---
title: "الدوال المولّدة للاحتمالات"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 2"
subject: math
language: ar
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/23-probability-generating-functions
---

# الفصل 23 — الدوال المولّدة للاحتمالات

تعود متسلسلات القوى في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries) بمهمة احتمالية: فنربط [بمتغير عشوائي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) ذي قيم في $\N$ متسلسلةَ القوى ذات المعاملات $\P(X = n)$. وتحوّل هذه *[الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)* مجاميع المتغيرات المستقلة إلى جداءات، والعزوم إلى مشتقات عند $1$، والمتطابقات التوفيقية الصعبة إلى ضرب من سطر واحد. ويختم الفصل الكتاب بقطعتين معروضتين: تقريب بواسون للأحداث النادرة، ومحك الانقراض من أجل مسارات التفرع — وهو حساب احتمالي لانهائي حقا يُحل كله بهندسة منحن محدب.

## 23.1 التعريف والخواص الأساسية

**تعريف 23.1 (الدالة المولّدة للاحتمالات).**

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا ذا قيم في $\N$، $p_n = \P(X = n)$. *الدالة المولّدة للاحتمالات* للمتغير $X$ هي مجموع متسلسلة القوى

$$
G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .
$$

**مثال 23.2 (ردود الفعل الأولى).**

للمتغير الثابت $X = c$ الدالة $G_X(t) = t^c$؛ والإزاحة تحقق $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$؛ والتقويم عند نقط خاصة يقرأ معلومات دون أي نشر: $G_X(0) = \P(X
= 0)$، $G_X(1) = 1$، و$G_X(-1) = \P(X\text{ زوجي}) -
\P(X\text{
فردي})$، وهو ميزان الزوجية المستغل في [التمرين 23.10](#exo-b2-genfun-10). وتُستعمل هذه الأسطر المفردة بصمت في كل ما يلي — والتقويم $G_X(0)$ هو بالضبط كيف ستُستخرج احتمالات الانقراض من الدوال المولّدة المكررة في نهاية الفصل.

**قضية 23.3 (نصف القطر والخواص الأولى).**

للمتسلسلة التي تعرّف $G_X$ نصف قطر تقارب $\geq 1$؛ والدالة $G_X$ معرَّفة ومتصلة على $\intcc{-1}{1}$، ومن الصنف $\mathcal{C}^\infty$ على $\intoo{-1}{1}$، مع $G_X(1) = 1$ و$\abs{G_X(t)} \leq 1$ هناك. وعلاوة على ذلك تحدد $G_X$ قانون $X$:

$$
p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .
$$

**برهان.** بما أن $\sum p_n = 1$ متقاربة، فإن الحدود $p_n\,1^n$ محدودة، ومنه فنصف القطر $\geq 1$ (بمبرهنة آبل المساعدة، [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))؛ وعند $t = \pm1$ تتقارب المتسلسلة تقاربا مطلقا (فالمقدار $\sum p_n = 1$ يهيمن)؛ بل أفضل من ذلك، على الفترة $\intcc{-1}1$ كلها،

$$
\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n
\quad\text{مع}\quad \sum_np_n < \infty :
$$

فالمتسلسلة تتقارب *تقاربا ناظميا* على $\intcc{-1}1$، ومنه فمجموعها [متصل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#def-b2-metric-continuity) هناك (المبرهنات [10.16](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-weierstrass) و[10.4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#thm-b2-funcseq-continuity)). أما الملاسة في الداخل وصيغة المعاملات فهما النظرية العامة لمتسلسلات القوى؛ وبما أن المعاملات قابلة للاستعادة، فإن لمتغيرين لهما [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) نفسها القانون نفسه. ∎

**مثال 23.4 (القوانين الكلاسيكية).**

- برنولي $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
- ثنائي الحد $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (بمبرهنة ذات الحدين).
- الهندسي $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (بنصف قطر $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
- بواسون $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (بنصف قطر $\infty$ ).

**مثال 23.5 (مكاملة الدالة المولّدة).**

تعطي مشتقات $G_X$ عند $1$ العزوم الموجبة؛ أما *التكامل* فيعطي عزما سالبا. انطلاقا من $\int_0^1t^k\dd t
= \frac1{k+1}$ وبالمكاملة حدا حدا ([بالتقارب الناظمي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/10-sequences-and-series-of-functions#def-b2-funcseq-series) على $\intcc01$):

$$
\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X =
k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).
$$

ومن أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

$$
\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) =
\int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 -
\eu^{-\lambda}}{\lambda},
$$

فنستعيد في سطر واحد حساب المتسلسلة في [المثال 22.10](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ex-b2-randomvar-transferex). [فالدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) أداة ذات اتجاهين: نفاضل عند $1$ من أجل العزمين $\E(X)$ و$\E(X(X-1))$، ونكامل على $\intcc01$ من أجل $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — كائن تحليلي واحد، يُستجوب في أي اتجاه تحتاج إليه المسألة.

**مثال 23.6 (قانون نصف قطره يساوي واحدا بالضبط).**

لنضع $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ من أجل $k \geq 1$ — وهو قانون احتمال بحكم متطابقة بازل ([المثال 14.12](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/14-fourier-series#ex-b2-fourier-basel)). ولدالته المولّدة $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ نصف قطر تقارب يساوي $1$ بالضبط: فالحصر العام “نصف القطر $\geq
1$” في [القضية 23.3](#prop-b2-genfun-radius) لا يمكن تحسينه. والمتوسط هو

$$
\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) =
\frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :
$$

فالدالة $G$ متصلة على $\intcc{-1}1$، وملساء في الداخل، لكن مشتقتها تنفجر عند $1^-$ — فالتمثيل البياني يصل إلى النقطة $(1, 1)$ [بمماس](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/18-curves#def-b2-curves-arc) شاقولي. فالذيول الثقيلة مرئية *هندسيا* على [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)، عند النقطة الوحيدة $t = 1$؛ وتجعل مبرهنة العزوم أدناه هذا التقابل مضبوطا.

**مبرهنة 23.7 (العزوم من الدالة المولّدة).**

يقبل $X$ أملا رياضيا إذا وفقط إذا كانت $G_X$ [قابلة للتفاضل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) عند $1^-$ (بالمشتقة اليسرى، وهي منتهية)، وعندئذ $\E(X) = G_X'(1)$. وبالمثل يقبل $X$ عزما من الرتبة الثانية إذا وفقط إذا كانت $G_X$ [قابلة للتفاضل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) مرتين عند $1^-$، وعندئذ

$$
\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1),
\qquad
V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .
$$

**برهان.** من أجل $t \in \intoo{0}{1}$، تعطي المفاضلة حدا حدا داخل القرص $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$، وهي متسلسلة ذات معاملات موجبة: ومنه فإن $t \mapsto G_X'(t)$ غير متناقصة على $\intoo{0}{1}$، وبالتقارب الرتيب للمجاميع الجزئية (أو بمبرهنة آبل من أجل المعاملات الموجبة، [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))،

$$
\lim_{t \to 1^-} G_X'(t)
= \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,
$$

ويكون كل طرف منتهيا بالضبط عندما يكون الآخر كذلك. وعندما يكون منتهيا، تحصر مبرهنة القيمة المتوسطة نسب الفروق $\frac{G_X(1) -
G_X(t)}{1 - t}$ بين قيم $G_X'$، ومنه فإن $G_X$ [قابلة للتفاضل](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#def-b2-diffcalc-differential) عند $1^-$ مع $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (بمبرهنة النقل). أما النص من الرتبة الثانية فيكرر الحجة درجة أعلى: فالمقدار $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ غير متناقص على $\intoo01$ ونهايته الرتيبة $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$، وهو منته بالضبط عندما يقبل $X$ عزما من الرتبة الثانية. وتنتج صيغة [التباين](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) عندئذ من صيغة كونيغ–هويغنز:

$$
V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) -
\E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .
$$

∎

**مثال 23.8.**

بواسون: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$، ومنه $\E(X) = \lambda$؛ و$G''(1) = \lambda^2$، ومنه $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 =
\lambda$ — أي حسابا [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar) في سطر واحد لكل منهما.

**مثال 23.9 (منوال قانون بواسون).**

أين يكون $\P(X = k)$ أكبر ما يكون من أجل $X \sim \mathcal
P(\lambda)$؟ تُقارن الأوزان المتتالية عبر النسبة

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,
$$

التي تتجاوز $1$ ما دام $k < \lambda - 1$ وتهبط دون $1$ بمجرد أن $k > \lambda - 1$: فالأوزان تصعد ثم تهبط، والمنوال $\floor\lambda$ (مع تساو بين $\lambda - 1$ و$\lambda$ عندما يكون $\lambda$ عددا صحيحا: فمن أجل $\lambda = 3$، $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$). واختبارات النسب على المعاملات كثيرا ما تكون أسرع طريق إلى حقائق نوعية عن قانون متقطع — دون حاجة إلى [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)، لكن المعاملات *هي* [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)، مقروءة حدا حدا.

## 23.2 مجاميع المتغيرات المستقلة

**مبرهنة 23.10 (الضربية).**

إذا كان $X$ و$Y$ متغيرين عشوائيين مستقلين ذوي قيم في $\N$، فإن

$$
G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t)
\qquad (\abs t \leq 1),
$$

وبالتراجع $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ من أجل متغيرات مستقلة $X_1, \dots, X_n$.

