, \dots,
\varphi_n)$ أساس للفضاء $K_n[X]^*$، وعيّن أساسه القبلي، وانشر الصيغة $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (من أجل $K = \R$ و $n = 2$ و$a_i = 0, \frac12, 1$) في هذا الأساس — ستتعرّف على قاعدة سيمبسون.

**حل التمرين 2.4.**

العناصر $\varphi_i$ هي $n + 1$ صيغة على فضاء بعده $(n+1)$: فتكفي الحرية. فإذا كان $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$، فنقيّمها على كثير حدود لاغرانج $L_j$ الموافق للعقد: فنجد $\lambda_j = 0$. والأساس القبلي هو $(L_0, \dots, L_n)$، لأن $\varphi_i(L_j) =
L_j(a_i) = \delta_{ij}$.

ومن أجل صيغة التكامل بالعقد $0, \frac12, 1$ على $\R_2[X]$: $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ مع $c_i = \int_0^1 L_i$. ونحسب: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$، $\int_0^1 L_0 = \frac16$؛ $L_1 =
-4X(X-1)$، $\int_0^1 L_1 = \frac46$؛ $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$، $\int_0^1 L_2 = \frac16$. ومنه

$$
\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) +
P(1)\Bigr)
\quad (P \in \R_2[X]) :
$$

أي قاعدة سيمبسون، وهي مضبوطة على كثيرات الحدود من الدرجة الثانية — وهذا قولٌ في الأسس الثنوية.

**تمرين 2.5 ★★.**

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ مع $\dim E = n$ و$\operatorname{rk} u
= 1$. برهن على أن $u = \varphi(\cdot)\, a$ من أجل متجهة $a$ وصيغة $\varphi$؛ وعلى أن $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$؛ وعلى أن $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$. استنتج $\det(I + u) = 1 +
\operatorname{tr} u$.

**حل التمرين 2.5.**

لدينا $\operatorname{im} u = Ka$ من أجل $a \neq 0$ ما؛ عندئذٍ $u(x) =
\varphi(x)\,a$ حيث $\varphi(x)$ إحداثية $u(x)$ على $a$ — وهي خطية في $x$. الأثر: نُتمّ $a = e_1$ إلى أساس؛ فأعمدة مصفوفة $u$ هي $\varphi(e_j)\,e_1$، ومن ثم فعنصرها القطري الوحيد هو $\varphi(e_1) = \varphi(a)$: أي $\operatorname{tr} u =
\varphi(a)$. ومنه

$$
u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a
= (\operatorname{tr} u)\, u(x).
$$

وأما [المحدد](#def-b2-linalg-det)، ففي حالتين. *إذا كان $\varphi(a) \neq 0$:* نأخذ أي أساس للفضاء الفوقي $\ker\varphi$ ونضيف إليه $a$. عندئذٍ يُعدم $u$ الفضاء $\ker\varphi$ (إذ إن $u(x) = \varphi(x)a = 0$ هناك) و$u(a) =
\varphi(a)\,a$: فمصفوفة $I + u$ قطرية، و$(1, \dots, 1,\,
1 + \varphi(a))$، ومنه $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 +
\operatorname{tr} u$. *وإذا كان $\varphi(a) = 0$:* فإن $a \in
\ker\varphi$؛ ونأخذ أساسًا للفضاء $\ker\varphi$ متجهته الأولى $a$، ونضيف متجهة $b$ تحقق $\varphi(b) = 1$. عندئذٍ يثبّت $I + u$ أساس الفضاء $\ker\varphi$ ويرسل $b \mapsto b + a$: فالمصفوفة مثلثية بقطر واحدي، و$\det(I + u) = 1 = 1 +
\operatorname{tr} u$. وتتفق الحالتان مع الصيغة.

**تمرين 2.6 ★★.**

برهن على أن كل فضاء فوقي من $\mathcal{M}_n(K)$ (مع $n \geq 2$) يحتوي مصفوفة قابلة للقلب. *إرشاد: الفضاء الفوقي هو $\{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ من أجل $A \neq 0$ ما ([التمرين 2.9](#exo-b2-linalg-9)). فإذا كانت $A$ سلّمية، فأبرِز مصفوفة قابلة للقلب معدومة الأثر؛ وإلا فجد مصفوفة $M$ قابلة للقلب تجعل $AM$ ذات قطر معدوم — وتفي بذلك مصفوفة شبيهة بمصفوفة تبديلة.*

**حل التمرين 2.6.**

حسب [التمرين 2.9](#exo-b2-linalg-9)، الفضاء الفوقي هو $H_A = \{M :
\operatorname{tr}(AM) = 0\}$ مع $A \neq 0$.

*إذا كان $A = \lambda I$:* فإن $H_A$ هو الفضاء الفوقي المعدوم الأثر؛ ومصفوفة تبديلة [الدورة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-sn) ذات الطول $n$ (بواحدات في المواضع $(i, i+1)$ و$(n, 1)$) قابلة للقلب (فمحددها $\pm 1$ حسب حساب [المثال 2.20](#ex-b2-linalg-permexample)) وأثرها معدوم.

*وإذا لم تكن $A$ سلّمية:* فنجد أولًا مصفوفة $P$ قابلة للقلب بحيث تكون في $B = P^{-1}AP$ عنصر $b_{ji}$ خارج القطر غير معدوم (مع $j \neq
i$). وفعلًا، إذا كان في $A$ عنصر كهذا، فنأخذ $P = I$؛ وإذا كانت $A$ قطرية بعنصرين مختلفين $d_1 \neq d_2$، فإن المقارنة بالمصفوفة الانسحابية $P = I + E_{12}$ تُنتج العنصر $d_1 - d_2 \neq 0$ خارج القطر (بالحساب: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$)؛ وأما المصفوفة القطرية التي تتساوى كل عناصرها فهي سلّمية، وقد استُبعدت. ونضع الآن $M' = I + tE_{ij}$ مع $t =
-\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$: فيكون

$$
\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,
$$

و$M'$ قابلة للقلب (فهي مثلثية بقطر واحدي). وبإلغاء المقارنة، تكون $M = PM'P^{-1}$ قابلة للقلب و $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$: أي $M \in H_A$.

