--- title: "المتغيرات العشوائية المتقطعة" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2" subject: math language: ar chapter: 22 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables --- # الفصل 22 — المتغيرات العشوائية المتقطعة تنظم [المتغيرات العشوائية](#def-b2-randomvar-law) الحسابات الاحتمالية حول الدوال بدل [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space). وعلى الفضاءات [القابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable)، تشغّل النظريةَ العائلاتُ [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) في [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series): [فالأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) مجموع عائلة مفهرسة [بالفضاء العيني](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space)، وجميع خواصه — الخطية، والنقل، وصيغة الجداء من أجل المتغيرات المستقلة — مبرهنات عن العائلات [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable). ويبرهن الفصل على المتراجحات المفتاحية لماركوف وتشيبيشيف وكوشي–شوارتز وجنسن، وينتهي بالقوانين الكلاسيكية وبالقانون الضعيف للأعداد الكبيرة، الذي يصير برهانه سطرين بمجرد توفر متراجحة تشيبيشيف. ## 22.1 المتغيرات العشوائية وقوانينها **تعريف 22.1 (المتغير العشوائي المتقطع؛ القانون).** ليكن $(\Omega, \P)$ فضاء احتماليا قابلا للعد. *المتغير العشوائي* هو تطبيق $X \colon \Omega \to E$ (حيث $E$ مجموعة كيفما كانت؛ ونقول متغيرا عشوائيا *حقيقيا* عندما $E = \R$). و*قانونه* (أو *توزيعه*) هو [القياس الاحتمالي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\P_X$ على [المجموعة القابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable) $X(\Omega)$ المعرَّف بالعلاقة $$ \P_X(\{x\}) = \P(X = x) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x\}\bigr) . $$ **مثال 22.2 (القوانين الكلاسيكية).** - *برنولي* $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$ ، $\P(X = 1) = p$ . وهو الدالة المميزة [لحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) . - *ثنائي الحد* $\mathcal{B}(n, p)$ : $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ، $0 \leq k \leq n$ : أي عدد النجاحات في $n$ تجربة برنولي مستقلة (مجلد الثانوية؛ ويُعاد البرهان عليه أدناه عبر مجاميع المتغيرات المستقلة). - *الهندسي* $\mathcal{G}(p)$ : $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ ، $k \in \N^*$ : أي رتبة أول نجاح ( [المثال 21.5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ex-b2-proba-geometric) ). - *بواسون* $\mathcal{P}(\lambda)$ : $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ ، $k \in \N$ — وهو [قياس احتمالي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) بحكم المتسلسلة الأسية. وهو قانون [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة ( [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun) ). **ملاحظة 22.3 (أي قانون ينمذج ماذا).** تجيب القوانين الأربعة عن أربعة أسئلة أولية: برنولي، “هل وقع؟”؛ وثنائي الحد، “كم مرة في $n$ محاولة؟”؛ والهندسي، “كم يطول الانتظار حتى المرة الأولى؟”؛ وبواسون، “كم حدثا عند معدل معطى، عندما تكون المحاولات كثيرة وكل منها غير مرجح؟”. والتعرف على السؤال تسعة أعشار النمذجة: فمجاميع الدوال المميزة تشير إلى ثنائي الحد، وأزمنة الانتظار إلى الهندسي، وعدود [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة إلى بواسون — مع جعل المرور من ثنائي الحد إلى بواسون دقيقا بقانون [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun). **قضية 22.4 (انعدام ذاكرة القانون الهندسي).** إذا كان $X \sim \mathcal{G}(p)$، فإن من أجل كل $m, n \in \N$: $$ \P(X > m + n \mid X > m) = \P(X > n) , $$ والقوانين الهندسية هي القوانين الوحيدة على $\N^*$ التي لها هذه الخاصية. **برهان.** بجمع الأوزان الهندسية، $\P(X > n) = (1-p)^n$. ومنه $$ \P(X > m + n \mid X > m) = \frac{\P(X > m + n)}{\P(X > m)} = \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m} = (1-p)^n = \P(X > n). $$ وبالعكس، إذا حقق $G(n) = \P(X > n)$ العلاقة $G(m + n) = G(m)G(n)$ مع $G(0) = 1$، فإن $G(n) = G(1)^n$ بالتراجع؛ و$q = G(1) \in \intco{0}{1}$، ويكون $q = 0$ أو يكون القانون $\mathcal{G}(1 - q)$: $\P(X = k) = G(k-1) - G(k) = q^{k-1}(1 - q)$. ∎ **مثال 22.5 (لا رقم “مستحق” أبدا).** نرمي نردا انتظارا لستة: فزمن الانتظار $X \sim \mathcal G(1/6)$. ويقول انعدام الذاكرة إنه بعد $10$ رمية بلا جدوى، يكون الانتظار *المتبقي* $X - 10$، علما [بالحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $X > 10$، هو $\mathcal G(1/6)$ من جديد: فالانتظار المتوقع شرطيا لا يزال $6$ رمية، تماما كما في البداية. فالنرد لا يتذكر، ولا “تستحق” أي ستة الظهور أبدا — ومغالطة المقامر هي الاعتقاد بأن القانون الشرطي كان ينبغي أن ينزاح. وبالعكس، يقول شق الوحدانية من القضية إن هذه اللامبالاة *تميّز* أزمنة الانتظار الهندسية: فكل زمن انتظار لا يتحدث تنبؤه أبدا يكون هندسيا. أما الطوابير والأعمار الحقيقية فعادة ما تتحدث، وهذا بالضبط كيف نكتشف أنها ليست هندسية. ## 22.2 الأمل الرياضي **تعريف 22.6 (الأمل الرياضي).** نقول إن متغيرا عشوائيا حقيقيا $X$ على $(\Omega, \P)$ *يقبل أملا رياضيا* إذا كانت العائلة $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series))؛ وعندئذ يكون *أمله الرياضي* $$ \E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) . $$ **مبرهنة 22.7 (مبرهنة النقل).** يقبل $X$ أملا رياضيا إذا وفقط إذا كانت العائلة $\bigl(x\,\P(X = x)\bigr)_{x \in X(\Omega)}$ [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable)، وعندئذ $$ \E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\P(X = x) . $$ وبوجه أعم، من أجل $f \colon X(\Omega) \to \R$، يقبل المتغير $f(X)$ أملا رياضيا إذا وفقط إذا كان $\sum_x \abs{f(x)}\,\P(X = x) < \infty$، وعندئذ $\E(f(X)) = \sum_x f(x)\,\P(X = x)$. **برهان.** نجزّئ $\Omega$ إلى مجموعات المستوى $\Omega_x = \{X = x\}$، $x \in X(\Omega)$. وبمبرهنة الجمع بالرزم من أجل العائلات [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series))، تكون العائلة $(X(\omega)\P(\{\omega\}))_\omega$ [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) إذا وفقط إذا كانت كل رزمة كذلك (وهو تلقائي: $\sum_{\omega \in \Omega_x}\abs{x}\P(\{\omega\}) = \abs x\,\P(X = x)$) *وكانت* عائلة مجاميع الرزم $\bigl(x\,\P(X = x)\bigr)_x$ [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) — وعندئذ يتطابق المجموعان الكليان. ومن أجل $f(X)$: نطبق النص المبرهن على المتغير $Y = f \circ X$، الذي مجموعات مستواه $\{Y = y\} = \bigsqcup_{x : f(x) = y}\{X = x\}$؛ ويحوّل جمع بالرزم ثان المقدار $\sum_y y\,\P(Y = y)$ إلى $\sum_x f(x)\,\P(X = x)$، إذ ترزم الرزم الآن القيم $x$ بحسب صورتها $f(x)$، مع تكافؤ القابلية للجمع المطلقة لإحدى العائلتين مع القابلية للجمع المطلقة للأخرى. ∎ **مبرهنة 22.8 (خواص الأمل الرياضي).** على مجموعة [المتغيرات العشوائية](#def-b2-randomvar-law) التي تقبل أملا رياضيا: 1. (الخطية) $\E(aX + bY) = a\,\E(X) + b\,\E(Y)$ . 2. (الموجبية والرتابة) $X \geq 0 \Rightarrow \E(X) \geq 0$ ؛ $X \leq Y \Rightarrow \E(X) \leq \E(Y)$ ؛ و $\abs{\E(X)} \leq \E(\abs X)$ . 3. (الهيمنة) إذا كان $\abs X \leq Z$ وكان $Z$ يقبل أملا رياضيا، فكذلك $X$ . **برهان.** كلها خواص لمجاميع العائلات [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)): خطية المجموع، والموجبية حدا حدا، ومحك الهيمنة من أجل القابلية للجمع. (ولاحظ أن الخطية فورية على *التعريف* على $\Omega$، بينما كانت ستكون محرجة على صيغة النقل — وهي إحدى فوائد تعريف $\E$ في الأعلى.) ∎ **مثال 22.9.** $X \sim \mathcal{B}(n, p)$: بكتابة $X = X_1 + \dots + X_n$ مجموعا لدوال برنولي المميزة وباستعمال الخطية، $\E(X) = np$ — دون حاجة إلى أي معاملات ثنائية الحد. $X \sim \mathcal{G}(p)$: $\E(X) = \sum_{k\geq1}k(1-p)^{k-1}p = p\cdot\frac{1}{(1 - (1-p))^2} = \frac1p$، بمفاضلة المتسلسلة الهندسية داخل قرصها ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)). $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$: $\E(X) = \sum_{k\geq1}k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda$. **مثال 22.10 (النقل في العمل).