**برهان.** برهانان، وكلاهما مفيد. *بالآمال الرياضية:* المتغيران $t^X$ و$t^Y$ مستقلان ومحدودان، ومنه ([المبرهنة 22.11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-product))

$$
G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr)
= \E\bigl(t^X t^Y\bigr)
= \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .
$$

*بجداءات كوشي:* قانون $X + Y$ هو الالتفاف $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$، ويضرب [جداء كوشي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#thm-b2-series-fubini) للمتسلسلات المتقاربة مطلقا ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)) متسلسلتي القوى بالضبط وفق هذا الالتفاف. ∎

**مثال 23.11 (استقرار القوانين الكلاسيكية).**

تُجمع المتغيرات الثنائية المستقلة ذات $p$ نفسه: $(1 - p + pt)^m(1 -
p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$، ومنه $\mathcal{B}(m, p) +
\mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — وبوجه خاص فإن مجموع $n$ متغير برنولي مستقل ثنائي الحد، وهو ما يعيد البرهان على قانون عدد النجاحات. وتُجمع متغيرات بواسون المستقلة: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$، ومنه $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda +
\mu)$ — أي حساب الالتفاف في [التمرين 22.2](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#exo-b2-randomvar-2)، دون حساب الآن.

**مثال 23.12 (نردان، وكثير حدود واحد مربّع).**

من أجل نرد متزن واحد، $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$؛ ومن أجل مجموع نردين،

$$
G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 +
6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :
$$

أي القانون المثلثي لمجاميع النرد (فالمنوال $7$ باحتمال $\frac6{36} = \frac16$)، مقروءا من مربع كثير حدود يُنشر مرة واحدة في العمر. وكانت صيغة الالتفاف ستتطلب إحدى عشرة حجة عد منفصلة؛ أما [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) فتنجزها كلها في آن واحد، لأن ضرب كثيرات الحدود *هو* التفاف المعاملات. وهذه الترجمة الآلية — من القوانين إلى المعاملات، ومن المجاميع إلى الجداءات — هي نموذج عمل الفصل كله، ويدفعها [التمرين 23.11](#exo-b2-genfun-11) إلى نردي سيشرمان المدهشين.

**مثال 23.13 (ثلاثة نرد واستخراج معامل).**

من أجل مجموع $S$ لثلاثة نرد متزنة، يكون $\P(S = 10)$ معامل $t^{10}$ في $\bigl(\frac{t + \dots +
t^6}6\bigr)^3$. ونفكك وننشر بمتسلسلتي ذات الحدين والهندسية:

$$
\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3}
= \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} -
t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .
$$

ويقتضي معامل $t^{10}$ أخذ $t^7$ من الجداء: $j = 7$ مع الحد $1$، و$j = 1$ مع الحد $-3t^6$:

$$
\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 -
3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} =
\frac18 .
$$

والإحصاء المباشر للثلاثيات وعددها $27$ كثير الأخطاء؛ أما [الجبر](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-algebra) فآلي ويتحاكى مع أي عدد من النرد — فالاحتواء والاستبعاد الظاهر في $(1 - t^6)^3$ يقوم بمناقشة الحالات تلقائيا.

**مثال 23.14 (قراءة قانون من دالته المولّدة).**

أي قانون دالته المولّدة $G(t) = \dfrac1{2 - t}$؟ ننشره في متسلسلة قوى:

$$
\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2}
= \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :
$$

فالمعاملات موجبة ومجموعها $G(1) = 1$، ومنه فهذا قانون حقيقي، $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ على $\N$ — أي قانون هندسي يبدأ عند $0$. وبالوحدانية ([القضية 23.3](#prop-b2-genfun-radius))، لا يشترك أي قانون آخر في هذه الدالة $G$. والتعرف على القوانين من دوالها المولّدة مهارة تستحق التمرين: فهي كيف يُكشف المكرَّر التفرعي الحرج $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ في مسألة نهاية الأسبوع على أنه قانون هندسي مشروط بالبقاء.

**ملاحظة 23.15.**

يسير الاستقرار في اتجاه واحد فقط: فمجاميع متغيرات بواسون المستقلة بواسونية، أما الفروق فلا — إذ يأخذ $X - Y$ قيما سالبة، ومنه فليس له أي [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)، ويقع [قانونه](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) ([توزيع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) سكيلام) خارج عدة هذا الفصل. وبالمثل فإن $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ مع $p \neq p'$ *ليس* ثنائي الحد: فللجداء $(1 - p +
pt)^m(1 - p' + p't)^n$ موضعا جذر متمايزان، بينما لكل [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) ثنائية الحد جذر مضاعف وحيد. وقراءة الاستقرار من أنماط الجذور استعراض صغير لمقدار البنية التي يرمّزها كثير الحدود.

**ملاحظة 23.16 (مرشح جذور الوحدة).**

التقويم عند $-1$ يفصل الزوجي عن الفردي؛ والتقويم عند جميع جذور الوحدة من الرتبة $m$ يفصل كل صف بواق: فمع $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$،

$$
\P(X \equiv r \bmod m)
= \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),
$$

لأن متوسط $\omega^{j(k-r)}$ على $j$ يعطي $1$ إذا كان $k
\equiv r$ و$0$ فيما عدا ذلك. ومثال على العائد: من أجل مجموع $S$ لنردين متزنين، يكون كل $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6
\omega^{jk} = -\frac16$ من أجل $j \neq 0$ (فمجموع جذور الوحدة السبعة من الرتبة السابعة معدوم)، ومنه

$$
\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 +
6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,
$$

وهو ما يؤكد العد في [المثال 23.12](#ex-b2-genfun-twodice) — والطريقة تتحاكى مع أسئلة لا يتحاكى معها العد المباشر.

**مبرهنة 23.17 (المجاميع العشوائية: متطابقة فالد من أجل الدوال المولّدة).**

لتكن $(X_k)_{k\geq1}$ متغيرات مستقلة ذات قيم في $\N$ لها القانون نفسه [والدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G_X$، وليكن $N$ متغيرا ذا قيم في $\N$ مستقلا عن المتغيرات $X_k$، ودالته المولّدة $G_N$. عندئذ يكون للمجموع العشوائي $S = X_1 + \dots + X_N$ (مع $S = 0$ عندما $N = 0$) [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)

$$
G_S = G_N \circ G_X .
$$

وبوجه خاص، إذا قبل $N$ و$X_1$ أملين رياضيين، فإن $\E(S) =
\E(N)\,\E(X_1)$.

**برهان.** نشترط على $N$ (بالاحتمالات الكلية، [المبرهنة 21.14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-bayes)): فمن أجل $\abs t \leq 1$،

$$
G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,
\E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr)
= \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n
= G_N\bigl(G_X(t)\bigr),
$$

باستعمال الضربية من أجل كل $n$ ثابتة وقابلية جمع العائلة المزدوجة كلها ($\abs{G_X(t)} \leq 1$). وتبديل ترتيب الجمع هو مبرهنة فوبيني من أجل العائلات [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series)). وبالمفاضلة عند $1^-$ بقاعدة السلسلة و[المبرهنة 23.7](#thm-b2-genfun-moments): $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1)
= G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$. ∎

**مثال 23.18 (بواسون المركب: خسائر التأمين السنوية).**

تتلقى شركة تأمين $N \sim \mathcal P(\lambda)$ مطالبة في السنة، وتكلف كل مطالبة $X_k$ (بوحدات صحيحة، مستقلة ومتماثلة [التوزيع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law)، دالتها المولّدة $G_X$، ومتوسطها $\mu$، ومستقلة عن $N$). وبحسب [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound)، يكون للخسارة الكلية $S$

$$
G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)},
\qquad
\E(S) = \lambda\mu ,
$$

وبالمفاضلة مرتين عند $1^-$:

$$
V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu -
(\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .
$$

ويتضمن [التباين](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-variance) العزم *الثاني* لمطالبة واحدة، لا تباينها: فمجموع بواسون المركب يشعر بالمطالبة الكبيرة العارضة مرتين — مرة عبر كم عددها، ومرة عبر كم حجمها. ومن أجل $\lambda = 10$ مطالبة ذات قانون هندسي متوسطه $2$ ($\E X^2 = 6$): $\E S = 20$، $V(S) = 60$، وتعطي متراجحة تشيبيشيف ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar)) هوامش ملاءة قابلة للاستعمال أصلا. وهذا النمط من “المجموع الموقوف عشوائيا” هو النمط نفسه الذي سيقود التراجع التفرعي في [القضية 23.23](#prop-b2-genfun-branching): فتركيب الدوال المولّدة هو جبر المجتمعات العشوائية.

**ملاحظة 23.19.**

استقلال $N$ عن الحدود ليس زينة. خذ $X_k \in \{0, 2\}$ بالاحتمالات نفسها واجعل $N =
X_1$ (وهو متعلق على نحو صارخ): عندئذ يكون $S = X_1 + \dots + X_N$ هو $0$ عندما $X_1 = 0$، و$2 + X_2$ عندما $X_1 = 2$، ومنه $\E(S) =
\frac12(2 + 1) = \frac32$، بينما $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 =
1$: فمتطابقة فالد تسقط. وعندما يُسمح لعدد الحدود *بأن يتفاعل* مع الحدود نفسها، تنهار البنية الجدائية النظيفة — والنظرية الكاملة لقواعد “التوقف” هذه هي فصل المارتينغال في مجلد السنة الثالثة.

## 23.3 تقريب بواسون

**مبرهنة 23.20 (قانون الأحداث النادرة).**

ليكن $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ مع $n\,p_n \to \lambda > 0$. عندئذ، من أجل كل $k \in \N$:

$$
\P(X_n = k)
\xrightarrow[n\to\infty]{}
e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :
$$

أي إن القانون الثنائي [لأحداث مستقلة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-independence) نادرة كثيرة يتقارب نحو قانون بواسون ذي الوسيط $\lambda$.