**تمرين 2.7 ★★.**

(مشتق [المحدد](#def-b2-linalg-det)) من أجل $A \in \mathcal{M}_n(\R)$، برهن انطلاقًا من تعدد الخطية على أن

$$
\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,
$$

واستنتج $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ بافتراض قابلية $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ للاشتقاق وخاصية الزمرة $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (المثبتة في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/16-differential-equations#ch-b2-diffeq)).

**حل التمرين 2.7.**

$\det(I + tA)$، بصيغة التبديلات، كثير حدود في $t$؛ وحدّه الثابت هو $1$ ($t = 0$). وأما معامل $t$: فننشر $\det$ بوصفه [صيغة متناوبة](#def-b2-linalg-alternating) في الأعمدة $e_j + t\,c_j(A)$؛ وبتعدد الخطية، تعوّض الحدود الخطية في $t$ عمودًا واحدًا بالضبط من $e_j$ بالعمود $c_j(A)$:

$$
\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n)
= \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,
$$

([فالمحدد](#def-b2-linalg-det) الذي كل أعمدته قانونية ما عدا $c_j(A)$ في الموضع $j$ يلتقط العنصر القطري رقم $j$). ومنه فالمشتق عند $0$ هو $\operatorname{tr} A$.

ليكن $g(t) = \det(\eu^{tA})$. تعطي خاصية الزمرة أن $g(s + t) =
g(s)g(t)$ (بضربية $\det$)، وأن $g$ قابلة للاشتقاق، وأن $g'(0) = \operatorname{tr} A$ حسب ما تقدم ($\eu^{tA} = I + tA +
O(t^2)$). والتشاكل القابل للاشتقاق $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ يحقق $g' = g'(0)\,g$ (باشتقاق $g(s+t)$ بالنسبة إلى $s$ عند $0$)، ومنه $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ بوحدانية حلول $y' = cy$ بالشرط $y(0) = 1$ (مجلد السنة الأولى).

**تمرين 2.8 ★★.**

(مصفوفة دائرية، $3 \times 3$) ليكن $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ولتكن

$$
C = \begin{pmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).
$$

تحقق من أن أعمدة مصفوفة فاندرموند للعناصر $1, j, j^2$ متجهات ذاتية للمصفوفة $C$، واستنتج

$$
\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**حل التمرين 2.8.**

ليكن $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ من أجل $k = 0, 1, 2$. وباستعمال $1
+ j + j^2 = 0$ و$j^3 = 1$:

$$
C v_k =
\begin{pmatrix}
a + b j^k + c j^{2k}\\
c + a j^k + b j^{2k}\\
b + c j^k + a j^{2k}
\end{pmatrix}
= (a + b j^k + c j^{2k})
\begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},
$$

(وللتحقق من السطر الثاني: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} +
cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$). ومنه فإن $v_k$ متجهة ذاتية بالقيمة الذاتية $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$. والمتجهات $v_k$ تشكّل أساسًا (فاندرموند للعناصر المختلفة $1, j, j^2$)، ومنه فإن $C$ قابلة للتقطير بهذه القيم الذاتية ويكون

$$
\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2
= (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).
$$

**تمرين 2.9 ★★★.**

برهن على أن كل صيغة خطية $t$ على $\mathcal{M}_n(K)$ تُكتب $M \mapsto
\operatorname{tr}(AM)$ من أجل $A$ وحيدة: أي إن التطبيق $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ تماثل من $\mathcal{M}_n(K)$ على ثنويّه. استنتج من جديد قول الوحدانية في [القضية 2.22](#prop-b2-linalg-trace).

**حل التمرين 2.9.**

التطبيق $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ خطي من $\mathcal{M}_n(K)$ إلى ثنويّه، بين فضاءين لهما البعد نفسه $n^2$: فيكفي التباين. فإذا كان $\operatorname{tr}(AM) =
0$ من أجل كل $M$، فنأخذ $M = E_{ji}$: فنجد $\operatorname{tr}(A E_{ji}) =
a_{ij} = 0$ من أجل كل $i, j$: أي $A = 0$. ومنه فإن $\Theta$ تماثل.

وحدانية الأثر ([القضية 2.22](#prop-b2-linalg-trace)): الصيغة $t$ التي تُعدم كل المبدّلات هي $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ من أجل $A$ ما تحقق $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ من أجل كل $M, N$، أي $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ من أجل كل $N$ (بالدورية)، أي $AM = MA$ من أجل كل $M$ (بتباين $\Theta$): فتتبادل $A$ مع كل شيء، ومن ثم فهي سلّمية (فتبادل $A$ مع كل $E_{ij}$ يفرض انعدام العناصر خارج القطر $0$ وتساوي العناصر القطرية)، ومنه $t = c
\operatorname{tr}$.

**تمرين 2.10 ★★★.**

ليكن $u, v \in \mathcal{L}(E)$ مع $u \circ v - v \circ u = u$. برهن على أن $u$ عديم القوى. *إرشاد: بيّن أن $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ من أجل كل $k \geq 1$ (احسب $u^k v -
v u^k$ بالتراجع)، ثم استعمل الواقعة التالية، التي يُبرهن عليها بمتطابقات نيوتن أو بالتراجع على البعد: كل تشاكل ذاتي لفضاء متجهي على $\C$ تنعدم آثار كل قواه يكون عديم القوى. واعمل على $\C$.*

**حل التمرين 2.10.**

نعمل على $\C$ (فالمصفوفة الحقيقية عديمة القوى إذا وفقط إذا كانت كذلك بوصفها مصفوفة عقدية: إذ إن انعدام القوى يعني $u^n = 0$).