** من أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$، احسب $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — فقانون $\frac1{1+X}$ نفسه محرج، لكن مبرهنة النقل لا تطلبه أبدا: $$ \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} . $$ ودرسان. حسابيا: التعرف على متسلسلة أسية مزاحة هو العمل كله — فمبرهنة النقل تختزل آمال $f(X)$ إلى معالجة متسلسلات. وبنيويا: القيمة الساذجة بالتعويض ستكون $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$، والجواب الحقيقي أكبر، $$ \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda}, $$ تماما كما تقتضي متراجحة جنسن من أجل الدالة المحدبة $t \mapsto \frac1{1+t}$. فآمال الصور المحدبة تقع فوق القيمة الساذجة بالتعويض، وتجعل مبرهنة النقل مع تحقق من متسلسلة المتراجحة المجردة ملموسة. **مبرهنة 22.11 (الاستقلال والجداءات).** يكون المتغيران العشوائيان $X, Y$ *مستقلين* إذا كان $\P(X = x, Y = y) = \P(X = x)\P(Y = y)$ من أجل كل $x, y$ — وبصورة مكافئة، إذا كان الحدثان $\{X \in A\}$ و$\{Y \in B\}$ مستقلين من أجل كل $A, B$. وإذا كان $X$ و$Y$ متغيرين حقيقيين مستقلين يقبلان أملا رياضيا، فإن $XY$ يقبل أملا رياضيا و $$ \E(XY) = \E(X)\,\E(Y) . $$ **برهان.** ينتج تكافؤ الصياغتين بالجمع النقطي للمتطابقة على $(x, y) \in A \times B$ (بالجمعية $\sigma$ مرتين). أما الجداء: فالعائلة المزدوجة $\bigl(xy\,\P(X = x)\P(Y = y)\bigr)_{(x,y)}$ [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable)، لأنه بحسب مبرهنة فوبيني من أجل العائلات ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)) $$ \sum_{x, y}\abs x \abs y\,\P(X{=}x)\P(Y{=}y) = \Bigl(\sum_x \abs x \P(X{=}x)\Bigr) \Bigl(\sum_y \abs y \P(Y{=}y)\Bigr) < \infty ; $$ وبالاستقلال تكون هذه العائلة بالضبط $\bigl(xy\,\P(X = x, Y = y)\bigr)$، ومجموعها $\E(XY)$ بمبرهنة النقل مطبقة على المتغير $(X, Y) \mapsto xy$؛ وتقوّم مبرهنة فوبيني من جديد المجموع غير الموقّع بالجداء $\E(X)\E(Y)$. ∎ **مثال 22.12 (الجداءات، مع الاستقلال وبدونه).** نرمي نردين متزنين. فإذا كان $Y$ هو النرد الثاني (المستقل عن الأول)، فإن $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. أما إذا كان $Y = X$ (أي “جداء” نرد بنفسه)، $$ \E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 : $$ فالقانونان الحديان أنفسهما في السيناريوهين، لكن القانونين المشتركين مختلفان، وآملا الجداء مختلفان. والعبرة، وهي جديرة بأن تُنقش: أن $\E(XY)$ دالة تخص *الزوج*، لا القانونين الحديين — والفرق $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ هو بالضبط، بحسب كونيغ–هويغنز، [تباين](#def-b2-randomvar-variance) $\frac{35}{12}$ النرد. ## 22.3 التباين والتغاير والمتراجحات الكلاسيكية **تعريف 22.13 (العزوم والتباين).** نقول إن $X$ يقبل *عزما من الرتبة 2* إذا كان $X^2$ يقبل أملا رياضيا (وعندئذ يقبله $X$ أيضا، بالهيمنة: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$). وعندئذ يكون *تباينه* و*انحرافه المعياري* $$ V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} , $$ (والصيغة الثانية — وهي صيغة *كونيغ–هويغنز* — بنشر المربع واستعمال الخطية: $$ \E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 , $$ مع كون الحد الأوسط ناتجا عن كون $\E X$ ثابتا). ومن أجل $X, Y$ ذوي عزوم من الرتبة الثانية، يكون *التغاير* $$ \operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) . $$ **مبرهنة 22.14 (عدة التباين).** من أجل المتغيرات ذات العزوم من الرتبة الثانية: 1. $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ ؛ 2. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$، وبوجه أعم $$V\Bigl(\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n V(X_i) + 2\sum_{i < j}\operatorname{Cov}(X_i, X_j) ;$$ 3. إذا كان $X, Y$ مستقلين، فإن $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ (والعكس غير صحيح)، ومنه فإن تباينات المتغيرات المستقلة تُجمع. **برهان.** البندان *1* و*2* نشران لمربعات مع الخطية؛ وللجداءات $X_iX_j$ آمال رياضية بحكم متراجحة كوشي–شوارتز أدناه (أو بحكم $\abs{X_iX_j} \leq \frac{X_i^2 + X_j^2}{2}$). والبند *3* هو [المبرهنة 22.11](#thm-b2-randomvar-product) مطبقا على المتغيرين المركزيين. ومثال مضاد قياسي للعكس: $X$ منتظم على $\{-1, 0, 1\}$ و$Y = X^2$ غير مترابطين ($\E(XY) = \E(X^3) = 0 = \E X \cdot \E Y$) لكنهما متعلقان بوضوح. ∎ **مبرهنة 22.15 (متراجحتا ماركوف وتشيبيشيف).** 1. (ماركوف) إذا كان $X \geq 0$ يقبل أملا رياضيا، فإن من أجل كل $a > 0$: $$\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a} .$$ 2. (تشيبيشيف) إذا كان $X$ يقبل عزما من الرتبة الثانية، فإن من أجل كل $\varepsilon > 0$: $$\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{V(X)}{\varepsilon^2} .$$ **برهان.** *1.* نقطيا، $a\,\mathbf{1}_{X \geq a} \leq X$ (فعلى [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) يكون الطرف الأيسر $a \leq X$؛ وخارجه $0 \leq X$). وبأخذ الآمال: $a\,\P(X \geq a) \leq \E(X)$ بالرتابة و$\E(\mathbf{1}_A) = \P(A)$. *2.* نطبق متراجحة ماركوف على المتغير الموجب $(X - \E X)^2$ عند المستوى $a = \varepsilon^2$: [فالحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\{(X - \E X)^2 \geq \varepsilon^2\}$ هو بالضبط $\{\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\}$. ∎ **مثال 22.16 (غير مترابطين لكن ملتصقين).** نرمي نردين متزنين، $X$ و$Y$ مستقلين، ونضع $S = X + Y$، $D = X - Y$. وبثنائية خطية [التغاير](#def-b2-randomvar-variance)، $$ \operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 : $$ فالمجموع والفرق غير مترابطين. فهل هما مستقلان؟ قطعا لا: إذ يفرض $S = 12$ أن $D = 0$، بينما $\P(D = 0) = \frac16$ دون شرط. فالترابط لا يختبر إلا الجزء *الخطي* من التعلق؛ وهنا يحمل التعلقَ القيدُ القائل إن $S$ و$D$ لهما الزوجية نفسها، وهو غير مرئي [للتغاير](#def-b2-randomvar-variance). (ومن أجل هذا الزوج، احتاج انعدام [التغاير](#def-b2-randomvar-variance) إلى $V(X) = V(Y)$: فالتوزيعان المتطابقان، لا الاستقلال، هما اللذان أنجزا العمل.) **مثال 22.17 (متى تكون متراجحة ماركوف مساواة).** تكون متراجحة ماركوف مساواة بالضبط عندما لا يُهدر شيء في الحصر $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$: أي عندما لا يأخذ المتغير إلا القيمتين $0$ و$a$. وبصورة ملموسة، إذا كان $\P(X = a) = \pi$ و$\P(X = 0) = 1 - \pi$، فإن $\E(X) = a\pi$ و $$ \P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} . $$ وقراءة واقعية: ففي مجتمع متوسط الثروة فيه $100$ والثروة إما $0$ وإما $10^6$، تكون نسبة أصحاب الملايين هي $10^{-4}$ بالضبط — أي حصر ماركوف، مبلوغا بالضبط بمتراجحة قصوى. وكلما انتشر $X$ على قيم وسيطة كان الحصر تاما، وغالبا بفارق هائل؛ لكن كما تبين الحالة الحدية، لا يمكن استخراج متراجحة أفضل من المتوسط وحده. **مثال 22.18 (متراجحة تشيبيشيف أمثلية — دون فرضيات إضافية).** نثبّت $\varepsilon > 0$، $q \in \intoc01$، ونجعل $X$ يأخذ القيمتين $\pm\varepsilon$ باحتمال $\frac q2$ لكل منهما و$0$ باحتمال $1 - q$. عندئذ $\E(X) = 0$، $V(X) = q\varepsilon^2$، و $$ \P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} : $$ أي التساوي في متراجحة تشيبيشيف. ومنه فلا يمكن تحسين المتراجحة باستعمال [التباين](#def-b2-randomvar-variance) وحده — فالتلاشي $1/\varepsilon^2$ هو الثمن المضبوط لمعلومة العزم من الرتبة الثانية. أما التلاشي الأسرع فيتطلب فرضيات أقوى: فحصر المتغير يشتري تركيزا *أسيا*، كما يستعرض [التمرين 22.7](#exo-b2-randomvar-7) وكما تطوره مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل منهجيا. **مبرهنة 22.19 (كوشي–شوارتز وجنسن).** 1. (كوشي–شوارتز) إذا كان للمتغيرين $X, Y$ عزمان من الرتبة الثانية، فإن $XY$ يقبل أملا رياضيا و $\E(XY)^2 \leq \E(X^2)\,\E(Y^2)$ ؛ ومنه $\operatorname{Cov}(X,Y)^2 \leq V(X)V(Y)$ . 2. (جنسن) إذا كانت $\varphi \colon I \to \R$ محدبة على فترة تحوي $X(\Omega)$، وكان $X$ و$\varphi(X)$ يقبلان أملين رياضيين، فإن $$\varphi\bigl(\E(X)\bigr) \leq \E\bigl(\varphi(X)\bigr) .$$ **برهان.** *1.* قابلية جمع $XY$: $\abs{XY} \leq \frac{X^2 + Y^2}2$. والتطبيق $(X, Y) \mapsto \E(XY)$ صورة ثنائية الخطية متناظرة موجبة على فضاء المتغيرات ذات العزوم من الرتبة الثانية، ومنه تنطبق متراجحة كوشي–شوارتز المجردة في [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/12-quadratic-forms#ch-b2-quadratic) (فالصورة *شبه* المعرَّفة الموجبة تكفي من أجل المتراجحة). وتطبيقها على المتغيرين المركزيين يعطي حصر [التغاير](#def-b2-randomvar-variance). *2.