**برهان.** بحساب مباشر مع $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$، $\lambda_n
\to \lambda$:

$$
\P(X_n = k)
= \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k}
= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot
\frac{\lambda_n^k}{k!}\,
\bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .
$$

وعندما $n \to \infty$ مع $k$ ثابتة: يؤول العامل الأول إلى $1$ (فهو جداء $k$ عاملا $\to 1$)؛ و$\lambda_n^k \to \lambda^k$؛ و$\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} =
\exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to
e^{-\lambda}$ لأن $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)
\sim -\lambda_n \to -\lambda$ ([الفصل 6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ch-b2-comparison)). وبديلا عن ذلك، على مستوى الدوال المولّدة: $G_{X_n}(t) = \bigl(1 +
\frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} =
G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ من أجل كل $t \in [0, 1]$ ثابتة — أي تقارب الدوال المولّدة، وهو مكافئ (من أجل المتغيرات ذات القيم في $\N$) لتقارب كل $\P(X_n = k)$؛ انظر [التمرين 23.9](#exo-b2-genfun-9). ∎

**ملاحظة 23.21.**

ولهذا تنمذج قوانين بواسون عدود [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة — الأخطاء المطبعية في الصفحة، والتفككات الإشعاعية في الثانية، والحوادث في اليوم عند تقاطع: فكل فرصة تكاد تكون مهملة، والفرص كثيرة، ولا يبقى في النهاية إلا المعدل المتوسط $\lambda$.

**مثال 23.22 (مشاهدة نهاية بواسون وهي تتقارب).**

نثبّت $\lambda = 2$ ونجعل $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$. واحتمال عدم وقوع أي [حدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) هو $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ بالضبط:

$$
n = 10:\ 0.107, \qquad
n = 20:\ 0.122, \qquad
n = 50:\ 0.130, \qquad
n = 100:\ 0.133,
$$

مقابل النهاية $\eu^{-2} \approx 0.135$. والتقارب رتيب وسرعته $O(1/n)$ — فبالنشر، $(1 -
2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — ومنه فمن أجل $n$ بالمئات يكون نموذج بواسون دقيقا أصلا إلى الرقم الثالث. وهذا هو المضمون العملي لقانون [الأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) النادرة: فالنمذج لا يعرف أبدا $n$ و$p$ على حدة (فكم فرصة مجهرية لخطأ مطبعي تحملها صفحة؟)، بل يعرف جداءهما $\lambda$ وحده، والقانون النهائي لا يتعلق برحمة بأي شيء آخر.

## 23.4 مسارات التفرع

لننظر في مجتمع ينطلق من سلف واحد؛ ولكل فرد، بصورة مستقلة، عدد عشوائي من الأبناء [قانونه](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) $(p_k)_{k
\in \N}$ ودالته المولّدة $G$ (وهو *قانون النسل*). وليكن $Z_n$ حجم الجيل $n$ ($Z_0 =
1$)، وليكن $m = G'(1) = \E(Z_1)$ متوسط عدد الأبناء.

**قضية 23.23.**

[الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) للمتغير $Z_n$ هي المكرَّر رقم $n$ $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ($n$ مرة)، وتحقق احتمالات الانقراض $q_n = \P(Z_n = 0)$

$$
q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),
$$

وتتزايد نحو احتمال الانقراض النهائي $q$، وهو نقطة ثابتة للدالة $G$.

**برهان.** الجيل $n + 1$ هو المجموع العشوائي لنسل أفراد الجيل $n$ وعددهم $Z_n$، والعدود مستقلة بعضها عن بعض وعن $Z_n$: ومنه يعطي [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound) المقدار $G_{Z_{n+1}} =
G_{Z_n} \circ G$، ويعطي التراجع انطلاقا من $G_{Z_0}(t) = t$ المكرَّر $n$ مرة — وهو ما يمكن قراءته بالقدر نفسه، بحكم تجميعية التركيب، على الصورة $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$. وبتقويم هذه الصيغة الثانية عند $0$: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) =
G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$. [والأحداث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) $\{Z_n = 0\}$ متزايدة (فالمجتمعات المنقرضة تبقى منقرضة)، ومنه $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ بالاتصال الرتيب ([المبرهنة 21.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#thm-b2-proba-continuity))، ويحول اتصال $G$ على $[0, 1]$ المقدار $q_{n+1} = G(q_n)$ إلى $q =
G(q)$ عند النهاية. ∎

**مثال 23.24 (مشاهدة الانقراض وهو يتقارب).**

من أجل قانون النسل $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14,
\tfrac14, \tfrac12)$ في [المثال 23.27](#ex-b2-genfun-branchingexample)، لدينا $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ ويعطي التكرار $q_{n+1} = G(q_n)$

$$
q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502,
\quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,
$$

صاعدا نحو احتمال الانقراض $q = \tfrac12$. والفروق $q - q_n$ هي $0.25$، $0.156$، $0.105$، $0.073$، $0.052$: وكل منها نحو $\tfrac34$ من سابقه، وفعلا تعطي مبرهنة القيمة المتوسطة $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q
- q_n)$ مع $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$. وعبرتان: أن لخط عائلة لا يزال حيا عند الجيل $n$، وفق الحساب نفسه، احتمال $q - q_n$ في أن يكون محكوما عليه بالفناء لاحقا؛ وأن سرعة تقارب الدرج في الشكل أدناه هي المشتقة عند النقطة الثابتة — وتحول مسألة نهاية الأسبوع الملاحظتين كلتيهما إلى مبرهنتين.

**مبرهنة 23.25 (محك الانقراض).**

لنفترض $p_1 \neq 1$. احتمال الانقراض $q$ هو النقطة الثابتة *الصغرى* للدالة $G$ في $\intcc{0}{1}$، ولدينا:

- إذا كان $m \leq 1$ (تحت حرج أو حرج)، فإن $q = 1$ : أي إن الانقراض مؤكد؛
- إذا كان $m > 1$ (فوق حرج)، فإن $q < 1$ : أي إن المجتمع يبقى إلى الأبد باحتمال موجب $1 - q$ .

**برهان.** $G$ محدبة على $\intcc{0}{1}$ (فهي متسلسلة قوى ذات معاملات موجبة: $G'' \geq 0$)، وغير متناقصة، مع $G(1) = 1$.

*النقطة الثابتة الصغرى:* لتكن $r \in \intcc{0}{1}$ نقطة ثابتة كيفما كانت. عندئذ $q_0 = 0 \leq r$، وبالتراجع $q_{n+1} = G(q_n)
\leq G(r) = r$ (بالرتابة): ومنه $q = \lim q_n \leq r$.

*الحالة $m \leq 1$:* لنفترض أن $r < 1$ نقطة ثابتة. فبمبرهنة القيمة المتوسطة على $[r, 1]$، يوجد $c \in \intoo{r}{1}$ يحقق $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$. لكن $G'$ غير متناقصة (بالتحدب) و$\lim_{t\to1^-}G'(t) = m
\leq 1$، ومنه $G' \leq 1$ على $\intoo{0}{1}$؛ وتفرض المساواة $G'(c) =
1$ عندئذ أن تكون $G'$ ثابتة تساوي $1$ على $\intco{c}{1}$، ومنه $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ هناك. ومتسلسلة قوى ذات معاملات موجبة تنعدم على فترة تكون هذه المعاملات كلها معدومة: $p_n = 0$ من أجل $n \geq 2$، ومنه $G(t) = p_0
+ p_1t$ و$1 = G'(c) = p_1$ — وهو ما يناقض الفرضية $p_1 \neq 1$. ومنه فإن $1$ هي النقطة الثابتة الوحيدة: $q = 1$.

*الحالة $m > 1$:* بجوار $1$، لمشتقة $G(t) - t$ القيمة $G'(t) -
1 \to m - 1 > 0$ عندما $t \to 1^-$، ومنه $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ على فترة ما $\intoo{1 - \delta}{1}$: فالدالة المتصلة $G(t) - t$ تساوي $\geq 0$ عند $t = 0$ ($G(0) = p_0 \geq 0$) وتكون $< 0$ تحت $1$ مباشرة، ومنه فهي تنعدم عند $r < 1$ ما (بمبرهنة القيم الوسطى). والنقطة الثابتة الصغرى عندئذ $q \leq r < 1$. ∎

![احتمالات الانقراض بوصفها تكرارا لنقطة ثابتة q_n+1 = G(q_n) انطلاقا من q_0 = 0 (بالدرج الأحمر). على اليسار: قانون نسل تحت حرج — فالمنحنى المحدب يبقى فوق القطر، ويصعد التكرار إلى النقطة الثابتة الوحيدة 1. وعلى اليمين: قانون فوق حرج — فالمنحنى يعبر القطر عند q < 1، حيث يتوقف التكرار: فاحتمال البقاء 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-b000951f5d4d.svg)

![احتمالات الانقراض بوصفها تكرارا لنقطة ثابتة q_n+1 = G(q_n) انطلاقا من q_0 = 0 (بالدرج الأحمر). على اليسار: قانون نسل تحت حرج — فالمنحنى المحدب يبقى فوق القطر، ويصعد التكرار إلى النقطة الثابتة الوحيدة 1. وعلى اليمين: قانون فوق حرج — فالمنحنى يعبر القطر عند q < 1، حيث يتوقف التكرار: فاحتمال البقاء 1 - q > 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-4/b2-genfun/fig-126f02aa14b3.svg)

***شكل 23.1.** احتمالات الانقراض بوصفها تكرارا لنقطة ثابتة $q_{n+1} = G(q_n)$ انطلاقا من $q_0 = 0$ (بالدرج الأحمر). على اليسار: قانون نسل تحت حرج — فالمنحنى المحدب يبقى فوق القطر، ويصعد التكرار إلى النقطة الثابتة الوحيدة $1$. وعلى اليمين: قانون فوق حرج — فالمنحنى يعبر القطر عند $q < 1$، حيث يتوقف التكرار: فاحتمال البقاء $1 -
q > 0$.*

**ملاحظة 23.26 (كيف تقرأ مخطط بيت العنكبوت).**

في الشكل، تطبّق حركة شاقولية الدالة $G$ (من $(q_n, q_n)$ صعودا إلى $(q_n, G(q_n))$)، وتحوّل حركة أفقية نحو القطر الخرج إلى دخل: فالدرج *هو* التراجع $q_{n+1} = G(q_n)$. ولا يترك تحدب $G$ و$G(1) = 1$ إلا هندستين. فإما أن يبقى المنحنى فوق القطر على $\intco01$ (بمتوسط $m \leq 1$): فلا يجد الدرج موضعا يتوقف عنده قبل $1$. وإما أن يعبر المنحنى عند $q <
1$ ما ($m > 1$): فينحصر الدرج تحت نقطة العبور ويتقارب نحوها، بالمعدل الهندسي $G'(q) < 1$ المقيس في [المثال 23.24](#ex-b2-genfun-cobwebnumerics). وكل تحليل مبرهنة الانقراض مرئي في هذه الصورة الواحدة — ولهذا تستحق أن تُرسم قبل الحساب.