*الخطوة 1: $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ من أجل $k \geq 1$.* بالتراجع، $u^k v - v u^k = k\, u^k$: فمن أجل $k = 1$ هذه هي الفرضية؛ وأما خطوة التراجع فهي

$$
u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u
= u^{k+1} + k\,u^{k+1} .
$$

وبأخذ الآثار: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) -
\operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$، ومنه $\operatorname{tr}(u^k) = 0$.

*الخطوة 2: انعدام آثار القوى يستلزم انعدام القوى (على $\C$).* لتكن $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ القيم الذاتية غير المعدومة المختلفة للمصفوفة $u$ بتضاعفات $m_1, \dots, m_r$ (في كثير الحدود المميز، الذي ينحلّ على $\C$ — [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction)). وآثار القوى هي $\operatorname{tr}(u^k) =
\sum_i m_i \lambda_i^k$ (بالتثليث: قطر القوة رقم $k$ لمصفوفة مثلثية هو القوى رقم $k$). والجملة $\sum_i m_i
\lambda_i^k = 0$ من أجل $k = 1, \dots, r$ قابلة للقلب من نوع فاندرموند في المجاهيل $m_i\lambda_i$ (فمصفوفتها $(\lambda_i^{k-1})$ مضروبة في القطرية $\lambda_i$، وكل $\lambda_i \neq 0$ مختلفة): ومنه كل $m_i
\lambda_i = 0$، وهذا مستحيل مع $m_i \geq 1$ إلا إذا كان $r = 0$. فليس للمصفوفة $u$ أي قيمة ذاتية غير معدومة: أي إن كثير حدودها المميز هو $(-X)^n$، وتعطي مبرهنة كايلي–هاملتون ([الفصل 3](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/3-reduction-of-endomorphisms#ch-b2-reduction)) أن $u^n
= 0$: أي إنها عديمة القوى.

**تمرين 2.11 ★★.**

(فاندرموند) من أجل $a_0, \dots, a_n \in K$، برهن على أن

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n
\end{pmatrix}
= \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).
$$

*(انظر إلى [المحدد](#def-b2-linalg-det) بوصفه كثير حدود في $a_n$: عيّن درجته وجذوره ومعامله الرئيسي؛ ثم استعمل التراجع.)*

**حل التمرين 2.11.**

نكتب $V(a_0, \dots, a_n)$ [للمحدد](#def-b2-linalg-det) ونستعمل التراجع على $n$؛ والحالة $V(a_0) = 1$ تبدأ. نثبّت $a_0, \dots, a_{n-1}$ وننظر إلى $D(T) =
V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$، أي [المحدد](#def-b2-linalg-det) بعمود أخير $(1,
T, \dots, T^n)$: فبالنشر على ذلك العمود، يكون $D$ كثير حدود درجته $\leq n$ في $T$ ومعامل $T^n$ فيه هو الأقصر $V(a_0, \dots, a_{n-1})$. ولنفترض أولًا أن $a_0, \dots,
a_{n-1}$ مختلفة. فمن أجل كل $T = a_i$ (مع $i < n$) يتطابق عمودان، ومنه $D(a_i) = 0$: وبوجود $n$ جذرًا مختلفًا ودرجة $\leq n$،

$$
D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),
$$

ويعطي $T = a_n$ مع فرضية التراجع صيغة الجداء. وإذا تطابق عنصران من $a_0, \dots, a_{n-1}$، فإن الطرفين معًا $0$ (بعمودين متكررين؛ وبعامل متكرر)، وتصحّ الصيغة بداهةً.

**تمرين 2.12 ★★★.**

ليكن $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ مع $K$ غير منته، وليكن $CD = DC$. برهن على أن

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}
= \det(AD - BC).
$$

*(عالج أولًا حالة $D$ قابلة للقلب، بالضرب من اليمين في $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$؛ ثم عوّض $D$ بالمصفوفة $D + tI$ وقارن بين كثيري حدود في $t$.)*

**حل التمرين 2.12.**

*$D$ قابلة للقلب.* نضرب من اليمين في المصفوفة الكتلية $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$، وهي مثلثية الكتل بقطر واحدي، ومحددها $\det T = 1$ (فمحددها، بصيغة التبديلات، لا يلتقط إلا الكتل القطرية — وهي قاعدة الكتل في [التمرين 2.2](#exo-b2-linalg-2)):

$$
\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},
$$

ومحددها $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A -
BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$. وبما أن $CD = DC$، فإن $BD^{-1}CD = BC$: أي إن [المحدد](#def-b2-linalg-det) $\det(AD - BC)$.

*الحالة العامة $D$.* ليكن $D_t = D + tI$؛ فيبقى $CD_t = D_tC$. وكلٌّ من

$$
f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix}
\qquad\text{و}\qquad
g(t) = \det(AD_t - BC)
$$

دالة كثيرة حدود في $t$. وكثير الحدود $\det(D + tI)$ موحَّد ودرجته $n$، ومن ثم فله $n$ جذرًا على الأكثر: فمن أجل كل $t$ إلا عددًا منتهيًا منها، تكون $D_t$ قابلة للقلب ويكون $f(t) = g(t)$ حسب الحالة الأولى. وكثيرا حدود على حقل غير منته يتفقان في عدد غير منته من النقاط متساويان: ومنه $f = g$، ويُختم $t = 0$.