* أولا، يقع $m = \E(X)$ في $I$: فالفترة $I$ تحوي جميع قيم $X$، [والأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) رتيب، ومنه فإن $m$ بين $\inf X(\Omega)$ و$\sup X(\Omega)$. وبمبرهنة المستقيم المساند من أجل الدوال المحدبة ([الفصل 8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun))، يوجد $\alpha, \beta$ يحقق $\varphi(t) \geq \alpha t + \beta$ من أجل كل $t \in I$ و$\varphi(m) = \alpha m + \beta$. وعندئذ، نقطيا على $\Omega$، $\varphi(X) \geq \alpha X + \beta$؛ وبأخذ الآمال، $$ \E\bigl(\varphi(X)\bigr) \geq \alpha\,\E(X) + \beta = \varphi\bigl(\E(X)\bigr). \qedhere $$ ∎ **مثال 22.20.** تعطي متراجحة جنسن مع $\varphi(t) = t^2$ المقدار $\E(X)^2 \leq \E(X^2)$ — أي موجبية [التباين](#def-b2-randomvar-variance)؛ ومع $\varphi(t) = 1/t$ على $\intoo{0}{\infty}$: $\frac{1}{\E X} \leq \E\bigl(\frac1X\bigr)$ — أي إن المتوسط التوافقي دون المتوسط الحسابي، في صيغة عشوائية الآن. **ملاحظة 22.21 (مزالق شائعة).** (1) $\E(XY) = \E(X)\E(Y)$ *يقتضي* الاستقلال (أو على الأقل انعدام [التغاير](#def-b2-randomvar-variance)): فأخذ $Y = X$ يعطي $\E(X^2) \neq \E(X)^2$ كلما كان $V(X) > 0$. (2) وبالمثل $V(X + X) = 4V(X)$، لا $2V(X)$: فالتباينات لا تُجمع إلا على الحدود المستقلة (أو غير المترابطة). (3) وليس $\E(f(X))$ هو $f(\E(X))$؛ ومن أجل $f$ محدبة تخبرك متراجحة جنسن حتى باتجاه الخطأ، كما في [المثال 22.10](#ex-b2-randomvar-transferex). (4) والوجود فرضية حقيقية: فمن أجل متغير سان بطرسبورغ $X = 2^K$ مع $\P(K = k) = 2^{-k}$ ($k \geq 1$)، $$ \sum_{k\geq1}2^k\cdot2^{-k} = \sum_{k\geq1}1 = \infty : $$ يكون $X$ منتهيا بشكل شبه أكيد ومع ذلك لا يقبل أملا رياضيا، ولا يوجد ثمن دخول عادل للعبة. فالقابلية للجمع في تعريف $\E$ ليست تنطعا في مسك الحسابات — بل هي حيث تُكتشف الذيول الثقيلة. (5) وأخيرا، تحتاج مبرهنة النقل إلى القابلية للجمع *المطلقة* قبل أن تكون أي إعادة ترتيب للمجموع على القيم مشروعة ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)). **مثال 22.22 (تشيبيشيف على مائة رمية).** من أجل $X \sim \mathcal B(100, \frac12)$: $\E X = 50$، $V(X) = 25$. وتشيبيشيف مع $\varepsilon = 6$: $$ \P(45 \leq X \leq 55) = \P(\abs{X - 50} < 6) \geq 1 - \frac{25}{36} \approx 0.31 , $$ بينما يعطي المجموع الثنائي المضبوط $\approx 0.73$. فالمقدار المضمون $31\%$ بعيد عن الحقيقة، لكنه لم يتطلب *إلا* المتوسط [والتباين](#def-b2-randomvar-variance) — فالشهادة نفسها تنطبق حرفيا على أي متغير له $\E = 50$ و$V = 25$، مهما يكن غريبا، ويبين [المثال 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) أن متغيرا من هذا النوع يشبعها. فللشمولية ثمن؛ وعندما يكون [التوزيع](#def-b2-randomvar-law) ثنائي الحد فعلا، تغلق الأدوات الأسية في مسألة نهاية الأسبوع معظم الفجوة. **مثال 22.23 (ترابط الجزء مع الكل).** من أجل متغيرات $X, Y$ مستقلة ومتماثلة [التوزيع](#def-b2-randomvar-law) تباينها $\sigma^2 > 0$، ما مقدار ترابط أحد الحدود مع المجموع $S = X + Y$؟ نحسب $$ \operatorname{Cov}(X, S) = \operatorname{Cov}(X, X) + \operatorname{Cov}(X, Y) = \sigma^2 + 0 = \sigma^2, \qquad V(S) = 2\sigma^2, $$ ومنه فإن معامل الترابط هو $$ \rho(X, S) = \frac{\operatorname{Cov}(X, S)}{\sigma(X)\,\sigma(S)} = \frac{\sigma^2}{\sigma\cdot\sigma\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707 , $$ مهما يكن القانون المشترك — نردا أو قطعة نقود أو عدود بواسون. ومع $n$ حدا يعطي الحساب نفسه $\rho(X_1, S_n) = 1/\sqrt n$: فتأثير كل حد مفرد على المجموع يتخفف كجذر تربيعي، وهو الظل الترابطي للسلّم $\sqrt n$ للتقلبات. وتضمن متراجحة كوشي–شوارتز $\abs\rho \leq 1$ دائما؛ وهنا يُبلغ الحصر بالضبط في الحالة المنحلة $n = 1$ ويتلاشى على نحو متوقع بعدها. **مثال 22.24 (متراجحة المتوسطين الموزونة من جنسن).** ليكن $Y$ يأخذ القيم الموجبة $a_1, \dots, a_k$ بالاحتمالات $\lambda_1, \dots, \lambda_k$. والدالة $-\ln$ محدبة على $\intoo0\infty$، ومنه تعطي متراجحة جنسن $-\ln\E(Y) \leq \E(-\ln Y)$، أي $$ a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_k^{\lambda_k} \;\leq\; \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dots + \lambda_ka_k : $$ وهي متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي الموزونة، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $Y$ ثابتا. والأوزان المتساوية $\lambda_i = \frac1k$ تستعيد متراجحة المتوسطين الكلاسيكية. وهكذا برهنت الاحتمالات بصمت على مبرهنة جبرية محضة: فاختيار قانون احتمال ليس إلا أداة لمسك حسابات التوليفات المحدبة — أي وجهة نظر مراكز الثقل في [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/17-affine-spaces#ch-b2-affine) مرة أخرى، مع جنسن محركا هذه المرة. ## 22.4 القانون الضعيف للأعداد الكبيرة **مبرهنة 22.25 (القانون الضعيف للأعداد الكبيرة).** لتكن $(X_k)_{k \geq 1}$ متغيرات عشوائية مستقلة مثنى مثنى لها القانون نفسه وتقبل عزما من الرتبة الثانية؛ ونكتب $m = \E(X_1)$ و$S_n = X_1 + \dots + X_n$. عندئذ، من أجل كل $\varepsilon > 0$: $$ \P\Bigl(\,\Bigl|\frac{S_n}{n} - m\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) \;\leq\; \frac{V(X_1)}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 . $$ **برهان.** بالخطية $\E(S_n/n) = m$؛ وبحسب [المبرهنة 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules) (فالاستقلال مثنى مثنى يقتل التغايرات) $V(S_n) = n\,V(X_1)$، ومنه $V(S_n/n) = V(X_1)/n$. وتعطي متراجحة تشيبيشيف مطبقة على $S_n/n$ الحصر. ∎ **ملاحظة 22.26.** هذه هي المبرهنة التي تربط الاحتمال بالتواتر: فإذا كان $X_k$ الدالة المميزة [لحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $A$ في تكرارات مستقلة، كان $S_n/n$ هو التواتر الملاحظ [للحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $A$، ويقول قانون الأعداد الكبيرة إنه يتركز حول $\P(A)$ بمعدل $\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$. أما القانون *القوي* ($S_n/n \to m$ بشكل شبه أكيد) فمبرهنة من السنة الثالثة — غير أن برهانه من أجل العزوم من الرتبة الرابعة في المتناول: انظر [التمرين 22.9](#exo-b2-randomvar-9)، الذي يشغّل بوريل–كانتيلي على حصر من نوع تشيبيشيف. وقد شغّل التقدير التشيبيشيفي نفسه برهان [كثيرات حدود برنشتاين](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-weierstrass) لمبرهنة فايرشتراس في التقريب في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) — فمبرهنة العدّ هناك *كانت* القانون الضعيف للأعداد الكبيرة متنكرا. **مثال 22.27 (جمع خمسين قسيمة).** جامع القسائم في [التمرين 22.3](#exo-b2-randomvar-3) مع $n = 50$ لعبة متمايزة: فالعدد الكلي المتوقع هو $$ \E(T_{50}) = 50\,H_{50} = 50\sum_{k=1}^{50}\frac1k \approx 50 \times 4.499 \approx 225 $$ علبة — أي أربع مرات ونصف التخمين الساذج $50$. والنمو التوافقي هو القصة كلها: فاللعب $25$ الأولى تصل في نحو $50\ln2 \approx 35$ علبة، بينما تكلف اللعبة *الأخيرة* وحدها $50$ علبة وسطيا (وهو انتظار هندسي بالوسيط $\frac1{50}$). فمسائل الإكمال يهيمن عليها شوطها الأخير، ولهذا يجد [التمرين 22.12](#exo-b2-randomvar-12) تقلبات من رتبة $n$ — أي حجم ذلك الانتظار الهندسي الأخير — حول المتوسط $n\ln n$. **مثال 22.28 (كم يجب أن يكون nnn كبيرا؟).** لتثبيت التواتر الملاحظ ضمن $\varepsilon = 0.01$ من $\P(A)$ بثقة $95\%$، يقتضي حصر تشيبيشيف $$ \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2} \leq 0.05, \qquad\text{أي}\qquad n \geq \frac{1}{4\cdot0.05\cdot(0.01)^2} = 50\,000 . $$ والتعلق وحشي بالنسبة إلى $\varepsilon$ (تربيعي)، ولطيف بالنسبة إلى الثقة (خطي بدلالة $1/\alpha$). وكلتا الخاصيتين خاصية *للحصر* لا للحقيقة: فمتراجحات مسألة نهاية الأسبوع الأسية تخفض ثمن الثقة من $1/\alpha$ إلى $\ln(1/\alpha)$ — فالمواصفة نفسها ستكلف نحو $18\,500$ عينة هناك — بينما السلّم $1/\varepsilon^2$ حقيقي ولا يمكن تحسينه. ومعرفة أي جزء من الحصر مرتخ لا تقل فائدة عن الحصر نفسه. ![قانون الأعداد الكبيرة في صورة: يحافظ قانون S_n/n (المرسوم تخطيطيا) على مركزه m لكنه يضيق مع نمو n، ومنه يتقلص احتمال الوقوع خارج النطاق (m- , m+ ) — أي الذيلين — إلى الصفر. وتحصر متراجحة تشيبيشيف الذيلين بالمقدار V(X_1)/(n 2)؛ وتبين مسألة نهاية الأسبوع أنهما في الواقع صغيران أسيا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-randomvar/fig-4f17b5f6a02d.svg) *قانون الأعداد الكبيرة في صورة: يحافظ قانون $S_n/n$ (المرسوم تخطيطيا) على مركزه $m$ لكنه يضيق مع نمو $n$، ومنه يتقلص احتمال الوقوع خارج النطاق $\intcc{m-\varepsilon}{m+\varepsilon}$ — أي الذيلين — إلى الصفر. وتحصر متراجحة تشيبيشيف الذيلين بالمقدار $V(X_1)/(n\varepsilon^2)$؛ وتبين مسألة نهاية الأسبوع أنهما في الواقع صغيران أسيا.* **ملاحظة 22.29 (آفاق داخل هذا المجلد).