**مثال 23.27.**

قانون النسل: لا ابن، أو ابن واحد، أو ابنان بالاحتمالات $\frac14, \frac14, \frac12$. عندئذ $m = \frac14 + 1 =
\frac54 > 1$ و$G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$. والنقط الثابتة: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$، أي $2t^2 - 3t
+ 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$: $q = \frac12$. فينقرض خط العائلة باحتمال $\frac12$ — وباحتمال $\frac12$ يعيش إلى الأبد.

**ملاحظة 23.28 (آفاق داخل هذا المجلد).**

هذا الفصل مفترق طرق الكتاب، وقد وصل كل مكوّن من مكان مسمى: فجبر المتسلسلات من [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series) و[الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries)، والاحتمالات من [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) (فالاتصال الرتيب يبرهن على $q_n \uparrow q$) ومن [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar) (فالمقدار $G_X =
\E(t^X)$ [أمل رياضي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation)، والضربية هي مبرهنة الجداء)، والتحدب من [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun) عبر [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/17-affine-spaces#ch-b2-affine). بل حتى أمراض الذيول الثقيلة متصلة: فلمتغير سان بطرسبورغ في الفصل السابق الدالة $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$، وهي متسلسلة متقاربة تماما على $\intcc01$ لكن مشتقتها عند $1^-$ متباعدة — أي متوسط لانهائي، مرئي في لمحة. كائن واحد، وكل أدوات السنة: فصل أخير لائق.

**ملاحظة 23.29 (مزالق شائعة).**

(1) لا تنطبق الدوال المولّدة إلا على المتغيرات ذات القيم في $\N$: ففي حالة المتغيرات ذات الإشارة أو غير الصحيحة يفقد الكائن $\E(t^X)$ بنيته بوصفه متسلسلة قوى (وتستبدل به السنة الثالثة تحويلات ملائمة للفضاء $\R$). (2) التحقق الأول من أي $G$ محسوبة هو $G(1) = 1$؛ والثاني هو أن تكون المعاملات موجبة — فالمعامل السالب يعني زلة جبرية لا قانونا جديدا. (3) وفي المجاميع العشوائية يهم ترتيب التركيب: $G_S = G_N \circ G_X$، فالدالة *الخارجية* هي التي تعد الحدود؛ والتركيب في الاتجاه الآخر بلا معنى (فالمقدار $G_X \circ G_N$ سيعد عناصر العناصر). (4) وتحتاج الضربية إلى الاستقلال وإلى مصادر عشوائية متمايزة: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$، لا $G_X(t)^2$. (5) والمفاضلة عند $1$ عملية حدية: فعندما يكون نصف القطر $1$ بالضبط، كما في [المثال 23.6](#ex-b2-genfun-heavytail)، قد يكون $G'(1^-)$ لانهائيا، ولا تكون صياغة مبرهنة العزوم بالنهاية الرتيبة تنطعا بل هي النص الصادق.

## ختام المجلد

[الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) كائن ختامي لائق بهذا الكتاب: فهي في آن واحد متسلسلة قوى ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))، وأداة من أدوات العائلات [القابلة للجمع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#def-b2-series-summable) ([الفصل 7](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/7-sequences-and-series#ch-b2-series))، [وأمل رياضي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation) ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#ch-b2-randomvar))، ودالة محدبة تقرر هندستها الانقراض ([الفصل 8](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/8-functions-of-a-real-variable#ch-b2-realfun))، وتكرار نقطة ثابتة ([الفصل 4](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/4-topology-of-metric-spaces#ch-b2-metric)). فرياضيات السنة الثانية موضوع واحد. وسيفتح مجلد السنة الثالثة الأبواب المتروكة مغلقة عمدا هنا: تكامل لوبيغ (فيسدد مبرهنة التقارب المهيمن في [الفصل 9](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/9-integration#ch-b2-integration))، والاحتمالات بمعنى نظرية القياس على الفضاءات غير [القابلة للعد](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/1-sets-and-structures#def-b2-structures-countable)، والبرهان الكامل لمبرهنة الدالة العكسية ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/15-differential-calculus#ch-b2-diffcalc)) في إطار الهندسة التفاضلية.

## 23.5 تمارين

**تمرين 23.1 ★.**

احسب [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) للقانون المنتظم على $\{1, 2,
\dots, 6\}$ (أي نرد متزن). وبيّن أن مجموع نردين متزنين *لا يمكن* أن يكون منتظما على $\{2, \dots, 12\}$: فكك $G_{X+Y}$ وعدّ الجذور. *(فمجموع منتظم كان سيفرض $G_X(t)G_Y(t) =
\frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$، وجذوره غير المعدومة هي جذور الوحدة من الرتبة $11$ عدا $1$ — ولا واحد منها حقيقي — بينما $G_X/t$ و$G_Y/t$ كثيرا حدود حقيقيان درجتهما $5$، ولكل منهما جذر حقيقي واحد على الأقل.)*

**حل التمرين 23.1.**

النرد المتزن: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t
+ \dots + t^5)$. فلو كان مجموع نردين متزنين منتظما على $\{2, \dots, 12\}$، لكان

$$
G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2
= \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k ,
\qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .
$$

والآن فإن $h$ كثير حدود حقيقي درجته فردية $5$، ومنه فله جذر حقيقي (بمبرهنة القيم الوسطى؛ وبصورة ملموسة $h(-1) = 0$)، ومنه فللمقدار $h^2$ جذر حقيقي. لكن $\sum_{k=0}^{10}t^k$ ليس له أي جذر: فهو موجب من أجل $t \geq 0$، ومن أجل $t < 0$ يساوي $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$، وهو خارج قسمة عددين سالبين. وهو تناقض — فمجموع نردين متزنين لا يكون منتظما أبدا (كما يؤكد [التوزيع](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-law) المثلثي المألوف لمجاميع النرد).

**تمرين 23.2 ★.**

باستعمال الدوال المولّدة، استعد $\E$ و$V$ من أجل القانونين الثنائي والهندسي ([المبرهنة 23.7](#thm-b2-genfun-moments)).

**حل التمرين 23.2.**

*ثنائي الحد:* $G(t) = (1 - p + pt)^n$، $G'(t) = np(1 - p +
pt)^{n-1}$، $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$، ومنه

$$
\E(X) = G'(1) = np,
\qquad
V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2
= n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).
$$

*الهندسي* ($q = 1 - p$): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$، ومنه $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ و$G''(t) = \frac{2pq}{(1 -
qt)^3}$؛ وعند $t = 1$ (باستعمال $1 - q = p$):

$$
\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p,
\qquad
V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2}
= \frac{2q + p - 1}{p^2}
= \frac{q}{p^2} ,
$$

وهو يوافق [التمرين 22.1](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#exo-b2-randomvar-1) بعمل أقل.

**تمرين 23.3 ★.**

نردان مزيَّفان: هل يمكن تزييف نردين (بصورة مستقلة، متماثلة أو غير متماثلة) بحيث يكون مجموعهما منتظما على $\{2, \dots,
12\}$؟ *(بعائق التفكيك نفسه في [التمرين 23.1](#exo-b2-genfun-1): فالجواب لا، حتى بتزييفين مختلفين، لأن لكل عامل $G_X(t)/t$ درجة فردية $5$، ومنه جذر حقيقي، بينما الهدف بلا جذر حقيقي.)*

**حل التمرين 23.3.**

لا، حتى بتزييفين مختلفين. لنفترض أن $X, Y$ قانونان على $\{1, \dots, 6\}$ مجموعهما منتظم. عندئذ $G_X(t) = t\,a(t)$ و$G_Y(t) = t\,b(t)$ حيث $a, b$ كثيرا حدود حقيقيان درجتهما $5$ *على الأكثر* — ويجب أن يكون مجموع درجتيهما $10$ (فالمجموع يبلغ $12$ باحتمال موجب)، ومنه $\deg a = \deg b = 5$، وكلتاهما فردية. وكما في [التمرين 23.1](#exo-b2-genfun-1)، فإن

$$
a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k
$$

سيفرض جذرا حقيقيا في الطرف الأيسر (فلكل كثير حدود حقيقي درجته فردية جذر) ولا جذر في الطرف الأيمن. ومنه فلا تزييف لنردين مستقلين — متماثل أو غير متماثل — ينتج مجموعا منتظما.