## 2.5 مسألة: بديل فريدهولم

متى تقبل الجملة الخطية $u(x) = b$ حلًا؟ الجواب الكامل قولٌ في الثنوية: *بالضبط حين تُبيد $b$ كلُّ صيغة خطية تُبيد صورة $u$* — وتلك الصيغ قابلة للحساب، إذ هي نواة [المنقول](#def-b2-linalg-transpose). وتبني مسألة نهاية الأسبوع هذه معجم الثنوية الكامل في البعد المنتهي (تحليل الصيغ، والثنوية المزدوجة، وحساب المبيدات، [والمنقول](#def-b2-linalg-transpose))، وتبرهن على *بديل فريدهولم* في البعد المنتهي، وتُختم بصيغة الأثر وبتوصيف: الأثر هو اللامتغيّر الخطي الوحيد للتشابه. وفي كل ما يلي، $E$ و$F$ فضاءان متجهيان منتهيا البعد على $K$، مع $n = \dim E$.

**مسألة 2.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الثنوية في البعد المنتهي وبديل فريدهولم

ترميز: من أجل $S \subseteq E^*$، يكون *[المبيد](#def-b2-linalg-annihilator) القبلي* هو $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ من أجل كل } \varphi
\in S\}$؛ والمبيدات $F^\circ$ والمنقولات $u^{\mathsf T}$ هي مبيدات ومنقولات [التعريف 2.5](#def-b2-linalg-annihilator) و [التعريف 2.8](#def-b2-linalg-transpose).

**الجزء الأول — مبرهنة التحليل المساعدة.** ليكن $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$.

1. ليكن $\Phi \colon E \to K^p$، $x \mapsto (\varphi_1(x),  \dots, \varphi_p(x))$. عيّن $\ker\Phi$، وبيّن أن $\Phi^{\mathsf T}$ يرسل صيغ إحداثيات $K^p$ إلى العناصر $\varphi_i$، واستنتج $$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap  \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim  \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$$
2. (مبرهنة التحليل المساعدة) برهن على التكافؤ: $$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,  \varphi_p)  \iff  \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq  \ker\varphi .$$
3. استنتج: تكون $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ حرة إذا وفقط إذا كان بعد $\bigcap_i \ker\varphi_i$ يساوي $n - p$ ؛ وأن كل فضاء جزئي بعده المرافق $p$ تقاطعُ $p$ فضاء فوقي، لا أقلّ.
4. في $\R^4$ ، لتكن $\varphi_1 = x + y - z$ ، $\varphi_2 = y +  z - t$ ، $\psi = x + 2y - t$ ولتكن $\psi' = x + y + t$ . قرّر، بمبرهنة التحليل المساعدة، هل تنتمي $\psi$ و $\psi'$ إلى $\operatorname{Vect}(\varphi_1,  \varphi_2)$ .
5. على $E = \R_2[X]$ ، بيّن أن $\psi_0 \colon P \mapsto  P(0)$ و $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ و $\psi_2 \colon P  \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ تشكّل أساسًا للفضاء $E^*$ ، واحسب الأساس $(P_0, P_1, P_2)$ للفضاء $E$ الذي هو ثنويّه، وجد $P \in \R_2[X]$ الوحيدة التي $P(0)  = 1$ و $P(1) = 2$ و $\int_0^1 P = \frac32$ .

**الجزء الثاني — الثنوية المزدوجة وحساب المبيدات.**

6. بيّن أن *تطبيق التقييم* $J \colon E \to  E^{**}$ ، $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ ، خطي ومتباين، ومن ثم فهو تماثل في البعد المنتهي.
7. ( [المبيد](#def-b2-linalg-annihilator) المزدوج) بيّن أن $J(F) = F^{\circ\circ} :=  (F^\circ)^\circ$ من أجل كل فضاء جزئي $F \subseteq E$ : أي إن [مبيد](#def-b2-linalg-annihilator) [المبيد](#def-b2-linalg-annihilator) ، بالمماهاة $J$ ، هو الفضاء الجزئي نفسه.
8. برهن على حساب المبيدات: $(F + G)^\circ = F^\circ  \cap G^\circ$ و $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ .
9. استنتج (ثم أعد البرهان مباشرة): كل صيغتين غير معدومتين لهما النواة نفسها متناسبتان.
10. (الأساس القبلي) بيّن أنه من أجل كل أساس $(\varphi_1,  \dots, \varphi_n)$ للفضاء $E^*$ يوجد أساس وحيد $(u_1, \dots, u_n)$ للفضاء $E$ يحقق $\varphi_i(u_j) =  \delta_{ij}$ .

**الجزء الثالث — حساب المنقولات.**

11. بيّن أن $u \mapsto u^{\mathsf T}$ تقابل خطي من $\mathcal{L}(E, F)$ على $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ ، وأن $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ حين تكون $u$ قابلة للقلب.
12. (الطبيعية) بيّن أن $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E  = J_F \circ u$ : أي إن [المنقول](#def-b2-linalg-transpose) المزدوج، بتماثلات التقييم، *هو* $u$ .
13. بيّن أن: $u$ شامل إذا وفقط إذا كان $u^{\mathsf T}$ متباينًا؛ وأن $u$ متباين إذا وفقط إذا كان $u^{\mathsf T}$ شاملًا.
14. من أجل $u \in \mathcal{L}(E)$ : يكون الفضاء الجزئي $F$ مستقرًا تحت $u$ إذا وفقط إذا كان $F^\circ$ مستقرًا تحت $u^{\mathsf T}$ .
15. بيّن أن $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\,  \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\,  \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ ، واستنتج أن $u$ و $u^{\mathsf T}$ لهما القيم الذاتية نفسها بالتضاعفات الهندسية نفسها.