** إلى الأمام، يغذي كل ما هنا [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun): [فالأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) $\E(t^X)$ لدالة ماكرة واحدة للمتغير $X$ يحزم القانون كله في متسلسلة قوى، وتصير العزوم مشتقات عند $1$، وتحمل متطابقات من نوع فالد من أجل المجاميع العشوائية نظرية مسارات التفرع؛ وتصير مبرهنة الجداء من أجل المتغيرات المستقلة ضربية الدوال المولّدة. وإلى الخلف، [الأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) مركز ثقل بأوزان احتمالية ([الفصل 17](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/17-affine-spaces#ch-b2-affine))، ومتراجحة جنسن هي هندسة المستقيم المساند للدوال المحدبة ([الفصل 8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun))، وطريقة العزوم الأسية في مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل هي متراجحة ماركوف مطبقة على $\eu^{tX}$ — متراجحة واحدة، مرتقية بتغيير متغير واحد جيد، تمتد على ثلاثة فصول. ## 22.5 تمارين **تمرين 22.1 ★.** احسب $\E(X)$ و$V(X)$ من أجل $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (عبر الدوال المميزة)، ومن أجل $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ (بيّن $V(X) = \lambda$)، ومن أجل $X \sim \mathcal{G}(p)$ (بيّن $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$؛ واستعمل $\E(X(X-1))$ والمشتقة الثانية للمتسلسلة الهندسية). **حل التمرين 22.1.** *ثنائي الحد:* $X = \sum_{i=1}^n X_i$ بمتغيرات برنولي مستقلة $X_i$؛ و$V(X_i) = \E(X_i^2) - \E(X_i)^2 = p - p^2$، وتباينات المتغيرات المستقلة تُجمع ([المبرهنة 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)): $$ \E(X) = np, \qquad V(X) = np(1-p) . $$ *بواسون:* $\E\bigl(X(X-1)\bigr) = \sum_{k\geq2}k(k-1)e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{j\geq0}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda^2$، ومنه $$ V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda . $$ *الهندسي* ($q = 1 - p$): بمفاضلة $\sum_{k\geq0}q^k = \frac{1}{1-q}$ مرتين داخل القرص ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))، $\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$، ومنه $$ \E\bigl(X(X-1)\bigr) = pq\sum_{k\geq2}k(k-1)q^{k-2} = \frac{2q}{p^2}, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1-p}{p^2} . $$ **تمرين 22.2 ★.** ليكن $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ و$Y \sim \mathcal{P}(\mu)$ مستقلين. بيّن أن $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ (وهو التفاف الأوزان؛ بمبرهنة ذات الحدين)، وأن القانون الشرطي للمتغير $X$ علما [بالحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $X + Y = n$ هو القانون الثنائي $\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\bigr)$. **حل التمرين 22.2.** *المجموع:* من أجل $n \in \N$، بالانفصال والاستقلال، $$ \P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k) = e^{-(\lambda + \mu)}\frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k\mu^{n-k} = e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda + \mu)^n}{n!} $$ بمبرهنة ذات الحدين: $X + Y \sim \mathcal{P}(\lambda + \mu)$. *القانون الشرطي:* من أجل $0 \leq k \leq n$، $$ \P(X = k \mid X + Y = n) = \frac{\P(X = k)\P(Y = n - k)}{\P(X + Y = n)} = \binom nk \Bigl(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\Bigr)^{k} \Bigl(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\Bigr)^{n-k} , $$ أي القانون الثنائي $\mathcal{B}\bigl(n, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\bigr)$: فعلما بالعدد الكلي، “يختار” كل [حدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) المصدر الأول مستقلا باحتمال يتناسب مع معدله. **تمرين 22.3 ★.** (جامع القسائم، [الأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation)) تخفي علامة حبوب واحدة من $n$ لعبة متمايزة، بانتظام، في كل علبة. وليكن $T_n$ عدد العلب اللازمة لجمع اللعب $n$ كلها. بكتابة $T_n$ مجموعا لمتغيرات هندسية مستقلة (وهي زمن رؤية لعبة *جديدة* عندما لا تزال $k$ لعبة ناقصة)، بيّن $$ \E(T_n) = n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sim n\ln n $$ (وهو مكافئ بمقارنة المتسلسلة بالتكامل في [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison)). **حل التمرين 22.3.** عندما تكون $k$ لعبة لا تزال ناقصة، تجلب كل علبة جديدة لعبة جديدة باحتمال $\frac kn$، مستقلا عن الماضي: فزمن الانتظار $W_k$ للعبة الجديدة التالية هندسي $\mathcal{G}\bigl(\frac kn\bigr)$، مع $\E(W_k) = \frac nk$، و$T_n = W_n + W_{n-1} + \dots + W_1$ (فالعلبة الأولى تعطي دائما لعبة جديدة: $W_n = 1$، بانسجام مع $\E = n/n$). وبالخطية، $$ \E(T_n) = \sum_{k=1}^n \frac nk = n\sum_{k=1}^n\frac1k \sim n\ln n , $$ باستعمال $\sum_{k\leq n}\frac1k = \ln n + \gamma + o(1)$ ([الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison)). فجمع اللعب الأخيرة هو ما يكلف: إذ يذهب نصف العلب إلى الحفنة الأخيرة. **تمرين 22.4 ★★.** ليكن $X \geq 0$ ذا قيم صحيحة. برهن على *صيغة الذيل* $$ \E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} \P(X \geq n) $$ (عندما يكون أحد الطرفين منتهيا)، بكتابة $X = \sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}$ وتبديل ترتيب الجمع (مبرهنة فوبيني من أجل العائلات الموجبة). واستعد $\E(X) = \frac1p$ من أجل القانون الهندسي. **حل التمرين 22.4.** نقطيا، $X(\omega) = \#\{n \geq 1 : X(\omega) \geq n\} = \sum_{n\geq1}\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)$. والعائلة المزدوجة $\bigl(\mathbf{1}_{X \geq n}(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{n, \omega}$ موجبة، ومنه تنطبق مبرهنة فوبيني من أجل العائلات ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)) دون شرط: فالجمع بدلالة $n$ أولا يعطي $\E(X)$، والجمع بدلالة $\omega$ أولا يعطي $\sum_n \P(X \geq n)$؛ والمقداران منتهيان معا ومتساويان. ومن أجل $X \sim \mathcal{G}(p)$: $\P(X \geq n) = q^{n-1}$ ($q = 1-p$)، ومنه $\E(X) = \sum_{n\geq1}q^{n-1} = \frac{1}{1 - q} = \frac1p$. **تمرين 22.5 ★★.** (المعاينة دون إرجاع أشد تركيزا) تحوي جرة $N$ كرة، منها $M$ بيضاء. نسحب $n \leq N$ دون إرجاع ونجعل $X$ يعد البيضاوات (وهو القانون *فوق الهندسي*). باستعمال الدوال المميزة $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ مع $Y_i$ السحبة رقم $i$: بيّن أن كل $Y_i$ برنولي بالوسيط $p = M/N$ (بالتناظر!)، واستنتج $\E(X) = np$ تماما كما في حالة الإرجاع، وبيّن $\operatorname{Cov}(Y_i, Y_j) = -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0$ من أجل $i \neq j$، ومنه $V(X) = np(1-p)\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p)$. **حل التمرين 22.5.** *التناظر:* الكرة رقم $i$ المسحوبة كرة منتظمة عشوائية من الجرة (فلكل كرة من الكرات $N$ الاحتمال نفسه في أن تحط في الموضع $i$ من ترتيب السحب)، ومنه $\P(Y_i = 1) = \frac MN = p$ و$\E(X) = np$ بالخطية — دون حاجة إلى أي استقلال. *[التغاير](#def-b2-randomvar-variance):* من أجل $i \neq j$، $\E(Y_iY_j) = \P(\text{السحبتان } i, j \text{ بيضاوان معا}) = \frac{M(M-1)}{N(N-1)}$ (فأزواج المواضع المتمايزة المرتبة تحصل على أزواج مرتبة من الكرات المتمايزة، بانتظام). ومنه $$ \operatorname{Cov}(Y_i, Y_j) = \frac{M(M-1)}{N(N-1)} - \frac{M^2}{N^2} = \frac{M(N - M)}{N^2}\cdot\frac{-1}{N-1} = -\frac{p(1-p)}{N-1} < 0 : $$ فسحب كرة بيضاء يجعل البيضاوات أندر من أجل السحبات الأخرى. وبحسب [المبرهنة 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules)، $$ V(X) = np(1-p) + n(n-1)\Bigl(-\frac{p(1-p)}{N-1}\Bigr) = np(1-p)\,\frac{N - n}{N - 1} \leq np(1-p) : $$ فللمعاينة دون إرجاع المتوسط نفسه لكن تباينها *أصغر* من [تباين](#def-b2-randomvar-variance) المعاينة مع الإرجاع (مع التساوي من أجل $n = 1$ وحده)، إذ تعمل الترابطات السالبة مثبِّتا. ومن أجل $n = N$ ينعدم [التباين](#def-b2-randomvar-variance): فالعدد حتمي عندئذ. **تمرين 22.6 ★★.** ليكن $X$ ذا عزم من الرتبة الثانية. بيّن أن $c \mapsto \E\bigl((X - c)^2\bigr)$ أصغري بالضبط عند $c = \E(X)$، وأن قيمته الصغرى $V(X)$. ثم بيّن أن $\P(X = \E(X)) = 1$ إذا وفقط إذا كان $V(X) = 0$. *(من أجل النقطة الثانية: إذا كان $V(X) = 0$، فاستعمل متراجحة تشيبيشيف مع $\varepsilon = 1/n$ والاتصال الرتيب، [المبرهنة 21.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-continuity).)* **حل التمرين 22.6.