**تمرين 23.4 ★★.**

لتكن $X_1, X_2, \dots$ متغيرات برنولي مستقلة $\mathcal{B}(p)$ وليكن $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ مستقلا عنها. بيّن، عبر [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound)، أن $S = X_1 + \dots + X_N
\sim \mathcal{P}(\lambda p)$: أي إن عددا بواسونيا من العناصر، يُحتفظ بكل منها باحتمال $p$، يترك عددا بواسونيا — وهو *الترقيق*. واحسب أيضا قانون العدد المهمل وتأمل: فهو $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$، ويمكن أن نبين أنه مستقل عن $S$.

**حل التمرين 23.4.**

بحسب [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound) مع $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ و$G_X(t) = 1 - p + pt$:

$$
G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :
$$

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$. والعدد المهمل $D = N - S$ يعد العناصر نفسها محتفظا بها باحتمال $1 - p$، ومنه بالحساب نفسه $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$. والاستقلال، مباشرة: من أجل $j, k \in \N$،

$$
\begin{align*}
\P(S = j,\ D = k)
&= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k
= e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\,
\frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\
&= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr)
\Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr)
\end{align*}
$$

مع $q = 1 - p$: فالقانون المشترك يتفكك على الصورة $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$. فتدفق بواسوني مقسوم عشوائيا يعطي تدفقين بواسونيين *مستقلين* — وهي معجزة صغيرة تُستعمل باستمرار في نظرية الطوابير.

**تمرين 23.5 ★★.**

(ثنائي الحد السالب) ليكن $T_r$ عدد الرميات اللازمة للحصول على $r$ صورة (باحتمال صورة $p$). اكتب $T_r$ مجموعا لمتغيرات هندسية مستقلة عددها $r$، واستنتج

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},
$$

وانشر $G_{T_r}$ لإيجاد $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}
p^r(1-p)^{n-r}$.

**حل التمرين 23.5.**

أزمنة الانتظار بين الصور المتتالية متغيرات هندسية مستقلة $\mathcal{G}(p)$ (بانعدام الذاكرة: فبعد كل صورة تبدأ اللعبة من جديد)، ومنه $T_r = W_1 + \dots + W_r$، وتعطي الضربية ([المبرهنة 23.10](#thm-b2-genfun-product))

$$
G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r},
\qquad
\E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp,
\qquad
V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}
$$

($q = 1 - p$؛ والتباينات تُجمع بالاستقلال). والنشر: بمتسلسلة ذات الحدين المعممة ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries))، $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0}
\binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$، ومنه فإن معامل $t^n$ في $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ هو (مع $m = n - r$)

$$
\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r},
\qquad n \geq r ,
$$

أي القانون *الثنائي السالب* — وتوفيقيا: تقع الصورة رقم $r$ عند الرمية $n$ إذا وفقط إذا اختارت الصور $r - 1$ السابقة مواضعها بين الرميات $n - 1$ الأولى.

**تمرين 23.6 ★★.**

من أجل قانون النسل $p_0 = \frac18$، $p_1 = \frac38$، $p_2 =
\frac38$، $p_3 = \frac18$: احسب $m$، وقرر ما إذا كان فوق حرج، واحسب احتمال الانقراض $q$ بالضبط. *(أخرج الجذر $t = 1$ من $G(t) - t$ بالتفكيك.)*

**حل التمرين 23.6.**

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 +
3}{8} = \frac32 > 1$: أي فوق حرج. [والدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) هي

$$
G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,
$$

ومنه تحل النقط الثابتة $(1 + t)^3 = 8t$، أي $t^3 + 3t^2 - 5t + 1
= 0$. وبإخراج الجذر المضمون $t = 1$:

$$
t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),
$$

ويعطي $t^2 + 4t - 1 = 0$ المقدار $t = -2 \pm \sqrt5$. والجذر في $\intco{0}{1}$ هو $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$: ومنه، بحسب [المبرهنة 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)،

$$
q = \sqrt 5 - 2 .
$$

(وتحقق ممتع: قانون النسل هو قانون $3$ قطعة نقود متزنة مستقلة، $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$.)

**تمرين 23.7 ★★★.**

(النسل الكلي) في [مسار تفرع](#pb-b2-genfun-1) تحت حرج ($m < 1$)، ليكن $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ العدد الكلي للأفراد المولودين على الإطلاق. بيّن $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (وبرر تبديل ترتيب الجمع)، وبرهن على أن [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $H = G_Y$ تحقق المعادلة الدالية $H(t) = t\,G(H(t))$. *(السلف، مضافا إليه النسل الكلي لكل من أبنائه، وهي نسخ مستقلة من $Y$.)*

**حل التمرين 23.7.**

*[الأمل الرياضي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#def-b2-randomvar-expectation).* أولا $\E(Z_n) = m^n$: فبحسب [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound)، $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$، و$\E(Z_0) = 1$. والعائلة $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\})
\bigr)_{n, \omega}$ موجبة، ومنه تنطبق مبرهنة فوبيني من أجل العائلات دون شرط:

$$
\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n)
= \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty
$$

(وبوجه خاص فإن $Y$ منته بشكل شبه أكيد: بانسجام مع تأكد الانقراض في الحالة تحت الحرجة).

*المعادلة الدالية.* نفكك المجتمع بحسب أبناء السلف: فإذا كان للسلف $Z_1 = k$ ابنا، كان النسل الكلي $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$، حيث $Y_i$ هو النسل الكلي لخط الابن رقم $i$ — والمتغيرات $Y_i$ نسخ مستقلة من $Y$، مستقلة عن $Z_1$ (فالخطوط المتمايزة تستعمل أحداث تكاثر منفصلة مستقلة). وبالشرط على $Z_1$ كما في [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound):

$$
H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr)
= t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k
= t\,G\bigl(H(t)\bigr),
$$

مع العامل $t$ الذي يحسب السلف نفسه. (ومن أجل القانون $p_0 = 1 - p$، $p_2 = p$ للتفرع الثنائي، يمكن حل هذه المعادلة من الدرجة الثانية بدلالة $H$ صراحة ونشرها — [فأعداد كاتالان](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan) في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ch-b2-powerseries) تعد أشجار العائلة.)

**تمرين 23.8 ★★★.**

ليكن $X$ ذا [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) $G$ نصف قطر تقاربها $>
1$. برهن على *الحصر الذيلي الأسي*: يوجد $C > 0$ و$\rho \in \intoo{0}{1}$ يحققان $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$. *(بمتراجحة ماركوف مطبقة على $t^X$ من أجل $t > 1$ ثابت داخل القرص.)* وبالعكس، بيّن أنه إذا كان $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ مع $\rho < 1$، فإن نصف قطر $G$ هو $\geq 1/\rho > 1$.

**حل التمرين 23.8.**

ليكن $R > 1$ نصف القطر ولنثبّت $t \in \intoo{1}{R}$. عندئذ $\E(t^X) = G(t) < \infty$، وتعطي متراجحة ماركوف ([المبرهنة 22.15](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-markov)) مطبقة على المتغير الموجب $t^X$ عند المستوى $t^n$:

$$
\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr)
\leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n,
\qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.
$$

*العكس:* إذا كان $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$، فإن $p_n \leq
\P(X \geq n) \leq C\rho^n$، ومنه فإن المتسلسلة $\sum p_n\abs t^n$ مهيمن عليها من أجل $\abs t < \frac1\rho$ بالمتسلسلة الهندسية المتقاربة $C\sum(\rho\abs t)^n$: فنصف القطر لا يقل عن $\frac1\rho > 1$. فنصف قطر [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) والتلاشي الهندسي للذيل وجهان للخاصية نفسها.

**تمرين 23.9 ★★★.**

(مبرهنة الاتصال، الحالة الأولية) لتكن $X, X_1, X_2, \dots$ ذات قيم في $\N$ مع $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ من أجل كل $t \in
\intco{0}{1}$. بيّن أن $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ من أجل كل $k$. *(بالتراجع على $k$: من أجل $k = 0$ خذ $t \to 0$ — وبحذر: ثبّت $t$ صغيرة، واستعمل $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)}
\leq \frac{t}{1-t}$، وهو صالح لأن الذيل $\sum_{j \geq 1}p_jt^j
\leq \frac{t}{1 - t}$؛ ثم قطّر. ومن أجل خطوة التراجع، انظر في $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$، وهي [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) لقانون مزاح.)*

**حل التمرين 23.9.**

نكتب $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$، $p_k = \P(X = k)$.

*الحالة $k = 0$.* من أجل $t \in \intoo{0}{1}$ ومن أجل أي قانون $(q_j)$ يحقق $\sum_j q_j \leq 1$:

$$
\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr|
= \sum_{j \geq 1} q_j t^j
\leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .
$$

ومنه

$$
\abs{p_0^{(n)} - p_0}
\leq \frac{2t}{1 - t}
+ \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .
$$

وبمعطى $\varepsilon > 0$، نختار $t$ بحيث $\frac{2t}{1-t} <
\frac\varepsilon2$، ثم $n_0$ بحيث يكون الحد الأخير $<
\frac\varepsilon2$ من أجل $n \geq n_0$: ومنه $p_0^{(n)} \to p_0$.

*خطوة التراجع.* لنفترض $p_j^{(n)} \to p_j$ من أجل $j < k$. ولننظر في الدوال *المزاحة*

$$
g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t}
= \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j,
\qquad
g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,
$$

وهي الدوال المولّدة لمتتاليات شبه احتمالية $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (كتلتها الكلية $\leq 1$، وهو كل ما استعملته حجة $k = 0$). ومن أجل $t \in \intoo{0}{1}$ ثابتة، $g_n(t)
\to g(t)$ بحكم الفرضية وحالة $k = 0$. وتطبيق حجة $k =
0$ على $g_n$ يعطي $p_1^{(n)} \to p_1$؛ وتكرار الإزاحة $k$ مرة يعطي $p_k^{(n)} \to p_k$ من أجل كل $k$. (وهذه هي الحالة المتقطعة الأولية من مبرهنة ليفي في الاتصال، التي تكون صيغتها العامة — من أجل الدوال المميزة — معلما من معالم السنة الثالثة.)