**الجزء الرابع — بديل فريدهولم.**

16. برهن على أن $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf  T})_\circ$ من أجل $u \in \mathcal{L}(E, F)$ ، واستنتج *بديل فريدهولم* في البعد المنتهي: تقبل المعادلة $u(x) = b$ حلًا إذا وفقط إذا كانت كل $\psi \in F^*$ تحقق $u^{\mathsf T}\psi = 0$ تحقق أيضًا $\psi(b) = 0$ .
17. الصيغة المصفوفية: من أجل $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ و $b \in  K^m$ ، تتحقق حالة واحدة بالضبط مما يلي: (1) تقبل $Ax = b$ حلًا؛ (2) توجد $y \in K^m$ تحقق $A^{\mathsf T}y = 0$ و $y^{\mathsf T}b = 1$ . برهن على “واحدة على الأكثر” وعلى “واحدة على الأقل”.
18. جد كل $b \in \R^3$ التي تقبل من أجلها الجملة $$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$$ حلًا، وذلك بحساب نواة المصفوفة المنقولة.
19. (مسألة نويمان المتقطعة) على $E = \R^n$ (مع $n \geq 3$ )، نعرّف $L$ بالعلاقة $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} +  x_{k+1})$ ، بأدلة بترديد $n$ . بيّن أن $L^{\mathsf T} = L$ (بالمماهاة القانونية)، وبيّن أن $\ker L$ هو مستقيم المتجهات الثابتة *(انظر إلى إحداثية أعظمية)* ، واستنتج: تقبل $Lx = b$ حلًا إذا وفقط إذا كان $\sum_k b_k = 0$ .

**الجزء الخامس — صيغة الأثر ومبرهنة اللاتغيّر.** تذكّر من [التمرين 2.9](#exo-b2-linalg-9) أن $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ يماهي $\mathcal{M}_n(K)$ مع ثنويّه. ولنفترض $\operatorname{char} K = 0$ (مثلًا $K = \Q, \R,
\C$).

20. بهذه المماهاة، بيّن أن [مبيد](#def-b2-linalg-annihilator) الفضاء الجزئي $\mathcal{S}_n$ للمصفوفات المتماثلة هو الفضاء الجزئي $\mathcal{A}_n$ للمصفوفات ضدّ المتماثلة، والعكس بالعكس.
21. بيّن أن [مبيد](#def-b2-linalg-annihilator) الفضاء الفوقي $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ هو المستقيم $K I_n$ ؛ أي بعبارة مكافئة، أن كل صيغة خطية تنعدم على المصفوفات المعدومة الأثر هي مضاعف للأثر.
22. بيّن أن كل مصفوفة من $\mathcal{M}_n(K)$ مجموع مصفوفتين قابلتين للقلب.
23. (الأثر هو اللامتغيّر الخطي الوحيد للتشابه) لتكن $t$ صيغة خطية على $\mathcal{M}_n(K)$ تحقق $t(PMP^{-1}) = t(M)$ من أجل كل $M$ وكل $P$ قابلة للقلب. بيّن أولًا أن $t(PX) = t(XP)$ من أجل $P$ قابلة للقلب، ثم أن $t(BX) = t(XB)$ من أجل *كل* $B$ ، واستنتج أن $t = c  \operatorname{tr}$ من أجل $c \in K$ ما.
24. بيّن أن $\operatorname{rk} u \leq r$ إذا وفقط إذا كان $u$ مجموع $r$ تطبيقًا رتبة كل منها $\leq 1$ ، أي $u =  \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ مع $\psi_i \in E^*$ و $f_i \in F$ ؛ واستنتج $\operatorname{rk}(u + v) \leq  \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
25. (تركيب) اجمع المعجم المبرهَن عليه في هذه المسألة: الفضاءات الجزئية في مقابل المبيدات، والمجاميع في مقابل التقاطعات، والتطبيقات في مقابل المنقولات، وقابلية الحلّ في مقابل التعامد مع نواة [المنقول](#def-b2-linalg-transpose) ، والأثر في مقابل التشابه. واذكر من أجل كل مدخل السؤال الذي برهن عليه، وقل بجملة واحدة ما الذي يحلّ محلّ عدّ الأبعاد حين يصير البعد غير منته (ويوضّح مجلد السنة الثالثة ذلك على فضاءات هيلبرت).

**حل المسألة 2.1.**

**1.** التطبيق $\Phi$ خطي مع $\ker\Phi = \bigcap_i
\ker\varphi_i$ (فالمجموعة المرتبة ذات $p$ عنصرًا تنعدم إذا وفقط إذا انعدم كل عنصر منها). ومن أجل صيغ الإحداثيات $\varepsilon_i$ للفضاء $K^p$: نجد $\Phi^{\mathsf
T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$، ومنه $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq
\operatorname{Vect}(\varphi_i)$؛ وعكسيًا يُولَّد $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ بالعناصر $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (فالعناصر $\varepsilon_i$ تولّد $(K^p)^*$). ومنه $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk}
\Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots,
\varphi_p) =: r$ (مع [القضية 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank))، وتعطي مبرهنة الرتبة أن $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$.