** بالنشر حول $m = \E(X)$: $$ \E\bigl((X - c)^2\bigr) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) + 2(m - c)\,\E(X - m) + (m - c)^2 = V(X) + (m - c)^2 , $$ وهو أصغري بالضبط عند $c = m$ بالقيمة $V(X)$ — [فالأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) هو أفضل متنبئ ثابت بالمعنى التربيعي المتوسط. فإذا كان $\P(X = m) = 1$، انعدم $(X - m)^2$ باحتمال $1$، ومنه $V(X) = 0$ (فحدود العائلة المعرِّفة معدومة إلا على مجموعة معدومة). وبالعكس، إذا كان $V(X) = 0$، أعطت متراجحة تشيبيشيف ([المبرهنة 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) المقدار $\P\bigl(\abs{X - m} \geq \frac1n\bigr) \leq n^2\,V(X) = 0$ من أجل كل $n$؛ [والأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\bigl\{\abs{X - m} \geq \frac1n\bigr\}$ متزايدة نحو $\{X \neq m\}$، ومنه يعطي الاتصال الرتيب ([المبرهنة 21.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-continuity)) المقدار $\P(X \neq m) = 0$. **تمرين 22.7 ★★★.** (التركيز يتفوق على ماركوف) ليكن $S_n \sim \mathcal{B}(n, \frac12)$ (أي عدد الصور في $n$ رمية متزنة). قارن بين الحصور التي تعطيها متراجحة ماركوف ($\P(S_n \geq \frac{3n}{4})$)، ومتراجحة تشيبيشيف، والطريقة الأسية (تشيرنوف): $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \E\bigl(e^{tS_n}\bigr)e^{-3nt/4} = \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4} \quad (t > 0), $$ وأمثل $t$ للحصول على حصر صغير أسيا. *(عند $t = \ln 3$: احصر $\bigl(2\cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx (0.877)^n$.)* **حل التمرين 22.7.** $\E(S_n) = \frac n2$ و$V(S_n) = \frac n4$. *ماركوف:* $\P\bigl(S_n \geq \frac{3n}4\bigr) \leq \frac{n/2}{3n/4} = \frac23$ — وهو حصر ثابت، عديم الفائدة من أجل $n$ الكبيرة. *تشيبيشيف:* يستلزم [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\abs{S_n - \frac n2} \geq \frac n4$، ومنه فالاحتمال $\leq \frac{n/4}{(n/4)^2} = \frac4n$ — فهو يتلاشى، لكن كثير حدود فقط. *تشيرنوف:* بالاستقلال، $\E(e^{tS_n}) = \prod_{i=1}^n\E(e^{tX_i}) = \bigl(\frac{1 + e^t}{2}\bigr)^n$، وتعطي متراجحة ماركوف مطبقة على $e^{tS_n} \geq e^{3nt/4}$، من أجل كل $t > 0$، $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \Bigl(\frac{1 + e^t}{2}\Bigr)^n e^{-3nt/4} = \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 + e^t}{2} - \tfrac{3t}4\bigr)\Bigr). $$ ونصغّر الأسّ: $\frac{\dd}{\dd t}\ln\frac{1+e^t}{2} = \frac{e^t}{1 + e^t} = \frac34$ عند $e^t = 3$، أي $t = \ln 3$، وهو ما يعطي $$ \P\Bigl(S_n \geq \frac{3n}4\Bigr) \leq \Bigl(\frac{4}{2}\Bigr)^n 3^{-3n/4} = \bigl(2 \cdot 3^{-3/4}\bigr)^n \approx (0.877)^n , $$ أي صغيرا أسيا. والتدرج ماركوف $\to$ تشيبيشيف $\to$ تشيرنوف هو السلّم القياسي: فكل درجة تطبق متراجحة ماركوف على دالة أسرع نموا للمتغير. **تمرين 22.8 ★★★.** (فايرشتراس من جديد، احتماليا) لتكن $f \colon [0,1] \to \R$ متصلة وليكن $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$. بيّن أن كثير حدود برنشتاين $B_nf(x) = \sum_{k=0}^n f\bigl(\frac kn\bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ يساوي $\E\bigl[f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)\bigr]$، وأعد اشتقاق التقدير $\abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \omega_f(\delta) + \frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2}$ في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq) بهذه اللغة الاحتمالية (بالتقسيم على $\bigl|\frac{S_n}{n} - x\bigr| \geq \delta$ واستعمال متراجحة تشيبيشيف). **حل التمرين 22.8.** بمبرهنة النقل ([المبرهنة 22.7](#thm-b2-randomvar-transfer)) مطبقة على $f\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr)$ مع $S_n \sim \mathcal{B}(n, x)$: $$ \E\Bigl[f\Bigl(\frac{S_n}{n}\Bigr)\Bigr] = \sum_{k=0}^n f\Bigl(\frac kn\Bigr)\binom nk x^k(1-x)^{n-k} = B_nf(x) . $$ نثبّت $\delta > 0$ ونقسم $\abs{f(S_n/n) - f(x)}$ على [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $D = \bigl\{\abs{\frac{S_n}{n} - x} \geq \delta\bigr\}$: فخارج $D$، لا يتجاوز الفرق مقياس الاتصال $\omega_f(\delta) = \sup_{\abs{s - t}\leq\delta}\abs{f(s) - f(t)}$؛ وعلى $D$، لا يتجاوز $2\norm f_\infty$. وبأخذ الآمال واستعمال متراجحة تشيبيشيف مع $V\bigl(\frac{S_n}{n}\bigr) = \frac{x(1-x)}{n} \leq \frac{1}{4n}$: $$ \abs{B_nf(x) - f(x)} \leq \E\,\abs{f(S_n/n) - f(x)} \leq \omega_f(\delta) + 2\norm f_\infty\,\P(D) \leq \omega_f(\delta) + \frac{2\norm f_\infty}{4n\delta^2} . $$ ويجعل الاتصال المنتظم للدالة $f$ على $[0, 1]$ المقدار $\omega_f(\delta) \to 0$: فنختار $\delta$ ثم $n$، ويكون $B_nf \to f$ بانتظام — وهي مبرهنة فايرشتراس في التقريب في [الفصل 10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#ch-b2-funcseq)، التي صارت “مبرهنة العد” فيها معروفة الآن بأنها متراجحة تشيبيشيف من أجل القانون الثنائي. **تمرين 22.9 ★★★.** (القانون القوي تحت عزوم من الرتبة الرابعة) لتكن $(X_k)$ مستقلة ومتماثلة [التوزيع](#def-b2-randomvar-law) ومركزية ($\E X_1 = 0$)، مع $\E(X_1^4) < \infty$. بنشر $\E(S_n^4)$ وعدّ الحدود الباقية (فقط الحدود من نوع $\E(X_i^4)$ و$\E(X_i^2X_j^2)$، $i \neq j$)، بيّن $\E(S_n^4) \leq C n^2$ من أجل ثابت $C$. واستنتج $\sum_n \P\bigl(\abs{S_n/n} \geq \varepsilon\bigr) < \infty$ من أجل كل $\varepsilon > 0$ (بمتراجحة ماركوف من الرتبة 4) واختم ببوريل–كانتيلي ([المبرهنة 21.25](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-borelcantelli)) أن $S_n/n \to 0$ بشكل شبه أكيد وفق صياغة مناسبة: أي إن احتمال [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\bigcap_{j}\bigcup_N\bigcap_{n \geq N}\{\abs{S_n/n} < \frac1j\}$ هو $1$. **حل التمرين 22.9.** ننشر $S_n^4 = \sum_{i,j,k,l}X_iX_jX_kX_l$ ونأخذ الآمال. وبالاستقلال والمركزية، ينعدم كل حد يحوي دليلا يظهر مرة واحدة بالضبط (إذ يخرج العامل $\E(X_i) = 0$). والحدود الباقية: الحدود القطرية $n$ وهي $\E(X_i^4)$، والحدود التي تزاوج زوجين من الأدلة المتساوية، $\E(X_i^2X_j^2) = \E(X_1^2)^2$ من أجل $i \neq j$، والظاهرة $3n(n-1)$ مرة: باختيار الزوج غير المرتب من القيم (بعدد $\binom n2$ طريقة)، ثم بعدد $\frac{4!}{2!\,2!} = 6$ طريقة لوضعها في الخانات الأربع — $6\binom n2 = 3n(n-1)$. ومنه، مع $\E(X_1^2)^2 \leq \E(X_1^4)$ (بمتراجحة جنسن أو كوشي–شوارتز)، $$ \E(S_n^4) = n\,\E(X_1^4) + 3n(n-1)\,\E(X_1^2)^2 \leq C n^2, \qquad C = 4\,\E(X_1^4) . $$ ومتراجحة ماركوف من الرتبة 4: $$ \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n}{n}\Bigr| \geq \varepsilon\Bigr) = \P\bigl(S_n^4 \geq n^4\varepsilon^4\bigr) \leq \frac{Cn^2}{n^4\varepsilon^4} = \frac{C}{n^2\varepsilon^4} , $$ وهي متسلسلة [قابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable). وبحسب بوريل–كانتيلي 1 ([المبرهنة 21.25](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-borelcantelli))، يكون من أجل كل $j$ احتمال [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $B_j = \limsup_n\bigl\{\abs{S_n/n} \geq \frac1j\bigr\}$ هو $0$، ومنه $\P\bigl(\bigcup_j B_j\bigr) = 0$ بالجمعية التحتية [القابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable). وعلى المتمم — ذي الاحتمال $1$ — يوجد من أجل كل $j$ عدد $N$ يحقق $\abs{S_n/n} < \frac1j$ من أجل كل $n \geq N$: وهو بالضبط $S_n/n \to 0$. فالقانون القوي للأعداد الكبيرة يتحقق تحت عزم من الرتبة الرابعة؛ أما إسقاط تلك الفرضية (مبرهنة كولموغوروف) فعمل السنة الثالثة. **تمرين 22.10 ★.** يُرمى نردان متزنان؛ وليكن $M$ الأكبر من النتيجتين. باستعمال صيغة الذيل في [التمرين 22.4](#exo-b2-randomvar-4) (بصيغتها المنتهية)، بيّن $$ \E(M) = \sum_{k=1}^{6}\P(M \geq k) = 6 - \sum_{j=0}^5\Bigl(\frac j6\Bigr)^2 = \frac{161}{36} \approx 4.47 . $$ **حل التمرين 22.10.** $\P(M \leq k) = \bigl(\frac k6\bigr)^2$ (فالنردان كلاهما لا يتجاوز $k$، بصورة مستقلة)، ومنه $\P(M \geq k) = 1 - \bigl(\frac{k-1}6\bigr)^2$ و $$ \E(M) = \sum_{k=1}^6\P(M \geq k) = 6 - \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{36} = 6 - \frac{55}{36} = \frac{161}{36} \approx 4.47 , $$ وهو يفوق بأريحية متوسط نرد واحد $3.5$، كما ينبغي لقيمة عظمى. **تمرين 22.11 ★★.** ليكن $F_n$ عدد النقط الثابتة لتبديلة منتظمة عشوائية على $\{1, \dots, n\}$ ($n \geq 2$). بكتابة $F_n = \sum_i\mathbf 1_{\sigma(i) = i}$، احسب $\E(F_n) = 1$ و$\operatorname{Cov}(\mathbf 1_{\sigma(i)=i}, \mathbf 1_{\sigma(j)=j}) = \frac1{n^2(n-1)}$ من أجل $i \neq j$، واستنتج $V(F_n) = 1$: أي إن رسالة واحدة وسطيا تبقى في مكانها، [بتباين](#def-b2-randomvar-variance) يساوي $1$ بالضبط، مهما يكن $n$. **حل التمرين 22.11.