**تمرين 23.10 ★.**

(حيلة الزوجية) بيّن أنه من أجل متغير $X$ ذي قيم في $\N$،

$$
\P(X \text{ زوجي}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,
$$

واحسب هذا الاحتمال من أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$ ومن أجل $X \sim \mathcal B(n, p)$. وماذا يعني $G_X(-1) \to 0$ احتماليا؟

**حل التمرين 23.10.**

نقطيا، يساوي $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ المقدار $1$ عندما يكون $X$ زوجيا و$0$ عندما يكون فرديا، ومنه بأخذ الآمال (بمبرهنة النقل)،

$$
\P(X \text{ زوجي}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 =
\frac{1 + G_X(-1)}2 .
$$

بواسون: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ عندما ينمو $\lambda$. وثنائي الحد: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$. وفي الحالتين يقول $G_X(-1) \to 0$ إن زوجية $X$ تصير قطعة نقود متزنة: فالقانون ينتشر على أعداد صحيحة كثيرة وينسى زوجيته.

**تمرين 23.11 ★★.**

(نردا سيشرمان) تحقق من تفكيك [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) للنرد المتزن

$$
\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}
= \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},
$$

وبيّن أن النردين ذوي الوجوه $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ و$\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ لهما الدالتان المولّدتان $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ و$\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$، وجداؤهما هو دالة نردين قياسيين: فهذان النردان الغريبان ينتجان كل مجموع $2,
\dots, 12$ بالاحتمالات القياسية بالضبط.

**حل التمرين 23.11.**

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ و$1 - t^6 =
(1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$، وهو ما يعطي التفكيك المذكور. ومن أجل النرد الأول، $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 +
2t + 2t^2 + t^3$، ومنه $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t +
2t^2 + 2t^3 + t^4}6$: أي الوجوه $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$. ومن أجل الثاني، بنشر

$$
(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 +
t^5 + t^7,
$$

نجد $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4
+ t^5 + t^6 + t^8}6$: أي الوجوه $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$. وجداء الدالتين المولّدتين يعيد تجميع العوامل الستة في $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6
\bigr)^2$، وهو مربع دالة النرد القياسي: فلزوج سيشرمان القانون القياسي بالضبط من أجل المجموع — والدوال المولّدة تصنّف كل عمليات إعادة التجميع هذه.

**تمرين 23.12 ★★★.**

(انتظار صورتين متتاليتين) تُرمى قطعة نقود احتمال الصورة فيها $p$ حتى تظهر صورتان متتاليتان؛ وليكن $T$ عدد الرميات (وهي لعبة [التمرين 21.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#exo-b2-proba-6)). بالشرط على الرميات الأولى، اشتق جملة خطية للدوال المولّدة انطلاقا من الحالتين “لا صورة جارية” و“صورة جارية واحدة”، واستنتج

$$
G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2}
\qquad (q = 1 - p);
$$

وتحقق من $G_T(1) = 1$ و$\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ($= 6$ من أجل قطعة متزنة).

**حل التمرين 23.12.**

لتكن $A$ و$B$ الدالتين المولّدتين للمدة المتبقية انطلاقا من “لا صورة جارية” ومن “صورة جارية واحدة”. تُنفق رمية واحدة، ثم: انطلاقا من الحالة $0$، تعيد الكتابة إلى الحالة $0$، وتنقل الصورة إلى الحالة $1$؛ وانطلاقا من الحالة $1$، تنهي الصورة اللعبة وتعيد الكتابة إلى الحالة $0$:

$$
A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr),
\qquad
B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).
$$

وبالتعويض: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$، ومنه

$$
G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .
$$

وعند $t = 1$ يكون المقام $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$: $G_T(1) = 1$، فتنتهي اللعبة بشكل شبه أكيد (كما بين [التمرين 21.6](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#exo-b2-proba-6) بالتراجع). والمفاضلة اللوغاريتمية عند $1$: $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ مع $D(t) = 1 - qt - pqt^2$، $D'(1) = -q - 2pq$:

$$
\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2}
= \frac{1 + p}{p^2},
$$

وهو $6$ من أجل $p = \frac12$.

## 23.6 مسألة: مسار غالتون–واطسون، محلولا

**مسألة 23.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — معدلات النمو، والحلول المضبوطة، والنسل الكلي، وتقدير كولموغوروف الحرج

يقسم محك الانقراض ([المبرهنة 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)) مسارات التفرع إلى تحت حرجة وحرجة وفوق حرجة — لكنه لا يقول شيئا عن *المعدلات*: كم بسرعة يموت خط محكوم عليه، وكم يكبر خط باق. وتحسب هذه المسألة ذلك. ونحتفظ برموز الفصل: قانون النسل $(p_k)$ ودالته المولّدة $G$، والمتوسط $m = G'(1)$، وأحجام الأجيال $Z_n$ ($Z_0 = 1$)، والمكرَّرات $G_n = G_{Z_n}$، واحتمالات الانقراض $q_n = \P(Z_n = 0)
\uparrow q$؛ ونفترض دائما $p_1 \neq 1$، ونفترض $G''(1) < \infty$ حيث تظهر عزوم من الرتبة الثانية، ونكتب $\sigma^2 =
V(Z_1)$.

**الجزء الأول — عزوم الأجيال.**

1. بيّن $\E(Z_n) = m^n$ *(بقاعدة السلسلة على $G_n = G  \circ G_{n-1}$ عند $1^-$، باستعمال $G_{n-1}(1) = 1$ و[المبرهنة 23.7](#thm-b2-genfun-moments))* .
2. أنشئ التراجع $G_n''(1) =  G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ وحله: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ من أجل $m \neq 1$ ، و $G_n''(1) = n\,G''(1)$ من أجل $m =  1$ .
3. استنتج $$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1}  \quad (m \neq 1),  \qquad  V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$$
4. (المعدل تحت الحرج، الحصر العلوي) من أجل $m < 1$ ، بيّن $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ *(بمتراجحة ماركوف على المتغير الصحيح $Z_n$)* : أي إن الانقراض مؤكد بمعدل هندسي — وهو تدقيق كمي لمحك الفصل.
5. (المعدل تحت الحرج، الحصر السفلي) باستعمال متراجحة كوشي–شوارتز على $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$، بيّن $$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)}  \geq c\,m^{n}  \quad\text{مع}\quad  c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$$ أي إن المعدل الهندسي $m^n$ مضبوط إلى غاية ثوابت.

**الجزء الثاني — العائلة الهندسية، محلولة بالضبط.** ليكن قانون النسل هندسيا على $\N$: $p_k =
qp^k$ ($k \geq 0$)، مع $0 < p < 1$، $q = 1 - p$.

6. احسب $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ و $m = \dfrac  pq$ ؛ وحدد الأنظمة الثلاثة بدلالة $p$ .
7. حل $G(t) = t$ : بيّن أن النقطتين الثابتتين هما $1$ و $q/p = 1/m$ ، واستعد احتمال الانقراض $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
8. برهن بالتراجع على الصيغتين المغلقتين $$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1),  \qquad  q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$$
9. استنتج المعدلات المضبوطة: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ في الحالة تحت الحرجة، و $q_{\mathrm{ext}} - q_n  \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ في الحالة فوق الحرجة؛ وتحقق من أن نسبة التقلص فوق الحرجة هي $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
10. الحالة الحرجة ( $p = \tfrac12$ ): احسب $\sigma^2 =  2$ ولاحظ $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : فاحتمال البقاء يتلاشى مثل $\frac1n$ — فلا هو هندسي ولا قابل للجمع.
11. وما زلنا في الحالة الحرجة: برهن بالتراجع على المكرَّر الكامل $$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$$ واستنتج أنه بشرط البقاء يكون $Z_n$ هندسيا على $\N^*$ بالوسيط $\frac1{n+1}$: $$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}  \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1},  \qquad  \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$$ فالخط المتوسط يموت، لكن الخطوط الباقية حجمها من رتبة $n$.

**الجزء الثالث — النسل الكلي.** ليكن $Y =
\sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ العدد الكلي للأفراد المولودين على الإطلاق، وليكن $H(t) =
\sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$.

12. برر $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ ، وذكّر من [التمرين 23.7](#exo-b2-genfun-7) بالمعادلة الدالية $H(t) = t\,G(H(t))$ (التي لم يستعمل اشتقاقها $m < 1$ ).
13. (التفرع الثنائي) من أجل $p_0 = p_2 = \frac12$ (الحرج)، حل المعادلة الدالية: $$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$$ وانشرها بالمقدار [المثال 11.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan) للحصول على $$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}},  \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$$ وتحقق من القيمتين $\P(Y = 1) = \frac12$ و$\P(Y = 3)  = \frac18$ بالعد المباشر.
14. بمفاضلة المعادلة الدالية عند $1^-$ ، بيّن أن $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ من أجل $m < 1$ ، بينما تفرض الحرجية $\E(Y) = \infty$ : أي إن النسل الكلي الحرج منته بشكل شبه أكيد بمتوسط لانهائي.
15. مع السلوك المقارب للمعامل الثنائي المركزي ([المثال 6.14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ex-b2-comparison-centralbinomial))، بيّن $$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$$ أي ذيلا ثقيلا $k^{-3/2}$، واستنتج $\P(Y > n)  \asymp n^{-1/2}$ (ويكفي حصران علوي وسفلي من هذه الرتبة).
16. قارن مع [السير العشوائي](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#pb-b2-proba-1) المتزن (مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba) ): فهناك أزمنة عودة مؤكدة بمتوسط لانهائي، وهنا نسل كلي مؤكد بمتوسط لانهائي، وكلاهما بقوانين موضعية $n^{-3/2}$ . وفقرة واحدة عن سبب إنتاج الحرجية لهذه البصمة.