**2.** ($\Leftarrow$) نحتفظ بعائلة جزئية حرة أعظمية، ولتكن $\varphi_1, \dots, \varphi_r$، تولّد الفضاء نفسه (فتبقى الفرضية تُقرأ $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq
\ker\varphi$: إذ إن التقاطع على كل $i$ يساوي التقاطع على $i \leq r$، لأن كل صيغة مستبعَدة تركيبٌ للأخريات). والتطبيق $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ شامل (السؤال 1: فرتبته $r$). فإذا كان $\Psi(x) = \Psi(y)$ فإن $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$، ومنه $\varphi(x) =
\varphi(y)$: فيتحلل $\varphi$ إلى $\varphi = \lambda \circ \Psi$ مع $\lambda \colon K^r \to K$ معرَّفة جيدًا؛ و$\lambda$ خطية لأن $\Psi$ خطي وشامل (فمن أجل $t = \Psi(x)$، $t' =
\Psi(x')$: $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') =
\lambda(t) + \alpha\lambda(t')$). وبكتابة $\lambda = \sum c_i
\varepsilon_i$: $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$. ($\Rightarrow$) إذا كان $\varphi = \sum c_i \varphi_i$، فإن كل $x$ تُعدم كل $\varphi_i$ تُعدم $\varphi$.

**3.** حسب السؤال 1، $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ مع $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$، ويكون $r = p$ إذا وفقط إذا كانت العائلة حرة. وليكن فضاء جزئي $F$ بعده المرافق $p$: فبعد مُبيده $p$ ([المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator))؛ ويعطي أساس $(\varphi_1, \dots,
\varphi_p)$ للفضاء $F^\circ$ أن $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (بصيغة الاستعادة). وأما بعدد أقلّ: فتقاطع $q$ فضاء فوقي بعده $\geq n - q > n - p$ حسب السؤال 1.

**4.** نحسب $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$: من $x
+ y - z = 0$ و$y + z - t = 0$، نمثّل وسيطيًا بالزوج $(y, z)$: $x = z
- y$، $t = y + z$، فنحصل على مستوي المتجهات $(z - y,\; y,\;
z,\; y + z)$. وعليه، $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z)
= 0$: فحسب مبرهنة التحليل المساعدة $\psi \in
\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — وفعلًا $\psi =
\varphi_1 + \varphi_2$. لكن $\psi' = x + y + t = (z - y) + y +
(y + z) = y + 2z$ ليست معدومة تمامًا هناك (فالاختيار $y = 1, z = 0$ تعطي $1$): ومنه $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1,
\varphi_2)$.

**5.** ثلاث صيغ على فضاء بعده $3$: فتكفي الحرية. فإذا كان $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$، فنختبر على $1, X,
X^2$: $a + b + c = 0$، $b + \frac c2 = 0$، $b + \frac c3 = 0$؛ وبطرح الأخيرين نجد $c = 0$، ثم $b = 0$، $a = 0$. الأساس القبلي: بكتابة $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ وحلّ $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ ($P(0) = \alpha$، $P(1) =
\alpha + \beta + \gamma$، $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 +
\frac\gamma3$):

$$
P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad
P_1 = -2X + 3X^2, \qquad
P_2 = 6X - 6X^2 .
$$

(وللتحقق مثلًا: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$، $P_2(0) = P_2(1) = 0$.) وتُحلّ مسألة الاستكمال بالإحداثيات في الأساس القبلي:

$$
P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X
$$

(معامل $X$ هو $-4 - 4 + 9 = 1$، ومعامل $X^2$ هو $3 + 6 - 9 =
0$)؛ وفعلًا $P(0) = 1$، $P(1) = 2$، $\int_0^1 P = \frac32$.

**6.** الخطية: من أجل كل $\varphi$، $J(x + \alpha
y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha
J(y)(\varphi)$، أي $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$. التباين: إذا كان $x \neq 0$، فنُتمّ $x = e_1$ إلى أساس؛ فصيغة الإحداثيات $e_1^*$ تحقق $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$. وبما أن $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim
E$، فالتباين يستلزم التقابل.

**7.** الاحتواء: من أجل $x \in F$ و$\varphi \in F^\circ$، $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$، ومنه $J(F) \subseteq
F^{\circ\circ}$. والأبعاد (بتطبيق [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) مرتين):

$$
\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ
= n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),
$$

لأن $J$ متباين. ومنه $J(F) = F^{\circ\circ}$.

**8.** المتطابقة الأولى: تُعدم $\varphi$ الفضاء $F + G$ إذا وفقط إذا أعدمت $F$ و$G$ معًا (فهي تُعدم المجاميع إذا وفقط إذا أعدمت الأجزاء): أي $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$. والثانية: الاحتواء $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ واضح (فكل حدّ يُعدم $F \cap G$). والأبعاد، باستعمال المتطابقة الأولى وصيغة غراسمان:

$$
\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ -
\dim(F^\circ \cap G^\circ)
= (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F +
G)\bigr),
$$

وهو يساوي بصيغة غراسمان في $E$ المقدارَ $n - \dim(F \cap G) = \dim(F
\cap G)^\circ$: فالمساواة.

**9.** بالمبرهنة المساعدة: $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ مع $p = 1$ يعطي $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$، و $\varphi \neq 0$ يجعل العدد غير معدوم. ومباشرةً: نختار $x_0$ تحقق $\psi(x_0) \neq 0$؛ فكل $x$ يُكتب $x = \bigl(x -
\frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}
x_0$ بحدّ أول في $\ker\psi = \ker\varphi$؛ وبتطبيق $\varphi$: $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$.

**10.** نأخذ [الأساس الثنوي](#def-b2-linalg-dual) $(\varphi_1^*, \dots,
\varphi_n^*)$ للأساس $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ داخل $E^{**}$ ([التعريف 2.1](#def-b2-linalg-dual) مطبَّقة على $E^*$) ونضع $u_j =
J^{-1}(\varphi_j^*)$: فنحصل على أساس للفضاء $E$ (فالتطبيق $J$ تماثل، السؤال 6)، مع $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) =
\varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$. الوحدانية: تحدد الشروط $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ قيم $J(u_j)$ على الأساس $(\varphi_i)$، ومن ثم تحدد $u_j$.