** مع $I_i = \mathbf 1_{\sigma(i) = i}$: $\P(\sigma(i) = i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac1n$، ومنه $\E(F_n) = n\cdot\frac1n = 1$. ومن أجل $i \neq j$: $\P(\sigma(i) = i, \sigma(j) = j) = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac1{n(n-1)}$، ومنه $$ \operatorname{Cov}(I_i, I_j) = \frac1{n(n-1)} - \frac1{n^2} = \frac{1}{n^2(n-1)} . $$ وبعدة [التباين](#def-b2-randomvar-variance) ([المبرهنة 22.14](#thm-b2-randomvar-variancerules))، $$ V(F_n) = n\cdot\frac1n\Bigl(1 - \frac1n\Bigr) + n(n-1)\cdot\frac1{n^2(n-1)} = 1 - \frac1n + \frac1n = 1 . $$ فالمتوسط $1$، [والتباين](#def-b2-randomvar-variance) $1$، وهما مستقلان عن $n$ — بانسجام مع نهاية بواسون في مسألة التطابقات ([التمرين 21.5](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#exo-b2-proba-5)). **تمرين 22.12 ★★★.** (جامع القسائم، التركيز) في إطار [التمرين 22.3](#exo-b2-randomvar-3)، بيّن $$ V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2} \leq n^2\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} \leq \frac{\pi^2}{6}n^2, $$ باستعمال استقلال المراحل الهندسية و$V(\mathcal G(p)) = \frac{1-p}{p^2}$ ([التمرين 22.1](#exo-b2-randomvar-1)؛ والقيمة $\pi^2/6$ هي [المثال 14.12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ex-b2-fourier-basel)). واستنتج بمتراجحة تشيبيشيف أن $\dfrac{T_n}{n\ln n} \to 1$ *بالاحتمال*: أي إن الزمن الكلي للجامع هو $n\ln n$ إلى غاية تقلبات من رتبة $n$. **حل التمرين 22.12.** $T_n = \sum_{k=1}^nG_k$ حيث $G_k \sim \mathcal G(k/n)$ هو زمن رؤية لعبة جديدة عندما تكون $k$ ناقصة، والمراحل مستقلة. ومنه $$ V(T_n) = \sum_{k=1}^n\frac{1 - k/n}{(k/n)^2} \leq \sum_{k=1}^n\frac{n^2}{k^2} \leq \frac{\pi^2}6\,n^2 , $$ بحسب [المثال 14.12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ex-b2-fourier-basel). ومع $\E(T_n) = nH_n$، $H_n = \sum_1^n\frac1k$ ([التمرين 22.3](#exo-b2-randomvar-3))، تعطي متراجحة تشيبيشيف، من أجل $\varepsilon > 0$، $$ \P\bigl(\abs{T_n - nH_n} \geq \varepsilon\,n\ln n\bigr) \leq \frac{\pi^2n^2/6}{\varepsilon^2n^2\ln^2 n} = \frac{\pi^2}{6\,\varepsilon^2\ln^2n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 . $$ وبما أن $H_n \sim \ln n$، فإن القسمة على $n\ln n$ تبين أن $T_n/(n\ln n) \to 1$ بالاحتمال: أي إن تقلبات $T_n$ من رتبة $n$، وهي مهملة أمام المتوسط $n\ln n$. ## 22.6 مسألة: عدة التركيز، من ماركوف إلى هوفدينغ **مسألة 22.1.** مسألة نهاية الأسبوع — التركيز الأسي باليد، وكم شخصا يجب أن يسأل استطلاع الرأي تكلف متراجحة ماركوف عزما واحدا وتشتري تلاشيا $1/a$؛ وتكلف متراجحة تشيبيشيف عزمين وتشتري $1/\varepsilon^2$ — ويبين [المثال 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp) أن هذا كل ما يمكن لهذين العزمين أن يشترياه. وتصعد هذه المسألة بقية السلّم: الطريقة الأسية (تشيرنوف) بمعدلها *المضبوط* من أجل رمي قطع النقود، ومتراجحة هوفدينغ من أجل جميع المتغيرات المحدودة، والعائد — أي أحجام عينات صريحة وصادقة من أجل استطلاعات الرأي، وإعلان نتائج الانتخابات، واختبار قطع النقود. وفي كل ما يلي، $S_n \sim \mathcal B(n, p)$ مجموع $n$ متغير برنولي مستقل و$\widehat p_n = S_n/n$ هو التواتر التجريبي. **الجزء الأول — المعايرة على قطعة نقود متزنة.** هنا $p = \frac12$ و$a \in \intoo{\frac12}{1}$. 1. متراجحة ماركوف عند المستوى $an$ : بيّن $\P(S_n \geq an) \leq \frac1{2a}$ ، وهو حصر لا يؤول حتى إلى $0$ . فأين تخسر متراجحة ماركوف كل هذا؟ 2. متراجحة تشيبيشيف: باستعمال تناظر القانون الثنائي المتزن حول $n/2$، بيّن $$\P(S_n \geq an) = \tfrac12\, \P\bigl(\abs{S_n - \tfrac n2} \geq n(a - \tfrac12)\bigr) \leq \frac{1}{8n(a - 1/2)^2},$$ أي $\frac2n$ عند $a = \frac34$: فتلاش كثير الحدود أخيرا. 3. (تشيرنوف، عند مستوى عام) احسب $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\frac{1 + \eu^t}2\bigr)^n$ وأمثل $\P(S_n \geq an) \leq \E(\eu^{tS_n})\eu^{-tan}$ على $t > 0$: بيّن أن القيمة المثلى $t$ هي $\ln\frac{a}{1-a}$ وأن $$\P(S_n \geq an) \leq \eu^{-n\,I(a)}, \qquad I(a) = \ln 2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a) > 0 .$$ وتحقق من أن $a = \frac34$ يستعيد الحصر $\bigl(2\cdot3^{-3/4}\bigr)^n$ في [التمرين 22.7](#exo-b2-randomvar-7). 4. (الأسّ مضبوط) ليكن $k = an$ عددا صحيحا. انطلاقا من كون $\binom nk a^k(1-a)^{n-k}$ أكبر حدود [التوزيع](#def-b2-randomvar-law) الاحتمالي وعددها $n + 1$، برهن على $\binom nk \geq \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}$ مع $H(a) = -a\ln a - (1-a)\ln(1-a)$، واستنتج الحصر السفلي المطابق $$\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n} \geq \frac{\eu^{-n\,I(a)}}{n + 1} .$$ 5. جدول الحصور الثلاثة عند $n = 100$ ، $a = \frac34$ : ماركوف $\frac23$ ، وتشيبيشيف $0.02$ ، وتشيرنوف $\approx 2.1\cdot10^{-6}$ (والقيمة الحقيقية $\approx 2.8\cdot10^{-7}$ ). والعبرة، في جملة واحدة؟ **الجزء الثاني — متراجحة هوفدينغ.** 6. (حالة رادماخر) من أجل $\varepsilon = \pm1$ باحتمال $\frac12$ لكل منهما، برهن على $$\E(\eu^{t\varepsilon}) = \cosh t \leq \eu^{t^2/2} \qquad (t \in \R)$$ بمقارنة المتسلسلتين حدا حدا ($(2k)! \geq 2^kk!$). 7. استنتج، من أجل متغيرات رادماخر مستقلة $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ ومن أجل كل $s > 0$: $$\P\Bigl(\sum_{i=1}^n\varepsilon_i \geq s\Bigr) \leq \eu^{-s^2/(2n)} .$$ 8. ترجم ذلك إلى قطع النقود المتزنة ( $X_i = \frac{1+\varepsilon_i}2$ ): $\P\bigl(\widehat p_n - \tfrac12 \geq \delta\bigr) \leq \eu^{-2n\delta^2}$ ، ومع الصيغة ذات الطرفين بعامل $2$ . 9. (مبرهنة هوفدينغ المساعدة) ليكن $X \in \intcc01$ مع $\E X = p$، و$\psi(t) = \ln\E(\eu^{tX})$. برر أن $\psi$ قابل [للتفاضل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) مرتين مع $$\psi''(t) = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2, \qquad \E_t(Y) := \frac{\E(Y\eu^{tX})}{\E(\eu^{tX})},$$ وهو *[تباين](#def-b2-randomvar-variance)* لمتغير معاد ترجيحه لا يزال يأخذ قيمه في $\intcc01$؛ واحصره بالمقدار $\frac14$ (بحجة الأصغرية في [التمرين 22.6](#exo-b2-randomvar-6)) واختم بمبرهنة تايلور: $$\E\bigl(\eu^{t(X - p)}\bigr) \leq \eu^{t^2/8} .$$ 10. (متراجحة هوفدينغ) من أجل متغيرات مستقلة $X_i \in \intcc01$ لها المتوسط المشترك $p$، استنتج $$\P\bigl(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta\bigr) \leq 2\,\eu^{-2n\delta^2} \qquad (\delta > 0).$$ 11. قارن معدل تشيبيشيف $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$ بمعدل هوفدينغ $2\eu^{-2n\delta^2}$ : أي فرضية يقتضي كل منهما، وانطلاقا من أي $n$ (تقريبا) يفوز الحصر الأسي عند $\delta = 0.03$ ، $p = \frac12$ ؟ **الجزء الثالث — كم شخصا يجب أن يسأل استطلاع الرأي؟** يسأل استطلاع $n$ ناخبا مستقلا مختارا بانتظام؛ ويجيب كل منهم بصدق؛ و$p$ هي النتيجة الحقيقية و$\widehat p_n$ هي نتيجة الاستطلاع. 12. بيّن أن الاستطلاع دقيق في حدود $\pm\delta$ بثقة $1 - \alpha$ (أي $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq \alpha$) بمجرد أن يكون $$n \;\geq\; \frac{\ln(2/\alpha)}{2\,\delta^2} .$$ 13. احسب $n$ اللازم من أجل المواصفة القياسية “ثلاث نقاط، خمسة وتسعون في المائة” ( $\delta = 0.03$ ، $\alpha = 0.05$ ): $n \geq 2050$ ؛ ومن أجل نقطة واحدة: $n \geq 18\,445$ . ولاحظ — وفسّر — الحقيقة اللافتة القائلة إن الجواب لا يتضمن حجم المجتمع. 14. أعد السؤال 13 بمتراجحة تشيبيشيف ( $V(X_1) = p(1-p) \leq \frac14$ ): $n \geq \frac1{4\alpha\delta^2} = 5556$ عند ثلاث نقاط. ولاحظ أن المعاينة *دون* إرجاع لا تزيد الأمر إلا حسنا ( [التمرين 22.5](#exo-b2-randomvar-5) : [فالتباين](#def-b2-randomvar-variance) يتقلص بالعامل $\frac{N-n}{N-1}$ ). 15. (إعلان نتيجة انتخابات) النتيجة الحقيقية لمرشح هي $p = 0.52$ . كم ناخبا يجب استطلاعه ليكون $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq 0.01$ ؟ بيّن $n \geq \frac{\ln 100}{2\cdot(0.02)^2} \approx 5757$ — فإعلان سباق متقارب يكلف أكثر بكثير من تقدير نتيجة. 16. ما *لا* تغطيه الرياضيات: اسرد فرضيات النمذجة المستعملة (المعاينة المنتظمة المستقلة، وصدق الإجابات، وثبات $p$ )، واشرح في فقرة قصيرة لماذا يهيمن *التحيز* على أخطاء الاستطلاعات الحقيقية (المعاينة غير المنتظمة، وعدم الاستجابة)، وهو ما لا تخفضه أي زيادة في $n$ . **الجزء الرابع — أدق وأرخص.