**الجزء الرابع — تقدير كولموغوروف عند الحرجية.** لنفترض $m = 1$، $0 < \sigma^2 = G''(1) <
\infty$.

17. بيّن أن $G''$ يمتد بالاتصال إلى $\intcc01$ *(فهو موجب متزايد ذو نهاية منتهية)* واستنتج نشر تايلور عند $1$: $$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),  \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$$
18. من أجل $t \in \intco01$، ضع $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} -  \dfrac1{1 - t}$. بيّن $$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}  \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$$
19. تلسكب على طول التكرار $q_{j+1} = G(q_j)$: $$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$$ واختم بحجة تشيزارو أن $$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$$ — وهو *تقدير كولموغوروف*: فكل [مسار تفرع](#pb-b2-genfun-1) حرج يموت بالمعدل الشامل $1/n$، ولا يتذكر قانون النسل إلا الثابت.
20. تحقق من التقدير بمقابلته بالحالة الهندسية الحرجة في السؤال 10.
21. استنتج $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n}  \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ *(لاحظ $\E(Z_n  \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$)* ، وتحقق منه بمقابلته بالسؤال 11: فبشرط البقاء ينمو المجتمع *خطيا* — وهو الحبل المشدود الحرج بين الموت والانفجار.

**الجزء الخامس — تطبيقات وتركيب.**

22. (الأوبئة والتفاعلات المتسلسلة) من أجل قانون نسل بواسوني $\mathcal P(\lambda)$ — إذ تعدي كل حالة $\mathcal P(\lambda)$ حالة جديدة — اكتب معادلة الانقراض $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ وحلها عدديا من أجل $\lambda = 1.5$ ( $q \approx  0.417$ ) ومن أجل $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): فانطلاقا من حالة واحدة، لا يكون تفشٍّ كبير *مؤكدا* حتى عندما $\lambda > 1$ . واشرح لماذا يتقارب التكرار $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ انطلاقا من $q_0 = 0$ نحو الجذر الصحيح.
23. انطلاقا من $k$ سلفا بدل واحد، بيّن أن احتمال الانقراض هو $q^k$ . وتطبيقا: مع $\lambda = 1.5$ ، كم حالة ابتدائية تجعل احتمال التفشي لا يقل عن $99\%$ ؟
24. (شرط مسار فوق حرج على الانقراض) من أجل $m > 1$ باحتمال انقراض $q \in  \intoo01$ : برهن أولا بالتحدب على أن $G'(q) < 1$ عند النقطة الثابتة الصغرى، واستنتج $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (أي تقاربا هندسيا، كما يبين السؤال 9). ثم بيّن أن $\widehat G(t) = G(qt)/q$ [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) لقانون نسل حقيقي، متوسطه $\widehat m =  G'(q) < 1$ : أي مسار رفيق تحت حرج. وتحقق من ذلك على العائلة الهندسية: فشرط المسار فوق الحرج ذي الوسيط $(p, q)$ على الانقراض يبادل بين $p$ و $q$ . (والنص الكامل — وهو أن المسار المشروط *هو* المسار الرفيق — مبرهن في مجلد السنة الثالثة؛ وقد تحققت هنا من ظله على مستوى الدوال المولّدة.)
25. تركيب: ارسم جدول الثلاثية — من أجل $m <  1$ و $m = 1$ و $m > 1$ : قيمة $q$ ؛ ومعدل $\P(Z_n >  0)$ أو $q - q_n$ ؛ و $\E(Y)$ ؛ وحجم جيل باق. واذكر في جملة واحدة لكل أداة كيف حمل تركيب الدوال المولّدة والتحدب وتايلور عند $1^-$ ومتوسطات تشيزارو المسألة كلها، وماذا يضيف مجلد السنة الثالثة (المارتينغال $Z_n/m^n$ وقانون ياغلوم النهائي الأسي).

**حل المسألة 23.1.**

**1.** من أجل $t \in \intoo01$، تعطي قاعدة السلسلة على $G_n = G
\circ G_{n-1}$ المقدار $G_n'(t) =
G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$. وعندما $t \to 1^-$، $G_{n-1}(t) \uparrow 1$، ويكون $G'$ غير متناقص ونهايته اليسرى $m$ عند $1$، ومنه فإن العامل الأول يؤول إلى $m$؛ وبالتراجع يؤول الثاني إلى $m^{n-1}$. وبحسب [المبرهنة 23.7](#thm-b2-genfun-moments)، $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$.

**2.** بالمفاضلة مرة أخرى،

$$
G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 +
G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',
$$

وبجعل $t \to 1^-$: $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\,
a_{n-1}$ مع $a_n = G_n''(1)$، $a_1 = G''(1)$. ومن أجل $m \neq
1$ نتحقق بالتراجع من أن $a_n = G''(1)\,m^{n-1}
\frac{m^n - 1}{m - 1}$ (فالتراجع يضيف $G''(1)m^{2n-2}$ إلى $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$، و$m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$)؛ ومن أجل $m = 1$، $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$.

**3.** $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ و$G''(1) =
\sigma^2 + m^2 - m$. ومن أجل $m \neq 1$، يبسّط الجزء $(m^2 -
m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ المقدار $m^n -
m^{2n}$ بالضبط، فيبقى $V(Z_n) =
\sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$. ومن أجل $m = 1$: $V(Z_n) =
nG''(1) = n\sigma^2$.

**4.** $Z_n$ متغير صحيح موجب، ومنه $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ بمتراجحة ماركوف ([المبرهنة 22.15](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/22-discrete-random-variables#thm-b2-randomvar-markov)). ومن أجل $m < 1$ يتلاشى هذا هندسيا — وبقابلية للجمع، ومنه تعطي بوريل–كانتيلي حتى أن عددا منتهيا فقط من الأجيال غير خال، وهو الانقراض من جديد.

**5.** كوشي–شوارتز: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf
1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$. ومع السؤال 3 و$m < 1$:

$$
\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n}
\leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},
$$

ومنه، بقسمة $m^{2n}$ على هذا الحصر والتبسيط بالمقدار $m^n$،

$$
\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n}
\geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,
$$

باستعمال $m^n \leq 1$ في المقام. ومع السؤال 4: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$.

**6.** $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$، و$m
= G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$. فهو تحت حرج من أجل $p
< \frac12$، وحرج من أجل $p = \frac12$، وفوق حرج من أجل $p
> \frac12$.

**7.** تُكتب $G(t) = t$ على الصورة $pt^2 - t + q = 0$، وجذورها $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$، أي $1$ و$\frac qp =
\frac1m$. واحتمال الانقراض هو النقطة الثابتة الصغرى في $\intcc01$ ([المبرهنة 23.25](#thm-b2-genfun-extinction)): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ إذا كان $m \leq 1$، و$\frac1m$ إذا كان $m >
1$.

**8.** من أجل $m \neq 1$، مع $p = \frac m{m+1}$، $q =
\frac1{m+1}$: فإذا كان $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$، فإن

$$
1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)}
{(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} -
1)},
$$

ومنه $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} -
1}{m^{n+2} - 1}$؛ والحالة الأساسية $q_0 = 0$ تتحقق. ومن أجل $m = 1$: $G(t) = \frac1{2 - t}$ و$q_{n+1} = \frac1{2 -
\frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$، مع $q_0 = 0$.

**9.** $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$. ومن أجل $m < 1$ يؤول المقام إلى $-1$: $1 - q_n \sim (1 -
m)\,m^n$. ومن أجل $m > 1$:

$$
q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} -
1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m -
1}{m^{2}}\;m^{-n} .
$$

والمقدار $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ مقوَّما عند $t = \frac
qp$ (حيث $1 - pt = 1 - q = p$) يعطي $G'(q_{\mathrm{ext}})
= \frac qp = \frac1m$: فالنسبة الملاحظة $m^{-1}$ هي بالضبط المشتقة عند النقطة الثابتة الجاذبة.

**10.** من أجل $p = \frac12$: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 -
t/2)^3}$، ومنه $G''(1) = 2$ و$\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 =
2$. وتعطي الصيغة المغلقة $1 - q_n = \frac1{n+1}$: فاحتمال البقاء يتلاشى مثل $1/n$ — ببطء لا يسمح بالقابلية للجمع، خلافا لأي معدل تحت حرج.

**11.** بالتراجع: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ يوافق الصيغة من أجل $n = 1$، و

$$
G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}}
= \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t}
= \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .
$$

ثم

$$
\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n}
= (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} -
\frac{n}{n+1}\Bigr)
= \frac{t}{n + 1 - nt}
= \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,
$$

وهي [الدالة المولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci) للقانون الهندسي $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1}
\bigr)$ على $\N^*$ ([المثال 23.4](#ex-b2-genfun-classical)): فبشرط البقاء، $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) =
\frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$، بمتوسط شرطي $n + 1$. والمتوسط غير المشروط $1 = \E(Z_n)$ هو جداء احتمال بقاء متلاش وحجم شرطي متزايد خطيا.

**12.** إذا انقرض الخط عند الجيل $n$، كان $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ منتهيا؛ وإذا لم ينقرض أبدا، كان $Y \geq \sum_n 1 = \infty$. ومنه فإن $\{Y < \infty\}$ هو [حدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) الانقراض و$\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$. أما اشتقاق $H(t) = tG(H(t))$ في [التمرين 23.7](#exo-b2-genfun-7) — فالسلف يساهم بالعامل $t$، وأبناؤه يؤسسون نسخا مستقلة من $Y$ تُعد عبر $G$ — فلم يستعمل إلا [المبرهنة 23.17](#thm-b2-genfun-compound)، وهو صالح في كل نظام.