**11.** الخطية: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi
\circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf
T}\psi$. التباين: إذا كان $u \neq 0$، فنختار $x$ تحقق $u(x) \neq 0$ و$\psi$ تحقق $\psi(u(x)) \neq 0$ (بحيلة صيغة الإحداثيات في السؤال 6): $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$. وللفضاءين $\mathcal{L}(E,F)$ و$\mathcal{L}(F^*, E^*)$ البعد نفسه $\dim E \dim F$: فالتطبيق تقابلي. وإذا كانت $u$ قابلة للقلب، فإن قاعدة العكس $(vu)^{\mathsf
T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ تعطي $u^{\mathsf
T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} =
\mathrm{id}_{E^*}$ و$(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} =
(uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$، ومنه $(u^{\mathsf
T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$.

**12.** من أجل $x \in E$ و$\psi \in F^*$:

$$
\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi)
= (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr)
= (u^{\mathsf T}\psi)(x)
= \psi\bigl(u(x)\bigr)
= \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).
$$

وبما أن $\psi$ كيفية، فإن $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F
\circ u$.

**13.** حسب [القضية 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank): $\ker
u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$، ومنه $u$ شامل $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ =
\{0\}$ ([المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator)) $\iff u^{\mathsf T}$ متباين. و$\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker
u)^\circ$، ومنه $u$ متباين $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker
u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ شامل.

**14.** إذا كان $u(F) \subseteq F$ و$\varphi \in F^\circ$: $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ من أجل $x \in F$، ومنه $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$. وعكسيًا، إذا كان $u(F)
\not\subseteq F$، فنختار $x \in F$ بحيث $u(x) \notin F$؛ وبصيغة الاستعادة في [المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator) توجد $\varphi \in F^\circ$ تحقق $\varphi(u(x)) \neq 0$: عندئذٍ $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ رغم أن $x \in F$، ومنه $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$: أي إن $F^\circ$ غير مستقر.

**15.** $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u -
\lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (فالنقل خطي و $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$)، ومن ثم فنواته هي $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ ([القضية 2.10](#prop-b2-linalg-transposerank))، وبعدها

$$
n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id})
= \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})
$$

بمبرهنة الرتبة. وعلى الخصوص تكون إحدى النواتين غير معدومة إذا وفقط إذا كانت الأخرى كذلك: أي القيم الذاتية نفسها بالتضاعفات الهندسية نفسها.

**16.** الاحتواء: إذا كان $b = u(x)$ و$u^{\mathsf T}\psi =
0$، فإن $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$: ومنه $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$. الأبعاد: من أجل فضاء جزئي $S \subseteq F^*$، $S_\circ =
J_F^{-1}(S^\circ)$ (بالفكّ: $y \in S_\circ$ إذا وفقط إذا أعدمت كل $\psi \in
S$ الفضاء $y$ إذا وفقط إذا $J_F(y) \in S^\circ$)، ومنه $\dim S_\circ = \dim
F - \dim S$. ومع $S = \ker u^{\mathsf T}$:

$$
\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ
= \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T}
= \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :
$$

أي تساوي الأبعاد، ومنه $\operatorname{im} u = (\ker
u^{\mathsf T})_\circ$. وبإعادة الصياغة: $b \in \operatorname{im} u$ إذا وفقط إذا $\psi(b) = 0$ من أجل كل $\psi$ تحقق $u^{\mathsf T}\psi = 0$ — وهو بديل فريدهولم.

**17.** نماهي $(K^m)^*$ مع $K^m$ بالتطبيق $y \mapsto \psi_y$، $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$؛ عندئذٍ $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) =
y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$، ومنه $u^{\mathsf
T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$: أي إن [المنقول](#def-b2-linalg-transpose) هو المصفوفة المنقولة. *واحدة على الأكثر:* إذا كان $Ax = b$ و $A^{\mathsf T}y = 0$، فإن $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax =
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$. *وواحدة على الأقل:* إذا فشلت (1)، فإن السؤال 16 يعطي $\psi_y$ تحقق $A^{\mathsf T}y
= 0$ و$y^{\mathsf T}b \neq 0$؛ ونضبط سلّم $y$ ليصير $1$.

**18.** $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (فالسطر الثالث = الأول + الثاني، ومن ثم $A$ شاذة). ونحلّ $A^{\mathsf T}y = 0$: تعطي $y_1 + y_3 = 0$، $y_1
+ y_2 + 2y_3 = 0$، $y_2 + y_3 = 0$ أن $y_1 = y_2 = -y_3$: أي المستقيم المولَّد بالمتجهة $y = (1, 1, -1)$. وفريدهولم: قابلة للحلّ إذا وفقط إذا $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$، أي $b_3 = b_1 + b_2$ — وهو الشرط الصحيح بوضوح، لأن المعادلة الثالثة هي مجموع الأوليين.

**19.** في مصفوفة $L$ العدد $1$ على القطر و $-\frac12$ في المواضع $(k, k\pm1)$ (بترديد $n$): فهي متماثلة، ومنه $L^{\mathsf T} = L$ بالمماهاة في السؤال 17. *النواة:* إذا كان $Lx = 0$ فإن كل $x_k = \frac12(x_{k-1} +
x_{k+1})$. وليكن $k_0$ يجعل $x_k$ أعظميًا؛ فمتوسط الجارين، وكلاهما $\leq x_{k_0}$، لا يساوي $x_{k_0}$ إلا إذا تساوى كلاهما بالقيمة $x_{k_0}$؛ وبالانتشار حول [الدورة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-sn)، تكون $x$ ثابتة. وعكسيًا تُعدم الثوابت. ومنه $\ker L^{\mathsf T} = \ker L
= \R(1, \dots, 1)$، ويُقرأ بديل فريدهولم: تكون $Lx = b$ قابلة للحلّ إذا وفقط إذا $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — وهو شرط التوافق المتقطع: فتوزيع “حرارة” على حلقة يمكن أن يُحقَّق بكمون إذا وفقط إذا انعدم تدفقه الكلي.