** 17. (وسيط المتوسطات: تلاش أسي انطلاقا من عزمين) نقسم ميزانية من $km$ عينة إلى $k$ مجموعة مستقلة من $m$؛ وليكن $\widehat p^{(1)}, \dots, \widehat p^{(k)}$ متوسطات المجموعات و$M$ وسيطها. اختر $m$ بحيث تحقق كل مجموعة $\P(\abs{\widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq \frac18$ (تشيبيشيف: يكفي $m \geq \frac2{\delta^2}$). بيّن أنه إذا كان $\abs{M - p} \geq \delta$ فإن ما لا يقل عن $k/2$ مجموعة تخطئ، واستنتج $$\P(\abs{M - p} \geq \delta) \leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil}\Bigl(\frac18 \Bigr)^{k/2} \leq 2^k\cdot 8^{-k/2} = 2^{-k/2} :$$ أي تركيزا أسيا دون استعمال أي شيء يتجاوز التباينات. 18. (بالي–زيغموند) من أجل $X \geq 0$ ذي عزم من الرتبة الثانية، برهن على $\P(X > 0) \geq \dfrac{\E(X)^2}{\E(X^2)}$ *(بمتراجحة كوشي–شوارتز على $X\mathbf 1_{X>0}$)* : وهي الأداة في الاتجاه المعاكس — فالعزوم قد تفرض وقوع [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) أيضا. 19. (بينسكر مخففة) بيّن $I(a) \geq 2\bigl(a - \tfrac12\bigr)^2$ على $\intoo{\frac12}1$ *(فالفرق ينعدم حتى الرتبة الثانية عند $\frac12$ ومشتقته الثانية $\frac1{a(1-a)} - 4 \geq 0$)* : أي إن أسّ تشيرنوف المضبوط يتفوق دائما على أسّ هوفدينغ التربيعي. 20. انشر $I\bigl(\tfrac12 + \delta\bigr) = 2\delta^2 + O(\delta^4)$ واجمعه مع السؤال 4: ففي حالة الانحرافات الصغيرة يكون أسّ هوفدينغ $2n\delta^2$ *مضبوطا* مقاربا — فلا طريقة تتفوق عليه بأكثر من عوامل كثيرة الحدود. 21. ارسم جدول العدة: من أجل ماركوف، وتشيبيشيف، وحصر العزم من الرتبة الرابعة في [التمرين 22.9](#exo-b2-randomvar-9) ، وهوفدينغ، وتشيرنوف بالأسّ $I$ ، اذكر في سطر واحد لكل منها: الفرضية المطلوبة، والتلاشي المحصل، والسؤال في هذه المسألة الذي كان فيه أدق ما يكون. **الجزء الخامس — العوائد.** 22. (اختبار قطعة نقود) قطعة نقود إما متزنة وإما منحازة بالوسيط $p = 0.55$ . ترميها $n$ مرة وتعلن “منحازة” عندما $\widehat p_n > 0.525$ . بيّن أن احتمالي الخطأ كليهما لا يتجاوز $\eu^{-2n(0.025)^2}$ ، وأن $n \geq 3685$ رمية تضمن أن يكونا كلاهما دون $1\%$ . 23. ( [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة تحتاج إلى حصر يعي [التباين](#def-b2-randomvar-variance) ) ليكن $p = 0.01$ وخذ المواصفة النسبية $\delta = p/2 = 0.005$ ، $\alpha = 0.05$ . قارن أحجام العينات التي تقتضيها متراجحة هوفدينغ ( $n \approx 74\,000$ ) وتلك التي تقتضيها متراجحة تشيبيشيف [بالتباين](#def-b2-randomvar-variance) الحقيقي $p(1-p)$ ( $n \approx 7920$ ): فالحصر الأسي الأعمى عن [التباين](#def-b2-randomvar-variance) يخسر أمام العزم الثاني المتواضع. اذكر العبرة، ومن أين ستأتي الأداة الناقصة (حصر أسي يعي [التباين](#def-b2-randomvar-variance) ؛ وتقريب بواسون في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun) ). 24. (القانون القوي من أجل قطع النقود) انطلاقا من $\sum_n 2\eu^{-2n\delta^2} < \infty$ وبوريل–كانتيلي ( [المبرهنة 21.25](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-borelcantelli) )، برهن على أن $\widehat p_n \to p$ بشكل شبه أكيد من أجل رميات مستقلة لقطعة نقود: صُغ [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) شبه الأكيد على الصورة $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N} \{\abs{\widehat p_n - p} < \tfrac1j\}$ كما في [التمرين 22.9](#exo-b2-randomvar-9) ، واختم. (فالحصر يحل محل العزم من الرتبة الرابعة المستعمل هناك.) 25. تركيب. في خمس جمل: ماذا تكلف وماذا تشتري كل درجة من درجات السلّم (العزوم الأول والثاني والرابع؛ والأسي المحدود؛ والأسّ المضبوط)؛ ولماذا يكفي استطلاع $2050$ شخص من أجل بلد أيا يكن حجمه؛ وأي هذه الحصور سيشحذه مجلد السنة الثالثة ليصير الثوابت المضبوطة في مبرهنة النهاية المركزية. **حل المسألة 22.1.** **1.** يعطي $\E(S_n) = \frac n2$ ومتراجحة ماركوف ([المبرهنة 22.15](#thm-b2-randomvar-markov)) المقدار $\P(S_n \geq an) \leq \frac{n/2}{an} = \frac1{2a}$. فمتراجحة ماركوف لا تعرف إلا المتوسط: فهي لا تستطيع تمييز متغير مركز عند $n/2$ من متغير منتشر بين $0$ و$n$، ومنه فهي تسعّر الذيل كما لو أمكن أن تجلس الكتلة كلها هناك. **2.** القانون الثنائي المتزن متناظر حول $n/2$ (فللمقدارين $S_n$ و$n - S_n$ القانون نفسه)، ومنه فمع $x = n(a - \frac12) > 0$ يكون الحدثان $\{S_n - \frac n2 \geq x\}$ و$\{S_n - \frac n2 \leq -x\}$ منفصلين ومتساويي الاحتمال: $\P(S_n \geq an) = \frac12\P(\abs{S_n - \frac n2} \geq x)$. وتشيبيشيف مع $V(S_n) = \frac n4$: $$ \P(S_n \geq an) \leq \frac12\cdot\frac{n/4}{n^2(a - 1/2)^2} = \frac1{8n(a - 1/2)^2}, $$ وهو $\frac2n$ عند $a = \frac34$. **3.** بالاستقلال ومبرهنة الجداء، $\E(\eu^{tS_n}) = \bigl(\E \eu^{tX_1}\bigr)^n = \bigl(\frac{1 + \eu^t}2\bigr)^n$. وبتطبيق متراجحة ماركوف على $\eu^{tS_n}$: $$ \P(S_n \geq an) \leq \eu^{-tan}\Bigl(\frac{1 + \eu^t}2\Bigr)^{\!n} = \exp\Bigl(n\bigl(\ln\tfrac{1 + \eu^t}2 - ta\bigr)\Bigr). $$ ومشتقة الأسّ بدلالة $t$ هي $\frac{\eu^t}{1 + \eu^t} - a$، وتنعدم عند $\eu^t = \frac a{1-a}$، أي $t^* = \ln\frac a{1-a} > 0$؛ وهناك $\frac{1 + \eu^{t^*}}2 = \frac1{2(1-a)}$ ويساوي الأسّ $$ n\Bigl(-\ln 2 - \ln(1-a) - a\ln\frac a{1-a}\Bigr) = -n\bigl(\ln2 + a\ln a + (1-a)\ln(1-a)\bigr) = -n\,I(a), $$ مع $I(\frac12) = 0$ و$I'(a) = \ln\frac a{1-a} > 0$ على $\intoo{\frac12}1$: $I(a) > 0$. وعند $a = \frac34$: $\eu^{-I(3/4)} = \frac12(\tfrac34)^{-3/4}(\tfrac14)^{-1/4} = 2\cdot3^{-3/4}$، وهو حصر [التمرين 22.7](#exo-b2-randomvar-7). **4.** الأعداد $\binom nja^j(1-a)^{n-j}$ وعددها $n + 1$ مجموعها $1$، وأكبرها هو الذي عند $j = k = an$ (فمنوال $\mathcal B(n, a)$ هو $\floor{(n+1)a} = k$ هنا). والقيمة العظمى لعدد $n + 1$ من الأعداد مجموعها $1$ لا تقل عن $\frac1{n+1}$: $$ \binom nk a^k(1-a)^{n-k} \geq \frac1{n+1} \quad\Longrightarrow\quad \binom nk \geq \frac{a^{-an}(1-a)^{-n(1-a)}}{n+1} = \frac{\eu^{nH(a)}}{n+1}. $$ ومنه $\P(S_n \geq an) \geq \binom{n}{an}2^{-n} \geq \eu^{n(H(a) - \ln2)}/(n+1) = \eu^{-nI(a)}/(n+1)$: أي إن أسّ تشيرنوف هو الحقيقة، إلى غاية العامل كثير الحدود $n + 1$. **5.** $n = 100$، $a = \frac34$: ماركوف $\frac23$؛ وتشيبيشيف $\frac2{100} = 0.02$؛ وتشيرنوف $(2\cdot3^{-3/4})^{100} = \eu^{-100\,I(3/4)} \approx 2.1\cdot10^{-6}$، مقابل القيمة المضبوطة $2.8\cdot10^{-7}$. والعبرة: كل عزم من المعلومات يقسم الحصر قسمة كثيرة الحدود؛ أما العزم الأسي فيغير *طبيعته*. **6.** $\cosh t = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{(2k)!}$ و$\eu^{t^2/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^{2k}}{2^kk!}$؛ وينتج الادعاء حدا حدا من $(2k)! \geq 2^kk!$، الذي يتحقق بالتراجع: $(2k)! = 2k(2k-1)\cdot(2k-2)! \geq 2k\cdot 2^{k-1}(k-1)! = 2^kk!\cdot(2k-1) \geq 2^kk!$. **7.** بالاستقلال، $\E\bigl(\eu^{t\sum\varepsilon_i} \bigr) = (\cosh t)^n \leq \eu^{nt^2/2}$، ومنه تعطي متراجحة ماركوف $\P(\sum\varepsilon_i \geq s) \leq \eu^{nt^2/2 - ts}$؛ والتصغير عند $t = s/n$ يعطي $\eu^{-s^2/(2n)}$. **8.** مع $X_i = \frac{1 + \varepsilon_i}2$، $\widehat p_n - \frac12 = \frac1{2n}\sum\varepsilon_i$، ومنه $\{\widehat p_n - \frac12 \geq \delta\} = \{\sum\varepsilon_i \geq 2n\delta\}$ ويعطي السؤال 7 الحصر $\eu^{-(2n\delta)^2/(2n)} = \eu^{-2n\delta^2}$. وللحدث المتناظر الحصر نفسه، ومن ثم العامل $2$ من أجل $\abs{\widehat p_n - \frac12} \geq \delta$. **9.** $\E(\eu^{tX}) = \sum_x\eu^{tx}\P(X = x)$ متسلسلة من الدوال الملساء بدلالة $t$ ومشتقاتها حدا حدا مهيمن عليها، على كل فترة متراصة للمتغير $t$، بالمقدار $\eu^{\abs t}\P(X = x)$ (لأن $0 \leq x \leq 1$): ومنه فهي [قابلة للتفاضل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) مرتين بمبرهنة مفاضلة المتسلسلات المتقاربة ناظميا ([المبرهنة 10.7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-differentiation))، وتعطي قاعدة خارج القسمة $\psi' = \E_t(X)$ و$\psi'' = \E_t(X^2) - \E_t(X)^2$، حيث $\E_t$ هو [الأمل الرياضي](#def-b2-randomvar-expectation) بالنسبة إلى الأوزان المعاد ترجيحها $\eu^{tx}\P(X{=}x)/\E(\eu^{tX})$ — وهي موجبة ومجموعها $1$ وتحملها القيم $x \in \intcc01$ نفسها. [وتباين](#def-b2-randomvar-variance) متغير ذي قيم في $\intcc01$ لا يتجاوز $\frac14$: فبحسب [التمرين 22.6](#exo-b2-randomvar-6)، هو $\min_c\E_t((X - c)^2) \leq \E_t\bigl((X - \tfrac12)^2\bigr) \leq \tfrac14$. ومبرهنة تايلور مع الباقي التكاملي، باستعمال $\psi(0) = 0$، $\psi'(0) = p$: $$ \psi(t) = tp + \int_0^t(t - s)\,\psi''(s)\,\dd s \leq tp + \frac{t^2}2\cdot\frac14, $$ أي $\E(\eu^{t(X - p)}) \leq \eu^{t^2/8}$ من أجل كل عدد حقيقي $t$. **10.