**13.** مع $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ تُكتب المعادلة $tH^2 - 2H + t = 0$، ومنه $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (وهو الجذر الذي يحقق $H(0) = 0$). وبالمقارنة مع متسلسلة كاتالان $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ ([المثال 11.21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-catalan)): $H(t) = \frac
t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) =
\sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$، أي $\P(Y =
2k+1) = C_k2^{-2k-1}$. وللتحقق: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (فالسلف بلا أبناء)؛ و$\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (فابنان كلاهما بلا أبناء: $\frac12\cdot\frac12\cdot
\frac12$).

**14.** بمفاضلة $H = tG(H)$ على $\intoo01$ وبجعل $t \to 1^-$ (بالنهايات الرتيبة كما في [المبرهنة 23.7](#thm-b2-genfun-moments)): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr)
= G(H(1))$. وفي الحالة تحت الحرجة $H(1) = 1$ و$\E(Y) =
H'(1) = \frac1{1 - m}$. وفي الحالة الحرجة يجعل $G'(1) = 1$ العامل الأيسر معدوما بينما الطرف الأيمن $1$: فلا يمكن وجود $H'(1)$ منته، ومنه $\E(Y) = \infty$ — ومع ذلك $\P(Y <
\infty) = q = 1$.

**15.** $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim
\frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ بحسب [المثال 6.14](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/6-comparison-of-functions#ex-b2-comparison-centralbinomial)، ومنه

$$
\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim
\frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .
$$

وبجمع الذيل (بالمقارنة مع $\int_K^\infty
k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$، من الأعلى ومن الأسفل): $\P(Y > 2K)
\asymp K^{-1/2}$، أي $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — أي ذيل ثقيل بمتوسط لانهائي، يقيس السؤال 14.

**16.** الكائنان الحرجان كلاهما — زمن عودة السير المتزن (مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#ch-b2-proba)) والنسل الكلي الحرج — منته بشكل شبه أكيد بمتوسط لانهائي، بقوانين موضعية أسّها $-3/2$ وبذيول أسّها $-1/2$. وليست هذه مصادفة: فاستكشاف شجرة عائلة ابنا ابنا ينتج مسارا $\pm1$ (خطوة صاعدة لكل ولادة، وخطوة نازلة لكل وفاة) وهو بالضبط سير متزن، ويصير $Y$ زمن أول عبور. والحرجية تعني انعدام الانجراف: فالمسار دائما على شفا الانقراض والانفجار معا، وتنتج تقلبات العشوائية عديمة الانجراف على السلّم $\sqrt{}$ هذه الأسس بالضبط.

**17.** $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ حدوده موجبة، ومنه فهو غير متناقص على $\intco01$ ونهايته منتهية $G''(1) = \sigma^2$ (فالحرجية تجعل $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$)؛ والدالة غير المتناقصة التي نهايتها تساوي القيمة الحدية متصلة عند $1$. وتايلور بالباقي التكاملي عند النقطة $1$:

$$
G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s
= t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),
$$

لأن $G''(s) = G''(1) + o(1)$ عندما $s \to 1^-$.

**18.** بتوحيد المقامات، $h(t) =
\frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$. وبحسب السؤال 17 يكون البسط $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ و$1 - G(t) = (1 -
t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$، ومنه $h(t) \to b$.

**19.** بتعريف $h$ عند $t = q_j$ و$G(q_j) =
q_{j+1}$: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$؛ والجمع انطلاقا من $j = 0$ ($q_0 = 0$) يعطي الصيغة المكتوبة. وبما أن المسار الحرج ينقرض، فإن $q_j \uparrow 1$، ومنه $h(q_j) \to
b$ ويكون متوسط تشيزارو $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$: $\frac1{1-q_n} \sim bn$، أي

$$
\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .
$$

**20.** الحالة الهندسية الحرجة: $\sigma^2 = 2$ (السؤال 10)، ومنه يتنبأ كولموغوروف بالمقدار $1 - q_n \sim \frac1n$ — والقيمة المضبوطة $\frac1{n+1}$.

**21.** بما أن $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$، فإن $\E(Z_n
\mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 -
q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$. وفي الحالة الهندسية يساوي هذا $n + 1$، وهو يوافق السؤال 11 بالضبط ($\sigma^2 = 2$). والصورة الحرجة: الانقراض مؤكد، والحجم المتوسط مجمد عند $1$، والخطوط النادرة الباقية حجمها ينمو خطيا — فيوازن كل عامل الآخر.

**22.** من أجل نسل $\mathcal P(\lambda)$، $G(t) =
\eu^{\lambda(t-1)}$ ويكون احتمال الانقراض أصغر جذور $q = \eu^{\lambda(q-1)}$. وعدديا: يعطي $\lambda = 1.5$ المقدار $q \approx 0.417$ (بتكرار $q \mapsto
\eu^{1.5(q-1)}$: $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$)؛ ويعطي $\lambda = 2$ المقدار $q \approx 0.203$. ومنه فإن حالة أولى واحدة تشعل تفشيا كبيرا باحتمال $58\%$ ($\lambda = 1.5$) أو $80\%$ ($\lambda = 2$) — أي مرجح، لا مؤكد. ويتقارب التكرار انطلاقا من $q_0 = 0$ نحو الجذر *الأصغر* لأن $G$ غير متناقصة: فبالتراجع $q_n \leq r$ من أجل أي نقطة ثابتة $r$، و$(q_n)$ متزايد (فهو $\P(Z_n = 0)$)، ومنه فنهايته نقطة ثابتة دون جميع النقط الأخرى.

**23.** يؤسس الأسلاف $k$ أشجار عائلة مستقلة، والانقراض الكلي هو تقاطع $k$ [حدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) انقراض مستقل: أي باحتمال $q^k$. ومن أجل $\lambda = 1.5$: يقتضي احتمال تفش $1 - q^k \geq 0.99$ أن يكون $q^k \leq 0.01$، أي $k \geq
\frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$: فست حالات ابتدائية تجعل التفشي مؤكدا بنسبة $99\%$.

**24.** *$G'(q) < 1$:* المقدار $G - \mathrm{id}$ محدب وينعدم عند $q$ وعند $1$، ومنه فهو $\leq 0$ على $\intcc
q1$؛ فلو كان $G'(q) = 1$، لفرض [المماس](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/18-curves#def-b2-curves-arc) عند $q$ (الذي يضعه التحدب تحت $G$) أن يكون $G(t) \geq t$ على $\intcc q1$، ومنه $G \equiv \mathrm{id}$ هناك، وهو ما يقتل جميع المعاملات $p_n$ ($n \geq 2$) ويناقض $m > 1$. *التقارب الهندسي:* $q_n < q$ من أجل كل $n$ (بالتراجع، فالدالة $G$ متزايدة)، وتعطي مبرهنة القيمة المتوسطة $q - q_{n+1} =
G'(c_n)(q - q_n)$ مع $c_n \in \intoo{q_n}q$، ومنه $G'(c_n)
\leq G'(q) < 1$ و$q - q_n \leq q\,G'(q)^n$. *المسار الرفيق:* للمقدار $\widehat G(t) = G(qt)/q =
\sum_kp_kq^{k-1}t^k$ معاملات موجبة و$\widehat G(1) = G(q)/q = 1$: فهو [دالة مولّدة](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/11-power-series#ex-b2-powerseries-fibonacci)؛ ومتوسطه $\widehat
G'(1) = G'(q) < 1$: أي إنه تحت حرج. والعائلة الهندسية: $G(t) =
\frac{q}{1-pt}$، $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$، و

$$
\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t}
= \frac{p}{1 - qt} :
$$

أي قانون النسل الهندسي بعد تبادل $p$ و$q$ — فالمسار فوق الحرج منظورا إليه على [حدث](https://one-course.com/books/math/4/ar/chapter/21-probability-on-countable-spaces#def-b2-proba-space) انقراضه هو المسار تحت الحرج المرآتي.

**25.** الجدول: $m < 1$: $q = 1$، $\P(Z_n > 0)
\asymp m^n$ (السؤالان 4 و5)، $\E(Y) = \frac1{1-m}$، وأجيال باقية متوسطها الشرطي محدود. $m = 1$: $q = 1$، $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (كولموغوروف)، $\E(Y) = \infty$ مع $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$، وباقون حجمهم $\sim \frac{\sigma^2n}2$. $m > 1$: $q < 1$ هو النقطة الثابتة الصغرى، و$q - q_n = O(G'(q)^n)$، ونمو $\E(Z_n) = m^n$، وبشرط الفناء يكون المسار هو المسار الرفيق تحت الحرج (السؤال 24). أما الأدوات: فقد حوّل تركيب الدوال المولّدة تراجع المجتمع إلى تكرار دوال؛ وثبّت التحدب هندسة النقط الثابتة؛ وحوّلت مبرهنة تايلور عند $1^-$ فرضيات العزوم إلى نشور محلية؛ واستخرج متوسط تشيزارو مقدار كولموغوروف $1/n$ من مجموع تلسكوبي. ويضيف مجلد السنة الثالثة المارتينغال $Z_n/
m^n$ — الذي تدقق نهايته شبه الأكيدة المقدار $\E(Z_n) = m^n$ فتجعله معدل نمو مسارا مسارا — ومبرهنة ياغلوم، وهي القانون النهائي وراء الهندسية الشرطية الملاحظة في السؤال 11.