**20.** إذا كانت $A$ ضدّ متماثلة و$S$ متماثلة:

$$
\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf
T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) =
-\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),
$$

ومنه $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ و(بما أن $\operatorname{char} K \neq
2$) $\operatorname{tr}(AS) = 0$: أي $\mathcal{A}_n \subseteq
\mathcal{S}_n^\circ$ (بمماهاة [الثنوي](#def-b2-linalg-dual) مع المصفوفات). والأبعاد: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 =
\frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$: أي المساواة. وبتبادل الدورين (بالحساب نفسه)، $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$.

**21.** $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ من أجل $M \in \mathfrak{sl}_n$: فالمستقيم $KI_n$ يقع في [المُبيد](#def-b2-linalg-annihilator)، وبعده $n^2 - (n^2 - 1) = 1$: أي المساواة. وبترجمتها بالتماثل $A \mapsto
\operatorname{tr}(A\,\cdot)$: كل صيغة تنعدم على $\mathfrak{sl}_n$ هي $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) =
\lambda\operatorname{tr}$.

**22.** ليكن $M \in \mathcal{M}_n(K)$. كثير الحدود $t
\mapsto \det(M - tI)$ غير معدوم ودرجته $n$، ومن ثم فله $n$ جذرًا على الأكثر؛ ومميّز $K$ هو $0$، ومن ثم فهو غير منته: فنختار $\lambda \neq 0$ ليس جذرًا. عندئذٍ يكتب $M = (M - \lambda I) +
\lambda I$ المصفوفةَ $M$ مجموعَ مصفوفتين قابلتين للقلب.

**23.** *الخطوة 1:* من أجل $P$ قابلة للقلب و$X$ كيفية، نطبّق اللاتغيّر على $M = XP$: $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$، أي $t(PX) = t(XP)$. *الخطوة 2:* نثبّت $X$؛ فطرفا $t(BX) = t(XB)$ خطيان في $B$ ويتفقان على $B$ القابلة للقلب؛ وحسب السؤال 22 كل $B$ مجموع مصفوفتين قابلتين للقلب، ومن ثم يتفقان في كل مكان. *الخطوة 3:* تُعدم $t$ كل مبدّل $XB
- BX$؛ والمبدّلات تولّد $\mathfrak{sl}_n$ (كما بُيّن في برهان [القضية 2.22](#prop-b2-linalg-trace))، ومنه تنعدم $t$ على $\mathfrak{sl}_n$ ويعطي السؤال 21 أن $t =
c\operatorname{tr}$. (وعكسيًا فإن كل $c\operatorname{tr}$ لا متغيّر بالتشابه: فالأثر هو اللامتغيّر الخطي *الوحيد* للتشابه.)

**24.** إذا كان $\operatorname{rk} u = r' \leq r$: نأخذ أساسًا $(f_1, \dots, f_{r'})$ للفضاء $\operatorname{im} u$ ونكتب $u(x)
= \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$؛ فكل إحداثية $\psi_i(x)$ من إحداثيات $u(x)$ خطية في $x$ (بتركيب $u$ مع صيغة إحداثيات)، ومنه فإن $u$ مجموع $r' \leq r$ تطبيقًا رتبة كل منها $\leq1$ (بالحشو بالأصفار). وعكسيًا، إذا كان $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$، فإن $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1,
\dots, f_r)$: أي $\operatorname{rk} u \leq r$. وأما تحت الجمعية: فنكتب $u$ بعدد $\operatorname{rk} u$ من الحدود و$v$ بعدد $\operatorname{rk} v$ منها؛ فيكون في المجموع $\operatorname{rk} u +
\operatorname{rk} v$ حدًّا، ومنه $\operatorname{rk}(u + v) \leq
\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$.

**25.** المعجم: يوافق الفضاءَ الجزئي $F$ المبيدُ $F^\circ$ ببعد مكمّل ([المبرهنة 2.6](#thm-b2-linalg-annihilator))، والعودة بالثنوية المزدوجة (السؤالان 6–7)؛ وتتبادل المجاميع مع التقاطعات (السؤال 8)؛ ويوافق التطبيقَ $u$ المنقولُ $u^{\mathsf T}$ مع $\ker u^{\mathsf T}
= (\operatorname{im}u)^\circ$، $\operatorname{im}u^{\mathsf T} =
(\ker u)^\circ$، وبرتبتين متساويتين، وبتبادل التباين والشمول، وبتوافق الفضاءات الجزئية المستقرة والقيم الذاتية (الأسئلة 11–15)؛ وتكون المعادلة $u(x) = b$ قابلة للحلّ إذا وفقط إذا كانت $b$ متعامدة مع $\ker u^{\mathsf T}$ (الأسئلة 16–19)؛ وعلى $\mathcal{M}_n$ يحقق جداء الأثر المعجمَ كله بصورة ملموسة، والأثر هو اللامتغيّر الخطي الوحيد للتشابه (الأسئلة 20–23)، والرتبة هي الطول الأدنى لتفكيك إلى موترات أولية (السؤال 24). وفي البعد غير المنتهي يفشل عدّ الأبعاد ويحلّ محلّه فرضياتُ *الانغلاق* على الصور وفرضية التمام — وعلى فضاءات هيلبرت يصير هذا مبرهنةَ التمثيل عند ريس ونظريةَ فريدهولم للمؤثرات المتراصة، مبرهَنةً بأمانة في مجلد السنة الثالثة.