** بالاستقلال، $\E\bigl(\eu^{t(S_n - np)}\bigr) \leq \eu^{nt^2/8}$؛ وتعطي متراجحة ماركوف مع الأمثلة $t = 4\delta$ $$ \P(\widehat p_n - p \geq \delta) \leq \eu^{nt^2/8 - tn\delta}\Big|_{t = 4\delta} = \eu^{-2n\delta^2}; $$ وبتطبيق ذلك على المتغيرات $1 - X_i$ (وهي أيضا في $\intcc01$) نحصر الذيل الآخر، ومن ثم الصيغة ذات الطرفين $2\eu^{-2n\delta^2}$. **11.** تحتاج متراجحة تشيبيشيف إلى عزم من الرتبة الثانية فحسب وتعطي $\frac{p(1-p)}{n\delta^2}$؛ وتحتاج متراجحة هوفدينغ إلى *الحصر* وتعطي $2\eu^{-2n\delta^2}$. وعند $p = \frac12$، $\delta = 0.03$: يكون الحصران $\frac{278}{n}$ (تقريبا) مقابل $2\eu^{-0.0018n}$؛ وهما يتقاطعان بجوار $n \approx 1200$، وبعدها يفوز الحصر الأسي، وبفارق هائل ($n = 5000$: $0.056$ مقابل $2.5\cdot10^{-4}$). **12.** بحسب متراجحة هوفدينغ (السؤال 10)، يكون $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq 2\eu^{-2n\delta^2} \leq \alpha$ بمجرد أن يكون $2n\delta^2 \geq \ln\frac2\alpha$، أي $n \geq \frac{\ln(2/\alpha)}{2\delta^2}$. **13.** $\delta = 0.03$، $\alpha = 0.05$: $n \geq \frac{\ln 40}{2\cdot0.0009} \approx 2049.4$: أي $2050$ شخص. ومن أجل $\delta = 0.01$: $n \geq \frac{\ln40}{0.0002} \approx 18\,445$. ولا يظهر حجم المجتمع أبدا لأن كل ناخب معايَن يُنمذَج سحبةَ برنولي$(p)$ جديدة: فصعوبة الاستطلاع هي [تباين](#def-b2-randomvar-variance) قطعة نقود، لا حجم البلد. وتنصيف الهامش يكلف أربعة أضعاف العينة — وهو قانون $1/\delta^2$. **14.** تشيبيشيف: $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta) \leq \frac{p(1-p)}{n\delta^2} \leq \frac1{4n\delta^2} \leq \alpha$ من أجل $n \geq \frac1{4\alpha\delta^2}$، أي $5556$ عند ثلاث نقاط — أي نحو $2.7$ ضعف ما تقتضيه متراجحة هوفدينغ. أما دون إرجاع فيُضرب [التباين](#def-b2-randomvar-variance) في $\frac{N - n}{N-1} < 1$ ([التمرين 22.5](#exo-b2-randomvar-5))، ومنه فإن $n$ نفسه لا يمكن إلا أن يكون أفضل: فحساب المعاينة مع الإرجاع هو الحساب المتحفظ. **15.** $\{\widehat p_n \leq \frac12\} \subseteq \{\widehat p_n - 0.52 \leq -0.02\}$، ومنه بالحصر الهوفدينغي ذي الطرف الواحد يكون $\P(\widehat p_n \leq \tfrac12) \leq \eu^{-2n(0.02)^2} \leq 0.01$ بمجرد أن يكون $n \geq \frac{\ln 100}{2\cdot0.0004} \approx 5756.5$: أي $5757$ ناخب. ويتحاكى الثمن مع مقلوب مربع *الفارق*، لا مقلوب مربع الدقة المرجوة: فالسباقات المتقاربة مكلفة. **16.** المستعمل: أن العينة مسحوبة بانتظام واستقلال من جمهور الناخبين؛ وأن كل شخص معايَن يجيب، وبصدق، وأن $p$ لا يتحرك أثناء الاستطلاع. وتخرق الاستطلاعات الحقيقية الفرضيات الثلاث: فالمستجيبون القابلون للوصول والراغبون في الإجابة ليسوا عينة منتظمة (فهناك تحيز الاختيار وتحيز عدم الاستجابة)، وقد تكون الإجابات غير صادقة أو غير مستقرة. وهذه أخطاء *تحيز*: فهي تزيح $\E(\widehat p_n)$ عن $p$ بمقدار مستقل عن $n$، ومنه فلا حجم عينة يخفضها — ولا تتحكم رياضيات هذا الجزء إلا في حد التقلب. **17.** تشيبيشيف من أجل مجموعة واحدة حجمها $m$: $\P(\abs{ \widehat p^{(i)} - p} \geq \delta) \leq \frac{1}{4m\delta^2} \leq \frac18$ من أجل $m \geq \frac2{\delta^2}$. فإذا أخطأت أقل من $k/2$ مجموعة، وقع أكثر من $k/2$ من القيم $\widehat p^{(i)}$ في الفترة [المفتوحة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-topology) $\intoo{p - \delta}{p + \delta}$، ووقع فيه وسيطها أيضا؛ ومنه فإن $\{\abs{M - p} \geq \delta\}$ يفرض ما لا يقل عن $\lceil k/2\rceil$ خطأ بين المجموعات المستقلة $k$. ويعطي حصر الاتحاد على مجموعات المجموعات المخطئة الممكنة وعددها $\binom k{\lceil k/2\rceil}$ $$ \P(\abs{M - p} \geq \delta) \leq \binom{k}{\lceil k/2\rceil} \Bigl(\frac18\Bigr)^{k/2} \leq 2^k\,8^{-k/2} = 2^{-k/2} : $$ أي تلاشيا أسيا بدلالة عدد المجموعات، مشترى بالتباينات وحدها — وهو مفيد بالضبط عندما تكون الحدود غير محدودة وتكون متراجحة هوفدينغ غير متاحة. **18.** بمتراجحة كوشي–شوارتز ([المبرهنة 22.19](#thm-b2-randomvar-jensen)): $$ \E(X) = \E(X\,\mathbf 1_{X>0}) \leq \sqrt{\E(X^2)}\sqrt{\E(\mathbf 1_{X>0}^2)} = \sqrt{\E(X^2)\,\P(X > 0)} ; $$ ثم نربّع ونقسم. **19.** لنضع $h(a) = I(a) - 2(a - \tfrac12)^2$. عندئذ $h(\tfrac12) = 0$، وينعدم $h'(a) = \ln\frac a{1-a} - 4(a - \tfrac12)$ عند $\tfrac12$، و $$ h''(a) = \frac1a + \frac1{1-a} - 4 = \frac{1}{a(1-a)} - 4 \geq 0 $$ لأن $a(1-a) \leq \frac14$. ومنه فإن $h'$ متزايد انطلاقا من $0$ على $\intco{\frac12}1$، ومنه $h' \geq 0$ و$h \geq 0$: $I(a) \geq 2(a - \tfrac12)^2$. **20.** $I(\tfrac12) = I'(\tfrac12) = 0$، ويعطي $I''(a) = \frac1{a(1-a)}$ المقدار $I''(\tfrac12) = 4$، و$I'''(\tfrac12) = 0$ (فالدالة متناظرة حول $\tfrac12$)، ومنه $I(\tfrac12 + \delta) = 2\delta^2 + O(\delta^4)$. ويحصر السؤال 4 عندئذ الذيل الحقيقي *من الأسفل* بالمقدار $\eu^{-n(2\delta^2 + O(\delta^4))}/(n+1)$: فمن أجل $\delta$ الصغيرة يكون أسّ هوفدينغ $2n\delta^2$ مضبوطا مقاربا — ولا تمكن التحسينات إلا بعوامل كثيرة الحدود بدلالة $n$. **21.** ماركوف: عزم واحد، والتلاشي $1/a$، وهي مفيدة فقط محركا وراء الأخريات (ويبين السؤال 1 أنها مسطحة). تشيبيشيف: عزمان، والتلاشي $\frac{V}{n\delta^2}$، وهي أمثلية دون فرضيات إضافية ([المثال 22.18](#ex-b2-randomvar-chebsharp))، وهي أفضل أداة في السؤال 23. العزم من الرتبة الرابعة ([التمرين 22.9](#exo-b2-randomvar-9)): التلاشي $C/n^2$، وهو بالكاد يكفي من القابلية للجمع من أجل قانون قوي. هوفدينغ: متغيرات محدودة، والتلاشي $2\eu^{-2n\delta^2}$، وهي حصان عمل الجزء الثالث. تشيرنوف بالمعدل المضبوط $I(a)$: عزوم أسية كاملة، وأسّ لا يُهزم (السؤالان 4 و20)، وهو المرجع لكل ما عداه. **22.** إذا كانت القطعة متزنة: $\P(\widehat p_n > 0.525) \leq \P(\widehat p_n - \tfrac12 \geq 0.025) \leq \eu^{-2n(0.025)^2}$. وإذا كان $p = 0.55$: $\P(\widehat p_n \leq 0.525) \leq \P(\widehat p_n - 0.55 \leq -0.025) \leq \eu^{-2n(0.025)^2}$. ويكون الخطآن كلاهما دون $0.01$ عندما $2n(0.025)^2 \geq \ln 100$، أي $n \geq 3684.2$: أي $3685$ رمية. (فالتمييز بين فرضيتين تفصل بينهما $2.5$ نقطة يكلف ما يكلفه التقدير في حدود $\pm2.5$ نقطة.) **23.** هوفدينغ: $n \geq \frac{\ln 40}{2(0.005)^2} \approx 73\,778$. وتشيبيشيف [بالتباين](#def-b2-randomvar-variance) الحقيقي $p(1-p) = 0.0099$: $n \geq \frac{0.0099}{0.05\cdot(0.005)^2} = 7920$ — أي أرخص تسع مرات. فأسّ هوفدينغ $2n\delta^2$ يسعّر [التباين](#def-b2-randomvar-variance) بأسوأ حالاته $\frac14$، وهو تشاؤم سخيف عندما $p = 0.01$؛ أما العزم الثاني المتواضع فيعرف أفضل. والأداة الناقصة هي حصر أسي يعي [التباين](#def-b2-randomvar-variance) (متراجحة برنشتاين، في السنة الثالثة) — أو، من أجل [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة، تقريب بواسون المبرهن في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions#ch-b2-genfun)، الذي يعمل على السلّم النسبي الطبيعي. **24.** نثبّت $\delta > 0$: $\sum_n 2\eu^{-2n\delta^2} < \infty$ (وهي متسلسلة من نوع هندسي)، ومنه تعطي بوريل–كانتيلي 1 ([المبرهنة 21.25](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-borelcantelli)) المقدار $\P(\abs{\widehat p_n - p} \geq \delta \text{ عددا لانهائيا من المرات}) = 0$، أي إن احتمال [الحدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $E_j = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - p} < \tfrac1j\}$ هو $1$ من أجل كل $j$. ويبقى احتمال التقاطع القابل للعد $\bigcap_jE_j$ مساويا $1$ (بالجمعية التحتية على المتممات)، وعليه $\widehat p_n \to p$: وهو القانون القوي للأعداد الكبيرة من أجل رميات قطعة النقود، مع أداء الحصر الدور الذي أدّاه العزم من الرتبة الرابعة في [التمرين 22.9](#exo-b2-randomvar-9). **25.** عزم واحد يشتري حصرا مسطحا؛ وعزمان يشتريان $1/(n\delta^2)$، ولا أكثر (بحسب مثال الأمثلية)؛ وأربعة تشتري $1/n^2$، وهو يكفي للتلسكب إلى قانون شبه أكيد؛ والحصر يشتري $\eu^{-2n\delta^2}$؛ والعزم الأسي الكامل يشتري المعدل المضبوط $I$، الذي لا تهزمه أي طريقة. ويكفي استطلاع $2050$ شخص من أجل أي بلد لأن تقلب العينة يحكمه [تباين](#def-b2-randomvar-variance) قطعة النقود لا حجم المجتمع — فبطاقتا الثمن $1/\delta^2$ و$\ln(1/\alpha)$ شاملتان. وتحل مبرهنة النهاية المركزية في مجلد السنة الثالثة محل هذه المتراجحات، على السلّم $\sqrt n$، بقانون نهائي مضبوط بثوابت صريحة — فتحول كل حصر في هذه المسألة إلى مساواة مقاربة.